Breve Introduccion a la Metrica de Hausdorff - utm.mx 1. Estruct y personal acad del Progr… · En...

Capítulo 1

Breve Introducción a la Métrica de Hausdorff

Franco Barragán, Armando Romero, S. Sánchez-Perales y Victor M. GrijalvaUniversidad Tecnológica de la Mixteca, Huajuapan de León, Oaxaca, México

1. Introducción

La temática de este escrito se encuentra dentro de la rama de la matemática cono-cida como topología. En 1905 Dimitrie Ponpeiu, en su tesis doctoral [17], introduceuna noción de distancia entre subconjuntos compactos del plano Euclideano. Pos-teriormente, en 1914 Felix Hausdorff retoma tal noción para definir una métricaen la colección de los subconjuntos compactos y no vacíos de un espacio métricoarbitrario [8], esta métrica se define como sigue, dados un espacio métrico (X, d) ydos subconjuntos compactos no vacíos A y B de X:

H(A,B) = max{sup{d(a,B) : a 2 A}, sup{d(b, A) : b 2 B}}.

En honor a los investigadores que introdujeron y definieron esta noción, actual-mente esta métrica es conocida como métrica de Ponpeiu-Hausdorff o métrica deHausdorff.

A partir de la definición de la métrica de Hausdorff, varios investigadores sevieron interesados en su estudio, pues en matemáticas y en varios fenómenos de lanaturaleza se tiene la necesidad de tener una noción formal en cuanto a la distanciao cercanía entre subconjuntos de algún conjunto dado, no basta considerar distanciaentre puntos de algún conjunto.

Por la relevancia que toma la métrica de Hausdorff, en 1914 justo cuando FelixHausdorff define formalmente un espacio topológico, investigadores de renombre,como L. Vietoris ([22]), K. Borsuk, S. Ulam ([2]) y E. Michel ([14]), se unen aHausdorff en el estudio de espacios cuyos elementos son conjuntos, tales espaciosson conocidos como hiperespacios. De esta manera surge una parte de la topologíaconocida como teoría de los hiperespacios. En particular, dado un continuo, esdecir, un espacio métrico compacto, conexo y no vacío, se pueden definir varioshiperespacios de tal continuo y son considerados con la métrica de Hausdorff. En laactualidad, la teoría de los hiperespacios de un continuo es muy estudiada. Variosde los resultados obtenidos en los últimos años pueden encontrarse en [9], [13] y[16]. Cabe señalar que esta línea de investigación es meramente abstracta, dondela métrica de Hausdorff es fundamental, puesto que es una noción que es parte dela definición del objeto de estudio, a saber, el hiperespacio de un continuo.

Por otra parte, paralelo al estudio de los hiperespacios de un continuo, otrasáreas de la matemática encontraron en la métrica de Hausdorff una excelente alter-nativa para adaptar y buscar soluciones a algunos de sus problemas. Por mencionar

1

2 1. BREVE INTRODUCCIÓN A LA MÉTRICA DE HAUSDORFF

algunas de estas áreas tenemos: ecuaciones diferenciales [11], optimización [20], teo-ría de operadores [18], estadística [3] y teoría fractal [1]. Por la influencia que tienela métrica de Hausdorff sobre varias áreas de la matemática, ésta tiene aplicacionesen otras ciencias como en: computación [19], robótica [7] y medicina [12].

El objetivo del presente escrito es estudiar la métrica de Hausdorff, en su formamás general, en la colección de los subconjuntos cerrados, acotados y no vacíos,CB(X), de cualquier espacio métrico X. El trabajo lo hemos distribuido como seindica a continuación.

En la segunda sección, mostramos las principales nociones y notaciones queserán útiles para el desarrollo y buen entendimiento del presente trabajo.

La tercera sección, la dedicamos para definir, dar formas alternativas, carac-terizar y para mostrar propiedades de la métrica de Hausdorff. Dado un espaciométrico X, en esta sección consideramos los siguientes subconjuntos de CB(X): elhiperespacio CTB(X) que consiste de los subconjuntos no vacíos, totalmente acota-dos y cerrados de X; el hiperespacio C

n

(X) cuyos elementos son los subconjuntosno vacíos, acotados y que tienen a lo más n componentes; el hiperespacio F

n

(X)

que consiste de los subconjuntos no vacíos y que tiene a lo más n puntos. Además,vemos condiciones bajo las cuales estos subconjuntos son cerrados en CB(X).

En la sección número cuatro, estudiamos propiedades que son compartidaspor un espacio métrico X y sus hiperespacios F

n

(X), Cn

(X), CTB(X) y CB(X),tales como: acotabilidad, acotabilidad total, separabilidad, completez, compacidady conexidad.

Finalmente, en la quinta sección, analizamos una aplicación de la métrica deHausdorff en la teoría de fractales, específicamente, en la aproximación de un tipoespecial de fractales.

2. Preliminares

En esta sección presentamos los conceptos y notaciones elementales que son labase para el desarrollo del presente escrito. Tales nociones, son de gran utilidadpara definir, dar formas alternativas y proporcionar propiedades de la métrica deHausdorff.

Definición 2.1. Sean (X, d) un espacio métrico, A,B ✓ X tales que A y Bson no vacío y x 2 X.

1. La distancia del punto x al conjunto A en X, se denota y define como:d(x,A) = ınf{d(x, a) : a 2 A}.

2. La distancia del conjunto A al conjunto B en X, se denota y define como:d(A,B) = ınf{d(a,B) : a 2 A}.

A continuación listamos algunas propiedades de distancia de un punto a unconjunto en un espacio métrico, las cuales no son difíciles de verificar [4, Cap. 4].

Teorema 2.1. Sean (X, d) un espacio métrico, A,B ✓ X tales que A y B sonno vacíos y x, y 2 X. Entonces se cumplen:

(a) Si A ✓ B, entonces d(x,B) d(x,A).(b) |d(x,A)� d(y,A)| d(x, y).(c) x 2 Cl(A) si y sólo si d(x,A) = 0.(d) d(x,A) = d(x,Cl(A)).

2. PRELIMINARES 3

En seguida introducimos dos nociones y estudiamos algunas de sus propiedadesque utilizaremos en la Sección 2, para definir la métrica de Hausdorff.

Definición 2.2. Sean (X, d) un espacio métrico y A,B ✓ X tales que A y Bson no vacíos y acotados. Entonces definimos y denotamos:

⇢(A,B) = sup{d(a,B) : a 2 A} y ⇢(B,A) = sup{d(b, A) : b 2 B}.

Teorema 2.2. Sean (X, d) un espacio métrico y A,B ✓ X con A y B novacíos y acotados. Entonces se cumple que:

⇢(A,B) = 0 si y sólo si A ✓ Cl(B).

Demostración: Supongamos que ⇢(A,B) = 0. Sea x 2 A. Entonces d(x,B) ⇢(A,B). Como ⇢(A,B) = 0, d(x,B) = 0. Por el Teorema 2.1,(c), se tiene quex 2 Cl(B). Por lo tanto, A ✓ Cl(B).

Recíprocamente, supongamos que A ✓ Cl(B). Sea a 2 A. Entonces a 2 Cl(B).Por el Teorema 2.1,(c), d(a,B) = 0. Así, para todo a 2 A, d(a,B) = 0. De dondesup{d(a,B) : a 2 A} = 0, esto es, ⇢(A,B) = 0. ⇤

Teorema 2.3. Sean (X, d) un espacio métrico y A,B,C ✓ X tales que A, By C son no vacíos y acotados. Entonces ⇢(A,B) ⇢(A,C) + ⇢(C,B).

Demostración: Sean a 2 A y c 2 C. Por el Teorema 2.1,(b), se sigue qued(a,B) d(a, c) + d(c, B). Entonces d(a,B) es una cota inferior del conjunto{d(a, c) + d(c, B) : c 2 C}. De donde,

d(a,B) ınf{d(a, c) + d(c, B) : c 2 C} ınf{d(a, c) : c 2 C}+ ınf{d(c, B) : c 2 C} d(a, C) + sup{d(c, B) : c 2 C} ⇢(A,C) + ⇢(C,B).

Como a 2 A fue arbitrario, ⇢(A,C) + ⇢(C,B) es una cota superior del conjunto{d(a,B) : a 2 A}. Así, ⇢(A,B) ⇢(A,C) + ⇢(C,B). ⇤

Teorema 2.4. Sean (X, d) un espacio métrico y A,B,C,D ✓ X con A, B, Cy D no vacíos y acotados. Entonces se cumplen:

(a) Si A ✓ B, entonces ⇢(A,C) ⇢(B,C) y ⇢(C,B) ⇢(C,A).(b) Si A ✓ B y C ✓ D, entonces ⇢(B [ C,A [D) ⇢(B,D).(c) ⇢(A,B) = ⇢(A,Cl(B)) = ⇢(Cl(A), B) = ⇢(Cl(A),Cl(B)).

Demostración: (a) Supongamos que A ✓ B. Como {d(a, C) : a 2 A} ✓ {d(b, C) :

b 2 B}, se sigue que ⇢(A,C) ⇢(B,C). Por otra parte, sea c 2 C. Como A ✓ B,por el Teorema 2.1,(a), d(c, B) d(c, A). Así, d(c, B) ⇢(C,A). Dado que c 2 Cfue arbitrario, ⇢(C,A) es cota superior del conjunto {d(c, B) : c 2 C}. De donde,⇢(C,B) ⇢(C,A).

(b) Supongamos que A ✓ B y C ✓ D. Sea x 2 B [ C. Si x 2 C, entoncesx 2 D, de donde, d(x,A [ D) = 0 ⇢(B,D). Ahora supongamos que x 2 B.Entonces d(x,A[D) ⇢(B,A[D). Por (a) de este teorema, se sigue que ⇢(B,A[D) ⇢(B,D). Dado que x 2 B [ C fue un elemento arbitrario, se tiene que⇢(B [ C,A [D) ⇢(B,D).

(c) Puesto que, por el Teorema 2.1,(d), {d(a,B) : a 2 A} = {d(a,Cl(B)) :

a 2 A}, se tiene que ⇢(A,B) = ⇢(A,Cl(B)). De manera similar, se obtiene que⇢(Cl(A), B) = ⇢(Cl(A),Cl(B)). Ahora, basta probar que ⇢(A,Cl(B)) = ⇢(Cl(A), B).


Por (a), de este teorema, se tiene que ⇢(A,B) ⇢(Cl(A), B). Esto implica que⇢(A,Cl(B)) ⇢(Cl(A), B). Aplicando el Teorema 2.3, ⇢(Cl(A), B) ⇢(Cl(A), A)+⇢(A,B). Luego, por el Teorema 2.2, ⇢(Cl(A), B) ⇢(A,B). Así, ⇢(Cl(A), B) ⇢(A,Cl(B)). En resumen, ⇢(A,Cl(B)) ⇢(Cl(A), B) ⇢(A,Cl(B)). En consecuen-cia, ⇢(A,Cl(B)) = ⇢(Cl(A), B). ⇤

Teorema 2.5. Sean (X, d) un espacio métrico, A,B ✓ X tales que A y Bno vacíos y acotados. Si {A

i

: i 2 I} y {Bi

: i 2 I} son familias no vacías desubconjuntos no vacíos y acotados del espacio X tales que

Si2I

Ai

yS

i2I

Bi

sonacotados, entonces se tiene que:

(I) ⇢(S

i2I

Ai

,S

i2I

Bi

) sup{⇢(Ai

, Bi

) : i 2 I},(II) ⇢(

Si2I

Ai

, B) = sup{⇢(Ai

, B) : i 2 I},(III) ⇢(A,

Si2I

Bi

) ınf{⇢(A,Bi

) : i 2 I}.

