Schaum - Murray.R.spiegel - Analisis Vectorial

5/12/2018 Schaum - Murray.R.spiegel - Analisis Vectorial - slidepdf.com

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SERIE DE COMPENDIOS SCIIAUM

TEORIA Y PROBLEMAS

DE

ANALISIS VECTORIALy una htroducción ¡l

ANALI$S TENSORIAL

MURRAY R. SPIEGEL,Ph.Prcfessor of Maúernatict

ReñstelaerPolYkclnic Institu¡e

Ltns GürÉrPiz DftzI¡sdierc d¿ AMto

ANc{. GtÍú¡¡z VIzqr¡zIdgdi¿ro .t AMto

L¡.@¡a¿o d CiMiü FÉlMDlplo"ado I lñtú¡¿rid Nuhar

D.

qYA4qMcGRAW-HILL

xÉxcq.-BocorÁ o guEttlostngs . GUATEMALA t-tsBoa MAoRtDNUEVAoRK . PANAMA. saN JUAN . saNTtAGo . sÁo paulo

AUCKLAND' HAMBURGO JOHANNESBURGO'LONDRES' MONTREALNUEVADELHI . PARÍS . SAN¡FRANcISco SINGAPUR

ST, LOUIS . SIDNEY TOKIO . IORONTO



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A¡IALISISVECÍOFIAL

Prohlbidaa reproducción

otat oparcialde 66la obra,

oor cualoulerm€dlo.sin autor¡zación scrltadel editor

DERECHOS ESERVAOOS 1970, especto lá /iméra edlc¡ónen españor orLIBROS VCGRAW.HILLE MÉxrCO, . A. d€ C. V

atlaoo¡fulco499.501, racc, ndustrial an, Andrésatoto53500NaucalDan é Juárez.Edo.de Méx¡coMlembro € la CámaraNaclonal s ls Indusrla Edttorial,Reg.NúrA.455

lsBN 96&451-068.3

fladucido de la prlmsraedlción€n lnglésdeVECÍOB ANAIYSIS

Copydght@ 1967, y Mccraw-HlltBookCo.,U. S. A.

tsBN 0{7.000228.x

2209476543 LINSA-70

Esta bra e ermlnó s, ,LTqllTt1:l,l-t"r::LT:n'uitr.gi¿tica,a u; c. v.

Cállé 3 No.944állé 3 No.

Oélegaclónnapalapa09310Méxlco,D. F.

Se ¡¡aron8 200ejsmpláres

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Pr logo

El análisis ector;al, ue se nicióa mediados el siglopasado, onstituye oy día unaparteesenciallas matenrátjcasccesaria ara matemáticos,hicos, ingeniefos demáscientíficos lécnicos.Estatidad no escasual el análisis €ctorial o soloconstituye nanotación oncisa clam par¿presentar

,cuaciones elmodelomatcrnáiico € assituacionesísicas problemas eométricos,inoque,además,rcioná una ayuda nefimable en la formaciónde las imágcnesmen¡ales c los conceptosisicos

o

ométricos- n resrmcn,el análisis eclorialpücdeconsiderarse,in Iugara düdas, omo cl másricouajey forma d€l pe¡samiento € las cicncias lsicas.

Po¡ la foma y mancrade cxposición, ste ibro sepücde tilizar como cxto en un cursodc ¿nálisis

Cadacapitulocomienza xponicndo laramentcas dcfiniciones, rincipios tcor€más €riinent€s,ejcmplos lxstrativosy descriplivos.A cont;nuació¡¡c presentana colecció¡de problemasotal-tc resucltos otros suplcmentarios on r€spucsta ero sin resolver, odos ellos de progresiv¿ ifi-

riai o €omo un m¡gnifico libro complcmentário e cualquierotro texto. Asirdsmo,puedeserdcvalor para todos os alumnosde las asignaturas e fisica, mecánica,electromagnetjsmo,erodi-,a e inEnidadde otras correspondientes los distintoscamposde la ciencia de la tóc¡ica cn qüe

nplean los métodos ecroriales.

. Los problemascsueltos clarany amplian a teoria.evidencianospuntosesencialcsin os que€l

tales tan nccesariosara conoce¡ a materiaa fondo. Asimismo.en los Droblemasesucltos e

lnentariossiñ,en dc conpleto rcpasodcl tema de cada capitulo.

El autorligüras.

diantesc sentiria conti¡uamentepoco scguroy proporciona¡ la repcticiónde los principios un.

uycn nunerosasdcnrostracionese teo¡crnas dedücciones e fómrulas. os ¡r¡merosos rob)emas

I análisis ensorial, ue an cvidenles entajas .oporcionanen cl estudiodc ingcnie¡ía,isicay mate-

Los temas fatadosson,a grandcs asgos, l álgebra el cálculodifcrencial integúl de vectores,

d€ la divcrgencia, el rotacionaly de¡nis €oremasntegrales. acicndomuch¡simasplicacrones¡ruy divcrsos.AtenciónespecialmereceDos oapítulosclativosa las coorden¿dasurvilínéas

El libro conticnemucho nás m¿terialde lo usualen ¡a mayo.ia dc los primcroscürsosde cimci3genieri¡.Con ello la obra se ba hechomás completa, onstituyendo n libro de consultamuy útilla vez. catalizador el interés cr tc¡nasmá! elevados.

agradecca colaboración cl seño. H€nry Haydcnen la preparaciónipográfica dibujoEl realisn¡o e las figuras ealzacl valor de la obra en la quc la crposiciónvis'ral.jueBa

papcl an

R, SPTEGEL



Indicede moterios

¡ TTTORf,S Y ESCALARES. Ik6r. Esc¡lar. Al8ebra tccao.ial- ¡¡Fs del Algebr¡ vectorial. V€ctor uoiiario. yecroEslira¡ios trirrecl¿ngulares. Vccto¡es compon€ntc!, C¡mpo €scala¡, Ca¡nDo lectorial.

I. TTODUCTOSESCAIAR Y VECTORIAI.

A dFTRENCIACION WCIORIAL

hod¡¡clo cacal¿Lr intono. Producto y€ctorial o exlcmo. Productoc triot s. Sistemas &

r6

35

51

Düivad¿ do ú v.ctor. Curvas €n el ospacio. Conlinuidad y dc¡ivabiliüd. Fórmulas de dcri-?!ión. D€rivadas p¡rciales de ull v.ctor. DifeÉncial de un voctor, c€onetría dif€r€ncia¡.

OPTRACIONES DIFERXNCIAIES: GRADmNTE, DIWRGENCIA Y ROTA-CIONAL..Operado¡ difer€ncial vecto¡i¿l nabla. CEdie¡te, Diverg€ncia,q¡¡. inlcnie¡c cl opc¡ador ¡¿bla. Invariaúa.

Rotacional.Fórmulason la!

L\TIECRACION VECTORIAI.lnlegr8l de un i€ctor. Inüe8¡alcuwillnea. Integral de sup€¡fici€. Inlogr¿l d6 volumen.

r ANAIISIS TENSOnIAL

¡,JoPERAcIoT\Ts TNTEGRALES:TEoREMA Df, LA DIVERGENCIA,TEoREMA !\r' DEL ROTACIONAI OTROS EOREMASNTf,GRALr,S... . . . .- . . . . , , . . . . . l0ó V

Teorcmadc !a divcrspnciadeGáuss.Teoromádcl rot¿cion¿ldeStokés.Teoremade Gr€enar el pl¿no.Ot¡os teorcrnasnt glal$. Fofma irtcgr¿l del op€r¿dor abl¡.

f " cooRDEN¡DASttRVrr,rNEAS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Ttusfo¡trl¡ción dq coor&nad¡s. Coo¡dcnadas cuNilfrc¿s ofogon¿!€s. VectorÉ! unit¿riosen sistcdra d€ coord€¡ad¿r curvilín€¿s. El.ñentos de llnea y de volurnen. G¡adi.nte. d¡ver-gcncio y ¡otacio¡al. Caso3pa¡ticular€s de sistemasde coord€n.dÁs ortoAonales. Coordc¡adascilíad¡jcas. Cm¡dcnadar €sfáica!. CoordoDad^ cilíndricas pa¡abólicas. Coord€nad¿s p¡-r¿bolo¡d¿l€s. coord.nad¡s cillndrica¡ cliptic¡s. coorden¿das .lferoidales alargada!. coorde-nada3 csfe¡oidale acll¿tada. Coord.íadás cliGoidal€s. c,oo¡denadas biDolar6,

fr)€s fisica.. Espa.ios dc N dineftlones. Transfonnació¡ d€ coordenadas. Convenio desunaalótr dc los ¡ndicca r.pctidos. Vcctorc3 contrava¡iant s y coyar¡aotes. Tensorcs contr¿-va¡iartcs, coErian&s y mixtos, Delta & KroDeckcr. Tcnsor€gde orden supc¡ior, Escalarcsoinvarlsntes. C¿mpos te¡Boriales. T€nsores simét¡icos y hcmisi¡nétricos. Op€racior6 fu¡da-ÍF¡úrles con iensor€s. Matriacs. Algebra matricial. EI clomenlo dc linea y cl tensor ñétrico.T€nso¡ r€clproco. Te¡sor€s asociados. Módulo de un vector. Angulo entre dos v€ctor€s.Co6Don6Ls ftuic¡s dc un v€.tor. Slrobolos de Cbfistoffel. Iry€s dc imnsfomació¡ dc 106sÍlrlboloc de Clristoffcl. Llncas eeodésic¿s,D€rivada covariante do un t.nsor. Simbolos yt nsons altor¡antca. Fo¡ma t€nsorial del iradiente, divergencia, rotacional y laplaciana.Dedvad¿ ab3olut{ o intrlns€ca. Tensorls rclativo y ¿b6oluto.

itDIcE. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2lE

t6ó



-'Vectoresy escolores\ICTOR. Es üna magnitudcüya determinación xigeel conocimiento € un módulo, una direc-

:i¡r r :n sentido.Ejemplos e magnitud€s ectorial(s on cl desplazam¡enro,a velocidad,a aceleración,l¡ ! 'rÉ.;3. el imoetu. erc-

C.áñcameñte, n vector se representa or un segmento rien-¡¡I,: OP(Fig. i); la longitud del segmento s el módulo del vector, aúr.J:.on de seCmentos a correspondienteel vectory Ia flecha ndicaa ;e.¡rdo del vecior. El puílo O s€ lama oigen o punto de aplica-::tt -: P el extrcno del vector. La r€ctaen que s€apoyael segmentoE :¿.ma dirc¿rriz del vecror.

lnaliticam€nte,un vector se representa or una lelra con una'.sj- encima. or ejemploÁ en la l- ig. I . el módülo ". , . ' ¡¡ . Ár :¡en A. Otros autorespre6ereremplear una letra negrilla, por:€:rpio A, con 10que lA o A indica su nódulo. En esle ibro emplea-''=ri esta última notación.El vector OP tambiénse pu€deesc¡ibirj¡ . o bien,oP; en este asosu nódulo es oP,

1óF¡,o ti"n, or.

ESCALAR. Es una magnitud cuya determinación olo requiere.el onocimienta e u¡r númeror. .antidad respectode ci€rta unidad de medida de su rnisma especie.-emplos tipicos de escalares:i¡c a longitud, a masa,el tiempo, a temperatura, l tfabajo, a energia, tc.,y cualquiernúmero eal.is escalar€s e ndicanpo! una etra de tipo ordinario. Las op€racioneson €scalaresbedecen lasnl.úas reglas del álgebrí elemental.

ALGEBRA Vf,CTORIAL. Las operacionese adición o suma,difercnciao resta,multiplicaciónx l.rodu€todel álCebra lsmental ntre números ealeso escalar€s,epuedengeneralizar,ntroduciendo.ié¡rrminadasefiniciones, l álg€braentre vectorcs.Veamos as defniciones undamentales.

./. Dos vectoresA y B.son equipolentes i tienenel mismomódulo, la mismadireccióne idénticosentido.Si además ienenel mismoorigeno punto de aplicación, on ¡gral¿r.Tanto la equipo-lenci¡ como a jgualdadentre os vectores ados a representaremosor A : B (Fig. 2). Ceofnó-tricamente e reconoce ue dos vectores on equipolentes i el polígonoque resultaal unir susorígenes or una parte, y sus €xtremospor otra es un paralelogramo:

2. Dado un vector A, el vector opuesto,A, es €l que tiene €l mismo módulo y direc¿ión €rosenrido o n(rario Fig. r.



VECTORES ESCALARES

Su a o rcsultant¿ e dos veotores^

y B cs otrovector C obtenido trashdando el orig€n d. B alcxtrcmo de A y ünicndo cl odgan de A con cl cxtr.mo B (Fig.4).Anallticam€nte €expresa +B : C,

Observ$e quc trasladando los dos yeotorcsa

ün origencomún, el veclor sümaco¡¡€spotd€a ladiagonal dcl p¡relelogramo con €l orig€n en clo¡igcn co¡nún- Por ello s€ dic¿ quc la suÍra de vcc-tores obedecca lz ley del paralelogrumo eéascProb. 3).

La generalizació¡ a la suña de varios vectoreses inmediatosin riás que iI sumandode dos €ndos succaivamentave¡saProb. 4).

Fla.{

4. La dtferenciade los tectores A y B, que se reprcs€ntaan¿lÍlicamcntepor A -8, es ott¿l quesumadoa B produc€el vector A. Dicho de otra Íranera, para rast¿rdos vectal vcctor minuendo el opuesto sl \'ector sustraendo, es dccir, C : A - B : A + (-

o simplememte0.5, El produ.to de un esc¡rlar n por un vector Á es otro veotor, h1A, de la misma direpcro con un módulo l,rl veces l de A y un senlido gual u opu€stoal de A scgúnlar ñ seaposiLivo negátivo.Si ,n : 0. |'¡A es el vectornulo.

