Analisis Vectorial [Schaum - Murray.R.spiegel]

SERIE DE COMPENDIOS SCIIAUM

TEORIA Y PROBLEMASDE

ANALISIS VECTORIALy una htroduccin l

ANALI$S TENSORIAL

MURRAY R. SPIEGEL, Ph.Prcfessor of Maernatict

Restelaer PolYkclnic Institue

Ltns GrrPiz DftzIsdierc d AMto

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L.@ao d CiMi FlMDlplo"ado I ltrid Nuhar

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qYA4qMcGRAW-HILL

xxcq.-Bocor o guEttlos tngs . GUATEMALA . t-tsBoa . MAoRtDNUEVA yoRK . PANAMA . saN JUAN . saNTtAGo . so paulo

AUCKLAND' HAMBURGO ! JOHANNESBURGO' LONDRES' MONTREALNUEVA DELHI . PARS . SANFRANcISco . SINGAPUR

ST, LOUIS . SIDNEY . TOKIO . IORONTO

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AIALISIS VECOFIALProhlbida la reproduccin totat o parcial de 66la obra,oor cualouler mdlo. sin autorzacin escrlta del editor

DERECHOS RESERVAOOS i 1970, respecto a l /imra edlcn en espaor porLIBROS IVCGRAW.HILL DE MxrCO, S. A. d C. V

atlaoofulco 499.501, Fracc, lndustrial san, Andrs atoto53500 NaucalDan d Jurez. Edo. de MxcoMlembro d la CmaraNaclonal ds ls Indusrla Edttorial, Reg. NrA.455

lsBN 96&451-068.3fladucido de la prlmsra edlcin n lngls deVECOB ANAIYSIS

Copydght @ 1967, by Mccraw-Hllt Book Co., U. S. A.

tsBN 0{7.000228.x2209476543 LINSA-70

Esta obra se termln ds, , LTqllTt1:l,l-t"r: q: LT:tn'uitr.gitica s, a u; c. v.

Cl l l3 No.944Cll l3 No.

Olegacln |napalapa09310 Mxlco, D. F.

Se taron 8 200 ejsmplres

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F

Pr logoEl anlisis vector;al, que se inici a mediados del siglo pasado, constituye hoy da una parte esencial

las matenrtjcas nccesaria para matemticos, fhicos, ingeniefos y dems cientficos y lcnicos. Estatidad no es casual i el anlisis vctorial no solo constituye una notacin concisa y clam par presentar

,cuaciones del modelo matcrniico d las situaciones fsicas y problemas geomtricos, sino que, adems,rcion una ayuda inefimable en la formacin de las imgcnes menales dc los conceptos fisicos

o

omtricos- En resrmcn, el anlisis veclorial pcde considerarse, sin Iugar a ddas, como cl ms ricouaje y forma dl pesamiento d las cicncias flsicas.Po la foma y mancra de cxposicin, este libro se pcde rtilizar como tcxto en un curso dc nlisis

Cada capitulo comienza cxponicndo claramentc las dcfiniciones, principios y tcorms priinents,ejcmplos ilxstrativos y descriplivos. A cont;nuaci sc presenta rna colecci de problemas total-tc resucltos y otros suplcmentarios con rspucsta pero sin resolver, todos ellos de progresiv difi-

riai o omo un mgnifico libro complcmentrio de cualquier otro texto. Asirdsmo, puede ser dcvalor para todos los alumnos de las asignaturas de fisica, mecnica, electromagnetjsmo, aerodi-,a e inEnidad de otras correspondientes a los distintos campos de la ciencia y de la tcica cn qe

nplean los mtodos vecroriales.

. Los problemas rcsueltos aclaran y amplian la teoria. evidencian los puntos esencialcs sin los que l

tales tan nccesarios rara conoce la materia a fondo. Asimismo. en los Droblemas resucltos se

lnentarios si,en dc conpleto rcpaso dcl tema de cada capitulo.

El autorligras.

diante sc sentiria contiuamente poco scguro y proporciona la repcticin de los principios fun.

uycn nunerosas dcnrostraciones de teocrnas y dedcciones de fmrulas. Los rmerosos prob)emas

I anlisis tensorial, que tan cvidenles ventajas p.oporcionan en cl estudio dc ingcniea, fisica y mate-

Los temas tfatados son, a grandcs rasgos, el lgebra y el clculo difcrencial c integl de vectores,d la divcrgencia, del rotacional y denis toremas integrales. hacicndo muchsimas aplicacronesruy divcrsos. Atencin especial mereceD los oaptulos rclativos a las coordendas curvilnas

El libro conticne mucho ns mterial de lo usual en a mayo.ia dc los primcros crsos de cimci3genieri. Con ello la obra se ba hecho ms completa, constituyendo un libro de consulta muy tilla vez. catalizador del inters rcr tcnas m! elevados.

agradecc la colaboracin dcl seo. Hnry Haydcn en la preparacin tipogrfica y dibujoEl realisno de las figuras realza cl valor de la obra en la quc la crposicin vis'ral.jueBa

papcl tan

R, SPTEGEL

Indice de moterios

TTTORf,S Y ESCALARES. Ik6r. Esclar. Al8ebra tccao.ial- Fs del Algebr vectorial. Vctor uoiiario. yecroEsliraios trirreclngulares. Vcctoes componntc!, Cmpo scala, CanDo lectorial.

I. TTODUCTOS ESCAIAR Y VECTORIAI.

A dFTRENCIACION WCIORIAL

hodclo cacalLr o intono. Producto yctorial o exlcmo. Productoc triot s. Sistemas &r6

35

51

Divad do v.ctor. Curvas n el ospacio. Conlinuidad y dcivabilid. Frmulas de dcri-?!in. Drivadas prciales de ull v.ctor. Difencial de un voctor, conetra difrncia.

OPTRACIONES DIFERXNCIAIES: GRADmNTE, DIWRGENCIA Y ROTA-CIONAL..Operado diferncial vectoil nabla. CEdiete, Divergncia,q. inlcniec cl opcador bla. Invariaa.

Rotacional. Frmulas on la!

L\TIECRACION VECTORIAI.lnlegr8l de un ictor. Ine8al cuwillnea. Integral de supfici. Inlogrl d6 volumen.

r ANAIISIS TENSOnIAL

,JoPERAcIoT\Ts TNTEGRALES: TEoREMA Df, LA DIVERGENCIA, TEoREMA !\r ' DEL ROTACIONAI Y OTROS TEOREMAS INTf,GRALr,S.... . . . -. . . . , , . . . . .

l0 VTeorcma dc !a divcrspncia de Guss. Teorom dcl rotcionl de Stoks. Teorema de Grenar el plno. Otos teorcrnas int glal$. Fofma irtcgrl del oprdor nabl.

f " cooRDENDAS CttRVrr,rNEAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Ttusfotrlcin dq coor&nads. Coodcnadas cuNilfrcs ofogon!s. Vector! unitriosen sistcdra d coordadr curvilns. El.entos de llnea y de volurnen. Gadi.nte. dver-gcncio y otacioal. Caso3 paticulars de sistemas de coordn.ds ortoAonales. Coordcadasciladjcas. Cmdcnadar sfica!. CoordoDad^ cilndricas paablicas. Coordnads p-rbolodls. coord.nads cillndrica cliptics. coordendas .lferoidales alargada!. coorde-nada3 csfeoidale aclltada. Coord.ads cliGoidals. c,oodenadas biDolar6,

fr)s fisica.. Espa.ios dc N dineftlones. Transfonnaci d coordenadas. Convenio desunaaltr dc los ndicca r.pctidos. Vcctorc3 contravaiant s y coyaraotes. Tensorcs contr-vaiartcs, coErian&s y mixtos, Delta & KroDeckcr. Tcnsorg de orden supcior, Escalarcs oinvarlsntes. Cmpos teBoriales. Tnsores simticos y hcmisintricos. Opracior6 fuda-Frles con iensors. Matriacs. Algebra matricial. EI clomenlo dc linea y cl tensor trico.Tnso rclproco. Tesors asociados. Mdulo de un vector. Angulo entre dos vctors.Co6Don6Ls ftuics dc un v.tor. Slrobolos de Cbfistoffel. Irys dc imnsfomaci dc 106slrlboloc de Clristoffcl. Llncas eeodsics, Drivada covariante do un t.nsor. Simbolos yt nsons altorantca. Foma tnsorial del iradiente, divergencia, rotacional y laplaciana.Dedvad ab3olut{ o intrlnsca. Tensorls rclativo y b6oluto.

itDIcE. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2lE

t6

-'Vectores y escolores\ICTOR. Es na magnitud cya determinacin exige el conocimiento d un mdulo, una direc-

:ir r :n sentido. Ejemplos de magnituds vectorial(s son cl desplazamenro, la velocidad, la aceleracin,l! 'r.;3. el imoetu. erc-

C.camete, n vector se representa por un segmento orien-I,: OP (Fig. i); la longitud del segmento es el mdulo del vector, lar.J:.on de seCmento es la correspondiente del vector y Ia flecha indicaa ;e.rdo del vecior. El pulo O s llama oigen o punto de aplica-::tt

-: P el extrcno del vector. La rcta en que s apoyael segmentoE :.ma dircrriz del vecror.

lnaliticamnte, un vector se representa por una lelra con una'.s j- r encima. por ejemplo en la l - ig. I . el mdlo *". , . ' . r :en A. Otros autores pre6erer emplear una letra negrilla, por::rpio A, con 10 que lA o A indica su ndulo. En esle libro emplea-''=ri esta ltima notacin. El vector OP tambin se pude escibirj. o bien, oP; en este caso su ndulo es -oP, 1F, o ti"n, or.

ESCALAR. Es una magnitud cuya determinacin solo requiere.el conocimienta de ur nmeror. .antidad respecto de cirta unidad de medida de su rnisma especie. !-emplos tipicos de escalares:ic la longitud, la masa, el tiempo, Ia temperatura, l tfabajo, la energia, etc., y cualquier nmero real.is escalars se indican po! una letra de tipo ordinario. Las opraciones con scalares obedecen a lasnl.as reglas del lgebr elemental.

ALGEBRA Vf,CTORIAL. Las operaciones de adicin o suma, difercncia o resta, multiplicacinx l.roduto del lCebra lsmental entre nmeros eales o escalars, se pueden generalizar, introduciendo.irrminadas definiciones, al lgbra entre vectorcs. Veamos las defniciones fundamentales.

./. Dos vectores A y B.son equipolentes si tienen el mismo mdulo, la misma direccin e idnticosentido. Si adems tienen el mismo origen o punto de aplicacin, son gralr. Tanto la equipo-lenci como la jgualdad entre los vectores dados la representaremos por A : B (Fig. 2). Ceofn-tricamente se reconoce que dos vectores son equipolentes si el polgono que resulta al unir susorgenes por una parte, y sus xtremos por otra es un paralelogramo:

2. Dado un vector A, el vector opuesto, -A, es l que tiene l mismo mdulo y direcin prosenrido con(rar io (Fig. l r .

VECTORES Y ESCALARES

Su a o rcsultant de dos veotores ^

y B cs otrovector C obtenido trashdando el orign d. B alcxtrcmo de A y nicndo cl odgan de A con cl cxtr.mo B (Fig. 4). Anallticamnte s expresa A+B : C,

Observ$e quc trasladando los dos yeotorcs an origen comn, el veclor sma cospotd a ladiagonal dcl prelelogramo con l orign en cloigcn conn- Por ello s dic quc la sura de vcc-tores obedecc a lz ley del paralelogrumo (eascProb. 3).

La generalizaci a la sua de varios vectoreses inmediato sin ris que iI sumando de dos ndos succaivamenta (vesa Prob. 4).

Fla.{

4. La dtferencia de los tectores A y B, que se reprcsnta anllicamcnte por A -8, es otro vector C,tl que sumado a B produc el vector A. Dicho de otra ranera, para rastr dos vectoras se sunraal vcctor minuendo el opuesto sl \'ector sustraendo, es dccir, C : A - B : A + (-B). Ls di-

o simplememte 0.5, El produ.to de un escrlar tn por un vector es otro veotor, h1A, de la misma direcin q

pcro con un mdulo l,rl veces el de A y un senlido igual u opusto al de A scgn que ellar sea posiLivo o negtivo. Si ,n : 0. |'A es el vector nulo.

LEYFS DEL ALGEBRA VECTORIAL. Sean A, E y C lras vectores y y dos escalaresestas condiciones s verifica:

, . A+B:B+A2. A+(B+C):(A+B)+C1. n(nL\: (nn)At, (m + n'r[: nA + nA

\. n(A + B): nA +,B

Propicdad conmutativ dc la slmaPropiedad asociativa de la swaPropiedad conmutstiva del producto por un cscalarPropiedad asociativ del producto por un s.alarPropiedad dislributiva del producto por un escalr

peoto de la sura de escalarsPropicdad dbtribotiva dcl producto por un csclr

pccto de la sume de vcctores

lcap. 2 dfiniremos los prodctos entr vctores.tss lcyes prmiten considetar y lratar las ecraciorca vectoriales da la misma forna que si fucrl

escalares (ciuaciones algcbraicas). Por ejgmplo, si A *B: C, transponiendo trminos, A: C-B

VECOR UNITARIO. Es todo vector de mdulounidd. Si Acs un vctor de mdulo distinto de cero, / + 0,cl vcctoi Al,{ es un vector unitario de la mivn direccin ysentido que

^.Todo vcctor A se pud reprsntr por el producto dcun vector nitrio dc ls direccin y sntido que aquel mul_tiplicado po sl mdulo de A, que es n escalar. Analtic-mnt, Pues, se escibe, A : ,l.

VECTORf,S UNITARIOS TRINRf,CTANCULAREIl, j, t. Un sisten tlly importanE de vectoes unitariosson los que tienen Por dircccioncs las corresPondientes a losejes da un sistema de coordenadas cartesias .n 1 cspcio,, y, z, con scntidos los positivos de stos ejes y qe sc llarranveclorcs unitarios t, , k (Fig. 5).

Mientras ro sc diga lo contrario, supordremos que clsistea dc coordcdas trirecBngularcs es 4alextrorsun>

Obsrvcs quc no parecn ms las propiedades dcl producto de un escalar por n vctor.

c=i!

^{

iEn

fc,

'

di-

r0,

fA

lcranFB.III


, r bcchos. Ests dcnominacin deriva dl hcho que unE:illo con ros.a a derchs gi.ando 90' dsde O a Ol,rnfz ctr cl scntido poshivo de Oz. como sc muesa enr F!- 5.

