Apuntes Analisis Funcional Parte 1

Introduccion al Analisis Funcional:

Teorıa y Aplicaciones. Parte 1

(Version Preliminar)

Gabriel N. Gatica

Centro de Investigacion en Ingenierıa Matematica (CI2MA)

y Departamento de Ingenierıa Matematica

Universidad de Concepcion

[email protected]/[email protected]

http://colo-colo.ing-mat.udec.cl/∼ggatica

Concepcion, Chile, Enero 2012

Indice general

1. INTRODUCCION 5

1.1. Un problema de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Algunos conceptos y resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Un problema de valores de contorno en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Un problema de valores de contorno en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5. Nociones basicas de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2. DUALIDAD 37

2.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2. Teorema de Representacion de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3. Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.2. Forma analıtica del Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . 49

2.3.3. Otras consecuencias del Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . 52

2.3.4. Forma geometrica del Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . 55

2.4. Un ejercicio simple con tres soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.4.1. Solucion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4.2. Solucion 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4.3. Solucion 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. OPERADORES LINEALES 69

3.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2. Caracterizacion de L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3

4 INDICE GENERAL

3.3. El operador adjunto en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4. El operador adjunto en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5. La ecuacion fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.5.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.5.2. Anuladores y ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6. El operador inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.7. Otros dos teoremas clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.8. Acotamiento uniforme sin Lema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.9. Operadores con rango cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.10. Un problema de teorıa de aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.11. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Capıtulo 1

INTRODUCCION

En este capıtulo se presentan algunos ejemplos de aplicacion que ilustran la utilizacion

de (o la necesidad de utilizar) diversas herramientas del Analisis Funcional, y se introdu-

cen los conceptos basicos mas importantes relacionados con espacios metricos, espacios

normados, espacios de Banach, espacios de Hilbert y distribuciones.

1.1. Un problema de valores iniciales

Dados un subconjunto abierto A de R2, (t0, y0) ∈ A, δ > 0, y una funcion f a va-

lores reales definida sobre A, consideremos el problema de valores iniciales: Hallar

ψ ∈ C1((t0, t0 + δ)) ∩ C([t0, t0 + δ]) tal que

ψ′(t) = f(t, ψ(t)) ∀ t ∈ (t0, t0 + δ) , ψ(t0) = y0 . (1.1)

De acuerdo al Teorema Fundamental del Calculo se deduce que toda solucion ψ de (1.1)

satisface

ψ(t) = ψ(t0) +

∫ t

t0

ψ′(s) ds ∀ t ∈ [t0, t0 + δ] ,

o bien, reemplazando ψ′(s) por f(s, ψ(s)) y ψ(t0) por y0,

ψ(t) = y0 +

∫ t

t0

f(s, ψ(s)) ds ∀ t ∈ [t0, t0 + δ] . (1.2)

Recıprocamente, no es difıcil ver que si ψ es solucion de (1.2), entonces, evaluando

en t = t0 y derivando bajo el signo integral, se deduce que ψ es solucion del problema

de valores iniciales (1.1), con lo cual (1.1) y (1.2) resultan equivalentes.

5

6 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Motivado por lo anterior, se define inicialmente el conjunto

U := ϕ ∈ C[t0, t0 + δ] : ϕ(t0) = y0 (1.3)

y la aplicacion T : U → U , donde

T (ϕ)(t) := y0 +

∫ t

t0

f(s, ϕ(s)) ds ∀ t ∈ [t0, t0 + δ] , ∀ϕ ∈ U . (1.4)

No obstante, es importante notar que para que la definicion de T tenga sentido se

requiere que f sea continua en A y que (s, ϕ(s)) ∈ A ∀ s ∈ [t0, t0 + δ] , ∀ϕ ∈ U . Lo

primero se asume en lo que sigue y lo segundo requiere una modificacion del conjunto

U , como se detalla a continuacion. En efecto, de ahora en adelante se supone que existe

M > 0 tal que

|f(t, y)| ≤ M ∀ (t, y) ∈ A y [t0, t0 + δ]× [y0 −Mδ, y0 +Mδ] ⊆ A ,

y se redefine

U := ϕ ∈ C[t0, t0 + δ] : ϕ(t0) = y0 , |ϕ(t)− y0| ≤ Mδ ∀ t ∈ [t0, t0 + δ] .

De este modo se observa que T esta efectivamente bien definida, lo cual significa,

en particular, que T (ϕ) ∈ U ∀ϕ ∈ U , y por lo tanto queda claro que resolver (1.2)

equivale a encontrar ψ ∈ U tal que

ψ(t) = T (ψ)(t) ∀ t ∈ [t0, t0 + δ] ,

es decir hallar ψ ∈ U tal que

ψ = T (ψ) . (1.5)

En virtud de la ecuacion de punto fijo para T dada por (1.5), nuestro siguiente

proposito es introducir el teorema respectivo debido a Banach. Para ello, recordamos

primero que si U es un conjunto arbitrario, entonces una metrica (o distancia) ρ sobre

U es una aplicacion ρ : U × U → R que satisface las siguientes propiedades:

i) ρ(u, v) ≥ 0 ∀ u, v ∈ U .

ii) ρ(u, v) = 0 sı y solo sı u = v.

iii) ρ(u, v) = ρ(v, u) ∀u, v ∈ U .

1.1. UN PROBLEMA DE VALORES INICIALES 7

iv) ρ(u, v) ≤ ρ(u,w) + ρ(w, v) ∀u, v, w ∈ U (Desigualdad Triangular).

En este caso, al par (U, ρ) se le llama Espacio Metrico, lo cual motiva la introduccion

de algunas definiciones.

Definicion 1.1 Una sucesion unn∈N de un espacio metrico (U, ρ) se dice de Cauchy

si lımn,m→∞

ρ(un, um) = 0, esto es, si

∀ ε > 0, ∃N ∈ N tal que ρ(un, um) ≤ ε ∀n,m ≥ N .

Definicion 1.2 Una sucesion unn∈N de un espacio metrico (U, ρ) se dice convergente

si existe u ∈ U tal que lımn→∞

ρ(un, u) = 0, esto es, si

∀ ε > 0, ∃N ∈ N tal que ρ(un, u) ≤ ε ∀n ≥ N .

Notar que el concepto de convergencia de una sucesion implica la existencia de un

unico lımite de ella. Ademas, el siguiente resultado muestra que una metrica ρ es continua

por sucesiones en cada una de sus componentes.

Lema 1.1 Sea (U, ρ) un espacio metrico y sea unn∈N una sucesion en U que converge

a u ∈ U . Entonces lımn→∞

ρ(un, v) = ρ(u, v) ∀ v ∈ U .

Demostracion. Utilizando la desigualdad triangular (propiedad iv)) y la simetrıa de ρ

(propiedad iii)), se obtiene facilmente que

ρ(un, v)− ρ(u, v) ≤ ρ(un, u) y ρ(u, v)− ρ(un, v) ≤ ρ(un, u) ,

lo cual equivale a

| ρ(un, v)− ρ(u, v) | ≤ ρ(un, u) ,

y luego, tomando lımn→∞

, se concluye la demostracion. 2

Los siguientes conceptos se requieren para establecer el teorema ya anunciado y para

aplicarlo posteriormente.

Definicion 1.3 Un espacio metrico (U, ρ) se dice completo si toda sucesion de Cauchy

de U es convergente.

Definicion 1.4 Sea (U, ρ) un espacio metrico y sea V ⊆ U . Se dice que V es un sub-

conjunto cerrado de U si el lımite de cada sucesion convergente de V pertenece a V .


Como consecuencia de estas definiciones, se sigue inmediatamente que todo subcon-

junto cerrado de un espacio metrico completo es tambien completo.

Definicion 1.5 Sea (U, ρ) un espacio metrico y sea T : U → U . Se dice que la aplicacion

T es una contraccion si existe κ ∈ (0, 1) tal que

ρ(T (u), T (v)) ≤ κ ρ(u, v) ∀u, v ∈ U .

Teorema 1.1 (Teorema del Punto Fijo de Banach) Sea (U, ρ) un espacio metrico

completo y sea T : U → U una contraccion. Entonces existe un unico w ∈ U tal que

T (w) = w.

Demostracion. Sea w0 un elemento arbitrario de U y definamos la sucesion wnn∈N,

donde w1 = T (w0), w2 = T (w1), y en general wn+1 = T (wn) ∀n ∈ N. Ası, si

κ ∈ (0, 1) denota la constante de contraccion de T , observamos que

ρ(wn, wn+1) = ρ(T (wn−1), T (wn)) ≤ κ ρ(wn−1, wn) ,

lo cual, aplicado recursivamente, implica que

ρ(wn, wn+1) ≤ κn ρ(w0, w1) ∀n ∈ N . (1.6)

Ahora, dados p, n ∈ N, utilizamos la desigualdad triangular para la metrica ρ y la

estimacion (1.6), y obtenemos

ρ(wn, wn+p) ≤p−1∑j=0

ρ(wn+j, wn+j+1) ≤p−1∑j=0

κn+j ρ(w0, w1)

= κnp−1∑j=0

κj ρ(w0, w1) =κn (1− κp)

1− κρ(w0, w1) ,

de donde

ρ(wn, wn+p) ≤κn

1− κρ(w0, w1) ∀ p, n ∈ N . (1.7)

Es facil ver de (1.7) que wnn∈N es de Cauchy en U , y por lo tanto existe w ∈ U tal

que lımn→∞

ρ(wn, w) = 0. Ademas, fijando n en (1.7), tomando lımp→∞

, y aplicando Lemma

1.1, se deduce que

ρ(wn, w) ≤ κn

1− κρ(w0, w1) ∀ n ∈ N . (1.8)


Veamos ahora que w es el unico punto fijo de T . En efecto, usando nuevamente la

desigualdad triangular, se tiene

ρ(T (w), w) ≤ ρ(T (w), T (wn)) + ρ(T (wn), w)

= ρ(T (w), T (wn)) + ρ(wn+1, w) ≤ κ ρ(w,wn) + ρ(wn+1, w) ,

y tomando lımn→∞

resulta ρ(T (w), w) = 0, lo cual significa que T (w) = w. Para la

unicidad, sea w cualquier otro elemento de U tal que T (w) = w. Entonces, aplicando una

vez mas que T es contraccion, podemos escribir ρ(w, w) = ρ(T (w), T (w)) ≤ κ ρ(w, w) ,

esto es (1− κ) ρ(w, w) ≤ 0 , de donde necesariamente w = w. 2

Es interesante observar aquı que la demostracion del Teorema 1.1 proporciona un

esquema iterativo de punto fijo, a partir de cualquier elemento inicial w0 ∈ U , para

construir una sucesion que converja a w ∈ U . Mas aun, la eventual proximidad o lejanıa

de los elementos de esta sucesion a la solucion exacta w esta medida por (1.8). En

particular, de esta estimacion de error se deduce que el numero mınimo n de iteraciones

que garantiza a-priori que ρ(wn, w) es menor que una tolerancia dada ε > 0, esta dado

por el primer natural n que satisface

n ≥log(

ε(1−κ)ρ(w0,w1)

)log κ

.

El siguiente objetivo es aplicar Teorema 1.1 a T : U → U definida por (1.4). Para

este efecto, recordamos primero que el conjunto C([t0, t0 + δ]) provisto de la metrica

uniforme

ρ(ψ, ϕ) := maxt∈[t0,t0+δ]

|ψ(t)− ϕ(t)| ∀ψ, ϕ ∈ C([t0, t0 + δ])

es un espacio metrico completo, y puesto que U constituye un subconjunto cerrado de

C([t0, t0 + δ]), se deduce que (U, ρ) tambien es completo.

Ademas, ahora se introduce el supuesto adicional de que f sea Lipschitz-continua en

su segunda variable, lo cual significa asumir la existencia de K > 0 tal que

| f(t, y1)− f(t, y2) | ≤ K |y1 − y2| ∀ (t, y1), (t, y2) ∈ A . (1.9)

Entonces, utilizando (1.9) y las definiciones de T y ρ, se observa que

|T (ψ)(t)−T (ϕ)(t)| =∣∣∣∣∫ t

t0

f(s, ψ(s))− f(s, ϕ(s))

ds

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

t0

∣∣f(s, ψ(s))−f(s, ϕ(s))∣∣ ds


≤ K

∫ t

t0

|ψ(s)− ϕ(s)| ds ≤ K (t− t0) ρ(ψ, ϕ) ∀ t ∈ [t0, t0 + δ] , (1.10)

lo cual prueba que

ρ(T (ψ), T (ϕ)) ≤ K δ ρ(ψ, ϕ) ∀ψ, ϕ ∈ U .

Esta desigualdad indica que una condicion suficiente para que T sea una contraccion

es que K δ < 1, razon por la cual podemos afirmar que el analisis anterior ha demostrado

el siguiente resultado.

Teorema 1.2 Sea f : A ⊆ R2 → R continua y supongamos que existen M, K > 0

tales que

i) |f(t, y)| ≤ M ∀ (t, y) ∈ A.

ii) | f(t, y1)− f(t, y2) | ≤ K |y1 − y2| ∀ (t, y1), (t, y2) ∈ A.

Ademas, sean (t0, y0) ∈ A y δ > 0 tales que

iii) δ <1

Ky [t0, t0 + δ]× [y0 −Mδ, y0 +Mδ] ⊆ A.

Entonces la ecuacion integral (1.2) tiene una unica solucion ψ ∈ U . Equivalentemente,

el problema de valores iniciales (1.1) tiene una unica solucion ψ ∈ C1((t0, t0 + δ)) ∩C([t0, t0 + δ]).

Ciertamente, Teorema 1.2 garantiza la solubilidad unica de (1.1) solo en un sentido

local ya que este resultado ocurre en un intervalo [t0, t0 + δ] cuya longitud esta acotada

superiormente por 1K

. En virtud de ello, y con el proposito de obtener existencia y

unicidad de solucion de (1.1), en un sentido global, se introduce a continuacion una

version mejorada del Teorema del Punto Fijo de Banach.

Teorema 1.3 Sea (U, ρ) un espacio metrico completo y sea T : U → U tal que Tm es

una contraccion, para algun m ∈ N. Entonces existe un unico w ∈ U tal que T (w) = w.

Demostracion. Notemos primero que las potencias de T se definen recursivamente por

T 1(u) = T (u) y T n(u) = T (T n−1(u)) ∀u ∈ U , ∀n ∈ N, n ≥ 2, lo cual implica

que Tm(u) ∈ U ∀u ∈ U . Ahora, de acuerdo a la hipotesis sobre Tm y a Teorema 1.1,

se sigue que existe un unico elemento w ∈ U tal que Tm(w) = w. Veamos que w es


tambien un punto fijo de T y que el es unico. En efecto, si κ ∈ (0, 1) denota la constante

de contraccion de Tm, se tiene

ρ(T (w), w) = ρ(Tm+1(w), Tm(w)) = ρ(Tm(T (w)), Tm(w)) ≤ κ ρ(T (w), w) ,

de donde ρ(T (w), w) = 0, y por lo tanto T (w) = w. Para la unicidad, sea w cualquier

otro elemento de U tal que T (w) = w. Entonces, aplicando sucesivamente T a esta

identidad (m− 1 veces), se deduce que Tm(w) = w, y en consecuencia w = w. 2

Del teorema anterior queda claro que no es necesario exigir que T sea una contrac-

cion, sino que simplemente requerir que alguna potencia de ella lo sea. En lo que sigue

vemos que esto ocurre precisamente con nuestra aplicacion definida por (1.4). Para este

proposito probamos primero el siguiente resultado.

Lema 1.2 Dados ψ, ϕ ∈ U , se tiene

|T n(ψ)(t) − T n(ϕ)(t) | ≤ Kn (t− t0)n

n!ρ(ψ, ϕ) ∀ t ∈ [t0, t0 + δ], ∀n ∈ N .

Demostracion. Razonamos por induccion sobre n. Para n = 1 el resultado ya fue es-

tablecido en (1.10). Supongamos ahora su validez para n y probemos que tambien es

cierto para n+ 1. En efecto, de acuerdo a la definicion de T y sus potencias, se tiene

|T n+1(ψ)(t)− T n+1(ϕ)(t) | = |T (T n(ψ))(t) − T (T n(ϕ))(t) |

=

∣∣∣∣ ∫ t

t0

f(s, T n(ψ)(s))− f(s, T n(ϕ)(s))

ds

∣∣∣∣ ,de donde, aplicando la Lipschitz-continuidad de f y la hipotesis de induccion, resulta

|T n+1(ψ)(t)− T n+1(ϕ)(t) | ≤ K

∫ t

t0

|T n(ψ)(s)− T n(ϕ)(s) | ds

≤ Kn+1

n!

∫ t

t0

(s− t0)n ds ρ(ψ, ϕ) =Kn+1 (t− t0)n+1

(n+ 1)!ρ(ψ, ϕ) ,

lo cual completa la demostracion. 2

Del Lemma 1.2 y de la definicion de la metrica ρ se sigue inmediatamente que

ρ(T n(ψ), T n(ϕ)) ≤ (K δ)n

n!ρ(ψ, ϕ) ∀ψ, ϕ ∈ U, ∀n ∈ N ,

y puesto que lımn→∞

(K δ)n

n!= 0 ∀K, δ ∈ R, se deduce que existe m ∈ N tal que

(K δ)n

n!< 1 ∀n ≥ m, lo cual prueba, en particular, que Tm es contraccion. En

consecuencia, hemos demostrado ası la siguiente version mejorada del Teorema 1.2.


Teorema 1.4 Sea f : A ⊆ R2 → R continua y supongamos que existen M, K > 0

tales que

i) |f(t, y)| ≤ M ∀ (t, y) ∈ A.

ii) | f(t, y1)− f(t, y2) | ≤ K |y1 − y2| ∀ (t, y1), (t, y2) ∈ A.

Ademas, sean (t0, y0) ∈ A y δ > 0 tales que

iii) [t0, t0 + δ]× [y0 −Mδ, y0 +Mδ] ⊆ A.

Entonces la ecuacion integral (1.2) tiene una unica solucion ψ ∈ U . Equivalentemente,

el problema de valores iniciales (1.1) tiene una unica solucion ψ ∈ C1((t0, t0 + δ)) ∩C([t0, t0 + δ]).

Naturalmente, el Teorema 1.4 tampoco garantiza existencia global de solucion del

problema (1.1), pero al menos reduce las restricciones sobre δ solo a lo estipulado en

iii), vale decir [t0, t0 + δ] × [y0 −Mδ, y0 + Mδ] ⊆ A. No obstante, cuando A = R2

esta condicion se satisface trivialmente para cualquier δ > 0, lo cual permite establecer

el siguiente resultado de existencia global de solucion para (1.1).

Teorema 1.5 Sean f : R2 → R continua, (t0, y0) ∈ R2 y supongamos que existen

M, K > 0 tales que

i) |f(t, y)| ≤ M ∀ (t, y) ∈ R2.

ii) | f(t, y1)− f(t, y2) | ≤ K |y1 − y2| ∀ (t, y1), (t, y2) ∈ R2.

Entonces, para cualquier δ > 0 la ecuacion integral (1.2) tiene una unica solucion ψ ∈U . Equivalentemente, el problema de valores iniciales (1.1) tiene una unica solucion

ψ ∈ C1((t0, t0 + δ)) ∩ C([t0, t0 + δ]).

Incluso, en el caso en que A = R2 se puede mejorar aun mas lo anterior aplicando

nuevamente el Teorema 1.3 al operador integral T sobre el conjunto U definido original-

mente por (1.3). De esta manera, una segunda version para el resultado de existencia

global de solucion del problema de valores iniciales (1.1) queda dada como sigue.

1.2. ALGUNOS CONCEPTOS Y RESULTADOS PRELIMINARES 13

Teorema 1.6 Sean f : R2 → R continua, (t0, y0) ∈ R2 y supongamos que existe K > 0

tal que

i) | f(t, y1)− f(t, y2) | ≤ K |y1 − y2| ∀ (t, y1), (t, y2) ∈ R2.

Entonces, para cualquier δ > 0 la ecuacion integral (1.2) tiene una unica solucion ψ ∈U . Equivalentemente, el problema de valores iniciales (1.1) tiene una unica solucion

ψ ∈ C1((t0, t0 + δ)) ∩ C([t0, t0 + δ]).

1.2. Algunos conceptos y resultados preliminares

A traves de esta seccion suponemos conocido el concepto de espacio vectorial. Ası, dado

un espacio vectorial X sobre el cuerpo K, el cual puede ser C o R, con elemento nulo

θ ∈ X, y con operaciones + : X × X → X (suma de vectores) y · : K × X → X

(multiplicacion por escalar), se introducen a continuacion algunas definiciones basicas.

Definicion 1.6 Una aplicacion ‖·‖ : X → R se dice una norma sobre X si ella satisface

las siguientes propiedades

i) ‖x‖ ≥ 0 ∀x ∈ X y ‖x‖ = 0 sı y solo sı x = θ (positividad).

ii) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ ∀α ∈ K , ∀x ∈ X .

iii) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ ∀x, y ∈ X (desigualdad triangular).

El espacio X provisto de la norma ‖ · ‖ recibe el nombre de espacio vectorial

normado y se denota (X, ‖·‖). Al respecto, es importante resaltar que (X, ‖·‖) constituye

tambien un espacio metrico (X, ρ), con ρ(x, y) := ‖x − y‖ ∀x , y ∈ X, y por lo

tanto todas las definiciones y observaciones, y todos los resultados dados en la Seccion

1.1 sobre dichos espacios tambien valen en el presente contexto. No obstante, para una

mayor claridad de la presentacion, algunas de esas definiciones se reescriben ahora en

terminos de la norma ‖ · ‖.

Definicion 1.7 Una sucesion xnn∈N del espacio vectorial normado (X, ‖ · ‖) se dice

de Cauchy si lımn,m→∞

‖xn − xm‖ = 0, esto es, si

∀ ε > 0, ∃N ∈ N tal que ‖xn − xm‖ ≤ ε ∀n,m ≥ N .


Definicion 1.8 Una sucesion xnn∈N del espacio vectorial normado (X, ‖ · ‖) se dice

convergente si existe x ∈ X tal que lımn→∞

‖xn − x‖ = 0, esto es, si

∀ ε > 0, ∃N ∈ N tal que ‖xn − x‖ ≤ ε ∀n ≥ N .

Es facil ver que toda sucesion convergente es de Cauchy, pero el recıproco no es

siempre cierto, lo cual da origen a la siguiente definicion.

Definicion 1.9 El espacio vectorial normado (X, ‖ · ‖) se dice completo (o espacio de

Banach) si toda sucesion de Cauchy en X es convergente

Al respecto, el siguiente lema establece una condicion necesaria y suficiente para la

convergencia de una sucesion de Cauchy. Ciertamente, la suficiencia es de mucho mayor

interes y aplicabilidad que la necesidad de esta condicion.

Lema 1.3 Sea xnn∈N una sucesion de Cauchy de (X, ‖ · ‖). Entonces xnn∈N es

convergente sı y solo sı ella posee una subsucesion convergente.

Demostracion. Es claro que si xnn∈N es convergente entonces todas sus subsucesiones

tambien lo son. Recıprocamente, sea x(1)n n∈N una subsucesion de xnn∈N que converge

a x ∈ X. Entonces, dado ε > 0, existe N1 ∈ N tal que ‖x(1)n − x‖ ≤ ε ∀n ≥ N1. A su

vez, como xnn∈N es de Cauchy, existe N2 ∈ N tal que ‖xn−xm‖ ≤ ε ∀n, m ≥ N2.

Ahora, para todo n ∈ N existe m ≥ n tal que x(1)n coincide con xm. Luego, definiendo

N := maxN1, N2, se sigue que

‖xn − x‖ ≤ ‖xn − x(1)n ‖ + ‖x(1)

n − x‖ ≤ 2 ε ∀n ≥ N ,

lo cual muestra que xnn∈N tambien converge a x. 2

Ejemplo 1.1 Los siguientes son ejemplos de espacios de Banach.

1. Cn := x := (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ C ∀ i ∈ 1, ..., n , con K = C, provisto de la

norma

‖x‖ :=n∑j=1

|xj | ∀x ∈ Cn .

2. C([−1, 1]) := f : [−1, 1]→ R : f continua , con K = R, provisto de la norma

‖f‖ := maxx∈[−1,1]

|f(x)| ∀ f ∈ C([−1, 1]) .


3. `∞(C) := u := unn∈N : un ∈ C, supn∈N|un| < ∞, con K = C, provisto de la

norma

‖u‖ := supn∈N|un| ∀u ∈ `∞(C) .

4. L2(a, b) := f : (a, b) → R : f medible,∫ b

a|f |2 < ∞, con K = R, donde

a, b ∈ R, a < b, provisto de la norma

‖f‖ =∫ b

a|f |2

1/2

∀ f ∈ L2(a, b) .

Ejemplo 1.2 Aquı damos un ejemplo de un espacio vectorial normado que no es Banach. En

efecto, consideremos nuevamente el espacio real C([−1, 1]), pero provisto ahora de la norma

de L2(−1, 1), esto es ‖f‖ =∫ 1

−1|f |2

1/2

∀ f ∈ C([−1, 1]) , la cual esta bien definida

ya que C([−1, 1]) ⊆ L2(−1, 1). Ahora, sea fnn∈N la sucesion de C([−1, 1]) dada por

fn(t) :=

0 , −1 ≤ t < 0

nt , 0 ≤ t < 1n

1 , 1n ≤ t ≤ 1

.

Entonces, dados n, m ∈ N, n > m, se tiene 1n <

1m y luego

‖fn − fm‖2 =∫ 1/n

0(n−m)2 t2 dt+

∫ 1/m

1/n(1−mt)2 dt = − 2

3n+

m

3n2+

13m

<1

3m− 1

3n,

lo cual prueba que fnn∈N es de Cauchy en (C([−1, 1]), ‖·‖). Por otro lado, sea f : [−1, 1]→ Rla funcion de L2(−1, 1) definida por

f(t) :=

0 , −1 ≤ t ≤ 0

1 , 0 < t ≤ 1,

y observemos que fnn∈N converge a f en la norma de L2(−1, 1) ya que

‖fn − f‖ =∫ 1/n

0(nt− 1)2 dt =

13n

∀n ∈ N .

Entonces, si suponemos que existe f ∈ C([−1, 1]) tal que fnn∈N converge a f en la norma

de L2(−1, 1), necesariamente debe tenerse f = f , lo cual es contradictorio ya que f no es

continua. Esto prueba que fnn∈N no es convergente y por lo tanto (C([−1, 1]), ‖ · ‖) no es un

espacio de Banach.


A continuacion se introducen los conceptos de espacios Pre-Hilbert y espacios de

Hilbert, para lo cual se requiere previamente la definicion de producto escalar.

Definicion 1.10 Sea X un espacio vectorial sobre R. Una aplicacion 〈·, ·〉 : X×X → Rse dice un producto escalar (o producto interior) sobre X, si satisface las siguien-

tes propiedades:

i) 〈x, x〉 ≥ 0 ∀x ∈ X y 〈x, x〉 = 0 sı y solo sı x = θ (positividad).

ii) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ∀x, y ∈ X (simetrıa).

iii) 〈αx+ βy, z〉 = α 〈x, z〉+ β 〈y, z〉 ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ X (linealidad).

En lo que sigue, z, Re(z) e Im(z) denotan el conjugado, la parte real, y la parte

imaginaria, respectivamente, de z ∈ C. A su vez, z = Re(z) = z, e Im(z) = 0, si z ∈ R.

Definicion 1.11 Sea X un espacio vectorial sobre C. Una aplicacion 〈·, ·〉 : X×X → Cse dice un producto escalar (o un producto interior) sobre X, si satisface las

siguientes propiedades:

i) 〈x, x〉 ≥ 0 ∀x ∈ X y 〈x, x〉 = 0 sı y solo sı x = θ (positividad).

ii) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ∀x, y ∈ X (sesquisimetrıa).

iii) 〈αx+ βy, z〉 = α 〈x, z〉+ β 〈y, z〉 ∀α, β ∈ C, ∀x, y, z ∈ X

(linealidad en la primera componente).

Es importante observar aquı que en el caso real las propiedades ii) y iii) garantizan

tambien la linealidad del producto escalar en la segunda componente. Sin embargo, en

el caso complejo ello no ocurre ya que ii) y iii) solo implican que

〈x, αy + βz〉 = α 〈x, y〉 + β 〈x, z〉 ∀α, β ∈ C, ∀x, y, z ∈ X ,

lo cual recibe el nombre de sesquilinealidad.

Una consecuencia directa de la linealidad o sesquilinealidad, al usar simplemente que

θ = 0 · θ, es el hecho que el producto escalar del vector nulo con cualquier vector de X

es cero, esto es

〈x, θ〉 = 〈θ, x〉 = 0 ∀x ∈ X . (1.11)


El espacio vectorial X provisto de un producto escalar 〈·, ·〉 se denomina espacio

pre-hilbert y se denota (X, 〈·, ·〉). Uno de los resultados mas importantes sobre estos

espacios esta dado por la siguiente desigualdad clasica.

Teorema 1.7 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sea (X, 〈·, ·〉) un espacio pre-Hil-

bert sobre el cuerpo K. Entonces se tiene

| 〈x, y〉 | ≤ 〈x, x〉1/2 〈y, y〉1/2 ∀x, y ∈ X .

Demostracion. Si x = θ o y = θ, entonces la desigualdad se satisface trivialmente

gracias a (1.11). Ahora, dados x, y ∈ X − θ, y α ∈ K, las propiedades del producto

escalar implican que

0 ≤ 〈x + α y, x + α y〉 = 〈x, x〉 + α 〈y, x〉 + α 〈x, y〉 + α α 〈y, y〉

= 〈x, x〉 + 2 Re(α 〈x, y〉) + |α|2 〈y, y〉 .

En particular, para α := −〈x, y〉/〈y, y〉 se obtiene

0 ≤ 〈x, x〉 − 2|〈x, y〉|2

〈y, y〉+|〈x, y〉|2

〈y, y〉= 〈x, x〉 − |〈x, y〉|

2

〈y, y〉,

de donde, multiplicando por 〈y, y〉 y sumando |〈x, y〉|2 a ambos lados de la desigualdad

anterior, se completa la demostracion. 2

Ademas del teorema anterior, es interesante constatar que todo producto escalar

induce una norma sobre el espacio vectorial X respectivo. En efecto, se tiene el siguiente

resultado.

Teorema 1.8 Sea (X, 〈·, ·〉) un espacio pre-Hilbert sobre el cuerpo K, y consideremos

la aplicacion ‖ · ‖ : X → R definida por ‖x‖ := 〈x, x〉1/2 ∀x ∈ X . Entonces ‖ · ‖es una norma sobre X, la cual se llama norma inducida por 〈·, ·〉.

Demostracion. La positividad de ‖ · ‖ se sigue de la propiedad respectiva del producto

escalar. Por otro lado, usando la linealidad y sesquilinealidad de 〈·, ·〉, se sigue que

‖αx‖2 = 〈αx, α x〉 = α α 〈x, x〉 = |α|2 ‖x‖2, y por lo tanto

‖αx‖ = |α| ‖x‖ ∀α ∈ K, ∀x ∈ X .


Finalmente, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se deduce que

‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 Re(〈x, y〉)

≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 ‖x‖ ‖y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ 2 ∀x, y ∈ X ,

lo cual prueba la desigualdad triangular para ‖ · ‖. 2

El teorema anterior induce la siguiente definicion.

Definicion 1.12 Se dice que un espacio pre-Hilbert (X, 〈·, ·〉) es un espacio de hilbert

si el es completo con la norma inducida por su producto escalar.

Ejemplo 1.3 Los siguientes son ejemplos de espacios de Hilbert.

1. Rn := x := (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ R ∀ i ∈ 1, ..., n , con K = R, provisto del

producto escalar

〈x,y〉 :=n∑i=1

xi yi ∀x, y ∈ Rn .

2. Cn := x := (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ C ∀ i ∈ 1, ..., n , con K = C, provisto del

producto escalar

〈x,y〉 :=n∑i=1

xi yi ∀x, y ∈ Cn .

3. `2(C) := u := unn∈N : un ∈ C,∞∑n=1

|un|2 < ∞, con K = C, provisto del

producto escalar

〈u,v〉 :=∞∑n=1

un vn ∀u, v ∈ `2(C) .

4. L2(Ω) := f : Ω → C : f medible,∫

Ω|f |2 < ∞, con K = C, donde Ω es un

abierto acotado de Rn, provisto del producto escalar

〈f, g〉 :=∫

Ωf g ∀ f, g ∈ L2(Ω) .

5. Mn×n(R) := A = (aij)n×n : aij ∈ R , con K = R, provisto del producto escalar

〈A,B〉 := tr(AtB) ∀A, B ∈ Mn×n(R) ,


donde tr(C) and Ct denotan la traza y la transpuesta, respectivamente, de una ma-

triz dada C ∈ Mn×n(R). Es interesante observar aquı que el calculo explıcito de este

producto escalar se reduce a

〈A,B〉 =n∑

i,j=1

aij bij ∀A := (aij)n×n, ∀B := (bij)n×n ∈ Mn×n(R) ,

lo cual equivale a ubicar ordenadamente los coeficientes de estas matrices en dos vectores

de Rn2

para luego realizar el producto escalar usual entre ellos.

