CAPITULO 12 - Numeros Reales

8/20/2019 CAPITULO 12 - Numeros Reales

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_ _ __ _ __ _ , __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ __ _ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ ,_ __ _ _ _ _ __ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ , _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _

8 1 1 - 1 832)

msprecoz. fuegreto ala0 , y expuIsado de1 porluchalibrada por losquia. Muriduelosinr asuChevalier quecientí_co,sideassobre1araicas, i deas

ebra__,__ni,gni f_cat ivo al _,__ _ _,'?_?' ', __x_ n _ , _;_,degrupos. ,: _._____._,_____,_ _ ___ ' _?_ _, __?_ ' _, ____ ' _c,

brelaresolucin _̂ _,; __ , __ _'_ ̂__', _, _

emticasm sì _ ' '_, t "_q ___Desgraciadament e, "._ _,_ _,., _ _ _,

y, el principal _,, _,,__'_ c _ __ ,_ _ _ _,_ahaya_'_' x0 _ _v__ _'_ ' ,__ _____,_: ;', _?,,JOa 1aACademla _ _._'j____;x_.___ _\̂ 'J- _n,_/__'_,a_?? __

maxemtico de, '' '- _'__s_ , ,_ ' _- _?_ ; _; ;_ _n_", _,,. _-e1 trabajo ' _'_ __n _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _

J_Jr_riz'o _n1__ de._jJ7ji' eI J7aíJJ7eJ-o J__nl n pnJtiI' de_U__J,__JJ.

IdlIJ_rl e1l _ si_?' sóIo ._-i sez'eJ_i_ic'n.+ t

C'oJfnd7IJ-n cJJ_ esJl Jln _nJ1,7pJ_opio .?' JJoz_nc'ín dc_nJ_cc'e de1Jl,_niJJJo.

c-n/-n_'rcJ-j.__n JiJInpn71icióJ7 e7JJ_ _l_edeJJorn1JJos_o/'

__- C,

__sll 1I CoJ1nrlor.- _ = ( x' __ _/ vin < J/J)

,sd,c,_,_ ,,I J.1_,JJ,J_ ,/çJJ,,,J,fo d_J,.oJ7 _,

Jrc-_7sro_o cJe JJJe97ro de_l es1JIcJJoJ' _lIetorIo cIeJJleJ1Jro

_' F_,_, eJIroJ7c'espoJ- ln c_o1Idic-ióJJ(IJJ dc/n rIeJi,Jic'ió_Jio nIn /J7pótr7sis.

_J7 i97n Il JIn _;o/1nrIJIJ-n eJF _ _c/ïJJidn poJ'

/-n J-nc_ioJJr_/ de Ir_ _;o1_ndJ_1_n .?' ._eirIcJJ(!_Jic'n _-o/I eI JJJí'1JiJJJo

I l i_lt__JI(rJr/i12



_____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________ __ ____________________ ___ __________________________________________________________________________ _______________ ___ ________ __________ ______________________________________________________________________________ _________________ ____________ _________________________________ ________ ___ ___________________ ___ _______________________________________________________________________

__''''''_''x'n_',','__, '_''' '''''

..':.';';'m"'' '''..__' ,,,_':' ' '' _

c_asesden_mero5-, ̂ ^' '' ' __uido estec0njunto .nwn__c0. ,__egoría' d, ecamponumé_ca. ' '__llo_ cam' po), , __,_0_ l0saxi0ma,,s_delosnijmerosreal_es. _ ___

reglas, podíamos mover un peón 4 espacioso unade lasmos trabajar con losnúmerossin conocer lasreglasque

acionesteóricasy pr_cticas. Por citar el casodonde lahamenteyaquesehadescubierto queexisteunarelaciónunaliray lasrazonesentrelaslongitudesde lascuerdas

amosal decir queel mundo estágobernado _or los

mportante_ incluso marcahitosen lahistoria, así:erizaalasociedad pn_iivay esacondicionadopara

prác_casdel hombre.iospositivosfueacondicionado alanecesidaddeefectuar

osFueprovocado por el desarrollo del álgebraen laVll).rrollado unateoja_gurosadelosnúmeros realesen lostrabajoss.

sido creadospor extensión debido alasnecesidadesoncretosde lavidacotidiana.