Demostración: (I) Sea a 2S

i2I

Ai

. Entonces existe j 2 I tal que a 2 Aj

.Luego, por el Teorema 2.1,(a), d(a,

Si2I

Bi

) d(a,Bj

). Así, ⇢(S

i2I

Ai

,S

i2I

Bi

) ⇢(A

j

, Bj

). De donde, ⇢(S

i2I

Ai

,S

i2I

Bi

) sup{⇢(Ai

, Bi

) : i 2 I}.(II) Sea a 2

Si2I

Ai

. De manera que, existe j 2 I tal que a 2 Aj

. De don-de, d(a,B) ⇢(A

j

, B) sup{⇢(Ai

, B) : i 2 I}. Por lo tanto, ⇢(S

i2I

Ai

, B) sup{⇢(A

i

, B) : i 2 I}. Por otro lado, sea j 2 I. Por el Teorema 2.4,(a), se tiene que⇢(A

j

, B) ⇢(S

i2I

Ai

, B). Esto implica que sup{⇢(Ai

, B) : i 2 I} ⇢(S

i2I

Ai

, B).En consecuencia, ⇢(

Si2I

Ai

, B) = sup{⇢(Ai

, B) : i 2 I}.(III) Sea j 2 I. Por el Teorema 2.4,(a), se tiene que ⇢(A,

Si2I

Bi

) ⇢(A,Bj

).Lo cual implica que ⇢(A,

Si2I

Bi

) ınf{⇢(A,Bi

) : i 2 I}. ⇤

Teorema 2.6. Sean (X, d) un espacio métrico y A,B ✓ X tales que A y Bson no vacíos y acotados. Entonces se tiene que:

⇢(A,B) = sup{d(x,B)� d(x,A) : x 2 X}.

Demostración: Fijemos x 2 X. Sea a 2 A. Entonces, por el Teorema 2.1,(b),se tiene que d(x,B) d(x, a) + d(a,B). De donde, d(x,B) es una cota inferior de{d(x, a) + d(a,B) : a 2 A}. En consecuencia,

d(x,B) ınf{d(x, a) + d(a,B) : a 2 A} ınf{d(x, a) : a 2 A}+ ınf{d(a,B) : a 2 A} d(x,A) + sup{d(a,B) : a 2 A}= d(x,A) + ⇢(A,B).

Así, d(x,B) � d(x,A) ⇢(A,B). Dado que el elemento x 2 X fue arbitrario,tenemos que sup{d(x,B)� d(x,A) : x 2 X} ⇢(A,B).

Por otra parte,

⇢(A,B) = sup{d(a,B) : a 2 A}= sup{d(a,B)� d(a,A) : a 2 A} sup{d(x,B)� d(x,A) : x 2 X}.

Por lo tanto, ⇢(A,B) = sup{d(x,B)� d(x,A) : x 2 X}. ⇤En la siguiente definición, introducimos las nociones de bola abierta y de nube

alrededor de un conjunto. En algunas referencias la nube alrededor de un conjuntoes conocida como entorno de un conjunto.

2. PRELIMINARES 5

Definición 2.3. Sean (X, d) un espacio métrico, A ✓ X tal que A es no vacíoy acotado, z 2 X y ✏ > 0.

1. La nube alrededor de A y radio ✏, se define y denota como:

N(✏, A) = {x 2 X : d(x,A) < ✏}.2. La bola abierta con centro en z y radio ✏ > 0, se define y denota por:

B(z, ✏) = {x 2 X : d(x, z) < ✏}.

La forma más común de la métrica de Hausdorff está dada en términos denubes, por tal motivo a continuación presentamos algunas propiedades de nubes,las cuales no son difíciles de probar y serán citadas con frecuencia en el resto delescrito.

Teorema 2.7. Sean (X, d) un espacio métrico, A,B ✓ X tales que A y B sonno vacíos y acotados y ✏ > 0. Entonces se cumplen:

(a) Si a 2 X, entonces N(✏, {a}) = B(a, ✏).(b) N(✏, A) =

S{B(a, ✏) : a 2 A}.

(c) x 2 N(✏, A) si y sólo si B(x, ✏) \A 6= ;.(d) N(✏, A) = N(✏,Cl(A)).(e) Si � > 0 y � < ✏, entonces Cl(N(�, A)) ✓ N(✏, A).(f) Si A ✓ B, entonces N(✏, A) ✓ N(✏, B).(g) N(✏, A) \B 6= ; si y sólo si N(✏, B) \A 6= ;.(h) Si {A

i

: i 2 I} es una familia no vacías de subconjuntos acotados yno vacíos de X tal que

Si2I

Ai

es acotado, entonces N(✏,S

i2I

Ai

) =Si2I

N(✏, Ai

).(i) N(✏, A) =

S{N(�, A) : � > 0 y � < ✏}.

(j) Si � > 0, entonces N(�, N(✏, A)) ✓ N(✏+ �, A).

Teorema 2.8. Sean (X, d) un espacio métrico, A,B ✓ X tales que A y B sonno vacíos y acotados y ✏ > 0. Entonces se cumplen:

(a) Si ⇢(A,B) < ✏, entonces A ✓ N(✏, B).(b) Si A ✓ N(✏, B), entonces ⇢(A,B) ✏.(c) Si A ✓ N(✏1, B), donde 0 < ✏1 < ✏, entonces ⇢(A,B) < ✏.

Demostración: (a) Supongamos que ⇢(A,B) < ✏. Sea a 2 A. Entonces d(a,B) ⇢(A,B) < ✏, es decir, d(a,B) < ✏. De donde, a 2 N(✏, B). En consecuencia, A ✓N(✏, B).

(b) Ahora, supongamos que A ✓ N(✏, B). Sea a 2 A. Entonces d(a,B) < ✏.Esto implica que ⇢(A,B) ✏.

(c) Se sigue inmediatamente de la parte (b) de este teorema. ⇤Notemos que, en general, el recíproco de (a) del Teorema 2.8, no es verdadero.

Sin embargo, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 2.9. Sean (X, d) un espacio métrico, A,B ✓ X tales que A y B sonno vacíos y acotados y ✏ > 0. Si A es compacto, entonces:

⇢(A,B) < ✏ si y sólo si A ✓ N(✏, B).

Demostración: Supongamos que A es compacto. Por el Teorema 2.8, bastaverificar que si A ✓ N(✏, B), entonces ⇢(A,B) < ✏. De manera que, supongamos queA ✓ N(✏, B). Entonces, por el Teorema 2.7,(i), A ✓

S{N(�, B) : � > 0 y � < ✏}.


Como A es compacto, existen �1, �2, . . . , �n tales que para cada i 2 {1, 2, . . . , n}�i

< ✏ y A ⇢S

n

i=1 N(�i

, B). Pongamos � = max{�i

: i 2 {1, 2, . . . , n}}. Ahora, seaa 2 A. Entonces existe j 2 {1, 2, . . . , n} tal que a 2 N(�

j

, B), así, d(a,B) < �j

. Dedonde, d(a,B) < �. Como a 2 A fue arbitrario, se sigue que � es cota superior de{d(a,B) : a 2 A}. En consecuencia, ⇢(A,B) �. Por lo tanto, ⇢(A,B) < ✏. ⇤

Teorema 2.10. Sean (X, d) un espacio métrico y A,B ✓ X tales que A y Bson no vacíos y acotados . Entonces se cumple:

⇢(A,B) = ınf{✏ > 0 : A ✓ N(✏, B)}.

Demostración: Sea ✏ > 0 tal que A ✓ N(✏, B). Entonces, por el Teorema 2.8,(b),⇢(A,B) ✏. Así, ⇢(A,B) es cota inferior de {✏ > 0 : A ✓ N(✏, B)}. De maneraque ⇢(A,B) ınf{✏ > 0 : A ✓ N(✏, B)}. Veamos que ⇢(A,B) es la mayor de lascotas inferiores para {✏ > 0 : A ✓ N(✏, B)}. Sea r > 0. Pongamos ✏1 = ⇢(A,B)+

r

2 .Entonces ⇢(A,B) < ✏1. Por el Teorema 2.8,(a), A ✓ N(✏1, B). En consecuencia, setiene que ✏1 2 {✏ > 0 : A ✓ N(✏, B)}. Además, ⇢(A,B) < ✏1 < ⇢(A;B) + r. Estoimplica que ⇢(A,B) es la mayor de las cotas inferiores de {✏ > 0 : A ✓ N(✏, B)}.Luego, ⇢(A,B) = ınf{✏ > 0 : A ✓ N(✏, B)}. ⇤

3. La Métrica de Hausdorff y Algunas de sus Propiedades

En esta sección definimos la métrica de Hausdorff sobre la colección de los subcon-juntos no vacíos, acotados y cerrados, CB(X), de un espacio métrico X. Presenta-mos formas alternativas y propiedades de tal métrica. Además, definimos algunossubconjuntos del espacio CB(X) y vemos bajo qué condiciones son subconjuntoscerrados en CB(X).

Por otra parte, las nociones y resultados relacionados con espacios métricos queno se definen en el presente escrito, se pueden consultar en [4], [10] o [15].

Definición 3.1. Sean (X, d) un espacio métrico. Entonces definimos las si-guientes colecciones de subconjuntos de X.

• CL(X) = {A ✓ X : A 6= ; y A es cerrado en X}.• CB(X) = {A ✓ X : A 6= ;, A es acotado y A es cerrado en X}.

Teorema 3.1. Sea (X, d) un espacio métrico. Entonces la función denotada porH : CB(X)⇥ CB(X) ! [0,1) y definida como H(A,B) = max{⇢(A,B), ⇢(B,A)},para cada A,B 2 CB(X), es una métrica sobre CB(X).

Demostración: Veamos que H es una métrica en CB(X).(1).- Sean A,B 2 CB(X). Entonces ⇢(A,B) � 0 y ⇢(B,A) � 0. De donde,

H(A,B) � 0.(2).- Sean A,B 2 CB(X). Si H(A,B) = 0, entonces ⇢(A,B) = 0 y ⇢(B,A) = 0.

Por el Teorema 2.2, se tiene que A ⇢ Cl(B) y B ⇢ Cl(A). Como A,B 2 CB(X),A ⇢ B y B ⇢ A, es decir, A = B. Recíprocamente, si A = B, entonces A ⇢ Cl(B)

y B ⇢ Cl(A). Por el Teorema 2.2, ⇢(A,B) = 0 y ⇢(B,A) = 0. Así, H(A,B) = 0.(3).- Sean A,B 2 CB(X). Por definición de H, se tiene que H(A,B) = H(B,A).

3. LA MÉTRICA DE HAUSDORFF Y ALGUNAS DE SUS PROPIEDADES 7

(4).- Sean A,B,C 2 CB(X). Utilizando el Teorema 2.3, se tiene que ⇢(A,B) ⇢(A,C) + ⇢(C,B) y ⇢(B,A) ⇢(B,C) + ⇢(C,A). Esto implica que:

H(A,B) = max{⇢(A,B), ⇢(B,A)} max{⇢(A,C) + ⇢(C,B), ⇢(B,C) + ⇢(C,A)} max{⇢(A,C), ⇢(C,A)}+max{⇢(C,B), ⇢(B,C)}= H(A,C) +H(C,B).

Por lo tanto, H(A,B) H(A,C) +H(C,B). De (1)-(4), podemos concluir que H

es una métrica sobre CB(X). ⇤La métrica H dada en el Teorema 3.1 fue definida por Felix Hausdorff [8] y en

la actualidad es conocida como métrica de Huasdorff sobre CB(X). Esta métricatiene aplicaciones en varias áreas de la matemática, dentro de las cuales tenemos:hiperespacios de continuos [16], ecuaciones diferenciales [11], optimización [20],teoría de operadores [18], estadística [3] y teoría fractal [1]. Por tal motivo y segúnlas necesidades, se han dado formas alternativas para esta métrica.

A continuación presentamos una manera alternativa de definir la métrica deHausdorff, como tal es definida en [10, pág. 214].

Teorema 3.2. Sean (X, d) un espacio métrico y A,B 2 CB(X). Entonces setiene que:

H(A,B) = sup{d(a,B), d(b, A) : a 2 A, b 2 B}.

Demostración: Como {d(a,B), d(b, A) : a 2 A, b 2 B} = {d(a,B) : a 2 A} [{d(b, A) : b 2 B}, se sigue que:

sup{d(a,B), d(b, A) : a 2 A, b 2 B}= sup{{d(a,B) : a 2 A} [ {d(b, A) : b 2 B}}= max{sup{d(a,B) : a 2 A}, sup{d(b, A) : b 2 B}}= max{⇢(A,B), ⇢(B,A)}= H(A,B).