A proposito de los ejemplos 1, 2 y 5 anteriores, podemos establecer ahora el siguiente

resultado mas general.

Lema 1.4 Sea X un espacio vectorial de dimension finita sobre el cuerpo K. Entonces

X es un espacio de Hilbert.

Demostracion. Sea N ∈ N la dimension de X, consideremos una base u1, u2, ..., uNde este espacio, y definamos la aplicacion T : X → KN que a cada x ∈ X le asigna sus

componentes con respecto a esta base. Por cuanto T es lineal y biyectiva, la aplicacion

〈·, ·〉 : X ×X → K dada por

〈x, y〉 := 〈T (x), T (y)〉N ∀x, y ∈ X ,

donde 〈·, ·〉N es el producto usual de KN (ver 1 y 2 en ejemplo 1.3), constituye un

producto escalar sobre X. Luego, utilizando el hecho que (KN , 〈·, ·〉N) es un espacio de

Hilbert, se puede probar facilmente que (X, 〈·, ·〉) tambien lo es. 2

Por otro lado, es claro que todo espacio de Hilbert es Banach, pero el recıproco no es

necesariamente cierto. Es decir, existen espacios vectoriales normados completos cuyas

normas respectivas no provienen de ningun producto escalar. Un resultado clasico que

usualmente se emplea para constatar este hecho es el siguiente.

Lema 1.5 (Ley del paralelogramo) Sea (X, 〈·, ·〉) un espacio pre-Hilbert sobre el

cuerpo K, y sea ‖ · ‖ la norma inducida por el producto escalar. Entonces

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + ‖y‖2

∀x, y ∈ X .

Demostracion. Basta observar que

‖x± y‖2 = 〈x± y, x± y〉 = ‖x‖2 + ‖y‖2 ± 2 Re(〈x, y〉)


y luego sumar las expresiones con ambos signos. 2

En virtud del lema anterior queda claro que si una norma no satisface la ley del

paralelogramo, entonces ella no esta inducida por ningun producto escalar. Un ejemplo

simple de este hecho es el siguiente.

Ejemplo 1.4 Consideremos el espacio de Banach complejo (`∞(C), ‖ · ‖), donde

`∞(C) := u := unn∈N : un ∈ C, supn∈N|un| < ∞

y

‖u‖ := supn∈N|un| ∀u ∈ `∞(C) .

Para ver que (`∞(C), ‖ · ‖) no es un espacio de Hilbert, basta mostrar un ejemplo concreto

de elementos de `∞(C) que no satisfacen la ley del paralelogramo. En particular, tomemos

u := unn∈N y v := vnn∈N, donde

un :=

1 , si n = 112 , si n = 2

0 , si n ≥ 3

y vn :=

0 , si n = 112 , si n = 2

1 , si n ≥ 3

.

Se sigue que ‖u‖ = ‖v‖ = ‖u + v‖ = ‖u− v‖ = 1, y por lo tanto

2‖u‖2 + ‖v‖2

− ‖u + v‖2 − ‖u− v‖2 = 2 6= 0 ,

lo cual prueba que ‖ · ‖ no satisface la ley mencionada. En realidad, no es difıcil ver que existe

una infinidad de contraejemplos (ademas del presentado aquı).

1.3. Un problema de valores de contorno en R

Dados Ω := (0, 1) y f ∈ C(Ω), consideremos el problema de valores de contorno: Hallar

u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) tal que

−u′′ = f en Ω , u(0) = u(1) = 0 . (1.12)

Nuestro objetivo es presentar un metodo de solucion para (1.12), distinto del esquema

clasico, y en el cual, en vez de pedir que la ecuacion diferencial se satisfaga en cada

punto x ∈ Ω, se requiera solamente que se verifique alguna identidad integral apropiada.

Para este efecto, necesitamos algunos conceptos previos.

1.3. UN PROBLEMA DE VALORES DE CONTORNO EN R 21

Dado un abierto Ω de R, C∞(Ω) denota el espacio de funciones a valores reales

infinitamente diferenciables definidas sobre Ω. A su vez, para cada ϕ ∈ C(Ω) se define

su soporte, y se denota sopϕ, como la adherencia de Ω− ϕ−1(0), es decir

sopϕ := x ∈ Ω : ϕ(x) 6= 0 ,

con lo cual se introduce el espacio de funciones

C∞0 (Ω) := ϕ ∈ C∞(Ω) : sopϕ es compacto y sopϕ ⊆ Ω .

Notar que el requerimiento de compacidad para el soporte garantiza que las funciones

de C∞0 (Ω) se anulan en alguna vecindad de la frontera de Ω.

Luego, multiplicando la ecuacion diferencial de (1.12) por una funcion ϕ ∈ C∞0 (Ω) e

integrando por partes en Ω, resulta∫ 1

0

f ϕ dx = −∫ 1

0

u′′ ϕdx =

∫ 1

0

u′ ϕ′ dx − u′(1)ϕ(1) + u′(0)ϕ(0) ,

de donde, usando que ϕ(0) = ϕ(1) = 0, se obtiene∫ 1

0

u′ ϕ′ dx =

∫ 1

0

f ϕ dx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) . (1.13)

Para continuar la deduccion de un nuevo esquema de solucion para (1.12), necesita-

mos el siguiente concepto vinculado a la teorıa de distribuciones (ver tambien Seccion

1.6).

Definicion 1.13 Dada v ∈ L2(Ω), se dice que v′ ∈ L2(Ω), en el sentido distribucional,

si existe z ∈ L2(Ω) tal que

−∫

Ω

v ϕ′ dx =

∫Ω

z ϕ dx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) ,

y en tal caso se escribe v′ := z.

Ejemplo 1.5 Considere Ω = (0, 2) y la funcion v(x) =

x , 0 ≤ x ≤ 1

1 , 1 ≤ x ≤ 2. Entonces,

dada ϕ ∈ C∞0 (Ω) se tiene ϕ(0) = ϕ(2) = 0 y luego

−∫

Ωv ϕ′ dx = −

∫ 1

0xϕ′ dx −

∫ 2

1ϕ′ dx


=∫ 1

0ϕdx − ϕ(1) − (ϕ(2)− ϕ(1)) =

∫ 1

0ϕdx =

∫Ωz ϕ dx ,

donde

z(x) =

1 , 0 ≤ x < 1

0 , 1 < x ≤ 2,

lo cual prueba que v′ = z ∈ L2(Ω).

Motivado por la definicion anterior, se introduce el espacio de Sobolev

H1(Ω) := v ∈ L2(Ω) : v′ ∈ L2(Ω) , (1.14)

el cual es un espacio de Hilbert provisto del producto escalar

〈v, w〉H1(Ω) :=

∫Ω

( v′w′ + v w ) dx ∀ v, w ∈ H1(Ω) . (1.15)

Se sigue que la norma ‖ · ‖H1(Ω) : H1(Ω)→ R esta dada por

‖v‖H1(Ω) :=

∫Ω

((v′)2 + v2

)dx

1/2

∀ v ∈ H1(Ω) .

Por otro lado, se denota por H10 (Ω) a la adherencia de C∞0 (Ω) en H1(Ω), el cual

se caracteriza tambien como el subespacio de elementos de H1(Ω) que se anulan en la

frontera de Ω, esto es

H10 (Ω) := v ∈ H1(Ω) : v(0) = v(1) = 0 . (1.16)

Con estas notaciones, y en virtud de la identidad (1.13), podemos plantear el siguiente

esquema de solucion para nuestro problema de valores de contorno (1.12): Hallar

u ∈ H10 (Ω) tal que ∫

Ω

u′ ϕ′ dx =

∫Ω

f ϕ dx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) . (1.17)

Mas aun, en el siguiente lema probamos, usando la densidad de C∞0 (Ω) en H10 (Ω), que

(1.17) se puede reformular como: Hallar u ∈ H10 (Ω) tal que∫

Ω

u′ v′ dx =

∫Ω

f v dx ∀ v ∈ H10 (Ω) . (1.18)

Lema 1.6 Las formulaciones (1.17) y (1.18) son equivalentes.

1.3. UN PROBLEMA DE VALORES DE CONTORNO EN R 23

Demostracion. Sea u ∈ H10 (Ω) una solucion de (1.18). Dado que C∞0 (Ω) ⊆ H1

0 (Ω) es

claro que u es tambien solucion de (1.17). Recıprocamente, sea u ∈ H10 (Ω) una solucion

de (1.17) y consideremos v ∈ H10 (Ω). Puesto que C∞0 (Ω) es denso en H1

0 (Ω) se sigue que

existe una sucesion ϕnn∈N ⊆ C∞0 (Ω) tal que ‖v − ϕn‖H1(Ω) → 0 cuando n→ +∞, y

en tal caso, de acuerdo a (1.17), se tiene∫Ω

u′ ϕ′n dx =

∫Ω

f ϕn dx ∀n ∈ N . (1.19)

Ahora, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz en L2(Ω), se obtiene∣∣∣∣ ∫Ω

u′ v′ dx −∫

Ω

u′ ϕ′n dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ∫Ω

u′(v′ − ϕ′n) dx

∣∣∣∣≤ ‖u′‖L2(Ω) ‖v′ − ϕ′n‖L2(Ω) ≤ ‖u‖H1(Ω) ‖v − ϕn‖H1(Ω) ,

lo cual implica que lımn→∞

∫Ω

u′ ϕ′n dx =

∫Ω

u′ v′ dx . De manera similar se muestra que

lımn→∞

∫Ω

f ϕn dx =

∫Ω

f v dx , y ası, tomando lımn→∞

en (1.19), se concluye que

∫Ω

u′ v′ dx =

∫Ω

f v dx ,

lo cual prueba que u es solucion de (1.18). 2

Por otro lado, definiendo H := H10 (Ω), y las aplicaciones A : H × H → R y

F : H → R dadas por

A(w, v) :=

∫Ω

w′ v′ dx y F (v) :=

∫Ω

f v dx ∀w, v ∈ H ,

observamos que (1.18) se reduce a: Hallar u ∈ H tal que

A(u, v) = F (v) ∀ v ∈ H . (1.20)

En consecuencia, independientemente del problema de valores de contorno (1.12)

que dio origen a (1.18), podemos pensar en estudiar la solubilidad de formulaciones

abstractas del tipo (1.20). Precisamente, en uno de los capıtulos siguientes de este texto

se introduce el Teorema de Lax-Milgram, el cual da condiciones suficientes sobre H,

A y F para que (1.20) tenga una unica solucion. Naturalmente, para llegar a establecer y

demostrar dicho teorema, necesitaremos varios resultados previos de analisis funcional.


1.4. Un problema de valores de contorno en Rn

Sean n ∈ N y Ω un abierto acotado de Rn con frontera Γ := ∂Ω de clase C1. La

definicion precisa del grado de suavidad de la frontera, incluyendo ciertamente C1 y

otras clases de funciones, puede verse en [2], [4], o [13].

Entonces, dada una funcion f ∈ C(Ω), nos interesa el siguiente problema de valores

de contorno: Hallar u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) tal que

−∆u = f en Ω , u = 0 en Γ . (1.21)

Con el objeto de derivar un esquema de solucion para (1.21), analogo al de la seccion

anterior, se deducen a continuacion las identidades de Green. Para ello, recordamos

primero el Teorema de la Divergencia de Gauss, el cual dice que para un campo vectorial

G ∈ [C1(Ω) ∩ C(Ω)]n se tiene∫Ω

div Gdx =

∫Γ

G · ν ds ,

donde div G :=n∑i=1

∂Gi

∂xiy ν := (ν1, ..., νn)t es el vector normal unitario exterior a Ω.

En particular, si G tiene todas sus componentes nulas, excepto la i-esima que es igual a

uv, con u, v ∈ C1(Ω) ∩ C(Ω), entonces se obtiene∫Ω

∂

∂xi(uv) dx =

∫Γ

uv νi ds ,

o bien ∫Ω

v∂u

∂xidx = −

∫Ω

u∂v

∂xidx +

∫Γ

uv νi ds ∀ i ∈ 1, ..., n ,

la cual se conoce como formula de integracion por partes.

Reemplazando u por∂w

∂xien la ecuacion anterior, resulta

∫Ω

v∂2w

∂x2i

dx = −∫

Ω

∂w

∂xi

∂v

∂xidx +

∫Γ

∂w

∂xiv νi ds ∀ i ∈ 1, ..., n ,

y luego, sumando sobre todos los ındices i, se concluye la primera identidad de

Green ∫Ω

v∆w dx = −∫

Ω

∇w · ∇v dx +

∫Γ

∂w

∂νv ds , (1.22)

1.4. UN PROBLEMA DE VALORES DE CONTORNO EN RN 25

la cual es valida para todo v ∈ C1(Ω) ∩ C(Ω) y para todo w ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω). Aquı,

∂w

∂ν:=

N∑i=1

∂w

∂xiνi denota la derivada normal sobre Γ.

Intercambiando los roles de v y w en (1.22) y luego restando la ecuacion resultante

a (1.22) se obtiene la segunda identidad de Green:∫Ω

( v∆w − w∆v ) dx =

∫Γ

(v∂w

∂ν− w

∂v

∂ν

)ds , (1.23)

para todo v, w ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω).

Ahora, consideramos nuevamente el espacio C∞0 (Ω), cuya definicion en el caso n-

dimensional es analoga a la dada en la Seccion 1.3 para un abierto Ω de R. Multipli-

cando la ecuacion diferencial parcial de (1.21) por una funcion ϕ ∈ C∞0 (Ω), aplicando

la primera identidad de Green (1.22), y usando el hecho que ϕ = 0 on Γ, resulta∫Ω

∇u · ∇ϕdx =

∫Ω

fϕ dx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) . (1.24)

Definicion 1.14 Dada v ∈ L2(Ω), se dice que∂v

∂xi∈ L2(Ω) en el sentido distribucional,

si existe zi ∈ L2(Ω) tal que

−∫

Ω

v∂ϕ

∂xidx =

∫Ω

zi ϕdx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) ,

y en tal caso se escribe∂v

∂xi= zi.

De acuerdo a la definicion anterior, podemos introducir el espacio de Sobolev

analogo al dado en (1.14),

H1(Ω) :=

v ∈ L2(Ω) :

∂v

∂xi∈ L2(Ω) ∀ i ∈ 1, ..., n

, (1.25)

el cual tambien es un espacio de Hilbert provisto del siguiente producto escalar

〈v, w〉H1(Ω) :=

∫Ω

(∇v · ∇w + v w ) dx ∀ v, w ∈ H1(Ω) .

Entonces, la norma ‖ · ‖H1(Ω) : H1(Ω)→ R esta dada por

‖v‖H1(Ω) :=|v|2H1(Ω) + ‖v‖2

L2(Ω)

1/2

∀ v ∈ H1(Ω) ,


donde | · |H1(Ω) es la semi-norma asociada definida como

|v|H1(Ω) :=

∫Ω

‖∇v‖2 dx

1/2

=

n∑i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂v∂xi∣∣∣∣∣∣∣∣2L2(Ω)

1/2

∀ v ∈ H1(Ω) .

Al igual que en la Seccion 1.3 se define el espacio H10 (Ω) como la adherencia de

C∞0 (Ω) en H1(Ω). Puede probarse (ver Capıtulo 1 en [13]) que H10 (Ω) coincide con el

subespacio de elementos de H1(Ω) que se anulan en la frontera en el sentido de trazas,

esto es

H10 (Ω) :=

v ∈ H1(Ω) : v = 0 en ∂Ω

.

En virtud de la identidad (1.24) y de la densidad de C∞0 (Ω) en H10 (Ω), la cual permite

probar un resultado analogo al dado por Lemma 1.6, el esquema alternativo de solucion

para el problema de valores de contorno (1.21) se reduce a: Hallar u ∈ H10 (Ω) tal que∫

Ω

∇u · ∇v dx =

∫Ω

fv dx ∀ v ∈ H10 (Ω) . (1.26)

Entonces, definiendo H := H10 (Ω), y las aplicaciones A : H ×H → R y F : H → R

dadas por

A(w, v) :=

∫Ω

∇w · ∇v dx y F (v) :=

∫Ω

fv dx ∀w, v ∈ H , (1.27)

observamos que (1.26) se reduce a: Hallar u ∈ H tal que

A(u, v) = F (v) ∀ v ∈ H . (1.28)

Ciertamente, la estructura abstracta de (1.28) coincide con la del problema (1.20)

y por lo tanto los mismos comentarios dados al final de la Seccion 1.3 valen en este

caso. En particular, se reitera una vez mas que el Teorema de Lax-Milgram nos

dara condiciones suficientes sobre H, A y F para que formulaciones de este tipo sean

bien propuestas.

1.5. Nociones basicas de distribuciones

En esta seccion se dan algunos resultados basicos sobre distribuciones, los cuales for-

malizan varios de los argumentos dados en las dos secciones anteriores y proporcionan,

ademas, algunos fundamentos necesarios para los capıtulos siguientes. Para este efecto,

consideremos n ∈ N y un abierto Ω de Rn.

1.5. NOCIONES BASICAS DE DISTRIBUCIONES 27

Definicion 1.15 Un multındice es una n−upla α := (α1, ..., αn) donde cada αi es un

entero no negativo. La longitud (u orden) de la n−upla α se define como |α| :=n∑i=1

αi.

Dadas dos n−uplas α, β, la suma de ellas se define componente a componente, esto es,

si β := (β1, ..., βn), entonces α+β := (α1 +β1, ..., αn +βn). Ademas, para una funcion

u ∈ C |α|(Ω), se escribe

∂α u :=∂|α| u

∂xα11 ∂xα2

2 · · · ∂xαnn.

Definicion 1.16 El espacio vectorial C∞0 (Ω), provisto de una topologıa inducida por una

familia de seminormas (ver detalles en [10]), se denota D(Ω) y se llama espacio de

funciones test.

Ejemplo 1.6 Consideremos la funcion ψ : R→ R definida por

ψ(t) :=

0 si t ≤ 0 ,

e−1/t si t > 0 .

No es difıcil probar que ψ pertenece a C∞(R), el espacio de funciones infinitamente diferen-

ciables definidas sobre R. Este hecho sugiere definir entonces la funcion ϕ : Rn → R dada por

ϕ(x) := ψ(1−‖x‖2) ∀x ∈ Rn, la cual, al ser la compuesta de ψ con una funcion polinomial,

pertenece a C∞(Rn). Mas aun, se sigue que

ϕ(x) :=

0 si ‖x‖ ≥ 1 ,

e−1/(1−‖x‖2) si ‖x‖ < 1 ,

lo cual indica que el soporte de ϕ es la bola unitaria B(0, 1) := x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ 1(0 := (0, ..., 0)t denota el vector nulo de Rn), y por lo tanto ϕ ∈ C∞0 (Ω) para cualquier abierto

Ω que contiene a B(0, 1). En general, dados ε > 0 y x0 ∈ Rn, la funcion ϕε,x0 : Rn → R dada

por

ϕε,x0(x) := ψ(1− ‖x− x0‖2/ε2) :=

0 si ‖x− x0‖ ≥ ε ,

e−ε2/(ε2−‖x−x0‖2) si ‖x− x0‖ < ε ,

tambien pertenece a C∞(Rn) y su soporte se reduce a B(x0, ε) := x ∈ Rn : ‖x− x0‖ ≤ ε.Se concluye ası que ϕε,x0 ∈ C∞0 (Ω) para cualquier abierto Ω que contiene a B(x0, ε).

El ejemplo anterior muestra que se pueden construir funciones test en cualquier

abierto de Rn, con soportes tan pequenos como se desee, o tan grandes como lo permita

el dominio respectivo.


Por otro lado, una consecuencia importante de la topologıa de D(Ω) es la equivalencia

entre el concepto usual (topologico) de continuidad y el de continuidad por sucesiones.

De acuerdo a ello, se introducen ahora las siguientes definiciones.

Definicion 1.17 Sea ϕkk∈N una sucesion en D(Ω). Se dice que ϕkk∈N converge a

la funcion nula en D(Ω), si existe un compacto K0 ⊂ Ω tal que sop ϕk ⊆ K0 para todo

k ∈ N, y para toda n−upla α se tiene que ∂αϕkk∈N converge uniformemente a cero

sobre K0, esto es lımk→∞

supx∈K0

|∂αϕk(x)| = 0 .

Definicion 1.18 Una aplicacion u : D(Ω)→ C se dice una forma lineal si

u(αϕ+ βψ) = αu(ϕ) + β u(ψ) ∀α, β ∈ C, ∀ϕ, ψ ∈ D(Ω) .

Definicion 1.19 Una forma lineal u : D(Ω) → C se llama una distribucion sobre

Ω si ella es continua (equivalentemente, continua por sucesiones). En otras palabras,

u : D(Ω) → C se dice una distribucion si para toda sucesion ϕkk∈N ⊆ D(Ω) que

converge a la funcion nula, se tiene que u(ϕk) converge a cero cuando k → ∞. Al

espacio de todas las distribuciones sobre Ω se le denota D′(Ω). Ademas, dada u ∈ D′(Ω)

y ϕ ∈ D(Ω), se adopta la notacion u(ϕ) = 〈u, ϕ〉 .

Un resultado de caracterizacion de las distribuciones, mas facil de verificar que la

definicion 1.19, esta dado por el siguiente teorema.

Teorema 1.9 Una forma lineal u : D(Ω) → C es una distribucion sobre Ω sı y solo

sı para cada compacto K ⊆ Ω, existen un entero no negativo N y una constante positiva

C, tal que

| 〈u, ϕ〉 | ≤ C∑|α|≤N

supx∈K|∂αϕ(x)| ∀ϕ ∈ DK(Ω) , (1.29)

donde DK(Ω) := ϕ ∈ D(Ω) : sop ϕ ⊆ K .

Demostracion. Para la primera implicacion supongamos, por contradiccion, que existe

un compacto K ⊆ Ω tal que para todo entero no negativo N , y para todo C > 0, existe

ϕ ∈ DK(Ω) tal que | 〈u, ϕ〉 | > C∑|α|≤N

supx∈K|∂αϕ(x)|. En particular, para C = N ,

existe ϕN ∈ DK(Ω) tal que | 〈u, ϕN〉 | > N∑|α|≤N

supx∈K|∂αϕN(x)|. Para cadaN , definamos


la funcion ϕN :=ϕN

|〈u, ϕN〉|. Se sigue que

|〈u, ϕN〉| = 1 y1

N>∑|α|≤N

supx∈K|∂αϕN(x)| . (1.30)

Notemos ahora que sopϕN = sop ϕN ⊆ K. Ademas, dada una n−upla β, se deduce

de (1.30) que para todo N ≥ |β| se tiene que supx∈K

|∂βϕN(x)| ≤ 1

N, y por lo tanto

lımN→∞

supx∈K

|∂βϕN(x)| = 0 ∀ β . Esto prueba que la sucesion ϕNN∈N converge a la

funcion nula en D(Ω). Sin embargo, debido a (1.30), 〈u, ϕN〉N∈N no converge a cero

en C, lo cual contradice el hecho que u es continua.

Recıprocamente, supongamos que para todo compacto K ⊆ Ω existen N ∈ N ∪ 0 y

C > 0, tales que (1.29) se cumple, y sea ϕkk∈N ⊆ D(Ω) una sucesion que converge a

cero en D(Ω). Esto significa que existe un compacto K0 ⊆ Ω tal que sopϕk ⊆ K0 para

todo k ∈ N, y para toda n−upla α se tiene

lımk→∞

supx∈K

|∂αϕk(x)| = 0 .

Luego, aplicando (1.29) con K = K0 se concluye que 〈u, ϕk〉k∈N converge a cero en C,

probando ası la continuidad de u. 2

Definicion 1.20 El espacio de funciones localmente integrables sobre Ω se denota por

L1loc(Ω) y se define como

L1loc(Ω) := f : Ω→ C : f medible ,

∫K

|f | dx < ∞ ∀ compacto K ⊆ Ω .

Ejemplo 1.7 Las funciones localmente integrables constituyen los ejemplos mas simples de

distribuciones. En efecto, dada f ∈ L1loc(Ω), la distribucion inducida, que denotamos nueva-

mente por f , se define como

〈f, ϕ〉 :=∫

Ωfϕ dx ∀ϕ ∈ D(Ω) .

Veamos que f ∈ D′(Ω). La linealidad es una consecuencia clara de la misma propiedad de la

integral. Para la continuidad consideramos un compacto K ⊆ Ω y tomamos ϕ ∈ DK(Ω). Se

sigue que

|〈f, ϕ〉| =∣∣∣∣ ∫

Ωfϕ dx

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ ∫

Kfϕ dx

∣∣∣∣ ≤ ∫K|f ||ϕ| dx ≤

∫K|f | dx sup

x∈K|ϕ(x)| .


Por lo tanto, en virtud del Teorema 1.9, basta elegir C :=∫K|f | dx y N = 0, con lo cual

|〈f, ϕ〉| ≤ C∑|α|≤N

supx∈K|∂αϕ(x)| .

El ejemplo anterior muestra que el espacio L1loc(Ω) se identifica con un subespacio de

D′(Ω), lo cual induce la siguiente definicion.

Definicion 1.21 Se dice que una distribucion u ∈ D′(Ω) es regular si ella es generada

por una funcion localmente integrable. En caso contrario, u se dice singular.

El ejemplo clasico de distribucion singular es el dado por δ ∈ D′(Rn), llamada delta

de Dirac, y definida como

〈δ, ϕ〉 := ϕ(0) ∀ϕ ∈ D(Rn) .

Mas generalmente, si x0 ∈ Ω entonces tambien se define δx0 ∈ D′(Ω) como

〈δx0 , ϕ〉 := ϕ(x0) ∀ϕ ∈ D(Ω) .

Lema 1.7 La distribucion δ ∈ D′(Rn) es singular.

Demostracion. Por simplicidad, consideramos el caso n = 1. La demostracion para

n > 1 es analoga. Dada la funcion test ϕε,0 ∈ D(R) (definida en el Ejemplo 1.6), con

ε ∈ (0, 1), observamos primero que 〈δ, ϕε,0〉 = ϕε,0(0) = e−1, |ϕε,0(x)| ≤ e−1 ∀x ∈ R,

y sopϕε,0 = [−ε, ε]. Supongamos ahora, por contradiccion, que existe f ∈ L1loc(R) tal

que 〈δ, ϕ〉 =

∫Rf ϕ dx ∀ϕ ∈ D(R). Se sigue ası que

e−1 = | 〈δ, ϕε,0〉 | =

∣∣∣∣ ∫ ε

−εf ϕε,0 dx

∣∣∣∣ ≤ e−1

∫ ε

−ε|f | dx = e−1

∫ 1

−1

1[−ε,ε] |f | dx ,

donde 1[−ε,ε] es la funcion caracterıstica del intervalo [−ε, ε]. Luego, tomando lımε→0

y

aplicando el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, se obtiene e−1 ≤ 0, lo

cual es absurdo. Esto prueba que δ no puede ser regular. 2

Por otro lado, una de las nociones mas importantes sobre distribuciones se refiere

a la derivacion de ellas. Para entender el origen de este concepto consideremos ahora

un abierto Ω de Rn y una funcion u ∈ C1(Ω). Puesto que para cada i ∈ 1, ..., n, la


derivada parcial∂u

∂xies una funcion continua, se sigue que ella induce la distribucion

dada por

〈 ∂u∂xi

, ϕ〉 =

∫Ω

∂u

∂xiϕdx ∀ϕ ∈ D(Ω) .

Sin embargo, usando la formula de integracion por partes se obtiene

〈 ∂u∂xi

, ϕ〉 = −∫

Ω

u∂ϕ

∂xi= −〈u ∂ϕ

∂xi〉 ∀ϕ ∈ D(Ω) ,

y se observa ası que la diferenciabilidad de u no es una condicion necesaria para que

este ultimo termino este bien definido. En efecto, basta que u defina una distribucion

para que esa expresion tenga sentido. De la misma manera se deduce que si β es un

multiındice y u ∈ C |β|(Ω), entonces aplicando integracion por partes |β| veces, resulta

〈∂βu, ϕ〉 = (−1)|β| 〈u, ∂βϕ〉 ∀ϕ ∈ D(Ω) .

Los comentarios anteriores inducen la siguiente definicion.

Definicion 1.22 Sean u ∈ D′(Ω) y β un multiındice. Se define la derivada β-esima de

u, y se denota ∂βu, como la forma lineal sobre D(Ω) dada por

(∂βu)(ϕ) := (−1)|β| 〈u, ∂βϕ〉 ∀ϕ ∈ D(Ω) .

Veamos ahora que para cualquier multiındice β, ∂βu es tambien una distribucion

sobre Ω. En efecto, en virtud del Teorema 1.9 y del hecho que u ∈ D′(Ω), sabemos que

dado un compacto K ⊆ Ω, existen un entero no negativo N y una constante positiva

C, tal que

| 〈u, ϕ〉 | ≤ C∑|α|≤N

supx∈K|∂αϕ(x)| ∀ϕ ∈ DK(Ω) . (1.31)

Se sigue que para cada ϕ ∈ DK(Ω)

| 〈∂βu, ϕ〉 | = | 〈u, ∂βϕ〉 | ≤ C∑|α|≤N

supx∈K|∂α+βϕ(x)| ≤ C

∑|α|≤N+|β|

supx∈K|∂αϕ(x)| ,

lo cual, de acuerdo nuevamente a Teorema 1.9, implica que ∂βu ∈ D′(Ω).


1.6. Ejercicios

I 1.1 Sea X un espacio vectorial normado y sea S := x ∈ X : ‖x‖ = 1. Pruebe que S es

completo sı y solo sı X es Banach.

I 1.2 Sean I := (t0, t0 + τ), fj : I×Rn → R, j ∈ 1, . . . , n, funciones continuas, y considere

el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: Hallar u := (u1, · · · , un)t ∈[C1(I)× C(I)]n tal que

dujdt

= fj(t, u1(t), · · · , un(t)) ∀ t ∈ I y

uj(t0) = ηj ∀j ∈ 1, . . . , n,

(1.32)

donde t0, τ, ηj , j = 1, · · · , n son constantes reales dadas y τ es positivo. Suponga ademas que

existe M > 0 tal que

|fj(t, z)− fj(t, w)| ≤M‖z − w‖∞ ∀ z, w ∈ Rn, ∀ t ∈ I .

Demuestre que (1.32) tiene una unica solucion u(t) para todo t ∈ I.

I 1.3 Demuestre el Teorema 1.6.

I 1.4 Sea (H, 〈·, ·〉) un espacio de Hilbert y considere una sucesion xnn∈N de H tal que

〈xn, xm〉 =

1 si n = m

0 si n 6= m. Pruebe que

∞∑n=1

| 〈x, xn〉 |2 ≤ ‖x‖2 ∀x ∈ H . Ademas,

dada una sucesion de escalares αn n∈N, demuestre que

∞∑n=1

αn xn converge en H sı y solo

sı∞∑n=1

|αn|2 < +∞.

I 1.5 Dado Ω abierto de Rn y m ∈ N, se define el espacio de Sobolev de orden m, como

Hm(Ω) :=

u ∈ D′(Ω) : ∂αu ∈ L2(Ω) ∀α, |α| ≤ m

,

el cual se provee de la norma ‖u‖Hm(Ω) :=

∑|α|≤m

‖∂αu‖2L2(Ω)

1/2

. Asuma que L2(Ω) con

el producto escalar usual 〈u, v〉L2(Ω) :=∫

Ωuv dx es un espacio de Hilbert, y demuestre que

Hm(Ω) tambien lo es.

1.6. EJERCICIOS 33

I 1.6 Se dice que un espacio de Banach X es uniformemente convexo si para todo ε > 0

existe δ > 0 tal que(x, y ∈ X , ‖x‖ ≤ 1 , ‖y‖ ≤ 1 y ‖x− y‖ > ε

)⇒∥∥∥∥x+ y

2

∥∥∥∥ < 1− δ .

Demuestre que todo espacio de Hilbert es uniformemente convexo.

I 1.7 Sea H un espacio vectorial normado real. Pruebe que si la norma de H satisface

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + ‖y‖2

∀x, y ∈ H,

entonces ella proviene de un producto escalar.

I 1.8 El Teorema del Punto Fijo de Brouwer establece que si S es un subconjunto

compacto, convexo, y no vacıo de un espacio vectorial de dimension finita, y T es una aplicacion

continua de S en S, entonces T tiene al menos un punto fijo. Use este resultado de Brouwer

para demostrar que si X es un espacio de Hilbert de dimension finita con producto escalar

〈 ·, · 〉 y norma ‖ · ‖, y si F es una aplicacion continua de X en X tal que, para algun µ > 0,

〈F (u), u〉 ≥ 0 ∀u ∈ X con ‖u‖ = µ , entonces existe u0 ∈ X, ‖u0‖ ≤ µ, tal que F (u0) = 0.

I 1.9 Sea Ω un abierto acotado de R2 con frontera suave Γ, y sea f ∈ [L2(Ω)]2. El problema

de Navier-Stokes, un problema de suma importancia en mecanica de fluidos, consiste en

encontrar el vector de velocidades u := (u1, u2)t y la presion p de un fluido, tales que

−∆ u +2∑j=1

uj∂u∂xj

+ ∇p = f en Ω , div u = 0 en Ω ,

u = 0 en Γ ,∫

Ωp dx = 0 .