LEYFS DEL ALGEBRA VECTORIAL. SeanA, E y C lras vectores ñ y ¿ doseestas ondiciones€verifica:

, . A+B:B+A2. A+(B+C):(A+B)+C

1. n(nL\: (nn)A

t, (m + n'r[: nA + nA\

ó. n(A + B): nA +,ñB

Propicdad onmutativ¿ c la slmaPropiedad asociativade la swÍaPropiedad onmutstiva el productopor un Propiedad asociativ¿del producto por un €s

Propiedad dislributiva del producto por unpeotode la sur¡a de escalar€sPropicdad dbtribotiva dcl producto por un

pccto de la sumede vcctores

€lcap. 2 d€finiremosos prodüctosentr€v€ctores.Étss lcyes p€rmiten considetar y lratar las ecr¡acior¡ca ectoriales da la misma for¡na q

escalaresciuacionesalgcbraicas). or ejgmplo,si A *B: C, transponiendoérminos,

VEC¡OR UNITARIO. Es todo vector de módulounid¿d.Si Acs un v€ctorde módulodistintodecero, + 0,

cl vcctoi Al,{ es un vector unitario de la mivn¿ direccióny

sentidoque^.odo vcctor A sepu€d€ epr€s€nt¿ror el productodc

un vector ünit¿rio ¡ dc ls dirección y s€ntidoque aquel mul_tiplicadopo¡ sl módulode A, que es ün escalar.Analític¿-m€nt€,Pues, eesc¡ibe,A : ,l¡.

VECTORf,S UNITARIOS TRINRf,CTANCULARE¡Il, j, t. Un sisten¡ tllúy importanE de vecto¡esunitariosson os que tienenPordircccioncsascorresPondientesosejesda un sistema e coordenadasartesi¡¡as n €1csp¿cio,¡, y, z, con scntidos os positivosde €stosejesy qüesc larranveclorcs nitarios , ¡, k (Fig.5).

Mientras ro sc diga lo contrario, supordremos que clsisteña dc coordcü¿das trir¡ecBngularcs es 4alextrorsun>

Obs€rvcs€quc no ¡parecÉn más las propiedadesdcl producto de un escalar por ün

c=¡i !



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fc,

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¡lcranFB.I

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VECTORES ESCALARES

, r bcchos. Ests dcnominación deriva d€l h€cho que unE:illo con ros.a a der€ch¿sgi.ando 90' d€sde O¡ a Ol,rnfz ctr cl scntidoposhivode Oz. como sc mues¡¡aenr F!- 5.

En gencral, rcs vcctores , B y C oon el mismoorigcnt fr coplanatios, ofÍnan tn sisteÍ\ <dexlrofiuh, o a derc-,.iñ si un tornillo dc roscaa derechas irandode A a B po¡

i Éor ángulo avanz¿eD Ia di¡eccién y sentido dc C,Es s. reprcscnb cn l¡ Fig. ó.

vECTOnES COMPONENTf,S. Todo v€ctor A eni :spacio (3 d¡mcnsioncs) s€ püede repres€ntar con sü,r!-::cn en el conespondiente O de un sistema dc coorde-¡d15 trirrcctangul¡rcs (Fig. 4- Sean ,{r, ,1,, ,lJ lascoorde-Edrs cartesiaDa3 cl punto extrEmo del veclor

^cuyo ori-

!!3 es O. Los vectores lri, A;, y 4k se llLma vectorctfi*pwnles rcatangulares simplemenfe eclorcs onponente[ü -.{s€gún ¿s direcciones x, y y z, resp€ctivam¿nte,Los

-l¡rB,{¡, Ar y At 6c ll^r al coñponenletrcclanguldr$ o

-d.nent€

companerit€selvectorA según as dircocioncs

¡, t y z respaolvamanE,La sumao resultantide os tresvector€s,4¡i,1J, y ,4sk

¿r cl vectorA. ¿stoas.

t t :Ai iAzi iA.}

E módulo de A es

a: l^ l :a/Ai+A.,+Ai

E^ p¿trlic¡tlar,el y.ctor deposicíóno rudio recto¡ r cuyo origcn es

'r- /, z), sa cscribc cr Ia forma

f :n+r+zk{É tienede ñódulo t: rj: I x'¿+ f + z'.

CAMPO ESCALAR. Si en cadapunto (x, y, z) de una reSiónR d€l espacio e e pu€deadociarrn escalarÉ(r,,,, z), hemosdefinidoün cdrnpo scalar cn R. L¿ funció¡ d dep€nde, u¿s,d€l puntoy, por ello, 6e llama /¡rción es&lat deposición,o bi¿r, luicün de punto escalat.

Eje|nDt6. (r) I¡s tcmperatnras en cadapunio int€rior o sobr€ ¡ superficiede la aierra,€o un cierto¡nst¿nte,d€fircn un campo cscolar.

(2't ó (t, t, z\ : * zr defne u¡ campocscala..

Si un oampo cscafar cs independiente del ti€mpo, se llama pcnnaneñteo estacíoñatio,

CAMPO VECTORIAL. Si e\ cadapunto (¡, /, z) de üna regiónR del espacio e € puede sociar|d vectorV(x, /, z), hemosd€finidoun .anpo wctotial V e^ R. I-a firnciónV depende, ucs,del puntoy, por ello, se llama fuacün vectorial deposictón,o bi.n fuhción depmto vectoial.

Ejenplo¡. (J) Las velocidades n cadapünto (¡,),2) cn €1 nterior de un flüido en movimiento,en un ci€rto instante,definenun campo vectorial.

(2) V(x,y,z): xt'í-2yz't + xtzL dcfincun campo ectorial

Si un o¡mpovcctodal es Ddependienteel tiempo se lamaperñdnente ettacionatio.

Ftr. ?

el punto O y cuyo ertremo es cl ponlo



VECTORESY ESCALARES

l , Dé las nugnitudcs dadas a cont¡nuac¡ón irdic¿r las de caiáctefresl¿i y tas de e¡ácter €torial

f¿l ¡-.áa¿ ,r, "o,u^"n€ (l ) potÉncia-

(j ) intensidad el campo ñ

t0) yeclor¡al

Problemas resueltos

Ut eneryíA (,/, distanci¿-1f- ..

€s@le tu') esláresc¿la¡ (r¡)es.ala¡

Sot. (¿) veclorial

U)

2. Represent¿rráficamentc:¿) una füer!&de l0 n€wtonseÍ la dir€cció¡ Ét€ 30'Norte,' (ó) u¡a fucrza dc l5 ¡cwtons m la dirección Norle 30" Este.

Con la un¡dadd€ ñódulos indicada, os vector€spedidosaparecen cpresentadden las

3. Un aulomóvil recorre3 kilóñ€tros haciael Norte y lü€go5 kilómelroshac¡a l Nord6tc. R€ptddplazamicnto y h¿llar cl desplazmiento Gultanter (¿) gráficamente (á) analiticameoto.

El vectorOP o A reprcsenta l dcspiazamientoc I kmhaciael Nort€.

El v€ctor PQ o B reprcs¿nla€l desplazamiento do 5 kñ

El r€ctor OQ o C rcpreent¿ el d€splazamien@ esul-taDteo sum¿ de los vcctoresA y B,.s decir,C : A + B.Pu€de observar8e a /e/ d¿l r/¡¿¿r'!1o dc Ia süma dc vcctors.

El vector r€sultantc OQ t¿mbiér s. puede obtcn¿r tta-z¡ndo l¿ di¡gonal del par¡lelosramo OPOR construido co¡los véctoresOP : A y OR (isual al vcctor PQ o R). Esraesb le! del patulelostMo & la suma do v.ciores. es d€cir, de

(a) Deteminoción etdlca d¿ l¿ ¡¿r¿r¿¿r¿.Semid€ Ia lonsituddc la diagon l cod la mi!¡na unid¿d de long¡tud dÉ I k¡n adoPt¿d¡ par¿ los olros vectons. Así sEdeduceel valor dc ?,4 kmsproxitradam.nle. M€dianlc un trasport¿dor o schicircülo8r¡duado s€ mide €f ángrJloEOQ - 61,5'. Por lo tanto, elvcctor OQ ti€no de rródulo 7,4 *m, y di.ección y s€¡tidoE3tc61,5"Nortc.

(b, D¿t.,ninaci¡jn anolítica de la rctultant.. En el triánsuloOPO,llamadoA, B, Ca los¡bódulos o osv€ctore3 , B, c,rdpectivam€nüe, el teorc¡n¿ del coseno D€ín¡t€ €scribir:

C' = At + B'-2ABcos L OPQ:tr + 5,-2<3N5)co6135.- 34+ r5/t- 55

d. dondeC = 7,4J aprorim¿damenlcj,

Frs.{ú)



VECTORESY ESCALARES

-{9liándo ahora €l teo.ema de los s¿noss€ deduce ¿ dirección y el s€ntido:

ACser L OQP senL OPQ

A*n oPO I (0,70?)*n oQP a

-7.41

. 0.285s, LoQP : \6 '35 '

E¡ v€cior OQ, en consecuencia,i€ne de módulo 7,43 km y una d¡re.ciónqúe forma un ángulo con la¡irrEión Este de (45'+ 16'35') :61"35', esto es, su direcljón y senridoquedandefin¡dos or Este 61"35,

.{ 5¿¡á¡ la suma o resullante.de os siguient€s splazamidtosir-lo trtros haciael NoroestejB, 20 metros,Este 30' No¡te; C, 35 meüos haciael Sur. (F¡g. a. )

E¡ €l €xtremo de A s€ sitú¿ el oriepn de B.E¡ el extremode B se sitúa el origen de C.l¿ resultant€ seobtiene nierdoelorig€nO del v€cto¡A con el extrerno eC, esd€cjr,D : A + B + C.

Sigüiendo l método e¡áficose dedu@que el vecto¡ D tiene de módulo 4,1 unidades:20,5 m y und

rtF€rión y s¿nüdodefrnidopor Este60 Sur

¡fs.(d) F¡s,(¿)

S" Draost¡ar qu€ l¿ sumade vectores oza de ¡a propiedadconmutativa!A + B: B + A (Fis, (r)).

OP+PQ:oQ, o b ie¡ , A+B:C,OR +RQ: OQ, o b ien, B+A:C.

For o le!o, A-B B A.

¡5 Dcñostrar qu€ la suftra de v€.tores goza de Ia p¡opiedad aso€iativa: A + (B + C) : (A + B) + C.

OP+PQ:OQ:(A+B),

Y PQ+QR:PR:(B+C).O¡ + PR : OR : D, e,sd€cir, +(B + C) : D.oQ + QR : oR : D, esd.¡ir, (a +B) +C : D.f¡to¡ces, A +(B + C) : (A +B) + C

G€neraliza¡do os resuli¡dos de los probleñas5t ó s€al€muestraueen la sum¿de cualquier lme¡oé \€ctores a resultantccs ndepcndient€el ordenen o

qE s. tofmn,

¡, ( -

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6 VECTORES FSCALARFS

' ;:if,ili1i1i¿3H'#:,i",Xi::"¿;¡;¡-* "" ",. . . ,F".Ha,,a¡a uerzaue s e@sar

::iJü14:1{:"{lll{"i;::::flT :,ifii:t1'"J,::,'?.:'#j,:i":tTá,,ienre. con to que s obtieneet potigonodeplgli;il"lr*.i;; ";."'#;':T"f'.:H$::i*á.,i1""'fi",l'"'1

.,,.:":'j1ii":LT-th?l'r;1;:1i.":lll'¿,,,"#:fÁ:?TffllJ,?,:::-*, esro

8. Dados os vector€sA, B y c (Fi8. 1a),consrruir osvectoresa) A _ B + 2C,(b\ 3c _,1.e^ _

(bt

f.I

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VECTORES Y ESCALARES

|' IL ¡rih * aué! cn la dirccción y s¿ntido dcl Nor-

--¡ ú¡ rclocidad, rolatirr ¡ l¡ Ti.rr¿, do 250 krvh

¿¡b r l¡ cr¡t ¡rci¡ d. un vicnto h¡cia GI O€6te con

-üdd.dd¿ 50 tm/ll rEl¡üva a l¡ Tirt¡ lámblh.

Er h v!¡ocida4 dirtccitu y sc¡iido d.l i,ccto¡ yclo-Ét l o¡¡c ll.i?rla cl avión si no hubicacvi.nto.

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v. : volocid¿ddel ¿vióncon üento rV! : vclocidadd.l ¡vtón rin üGDto l'I

F¡ 6t&! co¡dbidcs,

¡. : v. + w, dodon¡lo, - v. -w : v. + (-lV).-

Midiondo I¿ ¡oogitud dol \¡ccto!Vó se obfen 6,5 unidades uc equivalcn¿É.llo vicncndadospor Oest! 33' Nortl.

I. I¡do6 doo vatorEs ¡ y I dc dilint¡ di¡Ección,h¡llar la crptlsión dc o¡¡lquic¡ véctor r dd pla¡o &tc¡minado

F¿qucllo3.

Los vrctoÉs d¡dos no ticÍcn l¿ rnis¡¡ádircctriz. Por lorúto, &tarmiÍa! un pla¡o. S6a cu¡lquicr vectordo d¡choll¡o y r¡8sladomosos €ctorc! r, by r dc

'naoe¡¿quc .ng¿n

d ori¡pn com¡lnO. por el €xt¡oño X do r ú¡cemospartlole¡¡ bs diraccloüa!dc ¡ y b, Elpccti$rnrnt , forná¡do €l para.

, rLlograoo ODRC.D€ l¿ 68uñ 16doduc¿, \ . r.

oD -¡(oa): .n, | _ 'L"OC : r()B) : )ó, 4., ,,. -ondordcxcrso¡.¡cal¡tB

Ahora bion, rógún ¿ lóy do compo¡icióndel paralclognmo,OR:OD+Oc, o b i .¡L :¡ ¡+,t

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. .u

I

q¡¡. ca l¡ o¡pnsión Fdid¡" l,oe v*lorEs .¡¡ c ,b son 16 @nqotu tcs t ctüld.t, o v.clo.!s coopo¡rcrit .,do r s.dn l¡! dincciord &. y b rcsFclív¡rFntc' lr3cac.ldlsr€/p¡¡.dcn s.r poaitivG o D.s¡tivo3,rgúr 106ati!6 dé lo3 icclo.la. Dc l¿ const¡r¡cción gcométrica s d.spr€ndc q*.t c / son únicos pore., b y ¡ (hdos. los vcctorEs a y h *¡ lo. ve.toret ¿n la á¿tt d€l tístema dc coord$adrs dcñnido por ¡utdircccioDc on ol plano quc délrfiin¡n.