Esto es, H(A,B) = sup{d(a,B), d(b, A) : a 2 A, b 2 B}. ⇤En el Teorema 3.3 mostramos otra forma de la métrica de Hausdorff. Esta

manera de definir tal métrica fue presentada originalmente por D. Ponpeiu en sutesis doctoral [17], por esta razón a la métrica de Hausdorff también se le conocecomo métrica de Ponpeiu o métrica de Ponpeiu-Hausdorff.

Teorema 3.3. Sean (X, d) un espacio métrico y A,B 2 CB(X). Entonces secumple que:

H(A,B) = sup{|d(x,B)� d(x,A)| : x 2 X}.

Demostración: Por el Teorema 2.6, se tiene que ⇢(A,B) = sup{d(x,B)�d(x,A) :

x 2 X}. Como sup{d(x,B)� d(x,A) : x 2 X} sup{|d(x,B)� d(x,A)| : x 2 X},se sigue que ⇢(A,B) sup{|d(x,B) � d(x,A)| : x 2 X}. De manera similar,obtenemos que ⇢(B,A) sup{|d(x,A) � d(x,B)| : x 2 X}. De donde, H(A,B) sup{|d(x,B)� d(x,A)| : x 2 X}.

Por otra parte, sea x 2 X. Por el Teorema 2.6, d(x,B) � d(x,A) ⇢(A,B) yd(x,A)� d(x,B) ⇢(B,A). Entonces max{d(x,B)� d(x,A), d(x,A)� d(x,B)} max{⇢(A,B), ⇢(B,A)} = H(A,B). Así, |d(x,A) � d(x,B)| H(A,B), para todox 2 X, es decir, H(A,B) es cota superior de {|d(x,A) � d(x,B)| : x 2 X}. Estoimplica que sup{|d(x,A)� d(x,B)| : x 2 X} H(A,B). ⇤


Con la idea de presentar otra forma de la métrica de Hausdorff, tenemos elsiguiente resultado.

Teorema 3.4. Sean (X, d) un espacio métrico, A,B 2 CB(X) y ✏ > 0. Enton-ces se cumplen:

(a) Si H(A,B) < ✏, entonces A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A).(b) Si A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A), entonces H(A,B) ✏.(c) Si A ✓ N(✏1, B) y B ✓ N(✏1, A), donde 0 < ✏1 < ✏, entonces H(A,B) < ✏.

Demostración: (a) Si H(A,B) < ✏. Entonces ⇢(A,B) < ✏ y ⇢(B,A) < ✏. Luego,aplicando el Teorema 2.8,(a), se tiene que A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A).

(b) Si A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A), entonces, por el Teorema 2.8,(b), se tieneque ⇢(A,B) ✏ y ⇢(B,A) ✏. De donde, H(A,B) ✏.

(c) Se sigue inmediatamente de la parte (b) de este teorema. ⇤Notemos que el recíproco de (a) del Teorema 3.4, en CB(X) no es verdadero.

Sin embargo, si nos restringimos al espacio 2

X , tenemos la siguiente caracterización.

Teorema 3.5. Sean (X, d) un espacio métrico, A,B 2 2

X y ✏ > 0. Entonces:

H(A,B) < ✏ si y sólo si A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A).

Demostración: Supongamos que A y B son compactos. Por el Teorema 3.4,(a),basta probar que si A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A), entonces H(A,B) < ✏. Así,supongamos que A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A). Por el Teorema 2.9, se sigue que⇢(A,B) < ✏ y ⇢(B,A) < ✏. De donde, H(A,B) < ✏. ⇤

La tercera forma de la métrica de Hausdorff que presentamos en este escritoes en términos de nubes y es muy utilizada en la teoría de los hiperespacios decontinuos, ver [9], [13] y [16].

Teorema 3.6. Sean (X, d) un espacio métrico y A,B 2 CB(X). Entonces secumple que

H(A,B) = ınf{✏ > 0 : A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A)}.

Demostración: Sea ✏1 2 {✏ > 0 : A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A)}. EntoncesA ✓ N(✏1, B) y B ✓ N(✏1, A). Luego, por el Teorema 3.4,(b), H(A,B) ✏1, estoes, H(A,B) es cota inferior de {✏ > 0 : A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A)}. Como ✏1fue arbitrario, se sigue que H(A,B) ınf{✏ > 0 : A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A)}.Veamos que H(A,B) es la mayor de las cotas inferiores. Sea r > 0. Pongamos✏2 = H(A,B) +

r

2 . Entonces H(A,B) < ✏2. Así, por el Teorema 3.4,(a), se obtieneque A ✓ N(✏2, B) y B ✓ N(✏2, A). De donde, ✏2 2 {✏ > 0 : A ✓ N(✏, B) y B ✓N(✏, A)}. Además, H(A,B) < ✏2 < H(A,B) + r. Esto implica que H(A,B) es lamayor de las cotas inferiores de {✏ > 0 : A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A)}, es decir,H(A,B) = ınf{✏ > 0 : A ✓ N(✏, B) y B ✓ N(✏, A)}. ⇤

A continuación demostramos otras propiedades que se tienen de la métrica deHausdorff, en este caso respecto a familias de conjuntos.

Teorema 3.7. Sean (X, d) un espacio métrico, A,B,C,D 2 CB(X). Entoncesse cumplen:

(a) Si a, b 2 X, entonces H({a}, {b}) = d(a, b).(b) Si A ✓ B y C ✓ D, entonces H(B [ C,A [D) H(B,D).

3. LA MÉTRICA DE HAUSDORFF Y ALGUNAS DE SUS PROPIEDADES 9

(c) Si {Ai

: i 2 I} y {Bi

: i 2 I} son subfamilias no vacías de CB(X) tales queSi2I

Ai

yS

i2I

Bi

son elementos de CB(X), entonces se tiene que:

H(

[

i2I

Ai

,[

i2I

Bi

) sup{H(Ai

, Bi

) : i 2 I}.

Demostración: (a) Sean a, b 2 X. Puesto que ⇢({a}, {b}) = d(a, b) y ⇢({b}, {a}) =d(b, a), se sigue que H({a}, {b}) = d(a, b).

(b) Supongamos que A ✓ B y C ✓ D. Por el Teorema 2.4,(b), se tiene que⇢(B [C,A [D) ⇢(B,D) y ⇢(A [D,B [C) ⇢(D,B). Esto implica que H(B [C,A [D) H(B,D).

(c) Por el Teorema 2.5,(I), se tiene que ⇢(S

i2I

Ai

,S

i2I

Bi

) sup{⇢(Ai

, Bi

) :

i 2 I} y ⇢(S

i2I

Bi

,S

i2I

Ai

) sup{⇢(Bi

, Ai

) : i 2 I}. Lo cual implica queH(

Si2I

Ai

,S

i2I

Bi

) max{sup{⇢(Ai

, Bi

) : i 2 I}, sup{⇢(Bi

, Ai

) : i 2 I}}. Sinperder generalidad, supongamos que max{sup{⇢(A

i

, Bi

) : i 2 I}, sup{⇢(Bi

, Ai

) :

i 2 I} = sup{⇢(Ai

, Bi

) : i 2 I}. Como sup{⇢(Ai

, Bi

) : i 2 I} sup{H(Ai

, Bi

) : i 2I}, se tiene que H(

Si2I

Ai

,S

i2I

Bi

) sup{H(Ai

, Bi

) : i 2 I}. ⇤Una vez definido un espacio, es natural considerar subconjuntos especiales de tal

espacio, pues el estudio de tales subconjuntos pueden ayudar a obtener conclusionessobre el espacio total.

Definición 3.2. Sean (X, d) un espacio métrico y n 2 N. Entonces definimoslas siguientes subcolecciones de CB(X):

• CTB(X) = {A ✓ X : A 6= ;, A es totalmente acotado y A es cerrado en X}.• 2

X

= {A ✓ X : A 6= ; y A es compacto}.• C

n

(X) = {A ✓ X : A 6= ;, A es acotado y A tiene a lo más n componentes}.• F

n

(X) = {A ✓ X : A 6= ; y A tiene a lo más n elementos}.• F(X) =

S{F

n

(X) : n 2 N}.De ahora en adelante, todos estos subconjuntos de CB(X) serán considerados

con la métrica de Hausdorff y los llamaremos hiperespacios del espacio métrico X.Cabe señalar que los hiperespacios 2

X , Cn

(X), Fn

(X) y F(X) son estudiados en[13] y [16], cuando X es un continuo (un espacio métrico, conexo, compacto y novacío). En este trabajo estamos considerando el hiperespacio CTB(X), que hastadonde sabemos no se había estudiado para cualquier espacio métrico X.

A consideración del lector, las nociones de: acotabilidad, acotabilidad total,completez y compacidad, puede consultarlas en [4].

Observación 1. Sean (X, d) un espacio métrico y n 2 N. Entonces se cumplen:(a) F

n

(X) ✓ F(X) ✓ 2

X ✓ CTB(X) ✓ CB(X).(b) F

n

(X) ✓ Cn

(X) ✓ CB(X), F1(X) ✓ Fn

(X) ✓ Fn+1(X) y C1(X) ✓

Cn

(X) ✓ Cn+1(X).

(c) Si X es acotado, se tiene que CL(X) = CB(X).(d) Si X es totalmente acotado, se sigue que CL(X) = CB(X) = CTB(X) y

Cn

(X) ✓ CTB(X).(e) Si X es completo, entonces CTB(X) = 2

X .(f) Si X es compacto, entonces CL(X) = CB(X) = CTB(X) = 2

X y Cn

(X) ✓2

X .Aplicando el Teorema 3.7, (a), se tiene la siguiente observación.Observación 2. Sean (X, d) un espacio métrico. Entonces el espacio X es

isométrico al hiperespacio F1(X).


Se sabe que existen propiedades en los espacios métricos que no se heredan acualquiera de sus subespacios, y que se heredan sólo si tales subespacios son subcon-juntos cerrados del espacio total. Así, es importante saber cuándo un subconjuntoes cerrado en el espacio considerado.

Teorema 3.8. Sean (X, d) un espacio métrico y n 2 N. Entonces Fn

(X) escerrado en CB(X).

Demostración: Sea A 2 Cl(Fn

(X)). Entonces existe una sucesión {Ak

} en Fn

(X)

tal que {Ak

} converge a A. Supongamos que A 62 Fn

(X). Entonces podemos consi-derar por lo menos n+1 elementos diferentes en A, x1, x2, . . . , xn

, xn+1 2 A. Ponga-

mos r = mın{d(xl

, xj

) : l, j 2 {1, 2, . . . , n+1}, l 6= j} > 0. Como {Ak

} converge a A,existe K 2 N tal que para cada k � K, H(A

k

, A) < r

2 . Fijemos k � K. PongamosA

k

= {a1, a2, . . . , am}, donde m n. Por el Teorema 3.5, A ✓ N(

r

2 , Ak

). Luego,por el Teorema 2.7,(a),(h), A ✓

Sm

i=1 B(ai

, r

2 ). Puesto que x1, x2, . . . , xn

, xn+1 2 A

y m n, se tiene que existe ai

2 Ak

y existen xl

, xj

2 A con l 6= j tales quexl

, xj

2 B(ai

, r

2 ). De donde, d(xl

, xj

) d(xl

, ai

) + d(ai

, xj

) < r, lo cual es unacontradicción. Por lo tanto, A 2 F

n

(X). De manera que, Cl(Fn

(X)) ✓ Fn

(X). Así,Fn

(X) es cerrado en CB(X). ⇤Con argumentos similares a los utilizados en la prueba del Teorema 3.8, pode-

mos usar para demostrar el siguiente resultado.

Teorema 3.9. Sean (X, d) un espacio métrico y n 2 N. Entonces F1(X) escerrado en cualquiera de los hiperespacios F

n

(X), F(X), Cn

(X), 2X y CTB(X).

