Bulletin of the JSME Vol.84, No.858, 2018

Bulletin of the JSME

Transactions of the JSME (in Japanese)日本機械学会論文集

[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484] © 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers

Vol.84, No.858, 2018

Abstract In this paper, we present a simultaneous optimization method of shape and topology for designing a light-weight plate and

shell structure. The free-form optimization method for shells and SIMP method are respectively employed for shape and

topology optimization, and combined effectively. Shape and fictitious homogenized-density variations are used as the design

variables, and simultaneously determined in one iteration of the convergence process. With this method, the optimal topology

is determined in the variable design surface optimized by shape optimization. Compliance is used as the objective functional,

and minimized under the volume constraint. The optimal design problem is formulated as a distributed-parameter

optimization problem, and the sensitivity functions with respect to shape and density variations are theoretically derived. Both

the optimal shape and density variations are determined by the H1 gradient method, where the sensitivity functions are applied

as the Robin condition to the design surface. With the proposed method, the optimal lighter and stiffer shell structure with

smooth surface can be obtained without any design parameterization and numerical instabilities such as checkerboard and

zigzag-shape problems.

Keywords : Shape optimization, Topology optimization, Shell, Free-form, SIMP method, H1 gradient method

1. 緒言

曲率ゼロの平板や曲率を有するシェル構造は自動車や航空機等，軽量化が特に重要な設計要件となる工業製品

の基本構造部材やパネル部材として幅広く利用されている．軽量性に加え，プレスや折り曲げ加工により任意の

形状に成形できることも大きな特徴であり，その組合せによって薄板構造体が形成される．薄板に起因して強度

や剛性，振動，座屈等の問題を生じ易いため，補強リブの配置や補強板の付加，全体形状の適切化や局所なビー

ド加工が施され，曲げ剛性等の断面特性の向上が図られる．例えば，高橋は成形性を考慮した複数の周期的なビ

ードパターンを準備し，計算と実験により力学的性能の違いを示している（髙橋, 2011）．設計に必要な補強，補

剛の具体的な寸法や形状，位置を決定するため，構造最適化手法やその応用に関する研究も数多く行われている．

寸法最適化を用いた薄板の先駆的な研究例として，Cheng らは剛性最大化を目的に板厚分布を設計変数として求

め（Cheng and Olhoff, 1982），山崎らはリブの位相決定を目的に，予め連続的に配置したリブの高さと板厚の決

軽量板・シェル構造の創成を目的とする H1勾配法に基づく形状・トポロジー同時最適化手法

中山展空*1，下田昌利*2

Simultaneous shape and topology optimization method based on the H1 gradient method for creating light weight plate and shell structures

Hirotaka NAKAYAMA*1 and Masatoshi SHIMODA*2 *1 Graduate School of Engineering, Toyota Technological Institute

2-12-1 Hisakata, Tempaku-ku, Nagoya, Aichi 468-8511, Japan *2 Department of Advanced Science and Technology, Toyota Technological Institute

2-12-1 Hisakata, Tempaku-ku, Nagoya, Aichi 468-8511, Japan

Received: 30 October 2017; Revised: 19 December 2017; Accepted: 11 January 2018

No.17-00484 [DOI:10.1299/transjsme.17-00484], J-STAGE Advance Publication date : 24 January, 2018 *1 学生員，豊田工業大学大学院工学研究科（〒468-8511 愛知県名古屋市天白区久方 2-12-1） *2 正員，豊田工業大学 E-mail of corresponding author: [email protected]

1

Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)

© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]

定を行っている（山崎，小林，1988）．板やシェル構造の形状最適化に関して，Ramm ら（Ramm et al., 1993）や

Rao ら（Rao and Hinton, 1994）はパラメトリック手法に基づく萌芽的な研究を行っている．著者らもリブやビー

ド設計を含むシェルの形状設計に焦点をあて，面内変動（下田，2011）や面外変動（下田，2013）に対するノン

パラメトリック形状最適化手法を提示している (Liu and Shimoda, 2015)．トポロジー最適化に関して，Suzuki ら

は薄板やシェル構造の補強板の配置問題に均質化法と最適性規準法に基づく手法を他へ先立って提示している

（Suzuki and Kikuchi, 1991）．また，Park ら（Park and Youn, 2008）や堀尾ら（堀尾他，2014）はレベルセット法

に基づく手法を薄板構造の剛性最大化に対して適用し，得られた形状や力学特性についての考察を行っている．

Wang らは SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）法に基づくトポロジー最適化手法を利用して振動－騒