En gencral, trcs vcctores A, B y C oon el mismo origcnt fr coplanatios, fofnan tn siste\


l , D las nugnitudcs dadas a contnuacn irdicr las de caictefresli y tas de ecter torial.

fl -.a ,r, "o,u^"n

(l) potncia-(j) intensidad del campo asntico

t0) yecloral

Problemas resueltos

Ut eneryA (,/, distanci-1f-

..

s@le tu') eslrescla (r) es.ala

Sot. () veclorialU)

2. Representr grficamentc: () una fer!& de l0 nwtons e la dircci t 30'Norte,' () ua fucrza dc l5 cwtons m la direccin Norle 30" Este.

Con la undad d dulos indicada, los vectors pedidos aparecen rcpresentadd en las 6gura.

3. Un aulomvil recorre 3 kiltros hacia el Norte y lgo 5 kilmelros haca el Nord6tc. Rptwnta rcstosddplazamicnto y hllar cl desplazmiento Gultanter () grficamente () analiticameoto.

El vector OP o A reprcsenta l dcspiazamiento dc I kmhacia el Nort.

El vctor PQ o B reprcsnla l desplazamiento do 5 k

El rctor OQ o C rcpreent el dsplazamien@ resul-taDte o sum de los vcctores A y B,.s decir, C : A + B.Pude observar8e la /e/ dl r/r'!1o dc Ia sma dc vcctors.

El vector rsultantc OQ tmbir s. puede obtcnr tta-zndo l digonal del parlelosramo OPOR construido colos vctores OP : A y OR (isual al vcctor PQ o R). Esra esb le! del patulelostMo & la suma do v.ciores. es dcir, de

(a) Deteminocin etdlca d l rrr. Se mid Ia lonsituddc la diagon l cod la mi!na unidd de longtud d I kn adoPtd par los olros vectons. As sE deduce el valor dc ?,4 kmsproxitradam.nle. Mdianlc un trasportdor o schicirclo8rduado s mide f ngrJlo EOQ

-

61,5'. Por lo tanto, elvcctor OQ tino de rrdulo 7,4 *m, y di.eccin y stidoE3tc 61,5" Nortc.(b, Dt.,ninacijn anoltica de la rctultant.. En el trinsuloOPO,llamado A, B, Ca los bdulos do los vctore3 A, B, c,rdpectivamne, el teorcn del coseno Dnt scribir:

C' = At + B'-2ABcos L OPQ:tr + 5,-2


-{9lindo ahora l teo.ema de los snos s deduce l direccin y el sntido:AC

ser L OQP sen L OPQ

A*n oPO I (0,70?)*n oQP

a - 7.41

: . 0.285s, LoQP : \6 '35'

E vcior OQ, en consecuencia, tine de mdulo 7,43 km y una dre.cin qe forma un ngulo con lairrEin Este de (45'+ 16'35') :61"35', esto es, su direcljn y senrido quedan defindos por Este 61"35,

.{ 5 la suma o resullante.de los siguients dsplazamidtosir-lo trtros hacia el Noroestej B, 20 metros, Este 30' Note; C, 35 meos hacia el Sur. (Fg. a.)

E l xtremo de A s sit el oriepn de B.

E el extremo de B se sita el origen de C.l resultant D se obtiene unierdoelorign O del vcto A con el extrerno de C, es dcjr, D : A + B + C.Sigiendo el mtodo efico se dedu@ que el vecto D tiene de mdulo 4,1 unidades:20,5 m y und

rtFrin y sndo defrnido por Este 60 Sur

fs.(d) Fs,()

S" Draostar qu l suma de vectores soza de a propiedad conmutativa! A + B: B + A (Fis, (r)).OP+PQ:oQ, o bie, A+B:C,OR +RQ: OQ, o bien, B+A:C.

For lo le!o, A-B B A.

5 Dcostrar qu la suftra de v.tores goza de Ia popiedad asoiativa: A + (B + C) : (A + B) + C.OP+PQ:OQ:(A+B),

Y PQ+QR:PR:(B+C).O + PR : OR : D, e,sdcir, A +(B + C) : D.oQ + QR : oR : D, esd.ir, (a +B) +C : D.ftoces, A +(B + C) : (A +B) + C

Gneralizado los resulidos de los probleas 5t s almuestra que en la sum de cualquier lmeo \ctores la resultantc cs indepcndient del orden en oqE s. tofmn,

, ( -.{

6 VECTORES Y FSCALARFS

' ;:if,ili1i1i3H'#:,i",Xi::";;-* "" ", . . . , F". Ha,,a ra ruerza que es ne@sario ap,ica

n p

::iJ14:1{:"{ rlll{"i;::::f ilT i:,ifii:t :1'"J,::,'?.:'#j,: fi":tT,,i":""1T::,":,Hta:henre. con to que s obtiene et potigono deplgli;il"lr*.i;; ";."'#;':T"f'.:H$::i*.,i1""'fi",l'"'1ii"3ii.l*'.'r':r;Jii,'*i;i:.,,.:":'j1ii":LT-th?l'r;1;:1i.":lll',,,"#: ff:?TffllJ,?,::: * -*, esro s, e, vc,of

8. Dados los vectors A, B y c (Fi8. 1a), consrruir tos vectores (a) A _ B + 2C, (b\ 3c _,1.e^ _ B)

(bt

f.I

- i (2^-a)


|' IL rih * au! cn la dircccin y sntido dcl Nor---

rclocidad, rolatirr l Ti.rr, do 250 krvhb r l crt rci d. un vicnto hcia GI O6te con

-dd.d d 50 tm/ll rElva a l Tirt lmblh.

Er h v!ocida4 dirtccitu y sciido d.l i,ccto yclo-t l oc ll.i?rla cl avin si no hubicac vi.nto.

-*-- -t

{ 'ial

s. w : vetocidd dl vicnro -

a' il /

v. : volocidd del vin con ento rV! : vclocidad d.l vtn rin GDto l'I

F 6t&! codbidcs,

. : v. + w, do donlo v, -

v. -w : v. + (-lV).-

Midiondo I oogitud dol \ccto! V se obfen 6,5 unidades quc equivalcn .llo vicncn dados por Oest! 33' Nortl.

I. Ido6 doo vatorEs y I dc dilint diEccin, hllar la crptlsin dc olquic vctor r dd plao &tcminadoF qucllo3.

Los vrctos ddos no ticcn l rnis dircctriz. Por lorto, &tarmia! un plao. S6a r culquicr vector do dchollo y r8sladomos los \ctorc! r, b y r dc

'naoe quc t.ngn

d oripn comln O. por el xtoo X do r cemos partlole bs diraccloa! dc y b, Elpccti$rnrnt , forndo l para.

, rLlograoo ODRC. D l 68u 16 doduc , \ . r.

oD -(oa): .n, | _ 'L"

OC : r()B) : ), 4., ,,. -ondordcxcrso.cal tB

Ahora bion, rgn l ly do compoicin del paralclognmo,

OR:OD+Oc, o bi . L r : +, t

))''t,

/ - \ { 1t r r: ) ,

. / 1 u

. .u

I

q. ca l opnsin Fdid" l,oe v*lorEs . c ,b son 16 @nqotu tcs t ctld.t, o v.clo.!s cooporcrit .,do r s.dn l! dincciord &. y b rcsFclvrFntc' lr3cac.ldlsr/p.dcn s.r poaitivG o D.stivo3,rgr 106 ati!6 d lo3 icclo.la. Dc l constrccin gcomtrica s d.sprndc q*.t c / son nicos pore., b y (hdos. los vcctorEs a y h * lo. ve.toret n la tt dl tstema dc coord$adrs dcnido por utdircccioDc on ol plano quc dlrfiinn.

L Dddo! trqt ttorai no coplario! ni paralclos , b y c, hllr l expresin dc cuslquie vctor r r cl 6paciotidimcdon4

s.e rl vdor culsui! d.l.spacio de origi o d qoctrslad.Eos lor trc6 Elorrs ddo .' D y c. Por cl .xtrlso idc r t ..mo6 plir6 parLto3, rca!.civamt , lo3 qu.rtct!minn . y b, b y c, y. y., fordos! cl paratclcplpodoOx,YUtl. Dc h fieua sc doduco,

ov = (oA) :r )OP : OB) : ),b ) on dond! , /, . son e!.rcson

-

loc): zc)Alorbi. | | OR :Ov +vQ +QR

-oV+OP + OT,o bicn, r -. +}n+ ,c-

Llc Ie con truccin g.or!ic $ d.6pr.nde quo /, y t ron nico6 pam r, b, c, y r d,dos.

. - ' ' - - - . - '

VECTORES Y ESCAIAES

Los !ctorcs .,lb y zc sollas compon tet vctoiales, o vclorts coftponcntct, de r.segn Is dirlc-ciones de , b y c, repecrivamnte. Los vsctocs .' b y c son los w.to'* n la bas d.l sisttroa d. coor'denadas dnnido por sus direc.io.ca cn el spacio.

Coo caso padicular, si aj b y c an los vector6s uritrioi i;l y k, respectlvacntb, rirtrtulncnte pr_pndicuiares, culquier veclor. se pcdc expresar! d fom nica. cn fncin d li)s vcctors nitrios segnlos ejes po..

-.

i + / + zL.Asimismo, si c

-

0, el etor r peno.er al plano fomado por y b, obtcnind@ lproblema 10.

12. Demostrar qne si los vectorcs, y b no tienen lamisr a diccin,la igualdad vctoriai a +/b = 0 implicaque: / :o.

Supongamos que I O. Ertoncls, de . + /b : O s dducc : /b, s dcci. : --(//)b. E-sloquiere dcir que a y b ricner la misma di@in, lo cul es cont.a.io a la hiptsis. Por consiguienle, 0, v de vb 0 se desprende que y O.

r3. Demostrar que si y b son dos veclores cuyas dircciones se cortan, la iguldad v@torial ,a "l- ),b :r + / b impl ic qu , e r ' : , r .

, +/ ,0: ! +/ :b,r + / ,b ( ,+vb):0, o bidt, (-xJ +Cv'- . / )b=0,

Po lo ranro, sesn elproblema 12.

.t, -

' : 0' ,' - t: : 0. o bien, , -,,'Y':!,.

14. Demorrar que si , b y c no son coplanarios ni paralelos, la iSualdad vectoil x +/b +zc -

0 implicoue. i :y:z:0 '

Supongamos que + 0. Enlonces, de s +zb + zc:o sc deduce = -)'6 + -:c, es decir,

: -


II3""; i;ii*ll1llli';:,::: ':f"i'-o: "l "'9* o v 11' r,..,. sus rcsprcrivos vectores de posic,n. Dmos-g*,:' li TlTfi'T"'.:::::: ^ ^: - ",.: : o'.;'rd;;;';.;i::;i;;HT'.:?[[?:Ti;=q1 O' si, y soto si, se verifici , + ,, + ., 10.

rll=de o. venos en qu codiions * *,i"."r.i,iiJi-,,ir;;,.,.;;;:i,H,i".ii,.".#;:rJ); ' iF1::1". '" 'Ti: ' :-oj,::: ' : lle-f,r:f ' ,{{rrespecbdeo vver

vecrordeposicindco'r6s.

o).

_D. la.Fis. () -se

deduce qu9., : i +r , r , :y +l ! , . :y +r, ! , con lo quc la ccuacntr -

,r! + rr : 0 se transfomd en

a\ + a{, + a,r1: a(v + ri) + lr + ri, * "*'

*.,,_ (a, + a, + a,:)r + a,, + oii + a,,, : O

La condicin n.esaria y sficienre pa.a que ,! i ,r., + r.i : 0 es(a,+a,+a

-0. es dc. i r , a,+ar+a,:o.Este resultado puede generalizane sin dificutrad.

:l :,",;:::."".1T,1.-:1.,:ra que pasa por dos puntos 7 y a cuyos vectores de posicin 65pcto crcr orscn o

{:. y D, respecnvamente.

S.a r el vector de posicin de un punto gerico P de la

Dc Ia gur adjunra se deduce,D\-AP.- OP, o bien, s + Ap : r , de donde Ap : r _

01 - AB : OB, o bien,a + AB : b, de dodeAB : b_sAhora bicn como AP y AB son colinealcs, Ap : rAB,(b ). po lo ranr, ta euacin pedda cs

r: + (b-a), o bic , r : ( t _r) + rbS.6' ecuac'n sce$r ibeen ta fofma( 4a , /b_r. 0, o- :

i - r tudsusco. i rnLesdea.byr6 | _ | r_ I =O-.: ionstSutente. segn et poblena 18. el punro ppertcncce : re.ta qu une

"4 y A, jndepndientemnte de ta cleccin

,Jo nlao, Corno Ap y pB soa colinals, siendo h1 y ,,:!r escalaras sc verifica:

nap np['. o bjen, n(r-.) =n^ nn! oonoe se deduce r rr , ,

que se ttama farha rinrica.

VECAORES Y ESCAI,ARES

20. (^4- Ylllr !:.vcr9y d poscin 4 y r, de ros puDto!r\..1,rt I urt. -r.1, cf' un s6tom dc coor&nd3trirrecrnguhr .n fudctn de tos rlctorcs unitrid l,l, L. () D.t rminar grc y am tictncnt le .6o rE6lr.rc dc dirrc3 rc-ro() r =OP : oc + cB +Bp

-

2l + 4t + 3r

-

oQ:oD +DE + EQ -

t_51 +2r(bl ctfcank,t.,la rcsulratrrc d. r, y .r !. oor!.E

4t .! otsoml OR dcl paralclosramo oPiO.Anan cant vtcn d^d^ r

Q{r,- t ,2)

, + r' = ( + aJ + 3r) +(l-5, + 2) :3t-l + Jrquc cl rdulo ,,1 dd vocaor A vide ddo por

Ai+AJ+ Acc a: l lJ41.Por cl t orcna dc pitgoas,

(oP)' : (oor'+@b"er dode O-P s et mdulo dl vecror Op, erc.Anlos'Ent, (oO)': (oT)'+ (iO)'.

