Aplicaciones Reales Laplace
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Aplicaciones reales de la transformada de Laplace Ing. Elvira Niño Departamento de Mecatrónica y Automatización [email protected]
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Aplicaciones de la Transformada de Laplace
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-
Aplicaciones reales de
la transformada de
Laplace
Ing. Elvira Nio Departamento de Mecatrnica y Automatizacin
-
Control de Procesos
Qu es un sistema de control ? En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que
necesitan cumplirse.
En el mbito domstico Controlar la temperatura y humedad de casas y
edificios
En transportacin Controlar que un auto o avin se muevan de un lugar a
otro en forma segura y exacta
En la industria Controlar un sinnmero de variables en los procesos
de manufactura
-
Control de Procesos
En aos recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez ms importante en el desarrollo y avance de la civilizacin moderna y la tecnologa.
Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria: tales como control de calidad de los productos
manufacturados, lneas de ensa,ble automtico, control de mquinas-herramienta, tecnologa espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robtica y muchos otros
-
Ejemplos de procesos
automatizados
Un moderno avin comercial
-
Ejemplos de procesos
automatizados
Satlites
-
Ejemplos de procesos
automatizados
Control de la concentracin de un producto
en un reactor qumico
-
Ejemplos de procesos
automatizados
Control en automvil
-
Por que es necesario controlar un
proceso ?
Incremento de la productividad
Alto costo de mano de obra
Seguridad
Alto costo de materiales
Mejorar la calidad
Reduccin de tiempo de manufactura
Reduccin de inventario en proceso
Certificacin (mercados internacionales)
Proteccin del medio ambiente (desarrollo sustentable)
-
Control de Procesos
El campo de aplicacin de los sistemas de
control es muy amplia.
Y una herramienta que se utiliza en el
diseo de control clsico es precisamente:
La transformada de Laplace
-
Por qu Transformada de
Laplace?
En el estudio de los procesos es
necesario considerar modelos
dinmicos, es decir, modelos de
comportamiento variable respecto al
tiempo.
Esto trae como consecuencia el uso de
ecuaciones diferenciales respecto al
tiempo para representar
matemticamente el comportamiento de
un proceso.
-
Por qu Transformada de
Laplace?
El comportamiento dinmico de los
procesos en la naturaleza puede
representarse de manera aproximada
por el siguiente modelo general de
comportamiento dinmico lineal:
La transformada de Laplace es una herramienta matemtica muy til para el anlisis de sistemas dinmicos lineales.
-
Por qu Transformada de
Laplace?
De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformacin en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinmicos, se puede proceder a disear y analizar los sistemas de control de manera simple.
-
El proceso de diseo del
sistema de control
Para poder disear un sistema de control automtico, se requiere
Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuacin diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes fsicas, qumicas y/o elctricas.
A esta ecuacin diferencial se le llama modelo del proceso.
Una vez que se tiene el modelo, se puede disear el controlador.
-
Conociendo el proceso
MODELACIN MATEMTICA
Suspensin de un automvil
f(t)
z(t)
k b
m
Fuerza de
entrada
Desplazamiento,
salida del sistema
2
2 )()()()(
dt
tzdm
dt
tdzbtkztf
maF
-
El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebricas
Suspensin de un automvil
kbsmssF
sZ
kbsmssZsF
sZmssbsZskZsF
dt
tzdm
dt
tdzbtkztf
2
2
2
2
2
1
)(
)(
)()(
)()()()(
cero) a igual iniciales scondicione ndo(considera
trminocada a Laplace de ada transformla Aplicando
)()()()(
Funcin de
transferencia
-
Conociendo el proceso
MODELACIN MATEMTICA
Nivel en un tanque
qo(t)
Flujo de
salida
R
(resistencia
de la vlvula)
h(t)
qi(t)
Flujo de
entrada
dt
tdhAth
Rtq
tq
thR
dt
tdhAtqtq
i
o
oi
)()(
1)(
)(
)(
)()()(
Flujo que entra Flujo que sale =
Acumulamiento
A
(rea del
tanque)
-
El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebricas
Nivel en un tanque
11
1
)(
)(
)1
)(()(
)()(1
)(
Laplace de ada transformla Aplicando
)()(
1)(
ARs
R
RAs
sQ
sH
RAssHsQi
sAsHsHR
sQi
dt
tdhAth
Rtq
i
i
Funcin de
transferencia
-
Conociendo el proceso
MODELACIN MATEMTICA
Circuito elctrico
)()(1
)(1
)()(
)(
tedttiC
dttiC
tRidt
tdiLte
o