¡L Dddo! trqt t€torai no copla¡¡rio! ni paralclos ¡, b y c, h¡llr¡ l¡ expresióndc cuslquie¡ v€ctor r é¡rcl 6paciot¡idimc¡¡don4

s.e ¡ rl vdor cu¿lsui!¡¡ d.l.spacio de origi¡ o d qoctr¿slad.Eos or trc6Elorrs d¡do¡ .' Dy c. Por cl .xtrlso idc r t ¡..mo6 pl¡ir6 par¿Lto3, ca!.c¿ivamt , ¿ lo3 qu.rtct!¡min¡n . y b, b y c, y. y., forñó¡dos! cl paratclcplpodo¡Ox,Y¡Utl. Dc h fieu¡asc doduco,

ov = ¡(oA) r¡ )OP : ÍOB) : ),b ) on dond! ¡, /, .¿son e!.¿¡¡rcs

on - loc): zc)

Alor¡bi.| | OR Ov +vQ +QR -oV+OP + OT,o bicn, -.ü +}n+ ,c-

Llc Ie con truccióng.or¡¿!¡icá$ d.6pr.ndequo¡ /, y t ron único6pamr, b, c, y r d,¡dos.



. - ' ' - - - . - '

VECTORES ESCAIA¡ES

Los !€ctorcs ¡.,lb y zc sollas compon útet v¿ctoiales, o v€clorts coftponcntct, de r.segciones de ¡, b y c, repecrivam€nte. Los vscto¡cs .' b y c son los w.to'* ¿n la bas¿ d.l sisttdenadas €nnidopor susdirec.io.ca cn el €spacio.

Coño casopadicular, si aj b y c aón os vector6s ritárioi i; l y k, respectlvañcntb, irtrp€ndicuiares,u¿lquier eclor. sepücdcexpresar! € o¡m¡ única.cn fünción d€ i)s vcctor€sülosejes o..

-.

¡i + / + zL.

Asimismo,si c - 0, el e¿tor r peno¡€.eráal planofo¡madopor ¡ y b, obtcni¿nd@ €lproblema10.

12. Demostrarqnesi los vectorcs, y b no tienen amisr a di¡€cción,la gualdad €ctoriai a +/bque¡: / :o.

Supongamosque ¡ I O. Ertoncls, de ¡. + /b : O s€ d€ducc ¡¡ : /b, €s dcci. ¡: -quiere d€cir que a y b ricner la misma di@ión, lo cu¿l es cont.a.io a la hipót€sis. Por¡ 0, v de vb 0 se desprende ue y O.

r3. Demostrarque si ¡ y b son dos veclores uyas dir€cciones e cortan, la igu¡ldad v@torialrú + /¡b impl ic¡qu€ ¡ ¡ , e r ' : , r .

¡ , ¡+/ ,0:¡ ! ¡+/ :b¡, r + /,b (¡ , ¡+v¡b):0, o bidt, ( ¡ ¡ -xJ¡ +Cv'- . / ¡ )b=0,

Po¡ o ranro,esún lproblema2.

.t , - ¡' : 0' ,' - t: : 0. o bien, ¡, -,,'Y':!,.

14. Demorrar que si ¡, b y c no son coplanariosni paralelos,a iSualdad ecto¡i¿lx¡ +/b +zcoue. i :y:z:0'

Supongamosque ¡ + 0. Enlonces, de ¡s +zb + zc:o sc deduce ¡¡ = -)'6 + -¡ : -<-yl¡)b (z/x)c. Aho.¡ bien, -Olx)b - (?/¡)c es un veclor del plano qüe forma b v c (estocs,¡per leoe€alplanodebyc, locualescontr¿r ioalahipótesisdeqi¡€¡ ,bycnosorcPor lotan¡o,¡ :0-Razonandodcanálos¿manera,süponiendo/*oyluegoz+o,sel le8¡askadicciones, or lo que quedaderhoslradoo pcdido

15. Denosrra.que si¡, b y cson resvectores o coplan¿rjosiparalelos,la igFldad i€ctoliai tia.+¡¡ . - hb r.c impl ica que \, : Í / , , ., z ' : z t .

La ccuació¡ dada* puedeescr¡bi¡en l¡ fo¡¡na (¡r - ¡rh + O, - y)b + (2,-2). :según fprobfema4, ¡, - at : 0, t - y' : O,y zt -: r - o, o bien, , : ¡¡ , /\ : t^ 2 :

f-ió\Derilorrar que asdiagon:lis eun paralelogramoocortan n supuntomedio

\ / S¡,aEC, el pamlelosramo adocuyasdiasonales€ /\--l cort¿ncn el puntoP. -

ComoBD :r : b,BD - b-e. Entonces P : ¡(D ¡),

Como AC : a b, AP : .y(¡ + bi .Aho.a bien, AB AP I PB = AP - BP, con lo que,

¡ /á +.b) - ¡(b a) : (¡ + /) ¡ r L! - r)b.

Como las direcciones e ¿ y b secorla¡. segúnel pro_blcma 13,¡+/ ' l€, ¡ :0 , es deir , ¡ : ¡ - ' , / "Por lo tanto, ¡ cs ol punto medio dc las dos diagonales.

t7 . Demorrarqueel pollgono ue csulta l unir ospuntosmcdiose os ados cuncuadrilárerogr¿mo.

Sea rBCD€l cuad.¡látero adoy P, O, rR S lospuntosmedios ésus ados Fig.¿).

En¡onces,Q: ' / , ( ¡ + b), QR =='/ lb c), Rs: ' r (c + d), sP: rL(d+ ¡).Ahora i .n,s + b+c.l d : 0. Por o tanto,

PQ -' :(a - b) -"/c + d) SR y QR : '/'(b + c) : -'/,(d,+ ¡) -

Como los lados opúesros el f'olieo¡o formado son iguales pa.¿lelos,dicho poligono

logr¡mo.



VECTORESY ESCALARES

II3""; i;ii*ll1llli';:,::: ':f"i'-o: "l "'9*

o v11',..,.suscsprcrivosectorese osic,ón.€mos-g*,:' li TlTfi'T"'.:::::: : -",.: o'.;'ürd;;;';.;i::;i;ü;HT'.:?ü[[?:T=q1 O' si, y sotosi, severifici¿, + ,, + ., 10.

rl€l

=deo. ve¿nosnqué o¡diion€s*,¡i"."rá.i,iiíJi-,,ir;;,.,.;;;:i,H,i".ii,."í.#;:J); ' iF1::1".'" 'Ti: ' :-oj, : :: ' : lóle-f,r: f' ,{{rrespecbdeovervecrordeposicióndco'r6

o).

_D.la.Fis. (ó)

-sededucequ9., : i +r,r , ¡¡ :y +l ! , ¡ . :y +r, ! , con lo quc la ccuac¡óntr

-

¿,r! + ¿rr¡ : 0 se transfo¡md en

a¡\+ a{, + a,r1: a(v + ri) + ¿lr + ri , *"* ' *.,,

_ (a, + a, + a,:)r+ a¡,, + oii + a,¡,, : OLa condición n€.esaria y süficienre pa.a que ¿,! ¡ i ¿,r., + ¿r.i : 0 es

(a,+a,+a¡-0. esdc. i r , a,+ar+a,:o.

Este esultadouede eneralizanein dificutrad.

:l :,",;:::."".1T,1.-:1.,:ra quepasapor dospuntos7 y a cuyosvectores eposición 65p€ctorcr r¡scno{:. y D, especnvamente.S.a r el vectorde posiciónde un ¡punto ge¡éricoP de la

Dc Ia ñgur¡ adjunrasededuce,

D\-AP.- OP,o bien, + Ap : r, dedonde p : r _ ¡

01 - AB : OB, o bien,a + AB : b, de do¡deAB : b_s

Ahora bicn como AP y AB son colinealcs,Ap : rAB,(b ¡). po¡ lo ranr¡, ta euación ped¡dacs

r: ¡ + (b-a), o bic¡, r :( t _r)¡ + rb

S.6'¿ ecuac'ónce$ribeen a ofma(¡ 4a , /b_r. 0, o

-:i -r tud€susco€ñ.irnLesdea.byr6 | _ | ¡r_ I =O

-.: ionstSutente.egún t p¡oblena 18.el punroppertcncce¿ : re.ta qu€ une"4y A, jndep€ndientem€nte de ta clección

,J¡o néla¿o, Corno Ap y pB soa colin€al€s, siendo h1y ,,:! r escalarasc verifica:

nap np['. o bjen, n(r-¡.) =

n^ nn! oonoesededucerr ¡ , , quese tama arha rinérica.



VECAORES ESCAI,ARES

20.(^4-Ylllr !:.vc¡r9y d€pos¡ción y r, de ospuDto!

r\..1,rt I urt. -r.1, cf' un s6tom¡dc coor&n¡d¡3trirrecr¿nguhr n fudctónde tos rlctorcs unit¡rid l,l, L. (ó) D.t rminar gráñc¿y am tic¿tncnt le .6¡o rE6ülr.¡rcdc dirrc3 r€c-roÉ

(¿) ¡r =OP : oc + cB +Bp-

2l+

4t+ 3¡r¡- oQ:oD +DE+ EQ- t_51 +2r

(bl ctófcank,t.,la rcsulratrrc d. r, y .r !. oor¡!.E4t .!¡ ot¡soml OR dcl paralclosramo oPiO.Anan cañ¿nt¿ vtcn d^d^ ñr

Q{r , - t ,2)

¡, + r' = (¡ + aJ 3r)+(l-5, + 2¡) 3t-l + Jr

quc cl r¡ódulo ,,1dd vocaorA vi€ded¡do por

Ai+AJ+ A¡cca: l lJ4¡1.Porcl t orcna dc pitágo¡as,

(oP)' (oor'+@b"er do¡deO-P setmódulo €lvecrorOp, erc.

Análosü'Ent, (oO)': (oT)'+ (iO)'.Po¡ o !¿nro. -p)' . ro,nl. + riOy - tO¿). o

A, - Al + AZ ,ri. cadeci',r : ,/ /? + 4=/l

¿. Dadd lo3 v.c.or* rt : 3i-21 + t, r, : Z-4r-3r,(¿)r,, (á) ¡ + r' + r.. (.) 2r¡ 3q- 5r,.

t . t l r" l , r -¡r4+zrl = vl j t1

-

tzf+6 = c.

r,:-r+2r+2t, b¡l l¡r lo.

= 4t- i ,

,6 = *6=s,(ó)q+.2i . . = (3r-2,+r)+(a-{t-3t)+(-t+2t+zr)

- at-{J+otPoro ¡nto, !+r,+."l = l l¡-+l+orl . /(8;7:&, to] =

(¿) al - 3.2 &3 = 2(3t 4 +t) - 3(21-r, -!¡t) - i(-t + zJ+z¡)= 0l-4t +21-6t +tA +9¡ +í -roJ -tor = 5¡-2, +¡.

Poro ¡nto.2r1-3r , -s ,"1. ¡r-zt*¡ l - / (R;(8; (# =,6=s.qz

Dado. oj v.ctoE! , : 21-l + t , h : ¡ + l¡ -2r, r, : -2t +l -3r, t ¡¡ : 3r * 2i *va6¡os oc ¡os c€.3lar€s¿. ó y . d0 múéra quc ¡. ¿rr r áf¡ r d..

3r+2¡+5r = ¿(21- l+r) +r0+3t-2¡) +c(-2r+r_a¡)= (2.+b-2c)t + ({ +3ó+c). ,+ (¿ 2ó -3.)r.Ahoú bi.n, los yétores i, L k no son ni coplanariosni par¿telos, c$l.nel probldra 15

2t + b-2c:3, <+3b+c:2, o,7.b-3. :5.

Resolvicndocstcsisi . f ¡ ¡de.cu¡cio¡ .s,s: - -2,b: t ,c: -1cút loquor. : -24+r¡-

El ve.\or r. d¿pcndc ínealrurr¿ dG os vccrorts rL r, y r.; cn otru pal¡bras, ¡,, r,, rr y ¡

jsist€r¡a dc vcctorcs l¡r¿¿,r¿nte ¿lepeüleúe. Sin .mba¡go, tres (o renoo d. cao3 cuatro v€crorñ.nte in¿.p.a¿ientes.

ED Acncral, los v<.rorcs A, B, C, . . . sod lincaLEnto defEndbntes si .risten u cohjulto a4. , . . . ,notodos¡¡ulos,deba¡cr¿que¿A+óB+.C+.. . :0,c¡ tcásocoDtr¿;osonl i



L úÉ ü¡ !.rcto¡

I I

\€ctores r, : 2l + 4¡-5L,

¡rs¡lt¿¡tc R : !+ 12 = {21+4J-5k) + (r +2j +3}) = 3i + 6j _ 2[.

r . ln l = l¡r-o¡-zr, /o7- tat ' - , . - = t.

For lo tanto,un vectorunitario .on Ia dire.ció¡ y sentidodéR es ¡ 31+6i - 2L

Comprob¡ción l ' l = <lf r l f - r - l f - t .

Ealla¡ un vetor d. orisenP(t,, r\, ,) y .xl¡emo QG,,y,, d,ü€¡mi¡udo lucao su módulo.

El vector dc posición de"

6 1-El r€ctor de posición de P es r2 =

PQ = 12-L = l '2í+y2l+z2})- Q1i+r]+2,r , )

' = l '2- '1\ t + lra- r ! ) i + (22-, , )h.

VECTORESY ESCALARES

udtario con la dircc.iór y sentido do la rGulranL dc los* : i ;2 i+3I.

+6.1

= !, *7

2_

7r3. 6,l i r +

tr -

q

Obervesequccat€módulono caotra cosaque a distan.cia e¡tr€ lospuntosP y O.

¡. Sobreu sólidoactúa¡ trÉs u€rzasA, B y C que,e¡ fu¡ciód dc suscomponcntes,ieneÍdadaspor las €cua-cio¡€s vectorialcaA : ,1ri + AJ + A¡, B:¿,i + 4¡ + A,r, C: C,i * CJ * C"x. Hallar el módulo deb tue.z¿ esült¡n¡c.

Fuer¿ac3u¡t¿nl r = a+B+c: (/4r+41+c1)t+ 42+82+c') t+ /3+8.+ca)k.

Módufodc a rcsulrante=

ffiEste r€sül¡adosepuedegÉncraliz¿rácilment€al c¿so de varias fue¡z¿s.

tl. Detcmi¡a¡ 1o3 ogulor ! Py / quccl v.ctor r : xi+r4 +rt_ orma cotr osscntidospositivosdc 1o3 jc,s ecoo¡denaal¡s,

co8!a+cos"É+cos¡?=1.