Po Io !nro. (-p)' . ro,nl. + riOy - tO). o

A, -

Al + AZ I ,ri. ca deci', ,r : ,/ /? + 4=/l. Dadd lo3 v.c.or* rt : 3i-21 + t, r, : Z-4r-3r,() r,, () r + r' + r.. (.) 2r - 3q - 5r,.

t . t l r " l , r - r4+zr l = v l j t1 -

tzf +6 = c.

r,:-r+2r+2t, bl lr lo. dulo3

= 4t- i ,,6 = *6=s,ec

() q+.2i . . = (3r-2,+r)+(a-{ t -3t)+(- t+2t+zr) -

at-{J+otPor to tnto, l!+r,+."l = l l-+l+orl . /(8;7:&, to] =

() al -

3.2 -&3 = 2(3t - 4 +t)

-

3(21-r, -!t)

-

i(-t + zJ + z)= 0l-4t +21-6t +tA +9 +

- roJ - tor = 5

-2, +.Por lo rnto. l2r1-3r,-s,"1. r -zt* l - / (R;(8; (# =,6=s.qz

Dado. loj v.ctoE! f, : 21-l + t , h : + l -2r, r, : -2t +l -3r, t : 3r * 2i * 5r, h[va6os oc os c.3lars . y . d0 mra quc . rr r f r d..

3r+2+5r = (21- l+r) +r0+3t-2) +c(-2r+r_a)= (2.+b-2c)t + ({ +3 +c). , + (

-2 -3.)r .

Aho bi.n, los ytores i, L k no son ni coplanarios ni partelos, sc$l.n el probldra 15,2t + b-2c:3,

L !.rctoI I

\ctores r, : 2l + 4-5L,

rslttc R : !+ 12 = {21 +4J -5k) + (r +2j +3}) = 3i + 6j _ 2[.r . ln l = l r -o-zr ,

-

/o7- tat ' - , . - = t .For lo tanto, un vector unitario .on Ia dire.ci y sentido d R es ! 31 + 6i - 2L

Comprobcin : l ' l =

sLrqyr.106v.ctort dc Do3icln dc Py O, tspetiv-ment , y r .l concpondicrt un punto Enrico X d. lrecta PO.

rt +PR -

rr o bisr, PR = t -rr

rt+PQ -r} o bi.tt, PQ : rr - r

Ahor bicn, PR : PO, lkndo r un c6calar. Ibr lo tento,r-r : (!'

- rJ qlrc es l c1!ci yrctorial d. h r!c-ta"

En coordonadas Iectangularcr, cono r-: l + , + .t,

. k l ' l r - ) - { r l . r r l +tr , ' t l l r2t . r2t . .2) - ( r l . t1t 'r) l( - r ) t+(r- t ) l+( ' - , r ) = t l t '2-

' ; , t + 9a-t) t+ k2- zr ' t r l

Cro l, L t Do ror coplanrioc i pardcloc (on linealEert idrp.ndi.ntes), s.gn .t

VECTORES Y FSCALARES

t-r -

t(yr-r), ,-4 -

4\-z'\de l rcct, si6do , el psrfro. Elii r !6 obtidi.,

f - t tfc- \

,. Ddo d cipo gcalar definido po {(, /, z) -

3': -

.ry' + 5, har .l vdor d. { o ls punor () (0,

5 = -12'

$, RFascntr !rste lo! si5i.[ta3 cspo vlctofsba i()v(,r)-.d+/r, () v(ar: -t-r,|, () v(.r,/,r)-.l+ ,i+*,

(b, (t, -4,2r, (c) (-t, -4, -3t.

() C(o,0,0) -

3(o)2(o -

(oxof + 5. 0-0+5 =6l Q6,-2,21 = 3{rff l}- (1)(-2f + 5

-

6 + 8+ 5(c) (-r,-z.-i) = 3(-1f(-s)

-

(-)(-2f + 5 = --e -\\

=19

8+

() En cad Fnto (r,r), cr(6pto d .l puno (0, O dcl pl.no r/ ..t ddilo lm rdor nco I +ndub y'FT', cuya rticcin Dasa por .l oriar y *r.ido !.jdos dc 1. P.d .iopli6rntodos 3fico!. obsrv.ro! qua lodos lo v.ctor6! sociadoi o lo ltuntos do l! c r.untt + lt

-

a', .o a > 0, ti6n n d. Dodulo . En ls Fig. () 8poD rprclontado cl c.npoc1astr a uD drtcrod clcal.

,

VECTORES Y ESCALARES l3

t4 F, cste caso. cda vctor cs i$ial y oprcsro l corqlpordiente de (4). En la Fig. () se epr$nta .l cmporEtorial en cuestin.

En l Fig. () cl cafipo ticrF cl asp.cto d un flido qc cmerg. do na funre puntul n O, siguiendohs dire.cones y se.tidd qu apa.cen. Por 6sta arn el @mpo sa llan dc tipo uehte puntual.

En l Fig. () cl cmpo parecc fluir hacia O, por lo que sc llad. de ripo r4ntilo Dunlua,.En el espacio de t es dmcsioncs la interpfctacin co(sponale a un ffuido que eor8e (o d$gua)

Edialmente de 1a funte fo sumid.ro) line1.El campo vectoial s llu bidirEnional porque cs indcp6ndiente d ,.

It4 Corlro et mdufo dc c^da e.ctor.s \/ilir, todos lo5 puntos de l sup.rficie esfric6:1.+ /, + z': :, con a > O, tiend el mismo vcctor d. posicin uyo mdulo es, prcisamente, . Por cosigiente,.l campo vectorial prqsnta el aspccto de un fuido qu enr8e de na flnte puntuat cn O segtn ods lsdircacioncs. Es u canpo d! tpo /r, puntual cn tr. dincNoncs.

Edc lar raAnitud6 que se citan dccir clcs so csclar.s y cules vectoriales. () Encgla cintic, () inten-ird dl campo cld'ico, (c) entropfa, (d) trabqio, () fucrza ccntrrus, (t tcmpc.atur, (a) por.ncal sravila-erio, (r) carga ldnca, (l) esfrzo corrante, U) frecuencia.sot (a) esclr, () vectorial, (c) esclar, (d) .sclar, () vccto.i1, (/) cscalar, (s) cs{:lar, (}) .sclar, (, \ctorial,

U) es.alar.L_n avn rccon 2m km haci l O.st y luelo lJo km Oestc 0' No.tc. Halr) erf.n n&, () analiicam.rte.iof. Mdlo 304,r knr, dircccin r sentido Oesre 25'17' Nortc.

Hallar l dcsplazacto rcsultant de los siguiDtcs: A, 20 km Estc 30" Sur; B, 50 krn hcia el O.6to; C,{ tm hcia el Noresk: D. l0 km Cresl. 60' Sullr Mdulo m,9 km, dir..rin y sentido Oest 2l'39' Sur.Dcmosta. scrt[nt qe -{A - B) : -A + B.Sob. tln sldo prntal en P actan las tres fuers coplanaria! qr m$tra la Fig. (). Hall. la fuerz qu..s ne.csario aplicr cn P para mantcDcr n cposo al slido dado,So 323 lV di&crarnrntc opuost a la de i 50 .

Ddo3 1o3 cton3 A, B, C y D pr.sertado dr le Fig. (), construir ol vcctor (?) 3A -

28 -

(C -

D) r ;c+;(a-B+2D).

t

IIkI

Problemas propueEtoe JK

lazamieno rsulCmtir


31. Sea ABCDEF los vrlics de un s(gono regular, halla. Ia resultnte de las furzs reprEs@qs porvecto.s AB, AC, AD, AE y AF.

l4

S/. 3 AD.

I h 25 min.

42. U slido de 10ON depesopende dclcentro de unacurdacomo se obsera en la figura. Halla la tensin 7 en ;a

38, siendo A y B dos vctores dcmostrar las d.sigualddes() lA + B I= la l+ lB ,() l -B l tA l-39. Demostrr l dcsigualdad I A + B + C I S I A | + | B | + | C l./0. Dos cindades.! y A e$n siruadas na frente a la olra en las dos oillas de una ria de 8 km dc archo. sindl

velocidad del agua de 4 krn/h- Un hobre cn ,.{ quire ir a Ia ciudad C que se encuenha a 6 kn aSuasde, y en su misa ribea. Si la mbrcci qu utila tiene ua velocidad xirz d l0 km/h y d.3.. Ia Cen l menor timpo posibl, qu dirccjn debe torEr y cunto tiempo emplea. conseSuir s-s/. Deb seguir un rayectoria rectillna formaddo un nsulo de 34'28'con l di.ein dc l corri

41. U hombre que s dirige hacia cl Sur 15 km/h observa qe el vierto sopla del Oesto. Aum.nt sua 25 kr/h y le parece que cl vicnto sopla del Suroeste. Detminar la vlocidad det vinto asi como su d

s/. El vionto vien en la di.ccin Oeste 56'18'None a 18 krn/h.

,sol. 100 N.

,t3. Simplifica. la expresin 2A + B + 3C {A - 28 2(24 lB C)1. So/.5A-38+C.44. San a y b dos veclo.es de distinta dheccin y A : ( +4/)a

+ (2x + / + l)b y B : (y -, + 2)a + l2x-3r- l)b.Hallar los valorcs d. : y d.y d manera quc 3A : 28.Sol . r :2-r : - t . lmN

5. EntE lc vatores d las bass de dos sistetl6 de coordemdaE s,, , rr y b,, b,. b, xist n las rclcionca

, :2h + lb ' -b , ' :b ' -2h+2b' , &: 2!+| ' ' -2b,Ep.esar l v@tor F : 3b,

-br + 2b, cn fucin de r,, s", s". Sot. 2' + 5.' + 3.4. Se , b, c ires vectores no co!,lanarios ni paralelos, detmiar si los vctores : 2r - 3b + c, r = 3

+ 2c, y 13 : 4a - 5b + c son lin.almente independinles.S/. Como se ve.ica I rlacin r. : 5r,

- 2,, solr lielmete indepndientes.

47. Consruir el paralelogro dados sus vcctors diagonales A y B.

48. Demostrar que la rect que une los puntos medios de dos lados de un tringulo es paralela al t.rcarigual a su rnitad (paralela media).

49. () Demostrar Ia gualdad vectorial O^ + OB + OC : OP + OQ + OR, siendo O un puntointerio al 1risulo ,4rC y P, 0, I los puntos medios d los ladd ,rr, C, C,{, respctivsment.

() Es cirta la igualdad si O es Lrn punto exterior l trineuio ddd? Demostrarlo. So SI.50. En Ia figura adju.to, ,44C, es un'paralelogamo y ? y O

los puntos mdios de los lados rCy CD, respeclivamete.Demostrar que ,{P y,{O dividcn a la disonal t en trespartes iguales mdiante los puntos y

51. Demostra qu.ls edianas de un trinsulo s. cort enr punto. que e llam baricentro, a l/l del lado y 2/3 delvrtice opuBto s8n cu&lquera de cllas.

f. Defilostrd q las bisc.icca dc 1o3 ncrtlos dc u trii-gulo s cotd en un puDto, quc 3a llra ilrccDtro y @ffes-ponde al cto de la circunfcrcnci ioscria al agulo.

53. Dado un lringulo culquicra, d.morrar quc exist otrotringulo cuyos lad6 son iSualcs y paralelos a la! edianas d aquel.

l *-.tru


:l S. t y q los yctores de posicin, especto ale u orign O, de los punros P y 0, respecrivamenre. por otratrE, 3.a R un punto que dividc al segrrento PO on la rclcin a : r. Demoslra que e vlor de posicin

rD -f q

-

'

-

t vic dado por r - ; ;: in&pdicnbenentc del oflsen elesido.

:I- t o r, !., ...,I, los vectorcs alc posicin! respecio de un oigen O, de las rnasas pu.tuate5 2,,, ah, .,., n,,.E5.ivamcnte. Deostrar qu .l vector de posicin del contro de nasas vine ddo Do

7r| + 2r2 + ,.. + nn n|liatLs.a

h"i"*'

si.

rod.p.odiontemcntldel origon elcgido.

. E Los vrticrs d un cuadriltcro, A(-L -2,2r, D(3,2,-l). C(t, -2,4t. y D(3, t,2), se colocan .nasa3 l,2,3 y 4 unidades, respectivamcntc. Hallar las coordcnadas del cenlo de masas de dicho sisterna.5!_ (2,0,2).

!f- D.f,osuar qu la cuacin do un plano que pas por lres punlos dados ,-1, r; C, no alineados, d veclofes dcoslin rcspctivos r, b, c resfrecto de uD oricpn o, viene dada por

p.+,b+pc l ._L. l* , ]* l^- l r l . l l i .) \ L i \+: ,

do ,1, tr, p esqlares cualesquicra. Comprobar que dicha .uacin es independi.nlc dl oican-elegido. / '

i 'Lo.vctorcsalposicindelospuntosPyOso,r .spcct ivamele,r ,r-2i ] j3 l+k,y, :4 ' i : l j+2k.Derermina l vctor PQ en funcin de i, j, k y hallar su mdulo. so/. 2l-l +k,7.'

f Seoo . : : - l -4k, B = -2t + 4j 3k, C: i + 2J-k, hal l r

{') 2A -

E + 3c, () | A + B + C l, (c) I 3A - 28 + 4c l, (d) un vecto unilario con ladf 3A-28+4c. Sor. () l t i -sL lbt \ . / e.u ( .) / lss = 19,9t ,^ la 28+4Ct9.95

1sobrc un slido puntual en P actan las fuerzs F,:2i + 3j-5k' F -5i + J + lk, F,: i -2j + 4k,r. : 4t

- 3i

- 2k, riedidas en n *tons (N). Hallar () la fuerza esultante, () el ndulo de dicha resultante.

sol (a) 2t- L Q\2,uN.- En cada uno de los dos casos siguintos, determinar si los vectors dados son o no linalmente ndependiontes

1d) A : 2l +l-3lqB : i -4I 'C = 4i + 3j k ' () A : t -3i + 2I 'B : 2l-4j k 'C -

3i + 2i-k.Sor. () linehut dcpendientls, () lialEnre indepndentes.