(1.33)

Defina los espacios H := [H10 (Ω)]2, Q := L2

0(Ω) :=q ∈ L2(Ω) :

∫Ωq dx = 0

, y de-

muestre que la formulacion debil de (1.33) se reduce a: encontrar (u, p) ∈ H ×Q tales que:

a(u; u,v) + b(v, p) = f(v) ∀v ∈ H

b(u, q) = 0 ∀ q ∈ Q ,

(1.34)

donde a : H ×H ×H → R, b : H ×Q→ R, y f : H → R, estan definidas por

a(w; u,v) :=2∑i=1

∫Ω∇ui · ∇vi dx +

2∑i,j=1

∫Ωwj

∂ui∂xj

vi dx ,

b(v, p) := −∫

Ωp div v dx , f(v) =

∫Ω

f · v dx .


I 1.10 Sea Ω un abierto acotado de R2 con frontera suave Γ, y sea f ∈ [L2(Ω)]2. El pro-

blema de Stokes corresponde a una version linealizada del problema de Navier-Stokes y

consiste en encontrar el vector de velocidades u := (u1, u2)t y la presion p de un fluido, tales

que

−∆ u + ∇p = f en Ω , ∇ · u = 0 en Ω ,

u = 0 en Γ ,∫

Ωp dx = 0 .

(1.35)

Utilice el ejercicio anterior para deducir la formulacion debil de (1.35).

I 1.11 Dado Ω abierto de Rn y p ∈ [1,+∞), se define

Lp(Ω) :=f : Ω→ R : f medible y

∫Ω|f |p dx < ∞

.

Puede probarse que Lp(Ω), provisto de la norma ‖f‖Lp(Ω) :=∫

Ω|f |p dx

1/p

es un espacio

de Banach. Ademas, dados f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lq(Ω), con 1p + 1

q = 1, se tiene la desigualdad de

Holder ∫Ω|f g| dx ≤ ‖f‖Lp(Ω) ‖g‖Lq(Ω) .

Entonces, dado m ∈ N se define el Espacio de Sobolev de orden (m, p), como

Wm,p(Ω) :=

u ∈ D′(Ω) : ∂αu ∈ Lp(Ω) ∀α, |α| ≤ m

,

el cual se provee de la norma ‖u‖Wm,p(Ω) :=

∑|α|≤m

‖∂αu‖pLp(Ω)

1/p

. Demuestre que

Wm,p(Ω) es un espacio de Banach.

I 1.12 Sea Ω un abierto acotado de R2 y sea T := T1, T2, ..., TN una triangularizacion de

Ω, es decir:

i) Tj es un triangulo con interior no-vacıo ∀ j ∈ 1, ..., N,

ii) Ti ∩ Tj = φ ∀ i 6= j, y

iii) Ω = ∪ Tj : j ∈ 1, ..., N .

Defina el subespacio de [L2(Ω)]2

H := τ ∈ [L2(Ω)]2 : div(τ ) ∈ L2(Tj) ∀ j ∈ 1, ..., N ,

1.6. EJERCICIOS 35

donde la pertenencia local div(τ ) ∈ L2(Tj) esta dada en el sentido distribucional, es decir en

D′(Tj), lo cual significa que existe zj ∈ L2(Tj) tal que

−∫Tj

∇ϕ · τ dx =∫Tj

zj ϕdx ∀ϕ ∈ C∞0 (Tj) ,

y en tal caso se escribe zj = div(τ ) en Tj . Demuestre que H provisto de la norma

‖τ‖ :=

‖τ‖2[L2(Ω)]2 +N∑j=1

‖div(τ )‖2L2(Tj)

1/2

∀ τ ∈ H ,

es un espacio de Hilbert real.

Capıtulo 2

DUALIDAD

2.1. Preliminares

Sea (V, ‖ · ‖) un espacio vectorial normado sobre un cuerpo K (R o C). Toda aplicacion

F : V → K se llama funcional. Note, por ejemplo, que cualquier norma de V es un

funcional. A continuacion se definen los conceptos de linealidad y acotamiento asociados

a un funcional.

Definicion 2.1 Un funcional F : V → K se dice lineal si

F (α v + β w) = αF (v) + β F (w) ∀α , β ∈ K , ∀ v, w ∈ V .

Definicion 2.2 Un funcional lineal F : V → K se dice acotado con respecto a una

norma dada ‖ · ‖ de V si existe una constante M > 0 tal que

|F (v)| ≤ M ‖v‖ ∀ v ∈ V .

Ejemplo 2.1 Los siguientes son ejemplos simples de funcionales.

1. Dado un espacio vectorial normado (V, ‖ · ‖), la norma ‖ · ‖ : V → R es un funcional

no-lineal. En particular, basta ver que para α < 0 y x ∈ V , x 6= 0, se tiene ‖αx‖ =

|α| ‖x‖ 6= α ‖x‖.

2. Dados un espacio de Hilbert (V, 〈·, ·〉) y x ∈ V , la aplicacion que a cada v ∈ V le asigna

〈v, x〉 ∈ K es un funcional lineal. Ademas, usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz

se prueba facilmente que este funcional es acotado. Al respecto, es importante destacar

37

38 CAPITULO 2. DUALIDAD

aquı que el Teorema de Representacion de Riesz, resultado que se demuestra luego en la

Seccion 2.2, constituye precisamente el recıproco de este hecho. En otras palabras, dicho

teorema establece que todo funcional lineal acotado F definido sobre V admite un unico

representante x ∈ V a traves de la relacion: F (v) = 〈v, x〉 ∀ v ∈ V .

El conjunto de todos los funcionales lineales y acotados definidos sobre V se llama

dual de V y se denota V ′. Sobre V ′ se definen las siguientes operaciones

+ : V ′ × V ′ → V ′

(F,G) → F + G , (F +G)(v) := F (v) +G(v) ∀ v ∈ V ,(2.1)

y

· : K× V ′ → V ′

(λ, F ) → λF , (λF )(v) := λF (v) ∀ v ∈ V .(2.2)

Entonces, se demuestra facilmente que (V ′,+, ·) es un espacio vectorial sobre K, cuyo

elemento neutro para la adicion es el funcional nulo Θ : V → K definido como Θ(v) = 0

para todo v ∈ V .

Definicion 2.3 Dado F ∈ V ′ se define ‖F‖V ′ como el ınfimo de todas las constantes

M > 0 que satisfacen la condicion de acotamiento de F segun se indica en la Definicion

2.2, esto es

‖F‖V ′ := ınfM > 0 : |F (v)| ≤ M ‖v‖V ∀ v ∈ V .

Se sigue que

‖F‖V ′ = sup06=v∈V

|F (v)|‖v‖V

∀F ∈ V ′ . (2.3)

Igualmente, ‖F‖V ′ se define tambien como

‖F‖V ′ := supv∈V‖v‖≤1

|F (v)| ,

o bien

‖F‖V ′ := supv∈V‖v‖=1

|F (v)| .

En cualquier caso, se prueba facilmente que efectivamente ‖ · ‖V ′ es una norma sobre

V ′, con lo cual (V ′,+, ·, ‖ · ‖V ′) constituye un espacio vectorial normado. Mas aun, se

puede demostrar, usando la completitud del cuerpo K, que V ′ es un espacio de Banach.

2.2. TEOREMA DE REPRESENTACION DE RIESZ 39

Un resultado mas general, del cual la completitud de los espacios duales es un caso

particular, se probara posteriormente en el Capıtulo 3 (ver Teorema 3.1).

En lo que sigue, y cuando no haya confusion al respecto, escribiremos simplemente

‖v‖ y ‖F‖ en vez de ‖v‖V y ‖F‖V ′ , para cada v ∈ V y F ∈ V ′.

Al terminar esta seccion nos preguntamos si es posible obtener una identidad dual a

la establecida en (2.3), esto es, si acaso se tiene que:

‖v‖ = supΘ 6=F∈V ′

|F (v)|‖F‖

∀ v ∈ V . (2.4)

La respuesta a esta simple interrogante es positiva y estara dada posteriormente como

una de las tantas consecuencias del Teorema de Hahn-Banach, uno de los resultados

clasicos mas importantes del Analisis Funcional.

2.2. Teorema de Representacion de Riesz

El proposito de esta seccion es demostrar el Teorema de Representacion de Riesz, el cual

ya fue anunciado en el Ejemplo 2.1. Para este efecto, necesitamos algunos resultados

previos.

Teorema 2.1 (Primer Teorema de Mejor Aproximacion) Sea U 6= φ un subes-

pacio cerrado de un Hilbert (V, 〈·, ·〉). Entonces, para todo x ∈ V existe un unico z ∈ Utal que

‖x− z‖ = ınfu∈U‖x− u‖ , (2.5)

el cual se llama la mejor aproximacion de x por elementos de U . Ademas, z ∈ U

esta caracterizado por la relacion de ortogonalidad

〈x − z, u〉 = 0 ∀u ∈ U . (2.6)

Demostracion. Sea d := ınfu∈U‖x − u‖. Entonces, para todo ε > 0 existe u ∈ U tal que

d ≤ ‖x − u‖ < d + ε. En particular, tomando ε = 1n, con n ∈ N, se deduce que existe

una sucesion znn∈N ⊆ U tal que d ≤ ‖x − zn‖ < d + 1n

y por lo tanto ‖x − zn‖ → d

cuando n→ +∞. Ahora, aplicando la ley del paralelogramo a (x− zn) y (x− zm), con

m, n ∈ N, se tiene

‖(x− zn) + (x− zm)‖2 + ‖(x− zn)− (x− zm)‖2 = 2‖x− zn‖2 + ‖x− zm‖2

,


o bien

4

∣∣∣∣∣∣∣∣x− (zn + zm)

2

∣∣∣∣∣∣∣∣2 + ‖zn − zm‖2 = 2 ‖x− zn‖2 + 2 ‖x− zm‖2 ,

de donde

‖zn − zm‖2 = 2 ‖x− zn‖2 + 2 ‖x− zm‖2 − 4

∣∣∣∣∣∣∣∣x− (zn + zm)

2

∣∣∣∣∣∣∣∣2 .Puesto que zn+zm

2∈ U resulta ‖x− (zn+zm)

2‖ ≥ d, y luego

‖zn − zm‖2 ≤ 2 ‖x− zn‖2 + 2 ‖x− zm‖2 − 4 d2 .

Ası, tomando lımite cuando m,n→ +∞, obtenemos ‖zn − zm‖ → 0, lo que indica que

znn∈N es de Cauchy en V . Como U es cerrado, se deduce que existe z ∈ U tal que

zn → z y por lo tanto

d = lımn→+∞

‖x− zn‖ = ‖x− z‖ .

Para la unicidad, sean z1, z2 ∈ U tales que ‖x − z1‖ = ‖x − z2‖ = d. Aplicando

nuevamente los mismos calculos anteriores, se obtiene

0 ≤ ‖z1 − z2‖2 = 2 ‖x− z1‖2 + 2 ‖x− z2‖2 − 4

∣∣∣∣∣∣∣∣x− (z1 + z2)

2

∣∣∣∣∣∣∣∣2

= 4 d2 − 4

∣∣∣∣∣∣∣∣x− (z1 + z2)

2

∣∣∣∣∣∣∣∣2 ≤ 0 ,

con lo cual ‖z1 − z2‖ = 0.

Ahora probamos la equivalencia entre (2.5) y (2.6). Sea z ∈ U tal que

d := ‖x− z‖ = ınfu∈U‖x− u‖ .

Se sigue que d2 ≤ ‖x−u‖2 para todo u ∈ U , y en particular, dado que U es subespacio,

d2 ≤ ‖x− (z − αu)‖2 = ‖(x− z) + αu)‖2 ∀α ∈ R , ∀u ∈ U .

Desarrollando la desigualdad anterior se obtiene

d2 ≤ ‖x− z‖2 + 2α 〈x− z, u〉 + α2 ‖u‖2 = d2 + 2α 〈x− z, u〉 + α2 ‖u‖2 ,

de donde

0 ≤ 2α 〈x− z, u〉 + α2 ‖u‖2 ∀α ∈ R , ∀u ∈ U .


Luego, dividiendo por α > 0 (resp. α < 0) y tomando lımite cuando α → 0+ (resp.

α→ 0−), resulta 〈x− z, u〉 = 0 para todo u ∈ U .

Recıprocamente, sea z ∈ U tal que 〈x − z, u〉 = 0 para todo u ∈ U . Se sigue

facilmente que

‖x− u‖2 = ‖(x− z)− (u− z)‖2 = ‖x− z‖2 + ‖u− z‖2 ,

de donde ‖x− z‖ ≤ ‖x− u‖ para todo u ∈ U y ‖x− z‖ = ‖x− u‖ si y solo si u = z,


Es importante observar aquı que la misma demostracion utilizada para probar la

existencia y unicidad de la mejor aproximacion z ∈ U , es valida en el caso en que U

es solo un subconjunto convexo y cerrado del Hilbert V . En efecto, el unico argumento

que en esta parte hace uso del hecho que U es un subespacio de V es aquel que permite

concluir que el promedio de dos elementos de U sigue estando en U , lo cual naturalmente

tambien es cierto si U es convexo. No obstante, la convexidad de U no es suficiente para

probar una eventual equivalencia entre (2.5) y (2.6). De hecho, el teorema de caracte-

rizacion correspondiente, que sera detallado mas adelante en el capıtulo de Problemas

Variacionales, implica una desigualdad en vez de la relacion de ortogonalidad (2.6).

De acuerdo a lo anterior, ahora podemos establecer el siguiente resultado.

Teorema 2.2 (Segundo Teorema de Mejor Aproximacion) Sea U 6= φ un

subconjunto convexo y cerrado de un Hilbert (V, 〈·, ·〉). Entonces, para todo x ∈ V existe

un unico z ∈ U tal que

‖x− z‖ = ınfu∈U‖x− u‖ , (2.7)

el cual se llama la mejor aproximacion de x por elementos de U .

Ejemplo 2.2 Este ejemplo ilustra el caso finito-dimensional del Teorema 2.1.

1. Si U es un subespacio de dimension finita de V , entonces el calculo de la mejor apro-

ximacion se reduce a la resolucion de un sistema de ecuaciones lineales. En efecto, si

u1, u2, ..., uN es una base de U , entonces (2.6) es equivalente a

〈x− z, uj〉 = 0 ∀ j ∈ 1, 2, ..., N .

Ası, si z =N∑i=1

αi ui, entonces podemos escribir

〈x, uj〉 = 〈z, uj〉 =N∑i=1

αi 〈ui, uj〉 ,


o bien, matricialmente, se tiene el sistema de Gramm

A ~α = ~b , (2.8)

donde A := (aij)N×N , con aij := 〈ui, uj〉, ~α := (α1, α2, ..., αN )t y ~b := (b1, b2, ..., bN )t,

con bj := 〈x, uj〉.

2. Si la base u1, u2, ..., uN de U es ortogonal, esto es si 〈ui, uj〉 = 0 para i 6= j, entonces

la resolucion de (2.8) es directa, obteniendose en tal caso

αi =bi‖ui‖2

=〈x, ui〉‖ui‖2

∀ i ∈ 1, 2, ..., N , (2.9)

con lo cual la mejor aproximacion queda dada por

z =N∑i=1

〈x, ui〉‖ui‖2

ui .

3. Un ejemplo particular de 2. lo constituye la seria finita de Fourier. En efecto, en es-

te caso consideramos V := L2(−π, π) provisto de su producto escalar usual 〈f, g〉 :=∫ π

−πf(x) g(x) dx, para todo f, g ∈ L2(−π, π), y elegimos U como el subespacio genera-

do por las funciones trigonometricas ϕ0, ϕ1, ϕ2, ..., ϕN , ψ1, ψ2, ..., ψN, donde ϕj(x) :=

cos(j x) ∀ j ∈ 0, 1, 2, ..., N, y ψj(x) := sin(j x) ∀ j ∈ 1, 2, ..., N, ∀x ∈ (−π, π). Ası,

dada f ∈ L2(−π, π), su mejor aproximacion por elementos de U queda dada por

fN (x) =N∑i=0

αi cos(i x) +N∑i=1

βi sin(i x) ∀x ∈ (−π, π) ,

donde los escalares αi y βi, llamados coeficientes de Fourier, estan definidos de acuerdo

a (2.9), esto es

αi :=

∫ π

−πf(x) cos(i x) dx∫ π

−πcos2(i x) dx

y βi :=

∫ π

−πf(x) sin(i x) dx∫ π

−πsin2(i x) dx

.

Definicion 2.4 Dado un subconjunto S de un espacio de Hilbert (V, 〈·, ·〉), se define el

ortogonal de S, y se denota S⊥, como

S⊥ := x ∈ V : 〈x, v〉 = 0 ∀ v ∈ S ,

el cual es un subespacio cerrado de V . Notar que S ∩ S⊥ = θ para todo S ⊆ V tal

que θ ∈ S.


Otra consecuencia importante del Teorema 2.1 esta dada por el siguiente resultado,

el cual establece que un espacio de Hilbert puede escribirse siempre como suma directa

de todo subespacio cerrado con su ortogonal.

Teorema 2.3 (Teorema de Descomposicion Ortogonal) Sea U 6= φ un subes-

pacio cerrado de un Hilbert (V, 〈·, ·〉). Entonces

V = U ⊕ U⊥ . (2.10)

Demostracion. Dado x ∈ V , podemos escribir x = z + (x − z), donde z ∈ U es la

mejor aproximacion de x por elementos de U y, gracias a la relacion de ortogonalidad

(2.6), (x− z) ∈ U⊥. 2

Puesto que U⊥ tambien es un subespacio cerrado del Hilbert V , observamos que

z ∈ U es la mejor aproximacion de x (por elementos de U) si y solo si (x − z) ∈ U⊥

es la mejor aproximacion de x (por elementos de U⊥). Equivalentemente, si PS es la

aplicacion (posteriormente se usara el nombre operador) que a cada x ∈ V le asigna su

mejor aproximacion por elementos de un subespacio cerrado S de V , entonces (2.10) se

re-escribe como

I = PU + PU⊥ ,

donde I es la aplicacion identidad de V en V . Aprovechamos de mencionar, en virtud

de la relacion de ortogonalidad (2.6), que las aplicaciones PU : V → U y PU⊥ : V → U⊥

se llaman proyecciones ortogonales sobre U y U⊥, respectivamente. De acuer-

do a esto, el Teorema 2.1 tambien recibe el nombre de Teorema de Proyeccion

Ortogonal.

Ejemplo 2.3 Los siguientes ejemplos ilustran el Teorema de Descomposicion Ortogonal.

1. Sea Ω un abierto acotado de Rn y consideremos el espacio de Lebesgue V := L2(Ω)

sobre el cuerpo R con el producto escalar usual 〈f, g〉 :=∫

Ωf g ∀ f , g ∈ V . A su vez,

definamos el subespacio

U := ϕ : Ω→ R : ϕ es constante = spanϕ0 ,

donde ϕ0 ∈ V es tal que ϕ0(x) = 1 ∀x ∈ Ω. Se sigue que

U⊥ = f ∈ V : 〈f, ϕ0〉 = 0 =f ∈ V :

∫Ωf = 0

.


Entonces, dada f ∈ V , su mejor aproximacion por elementos de U se reduce a la funcion

constante

fU (x) :=〈f, ϕ0〉〈ϕ0, ϕ0〉

ϕ0(x) =1|Ω|

∫Ωf ∀x ∈ Ω .

De este modo, cada f ∈ V puede descomponerse de manera unica como

f = fU + fU⊥ , con fU ∈ U y fU⊥ :=(f − 1

|Ω|

∫Ωf)∈ U⊥ .

2. Sea V := Rn×n, el espacio de las matrices cuadradas de orden n con coeficientes reales,

provisto del producto escalar 〈A,B〉 := tr(BtA). Entonces, definimos los subespacios

U1 := κ I : κ ∈ R = spanI y U2 := A ∈ V : A = At ,

donde I denota la matriz identidad de V . Se sigue que

U⊥1 = A ∈ V : tr(A) = 0 y U⊥2 = A ∈ V : At = −A .

Entonces, dada A ∈ V , se prueba que sus mejores aproximaciones por elementos de U1

y U2 se reducen, respectivamente, a

A1 :=1n

tr(A) I y A2 :=12(A+At

).

Luego, cada A ∈ V puede descomponerse de manera unica como

A = A1 + A⊥1 , con A1 ∈ U1 y A⊥1 :=(A− 1

ntr(A) I

)∈ U⊥1 ,

y tambien como

A = A2 + A⊥2 , con A2 ∈ U2 y A⊥2 :=12(A−At

)∈ U⊥2 .

Un caso particular de esta segunda descomposicion, de gran interes en mecanica de

medios continuos, tiene que ver con el gradiente del vector de desplamientos u de un

solido sometido a ciertas fuerzas de volumen y de superficie. En tal caso, usualmente se

escribe

∇u := e(u) + γ(u) ,

donde e(u) :=12(∇u + (∇u)t

)es el tensor de pequenas deformaciones y γ(u) :=

12(∇u− (∇u)t

)es el tensor de rotaciones.


3. Sea Ω un abierto acotado de Rn y consideremos el espacio de Hilbert V := [L2(Ω)]n×n

sobre el cuerpo R con el producto escalar 〈σ, τ 〉 :=∫

Ωσ : τ , donde σ : τ :=

n∑i,j=1

σij τij

∀σ := (σij)n×n, τ := (τij)n×n ∈ V . Equivalentemente, es facil ver que σ : τ = 〈σ, τ 〉,donde 〈·, ·〉 es el producto escalar utilizado en 2. A su vez, definamos el subespacio

U := κ I : κ ∈ R = spanI ,

donde I es el tensor identidad de V . Se sigue que

U⊥ =

σ ∈ V :∫

Ωtr(σ) = 0

.

Luego, dada σ ∈ V , sus mejores aproximaciones por elementos de U y U⊥ se reducen,

respectivamente, a

σU :=1

n |Ω|

∫Ω

tr(σ) I y σU⊥ := σ − 1n |Ω|

∫Ω

tr(σ) I ,

con lo cual, cada σ ∈ V se descompone de manera unica como la suma de un tensor

σU , multiplo de la identidad, y un tensor σU⊥ , cuya traza tiene media nula en Ω. Este

resultado, analogo a la primera descomposicion de 2., es tambien de gran utilidad en

mecanica de medios continuos, especialmente para el analisis de formulaciones variacio-

nales mixtas de algunos problemas en elasticidad.

4. Sea Ω un abierto acotado de Rn y consideremos el espacio de Sobolev V := H1(Ω)

sobre el cuerpo R, provisto de su producto escalar usual 〈w, v〉 :=∫

Ω

∇w ·∇v + w v

∀w , v ∈ V . Ademas, sea U := H1

0 (Ω) la adherencia de C∞0 (Ω) con respecto a la norma

inducida por 〈·, ·〉. Entonces, es facil ver que

U⊥ = v ∈ V : −∆v + v = 0 en D′(Ω) .

En consecuencia, dado w ∈ V , su mejor aproximacion wU por elementos de U es la unica

solucion debil del problema de valores de contorno:

−∆wU + wU = f en Ω , wU = 0 en ∂Ω ,

donde f := −∆w + w.

El siguiente lema es un corolario directo del Teorema 2.3.

Lema 2.1 Sea U 6= φ un subespacio cerrado propio de un Hilbert V . Entonces, existe

x ∈ V , x 6= θ, tal que x ∈ U⊥.


Con los resultados anteriores estamos en condiciones de demostrar a continuacion el

teorema principal de esta seccion.

Teorema 2.4 (Teorema de Representacion de Riesz) Sea (V, 〈·, ·〉) un espacio

de Hilbert y sea F ∈ V ′. Entonces, existe un unico x ∈ V tal que F (v) = 〈v, x〉 para

todo v ∈ V , y ademas ‖F‖ = ‖x‖.

Demostracion. Dado F ∈ V ′, definamos U := v ∈ V : F (v) = 0. Si U = V

entonces F es el funcional nulo Θ y en tal caso basta tomar x = θ.

Supongamos ahora que U 6= V . Puesto que U es un subespacio cerrado de V , se

deduce, de acuerdo al Lema 2.1, que existe x ∈ V , x 6= θ tal que x ∈ U⊥. Es claro

entonces que x 6∈ U y por lo tanto F (x) 6= 0. Ademas, para cada v ∈ V se observa que

F (x) v − F (v) x ∈ U , y dado que x ∈ U⊥ se deduce que

0 = 〈F (x) v − F (v) x, x〉 ∀ v ∈ V ,

o bien

〈F (x) v, x〉 = 〈F (v) x, x〉 = F (v) ‖x‖2 ,

de donde

F (v) = 〈v, x〉 ∀ v ∈ V ,

con x :=F (x) x

‖x‖2. Para la unicidad de x, si suponemos que existe z ∈ V tal que

F (v) = 〈v, x〉 = 〈v, z〉 ∀ v ∈ V ,

entonces x− z ∈ V ⊥ = θ, y luego x = z.

Por otro lado, usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene

‖F‖ := sup06=v∈V

|F (v)|‖v‖

= sup06=v∈V

|〈v, x〉|‖v‖

≤ ‖x‖ ,

y ademas, tomando v = x, resulta

‖F‖ := sup06=v∈V

|F (v)|‖v‖

≥ |F (x)|‖x‖

= ‖x‖ ,

con lo cual se concluye que ‖F‖ = ‖x‖. 2

2.3. TEOREMA DE HAHN-BANACH 47

Es muy importante observar que el Teorema de Representacion de Riesz induce la

definicion del operador de Riesz

R : V ′ → V

F → R(F )(2.11)

donde R(F ) es el unico elemento en V , llamado representante de F , tal que

F (v) = 〈v,R(F )〉 ∀ v ∈ V .

Notar entonces que R es una biyeccion isometrica.

2.3. Teorema de Hahn-Banach

En esta seccion demostramos uno de los teoremas mas clasicos del Analisis Funcional.

Para tal efecto, en lo que sigue consideramos (V, ‖ · ‖) un espacio vectorial normado

sobre R, y nos hacemos la pregunta esencial que motiva el desarrollo del Teorema de

Hahn-Banach:

Existe algun elemento no nulo del dual V ′ ?

Para responder parcialmente esta pregunta tomamos un elemento arbitrario x0 ∈ V ,

x0 6= θ, y definimos el subespacio de V

V0 := αx0 : α ∈ R = spanx0 ,

el cual es claramente de dimension 1. Entonces, se define el funcional

f : V0 → Rαx0 → f(αx0) := α .

Es simple ver que f es lineal. Ademas, dado x := αx0 ∈ V0, se tiene

|f(x)| = |α| =|α| ‖x0‖‖x0‖

=1

‖x0‖‖x‖ ,

lo cual prueba que f es acotado y ‖f‖V ′0 =1

‖x0‖. Luego, la respuesta a la pregunta

esencial sera afirmativa si f , que es un funcional no-nulo de V ′0 , puede extenderse a un

funcional F ∈ V ′. Precisamente, la existencia de esta extension es lo que garantiza el

Teorema de Hahn-Banach.


2.3.1. Preliminares

En esta seccion damos algunas definiciones y resultados previos necesarios para la de-

mostracion del teorema mencionado.

Definicion 2.5 Un conjunto M 6= ∅ se dice parcialmente ordenado si existe una relacion

de orden (≤) definida sobre un subconjunto de M ×M , tal que

x ≤ x ∀x ∈ M (Reflexividad).

x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y (Antisimetrıa).

x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z (Transitividad).

El concepto parcialmente enfatiza el hecho que M puede contener elementos x e y

para los cuales ni x ≤ y ni y ≤ x ocurren. En tal caso, x e y se dicen incomparables. En

caso contrario, esto es, si x ≤ y o si y ≤ x, entonces x e y se dicen comparables.

Ejemplo 2.4 Dado un conjunto A se considera P(A) := X : X ⊆ A y se define

la relacion de orden X ≤ Y si y solo si X ⊆ Y , con X, Y ∈ P(A). En general, P(A)

es parcialmente ordenado.

Definicion 2.6 Sea (M,≤) un conjunto no vacıo, parcialmente ordenado.

Se dice que M es totalmente ordenado (o cadena) si no posee elementos incompa-

rables.

Suponga que M es totalmente ordenado y sea S 6= ∅ un subconjunto de M . Se dice

que un elemento z ∈M es una cota superior de S si x ≤ z para todo x ∈ S.

Un elemento z ∈ M se dice maximal si cada vez que x ∈ M verifica z ≤ x,

entonces necesariamente x = z.

Notar que M puede o no tener elementos maximales. Ademas, un elemento maximal

no es necesariamente una cota superior. El recıproco sı es cierto.

Lema 2.2 (Lema de Zorn/Axioma de Eleccion) Sea (M,≤) un conjunto no

vacıo, parcialmente ordenado, y suponga que cada cadena de M tiene una cota supe-

rior. Entonces, M tiene al menos un elemento maximal.


2.3.2. Forma analıtica del Teorema de Hahn-Banach

Esta version del teorema requiere del concepto de funcional sublineal.

Definicion 2.7 Sea V un espacio vectorial sobre R. Un funcional p : V → R se dice

sublineal si

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) ∀x , y ∈ V .

p(αx) = α p(x) ∀x ∈ V , ∀α > 0.

Teorema 2.5 (Teorema de Hahn-Banach) Sea V un espacio vectorial sobre R y

sea p : V → R un funcional sublineal. Sea U un subespacio de V y sea f : U → R un

funcional lineal tal que

f(x) ≤ p(x) ∀x ∈ U .

Entonces, existe un funcional lineal F : V → R tal que

F (x) = f(x) ∀x ∈ U y F (x) ≤ p(x) ∀x ∈ V .

Demostracion. La demostracion hara uso del Lema de Zorn. Para este efecto, se define

primero la familia F de todas las extensiones lineales de f acotadas por p, es decir

F :=

g : D(g)→ R lineal : D(g) subespacio de V tal que U ⊆ D(g) ,

g(x) = f(x) ∀x ∈ U , g(x) ≤ p(x) ∀x ∈ D(g)

.

Notemos que F 6= ∅ ya que claramente f ∈ F . Luego, sobre F definimos una relacion

de orden como sigue: dados g, h ∈ F se dice que g ≤ h si y solo si h es una extension

lineal de g, es decir D(g) ⊆ D(h) y h(x) = g(x) ∀x ∈ D(g).

Ahora, dada una cadena C ⊆ F , se define el conjunto

D := ∪D(g) : g ∈ C ,

el cual resulta ser un subespacio vectorial de V . En efecto, notemos primero que D 6= ∅ya que θ ∈ D. A su vez, dados λ ∈ R y x ∈ D se tiene que x ∈ D(g0) para algun

g0 ∈ D, y por lo tanto λx ∈ D(g0), con lo cual λx ∈ D. Ahora, dados x, y ∈ D,

existen g1, g2 ∈ C tales que x ∈ D(g1) e y ∈ D(g2). Como C es cadena, se tiene que

g1 ≤ g2 o bien g2 ≤ g1, y en cualquiera de los dos casos se concluye que x+ y ∈ D.


Definamos entonces

g : D → Rx → g(x) := g(x) , si x ∈ D(g) , con g ∈ C ,

y veamos que g esta bien definida. En efecto, si x ∈ D(g1) ∩ D(g2), con g1 , g2 ∈ C, se

tiene que g1 ≤ g2 o bien g2 ≤ g1, y en ambos casos resulta g1(x) = g2(x). Ademas, es

claro que g es una extension lineal de todo g ∈ C, lo cual muestra que g ≤ g ∀ g ∈ C,y por lo tanto g constituye una cota superior de la cadena C.

En consecuencia, en virtud del Lema de Zorn se deduce que la familia F tiene un

elemento maximal F . De acuerdo a la definicion de F , esto significa que F es una

extension lineal de f , cuyo dominio D(F ) es un subespacio de V , y de modo que

U ⊆ D(F ) , F (x) ≤ p(x) ∀x ∈ D(F ) , y F (x) = f(x) ∀x ∈ U .

Tambien, si g ∈ F es tal que F ≤ g, entonces necesariamente F = g.

Solo resta probar ahora que D(F ) = V para terminar la demostracion. Supongamos,

por contradiccion, que existe y1 ∈ V tal que y1 6∈ D(F ), y consideremos el subespacio

Y1 := D(F ) + spany1, esto es

Y1 := x := y + α y1 : y ∈ D(F ) , α ∈ R .

Notemos que y1 6= θ. Ademas, la representacion de los elementos de Y1 es unica, esto es

Y1 := D(F ) ⊕ spany1 ya que D(F ) ∩ spany1 = θ. Entonces, podemos definir

el funcional lineal

g1 : Y1 → Rx := y + α y1 → g1(x) := F (y) + γ α ,

donde γ ∈ R es un parametro por determinar. Se sigue que g1(x) = F (x) para todo

x ∈ D(F ), lo cual prueba que g1 es una extension propia de F (puesto que D(F )

es un subespacio propio de Y1). El siguiente objetivo es probar que γ se puede elegir

convenientemente de modo que resulte g1(x) ≤ p(x) para todo x ∈ Y1. Esto mostrarıa

que g1 ∈ F y que F ≤ g1, con g1 6= F , lo cual contradice el hecho que F es maximal, y

ası, necesariamente D(F ) = V .