El triángülo O?lPde a figuraca .ctángulo er ,r; por lo

r-t" *" " {. Análogrm.nte,d. 106 ri¡ir$los ñcrán-t f t -

¡ulG OdP y OCP s! deduc¡¡."o ,

, : I v c,, ,

,os/ =1..

rcspetúvaÍren&, Asimisrño, r, - r : \/t'- t --.yt

ror lo urnto, o3d/.co3p: . ,cosy=- i ,

alcdóDdese deduc.n loc valor€s dc los ¿n8ülos o, f y / pcdi-dos. D€ estls c¡prEiones se obti€¡¿

_xt+r '+2'osia+cocr+cos' / :1.

¡63 ¡¡¡¡¡6¡6¡ ¡6s z, cos f, cog ? !€ llaman los .or¿roJ dtr¿.tores del rf;¡tot OP,

t, DctcrmirA¡ rm con uúto dc €c1¡acion.sdc la rccla quc p¡sa por 106punaosP(¡¡, ¡, z) t Q(4 !6 d.



sL¡rqyr.106v.ctort dc Do3iclón c Py O,tspetiv¡-ment , y r .l concpondic¡rt ¡ un punto EÉnérico d. l¿rectaPO.

rt +PR -rr o bisr¡,PR = t -r r

rt+PQ -r} o bi.tt, PQ : rr - ¡r

Ahor¡ bicn, PR : ¿PO,kndo r un c6calar.br lo tento,r-¡r : (!' - rJ qlrces ¿ óc1¡!cióú rctorial d. h r!c-ta"

En coordonadasectangularcr,co¡no r-: ¡l + , + .t,

. k l ' l r - ¡ ¡ ) - { ¡ r l . r r l +tr ¡ , ' t l l r2t . r2t . .2¡) - ( ¡ r l . t1t '¿r¡) l

( ¡ - ¡ r ) t+(r- t ) l+( ' - , r ) ¡ = t l t '2- ' ; , t+ 9a-t) t+ k2- zr ' t r l

Cúro l, L t Do ror coplan¡rioci pardcloc ¡on lineal¡Eert ¡drp.ndi.ntes), .gú

VECTORES Y FSCALARES

t-r - t(yr-r), ,-4 - 4\-z ' \

de ¡ rcct¡, si6do , el psráúfro. Elii r

f - t tfc- \

,. D¿dod cúipo g€calar efinidopo¡ {(¡, /, z) - 3¡': - .ry' + 5, haÍ¡r .l vdor d. { €o ósp

5 = -12'

$, R€Fascnt¡r¡¡áÍ!¡rste lo! si5¡i.[ta3 c¡spo¡ vlctof¡sba(¿)v(¡,r)-.d+/r, (ó) (ar: -¡t-r,|, (¿) (.r,/,r)-.l+ ,i+*,

(b, t, -4,2r, (c) -t, -4, -3t.(¿) C(o,0,0) 3(o)2(o (oxof+ 5. 0-0+5 =

6l Q6,-2,21 = 3{rff l}- (1)(-2f + 5 - 6 + 8+ 5

(c) ó(-r,-z.-i) = 3(-1f(-s) - (-¡)(-2f + 5 = --e\\

=19

8+

(¿) En cad¡ F¡nto (r,r), cr(6pto d .l pun¡o (0,O dcl pl.no r/ ..tÁ dd¡ilo lm r¡dor nódub y'FT¡', cuya rtiÉcción Dasapor .l ori¡ar y *r.ido ¡!.j¡¡dos dc é1.P¡rnétodos3¡áfico!. obs¿rv.ñro!qua lodos lo¡ v.ctor6! ¡sociadoi o lo¡ ltuntos do ltt + lt - a', .o¡ a > 0, ti6n n d. Dodulo ¿. En ls Fig.(¿)8p¡¡oéDÉprclontado l cc1¡asüótruD¡ drtcroí¡¡d¡ clcal¡.

,



VECTORESY ESCALARES l3

t¡4 F, cstecaso.c¿da v€ctor cs i$ial y opr¡csro ¿l co¡rqlpordiente de(4). En la Fig. (ó) se ¡epr$€nta .l c€mporEtorial en cuestión.

En l¡ Fig. (¿) cl cafipo ticrF cl asp.cto d€ un flüido qüc cmerg. do üna fuénre puntu¿l ¿n O, siguiendohs dire.c¡ones y se.¡tidd qu€ apa.€cen. Por 6sta ¡arón el @mpo sa lla¡n¡ dc tipo ¡uehtepuntual.

En l¡ Fig. (á) cl c¡mpo parecc fluir hacia O, por lo que sc llad. de ripo r4ntil¿¡o Dunlua,.En el espacio de t es d¡mc¡sioncs la interpfctación co(€sponale a un ffuido que eúor8e (o d$¡gua)

Edialmente de ü¡1a u€nte fo sumid.ro) line¿1.

El campo vecto¡ial s¿ l¿Íu bidirEnional porque cs indcp6ndiente d€ ,.It4 Corlro et módufo dc c^da e.ctor.s \/i¡lir, todos lo5 puntos de l¿ sup.rficie esféric6:1.+ /, + z'

: ¿:, con a > O,tiend el mismo vcctor d. posición €uyo módulo es, pr€cisamente,¿. Por co¡sigüiente,.l campo vectorial prqs€ntael aspccto de un fuido qu€ en€r8e deüna fülnte puntuat cn O segt¡n od¡s l¿sdircacioncs. Es u¡ ca¡npo d! t¡po /¿¿Ír, puntual cn tr€. dincN¡oncs.

E¡dc lar ÍraAnitud6 quesecitan dccir cüálcsso¡ csc¿lar.s cuáles ectoriales.¿)Enc¡gla inéticá, ¿) nten-irád d€l campocléd'ico, (c)entropfa, d) trabqio, ¿)fucrzaccntrírus¿,t tcmpc.atur¡, a) por.nc¡alsravila-erio, (r) carga€lódnca,(l) esf¡¡€rzo orrante,U) frecuencia.sot (a)esc¿l¿r,ó)vectorial,c)esc¿lar,d) .sc¿lar, ¿)vccto.i¿1,/) cscalar,s) cs{:¿lar,}) .sc¿lar, , \€ctorial,

U) es.alar.

L_n v¡ón ccon€ 2m km haci¡ €l O.st€y luelo lJo km Oestcó0' No.tc. Halr) erÁf¡.¡¡nn&, (¿)anali¡icam.rte.iof. Módülo 304,rknr, dirccción sentidoOesre25'17' Nortc.

Hallar€l dcsplazañ¡c¡tocsultant€e os sigui€Dtcs:, 20 km Estc30" Sur; B, 50 krn hácia l O.6to;C,{ tm h¿cia lNoresk:D. l0 km Cresl. 0' Sullr¿ Módulom,9 km,dir..rióny sentidoOest¿ l'39' Sur.

Dcmost¡a.sáñcrt[Ént¿ q¡¡e {A - B) : -A + B.Sob.€ ln sól¡dopr¡nt¡al en P actúan as tres uer¿s coplanaria!qr¡€mü€$traa Fig.(¿).Hall¿. la fuerz¡qu..s ne.csarioaplic¡r cn P paramantcDcr n ¡cposoal sólidodado,So¿ 323 V di&crarnrntcopuost¿ la de i 50 ¡ú.

D¡do3 1o3Écton3 A, B, C y D Épr.sertadoódr le Fig. (ó), construir ol vcctor (?) 3A- 28 - (C - D)

¡ r ;c+;(a-B+2D).

t

IIkI

Problemas propueEtoe JK

lazamien¡o€sulCmt€

ir



VECTORESY ESCALARES

31. Sea ABCDEF los v¿rlic€s de un s(ágono regular, halla. Ia result¿nte de las fu€rz¡s reprEvecto.€sAB, AC, AD, AE y AF.

l4

S¿/. 3 AD.

I h 25 min.

42. U¡ sólidode 10ONdepesopende clcentrodeunacu€rdacomo se obsera en la figura. Halla¡ la tensión 7 en ;a

38, siendoA y B dos €ctorescmostraras .siguald¿des(¿)A + B I= la l+ lB ¡,(ó) -B

39. Demostr¿r ¿ dcsigualdad A + B + C I S I A | + | B | + | C l.

/¡0. Dos cindades.! y A e$án siruadasüna frente a la olra en las dos o¡illas de una ria de 8 km dcvelocidaddel aguade 4 krn/h-Un hoñbre cn ,.{qui€re r a Ia ciudad C queseencuenha 6de, y en su misña ribe¡a. Si la €mb¿rc¡ció¡ qu€ utilüa tiene u¡a velocidad ¡¡áxiÍrz d€ l0 kma Cen €l menor iémpoposibl€,¿quédir€ccjón ebe orEr y cuánto iempoemplea.¡ conses¿/. Deb€seguir n¿ rayectoriaectilln€aormaddo n ánsulo e 34'28'con ¿ di.€eió

41. U¡ hombreques€ dirige haciacl Sur ¿ 15km/h observa üeel vierto sopladel Oesto.Auma 25 krí/h y le parece uecl vicnto sopla del Suroeste. et€minar la v€locidaddet vi€ntoa

s¿/. El vionto vien€en la di.€cciónOeste56'18'None a 18krn/h.

,sol. 100N.

,t3. Simplifica. a expresión A + B + 3C {A - 28 2(24 lB C)1. So/ .5A-38+C.

44. S€an yb dos eclo.esedistinta hección A : (¡ +4/)a+ (2x+ / + l)byB : (y , + 2)a l2x-3r- l)b.Hallar los valorcsd. : y d€.y d€ maneraquc 3A : 28.Sol . r :2-r : - t .

lmN

¡¡5. EntE lc vatores d€ las bas¿sde dos sistetl6 de coordemdaE s,, ¡, rr y b,, b,. b, €xist n

¡ , :2h + lb ' -b¡ , ¡ ' :b ' -2h+2b' , &: 2ü!+| ' ' -2b,

E¡p.esar €l v@tor F : 3b,-br + 2b, cn fu¡ción de r,, s", s". Sot. 2¡' + 5.' + 3

4ó. Seá¡ , b, c res ectoresoco!,lanariosiparalelos,et€mi¡ar i osv€ctores¡ : 2r - 3b+ 2c,y 13 4a 5b+ c son in.almentendependi€nles.S¿/. Comoseve.iñcaá r€lación. : 5r, 2¡,,solr i¡e¡lmeÍte ndep€ndientes.

47. Consruir el paralelográñodadossusvcctor€s iagonales y B.

48. Demostrarque la rect¿que une los puntosmediosde dos ladosde un triángulo es paraleigual a su rnitad paralelamedia).

49. (¿) Demostrara ¡gualdadectorialO^ + OB + OC : OP + OQ + OR, siendoO uninterio¡al 1riá¡sulo4rC y P, 0, I lospuntosmedios € os add ,rr, ¿C, C,{, resp

(ó) ¿Esci€rta la igualdadsi O esLrnpuntoexterior ¿l triáneuio d¿dd?Demostrarlo.

50. En Ia figuraadju.to, ,44C, es un'paralelog¡amo ? y O

lospuntosm€diosde os ados Cy CD, respeclivame¡te.Demostrarque ,{P y,{O dividcn a la di¿sonal en trespartes iguales m€diante los puntos ¡ y ñ

51. Demostra¡qu.l¡s ñedianasde un triánsulo s. cort¿¡ enür punto. que e llamá baricentro, a l/l del lado y 2/3 delvértice opuBto s8ún cu&lqu¡erade cllas.

f¿. Defilostrd qü€ las bis¿c¡.iccadc 1o3áncrtlos dc u¡ triiá¡-gulo s co¡td en un puDto, quc 3a lá¡¡ra lrccDtro y @ffes-ponde al c€¡t¡o de la circunfcrcnci¡ ioscri¡a al a¡á¡gulo.

53. Dado un lriángulo cu¿lquicra,d.morrar quc exist€otrotriángulo cuyos lad6 son iSualcs y paralelos a la! ñedianasd€ aquel.



VECTORESY ESCALARES

:l S.ú t y q los y€ctores de posición, ¡especto ale u¡ orig€n O, de los punros P y 0, respecrivamenre.por otratrE, 3.a R un punto que dividc al segr¡rentoPO on la rcl¿ción a : r. Demoslra¡ que e¡ v€€lor de posición

rD -f ¡¡q -

-

t viÍc dado por r - ; ;: in&p€ñdicnbenentc del oflsen elesido.

:I- t o r¡, !., ...,I, los vectorcsalcposición! especiode un oigen O, de las rnasaspu.tuate52,,, ah, ,., n,,.E5Í.íivamcnte. Deñostrar qu€ .l vector de posición del contro de nasas vi€ned¿do Do¡

ñ7r| + ñ2r2 + ,.. + nn n

|liat

Ls.a

h"i"*'

si.

rod.p.odiontemcntldel origon elcgido.

Í. E¡ Losvérticrs d€ un cuadr il¿tcro,A(-L -2,2r, D(3,2,-l). C(t, -2,4t. y D(3, t,2), se colocan nasa3é l,2,3 y 4 unidades, espectivamcntc. allar las coordcnadas el cenl¡o demasas e dicho sisterna.5!¿_ (2,0,2).

!f- D.f,osuar qu€ la €cuación do un plano que pas¿ por lres punlos dados ,-1, ; C, no alineados, d€ veclofes dc¡oslión rcsp€ctivos r, b, c resfrectode uD oricpn o, viene dada por

¡p.+,b+pc

l._L. l*, ]* l^- l r l . l l i .

) \ L i \+: ,¡¡¡do ,1, tr,p esqlarescualesquicra. omprobarquedicha €.uaciónes ndependi.nlcd€l o¡ican-elegido. / '

i ¡ 'Lo.v€ctorcsal€posicióndelospuntosPyOso¡,r.spcct ivameóle,r,r-2ij3l+k,y¡, :4' i : l j+2k.Derermina¡l v€ctorPQ en unción e , j, k y hallar umódulo. so/. 2l-ól +¡k,7.'

f Seo¿o .: :¡- l-4k, B = -2t + 4j 3k,C: i + 2J-k, hall¡r

{') 2A- E + 3c, (ó) A + B + C l, (c) 3A- 28 + 4c l, (d)un vecto¡ nilario on a

d€f3A-28+4c. Sor. (¿)lt i-sL lbt . /ü e.u (.)/ lss = 19,9t ,^la 28+4Ct9.95

1sobrc un sólidopuntual nP actúanas uerz¿s ,:2i + 3j-5k' F -5i + J + lk, F,: i -2j + 4k,r. : 4t - 3i - 2k, riedidasen n *tons (N). Hallar (¿) a fuerza esultante,¿)el ¡nódulode dicha esultante.sol (a)2t- L Q\2,uN.