Teorema 3.10. Sean (X, d) un espacio métrico. Entonces CTB(X) es cerradoen CB(X).

Demostración: Sea A 2 Cl(CTB(X)). Entonces tomemos una sucesión {Ak

} enCTB(X) tal que {A

k

} converge a A. Veamos que A es totalmente acotado. Sea ✏ > 0.Como {A

k

} converge a A, existe N 2 N tal que para cada k � N , H(Ak

, A) < ✏

4 .Fijemos m � N . Entonces H(A

m

, A) < ✏

4 . Por el Teorema 3.4,(a), se sigue queA ✓ N(

✏

4 , Am

) y Am

✓ N(

✏

4 , A). Dado que Am

es totalmente acotado, existenb1, b2, . . . , bl 2 A

m

tales que Am

✓S

l

i=1 B(bi

, ✏

4 ). Puesto que A ✓ N(

✏

4 , Am

) y porel Teorema 2.7, (h), (j) y (a), respectivamente, se sigue que A ✓

Sl

i=1 B(bi

, ✏

2 ).Por otra parte, dado que A

m

✓ N(

✏

4 , A), para cada i 2 {1, 2, . . . , l}, sea ai

2 A

tal que d(bi

, ai

) < ✏

4 . Veamos que A ✓S

l

i=1 B(ai

, ✏). Sea a 2 A. Entonces existej 2 {1, 2, . . . , l} tal que d(a, b

j

) < ✏

2 . Luego, d(a, aj

) d(a, bj

) + d(bj

, aj

) < ✏,esto es, a 2 B(a

j

, ✏). De donde, A ✓S

l

i=1 B(ai

, ✏). Por lo tanto, A es totalmenteacotado, es decir, A 2 CTB(X). En consecuencia, Cl(CTB(X)) ✓ CTB(X). Estoimplica que CTB(X) es cerrado en CB(X). ⇤

Aplicando la Observación 1,(e) y el Teorema 3.10, obtenemos el siguiente re-sultado.

Teorema 3.11. Sean (X, d) un espacio métrico completo. Entonces 2

X es ce-rrado en CB(X).

Para finalizar esta sección, tenemos el siguiente resultado, en el cual se muestraque C

n

(X) es cerrado en CB(X), siempre que X sea compacto.

Teorema 3.12. Sean (X, d) un espacio métrico compacto y n 2 N. EntoncesC

n

(X) es cerrado en CB(X).

4. ALGUNAS PROPIEDADES DEL ESPACIO CB(X) 11

Demostración: Sea A 2 Cl(Cn

(X)). Entonces existe una sucesión {Ak

} en Cn

(X)

tal que {Ak

} converge a A. Supongamos que A 62 Cn

(X). Entonces, sin pérdidade generalidad, podemos suponer que A tiene n + 1 componentes, digamos queA =

Sn+1i=1 C

i

, donde C1, C2, . . . , Cn

, Cn+1 son las componentes de A. Dado que

para cada i 2 {1, 2, . . . , n + 1}, Ci

es cerrado en X, y así, compacto, se tieneque d(C

l

, Cj

) > 0, para cada l, j 2 {1, 2, . . . , n + 1} con l 6= j. Pongamos r =

mın{d(Cl

, Cj

) : l, j 2 {1, 2, . . . , n + 1}, l 6= j} > 0. Como {Ak

} converge a A,existe K 2 N tal que para cada k � K, H(A

k

, A) < r

2 . Fijemos k � K. PongamosA

k

=

Sm

i=1 Ai

, donde m n y A1, A2, . . . , Am

son las componentes de Ak

. Por elTeorema 3.5, A ✓ N(

r

2 , Ak

). Luego, por el Teorema 2.7,(h), A ✓S

m

i=1 N(

r

2 , Ai

). Enconsecuencia,

Sn+1i=1 C

i

✓S

m

i=1 N(

r

2 , Ai

). Puesto que m n, se tiene que existenxl

2 Cl

, xj

2 Cj

para algunos l, j 2 {1, 2, . . . , n + 1} con l 6= j y existe ai

2 Ai

,para algún i 2 {1, 2, . . . ,m} tales que d(x

l

, ai

) < r

2 y d(ai

, xj

) < r

2 . De donde,d(x

l

, xj

) d(xl

, ai

) + d(ai

, xj

) < r. Esto implica que d(Cl

, Cj

) < r, lo cual esuna contradicción. Por lo tanto, A 2 C

n

(X). Entonces, Cl(Cn

(X)) ✓ Cn

(X). Así,C

n

(X) es cerrado en CB(X). ⇤

4. Algunas Propiedades del Espacio CB(X)

Esta sección la hemos dedicado al estudio de un problema típico en hiperespacios,a saber: si un espacio tiene cierta propiedad, entonces su hiperespacio también latiene, y viceversa. En esta sección analizamos este problema con las propiedades deacotabilidad, acotabilidad total, separabilidad, completez, compacidad y conexidad.Estas y otras nociones respecto a espacios métricos que utilizaremos en esta partedel escrito, puede consultarlas en [4], [10] y [15].

Teorema 4.1. Sea (X, d) un espacio métrico. Entonces X es acotado si y sólosi CB(X) es acotado. Además, diám(X) = diám(CB(X)).

Demostración: Supongamos que X es acotado. Veamos que CB(X) es acotado.Sean A,B 2 CB(X). Sea a 2 A. Fijemos un punto b 2 B. Entonces d(a,B) d(a, b).Como X es acotado, diám(X) 2 R+ y d(a, b) diám(X). Dado que el elementoa 2 A fue arbitrario, se tiene que d(a,B) diám(X), para todo a 2 A, es decir,diám(X) es una cota superior para el conjunto {d(a,B) : a 2 A}. De donde,⇢(A,B) diám(X). De manera similar se tiene que ⇢(B,A) diám(X). Así,H(A,B) diám(X). Por lo tanto, diám(CB(X)) diám(X). En consecuencia,CB(X) es acotado.

Recíprocamente, supongamos que CB(X) es acotado. Veamos que X es acotado.Sean x, y 2 X. Entonces A = {x}, B = {y} 2 CB(X). Puesto que CB(X) esacotado, diám(CB(X)) 2 R+ y H(A,B) diám(CB(X)). Por el Teorema 3.7,(a),se sigue que d(x, y) diám(CB(X)). Por lo tanto, diám(X) diám(CB(X)). Estoimplica que X es acotado.

Para finalizar, observemos que de las dos implicaciones podemos concluir quediám(X) = diám(CB(X)). ⇤

Considerando un espacio métrico X, A 2 CB(X) y ✏ > 0, la bola en CB(X)

con centro en A y rado ✏ la denotamos por B(A, ✏). Una prueba alternativa delTeorema 4.2, puede encontrarla en [10, Teorema 2, pág. 216].


Teorema 4.2. Sea (X, d) un espacio métrico. Entonces X es totalmente aco-tado si y sólo si CB(X) es totalmente acotado.

Demostración: Supongamos que X es totalmente acotado. Veamos que CB(X)

es totalmente acotado. Sea ✏ > 0. Entonces, para ✏

2 > 0, existen x1, x2 . . . , xn

2 Xtales que X =

Sn

i=1 B(xi

, ✏

2 ). Pongamos A = P({x1, x2, . . . , xn

})\{;}. Observemosque A es finito y A ✓ CB(X). Verifiquemos que CB(X) ✓

S{B(D, ✏) : D 2 A}.

Sea A 2 CB(X). Pongamos J = {i 2 {1, 2, . . . , n} : B(xi

, ✏

2 ) \ A 6= ;} y notemosque J 6= ; y J es finito. Definamos D = {x

i

: i 2 J}. Observemos que D 2 A.Veamos que H(A,D) < ✏. Tomemos a 2 A. Como A ✓ X =

Sn

i=1 B(xi

, ✏

2 ), existej 2 {1, 2, . . . , n} tal que a 2 B(x

j

, ✏

2 ). Luego, xj

2 D. Esto implica que d(a,D) d(a, x

j

) < ✏

2 . En consecuencia, A ✓ N(

✏

2 , D). Ahora veamos que D ✓ N(

✏

2 , A).Sea x

i

2 D. Entonces B(xi

, ✏

2 ) \ A 6= ;. Por el Teorema 2.7,(c), xi

2 N(

✏

2 , A).Así, D ✓ N(

✏

2 , A). Se sigue, por el Teorema 3.5, que H(A,D) < ✏. Luego, A 2S{B(D, ✏) : D 2 A}. En consecuencia, CB(X) ✓

S{B(D, ✏) : D 2 A}. Por lo

tanto, CB(X) es totalmente acotado.Ahora supongamos que el espacio CB(X) es totalmente acotado. Veamos que

X es totalmente acotado. Sea ✏ > 0. Como CB(X) es totalmente acotado, exis-ten A1, A2, . . . , An

2 CB(X) tales que CB(X) =

Sn

i=1 B(Ai

, ✏). Para todo i 2{1, 2, . . . , n}, sea a

i

2 Ai

. Veamos que X ✓S

n

i=1 B(ai

, ✏). Sea x 2 X. Entonces{x} 2 CB(X). Así, {x} 2

Sn

i=1 B(Ai

, ✏). De donde, existe j 2 {1, 2, . . . , n}. talque {x} 2 B(A

j

, ✏). Luego, H({x}, Aj

) < ✏. Se sigue, por el Teorema 3.5, queA

j

✓ N(✏, {x}). Como aj

2 Aj

, d(aj

, x) < ✏, es decir, x 2 B(aj

, ✏). Esto impli-ca que x 2

Sn

i=1 B(ai

, ✏). Así, X ✓S

n

i=1 B(ai

✏). Por lo tanto, X es totalmenteacotado. ⇤

Ahora analizamos la propiedad de separabilidad en los espacios Fn

(X) y F(X).

Teorema 4.3. Sean (X, d) un espacio métrico, S ✓ X y n 2 N. Entonces Ses denso en X si y sólo si F

n

(S) es denso en Fn

(X).

Demostración: Supongamos que S es denso en X. Veamos que Fn

(S) es densoen F

n

(X). Sean A 2 Fn

(X) y ✏ > 0. Pongamos A = {a1, a2, . . . , ak}, donde k n.Como S es denso en X, para cada i 2 {1, 2, . . . , k}, sea s

i

2 S tal que d(ai

, si

) < ✏.Definimos S1 = {s1, s2, . . . , sk}. Se sigue que S1 2 F

n

(S), A ✓ N(✏, S1) y S1 ✓N(✏, A). De donde, S1 2 F

n

(S) y, por el Teorema 3.5, H(A,S1) < ✏. Así, Fn

(S) esdenso en F

n

(X).Recíprocamente, supongamos que F

n

(S) es denso en Fn

(X). Sea x 2 X y ✏ > 0.Entonces {x} 2 F

n

(X). Por lo supuesto, existe A 2 Fn

(S) tal que H(A, {x}) < ✏.Por el Teorema 3.5, se tiene que {x} ✓ N(✏, A). De donde, existe a 2 A, tal qued(x, a) < ✏. Así, a 2 S \B(x, ✏). En consecuencia, S es denso en X. ⇤

Como la separabilidad es una propiedad hereditaria, usando la Observación 2y el Teorema 4.3, obtenemos el siguiente:

Corolario 4.1. Sean (X, d) un espacio métrico y n 2 N. Entonces X esseparables si y sólo si F

n

(X) es separable.

Teorema 4.4. Sean (X, d) un espacio métrico y S ✓ X. Entonces S es densoen X si y sólo si F(S) es denso en F(X).

Demostración: Supongamos que S es denso en X. Sean A 2 F(X) y ✏ > 0.Entonces existe n 2 N tal que A 2 F

n

(X). Por el Teorema 4.3, Fn

(S) es denso en


Fn

(X). De manera que existe D 2 Fn

(S) tal que H(A,D) < ✏. Así, existe D 2 F(S)tal que H(A,D) < ✏. Por lo tanto, F(S) es denso en F(X).

