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Chapter 1. 수교론 문제풀이반 1강 강의

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수교론 문제풀이반 1강 강의

Chapter 1.

1. 최근 5개년(2014 ~ 2018학년도) 기출문제 기입형 분석

❍ 문제 유형 1) 교과서 및 지도서를 파악해야 하는 문제 (로그, 역사 발생적 원리) 2) 교육과정을 파악해야 하는 문제 (상관관계, 연립부등식) ∙2009 개정과 2015 개정을 비교하는 문제 (고등학교 1학년 교육과정도 파악해 둘 것) 3) 설명을 통해 관련 이론을 묻는 문제 (반교수학적 전도 / 지각적 다양성의 원리 / 수학화, 수학적 모델링) 4) 대화식 구성을 통해 관련 이론을 묻는 문제 (토파즈식 외면치레, 교수학적 계약 / 비계 설정 / 분석법, 종합법)

❍ 추가로 출제 가능성이 있는 문제 유형 1) 관련 수학교육학자를 묻는 문제 [예] 브루너, 프로이덴탈 / 피아제, 비고츠키 등 2) 교과서 및 지도서에서 알아야할 핵심 용어 [예] 이항정리, 조건부확률, 구분구적법 등 ∙교재연구에 나온 내용이 우선적으로 출제될 가능성이 높다.

❍ 출제 유형 1) 1개를 쓰는 유형 (3문제) 2) 2개를 쓰는 유형 (5문제)

❍ 7~8월 수교론 문제풀이반 기입형 출제 방향 1) 설명식 구성과 대화식 구성을 주로 출제하되, 관련 수학교육학자를 묻거나 교과서 및 지

도서의 핵심 용어를 묻는 문제도 출제할 수 있다. 2) 교육과정과 관련된 문제를 주로 출제할 예정 3) 대부분 2개를 쓰는 유형으로 출제할 예정



2. 최근 4개년(2014 ~ 2017학년도) 기출문제 서술형 분석

① 분석

❍ 이론+이론 유형 (관련 있는 두 가지 이론을 물어보고 이에 대해 서술하는 유형) 1) 2015학년도 3번 – 귀납추론, 시각적 모형 제시 2) 2016학년도 2번 – 역사 발생적 원리, 함수의 역사적 발달 3) 2016학년도 4번 – EIS 이론, 메타-인지 이동 4) 2017학년도 3번 – 귀납추론, 수학적 귀납법 (교과서 및 지도서의 이항 정리 관련) 5) 2017학년도 4번 – 수학적 다양성의 원리, 국소적 조직화

❍ 하나의 이론에 관한 2가지 내용 서술 1) 2014학년도 6번 – 방정식에서의 분석법 관련 2가지 내용 서술 2) 2015학년도 2번 – 준경험주의 관련 2가지 내용 서술 3) 2015학년도 4번 – 순환소수 관련 2가지 내용 서술 (교과서 및 지도서, 지도 내용 서술) 4) 2015학년도 5번 – 프로이덴탈의 사고실험 관련 2가지 내용 서술 5) 2016학년도 3번 – 서술형 평가 관련 2가지 내용 서술 (서술형 평가의 장점, 답안 채점) 6) 2017학년도 2번 – 탐색적 자료 분석 관련 2가지 내용 서술 (저항성, 그래프의 현시성)

❍ 기타 유형 1) 2014학년도 5번 ∙정수의 사칙연산을 지도할 때, 셈돌 모델의 약점과 이를 보완할 수 있는 수직선 모델의

장점을 각각 쓰시오. 그리고 정수의 사칙연산을 지도할 때, 수직선 모델의 약점과 이를 보완할 수 있는 귀납적 외삽법의 장점을 각각 쓰시오.

∙서술해야할 내용이 서술형 배점에 비해 너무 많았지만 이 중 2가지 정도만 추려내면 충분히 출제될 수 있다.

② 서술 시 유의사항

❍ 수업 상황과 관련지어 서술하는 연습을 많이 할 것 1) 비교적 간단한 문제의 경우 이론과 위의 수업 상황을 연결하여 서술하기가 어렵지 않다.

이런 문제 유형의 경우에는 될 수 있는 한 틀리면 안 된다.

[예] 2015학년도 5번 ∙프로이덴탈의 교수･학습 원리의 관점에서 사고실험의 역할을 적으시오. 또, 교실 수업에서

사고실험을 통해 얻을 수 있는 의의를 위 가상 대화에 근거하여 2가지 제시하시오.



[예] 2016학년도 4번 ∙위 수학 수업이 브루너의 이론을 반영하였음을 보여 주는 근거 1가지를 찾아, 그 이유와

함께 서술하시오. 또한 위 수업 상황에서 가장 두드러지게 나타나는 극단적인 수학 교수학적 현상을 쓰고, 이 현상을 수업 상황과 관련지어 설명하시오.

[예] 2017학년도 2번 ∙탐색적 자료 분석의 관점에서 괄호 안의 ㉠과 ㉡에 김 교사가 제시할 수 있는 지도 내용을

각각 쓰시오. 그리고 탐색적 자료 분석의 관점에서 ㉠과 ㉡의 지도 내용이 적절한 이유를 서술하시오.

❍ 문제에 내포된 의미를 잘 파악할 것 (이론에 대해 완벽하게 파악하고 있어야 한다.) 1) 이런 유형은 난이도가 높은 편이다. 다양한 문제에 대한 적용하는 능력을 높여야 한다.

[예] 2014학년도 5번 - 수직선 모델의 약점과 이를 보완할 수 있는 귀납적 외삽법의 장점 1) ‘귀납적 외삽법의 장점’에 대해 서술하기 어려울 수 있다. 2) ‘수직선 모델의 약점’은 음수가 가지고 있는 다중적인 의미가 드러나는 데 있는데, 덧셈

과 뺄셈에서는 연산으로서의 ‘뺄셈’, ‘왼쪽을 향하다.’ 정도이므로 약점이 크게 드러나지 않는데, 곱셈과 나눗셈에서는 ‘반대 방향’이라는 측면이 크게 드러나게 된다.

3) 이로 인해 학생들은 수직선 모델을 통해 곱셈과 나눗셈을 이해하기 어렵게 된다. ∙수직선 모델로는 나눗셈을 설명하는 것 자체가 매우 어렵다. 4) 귀납적 외삽법은 음수의 다중적인 의미에 대한 혼란을 주지 않으면서도 곱셈의 부호가

결정되는 원리를 잘 설명할 수 있다는 장점이 있다. 또한 이를 바탕으로 나눗셈은 곱셈의 역연산으로 설명한다면 수직선 모델에 비해 더 분명하게 곱셈과 나눗셈에 대해 설명할 수 있다.

