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Bulletin of the JSME

Transactions of the JSME (in Japanese)日本機械学会論文集

[DOI: 10.1299/transjsme.17-00292] © 2017 The Japan Society of Mechanical Engineers

Vol.83, No.854, 2017

無段変速機を用いた可変慣性質量をもつ振動抑制装置

松岡太一*1

Vibration suppression device that has variable inertia mass using CVT

Taichi MATSUOKA*1 *1 School of Science and Technology, Meiji University

1-1-1 Higashimita, Tama-ku, Kawasaki-shi, Kanagawa 214-8571, Japan

Abstract

In this paper author proposed a unique vibration suppression device that has variable inertia mass using continuously

variable transmission (CVT) in order to obtain vibration isolation when a harmonic frequency was coincided with an

anti-resonance frequency of 1DOF system. The device complies a ball screw mechanism, a flywheel, servo motors and

CVT. The CVT is composed of toroidal wheels and power transmission wheels. The device has a small inertia force

when an attitude angle of the power transmission is low by the servo motor as depending on a contact radius between

two half toroidal wheels, on the other hand the large inertia force under high angle, so variable inertia force which acts

as series inertia mass can be controlled continuously. The trial device was manufactured and the resisting force

characteristics were measured. Theory of the variable inertia force was introduced, and compared with the experimental

results. In order to confirm vibration control, an optimized inertia mass which always adjusts to anti-resonance

frequency was determined in case of 1DOF system with the device, frequency response tests were carried out by using a

shaking table, and experimental results were compared with calculated ones. Finally, the theory of resisting force and

effects of vibration suppression were confirmed.

Keywords : Vibration control device, Vibration control, Damper, Variable inertia mass, Anti-resonance frequency

1. まえがき

振動を低減したいときは，一般的に剛性を増すブレースや減衰能を付加するダンパなどを用いる．技術の向上

によってそれらの剛性（物理的にはばね定数），減衰能（減衰係数），摩擦力（垂直抗力）などを変化させて，よ

り優れた振動低減効果を得られるセミアクティブ型の制振装置が開発され，構造物や車両だけではなく様々な分

野で用いられている．これら可変する力の物理的な特性は，ばね力は変位に，減衰力や摩擦力は速度に依存する

もので，制御手法によって見かけの特性（前述のばね定数や減衰係数）を変えているものが多い．装置が小型か

つ高性能化するのに伴い，抵抗力を補うものの一つに慣性力が挙げられる（田上他，2008）．慣性力とは，物体の

質量と加速度の積で表され，ニュートンの第二法則でも知られている．物体が重たいほど急に動いたり，止まっ

たりできない現象である．その慣性力を利用して振動を抑制，吸収するものとしては，動吸振器（松久他，1990），

マスダンパ（田村，和田，1995），メカニカルスナッバ（千葉，小林，1984，川口他，1991），ポンプダンパ（川

俣，大沼，1986），減衰こま（古橋，石丸，2004，斉藤，井上，2007）などがある．さらに，相対加速度に比例し

て生じる慣性力が慣性接続質量（シリーズマス）として働くことを利用して，振動系の共振振動数と加振振動数

を同期させて反共振点を生じさせ，振動を低減もしくは遮断することができる（奥村，2005）．慣性質量を適宜変

化させて反共振状態に同調させることができれば，より広範囲な周波数域において振動遮断もしくは低減効果が

期待できる（安田他，1996）．これまでにも，慣性力を変化させるものとして，遠心力式（Ullman and Velkoff，1979），

二値切替式（大亦，宮永，1991，小澤，古谷，2001），電気回路のインピーダンスを変化させる方式（加藤，伊藤，

*1 正員，明治大学理工学部（〒214-8571 神奈川県川崎市多摩区東三田 1-1-1）

E-mail of corresponding author: [email protected]

1

Received: 29 June 2017; Revised: 9 August 2017; Accepted: 10 September 2017

No.17-00292 [DOI:10.1299/transjsme.17-00292], J-STAGE Advance Publication date : 21 September, 2017

Matsuoka, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.83, No.854 (2017)

© 2017 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00292]