Recíprocamente, supongamos que F(S) es denso en F(X). Sea x 2 X y ✏ >0. Entonces {x} 2 F(X). De donde, existe n 2 N y existe A 2 F

n

(S) tal queH(A, {x}) < ✏. Por el Teorema 3.5, obtenemos que {x} ✓ N(✏, A). En consecuencia,existe a 2 A, tal que d(x, a) < ✏. De donde, a 2 S\B(x, ✏). Por lo tanto, S es densoen X. ⇤

Teorema 4.5. Sea (X, d) un espacio métrico. Entonces X es separable si ysólo si F(X) es separable.

Demostración: Supongamos que X es separable. Entonces, sea S un subconjuntonumerable de X tal que S es denso en X. Por el Teorema 4.4, se tiene que F(S)es denso en F(X). Además, F

n

(S) es numerable, para cada n 2 N. Luego, Por [21,Teorema 1.1.4, pág. 2], tenemos que F(S) es numerable. Así, F(X) es separable.

Recíprocamente, si F(X) es separable, entonces F1(X) es separable. Luego, porla Observación 2, se tiene que X es separable. ⇤

Con respecto a la separabilidad en CB(X), como una consecuencia inmediatadel Teorema 4.2 y [5, Teorema 4, pág. 90], se tiene el siguiente resultado.

Teorema 4.6. Sea (X, d) un espacio métrico. Si X es totalmente acotado,entonces CB(X) es separable.

En general, el recíproco del Teorema 4.6 no es verdadero (ver Teorema 4.13),sin embargo, tenemos el siguiente:

Teorema 4.7. Sea (X, d) un espacio métrico. Si CB(X) es separable, entoncesX es separable.

Demostración: Supongamos que CB(X) es separable. Entonces tomemos unsubconjunto numerable, digamos S = {A

n

: n 2 N}, de CB(X) tal que S es denso enCB(X). Para cada n 2 N, sea a

n

2 An

, y pongamos S = {an

: n 2 N}. Es claro queS es un subconjunto numerable de X. Resta verificar que S es denso en X. Sea x 2X y tomemos ✏ > 0. Como {x} 2 CB(X) y S es denso en CB(X), B({x}, ✏)\S 6= ;.Luego, existe k 2 N tal que H(A

k

, {x}) < ✏. Por el Teorema 3.4,(a), Ak

✓ N(✏, {x}).De donde d(a

k

, x) < ✏, es decir, ak

2 B(x, ✏). En consecuencia, B(x, ✏) \ S 6= ;.Esto muestra que S es denso en X. Con todo, tenemos que X es separable. ⇤

De inmediato surge la pregunta: ¿El recíproco del Teorema 4.7 es verdadero?Con el fin de obtener respuesta a esta interrogante, estudiamos el hiperespacioCTB(X) (ver Ejemplo 4.1).

Teorema 4.8. Sean (X, d) un espacio métrico y S ✓ X tal que S es denso enX. Entonces F(S) es denso en CB(X) si y sólo si CB(X) = CTB(X).

Demostración: Supongamos que F(S) es denso en CB(X). Sea A 2 CB(X).Veamos que A 2 CTB(X). Sea ✏ > 0. Como F(S) es denso en CB(X), existen 2 N y existe E 2 F

n

(S) tal que H(A,E) < ✏

2 . Pongamos E = {e1, e2, . . . , ek},donde k n. Por el Teorema 3.4,(a), E ✓ N(

✏

2 , A) y A ✓ N(

✏

2 , E). Así, para cadai 2 {1, 2, . . . , k}, sea a

i

2 A tal que d(ai

, ei

) < ✏

2 . Veamos que A ✓S

k

i=1 B(ai

, ✏). Seaa 2 A. Como A ✓ N(

✏

2 , E), existe j 2 {1, 2, . . . , k} tal que d(a, ej

) < ✏

2 . Aplicandola desigualdad triangular, tenemos que d(a, a

j

) d(a, ej

) + d(ej

, aj

) < ✏

2 +

✏

2 = ✏,


es decir, a 2 B(aj

, ✏). Así, A ✓S

k

i=1 B(ai

, ✏). En consecuencia, A es totalmenteacotado, esto es, A 2 CTB(X). Por lo tanto, CB(X) = CTB(X).

Recíprocamente, supongamos que CB(X) = CTB(X). Veamos que F(S) esdenso en CB(X). Sean C 2 CB(X) y ✏ > 0. Por lo supuesto, se tiene que C 2CTB(X), es decir, C es totalmente acotado. Entonces existen c1, c2, . . . , cn 2 Ctales que C ✓

Sn

i=1 B(ci

, ✏

4 ). Como S es denso en X, para cada i 2 {1, 2, . . . , n}, seasi

2 S tal que d(ci

, si

) < ✏

4 . Pongamos S1 = {s1, s2, . . . , sn}. Entonces S1 2 F(S).Veamos que H(S1, C) < ✏. Por el Teorema 3.4,(c), basta verificar que S1 ✓ N(

✏

2 , C)

y C ✓ N(

✏

2 , S1). Es claro que S1 ✓ N(

✏

2 , C). Ahora, sea c 2 C. Entonces existej 2 {1, 2, . . . , n} tal que d(c, c

j

) < ✏

4 . Luego, d(c, sj

) d(c, cj

)+d(cj

, sj

) < ✏

4 +✏

4 =

✏

2 , es decir, d(c, sj

) < ✏

2 . De donde, d(c, S1) < ✏

2 , con lo cual c 2 N(

✏

2 , S1). Así,C ✓ N(

✏

2 , S1). En consecuencia, por Teorema 3.4,(c), H(S1, C) < ✏. Por lo tanto,F(S) es denso en CB(X). ⇤

Aplicando el Teorema 4.8, se tiene el siguiente:

Teorema 4.9. Sea (X, d) un espacio métrico. Entonces F(X) es denso enCB(X) si y sólo si CB(X) = CTB(X).

Por la Observación 1,(a), se tiene que F(X) ✓ 2

X ✓ CTB(X) ✓ CB(X).Entonces aplicando el Teorema 4.9, obtenemos:

Teorema 4.10. Sea (X, d) un espacio métrico. Si CB(X) = CTB(X), entoncesF(X) es denso en 2

X .

Teorema 4.11. Sea (X, d) un espacio métrico. Si CB(X) = CTB(X), entoncesX es separable.

Demostración: Supongamos que CB(X) = CTB(X). Veamos que X es separable.Fijemos r > 0. Entonces A = {B(x, r) : x 2 X} es una cubierta abierta de X.Como X es paracompacto [15, Teorema 41.4, pág. 293], existe un refinamientoabierto localmente finito C de A tal que X =

SC. Por [15, Lema 41.3, pág. 290], al

refinamiento C lo podemos considerar cerrado. Ahora, sea A 2 C. Entonces existex 2 X tal que A ✓ B(x, r). De donde, A es acotado, así por el [5, Corolario 1’,pág. 85], Cl(A) 2 CB(X). Por hipótesis, Cl(A) 2 CTB(X). De donde, Cl(A) estotalmente acotado, lo cual implica que A es totalmente acotado. De donde, por[5, Teorema 4, pág. 90], A es separable. Por lo tanto, para cada A 2 C, A esseparable. En resumen: tenemos la propiedad topológica de separabilidad la cuales hereditaria respecto a subconjuntos cerrados de X. Además, X =

SC, donde C

es una familia localmente finita de subconjuntos cerrados de X, cada uno de loscuales es separable. Entonces, por [4, 3.7.H, pág. 191], se concluye que el espacioX es separable. ⇤

Teorema 4.12. Sean (X, d) un espacio métrico. Entonces CB(X) es separablesi y sólo si CB(X) = CTB(X).

Demostración: Supongamos que CB(X) es separable. Sea A 2 CB(X). Veamosque A 2 CTB(X). Sea ✏ > 0. Por el Teorema 4.7, se tiene que X es separable. Demanera que podemos tomar un subconjunto numerable S de X tal que S es densoen X. Por el Teorema 4.4, obtenemos que F(S) es denso en CB(X). Entonces existen 2 N y existe S1 2 F

n

(S) tal que H(A,S1) <✏

2 . Por el Teorema 3.4,(a), se sigue queA ✓ N(

✏

2 , S1) y S1 ✓ N(✏, A). Pongamos S1 = {s1, s2, . . . , sk}, donde k n. Como


S1 ✓ N(✏, A), para cada i 2 {1, 2, . . . , k}, sea ai

2 A tal que d(si

, ai

) < ✏

2 . Veamosque A ✓

Sk

i=1 B(ai

, ✏). Sea a 2 A. Puesto que A ✓ N(

✏

2 , S1), existe j 2 {1, 2, . . . , k}tal que d(a, s

j

) < ✏

2 . Luego, d(a, aj

) d(a, sj

) + d(sj

, aj

) < ✏

2 +

✏

2 = ✏. Así,a 2 B(a

j

, ✏). Se sigue que A ✓S

k

i=1 B(ai

, ✏). De donde, A es totalmente acotado,es decir, A 2 CTB(X). Por lo tanto, CB(X) = CTB(X).

Recíprocamente, supongamos que CB(X) = CTB(X). Por el Teorema 4.11,se tiene que X es separable. Luego, por el Teorema 4.5, se sigue que F(X) esseparable. Además, por el Teorema 4.9, tenemos que F(X) es denso en CB(X). Así,F(X) ✓ CB(X) con F(X) separable y denso en CB(X). Esto implica que CB(X)

es separable. ⇤Por el Teorema 4.12 y dado que la separabilidad es una propiedad heredita-

ria, se tiene que: dado un espacio métrico (X, d) tal que CB(X) = CTB(X), loshiperespacios F

n

(X), Cn

(X), F(X) y 2

X son separables.Utilizando los Teoremas 4.2 y 4.12, obtenemos el siguiente:

Teorema 4.13. Sean (X, d) un espacio métrico acotado. Entonces las condi-ciones siguientes son equivalentes.

1. X es totalmente acotado.2. CB(X) es totalmente acotado.3. CB(X) es separable.

Usando el Teorema 4.13, podemos construir ejemplos de espacios, X, separablestales que tengan espacio CB(X) no separable.

Ejemplo 4.1. Sea (N, d), donde d es la métrica discreta. Entonces N es sepa-rable y CB(N) no es separable.

Para verificar esto, primero notemos que N es acotado y que N no es totalmeteacotado. Si CB(N) fuera separable, entonces, por el Teorema 4.13, se tendría Ntotalmente acotado, lo cual no puede ser. Por lo tanto, CB(N) no es separable.

Por el Teorema 4.12 y por [5, Teorema 5, pág. 232], obtenemos el resultadosiguiente.

Teorema 4.14. Sea X un espacio normado de dimensión finita. Entonces elespacio CB(X) es separable.

Para estudiar la completez en el hiperespacio CB(X), necesitamos de algunasnociones y resultados previos.

Definición 4.1. Sean X un espacio métrico y {An

}1n=1 una sucesión en

CB(X). Se define y denota el límite superior de la sucesión {An

}1n=1 como:

lım supAn

= {x 2 X : para todo abierto U de X con x 2 U, existe J ⇢N con J infinito y tal que U \A

n

6= ;, para cada n 2 J}.

Teorema 4.15. Sea (X, d) un espacio métrico y {An

}1n=1 una sucesión en

CB(X). Entonces lım supAn

es cerrado en X.

Demostración: Sean x 2 Cl(lım supAn

) y ✏ > 0. Se sigue que B(x, ✏) \lım supA

n

6= ;. Sea y 2 B(x, ✏) \ lım supAn

. Sea r > 0 tal que B(y, r) ✓ B(x, ✏).Como y 2 lım supA

n

, existe un subconjunto infinito J de N tal que B(y, r)\An

6= ;,para cada n 2 J . Entonces B(x, ✏) \ A

n

6= ;, para cada n 2 J , es decir,


x 2 lım supAn

. Luego, Cl(lım supAn

) ✓ lım supAn

. En consecuencia lım supAn

es cerrado en X. ⇤

Lema 4.1. Sean (X, d) un espacio métrico, {An

} una sucesión en CB(X) y✏ > 0. Si existe N 2 N tal que para cada n � N , A

n

✓ N(

✏

2 , AN

), entonceslım supA

n

✓ N(✏, AN

).