音問題におけるリブ配置を求めている（Wang et al., 2017）．

三つに分類される最適化手法のうち，孔の生成を許容し，荷重伝達経路を大きく変えられるトポロジー最適化

は軽量化や剛性の向上への効果が最も大きいとされる．しかし，これは一般的な 2 次元や 3 次元連続体に対して

であり，板やシェル構造への適用の場合，効果的な荷重伝達経路の決定や無駄な領域の除去には効果を発揮する

が，面積の投入に対する剛性向上の効果は小さい．これは設計領域が板・シェル面内に固定されるため，すなわ

ち荷重伝達経路の変更が面内に制限されるため，曲げ剛性が増加しないことによる．設計領域に対して材料使用

量を体積制約として与える必要があるため，手法の性格上，初期と比較すると剛性は低くなる．これに対し，形

状最適化で薄板を面外方向に変動させた場合，曲げ剛性及び構造全体の剛性を劇的に向上させることができる．

下田は分布系の形状最適化問題の解法を示し，剛性の向上効果を示し，無駄のない効率的な荷重伝達構造が得ら

れることを確認している（下田, 2013）．比較的単純な形状や応力状態の場合，形状最適化によって理想的な無駄

のない均一応力状態が実現されるが，複雑な閉断面や開断面の構造体への適用の場合，曲げ荷重に対して中立面

が形成され，形状最適化のみでは荷重分担しない無駄な低応力領域が残存する．寸法最適化を板厚分布の決定に

適用した場合も感度に応じて曲げ剛性を増加させられるが，形状最適化に比較して効果は非常に小さく，薄板金

属材料への適用は必ずしも現実的ではない．

構造最適化手法の研究の進展に伴い，トポロジー最適化と形状最適化の特長を補完し合い，シェル構造の剛性

向上と軽量化を両立する形状とトポロジーの同時最適化の研究も行われてきている．Mauteらはトポロジー最適

化を行った後に面内形状最適化を行うプロセスを複数繰り返す手法とその効果を先行して示しており（Maute and

Ramm, 1997），Schwarzらが提案したものもトポロジー最適化を行った後，得られた設計を初期構造として面内

形状最適化を行うものである（Schwarz et al., 2001）．これらの方法はトポロジー最適化によって生成される境界

上の応力特異点を形状最適化によって修正しながら最終形状を求めており，面内形状最適化とトポロジー最適化

を組み合わせた2段階（もしくはアダプティブ）最適化手法といえる．前述のように，板・シェル構造では曲率（す

なわち面外変動）の最適化を行うと，格段に剛性が向上する．トポロジー最適化を先に実施すると，準備した適

切とはいえないある設計領域（曲面形状）に対して，トポロジーを求め，それが形状最適化の初期形状となるた

め，得られる最終形状の力学特性は限定的となる．一方，AnsolaらはB-splineを用いた面外形状最適化とレイヤー

型マイクロストラクチャを用いた均質化法に基づくトポロジー最適化を交互に行う手法を提案している（Ansola

et al., 2002a, 2002b）． HassaniらはNURBS（Non-Uniform Rationak B-Spline）を用いた面外形状最適化とSIMP法に

基づくトポロジー最適化を同時に行う手法を提案しており，その中で形状とトポロジーの交互最適化と同時最適

化手法を比較している（Hassani et al., 2013）．形状とトポロジー最適化の組合せに関する研究は本研究で扱う板・

シェル構造以外にも，トラス構造（Xia et al., 2013），（田川，大崎，1999），（坂本他，2011）や2次元弾性体

（Ghabraie et al., 2010），（井原他，1996），（Luo et al., 2008），ソリッド構造（Christiansen et al., 2015）に関し

ても多くの報告が行われている．こうした研究ではトポロジー最適化にはノンパラメトリック手法を用い，形状

最適化手法には井原らを除いて，パラメトリック手法が用いられている．そのため，得られる形状のパラメータ

依存性は避けられず，得られる構造特性も限定的となる．

そこで，本研究ではシェル構造体の軽量化と剛性向上の両立を狙い，軽量化のためのトポロジー最適化と高剛

性化のための形状最適化を組み合わせたパラメータ依存性の問題のない新たな形状・トポロジー同時最適化手法

の提案を目的とする．形状最適化手法にはノンパラメトリック形状最適化手法であるシェル用H1勾配法を用い，

トポロジー最適化手法にはSIMP法を利用する．両者を密度変動と形状変動を設計変数とする拡張設計空間の中で，

分布系のノンパラメトリック最適化問題として統一的に定式化し，得られた感度関数を用い，形状最適化に加え，

2



トポロジー最

な体積制約条

解法として提

示され，2次

最適化では最

度変動場を擬

滑らかさ（正

最適化にける

ー最適化の設

ポロジー最適

構造体の軽量

続く章にお

最適化問題の

る．5 章では

段階最適化手

を総括する．

図 1 に示

( / 2, / 2)t t-

Fig.1 Coord

mid-ar

shown

{ (xW=

S A

簡単のため

膜力と曲げ力

同様に扱うこ

3u に分けられ

回転角を表す

の添え字は

1( ,u x xa

最適化にもH1

条件下のコン

提案され（畔

次元連続体へ適

最適形状変動

擬似熱伝導解

正則性）を保

るチェッカー

設計領域を適

適化手法と考

量化と高剛性

おいて，第 2

の定式化を行

は構築した最適

手法との比較

示すような線

) により，ま

dinate systems a

rea of the shell a

n in the right.

1 2 3, , )x x x Î

( , )2 2

t t .

め，シェル構造

力の連成項は

ことができる

れ， 0 0{uu

すものとする

1,2 をとるも

2 3 0, ) (x x u xa=

1勾配法を適用

ンプライアンス

畔上，1994)，シ

適用されてい

動場を擬似シェ

解析によって得

保持しながら，

ーボード，グレ

適正化（本研究

考えることもで

性化の両立が達

章ではシェル

行い，感度関数

適化システム

較，及び本手法

線形弾性シェル

た，シェル端

and DOF of she

and its boundar

31 2| ( , )x x AÎ

造体を微小平

は考慮しないこ

る．図 1(右)のよ

0 1,2} , ,w

ると，次式のよ

のとする．

1 2 3, ) (x x x aq-

用して統一的

ス最小化問題

シェル構造へ

る(Azegami et

ェル弾性解析

得られる温度

数値不安定

レースケール

究では高剛性

できる．本手

達成される．

ル構造の支配

数の導出を行

ムを複数の設計

法とスムージ

2. シェル

ル構造体を考

端面 S は A の境

ell with an initia

ry and thicknes

23, (A xÌ Î

平面の集合から

こととする．

ように局所座

1,2{ } はそ

ように表され

1 2( , )x x ,

に解探索を行

を用いる．H

へ拡張された

t al., 2011)．本

によって得ら

場として求め

性，すなわち

問題が同時に

化）し，その

法により，複

方程式につい

う．4 章では

計問題に適用

ングを行わな

ル構造体の支

考える．シェ

境界 A によ

al bounded dom

ss, respectively.