__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _

a_ _ __nabC-- ma

Y) ' - _9_' _9go

allela Fracción equivalentea

S

428sj _ l42857 - O!g - 7

a

ner parteas

SUo_inomiosde coeF_c__entesenteros.

oef_cient

itosnoperiódicosperiódicosdicos



_ __ _

a_

ansitiva : si un número na_ral esmosquei_ual aun Se_undo y estesegundo esiguaI a,Un tefCefO, entOnCeS el _fimeFOeS i_Ual aleCCeFO.

mbóli carnente:v ab c, N. a__ b,_ b __ c_ a __

eración binaria. -- Llamadatambién leydedaen un conjunto noenciatosde

ncaqueanico

a_ao ley deto Ano

deAxA

umna

a(g, b) c

elosLacorrespondenciabiunívocaladenotaremosepor _, entonces_ esunaoperación binariaenAa_: Ax A _ A, esdecir a_A._ b_.'A_ a__b? A

:es l. Laadición usual en Z esunaoperaciónodo par de

osenteroses atroentero:

Lasust racc_No_n e, _n, esunao perac__o_sto que_ ' d__ferencl_o

7= -.3 __ N



_ _ _ _ _ . _

ón Resoluct6n:mosen lasiguientetabladedobleesen_rada;

A._

n.n,_o/

eraClOn lnarlaO

OideS lOS COn_UntOS _.Ón Ordinana, eS deCir,_ (R,+)elaUnaleYdeCOmPOSlClOn

El Par (Y, _)_ dOnde_ SedeFlneCOmO_m_ (a,b) _enelaeSt_CtUfade

daetabla:

sse

_ddd._,__.,_d__'___d_dd_''''_'''_______ddd''_B'^___'_'_'__''__'____d__'0___e___i_'___''__'___'__''''_____'''__'_'___'_____-__'_''____'''_'__._',,_'__._,.__,'_'_______d'_,,.Todao_ración binariacumplela ___,.n p m n__,__,,_,_,__,_,'^____,_'_ ley declausurao cerradura.'i'

..,,,..,......._.....,....,.............................,......,.....,_..,,....,.,...,..,.,,.,...,,,,..,,,,__'_,'_.P m n P

DefiniCiÓn (ley aSOCiatiVa) '--naria___ esasociativaen A. s.i (a_b)x_c-- a__(b_c) Ya, b, ce A



_ _ __ _ _ _

eales

Veamosa_b = a+ b = b + a_ b_an ___'0'

_atativaen_

sego diremosque_ es

no vacjo Ay unaoperacióntidado laoperación _ si y sólo si

es._dent._dad auea+o__2 En (NJel nu,s' _.de,t_.d_d puesto quea___ _a__

grupooerac_,o/n__eF_n__

_ ab c

+b+ I

a. CCa b

naFiaa_C= C = C_ao si dedondeseconcluyequeaesel elemer_to

On_Unto AConlaoperación _.



__ _ _ _ ._ _ _. _ _ ,

ónl. la adicjón y lamul_iplicación en _sonpe,ac_onesb_na_asy _a segundaes

_butl.vacon,especEo a_apF.l

ivaa

qUeque(a.b)n=a''.bn

/ On

o ematema,t._cass._mblte/, en ot,ascl_enc_,ascomo en _ar_/s_l

radoaimpon;endo cond_cionesa_,sest_ctu,,sde

juntolOy X_ Una

G_ XcJsellamagrupo s;1 sólo si _ esunaoperación binat'i,aa?ociati_'_.emento de_

mbólicamente:A(G, X_) eS Un__ßOSi ySÓlOSi SeVenrlCanlO_

si aXlOmaS 'GJ__:GxG_GG__ x_ esasaciativo, esdecir, (a_b)__c= aX_(b_,c,. __ a,b1 c_ !_