¡- En cada node osdoscasosigui€ntos,eterminari osvector€sados ono no in€almentendependiontes

1d) : 2l +l-3lqB : i-4I 'C = 4i + 3j k '(ó)A : t-3i + 2I 'B : 2l-4j k 'C - 3i + 2i-k.Sor. (¿) ine¡hut dcpendientls,ú) li¡€alEnre indep€nd¡entes.

C- Demost.arqu€ cadacuatro vectores n ües dim€nsiones €b€n ser linealmentcd€p€ddi€nl€s.

lt g- Dernosirar ue a condicrónec$aria y suficienteara ¡uco3v€ctores : ,41i+ /¡l _l_'1.k,B: 4i + ¿,i + ,¡k,

l i , ",1"\c:c¡l+CJ+csk, sea¡i¡ealmentcndependieñress ue lderermna €

lál i, i" | '*al't.t"cccero.

ar (¿) Democt¡arue106Ectores :3i +t-2k, B: -l + 3¡ + 4¡, C:4¡ - 2i- 6¡ puedens$os ados

deun triárliulo, á) HaUa.as ongiaudde as&€dianasedicho riángulo sol.2.45;5't4t6.12.G, Dado el cámpo scalar4Q, , 4 - 4rz'+ 1ry2 z' + 2, hallar a) d(1,-1,-2),(á) /(0, -3, l) .

s¿r. (¿)36, ó) ll .

f- Repre¡cntar ráñcanenteos cañposvectoriales efinidospo.

(¿) (! . r) ; r¡- 'J . (ó)v(t . r) / l - r j , ( . )v(r . t , , )##3



Capítu

Productos scqlqry vectoriol

PRODUCTO ESCALAR O INTERNO. Dados dos vec¡oresA y B, sr¡ p.odo int€rno,A' B, s€ definecomo el productode süsmódulospor el cosenodel ángulo 6Por lo lanto.

S.Dados = 4t+lei+4t y

AA

A'AB 'B

Las propiedades el produclo escalarson:

¡. A.B = B.A

2, A.(B+C) - A.B + A.C

3. a{A B) - (nA) B - A (ng). (A'B) '

4. t . l = . j =L.t - 1, 1. , = J,¡ = l. i =0

Propiedad onmutativaP¡opiedád islribü1iva el producto¡espccto e la suma.sie¡Jo , un cscalar

L,B - AB cÁrs9, OS0="

Obsérvcsc ue A B es un escalar, n número,y no ün v€clor.

B = 8ri + AJ + 8.t, sev€rifica,= Ag, + A,B2+483

=a2=a2+Á'+a2=a'-n i+ai+ai

ó. Si A'B : 0 y ningunode los vectores s nulo, ambosson perpendicula¡es.

PRODUCTO VECTORIAL O EXTERNO. Dados os vectoresA y B, su produce,(tcrnoes otro vectorC: A x B. El rnódulode A X B es el produclo de módulospángulo que orman. La direccióD c C - A ),8 es a p€rpendicularl plano que fo¡masentidoes tal que A, B! y C fornun un triedro a derechas. or

'otanto,

A xB -,.{3sen09, 0303n

siendou un vectorunitarioque indica la direc.ión y sentidodel prodüclo A x B. Si A:si A ti€ne a mismadirecciónqr.¡e , sen0 0, co¡ lo que A x B - 0.

Las propi€dadesel productovectorialson:

.1.

2.

3.

4,

5.

axa - -BxÁ

Ax (B+c) - AxB + Axc

n(AxB) = ('A)xB = Ar (DB)

(No goza de l¿ pfopiedad oonmutatila

Propiedad istr ibul ivadel productorespecto e l¿ suma

= (Ax B)n , siendo ) uD cscalar.

ix l = jx j = krk .0, lxj=k, jxk- i , k: i= j

Dados A =l1i + Á; +,\k r B - Bi i 1B,i+4k, s¿ ,cf i r ic¡ .

l6



PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAI

i tka1 A2 A3

B1 82 B.

L7

']

El roódülode A x B repr€senta l ár€adel páralelogramoe ladoA y B.

_ Í A x B - 0, y nirguno de los veclores s nulo. ambos jenen a misma di¡ección.

IIODUCTOS TRIPLES. Por medio dc productos escalares vectoriales e tres vcctores,L 3 c. s€püeden ormar p¡oductosde la forma(A-B)C, A'(B x C) y A x(B x c). se vcrific¡¡|¡qicdades siguientes:

: ' { r .B)c+A(8.C)

: -r.(B x C): B'(C x A): C. (A x B): volumeneun paraleleplpedoearistas , By C.Dn signopositivoo negativo egún uc A,By C formenun triedro á dereohas ¿ izquierdas.s A :,11¡ ,r ' i +,{g|(,B:4i +4l +tL y c : qi + crj + c¡'

AtB =

A.(Bxc) =

, b/c

i . bx.

a bvc t 0. (problernas53 y 54)

A1 A2 A3

81 82 B.

c! c, c.

:- ,^x (Bxc) I (AxB) xc

! -4 ' (Bxc) = (A.c)B-(A.B)c' i - {xB)xC = (A.c)B - (B.c)A

q producto A . (B x C) se l1¿Í]á tt¡ple ptoducto escalary se rep¡csentapor [AnCl: El producto,l

x C) recibeel nombre de lipleprcrlLt

ovectoríal.

¡¡ el producto A .(B x c) se püeden omiti¡ los paréDtesisy esc.ibi¡ A 'B x c (Problema 4l).ábargo, €stono sepuedehacaren el productoA x (B X C) (véanseos Problcmas 9y 47).

(El producto vcctorial no gozadc la propieded asoc¡lriva.)

S¡STEMAS DE VECTORES RECIPROCOS. Dos sistemasde vectores ,b,c y ¡',b',c' sc

¡ ' ¡ ' -b 'b'= c'c '= l

C.¡ -a' .c = b' . a = b' .c = c' . a = c' .b = 0

l¿ condición eccssriay suficie¡tepara que os sisteúasde veclores ,b,c y ¡',b',c', sean ecl.

cva

-J

; r,": -f i , l - i "1 =

.



' : -=-

IE ?RODUCITOS ESCALAR Y VECIORIAL

Problema¡ resueltoe

PRODUCTOESCA¡JAR

l. Deftostr¿r ueA.B : B. A.A.B:/Acos0:A/co€0:B'A

Por consiguiente,t productoos.al¡r gozade Iapropiédadconmut¡tiva.

2, Dcmosúar w A.b cs igual¡ l¡ proyecciónc A sobrBB,siendo el véctorur¡¡taiocn Ia di¡Ección senr¡do e B.

Co¡üo indic¿ la fisur¿, los plaros pcrpe¡diq¡lares¿ Btrazado3por €l origa y cl ¿lt¡€mo de A corr¿n a aquA GnbspuntosGy ¡I, ¡.sp€ctivañ€nt€,po¡ lo tanto,

PfoyeccióndcAsobroB:Cn:EF-Ac¡60:A.b - i i

3. DemostrAruoA.(B+

C):A'B+A.C, | ' r--- .

54¿ ¡ el v.4tor ünirario en la dir€c¡ión y s.ntido de A,

Proye4ción e(B + C) sobreA : proy€cción € B sobr€A+ proy€.cióndeC aobreA

(B+C).r :B r +C.¡Multiplicado por ,,1,

(B+ c) ,!¡ : B ,,{¡+ c . ,{s(E+C).A:B,A +C,A

Teniendo m cü.nl¡ !¡ propiedaal conrhubriva dcl prodr¡cto

A.(B + C) : A,B + A.C

luego .l produclo esc¿lar goza dc la propicdad disiributiv8f€sp€cto de la suma.

4. I}mostr¿rw(A+ B) (C+ D) - A.C + A.D + B-C + B.D.Dol roblena, A+ B) (c + D) : A.(c+D)+8.(c+D) = A.C+A.D +BLuogoel productoe!.ala¡ sozad€ a propiedadosel ágebm ordin.ria.

5. Halla¡ osprodr¡ctoss.alarcsiguié¡rbs:

r ' l r . r =lr l

l r l- .

o ' = ( l) { r ) (1)-

1(ó) l . I j l l L cos 90- - ( l )(r)(0) . 0

r . l r . l . l . l l l l - "m' = (r)(r)(o)o

(d) l . {2 i -3J+I) = 2j l -3J.J +l . l t = 0-3+0 = -3(¿) (2t - l ) . {3 i+I ) = 2l . (3r+ .) , . (31 ) = €l + 2t - 3l I - , ' t = 6 +0-0-0

l ,6.) i A = A,r+ A,t + A¡ y B = 8,t + 4i + 4k, deinostra.\ .^.R

= A$r+ A2

\-, / A,B = (¡11+,42j, t . [ ) . (al i +a2j+83¡)

, ,{1t.(alt8J +a3[) + 4J.(¡1r+8+4r¡) +,a!t .(8rr+¡, ,+S3k)

Arqrt +1B'.r

+,\%r.r + a,BJ-t + a2B2r,,4831.¡

+ A.B!r't +

4B2r



l'tl*

B'D

ls

i4-

Fur'¡

PRODUCTOS SCALARY VECTORIAL

= A&r+ /t282+ a.B.r F i. i = I' j : k. k - I y todososdcñft produclot sc¡lar€sonnulos,

!- oA:,lri +,{t, + .r'r, ricooctr¿r ¡¡,r : y'T.r : \/-A'J,+,+,1'.

A ' A (,1) ,1,co3a' = A'. l"tryD, A - yti A.

Ta.nbién, .A : (/tl +,rJ + A*),(Ai + )t l + I,tt

: (A)(a')+ (A')(A'\ (A)(A,)- Ai + ,ti + s"! Foblefna 6, ton¡ndo B

-A.

a-Ha. l l ¡ r . lv¡ lord.¿dcform¡q'¡cA:2 i+d+ry8-41-2¡-2¡s€¡np.rpcrd icul¡¡ t6.

l9

ri-''> ' -, ¡

It lo-¡ano, ; : VT .r- \/4:+ 4+4es elrtódulo d6 A. AlsünasvÉces .A 36 rcp$s€nt¿por A..

/¿ '6 ¿ - '1 A"-ü

E rhr et ánsuto oÍn¡do po¡ osv€ctorcs : !i l2r-L y a-6i -tt-?'

^.8:AR.60, ,t - \/6 +@¡ eÚ : t, B - ^//(6r' (-3r' + (21 1

^.8: (2)(O e)(-3) + (-r)(2) : 12- 6- 2 = 4

Poro ¿nto,o!,- +P : óOr: f =o,uos.a.

t s¡ A . B : 0 y ,1y ¡ so¡ dbtintos dc cÉro,demolr¿¡ qu. A cap€rlendiculara B.

Si A.B :,{acor t - 0, mtonccs os0 - 0, osóa,0:9O'. Reclprocament€,ir- 90',A B:0.

Del probleñ¡ 9, A y B ton F¡p€o.liorlat6 s¡ A 'B = 0.

Por lo t¡Dto, A'B-

(2)(4) + (d) -2) + (I)(-2)-

8- 2o-2 - o,.lG do'tdÉ,¿-

t.

t t . DÉúostra¡uc 106ta io lü A:3 i-2r+k' B: l -3r+5k' C:2 i+¡-41 tonn¿n n t r iángr¡ lo

Dcmoatremo., nprioar lüg¡r, quo osv.clor$ for¡Bn triángülo.

¿

(¿)

De las ngr¡ras 6déduc¿ ueello ocü.re si

(ó)

\ i \ i . ;1 t . -¿L(¿) uro.te los r€ctorcs, por cjdnplo (3), €s la ¡¿sultá¡t dc los otros dos (1) y (2).

(ó) I¡ Esult¡rl. dc los vcctorB (l) + (2) + (1) ér cl vector nulo. Co¡no i¡di@ lás figurás, pued. ocuri¡quc doc v€ctorB tcnlM cl €sctmo cotntrn, o bien, quc ninSuno de los extrE nos co¡ricid¿n' Er ¡u€st.oca¡o 6 t¡ivial qu. A : b I c y, por lo tanto, los v.ctore, forfná¡ triá¡8¡tlo.

.J, coño A .B = (3) l) + (-2) (-3) + (r)(s) 14, A . C : (3) 2)+ (-2) (l) + (r) (--4) 0, y

] B'c:(l)(2)+(-3)(l)+(t(--4':-2l,scd.duccqueAvcsoÍperPendicular$vqueelkiánsulo.I es r€cEnsuro.



- - ' - ' - ' - -

PRODUCTOSESCAIAR Y VECTORIAL

_rá1, Hallar los ánsulosqucformael vecrorA : 3i - ó¡ + 2k con os ejascoo¡denados,

Soano, É, los ángülosque o¡rñ¿nA con os somicj€sositivos , /, ",r€sp€crivañenrc.

A t: (A)(t) cos = ", /a¡ 11-e¡ 1 1z¡cosa : 7cosoA.¡ : (3¡_6i +?k). i : 3 i . l_ó j . l * 2k. t : 3

Por o t¿nlo, osd : 3/7 0,4286,. dond€ : 64,ó.r proxim¿damente,Análoraft€nt€,osÉ = -617, P : I49",dedonde. os : 217, = 73,4o.Los cos.nosd. d,B,y ,,3¿ latuar,.osenosircctotetde A (problerna 7,Capíaulo).

J 13. Halfar a f'rorccciónel lctorA: t-2i + k sesúna di¡ección eB:41-4i + jk,

B+C-/{ , o b i€n, C : A-8,

c. c: (A-B). (A-B): A.A + B B-2A.B

cr: Ar + B._L1Bcos0.

AU

Ftg.(d) Fl¿.

Dedlostrar que las diiasonalas do un rombo son perpendicula¡G. (Fis. (¿).)

oQ.. .OP+PQ-A+BoR+RP -OP, obie¡, B+RP:A, dedonde,RP:A-B

Luoso oQ-RP: (A + B) (A-B): , { : -a! :o. yaqueA:B.

Po¡ consieuie¡t!,Oq ¡spcrpendicula¡ Rp.