( , ) }2 2

t tA- =

らなると仮定

これにより曲

座標系で表した

それぞれ局所

る．なお，添

行うことを特徴

H1勾配法は連続

（下田，2013）

本同時最適化

られる変位場

める．これに

ち形状最適化に

に解決される．

の中でトポロジ

複雑なシェル構

いて言及し，第

H1勾配法と開

し，手法の有

ない直接法との

支配方程式

ル構造体にお

り次式のよう

main . The no

Local coordina

( , )2 2

t tA´ - ,

し，板曲げ理論

曲率のない平板

た変位 { iuu

所座標系におけ

添字表記法と

徴とする．最

続体の分布系

）．トポロジ

手法における

として求め，

より，設計変

における波打

．本手法は形

ジーを求める

構造体や閉断

第 3 章では形

開発したシス

有効性を確認す

の比較も行う

おける領域

に定義される

otations ,A A a

ates and DOF o

論として Min

板やシェルを

1,2,3}i は，面内

ける板中心面

して総和規約

最適化問題とし

系の形状最適化

ジー最適化問題

るH1勾配法にお

トポロジー最

変数（形状と密

打ち形状問題と

形状最適化によ

るため，領域変

断面や開断面か

形状とトポロジ

ステムの流れに

する．そこで

．最後の 6 章

は中央面 A

る．

and t in the left

of infinitesimal

ndlin-Reissner

を含んだ複雑な

内変位 1{ }α αu

面の面内変位，

約を使用し，ギ

しては基本的

化問題の数値

題への応用も

おいて，形状

最適化では密

密度分布）の

とトポロジー

よりトポロジ

変動を伴うト

からなる薄板

ジーに関する

について述べ

は本手法と 2

章にて本研究

A と板厚領域

t are the

flat surface are

(1)

(2)

理論を用い，

な薄板構造も

,2 と面外変位

面外変位と

ギリシャ文字

(3)

的

値

状

密

の

ー

ジ

板

べ

2

究

域

e

位

字

3



3 1 2 3 1 2( , , ) ( , )u x x x w x x= . (4)

シェル構造の 0( , , )w Uu に関する平衡方程式（弱形式）は式 (6) のように表される．

なお，内力に関する仮想仕事を表す双一次形式 ( , )a と外力に関する仮想仕事を表す一次形式 ( )l はそれぞれ次の

ように表される．

0 0 0 , 3 , 0 , 3 , , ,

, , 0 , 0 ,

(( , , ), ( , , )) { ( )( ) ( )( )}

+ + ) ,( { }

S

B M S

A

a w w C u x u x C w w d

c c kc dA

u u (6)

0 0 0 3 0( , , ) ( ) ( ) ( )A A A

l w f u m qw dA t b u b w dA N u ds M Qw ds

u . (7)

ここで， , , , f m q b はそれぞれ領域 A の部分領域に単位面積あたりの面内荷重，面外モーメント，面外荷重，

中央面 A における物体力を表し， , , N M Q はそれぞれ境界領域に単位面積あたりの面内力，曲げモーメント，

せん断力を表す． , SC C はそれぞれ平面応力に関する弾性マトリックス，せん断力に関する弾性マトリックス

を表し， , ,B M Sc c c はそれぞれ板厚に関する積分後の曲げ，膜力，せん断に関する弾性マトリックスを表し，

定数 k はせん断補正係数を表す（ 5 / 6k = を仮定）．また，式 (7) 中の曲率とせん断ひずみはそれぞれ次

のように表される．

, ,1

( )2 , (8)

,w . (9)

なお，式 (5) 中のU は 1H を変位の拘束条件を満たす 1 階の 5 次元ソボレフ空間として，次式で定義される．

1 501 02 1 2{( , , , , ) ( ( )) satisfying thegiven Direchlet condition}U u u w H A . (10)

3. シェル構造の形状とトポロジーの同時最適化問題

3・1 最適化問題の定式化（コンプライアンス最小化問題）

本節ではシェル構造の形状とトポロジーの同時最適化問題として，剛性設計問題の一つであるコンプライアン

ス最小化問題を取り上げ，分布系の最適化問題として定式化し，形状とトポロジーに関する感度関数（形状勾配

関数と密度勾配関数）の導出を行う．設計変数は図 2 に示すように，形状を表すシェル中立面の形状変動場（設

計速度場 ( )V x ）とトポロジーを表す密度変動場 ( ) x とする．ただし， x はシェル中央面 A 内の任意の位置を

示す座標を表す．体積M と密度 ( ) x の上下限値，及び式 (5) の平衡方程式を制約条件とし，コンプライアンス

0( , , )l wu θ を最小化する分布系の最適化問題は次のように表される．

0 0 0 0 0(( , , ), ( , , )) ( , , ) , ( , , ) , ( , , )a w w l w w U w U u u u u u , (5)

Given 0

ˆ ˆ, ( ), ,S TA M M x , (11)

Find ( ), ( ) , A V x x x , (12)

Minimizes 0( , , )l wu , (13)

subject to 0 0 0 0 0(( , , ), ( , , )) ( , , ) , ( , , ) , ( , , )a w w l w w U w U u u u u u , (5)

ˆ ˆ ˆ( ) ,S TA

M t dA M M M x (14)

4



ただし， 0及びトポロジ

(a) D

Fig.2 Design

field on

3・2 形状

この問題に対

に対するラグ

( , (L u

簡単のため

ず，シェル表

ランジュ汎関

ように表され

(L l

G

u

,VG n V

,G

ここで，式

率の 2 倍を

関係 ( )V n n

状導関数を表

空間を表す．

ラグランジ

min, はそれ

ジー最適化に

Design velocity

n variable for sh

n mid-area of th

状勾配関数と

対するラグラ

グランジュ乗

0 0, , ), ( ,wu θ u

め，境界に作

表面に作用す

関数 L の領域

れる.