Dados y, z ∈ D(F ), podemos escribir

F (y)− F (z) = F (y − z) ≤ p(y − z) = p((y + y1) + (−y1 − z)) ,


y usando la sublinealidad de p, se obtiene

F (y)− F (z) ≤ p(y + y1) + p(−y1 − z) ,

de donde

− p(−y1 − z) − F (z) ≤ p(y + y1) − F (y) ∀ y , z ∈ D(F ) .

La desigualdad anterior sugiere definir las constantes

m− := supz∈D(F )

− p(−y1 − z) − F (z)

,

y

m+ := ınfy∈D(F )

p(y + y1) − F (y)

,

para las cuales es claro que m− ≤ m+. Entonces, dado γ ∈ [m−,m+] se tiene

− p(−y1 − z) − F (z) ≤ γ ∀ z ∈ D(F ) , (2.12)

y

γ ≤ p(y + y1) − F (y) ∀ y ∈ D(F ) . (2.13)

Ahora, sea x := y + α y1 ∈ Y1, con y ∈ D(F ) y α ∈ R. Para probar que g1(x) ≤ p(x)

consideramos tres casos posibles. Si α = 0 se tiene que x ∈ D(F ) y por lo tanto la

desigualdad es inmediata. Si α < 0 tomamos z = α−1 y en (2.12) y obtenemos

− p(−y1 − α−1 y) − F (α−1 y) ≤ γ ,

de donde, multiplicando por (−α) > 0, resulta

α p(−y1 − α−1 y) + F (y) ≤ −α γ ,

o bien

g1(x) := F (y) + α γ ≤ (−α) p(−y1 − α−1 y) = p(y + α y1) = p(x) .

Analogamente, si α > 0 tomamos y = α−1 y en (2.13) y luego multiplicamos por α.

Esto concluye la demostracion. 2

El siguiente teorema considera el caso particular en que V es un espacio vectorial

normado y constituye una de las versiones mas conocidas del Teorema de Hahn-Banach.


Teorema 2.6 (Teorema de Hahn-Banach en Espacios Normados) Sea (V, ‖·‖)un espacio vectorial normado sobre R y sea f ∈ U ′, donde U es un subespacio de V .

Entonces, existe F ∈ V ′ tal que

F (x) = f(x) ∀x ∈ U y ‖F‖V ′ = ‖f‖U ′ .

Demostracion. Aplicando el Teorema 2.5 a f ∈ U ′ y al funcional sublineal p : V → Rdefinido por p(x) = ‖f‖U ′ ‖x‖ para todo x ∈ V , se deduce que existe F : V → R lineal,

tal que

F (x) = f(x) ∀x ∈ U y F (x) ≤ ‖f‖U ′ ‖x‖ ∀x ∈ V .

Se sigue que

F (−x) ≤ ‖f‖U ′ ‖ − x‖ = ‖f‖U ′ ‖x‖ ,

de donde, usando la linealidad de F ,

F (x) ≥ −‖f‖U ′ ‖x‖ ,

y por lo tanto

|F (x) | ≤ ‖f‖U ′ ‖x‖ ∀x ∈ V .

Esta desigualdad prueba que F ∈ V ′ y ‖F‖V ′ ≤ ‖f‖U ′ . Por otro lado, es claro que

‖F‖V ′ = supv∈Vv 6=θ

|F (v)|‖v‖

≥ supv∈Uv 6=θ

|F (v)|‖v‖

= supv∈Uv 6=θ

|f(v)|‖v‖

= ‖f‖U ′ ,


2.3.3. Otras consecuencias del Teorema de Hahn-Banach

A continuacion presentamos algunos resultados que se siguen del Teorema de Hahn-

Banach y que se aplican con bastante frecuencia en diversos contextos.

Teorema 2.7 Sea (V, ‖ ·‖) un espacio vectorial normado sobre R y sea x0 ∈ V tal que

x0 6= θ. Entonces, existe F ∈ V ′ tal que ‖F‖ = 1 y F (x0) = ‖x0‖.

Demostracion. Sea S := span x0 := αx0 : α ∈ R y definamos el funcional

f : S → Rx = αx0 → f(x) := α ‖x0‖ .


Es claro que f es lineal. Ademas, |f(αx0)| = |α| ‖x0‖ = ‖αx0‖, lo cual muestra que f

es acotado y ‖f‖S′ = 1. Ası, aplicando Teorema 2.6 se concluye que existe F ∈ V ′ tal

que F (x) = f(x) para todo x ∈ S y ‖F‖V ′ = ‖f‖S′ = 1. En particular, para x0 ∈ Sse tiene F (x0) = f(x0) = ‖x0‖, lo cual completa la demostracion. 2

Observemos aquı que si V ′ es estrictamente convexo entonces el funcional F ∈ V ′ del

teorema anterior es unico. En efecto, recordemos primero que la convexidad estricta del

dual significa que para todo F1, F2 ∈ V ′ tal que F1 6= F2 y ‖F1‖ = ‖F2‖ = 1, se tiene

que ‖t F1 + (1− t)F2‖ < 1 para todo t ∈]0, 1[. Entonces, si suponemos que existen F ,

G ∈ V ′, distintos, tales que ‖F‖ = ‖G‖ = 1 y F (x0) = G(x0) = ‖x0‖, obtenemos

1 > ‖tF + (1−t)G‖V ′ = supx∈Vx 6=θ

t F (x) + (1− t)G(x)

‖x‖≥ t F (x0) + (1− t)G(x0)

‖x0‖= 1 ,

lo cual es una contradiccion.

Lema 2.3 Sea (V, ‖ · ‖) un espacio vectorial normado sobre R y sea v ∈ V tal que

F (v) = 0 para todo F ∈ V ′. Entonces v = θ.

Demostracion. Se sigue directamente del Teorema 2.7 2

Otra consecuencia importante del Teorema 2.7 esta dada por el siguiente resultado,

el cual ya fue anunciado al final de la Seccion 2.1 (ver (2.4)).

Lema 2.4 Sea (V, ‖ · ‖) un espacio vectorial normado. Entonces

‖v‖ = supΘ 6=F∈V ′

|F (v)|‖F‖

= maxΘ 6=F∈V ′

|F (v)|‖F‖

∀ v ∈ V .

Demostracion. Si v = θ el resultado es trivial. Si v 6= θ, se sigue del Teorema 2.7 que

existe F ∈ V ′ tal que ‖F‖ = 1 y F (v) = ‖v‖, con lo cual

supΘ 6=F∈V ′

|F (v)|‖F‖

≥ |F (v)|‖F‖

= ‖v‖ .

A su vez, es claro que

supΘ6=F∈V ′

|F (v)|‖F‖

≤ ‖v‖ ,

lo cual completa la demostracion 2

Finalizamos la presente seccion con un resultado que tambien sera usado con cierta

frecuencia en los capıtulos siguientes.


Teorema 2.8 Sea S un subespacio de un espacio vectorial normado (V, ‖ · ‖) y sea

x0 ∈ V tal que d := dist(x0, S) := ınfx∈S‖x0 − x‖ > 0. Entonces existe F ∈ V ′ tal que

‖F‖ = 1, F (x0) = d y F (x) = 0 para todo x ∈ S.

Demostracion. Sea S1 := S + spanx0, esto es

S1 := z = x + αx0 : x ∈ S , α ∈ R .

Notemos que la representacion de los elementos del subespacio S1 es unica, esto es

S1 := S ⊕ spanx0. En efecto, si x ∈ S ∩ spanx0 entonces x ∈ S y x = αx0, con

α ∈ R. Se sigue que necesariamente α = 0 y ası x = θ, ya que en caso contrario se

tendrıa x0 =1

αx ∈ S, lo cual contradice el hecho que dist(x0, S) > 0. De acuerdo a lo

anterior podemos definir el siguiente funcional

f : S1 → Rz = x+ αx0 → f(z) := α d ,

el cual es claramente lineal y satisface f(z) = 0 para todo z ∈ S. Ademas, dado

z = x + αx0 ∈ S1, con α 6= 0, se tiene que1

αx ∈ S y luego

|f(z)| = |α d| = |α| d ≤ |α|∥∥∥∥x0 +

1

αx

∥∥∥∥ = ‖z‖ ,

lo cual muestra que f es acotado y ‖f‖S′1 ≤ 1.

Por otro lado, dado ε > 0 existe x1 ∈ S tal que ‖ − x1 + x0‖ < d + ε. Se sigue que

f(−x1 + x0) = d y luego

|f(−x1 + x0)|‖ − x1 + x0‖

>d

d+ ε,

con lo cual

‖f‖S′1 := supz∈S1z 6=θ

|f(z)|‖z‖

≥ |f(−x1 + x0)|‖ − x1 + x0‖

>d

d+ ε∀ ε > 0 ,

de donde, tomando limite cuando ε→ 0, resulta ‖f‖S′1 ≥ 1. Ası, ‖f‖S′1 = 1 y aplicando

el Teorema 2.6 se deduce que existe F ∈ V ′ tal que ‖F‖V ′ = ‖f‖S′1 = 1 y F (z) = f(z)

para todo z ∈ S1. En particular, F (x0) = d y F (x) = 0 para todo x ∈ S. 2


2.3.4. Forma geometrica del Teorema de Hahn-Banach

Esta version del teorema tiene que ver con la separacion de conjuntos convexos. En lo

que sigue, E es un espacio vectorial normado sobre R.

Definicion 2.8 Dado α ∈ R y un funcional lineal f : E → R, no nulo y no necesaria-

mente acotado, se define un hiperplano afın como

H := x ∈ E : f(x) = α ,

y se dice que H es el hiperplano de ecuacion [f = α].

Lema 2.5 El hiperplano [f = α] es cerrado si y solo si f es acotado.

Demostracion. Si f es continuo entonces claramente H = f−1(α) es cerrado porque

α es cerrado en R. Recıprocamente, supongamos que H es cerrado. Se sigue que

Hc = E \ H es abierto y no vacıo ya que f es no nulo. Sea entonces x0 ∈ Hc y

supongamos, sin perdida de generalidad, que f(x0) < α. Elijamos r > 0 tal que

B(x0, r) ⊂ Hc. Afirmamos que f(x) < α ∀x ∈ B(x0, r). En efecto, supongamos por

contradiccion que existe x1 ∈ B(x0, r) tal que f(x1) > α. Notar que f(x1) 6= α ya que

x1 6∈ H. Es claro que el segmento (1− t)x1 + tx0 : t ∈ [0, 1] ⊆ B(x0, r) y por lo

tanto

f((1− t)x1 + tx0) 6= α ∀t ∈ [0, 1] .

Sin embargo, dado que f(x0) < α < f(x1) se deduce que t :=f(x1)− α

f(x1)− f(x0)∈ ]0, 1[ y

f((1− t) x1 + t x0) = (1− t) f(x1) + t f(x0) = α ,

lo cual es una contradiccion. Ası, necesariamente f(x) < α ∀x ∈ B(x0, r), o equiva-

lentemente f(x0 + rz) < α ∀ z ∈ B(0, 1), de donde

f

(x0 ± r ε

x

‖x‖

)< α ∀x ∈ E , x 6= θ , ∀ ε ∈ (0, 1) ,

o bien

|f(x)| < 1

rε(α− f(x0)) ‖x‖ ∀ x ∈ E , ∀ ε ∈ (0, 1) .

Luego, tomando lımε→1−

nos queda

|f(x)| ≤ 1

r(α− f(x0)) ‖x‖ ∀x ∈ E ,


lo cual prueba que f es acotado y ‖f‖E′ ≤1

r(α− f(x0)).

2

Definicion 2.9 Sean A, B ⊆ E. Se dice que el hiperplano [f = α] separa A y B en el

sentido amplio si se tiene

f(x) ≤ α ∀x ∈ A y f(x) ≥ α ∀x ∈ B .

A su vez, se dice que este hiperplano separa A y B en el sentido estricto si existe

ε > 0 tal que

f(x) ≤ α − ε ∀x ∈ A y f(x) ≥ α + ε ∀x ∈ B .

Lema 2.6 (“Jauge”de un convexo) Sea S ⊆ E convexo, abierto, tal que θ ∈ S,

y definamos el funcional de Minkowski p : E → R por:

p(x) = ınfα > 0 : α−1 x ∈ S ∀x ∈ E.

Entonces p es sublineal y existe M ≥ 0 tal que 0 ≤ p(x) ≤ M ‖x‖ ∀x ∈ E.

Ademas

S = x ∈ E : p(x) < 1 .

Demostracion. Puesto que el vector nulo θ pertenece al abierto S, se sigue que existe

r > 0 tal que B(θ, r) ⊆ S. Ahora, para cada x ∈ E, x 6= θ, se tiene rx

‖x‖∈ S.

Ademas, dado z ∈ S es claro que p(z) ≤ 1 porque 1−1 z = z ∈ S, y en particular se

tiene p

(rx

‖x‖

)≤ 1. Pero, de la definicion de p se observa que

p(λx) = λ p(x) ∀λ > 0, ∀x ∈ E ,

y por lo tanto

p(x) ≤ 1

r‖x‖ ∀ x ∈ E, x 6= θ ,

lo cual implica la estimacion requerida ya que p(θ) = 0.

A continuacion probamos que S = x ∈ E : p(x) < 1. En efecto, sea x ∈ S.

Como S es abierto existe ε > 0, suficientemente pequeno, tal que (x + εx) = (1 + ε)x

pertenece a S, y luego 1 ≥ p((1 + ε)x) = (1 + ε) p(x), de donde

p(x) ≤ 1

1 + ε< 1 .


Recıprocamente, sea x ∈ E tal que p(x) < 1. Se sigue que existe α ∈]0, 1[ tal que

α−1 x ∈ S y por lo tanto, como S es convexo, α (α−1 x) + (1− α) θ = x ∈ S.

Resta probar la propiedad tipo desigualdad triangular que caracteriza la sublineali-

dad del funcional p (cf. Definicion 2.7). En efecto, dados x, y ∈ E y ε > 0, se observa

primero que

p

(x

p(x) + ε

)=

p(x)

p(x) + ε< 1 y p

(y

p(y) + ε

)=

p(y)

p(y) + ε< 1 ,

lo cual indica quex

p(x) + ε,

y

p(y) + ε∈ S, y luego, de acuerdo a la convexidad de S, se

tienet x

p(x) + ε+

(1− t) yp(y) + ε

∈ S ∀ t ∈ [0, 1] .

En particular, para t :=p(x) + ε

p(x) + p(y) + 2ε∈ ]0, 1[, resulta

x+ y

p(x) + p(y) + 2ε∈ S, y

por lo tanto

1 > p

(x+ y

p(x) + p(y) + 2ε

)=

p(x+ y)

p(x) + p(y) + 2ε∀ε > 0 ,

de donde p(x+ y) ≤ p(x) + p(y).

2

Lema 2.7 Sea S ⊆ E, convexo, abierto, no vacıo, y sea x0 ∈ E tal que x0 6∈ S.

Entonces, existe f ∈ E ′ tal que f(x) < f(x0) ∀x ∈ S, lo cual indica que el hiperplano

de ecuacion [f = f(x0)] separa x0 y S en el sentido amplio.

Demostracion. Supongamos, sin perdida de generalidad, que θ ∈ S, y definamos el

funcional de Minkowski p : E → R por

p(x) := ınfα > 0 : α−1 x ∈ S ∀x ∈ E .

A su vez, sea G el espacio generado por x0, esto es G := t x0 : t ∈ R, y sea

g : G → R el funcional lineal definido por g(t x0) := t para todo t ∈ R. Puesto que

x0 6∈ S se sigue del Lema 2.6 que p(x0) ≥ 1. Entonces, para t > 0 resulta

g(t x0) = t ≤ t p(x0) = p(t x0) .

A su vez, si t ≤ 0 se obtiene

g(t x0) = t ≤ 0 ≤ p(t x0) ,


y en consecuencia

g(x) ≤ p(x) ∀ ∈ G .

Aplicando la version analıtica del Teorema de Hahn-Banach se deduce que existe un

funcional lineal f : E → R tal que f(x) = g(x) ∀x ∈ G y f(x) ≤ p(x) ∀x ∈ E.

En particular, se tiene f(x0) = g(x0) = 1. Ademas, de acuerdo al Lema 2.6 sabemos

que 0 ≤ p(x) ≤ M ‖x‖ ∀x ∈ E, y luego f(x) ≤ M ‖x‖ ∀x ∈ E. A su vez,

− f(x) = f(−x) ≤ M ‖x‖, con lo cual f(x) ≥ −M ‖x‖, y por lo tanto

|f(x)| ≤ M ‖x‖ ∀x ∈ E ,

probando ası que f ∈ E ′. Por ultimo, utilizando la caracterizacion del convexo S dada

en Lema 2.6, se concluye que f(x) ≤ p(x) < 1 = f(x0) ∀x ∈ S, lo cual completa

la demostracion en primera instancia. En el caso en que el vector nulo θ no pertenece

a S, se considera un elemento arbitrario x ∈ S y se define el conjunto trasladado

S := x−x : x ∈ S , el cual, ademas de convexo y abierto, sı contiene a θ. Entonces,

aplicando el analisis anterior a S y al vector x0 := x0 − x que no esta en S, se deduce

que existe f ∈ E ′ tal que f(z) < f(x0) ∀ z ∈ S, esto es f(x) < f(x0) ∀x ∈ S.

2

Ahora estamos en condiciones de enunciar y demostrar las dos versiones geometri-

cas del Teorema de Hahn-Banach, las cuales establecen separaciones amplia y estricta,

respectivamente, de conjuntos convexos.

Teorema 2.9 (Primera version geometrica/Teorema de Hahn-Banach) Sean A,

B ⊆ E convexos, no vacıos y disjuntos, tales que A es abierto. Entonces existe un

hiperplano cerrado que separa A y B en el sentido amplio.

Demostracion. Sea S = A − B := x − y : x ∈ A, y ∈ B. Es claro que S es

convexo ya que A y B lo son. Ademas, S es abierto ya que S = ∪A−y : y ∈ B y el conjunto A− y := x− y : x ∈ A es abierto porque A lo es. Tambien θ 6∈ S

porque A ∩ B = φ. Entonces, aplicando Lema 2.7 se deduce que existe f ∈ E ′ tal que

f(z) < f(θ) = 0 ∀z ∈ S, esto es

f(x) < f(y) ∀x ∈ A, ∀ y ∈ B .

Definamos ahora

m := supx∈A

f(x) y M := ınfy∈B

f(y) .


Se sigue que para cualquier α ∈ [m,M ], el hiperplano H de ecuacion [f = α] separa

A y B en el sentido amplio.

2

Teorema 2.10 (Segunda version geometrica/Teorema de Hahn-Banach) Sean

A, B ⊆ E, convexos, no vacıos y disjuntos, tales que A es cerrado y B es compac-

to. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en el sentido estricto.

Demostracion. Dado ε > 0 definamos los conjuntos no vacıos

Aε := A + B(θ, ε) y Bε := B + B(θ, ε) ,

donde B(θ, ε) es la bola abierta de radio ε centrada en θ. Es facil ver, por la convexidad

de A, B y B(θ, ε), que Aε y Bε son convexos. Ademas, Aε y Bε son abiertos ya que

los conjuntos x + B(θ, ε) y y + B(θ, ε) lo son ∀x ∈ A, ∀ y ∈ B, y se tiene

claramente

Aε = ∪ x + B(θ, ε) : x ∈ A y Bε = ∪ y + B(θ, ε) : y ∈ B .

Probemos a continuacion que existe ε > 0 tal que Aε y Bε son disjuntos. En efecto,

supongamos por contradiccion que no es ası. Entonces, para todo n ∈ N el conjunto

A1/n ∩ B1/n es no vacıo, lo cual implica que existen xn ∈ A, yn ∈ B, un, vn ∈B(θ, 1/n), tales que xn + un = yn + vn. Se sigue que

‖xn − yn‖ = ‖un − vn‖ <2

n.

Ahora, como B es compacto, existen una subsucesion y(1)n n∈N ⊆ ynn∈N e y ∈ B

tales que y(1)n

n→∞→ y, y de acuerdo a la desigualdad anterior, se deduce que x(1)n n∈N

tambien converge a y. Luego, como A es cerrado, necesariamente se tiene que y ∈ A,

lo cual contradice el hecho que A y B son disjuntos.

Entonces, aplicando la primera version geometrica del Teorema de Hahn-Banach a

los conjuntos disjuntos Aε y Bε, se deduce que existe un hiperplano cerrado de ecuacion

[f = α] que los separa en el sentido amplio. Esto significa que

f(x+ u) ≤ α ≤ f(y + v) ∀x ∈ A , ∀ y ∈ B , ∀u, v ∈ B(θ, ε) ,

y en particular

f(x+ ε z) ≤ α ≤ f(y − ε z) ∀x ∈ A , ∀ y ∈ B , ∀ z ∈ B(θ, 1) ,


o bien

f(x) + ε f(z) ≤ α ≤ f(y) − ε f(z) ∀x ∈ A , ∀ y ∈ B , ∀ z ∈ B(θ, 1) .

Finalmente, eligiendo z ∈ B(θ, 1) tal que f(z) > 0, se deduce que

f(x) ≤ α − ε f(z) y f(y) ≥ α + ε f(z) ∀x ∈ A , ∀ y ∈ B ,

lo cual prueba que el hiperplano [f = α] separa A y B en el sentido estricto.

2

Notar que la demostracion del teorema anterior (extraıda basicamente de [3]) puede

simplificarse procediendo solo con los conjuntos Aε y B (en vez de Bε). En tal caso,

siguiendo exactamente la misma secuencia de razonamiento, se llega a que los conjuntos

A y B son separados en el sentido estricto por el hiperplano [f = α − ε2f(z)].

2.4. Un ejercicio simple con tres soluciones

En esta seccion se considera un ejercicio muy simple, aparentemente inofensivo, el

cual, sin embargo, dio origen a tres soluciones muy distintas, dos de ellas utilizando

resultados del presente capıtulo. Los autores respectivos son el autor de este apunte y

los ex-alumnos de la asignatura Analisis Funcional y Aplicaciones I del Depar-

tamento de Ingenierıa Matematica de la Universidad de Concepcion, Sres. Miguel Silva

y Sebastian Niklitschek.

El ejercicio se describe como sigue. Dados m, n ∈ N, una matriz A ∈ Rm×n y un

vector b ∈ Rm, b 6= θ, se define el conjunto solucion

S(A, b) := x ∈ Rn : Ax = b ,

y se supone que S(A, b) 6= ∅. El objetivo es probar que existe z ∈ Rn tal que

ınfx∈S(A, b)

〈 z, x 〉 > 0,

donde 〈·, ·〉 es el producto escalar usual de Rn.

2.4. UN EJERCICIO SIMPLE CON TRES SOLUCIONES 61

2.4.1. Solucion 1

Definamos el conjunto A := S(A, B), el cual es claramente convexo, cerrado, y no

vacıo (segun se indica en la hipotesis). A su vez, sea B el conjunto convexo, compacto y

disjunto con A dado por B := θ. Entonces, aplicando la segunda version geometrica

del Teorema de Hahn-Banach (cf. Teorema 2.10), se deduce que existen f ∈ (Rn)′ y

α ∈ R tales que el hiperplano [f = α] separa A y B en el sentido estricto. Esto significa

que existen z ∈ Rn y ε > 0 tales que

f(x) = 〈z, x〉 ∀x ∈ Rn ,

y ademas

f(x) = 〈z, x〉 ≤ α− ε < α + ε ≤ f(θ) = 0 ∀x ∈ A .

Luego, definiendo z := − z, resulta:

〈 z, x〉 ≥ −(α− ε) > −(α + ε) ≥ 0 ∀x ∈ A ,

de donde

ınfx∈A〈 z, x〉 > 0.

2.4.2. Solucion 2

Sea N(A) el espacio nulo asociado a la matriz A, esto es

N(A) := x ∈ Rn : Ax = θ.

Puesto que S(A, b) 6= ∅, existe x0 ∈ Rn tal que Ax0 = b, y luego es facil ver que

S(A, b) = x0+N(A) (2.14)

Ahora, sean Π : Rn → N(A) y (I − Π) : Rn → N(A)⊥ los proyectores ortogonales

respectivos, y definamos z := (I −Π)(x0) ∈ N(A)⊥. Es claro que z 6= θ ya que, en caso

contrario, se obtiene x0 = Π(x0) ∈ N(A), lo cual contradice el hecho que b = A(x0) 6= θ.

Se sigue ası que

ınfx∈S(A, b)

〈 z, x 〉 = ınfy∈N(A)

〈 (I − Π)(x0), x0 + y 〉 = ınfy∈N(A)

〈 (I − Π)(x0), x0 〉

= 〈 (I − Π)(x0), x0 〉 = ‖(I − Π)(x0)‖2 = ‖z‖2 > 0.


2.4.3. Solucion 3

Usamos nuevamente que S(A, b) es convexo y cerrado. En particular, notar que lo

segundo se obtiene de la identidad (2.14) y del hecho que N(A) es obviamente cerrado.

Ademas, es claro que θ 6∈ S(A, b) ya que b 6= θ. Ası, aplicando el resultado de mejor

aproximacion sobre un convexo cerrado (cf. Teorema 2.2), se deduce que existe un unico

z ∈ S(A, b) tal que

dist(θ, S(A, b)) := ınfx∈S(A, b)

‖x‖ = ‖z‖ > 0.

Ademas, el resultado de caracterizacion de esta mejor aproximacion, el cual se estable-

cera mas adelante en el Teorema ??, dice que

0 ≥ 〈θ − z, x− z〉 = ‖z‖2 − 〈 z, x 〉 ∀x ∈ S(A, b),

esto es

〈 z, x 〉 ≥ ‖z‖2 ∀x ∈ S(A, b),

de donde se concluye que

ınfx∈S(A, b)

〈 z, x 〉 = ‖z‖2 > 0.

2.5. Ejercicios

I 2.1 Sea X un espacio vectorial normado y f : X → R un funcional lineal. Pruebe que

f ∈ X ′ sı y solo sı N(f) es un subespacio cerrado de X.

I 2.2 Sea V un espacio vectorial normado sobre el cuerpo K (R o C). Demuestre que el dual

V ′ es Banach.

I 2.3 Sea H un espacio vectorial normado real. Pruebe que si la norma de H satisface

||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2||x||2 + ||y||2

∀x, y ∈ H,

entonces ella proviene de un producto escalar.

I 2.4 Sea X := C([0, 1]) provisto de la norma uniforme

‖u‖ := max |u(t)| : t ∈ [0, 1] ∀u ∈ X ,

2.5. EJERCICIOS 63

y dado f ∈ X, fijo, defina el funcional lineal F : X → R como

F (u) :=∫ 1

0u(t) f(t) dt ∀u ∈ X .

Demuestre que F ∈ X ′ y ‖F‖ =∫ 1

0|f(t)| dt.

Indicacion: Para cada n ∈ N considere xn ∈ X dada por xn(t) := un(f(t)) ∀ t ∈ [0, 1],

donde un : R → R es la funcion continua

un(t) :=

1 si t ≥ 1/n ,

−1 si t ≤ − 1/n ,

n t si − 1/n ≤ t ≤ 1/n ,

y luego use xn para probar que ‖F‖ ≥∫ 1

0|f(t)| dt − 1

n.

I 2.5 Considere un abierto acotado Ω de Rn con frontera Γ suficientemente suave, y defina

el espacio

H(div ; Ω) :=v ∈ [L2(Ω)]n : div v :=

n∑i=1

∂vi∂xi

∈ L2(Ω)

provisto del producto escalar

〈v, w〉H(div ;Ω) :=∫

Ωv · w dx +

∫Ω

div v div w dx ∀ v, w ∈ H(div ; Ω) .

a) Demuestre que (H(div ; Ω); 〈·, ·〉H(div ;Ω)) es un espacio de Hilbert.

b) Pruebe que para todo g ∈ [L2(Ω)]n existe un unico vg ∈ H(div ; Ω) tal que∫Ωvg · w dx +

∫Ω

div vg div w dx =∫

Ωg · w dx ∀w ∈ H(div ; Ω) .

Ind.: Dada v ∈ [L2(Ω)]n, se dice que div v := z ∈ L2(Ω) si

−n∑i=1

∫Ωvi∂ϕ

∂xidx =

∫Ωz ϕ dx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) .

I 2.6 Considere un abierto acotado Ω de R2 con frontera Γ suficientemente suave, y defina

el espacio

H(rot; Ω) := v := (v1, v2) ∈ [L2(Ω)]2 : rot v :=∂v2

∂x1− ∂v1

∂x2∈ L2(Ω)

provisto del producto escalar

〈v, w〉H(rot;Ω) :=∫

Ωv · w dx +

∫Ω

rot v rotw dx ∀ v, w ∈ H(rot; Ω) .


a) Demuestre que (H(rot; Ω); 〈·, ·〉H(rot;Ω)) es un espacio de Hilbert.

b) Pruebe que para todo g ∈ H(rot; Ω) existe un unico vg ∈ H(rot; Ω) tal que∫Ωvg · w dx +

∫Ω

rot vg rotw dx =∫

Ωrot g rotw dx ∀w ∈ H(rot; Ω) .

Ind.: Notar que v ∈ H(rot; Ω) sı y solo sı (v2,− v1) ∈ H(div ; Ω). Tambien, dada v ∈[L2(Ω)]2, se dice que rot v := z ∈ L2(Ω) si

−∫

Ωv2

∂ϕ

∂x1dx+

∫Ωv1

∂ϕ

∂x2dx =

∫Ωz ϕ dx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) .

I 2.7 Sea X un espacio vectorial sobre el cuerpo C y sea p : X → R tal que

p(αx) = |α| p(x) y p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) ∀α ∈ C , ∀x , y ∈ X .

Ademas, sean S un subespacio de X y f : S → C un funcional lineal tales que

|f(x)| ≤ p(x) ∀x ∈ S .

Demuestre que f puede extenderse a un funcional lineal F : X → C tal que

|F (x)| ≤ p(x) ∀x ∈ X .

I 2.8 Pruebe que todo espacio de Hilbert es estrictamente convexo.

I 2.9 Demuestre que para todo f ∈ (Hm(Ω))′ existen funciones fα ∈ L2(Ω), |α| ≤ m, tales

que

f(v) =∑|α|≤m

∫Ωfα ∂

α v dx ∀ v ∈ Hm(Ω) .

I 2.10 Sea X un espacio vectorial normado.

a) Sea Y un subespacio no denso de X. Demuestre que existe un funcional no nulo F ∈ X ′

tal que F (x) = 0 para todo x ∈ Y .

b) Sean x0, x1 ∈ X tal que x0 6= x1. Pruebe que existe una sucesion Fnn∈N ⊆ X ′ tal que

||Fn|| = ||x0 − x1||n y Fn(x1) = Fn(x0) + ||x1 − x0||n+1 para todo n ∈ N.

I 2.11 Sea (V, 〈 ·, · 〉) un espacio de Hilbert y sea J : V → R un funcional nolineal. Se dice que

J admite una derivada direccional en v ∈ V , en la direccion ϕ ∈ V , si la expresion J(v+εϕ)−J(v)ε

admite un lımite cuando ε → 0. El valor de este lımite se denota DJ(v, ϕ). Entonces, J se

2.5. EJERCICIOS 65

dice diferenciable en el sentido de Gateaux (o G-diferenciable) en v ∈ V , si DJ(v, ϕ) existe

para todo ϕ ∈ V . Ahora, si J es G-diferenciable en v ∈ V y si DJ(v, ·) ∈ V ′, se concluye,

por el Teorema de Representacion de Riesz, que existe un unico elemento z ∈ V tal que

DJ(v, ϕ) = 〈z, ϕ〉 ∀ϕ ∈ V . En tal caso, se denota z := J ′(v) y se llama el gradiente de J

en v.

Se dice que J tiene segunda diferencial en el sentido de Gateaux en v ∈ V , en las direcciones

ϕ y ψ ∈ V , si la expresion DJ(v+εψ,ϕ)−DJ(v,ϕ)ε admite un lımite cuando ε → 0. El valor de

este lımite se denota D2J(v, ϕ, ψ).

a) Sea Ω un abierto acotado de Rn y considere V := L2(Ω). Defina J0 : V → R por

J0(v) :=∫

Ω(v2 + v) dx ∀ v ∈ V

y calcule J ′0(v) para todo v ∈ V . Que puede decir de J ′0(v) si J0 se restringe al espacio

de Sobolev H1(Ω) ?

b) Suponga que J es G-diferenciable en (v + αϕ), en la direccion ϕ, para todo α ∈ [0, 1].

Demuestre que existe β ∈ (0, 1) tal que

J(v + ϕ) = J(v) + DJ(v + β ϕ, ϕ) .

c) Suponga que J es α-convexo, esto es, existe α > 0 tal que para todo u, v ∈ V y para

todo β ∈ [0, 1]:

J((1− β)u+ β v) ≤ (1− β) J(u) + β J(v) − α

2β (1− β) ||u− v||2 .