I¡

tfl ' r

o s€a, (1) 2¿, 6., : 3.,o sca, (?) 4c,

+3c¿ cj

Elv€ctordr¡'ioen adif.cciónsertidocBeb f :iaffi- f, r- f

proyecciónca sobn lvécror: A. b : (t- A + D. (+t - +t + +k)

- or(f)+ -a(-*) nor l) :'r1 ',,/4. o"¡n**, .l t€or€rha tel coseno le un t¡iánsulo €uarqu¡e¡.

En la Fis. (¿) nferior,

Lu.go

.)rs-

-/ 16. Hall¡r el vector u¡ritario perp€ndicular at plano formado por A : 2i - 6j - 3k y B : _4i + 3j

Se¡ C = .r l + c' t J- cakun vectorpe.pendicula.&l pl¡no form¡do por A y B. El vec(orCdicularaAyaB. Lu.eo,

C'A-

2c, 6c, - 3.¡ : 0 ,

e .B:4.¡+3.r - c, :0,



PRODUCTOS SCALARY

ffi¡do.l sircma romado por (.¿) (2) q =; .r , ¿,

ú4r d i.ctor un¡lario en la di¡ec.ióny s€ntidodc C es

VECTORIAL

= _ !" . ="" lr | ; - r r .

¿3(;r -á,+¡)

." ' tr l f .r-{r+rrf)

1(;¡ - ; l +; r) .I . ¡ ¿J

,f .c

&.t l¡abaio Blir¿dopo.la fuer¿a :2i -l - k al desplazarnsólidopuntual lo larsodel vcctorf: r:?i-5r. (Fis.¿),)

Tabajo Ealizado = (nódülo de la fuez¡ en la dirección y sentido dol movimiento) (d.splazami&to):(rcos,)( / )=F ¡

: (2 i - j -k) . (3r + 2j_5r) - 6 '2 + 5 : 9.

' t , ' )

E lbr la ocu¡ción elpla¡op¿rpendícülarl r€ctorA : 2l + 3j + 6ky qucpssapo¡el extntfiodetv€ctorf: i + 5¡+ lk, (Fig, r),)

Sea el vectord€ posicióndel punto P, y O cl ertrerho de B-

ComoPQ: B-..s p€rDondicula¡. ,(B-r).A - 0, o s.¿, .A - B.A cs a ecuaciónectorial¡H planobuscado. n coord€¡adasc.tangula.es,

(r i+/ ,+zk) (2¡+3j+6k): ( i + 5J 3k) (2i+ 3j+ 6k)2x+3r +62: O)(2) (5)(3)+ (3)(6) 35

En cl probleña 18, hall¿r la distancia del o.iepn ¿l plano.

La dista¡cja del oris€n al pla¡o os isual a la proyecaión de B sobre A.

El v€ctorunit¡rio er Ia dir€cción senridoaA 2i ' 3i | 6k 2

^cAes = )= =Jo¡, *.ir,

'rd"

: |-i+ 1:ia;-t.

Lueso,royeccióncBsobreA- B .¡ : (i+5j+3 t\ (2111*3171+617- t(2/7)+ 5i3/?)+3(ófD:5....--\

SicndoA un vcctorcualqui€m,demostrarqueA : (A Di + (A j)l + (A . k)(.

Como A:,4¡ i * ,4, i * A,k, A i= A;.1+ Ai. í+ A,y. i : A l

A¡áloga¡rert€, l : , r ¡ y A.¡:r!

Lueso, A .= J + ,lJ + ,,{,1 (A , i) t l- (A 'u + (A 'k)k.



22

PRODUCTO YECIORIAL

PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL

21, f,)cñostra¡üe A x B: -B x A,

Flc.(ó)

ElmódulodeAxB:Ces,4Asen,ysudirecciónysenr idosonraiesqueA,ByCfo¡mana derechasFig. (a)).

Elmódulo deB x A: Dest4 sendy su di¡€cción sentidoson talesqueB, A y D forma izquierdasFie. (,t)).

Por lo tanto D tiene el mismo modulo y dirección que C p€¡o 6 de scotido contrario, es d€osea,AxB:-BxA.

El produclovectorialno gozade a propiedad onmutativa.

,/r2. SicndoA x B - 0 y A y B no rulos, d€mostrar ue A esparal€loa B.

Si AxB:á8seo0u:0, sc ierc, sn 0 :0 y 0:0 ' ó 180' .

. r23. Demostrarue

AxBl+ A.Bi¡ : lA ' B¡.lA xB 1+ A'B:: ,4, s€nÚu ' + I ,44cosÚ

: ,a ' t ' : lA :" iB r¡

/l¡1. Hallar losproduclosvectorialesiguientesl

' , . , lc) ¡x j = *. ( f ) jx j- 0

(ó) jxr , = ¡ (s) rx¡ ' r= -rx i - - j( . ) r t t = J (¡) (2 j)x(3h) - 6jx l : 6 l(d) kxj = - jx l = - l ( i ) (3 i )x(-21) = -6lxk = 6J

re.¡ ! j -0I 2l l i -31{, -2t-3[ --5r

,-/2s.DemorrarqueA r (B+c) : A x B +A x c enr ..lcasoeóqueAesperpe¡dicülarBy támbiéncuando\- - lo seaa C.

Como A esperpendicularB, A x B es un vectorperlendicularal plano fo.mado por A y B y cuyomóduloes,jA sen90' :

-lr, o s€a,el mód¡lo de ,{8.Estoequilale e mulriplic¿rel lsror B po¡ I y girarelvcclór resulrante ¡1 ¡8ulo de 90' hasta a posicióÍque se ndic¡ en l¿ ñgura.

Análos¡menle,A t C es el vectorque

se obtienemL¡lliplicando pof A y gi.ar el vcctor rcsult¿¡teunángulod€ 90' has¡r ¿ polición indrcadaen la figura.



PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

M úisa forma, A x (B + C) esel vccto¡ qr¡. s¿ oblicne al ñutr¡plicar

2t

B+CporAygir¿rcl

sonA^ByA C. se deducó,ú Éhante un ángulo dc 90ohast¿ a posición nd¡mdaen tafigu.a.

CE A x (B + C) es la diagon¡l del p¡¡alelosrsmocuyos a¡os¡.C:O:AxB+AxC,

D6.omporiendo B ensw compon€ntes, erpendicu-haA, Br, y paralclo A, B , se icns,A: Br * 4,,

| ¡-ñ-rdo, alánguloofli¿doporA y B,rl -a s€n .k lo tanto, el módl¡lo deA x Br €s ,{, sen¿, es decir,a¡r q!¿ cl de A x B. lá dircc.ió. y scntidodc A x B,E Eñbién la mbm¡s qu6 l¿s de A . B, Por consi-t i ¡ ic,AxBr:AxB.

brÉ¡r qw A x (B+c) :A x B +A x c enel

-

!ú¡l c¡ qüe A, B y C no !€an coplaDários ni para-

h

A¡á:logar¡rente, 3i se descompo¡é C e¡ los v€ctorcslc y Cr paral:lo y F¡pendicul¿r, r€sp€c{iv¡ñcn@, a A,robt iene, A Cr:A C,

Tanbien,comoE+c = B¡+Bl+c,+cÍ-

(Br+c! ) + (Br,+ cr,) sededK€,

ax (81+ct) = Ax(R+C)'A¡or¿ bi¿n Br y Cr son vecior€s perp€ndicularesá A y, scaún el problema 25,

Áx (Br+ Cr) = AxBr +^xC1

^x(B+C)= AxB+Axc

$É cxprcs¡ qr¡€d p¡odüc[o r€lorial goz¡ do la pmpidad disr¡ibutiva .6Fcro dc l¡ surha. Muhipt¡candopor- l ,y&niendoencuenlaclproblcma2l,(B+C)xA:BxA+CrA.Obsé.ve3€queenel pro-dl¡cto ve€torial h¿y quc te¡€r on cuent¿ €l ord.n d€ loq facto¡€s. Las propi€dad€susu¿lesdel átgebra s€pueden¿plicar ú¡icar¡dnie 3i s€ toman los vectores e¡ el orde¡ élablecido.

v- Si.ndo A =^1i+A2i+hk 9 = Bl + B.l I R¡, d€mostrarueAx B =

' t .

I I

AxB -(r1i +/21+,4t) x (Ar l +ArJ+B3t)

: l1tx(A1t+A2l+r3t) + ,lrt x (8it + Brj I A3t) + ,la¡ x (Ar + B2j+8oh)

-AlB¡xl +qB.lxl + Al¿€Lxr+ A2Bút1+ A28dxi +A28.txÍ + &B\kxt + qB'ttx! +A!¡€txt

= (4,4 - A.B,)t + (h4- Ai.)t + UrB, - A2R!)k-

t j ¡

8t A2 B.

Dsdosa-2t-3J- l y B = r + 4J 4, hal lar d)A x B, (¿)BxA, (c)(A+B) x (A-B).

- a. l l l r / t . ) l '(o\ a/8. (21-31:*t^ (r+4j-2t) = l2 -3 - l

| 4-2

=' l- i : i l - , l i - l l - i

- : l= oi r11r 'if: ,

(2¡- 3t - r) x (l +aJ 2¡) = 2rx 0 +4j - 3¡) - 3J (t +4j - 2r) - ¡ x (t + {., 2¡)

= 2¡xl + Etxt - 4 ix¡ - 3Jxt - r2jxf + 6jxI - ¡xr - 4tx + ztx r

= 0 + 8¡ + 4' + 3r_ 0 +61_J + 4i +0 = 10t+3J+l1l



A

Jp.

PRODUCTOS ESCATáR Y VECTOR'^¿

(¿) xA=(r+{¡-2Dx,rr-rr-r ,l l

. , ¡ I4 -21

- , l-111,l l ?l' j . - l l . - ror-o-rr : .

- Conpa¡¿n.tooon (¿),A x ! - -B x A. ()¡6¿rr€r. qu. ato rquiy¡¡! ¿l @Éd¡ jsd&EiDantc scFfmot¡¡.¡ür d doc Í!.¡r (fiIaso coluDD.t), .l dltct!¡üim!! canbi¡ d.-

(.) A+r : (21-3t:t) + (l+4J-2t) : 3t +J-31A-l = (21-3t- t) - ( t+{ l -2¡) = I - l j +¡

h¡c8o A+B)x(A-B) = (31+J-3Dx(r-1+r) .

. - l I -31 - lS -! l- ' l -z r l - ¡ l r r l *

: ax(a-B)+Bx(a-a)

t l¡ t

r l3I t

, ¡

-3

I

(A+a) x (Á- l )

A:l[-r+2t,

= -201 -

(¿

r AxA- AxE + Bx^-Arl . a-ArE-rtxl !-0

= -2(r0t+¡r+rlD = -20r-8r-2r¡, apl icendoa).

t¡i

(. )

B-2!+¡-t , y C=i-X+rt, h¡I¡r (a) (AxB)xC,

I t I r(ó) ExC - l2 r -1

' \ t -2 2- 0 l -ü -5h = -5r-5¡ .

!.rf clib¡ .mbigi¡od¡d...

/ 30. Dqr¡o.t¡¡¡ qu. cl áf!¡ dr un pñ¡lolotrá¡ro dc tadosA

t¡!¡o (Axa)xc

-

(-t+tl+!t) x0-2t+2r) :

y¡. . lA x¡1.

I rE¡o AXOxc) = (U- l+t)x(-5r-5D = l8 -¡ zl= l5 l+t iJ- l !ü.

t2^'" = '. ,

¡l¡a r¡¡ p.nlclolr.Do- !E*L-- tA ls, iB: lA )''E- '

= - l+?r+5¡.

=2+r+1t-r lI

I

l , r

0-5-5

Ad pu.* (A x B),x C # A x (E x C} rr.in.lral¡ ¡ar¡¡ir¡d d. t¡dülrr loraor..L

s,$¡h.A-+'¡

i! Obúrt- qpc d ¡ñ d.l trl¡ryüb qr tinc po.i h¡ lorAy t . . i lml ¡ , / . I A x I l .

¡t¡¡l¡r .l ¡n &¡ triÁ¡&doq¡ro. v¿rtic.! on 106 udor 4t, f, 4, 4¡¿ -t¡¡, 4f, ¿ f¡:,

rQ -(2- r)r+ (-t - 3),+ (r:-2)L- r-41- LIa' - (-¡ - l)¡ + (2 3) '+ (3 :2) - l¡-l + r



i jl -4-r

-2 -t l

25

{,,}

PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL

E For*Eá 3,O,

bA ui¡¡$¡lo = ¡lPe i PR j l ( i -ar-r) ' ( -2r- j +k) l

| " : l -5r*r-ekt = r. ,G#;1¡F; -sP ¿lw. ! l

briÉ. el veclo¡ unilario porp€ndicular l plano fo¡mado por A : 2i-

6j * 3k y B-

4l+3J -t.

-l ! B cs un vector perpc¡dicular al plano formado por A y B,

l i , k,axB =

l2_6 -g

14 3 -l= 15i - 10j + 301¡

El vccior ünitario en la dircccióny sentidodc A x B s

+:+ $=1,?' .? 'a(Bt y/{15r+(-10r+(30)_

Fl *ctor üni.ario de la mismad¡É.c¡6ny sentidocont¡arioe$ - 3l + 2i - 6t)/7

Cc'oDarar con cl ¡€óultrdo dcl problcrna 16.

Eir el teorerla de los s.nos en trián!¡¡lo plano.

S.a¡ ¡, b y c los lados del t¡i¡h8ülo ,8c que 6erl-Éla en ¡añgurai cn ést¿scondiciones ¡ + b + c : 0.Hiplic¿rdo por ¡ x, b I, y c x, sucesivam€nt,s.

¡xb:bxc:cx¡

!¡ib,sé¡ C

abeiC:bcsfnA

v' 'j

e'r'Luep v1+V2+Vr+V4

-

C,Gidcrando un tctrecdro d. carasF,, F,, F,F., y seanr: Vb V& V. 106wcto.e6 cuyoañódulossoll, rEspccüv.-Et¿, l¡3 áre¡s ds F¡, ¿, F¡, F¡, cüyasdircccion€s onFp.{dicul¿rcs a dich¿s arasy de séntidohaci¿el .xt€'i. del tel¡aedro-Domootrarqu¿Vr+Vr+V¡+V. = 0.

seSrtn l proble¡úa30, cl á¡!¡ dG u¡ triá¡8ulo dordosRyS$'/ ' lRxS

Lo3vectoros ¡ociados on cadaun¿d€ lasc¿rasd.l

y¡. . r ¡ ,c, y"=lcxe,

v4=á(c-a)x(! -A)

* [¡ ' r + ¡ 'c + c,¡ + tc-^)¡(B-^)]i [.r'r + r"c + c,aa* c'¡ - c'¡ - a'¡ + ¡,.¡] = ¡.