0 , , ) (

, ( )V S

w l

G

u u

n V x

( )

{

VS A

A

G

C

Hf

V x

( )

{ (

T A

A

G

x

(18) 中のnと

を表す．式 (18

( )top t n V n n

表す（Choi an

ジュ汎関数 L

0

ぞれ初期密度

における体積制

y distribution fo

hape (left) and

he shell, norma

と密度勾配関数

ランジュ汎関数

乗数として，次

, ), ) (w l θ u

作用する荷重 N

する荷重 , f m

域変動に対する

0 , , ) (

, ( )T

w a

G

u

x

0 ,

0 0

( )

(

( )

V dA

C u

u u H

n V x

,

( )

(B

dA

c

x

とH はそれぞ

8) の導出にはtop ( btmV n=－

nd Kim, 2005

の 0( , , ) , (wu

min ( ) x

度，密度の下

制約値それぞ

or shape optimi

topology (right

al vectors of top

数の導出

数 L は 0( , ,wu

次のように表

0 0, , ) (w lu θ u

, , N M Q は

, m q ，及び物

る物質導関数

0(( , , ), (

, ( )T

w

C

u u

V x

0 ,, )(2

( )

tu

Hm

, 0

Mcu

ぞれシェル中

はシェル仮想

)m btmn を利用

5）．なお，C

0( , , )wu 及び

1.

限値を表し，

ぞれ表す．

zation

t) optimizations

p and bottom, a

)θ を状態方程

表される．

0 0, , ) ((w a u

は物質固定で，

物体力b は領域

数 L は，設計速

0 , , )) ((

, ( )

w a

C

u

x

, )2

) (

tC

Hq w w

, 0 ,

cu k

央面の任意の

板厚上面と下

用している（下

とCはそれ

びに関する

M̂ は全体積

(b) Density

s: The notations

and the density f

程式に対する

0 0, , ), ( ,w wu

それらが作用

域変動に対し

速度場 ( )V x と

0 0( , , ), (

,

w u u

0 ,

0

(2

) (

tu

Hb u

) (Sc

t

の位置 x におけ

下面の外向き単

下田，2013）．

れぞれ領域と密

る最適性条件は

積の制約値を，

distribution for

s , ,top btmV n n

field, respective

ラグランジュ

, )) (M

用する部分境

物質固定であ

と密度変動場

, , )) (w M

0 ,,

0 3

)(2

) (

tu

u Hb w

30

b bu

ける外向き単

単位法線ベク

( )は領域変

密度変動の拘

は次のように

ˆ ˆ,S TM M は

r topology optim

and r are the d

ely.

ュ乗数関数，

ˆ )M .

境界は法線方向

あることを仮定

( ) x を用い

ˆ- )M M

, )2

)}

tt

w w d

n V

)} ( ) .w dA x

単位法線ベク

クトル topn とn

変動に対する空

拘束条件を満た

に表される．

は形状最適化，

mization

design velocity

を体積制約

(16)

向には変動せ

定する．ラグ

いて式 (17) の

(17)

,dA

(18)

(19)

トルと平均曲btmn 及びnの

空間固定の形

たす許容関数

(15)

約

せ

グ

の

曲

の

形

数

5



0 0 0 0(( , , ), ( , , )) ( , , ) , ( , , )a w w l w w U u u u u , (20)

0 0 0 0(( , , ), ( , , )) ( , , ) , ( , , )a w w l w w U u u u u , (21)

ˆ( ) 0M M , (22)

ˆ( ) 0M M , (23)

0 . (24)

式 (20) は状態変数を決定するための状態方程式であり，式 (21) は随伴変数を決定するための随伴方程式であ

る．これらの方程式は汎用 FEM コードによって解くことができ，両式から 0 0( , , ) ( , , )w wu u の関係が成立す

る．また，式 (22) ～ (24) は体積の不等式制約に対する条件式となっている．これらの最適性条件が成立するこ

とを仮定すると，式 (17) は次式のような形状勾配関数 ( )VG n x と中立面に対する法線方向の設計速度場

( ( ) )nV V x n の一次形式，ならびに，密度変動場 ( )G x と密度変動場 ( ) x の一次形式で表される．

, , ( )V VS T AL G G G G dA n V n V . (25)

これにより，本問題の設計速度場 ( )V x に関する形状勾配関数 ( )VG n x と密度変動場 ( ) x に関する密度勾配関

数 ( )G x は以下のように表される．

0 , , 0 , , 0 , , 0 , ,

0 0 3

[ ( )( ) ( )( )2 2 2 2

2 ( ) ] ,

Vt t t t

G C u u C u u t

H f u m qw b u b w

n

n

(26)

3, , 0 , 0 , 0( ) ( ) .

B M Sc c c b bG u u k t u w

(27)

ただし，式 (28) 中の , ,B M Sc c c はトポロジー最適化において SIMP 法 (Bendsøe and Sigmund, 1999) を利用

するため，それぞれペナルティパラメータ p を用いて下式のように表す．

0BB pc c , (28)

0MM pc c , (29)

0SS pc c . (30)

なお， 0 0 0, ,B M Sc c c はそれぞれ初期状態における材料固有の定数，すなわち板厚に関する積分後の曲げ，膜力，

せん断に関する弾性マトリックスを表す．

4. シェル構造の形状・トポロジー同時最適化用 H1勾配法

形状とトポロジーの分布系同時最適化問題を解くため，関数空間の勾配法である H1勾配法を用いる．同時最適

化手法において，最適形状変動場（設計速度場 ( )V x ）の決定にはベクトル変数を扱うシェル H1勾配法を利用し，

最適密度変動場 ( ) x の決定にはスカラー変数を扱うシェルのトポロジー用 H1 勾配法を新たに開発して利用す

る．H1 勾配法は力法とよばれて連続体の形状最適化手法として畔上によって提案され（畔上，1994)，設計変数

分布（本研究では設計速度場と密度変動場）の滑らかさの保持と目的汎関数の減少を同時に行える関数空間の勾

配法であること，最適化のための設計変数のパラメータ化を行う必要がなく，全ての節点や要素を大規模設計変

数として直接扱うことが可能なノンパラメトリック手法であることを主な特徴とする．提示する形状・トポロジ

ー同時最適化手法もこの特徴を有している．

6



4・1 形状最適化のためのシェル用 H1勾配法

シェル用 H1勾配法（下田，2013）は下田によって示され，滑らかな自由曲面シェル形状を求めることができる

形状最適化手法の１つである．勾配法で必要とされる正定値マトリクスとして対角成分に分布バネ定数 (> 0)Aを含むシェルの剛性マトリクスを利用している．最適設計速度場 ( )V x はこの仮想線形弾性シェル表面に負の形状