[오답의 예] 수직선 모델의 약점은 나눗셈을 설명할 수 없다는 것이다. 1) 나눗셈에 대해 설명하기 어렵기는 하지만 설명할 수는 있다.

[분석] 1) 교과서 및 지도서에서 어떻게 적용되는지 명확하게 알고 있어야 이론에 대한 이해도를

높일 수 있고 이것이 서술에 그대로 드러난다. 2) 이론 자체를 명확하게 이해하는 것이 명확한 서술을 하는 데 큰 도움이 된다.

❍ 7~8월 수교론 문제풀이반 서술형 출제 방향 1) 이론+이론 유형과 하나의 이론에 관한 2가지 내용 서술을 골고루 출제할 것이다.



2) 이번 7~8월 수업은 개념을 명확하게 익히는 것이 목적이므로 임용시험 형식과 어느 정도 차이는 있을 수 있으나 개념을 명확하게 익힐 수 있는 측면에서 도움이 된다면 출제할 수 있다.

3. 2018학년도 기출문제 분석

❍ 예상되는 임용 시험 출제 난이도 분석 (2019학년도) 1) 수학교육론은 난이도가 유지되거나 상승할 가능성이 높다. ∙임용 시험에 점점 더 중·고등학교 수학과 관련이 높은 주제들이 출제되면서 중·고등학교

수학과 직접적인 관련이 적은 교과내용학보다는 수학교육론의 비중이 상대적으로 높아졌기 때문이다.

∙수학교육론은 범위의 확장 측면(교과서 및 교육과정, 고등학교 부분 출제 등)에서나 이론의 난이도 측면(구성주의에 대한 상반된 이론 비교, 딘즈의 생각 분석 등)에서 볼 때, 난이도가 조금 높아질 가능성이 높다.

2) 상대적으로 전공수학(교과내용학)은 난이도가 유지되거나 하락할 가능성이 높다. ∙전공수학 전체 컷트라인을 다시 낮추지는 않을 것으로 예상되기 때문에 전공수학에서 교

과내용학은 난이도가 높아지지 않을 가능성이 높다.

❍ 최근 5개년 기출에 대한 이해 (14~18학년도 기출) 1) 2014, 2015학년도 - 2014학년도는 논술형이 서론, 본론, 결론의 형태가 아닌 서술형을

모아놓은 형태였고 2015학년도는 논술형이 출제되지 않았다. 즉 2009 ~ 2013학년도의 객관식이 포함된 시험 출제와는 다른 형식으로 처음으로 출제된 시험이라 시험 출제 방식의 변화가 많았다.

2) 2016, 2017, 2018학년도 - 기입형 1문제, 서술형 3문제, 논술형 1문제(서론, 본론, 결론)의 고정된 형식으로 정착되었다. 시험 출제 형식으로 보면 2018학년도에도 동일하지만 2018학년도는 2016, 2017학년도와 비교했을 때, 시험 출제 방향에서 차이를 보인다.

❍ 2018학년도 임용 시험 출제 방향 1 (교과서 및 지도서, 교육과정의 비중이 상당히 커짐) 1) 전공A 기입형 1번 - 교육과정 내용 요소와 학습 요소 쓰기 (2009, 2015 개정 수학과 교

육과정 비교 및 이해) 2) 전공A 서술형 9번 - 다항식의 곱셈, 제곱 전개를 통해 세제곱 전개 지도 (2015 수학과 교육과정 고등학교 <수학> 교수·학습 방법 및 유의 사항 반영) ∙다항식의 곱셈과 인수분해는 중학교에서 학습한 내용을 토대로 고등학교에서 추가된 내

용을 이해하게 한다.



3) 전공A 서술형 10번 - 딘즈의 이론, 교구의 사용 (교과서에서 수열의 합에 대해 지도하는 방식 반영)

4) 전공B 서술형 1번 - 수와 연산 교수·학습 방법 및 유의 사항과 평가 방법 및 유의 사항 반영

5) 전공B 논술형 8번 - 교과서에서 원주각에 대해 지도하는 방식 반영, 교수·학습 방법 반영

∙단순히 교수·학습 방법을 적는 문제가 아니라 이러한 역량이 강조되는 이유를 서술하라고 출제된 것이 2016, 2017학년도 기출과의 차이점이다.

❍ 2018학년도 임용 시험 출제 방향 2 (신론과 교재연구 중심의 잘 알려진 형식의 이론 출제가 아닌 폭넓은 이해가 필요한 문제 출제)

1) 전공A 서술형 10번 - 딘즈의 개념 형성 이론의 관점에서, 수학 학습을 위해 고안된 교구 또는 구체물 속에 내포되어 있어야 하는 것이 무엇인지 쓰시오.

∙딘즈에 관한 문제라면 수학 개념의 학습 과정 6단계 또는 수학 학습 원리 4가지에 대해 출제되어야 전형적이지만 2018학년도에서는 이러한 방향과는 다르게 딘즈가 의도하는 바, 즉 딘즈의 핵심적인 생각에 대한 문제가 출제되었다.

2) 전공B 논술형 8번 - 사회적 구성주의와 급진적 구성주의의 차이점 ∙상반되는 두 가지 이론을 비교하는 문제가 출제되었다. 그러므로 각각의 이론들을 따로

따로 공부하는 것이 아니라 오스벨이 주장한 통합적 조정의 원리에 따라 유사성과 차이점을 분명하게 하여 여러 가지 이론들에 대한 폭넓은 이해를 추구해야 한다.

3) 전공B 논술형 8번 - 현실주의적 수학교육에서 수학화의 의미 ∙단순히 프로이덴탈 또는 트레퍼스의 수학화가 무엇인지 적는 것이 아니라 '수학화' 자체

에 대한 폭넓은 이해가 필요한 유형의 문제가 출제되었다.

❍ 수학교육론 난이도 상승의 주요 요인 및 대처 방법 (2019학년도 수교론 시험 대처) 1) 교과서 및 지도서, 교육과정에 대해 세부적으로 분명하게 파악해야 하는 문제 출제 ∙신론과 교재연구 중심의 기본 이론만 파악하는 것으로는 이러한 유형의 문제들에 대해

대처하기 어렵다. 2009, 2015 수학과 교육과정을 비교하면서 교수·학습 방법 및 유의 사항과 평가 방법 및 유의 사항이 왜 이와 같이 제시되었는지에 대해 이해를 하고 교과서 및 지도서를 분석하는 것이 필요하다.