Ademas, asuma que J es G-diferenciable en todo v ∈ V . Demuestre que para todo u,

v ∈ V se tiene:

DJ(u, u− v) − DJ(v, u− v) ≥ α ||u− v||2

y

J(v) ≥ J(u) + DJ(u, v − u) +α

2||v − u||2 .

d) Suponga que J es G-diferenciable en v ∈ V y que, dada una direccion ϕ ∈ V , D2J(v +

αϕ,ϕ, ϕ) existe ∀α ∈ [0, 1]. Demuestre que hay una constante β ∈ (0, 1) tal que

J(v + ϕ) = J(v) +DJ(v, ϕ) +12D2J(v + βϕ, ϕ, ϕ) .


I 2.12 Sea (H, 〈 ·, · 〉) un espacio de Hilbert y sea V un subespacio cerrado de H. El anulador

(o aniquilador) de V se denota por V o y se define como

V o := F ∈ H ′ : F (x) = 0 ∀x ∈ V .

Demuestre que

H = V ⊕R(V o) ,

donde R : H ′ → H denota la aplicacion de Riesz.

I 2.13 Sea X un espacio vectorial normado y sea x0 ∈ X tal que |F (x0) | ≤ C0 para todo

F ∈ X ′ con ||F ||X′ = 1. Demuestre que ||x0|| ≤ C0.

I 2.14 Sea V un subespacio de un Hilbert (Y, 〈 ·, · 〉) y defina

V ⊥ := y ∈ Y : 〈y, z〉 = 0 ∀ z ∈ V .

Si V denota la clausura de V , demuestre que V⊥ = V ⊥. Concluya que V es denso en Y sı y

solo sı V ⊥ = 0.

I 2.15

a) Sea S un subconjunto de un Hilbert H y sea M el subespacio cerrado generado por S.

Pruebe que S⊥ es un subespacio cerrado de H, M⊥ = S⊥, y M = (S⊥)⊥.

b) Sea V un subespacio de un Hilbert H. Demuestre que H = V ⊕ V ⊥.

I 2.16

a) Sea S un subespacio de un Hilbert H. Demuestre que S⊥ = S⊥.

b) Sea Ω un abierto acotado de Rn con frontera suave Γ, y considere el espacio de Sobolev

H1(Ω). Encuentre y caracterice el subespacio V de H1(Ω) tal que H1(Ω) = H10 (Ω) ⊕ V .

I 2.17 Sea Ω un abierto acotado de Rn, y sea κ : Ω→ R una funcion continua para la cual

existen constantes M, β > 0, tales que β ≤ κ(x) ≤ M para todo x ∈ Ω. Defina el conjunto

S :=v ∈ H1

0 (Ω) : ‖v‖H1(Ω) ≤ 1,

y demuestre que para todo u ∈ H10 (Ω) existe un unico g ∈ S tal que∫

Ωκ(x) ‖∇u(x)−∇g(x)‖2Rn dx = mın

v∈S

∫Ωκ(x) ‖∇u(x)−∇v(x)‖2Rn dx .

2.5. EJERCICIOS 67

I 2.18 Sea (H, 〈·, ·〉) un espacio de Hilbert complejo, y sean u , v ∈ H, u 6= v, tales que

‖u‖ = ‖v‖. Defina w := u− v y considere la proyeccion ortogonal P : H → S⊥, donde S es

el subespacio generado por w. Demuestre que

P(u) = P(v) =u+ v

2+

i Im(〈u, v〉)‖w‖2

w .

Que sucede cuando H es un Hilbert real ? Interprete graficamente.

I 2.19 Sea Ω := (0, 1) × (0, 1) ⊆ R2 y considere el espacio de Hilbert (H(div; Ω), 〈·, ·〉),donde

H(div; Ω) := τ ∈ [L2(Ω)]2 : div(τ ) ∈ L2(Ω)

y

〈ζ, τ 〉 :=∫

Ωζ · τ dx +

∫Ω

div(ζ) div(τ ) dx ∀ ζ, τ ∈ H(div; Ω) .

Ademas, sea S el subespacio de H(div; Ω) dado por

S := τ : τ (x) = (α+ γ x1, β + γ x2) ∀x := (x1, x2) ∈ Ω; con α, β, γ ∈ R ,

y sea σ ∈ H(div; Ω) definida por σ(x) = (x1x2, x1 + x2) ∀x := (x1, x2) ∈ Ω. Aplique el

teorema de caracterizacion respectivo y encuentre la mejor aproximacion de σ por elementos

de S, con respecto a la norma inducida por 〈·, ·〉.

I 2.20 Sean n ∈ N y X := Mn×n(R), el espacio vectorial de las matrices cuadradas de

orden n con coeficientes reales, provisto del producto escalar 〈A,B〉 := tr(AtB) ∀A, B ∈ X.

a) Demuestre que X = Xsim ⊕ Xasim, donde

Xsim = A ∈ X : At = A y Xasim = A ∈ X : At = −A .

b) Sea C := (cij)n×n ∈ X tal que cij = 1 ∀ i ≥ j y cij = 0 ∀ i < j. Encuentre

las mejores aproximaciones de C por matrices de Xsim y Xasim, con respecto a la norma

inducida por 〈·, ·〉.

I 2.21 Sea (X, ‖ · ‖) un espacio vectorial normado y sea x1, x2, ..., xn una base de un

subespacio U de X.

a) Demuestre que existen F1, F2, ..., Fn ∈ X ′ tales que Fj(xi) = δij ∀ i, j ∈ 1, ..., n.

b) Pruebe que X = U ⊕ V , donde V := x ∈ X : Fj(x) = 0 ∀ j ∈ 1, ..., n .

Capıtulo 3

OPERADORES LINEALES

3.1. Preliminares

Sean (X, ‖ · ‖X), (Y, ‖ · ‖Y ) espacios vectoriales normados sobre el mismo cuerpo K,

con vectores nulos θX y θY , respectivamente. Una aplicacion A : D(A) ⊆ X → Y que

asigna a cada x ∈ D(A) un unico vector y ∈ Y se llama un operador (o transformacion)

de X en Y . El conjunto D(A) sobre el cual actua A se llama el dominio del operador.

Definicion 3.1 Se dice que un operador A : D(A) ⊆ X → Y es lineal si

D(A) es un subespacio de X.

A(αx + β z) = αA(x) + β A(z) ∀α, β ∈ K , ∀x, z ∈ D(A).

Notar que si A : D(A) ⊆ X → Y es lineal se tiene claramente A(θX) = θY .

Definicion 3.2 Se dice que un operador lineal A : D(A) ⊆ X → Y es acotado si

existe una constante M > 0 tal que

‖A(x)‖Y ≤ M ‖x‖X ∀x ∈ D(A) .

Ejemplo 3.1

1. Dado un espacio de Hilbert real (H, 〈·, ·〉), la aplicacion de Riesz

R : H ′ → H

F → R(F )

es lineal y acotada.

69

70 CAPITULO 3. OPERADORES LINEALES

2. Dada f ∈ L2(Ω), consideramos u ∈ H10 (Ω) la unica solucion debil del problema de

valores de contorno:

−∆u = f en Ω , u = 0 en ∂Ω ,

es decir, u es el unico elemento en H10 (Ω) tal que∫

Ω∇u · ∇v =

∫Ωf v ∀ v ∈ H1

0 (Ω) .

Entonces, se puede probar que el operador A definido por

A : L2(Ω) → H10 (Ω)

f → A(f) := u

es lineal y acotado.

En lo que sigue, a menos que se diga explıcitamente lo contrario, se asume queD(A) = X.

Definicion 3.3 El conjunto de todos los operadores lineales y acotados de X en Y se

designa por L(X, Y ) (o B(X, Y )). En particular, cuando X = Y se escribe simplemente

L(X) en vez de L(X,X). Ademas, notar que X ′ = L(X,K).

Ahora, sobre el conjunto L(X, Y ) se definen las siguientes operaciones:

+ : L(X, Y )× L(X, Y ) → L(X, Y )

(A,B) → A+B , (A+B)(x) := A(x) +B(x) ∀x ∈ X ,

(3.1)

y

· : K× L(X, Y ) → L(X, Y )

(λ,A) → λA , (λA)(x) := λA(x) ∀x ∈ X .(3.2)

Entonces, se demuestra facilmente que (L(X, Y ),+, ·) es un espacio vectorial sobre K,

cuyo elemento neutro para la adicion es el operador nulo Θ : X → Y definido como

Θ(x) = θY para todo x ∈ X.

Definicion 3.4 Dado A ∈ L(X, Y ) se define ‖A‖L(X,Y ) como el ınfimo de todas las

constantes M > 0 que satisfacen la condicion de acotamiento de A segun se indica en

la Definicion 3.2, esto es

‖A‖L(X,Y ) := ınfM > 0 : ‖A(x)‖Y ≤ M ‖x‖X ∀x ∈ X

.

3.1. PRELIMINARES 71

Es facil ver que ‖ · ‖L(X,Y ) es una norma sobre L(X, Y ), con lo cual la estructura

(L(X, Y ),+, ·, ‖·‖L(X,Y )) constituye un espacio vectorial normado. Mas aun, puede mos-

trarse que ‖ · ‖L(X,Y ) se define tambien como:

‖A‖L(X,Y ) = supθX 6=x∈X

‖A(x)‖Y‖x‖X

∀A ∈ L(X, Y ) , (3.3)

o bien:

‖A‖L(X,Y ) := supx∈X

‖x‖X ≤ 1

‖A(x)‖Y = supx∈X

‖x‖X = 1

‖A(x)‖Y .

En particular, si (X, 〈 ·, · 〉) es un espacio de Hilbert y A ∈ L(X), se puede probar que

‖A‖L(X) = supx, z∈X

‖x‖, ‖z‖≤ 1

|〈A(x), z〉| . (3.4)

En general, dado A ∈ L(X, Y ), se tiene claramente:

‖A(x)‖Y ≤ ‖A‖L(X,Y ) ‖x‖X ∀x ∈ X ,

y si M > 0 es tal que ‖A(x)‖Y ≤ M ‖x‖X ∀x ∈ X, entonces necesariamente

‖A‖L(X,Y ) ≤ M .

Es interesante comentar aquı que el analogo al Lema 2.4, vale decir la identidad

‖x‖X = maxA∈L(X,Y )

A 6=Θ

‖A(x)‖Y‖A‖L(X,Y )

∀x ∈ X , (3.5)

tambien ocurre en este caso. Al final de esta seccion se da la demostracion respectiva.

En lo que sigue, y cuando no haya lugar a confusion, se omitiran los subındices respec-

tivos de cada norma y de los vectores nulos θX y θY .

Definicion 3.5 Un operador A : X → Y se dice continuo en x0 ∈ X si para toda

sucesion xnn∈N en X que converge a x0, se tiene que A(xn)n∈N converge a A(x0) en

Y , esto es ‖A(xn)−A(x0)‖ → 0 cuando n → ∞. Equivalentemente, A es continuo en

x0 si ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que:

‖A(x)− A(x0)‖ < ε ∀x ∈ B(x0, δ) := x ∈ X : ‖x− x0‖ < δ .


Es importante observar que si A : X → Y es un operador lineal acotado, esto es

A ∈ L(X, Y ), entonces A es continuo en todo x0 ∈ X. En efecto, dada xnn∈N en X

que converge a x0 ∈ X, se tiene

‖A(xn)− A(x0)‖ = ‖A(xn − x0)‖ ≤ ‖A‖ ‖xn − x0‖ ,

lo cual prueba que A(xn)n∈N converge a A(x0) en Y .

Recıprocamente, se tiene el siguiente resultado, hasta cierto punto sorprendente, que

establece que la continuidad en un vector individual de X garantiza el acotamiento de

un operador lineal y por lo tanto su continuidad en todo el espacio.

Lema 3.1 Sea A : X → Y un operador lineal y sea x0 ∈ X tal que A es continuo en

x0. Entonces A es acotado y por lo tanto continuo en todo X.

Demostracion. Supongamos, por contradiccion, que A no es acotado. Entonces, para

todo M > 0 existe xM ∈ X tal que ‖A(xM)‖ > M ‖xM‖. En particular, existe una

sucesion xnn∈N ⊆ X tal que ‖A(xn)‖ > n ‖xn‖ ∀n ∈ N. Notar que xn 6= θ para

todo n ∈ N ya que en caso contrario se obtendrıa una contradiccion a partir de la

desigualdad anterior. Luego, definiendo

zn :=xn

n ‖xn‖+ x0 ∀n ∈ N ,

se sigue que ‖zn − x0‖ =1

n, lo cual prueba que znn∈N converge a x0. Sin embargo,

usando la linealidad de A se obtiene que

A(zn) =A(xn)

n ‖xn‖+ A(x0) ,

de donde

‖A(zn)− A(x0)‖ =‖A(xn)‖n ‖xn‖

> 1 ,

lo cual contradice la continuidad de A en x0. 2

3.2. Caracterizacion de L(X, Y )

El proposito siguiente es caracterizar la eventual completitud del espacio L(X, Y ). Mas

precisamente, probaremos que L(X, Y ) es Banach si y solo si Y es Banach. En particular,

cuando Y es el cuerpo K, lo anterior probara lo afirmado al comienzo del Capıtulo 2 en

cuanto a que todos los duales son completos. Necesitamos el siguiente resultado previo.

3.2. CARACTERIZACION DE L(X, Y ) 73

Lema 3.2 Sean X y Y espacios vectoriales normados sobre K y sean x0 ∈ X e y0 ∈ Ytales que x0 6= θ. Entonces existe A ∈ L(X, Y ) tal que

A(x0) = y0 y ‖A‖ =‖y0‖‖x0‖

.

Demostracion. De acuerdo al Teorema 2.7 (cf. Seccion 2.3.3 sobre otras consecuencias

del Teorema de Hahn-Banach), sabemos que existe un funcional F ∈ X ′ tal que ‖F‖ = 1

y F (x0) = ‖x0‖. Luego, podemos definir el operador A : X → Y dado por

A(x) :=F (x)

‖x0‖y0 ∀x ∈ X .

Es claro que A es lineal, porque F lo es, y A(x0) = y0. A su vez, se tiene que

‖A‖ = supx∈Xx 6=θ

‖A(x)‖‖x‖

= supx∈Xx 6=θ

|F (x)| ‖y0‖‖x‖ ‖x0‖

=‖y0‖‖x0‖

supx∈Xx 6=θ

|F (x)|‖x‖

=‖y0‖‖x0‖

‖F‖ =‖y0‖‖x0‖

,


Ahora estamos en condiciones de probar el resultado aunciado.

Teorema 3.1 Sean X y Y espacios vectoriales normados sobre K. Entonces L(X, Y )

es Banach si y solo si Y es Banach.

Demostracion. Supongamos que L(X, Y ) es Banach y sean ynn∈N una sucesion de

Cauchy en Y y x0 ∈ X tal que x0 6= θ. Entonces, aplicando Lema 3.2 se deduce la

existencia de una sucesion Ann∈N ⊆ L(X, Y ) tal que

An(x0) = yn y ‖An‖ =‖yn‖‖x0‖

∀n ∈ N .

Mas precisamente, de acuerdo a la demostracion de dicho lema, sabemos que

An(x) :=F (x)

‖x0‖yn ∀x ∈ X ,

donde F ∈ X ′ es tal que ‖F‖ = 1 y F (x0) = ‖x0‖. Se sigue que

(An−Am)(x) =F (x)

‖x0‖(yn−ym) y ‖An−Am‖ =

‖yn − ym‖‖x0‖

∀x ∈ X , ∀n , m ∈ N ,

con lo cual Ann∈N es de Cauchy en L(X, Y ). En consecuencia, si A ∈ L(X, Y ) es el

lımite de esta sucesion, se obtiene que

‖yn − A(x0)‖ = ‖An(x0)− A(x0)‖ = ‖(An − A)(x0)‖ ≤ ‖An − A‖ ‖x0‖n→∞→ 0 ,


y por lo tanto ynn∈N converge a A(x0) en Y .

Recıprocamente, supongamos que Y es Banach y sea Ann∈N una sucesion de Cau-

chy en L(X, Y ). Esto significa que dado ε > 0, existe N ∈ N tal que

‖An − Am‖ ≤ ε ∀n , m ≥ N ,

lo cual, en virtud de la Definicion 3.4 y ecuacion (3.3), es equivalente a escribir:

‖An(x)− Am(x)‖ ≤ ε ‖x‖ ∀ x ∈ X , ∀n , m ≥ N . (3.6)

Se sigue de (3.6) que para cada x ∈ X, An(x)n∈N es una sucesion de Cauchy y por lo

tanto convergente en Y . De este modo, podemos definir el operador A : X → Y dado

por

A(x) := lımm→∞

Am(x) ∀x ∈ X ,

el cual es claramente lineal. Ademas, fijando n ≥ N y aplicando la desigualdad triangular

y (3.6), obtenemos:

‖An(x)− A(x)‖ ≤ ε ‖x‖ + ‖Am(x)− A(x)‖ ∀m ≥ N ,

de donde, tomando lımite cuando m→∞, resulta:

‖An(x)− A(x)‖ ≤ ε ‖x‖ ∀ x ∈ X , ∀n ≥ N . (3.7)

En particular, para ε = 1 existe M ∈ N tal que

‖An(x)− A(x)‖ ≤ ‖x‖ ∀ x ∈ X , ∀n ≥ M ,

y en consecuencia

‖A(x)‖ ≤ ‖A(x)− AM(x)‖ + ‖AM(x)‖ ≤ (1 + ‖AM‖) ‖x‖ ∀ x ∈ X ,

lo cual prueba que A es acotado y ası A ∈ L(X, Y ). Por ultimo, de (3.7) se deduce que

‖An − A‖ ≤ ε ∀n ≥ N ,

y por lo tanto Ann∈N converge a A en L(X, Y ). 2

Se concluye esta seccion con la demostracion de la identidad (3.5).

3.3. EL OPERADOR ADJUNTO EN ESPACIOS NORMADOS 75

Lema 3.3 Sean X e Y espacios vectoriales normados sobre el cuerpo K, tales que Y es

no trivial. Entonces

‖x‖ = supA∈L(X,Y )

A 6=Θ

‖A(x)‖‖A‖

= maxA∈L(X,Y )

A 6=Θ

‖A(x)‖‖A‖

∀x ∈ X . (3.8)

Demostracion. Si x = θ la identidad es inmediata ya que A(θ) = θ ∀A ∈ L(X, Y ).

Si x 6= θ, elegimos un vector y0 ∈ Y , y0 6= θ, y aplicamos Lemma 3.2. De este modo, se

sigue que existe A0 ∈ L(X, Y ) tal que A0(x) = y0 y ‖A0‖ = ‖y0‖‖x‖ , lo cual implica que

supA∈L(X,Y )

A 6=Θ

‖A(x)‖‖A‖

≥ ‖A0(x)‖‖A0‖

= ‖x‖ ∀ x ∈ X .

Por ultimo, es claro que

supA∈L(X,Y )

A 6=Θ

‖A(x)‖‖A‖

≤ ‖x‖ ∀ x ∈ X ,


3.3. El operador adjunto en espacios normados

Sean X, Y espacios vectoriales normados sobre el cuerpo K, y sea A ∈ L(X, Y ). Enton-

ces, dado G ∈ Y ′ definimos el funcional G A : X −→ K como

(G A)(x) := G(A(x)) ∀x ∈ X .

Es claro que G A es lineal y acotado porque G y A lo son, y por lo tanto G A ∈ X ′.

Esto induce la definicion del operador

A′ : Y ′ −→ X ′

G −→ A′(G) := G A ,

el cual se llama operador adjunto de A.

Lema 3.4 Dado A ∈ L(X, Y ) se tiene A′ ∈ L(Y ′, X ′) y ‖A‖ = ‖A′‖.


Demostracion. La linealidad de A′ se sigue de las definiciones de suma y multiplicacion

por escalares en los espacios duales X ′ e Y ′ (ver (2.1) y (2.2) para el caso general). Para

el acotamiento de A′ observamos primero que

‖A′(G)‖ := ‖G A‖ = supx∈Xx 6=θ

|G(A(x))|‖x‖

≤ ‖A‖ ‖G‖ ∀G ∈ Y ′ ,

lo cual prueba que A′ es efectivamente acotado y ‖A′‖ ≤ ‖A‖. Por otro lado, aplicando

la consecuencia del Teorema de Hahn-Banach dada por Lema 2.4, se obtiene

‖A(x)‖ = supG∈Y ′G 6=Θ

|G(A(x))|‖G‖

= supG∈Y ′G 6=Θ

|A′(G)(x)|‖G‖

≤ supG∈Y ′G 6=Θ

‖A′(G)‖ ‖x‖|‖G‖

≤ ‖A′‖ ‖x‖ ∀ x ∈ X ,

de donde ‖A‖ ≤ ‖A′‖, lo cual completa la demostracion. 2

El siguiente lema, cuya demostracion se sigue directamente de las definiciones de

operador adjunto y de la suma y multiplicacion por escalares en L(X, Y ) (ver (3.1) y

(3.2)), se deja como ejercicio para el lector.

Lema 3.5 Sean X, Y , Z espacios vectoriales normados. Entonces

i) (A + B)′ = A′ + B′ ∀A , B ∈ L(X, Y ).

ii) (αA)′ = αA′ ∀α ∈ K , ∀A ∈ L(X, Y ).

iii) (AB)′ = B′A′ ∀A ∈ L(X, Y ) , ∀B ∈ L(Z,X).

El siguiente ejemplo ilustra el calculo explıcito de un operador adjunto.

Ejemplo 3.2 Sea X el espacio vectorial real de las funciones continuas sobre [0, 1], provisto de

la norma uniforme ‖u‖ := maxt∈[0,1]

|u(t)| ∀u ∈ X, y sean p0, p1, ..., pn los n + 1 polinomios

monicos de X, esto es pj(t) := tj ∀ t ∈ [0, 1] , ∀ j ∈ 0, 1, ..., n. Entonces, se define el

operador A : X −→ X como

A(u) :=n∑j=0

∫ 1

0u(t) pj(t) dt

pj ∀u ∈ X .

3.4. EL OPERADOR ADJUNTO EN ESPACIOS DE HILBERT 77

El objetivo es probar que A ∈ L(X) y encontrar su adjunto A′. Para ello, dado j ∈ 0, 1, ..., n,se define el funcional Fj : X −→ R por

Fj(u) :=∫ 1

0u(t) pj(t) dt ∀u ∈ X .

Es claro que Fj es lineal y acotado. En particular, para el acotamiento se tiene facilmente

|Fj(u)| ≤∫ 1

0|u(t)| |pj(t)| dt ≤

∫ 1

0|pj(t)| dt ‖u‖ ≤ ‖u‖ ,

lo cual prueba que Fj ∈ X ′ y ‖Fj‖ ≤ 1. Utilizando estos funcionales, podemos redefinir el

operador A como

A(u) :=n∑j=0

Fj(u) pj ∀u ∈ X ,

el cual es claramente lineal y acotado ya que cada uno de los Fj lo es. De este modo, dado

G ∈ X ′ y u ∈ X, se obtiene

A′(G)(u) = (G A)(u) = G(A(u)) = G

n∑j=0

Fj(u) pj

=

n∑j=0

Fj(u) G(pj) =n∑j=0

G(pj)Fj(u) =

n∑j=0

G(pj)Fj

(u) ,

con lo cual

A′(G) =n∑j=0

G(pj)Fj ∀G ∈ X ′ .

3.4. El operador adjunto en espacios de Hilbert

Sean (X, 〈·, ·〉X) e (Y, 〈·, ·〉Y ) espacios de Hilbert sobre K y sea A ∈ L(X, Y ). Dado

y ∈ Y , definamos el funcional

X → Kx → 〈A(x), y〉Y ,

el cual es claramente lineal y acotado. En efecto, la linealidad se sigue del hecho que A

y la primera componente del producto escalar 〈·, ·〉Y son lineales. A su vez, aplicando la

desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene que

| 〈A(x), y〉Y | ≤ ‖A(x)‖ ‖y‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖ ‖y‖ ,


lo cual prueba que dicho funcional es acotado y que su norma es menor o igual que

‖A‖ ‖y‖. Luego, aplicando el Teorema de Representacion de Riesz, se deduce que existe

un unico z ∈ X tal que

〈A(x), y〉Y = 〈x, z〉X ∀x ∈ X .

Este analisis induce la definicion del operador

A∗ : Y → X

y → A∗(y) := z ,(3.9)

el cual se llama adjunto de Hilbert de A y esta caracterizado por la relacion

〈A(x), y〉Y = 〈x,A∗(y)〉X ∀x ∈ X , ∀ y ∈ Y . (3.10)

El analogo del Lema 3.4 se prueba a continuacion.

Lema 3.6 Dados X e Y espacios de Hilbert y A ∈ L(X, Y ), se tiene A∗ ∈ L(Y,X) y

‖A∗‖ = ‖A‖.

Demostracion. La linealidad de A∗ se sigue de la caracterizacion (3.10) y de las pro-

piedades de los productos escalares. En efecto, dados y1, y2 ∈ Y y α1, α2 ∈ K, se

tiene

〈x,A∗(α1 y1 + α2 y2)〉X = 〈A(x), α1 y1 + α2 y2〉Y = α1 〈A(x), y1〉Y + α2 〈A(x), y2〉Y

= α1 〈x,A∗(y1)〉X + α2 〈x,A∗(y2)〉X = 〈x, α1A∗(y1) + α2A

∗(y2)〉X ∀x ∈ X ,

lo cual prueba que A∗(α1 y1 + α2 y2) = α1A∗(y1) + α2A

∗(y2). A su vez, usando el

Teorema de Representacion de Riesz en X, la identidad (3.10) y la desigualdad de

Cauchy-Schwarz, se obtiene

‖A∗(y)‖ = supx∈Xx 6=θ

〈x,A∗(y)〉X‖x‖

= supx∈Xx 6=θ

〈A(x), y〉Y‖x‖

≤ ‖A‖ ‖y‖ ∀ y ∈ Y ,

de donde A∗ es acotado y ‖A∗‖ ≤ ‖A‖. Procediendo de manera analoga, usando ahora

el Teorema de Representacion de Riesz en Y , y nuevamente la identidad (3.10) y la

desigualdad de Cauchy-Schwarz, se demuestra que ‖A‖ ≤ ‖A∗‖, lo cual concluye la

demostracion. 2

3.4. EL OPERADOR ADJUNTO EN ESPACIOS DE HILBERT 79

Por otro lado, notar que los operadores A∗ y A′ estan relacionados segun el siguiente

diagrama conmutativo

XA−→←−A∗

Y

RX ↑ ↑ RY

X ′A′

←− Y ′ ,

es decir

A∗ = RX A′ R−1Y ,

o bien

A′ = R−1X A

∗ RY .

Definicion 3.6 Sean X un espacio de Hilbert y A ∈ L(X,X). Se dice que A es auto-

adjunto si A = A∗.

Ejemplo 3.3 Sean (X, 〈·, ·〉X) e (Y, 〈·, ·〉Y ) espacios de Hilbert, y, dado m ∈ N, consideremos

conjuntos F1, F2, ..., Fm ⊆ X ′, x1, x2, ..., xm ⊆ X, e y1, y2, ..., ym ⊆ Y . Entonces se

definen los operadores A : X → Y y B : X → X por

A(x) :=m∑j=1

Fj(x) yj ∀x ∈ X ,

y

B(x) :=m∑j=1

〈x, xj〉X xj ∀x ∈ X .

El objetivo de este ejemplo es calcular A∗ y luego mostrar que B es autoadjunto. En efecto,

de acuerdo al Teorema de Representacion de Riesz, para cada j ∈ 1, 2, ...,m existe un unico

zj ∈ X tal que Fj(x) := 〈x, zj〉X ∀x ∈ X. Se sigue que

A(x) :=m∑j=1

〈x, zj〉X yj ∀x ∈ X , (3.11)

y luego, dado y ∈ Y , se tiene

〈A(x), y〉Y =

⟨m∑j=1

〈x, zj〉X yj , y

⟩Y

=m∑j=1

〈x, zj〉X 〈yj , y〉Y =

⟨x,

m∑j=1

〈y, yj〉Y zj

⟩X

,


de donde se deduce que

A∗(y) :=m∑j=1

〈y, yj〉Y zj . (3.12)

Por otro lado, puesto que B es un caso particular del operador A (escrito en la forma (3.11)

con Y = X y zj = yj = xj), se obtiene directamente de (3.12) que

B∗(x) :=m∑j=1

〈x, xj〉X xj = B(x) ,

lo cual prueba que B es autoadjunto.

3.5. La ecuacion fundamental

3.5.1. Preliminares

Sean X e Y espacios vectoriales normados sobre el cuerpo K, y sea A ∈ L(X, Y ). Dado

y ∈ Y , la ecuacion fundamental consiste en:

Hallar x ∈ X tal que A(x) = y , (3.13)

es decir, encontrar una pre-imagen de y a traves del operador A. Con el objeto de

analizar este problema, se introducen los siguientes conjuntos.

Definicion 3.7 Se define el espacio nulo o kernel de A como:

N(A) := x ∈ X : A(x) = θ .

Definicion 3.8 Se define el rango o recorrido de A como:

R(A) := y ∈ Y : existe x ∈ X tal que A(x) = y .

Es facil ver que N(A) y R(A) son subespacios de X e Y , respectivamente. Ademas,

puesto que N(A) es la imagen inversa por A de θ, se sigue que N(A) es cerrado. Por

otro lado, es claro que el operador lineal A es inyectivo si y solo si N(A) = θ,lo cual dice que, de haber solucion para (3.13), ella es unica. A su vez, el operador A

es sobreyectivo si y solo si R(A) = Y , lo cual significa que (3.13) tiene siempre al

menos una solucion.

3.5. LA ECUACION FUNDAMENTAL 81

El siguiente objetivo es caracterizarR(A). Para este efecto, consideremos un elemento

y ∈ R(A). Se sigue que existe x ∈ X tal que A(x) = y, y luego, dado G ∈ N(A′), se

tiene que

G(y) = G(A(x)) = A′(G)(x) = θ . (3.14)

Lo anterior motiva la siguiente seccion.

3.5.2. Anuladores y ortogonales

Comenzamos con las definiciones clasicas de anuladores.

Definicion 3.9 Sea X un espacio vectorial normado y sea S ⊆ X. Un funcional F ∈ X ′

se dice anulador de S si F (x) = 0 ∀x ∈ S. En tal caso, se introduce tambien el

conjunto anulador de S

S :=

F ∈ X ′ : F (x) = 0 ∀x ∈ S

.

Definicion 3.10 Sea X un espacio vectorial normado y sea T ⊆ X ′. Un elemento

x ∈ X se dice anulador de T si F (x) = 0 ∀F ∈ T . En tal caso, se introduce

tambien el conjunto anulador de T

T :=x ∈ X : F (x) = 0 ∀F ∈ T

.

De acuerdo a lo anterior, la ecuacion (3.14) es equivalente a decir que y ∈ N(A′),

y por lo tanto se ha demostrado ası que:

R(A) ⊆ N(A′). (3.15)

En el caso en que(X, 〈 · , · 〉X

)e(Y, 〈 · , · 〉Y

)son espacios de Hilbert y A ∈ L (X, Y ),

lo anterior se reduce a

R(A) ⊆ N(A∗)⊥. (3.16)

En efecto, dado y ∈ R(A) existe x ∈ X tal que y = A(x). Luego, si z ∈ N(A∗) se

obtiene

〈 y, z 〉Y = 〈A (x), z 〉Y = 〈x, A∗(z) 〉X = 〈x, θ 〉X = 0,

lo cual prueba que y ∈ N(A∗)⊥. Con el objeto de deducir eventuales recıprocos de las

inclusiones (3.15) y (3.16), se necesitan algunos resultados adicionales sobre conjuntos

anuladores y ortogonales.


Lema 3.7 Sea(X, ‖ · ‖

)un espacio vectorial normado y sean S ⊆ X y T ⊆ X ′.

Entonces S y T son subespacios cerrados de X ′ y X, respectivamente.

Demostracion. Procedemos a demostrar solo para T . El caso de S es analogo. Es

claro que F (θ) = 0 ∀F ∈ X ′ , y en particular F (θ) = 0 ∀F ∈ T , lo cual prueba que

θ ∈ T . A su vez, dados α, β ∈ R, x, x ∈ T y F ∈ T , se obtiene:

F (αx + β x) = αF (x) + β F (x) = α · θ + β · θ = 0 ,

con lo cual αx + β x ∈ T , probando ası que T es un subespacio de X. Para ver queT es cerrado, consideremos una sucesion

xnn∈N ⊆

T que converge a x ∈ X. Ası,

dado F ∈ T , se tiene:

|F (x) | = |F (x)− F (xn) | = |F (x− xn) | ≤ ‖F‖ ‖x− xn ‖n→∞−→ 0,

y por lo tanto x ∈ T . 2

Lema 3.8 Sea(X, 〈 · , · 〉X

)un espacio de Hilbert con aplicacion de Riesz R : X ′ →

X, y sean S ⊆ X y T ⊆ X ′. Entonces

S⊥ = R(S) y T = R(T )⊥

Demostracion. Se tiene claramente

x ∈ S⊥ ⇔ 〈s , x〉 = 0 ∀ s ∈ S

⇔ R−1(x) (s) = 0 ∀ s ∈ S

⇔ R−1(x) ∈ S

⇔ x ∈ R(S).