勾配関数 ( )VG n x に比例した法線方向荷重を与えることにより，変位場として得られる．これにより設計速度場

の滑らかさを保持しながら目的汎関数を減少させることを可能にしている．この解析は速度場解析とも呼ばれる．

その概念図を図 3 (a) に示す．局所座標系で表した設計速度場 1 2 3i i , ,V V は面内速度場 10 20 ,V V と面外速

度場 3V の組み合わせとして表すことができ，速度場解析の支配方程式は式 (31) ように表され，汎用 FEM コー

ドを利用して容易に解くことができる．設計や製造制約のための形状拘束が必要な場合，剛性マトリクスの正定

値性が保たれる範囲で，汎用 FEM コードの拘束，接触機能や MPC（Multi Point Constraint）機能を利用すること

が可能で，形状変動拘束のみを考慮し，式 (20) (21) の拘束条件とは独立に設定される．

状態方程式及び随伴方程式が成り立つとき，ラグランジュ汎関数 Lの摂動展開は次のように表すことができる．

式 (32) に式 (31) を代入し， Vs が十分小さいとすると，剛性マトリクスの正定値性により次の関係式が得ら

れる．

これは得られた設計速度場 ( )V x を用いて領域を変動させることにより，凸性が保証される問題，区分的凸性の

場合はその範囲において，ラグランジュ汎関数 L は必ず減少することを示している．

4・2 トポロジー最適化のためのシェル用 H1勾配法

H1勾配法は密度のようなスカラー変数の最適化にも利用できることが示されており（Azegami et al., 2011），本

研究ではシェルのトポロジー最適化に応用する．シェルの最適な密度変動場 ( ) x を決定するために，式 (34) の

ポアソン方程式（熱伝導方程式）の弱形式を導入する．最適密度変動場はこの仮想熱伝導シェル表面に負の密度

勾配関数 ( )G x を分布内部発熱として仮想弾性シェルの設計表面に作用させることにより，温度場として得ら

れる．この解析を密度場解析と呼ぶ．その概念図を図 3 (b) に示す．なお，式 (34) の密度場解析は汎用 FEM コ

ードの機能を用いて行える．その拘束条件は設計上のトポロジー拘束のみを考慮し，式 (20) (21) (31) とは独立に

設定される．通常，SIMP 法によるトポロジー最適化には数値不安定性，すなわちグレースケール，チェッカー

ボード，メッシュ依存性の問題が潜在し，その解決のためフィルタリングによる平滑化が不可欠とされる．本手

法は H1 勾配法に基づいているため，密度変動場の滑らかさを保持しながら目的汎関数を減少させることができ

る．

ここで， , はそれぞれ定常熱伝導における熱伝達率と熱伝導マトリクスに相当し，密度変動場と密度の

下限値 min （雰囲気温度に相当）の間には min 0 の関係をもたせる．

前節と同様に，状態方程式及び随伴方程式が成り立つとき，ラグランジュ汎関数 L の摂動展開は次のように表

すことができる．

0 0 0 0 0 Θ 03 3 Θ)( ) ( ( )(( )) ( ) ( ) ( )A VS S,V , G , , ,Va w w w C ,w, C V u , ,θ V n n u , ,θ u , ,θ V u , ,θθ n θ，， (31)

2

, ( , ) ( )V V VSL G s O s n V θ , (32)

, ( ), )), ) (( , ( , ( ( , 0 .) , )VV V A SVSs sL G s a n V θ V V V n n V (33)

min( )T T

a , , G , s , ,C C , (34)

( ) , ,A

a , dA , (35)

2

, ( )T

L G s O s , (36)

7



式 (36) に

係が得られる

同様，凸性が

る関係を示し

Fig. 3 Sc

fun

top

hea

4・3 感度

形状とトポ

び変動量係数1 1i e

の場合

全要素密度を

H1勾配法

場V と密度変

関数 VG ,G

用いて正規化

4・4 形状

図 4 に H1

①構造解析

L G

1i x x

1( )i x

( )VG x

( )G x

に式 (34) を代

る．これは決

が保証されて

している．

(a) F

hematic diagra

nction is applie

pology optimiz

at generation to

度関数の正規

ポロジーの同

数 Vs , s を

合， 1 1i eと

を更新する．

において形状

変動場を同

の値をそれぞ

化した．

状・トポロジ

勾配法を利用

（式 (5) ），②

,T

G s

( )i iVsx V x

( )i s x

max

{ ( )V

V̂

max G

x

1

{ ( )max G

x

代入し， s決定された密度

ている問題，区

For shape optim

ams of H1 grad

ed to the shell

ation, where th

o obtain the opt

規化

同時最適化にお

を用いて，それ

とし， 1 0.i e

添字の iは繰

状最適化とトポ

同時に最適化す

ぞれ下式のよ

ジー同時最適化

用した形状と

②形状勾配関

( , )a

i ,

( )i . x

initial

( ))} VG x ,

initial

( )}

G x

が十分小さい

度変動場 ( x

区分的凸性の

mization

dient method f

surface as the

he negative den

timal density di

おいて，形状

れぞれ以下の

01の場合，繰返し回数を表

ポロジー最適

する際，両設

うに VG ,G の

化の流れ

トポロジーの

関数（式 (40)

min ,

,

.

いとき，式 (3

)x を用いて密

場合はその範

for shell. (a) fo

e pseudo force

nsity gradient fu

istribution.