2) 수학교육론 이론에 대해 폭넓은 이해가 필요한 문제 출제 ∙신론과 교재연구 중심의 기본 이론만 파악하는 것으로는 이러한 유형의 문제들에 대해

대처하기 어렵다. 여러 가지 이론들을 심화적으로 이해하며 각각의 이론들을 비교하면서 종합적으로 이해하는 것이 필요하다.



4. 관련 이론 정리 및 해설

① 수교론 문제풀이반 1강 1번 (기입형)

1. 모범 답안 (가) 집합의 포함관계에 대한 가법 군성체 (나) 비대칭적 추이관계의 가법 군성체

❍ 기수와 서수에 의한 자연수의 구성 1) 기수 (cardinal number) ∙일대일 대응이 가능한 두 집합을 대등(equipotent)하다고 정의한 후, ‘대등’이라는 동치

관계에 대한 동치류들로서 각각의 자연수를 정의하는 방식 ∙순서를 생각하지 않고 그 개수를 세는 것

※ 자연수를 정의하는 방법 1) 공집합의 기수는 이 도입되고, 어떤 집합 의 기수 에 대하여 에 속하지 않는 원

소 를 에 첨가한 집합 ∪ 의 기수로서 이 정의된다. ∙ ∅, ∪ , ∪ , ∪ , ⋯ 즉, 의 기수가 이면 ∪ 의 기수는 가 된다. ∙기수가 인 대등한 집합들을 포함시켜 늘려나감 ∙피아제에 따르면 집합의 포함관계에 대한 가법 군성체이다.

2) 서수 (ordinal number) ∙자연수가 ⋯이라는 수열을 형성한다는 사실을 자연수의 본질적인 구성 원리

로 파악하는 이 관점은, (최초의 자연수)과 후자(successor) 개념, 그리고 수학적 귀납법의 원리 등을 포함하는 ‘페아노(Peano) 공리계’로 자연수를 정의함

∙개별 자연수의 의미는 (비대칭적이고 추이적인) ‘순서 관계’ 속에서 찾아야 한다. ∙피아제에 따르면 비대칭적 추이관계의 가법 군성체이다.

※ 자연수를 정의하는 방법 (페아노 공리계) 다음을 만족하는 집합 이 존재한다. 이때 그 집합 의 원소를 자연수라고 한다. 1. 은 의 원소이다. 2. 의 모든 원소 에 대하여 의 후자라고 불리는 원소 가 에 유일하게 존재한다. 3. 은 의 어떠한 원소의 후자도 아니다. 4. 의 원소 에 대하여 이면 이다. 5. 을 포함하는 의 부분집합 에 속하는 모든 원소 의 후자 가 다시 에 속하면



❍ 자연수의 도입❏ 논리적 관점 1) 기수 개념으로 자연수를 정의하는 아이디어가 논리적으로 좀 더 기본적인 것으로 볼 수

있다. 2) 자연수 체계의 순서 구조는 일대일 대응의 개념을 함의하고 있는 반면에 일대일 관계는

순서 구조를 굳이 전제로 할 필요가 없기 때문이다. 3) 순서를 무시한다 하더라도 자연수 집합이 무너지는 것은 아니다. ∙

❏ 자연스러운 관점 1) 자연수를 처음 접할 때, 일대일 대응으로의 짝짓기를 시키는 것보다 하나, 둘, 셋, 세어보

게 하는 것이 더 자연스럽다. 2) 현재의 수학 교육과정에서는 자연수를 서수적인 개념으로 도입하는 경우가 많다.

❏ 피아제의 주장 1) 세는 활동을 중심으로 하여 집합의 결합과 분해, 순서짓기, 짝짓기 등의 활동에 의한 수

계열의 구성을 지향하는 방향으로 자연수 개념을 지도하는 것이 바람직하다. 2) 기수적 측면과 서수적 측면 모두를 포괄하고 종합하는 관점이 중요하다.

② 수교론 문제풀이반 1강 2번

2. 모범 답안 위의 수업과 관련해서 첫째, 논리적 엄밀성과 연역적 추론을 지나치게 강조하고 있는데 정수의 덧셈에 대해 교환법칙과 결합법칙 및 수의 정의를 엄밀하게 지도하는 것이 이에 해당한다. 둘째, 소수의 학생을 대상으로 수업을 진행하고 있는데, 수학에 대해 재능이 있는 소수의 학생들이 이해한 것을 토대로 계속 수업을 진행한 것이 이에 해당한다.

❍ 수학교육 현대화 운동에 대한 비판 1) 학생들이 정신적으로 충분히 발달하지 않았음에도 불구하고, 조급한 형식화와 추상화를

시도하고 있다. 2) 장래 수학자가 되기 위한 소수의 학생을 대상으로 하고 있다. 3) 논리적 엄밀성과 연역적 추론이 지나치게 강조되고 있다. 4) 다른 교과와의 관련성 무시하고 있다. 5) 현대화 운동은 과학기술 및 수학 발달에 따른 사회적･학문적 상황에 의해 요청된, 소위,

위에서부터의 운동이었다. 따라서 아래로부터의 자발적인 운동이 되기는 어려웠다.



6) 현대화 운동은 수학자가 전면에 나서고, 교육학자와 심리학자가 지원하는 형태였던 만큼 수학 교육적으로는 취약한 부분이 많았다.

7) 현대화에 최종적으로 책임이 있는 사람은 교사이지만, 교사를 위한 적절한 교육이 필요함에도 불구하고, 충분한 지원이 없었다.

8) 현대화 교재와 전통적 교재와의 조화를 도모하는 연구가 충분하지 않았다.

수학교육 현대화 운동에 의해 학교수학에 새로 도입된 수학적 개념들에 대한 학생들의 이해가 저조하고 기본적인 계산 능력마저 떨어지게 되자 ‘기본으로 돌아가기(The Back-to-Basics Movement)’ 운동이 활발하게 일어나게 되었다. 이는 우리나라에서도 영향을 주어 제4차 수학과 교육과정에 반영하게 된다.

❍ 기본으로 돌아가기 운동 1) 기본 기능(basic skills)을 찾아 교재로 재구성 함 ∙행동적 목표와 지필 계산을 강조함 ∙소비자 수학을 중요시하였으며 진급을 위한 최소 학력 기준을 설정함 2) 기본으로 돌아가기 운동의 한계 ∙우수한 학생들의 학력이 저하되고 응용력과 문제해결 능력이 감소되는 결과를 초래함

③ 수교론 문제풀이반 1강 3~4번

3. 모범 답안 라카토스는 수학적 지식의 성장 과정을 네 단계로 설명하였다. 그 중 첫째는 수학적 추측을

제기하는 단계로 학생 A가 은 유한소수로 나타낼 수 없는 분수라고 추측을 제기한 것이

이에 해당한다. 둘째는 추측을 부분추측으로 분해하는 단계로 학생 A가 두 부분으로 나누어 설명한 부분이 이에 해당한다. 셋째는 반례가 등장하고 추측과 증명을 반박하는 단계로 학생 B와 학생 C가 반박한 부분이 이에 해당한다.