i
-
1
1
)(
)(
1)()(E
)(1
)()()(E
I(s)) para o(despejand ecuaciones las Combinando
)()(1
)(1
)()()(E
Laplace de ada transformla Aplicando
)()(1
)(1
)()(
)(
2
2i
i
i
RCsLCssE
sE
RCsLCssEs
sCsECs
sCsERsCsELss
sEsICs
sICs
sRIsLsIs
tedttiC
dttiC
tRidt
tdiLte
i
o
o
ooo
o
oi
El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebricas
Circuito elctrico
Funcin de
transferencia
-
La funcin de transferencia
Representa el comportamiento dinmico del proceso
Nos indica como cambia la salida de un proceso
ante un cambio en la entrada
Diagrama de bloques
forzanteFuncin
proceso del Respuesta
)(
)(
proceso del entrada laen Cambio
proceso del salida laen Cambio
)(
)(
sX
sY
sX
sY
Proceso Entrada del proceso
(funcin forzante o
estmulo)
Salida del proceso
(respuesta al
estmulo)
-
La funcin de transferencia
Diagrama de bloques
Suspensin de un automvil
Entrada
(Bache)
Salida
(Desplazamiento
del coche) kbsms 2
1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
-3
-
La funcin de transferencia
Diagrama de bloques
Nivel en un tanque
Qi(s)
(Aumento del flujo de
entrada repentinamente)
H(s)
(Altura del nivel en
el tanque 1ARs
R
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10
-5
0
5
10
15
20
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10
-5
0
5
10
15
20
25
-
La funcin de transferencia
Diagrama de bloques
Circuito elctrico
Ei(s)
(Voltaje de entrada)
Eo(s)
(Voltaje de salida) 1
1
2 RCsLCs
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 104
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 104
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-
Propiedades y teoremas de la
transformada de Laplace ms
utilizados en al mbito de control
TEOREMA DE TRASLACIN DE UNA FUNCIN
(Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en
el tiempo)
TEOREMA DE DIFERENCIACIN REAL
(Es uno de los ms utilizados para transformar las
ecuaciones diferenciales)
-
Propiedades y teoremas de la
transformada de Laplace ms
utilizados en al mbito de control
TEOREMA DE VALOR FINAL
(Nos indica el valor en el cual se estabilizar
la respuesta)
TEOREMA DE VALOR INICIAL
(Nos indica las condiciones iniciales)
-
Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80F a 185F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.
En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, producindose una perturbacin en el intercambiador.
Ejemplo aplicado:
Intercambiador de calor
-
a) Obtenga la funcin de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80F.
b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escaln de +20F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.
c) Grafique la variacin de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.
Ejemplo aplicado:
Intercambiador de calor
-
Ecuacin diferencial que modela el intercambiador de calor
Ejemplo aplicado:
Intercambiador de calor
-
Intercambiador de calor
Ecuacin diferencial
Donde:
Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al dimetro exterior
(BTU/h F ft2)
ATC0: rea de transferencia de calor referida al dimetro exterior (ft2)
Cp : Capacidad calorfica (BTU/lb F)
tv : Temperatura del vapor (F)
te : Temperatura del agua a la entrada (F)
ts : Temperatura del agua a la salida (F)
(te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (F)
tref : Temperatura de referencia (F)
w : Flujo de agua (lb/h)
m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb)
: Valores en condiciones estables
Tv , Ts , W Variables de desviacin
twtstv ,,
-
Intercambiador de calor
Linealizando
1
2
Evaluando en condiciones iniciales estables
3
Restando (2) de (3)
-
Intercambiador de calor
Utilizando variables de desviacin
Aplicando la transformada con Laplace
-
Intercambiador de calor
Simplificando
Datos fsicos Largo del intercambiador = 9 ft
Dimetro de coraza = 17
Flujo = 224 gal/min
Temperatura de entrada =80F
Temperatura de salida = 185F
Presin de vapor =150psia.
Nmero de tubos= 112
Dimetro exterior de tubo = de dimetro y BWG 16, disposicin cuadrada a 90, con un claro entre tubos de 0.63.
Conductividad trmica de los tubos = 26 BTU/hftF,
Factor de obstruccin interno = 0.0012 hft2F/BTU; externo = 0.001 hft2F/BTU
Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2F
-
Intercambiador de calor
Calculando
las
constantes
-
Intercambiador de calor
Funcin de transferencia
Determine el valor final de la temperatura de salida del agua
ante un cambio tipo escaln de +20F en la temperatura del
vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.