A su vez,

x ∈ T ⇔ F (x) = 0 ∀F ∈ T

⇔ 〈x,R(F )〉 = 0 ∀F ∈ T

⇔ x⊥R(F ) ∀F ∈ T

⇔ x ∈ R(T )⊥.

2

Notar que la identidad S⊥ = R(S), junto con lo estipulado por Lema 3.7 y el

hecho que R : X ′ → X es una biyeccion isometrica, garantizan que S⊥ tambien es un

subespacio cerrado de X.


Lema 3.9 Sea M un subespacio cerrado de un espacio vectorial normado(X , ‖ · ‖ ).

Entonces (M) = M

Demostracion. Procedemos por doble inclusion. Sea x ∈ M . Se sigue claramente que

F (x) = 0 ∀F ∈ M, lo cual indica que x ∈ (M), y por lo tanto M ⊆ (M). Para

la otra inclusion utilizaremos el contrarecıproco. En efecto, sea x ∈ X tal que x 6∈ M .

Puesto que M es cerrado se tiene que dist (x,M) > 0. Luego, aplicando la consecuencia

del Teorema de Hahn-Banach dada por Teorema 2.8, se deduce que ∃ F ∈ X ′ tal que

‖F‖ = 1, F (x) = dist(x,M) y F (m) = 0 ∀m ∈ M . Esto indica que F ∈ M, y

dado que F (x) 6= 0, se tiene que x 6∈ (M). De este modo se concluye que (M) ⊆ M ,


Como corolario de los Lemas 3.8 y 3.9 se obtiene el siguiente resultado.

Lema 3.10 Sea M un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert(X, 〈· , ·〉

). Entonces

(M⊥)⊥ = M .

Demostracion. Utilizando el resultado del Lema 3.9 y las identidades del Lema 3.8, se

obtiene:

M = (M) = (R−1(M⊥)) =R(R−1(M⊥)

)⊥= (M⊥)⊥ .

2

A continuacion se establece un resultado mas general que Lema 3.9, en el cual no se

considera un subespacio cerrado vectorial normado sino solo un subconjunto del espacio

vectorial normado.

Lema 3.11 Sea (X, ‖·‖) un espacio vectorial normado y sean W ⊆ X y S el subespacio

cerrado generado por W . Entonces W = S y S = (W ).

Demostracion. Basta mostrar que W = S ya que entonces, de acuerdo a Lema 3.9,

se obtiene (W ) = (S) = S. En efecto, puesto que W ⊆ S, es claro que S ⊆ W .

Resta probar que W ⊆ S. Para ello, sea F ∈ W , es decir F ∈ X ′ y F (x) =

0 ∀x ∈ W . Ahora, dado x ∈ 〈W 〉, el subespacio generado por W , existen N ∈ N,

escalares α1, α2, · · · , αN ∈ C, y vectores x1, x2, · · · , xN ∈ W , tales que x =N∑j=1

αj xj.

Se sigue que F (x) =N∑j=1

αj F (xj) =N∑j=1

αj ·0 = 0, lo cual prueba que F ∈ 〈W 〉. Por


ultimo, para x ∈ S = 〈W 〉 existe una sucesion xnn∈N ⊆ 〈W 〉 tal que xnn→∞−→ x, y

luego |F (x) | = |F (x) − F (xn) | = |F (x − xn) | ≤ ‖F‖ ‖x − xn ‖n→∞−→ 0, de donde

F (x) = 0. Esto demuestra que F ∈ S y por lo tanto W ⊆ S. 2

El analogo del resultado anterior para el caso Hilbert se establece como sigue.

Lema 3.12 Sea (X, 〈· , ·〉) un espacio de Hilbert y sean W ⊆ X y S el subespacio

cerrado generado por W . Entonces W⊥ = S⊥ y S = (W⊥)⊥.

Demostracion. Aplicando las identidades dadas por Lemas 3.8, 3.11 y 3.10, se deduce

facilmente que:

W⊥ = R(W ) = R(S) = S⊥ y S = (S⊥)⊥ = (W⊥)⊥ .

2

Finalizamos esta seccion con un par de resultados claves sobre el rango de un operador

lineal y acotado.

Teorema 3.2 Sea (X, ‖ · ‖X) e (Y, ‖ · ‖Y ) espacios vectoriales normados, y sea A ∈L(X, Y ). Entonces:

i) R(A) = N(A′)

ii) R(A) = N(A′)

iii) R(A) es cerrado si y solo si R(A) = N(A′).

Demostracion. Para i) se observa facilmente que

G ∈ R(A) ⇔ G ∈ Y ′ y G(z) = 0 ∀z ∈ R(A)

⇔ G ∈ Y ′ y G(A(x)) = 0 ∀x ∈ X

⇔ G ∈ Y ′ y A′(G)(x) = 0 ∀x ∈ X

⇔ G ∈ Y ′ y A′(G) = Θ ∈ X ′

⇔ G ∈ N(A′).

Luego, aplicando la segunda identidad del Lema 3.11, y notando que R(A) es el sub-

espacio cerrado generado por R(A), se deduce que:

N(A′) = (R(A)) = R(A) ,


lo cual prueba ii). Finalmente, iii) se sigue de ii) y del hecho que, de acuerdo al Lema

3.7, T es un subespacio cerrado de Y ∀T ⊆ Y ′. 2

La version Hilbert del teorema anterior esta dada como sigue.

Teorema 3.3 Sea(X, 〈 · , · 〉X

)e(Y, 〈 · , · 〉Y

)espacios de Hilbert, y sea A ∈ L(X, Y ).

Entonces:

i) R(A)⊥ = N(A∗)

ii) R(A) = N(A∗)⊥

iii) R(A) es cerrado si y solo si R(A) = N(A∗)⊥.

Demostracion. La parte i) se puede probar directamente, de manera analoga a la

demostracion de i) en Teorema 3.2. Alternativamente, siRX : X ′ → X yRY : Y ′ → Y

son las aplicaciones de Riesz correspondientes, recordamos primero de la Seccion 3.4 que

A′ = R−1X A∗ RY . Se sigue facilmente que N(A′) = R−1

Y (N(A∗)), y luego, aplicando

la primera identidad del Lema 3.8 y Teorema 3.2, parte i), se obtiene

R(A)⊥ = RY (R(A)) = RY (N(A′)) = RY (R−1Y (N(A∗))) = N(A∗) ,

lo cual prueba tambien i). Entonces, utilizando ahora la segunda identidad de Lema

3.12, se deduce que N(A∗)⊥ = (R(A)⊥)⊥ = R(A), lo cual prueba ii). Por ultimo, iii)

es consecuencia de ii) y del hecho que N(A∗)⊥ es un subespacio cerrado de Y . 2

En el caso en que Y es de dimension finita, R(A) es ciertamente cerrado, y por lo

tanto, dado que N(A∗)⊥ es tambien cerrado, el teorema anterior se resume simplemente

con la identidad R(A) = N(A∗)⊥.

Ejemplo 3.4 El presente es un ejemplo clasico en dimension finita, el cual tiene que ver

con la resolucion de un sistema lineal de ecuaciones. En efecto, sea Rnxm el espacio de las

matrices de orden nxm con coeficientes reales, y sean A ∈ Rnxm y b ∈ Rn. Entonces,

interesa el sistema lineal: Hallar x ∈ Rm tal que Ax = b. Equivalentemente, si denotamos

X = Rm , Y = Rn y A : X → Y el operador lineal y acotado inducido por A, es decir

A(x) : = Ax ∀ ∈ X, entonces resolver el sistema se reduce a averiguar si b pertenece o no a

R(A). Para este efecto, recordemos que A∗ : Y → X esta definido por A∗ (y) = At y ∀ y ∈


Y . Luego, en virtud del Teorema 3.3, el cual en dimension finita se reduce simplemente a la

identidad R(A) = N(A∗)⊥, se deduce que Ax = b tiene solucion

⇔ b ∈ R(A)

⇔ b ∈ N(A∗)⊥

⇔ 〈b , z〉Rn = 0 ∀ z ∈ N(A∗)

⇔ 〈b , z〉Rn = 0 ∀ z ∈ Rn tal que At z = 0.

Es decir, el sistema lineal es soluble si y solo si el lado derecho b es ortogonal a todas las

soluciones del sistema transpuesto homogeneo. Ahora, en el caso particular en que n = m, es

decir X = Y = Rn, se tiene que |A | = |At | , y por lo tanto

R(A) = Y ⇔ N(A∗)⊥ = Y ⇔ N(A∗) = θ⇔ |At | 6= 0 ⇔ |A | 6= 0 ⇔ N(A) = θ,

lo cual prueba que A es sobreyectivo si y solo si A es inyectivo. Este resultado se conoce como

la alternativa de fredholm en dimension finita, y puede deducirse tambien a partir del

Teorema de las Dimensiones, el cual establece que

n = dimN(A) + dimR(A).

3.6. El operador inverso

Sean X eY espacios vectoriales normados y sea A ∈ L(X, Y ). Es claro que la ecuacion

fundamental A(x) = y tiene solucion para todo y ∈ R(A), y esta solucion es unica si

N(A) = θ. Estos hechos inducen la siguiente definicion.

Definicion 3.11 Sea A ∈ L(X, Y ) tal que R(A) = Y y N(A) = θ. Entonces,

se denota A−1 : Y → X, y se llama inverso de A, al operador que a cada y ∈ Y le

asigna el unico x ∈ X tal que A(x) = y. En tal caso, se escribe x = A−1(y) ∀ y ∈ Y .

El objetivo principal de esta seccion es discutir el Teorema de la Inversa Acotada, el

cual da condiciones suficientes para el acotamiento de un operador inverso. Para ello se

prueba primero que este resultado es equivalente al Teorema del Grafo Cerrado. Ambos

teoremas y la equivalencia mencionada se enuncian y demuestran, respectivamente, mas

adelante. Previo a ello se necesita introducir el concepto de operador cerrado.

En lo que sigue, A : D(A) ⊆ X → Y es un operador lineal, no necesariamente

acotado, cuyo dominio D(A) es un subespacio de X.

3.6. EL OPERADOR INVERSO 87

Definicion 3.12 Sea A : D(A) ⊆ X → Y lineal. Se dice que A es cerrado si para

toda sucesion xnn∈N ⊆ D(A) tal que xnn→∞−→ x ∈ X y A(xn)

n→∞−→ y ∈ Y , se

tiene necesariamente que x ∈ D(A) y A(x) = y.

A continuacion damos una definicion equivalente de operador cerrado. En efecto,

recordemos primero que el espacio producto X × Y : = (x, y) : x ∈ X , y ∈ Y ,provisto de las operaciones:

+ : (X × Y ) × (X × Y ) −→ X × Y

((x1 , y1), (x2 , y2)) −→ (x1 , y1) + (x2 , y2) : = (x1 + x2 , y1 + y2)

· : R × (X × Y ) −→ X × Y

(α , (x , y)) −→ α · (x , y) : = (αx , α y)

es un espacio vectorial. Ademas, provisto de la norma producto (u otra equivalente):

‖ (x , y) ‖ : = ‖x ‖ + ‖ y ‖ ∀ (x , y) ∈ X × Y,

X × Y es un espacio vectorial normado. Mas aun, si X eY son espacios de Banach, el

producto X × Y tambien lo es.

Por otro lado, se define el grafo del operador lineal A : D(A) ⊆ X −→ Y, y se

denota G(A), al subespacio de X × Y dado por:

G(A) : = (x ,A(x)) : x ∈ D(A).

Notar que el elemento nulo de X × Y es (θX , θY ), y puesto que A es lineal se tiene

θX ∈ D(A) y A(θX) = θY , lo cual muestra que (θX , θY ) ∈ G(A).

En virtud de lo anterior y la Definicion 3.12 es facil ver que el operador lineal A :

D(A) ⊆ X −→ Y es cerrado si y solo si G(A) es un subespacio cerrado de X × Y .

En particular, notar que si A es acotado, es decir A ∈ L(X , Y ), entonces claramente

A es cerrado. El siguiente ejemplo, en el cual se explicita un operador cerrado que no es

acotado, confirma que el recıproco no es necesariamente verdadero.

Ejemplo 3.5 Sea X = C([0, 1]) provisto de la norma uniforme

‖u ‖ : = maxt∈ [0,1]

|u(t)| ∀u ∈ X,


con la cual sabemos que X es Banach. Definamos el operador dado por la derivada clasica

A : D(A) ⊆ X → X

u → A(u) = u′.

Notemos que D(A) = C1([0, 1]). A continuacion probamos que A no es acotado y que, sin

embargo, A es cerrado. En efecto, dado n ∈ N, sea pn ∈ X el polinomio definido por

pn(t) : = tn ∀ t ∈ [0, 1]. Se sigue que A(pn) = qn, donde qn (t) : = n tn−1 ∀ t ∈ [0, 1],

y luego:

supx∈D(A)x 6= θ

‖A(x) ‖‖x ‖

≥ ‖A(pn) ‖‖ pn ‖

=‖ qn ‖‖ pn ‖

= n ∀n ∈ N,

de lo cual se deduce que A no es acotado. Ahora, para ver que A sı es cerrado, consideremos

una sucesion xnn∈N ⊆ D(A) tal que xnn→∞−→ x ∈ X y A(xn) n→∞−→ y ∈ X, esto es

‖xn − x‖ n→∞−→ 0 y ‖x′n − y‖ n→∞−→ 0. Luego, para cada t ∈ [0, 1] se tiene∣∣∣∣ ∫ t

0x′n(s) ds−

∫ t

0y(s) ds

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ ∫ t

0x′n(s) − y(s) ds

∣∣∣∣≤∫ t

0|x′n(s) − y(s) | ds ≤ ‖x′n − y‖ n→∞−→ 0,

lo cual prueba que ∫ t

0y(s) ds = lım

n→∞

∫ t

0x′n(s) ds.

Se sigue ası, usando la convergencia puntual de xn, que∫ t

0y(s) ds = lım

n→∞xn (t) − xn (0) = x(t) − x(0),

de donde

x(t) = x(0) +∫ t

0y(s) ds ∀ t ∈ [0, 1].

Esta identidad prueba que x ∈ D(A) y A(x) : = x′ = y.

A continuacion presentamos el Teorema de la Inversa Acotado (T.I.A.) y el Teorema

del Grafo Cerrado (T.G.C.), y probamos que ellos son equivalentes.

Teorema 3.4 (teorema de la inversa acotada) Sean X eY espacios de Banach

y sea A ∈ L(X, Y ) tal que R(A) = Y y N(A) = θX. Entonces A−1 ∈ L(Y,X).

Teorema 3.5 (teorema del grafo cerrado) Sean X eY espacios de Banach y

sea A : D(A) ⊆ X → Y un operador lineal cerrado tal que D(A) = X. Entonces

A ∈ L(X, Y ).

3.6. EL OPERADOR INVERSO 89

Teorema 3.6 T.I.A.⇔ T.G.C.

Demostracion.

(⇐) Supongamos valido el T.G.C., y sean X eY espacios de Banach, y A ∈ L(X, Y )

tal que R(A) = Y y N(A) = θX. Entonces, existe el operador inverso A−1 : Y → X

el cual es lineal y satisface obviamente que D(A−1) = Y . Con el objeto de aplicar el

T.G.C. y concluir ası que A−1 ∈ L(Y,X), solo resta mostrar que A−1 es cerrado. Para

ello, sea ynn∈N ⊆ Y tal que

ynn→∞−→ y ∈ Y y A−1(yn)

n→∞−→ x ∈ X.

Como A es acotado, se sigue que yn = A(A−1(yn))n→∞−→ A(x), y por la unicidad del

lımite se deduce que y = A(x), o bien x = A−1(y), lo cual prueba que A−1 es cerrado.

(⇒) Supongamos valido el T.I.A., y sean X eY espacios de Banach, y A : D(A) ⊆X → Y lineal, cerrado, tal que D(A) = X. Definamos el operador E : G(A)→ X por

E(x,A(x)) = x ∀x ∈ D(A) = X.

Puesto que A es cerrado, G(A) es un subespacio cerrado del Banach X × Y , y por lo

tanto G(A) tambien es Banach. Ademas, es claro que R(E) = X y

N(E) = (x,A(x)) : x = θX = (θX , θY ).

A su vez,

‖E(x,A(x)) ‖ = ‖x‖ ≤ ‖x ‖ + ‖A(x) ‖ = ‖ (x,A(x)) ‖ ∀ (x,A(x)) ∈ G(A),

lo cual muestra que E es acotado y ‖E ‖ ≤ 1. Resumiendo, E ∈ L(G(A), X) y E es

biyectivo, con lo cual el T.I.A. implica que E−1 ∈ L(X,G(A)). Esto significa que existe

C > 0 tal que

‖E−1(x) ‖ ≤ C ‖x ‖ ∀x ∈ X,

es decir

‖ (x,A(x)) ‖ = ‖x ‖ + ‖A(x) ‖ ≤ C ‖x ‖ ∀ x ∈ X,

de donde ‖A(x) ‖ ≤ C ‖x ‖ ∀x ∈ X, probando ası que A ∈ L(X, Y ). 2

Antes de demostrar uno de los dos teoremas (T.I.A. o T.G.C.), ahora establecemos

una version mas general del Teorema de la Inversa Acotada.


Teorema 3.7 (version mejorada del T.I.A.) Sean X eY espacios de Banach y

sea A : D(A) ⊆ X → Y lineal cerrado tal que N(A) = θX y R(A) = Y .

Entonces A−1 ∈ L(Y,X).

Demostracion. Definamos primero ‖ · ‖A : D(A) → R por

‖x ‖A : = ‖x ‖+ ‖A(x) ‖ ∀x ∈ D(A) ,

la cual, es facil verlo, constituye una norma sobre D(A). Probemos que (D(A) ‖ · ‖A) es

completo. En efecto, sea xnn∈N ⊆ D(A) tal que ‖xn − xm‖An,m→∞−→ 0. Se sigue que

‖xn − xm‖n,m→∞−→ 0 y ‖A(xn) − A(xm)‖ n,m→∞−→ 0, y puesto que X eY son Banach

se deduce que existe x ∈ X e y ∈ Y tales que xnn→∞−→ x y A(xn)

n→∞−→ y. Luego, como

A es cerrado, se concluye de aquı que x ∈ D(A) y A(x) = y, lo cual implica que

‖xn − x ‖A = ‖xn − x ‖ + ‖A(xn) − A(x) ‖ = ‖xn − x ‖ + ‖A(xn) − y ‖ n→∞−→ 0.

Entonces, sabiendo ahora que (D(A), ‖ · ‖A) es un espacio de Banach, se define el

operador A : (D(A), ‖ · ‖A) → Y por A(x) = A(x) ∀x ∈ D(A). Es claro que A es

lineal, y ademas

‖ A(x) ‖ = ‖A(x) ‖ ≤ ‖x ‖+ ‖A(x) ‖ = ‖x ‖A ∀x ∈ D(A),

lo cual muestra que A es acotado y ‖ A ‖ ≤ 1. Notemos tambien que N(A) = N(A) =

θX y R(A) = R(A) = Y . Por lo tanto, aplicando el T.I.A. se deduce que A−1 ∈L(Y, (D(A), ‖ · ‖A)), lo cual significa que existe C > 0 tal que

‖ A−1(y) ‖A ≤ C ‖ y ‖ ∀ y ∈ Y,

es decir

‖A−1(y) ‖+ ‖ y ‖ ≤ C ‖ y ‖ ∀ y ∈ Y,

de donde ‖A−1(y) ‖ ≤ C ‖ y ‖ ∀ y ∈ Y , probando ası que A−1 ∈ L(Y , X ). 2

Es importante observar, de acuerdo a la demostracion anterior, que la version me-

jorada del T.I.A. (de ahora en adelante T.I.A.M.) es consecuencia del T.I.A. original

(ver Teorema 3.4). Puesto que claramente T.I.A.M. implica T.I.A., se deduce que ambos

teoremas son equivalentes entre sı, y por lo tanto equivalentes tambien al T.G.C.. De

hecho, es facil ver que en la primera implicacion del Teorema 3.6 basta suponer que

3.7. OTROS DOS TEOREMAS CLASICOS 91

A : D(A) ⊆ X → Y es lineal y cerrado, tal que R(A) = Y y N(A) = θX. En efecto,

dada la sucesion ynn∈N ⊆ Y tal que

ynn→∞−→ y ∈ Y y A−1(yn)

n→∞−→ x ∈ X,

se deduce en tal caso que x ∈ D(A) y A(x) = y, de donde x = A−1(y), probando

ası que A−1 es cerrado. En otras palabras, A lineal cerrado y biyectivo implica que A−1

tambien es cerrado. De este modo, la primera implicacion del Teorema 3.6, modificada

segun se indica aquı, constituye una demostracion alternativa del T.I.A.M., ahora a

partir del T.G.C..

Los teoremas y observaciones anteriores se resumen en el siguiente resultado.

Teorema 3.8 T.I.A.M. ⇔ T.I.A. ⇔ T.G.C.

3.7. Otros dos teoremas clasicos

En esta seccion demostramos otros dos resultados clasicos del Analisis Funcional, el

Teorema de la Aplicacion Abierta (T.A.A.), el cual, entre otras consecuencias, implica

el T.I.A., y el Teorema de Banach-Steinhauss, tambien conocido como el Teorema del

Acotamiento Uniforme. El enunciado respectivo del primero de ellos es como sigue.

Teorema 3.9 (teorema de la aplicacion abierta) Sean X e Y espacios de Ba-

nach y sea A ∈ L(X, Y ) tal que R(A) = Y . Entonces, existe r > 0 tal que

BY (θ, r) ⊆ A(BX(θ, 1)). (3.17)

Comenzamos el analisis probando que la inclusion (3.17) implica que A transforma

abiertos de X en abiertos de Y , lo cual justifica el nombre del teorema anterior. Mas

precisamente, se tiene el siguiente resultado.

Lema 3.13 Sean X e Y espacios de Banach y sea A ∈ L(X, Y ). Supongamos, ademas,

que existe r > 0 tal que BY (θ, r) ⊆ A(BX(θ, 1)). Entonces, para todo abierto U de X

se tiene que A(U) es abierto de Y .

Demostracion. Sea U un abierto de X, y sea y0 = A(x0) ∈ A(U) con x0 ∈ U . Se sigue

que existe δ > 0 tal que BX(x0, δ) ⊆ U , o bien x0 + BX(θ, δ) ⊆ U , de donde, aplicando

el operador A, resulta

y0 + A(BX(θ, δ)) ⊆ A(U).


Ahora, de la hipotesis se tiene que BY (θ, δr) ⊆ A(BX(θ, δ)). En efecto,

‖ y ‖ < δr ⇒ y

δ∈ BY (θ, r)⇒ y

δ∈ A(BX(θ, 1))⇒ y ∈ A(BX(θ, δ)).

Luego, se deduce que y ∈ BY (y0, δr)⇒ y− y0 ∈ BY (θ, δr)⇒ y− y0 ∈ A(BX(θ, δ))⇒y ∈ y0 + A(BX(θ, δ)) ⇒ y ∈ A(U), lo cual muestra que BY (y0, δr) ⊆ A(U), y en

consecuencia A(U) es abierto de Y . 2

A continuacion se demuestra el T.I.A. usando precisamente el T.A.A.

Teorema 3.10 (T.I.A. con demostracion) . Sean X e Y espacios de Banach y

sea A ∈ L(X, Y ) tal que R(A) = Y y N(A) = θX. Entonces A−1 ∈ L(X, Y ).

Demostracion. Puesto que A es sobreyectivo podemos aplicar el T.A.A., deduciendo

ası que existe r > 0 tal que BY (θ, r) ⊆ A(BX(θ, 1)). Luego, dado x ∈ X tal que

‖A(x) ‖ < r, se tiene que A(x) ∈ A(BX(θ, 1)), lo cual significa que existe z ∈ X, ‖ z ‖ <1, tal que A(x) = A(z). Puesto que A es inyectivo se sigue que x = z y por lo tanto

‖x ‖ < 1. Ahora, dado x ∈ X tal que x 6= θ, se tiene obviamente que∥∥∥∥A( ε r

‖A(x) ‖x

)∥∥∥∥ = εr < r ∀ ε ∈ (0, 1),

y por lo tanto, gracias al analisis anterior, se obtiene que∥∥∥∥ ε r

‖A(x) ‖x

∥∥∥∥ < 1 ∀ ε ∈ (0, 1),

o bien

‖x ‖ < 1

ε r‖A(x) ‖ ∀ ε ∈ (0, 1).

Ası, tomando lımε→ 1+

se concluye que

‖x ‖ ≤ 1

r‖A(x) ‖ ∀x ∈ X,

lo cual prueba que A−1 es acotado y ‖A−1 ‖ ≤ 1r. 2

El siguiente ejemplo constituye una aplicacion interesante del T.I.A.

Ejemplo 3.6 Sea X un espacio vectorial y sean ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 normas sobre X tales que

(X, ‖ · ‖1) y (X, ‖ · ‖2) son espacios de Banach. Suponga ademas que existe C > 0 tal que


‖x‖1 ≤ C ‖x‖2 ∀x ∈ X. Entonces ‖·‖1 y ‖·‖2 son equivalentes, es decir existe otra constante

c > 0 tal que

‖x‖2 ≤ c ‖x‖1 ∀x ∈ X.

Para ver esto, consideremos el operador identidad I : (X, ‖ · ‖2) → (X, ‖ · ‖1), el cual es

claramente lineal, biyectivo y acotado, ya que

‖ I(x) ‖1 = ‖x‖1 ≤ C ‖x‖2 ∀x ∈ X.

Aplicando el T.I.A. se deduce que I−1 tambien es acotado, lo cual significa que existe c > 0

tal que

‖ I−1(x) ‖2 = ‖x‖2 ≤ c ‖x‖1 ∀x ∈ X.

El siguiente objetivo es la demostracion del T.A.A., la cual separamos en los lemas

3.15 y 3.16 que probamos a continuacion. El clasico Lema de Baire, que recordamos

ahora, se utiliza para el primero de ellos.

Lema 3.14 (lema de baire) . Sea X un espacio metrico completo y sea Xnn∈N una

sucesion de conjuntos cerrados en X tal queXn = ∅ ∀n ∈ N. Entonces

⋃n∈N

Xn = ∅.

Es importante notar aquı que este resultado se usa habitualmente en el sentido

contrarecıproco. En otras palabras, si X es un espacio metrico completo y Xnn∈N es

una sucesion de cerrados de X tal que⋃n∈N

Xn = X, entonces necesariamente existe

k ∈ N tal queXk 6= ∅.

Ahora procedemos a enunciar y demostrar los lemas que implican el T.A.A.. Cuando

no haya lugar a confusion se omiten los subındices de las bolas abiertas.

Lema 3.15 Sean X e Y espacios de Banach y sea A : X → Y lineal tal que R(A) = Y .

Entonces, existe r > 0 tal que B(θ, 2r) ⊆ A(B(θ, 1)).

Demostracion. Para cada n ∈ N definamos Xn = nA(B(θ, 1)). Puesto que A es sobre-

yectivo, dado y ∈ Y existe x ∈ X tal que A(x) = y. Si N ∈ N es tal que ‖x‖ < N ,

entonces y = N A( xN

) = N A(z) con ‖z‖ < 1, lo cual prueba que y ∈ XN y por lo

tanto Y =⋃n∈N

Xn. Ası, aplicando el Lema de Baire se deduce que existe k ∈ N tal que


Xk 6= ∅, o bien, equivalentemente,

A(B(θ, 1)) 6= ∅. Se sigue que existen y0 ∈ Y y r > 0

tales que

B(y0, 4r) ⊆ A(B(θ, 1)). (3.18)

En particular, puesto que claramente y0 ∈ A(B(θ, 1)), existe una sucesion znn∈N ⊆B(θ, 1) tal que y0 = lım

n→∞A(zn), y por lo tanto (−y0) = lım

n→∞A(−zn), lo cual indica

que (−y0) tambien pertenece a A(B(θ, 1)). A partir de este hecho y de la inclusion (3.18)

se obtiene que

B(θ, 4r) ⊆ A(B(θ, 1)) + A(B(θ, 1)) = 2A(B(θ, 1)). (3.19)

En efecto, z ∈ B(θ, 4r) ⇒ z = z + y0 + (−y0) con (z + y0) ∈ B(y0, 4r) ⊆ A(B(θ, 1))

y (−y0) ∈ A(B(θ, 1)). Ademas, es facil ver que la igualdad en (3.19) se sigue de la

convexidad de A(B(θ, 1)). Finalmente, de (3.19) se deduce que B(θ, 2r) ⊆ A(B(θ, 1)),


Lema 3.16 Sean X e Y espacios de Banach y sea A ∈ L(X, Y ). Suponga que existe

r > 0 tal que B(θ, 2r) ⊆ A(B(θ, 1)). Entonces, B(θ, r) ⊆ A(B(θ, 1)).

Demostracion. Sea y ∈ Y tal que ‖y‖ < r. Debemos probar que existe x ∈ X tal que

‖x‖ < 1 y A(x) = y. Sea δ > 0 tal que yδ

:= (1 + δ)y ∈ B(θ, r). Puesto que 2yδ∈

B(θ, 2r) ⊆ A(B(θ, 1)), se sigue que existe z ∈ X, ‖z‖ < 1, tal que ‖2yδ− A(z)‖ < r, o

bien, definiendo z1 = 12z, se tiene que ‖z1‖ < 1/2 y ‖y

δ− A(z1‖) < r/2. Analogamente,

puesto que 4(yδ− A(z1)) ∈ B(θ, 2r), existe otro z ∈ X, ‖z‖ < 1, tal que

‖4(yδ− A(z1))− A(z)‖ < r,

de donde, definiendo z2 = 14z, se obtiene que ‖z2‖ < 1/4 y ‖y

δ− A(z1)− A(z2)‖ < r/4.

Siguiendo de esta forma se construye por recurrencia una sucesion znn∈N ⊆ X tal

que ‖zn‖ <1

2ny ‖y

δ− A(xn)‖ < r

2n∀n ∈ N, donde xn =

n∑j=1

zj. Dado que la serie

∞∑n=1

1

2nes convergente, se deduce que xnn∈N es de Cauchy en X, y por lo tanto existe

xδ∈ X tal que xn

n→∞→ xδ. Ademas,

‖xδ‖ = lım

n→∞‖xn‖ = lım

n→∞

∥∥∥∥ n∑j=1

zj

∥∥∥∥ ≤ lımn→∞

n∑j=1

‖zj‖ ≤ lımn→∞

n∑j=1

1

2j= 1,


esto es ‖xδ‖ ≤ 1, y de la relacion ‖y

δ− A(xn)‖ < r/2n ∀n ∈ N se concluye que

yδ

= A(xδ), esto es y = A

(xδ

1 + δ

), o bien y = A(x) con x =

xδ

1 + δtal que ‖x‖ =

1

1 + δ‖x

δ‖ ≤ 1

1 + δ< 1. 2

Finalizamos esta seccion con el Teorema de Banach-Steinhauss (T.B.S.), el cual

tambien es consecuencia del Lema de Baire.

Teorema 3.11 (Teorema de Banach-Steinhauss) Sean X e Y espacios norma-

dos tal que X es Banach y sea Aii∈ I una familia, no necesariamente numerable, en

L(X, Y ). Suponga que

supi∈ I‖Ai(x)‖ <∞ ∀x ∈ X.

Entonces, existe M > 0 tal que

‖Ai(x)‖ ≤ M ‖x‖ ∀x ∈ X , ∀ i ∈ I.

Demostracion. Para cada n ∈ N definamos el conjunto

Xn = x ∈ X : ‖Ai(x)‖ ≤ n ∀ i ∈ I.

Es facil ver que Xn es cerrado. En efecto, sea xkk∈N ⊆ Xn tal que xnn→∞→ x ∈ X.

Entonces, ∀ i ∈ I se tiene que:

‖Ai(x)‖ = lımk→∞‖Ai(xk)‖ ≤ lım

k→∞n = n,

lo cual prueba que x ∈ Xn. Alternativamente, el hecho que Xn es cerrado se sigue de

la identidad Xn =⋂i∈I

A−1i (B(θ, n)). Ahora, puesto que sup

i∈ I‖Ai(x)‖ <∞ ∀x ∈ X,

se deduce que cada x ∈ X pertenece a algun conjunto Xn, y por lo tanto X =⋃n∈N

Xn.