Esto r€lult&do!e puedr gÉncralizar Dnpoliedroc€r¡adoy, cn €l caso fifito, a un¡ suporfcio cer¡ada

Atgün¿e !co6,cono h.mcr visto c¡ cs& c¿!o, r.sulta conwnicnto asigna¡dtu€cción sentidoa un ár€¿,€s dccir, consid6rar or caráctcrvectoria¡a un¿ supcrftie. Sepü€nehablar, en ¿3aasondicionc.d.l Ect¿t&.a o v.cto¡ superfrcí.,

I{aih. cl n¡omcoto lc üna fr¡cr¿aF Espectodc ün punto¡.

EI rnaub ilel mo¡nentoM d¿ una fi¡cr¿aF resp€ctodc un punroP 6s gual ¿l módülode la fuerzaF,

,{Fe D€

,a stst¡oTI rnul r.r"^



-,É-++'

II

26 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

multiplicando po¡ la disiancia dcl pünto P r l¿ di¡Ect¡iz de F.Por Io tanto, Iláma¡üo r al v€ctor quo une P con cl origpd 0 deF. result¡,

M : ¡(r sen0) : /Fsen € : lr x Í |

El sentido de r x F correspo¡d€ al avan@ de un dacacor-chos cn ¡ con el s€ntido alc ¡ot¡ción tal quc llcvc ¿ coincidirclprirncr vector con el sogundo por el ñenor de los ángulos queforn¿n (r€gla d.l triedro a dercchasque heños visto ¿nterio¡-fncnte), El momento de un veclof se rcpr€santa, €ntorces, porM:rxF.

6d. Uo sóli.to rlgido gir¡ alredédor de un €je que pasa por O con- u¡¿ [email protected]€mostr¿rqüe a v.locidad inealy de

utr pr¡oto P del sólido cuyo vcctor d€ posición €s r vi€¡e daila porv : {, x r, siendo @ un vector de módulo o y orya direcció¡y s€ntido son ¡as &l ¡yanoc de !n sacacorchosque gira en elsentidodel movimienro.

Como €l punto P dcscribe urla circunfe¡encia do radio .s€n , el ñódulo de la velocidad¡leal v es @(¡s¡ ,) :

lox.l.

Pñ¡ co6igüie¡tc, v es pe.pcndicul¿r ¡ o y e r dc foúa quc r,o y r fo¡men uri tri€dro a d€r€ch¿s.

Lu€go v tienc €l misrno módulo, dirección y rcrtido queo x r, es clcci¡, i : o x r. El v€ctor o se l¡ma rd¿.¡Z¿¡d¿¡f!-

9\ F,' \ L--

\- --"

at)

PRODUCTO,STRTPLFS.

../¡1. Oemostr¿r uecl valorabsoluto le A .(B x C) 6sigual al volu¡ber de u! pe¡alebptpcdodc ¿rÉtasA,B y C.

Scan cl vector unitario pcrpcndicüla.al pa¡a.

lclosramo con la mismadire¡cióny sentidoq eB x C, y á la dislarci¡ del cxlrlmo de A al pa¡a-

Voluñ€n del par¿lelspípodo (alrura ) (ftla delpar¿lclosr¿mo): (A.n)( lB x C L): A'{ BxCl'¡}- A (BxO

SiA,By cr|ofonna¡ün ncal¡o dclr . lE, A.¡ < 0 yelvolurr loD: A'(B x C) .

' / ts. s¡ ¡-A,t*Aoln/ok, B -Blt+Bri+8.k, c =crt+caj +cak de¡nostraru€

A.(Bxc) =

AL A, 4l

81 8' 831c, c. c. lI

'¡ l

L A" ar l

c\ c2 cal

= (a¡ + A2! /{,r\. k¿'c"-¡"c")r + (&c'-¡1c.), + (81c'-&c)ll

. 4lB2C.- ¡€C2t + A.@sCt- B/C.\ + ,tei¿$r- 82C!) =, t ¡ le A¿lL 82 B.l



PRODUCTOSESCATÁR Y VECTOR¡AL 27. , rd{(2 -3j ) . [ ( i + -k)x(3i -k) ] .

[ - , I t , ' . ', ' -3 0l

r I - l l =4.¡ o -r l

7ü ' lq' (

Olro nétodo- Haciendo oDereionos,

(21-3J) .[ ix(31- t ) + tx(3i - t ) - ]x(3r- r ) l

--t-.D.f ,ostrarqueA (Bxc) = B.(cxA) = C.(AxB).

4arhl¡r82¿¡lc1 c' cal

D.l Drobl€ma 18. s obliene

Del problefn¿ 8, a'(BxC) =

: (2r-3t . [ ¡ ixr - ix[ + 3jxt - jx¡ - 3¡xt + Ixr l= (21-3J) . (0+ j - 3¡( ¡ - 3j + 0) t o, (21-3t . (- t -2J-3r) = (2)(-1)+ (-3)(-2)+ (0)(-3) =

l}

.6.

Teni€ndo cn cuentaque €n un det€rminante si sep.ínut4n €ntn sl dos.llne¿! (filas o colun¡ad su valor

A1 A, 4lLB"B"l=-

",t" c"l

L B. B"lt , t i ^ .1r c. cal

q c2 ctlo, a" a. l =1 82 83

c1 c2 ca

B\ B, B'

ct c2 c.

B\ 82 8.

t -1='At ' ( ' r

4.

f \ .

I@

-

7

Dcm6rrar üeA. (B x C) = (AxB) C.

Del problcma zl0, A-( txC) = c.(AxD). (AxB).C

a.

En €l prodüctoA (B x C) s pu€ne$¡primir el paiént.sisy oscribirA .B x C, ya que.tr estocasono€xisa€ mbisii€dade¡ ef€cto, .s úni@s nt ¡prclacionespoliblcs ion dc A . (B x C) y (A B) x C, p.roestaúlr¡nr¿carec€de3crtidoya quc no €stád€ñnidoel pfoductovcctoí5l deu¡ es.al¿rpor u vcctor.

La igu¿ldad (B x C):A xB C sep¡.¡.dexprcsar iciendo uo osproductoss.al¡ry voctoris¡,en estas ondiciones,onp€rmutables,

Dcmstra.que A.(A x C) = o-

Delprobleña 1. A (A x C) = (A x A) 'C : 0.

Deñctmr qu€ la @ndición ¡ec€sária suficbntepar¿ qr¡c os rctorEs A, B y C se3ocoplan¡rios e3quc

A B C=0.

Obs:¡ves€que A B x C no puede8ilnifi*r otÉ cosaqr¡eA (B x C).

Si A, B y C aod coplan¡rioa, cl volüñen dcl paraleleplpodo fomado por cllo6 6s igual ¿ ccro. Lucge,según l problema 7, A BxC=0.

R€cípro@ftente, si A'B x C : 0, el volum€|l del p¿ral€leplpcdo fodnado po¡ lo3 vccaolEsA, B y Ces ccro, y, por Io lanto, Ios v6cior$ son coplandios.

{"1.Sean r ' : ¡ ' i+¡ j+¿,k, r ¡ : ¡J+/¡ l +4k y r . : ¡J+rJ+: ,k Ios wctorosd€ posición € los



2E PRODUCTOSESCAT.ARY VECIORTAL

luntos Pl¡t, /¡ , z,), Pd¡!, ¡, zJ, y Plx,. ., . :,). Hal'ar láecuación cl pla¡o qüe pasapor A, & y &.

SuporSamos ue P,, ¿ y ¡! Do esún ¡lineados,esdccir,que de¡ermi¡ra¡ n plano.

Sca r : ¡i +, + zt el veclo. do posición de unpünto senérico del plano- Considerddo los v€ctoro3PrP, ¡:-r , , PrPj : r j - .r y P,P : r-r , ,queson

Dcl problem¡43. P,P PrP' x PlP¡ '= O ó(. -¡J G,-r,) x (r¡-rr) -- o

En coordenádas rcctangulares,

l ( ' - . \ ) t + g-y1Jl + k-, i)r l . [ (¡ , -"1) l Ll r [G3-'1)t + (73-rl), + ('s

o bien,seeún l problema18.

/V/r'rs,rIraüd la €cuadón olplano onnado o¡ ospunros l2,-1, t), ¿:(3,2. t) y pl-1,3,2).

i!I

r ,=zt - j+¡ , r r : l l + 2i- k, . ¡ : - i + l i - f 2k y. : - r i - l - . } i +2k.

I-osv¡itores ¡pt= r-rr. F2pr= r?-ri, pal'r= rs-t éstán iruadosnolplanopedido,

(r- t t) . (r2-rr)x(rs-.1) = 0

[ ( , -2)r+(t ,+1)r+(z-r)¡ ] - [ i +3r-2r] x [ -3i+ar+k] = o[( ' -2) l+( /+1) j+(¿-1)r ] . [ ¡u+5¡+13¡] = o

u(¡-2)11(7+t)+13(, -1) = o obien,U¡+t+13' = 30.

. , /4ó.Seana,lyctosvectoresdeposicióndctospü¡ros¿Oyrtnoaline¿dos.D€mosrraresun voctorperp.trdiculs¡al pl¿no o.rnadopor ¿ O y -R.

Llamernos al voctor d! posiciónde un pünro 8enéricodet pleo form¿dopor P, O y R. lrr- ¡, b-¡ y c - ¡ soncoplan¡rios, según l problema 3.

(r - ¡ ) (b-¡ )x(c-r ) = 0 obien. ( r - . ) . ( ¡xh+txc+cx¡) .0.

Luego.xD+Dxc+cx¡ espe¡pe¡dicularr-r y tañbién lp 'ano ormadoor¿ O y, i .

47.Demosrra.ue: a) Ax(BxC) = B(a.c)-c(A.B), (¿) (AxB)xc =B{A.c)-A(B

(¿)Se¿n a -¡1t+,.{, t , t . ¡ , E=Alt+B2r+&¡. c=Crl+C,¡+car.

Sc icn€ Ax(Bxc) . (At l+A2t+út) x

I

r i r lBr B, 4l

-(A!t+A2t+&r,xt[B2ca-&c2]t + l4c1-Brc. l t + lBlc2-82c



PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL 29

rr* lLA"A"l

4r"-r"r, ,"",-u,r"",""- ",",1

T¡Dbién, B(A. c) -

(A2B'C2-AzB2C\-/9¡,3C\'l3Alca)l I (4B2Ca-&&Cr- laBrc.+ AL82C!)t+ (A$.Cr - A,B{a- A2a2caA2B.C2>\

c{Á.B)(alr + 8r, +8s¡) ,.{icr+ ,c, +

^!C., - (CL\ Cá +cartúlal+ A2B2+ h)(A2BLCe+!l3B$o-,14C$2-C$) | + (B2trCr+B214Cs-C2trB\- hBslt

+ t4Agr+ hA2C,- CaAl8rCaA2B,)h

:r taxB)xc = -cx (^xB) = - {A(c, E) - B(c. A)} = B(^.c)-A(a.c) habiendo ut iruidoA,Bs C de (¿) por C, A y B r€spectivarE¡f€.

Obsérves€qu6 A x € x C) r¿(A x B) x C, esd.cir, cl producto rcctorial no go2ad. la propiedad

3--ciativ¿ psra todos los v€ctor$, A, B, C'

D}-:r-..r¡ar u. (AtB)'(cxD) = (A'c)(B D) - (a'D)(B c).

u€l probleña1, X.(CxD): (xxc).D. S€a X = AxB¡ luego

(^xB).(cxD) {(AxB)xc}. D = {a( ,c)-a(B.c)} ' t )

(A.c) (8. D) (^. D)(B.C). s€gúnlp¡obtema7á).

¡ l l loostrarque: Ax(BxC) + Bx(CxA) + cx(AxB) = 0.

Delp¡oblern¿7(¿), Ax(Dxc) = B(^.c)-c(A.B)Bx(cxA) : e(a,A) - A(B.c)

Cx(axB) - A(C.B) B(C.A)soa¡do mi€mbroa ¡r¡iérnbm eobtilnc el tesutiadoD.¡ido

Desostra(ue: (AxB) x(cxD) = B(A.cxD) - A(B.cxD) = C(A.BxD) - D(A.Bxc).

Dcl pmbL¡n¡41¿), Xx(CxD) : C(¡.r¡) - D(X.c). S.¡ X=AXB; entonoos,

(axB)x(cxD) = c(a )(B. D) D(A B. c)

c(a. B xn) - D(4.a xc)

Dclproblems7(¿),AxB) xY = A(4.!)-A(B.y). S€¿ Y=cxDi *roo"*, / .' (Ax!) x ¿Cxrr)= B(A.CXD)-A(B.Cxn)

. 3€aPC¡ ün triáItsub aeféficoo¡yoahaLos, {, . sor .rco6 ab clrculo má¡i¡no. Dcdodt¡ar q¡¡o

seno - s.n RsenP se¡ I saú¡

SupoDg¿mosuc a clfor¿ €s d. r¡dio unid¡d, y scaí A, B y C los vccloEs unit¿¡ios raz¡do! d€sdcolc.Dtro O de l¿ $f6ra a lo¡ pu¡tos P,

0y

-R,Blpactivam€nte.Del problem¡ 50,

(A x B) x (A x c) (4.! x C)A



C)A

30 PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL

Elvóctor ünitario p€rpendicular A x ByA x CesA,por lo qucde(-l)seobliene

(2t s¿o.s€¡q s€nPA -(A.B x C)A

(3) sen sen4ser'P= A.B x c

Porpcrmutációnlctica ep. q,4 P, Q, R y A,B, C se

(4)(J)

Coño sesundosmiemb¡osde (3), (4) y (J) son isualcs(problema4O),

se¡ r sEng ¿oP:san, scn senO:sen4 s¿n scn.¡R

scnpson¡scno: B CxAsebqscnpsan¡ : C'A x B

Eat, s. el teor.na d. lot s.¿or de ¡ trigonomctria6férica.

. : '52. cfnoslra¡uc: (AxB).(BrC)x(CxA) - (A BxCf.