C- Demost.ar qu cada cuatro vectores cn es dimnsiones dbn ser linealmentc dpddinls.lt g- Dernosirar que la condicrn ec$aria y suficiente para uc lo3 vctores A : ,41i + /l _l_ ,'1.k, B : 4i + ,i + ,k,

l i , !",1"\c:cl+CJ+csk, sea liealmentc independieres es que cl dererm ina n r ll i, i" | '*al't.t"cccero.

ar () Democtar que 106 iEctores A :3i +t-2k, B: -l + 3 + 4, C:4 - 2i- 6 puedens$ los lados

de un trirliulo, () HaUa. las longiaudd de las &dianas de dicho tringulo sol.2.45;5't4t6.12.G, Dado el cmpo escalar 4Q, t, 4

-

4rz' + 1ry2 -z' + 2, hallar (a) d(1,-1,-2),() /(0, -3, l).sr. () 36, () ll.

f- Reprecntar grcanente los capos vectoriales definidos po.() v( ! . r ) ; r - 'J . ()v( t . r ) =/ l - r j , ( . ) v(r . t , , ) . ##3

CaptuloProductos escqlqr y vectoriol

PRODUCTO ESCALAR O INTERNO. Dados dos vecores A y B, sr p.oductoo intrno, A' B, s define como el producto de ss mdulos por el coseno del ngulo 6 quePor lo lanto.

S.Dados A = 4t+lei+4t yAA

A'AB 'B

Las propiedades del produclo escalar son:

. A.B = B.A2, A.(B+C)

-

A.B + A.C3. a{A B)

-

(nA) B -

A (ng). (A'B) '4. t . l = j . j =L. t

-

1, 1. , = J, = l . i =0

Propiedad conmutativaPopiedd dislrib1iva del producto cscalrespccto de la suma.sieJo ,, un cscalar

L,B -

AB crs9, OS0="Obsrvcsc que A B es un escalar, un nmero, y no n vclor.

B = 8ri + AJ + 8.t, se vrifica,= Ag, + A,B2+ 483=a2=a2+'+a2=a'-ni+ai+ai

. Si A'B : 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son perpendiculaes.

PRODUCTO VECTORIAL O EXTERNO. Dados los vectores A y B, su productoe,(tcrno es otro vector C: A x B. El rndulo de A X B es el produclo de mdulos por el senongulo I que forman. La direcciD dc C

-

A ),8 es la prpendicular al plano que foman A y B, ysentido es tal que A, B! y C fornun un triedro a derechas. Por

'o tanto,

A xB - , . {3sen09, 0303n

siendo u un vector unitario que indica la direc.in y sentido del prodclo A x B. Si A: B, osi A tine la misma direccin qr.e B, sen0 0, co lo que A x B

-

0.

Las propidades del producto vectorial son:

.1.2.3.4,5.

axa -

-BxAx (B +c)

-

AxB + Axcn(AxB) = ( 'A)xB = Ar (DB)

(No goza de l pfopiedad oonmutatila.)Propiedad distr ibul iva del producto vcctor ia lrespecto de l suma

= (Ax B)n , s iendo ,) uD cscalar.ix l = jx j = krk .0, lx j=k, jxk- i , k: i= jDados A =l1i + ; +, \k r B

-

Bi i 1B, i+4k, s \ ,cf i r ic .

l6

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAI

i tka1 A2 A3B1 82 B.

L7

'] El rodlo de A x B reprsenta el ra del pralelogramo de lado A y B.

_ A x B - 0, y nirguno de los veclores es nulo. ambos tjenen ia misma dieccin.

IIODUCTOS TRIPLES. Por medio dc productos escalares y vectoriales de tres vcctores,L 3 c. s peden formar poductos de la forma (A-B)C, A'(B x C) y A x(B x c). se vcrific|qicdades siguientes:: ' { r .B)c+A(8.C):

-r.(B x C): B'(C x A): C. (A x B): volumen de un paraleleplpedo de aristas A, By C.Dn signo positivo o negativo segn quc A,By C formen un triedro dereohas o izquierdas.s A :,11 +,r' i +,{g|(, B:4i +4l +tL y c : qi + crj + c'

AtB =

A.(Bxc) =

, b/ci . bx.

a bvc t 0. (problernas 53 y 54)

A1 A2 A3

81 82 B.

c! c, c.

: - ,^x (Bxc) I (Ax B) xc!

-4 ' (Bxc) = (A.c)B-(A.B)c' i - {xB)xC = (A.c)B

- (B.c)A

q producto A . (B x C) se l1] ttple ptoducto escalar y se repcsenta por [AnCl: El producto,l x C) recibe el nombre de liple prcrlLt to vectoral. el producto A .(B x c) se peden omiti los parDtesis y esc.ibi A 'B x c (Problema 4l).bargo, sto no se puede hacar en el producto A x (B X C) (vanse los Problcmas 29 y 47).

(El producto vcctorial no goza dc la propieded asoclriva.)

SSTEMAS DE VECTORES RECIPROCOS. Dos sistemas de vectores ,b,c y ',b',c' sc

' ' -

b 'b '= c 'c '= l

C. -

a ' .c = b ' . a = b ' .c = c ' . a = c ' .b = 0

l condicin eccssria y suficiete para que los sisteas de veclores a,b,c y ',b',c', sean recl.

cva

-J; r,": -f i , l

- i "1 =

.

' : -=-

IE ?RODUCITOS ESCALAR Y VECIORIAL

Problema resueltoe

PRODUCTO ESCAJAR

l. Deftostrr que A.B : B. A.A.B:/Acos0:A/co0:B'A

Por consiguiente, et producto os.alr goza de Ia propidad conmuttiva.2, Dcmosar qw A.b cs igual l proyeccin dc A sobrB B,

siendo b el vctor urtaio cn Ia diEccin v senrdo de B.Coo indic la fisur, los plaros pcrpediqlares B

trazado3 por l origa y cl ltmo de A corrn a aquA Gn bspuntos G y I, .spctivant, po lo tanto,

PfoyeccindcAsobroB:Cn:EF-Ac60:A.b - i i3. DemostrAr quo A.(B + C):A'B +A.C, |

' r --- . -54 el v.4tor nirario en la dircin y s.ntido de A,

Proye4cin de (B + C) sobre A : proyccin d B sobr A+ proy.cin de C aobre A

(B+C).r :B r +C.Multiplicado por ,,1,

(B + c) ,! : B ' ,,{ + c . ,{s(E+C).A:B,A +C,ATeniendo m c.nl ! propiedaal conrhubriva dcl prodrcto

A.(B + C) : A,B + A.Cluego .l produclo esclar goza dc la propicdad disiributiv8fspcto de la suma.

4. I}mostrr qw (A + B) ,(C + D) -

A.C + A.D + B-C + B.D.Dol problena 3, (A + B) . (c + D) : A.(c+D)+8.(c+D) = A.C+A.D +B C+B'Luogo el producto e!.ala soza d la propiedados del gebm ordin.ria.

5. Halla los prodrctos s.alarcs siguirbs:r ' l r . r = l r l l r l

- .

o ' = ( l ) { r ) (1) -

1() l . I j l l L cos 90- - ( l ) ( r ) (0) . 0r . l r . l . l . l l l l

- "

m' = (r)(r) (o) . o(d) l . {2 i -3J+I) = 2j l -3J.J +l . l t = 0-3+0 = -3() (2t- l ) . {3 i+I) = 2l . (3r + r . )

- , . (31 + r) = l . t + 2t . | - 3 l ' I - , ' t = 6 +0-0-0 = 6

l

l,t

,6.) i A = A,r+ A,t + A y B = 8,t + 4i + 4k, deinostra. q\ . ^.R

= A$r+ A2B2+ Az\-, / A,B = (11+,42j +,t . [ ) . (al i +a2j +83)

, , {1t .(al t + 8J +a3[) + 4J.(1r+8+4r) +,a!t . (8rr+, ,+S3k)Arqrt + 1B'.r +,\%r.r + a,BJ-t + a2B2r,, + 4831. + A.B!r't + 4B2r'.t + ajB.r'

l'tl*

B'D

ls

i4-

Fur'

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

= A&r+ /t282 + a.B.r F i. i = I' j : k. k

-

I y todos los dcft produclot csclars son nulos,

!- oA:,lri +,{t, + .r'r, ricooctrr q,r : y'T.r : \/-A'J,+,+,1'.A ' A (,1) (,1, co3 a' = A'. l"tryD, A - yti A.Ta.nbin, A.A : (/tl +,rJ + A*),(Ai + )tl + I,tt

: (A)(a') + (A')(A'\ + (A)(A,) -

Ai + ,ti + s"! Foblefna 6, tonndo B

-

A.

a-Ha.l l r . lv lord.dcformq'cA:2i+d+ry8-41-2-2snp.rpcrdicul t6.

l9

ri-''> ' -,

It lo-ano, ; : VT .r -

\/4:+ 4+4es elrtdulo d6 A. Alsnas vces A.A 36 rcp$snt por A../ '6 - '1 A"-E rhr et nsuto fondo po los vctorcs a : !i l2r-L y a-6i -tt-?'

^.8: AR.60, ,t

-

\/6 +@ e : t, B - ^//(6r' + (-3r' + (21 :1

^.8 : (2)(O + e)(-3) + (-r)(2) : 12- 6 - 2 = 4

Por ro rnto, co!, - +P : Or: f = o,uos. * a.

t s A . B : 0 y ,1 y so dbtintos dc cro, demolr qu. A ca prlendicular a B.Si A.B :,{acor t

-

0, mtonccs cos 0 -

0, osa,0:9O'. Reclprocament, sir -

90', A B:0.

Del proble 9, A y B ton Fpo.liorlat6 s A 'B = 0.

Por lo tDto, A'B -

(2)(4) + (d) (-2) + (I)(-2) -

8- 2o-2 -

o,.lG do'td, -

t.

t t . Dostra quc 106 i taiol A:3i-2r+k' B: l -3r+5k' C:2i+-41 tonnn n tr ingr lo

Dcmoatremo., on prioar lgr, quo los v.clor$ forBn tringlo.

()

De las ngrras 66 dduc que ello oc.re si

()

\ i \ i . ;1 t . -L() uro.te los rctorcs, por cjdnplo (3), s la sultt dc los otros dos (1) y (2).() I Esultrl. dc los vcctorB (l) + (2) + (1) r cl vector nulo. Cono idi@ ls figurs, pued. ocuri

quc doc vctorB tcnlM cl sctmo cotntrn, o bien, quc ninSuno de los extrE nos coricidn' Er ust.ocao 6 tivial qu. A : b I c y, por lo tanto, los v.ctore, forfn tri8tlo.

.J, coo A . B = (3) (l) + (-2) (-3) + (r) (s) : 14, A . C : (3) (2) + (-2) (l) + (r) (--4) : 0, y] B'c:( l)(2)+(-3)(l)+(t(--4':-2l,scd.duccqueAvcsoperPendicular$vqueelkinsulo.I es rcEnsuro.

- - ' - ' - ' - -

PRODUCTOS ESCAIAR Y VECTORIAL

_r1, Hallar los nsulos quc forma el vecror A : 3i - + 2k con los ejas coodenados,Soan o, , / los nglos que forn A con los somicjs positivos , /,

",

rspcrivaenrc.

A t: (A)(t) cos a = ",/ a 11-e 1 1z cos a : 7 cos oA. : (3_6i +?k). i : 3 i . l_j . l * 2k. t : 3

Por lo tnlo, cos d : 3/7 : 0,4286, d. dond a : 64,.r aproximdamente,Anloraftnt, cos =

-617, P : I49", de donde. cos y : 217, r = 73,4o.Los cos.nos d. d, B, y ,,3 llatuar,.osenos dircctotet de A (problerna 27, Capaulo I).

J 13. Halfar la f'rorcccin del ilctorA: t-2i + k sesn la dieccin deB:41-4i + jk,

B+C-/{ , o bin, C : A-8,c. c: (A-B).(A-B): A.A + B B-2A.B

cr: Ar + B. _L1Bcos0.

AU

Ftg.(d) Fl.

Dedlostrar que las diiasonalas do un rombo son perpendiculaG. (Fis. ().)oQ.. .OP+PQ-A+BoR+RP

-OP, obie, B+RP:A, de donde, RP:A-BLuoso oQ-RP: (A + B) (A-B): , { : -a! :o. yaqueA:B.Po consieuiet!, Oq s pcrpendicula a Rp.

I

tfl ' r41

.&.

o sa, (1) 2, -

6., : 3.,o sca, (?) 4c, + 3c : cj

El vctor udr'io en ra dif.ccin r sertido dc Be b : f : iaffi- f, r - f, ; + !*.proyeccin dc a sobn el vcror B : A. b : (t- A + D. (+t - +t + +k)

-

or(f) + t-a(-*) n or (l) :'r1 :''",,/4. o"n**, .l torrha itel coseno ile un tinsulo

uarque.En la Fis. () inferior,

Lu.go

.) rs-

-/ 16. Hallr el vector uritario perpndicular at plano formado por A : 2i -

6j -

3k y B : _4i + 3j

-

k.Se C = .rl + c't J- cak un vector pe.pendicula. &l plno formdo por A y B. El vec(or C s prpen-

dicularaAyaB. Lu.eo,

C'A -

2c, -6c, - 3. : 0,

e .B:4.+3.r- c, :0,

PRODUCTOS ESCALAR Y

ffido.l sircma romado por (.) y (2) : q = ; .r , ,4r d i.ctor unlario en la diec.in y sntido dc C es

VECTORIAL

= _ !" . =

"" r lr - | ;

-

rr.

3(;r-,+)

. " ' t r l f . r -{r+rrf) 1(; - ; l +;r) .I . J

, f .cc

&.t labaio rBlirdo po.la fuera F:2i -l - k al desplazar un slido puntual a lo larso del vcctorf: r:?i-5r. (Fis. (),)

Tabajo Ealizado = (ndlo de la fuez en la direccin y sentido dol movimiento) (d.splazami&to):(rcos,)( / )=F

: (2 i - j -k) . (3r + 2j_5r) -

6 '2 + 5 : 9.' t , ' )

E lbr la ocucin del plao prpendclar al rctor A : 2l + 3j + 6k y quc pssa po el extntfio det vctorf: i + 5 + lk, (Fig, (r),)

Sea r el vector d posicin del punto P, y O cl ertrerho de B-Como PQ: B-..s prDondicula. A,(B-r).A

-

0, o s., r.A -

B.A cs ta ecuacin vectorialH plano buscado. En coordadas rc.tangula.es,

( r i+/ ,+zk) (2+3j+6k): ( i + 5J + 3k) -(2i + 3j + 6k)2x +3r +62: O)(2) +(5)(3) + (3)(6) : 35

En cl problea 18, hallr la distancia del o.iepn l plano.

La distacja del orisn al plao os isual a la proyecain de B sobre A.