4. 모범 답안 ㉠과 같이 대응하려고 하는 반례 대응 방법은 보조정리합체법이다. 이 방법은 반례가 출현하게 된 원인이 되는 부분 추측을 찾아 그것을 원래 추측에 합체시키고 증명을 고치는 방법이

다. 이 대응 방법에 따라 ㉡에 들어갈 개선될 수 있는 추측은 ‘은 기약분수로 나타내었을

때, 분모의 소인수가 나 뿐이므로 유한소수로 나타낼 수 있는 분수다.’이다.

④ 수교론 문제풀이반 1강 5번



5. 모범 답안 경험론은 수 개념은 사물 자체가 가지고 있는 본질적인 특성이므로 인간의 의식이 그것을 포착하기만 하면 추상화될 수 있다고 생각하는 것이고 관념론은 구체적인 사물에 대한 경험과는 무관하게 선천적으로 타고나는 것이기 때문에 이를 출발점으로 하는 추상적인 추론 과정만 있으면 수 개념을 형성할 수 있다고 생각하는 것이다. 사물에 의한 방법에서의 문제점으로는 학습자의 사고 활동이 사물이나 그림에 고착될 위험이 있고 기호에 의한 방법에서의 문제점으로는 수 개념이 현실과는 유리된 공허한 기호로만 학습될 가능성이 있다.

❍ 추상 개념에 대한 이해 1) 그 자체로는 구체적인 상태로 존재하지 않으며 구체적인 대상에서 다른 부분을 제외하고

특정한 부분을 추출함으로써 얻어지는 것 ∙‘희다’라는 추상 개념의 형성은 ‘흰 우유’와 같은 구체적인 대상에서 다른 부분을 제외하

고 ‘희다’라는 특정한 부분을 추출함으로써 얻어지는 것이다. 2) 수 개념은 과연 ‘어디에서’ 추상되는 것인가? ∙사물 자체인가? 아니면 구체적인 사물에 대한 경험과는 무관한가?

[예] O O O O O O (수 또는 ) OO OO OO (수 또는 )

❍ 수 개념 지도 방법

경험론사물에 의한 방법 (사물 자체 중시)

관념론기호에 의한 방법 (인간의 정신 중시)

추상화관점

∙수 개념은 사물 자체가 가지고 있는 본질적인 특성이므로 인간의 의식이 그것을 포착하기만 하면 추상화될 수 있다.

∙구체적인 사물에 대한 경험과는 무관하게 선천적으로 타고나는 것이기 때문에 이를 출발점으로 하는 추상적인 추론 과정만 있으면 수 개념을 형성할 수 있다.

지도방법

∙다양한 구체적인 대상들을 통해 수 개념을 지도할 것

∙기호를 다루는 규칙을 학습하는 것을 통해 수 개념을 지도할 것

문제점

∙구체물에 대한 아동의 경험이 수동적인 관찰 정도에 그칠 수 있음

∙주체적 학습 활동이 의미를 갖지 못하고 수동적으로 받아들이는 감각에 인간의 사고가 종속될 위험이 있음

∙구체물에 대한 충분한 경험이 부족하기 때문에 학습된 수를 맹목적이고 기계적으로만 다룰 수 있음

∙현실과는 동떨어진 공허한 기호로만 학습될 수 있다.



❍ 수 개념 지도의 통합적 방법 1) 수 개념은 구체적인 사물이 전혀 없는 상태에서는 생겨날 수 없는 것이지만, 그렇다고

수 개념을 사물 자체가 갖는 고유한 속성으로 이해할 수도 없다. 2) 듀이(Dewey)와 피아제(Piaget)는 수 개념이 추상화되는 원천을 ‘사물에 대한 인간의 활

동’으로 보았다. (사물에 의한 방법과 기호에 의한 방법을 균형적으로 수용함)

❏ 듀이와 피아제의 수 개념에 대한 주장

듀이(Dewey) 피아제(Piaget)∙수 개념 형성은 인간 외적인 사물 또는 상

황과 인간 내적인 정신 활동이 각각 한 축씩 담당함으로써 형성되는 것

∙수 개념은 사물 안에 주입된 것으로 사물 ‘없이’ 가르치려는 시도와 사물에 ‘의해서만’ 가르치려는 시도는 둘 다 부적절하다.

∙사물의 속성을 추상함으로써 얻어지는 것이 아니라 사물에 대한 인간의 행동을 추상함으로써 형성되는 것

∙경험적 추상화와 반영적 추상화 과정이 전부 이루어지면서 수 개념이 형성됨

⑤ 수교론 문제풀이반 1강 6번

6. 모범 답안 첫 번째 단계는 그 양이 명확하게 규정되지 않은 상태의 대상이라고 할 수 있는 ‘모호한 전체’를 경험하는 단계로 교사가 몇 개를 가져간 것인지 명확하지 않은 정육면체 블록의 개수를 경험하게 하는 것이 이에 해당한다. 두 번째 단계는 측정을 위한 단위를 파악하는 단계로 세는 단위를 1개로 고정하지 않고 단위를 4개, 12개로 다양하게 표현하도록 지도한 것이 이에 해당한다. 세 번째 단계는 모호한 전체를 단위의 반복을 통하여 표현함으로써 명확한 전체로 나타내는 단계로 4개씩 9묶음, 12개씩 3묶음으로 세어서 36개를 나타내도록 지도한 것이 이에 해당한다.

❍ 측정 활동 1) ‘측정 활동’에 의해 수 개념이 생겨나며, 그 측정 활동은 한계 상황의 인식에서 비롯된다.

[예] 막대기를 가지고 놀다가 화살을 만들겠다는 목적이 생기는 경우 ∙한계 상황(문제인식): 현재 상태에서는 막대기가 화살의 역할을 할 수 없다. ∙측정 활동: 막대기의 크기, 강도 등을 살펴보면서 측정 활동을 해 나감으로 수 개념이 생

기게 된다.



2) ‘모호한 전체(vague whole)’를 ‘명확한 전체(definite whole)‘로 만드는 과정이 측정 활동이다.

∙변별(분석)과 관계짓기(종합)의 두 하위 조직을 포함한다.