_______ _____________________________ _ _ _ _ ____ ___ ____ _

dad 6. Sea(a, __) un grupo _ a,b eGprobar laciay unicidad dexeGtal quexxcab

StfaClÓn:

etal x

ex esúni

mosquex, y .x,, ve__jcan lacio/n.x,_a= b = x,_a_ x,_a _ x,4a

_e= X2X_e' X_ = X_.

trar que(a_b)'--b'_a' Yab _ Gi

(P_rael lector)

e con Der_nición (grupo abeliana)Si en el grupo (G, _Jsecumplequea_.,b = bx_aivo Ya,b?_ G, sedjcequeel g_po es abelianoo

co. ___^''_,,^'oo,__0__,___,__0_i__,_~_,_,_______0_,___~_D_,______,,___,_%__,_,,,_,___'_,_,_,'_,___,_'_0,,D, El tefmlnOde_rUßOabellanOSe__^^'_,^^oo_'_'__i_^'^__'_^''___,',___0,__,^__o_,0__,__,__,,,_,,debeen honor al ce_lebre'__,,^'_,^^o,o ''_,'__;'_''_i:'_,___'''_,'__,_'_,_.,,. . __ '_' '__,''''_,_''_,: matemático no_ego NielsHenrik _-__adosacerca____._

or la_.,0_bilidad de resotvef tas__m____o'_cinco por __'___,_o__'_,

entes. ___.,_,,0

e:a, a'' = a4a__a_... 4_a"n'' veCes.

uesi a_b 2 _ a2 2ano.



_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _

deA = {a, b, c, d } y la

ab cd

4) esun g_po abel iano.sun

a, b, c)oessu bg_po de( A, x_) y a

__H/', beH

n g_po

a) Asociatividad garant izadapues H__ _ento neutro:a4a' f H_ ec_H

Cl C l O,e, e,_H,,, a,_Ht e_a_ ,_ Ht a_ ,__ H

de aeH_ b' _H_ a4 (b' J' eH _ a_ b eHsólo si (Demuestreque( b J' = b)

_ , 4) y (H_, 4) son subg_posde( G,_)_POdemostrar que(H_ _ H,,x_) esun subgrupo de



_

re4les

n _ y iRlosconjuntosy +,. lasleyes dena, lenemosque: f(x) = a"

H2 con a>O n af l).

mOmOnlsmOdeZ y TR

mOmO_lSm0de _ y _'

F es

_l. f esepimor F_smo si y sólo si f essuyectivo.yectivoun automor Flsmo si y sólo si A= A'

eyes

tal queh(x) = - 7xh(a+b) = -7(a+b) = -7a+ - 7b h(a}+h(b)h(x) esun automorf_smo eisomof Fjsmo.

momo,F_smo dmef el neutro del segundo grupo.

el)

x

4, e,ncelación f(e) = e'

omor Flsmo degrupos,

esdec;, F(x_) -_ (F(xJ)_, dondex_ ese_



_ __ _

n_lo:exisleun elemento l _Atal que

ces(A, +, .)anillo con elemento identidad. Si a.b = b.a_ a, b f A, entonces (a_+_.)

es:

_b,A

6n

Y t _ ,.o +a.o __ _ ,.o +a.o + a.o

ano

O

ntesO

ién_= (a+ (_a) ). b Oa).b=O__(ab)+ab+(-a)(b)=-' (ab )+O

)b _- (ab)

o _(a+ (_a))(b+ (_b)) _ oibutividad

xiste



__ _ _ _ _ _ _ _ _

rea_

lo Lascondicionesl, ll y Ill setraducen en losquesiguientes_iomas:leyessy a. b , s

sa.b = b.a

nillo deC3: Lasoperaciones+ y. son asociatjvas,espo,_diiA_ ,+) decir:a+(b+c) (a+b)+cy a(bc) = (ab)clOde(A,+t.) c4 .. _ec_ st a+ o __ a__o+a,es decir oeselAy e_emento __de/ nt__co baJNo laoperac__o_

mento itiplosdeadenotado por:lo (-a) / a+ (-a) O = (-a)+aepto el ceroxisteun inverso bajo laoperación. , es

ulivarespecto ala

nulosl. Lastemas(_ , +, .) y (_, + , .) son cuemos.Todo

CU'mO. 2. Latema(z, + t .Jno esun cuemo, pueslososqueadmjlenun inverso rnultiplicativo son - l y l.