状と密度分布は

ように更新さ1 0.01i e

とし

表す．

適化に関する異

設計変数のスケ

の初期形状で

の同時最適化

）と密度勾配

0 .T

35) の熱伝導マ

密度を変動させ

範囲において，

(b

or shape optim

to obtain the o

unction is appli

は得られた設

される．なお，密

しながら， s

異なる2つの支

ケーリングが

での最大値と設

システムの流

配関数（式 (4

マトリクスの

せることによ

ラグランジ

b) For topology

mization, where

optimal design

ed to the shell

設計速度場 (V x

密度に関して

( )is x によ

支配方程式を

重要となる．

設計変数の定

流れを示す．構

41) ）の数値

の正定値性によ

より，形状最適

ジュ汎関数 L は

optimization

e the negative

n velocity distri

surface as the p

)x と密度変動

ては上下限値が

より体積制約を

を用いて得られ

本研究では形

定義域 maxV̂ と

構築した最適化

値計算，③H1勾

より，次の関

適化の場合と

は必ず減少す

shape gradient

ibution. (b) for

pseudo internal

動場 ( ) x ，及

があるため，

を満たすまで

れる設計速度

形状勾配感度

max ( = 1) を

化システムは

勾配法を利用

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

関

す

t

r

l

及

で

度

度

を

は，

用

8



した速度場解

形状と密度場

な形状とトポ

で形状と密度

は汎用 FEM

いている．

本研究で提

な板の捩りと

210E (GPa

とトポロジー

5・1 捩

図 5 (a) で

形状とトポロ

の角点を拘束

進自由度，4

を単純支持

ˆ 1.05SM M

とした．

図 6 (a) に

線部分による

解析（式 (31)

場の同時更新

ポロジーを同

度場を同時に

M コードの MS

Fig. 4

提案する手法

と曲げの例題

a)，ポアソン

ー最適化を 2

り荷重を受け

で示される寸

ロジーの同時

束し，残りの

4～6 は x 軸か

持した．体積

0M ，トポロジ

に得られた同

る膜力（軸力

) ）による最

新（式 (38) (39

同時に求める．

に更新して１つ

SC NASTRAN

Flowchart of

法の有効性と妥

題，もう 1 つは

比 03. ，密

段階で行う場

ける正方形板問

寸法 200×200，

時最適化解析を

の角点に上向き

から z 軸周りの

制約値は 0M

ジー最適化に対

時最適化結果

力）で抵抗する

最適な設計速度

9) ），により

③のプロセ

つの FEM モ

N を用いた．

f simultaneous o

5.

妥当性を検証

は実際的なリ

密度の下限値を

場合との比較

問題

，板厚 2t (m

を行った．剛

き荷重を与え

の回転自由度

0 を初期形状

対して ˆ 0TM

果を示す．捩

る力学的に理想

度場と密度場解

構成され，こ

スでは速度場

デルに統合す

なお，速度場

optimization m

数値解析結

証するため，3

ンク構造部品

を最小値 min，及び H1勾配

mm)の捩り荷

剛性解析では捩

た．なお，SP

度を表す．速度

状の体積とし

00.5M ）とした

り荷重に対し

理想的な滑らか

解析（式 (34

この一連の操作

場解析と密度場

する．なお，構

場解析時の材料

method for shape

結果

つの数値例に

品の設計例題

001. とした

配法を用いな

荷重を受ける正

捩り負荷を与

PC は拘束自由

度場と密度場解

して， ˆ 0.5M

た．SIMP 法に

して X 型ビー

かな自由曲面形

4) ）による最

作を収束する

場解析を独立

構造解析，速

料定数は領域

e and topology

に適用した．

とした．いず

．また，板の

ない直接法との

正方形板（総

えるため，図

由度番号を表

解析では，図

0525M （内訳

におけるペナ

ドが対角線上

形状が形成さ

最適密度変動場

るまで繰り返す

立して行い，④

速度場解析と密

域全体に渡って

design.

そのうちの 2

ずれも材料定数

の捩りの例題を

の比較を行っ

要素数は 640

図 5 (a) に示す

表し，1～3 は

図 5 (b) に示す

訳は形状最適

ルティパラメ

上に形成され，

され，不静定構

場の算出，④

すことで最適

④のプロセス

密度場解析に

て一定値を用

2 つは基本的

数はヤング率

を用い，形状

った．

00）について

すように 3 つ

x から z の並

すように周辺

適化に対して

メータは 3p

主として稜

構造のため剛

④

適

ス

に

用

的

率

状

て

つ

並

辺

て

稜

剛

9



x

性の高い凸と

赤色が材料領

と体積の収束

材料レイアウ

できる．また

軽量化が共に

Fig. 5 Boun

which

the ve

Fig. 6 Optim

distrib

and v

5・1・1

本研究で提

った．解析条

化を行う手法

に形状最適化

最適化結果と

四隅周辺の盛

段階の形状最

たすために初

図 8 にトポロ

z

y x

Q

と凹の稜線部

領域（ 1 ），

束履歴を示す

ウトは，ビー

た，体積制約

に実現されて

ndary conditions

h an upward fo

elocity and den

mization result

bution. Red reg

volume normali

2 段階最適化

提案する同時

条件は同時最

法と，まずト

化後にトポロ

と同様に対角

盛り上り具合

最適化により

初期より 47.5

ロジー最適化

(a) Stiffn

(a) Optim

部分に材料が集

，青色が穴（

す．ここで，繰

ード形状に沿っ

約を満たしなが

ていることがわ

s of square plat

orce is applied

nsity analyses, in

ts of square p

gion indicates t

ized to the initia

化手法の比較

時最適化手法と

最適化と同様と

ポロジー最適

ジー最適化を

角線上に X 型

合とそれに伴う

コンプライア

5%減少し，最

化後に形状最適

fness analysis

mized structure

S

SPC=1

集まり骨組ラ

（ 0 01. ）を

繰り返し計算

って決定して

がらコンプラ

わかる．

te problem und

at one corner a

n which all edg

plate with the

the solid and blu

al value.