❏ 변별과 관계짓기

변별(분석) 관계짓기(종합)개념 ∙세 개의 사물로부터 ‘’이라는 개념을 가지게 되는 과정

인식∙세 개의 사물들을 각각 독립적인 개

별자(unit)로 인식하는 것∙세 개의 사물을 서로 관련된 통합체,

단일체(unity)로 인식하는 것

문제

∙세 사물의 질적으로 너무 유사하여 변별이 일어나지 않는 경우 이라는 관념은 가질 수 없다.

(모호하게 전체를 개로 인식하게 된다.)

∙세 사물의 질적인 차이가 너무 강하여 그것들을 하나의 전체로 동일시할 수 없는 경우에도 이라는 관념은 가질 수 없다.

(개, 개, 개라고 인식하게 된다.)

예

∙빨간 사과가 개 있는 경우, 질적으로 너무 유사하여 개씩 분별해 낼 수 없는 경우 ‘사과 개’로 인식하게 된다.

∙사과, 바나나, 배가 개씩 총 개 있는 경우, 질적인 차이가 너무 강하여 종합해 낼 수 없는 경우 ‘개, 개, 개’라고 인식하게 된다.

3) 성인들에게는 너무나 자연스러운 직관이지만 어린 아동에게는 처음부터 갖추어져 있는 직관이 아닐 수 있다.

∙변별과 관계짓기 활동이 충분히 수행될 수 있도록 도와주어야 한다.

❍ 산술 지도 방법 (듀이) - 구성적 활동의 방법 1) 1단계: 모호한 전체 (명확히 규정될 필요가 있는 한정된 크기나 양) ∙그 양이 명확하게 규정되지 않은 상태의 (말하자면 측정되기 전의) 대상이라고 할 수 있

는 ‘모호한 전체’를 경험하는 단계 ∙생활 중에 인간의 활동이 어떤 저항을 겪게 될 때 이로부터 의식하게 되는 한계 상황에

해당하는 것

[예] 막대기를 가지고 놀다가 화살을 만들겠다는 목적이 생겼지만 아직은 정확한 화살의 측정 활동이 이루어지지 않아 모호한 상태

2) 2단계: 전체를 (명확하게) 구성하는 데 도움이 되는 부분 (단위) ∙측정을 위한 단위를 파악하는 단계



∙단위: 더 큰 전체를 구성하거나 측정하기 위한 수단으로 사용되는 단일체 ∙단위는 측정하는 주체로서의 인간이 ‘주목하는 행동’에 의해 결정되는 것

[예] 막대기를 화살로 만들기 위해 막대기를 측정하는 과정에서 단위를 결정함 (여러 단위 설정: 한 뼘, 한 마디, 한 개의 돌의 높이 등)[예] 여섯 개의 돌멩이를 세는 상황’에서 돌멩이 개를 단위로 선택하느냐, 개를 단위로 선택

하느냐의 문제는 전적으로 능동적인 관점과 활동에 달려 있다.

3) 3단계 : 명확한 전체를 구성하는 측정의 과정 (수 값의 결정) ∙모호한 전체를 단위의 반복을 통하여 표현함으로써 명확한 전체로 나타내는 단계 ∙이렇게 도입된 ‘수’는 ‘추상적인 상태’로 도입되는 것이 아니라 ‘측정 활동’을 통해 도입

되는 것이다.

[예] 화살의 길이를 설정한 단위의 반복으로 명확한 전체로써 표현함[예] 단위를 번 반복해서 전체량을 얻었다면 그것을 로 나타낸다.

❏ 듀이의 비판 (고정 단위 방법) 1) 고정 단위 방법: 개개의 사물이 질적으로 구별된다는 것을 전제로 하여 개별 사물을 단

위로 고정하는 것 2) 단위를 전체량과의 관련 없이 (즉, 측정이라는 활동과 무관하게) 사물 자체에 내재한 성

질로서 규정하는 관점에 근거한다고 말할 수 있으며, 여기에서 출발한다면 측정활동의 토대를 이루는 변별(분석)과 관계짓기(종합)라는 활동이 제대로 이루어질 수 없게 된다.

3) 측정하여야 할 전체량이 아닌 분리된 단위에서 출발하기 때문에 엄밀하게 말하면 전체를 부분으로 변별하는 분석 과정이 생략된 것이며, 동시에 출발부터 절대적으로 분리된 존재임을 가정했기 때문에 그들을 서로 연결시키는 종합의 과정도 어려워지는 것이다.

4) 듀이는 단위를 능동적으로 설정하는 것이 아니라 수동적으로 고정시켜 가르치는 것(고정 단위 방법)이 잘못된 수 개념 지도 방법이라고 강하게 비판한다.

[예] 펜의 길이를 재는 것 1) 라는 단위를 고정하는 것은 전체를 부분으로 변별하는 분석 과정이 없는 것이며 전

체량과는 처음부터 분리해서(관계없이) 생각한 것이기 때문에 전체량과 연결시키는 종합의 과정도 큰 의미가 없게 된다.

2) 펜의 길이를 손가락 마디로 측정해 보거나 손가락 가로의 길이로 측정해 보는 것을 통해 전체를 부분으로 변별하는 분석 과정을 진행할 수 있다. 그리고 마디나 가로의 길이의 반복 횟수로 전체를 측정한다면 측정 활동으로서도 의미가 있는 것이다.



⑥ 수교론 문제풀이반 1강 7번

7. 모범 답안 위의 내용은 제3차 교육과정이고 수학교육 현대화 운동의 영향을 받았다. 수학교육 현대화 운동의 요인으로는 첫째, 제2차 세계대전 이후 급격한 성장을 이룬 수학 자체의 발달이 이루어진 것과 둘째, 기존의 수학교육에 대한 반성으로 중등학교에서 지도되는 종래의 학교수학의 내용이 시대에 뒤떨어져 있었다는 것과 셋째, 수학의 응용 범위가 확대됨에 따라 현대수학의 강력한 응용성에 대처할 필요성이 대두되었다는 것을 들 수 있다.

추가: 넷째, 과학기술의 발달에 따라 사회적 구조가 변함으로써 전문 기술 인력이 절대적으로 필요하게 된 것을 들 수 있다.