3. El anillo _ detodoslos númerosfealesesunasg propiedadadede campo.

;.) esun campo _rquealas8propiedadesdecampo, _ eselalaconjunto delosnúmeros complejosO=(O;OJ



_ . __ __ _ , . _. _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ . _ _ _ _ ., _, _ __ _ _ , _ ._ ' _ __ .__ _ . _ _ _ _ ___ _________

R_oRD_.OY''_.,,_OmRlm 'v ...' '.S_aCeh_3 : Ley 8SOCi8tt_&'. PafatOd0a, b1C _ _:ultiplicaci6n detresmásnúmerosrealespfoduceel mismoS pOr resultado, sean ag_padosde cualqujef iÓn demanera.

S dOS __.. _;,tenc;gyun;,;d8ddele_ementoneut,oCl n mul_pI_ca_vo: _jsteun elemento en_ y

mentesolo uno, denotado por cc l tl djstinto de cero.det,l uear, todo af _. al __ l ., __ aa. ' . . ' .e' ' . . .v. aae ex. te' U^ m O

+b)

RParatOdo a. b, cen i _:a. (b+c) = ab + ac). c_ ac+ bcién esu_.

, a,, uel,te,n, _.+. ,eaunt_cue,ado com _eto,, t.lene_es,tl.sface, ___

OS _ . .o

de lassiguientesproposiciones:M, ll.-xeM, ITI. O_ M, escie_aajo ._,-

' . _. . -:



_ _ __ _ _ _ _

,ea_e,

ostr8ctón:osO+ O = Oneutro aditivox

M, x.O+ x.O= x.Opropiedad distributivanosx.O+ x.O= x.O+ Oneutro aditivopor Io . x o _ o _edecancelac.l

ado.

ntOdelosuna

e_Uraf . , . , . .cia_ass__gu__entes_rop__edades.

puntos

_asII. Si aRbt a t bIII. Si a, b, c,eA, aRb r\ bRc_ aRc

ráunes < (menor que) setendr_:

oncesaysolamenteuna delas

f bR, se

on-

lementosentoncesAtieneunximo y uno mínimo. Perotambiénsnnl,

mplos:unto el elementol Oy el mínimo es - 3.

otiene_nimo que

enl_ max/ l_mon_l



__ , _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ . _ __ _ _ _ _ _ _ __._ _ _ _

tadoscRSean _el conjunto delosnúmerosrealesy LcR.onjunto L está acotado si existeun nu/meroiR,talqueparatodox__; -c__x__ c,esdecirmayOf Oel conjunto L esacotado si esacotado su_eFior e

o_ente.

'___ ,_ _ '_'___' . / ___oS_,___, "_ ._,_'__ e_OUC_0lI_____?__,_____,__'_',___' ,, ,!__v!n' ;_,C

fmentees. El

<__ 5) y_5)junto es

IRacotado5ecc_or decot e.

_ acotada__ esodas

E_em_lO_

net end r a/

c _, _ _ _l , _-_ _-_ ... ,. - _ inF.A= - I

xisje__.ual _ l



_ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ __ _ ___ _ _

Sea: b = e donde"e'' esel elemento neutro

problemaN^ 2 demostrar _uee l elemento

' + e' = O(del prob. anterior)

quepro__gmg _n A__ ( _, 2, 3, 4) sedeF,neun, ope,,c_,o/n x,.

uyosvaloresestán dadospor latabladedo_le

ar quea

va_ _ Lao e,ac._o/ n x, esconmutat_.