Demostración: Supongamos que existe N 2 N tal que para todo n � N ,A

n

✓ N(

✏

2 , AN

). EntoncesS1

n=N

An

✓ N(

✏

2 , AN

). De manera que, Cl(S1

n=N

An

) ✓Cl(N(

✏

2 , AN

)). Por el Teorema 2.7,(e), se sigue que Cl(S1

n=N

An

) ✓ N(✏, AN

) Vea-mos que lım supA

n

✓ Cl(S1

n=N

An

). Supongamos que existe x 2 lım supAn

tal quex 62 Cl(

S1n=N

An

). Entonces, existe r > 0 tal que B(x, r) \ (

S1n=N

An

) = ;. Así,para todo n � N,B(x, r)\A

n

= ;. Entonces B(x, r) intersecta a lo más un númerofinito de A

n

’s, es decir, x 62 lım supAn

, lo cual es una contradicción. Por lo tanto,lım supA

n

✓ Cl(S1

n=N

An

). Esto implica que lım supAn

✓ N(✏, AN

). ⇤

Teorema 4.16. Sean (X, d) un espacio métrico y {An

} una sucesión de Cauchyen CB(X). Entonces lım supA

n

es acotado.

Demostración: Fijemos ✏ > 0. Como {An

} es una sucesión de Cauchy en CB(X),existe N 2 N tal que para todo n � N , H(A

N

, An

) < ✏

2 . Por el Teorema 3.4,(a), setiene que para cada n � N , A

n

✓ N(

✏

2 , AN

). Luego, por el Lema 4.1, lım supAn

✓N(✏, A

N

). De donde, lım supAn

es un conjunto acotado. ⇤

Lema 4.2. Sean (X, d) un espacio métrico y {An

} una sucesión de Cauchy enCB(X). Entonces para cada ✏ > 0, existe N 2 N tal que:

(a) Para cada n � N , H(AN

, An

) < ✏

22 .(b) Si m � N , entonces existe una sucesión de números naturales {n

k

} tal quem = n1 y para cada k 2 N:

nk

< nk+1 y H(A

nk , Ank+1) <✏

2

k

.

Demostración: Sea ✏ > 0. Puesto que {An

} es una sucesión de Cauchy en CB(X),existe N 2 N tal que para cada n � N , H(A

N

, An

) < ✏

22 . Esto prueba (a).Ahora, sea m � N . Pongamos m = n1. Entonces, por (a), para todo n � n1,

se tiene que H(An1 , An

) < ✏

2 .Nuevamente, dado que {A

n

} es una sucesión de Cauchy en CB(X), existe M1 2N tal que para todo n � M1, H(A

M1 , An

) < ✏

2·22 .Sea n2 2 N tal que n2 > n1 y n2 � M1. Entonces para todo n � n2,

H(An2 , An

) < ✏

22 . Puesto que n2 > n1, H(An1 , An2) <

✏

2 .Como {A

n

} es una sucesión de Cauchy en CB(X), existe M2 2 N tal que paratodo n � M2, H(A

M2 , An

) < ✏

2·23 .Sea n3 2 N tal que n3 > n2 y n3 � M2. Entonces para todo n � n3,

H(An3 , An

) <✏

2

3. Como n3 > n2, H(A

n2 , An3) <✏

22 .Como {A

n

} es una sucesión de Cauchy en CB(X), existe M3 2 N tal que paratodo n � M3, H(A

M3 , An

) < ✏

2·24 .Sea n4 2 N tal que n4 > n3 y n4 � n3. Entonces para todo n � n4,

H(An4 , An

) <✏

2

4. Puesto que n4 > n3, H(A

n3 , An4) <✏

23 .


Siguiendo este proceso, obtenemos la sucesión de números naturales {nk

} y lasubsucesión {A

nk} de {An

} tales que, para cada k 2 N:

nk

< nk+1 y H(A

nk , Ank+1) <✏

2

k

.

Con lo cual, concluimos la prueba de este lema. ⇤

Teorema 4.17. Sean (X, d) un espacio métrico completo y {An

} una sucesiónde Cauchy en CB(X). Entonces lım supA

n

6= ;.

Demostración: Por el Lema 4.2, existe una sucesión de números naturales {nk

}tal que para cada k 2 N:

nk

< nk+1 y H(A

nk , Ank+1) <✏

2

k

.

Entonces, por el Teorema 3.4,(a), se sigue que, para cada k 2 N:

Ank ✓ N(

1

2

k

, Ank+1).

Fijemos xn1 2 A

n1 . Entonces existe xn2 2 A

n2 tal que d(xn1 , xn2) <

12 . Luego,

existe xn3 2 A

n3 tal que d(xn2 , xn3) < 1

22 . De donde, existe xn4 2 A

n4 tal qued(x

n3 , xn4) <123 . Así, obtenemos la sucesión {x

nk} en X tal que para dada k 2 N,d(x

nk , xnk+1) <12k . Notemos que si l, j 2 N con j < l, entonces

d(xnj , xnl) d(x

nj , xnj+1) + d(xnj+1 , xnj+2) + · · ·+ d(x

nl�1 , xnl)

12j +

12j+1 + · · ·+ 1

2l�1

=

Pl�1i=j

(

12 )

i.

Esto implica que {xnk} es una sucesión de Cauchy en X. Como X es completo,

existe x 2 X tal que {xnk} converge a x.

Veamos que x 2 lım supAn

. Sea ✏ > 0. Como {xnk} converge a x, existe N 2 N

tal que xnk 2 B(x, ✏), para todo k � N . Así x

nk 2 B(x, ✏)\Ank , para todo k � N .

En consecuencia, x 2 lım supAn

. Con lo cual, tenemos que lım supAn

6= ;. ⇤Estamos en condiciones de verificar que la completez es equivalente para X y

su hiperespacio CB(X), el lector puede comparar con [10, Teorema 1, pág. 407].

Teorema 4.18. Sea (X, d) un espacio métrico. Entonces X es completo si ysólo si CB(X) es completo.

Demostración: Supongamos que X es completo. Veamos que CB(X) es completo.Sea {A

n

} una sucesión de Cauchy en CB(X). Por los Teoremas 4.15, 4.16 y 4.17,se sigue que lım supA

n

2 CB(X). Veamos que {An

} converge a lım supAn

enCB(X). Sea r > 0 y pongamos ✏ =

r

4 . Como {An

} es una sucesión de Cauchy enCB(X), y por el Lema 4.2, existe N 2 N tal que para cada n � N , se tiene queH(A

N

, An

) < ✏

22 .Veamos que para cada n � N , H(A

n

, lım supAn

) < r. Sea m � N . Notemosque para cada n � m, H(A

m

, An

) < ✏

2 . Esto implica, por el Teorema 3.4,(a),que para cada n � m, A

n

✓ N(

✏

2 , Am

). Luego, por el Lema 4.1, se sigue quelım supA

n

✓ N(✏, Am

). De donde, lım supAn

✓ N(

r

2 , Am

).Resta probar que A

m

✓ N(

✏

2 , lım supAn

). Por el Lema 4.2,(b), sea {nk

} lasucesión de números naturales tal que m = n1 y para cada k 2 N:

nk

< nk+1 y H(A

nk , Ank+1) <✏

2

k

.


Por el Teorema 3.4,(a), se sigue que para cada k 2 N:

Ank ✓ N(

✏

2

k

, Ank+1).

Sea xn1 2 A

m

= An1 . Entonces existe x

n2 2 An2 tal que d(x

n1 , xn2) < ✏

2 .Luego, existe x

n3 2 An3 tal que d(x

n2 , xn3) <✏

22 . De donde, existe xn4 2 A

n4 talque d(x

n3 , xn4) < ✏

23 . Así, obtenemos la sucesión {xnk} en X tal que para cada

k 2 N, d(xnk,xnk+1

) <12k . Notemos que si l, j 2 N con j < l, entonces

d(xnj , xnl) d(x

nj , xnj+1) + d(xnj+1 , xNj+2) + · · ·+ d(x

nl�1 , xnl)

✏

2j +

✏

2j+1 + · · ·+ ✏

2l�1

=

Pl�1i=j

✏( 12 )i.

Esto implica que {xnk} es una sucesión de Cauchy en X. Como X es completo,

existe x 2 X tal que {xnk} converge a x. Además, notemos que x 2 lım supA

n

.También observemos que d(x

n1 , xnk) < ✏, para todo k 2 N.Como {x

nk} converge a x, existe N 2 N tal que para todo k � N , d(xnk , x) < ✏.

Fijemos k � N . Entonces d(xn1 , x) d(x

n1 , xnk) + d(xnk , x) < 2✏ =

r

2 . Así,d(x

n1 , x) < r

2 . Con lo cual tenemos que xn1 2 N(

r

2 , lım supAn

). Entonces An1 =

Am

✓ N(

r

2 , lım supAn

). Por lo tanto, por el Teorema 3.4,(c), H(Am

, lım supAn

) <r. De manera que H(A

n

, lım supAn

) < r, para cada n � N . En consecuencia, {An

}converge a lım supA

n

en CB(C). Por lo tanto, CB(X) es completo.Recíprocamente, supongamos que CB(X) es completo. Entonces, por el Teore-

ma 3.8, F1(X) es cerrado en CB(X). Así, por [5, Teorema 3, pág. 118], F1(X) escompleto. Luego, por la Observación 2, se sigue que F1(X) es isométrico a X. Estoimplica que X es completo. ⇤

Utilizando los Teoremas 4.18, 3.10, 3.11, 3.8, 3.9 y la Observación 2, se tiene elsiguiente:

Teorema 4.19. Sea (X, d) un espacio métrico y n 2 N. Entonces las siguientescondiciones son equivalentes:(a) X es completo,(b) CB(X) es completo,(c) CTB(X) es completo,(d) 2

X es completo,(e) F

n

(X) es completo.

Con los resultado que hemos probado hasta ahora, podemos ver fácilmente quela compacidad es equivalente para X y CB(X).

Teorema 4.20. Sea (X, d) un espacio métrico. Entonces X es compacto si ysólo si CB(X) es compacto.

Demostración: Supongamos que X es compacto. Entonces, por [6, Teorema4.20, (3), pág. 219], se sigue que X es totalmente acotado y completo. Aplicandolos Teoremas 4.2 y 4.18, se sigue que CB(X) es totalmente acotado y completo. Así,nuevamente por [6, Teorema 4.20, (3), pág. 219], se tiene que CB(X) es compacto.

Recíprocamente, supongamos que CB(X) es compacto. Entonces, por [6, Teo-rema 4.20, (3), pág. 219], se sigue que CB(X) es totalmente acotado y completo.Luego, por los Teoremas 4.2 y 4.18, X es totalmente acotado y completo. Final-mente, por [6, Teorema 4.20, (3), pág. 219], se concluye que X es compacto. ⇤


Como una consecuencia de los Teoremas 4.20, 3.12, 3.8 y 3.9 y la Observación2, obtenemos el siguiente resultado

Teorema 4.21. Sea (X, d) un espacio métrico y n 2 N. Entonces las siguientescondiciones son equivalentes:

(a) X es compacto,(b) CB(X) es compacto,(c) C

n

(X) es compacto,(d) F

n

(X) es compacto.

Para el resto de esta sección, estudiamos la conexidad en los hiperespacios quehemos definido.

Considerando un espacio métrico (X, d) y n 2 N, no es difícil verificar que la to-pología producto para Xn es la misma que la topología inducida por la métrica deno-tada y definida por d

⇡

((x1, . . . , xn

), (y1, . . . , yn)) = max{d(x1, y1), . . . , d(xn

, yn

)},para cualesquiera (x1, . . . , xn

), (y1, . . . , yn) 2 Xn.

Teorema 4.22. Sean (X, d) un espacio métrico, n 2 N y consideremos la fun-ción f

n

: (Xn, d⇡

) ! (Fn

(X),H) definida por fn

((x1, x2, ..., xn

)) = {x1, x2, ..., xn

},para cada (x1, x2, ..., xn

) 2 Xn. Entonces fn

es continua y suprayectiva.