❍ 수학교육 현대화 운동의 요인 1) 제2차 세계대전 이후 급격한 성장을 이룬 수학 자체의 발달 ∙양적: 20세기의 발전된 수학은 19세기까지 발전된 수학의 양을 능가함 ∙질적: 고도의 추상화, 집합론의 도입, 대수적 구조의 강조 → 현대수학으로 발전 ∙양적, 질적으로 풍부해진 현대수학의 내용을 학교수학에서 다루기에 가치 있는 것으로

정선해야 했기 때문에 수학교육에 있어서도 현대화의 방향을 모색해야 할 필요가 있었음 2) 기존의 중등학교에서 지도되는 학교수학 내용이 시대에 뒤떨어짐 ∙대학에서 연구되는 전문 수학은 현대수학을 중심으로 발전되었지만 학교에서는 여전히

고전수학 내용을 중심으로 지도하는 것에 대한 문제점을 인식함 3) 현대수학의 강력한 응용성에 대처할 필요 ∙과학기술의 발전이 경제와 산업의 발전을 가져왔는데, 과학기술의 발전을 위해서 현대수

학을 배워 나가야함 4) 전문 기술 인력의 필요성 ∙수학교육이 전문 기술 인력 양성에 상당한 기여를 한다는 사회적 요구

❍ 수학교육 현대화 운동의 방향❏ 수학교육 내용의 현대화(듀돈네) 1) 현대수학의 내용과 방법을 조기에 과감히 도입할 것 ∙집합, 함수, 확률, 대수적 개념 등과 이와 관련된 용어 및 기호 2) 대수적 구조를 강조할 것 ∙군, 환, 체 등이 현대수학의 개념을 활용하여 수학적 개념을 추상적이고 통합적으로 다룰

것 3) 논리적 엄밀성을 강조할 것 ∙학생들의 발달 단계에 적절한 수준에서 가능한 논리적 엄밀성 확보



∙개념을 엄밀하게 규정할 것 4) 현대수학에의 접근을 위하여 전통적인 교재를 정비할 것 ∙새로 도입되는 내용이 많음에 따라 불필요한 내용이 과감히 삭제될 것

❏ 수학교육 방법의 현대화 1) 수학교육, 교육학, 심리학 연구 성과를 토대로 새로운 지도법을 도입할 것 ∙피아제의 조작적 심리학: 수학의 여러 개념과 관련된 아동의 발달 단계의 규명에 크게

기여함 ∙브루너의 대담한 가설: 현대화 운동이 세계적으로 파급되는 데 결정적인 역할을 함

⑦ 수교론 문제풀이반 1강 8번

8. 모범 답안 우체부 모델로 × 은 원의 고지서를 장 가져가면 원의 소득이 생긴 것으로 설명할 수 있고 이를 수직선 그림으로 나타내면 다음과 같다.

또한 수직선 모델로 나눗셈은 반복되는 뺄셈을 통하여 피제수를 나타내는 화살표를 원점으로 줄이는 과정으로 설명된다. 이때 줄이는 방향이 제수의 반대 방향일 때 그 결과를 양으로 간주한다.

❍ 우체부 모델 1) 어음(받는 사람에게 소득)과 고지서(받는 사람에게 부채)를 배달하는 우체부를 등장시켜

서 음수의 연산에 대한 실용적인 맥락을 학생들에게 제공하고자 하는 모델 2) 우체부는 어음과 고지서를 도로 가져가기도 한다.

❏ 덧셈과 뺄셈 1) 어음은 양수, 고지서는 음수를 나타내며, ‘가져오는 것’은 덧셈, ‘가져가는 것’은 뺄셈을

나타낸다.

우체부가 철수에게 원짜리 고지서와 원짜리 고지서를 가져왔다. 철수에게는 원의 부채가 생겼다.

우체부가 철수에게 원짜리 고지서와 원짜리 어음을 가져왔다. 철수에게는 원의 소득이 생겼다.



우체부가 철수에게 원짜리 고지서를 가져오고, 원짜리 고지서를 가져갔다. 철수에게는 원의 부채가 남았다.

우체부가 철수에게 원짜리 어음을 가져오고, 원짜리 고지서를 가져갔다. 철수에게는 원의 소득이 생겼다.

우체부가 철수에게 원짜리 고지서를 가져오고, 원짜리 어음을 가져갔다. 철수의 부채 및 손실은 원이 되었다.

우체부가 철수에게 원짜리 어음을 가져오고, 원짜리 어음을 가져갔다. 철수의 손실은 원이 되었다.

❏ 곱셈 1) 피승수를 고지서와 어음으로 해석하고 승수는 우체부가 가져온 것의 개수(양수인 경우)나

가져간 것의 개수(음수인 경우)로 해석한다.

× 우체부가 철수에게 원짜리 어음을 장 가져왔다.철수에게는 원의 소득이 생겼다.

× 우체부가 철수에게 원짜리 어음을 장 가져갔다.철수에게는 원의 손실이 생겼다.

× 우체부가 철수에게 원짜리 고지서를 장 가져왔다.철수에게는 원의 부채가 생겼다.

× 우체부가 철수에게 원짜리 고지서를 장 가져갔다.철수에게는 원의 소득이 생겼다.

❏ 장단점 1) 실생활과 관련성 높은 모델을 제시함으로 학생들의 흥미를 유발시키고 학습 참여도롤 높

인다. 2) 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서 어느 정도 만족할만한 설명이 가능하지만 나눗셈에 대해서는

자연스러운 설명이 어렵다.

❍ 수직선 모델 1) 기준점을 을 임의로 잡고 한쪽 방향(보통 오른쪽)에 일정한 간격으로 양수를 배열하며

반대쪽 방향으로 음수를 같은 간격으로 배열한다. 2) 도로상의 한 지점에서 양쪽 방향의 거리를 각기 표현하는 이정표를 생각하면 실생활의

맥락에서도 어느 정도 구체화할 수 있다. 3) 예를 들어, 은 오른쪽을 향하는 길이 의 화살표이고, 은 왼쪽을 향하는 길이 의

화살표로 나타내면 된다.



❏ 장점 1) 음수 개념에 ‘크기’ 뿐만 아니라 ‘방향’이라는 요소를 포함시킨 것을 잘 보여줌 2) 수직선에 정수가 배열되는 방식은 ‘순서 구조’를 그대로 유지한다는 것 ∙대소 관계를 가장 분명하게 드러내어 주는 모델

❏ 덧셈과 뺄셈 1) 화살표의 머리에 더하거나 뺄 수를 나타내는 화살표의 꼬리를 두되, 뺄셈의 경우에는 화

살표를 반대 방향으로 놓는 것으로 설명할 것

의 역

의 역

❏ 곱셈 1) 여러 가지 설명 중에 반복되는 덧셈으로 곱셈에 대해 설명한다. 2) 음수를 곱할 때에는 음의 부호를 ‘방향을 바꾸는 것’으로 이해한다.

×

같은 방향으로 세 번

×

반대 방향으로 세 번

❏ 나눗셈 1) 반복되는 뺄셈을 통하여 피제수를 나타내는 화살표를 원점으로 줄이는 과정으로 설명된

다. 2) 줄이는 방향이 제수의 반대 방향일 때 그 결과를 양으로 간주한다.