El vctor unitrio er Ia dirccin y senrido a A 2i ' 3i | 6k 2 ^rcAes = )= = Jo, *.ir, 'rd"

: |-i + 1:ia;-t.Lueso, proyeccin dcBsobreA

-

B . : (i+5j +3 tt\ '(2111*3171+617 l -

t(2/7) + 5i3/?)+3(fD:5. \...--\

Sicndo A un vcctor cualquim, demostrar que A : (A Di + (A j)l + (A . k)(.Como A:,4 i * ,4, i * A,k, A i= A;.1+ Ai . + A,y. i : AlAlogarert, A l : , r y A. :r !Lueso, A .= lJ + ,lJ + ,,{,1 : (A , i)t l- (A 'u + (A 'k)k.

22

PRODUCTO YECIORIAL


21, f,)costra qe A x B: -B x A,

Flc.()

ElmdulodeAxB:Ces,4Asen,ysudireccinysenr idosonraiesqueA,ByCfomanunrieda derechas (Fig. (a)).

Elmdulo deB x A: Dest4 sen dy su diccin y sentido son tales que B, A y D forman un triedna izquierdas (Fie. (,t)).

Por lo tanto D tiene el mismo modulo y direccin que C po 6 de scotido contrario, es dci, C -

-f)osea,AxB:-BxA.

El produclo vectorial no goza de la propiedad conmutativa.

,/r2. Sicndo A x B -

0 y A y B no rulos, dmostrar que A es parallo a B.Si AxB:8seo0u:0, sc t ierc, sn 0 :0 y 0:0 ' 180' .

. r23. Demostrar que AxBl+ A.Bi : lA ' B.

lA xB 1+ A'B:: ,4, sn u ' + I ,44 cos

: ,a ' t ' : lA :" iB r

/l1. Hallar los produclos vectoriales siguientesl

' , . , lc) x j = * . ( f ) jx j -

0() jxr , = (s) rx ' r=

-rx i -

- j( . ) r t t = J () (2 j )x(3h)

-

6 jx l : 6 l(d) kxj =

- jx l = - l ( i ) (3 i )x(-21) = -6lxk = 6Jre. ! j -0 I 2 l l i -31{, -2t-3[

- -5r

,-/2s. Demorrar que A r (B+c) : A x B +A x c enr ..lcasoe queAes perpediclar aBy tmbincuando\-- lo sea a C.

Como A es perpendicular aB, A x B es un vectorperlendicular al plano fo.mado por A y B y cuyomdulo es,jA sen 90' :

-lr, o sa, el mdlo de ,{8.Esto equilale e mulriplicr el lsror B po I y girar elvcclr resulrante u1 8ulo de 90' hasta la posicique se indic en l gura.

Anlosmenle, A t C es el vector que se obtienemLlliplicando C pof A y gi.ar el vcctor rcsultte unngulo d 90' hasr l policin indrcada en la figura.

r-


M isa forma, A x (B + C) es el vccto qr. s oblicne al utrplicar

2t

B+CporAygirrclsonA^ByA C. se deduc,

hante un ngulo dc 90o hast la posicin indmda en ta figu.a.CE A x (B + C) es la diagonl del palelosrsmo cuyos laos

.C:O:AxB+AxC,

D6.omporiendo B en sw componntes, perpendicu-haA, Br, y paralclo A, B , se ticns, A: Br * 4,,

| --rdo, alngulo foflido por A y B,rl -a sn r.k lo tanto, el mdllo de A x Br s ,,{, sen , es decir,

ar q! cl de A x B. l dircc.i. y scntido dc A x B,E Ebin la mbms qu6 ls de A . B, Por consi-t i ic ,AxBr:AxB.

brr qw A x (B+c) :A x B +A x c en el-

!l c qe A, B y C no !an coplaDrios ni para-h

A:logarrente, 3i se descompo C e los vctorcslc y Cr paral:lo y Fpendiculr, rspc{ivcn@, a A,robt iene, A Cr:A C,

Tanbien,comoE+c = B+Bl+c,+c -

(Br+ c!) + (Br, + cr , ) se dedK,ax (81+ ct) = Ax(R+C)'

Aor bin Br y Cr son veciors perpndiculares A y, scan el problema 25,x (Br + Cr) = AxBr +

^xC1^x(B+C)

= AxB+Axc

$ cxprcs qr d podc[o rlorial goz do la pmpidad disributiva .6Fcro dc l surha. Muhiptcandopor- l ,y&niendoencuenlaclproblcma2l,(B+C)xA:BxA+CrA.Obs.ve3queenel pro-dlcto vetorial hy quc ter on cuent l ord.n d loq factos. Las propidads usules del tgebra s puedenplicar icardnie 3i s toman los vectores e el orde lablecido.

v- Si .ndo A =^1i+A2i+hk 9 = Bl + B.l I R, dmostrar queA x B =

' t .

I I

AxB -

(r1i +/21+,4t) x (Ar l +ArJ+B3t): l1tx(A1t+A2l+r3t) + ,lrt x (8it + Brj I A3t) + ,la x (Ar l + B2j + 8oh)-

AlBxl + qB.lxl + AlLxr + A2Bt1+ A28dxi + A28.tx + &B\kxt + qB'ttx! + A!txt

= (4,4 -

A.B,)t + (h4- Ai.) t + UrB, -

A2R!)k -

t j

8t A2 B.

Dsdos a-2t-3J- l y B = r + 4J - 4, hal lar (d) A x B, ()BxA, (c)(A+B) x (A-B).

-

a. l l l r| / t . ) l '(o\ a/8. (21-31:*t ^ ( r+4j-2t) = l2

-3 - l| 4-2= ' l - i : i l - , l i - l l .

- I i - : l = ,oi + sr + 11r 'if: ,

(2 -

3t - r) x (l + aJ - 2) = 2r x 0 + 4j -

3) - 3J x (t + 4j -

2r) - x (t + {.,

-

2)= 2 x l + Etxt

- 4 ix -

3Jxt -

r2 j xf + 6jxI -

xr -

4tx j + ztx r= 0 + 8 + 4 ' + 3r_ 0 +61_J + 4i +0 = 10t+3J+l1l

AJp.

PRODUCTOS ESCATR Y VECTOR'^

() BxA = (r+{-2Dx,rr-rr-r , = l l

. , I4

-21

- , l -1

-11 -, l l :?l ' ' j . - l l . - ror-o-rr : .-

Conpan.to oon (), A x ! -

-B x A. ()6rrr. qu. ato rquiy! l @d jsuirnt t Sid&EiDantc sc Ffmot.r d doc !.r (fiIas o coluDD.t), .l dltct!im!! canbi d.-tfno.(.) A+r : (21-3t:t) + ( l+4J-2t) : 3t +J-31

A-l = (21-3t- t ) - ( t+{ l -2) = I - l j +

hc8o (A+B)x(A-B) = (31+J-3Dx(r-1+r) .

.

- l I -31 - lS - ! l- ' l -z r l - l r r l *

: ax(a-B)+Bx(a-a)

t l t

r l3I t

,

-3

I

(A+a) x (-l)

A:l [ - r+2t,

= -201

-

6, -

24.

()ax(Bx

r AxA- AxE + Bx^-Ar l . a-ArE-r tx l ! -0=

-2(r0t+r+rlD = -20r-8r-2r, apl icendo (a).

ti

(.)

B-2!+- t , y C=i-X+rt , h I r (a) (AxB)xC,

I t I r() ExC - l2 r -1

' \ t -2 2

-

0 l - -5h = -5r-5.

!.rf clib .mbigiodd...

/ 30. Dqro.t qu. cl f! dr un plolotrro dc tados A

t!o (Axa)xc -

(-t+tl+!t) x0-2t+2r) :

y . . lA x1.

I rEo AXOxc) = (U- l+t)x(-5r-5D = l8 - z l= l5 l+t iJ- l !.

t2

^'" = l'. j,

la r p.nlclolr.Do - !E*L--

tAls, iB : lA )''E- | '

= - l+?r+5.

= 2+r+1t-r l .I

I

l , r

0-5-5

Ad pu.* (A x B),x C # A x (E x C} rr.in.lral arird d. tdlrr loraor..L c A x

s,$h.A-+'

i! Obrt- qpc d d.l trlryb qr tinc po.i h lor Ay t . . i lml , / . I A x I l .

tlr .l n & tri&do qro. vrtic.! lon 106 Fudor 4t, f, 4, 4 -t, 4f, f:,rQ

-(2- r)r + (-t - 3), + (r:-2)L - r -41- LIa' -

(- -

l) + (2 - 3) l'+ (3 :2) I -

l-l + r

i jl -4-r

-2 -t l

25

{,,}

PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL

E For*E 3,O,bA ui$lo = lPe i PR I j l ( i -ar-r) ' ( -2r- j +k) l

| " : l -5r*r-ekt = r . ,G#;1F;

- ,-++'

II

26 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

multiplicando po la disiancia dcl pnto P r l diEctiz de F.Por Io tanto, Ilmao r al vctor quo une P con cl origpd 0 deF. result,

M : (r sen 0) : /Fsen : lr x |El sentido de r x F correspod al avan@ de un dacacor-

chos cn con el sntido alc otcin tal quc llcvc coincidirclprirncr vector con el sogundo por el enor de los ngulos quefornn (rgla d.l triedro a dercchas que heos visto nterio-fncnte), El momento de un veclof se rcprsanta, ntorces, porM:rxF.

6d. Uo sli.to rlgido gir alreddor de un je que pasa por O con- u volocidld angular @. Dmostrr qe la v.locidad lineal y de

utr proto P del slido cuyo vcctor d posicin s r vie daila porv : {, x r, siendo @ un vector de mdulo o y orya direcciy sntido son as &l yanoc de !n sacacorchos que gira en elsentido del movimienro.

Como l punto P dcscribe urla circunfeencia do radio .sn ,, el dulo de la velocidad lleal v es @( s ,) : lo x.l.P co6igietc, v es pe.pcndiculr o y e r dc foa quc r,o y r fomen uri tridro a drchs.

Lugo v tienc l misrno mdulo, direccin y rcrtido queo x r, es clcci, i : o x r. El vctor o se llma rd.Zd f!-

9\ F,' \ L--

\ - - -"

at)

PRODUCTO,S TRTPLFS.

../1. Oemostrr que cl valor absoluto ile A .(B x C) 6sigual al voluber de u! pealebptpcdo dc rtasA,B y C.

Sca n cl vector unitario pcrpcndicla. al paa.lclosramo I con la misma direcin y sentido q eB x C, y la dislarci del cxlrlmo de A al paa-

Volun del parlelsppodo : (alrura ,) (ftla del parlclosrmo ): (A.n)( lB x C L): A'{ BxCl ' } - A (BxO

SiA,By cr|ofonnan tncalo a dclr . lE, A. < 0 yelvolurr loD: lA'(B x C) I .

' / ts. s -A,t*Aoln/ok, B -Blt+Bri+8.k, c =crt+caj +cak denostrar qu

A. (Bxc) =AL A, 4l81 8' 831c, c. c. l

I '

lL A" ar lc\ c2 cal

= (a + A2! + /{,r\. k'c"-"c")r + (&c'-1c.), + (81c'-&c)ll

. 4lB2C.- C2t + A.@sCt- B/C.\ + ,tei$r- 82C!) =, t le AlL 82 B.l

PRODUCTOS ESCATR Y VECTORAL 27. i, rd{(2

-3j) . [ ( i + j -k)x(3i-k) ] . [ - , I t , ' . ' , '2

-3 0lr I

- l l =4. o

-r l7 ' lq

' (

Olro ntodo- Haciendo oDereionos,(21-3J). [ ix(31-t) + tx(3i- t ) - ]x(3r-r) l

--t-.D.f,ostrar que A (Bxc) = B.(cxA) = C.(AxB).

4arhl r82 lc1 c ' cal

D.l Droblma 18. s obliene

Del problefn 38, a'(BxC) =

: (2r-3t . [ ixr - ix [ + 3jxt - jx - 3xt + Ixr l= (21-3J).(0 + j

-

3( -

-

3 j + 0) t o,= (21-3t . ( - t -2J-3r) = (2)(-1) + (-3)(-2)+ (0)(-3) =

l}

.6.

Tenindo cn cuentaque n un detrminante si se p.nut4n ntn sl dos.llne! (filas o colunad su valorA1 A, 4lLB"B"l=-

",

t" c"lL B. B" lt , t i

^ .1cr c. calq c2 ct lo, a" a. l =B1 82 83

c1 c2 ca

B\ B, B'

ct c2 c.

B\ 82 8.

t -1='At ' ( ' r

4.

f \ .

I@

-7 Dcm6rrar qe A. (B x C) = (AxB) C.Del problcma zl0, A-( txC) = c.(AxD). (AxB).C

a.

En l prodcto A (B x C) s pune $primir el paint.sis y oscribir A .B x C, ya que.tr esto caso no

xisa ambisiidad ; e efcto, l.s ni@s int prclaciones poliblcs ion dc A . (B x C) y (A B) x C, p.roesta lrnr carec de 3crtido ya quc no st dnido el pfoducto vccto5l de u es.alr por u vcctor.

La iguldad A (B x C):A xB C se p..de exprcsar diciendo quo los productos es.alr y voctoris,en estas condiciones, son prmutables,

Dcmstra. que A.(A x C) = o-Del problea 41. A (A x C) = (A x A) 'C : 0.

Dectmr qu la @ndicin ecsria y suficbnte par qrc los rctorEs A, B y C se3o coplanrios e3 qucA B C=0.

Obs:ves que A B x C no puede 8ilnifi*r ot cosa qre A (B x C).Si A, B y C aod coplanrioa, cl volen dcl paraleleplpodo fomado por cllo6 6s igual ccro. Lucge,

segn el problema 37, A BxC=0.Rcpro@ftente, si A'B x C : 0, el volum|l del pralleplpcdo fodnado po lo3 vccaolEs A, B y C

es ccro, y, por Io lanto, Ios v6cior$ son coplandios.

{"1. Sean r ' : ' i+ j+,k, r : J+/ l +4k y r . : J+rJ+:,k Ios wctoros d posic in d los

2E PRODUCTOS ESCAT.AR Y VECIORTAL

luntos Plt, /, z,), Pd!, , zJ, y Plx,. ., . :,). Hal'ar lecuacin dcl plao qe pasa por A, & y &.

SuporSamos que P,, y ! Do esn lineados, esdccir, que deermira un plano.