1990，磯田，2008）などがあるが，機械的かつ連続的に慣性質量を変化させるものは例がなかった．著者は以前

に，フライホイールと発電機を組み合わせたセミアクティブダンパや（松岡他，2007，Nakamura et al., 2014），機

能性流体の質量移動効果を用いた振動低減装置を開発した（松岡，砂子田，2009）．機能性流体を用いた場合，磁

場の大きさによって減衰力だけでなく慣性力をも可変させることができるという特長がある（Matsuoka, 2011）．

そこで本研究では，振動系の反共振点で常に振動抑制効果を得られるように慣性接続質量を機械的かつ連続的に

変化させることを目的に，無段変速機を用いた可変慣性質量をもつ振動抑制装置を開発した．原理は，車両用に

開発されている無段変速機（Kraus，1959）の原理を応用して，変速比（ギア比）を連続的に変えることで，その

二乗に比例した慣性力が得られ，小さな質量の慣性円盤でも大きな質量効果が得られるというものである．装置

を試作し，慣性質量の変化を確かめるために抵抗力特性を測定した（松岡，2008）．次に，振動抑制効果を確かめ

るために，一自由度振動モデルに本装置を取り付けたときの慣性接続質量の最適条件を導出すると共に，数値計

算と周波数応答実験を行った．最後に，本装置の理論および有効性を確かめた．

2. 可変慣性質量の原理と構造

2・1 構造

本研究で提案する無段変速機を用いた可変慣性質量をもつ振動抑制装置の構造を図 1に，その諸元を表 1に示

す．本装置は，ピストンシリンダ，ロッドエンド，ボールねじ，ボールナット，ベアリング，カップリング，ハ

ーフトロイダル型円盤①および②（以降トロイダル円盤），パワー伝達円盤，クロスローラーベアリング，皿ばね，

フライホイール，サーボモータからなる．ボールねじ機構によってピストンの相対運動が回転運動に変換され，

トロイダル円盤①が回転する．トロイダル円盤②にはフライホイールが取付けられている．図 2に示す二つに向

かい合うトロイダル円盤①および②は，角度を任意に変えられるパワー伝達円盤を介して取付けてある．パワー

伝達円盤の傾転角を調整することによって円盤の回転半径が変わり，その回転速度が変化する．慣性モーメント

の大きさは回転速度すなわち回転半径比に比例するため，大きな慣性力が必要な時は，図 2(a)のように回転半径

比を大きくし，小さな慣性力の場合は図 2(b)のように回転半径比を小さくすることで慣性力を任意に変えること

ができる．パワー伝達円盤は中心軸方向および垂直方向の力を受けるためクロスローラーベアリングで支持され，

トロイダル円盤との接触面の摩擦力を保持するための皿ばねにより中心軸方向に予圧されている．パワー伝達円

盤の傾転角は/12～5/12 radまで動作可能であり，サーボモータによって制御される．

2・2 可変慣性質量

トロイダル円盤およびパワー伝達円盤をそれぞれ図 3(a)，(b)に示すように軸方向の微小要素に分割したとき，

その回転慣性モーメント dIは次式で表される．

(1)

1. Rod end 2. Ball screw 3. Ball nut 4. Ball bearing 5. Coupling 6. Flywheel 7. Half toroidal wheel

8. Power transmission wheel 9. Diaphragm spring 10. Cross roller bearing 11. Servo motor

Fig. 1 Design diagram of the vibration suppression device.

②

7 8 7 6 4

①

1 2

11

3 4

10

5 4

9 8 4 7 5

22

2

1ii RdhRdI

2



ここで，dhは微小要素の幅，Riは座標原点から距離 hにおける半径，は材料密度である．各円盤の半径 R1およ

び R2は，図 3から幾何学的に次式で表される．

(2)

(3)

ここで，rt はパワー伝達円盤の傾転中心半径（トロイダル円盤の外縁直径と同じ），r0 はキャビティ半径を示す．

トロイダル円盤の回転慣性モーメント ITは，式(2)を式(1)に代入して積分することにより得られ，次式になる．

Table 1 Specification of the vibration suppression device.