Demostración: Es claro que fn

es suprayectiva. Veamos que fn

es con-tinua. Sean (x1, x2, . . . , xn

) 2 Xn y ✏ > 0. Pongamos � = ✏. Su-pongamos que d

⇡

((x1, x2, ..., xn

), (y1, y2, ..., yn)) < �. Entonces, se sigue quemax{d(x1, y1), d(x2, y2), . . . , d(xn

, yn

)} < ✏. Con lo cual d(xi

, yi

) < ✏, para cadai 2 {1, 2, . . . , n}.

Sea xj

2 {x1, x2, . . . xn

}. Entonces d(xj

, yj

) < ✏. Así, xj

2N(✏, {y1, y2, . . . yn}). En consecuencia, {x1, x2, . . . xn

} ⇢ N(✏, {y1, y2, . . . yn}).De manera similar, se tiene que {y1, y2, . . . yn} ⇢ N(✏, {x1, x2, . . . xn

}). Porel Teorema 3.5, H({x1, x2, . . . xn

}, {y1, y2, . . . yn}) < ✏. Esto implica queH(f

n

(x1, x2, . . . , xn

), fn

(y1, y2, . . . , yn)) < ✏. De manera que fn

es continua en(x1, x2, . . . , xn

). Por lo tanto, fn

es continua en Xn. ⇤Tomando en cuenta que la conexidad se conserva bajo funciones continuas y

aplicando el Teorema 4.22, obtenemos el siguiente resultado.

Teorema 4.23. Sean (X, d) un espacio métrico y n 2 N. Si X es conexo,entonces F

n

(X) es conexo.

Teorema 4.24. Sean (X, d) un espacio métrico. Si X es conexo, entoncesF(X) es conexo.

Demostración: Por el Teorema 4.23, se tiene que para cada n 2 N, Fn

(X) esconexo. Además, por la Observación 1,(b), se tiene que para cada n 2 N, F1(X) ✓Fn

(X). Luego, por [15, Teorema 23.3, pág. 170], se sigue que F(X) es conexo. ⇤Como una consecuencia de los Teoremas 4.9, 4.10 y 4.24, tenemos que:

Teorema 4.25. Sean (X, d) un espacio métrico. Si X es conexo y CB(X) =

CTB(X), entonces 2

X y CB(X) son conexos.

A manera de aplicación del Teorema 4.25 y [5, Teorema 5, pág. 232], obtenemosque:


Teorema 4.26. Sea X un espacio normado de dimensión finita. Entonces losespacio 2


Usando [5, Teorema 2, pág. 86] y el Teoremas 4.25, tenemos que:

Teorema 4.27. Sean (X, d) un espacio métrico. Si X es totalmente acotado yconexo, entonces 2


5. Aproximaciones a Fractales

De manera intuitiva, un fractal es un objeto geométrico en el que se repite el mismopatrón a diferentes escalas y con diferente orientación. Hasta ahora no existe unadefnición matemática formal que clasifique a todos los objetos de este tipo, lo quese sabe es que varios de estos objetos ya conocidos pertenecen al hiperespacio 2

X ,para cierto espacio métrico X. De hecho, M. Barnsley en su libro [1] señala que elhiperespacio de los subconjuntos no vacíos y compactos es el espacio donde viven losfractales. En esta sección, daremos algunos resultados que nos permiten aproximar aciertos fractales. Si el lector está interesado en estudiar nociones respecto a fractales,puede consultar [1].

Iniciamos con dos resultados, los cuales serán de utilidad para la justificaciónde ciertos límites de sucesiones de conjuntos.

Teorema 5.1. Sean (X, d) es un espacio métrico completo y {An

} una sucesiónde Cauchy en CB(X). Si para cada n 2 N, A

n+1 ✓ An

, entonces:

lımAn

=

1\

n=1

An

= lım supAn

.

Demostración: Supongamos que para cada n 2 N, An+1 ✓ A

n

. Por la demos-tración del Teorema 4.18, se tiene que la sucesión {A

n

} converge a lım supAn

enCB(X). Veamos que

T1n=1 An

= lım supAn

. Es claro queT1

n=1 An

✓ lım supAn

.Resta probar que lım supA

n

✓T1

n=1 An

. Sea x 2 lım supAn

. Supongamos quex 62

T1n=1 An

. Entonces existe m 2 N tal que x /2 Am

, es decir, x 2 X \Am

. Ponga-mos U = X\A

m

. Así, U es un conjunto abierto en X y x 2 U . Como x 2 lım supAn

,existe m0 2 N con m0 > m y tal que U \ A

m0 6= ;. Sea y 2 U \ Am0 . Entonces

y 2 X \ Am

y y 2 Am0 . Dado que m0 > m y por la hipótesis, A

m0 ✓ Am

. Así,y 2 X \ A

m

y y 2 Am

, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, x 2T1

n=1 An

.Luego, lım supA

n

✓T1

n=1 An

. Con todo, lımAn

=

T1n=1 An

= lım supAn

. ⇤

Teorema 5.2. Sean (X, d) es un espacio métrico completo y {An

} una sucesiónde Cauchy en CB(X). Si para cada n 2 N, A

n

✓ An+1, entonces se tiene que

lımAn

= Cl(1[

n=1

An

) = lım supAn

.

Demostración: Supongamos que para cada n 2 N, An

✓ An+1. Por la demostra-

ción del Teorema 4.18, se tiene que lımAn

= lım supAn

. Veamos que Cl(S1

n=1 An

) =

lım supAn

. Sea x 2S1

n=1 An

. Entonces existe m 2 N tal que x 2 Am

. Por lo su-puesto, se sigue que x 2 A

n

, para cada n � m. Esto implica que x 2 lım supAn

. Así,S1n=1 An

✓ lım supAn

. Por el Teorema 4.15, lım supAn

es cerrado en X. De mane-ra que Cl(

T1n=1 An

) ✓ lım supAn

. Ahora veamos que lım supAn

✓ Cl(S1

n=1 An

).

5. APROXIMACIONES A FRACTALES 21

Sea x 2 lım supAn

. Supongamos que x 62 Cl(S1

n=1 An

). Entonces existe r > 0

tal que B(x, r) \ (

S1n=1 An

) = ;. Esto es, B(x, r) \ An

= ;, para cada n 2 N, locual es una contradicción, puesto que x 2 lım supA

n

. Por lo tanto, tenemos quelım supA

n

✓ Cl(S1

n=1 An

). Así, Cl(S1

n=1 An

) = lım supAn

. ⇤

Definición 5.1. Sean (X, dX

) y (Y, dY

) espacios métricos y f : X ! Y unafunción.

1. Se dice que la función f es una función de Lipschitz si existe L > 0 tal quedY

(f(x), f(y)) LdX

(x, y), para cada x, y 2 X. Al número L > 0 se lellama constante de Lipschitz.

2. Se dice que la función f es una función contracción si f es una función deLipschitz con constante de Lipschitz 0 < L < 1. En este caso, al númeroL > 0 se le llama constante de contracción.

Definición 5.2. Sean (X, dX

) y (Y, dY

) espacios métricos y f : X ! Y unafunción continua. Denotamos y definimos la función 2

f

: 2

X ! 2

Y como 2

f

(A) =

f(A), para todo A 2 2

X . La función 2

f se le llama función inducida por f .

Teorema 5.3. Sean (X, d) un espacio métrico y f : X ! X una función deLipschitz, con constante Lipschitz L. Entonces 2

f

: 2

X ! 2

X es una función deLipschitz, con constante Lipschitz L.

Demostración: Sean A,B 2 2

X . Se sigue que:H(2

f

(A), 2f (B)) = H(f(A), f(B))

= max{⇢(f(A), f(B)), ⇢(f(B), f(A))}.Sin perder generalidad, podemos suponer que max{⇢(f(A), f(B)), ⇢(f(B), f(A))} =

⇢(f(A), f(B)). Entonces, se tiene que H(2

f

(A), 2f (B)) = ⇢(f(A), f(B)). Sea a 2 A.Entonces ⇢(f(A), f(B)) d(f(a), f(B)). Tomemos un elemento b 2 B. Se sigue qued(f(a), f(B)) d(f(a), f(b)) Ld(a, b). De donde, ⇢(f(A), f(B)) Ld(a, b). Co-mo b 2 B fue arbitrario, obtenemos que ⇢(f(A), f(B)) Ld(a,B). Esto implica que⇢(f(A), f(B)) L⇢(A,B). De lo cual se deduce que ⇢(f(A), f(B)) LH(A,B). Seprocede de manera similar, si max{⇢(f(A), f(B)), ⇢(f(B), f(A))} = ⇢(f(B), f(A)).Por lo tanto, H(2

f

(A), 2f (B)) LH(A,B). Es consecuencia, 2f es una función deLipschitz, con constante Lipschitz L. ⇤

Definición 5.3. Sean (X, d) un espacio métrico y n 2 N. Para todo i 2{1, 2, . . . , n}, sea f

i

: X ! X una función de Lipschitz, con constante de LipschitzLi

. Definimos y denotamos la función 2

fin

: 2

X ! 2

X por 2

fin

(A) =

Sn

i=1 fi(A),para cada A 2 2

X .

Teorema 5.4. Sea (X, d) un espacio métrico y sean f1 : X ! X y f2 :

X ! X funciones Lipschitz, con constantes de Lipschitz L1 y L2, respectivamente.Entonces 2

fi2 : 2

X ! 2

X es una función de Lipschitz, con constante de LipschitzL = max{L1, L2}.Demostración: Sean A,B 2 2

X . Por los Teoremas 3.7,(c) y 5.3,

H(2

fi2 (A), 2fi2 (B)) = H(f1(A) [ f2(A), f1(B) [ f2(B))

max{H(f1(A), f1(B)),H(f2(A), f2(B))} max{L1H(A,B), L2H(A,B)}= H(A,B)max{L1, L2}= LH(A,B),


donde L = max{L1, L2}. Por lo tanto, 2fi2 es una función de Lipschitz, con constanteLipschitz L = max{L1, L2}. ⇤

Corolario 5.1. Sean (X, d) un espacio métrico y n 2 N. Para cada i 2{1, 2, . . . , n}, sea f

i

: X ! X una función de Lipschitz, con constantes de LipschitzLi

. Entonces 2fin

: 2

X ! 2

X es una función de Lipschitz, con constante de LipschitzL = max{L

i

: i 2 {1, 2, . . . , n}}.

Como las funciones contracción son un tipo especial de funciones de Lipschiz,tenemos el siguiente:

Corolario 5.2. Sean (X, d) un espacio métrico y n 2 N. Para cada i 2{1, 2, . . . , n}, sea f

i

: X ! X una función contracción, con constantes de contrac-ción L

i

> 0. Entonces 2

fin

: 2

X ! 2

X es una función de contracción, con constantede contracción L = max{L

i

: i 2 {1, 2, . . . , n}}.

Definición 5.4. Un Sistema Iterado de Funciones (SIF ), es una estructura dela forma {X; f1, f2, . . . , fn}, donde X es un espacio métrico completo y para cadai 2 {1, 2, . . . , n}, f

i

: X ! X es una función contracción en X.

Utilizando el Teorema 4.19 y el Corolario 5.2, se tiene la siguiente:

Observación 3. Sea {X; f1, f2, . . . , fn} un SIF. Entonces se tiene que{2X ; 2

f1 , 2f2 , . . . , 2fn} es un SIF .

Definición 5.5. Dado un SIF , {X; f1, f2, . . . , fn}, la función 2

fin

: 2

X ! 2

X

dada por 2

fin

(A) =

Sn

i=1 fi(A), para cada A 2 2

X , se le llama función inducida porel SIF , {X; f1, f2, . . . , fn}.

Teorema 5.5. Sea {X; f1, f2, . . . fn} un Sistema Iterado de Funciones. Enton-ces existe un único A 2 2

X tal que 2

fin

(A) = A. Además, si tomamos cualquier otroelemento K 2 2

X , entonces la sucesión {Ak

}1k=0 dada por:

A0 = K,

Ak

= 2

fin

(Ak�1), k � 1

converge al conjunto A. El conjunto A se le llama el atractor del SIF {X; f1, f2, . . . fn}y el conjunto K se le conoce como semilla.