Sca r : i +, + zt el veclo. do posicin de unpnto senrico del plano- Considerddo los vctoro3PrP, : : - r , , PrPj : r j - . r y P,P : r - r , ,queson

Dcl problem 43. P,P PrP' x PlP '=

O (.-J G,-r,) x (r-rr) -- o

En coordendas rcctangulares,

l ( ' - . \ ) t + g-y1Jl + k-, i ) r l . [ ( , -"1) l Ll r [G3-'1)t + (73-rl), + ('s-'r)] =0

o bien, seen el problema 18.

/V/r'rs,r Irad la cuadn dol plano fonnado po los punros pl2,-1, t), :(3,2. -t) y pl-1,3,2).

i!I

r ,=zt- j+ , r r : l l + 2i- k, . : - i + l i - f 2k y. : - r i - l - . } i +2k.

I-os vitores pt= r-rr. F2pr= r?-ri, pal'r = rs-t stn siruados enol plano pedido,luego( r - t t ) . ( r2-rr)x(rs- .1) = 0

[ ( , -2)r+(t ,+1)r+(z-r) ] - [ i +3r-2r] x[-3i+ar+k] = o[( ' -2) l+( /+1) j+(-1)r ] . [ u+5+13] = ou(-2)11(7+t)+13(,-1) = o obien, U+t+13' = 30.

. , /4.Seana, lyctosvectoresdeposicindctosprosOyrtnoal inedos.Dmosrrarquexb,fbxc+cxes un voctor perp.trdiculs al plno fo.rnado por O y

-R.Llamernos I al voctor d! posicin de un pnro 8enrico det pleo formdo por P, O y R. lrs vcctores

r- , b- y c -

son coplanrios y, segn el problema 43.(r-) (b-)x(c-r) = 0 obien. (r - . ) . ( xh+txc+cx) .0.

Luego.xD+Dxc+cx es pepedicular r-r y tabin alp'ano formado por O yR-, i .

47. Demosrra. que: (a) Ax(BxC) = B(a.c)-c(A.B), () (AxB)xc =B{A.c)-A(B.c),() Sen a

-1t +,.{ , t +, t . , E=Alt+B2r+&. c=Crl+C,+car.

Sc t icn Ax(Bxc) . (At l+A2t+t) x

I

r i r lBr B, 4l

-

(A!t+A2t+&r,xt [B2ca-&c2]t + l4c1-Brc. l t + lBlc2-82cLlt )

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 29

r r* lLA"A"l

4r"-r"r, ,"",- u,r" ",""- ",",1

TDbin, B(A. c) -

(A2B'C2-AzB2C\-/9,3C\ +'l3Alca)l I (4B2Ca- &&Cr- laBrc.+ AL82C!)t+ (A$.Cr

- A,B{a- A2a2ca + A2B.C2>\

c{. B)(alr + 8r, + 8s) (,.{icr + l,c, +

^!C., - (CL\ + C + cartlal+ A2B2+ &h)

(A2BLCe+!l3B$o-,14C$2- &C$) | + (B2trCr+ B214Cs-C2trB\- AhBslt+ t4Agr+ hA2C,- CaAl8r -CaA2B,)h

: r taxB)xc = -cx (^xB) = - {A(c, E) - B(c. A)} = B(^.c)-A(a.c) habiendo sut i ru ido A,B

s C de () por C, A y B rspectivarEf.Obsrves qu6 A x

x C) r (A x B) x C, es d.cir, cl producto rcctorial no go2a d. la propiedad3--ciativ psra todos los vctor$, A, B, C'

D}-:r-..rar qu. (AtB)'(cxD) = (A'c)(B D) - (a'D)(B c).ul problea 41, X.(CxD): (xxc).D. Sa X = AxB luego

(^xB).(cxD) {(AxB)xc}. D = {a( ,c)-a(B.c)} ' t )(A.c) (8. D) - (^. D)(B.C). sgn ol pobtema 47).

l l loostrar que: Ax(BxC) + Bx(CxA) + cx(AxB) = 0.Delpoblern 47(), Ax(Dxc) = B(^.c)-c(A.B)

Bx(cxA) : e(a,A) - A(B.c)Cx(axB)

-

A(C.B) -

B(C.A)soado mimbro a rirnbm se obtilnc el tesutiado D.ido

Desostra( que: (AxB) x(cxD) = B(A.cxD) -

A(B.cxD) = C(A.BxD) -

D(A.Bxc).Dcl pmbLn 41), Xx(CxD) : C(.r)

- D(X.c). S. X=AXB; entonoos,

(axB)x(cxD) = c(a )( B. D) -

D(A x B. c)c(a. B xn)

- D(4. a xc)

Dcl problems 47(), (AxB) xY = A(4.!)-A(B.y). S Y=cxDi *roo"*, / .' (Ax!) x Cxrr) = B(A.CXD)-A(B.Cxn)

. 3a PC n triItsub aeffico oyoa haLos ?, {, . sor .rco6 ab clrculo mino. Dcdodtar qoseno

- s.n R

senP se I sa t

SupoDgmos quc la clfor s d. rdio unidd, y sca A, B y C los vccloEs unitios trazdo! dsdc olc.Dtro O de l $f6ra a lo putos P, 0 y

-R, Blpactivamnte. Del problem 50,

Q) (A x B) x (A x c) -

(4.! x C)A

30 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

Elvctor nitario prpendicular a A x ByA x CesA,por lo quc de (-l) se obliene(2t so. sq snP A

-

(A.B x C)A(3) sen I sen4 ser 'P = A.B x c

Por pcrmutcin clctica de p. q, 4 P, Q, R y A,B, C se

(4)(J)

Coo sesundos miembos de (3), (4) y (J) son isualcs(problema 4O),se r sEng soP:san, scn r senO:sen4 sn p scn.R

scnpsonscno: B CxAsebq scnp san : C'A x B

Eat, s. el teor.na d. lot s.or de l trigonomctria 6frica.

. : '52. Dcfnoslra quc: (AxB).(BrC)x(CxA) -

(A BxCf.Del problna 4?(), Xr(cxA) = c(X.A)

- A(x.c). Sc X=Bxc; entonces,

-/s3. Dados ros v{lores "' ifi. u'- Y c'=

:1

, dofostfa quc si a' bx c I 0 ,I

lonP seno sen A

(Exc)x(cxA) = c(B ic. A) -

A(BxC.C)= c(A-axc) - a(D.cxc) = c(^.Bxc)

(AxB).(RxC) x (CxA) = (AXB).C(A.BxC)= (A: B. c)(A.B x c) = (e.sxC)2

(a a ' .a = b ' .b -

c ' .c = l ,() erb = a ' .c = 0, d. = l .c

-

o, c ' .a =

(c) s i .bxc = GntoncesC. dx c ' = 1/ I / ,(d) a', b', y c' no son coplanaios si !, b, y c no lo son.

. . l r r . .bxc

bxc b.brc b,b.c(0) .D = o.r

Los otros $lllados se dcducen de forma anloga. Tambin s pueden hallar obsrvando,ejemplo, que ' tienc la misma dir@cin y sentido que b x c y qu, por lo tanto, debe ser pcrpendic'a b y a c, con lo cual , r ' . : 0 y "c : o.

De () y () se innere qu los sistems de-vctores ' b, c y ', b', c' son rcprocos. (Problepropuestos 104 y 106.)

PRODUCTOSESCAIAR Y VECTORIA!

6{). Halla.loscosnos directores de la recra quc pasa por tos pu nros (1, 2, ,--4)

3t

rtr.go J. ' c'

(a.bxc), v2 7

(a x ! ) . (bx c)x(c x )--7i -

=

v" =

v. =

I seen el problcrna 52.

rdr Del probima 43, si a, b y c no son coDtcon iocuar ' , b ' y c ' no *"

"oot- i ; :1 ' . ' " "

' o x c o Lucsodc( ' )$deduccque"b'xc '+0

tr l>moslrar quc todo vector r se pucde exprcsa. en funcin de los vectofes ciprocos dt poblema j3 en Ior = (r .d)+ (r .b,)b + c.C)c.

Del pobterna 5 B(a.cxD)_a(B.cxD) = C(r .Bxr)_D(a.sxc)coronce\. D = !18-{g'

-

B(^ c\ D .

crA B, D4.BrC { .8.C A.B^c

Sea A=, D=b, c=c y D=r. En es|s condic iones,r 'b,c i . r l t

. . c .b ._

rx b\ - . . , " , . r . " ' " , . (a. ; .crb_ r . , " . ; , .-

( r .d) . r .,b + a.d 'c i

- .4, ' . '7 -: \ " ) 's ! . \ j

:\:/ Problemas propue;togi t

' / ' ( r^, )

l . fa l lar i r ) . { t+ j ) . , (h1 -2k).{ r lL) . ( . , (2t_ r r ( , . (3t+2i k)- \ :, " : ; : ' , '?_-, : ; : :4_4_4k,h'hf : (

" ,

(at ^ 8. \b A.

-t.t B, \dt ,o - ," .- ,1, ,r^ -

",.,n . r"r. b ,

sot. 9a t0 )bl \/ t4 t9r'! krt \/ tn k, _ A U !t' l ';l '; 'g*'yo'-'o"BiJl1l;;' r-u* v B:4r ri+k, tbrc''4i-2i+4k v D=3/:6t 2t^._. / , , / ' " ' - - "^ . . . " - r . - ' , \,YLPa]acsvaloresd.sonA,dt-2j lkyB=.2di +j-ai pc.rrn. l icura.es? So!. a 2,_l59, Hlla.r los nsuos. agLdos forrudos por ta @ta que ue los purc { t. - 3, 2) y (l, j,l)con tos ejes cooF

s/. arc c6 2l : t . arc cos 2/1. a.ccos Ul 4a t2, 4A t2 .70 J

vv

2,-4) 'J ( \ ,Sol. 217,317.

-617 -zf i , -317,6t71. Dos ldos de n r . idnsulo son tos vectores A l i+61--2k, y B .4t_j i3k. Hal tar los ngutos dct

triauo. So/. arc c'x 7tl-3, . cos \/ ir/15,90., o bin, 36.4,, 51.56,, m,62. Las diasonales dc un paratelosramo son A:l o-,, U:t, t- lj -t. Demosrrr que drcho para-Ilog.ao es u rornbo y hilar ss nsulo. y Ia togrrud d( \u\ trdos:

3ol , 5{ i12, arc cos 2l l75, 180.-arccos23/75. o bien, 4,33, 72.8, . 107' j2,

----

-1-

12 PRODUCOS ESCALAR Y VECTORIAL' ,(;..*dg Hallar Ia poyeccin dcl v.tor 2i

- 3j + 6I sobr el vctor i + 2i +-,2k. Sot.8l3

f4. Hallr la proyccin dal vctor 4i - 3J + k sobr l. rcia que psa po. los puntos (2, 3, -1) y (-2, -4, 3,.I S. t

rF: . ,s iA:4i-J+3kyB:-21+l-2k,hal larc lvctoruni lar ioprpendicularAyB.. \ f/. +( i 2j*2ky3. Hallar el nsulo asudo formado por dos diagonalca dc un cubo. Sol. arc cos l/3, o bin, ?o'32'7. Hallar el ve.lor unita.io paralolo al plsno / y porpcndicula. al vector 4i 3 + k. s/. + (3i + 4j)/5E. Demost.ar qu A : (2i

- 2l + Xy3, B : (t .f 2J + 2h)/3 y C : (2i t- j 2k)/3 son vectores unilarios

mutuamente !.pendiculares.9. Halla. el rabajo realizado para desplzer un cuorpo a lo larso de la cta que pasa por (3, 2, -1) y (2,

-

I , 4)en el campo de fuerzas dado por F : 4l

- 3l + 2k. S/. 15

70. Sa F un canpo de fuens conslanie. Demostar quc .l trabajo realirado para desplazar un cuerpo a lo lrgode un poligoo cerado en .stc campo cs cro.

71. Demoska. que u ngulo inscrilo n una scmiccunfcroncia cs recto.

72. sa ,racD un paralelosrarno. Dcmorrrar quc 71, + a7, co, DA, AC" , BD'.73, Siendo,arCD un cuadritero culquiera y y O los punlos nedios de sus diagonales, demostrar quo

m'-BV-D'+Di,-Ac I aD' - 4Pe,

Esto es una gprEmlizacin dcl problem anterior.7a. (a) Halla. l. cncin ve.torial del plano pcrpcdicular a un velor dado A y que dista p unidades del o.igen.(r) Epresar la ecuacin d () cn coordcnads rclangula6.

sol. () r' -p. sindo n = A/,,1I \bl A + 4, I Ar Ap?5. Scan rr y r' vctores nnarios dcl plano / qc forman los ngxllos o y t con l sdnej p6itivo-'() Derroslrar que. :cosol+sln1, r t =co6r i +scn/ j .() A pani d .1 . rr, rducn hs frmulas trigononlicas

cos(q-l) : cos ocos, + s.n 4 sn p, cG(q + t) : cos d cos t wn d sen ?. Simdo r el vecto. dc pos'.in dc un punto ddo (,,r,, r,), y r l vector de posicin d un pbto cualqiera( , r , r ) , hal larel lusar soorntr ico d. s i (a) 1r-1-3, ()G-a).a:0. (c)c-a) r :0.

so (a) Esfera, centro n (,, t, r,) y radio 3.(b) Plano perpendicular a e quc pasa por su lxtremo.(c) Esfera de cet.o cn (rtl2, r'12,,'12) y .adio 't/V +-yi i )i, o sa, Lna srera de dimet.o ().

7. Siodo A:3i I i + 2I y B: i -2 j -4t los vctors de posic in de los puntos?y O respctvamente:(a) HaUa l ecuacin dcl plano que rrasa po O y s porpendicular

^ l^ re.ta PQ.() Cul as la disrancia del punto (-1, l, l) al plano?

so/. () (r B) (A-B):0, o bien, 2t +3t +6,: -JEt (b) 578. Efegtuar los productos indicados:

pl zi Bi +xt,tb.( i+2,r .k,(c)(2t-4k).(+2t,(d){4t+l-2k)\(3i+k),()(2i+j-r)x{l i 2j+4r)So1. () 8i t. (D 2l-1. (c) 8t-41

-

4k. t' . loi - l l . (er 2i - l l l -7kso1. () 8i 6k, ( ] t 2t-1, (c)8t-4j+4k, ( l ) i -10j-3k, (e)2i-111-7k79.SiA:3i- j -2kyB:21+31+k,ha la l (o) lAxBl, () (A+28)x(2A

-B), ( . ) l (A+B):(A B).s/. rr y '1e5. r)

-2Jl -351-55k, ( . )2v195E0.SiA- i -2 j - lk, B:21 +l-k y C- i+3j-2k, hal lar :()L(AxB)xC, ( . ) A.(B x C), ( . ) (A xB) x(BxC)() lA : (B x C) , (d) (a x B).C, ( /) (A x B)(B.c)

sor. (a) 5 \/ 26, () 3 1/ lO, (c) -m, Q, -20, () -40i - 20j + 2Ot, (/) 35i - 35i + 35k

Sl.Demoskrque! isev. icnsimuhncamcntclascondic ion.s:()A.B:A.Cy()AxB-AxC,.r-. siendo At 0, se 1icn. qu. B = C, pcro quc si solo s cumpl una de eltas, e.ocs B + C necsariamenc.