e_Ún: 444__ _



_ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ __ _ __ __ _ __ __ _ _ __ __ __ _ __ _ ,_ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ _ _ _ __ _ _ __ _ __ __ __ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _

reales

nelaoperación 4 por: Va, b _- R_

de PrOal_m8 9aturalesampliados) sederlne

lassiguientespreguntas:álaOPeraClÓn'_tO_lmentederlnidaenNoaoperación !_'_ asociativa

nidaenNo1 Si:

OSl'me/ trl'COS ._.lao eración ;,; no est_ totalmentederlnida.

n ;__ esasociativasj_.No, (a!__b)í:_,c= a__(_! ;'c)

o,n n



_ __ _ _ _ __ _ _ __ _ _ ,

ciatividad sep_ebadelV)

O) para+ y

Si en losnúmerosnaturalesden_nimoslaac_.o,n _ med._antem_n _

Nm _ n

:__ (faISO)P) > (m_P)las_ _+ _ >_ _

m ' _ ' P '-

On j 2

= _m2 _ n_ -2mn _ mn

)_+ _m _+p J_



_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ ___ _ __ _ ________ _ _ ___ _ __ _ _ _ __ __ _

ma*.

ß Jelemento inversomultiplicativo

s e_emento neutroa

Oadit.) .N. (_) l = x l y l ley decan_e_ación

straF -X, -Y_ si __ o

ón:

sistamb._e_n al a__ _ dedondesetend,a/ a

Oen (l):ón



_ _ __ _ _ _ _ _

ea_

_) es un g_poemas(C, .) no es un g_po, porquenoexisteel

operaciones

po?t ab u _ a, e s.

despara

ßeCtOaeStaS OperaClOne5

_cerT.andrán que_'enF1cerseio_-

__ xy i TT_ T _ _: T XT _ T

mutat__v_.dad po, s__metr1_

especto aladjagonal princjpal dondeelasoperacioneseS deCir Si XYF T_ y+x _ x.y = y_l c. . .d d . _.

Oel COn}UntOT liene2 elementOS,número decasos_uetieneba



_ __ ___ _ _ __ ____ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

"_b_ X' RYSi a'O, entOnCeS

ción:

cual prODl_m_ 21bparacada número real x, demostraf

do?



_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

= O

efso ad;t;,, deo__1._ __ _l _ _ __ __

3XleT/x,___xlx__ ___ _ _x 1 __ _

ademostrado quelaterna(T, +_ .) es

bf]_:a(-b) = _.(ab) = (-a)b

:delprob. lI)deZ dela" (a(- l)b) (MJ)

OneS de_ (_ _)(ab) (m m J

_a)b = (- I )(ab).............. (prob. l I)................ (II)

b) = -(ab) = ( a)b

(-a)(-b)=a.b

)aJ(- b)...... (prob. I l.. _ _ _ _ _ __ (M_J_ M3)

= ab



_ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ _ __ ___

eA, si _roDl8mg 25en lasgujentes, respecto aun número

Ano es

de exponented y ,, e, el di FerentedeceroJ esracional-ajO__

ónen t On ' ' ' U

os__ Todaote c.,adex _.,ac_. na_ no s._uee. .rlrlCan lOS EjeInplo: ( _) ' = 8 ca

d) lII. Algunaspotenciasdex irracional esracionalpecto Ejemplo: ( _) 2 = 3 _iera,f_rmación carrecta.

trar Dadaslasar_rmaciones, indicar el valor deerdad.( _

,ac__ .,_re_ .,ex,_stea_xistef"

existe_eroO''noexiste



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

reai

ean ay b dos númerosrealestalesqueelego analizar lasional. Sl_UlenteS ßrOßOSIClOneS:queel l, Si aeS i_aCiOnal, entOnCeS b debeSer

I. Si aesracional, entoncesb debeser

no Reso_ucl,o/ n,

'J_'.