÷ 과 같은 방향(음의 방향)으로 두 번

÷ 의 반대 방향(양의 방향)으로 두 번

❏ 수직선 모델의 약점 1) 음의 부호가 갖는 다중적인 의미가 수직선 모델을 통해 드러나므로 지도하기가 어려움 ∙음수를 표현하기 위한 음의 부호는 ‘왼쪽을 향한다.’의 의미 ∙곱셈이나 나눗셈을 할 때의 음의 부호는 ‘반대 방향’의 의미 ∙음의 부호는 ‘뺄셈’의 의미까지도 포함함 2) 하나의 기호에 다중적인 의미를 내포함으로 학습에 혼란과 어려움을 겪을 수 있음 ∙교사는 이에 대해 충분히 이해하고 지도할 것

※ 참고 1) 특별히 수직선 모델에서 곱셈이나 나눗셈을 할 때의 음의 부호는 ‘반대 방향’이라는 의미

가 드러나게 되는데, 수직선 모델로 덧셈과 뺄셈을 설명할 때는 그렇지 않습니다. 수직선 모델로 덧셈을 설명할 때는 왼쪽(음수)과 오른쪽(양수)을 분명하게 구분지어 설명하며, 뺄셈은 덧셈의 역연산으로 설명하기 때문입니다.

⑧ 수교론 문제풀이반 1강 9번

9. 모범 답안 ‘정수의 사칙계산의 원리는 여러 가지 모델을 이용하여 직관적으로 이해하게 할 수 있다.’는 유의 사항에 따라 부호가 다른 두 정수의 덧셈에 대해 셈돌 모델을 이용하여 직관적으로 이해하도록 지도하였으므로 효과적인 지도 방법이라고 평가할 수 있다. 그리고 위의 수학 수업은 브루너의 EIS 이론에 따라 진행하였는데, 먼저 자유롭게 검은 돌과 흰 돌을 가지고 더해보도록 지도하였으므로 활동적 표현을 반영하였고 각 모둠이 덧셈한 것들 중에서 몇 가지를 칠판에 그려서 나타냈으므로 영상적 표현을 반영하였으며 부호가 다른 두 정수의 합에 대해 형식적으로 설명하였으므로 상징적 표현을 반영하였다.

❍ 셈돌 모델 1) 검은 돌은 양수, 흰 돌은 음수를 나타낸다.



2) 소멸법칙을 이해하고 받아들여야 한다. 소멸법칙은 직관적으로 이해 가능한 개념이므로 학생들이 받아들이기에 큰 무리는 없을 것이다.

∙검은 돌 하나에 흰 돌 하나를 더하면 없어진다.

❏ 장단점 1) 덧셈과 뺄셈이 비교적 자연스럽게 설명되는 반면, 곱셈과 나눗셈을 설명하는 데에는 한

계를 갖는다. 2) 곱셈과 나눗셈을 설명하기 위해서는 다음과 같은 연산 규칙을 특별한 이유 없이 받아들

여야 한다. (검은 돌) × (검은 돌) (검은 돌) (검은 돌) × (흰 돌) (흰 돌) (흰 돌) × (흰 돌) (검은 돌) ∙특히 음수 곱하기 음수는 양수가 된다는 것에 대한 설명으로는 충분하지 못하다. ∙이러한 규칙을 그냥 외우는 것과 크게 다를 바 없다.

○○ ○○○ → ○○○○○

○○ ●●● → ●

○○○○ ○○ → ○○

●●●● ○○ → ●●●●●●●●○○

○○○○ ●● → ○○○○○○●●○○

●● ●●●● → ○○●●○○

⑨ 수교론 문제풀이반 1강 10번

10. 모범 답안 × 는 초속 로 동쪽으로 달릴 때, 초 전의 위치는 이라고 설명할 수 있다. × 는 초속 로 서쪽으로 달릴 때, 초 후의 위치는 이라고 설명할 수 있다.



○ 정수의 곱셈 지도 (2015 개정)

[그림] <중학교 수학 1> 레일 바이크 모델 (동아출판, 박교식 외)

위의 [탐구해 봅시다]에서 현재보다 초 전을 로 나타내면, 초 후를 로 나타낼 수 있다. 또, 레일 바이크가 동쪽으로 달리는 것을 양의 부호, 서쪽으로 달리는 것을 음의 부호로 나타내면 초속 로 동쪽으로 초 동안 달린 후의 위치는 , 서쪽으로 초 동안 달린 후의 위치는 으로 나타낼 수 있다.

[그림] <중학교 수학 1> 레일 바이크 모델을 통한 정수의 곱셈 (동아출판, 박교식 외)



○ 정수의 곱셈과 나눗셈의 지도 (2015 개정) 1) 레일 바이크 모델을 통해 정수의 곱셈을 지도한다. 2) 정수의 곱셈에 대해 귀납적 외삽법으로 한 번 더 설명하고 나눗셈은 곱셈의 역연산

으로 설명한다. (2009 개정과 동일)

⑩ 수교론 문제풀이반 1강 11번

11. 모범 답안 <증명 1>은 대우를 이용한 증명법, <증명 2>는 귀류법을 이용하여 증명하였다. 이 두 가지 증명 방법은 모두 결론을 부정한다는 점에서 유사하지만 대우를 이용한 증명법은 결론을 부정하면 가정을 부정한 것이 성립한다는 것을 보이는 반면 귀류법은 결론을 부정하면 이미 참이라고 알고 있는 사실에 모순되거나 가정에 모순됨을 보이는 것이다.

❍ 직접증명법 1) 어떤 명제가 참임을 증명하고자 할 때에 추론의 규칙을 사용하여 그 명제의 가정으로부

터 결론을 이끌어내는 방법 ∙중등학교 수학에서는 이 방법을 많이 사용한다.

❍ 간접증명법 1) 증명하고자 하는 명제를 부정함으로써 모순을 도출하여 그 명제를 부정할 수 없음을, 즉

그 명제가 참이라고 규정하는 증명법 ∙경우에 따라서는 직접증명법으로는 증명의 과정이 매우 복잡하거나 어려운 경우가 있기

때문에 간접증명법을 사용하기도 한다. 2) 명제를 부정하는 방법으로는 그 명제의 가정을 부정하거나 결론을 부정하거나 가정과 결

론을 모두 부정할 수 있다. 3) 그런데 어떤 명제의 가정을 부정하면, 즉 그 명제의 가정이 거짓이면 그 명제는 결론의

참, 거짓에 관계없이 항상 참이므로 가정이 거짓인 명제는 증명의 대상이 될 필요가 없다.