' ! | -El Hal lar el ra del paral . losramo cuyas diasonales son A:3i +J-2k y B: i -3j + 4k. Sol.5\ , /3

PRODUCTOS ESCA.AR Y VECTORTAL

l-Ehcidad anrular de un slido rlsdo qu giB-'-lrcddor d un e. fii, ne dada po o : 4i + , _ 2k.d- la velocid.d llnel de un pnto p dcl stdo cuyo \4.tor d poicion nspccro e un punro'dc cF*r_3i

_r . s 5i Bt_t4r. t - : tq a_l l , I ,J . lh i6ca(A. l .B).(B+c) x(C+A). so 2A Bxc | ' - i , r r ih i6ca(A.r .B).(B+c) x(c+A). so 2A Bx. l

' - ' i , ' l I I '

la. A.b a.ol 1 i , - i : )>* , -hGuar quc (^.8c)r .b\c) . lB. B.b u.c l i -

, , r I

lc . . c.r c.ol l , _ j Ii._ef volume dcr paBlefepipedo cuyas aristas son A = zt-\ +&,cj.+ f,i, c: i-l r:r,

ffir.l ta .f ringulo cuyos vrricca son lospunros(3, -1,2),(1, *1, _3) y (4, _3,.D. Sot.U2,J6s

t : l - -3kyB: i -2 j+k,hal lauvctordcmduto5prpendicularlosvecroresAyB.rd ==f i + i + k

fei*lo en cuenta cl problema 75, d.dlcn Ia fmlas

scn {d - }3) : sen d cos, - cos o sn r, scn (a + r) : sn d cos p + cos d sn pL dD la fuerz F : 3t + 2i

-4k 6n el punro (1, -t, 2), Hatlar el momnro de F respecto d.t punro)r l .J) . Sot.2i-7i -2k

t 7

bdrA-BxC:0,demostrarquc,o(a)A,ByCaoncoplanar iosnosicndocol inalesdosdocl los, .rdosdelosvcctoresA,ByCsoncol i eales,o(.) lo3!rcsv.croresA,ByCaoncol ineales.&ta la cor3t8nt de forma gue los wcro.es 2 i*k, i *2i- j ly 3l+aj +5k sn copEnanos.5.

--4

f. lrciorcsdc posicir, con especto l orisen, d6tospunt6 O y,Rsonr, : 3t -21_k,., : i + 3! +4r! .' : 2 + J - 2k, respctivamnt!. Hal la distancia de P sl plao OOa. So. 3

tIrar la distancia desde el ponto (6, --4,4) la re.ta que pas& por (2,I,2) y (3, -1.4), Sot 3

lLd6 fos pnlos .(2, ,3), OU,2,t), R(-1. -\ -2) y S(t, ---4,0), balta la nfnim distacia ent! ta! r.ctas

,!y S. Sol, \/2

Ihlostfa que las alturas de un lingio sr coTran eD n p\to (ortoc.ntrc).D.dostar quo le3 medialrices de n tringulo se corta cn un punto (clf./rcrrf).rostrar que (A x B).(c x D) +(B x c).(A x D) + (C x A).(B x D) = 0.b POn u arngulo sfco cuyos ,ados 4 . son a.cos dc circuto mxio. Dcducir l te)En dcl coscoo 106 irirsulos

sfricos,cosp = cos 4cos.- sen 4 san r cosP

&r Frrutcin clclica d las lelras. so dducen lrnulas snloga\ para ms 4 y cos r.['d: lnerprcter os dos miepbros de Ia idcDtidad (A x B) .(A x c) : (B .at(A.A) -(A . c)(B ,A).1

,

t4 PRODUCTOS ESCALAR Y \'ECTORIA!

102. Hallar n sislcfna de rlctores rciprocos l fonado por 2t+3J-t, l-l-2, -t+4+21,

s r ' i r . - i t ' r - i r , - : r+r-r

tor. si '= ".0,".!!1,

r-.::ro* , J=;l*, dcnrosa queb xc c ' . f C' ;

'

=

" ' . r ' *"

o=o1d' "

-

" ' .b!" '104. Siendo ., b, c, y r', b', c', tals $to

a' . =b1b=c"c=l ' . = r ' .c = D' . . b1c = c1 = c1b = 0

demosa quc s tri@: , - bxc r ,= . l ! ,

" ,= " Io . brc a.Dxc

105. Demostra quc el nico sstema d. vectores que cs iproco de sl mismo s cl fo.mado por locunitaros i,i, k,

106. DeEGtrar quo solo xiste un sistra dc !ctores rcclprcco dc uno dado de !ctos o coplanarios ni

r

Caprulo 3

aR=n(+^)-n(r)jx

_

R(&+A) - R()

^r Ae

li es el icrmento de la variable , como.D la fisur adjunta.

&F.ca del veotor R(r) respecto del escalar r se define por

d ar-o ad limit.

tR; dependf tanbin de z, se puede halla de forma anloga, su derivada rcspecto de ,r

." ,.nr"r"nr" W. ffi. enlogamnte se puelen definir las derivalas d orden srperior.

gItI--rS EN EL ESPACIO. Si, en particular, R(r) es el vector de posicin (r) qe une el odgsri5.ma de coordeadas co un puto (jr, L z), cualquiera,

r() =,() i + y lu) i + z

3 DIFERENCiACION VECTORIALCONTINUIDAD yDERTVABILTDAD. Una funcin escalar d(r) es cr,?,ra en sj: (r), o bien, si para todo nmero positivo < existe otro de torma que

. l(u+u)- ( , ) l

DIFERENCIACION YECTORTAL

d continuided y dcrivabilidad de funciones de una varieble se puedn generalr. dos o ms variables. Por cjcmplo, una d(, /) as conlinua en un punto (.x,/) !i

.-_r -

-l,v) : C(, J,), o bicn, si par todo nrieo positivo . existc otfo dc format\! - t\-(x,r\ l < r para rodo l lx |

:+'

3E DTFSRENCIACION VECTORIAL

La vriaciD d. T respecto de r es una medida da la,f

crvtua de C y vGne dsd por +. k direcrirt

de .= en un prunto cuiquicra de C ec l correspon-dienta a la trofmal la cuwa en dicho punto (Pro-bleme 9). Et vcctor nitario N er la direccin dc lanonnal se llama omal princpal

^ ta c\rt.la. Asl p\cs,

; - ,(\. siendo r la .rrrrrd de C en el punb dado.

El rclproco de ls olrlvaturo, e : llr sellta. rudo de

-

L6s fmulat de heetseftet qe rclacionan los vectos T, N y B con sus dcrivadas,gre@l:

T"

= rB -

}(T, = -7N

EI vccto unitario B definido por cl producto vcctoial B : T x N, perpendiculsr alpor f y N s llam Da, a la cuna. Los vectores T, N; B tomaD ur riedro triectnguloen culquir punto de C. Este sistem dc coordenads recibe el nombe de triedrc itlttlnseco enComo a medid que varla r el sistma s desplaza, s le co oce oon la denoun ci6n de ttiedro r

dB;;

dN

eD dode l escla r se ll,ama toridr. El rcproc dc l tonin o : l/r es el rudia d. torsibr.

Bl plarc osculadot E luna gurva en un punto $ el que contien a la tangente y Ien P. El plano otmal es el que pasa po P y es perpendicular sl plaro tsngente. El p/droque pasA por P y s Derptrdicula a Ia rormsl principal.

MECAMCA. El estudio del movimiento de uDa pa.tlcula a lo lrgo de una crvo es unmecrica que sc denomis chertutica y e cryo cstudio se plican lgonos conccptos deferecI.

l., dinica c6la. Darle de la mecnica oue estudia las fuerzas aolicdas los lid

I &' h ' dz ' Pf lA l l t i r lE - &" l ; ' . 7;^ '

DIFERENCTACION VECIORTAL

Problemae resueltos

-

40 DIFERENCIACION VECTORIAL

= L = ! 2r ,1 + (2-4t \ ! r 1rr -5)rJd d

= 4 l+(2r-4)J+3t = 4l-2J +3. atr=1.

El tcctor unitario n la dirccin t - 3J + 2t "s

:J..::]]].& =y'qt2+q-t2+122,zl-uego la componentc d Ia velocidad on la direccin dada es

Velocidad

(4t-a +3) ' ( i - 3J +2t) (4)(1) + (-2)(-3) + (3)(2)---_-=-- = -----

_-y'14 r'A

) ' - r .Aceteracin =

-

= at?l = *Lrl+(2t-{)J+3l l = 4l+2t- d.z d. 'dt d,

./La componcnte de Ia acelracin en la dircccin dda cs({t + 2l + ot).o

- 3J + 2t) (4)(l) + (2)(-3) + (0)(2)

fn /-tt vt4

Las ecuaciones parattricas de una curva C son : (), y : sr, z: z(s), siendo t la longitudde C medida dsde un punto 6jo de lla, Llamando r al vector d posicin de un punto gpnrico d C,trar quc at/d.r es un vcctor unitario tangpnte a C,

= : lo o"* . f ' " -@ = "8 * ! ! ,s

Oto mlodo.

9

42 DTFERENCIACION VECTORIAL

: [ f snr l - f cos/ l + (5rt sn r - r cos , )k]+ [ -3r 'cost i -3rrsenr + (- lO, cos r-snr)k]

: (t scn t - 3rr cos r)i - (rt cos f + 3r' sen r), + (5r scn, - sn t - I l, cos r)k

Otrc mtodo.

AxB =I J r l5t2 t

-1,3l = -r3qosr i - r3sn/J + (-srzcosr - rsen/)ksn

-cos, 0 |Ueeo, S6 x B) : (r' sn r - 3r' cos r) i - (r. cos r + 3/r sn r) j + (5rr sen, - I Ir cos f -

@ *e.^) = n.'* * *La.t = ze.df

= 2(s.21 + rJ -

3t) . (1011 +J - 3r2k) = 10019

Otro ttodo. t . s, = Ftzf + 1tf + q-t32 = 2slr. +Luego, fipilf +f+r! = 1so + 2t + 6t6.

,/ 9. Siendo A de mdulo constante, demostrar que A y dA/d, son perpendiculaes, siempre que I d\ldt | + O.Como A s de mdulo constante, A. A : constante.

beso, ${A..A.t : " .+

* #.o:^ '# :o.Asf nues, .l ..$ : o y A es F,rpndtcutar a $ siempre que l#l .t

40. Demostrar que *ro." x c) : A.B , f +n. f r xc+f i 'n x c,s iendoA,B,c

rivablcs de un escalar u.

D los problemas ?(a)y 7(b), 4e.fn, ,c) = e. ufs,c * f .n, .c= n.tn' j f , * j f

'c l * j f .n'c= e.r ' f * e ' f

"c * df

.n, ,c

/rl. H"ll"t i,"'#'#,.Der probfma ro,f,tv fr ,fi',

=

+2t+1tB

c2+ta

-, v d"y

t 'r ' dt"

- .

dv d"vdt dt

-.

"v d'v dt v d'vY'-- ; x - : - ; - + _i- . ' -x - : ' ; -da- dt- 4t dt aI ta

- .

dv fvu+u=Y.-:_x. . :_

cll .la

12. Ua partfcula s mucvo de forma que su vector de posicin viene dado por r : cos rr,t i + sen a,t j,una constnto. Demostar que (a) la velocidad v de la panlcula

s perpendicular a r, () la

' DIFERENCIACION VECTORIAL

-ilila hacia l origen y su mdulo es poporcional a su distanci al mismo,

df1.1 r : 7 -

-@sn@ri + @cosort j

S tiene r.v: lcos@ti + snr4rr], [-ro sen rol i -f r cos.orl]: (sos @r) (-{, sen qrt) + (sn @r) (, cos rr) : 0

luego, r y Y son pcrpendiculares,

d\ dt'lll 77

: -Al :

-t" co" tt i - @r sn a" j:

-@ lcos r, i + sen r, I I : ---

- - - - - - - - -

DIFERENCIACION VECTORIAL

15, Si A = 12r2y - rat + @x! -, sen)j + (r2 cosy)k, hal lar, +, +, +, +, =?4,ot oy dr ' dy. dx dy

&,uo, - ^,

+ !! - y*n x + S 1,2 cosT)r(4ry

- 4)l + (y&!

- y cosr)J + 2, coay g,

&ru"r-^, + aran-rsenx) + $l,2cos7)r

2,t2 | + eerY -

sr x) j -

:2 sen y) k

]wr-*1t * j


FlPr,r',z,c)l + 4(',y,z,r) k. Enronces45

s-Tngamos que F = Fl(r,/,,)t +

dD = dFr i + d,F2l + d\k

,?4 a, a= [-- : dr + +dr + a=d/ot ot of

+

r.(-j to,

+

* $a" l r , t*0, , ! t , , lay , pa, l1t$a, * !n",{ ' , , ln" t r* P * *r , r ,

' r*r

-

pJ + 3&,r"Ot. Ot Ot t dt

r$r * P * $.u,r, * 19-&, * }&r Fr,r"o, oy r dz oz dz

* $a" * $a, * $a.ou ol oz

= !E r,oa

hp, dF =d.

?r ?rd.z.7l . }sz

---

.

--

-i- . --+

r

r

dsi;

Asl puco, T

$r#tfds

(c) B = TxN

da=dt

-7N

= $r-$*"rr +|coart * f r l = -$coeir - f scnrt= tf# =

-fr"o",r - *senrlcomo j f = rn, l rSl = l ' l l r l = x con xlo.Lucgo, x

Do#

DFERENCIACION VECTORIAL

Ssosr l + 3 snr j + {r t

-3snt l+ScoBrJ+4

It i l = EE" = ,Gtscn,)t+ (3.*,)t;? =.5

* = '# =

-$senrr+$cosrr+fr .