(a) 1 > 3 in = /12 (b) 1 < 3 in = 5/12

Fig. 2 Conditions of the attitude angle. Rotation speed of the toroidal wheel No. 2 is smaller than No. 1 when the attitude angle is

/12 in (a), otherwise it is larger when the attitude angle is 5/12 in (b).

(a) Half toroidal wheel (b) Power transmission wheel

Fig. 3 Infinitesimal element models.

① ② 1 3 1 3

① ②

a

b

Half toroidal wheel Torus radius rt 50 mm

Cavity radius r0 35 mm

Cavity aspect ratio k0 0.43

Density (Steel) 7850 kg/m3

Moment of inertia IT 7.36×10-4 kgm2

Power transmission wheel Distance from center a 19.6 mm

Distance from center b 29 mm

Half cone angle 0 /4 rad

Attitude angle /12~5/12 rad

Moment of inertia IP 1.36×10-4 kgm2

Flywheel Moment of inertia IC 6.41×10-4 kgm2

Ball screw Lead L 4 mm

Rotary efficiency 0.94

dh

r 0

h

dh

h

O O

r t

R1 R

2 r 0

22

01 hrrR t

22

02 hrR

3



(4)

同様に式(1)，(3)よりパワー伝達円盤の回転慣性モーメント IPは次式になる．

(5)

ここで，a および b は図 3(b)に示される座標原点から厚さ方向の距離である．一方，パワー伝達円盤の任意時の

姿勢を図 4に示す（田中，2000）．パワー伝達円盤の傾転角と回転半径比すなわち変速比の関係は，図 4から幾

何学的に次式で表される．

(6)

(7)

ここで，r1，r2，r3はそれぞれトロイダル円盤①，パワー伝達円盤，トロイダル円盤②の接触回転半径を表し，0

はパワー伝達円盤の半頂角である．パワー伝達円盤の回転慣性モーメント IPは変速比 r1/r2に比例し，トロイダル

円盤②の回転慣性モーメント ITおよびフライホイールの回転慣性モーメント ICは変速比 r1/r3にそれぞれ比例する

ので，ボールねじ軸に働く全トルク Tは次式になる．

(8)

ここで，1，2，3 はそれぞれトロイダル円盤①，パワー伝達円盤，トロイダル円盤②の回転角である．なお，

各回転慣性モーメントには，フランジ部や中空軸部等の差分が式(4)，(5)に加減されているものとする．ボールね

じのリードを Lとすると，ボールナットの直線運動力 Fは，ボールねじ軸の回転トルク Tとは F = (2/L)Tの関係

があり，各軸の回転角iとボールナットの並進量 uにはi = (r1/ri) (2/L)uの関係があるので，これらの式および式

(6)～(8)より次式になる．

(9)

ここで，はボールねじの逆作動変換効率，f0 は各円盤間の接触およびピストン等による全摩擦力を表し，SIGN

は符号関数である．式(9)の加速度項の係数を付加慣性質量 meとして定義する．式(6)，(7)，(9)および表 1の値を

Fig. 4 Attitude diagram of the power transmission wheel. The attitude angle of the power transmission wheel is related to a contact

radius between the toroidal wheels No. 1 and 2 such as a gear ratio. The power transmission wheel is able to switch the

attitude angle from /12 to 5/12 radian continuously.

r2

① r 3

②

r t

r 1

r0

0

)2cos(

cos

00

0

3

1

rr

rr

r

r

t

t

3

3

12

2

11 )(

CTPT IIr

rI

r

rIT

)(SIGN)(21

0

2

3

1

2

2

1

2

ufuIIr

rI

r

rI

LF CTPT

5

)(3

2)(

2

55332

0

4

0

ababrabrI P

2

0

2

0

4

0

2

0

240

4

3

15

84

2rrrrrrrr

rI ttttT

00

0

2

1

sin

cos

r

rr

r

r t

4



Fig. 5 Relations between the attitude angle, the gear ratio, and the inertia mass. The inertia mass is controlled by the attitude angle,

and it is quadratically increasing.