4) 따라서 간접증명을 위해 명제를 부정할 때는 그 명제의 결론을 부정한다.

❏ 간접증명법의 종류 1) 대우를 이용한 증명법: 명제의 결론을 부정하고 증명의 과정을 거친 결과 가정을 부정한

것이 성립함을 보이는 증명법 2) 귀류법: 명제의 결론을 부정하고 증명의 과정을 거친 결과 이미 참이라고 알고 있는 사

실에 모순되거나 가정에 모순됨을 보이는 증명법



⑪ 수교론 문제풀이반 1강 12번 (논술형)

12. 모범 답안

‘는 유리수가 아니다.’를 증명할 때 귀류법을 사용할 수 있다. 귀류법은 결론을 부정하였을 때 부정된 결론으로부터 가정과 모순되는 사실을 유도함으로써 결론이 참이어야 함을 보이는 방법으로 중학교에서는 귀류법을 사용하여 증명 지도를 할 경우 학생들이 어려움을 느낄 수 있다. 그러므로 중학교 과정에서 무리수에 대해 지도할 때에는 직관적으로 무리수의 존재를 이해할 수 있도록 지도하는 것이 필요하다. 이에 대한 구체적인 지도 방법에 대해 알아보자. 2015 개정 수학과 교육과정에서는 한 변의 길이가 인 정사각형의 대각선의 길이를 이용하여 직관적으로 무리수의 존재를 이해하게 할 수 있다. 이 대각선의 길이는 피타고라스 정리에

의하면 를 만족한다. 이 수를 라고 표현할 수 있는데, 이고 이므로

는 과 사이의 수이며 정수가 될 수 없다. 그리고 모든 정수가 아닌 유리수는 제곱해서

자연수가 될 수 없는데, 는 제곱하면 자연수가 되므로 정수가 아닌 유리수도 아니다. 그러

므로 는 유리수가 아니며 이러한 수를 무리수라고 지도할 수 있다.

또한 가 순환하지 않은 무한소수라는 것을 지도할 때에는 계산 능력 배양을 목표로 하지 않는 교수･학습 상황이므로 무리수라는 수학의 개념의 이해를 위해 계산기나 컴퓨터 등의 공학적 도구를 이용하면 직관적으로 이해할 수 있도록 설명할 수 있다. 위에서와 같은 방법들을 통해 무리수의 존재에 대해 직관적으로 이해할 수 있도록 지도했다면 그 후에는 ‘실생활에서 사용되는 무리수의 예를 찾아보는 활동을 통해 무리수의 필요성과 유용성을 인식하게 한다.’는 <교수･학습 방법 및 유의 사항>에 따라 A4 용지의 가로와 세로의 비율에 대해 지도할 수 있다. 이제 결론을 내려보도록 하자. 역사 발생적 원리란 여러 가지 내용 사이의 지도 순서를 인류에 의해 처음 발견되었던 순서대로 정해야 한다는 것을 의미하는데, 이에 따라 본론에서와 같이 피타고라스 정리를 배운 후에 무리수를 도입하는 것이 효과적이다.

※ 유리수와 순환소수 지도 목표 (중학교 2학년) ① 유리수를 소수로 나타낼 수 있게 한다. ② 유한소수와 무한소수의 의미를 이해하게 한다. ③ 주어진 분수를 유한소수로 나타낼 수 있는지 판별하게 한다. ④ 순환소수의 의미를 이해하게 하고, 순환소수를 분수로 나타낼 수 있게 한다. ⑤ 유리수와 순환소수 사이의 관계를 이해하게 한다.

❍ 무한소수의 도입 1) 중학교 과정에서 무리수의 정의를 ‘분수로 나타낼 수 없는 수’라고 하더라도 실제로 존재

하는지 곧바로 학생들에게 보여주기는 어렵다.



∙를 분수로 나타낼 수 없다는 것을 설명하기가 어렵다. ∙귀류법으로 증명할 수는 있지만 이는 고등학교 과정에 속하는 것이다. 2) 무리수의 개념을 그 존재성과 함께 학생들에게 도입하기 위한 수단으로 유리수와 무리수

의 사이에 도입하게 되는 것이 무한소수 개념이다.

❍ 유리수와 유한소수 및 순환소수와의 관계 (중학교 2학년) 1) 중학교 2학년에서는 모든 유리수를 유한소수 및 순환소수로 나타낼 수 있음을 설명한다.

∙ ÷ ⋯임은 매우 자연스럽기 때문에 무한소수의 형태가 되는 유리수가 존재

한다는 것을 어렵지 않게 받아들일 수 있다. 2) 유한소수 및 순환소수로 나타낼 수 있는 수는 유리수라는 것을 설명한다. ∙엄밀하고 명확한 방법은 극한 개념을 이용하여 등비급수의 개념으로 설명하는 것이지만

이는 고등학교 과정에서나 가능하므로 중학교 2학년 과정에서는 비교적 직관적인 방법으로 설명한다.

❏ 유리수와 순환소수 ① 유한소수와 순환소수는 유리수이다. ② 정수가 아닌 유리수는 유한소수나 순환소수로 나타낼 수 있다.

❍ 무리수의 도입※ 제곱근과 실수 지도 목표 (중학교 3학년) ① 제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이해하게 한다. ② 제곱근의 대소 관계를 이해하게 한다. ③ 무리수의 뜻을 알고, 유리수와 구분할 수 있게 한다. ④ 실수의 뜻을 알고, 실수를 분류할 수 있게 한다. ⑤ 무리수를 수직선 위에 나타낼 수 있게 한다. ⑥ 실수의 대소 관계를 이해하게 한다.

❏ 무리수에 대한 직관적 도입 1) 유한소수와 순환소수는 유리수이고, 정수가 아닌 유리수는 유한소

수나 순환소수로 나타낼 수 있다. (중학교 2학년) 2) 오른쪽 그림에서 정사각형의 넓이를 비교하면 이므로

, 이다. 따라서 는 정수가 아니다. 3) 정수가 아닌 유리수는 모두 기약분수로 나타낼 수 있고, 이 기약분수를 제곱하면 그 결

과는 정수가 될 수 없다.

∙를 기약분수로 나타낼 수 있다면 은 정수가 될 수 없다. 그러나 이



므로 정수가 된다. 즉, 는 기약분수로 나타낼 수 없다.

4) 는 정수도 아니고 기약분수로 나타낼 수도 없으므로 유리수가 아니다. 이와 같이 유리수가 아닌 수를 무리수라고 한다.

❏ 관찰을 통한 이해

[그림] <중학교 수학 3> 관찰을 통한 무리수 개념의 이해 (지학사, 신항균 저)

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