- cct

-

sn, 0

((18_-xT) * #n -

= T.((27NB -xstx l ' ** f fnrU = T.1r2rT+rsD

= l#l = GE.*IT[E;" = * y p=* =+= r , so obt im I I =:# =

-cosr l -sotrrr .

r r r

= l - i * , ' , t "o", l = fsenrr**1 "o"r t * $r

"o"r t* f .*r t , f =t#= L.o.rr+fsenrt4 4 . - - 4 t

-T(-cost l -

snrJ) = coscl + i ;strrJ,obie[ '7=tE y o=+

20. Dernostrr quo el radio de curvatura de la carva crrras ecrraciones paramtrlas sor r = r(sl, y = y(s=z()vicncdadopo, p = k*f , 1{4' * (*ff'h

'ds2' ' ls2 ' 'ds2' -

El vcctor de posicin do un punto genrico de la curv& es = r(s)t + y()J + z(s).Lngor=

*=Xt*?"t* t* t , #=#r*8t*#r. -

*. f = ,


kldo en cuenta el problrma 20, el rcsultado,se puede escribir n la forma

T = [(r 'f + (y')2 + qz"21-1

-

dc las primas representan Las derivadas resrecto de r

t t Dc (o). N=14! - -2l + ( l -zt ' ) i + \Ks 1+ 2t2

E h crrva x=c, !=t ' , "=] f ,hal lar (a) la curvatura x, () l tonin 7.

d E rrctor de posic in es r = t l + t2 '1 +! t" t . ' ' - , ,_ \ t

Por Io ianto, 'i = , * v1 + 2r'k '

At ^

+ = l+ I = Eo= Qt '+(nf .@T = rr*o ' 'n- ' t '

\ ' /t 'dt . ' y ' dt dt {y T =r ie"=t#=t+-ul !uzt ' ,

?tq

-

0+zt2)(+ +t t ' t - ( \ Izr l+u2u$t) -

-q i+ Q- 4t2)! + 4t l \ f , \dt olEV- = (l;-tT-- {rv

1t r ' \

xyz

ttz

r t

oi. ,.i , ,.-

\A\ iX, \. , d* ' \ ' 'A' 'c i t

Eotonces 4I - T/' - -: fJ:A--!:-Ads ds/d -71 +-lz9- ' 'r \ir-.

.2l + ( l -zt2r i + \ , r ! . , , \ ' - , \

-l --F-- (\' \--' , I ^t'lt r r l . l , \

porotanto, B.= rxN = lrt,o, 3-o" #"1 = HF-2 1- 2c2- 2c

-1+2 t+2tz l+2t '

De aquf ouc ds _ +tt + (+t2 - 2\!-- Ety "

1 = 0."14-tdt (l + 2t'\' - .ts ctslcat

Tambin, -7N = -r [ -2t t + ( !=4; l t + 2tr l .crn,o f i =

0bsrvcsc que r = ?- en este caso.

4tl + (4t2 - 2)i - 4r '= --- 1r;Ef-

- TN , sc obticn T =

,-U, _ *f

E[a las cuacion$, \ectorial y cartisiana, de la (a) tagttc, () norml principal y (c) binormal a la cuwa problema 22 en l punto corrspondicnte a f : l.

Sean Te, Ne, y Bo los yectores tgngent, normal principal y binormal en el punto dado. Del problcm 22,

To o r _r+2!+*. . , -2t-J l2k o = ?=j Ib = ------ '

o = ------ , oo = -3 -


Si A es un voctor dado y ro y r son, rsspectivamente, los vectores de posicin del origen y de ungnrico de A,el vetor r-o cs paralelo a A y la ecuacin de A es(r-ro) x A :0.

Por lo tanto:La ecuacin de la tangent es (r - ro)La ecuacin de la normal principal es (r - ro)La ecuacin de la normal es (r - ro)

xTo:0X:Nd: Ot o", o

tivamente,

x- l-2

r -1

En coordenadas ectangulargs, para 2

: xi * j + ?k, o :i f ,* , n, estas ecuaciones son,

z -2/3

2'

paramtric. (problema 28, Captulo 1).1

y-1 z-2/32 2t

x- t " t -7 z-2/3

que tambin se pueden escribir on forma

24. Hallar las ecuaciones, vectorial y cartisiana, del plano (a) osculador, () normal y(c) rectificante de la curvalos problemas 22 y 23 en el punto correspondiente a / : l.

(a) El plano osculador es el que contiene a la tangente y a la normal principal. Si r es el voctor dde un punto genrico del plano y rq el vector de posicin del punto correspondiente a / : I,r * ro es perpendicular a la binormal Bq en dicho punto, es decir, (r - ro) 'Bo : 0.

() El plano normal es perpendicular al vector tangente.erl el punto dado. Luego la ecuacin pedida(r-ro) 'To:0.

(c) El plaa rectificante os perpendicular a la normal en elpunto dado. La ecuacin pedida es (r - re) 'No : 0..

Las ecuaciones de (a), (b) y (c) en coordenadas rec-tangulares son, respectivamente,

2(x- l \ -2(y-1)+ 1(z -2/3) = 0,1(- l ) + 2(y-1) + 2(z

-2/3) = O,-2lr-r)- r (Y-1\ + 2(2-2/s) = o.

En la 6gura estn representados losplanos osculador,normal y rectifrcante a la curva C en el punto P.

2s. (a)()(c,

Demostar que la ecuacin : r(2, v) es la correspondiente a una superficie._AtarDemostrar que --- X

-: epresenra un vector normal a la superficie.

'ouv'Hallar un yector unitaio nomal a la siguienta superficie, siendo a > 0,

\o)

r : acos l l sen yi + asn | ]sn yi + acos vkSi consideramos que a toma un valor fijo 29,entonces r : r(ro, r) representa una curvaque la opresentamos por |l : lo. Anloga-mente, 4 : at define otra curva r : r(zr, v)..d.l variar r, r : r(, y) representa una curvaque sa mueve en el espacio generando unasuprcic ^5.. As pues, r : r(,v) representauna superficie como se indica en la gura.

I -ascufvasu:uo,u:- , r , . . . ,prtenecenaestasuperf ic ieascomolasr: vo,v-vb,, .A cada valor de ay v le corresponde un puntode la superficie. Asl pues, las curvas z : uoy v:

por ej6mplo, se cortan en el punto (.o, vo) dc la superficie. El par de nmeros (.r, v) se llaman


t--idcremos un punto P de la superficie s cu-q @denadas son (riq, rq), como se indic enI tra. El reclor Arl Au en el punto P se ob-

-

derivando r respecto de manteniendo :@nstante: roi este vector ar/ en 9lEro P, es tangente a la curva y : yo en dichor@o- Anlogamente, r/ Ay en P es un vector4Erite a la curva ? : constante : o. Comoros vectores, AlAu y arlav, son tangentes, . punto P a dos curvas de la supercie, seduc que tambin son tangentes a la supe-

Ar Art en dicho Dunto. Lueso-

--: r -' - ou 7t es un

or normal a S en P.

i-

: -asn r]sen y i + acos sn yi

i-= : a cos .lcos ! ' I + 4sen ll cosr, j -c sen vk

Entonces,

i j

-senasbnv acos4sent

k

0

4 COS l COS v 4 Sen. COS v -4 Sen v

49

ca sobre la superficie. Si las familias de curvas a : constante y v : constante son perpndiculares rr sus puntos de interseccin, el sistema coordenado curyilDeo se llama ortogonql, En el Captulo 7ECrx un estudio ms detallado de las coordenadas curyillneas.

r Ar

I:

-a! cos / sen y i - a2 sen sn' v - a, sen y cos u k

r(presenta un vector norrqal a la superficie en un punto cualquiera (l, v).

EI vector normal unitario se obtiene divi 0

v 4 'sen' v(sen' v + cos'v) : I1 -a 'sen y s i senr < 0

Luego son los vectores normales unitarios dados por

+ (cos sen v I + sn a sen v j + cos v k) : * nLa superficie en cuestin est definida por las ecuaciones : cos r sn vel : a sen tsen y, z : ccos r,de las cuales se obtiene x' + y" + z' : 'que es la ecuacin de na esfera de radio a. Como r : an, sdeduce que

n:cossenvi + senrsenv j +cosrk f - ,4 , !to ' \ i 'J

cs el vector unilario nonnal exterior N la esfra en el punto (a, ,). INo,tz,_t ,2 ' I l

' r '2 ' i ) lEallar Ia

cuacin del plano tangente a la superficie z:x2+y.enelpunto(1,-1,2), -l* r"'s*'--+L llProru6r l 5!r l .v. l4Jql ' l Erv_rJ 'wrrv l rJgulv\r '_r ' ! / '.1. , .1,1, tn ' t - - t ' ) - t I ISeanx:.t, y:v,z: a + y las ecuaciones fraramtrics de la superficie. El vector dq posicid\ ' I ,/ ,.

- punto cualquiera de ella es | \. .,r : i * , j * (u" * y ' )k


af: i+2uk: i+2k. +: i+2tk: i -2k en el punto (1,-1,2), s iendo

ovEntonces

ArAu

Del problema 25, la normal n a la superficie on este punto es

Ar Ar" : " 6u:6+ 2k) x( i -2k): -2 i+2i+k

El vector do posicin dcl punto (1, -1,2) es

Ro : i - i * 2k

El vctor de posicin de un punto genrico del plaoo es

R: i*r i*zk

Como indica la figura, R-Re es perpendicular a |r,luego la ecuacin del plano pedido es (R

- Ro) ' n : O,

o bien, [Gi+r+zk) - (i - j +2k)l .t-2i+2i+k] : 0es decir,

-2(x - l) + 2(t + l) * (z *2) : 0, o sea,2x-2y-z:2.

MECANICA

27. Demostrar que la aceleracin a de una partlcula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio-convelocidad v vieoe dada por

,=*r*4xdtpsiendo T el vctor tangente unitario a la curva, N la normal principal y p el radio dc curvatura.

Velocidad v : mdulo de v multiplicado por el vector unitario tangnte To bien, v:YT

Ddvando,

DGI probema l8(),

Pof lo tanto,

dT dldt ds

9ar=*r* ,4aI aa d

* =

"n*cla cll,

d/ r * ,1$

xuN = 4

=T +:=N

dt=dt

+

Esto indica que la componnte de la acaleracin en ta direccin d la tangente a la curva es dvldt, y laponente segltn la norml principal es y!/e. Esta ltima recibe el nombr de aceleracin centrpea. En blema 12 vrcmos un caso particular de este que nos ocupa.

2E, Sea r el vecto de posicin respecto de un punto O, de una partfcula de masa rr y F la fuerza extlio quesobre la misma; el momnto de F respcto do O vien dado por M:r x F. Demostrar que M:rsiendo H : t x n y a la velocidad dc la partfcula.

I.

I tl I

, l- l

M = TXF

) )Pero ; ( rxv) = xf rnv)a dt

= rxt( , r v)

es decir,

,lr x fi{nt) segn la ley de Newron.4,^,

vxmv = r x;(nv) + 0

u = i r r"r" l = *4 at t

I til-Obsrveso que la frmula s puedc aplicar tanto cuando nt sa constnte como cuaJrdo no lo sca, El


un vector A : A,i + A,l * ,4k referido

-

-rro cintic y es el montcnto dcl fmpctu. La relacin expresa que cl momento aplicado es igual

-rlui[ del momento cintico f,or unidad de tiempo.

Ed seso gareral de un sistema de, partfculas de masas nr,mr,..., mny vwtores de posicin rr, rr,. . ., rn

-

d sistma do fuerzas exteriores R, F,,.., F,, el momento cintico resultante es H: b ^rr*x

v, : t

o ,on.^. ^

,'- ^" -

4!rdtaDte es M: Z ak X Fryse\&- l " ' - dt '

de A en un sistema de coordenadas XfZ de ori-O- abiendo que el pimer sistema gira con respe{to

a

-rdo, que se mantene fijo en cl espacio.

b -!mas

fijo y mvil, resrcctiva .1ente, demostrar que

-

r vctor (o tal ouedAt dAt;1.= 7; l +a,xA

tT I

ll l4tesentando por D, y D,' los operadoes derivda sn los sisemas fijo y mvil, respectivament, dlmos-r la equivalencia

D = D, + otx

-

Ea la rotacin del primer sisteria respccto del segundo, los vcctores I, j, k varfan con el tiempo. Por lomto, la derivada de A es

--

de coordenadas /z de origen O. Su derivada

rnd.r tiempo "" ff t + # t * #k.calcular

( r ) *

= '#, -

*r , *r + A,# + e,j + 4f f' i l r= #[ * ' ,# * n, f , . n"#

es dcir,

{2)

Como i es un vector unitario, di/d, s perpendiculr a i (problern 9) y, en consecuencia, est situadorD el plano formado por j y k. Luego,

Anlogamente,

aJ + c'k

ak + dri

c"i * aj

dldl

dtdt

dkdt

(3)

(4)

(t

Derivando i .i : 0, se obtiene t. $ + ff .i : o.luego o. : -6t.

Anlosamonte de i .k : o, i. dt + fi.u: o, v

nero i . f i : a de ( l) , t #.t : c, de ( i) ;

d : -a i de i ,k :0, t . f f + aj .* : o

Por lo tanto, a4: ol+"*, * :o"t-oJ, S:- . . i - " . t

in "

# l, t | # l- *" las derivadas de A especto de


4!+tdJ*04!=t_At dt 2d . -3, ' l \42- d2As') l + (d, !Ar- dsls)J + (d2A1 + ds42|kqr,e se puede poner en la forma

% -da dr

Ar A" A3

Haciendo d," =(D!, -2=o)2, 7=o4 el determinante se reduce a

r j I(D1 (D2 C3

A! A2 As

+ c'1'{ , La magnitud , es el vecto velocidad angular del sistema mvil

# I = "rnuu en cl sisterna jo

dAl; ' l" =


Dlr : aceleracin de la partcula rspcto del sistcma jo,Dlr : aceleracin de la partcula respecto del sistema mvil.2@ x Dtur + (Dno) x -l-o x(o x r)aceleacin del sistema mvil respecto del fijo

attt : td + al| .

53

-Tf

& la partcula respecto dl sistema jo es Dfu : Dr(Dr). Aplicando D/ a los dos miem-b {L r, !'.ndo en cuenta la equivalencia demostrada en el problema 29() rejultaDADtr) : Dr(Dr+.,t x.)

: (D,+ox)(D,+o

Analisis Vectorial [Schaum - Murray.R.spiegel]

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