Se sigue del Lema de Baire que existe N ∈ N tal queXN 6= ∅, lo cual significa que

existe x0 ∈ X y r > 0 tales que B(x0, r) ⊆ XN . Ası, dado x ∈ X, x 6= θ, definimos

z = x0 +r

2‖x‖x, el cual pertenece a la bola B(x0, r), y por lo tanto a XN , ya que

‖z − x0‖ = r/2 < r. De acuerdo a lo anterior y al hecho que, obviamente, x0 ∈ XN , se

tiene que ‖Ai(z)‖ ≤ N y ‖Ai(x0)‖ ≤ N ∀ i ∈ I, lo cual implica que

‖Ai(x)‖ =

∥∥∥∥Ai(2‖x‖r

(z − x0)

)∥∥∥∥ =2‖x‖r‖Ai(z − x0)‖

≤ 2‖x‖r

‖Ai(z)‖+ ‖Ai(x0)‖

≤ M ‖x‖ ∀x ∈ X, ∀ i ∈ I ,


con la constante M =4N

r. 2

Dos corolarios interesantes del T.B.S. estan dados por los siguientes lemas.

Lema 3.17 Sean X e Y espacios normados tal que X es Banach y sea Ann∈N ⊆L(X, Y ) tal que para cada x ∈ X la sucesion An(x)n∈N es convergente en Y . Entonces:

a) supn∈N‖An‖ < +∞.

b) El operador A : X →Y definido por A(x) := lımn→∞

An(x) ∀x ∈ X, pertenece a

L(X, Y ).

c) ‖A‖ ≤ lımn→∞

ınf‖An‖.

Demostracion. Puesto que para cada x ∈ X la sucesion An(x)n∈N es convergente,

ella es acotada en Y , esto es

supn∈N‖An(x)‖ < +∞ ∀x ∈ X,

y por lo tanto, una aplicacion directa del T.B.S. implica a). Esto significa que existe

M > 0 tal que

‖An(x)‖ ≤ M‖x‖ ∀x ∈ X, ∀n ∈ N,

de donde, tomando lımn→∞

se obtiene ‖A(x)‖ ≤ M ‖x‖ ∀x ∈ X. Dado que A es cla-

ramente lineal (por la linealidad de cada An), lo anterior prueba que A ∈ L(X, Y ), es

decir b). Por ultimo, a partir de la relacion ‖An(x)‖ ≤ ‖An‖ ‖x‖ ‖ ∀x ∈ X, ∀n ∈ N,

se obtiene que:

‖A(x)‖ = lımn→∞

‖An(x)‖ = lımn→∞

ınf ‖An(x)‖

≤ lımn→∞

ınf ‖An‖ ‖x‖ =

lımn→∞

ınf ‖An‖‖x‖ ∀ x ∈ X ,

lo cual demuestra c). 2

Lema 3.18 Sea S un subconjunto de un espacio vectorial normado X sobre, R, y su-

ponga que para cada F ∈ X ′ el conjunto F (x) : x ∈ S es acotado en R. Entonces S

es acotado, es decir existe C > 0 tal que ‖x‖ ≤ C ∀x ∈ S.

3.8. ACOTAMIENTO UNIFORME SIN LEMA DE BAIRE 97

Demostracion. Aplicamos el T.B.S. al siguiente contexto de espacios:

X ← X ′ , Y ← R , I ← S ,

y para cada x ∈ S definimos el operador Ax : X ′ → R por Ax(F ) := F (x) ∀F ∈ X ′.

De acuerdo a la hipotesis se tiene que

supx∈S|Ax(F )| = sup

x∈S|F (x)| < +∞ ,

y por lo tanto, el T.B.S. implica que existe C > 0 tal que

|Ax(F )| = |F (x)| ≤ C ‖F‖ ∀F ∈ X ′, ∀x ∈ S .

De este modo, aplicando una consecuencia del T.H.B. (ver Lema 2.4), se deduce que

para cada x ∈ S:

‖x‖ = supF ∈X′F 6=θ

|F (x)|‖F‖

≤ C ,

lo cual muestra el acotamiento de S. 2

3.8. Acotamiento uniforme sin Lema de Baire

En esta seccion proporcionamos los detalles de una demostracion alternativa del Teorema

de Banach-Steinhauss (cf. Teorema 3.11) que no hace uso del Lema de Baire y que, por

lo tanto, es de caracter autocontenido. Este resultado fue publicado recientemente en el

artıculo:

Alan D. Sobal: A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem.

The American Mathematical Monthly, vol. 118, 5, pp. 450-451, (2011).

Comenzamos con el siguiente lema preliminar.

Lema 3.19 Sean X e Y espacios vectoriales normados y sea A ∈ L(X, Y ). Entonces,

para todo x ∈ X y para todo r > 0 se tiene

supy∈B(x,r)

‖A(y)‖ ≥ ‖A‖ r.


Demostracion. Sean x ∈ X y r > 0. Entonces, para cada z ∈ B(θ, r) se tiene

‖A(z)‖ = 12‖A(z) + A(z)‖ = 1

2‖A(x+ z) − A(x− z)‖

≤ 12

‖A(x+ z)‖ + ‖A(x− z)‖

≤ sup

y∈B(x,r)

‖A(y)‖,

y tomando supremo sobre z ∈ B(θ, r), resulta

supz∈B(θ,r)

‖A(z)‖ ≤ supy∈B(x,r)

‖A(y)‖

Luego, basta ver que

supz∈B(θ,r)

‖A(z)‖ = r supz∈B(θ,r)

1

r‖A(z)‖ = r sup

z∈B(θ,1)

‖A(z)‖ = r ‖A‖.

2

A continuacion enunciamos nuevamente y demostramos, usando solo el Lema 3.19,

el Teorema del Acotamiento Uniforme (o Teorema de Banach-Steinhauss).

Teorema 3.12 Sean X e Y espacios vectoriales normados, con X Banach, y sea

Aii∈ I una familia, no necesariamente numerable, en L(X, Y ). Suponga que

supi∈ I‖Ai(x)‖ < ∞ ∀x ∈ X.

Entonces, existe M > 0 tal que

‖Ai(x)‖ ≤ M ‖x‖ ∀x ∈ X, ∀ i ∈ I.

Demostracion. Supongamos, por contradiccion, que supi∈ I‖Ai(x)‖ = +∞. Entonces

existe una sucesion Ann∈N ⊆ Aii∈ I , tal que ‖An‖ ≥ 4n ∀n ∈ N. Aplicando el

lema anterior a A = A1, x = θ y r = 3−1, se tiene que

supy∈B(θ,3−1)

‖A1(y)‖ ≥ 3−1 ‖A1‖,

y luego, por definicion del supremo, dado ε > 0, ∃x1 ∈ B(θ, 3−1) tal que

‖A1(x1)‖ + ε ≥ supy∈B(θ,3−1)

‖A1(y)‖ ≥ 3−1 ‖A1‖.

En particular, para ε = 3−2 ‖A1‖, se tiene

‖A1(x1)‖ ≥ 2

33−1 ‖A1‖ y ‖x1 − x0‖ < 3−1 ,

3.8. ACOTAMIENTO UNIFORME SIN LEMA DE BAIRE 99

con x0 = θ. A su vez, aplicando nuevamente el lema a A = A2, x = x1 y r = 3−2,

se tiene que

supy∈B(x1,3−2)

‖A2(y)‖ ≥ 3−2 ‖A2‖ ,

de donde, dado ε = 3−3 ‖A2‖, existe x2 ∈ B(x1, 3−2) tal que

‖A2(x2)‖ + 3−3 ‖A2‖ ≥ 3−2 ‖A2‖,

esto es

‖A2(x2)‖ ≥ 2

33−2 ‖A2‖ y ‖x2 − x1‖ < 3−2.

Siguiendo este razonamiento inductivo se construye una sucesion xnn∈N ⊆ X tal que

‖An(xn)‖ ≥ 2

33−n ‖An‖ y ‖xn − xn−1‖ < 3−n ∀n ∈ N.

Veamos ahora que xnn∈N es de Cauchy. En efecto, dados n, k ∈ N con n > k, se tiene

‖xn − xk‖ ≤ ‖xk+1 − xk‖ + ‖xk+2 − xk+1‖ + · · · + ‖xn − xn−1‖

≤ 3−(k+1) + 3−(k+2) + · · · + 3−(k+n−k)

= 3−k(3−1 + 3−2 + · · · + 3−(n−k)

)= 3−k

1

2

1 −

(1

3

)n−k ≤ 1

23−k

k→∞−→ 0.

Luego, como X es Banach, existe x ∈ X tal que ‖xn − x‖ n→∞−→ 0. Ademas, de la misma

estimacion anterior se deduce que para todo n, k ∈ N

‖xn+k − xn‖ ≤1

23−n,

de donde, dejando n ∈ N fijo y haciendo k →∞, resulta

‖x − xn‖ ≤1

23−n ∀n ∈ N.

Finalmente, se concluye que

‖An(x)‖ = ‖An(xn) − An(xn − x)‖

≥ ‖An(xn)‖ − ‖An‖ ‖xn − x‖

≥ 2

33−n ‖An‖ − ‖An‖

1

23−n

=1

63−n ‖An‖ ≥

1

6

(4

3

)nn→∞−→ ∞,


lo cual contradice el hecho que supi∈ I‖Ai(x)‖ < +∞. 2

3.9. Operadores con rango cerrado

El objetivo de esta seccion es caracterizar los operadores lineales que tienen rango ce-

rrado. Al respecto, recordemos primero que si X eY son espacios vectoriales normados

y A ∈ L(X, Y ), entonces el Teorema 3.2 establece que R(A) es cerrado si y solo si

R(A) = N(A′). A su vez, en el caso en que X eY son espacios de Hilbert, se tiene

que R(A) es cerrado si y solo si R(A) = N(A∗)⊥ (ver Teorema 3.3). A continuacion

se deducen otras condiciones necesarias y suficientes, mas faciles de verificar, para que

R(A) sea un subespacio cerrado de Y .

Comenzamos nuestro analisis suponiendo que A : D(A) ⊆ X → Y es un operador

lineal cerrado e inyectivo, es decir tal que N(A) = θX. Si Y es Banach y R(A) es

cerrado, entonces (R(A), ‖ · ‖Y ) es claramente Banach. Supongamos ademas que X

es Banach. Entonces, aplicando el T.I.A.M. (ver Teorema 3.7) se deduce que A−1 ∈L(R(A), X), lo cual significa que existe C > 0 tal que

‖A−1(y) ‖ ≤ C ‖ y ‖ ∀ y ∈ R(A),

o bien

‖x ‖ ≤ C ‖A(x) ‖ ∀x ∈ D(A). (3.20)

Hemos probado ası que (3.20) es una condicion necesaria para que R(A) sea cerrado.

Recıprocamente, supongamos que A : D(A) ⊆ X → Y es un operador lineal,

cerrado e inyectivo, y que existe C > 0 tal que (3.20) ocurre. A su vez, sea A(xn)n∈N

una sucesion en R(A), con xnn∈N ⊆ D(A), tal que A(xn)n→∞−→ y ∈ Y . Aplicando la

desigualdad (3.20) y la linealidad de A se sigue que

‖xn − xm‖ ≤ C ‖A(xn) − A(xm)‖ n,m→∞−→ 0,

lo cual prueba que xnn∈N es de Cauchy enX, y por lo tanto existe x ∈ X tal que

xnn→∞−→ x. Finalmente, como A es cerrado se deduce que x ∈ D(A) y A(x) = y ∈

R(A), gracias a lo cual se concluye que R(A) es cerrado.

Resumiendo, hemos demostrado ası el siguiente resultado de caracterizacion.

3.9. OPERADORES CON RANGO CERRADO 101

Teorema 3.13 Sean X eY espacios de Banach, y sea A : D(A) ⊆ X → Y un

operador lineal cerrado tal que N(A) = θX. Entonces R(A) es un subespacio cerrado

de Y si y solo si existe C > 0 tal que

‖x ‖ ≤ C ‖A(x)‖ ∀x ∈ D(A) .

Ahora extendemos el resultado de caracterizacion anterior al caso no inyectivo. Ası,

en lo que sigue consideramos X eY espacios de Banach, y A : D(A) ⊆ X → Y un

operador lineal cerrado tal que N(A) 6= θX. El analisis respectivo requiere de algunos

resultados y conceptos previos.

Lema 3.20 Sean X eY espacios vectoriales normados, y sea A : D(A) ⊆ X → Y un

operador lineal cerrado. Entonces N(A) es un subespacio cerrado de X.

Demostracion. Sea xnn∈N ⊆ N(A) tal que xnn→∞−→ x ∈ X. Es claro que

A(xn) = θYn→∞−→ θY ∈ Y .

Luego, como A es cerrado, se deduce que x ∈ D(A) y A(x) = θY , lo cual prueba que

x ∈ N(A). 2

El concepto de espacio cuociente es clave en lo que viene. Mas precisamente, sea X

un espacio vectorial normado, y sea M un subespacio cerrado de X. Entonces se define

la relacion de equivalencia.

∼: u, v ∈ X , u ∼ v si y solo si u− v ∈ M.

Ası, dado u ∈ X, su clase de equivalencia esta dada por:

[u] := v ∈ X : u− v ∈ M ,

y se dice que u es el representante (no unico) de [u]. Notar que [θ] = M . Ademas, es

claro que [u] = [v] si y solo si u ∼ v. Tambien, [u] ∩ [v] = φ si y solo si u 6∼ v. Al

conjunto de todas las clases de equivalencia se le llama espacio cuociente y se denota

X/M , es decir:

X/M :=

[u] : u ∈ X.


A su vez, al espacio X/M se le provee de una estructura de espacio vectorial con las

siguientes operaciones:

+ : X/M × X/M −→ X/M

([u], [v]) −→ [u] + [v] := [u+ v]

· : R × X/M −→ X/M

(λ, [u]) −→ λ · [u] := [λu]

Veamos que + y · estan bien definidos en el sentido que no dependen de los represen-

tantes de cada clase de equivalencia. En efecto, sean u, u, v, v ∈ X tales que [u] = [u]

y [v] = [v]. Se sigue que u − u ∈ M y v − v ∈ M, con lo cual (u − u) + (v − v) =

(u + v) − (u + v) ∈ M, de donde (u + v) ∼ (u + v), o bien [u + v] = [u + v]. A su

vez, si λ ∈ R y u, u ∈ X son tales que [u] = [u], entonces u − u ∈ M , y por lo tanto

λ (u− u) = λu− λ u ∈ M , lo cual prueba que [λu] = [λ u].

De acuerdo a lo anterior, es facil probar que (X/M,+, ·) constituye un espacio

vectorial real con elemento neutro dado por [θ] = M . Mas aun, con la aplicacion

‖ · ‖ : X/M → R dada por

‖ [u] ‖ := dist(u,M) = ınfv∈M‖u− v‖ ∀ [u] ∈ X/M , (3.21)

X/M es un espacio vectorial normado. En efecto veamos que (3.21) esta bien definida

y constituye una norma sobre X/M .

Sean u, u ∈ X tales que [u] = [u]. Se sigue que u− u ∈ M , y luego

dist(u,M) = ınfv∈M‖u− v‖ = ınf

v∈M‖ u− (v + u− u) ‖ = ınf

w∈M‖ u− w ‖ = dist(u,M),

lo cual prueba que no hay ambiguedad, con respecto al representante empleado, en la

definicion de ‖ [u] ‖. Veamos ahora que se satisfacen las propiedades de norma. En primer

lugar, es claro que ‖ [u] ‖ ≥ 0 ∀ [u] ∈ X/M ya que el conjunto ‖u − v‖ : v ∈ Mesta acotado inferiormente por 0. Ademas

‖ [u] ‖ = 0 ⇔ dist(u,M) = 0 ⇔ u ∈ M ⇔ [u] = [θ].

Ahora, dadas [u], [z] ∈ X/M se tiene

‖ [u] + [z] ‖ = ‖ [u+ z] ‖ = ınfv∈M‖u+ z − v ‖


≤ ‖u+ z − (v + w) ‖ ∀ v, w ∈ M

≤ ‖u− v ‖+ ‖ z − w ‖ ∀ v, w ∈ M,

de donde, tomando ınfimo sobre v ∈M y luego sobre w ∈ M , se deduce que

‖ [u] + [z] ‖ ≤ ınfv∈M

‖u− v ‖+ ınfw∈M

‖ z − w ‖ = ‖ [u] ‖+ ‖ [z] ‖,

lo cual prueba la desigualdad triangular. Por ultimo, sean λ ∈ K y [u] ∈ X/M . Si λ = 0

es claro que

‖λ[u] ‖ = ‖ [λu] ‖ = ‖ [θ] ‖ = 0 = λ · ‖ [u] ‖,

y si λ 6= 0 se tiene

‖λ[u] ‖ = ‖ [λu] ‖ = ınfv∈M‖λu− v ‖ = ınf

v∈M‖λ(u− v/λ) ‖

= ınfv∈M|λ| ‖u− v/λ ‖ = |λ| ınf

w∈M‖u− w ‖ = |λ| ‖ [u] ‖.

Hemos probado ası que (X/M, ‖ [·] ‖) es un espacio vectorial normado. Mas aun, se tiene

el siguiente resultado.

Teorema 3.14 Sea X un espacio de Banach y sea M un subespacio cerrado de X.

Entonces (X/M, ‖ [·] ‖) tambien es Banach.

Habiendo establecido lo anterior, ahora estamos en condiciones de volver a nuestro

interes original de caracterizar los operadores, no necesariamente inyectivos, con rango

cerrado. Para este efecto, recordemos que tenemos dos espacios de Banach X e Y y

un operador A : D(A) ⊆ X → Y lineal y cerrado. Ademas, puesto que N(A) es un

subespacio cerrado de X (ver Lema 3.20), se tiene por Teorema 3.14 que X/N(A) es

Banach. Luego, definimos el operador

A : D(A) ⊆ X/N(A)→ Y

por

A([u]) = A(u) ∀ [u] ∈ D(A) ,

donde D(A) : = [u] : u ∈ D(A). Notar que si [u] = [z] se tiene que A(u) = A(z)

ya que u − z ∈ N(A), lo cual muestra que A esta bien definido. Observemos tambien

que D(A) es un subespacio de X/N(A) (ya que D(A) es un subespacio de X) y que

por lo tanto A es lineal (ya que A tambien lo es). A su vez, es claro que R(A) = R(A).


Por otro lado, veamos que A es inyectivo y cerrado. En efecto, sea [u] ∈ D(A) tal

que A([u]) = θY . Se sigue que θY = A(u), lo cual indica que u ∈ N(A), de donde

[u] = [θ], y luego N(A) = [θ]. Para ver que A es cerrado consideremos una sucesion

[un]n∈N ⊆ D(A) tal que [un]n→∞−→ [u] ∈ X/M y A([un]) = A(un)

n→∞−→ y ∈ Y . Se

sigue que para cada ε > 0 existe n ∈ N tal que

‖ [un − u] ‖ : = dist (un − u,N(A)) < ε ∀n ≥ N,

lo cual implica que para cada n ≥ N existe zn ∈ N(A) tal que ‖un − u− zn ‖ < ε, de

donde se deduce que (un− zn)n→∞−→ u. A su vez, como A(un− zn) = A(un)

n→∞−→ y ∈ Y

y A es cerrado, se concluye que u ∈ D(A) y A(u) = y, esto es [u] ∈ D(A) y A([u]) = y.

Resumiendo, tenemos X/N(A) e Y espacios de Banach y A : X/N(A)→ Y un operador

lineal cerrado con N(A) = [θ] y R(A) = R(A). En consecuencia, aplicando el Teorema

3.13 a la presente situacion se deduce que R(A) es un subespacio cerrado de Y si y solo

si existe C > 0 tal que

‖ [u] ‖ ≤ C ‖ A([u]) ‖ ∀ [u] ∈ D(A),

esto es

dist (u,N(A)) ≤ C ‖A(u) ‖ ∀u ∈ D(A).

Hemos probado ası el siguiente resultado.

Teorema 3.15 Sean X eY Banach, y sea A : D(A) ⊆ X → Y un operador lineal

cerrado. Entonces R(A) es cerrado en Y si y solo si existe C > 0 tal que:

dist (u,N(A)) ≤ C ‖A(u) ‖ ∀u ∈ D(A). (3.22)

Notar que si N(A) = θ entonces dist (u,N(A)) = ‖u ‖, y en tal caso (3.22) se

convierte en la caracterizacion particular dada por el Teorema 3.13.

Dentro del contexto de operadores con rango cerrado es importante establecer tam-

bien que esta propiedad se traspasa al adjunto de un operador. Mas precisamente, se

tiene el siguiente resultado.

Teorema 3.16 Sean X e Y espacios de Banach y sea A ∈ L(X, Y ) tal que R(A) es

cerrado en Y . Entonces R(A′) = N(A) y por lo tanto R(A′) es un subespacio cerrado

de X ′.


Demostracion. Demostremos por doble inclusion. En primer lugar, dado F ∈ R(A′),

existe G ∈ Y ′ tal que F = A′(G). Luego, para cada x ∈ N(A) se tiene que

F (x) = A′(G)(x) = G(A(x)) = G(θ) = 0,

lo cual prueba que F ∈ N(A). Recıprocamente, sea F ∈ N(A), es decir F ∈ X ′ y

F (x) = 0 ∀x ∈ N(A). Queremos probar que existe G ∈ Y ′ tal que F = A′(G). Para

este efecto comenzamos primero definiendo el funcional g : R(A)→ R por

g(y) = F (x) ∀ y ∈ R(A),

donde x ∈ X es tal que A(x) = y. Dada otra pre-imagen por A de y, esto es x ∈ X

tal que A(x) = y, se sigue que x − x ∈ N(A) y por lo tanto F (x) = F (x), lo cual

muestra que g esta bien definido. Veamos a continuacion que g es lineal. En efecto, dados

α, α ∈ R, y, y ∈ R(A) y x, x ∈ X tales que y = A(x) y y = A(x), la linealidad de

A establece que α y + α y = A(αx+ α x). Se tiene ası que

g(α y + α y) = F (αx+ α x) = αF (x) + α F (x) = α g(y) + α g(y).

Por otro lado, dado y = A(x) ∈ R(A) y z ∈ N(A), se obtiene que

|g(y)| = |F (x)| = |F (x− z)| ≤ ‖F ‖ ‖ x− z ‖,

de donde

|g(y)| ≤ ‖F ‖ ınfz∈N(A)

‖x− z ‖ = ‖F ‖ dist(x,N(A)),

lo cual, usando que R(A) es cerrado y el Teorema 3.15, implica que

|g(y)| ≤ C ‖F ‖ ‖A(x) ‖ = C‖F ‖ ‖ y ‖ ∀ y ∈ R(A).

Ası, g ∈ R(A)′, y por lo tanto, aplicando el Teorema de Hahn-Banach (version analitica)

se deduce que existe G ∈ Y ′ tal que ‖G ‖Y ′ = ‖ g ‖R(A)′ y G|R(A) = g. Esto significa

que G(y) = g(y) ∀ y ∈ R(A), o bien para cada x ∈ X:

F (x) = g(A(x)) = G(A(x)) = A′(G)(x) ,

lo cual prueba que F = A′(G). 2

La version Hilbert del teorema anterior esta dada como sigue.


Teorema 3.17 Sean X e Y espacios de Hilbert y sea A ∈ L(X, Y ) tal que R(A) es

cerrado en Y . Entonces R(A∗) = N(A)⊥ y por lo tanto R(A)∗ es un subespacio cerrado

de X.

Demostracion. Hacemos uso del Teorema 3.12, de la identidad A∗ = RX A′ R−1Y ,

donde RX y RY son las aplicaciones del Riesz respectivas, y del Lema 3.8, el cual

establece que RX(S) = S⊥ ∀S ⊆ X. En efecto, puesto que R(A) es cerrado se tiene

que R(A′) = N(A). Luego x ∈ R(A∗) si y solo si:

∃ y ∈ Y tal que x = RX(A′(R−1Y (y)))

⇔ ∃ y ∈ Y tal que R−1X (x) = A′(R−1

Y (y))

⇔ ∃G := R−1Y (y) ∈ Y ′ tal que R−1

X (x) = A′(G)

⇔ R−1X (x) ∈ R(A′) = N(A)

⇔ x ∈ RX(N(A)) = N(A)⊥.

2

3.10. Un problema de teorıa de aproximaciones

En esta seccion aplicamos algunos de los resultados anteriores de este capıtulo al pro-

blema de teorıa de aproximaciones dado por la caracterizacion de las funciones spline

de interpolacion. Mas precisamente, sean Ω :=]a, b[, n ∈ N, y t1, t2, · · · , tn ⊆ Ω

tal que a < t1 < t2 < · · · < tn < b. Entonces, dado m ∈ N, se consideran los espacios

reales:

X = Hm(Ω), Y = L2(Ω), Z = Rn,

y se definen los operadores T : X → Y y A : X → Z, respectivamente, por

T (u) = u(m) ∀u ∈ X, (3.23)

y

A(u) =

u(t1)

u(t2)...

u(tn)

∀u ∈ X. (3.24)

3.10. UN PROBLEMA DE TEORIA DE APROXIMACIONES 107

Es facil ver que T y A son lineales y acotados. En particular, para el acotamiento de

T se tiene:

‖T (u)‖L2(Ω) = ‖u(m)‖L2(Ω) ≤

m∑j=0

‖u(j)‖2L2(Ω)

1/2

= ‖u‖Hm(Ω) ∀u ∈ X.

A su vez, aplicando el Teorema de Trazas en abiertos acotados de R, se deduce que:

|u(tj)| ≤ c ‖u‖H1( ]a,tj [ ) ≤ c ‖u‖Hm(Ω) ∀u ∈ X, ∀ j ∈ 1, · · · , n,

lo cual muestra que cada uno de los operadores componentes de A, y por lo tanto A, es

acotado. Por otro lado, se puede probar tambien que T y A son sobreyectivos, es decir

R(T ) = Y y R(A) = Z. Por ejemplo, para la sobreyectividad de A observamos primero,

de acuerdo al T.R.R., que existe un conjunto u1, u2, · · · , un ⊆ X = Hm(Ω) tal que

u(tj) = 〈u, uj〉Hm(Ω) ∀u ∈ X , ∀ j ∈ 1, · · · , n , (3.25)

esto es:

A(u) =n∑j=1

〈u, uj〉Hm(Ω) ej ∀u ∈ X,

donde e1, e2 · · · , en es la base canonica de Z = Rn. A continuacion notamos que

u1, u2 · · · , un es linealmente independiente. En efecto, sean α1, α2 · · · , αn ∈ R tales

quen∑i=1

αi ui = θ ∈ Hm(Ω). Para cada j ∈ 1, 2, · · · , n podemos construir una funcion

ϕj ∈ C∞0 (Ω) ⊆ Hm(Ω) tal que ϕj(tj) = 1 y sopϕj = B(tj, rj) ⊆ ]tj−1, tj+1[, donde

denotamos t0 = a y tn+1 = b. De este modo se obtiene para cada j ∈ 1, 2, · · · , n :

0 = 〈ϕj,n∑i=1

αi, ui〉Hm(Ω) =n∑i=1

αi 〈ϕj, ui〉Hm(Ω) =n∑i=1

αi ϕj(ti) = αj ,

lo cual confirma dicha independencia lineal. En consecuencia, dado que se demuestra

facilmente que:

A∗(z) =n∑j=1

〈ej, z〉Rn uj =n∑j=1

zj uj ∀ z ∈ Z = Rn, (3.26)

se concluye que A∗ es inyectivo y por lo tanto R(A) = N(A∗)⊥ = Rn.


Habiendo establecido lo anterior, definimos ahora la funcion spline de inter-

polacion con respecto a T y A como la solucion, si es que existe, del problema

siguiente. Dado z ∈ Rn, hallar u ∈ X tal que:

‖T (u)‖ = mın‖T (v)‖ : v ∈ X, A(v) = z

, (3.27)

o bien, equivalentemente, hallar u ∈ X tal que:∫ b

a

u(m)(t)2 dt

= mın

∫ b

a

v(m)(t)2 dt : v ∈ Hm(Ω) , v(ti) = zi ∀ i ∈ 1, 2, · · · , n.

(3.28)

En lo que sigue analizamos en detalle el problema (3.27). En particular, deduci-

mos condiciones necesarias y suficientes para la existencia y unicidad de tal u ∈ X,

y obtenemos tambien una caracterizacion de esta solucion, gracias a la cual ella puede

calcularse explıcitamente.

Comencemos nuestro analisis observando, gracias a la sobreyectividad de A, que

existe v0 ∈ X tal que A(v0) = z, y por lo tanto

A−1(z) :=v ∈ X : A(v) = z

= v0+N(A).

Se sigue que A−1(z) es un subespacio cerrado de X (porque N(A) lo es) , y ademas

es facil ver que T (A−1(z)) es convexo. De este modo, el problema (3.27) puede refor-

mularse, equivalentemente, como:

mınv∈A−1(z)

‖T (v)‖ = mıny∈T (A−1(z))

‖y‖, (3.29)

donde:

T (A−1(z)) = T (v0)+ T (N(A)).

En virtud de lo anterior, podemos establecer el siguiente resultado preliminar.

Lema 3.21 El problema (3.27) (ver tambien (3.29)) tiene solucion para todo z ∈ Z si

y solo si T (N(A)) es cerrado en Y .

Demostracion.

(⇐) Supongamos que T (N(A)) es cerrado. Se sigue que T (A−1(z)) tambien lo es

∀ z ∈ Z, y dado que ya observamos que este conjunto es convexo, el resultado de mejor


aproximacion respectivo (ver Teorema 2.2), implica que existe un unico y ∈ T (A−1(z))tal que

‖y‖ = mıny∈T (A−1(z))

‖y‖.

Luego, todo elemento v ∈ A−1(z) tal que T (v) = y constituye una solucion de (3.27).

(⇒) Supongamos ahora que el problema (3.27) tiene solucion para cada z ∈ Z, y asu-

mamos, por contradiccion, que T (N(A)) no es cerrado. Entonces, existe y0 ∈ T (N(A))

tal que y0 6∈ T (N(A)), lo cual implica que el problema

mıny∈T (N(A))

‖y − y0‖ = mıny∈T (N(A))

‖y + y0‖ (3.30)

no tiene solucion. Ahora, como T es sobreyectivo, existe u0 ∈ X tal que T (u0) = y0. Se

sigue que y0 ∈ T (A−1z0), donde z0 = A(u0) ∈ Z. Luego, en virtud de la hipotesis de

la presente implicacion, existe u0 ∈ A−1(z0) tal que

‖T (u0)‖ = mınv∈A−1(z0)

‖T (v)‖ ,

o bien, denotando y0 := T (u0), se tiene

‖y0‖ = mıny∈T (A−1(z0))

‖y‖ = mıny∈T (N(A))

‖y + y0‖ , (3.31)

donde hemos usado que

T (A−1(z0)) = T (u0)+ T (N(A)) = y0+ T (N(A)) .

Puesto que y0 − y0 = T (u0 − u0) ∈ T (N(A)), ya que A(u0) = A(u0) = z0, se deduce

que el mınimo en (3.31) se alcanza en y = y0 − y0, lo cual contradice la no existencia

de solucion del problema (3.30). 2

Por otro lado, con el objeto de establecer otra condicion necesaria y suficiente para

que T (N(A)) sea cerrado, necesitamos introducir el operador lineal y acotado T :=

T |N(T )⊥ : N(T )⊥ → Y . Es sabido, gracias a la sobreyectividad de T , que T es biyectivo,

y por lo tanto, el T.I.A. asegura que T−1 ∈ L(Y,N(T )⊥). Ademas, se tiene el siguiente

resultado tecnico.

Lema 3.22

T (N(A)) = T ((N(A) + N(T )) ∩ N(T )⊥).


Demostracion. Sea y = T (v) con v ∈ N(A), y sean P y P⊥ los proyectores ortogonales

de X sobre N(T ) y N(T )⊥, respectivamente. Se sigue que v = P (v) + P⊥(v), y luego

y = T (v) = T (P⊥(v)) = T (P⊥(v)), donde P⊥(v) = v − P (v) ∈ (N(A) + N(T )) ∩N(T )⊥. Recıprocamente, sea y = T (v) con v ∈ (N(A) + N(T )) ∩ N(T )⊥, y sean

w ∈ N(A) y z ∈ N(T ) tal que v = w + z. Entonces se obtiene:

y = T (v) = T (w + z) = T (w) ∈ T (N(A)).

2

Ahora podemos probar el siguiente resultado de caracterizacion.

Lema 3.23 El espacio T (N(A)) es cerrado si y solo si N(A) + N(T ) es cerrado.

Demostracion.

(⇒) Supongamos que T (N(A)) es cerrado, y sean wnn∈N ⊆ N(A) y znn∈N ⊆N(T ) tales que vn := wn + zn

n→∞→ v ∈ X. Por la continuidad de T se tiene que

T (vn) = T (wn) → T (v) ∈ Y , y dado que T (wn)n∈N ⊆ T (N(A)) se deduce que

T (v) ∈ T (N(A)). Luego, existe w ∈ N(A) tal que T (v) = T (w), de donde resulta

v = w + (v − w) ∈ N(A) + N(T ).

(⇐) Supongamos ahora que N(A)+ N(T ) es cerrado. Se sigue claramente que el espacio

(N(A) + N(T )) ∩ N(T )⊥ tambien es cerrado, y por lo tanto la misma propiedad vale

para

T (N(A)) = (T−1)−1(

(N(A) + N(T )) ∩ N(T )⊥).

2

El siguiente teorema es una consecuencia inmediata de los lemas anteriores.