ent

ab e_' _a_;- g_ , entoncesb r__ _ v b c__

F

: Sea' Z__ -- (Otlt2'3,4} der'n!mO' l"'d'C'6n Y l"

istema:' ' ' ' ' ' ' ' (!!,

x -_ 2 t _, -_ _

o_s,_J_c,'ó,J._ 2. q = 3en _,c



__ _ _ _ _ _ _ _ __

e4. Sede rlneunaope ración _ en el conjuntoralesde modo mue

Tndicar el valor devefdad en lassiguienteses:

o araestao er,cl.o/n ';;.,_

S obre_ - ( _ l ) sedeF inel aoperación

+b+ab.

siguientespFoposicjones:

ble1 T. El ,, _g. _ e, un _o conmut,t;,o

eal r es_

B) V_ C) FVVVFF E) FFV

_J, _) y laley de) ,ección) están dados_or lastablas

E _ _ _



_ _ __ _ _ . _ _ . _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ __ __ _ ___ __ _ __ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ ____ _ _ __ _ _ _ _ _ __ ____ _ _rea_esEstablecer el valor deverdad:_ un carnpo ordenado.

B _ cvFF

Establecer el valor dever dad de lasones:

conjunto_.



_ __ _ _ _ __ _

m _ n= residuo dedi_dir (m+n) entreg

# (5_7)

acionesdef_nid,spo,;

cda aaa

_J(1+_+b2_a)+a_Jb+l+b'N)

n _ definimoslassiguienteS opefaciones

_ _x _9; y#y=2 I_+20

) 25 C) 26



__ _ __ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ ___ __

e4les

_, B) a_ C) a3l D) a_ E) ao

aX'b = min {a;_b = maX(a;b} _ R

ay b

o,e:

2

_ IR; sp deFlnefaoperación _ como:+ b_ 1

CJl -2; 6J



_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _

son 29. Si deFlnimosen & laoperación xcdeF_nidaor:a;b}

sas?= b X_ a

4cll. (x _ 4) _ 2 _ x= lx,N___ 2___x___ ,/ x___,

y;

es

l, (a. bJ-. - = l ab _O

steoremas.= b+c

=b _ a= c

Il_ Si a_- R_ (- l )a _a)=b

b númerosnaturales, si sedefine

- b_a

a+2b)''



eales

. ConsideremoslasratacionesdeunáteFo ABCalfededor desu

n

nDemostrar si esteproceso con laoperacjón

neoperac_lo/n b__na,__

_+_' . . /

. iAdmiteelemenlo neutro?, jcuál es?

_v _.Todoelemento deA t_.enes._me/t,._

pUeStaativas.



_________________r___r __________r______________________________?__x______________x________________________________r_______________________________nnv______ct__r______________ ___r_r_______t________v____y____________________r___________r_______________________________________________________nn__y_________________________mxm___________________________________________c____________m____________________n__s____________s_____________________________________________________________________________________________r________,_______________________________c______________________________r_____________s_________________________________________)_______ ____________________________y_____________________________s_________________________________________n_________________________________________________________________________________m__ ____________--i__

m _ :. _ ' v_ _ __.__ _. ; _ i_ ,. '_ '_!, _ _ ,.,_ ', , .;. _ _ ; _,,,' _ '_ - :s': ' ' ,.; _- ...,.. , ; ' ' ' ': _-- _ _,-c;, An,____1 mn.M__;', _ _21.__! D_W2 .w::; 'Bm,M2__v2___3--;_''__ .,_Mv__3..__,.mv,_' '̂ "_; c_m_1 3 _';--.__c NM_23 ;__ D__33_r--- :; A.M__19 ____. h n__24_._''_ Bm__34_.._ __.. A_1_ _;-_-_ c__2_5__E __35__p ,,1, 6,, _,_.___+ E ___2_6 m__D_.3,n_6 _v__ __;_ __m _1 7 _c_2__/ , '' 'g _3 i m_', 8,,, ,,__. A_1_8 _,,,__ A___28.,,d.p ..c__3.8._..._J _

r.__ _29_B___B' _3Mo_,m__ ' _ __4o_

' -6 _..;,_,'5: -_---x . .;_ - ____ ;''.;'__._''_''_'''n' '_-"-_'' '''''- ''

CAPITULO 12 - Numeros Reales

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