0 0
-
Intercambiador de calor
Flujo de
agua entrada
Salida de
Agua T
Temp de
Vapor entrada
Salida de
vapor
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
224
234
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
220
240
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
5
10
15
20
25
30
35
40
185
188.85
-
La respuesta del proceso en el
tiempo
Transformada Inversa De Laplace
sb
s
b
s
a
s
a
sssssT
ssssss
x
sssT
ss
K
ss
KsT
ssW
ssTsW
s
KsT
s
KsT
s
s
s
vvs
2121
4
2
2
1
1
2
2
1
1
583772.0583772.0583772.0
213928.2
583772.0
458658.4)(
parciales fraccionesen Expansin
1712995.1
792464.3
1712995.1
63766.725.5007
1712995.1
10573947.720
1712995.1
381883.0)(
25.5007
1
20
1)(
25.5007)(
20)()(
1)(
1)(
-
La respuesta del proceso en el
tiempo
TsseetTemperaturTsseetT
sssssT
sssb
sssb
sssa
sssa
tts
tts
s
s
s
s
s
583772.0583772.0
583772.0583772.0
0
2
583772.0
1
0
2
583772.0
1
1792453.31637670.7)(
salida) de inicial at(Tss 792453.3792453.3637670.7637670.7)(
792453.3
583772.0
792453.3637670.7
583772.0
637670.7)(
792453.3583772.0
213928.2
583772.0
213928.2
792453.3583772.0
213928.2
583772.0
213928.2583772.0
6376.7583772.0
458658.4
583772.0
458658.4
6376.7583772.0
458658.4
583772.0
458658.4583772.0
Transformada Inversa De Laplace
-
El sistema de control automtico
Temperatura del agua de salida Lazo abierto (sin
control)
Temperatura del agua de salida Lazo cerrado
(con control)
Tv(s)
(Aumento de la
temperatura de vapor a la
entrada )
Ts(s)
(Aumento en la
temperatura de agua
a la salida)
11
1
s
K
Controlador 1713.1
3819.0
s
+
-
Valor
deseado Accin
de
control
Variable
controlada
-
La ecuacin del controlador
ECUACIN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID
Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido
sssE
sM
ssEsEssE
sM
ssEsEs
dt
tdedtteteKctm
di
di
di
di
11Kc
)(
)(
)()(1
E(s)Kc)(
)(
)()(1
E(s)KcM(s)
Laplace de ada transformla Aplicando
)()(
1)()(
-
El sistema de control automtico
Temperatura de agua a la salida Lazo cerrado (con control)
(el tiempo de estabilizacin para el sistema controlado es de 4 min, a partir del
cambio en la entrada)
1713.1
3819.0
s
+
-
Valor
deseado Accin
de
control
Variable
controlada
sKc dsi
11
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
X: 0.683
Y: 4.91
-1 0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
-
0 2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
X: 0.683
Y: 4.91
X: 6.873
Y: 4.91
La respuesta del sistema de control
de nivel
Comparacin del sistema en lazo abierto (sin
control) y en lazo cerrado (con control)
Con
control Sin
control
-
Preguntas ?
Ing. Elvira Nio
Departamento de Mecatrnica y Automatizacin
Aulas 7, 3er piso -- LD - 306 - H
mailto:[email protected] -
Actividad para realizar en
casa
Un sistema de suspensin
simplificada de un automvil se
puede representar por la figura
siguiente:
Las ecuaciones diferenciales
que modelan al sistema estn
dadas por:
dt
tdx
dt
tdybtxtyk
dt
tydm
txtukdt
tdx
dt
tdybtxtyk
dt
txdm
)()()()(
)(
)()()()(
)()()(
22
2
2
122
2
1
-
Actividad para realizar en
casa
a) Obtn la funcin de transferencia
(Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) en
ambas e igulalas, finalmente reacomoda para dejar
Y(s)/U(s) )
b) Se sabe que b=1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm,
k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg.
Si se le aplica una cambio escaln unitario en la
entrada de fuerza, obtn la expresin en el tiempo, es
decir, la transformada inversa de dicha funcin.
c) Utilizando cualquier paquete de graficado, excel,
matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta del
desplazamiento en el tiempo para t = [0,20]
)(
)(
sU
sY
![Plan de Implemen taci ón de los Módulos Docentesapus.uma.pt/vireg/public_files/VIREG_Postgraduate[ES].pdfEjemplos reales y casos prácticos o aplicaciones acompañan a los módulos.](https://static.fdocuments.in/doc/165x107/60afd62148a9b60707200454/plan-de-implemen-taci-n-de-los-mdulos-espdf-ejemplos-reales-y-casos-prcticos.jpg)