用いて傾転角に対する変速比および付加慣性質量の関係を図 5に示す．図 5からわかるように傾転角を変化させ

ることで，理論上は付加慣性質量を 5270～128000 kgまで連続的に変化させることができる．

3. 抵抗力特性

可変慣性質量の効果を確かめるために，振動抑制装置の抵抗力特性を測定した．装置の一方を固定壁に取付け，

他方をロードセルを介してモータからのスライダリンク機構に取付けて，振幅 10 mm，周波数 0.18 Hzの正弦波

状変位を加えて，パワー伝達円盤の傾転角を/12 rad（r1/r3 = 0.40），/4 rad（同 1.00），/3 rad（同 1.65），512 rad

（同 2.53）の 4通りに変化させたときの荷重と変位を測定した．実験結果を計算結果と併せて図 6に示す．なお，

摩擦力（図の縦幅）は実験結果から同定した．図 6から左肩上がりの直線で示される慣性力に加え，長方形で示

される摩擦力が組み合わさっていることがわかる．左肩上がりの直線の傾きは慣性質量に比例するため，傾転角

によって慣性質量を機械的に変えられることがわかる．図 6(a)～(d)から同定した摩擦力は順に 100，200，550，

800 Nであった．これはトロイダル円盤とパワー伝達円盤間のトルクを伝達する際に，傾転角が大きくなるにつ

れて伝達トルクが増し，それに比例して垂直抗力が上がるため摩擦力が増加すると考えられる．図 6(c)，(d)にお

いて図中右下に荷重が凹んでいる箇所があるが，トロイダル円盤②の回転数が上がるために伝達トルクが増して，

円盤間でスリップ現象が生じていると考えられる．スリップ防止のために，円盤表面にサンドブラスト加工を試

みたが，互いの盤面が擦れてしまい芳しい結果にはならなかったので本報では省略する．また，実験結果と計算

(a) /12 rad (b) /4 rad (c) /3 rad (d) 5/12 rad

Fig. 6 Resisting force characteristics. Experiment; ––, Calculation; - -. The attitude angle of the power transmission wheel is

switched (a) /12 as a radius ratio r1/r3 = 0.40, (b) /4 as 1.00, (c) /3 as 1.65, (d) 5/12 as 2.53, respectively. The calculated

results are derived by Eq. (9). Friction force is identified by using the experimental results. The device has a sum of the

inertia force, which is described as a left rising slope, and the friction force, which is described as a rectangle. The left rising

slope is switched by the attitude angle. The friction force is increasing as large attitude angle since a normal reaction force,

which transmits a torque between the power transmission wheel and the toroidal wheel, becomes large.

0

1

2

3

0

5

10

15

Gea

r ra

tio r

1/r

i

Iner

tia

mas

s m

e [1

04 k

g]

r1/r3

r1/r2

-10 0 10

-10 0 10-10 0 10-3

0

3[103]

-10 0 10

-10 0 10

-10 0 10-10 0 10-3

0

3[103]

-10 0 10

Forc

e [k

N]

Displacement [mm] Displacement [mm] Displacement [mm] Displacement [mm]

me

/12 /12 /6 /4 /3

Attitude angel [rad]

5



結果が概ね一致していることがわかる．

4. 一自由度振動系の振動抑制効果

4・1 応答倍率と最適条件

本装置が取付けられた主質量 m，減衰係数 c，ばね定数 kの一自由度振動系の解析モデルを図 7(a)に示す．ここ

では式の簡略化のため摩擦は考慮しない．本モデルの運動方程式は

(10)

になる．式(10)を相対変位 u = x – zを用いて表すと

(11)

になり，これは図 7(b)に示すように慣性質量が足し合わされた主質量（= m + me）に外力が作用する単純な振動系

と等価になる．振動数の調和振動の解を x = X eit，z = Z eitとし，式(11)を絶対座標系 xについて整理すると，

応答倍率 T (= X/Z)は

(12)

になり，これは振動遮断装置と同じ式である（松岡，砂子田，2009，Matsuoka，2011）．ここで，は質量比，

は減衰比，nは固有振動数，は振動数比を表し，それぞれ次式に示す．

(13)

質量比の最適条件，すなわち応答倍率の極値を求めるために，式(12)を2 で一階微分したものを零と等値

（dT2/d2 = 0）にして，質量比について整理すると次式が得られる．

(14)