Demostración: Por el Corolario 5.2, se sigue que 2

fin

es una función contracciónen 2

X . Por otro lado, como X es completo y por el Teorema 4.19, obtenemosque 2

X es un espacio completo. Luego, usando el Teorema [5, Teorema 1, pág.196], obtenemos un único elemento A 2 2

X tal que 2

fin

(A) = A. Además, por laconstrucción en la demostración de [5, Teorema 1, pág. 196], se tiene la segundaparte de este teorema. ⇤

Definición 5.6. Sean (X, d) un espacio métrico y A 2 2

X . Se dice que A esautosemenjante o autosimilar si es el atractor de algún SIF .

Todo conjunto autosemejante o autosimilar es considerado un fractal. El Teo-rema 5.5, nos muestra cómo crear este tipo de fractales utilizando SIF . Además,la segunda parte de tal teorema establece que el atractor se puede aproximar devarias formas, basta considerar diferentes semillas.

A continuación mostramos algunos ejemplos de conjuntos autosemenjantes yalgunas formas de cómo aproximarlos.


Ejemplo 5.1. Sea {R; f1, f2} el SIF , donde f1(x) =13x y f2(x) =

13x+

23 .

En este caso 2

fi2 : 2

R ! 2

R está dada por 2

fi2 (A) = f1(A) [ f2(A), para cada

A 2 2

R. Veamos que el atractor de este SIF es el Conjunto de Cantor. Consideremosla semilla C0 = [0, 1]. Entonces se tiene que:

C1 = 2

fi2 (C0) = f1(C0) [ f2(C0) = [0, 1

3 ] [ [

23 , 1].

C2 = 2

fi2 (C1) = f1(C1) [ f2(C1) = [0, 1

9 ] [ [

29 ,

39 ] [ [

69 ,

79 ] [ [

89 , 1].

Continuando con este proceso sucesivamente, obtenemos una sucesión {Ck

}1k=0

en 2

R que cumple que, para cada k 2 N [ {0}, Ck+1 ✓ C

k

, ver Figura 1.

C0

C1

C2

Figura 1. C0, C1 yC2, con C0 = [0, 1].

C0

C1

C2

Figura 2. C0, C1 y C2,con C0 = {0}.

Fijemos k 2 N [ {0}. Como Ck+1 ✓ Cl(C

k

), aplicando el Teorema 2.2, se si-gue que ⇢(C

k+1, Ck

) = 0. Además, no es difícil verificar que ⇢(Ck

, Ck+1) =

16·3k .

Con lo cual, obtenemos que H(Ck

, Ck+1) = max{⇢(C

k+1, Ck

), ⇢(Ck

, Ck+1)} =

⇢(Ck

, Ck+1) =

16·3k . Así, para cada k 2 N [ {0}, se tiene que:

H(Ck

, Ck+1) =

1

6 · 3k .

Sean m, k 2 N con m � k. Entonces se sigue que:

H(Ck

, Cm

) m�1X

j=k

H(Cj

, Cj+1) =

1

6

m�1X

j=k

1

3

k

.

Esto implica que la sucesión {Ck

}1k=0 es una sucesión de Cauchy en 2

R. Puesto queR es completo, por el Teorema 4.19, se tiene que 2

R es completo. Luego, aplicandoel Teorema 5.1, obtenemos que:

lım

k!1C

k

=

1\

k=0

Ck

.

Esto es, el atractor del SIF es el Conjunto de Cantor.

Otra manera de aproximar el Conjunto de Cantor, mediante este SIF esconsiderar la semilla C0 = {0}. En este caso, se tiene que: C1 = 2

fi2 (C0) =

f1(C0) [ f2(C0) = {f1(0)} [ {f2(0)} = {0, 23} y C2 = 2

fi2 (C1) = f1(C1) [ f2(C1) =

{f1(0), f1( 23 )} [ {f2(0), 23} = {0, 2

32 ,632 ,

832 }.

Así, obtenemos una sucesión {Ck

}1k=0 en 2

R que cumple que, para cada k 2N [ {0}, C

k

✓ Ck+1, ver Figura 2.

Sea k 2 N [ {0}. Como Ck

✓ Cl(Ck+1), aplicando el Teorema 2.2, se sigue que

⇢(Ck

, Ck+1) = 0. También notemos que ⇢(C

k+1, Ck

) =

23k+1 . Con lo cual, obtenemos


que H(Ck

, Ck+1) = max{⇢(C

k+1, Ck

), ⇢(Ck

, Ck+1)} = ⇢(C

k+1, Ck

) =

23k+1 . Así,

para cada k 2 N [ {0}, se tiene que:

H(Ck

, Ck+1) =

2

3

k+1.

Sean m, k 2 N con m � k. Entonces se sigue que:

H(Ck

, Cm

) m�1X

j=k

H(Cj

, Cj+1) =

2

3

m�1X

j=k

1

3

k

.



R. Puesto queR es completo, por el Teorema 4.19, se tiene que 2

R es completo. Luego, aplicandoel Teorema 5.2, obtenemos que:

lım

k!1C

k

= Cl(1[

k=0

Ck

).

Nuevamente, el atractor del SIF es el Conjunto de Cantor.

Sean (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 2 R2. El triángulo en R2, con vértices en lospuntos (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3), lo denotamos como 4[(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)]

Ejemplo 5.2. Consideremos el SIF {R2; f1, f2, f3} donde f1(x, y) =

12 (x, y),

f2(x, y) =12 (x, y) + (

12 , 0) y f3(x, y) =

12 (x, y) + (

14 ,

p34 ).

Se sigue que 2

fi3 : 2

R2 ! 2

R2es tal que 2

fi3 (A) = f1(A) [ f2(A) [ f3(A), para

cada A 2 2

R2.

Sea C0 = 4[(0, 0), (1, 0), ( 12 ,p32 )]. Así, obtenemos que:

C1 = 2

fi3 (C0)

= f1(C0) [ f2(C0) [ f3(C0)

= 4[(0, 0), ( 12 , 0), (14 ,

p34 )] [4[(

12 , 0), (1, 0), (

34 ,

p34 )][

4[(

14 ,

p34 ), ( 34 ,

p34 ), ( 12 ,

p32 )].

Pongamos K1 = 4[(0, 0), ( 12 , 0), (14 ,

p34 )], K2 = 4[(

12 , 0), (1, 0), (

34 ,

p34 )] y K3 =

4[(

14 ,

p34 ), ( 34 ,

p34 ), ( 12 ,

p32 )]. Se sigue que:

C2 = 2

fi3 (C1)

= 2

fi3 (K1) [ 2

fi3 (K2) [ 2

fi3 (K3)

= (

S3i=1 fi(K1)) [ (

S3i=1 fi(K2)) [ (

S3i=1 fi(K3))

= 4[(0, 0), ( 14 , 0), (18 ,

p38 )] [4[(

12 , 0), (

34 , 0), (

58 ,

p38 )][

4[(

14 ,

p34 ), ( 12 ,

p34 ), ( 38 ,

p34 )] [4[(

14 , 0), (

12 , 0), (

38 ,

p38 )][

4[(

34 , 0), (1, 0), (

78 ,

p38 )] [4[(

12 ,

p34 ), ( 34 ,

p34 ), ( 58 ,

3p3

8 )][4[(

18 ,

p38 ), ( 38 ,

p38 ), ( 14 ,

p34 )] [4[(

58 ,

p38 ), ( 78 ,

p38 ), ( 34 ,

p34 )][

4[(

38 ,

3p3

8 ), ( 58 ,3p3

8 ), ( 12 ,p32 )].

Continuando con este proceso, obtenemos una sucesión {Ck

}1k=0 en 2

R2que

cumple que, para cada k 2 N [ {0}, Ck+1 ✓ C

k

, ver Figura 3.Tomemos k 2 N [ {0}. Como C

k+1 ✓ Cl(Ck

), por el Teorema 2.2, se sigue que⇢(C

k+1, Ck

) = 0. Por otra parte, no es difícil verificar que ⇢(Ck

, Ck+1) =

p3

1212k . De


Figura 3. Las primeras dos iteraciones para aproximar el Trián-golo de Sierpinski, utilizando como semilla 4[(0, 0), (1, 0), ( 12 ,

p32 )].

donde, H(Ck

, Ck+1) = max{⇢(C

k+1, Ck

), ⇢(Ck

, Ck+1)} = ⇢(C

k

, Ck+1) =

p3

1212k . Por

lo tanto, para cada k 2 N [ {0}, se tiene que:

H(Ck

, Ck+1) =

p3

12

1

2

k

.

Con lo cual, obtenemos que dados m, k 2 N con m � k:

H(Ck

, Cm

) m�1X

j=k

H(Sj

, Sj+1) =

p3

12

m�1X

j=k

1

2

k

.



R2. Como

R2 es completo, por el Teorema 4.19, se sigue que 2R2

es completo. Luego, aplicandoel Teorema 5.1, obtenemos que:

lım

k!1C

k

=

1\

k=0

Ck

.

Esto es, el atractor del SIF es el Triángulo de Sierpiñski.

También, podemos aproximar al Triángulo de Sierpiñski con el SIF del Ejemplo5.2 y considerando la semilla C0 = [0, 1]⇥ [0, 1], como se muestra en la Fugura 4.

Figura 4. Las primeras dos iteraciones para aproximar el Trián-golo de Sierpinski, utilizando como semilla C0 = [0, 1]⇥ [0, 1].

De manera similar, al Conjunto de Cantor Ejemplo 5.1, podemos aproximar alTriángulo de Sierpinski usando el SIF del Ejemplo 5.2 y la semilla C0 = {(0, 0)}.

A continuación mostramos otros SIF que aproximan a fractales conocidos.1.- Sea {R2

; f1, f2, f3, f4} el SIF , donde f1(x, y) =13 (x, y), f2(x, y) =

13 (x, y)+

(

23 , 0), f3(x, y) =

13 (x, y) + (

23 ,

23 ) y f4(x, y) =

13 (x, y) + (0, 2

3 ). Entonces el atractorde este SIF es C⇥C, donde C es el conjunto de Cantor. Esto se muestra de manearagráfica en la Figura 5.


Figura 5. Las primeras dos iteraciones para aproximar C ⇥ C,usando como semilla [0, 1]⇥ [0, 1].

2.- Consideremos el SIF , {R2; f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7, f8}, donde f1(x, y) =

13 (x, y), f2(x, y) =

13 (x, y) + (

13 , 0), f3(x, y) =

13 (x, y) + (

23 , 0), f4(x, y) =

13 (x, y) +

(0, 13 ), f5(x, y) =

13 (x, y) + (

23 ,

13 ), f6(x, y) =

13 (x, y) + (0, 2

3 ), f7(x, y) =

13 (x, y) +

(

13 ,

23 ) y f8(x, y) =

13 (x, y) + (

23 ,

23 ). En este caso, el atractor de este SIF es la

Carpeta de Sierpinski, ver Figura 6.

Figura 6. Las primeras dos iteraciones para aproximar la carpetade Sierpinski, iniciando con semilla [0, 1]⇥ [0, 1].

3.- Sea {R2; f1, f2, f3, f4} el SIF , donde f1(x, y) =

13 (x, y), f2(x, y) =

13 (x cos(

⇡

3 ) � y sin(⇡3 ) + 1, x sin(⇡3 ) + y cos(⇡3 )), f3(x, y) =13 (x cos(

⇡

3 ) � y sin(⇡3 ) +12 ,�x sin(⇡3 ) + y cos(⇡3 ) +

p32 ), f4(x, y) = 1

3 (x+ 2, y). El atractor de este SIF es laCurva de Koch, ver Figura 7.

Figura 7. Las primeras dos iteraciones para aproximar la curvade Coch, usando la semilla [0, 1]⇥ {0}.

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Correos electrónicos:[email protected] (Franco Barragán),[email protected] (Armando Romero)[email protected] (S. Sánchez-Perales)[email protected] (Victor M. Grijalva).

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