と 2 段階最適

とし，2 段階

適化を行い，

を行った場合

型ビード形状が

う材料分布が

アンスは約 95

終的なコンプ

適化を行った

e

SPC=3

23

イクなトポロ

を表している．

算途中における

おり，形状の

イアンスは安

der torsion. (a)

and the other co

ges are simply

simultaneous

lue region indic

化手法につい

最適化では，

収束後に形状

の最適化結果

が形成された

異なっている

5%減少し，第

プライアンス減

場合の最適化

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

Rat

io

ロジーが得られ

図 6 (b) に初

る結果からわか

の変更に伴い

安定して収束

shows the bou

orners are supp

supported.

optimization m

cates the void. (

いて，得られた

まず形状最適

状最適化を行

果を示す．最適

が，中央部の

ることがわか

第 2 段階のトポ

減少は約 88%

化結果を示す．

0 30

Iteration

れていること

初期値で正規

かるように，

トポロジーが

し（約 94%減

undary conditio

ported. (b) show

method. (a) sh

(b) shows the it

た最適化構造

適化を行い，

う手法の 2 種

適化構造は図

の盛り上りは同

る．図 7 (b) に

ポロジー最適

%の減少に留ま

．最初のトポ

(b) Velocity a

(b) Iteration

0 60No. of iterat

n 30

Iteratio

とがわかる．な

規化したコンプ

トポロジー最

が得られている

減少），構造の

n for the stiffn

ws the boundar

ows the shape

teration history

造及び収束履歴

収束後にトポ

種類について行

図 7(a)に示すよ

同時最適化と

に収束履歴を

適化により体積

まる結果とな

ポロジー最適化

analysis

history

SPC=

0 90

◆Compli

■Volume

tions

on 60

なお，図中の

プライアンス

最適化による

ることが確認

の高剛性化と

ess analysis, in

ry condition for

e and material

y of compliance

歴の比較を行

ポロジー最適

行った．図 7

ように，同時

と比べて低く，

を示すが，第 1

積は制約を満

なった．また，

化では捩り荷

=123

120

iance

e

Iteration 120

の

ス

認

n

r

l

e

行

適

7

時

1

満

荷

0

10



重のために外

的には他の計

り，これら 2

Fig. 7 Optim

then

corn

is wo

Fig. 8 Optim

and th

and v

5・1・2

同時最適化

った．直接法

れた密度勾配

た構造は，拘

ーボード問題

を招き，H1勾

外境界に沿う

計算条件と同

2 段階最適化

mization results

n topology opti

ners. (b) shows

orse than that w

mization results

hen shape optim

volumes normal

H1勾配法の

化に用いた両

法では正規化

配関数の値を

拘束点付近で

題が現れてい

勾配法に基づ

(a) Optim

(a) Optim

ような荷重経

同体積条件下で

化手法より同時

s of square plat

mization. (a) s

the iteration hi

with the simulta

s of square plat

mization. (a) sh

lized to the initi

有効性

両 H1勾配法の

化された形状勾

を用いて密度を

で形状の滑らか

いることが確認

づく本手法はそ

mized structure

mized structure

経路が得られ

でコンプライ

時最適化で得

te with the two

shows the shap

stories of comp

aneous optimiza

te with the two

hows the shape

ial value.

有効性を検証

勾配関数の値

を更新した．

かさを失い，

認される．こ

その問題を解

e

e

（50%の体積

アンスは初期

られた構造の

o-step optimizat

pe and material

pliances and vo

ation method.

o-step optimiza

and material d

証するために，

値を用いて節点

図 9 に直接法

波打ち問題が

れにより直接

解決する手法で

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

Rai

to

Raito of com

pliance

0

1

2

3

4

5

6

0

積制約で，コン

期形状から約

の方が高剛性で

tion method wh

l distribution, w

olumes normaliz

ation method w

distribution. (b)

，図 5 と同様

点座標を直接法

法により得られ

が生じている

接法は形状の非

であることが

0 50

Iteration 50

50

Iteration

ンプライアン

68%減少する

であることが

hich carried ou

which has com

zed to the initia

which carried ou

shows the itera

様の解析条件下

法線方向に変

れた結果を示

ことがわかる

非平滑性とト

確認された．

(b) Iteration

(b) Iteration

100No. of iter

0

Iteration 100

No. of iter100 1

ComComVoluVolu

50

Iteration 100

スは初期の 2

る結果が得られ

がわかる．

ut shape optimiz

mplicated distrib

al value. The fin

ut topology op

ation histories o

下で，直接法と

変動させ，同時

示す．直接法に

る．密度分布に

トポロジーの数

history

n history

150 20

ComplianComplianVolume(sVolume(t

ations

ations 150 200

mpliance(topologmpliance(shape)me(topology)ume(shape)

Iteration

2.5 倍），最終

れた．以上よ

zation first and

bution near the

nal compliance

ptimization first

of compliances

との比較を行

時に正規化さ

により得られ

にはチェッカ

数値不安定性

00 250

nce(shape)nce(topology)shape)opology)

Iteration 250

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

250

gy))

n 250

Raito of volum

e

終

d

e

e

t

s

行

れ

カ

性

Raito

ofvolume

11



Fig. 9 O

s

5・2 曲げ

次に，5・

適化解析を行

けるペナルテ

中央荷重点と

構造は初期形

Fig. 10 Boun

the fo

and d

Fig. 11 Opti

compliance an

iteration 300.

S

z

y x

z

y x

Obtained shape a

shape problems

げ荷重を受け

1 節と同じ正

行った．体積

ティパラメー

と拘束点を直

形状や手法の

ndary condition

force is applied

density analyses

imization resul

nd volume. Th

(a) Stiffn

(a) Optim

SPC=123

and material di

s are occurred.