また，応答倍率の極大値および極小値における振動数比（添え字は小さい方から 1, 2）はそれぞれ

(15)

になるが，減衰が無視できる程小さい場合は

(16)

(a) Original model (b) Equivalent model

Fig. 7 Analytical models of 1DOF system. The original system in (a), which has a series inertia mass, is replaced to a simple

1DOF system in (b). The series inertia mass is virtually added to the primary mass, and the coordinate system is changed to

a relative.

u x

m m + me

me

Primary mass

k c

Series mass

z k c

0)()()( zxkzxczxmxm e

zmkuucumm e )(

2222

2222

4})1(1{

4)1(

T

2

222222

2

)1(16)14(2

)21(4)1(2

)21(81212

2

2

2

2

1

)1/(11

zm

n

ne

m

k

mk

c

m

m

,,

2,

6



(17)

になり，1は振動系の共振振動数比，2は反共振振動数比である．加振振動数が（∝）のとき，常に式(14)を

満たすように質量比（∝me）を調整すると，応答倍率 T は極小値になる．すなわち反共振状態になって振動を

抑制または遮断できる．式(16)から，その慣性質量の効果によって振動系の共振振動数1 が低くなることがわか

る．式(15)の2を式(12)に代入すると，反共振点における応答倍率は次式になる．

(18)

式(18)より = 0の場合は質量比に関係なく T = 0になり完全に振動を遮断できる．高振動数域における応答倍率

は，振動数を無限大に近づけたときの極限値をとることで得られるので，式(12)より

(19)

になり，漸近はせず 1以下の値に必ず収束する．式(19)は式(16)，(17)から(1/2)2としても表せる．ところで，式

(15)の分子は必ず正値になることから，分母も同様に正値をとらなければならないので

(20)

という条件式が得られる．式(14)は減衰（∝）がある場合に適用できるが，振動系の減衰比が式(20)の右辺の値

以上になると，反共振点（極小値）が現れなくなる．実用的には減衰比が式(20)の右辺を上回ることは殆どない

か，もしくは質量比が限りなく小さい場合すなわち本装置の対象外になる．また，摩擦がある場合は調和振動時

における等価粘性減衰として扱うことができる．

4・2 数値計算

理論式を確かめるために，一自由度振動モデルを用いた応答倍率の数値計算を行った．質量比が 0～10 まで 6

種類のときの応答倍率の計算結果を図 8に示す．図 8(a)は振動系に減衰がない場合である．式(17)から得られる振

動数比において反共振点が現れており，完全に振動を遮断できる．質量比が増すにつれて共振点および反共振点

は低振動数側に移動する．一方，図 8(b)は減衰比を式(20)と同値にした場合である．反共振点は現れないが，質

量比が増すと式(20)の通り減衰比も増すため，共振点におけるピーク値は減少する．図 8(a)，(b)ともに高振動数

(a) = 0 (b) equals to Eq. (20)

Fig. 8 Numerical calculated results. There are anti-resonance points without damping in (a), and no anti-resonance point with

damping, which is given by Eq. (20), in (b). The resonance frequency and anti-resonance frequency are shifted toward low

frequency as increasing the mass ratio. The peak values are reduced as increasing damping ratio. All of the transmissibility

in case having the series inertia mass are converged to less than 1 at high frequency range.

0 1 20

1

2

3

0 1 20

1

2

3

Frequency ratio Frequency ratio

0 1 20

1

2

3

0 1 20

2

3

= 0.5

= 2 = 10

= 1

= 5

Tra

nsm

issi

bil

ity T

Tra

nsm

issi

bil

ity T

= 0 = 0 ( = 0)

= 1 ( = 0.58)

= 0.5 ( = 0.43)

= 2 ( = 0.77)

= 10 ( = 1.62)

= 5 ( = 1.17)

)21(2

)1(

)21(8)31)(1(4})21(811{)1(

)21(8)32(4}1)21(81{)(

4222

4222

2

T

1lim T

/12

7



Fig. 9 Numerical calculated results together with the mass ratio. Exact solution by Eq. (14); ––, Approximation by Eq. (17); - -.