Teorema 3.18 Una condicion necesaria y suficiente para que exista al menos una

funcion spline de interpolacion con respecto a los operadores T y A, para cada z ∈ Z,

es que N(A) + N(T ) sea cerrado en X.

Mas aun, el siguiente teorema caracteriza la unicidad de dicha funcion spline.

Teorema 3.19 La funcion spline de interpolacion con respecto a los operadores T y A,

cuya existencia para cada z ∈ Z esta garantizada si N(A) + N(T ) es cerrado en X, es

unica si y solo si N(A) ∩ N(T ) = θ.


Demostracion.

(⇒) Supongamos la unicidad de la funcion spline de interpolacion para cada z ∈ Z, y

sea v ∈ N(A) ∩ N(T ), es decir v ∈ X, A(v) = θ ∈ Z, y T (v) = θ ∈ Y . Se sigue que:

mınv∈A−1(θ)

‖T (v)‖ = ‖T (v)‖ = 0,

y por la unicidad de solucion de este problema, necesariamente v = θ.

(⇐) Supongamos que N(A)∩ N(T ) = θ y, dado z ∈ Z, sean v1, v2 ∈ A−1(z) tales

que T (v1) = T (v2) = y, donde

‖y‖ = mıny∈T (A−1(z))

‖y‖.

Entonces, es claro que v1 − v2 ∈ N(A) ∩ N(T ), y por lo tanto v1 = v2. 2

Con el objeto de confirmar que los operadores T y A definidos en (3.23) y (3.24)

satisfacen las hipotesis de los Teoremas 3.18 y 3.19, necesitamos establecer dos resultados

preliminares. En primer lugar recordamos que la suma de dos subespacios cerrados de

un Banach es cerrado si uno de los subespacios es de dimension finita. Luego, tenemos

el siguiente lema.

Lema 3.24 Si alguno de los espacios N(A) o N(T ) tiene dimension o bien codimension

finita, entonces N(A) + N(T ) es cerrado de X.

Demostracion. Basta razonar con uno de estos espacios. Si N(T ) tiene dimension finita

entonces claramente N(A) + N(T ) es cerrado. Ahora, supongamos que X/N(T ) es de

dimension finita. Puesto que R(T ) = Y , se tiene que el operador lineal T : X/N(T )→Y definido por T ([x]) = T (x) ∀ [x] ∈ X/N(T ) es un isomorfismo, y por lo tanto Y

tambien es de dimension finita. Se sigue que T (N(A)) es cerrado, y aplicando Lema 3.23

se deduce que N(A) + N(T ) es cerrado. 2

En el caso particular de nuestros operadores T y A (cf. (3.23), (3.24)) tenemos que

R(T ) = Y = L2(Ω), R(A) = Z = Rn, y N(T ) = Pm−1(Ω), el espacio de polinomios de

grado ≤ m − 1 definidos sobre Ω. Notar ademas que X/N(A) es isomorfo a Z = Rn.

Ası, ya sea utilizando que dim N(T ) = m o bien que dim X/N(A) = n, se concluye por

el Lema 3.24 que N(A) + N(T ) es cerrado de X. Por otro lado, sea v ∈ N(A)∩ N(T ).

Se sigue que

v ∈ Pm−1 (Ω) y v(ti) = 0 ∀ i ∈ 1, 2, · · · n.


Luego, en virtud del Teorema Fundamental del Algebra, se deduce que una condicion

necesaria y suficiente para que v se anule en Ω, y por lo tanto concluyamos que N(A)∩N(T ) = θ, es que n ≥ m.

En lo que sigue suponemos entonces que n ≥ m, lo cual, de acuerdo a los Teo-

remas 3.18 y 3.19, garantiza que para cada z ∈ Z existe una unica funcion spline de

interpolacion u con respecto a T y A. El objetivo siguiente es caracterizar y calcular

explıcitamente u.

Dado z ∈ Z = Rn, sean u ∈ A−1(z) y y = T (u) ∈ T (A−1(z)) tales que:

‖T (u)‖ = mınv∈A−1(z)

‖T (v)‖ = mıny∈T (A−1(z))

‖y‖ = ‖y‖.

Puesto que T (A−1(z)) es cerrado y convexo, se puede demostrar que la proyeccion de

θ sobre este conjunto, vale decir y, esta caracterizada por la desigualdad:

〈 θ − y , y − y 〉Y ≤ 0 ∀ y ∈ T (A−1(z)),

donde 〈·, ·〉Y denota el producto escalar de Y = L2(Ω). Mas aun, es facil ver que la

relacion anterior se re-escribe como:

〈T (u), T (v − u) 〉Y ≥ 0 ∀ v ∈ A−1(z),

o bien, notando que A(v) = A(u) = z,

〈T (u), T (w) 〉Y ≥ 0 ∀w ∈ N(A),

lo cual, usando que N(A) es subespacio, se reduce, equivalentemente, a

〈T (u), T (w) 〉Y = 0 ∀w ∈ N(A). (3.32)

Hemos demostrado ası que, dado z ∈ Z = Rn, u ∈ A−1(z) es la funcion spline de

interpolacion con respecto a los operadores T y A si y solo si ocurre (3.32), esto es:

〈T ∗(T (u)), w 〉X = 0 ∀w ∈ N(A),

lo cual es equivalente a requerir que:

T ∗(T (u)) ∈ N(A)⊥ = R(A∗).


De este modo, utilizando la expresion para A∗ dada en (3.26) se concluye que existe

λ := (λ1, λ2 · · · , λn)t ∈ Z = Rn tal que:

T ∗(T (u)) = A∗(λ) =n∑j=1

λj uj.

Ahora, como R(T ) = Y = L2(Ω) es obviamente cerrado, se tiene que R(T ∗) tambien lo

es, de donde R(T ∗) = N(T )⊥, y por lo tanto

T ∗(T (u)) =n∑j=1

λj uj ∈ N(T )⊥. (3.33)

Ası, dado que N(T ) = Pm−1(Ω), se tiene que

〈T ∗(T (u)), p 〉X = 0 ∀ p ∈ Pm−1(Ω). (3.34)

Por otro lado, para cada v ∈ X = Hm(Ω) podemos utilizar el desarrollo en serie de

Taylor con resto integral y escribir:

v(t) =m−1∑j=0

v(j) (a)(t− a)j

j!+

∫ b

a

(t− s)m−1+ v(m)(s)

(m− 1)!ds ∀ t ∈ [a, b],

donde s+ denota la parte no negativa de s ∈ R. Notemos que la expresion dada por la

sumatoria en la ecuacion anterior constituye un elemento de Pm−1(Ω), y definamos:

v+ (t) : =

∫ b

a

(t− s)m−1+ v(m)(s)

(m− 1)!ds ∀ t ∈ [a, b].

Luego, utilizando (3.33), (3.34), y (3.25), se deduce que:

〈T (u), T (v) 〉Y = 〈T ∗(T (u)), v 〉X = 〈T ∗(T (u)), v+ 〉X

=n∑j=1

λj 〈uj, v+ 〉X =n∑j=1

λj 〈 v+, uj 〉X =n∑j=1

λj v+ (tj)

=n∑j=1

λj

∫ b

a

(tj − s)m−1+ v(m)(s)

(m− 1)!ds =

∫ b

a

n∑j=1

λj(tj − s)m−1

+

(m− 1)!

v(m) (s) ds

=⟨ n∑

j=1

λj(tj − ·)m−1+

(m− 1)!, T (v)

⟩Y

∀ v ∈ X,

lo cual implica, dado que R(T ) = Y , que:

T (u)(s) : = u(m)(s) =n∑j=1

λj (tj − s)m−1+

(m− 1)!∀ s ∈ [a, b].

La identidad anterior permite demostrar el siguiente resultado de caracterizacion de u.


Teorema 3.20 La funcion spline de interpolacion u verifica las siguientes propiedades:

i) u|[a , t1] ∈ Pm−1([a, t1]) y u|[tn , b] ∈ Pm−1([tn , b]).

ii) u|[ti−1 , ti] ∈ P2m−1([ti−1 , ti]) ∀ i ∈ 2, 3, · · · , n.

iii) u ∈ C2m−2(Ω).

Demostracion. Notamos primero, de acuerdo a (3.33) y (3.34), que:

0 = 〈T ∗(T (u)), p 〉X =n∑j=1

λj p(tj) ∀ p ∈ Pm−1(Ω). (3.35)

Ahora, dado s ∈ [a, t1], se tiene:

u(m)(s) =n∑j=1

λj(tj − s)m−1+

(m− 1)!=

n∑j=1

λj(tj − s)m−1

(m− 1)!=

n∑j=1

λj p(tj),

con

p(t) : =(t− s)m−1

(m− 1)!∈ Pm−1(Ω),

y luego, de acuerdo a (3.35), u(m)(s) = 0, lo cual muestra que u|[a,t1] ∈ Pm−1([a, t1]). A

su vez, dado s ∈ [tn, b], se tiene:

u(m)(s) =n∑j=1

λj(tj − s)m−1+

(m− 1)!= 0 ,

ya que tj ≤ s ∀ j ∈ 1, 2, · · · , n, y luego u|[tn,b] ∈ Pm−1([tn, b]).

Por otro lado, para s ∈ [ti−1, ti], con i ∈ 2, 3, · · · , n, se tiene:

u(m)(s) =n∑j=1

λj(tj − s)m−1+

(m− 1)!=

n∑j=i

λj(tj − s)m−1

(m− 1)!∈ Pm−1(Ω),

y luego u|[ti−1,ti] ∈ P2m−1([ti−1, ti]).

En lo que sigue suponemos primero que m ≥ 2. Entonces, derivando u(m), m − 2

veces, se obtiene:

u(2m−2) (s) = 0 ∀ s ∈ [a, t1],

u(2m−2) (s) = (−1)m−2

n∑j=i

λj(tj − s) ∀ s ∈ [ti−1, ti], ∀ i ∈ 2, 3, · · · , n,

u(2m−2) (s) = (−1)m−2

n∑j=i+1

λj(tj − s) ∀ s ∈ [ti, ti+1], ∀ i ∈ 1, 2, · · · , n− 1,

u(2m−2) (s) = 0 ∀ s ∈ [tn, b].

3.11. EJERCICIOS. 115

A partir de las identidades anteriores, y usando en la segunda ecuacion la ortogonalidad

dada por (3.35), se deducen los siguientes lımites:

lıms∈ t−1

u(2m−2)(s) = 0,

lıms→ t+1

u(2m−2)(s) = (−1)m−2

n∑j=2

λj(tj − t1) = (−1)m−2

n∑j=1

λj(tj − t1) = 0,

lıms→ t−i

u(2m−2)(s) = (−1)m−2

n∑j=i

λj(tj − ti) = (−1)m−2

n∑j=i+1

λj(tj − ti) ∀ i ∈ 2, 3, · · · , n− 1,

lıms→ t+i

u(2m−2)(s) = (−1)m−2

n∑j=i+1

λj(tj − ti) ∀ i ∈ 2, 3, · · · , n− 1,

lıms→ t−n

u(2m−2)(s) = (−1)m−2

n∑j=n

λj(tj − tn) = 0,

y

lıms→ t+n

u(2m−2)(s) = 0,

todos los cuales implican que u(2m−2) es continua en ti ∀ i ∈ 1, 2, · · · , n, y por lo

tanto u ∈ C2m−2(Ω). Sin embargo, derivando una vez mas se obtiene:

u(2m−1)(s) = (−1)m−1

n∑j=i

λj ∀ s ∈ [ti−1, ti], ∀ i ∈ 2, 3, · · · , n,

y

u(2m−1)(s) = (−1)m−1

n∑j=i+1

λj ∀ s ∈ [ti, ti+1], ∀ i ∈ 1, 2, · · · , n− 1,

de donde:

lıms→ t−i

u(2m−1)(s)− lıms→ t+i

u(2m−1)(s) = (−1)m λi ∀ i ∈ 2, 3, · · · , n− 1,

lo cual prueba que u(2m−1) no es continua.

Por ultimo, para m = 1 se obtiene 2m− 2 = 0, y en tal caso la continuidad de u en

Ω se sigue del hecho que u ∈ X = H1(Ω) y del Teorema de Inclusion de Sobolev que

establece, precisamente para dominios Ω ⊆ R, que H1(Ω) ⊆ C (Ω). 2

3.11. Ejercicios.

I 3.1 Sean X, Y , Z espacios vectoriales normados y sean A ∈ L(X,Y ), B ∈ L(Z,X).

Demuestre que (AB)′ = B′A′. Suponga que A es invertible y demuestre que A′ tambien lo


es, con (A′)−1 = (A−1)′.

I 3.2 (Inverso a izquierda). Sean E, F espacios de Banach y sea T ∈ L(E,F ) tal que

N(T ) = 0. Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) Existe S ∈ L(F,E) tal que S T = I : E → E.

b) R(T ) es cerrado y posee un suplemento topologico en F .

I 3.3 Sea X el espacio de las funciones continuas sobre [0, 1] provisto de la norma uniforme.

Dados los polinomios pj ∈ X, j ∈ 0, 1, ..., n, con pj(t) = tj ∀ t ∈ [0, 1], se define el operador

A : X → X como

A(u) :=n∑j=0

∫ 1

0u(t) pj(t) dt

pj ∀u ∈ X .

Demuestre que A ∈ L(X,X) y encuentre explıcitamente el operador adjunto A′ : X ′ → X ′.

Ind.: Para todo j ∈ 0, 1, ..., n defina Fj : X → R por Fj(u) :=∫ 1

0u(t) pj(t) dt ∀u ∈ X, y

observe que Fj ∈ X ′.

I 3.4 Considere dos espacios vectoriales normados X e Y .

a) Sea A0 ∈ L(X, Y ) tal que A−10 ∈ L(Y,X). Demuestre que existe un operador

T0 ∈ L(L(X, Y ),L(Y,X)) tal que T0A0 = A−10 y ||T0|| = ||A−1

0 ||/||A0||.

b) Pruebe que si Y es Banach y T ∈ L(L(X, Y ),L(Y ′, X ′)) es un operador biyectivo,

entonces T −1 ∈ L(L(Y ′, X ′),L(X, Y )).

I 3.5 Sean X,Y espacios vectoriales normados y considere A ∈ L(X,Y ).

a) Demuestre que R(A)0 = N(A′) y que

N(A′) = 0 si y solo si R(A) = Y.

b) Pruebe que si N(A) = 0 y R(A) = Y , entonces (A′)−1 = (A−1)′.

I 3.6 Sea M un subespacio cerrado de un espacio vectorial normado X. Pruebe que el ani-

quilador de (XM )′ coincide con M .

I 3.7 Sean X,Y espacios vectoriales normados y sea T : X ′ → Y ′ un operador lineal cerrado

y biyectivo. Demuestre que T−1 ∈ L(Y ′, X ′).


I 3.8 Sean X,Y espacios de Banach y A : X → Y un operador lineal. Pruebe que si GA ∈X ′ ∀ G ∈ Y ′, entonces A ∈ L(X,Y ).

Ind.: Utilizar el Teorema de Banach-steinhaus.

I 3.9 Sea X un espacio de Banach y sea A ∈ L(X,X), con ||A|| < 1. Demuestre que (I +A)

es invertible y que

(I +A)−1 =∞∑n=0

(−1)nAn,

donde la serie es absolutamente convergente en L(X,X). Muestre tambien que

||(I +A)−1|| ≤ 11− ||A||

.

I 3.10 Sean X,Y espacios de Banach y sea T : D(T ) ⊆ X → Y un operador lineal. El grafo

de T se denota por GT y se define como

GT := (x, y) ∈ X × Y : x ∈ D(T ), y = Tx

Suponga que D(T ) y GT son subespacios cerrados de X y X×Y , respectivamente. Demuestre

que T es acotado sobre D(T ).

I 3.11 Sean X,Y espacios vectoriales normados y T : D(T ) ⊆ X → Y un operador lineal.

Un operador lineal T : D(T ) ⊆ X → Y se dice una extension de T si D(T ) ⊆ D(T ) y

Tx = T x ∀x ∈ D(T ).

Definicion. Se dice que T : D(T ) ⊆ X → Y es la clausura de T , si:

i) T es un operador lineal cerrado

ii) T es una extension de T

iii) Si T : D(T ) ⊆ X → Y es cualquier operador con las propiedades i) y ii), entonces T es

una extension de T .

Sean X,Y espacios de Banach, y sea T : D(T ) ⊆ X → Y un operador lineal. Pruebe que T

tiene una clausura T sı y solo si la siguiente condicion se satisface

xnn∈N ⊆ D(T ), xn → 0 , Txn → y ⇒ y = 0.

I 3.12 Sea X el espacio de las funciones continuas sobre [0, π] provisto de la norma uniforme.

Dadas las funciones trigonometricas pj , qj ∈ X, j ∈ 0, 1, ..., n, con pj(t) = sen (jt) y qj(t) =

cos (jt), ∀ t ∈ [0, π], se define el operador A : X → X como

A(u) :=n∑j=0

∫ π

0u(t) pj(t) dt

pj +

n∑j=0

∫ π

0u(t) qj(t) dt

qj ∀u ∈ X .

Demuestre que A ∈ L(X,X) y encuentre explıcitamente el operador adjunto A′ : X ′ → X ′.


I 3.13 Sean X,Y espacios de Hilbert y considere A ∈ L(X,Y ). Se define el operador adjunto

de Hilbert de A, y se denota A∗, como A∗ : Y → X, donde para cada y ∈ Y , A∗y ∈ X es

el unico elemento (dado por Teorema de Representacion de Riesz) tal que 〈Ax, y〉Y =

〈x,A∗y〉X ∀x ∈ X .

a) Pruebe que A∗ ∈ L(Y,X), ||A∗|| = ||A|| y que (A∗)∗ = A.

b) Demuestre que A∗ es inyectivo si y solo si R(A) es denso en Y .

c) Suponga que existe β > 0 tal que ınfz ∈N(A)

||x− z|| ≤ β ||Ax|| ∀x ∈ X , y demuestre

que R(A) = N(A∗)⊥.

d) Pruebe que A∗ = RX A′R−1

Y , donde RX : X ′ → X y RY : Y ′ → Y denotan las

aplicaciones de Riesz. Concluya ademas que oN(A′) = N(A∗)⊥.

I 3.14 Sean U un espacio vectorial normado y V un espacio de Banach. Ademas, sea P :

U ′ → L(U, V ) un operador lineal cerrado tal que N(P ) es el funcional nulo sobre U y R(P ) =

L(U, V ). Demuestre que existe una constante α > 0 tal que

α ||F ||U ′ ≤ ||P (F )||L(U,V ) ∀F ∈ D(P ) .

I 3.15 Sean X,Y espacios de Banach y A : X → Y un operador lineal. Pruebe que si

GA ∈ X ′ ∀ G ∈ Y ′, entonces A ∈ L(X,Y ).

Ind.: Hacer una demostracion alternativa utilizando el Teorema del Grafo Cerrado en

vez del Teorema de Banach-Steinhaus.

I 3.16

a) Sea (H, 〈·, ·〉) un espacio de Hilbert. Dados n ∈ N, p1, p2, . . . , pn ⊆ H y un conjunto

de funcionales F1, F2, . . . , Fn ⊆ H ′, se define el operador A : H → H como

A(u) :=n∑j=1

Fj(u) pj ∀u ∈ H .

Demuestre que A ∈ L(H,H) y encuentre explıcitamente el operador A∗ : H → H.

b) Sea (H, 〈·, ·〉) el espacio de Hilbert L2(0, 1) provisto del producto escalar

〈u, v〉 :=∫ 1

0u(t) v(t) dt ∀u , v ∈ H .


Dados los polinomios pj ∈ H, j ∈ 1, ..., n, con pj(t) = tj ∀ t ∈ (0, 1), se define el

operador A : H → H como

A(u) :=n∑j=1

∫ 1

0u(t) pj(t) dt

pj ∀u ∈ H .

Demuestre que A es lineal, acotado y autoadjunto, esto es A ∈ L(H,H) y A = A∗.

I 3.17 Sea M un subespacio cerrado de un Hilbert H. Por el Teorema de Proyeccion, cada

x ∈ H puede escribirse unicamente en la forma x = y + z, con y ∈ M y z ∈ M⊥. El punto

y ∈ M se llama la proyeccion de x en M , y el operador P := X → M, Px = y, se llama

la proyeccion sobre M . Tambien se denota P := PM y se dice que P es una proyeccion.

i) Pruebe que si P es una proyeccion, entonces P es autoadjunto, P 2 = P , y ‖P‖ = 1 si

P 6= 0.

ii) Pruebe que si P ∈ L(H,H) es autoadjunto y P 2 = P , entonces P es una proyeccion

sobre algun subespacio cerrado de H.

I 3.18 Sean (H, 〈·, ·〉H) y (Q, 〈·, ·〉Q) espacios de Hilbert, y sea B ∈ L(H,Q) con espacio nulo

V := N(B).

a) Demuestre que supv∈Hv 6=0

〈B(v), q〉Q‖v‖H

= supv∈V⊥v 6=0


∀ q ∈ Q.

b) Suponga que existe β > 0 tal que supv∈V⊥v 6=0


≥ β ‖q‖Q ∀ q ∈ Q, y pruebe que

H = R(B∗) ⊕ V .

I 3.19 (Pseudo-inversa de Moore-Penrose). Sean X, Y espacios de Hilbert, A ∈L(X,Y ) tal que R(A) = Y , y sea V = N(A). Dado el operador de proyeccion ortogonal

P : X → V , considere B : Y → X tal que B(y) = x− P (x) para todo y ∈ Y , donde x ∈ X es

tal que A(x) = y.

a) Demuestre que B esta bien definido y que B es una biyeccion lineal y acotada de Y en

V ⊥. Pruebe, ademas, que B es un inverso a derecha de A, esto es AB(y) = y para todo

y ∈ Y .

b) Defina A0 : V ⊥ → Y como A0(x) = A(x) para todo x ∈ V ⊥, es decir A0 = A|V ⊥ , y

pruebe que A−10 = B.


c) Extienda los resultados anteriores al caso en queR(A) es un subespacio cerrado propio

de Y .

I 3.20 Sea (H, 〈·, ·〉) un Hilbert y sea P ∈ L(H,H), no trivial. Se dice que P es un proyec-

tor si satisface P 2 = P . En tal caso se dice que P es un proyector ortogonal si ademas

verifica que 〈u, v〉 = 0 ∀u ∈ R(P ), ∀ v ∈ N(P ).

a) Demuestre que si P ∈ L(H,H) es un proyector entonces H = N(P )⊕R(P ) y ‖P‖ ≥ 1.

b) Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) P es un proyector ortogonal.

ii) R(P ) = N(P )⊥.

iii) P es autoadjunto

c) Demuestre que si P ∈ L(H,H) es un proyector ortogonal entonces ‖P‖ = 1.

I 3.21 (Clausura de operadores). Sean X e Y Banach. Se dice que un operador lineal

A : D(A) ⊆ X → Y admite una clausura si existe un operador lineal B : D(B) ⊆ X → Y

tal que B es una extension de A y G(B) = G(A). Demuestre que A admite una clausura si

y solo si para toda sucesion xnn∈N ⊆ D(A) tal que (xn, A(xn)) n→∞→ (0, y), con y ∈ Y , se

tiene necesariamente que y = 0.

I 3.22 Sea (H, 〈·, ·〉) un Hilbert y sea A : D(A) ⊆ H → H un operador lineal tal que D(A)

es denso en H.

a) Sea y ∈ H y suponga que existe y ∈ H tal que

〈A(x), y〉 = 〈x, y〉 ∀x ∈ D(A) .

Demuestre que dicho y es unico.

b) Considere el conjunto

D(A) := y ∈ H : existe y ∈ H tal que 〈A(x), y〉 = 〈x, y〉 ∀x ∈ D(A) ,

y defina el operador A : D(A) → H dado por A(y) := y ∀ y ∈ H. Demuestre que A

es lineal y cerrado.


I 3.23 Sea (H, 〈·, ·〉) un Hilbert y sea P ∈ L(H,H), no trivial, distinto del operador identidad

I : H → H, y tal que P2 = P. El objetivo de este ejercicio es probar que ‖P‖L(H,H) =

‖I−P‖L(H,H), para cuyo efecto proceda como se indica:

a) Sea S un subespacio de dimension 2 de H y sea Q ∈ L(S, S), no trivial, distinto del

operador identidad I : S → S, y tal que Q2 = Q. Pruebe que S = R(Q)⊕R(I−Q) y

concluya que existen vectores no nulos p, q, r, s ∈ S que satisfacen 〈p, q〉 = 〈r, s〉 = 1,

tales que

Q(v) = 〈q, v〉 p y (I−Q)(v) = 〈s, v〉 r ∀ v ∈ S .

b) A partir de la identidad v = Q(v) + (I−Q)(v) ∀ v ∈ S, deduzca que ‖p‖2 ‖q‖2 =

‖r‖2 ‖s‖2 = 1 − 〈p, r〉〈q, s〉 y concluya ası que

‖Q‖L(S,S) = ‖I−Q‖L(S,S).

c) Dado x ∈ H tal que ‖x‖ = 1, considere el subespacio S generado por los vectores x y

P(x) y defina Q := P|S . Demuestre que Q ∈ L(S, S), observe que la dimension de S es

≤ 2, y luego pruebe, usando b), que ‖(I−P)(x)‖ ≤ ‖P‖L(H,H).

d) Concluya, a partir de c), que ‖P‖L(H,H) = ‖I−P‖L(H,H).

I 3.24 Sea (H, 〈·, ·〉H) un espacio de Hilbert complejo y considereH×H provisto del producto

escalar

〈(u, v), (z, w)〉H×H := 〈u, z〉H + 〈v, w〉H ∀ (u, v) , (z, w) ∈ H ×H .

Ademas, dado A ∈ L(H,H), defina el operador B : H ×H → H ×H por

B((u, v)) := (ı A(v),− ı A∗(u)) ∀ (u, v) ∈ H ×H .

Demuestre que ‖B‖ = ‖A‖ y que B es autoadjunto.

I 3.25 Sean E y F espacios de Banach, y sea T : E → F un operador lineal cerrado con

dominio D(T ) e imagen R(T ). Demuestre que son equivalentes:

a) El operador T es inyectivo, y T−1 es acotado sobre R(T ).

b) Existe una constante positiva C tal que ‖Tx‖ ≥ C‖x‖ para todo x ∈ D(T ).

c) R(T ) es cerrado en F , y T es inyectivo.


I 3.26 Sea Ω un dominio convexo y acotado de R2 con frontera poligonal Γ, y sean 〈·, ·〉L2(Ω)

y 〈·, ·〉H1(Ω) los productos escalares de L2(Ω) y H1(Ω), respectivamente.

a) Pruebe que para todo r ∈ L2(Ω) existe un unico z ∈ H1(Ω) tal que

〈z, w〉H1(Ω) = 〈r, w〉L2(Ω) ∀w ∈ H1(Ω) .

b) Deduzca que z es la unica solucion debil del problema de valores de contorno:

−∆z + z = r en Ω , ∇z · ν = 0 en Γ ,

donde ν es el vector normal sobre Γ, y observe (no lo demuestre) que la convexidad de

Ω garantiza que z ∈ H2(Ω).

c) Defina un operador lineal apropiado y demuestre, utilizando el Teorema del Grafo Ce-

rrado, que existe C > 0 tal que

‖z‖H2(Ω) ≤ C ‖r‖L2(Ω) ∀ r ∈ L2(Ω) .

I 3.27 Sea (H, 〈·, ·〉) un espacio de Hilbert real y sea A ∈ L(H,H) el operador inducido por

una forma bilineal y acotada a : H×H → R. Ademas, sea Π la proyeccion ortogonal de H sobre

un subespacio cerrado S, y suponga que existe α > 0 tal que a(v, v) ≥ α 〈v, v〉 ∀ v ∈ S .

Demuestre que ΠA : S → S es una biyeccion lineal.

I 3.28 Sea (H, 〈 ·, · 〉) un espacio de Hilbert y sean V1, V2, ..., VN subespacios cerrados mu-

tuamente ortogonales de H, esto es vi ⊥ vj ∀ vi ∈ Vi, ∀ vj ∈ Vj , ∀ i 6= j. Demuestre que

I − P = P1 + P2 + · · · + PN , donde P : H −→ V ⊥1 ∩ V ⊥2 ∩ · · · ∩ V ⊥N y Pj : H −→ Vj son los

proyectores ortogonales respectivos.

I 3.29 Sea Ω un abierto acotado de Rn y considere el espacio de Hilbert V := [L2(Ω)]n×n

sobre R con el producto escalar 〈σ, τ 〉 :=∫

Ωσ : τ , donde

σ : τ :=n∑

i,j=1

σij τij ∀σ := (σij)n×n , τ := (τij)n×n ∈ V .

A su vez, defina el subespacio U := αA + β B : α , β ∈ R = 〈 A,B 〉 , donde A :=

(aij)n×n y B := (bij)n×n estan definidos por

aij :=

1 si j = i− 1

0 e.o.c.y bij :=

1 si j = i+ 1

0 e.o.c..

Encuentre U⊥ y defina explıcitamente los proyectores ortogonales sobre U y U⊥. Que sucede

con estos proyectores si U se reemplaza por 〈 A,B, I 〉, donde I es el tensor identidad de V ?


I 3.30 Sean (H1, 〈·, ·〉1) y (H2, 〈·, ·〉)2 espacios de Hilbert sobre C con normas inducidas ‖ ·‖1y ‖ · ‖2, respectivamente, y sea T ∈ L(H1, H2) tal que ‖T (x)‖2 = ‖x‖1 ∀x ∈ H1. Demuestre

que 〈T (x), T (y)〉2 = 〈x, y〉1 ∀x, y ∈ H1.

Ind.: Considere las expresiones nulas ‖T (x+ y)‖2 − ‖x+ y‖2 y ‖T (x+ iy)‖2 − ‖x+ iy‖2.

I 3.31 Dado Ω un abierto acotado de Rn, defina el operador A : H1(Ω) −→ L2(Ω) por

A(u) :=N∑j=1

∫Ω∇u · ∇uj

vj ∀u ∈ H1(Ω) ,

donde u1, u2, ..., uN ⊆ H1(Ω) y v1, v2, ..., vN ⊆ L2(Ω). Demuestre que A es lineal y acotado

y encuentre el operador adjunto A∗.

I 3.32 Sea X := C[0, 1] provisto de la norma uniforme, y sean pjj∈N, qjj∈N ⊆ X tales

que la serie∞∑j=1

pj(s) qj(t) converge uniformemente a una funcion continua K : [0, 1]×[0, 1] −→

R, es decir

lımN→+∞

max(s,t)∈[0,1]×[0,1]

∣∣∣∣∣∣K(s, t) −N∑j=1

pj(s) qj(t)

∣∣∣∣∣∣ = 0 .

A su vez, sea Fj ∈ X ′ definido por Fj(u) :=∫ 1

0qj(t)u(t) dt ∀u ∈ X. Pruebe que para todo

G ∈ X ′, la serie∞∑j=1

G(pj)Fj es convergente en X ′. Identifique el valor del lımite respectivo

en terminos del adjunto de un operador conveniente.

I 3.33 (La condicion inf-sup continua). Sean (X, 〈·, ·〉X) e (Y, 〈·, ·〉Y ) espacios de Hilbert

y considere A ∈ L(X,Y ). Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) A es sobreyectivo.

ii) A∗ : Y → X es inyectivo y de rango cerrado.

iii) Existe α > 0 tal que ‖A∗(y)‖X := supx∈Xx 6=0

|〈A(x), y〉Y |‖x‖X

≥ α ‖y‖Y ∀ y ∈ Y .

iv) Existe un operador B ∈ L(Y,X) tal que AB = I en Y y BA = I − P en X, donde

P : X → N(A) es el proyector ortogonal.


I 3.34 Dado Ω un abierto acotado de Rn, defina el operador A : H2(Ω) −→ H1(Ω) por

A(u) :=N∑j=1

∫Ω

∆u∆uj

vj ∀u ∈ H2(Ω) ,

donde u1, u2, ..., uN ⊆ H2(Ω) y v1, v2, ..., vN ⊆ H1(Ω). Demuestre que A es lineal y acotado


I 3.35 Sean (H, 〈·, ·〉) un espacio de Hilbert sobre C y A : H → H un operador lineal tal que

〈A(x), y〉 = 〈x,A(y)〉 ∀x, y ∈ H. Pruebe que A es acotado.

I 3.36 Sean V y W subespacios cerrados de un Hilbert (H, 〈·, ·〉), y sean P : H → V y

Q : H →W los proyectores ortogonales respectivos. Demuestre que

〈(Q− P )(x), x〉 ≥ 0 ∀x ∈ H si y solo si V ⊆W .

I 3.37 Dado Ω un abierto acotado de Rn, defina el operador A : H1(Ω) −→ H2(Ω) por

A(u) :=N∑j=1

∫Ω∇u · ∇uj

vj ∀u ∈ H1(Ω)

donde u1, u2, ..., uN ⊆ H1(Ω) y v1, v2, ..., vN ⊆ H2(Ω). Demuestre que A es lineal y acotado


Bibliografıa

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Apuntes Analisis Funcional Parte 1

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