ける正方形板問

正方形板につい

積制約値は形状

ータは 3p と

直線的に繋ぐ狙

の異なる Ansol

ns of square pl

at the center a

s, in which all e

lts of square pl

he compliance i

fness analysis

mized structure

SP

Q

stribution with

問題

いて，図 10

状最適化では初

した．図 11 (a

狙いとする立

laら（Ansola

ate under bend

and the all corn

edges are simp

late. (a) shows

is converged ar

e

PC=123

the direct meth

で示されるよ

初期形状の 1

a) に示すよう

立体トラスライ

a et al., 2002a）

ding. (a) shows

ners are simply

ply supported.

s the shape and

round iteration

z

Rat

io

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

hod. Numerical

ように曲げ荷重

.05，トポロジ

うに，得られた

イクな妥当な構

）や Hassani

the boundary c

y supported. (b)

d material distr

n 50, and the cl

y

0 50

Iteration 5

instabilities, or

重を与えて形

ジー最適化で

た構造は膜力

構造になって

ら（Hassani e

condition for th

) shows the bo

ribution (b) sh

lear material di

(b) Velocity a

(b) Iteration

100 15

0 Iteration

No. of

r the checkerbo

形状とトポロジ

は 0.5 とし，

力での荷重伝達

ていることが分

et al., 2013）の

he stiffness ana

undary conditi

ows the iterati

istribution is ob

analysis

n history

SPC=

50 200

◆Com

■Vol

n 150

iterations

oard and zigzag

ジーの同時最

SIMP 法にお

達となるよう

分かる．この

の同時最適化

alysis, in which

ion for velocity

ion histories of

btained around

=123

250 300

mpliance

lume

Iteration 300

g

最

お

の

h

y

f

d

12



結果と類似し

ンプライアン

ため，50 回

Fig. 12 Bou

mom

and

Fig. 13 Obta

fract

Sz

y x

z

x

しており，こ

ンスは安定し

辺りで収束し

undary conditio

ments are appl

density analyse

ained results of

tion, (b) and (c)

(a) Stiffn

(

(

SPC=123456

y

このことからも

して約 99%減少

しているが，明

ons of link par

lied at the two

es, in which on

f link part mod

) are for 50% a

fness analysis

(a) 70%

(c) 30%

M

z

y

も得られた構

少しているこ

明瞭な材料分

rt model. (a) s

o joints and th

ly joints are cla

del for different

and 30 %, respe

M

y

造の妥当性が

とがわかる．

分布（トポロジ

shows the bou

he rest joint is

amped.

t volume const

ectively. (d) sho

が裏付けられる

コンプライア

ジー）を得る

undary conditio

clamped. (b)

traints TM in top

ows comparison

(d)

る．収束履歴

アンスは形状

ため，300 回

on for the stiff

shows the bou

pology optimiz

n of compliance

(b) Velocity a

(b) 50%

Comparison of

歴を図 11 (b) に

状最適化の効果

回まで計算を継

ness analysis,

undary conditio

zation. (a) is fo

es.

analysis

%

f compliances

SPC=123456

に示すが，コ

果が支配的な

継続した．

in which two

on for velocity

or 70% volume

な

o

y

e

13



5・3 リンク構造部品への適用

提案手法を図 12 のようなやや複雑な設計領域を有する３つのジョイント部をもつリンク構造部品モデルに適

用した．図 12 (a) に示すように，剛性解析ではＬ型の両端部に捩りモーメントを作用させ，残りのジョイント部

を完全固定した．速度場と密度場解析では図 12 (b) のように，3 つのジョイント部を完全固定した．本例題では

体積制約値を変えながら，結果の比較も行った．体積制約は形状最適化では初期形状の 100%に固定し，トポロ

ジー最適化では (a)70%, (b)50%, (c)30%とした．ペナルティパラメータの値は 3p とした．図 13 に得られた結果

を示す．図 13 (a), (b), (c)はそれぞれ制約値 70%, 50%, 30%での最適構造を示す．得られた構造はいずれも捩り荷

重に効率的に抵抗するため，捩りモーメントを受ける両端部周辺は円筒断面になり，曲げ荷重も作用する中央部

付近は角筒に近い断面形状になっている．体積制約値に従って固定支持部付近の膨らみ方が異なっていることも

わかる．体積制約値に応じて異なる材料分布（トポロジー）が得られ，体積制約の小さい図 13(b)や(c)では捩りモ

ーメントを受ける両端部周辺は 45°方向に部材（トポロジー）が形成されており，得られた結果は力学的に妥当

であるといえる．図 13 (d) は初期形状で規準化したコンプライアンスと，単位体積あたりのコンプライアンスの

比較を示す．言及するまでもなく体積制約値が大きい程コンプライアンスは小さく，3 ケースとも初期形状より

高剛性である．コンプライアンスを体積当たりに換算した場合，70%の場合が最も比剛性が高く，50%と 30%は

ほぼ同じ値であることがわかる．

6. 結言

本研究ではシェル構造体を対象に，軽量化のためのトポロジー最適化と高剛性化のための形状最適化を組み合

わせた新たな形状とトポロジーの同時最適化手法の開発を，体積制約付きのコンプライアンス最小化問題を用い

て行った．形状最適化にはシェル用H1勾配法を用い，トポロジー最適化にはSIMP法を用い，両者を密度変動と形

状変動を設計変数とする拡張設計空間の中で，分布系の最適化問題として統一的に定式化し，感度関数を導出し

た．これをシェルの形状最適化用のH1勾配法と今回開発したシェルのトポロジー最適化用のH1勾配法に適用し，

解探索も統一的に行うことを特徴とする手法である．H1勾配法において，形状最適化では最適設計速度場を擬似

シェル弾性解析によって得られる変位場として求め，トポロジー最適化では密度変動場を擬似熱伝導解析によっ

て得られる温度場として求めた．形状最適化により設計領域を高剛性化しながら，その中の無駄な領域を取り除

く，もしくは荷重伝達経路を求める領域変動を伴うトポロジー最適化手法ともいえる．設計変数の滑らかさを保

持しながら，数値不安定性，すなわち形状最適化における波打ち問題とトポロジー最適化にけるチェッカーボー

ド，グレースケール問題も同時に解決する特徴も有する．

開発した手法を 3 つの設計例題に適用した結果，狙いとする設計変数の滑らかさと数値安定性を有した形状と

トポロジーの同時最適化（軽量化と高剛性化の両立）が達成され，その有効性が確認された．また，従来用いら

れていた２段階最適化手法との比較や直接法との比較も行い，提示手法の効果を示した．

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Bulletin of the JSME Vol.84, No.858, 2018

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