The transmissibility of exact solution passes through any anti-resonance points completely whenever the mass ratio is

optimized by Eq. (14). The transmissibility and the mass ratio of exact solution are mostly coincided with the

approximation excepting for low frequency range.

域では式(19)の値に収束している．そこで，減衰比を 0.05と仮定し，質量比が 6種類の場合に加え，各振動数で

式(14)の最適条件を満たすように質量比を調整した場合の応答倍率の計算結果，およびその際の質量比を図 9 に

合わせて示す．式(14)から得られる厳密な最適解を用いた共振曲線，および式(17) から得られる近似解を用いた

共振曲線は，低振動数域で若干異なるもののほぼ一致しており，質量比が一定（ = 0を除く 5種類）の各共振曲

線の反共振点を通っていることがわかる．このことから，常に加振振動数に合わせて質量比を調整すれば振動を

抑制または遮断できる．減衰比が大きい場合は，低振動数の広い範囲で式(17)は式(15)に比べて差が大きくなるた

め，厳密には共振曲線の反共振点を通らないが，その誤差は少ない．

4・3 周波数応答実験

上述の理論通り振動数領域における振動抑制効果を調べるために，一自由度振動系を用いた周波数応答実験を

行った．実験装置を図 10に示す．一自由度系は，主質量mが 69 kg，ばね定数 kは荷重と変位の関係を測定し 7.27

kN/m と得られ，減衰比は自由振動波形から対数減衰率を求め 0.01 であった．図 6 の抵抗力特性のままでは慣性

質量および摩擦が大き過ぎるので，摩擦を少なくしてスリップを防止するとともに式(20)を満たすために，本実

験ではボールねじのリードを 20 mm，円盤の材質をアルミニウムに変えた．このときの振動系の固有振動数は 1.63

Hzになり，質量比は 3.58，0.45，等価粘性減衰比は 0.84，0.35であった．減衰は，ばねの構造減衰および本装置

やリニアガイドの摩擦があるが，ここでは包括して粘性減衰のみ同定した．加振する振動数を 0.1～3 Hz に変化

させたときの主質量の変位の応答倍率を測定した．周波数応答実験結果を計算値と併せて図 11に示す．図 11か

Fig. 10 Test setup. 1DOF system, which has shafts, linear bearings, a spring and a mass, is settled on a shaking table.

Tra

nsm

issi

bil

ity T

0 1 2

10-1

100

101

0 1 210-2

100

102

104

= 0 = 0.5

Approx.

Fixed wall Mass

= 1

Test device Spring

Shaking table

Frequency ratio

= 2

= 10

Exact

Mas

s ra

tio

0 1 2

10-1

100

101

0 1 210-2

100

102

104

= 5

8



Fig. 11 Experimental results of frequency response. Experiment; 〇, Calculation; - -. The resonance frequency is shifted toward

low frequency range as larger the mass ratio, and also the peaks decrease. Vibration is reduced nearby the anti-resonance

frequency. The experimental results agree with the calculated results.

ら慣性接続質量が増すと共振振動数とともに反共振振動数も低い方に移動すること，および共振点のピーク値が

低くなることがわかる．また，実験結果と計算結果はほぼ一致した傾向を示していることから，反共振点で振動

を抑制できることがわかる．

5. まとめ

無段変速機を用いた可変慣性質量をもつ振動抑制装置を開発し，その抵抗力特性を測定した．また，一自由度

振動モデルを用いた慣性接続質量の最適条件および周波数応答実験を行った．主な結果は以下の通りである．

(1) ハーフトロイダル型円盤およびパワー伝達円盤からなる無段変速機を用い，パワー伝達円盤の傾転角を変え

ることで慣性接続質量を連続的に変化させることができる．

(2) 抵抗力特性実験の結果，実験値と理論値がほぼ一致しており，理論式の有効性が確かめられた．その特性は

加速度比例の慣性力および速度依存の摩擦力の和で与えられる．

(3) 一自由度振動モデルを用いた周波数応答実験の結果から，反共振点を利用することで周波数領域において振

動を低減することができる．

謝辞

本研究は文部科学省科学研究費補助金，若手研究(B)，JP19760147の助成を受けたものです．

文献

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