Delprobl€na?(¿), Xr(cxA) = c(X.A) - A(x.c). Sc¿¡ X=Bxc; entonces,

-/s3. Dadosos €{lores"' ifi. u'- Y c'=

:1

, dof¡ostfa¡quc si a

lonP seno senA

(Exc)x(cxA) = c(B ic. A) - A(BxC.C)= c(A-axc) - a(D.cxc) = c(^.Bxc)

(AxB).(RxC) x (CxA) = (AXB).C(A.BxC)= (A:

B. c)(A.Bx

c)= (e.sxC)2

(a¡ a ' .a = b' .b - c ' .c = l ,(ú) erb = a' .c = 0, d.¡ = l .c - o, c ' .a =

(c) si ¿.bxc = ¿GntoncesC. x c ' = 1/I / ,

(d) a', b', y c' no son coplana¡ios i !, b, y c no lo son.

. . l rr . ¿.bxc

bxc b.brc b,b.c(0) ¡ .D = o.r

Los otros $lllados se dcducen de forma análoga. También s€ pueden hallar obsejemplo, que ¡' tienc la misma dir@ción y sentido que b x c y qu€, por lo tanto, debe ser

a b y a c, con o cual , ' .ü : 0 y ¡"c : o.De (¿) y (á) se nnerequ€ los sistems de-v€ctores' b, c y ¡' , b', c' son r€cíproc



PRODUCTOSESCAIAR Y VECTORIA!

6{). Halla.loscosnos directores e a recraquc pasapor tospunros 1, 2, ,--4)

3t

rtr.go J. ú' c'

(a.bxc), v2 7

(a x !). (bx c)x(c x ¡ )- -7 i -

=

v"

=

v.

=

I

seeún l problcrna52.

rdr Del probi€ma 3, si a, b y c no soncoDtcon ocuar ¡ ' , b ' y c' no *"

"oot- i ; :1 ' . ' ""

' o x c É o Lucsodc( ' )$deduccque¡"b 'xc '+0

tr l>moslrar quc todo vectorr se pucdeexprcsa.en función de los vectofes €ciprocos €t p¡oblema 3 en o

r = (r.d)¡+ (r.b,)b + c.C)c.

Delp¡obterna B(a.cxD)_a(B.cxD) = C(r.Bx¡r)_D(a.sxc)

coronce\. D = !18-{g' -B(^ c\ D . crA B, D

4.BrC {.8.C A.B^c

SeaA=¡, D=b, c=c y D=r. Enes|¿sondic iones,r 'b,c i . ¡r l t

. . ¡¡c ¡.b¡._

rx b\ - . . , " , . r . " ' " , ¡ . (a. ; .crb_ r. ," . ¡ ; , .

- (r .d)¿ .r .ú,b + a.d'c i

- .4, ' . 7 -: \ " ) 's

¡ ! . \ j

:\:/ Problemas propue;togi t' / ' ( r^ ,)

l . fal lari ) ¡ . { t+ j). , (h1¡ -2k). {¡ r lL). (. , (2t_ ¡r r(, . (3t+2i k)- \ :

, " : ; : ' , '?_-, : ; : :4¡_4_4k,h¿'hf : (" ,

(at^

8. \b A.-t.t

B, \dt ,o - ," .- ,1, r^ -",.,n

. "r. b ,sot.

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t ' l '; l '; 'g*'yo'-'o"BiJl1l;;¡' r-u* v B:4r ri+k, brc''4i-2i+4kD=3/:6t 2t^._. / , , / ' " ' - - "^

. . . " -r . - ' , \,YLPa]acsévaloresd.¿sonA,dt-2j lkyB=.2di +¿j-ai pc.rr€n. l icura.es? So!.a 2,_l59, H¿lla.r os ánsu¡os.gL¡dosorrudos por ta @ta que uñe os pu¡rc { t. - 3, 2) y (l , j,l)con tosejes ooF

s¿/. arcc6 2l : t .arccos2/1.a.ccosUl ó 4a t2, 4A t2 .70 J¿

v

2,-4) 'J ( \ ,Sol . 217,317.617 ó -zf i , -317,6t7

ó1. Dos ¿dos e ün r . idnsulo on osvectores l i+61--2k, y B .4t_j i3k. Haltar osángutos cttriá¡au¡o. So/. arc c'x 7tl-3, ü. cos / ir/15,90., o bi€n, 36.4,, 51.56,,m,

62. Las diasonales c un paratelosramoon A:l¡ o¡-¡,, U:t, t- lj -ót. Demosrr¿rque drchopara-I€log.año es u¡ rornbo y h¿ilar süs ánsulo. y Ia toñgrrudd( \u\ trdos:3ol , 5{ i12, arccos2l l75, 180.-arccos23/75. o bien,4,33,72.8, .107' j2,



----

-1-

12 PRODUCÍOS SCALAR VECTORIAL' ,(;..*dg Hallar Ia p¡oyección cl v.¿tor 2i - 3j + 6I sobr€el v€ctor + 2i +-,2k. Sot.8l3

f4.¡ Hall¿r la proy€cción al v€ctor4i - 3J+ k sobr€ . rc¡ia que p¿sapo. los puntos (2,3,-1) y (-I S¿¿. t

rF: . ,s iA:4i -J+3kyB:-21+l-2k,hal larc lv€ctoruni lar iop€rpendicular¡AyB..\

f¿/. +( i2j*2ky3

óó. Hallarel ánsuloasudo ormado or dosdiagonalcac un cubo. Sol. arccos /3, o bi€n

ó7. Hallarel ve.lorunita.ioparalolo l plsno / y porpcndicula .l vector i 3¡ + k. s¿/. +

óE. Demost.arqu€A : (2i- 2l + Xy3,B : (t .f 2J+ 2h)/3y C : (2i t- j 2k)/3 son vectomutuamente€.pendiculares.

ó9. Halla.el rabajo ealizadoaradespl¿zern cuorpo o larsode a ¡€cta uepasa or 3,2, 1)en el campo e fuerzas adopor F : 4l - 3l + 2k. S¿/. 15

70. S€aF un canpo defuen¡s conslanie.Demost¡arquc.l trabajo realiradoparadesplazar n cuerpde un poligoño erado en stccampo sc¿ro.

71. Demoska. ueu¡ ángulonscrilo€n unascmicúcunfcroncias recto.

72. s€a racD un paralelosrarno.cmorrrar uc 71, + a7, co, DA, AC" , BD'.

73, Siendo,arCD n cuadri¡áterou¿lquiera¡ y O lospunlosnediosde susdiagonales,emos

m'-BV-éD'+Di ,-Ac I aD' - 4Pe,

Esto es una gprEmlización cl problem¿anterior.

7a. (a) Halla. l. €c¡nciónve.torialdel plano pcrpcñdicular un velor dadoA y quedistap unidade(r) Epresar la ecuaciónd€(¿) cn coordcnad¡s €clangula6.sol. (¿) r'¡ -p. si€ndo = A/,,1I \bl Aé + 4, I Ar Ap

?5. Scan r y r' v€ctores nnariosdcl plano¡/ qüc forman os ángxllos y t con €l sdn¡ej€ p6itiv(¿)Der¡rosl rarue.¡:cosol+sln¿1, rt =co6ri +scn/ j .(ó) A pani¡ d€ .1 . rr, r€ducn hs fórmulas rigononélicas

cos(q-l) : cosocos, + s.n4 sén , cG(q + t) : cosd cos wn d senÉ

?ó. Simdo el vecto. c pos'.ióndc un puntod¿do ¡,,r,, r,), y r €l vector eposición é un pbto(¡, r , r) , hal larelusar oornétr ico. ¡ s i (a) 1r-¡1-3, (ó)G-a).a:0. (c)c-a) r:so¿ (a) Esfera, entro€n(¡,, t¡, r,) y radio 3.

(b) Plano erpendiculare quc pasa orsu xtremo.(c) Esferade ceÍt.o cn (rtl2, r'12,,'12) y .adio '¿t/V +-yi i )i, o s€a,L¡na srerade d

7. Sio¡doA:3i I i + 2I y B: i -2j -4t losv€ctor€s e posición e los puntos?y O resp(a) HaUa¡ ¿ ecuacióndcl plano que rrasapo¡ O y €s porpendicular

^l^ re.ta PQ.

(ó) ¿Cuálas la disranciadel punto (-1, l, l) al plano?so/ . (¿) ( r B) (A-B):0, o bien,2t +3t +6, : -JEt (b) 5

78. Efegtuar os productos ndicados:pl z i Bi +xt,tb.( i+2,rk,(c)(2t-4k).(+2t,(d){4t+l-2k)\(3i+k),(¿)(2i+j-r)x{lSo1. ¿) 8i ót. (D 2l-1. (c)8t-41

-4k. t¿' ¡ . loi - l l . (er2i - l l l -7ko1. (¿) 8i 6k, ( ] ¡ t2t-1, (c)8t-4j+4k, ( l ) i -10j -3k, (e)2i -111-7k

79.SiA:3i - j -2kyB:21+31+k,ha¡la l (o) lAxBl , (¿) A+28)x(2A B), ( . ) l (A+B)s¿/. r¿r y '1e5. ró) 2Jl -351-55k, (. )2v195

E0.SiA-i -2j - lk , B:21 +l-k y C-i+3j -2k, hal lar:(¿)L(AxB)xC, (.) A.(B x C), ( . )(A xB) x(BxC)(¿) A : (B x C) , (d) a x B).C, (/ ) (A x B)(B.c)sor. (a) 5 \/ 26, (ó) 3 1/ lO, (c) -m, Q, -20, (¿)-40i - 20j + 2Ot, (/) 35i 35i+

Sl .Demosk¡rque! isev.¡ iñcánsimuháncamcntc lascondicion.s:(¿)A.B:A.Cy(ó)A.r-. siendo t 0, se1icn.qu. B = C, pcroqucsi solos cumpl€ na deeltas, ¡.o¡cs B + C nec

' !| -El Hal lar lár€a el aral. losramouyasiasonalesonA:3i +J-2k y B: i-3j + 4k.



PRODUCTOS ESCA¡.AR Y VECTORTAL

l¡-Ehcidad anrular de un sólido rls¡do qu€ giB-'¿-lrcddor d€ un e.¡€ii, ü€ne dada po¡ o : 4i + , _ 2k.Éd- la velocid.d llne¡l de un pünto p dcl sót¡do cuyo \4.tor dé poi¡cion nspccro ¿e un punro'dc¡ cF*r_3i _r. s¿¿ i Bt_t4r.

t - : tq a_l l , I ,J¿ .h¡ i6ca¡(A. l .B).(B+c) x(C+A). so¿ 2A Bxc | ' - i ,r r i¡ i6ca¡(A.r .B).(B+c)(c+A). so¿ 2A Bx. l ' - ' i , ' l I I

'

la.¡ A.ba.ol 1i , - i : )>* , -hGuar quc ^.8¡c)r¡ .b\c) . lB.¡ B.b u.c l i í - , , r I

lc . . c.r c.o l l , í _ j IÉi¡.¡_efvolume¡ crpaBlefepipedouyas ristas onA = zt-\ +&,cj.+ f,i, c: ¡i-l r:r,

ffir.l ¡¡ta ó.f ¡riángulouyos érriccaon ospunros(3,1,2),(1, *1, _3) y (4,_3,.D. Sot.U2,J¡6s

t : l - ¡ -3kyB: i -2j+k,hal la¡u¡v€ctordcmóduto5p€rpendicular¿losvecroresAyB.

rd ==f i +i + k¡

fei*lo en cuenta cl problema 75, d.dlcn Ia fómülas

scn d - }3) sendcos, - cosos€n , scn a + r) : s€n cosp + cosd s€nL ¡dD la fuerz¿ : 3t + 2i -4k 6n el punro 1,-t , 2), Hatlarel mom€nro e F respecto.t punro)r¡ l .J) . Sot .2i-7i-2k

t¡¿ 7

bdrA-BxC:0,demostrarquc,o(a)A,ByCaoncoplanar iosnosicndocol in€alesdosdocl los,¡ .úrdosdelosvcctoresA,ByCsoncol i ¡eales,o(. ) lo3!rcsv.croresA,ByCaoncol ineales.

&ta¡ lacor3t8nt€de orma ue oswcro.es ¡ i*k, i *2i- j ly 3l+aj +5k s€¿n opEnanos.5.¿ ¿ --4

f.¡ lrciorcsdcposiciór, on espectol orisen, 6tospunt6¿ Oy,Rsonr, 3t 21_k,., : i + 3!+4r! .' : 2¡ + J 2k, resp€ctivam€nt!.a¡l¡¡ a distanciaeP sl pla¡oOOa. So¡. 3

t¡Irar ladistanciaesdelponto 6, -4,4)¿ a e.taquepas& or 2,I,2) (3, 1.4), Sot 3

lLd6 fospünlos (2, ¡,3), OU,2,t),R(-1. -\ -2) y S(t, ---4,0),balta¡ lanfnim¡ dista¡ciaent¡! ta! r.ctas

,!y ¡S. Sol, \/2Ihlostfa¡ que as alturas de un l¡iángüio sr coTran Dün p\ñto (ortoc.ntrc).

D.dost¡ar quo e3 medialrices eün triÁngulosecorta¡ cn un punto (clf./r¡c¿rrf¿).

rñostrar que A x B).(c x D) +(B x c).(A x D) + (C x A).(B x D) = 0.

b POn u¡ ar¡Ángulo sféícocuyos ados¿ 4 . son a.cosdc circuto máxi¡Ío. Dcducir €l te¡)En¡ dcl coscooé 106riársulos €sféricos,

cosp= cos cos.- sen san cosP

&r Frñrut¿ción lclica € as elras. od€ducenórnulas náloga\ arams 4 y cos .[¡'d: ln¡erprcterosdosmiepbros e a dcDtidadA x B) .(A x c) : (B .at(A.A) -(A . c)(B ,A).1

,



t4 PRODUCTOS ESCALAR Y \'ECTORIA!

102.Hallarün sislcfna e lctores €ciprocos l foÍnadopor 2t+3J-t, l-l-2ü, -t+4+21,

s¿¿ír ' i r . - i t ' r - i r , - : r+r-ár

tor.si ¡ '=

".0,".!!1,

r-.::ro* , J=;l*, dcnrosúa¡ue

bxc c' . f C';'

=

" ' . r '*"

o=¡o1d'"

-" ' .b!" '

104. Siendo ., b, c, y r', b', c', tal€s $to

a' . ¡=b1b=c"c=l

¡ ' . ¡ = r ' .c = D'.¡ . b1c = c1¡ = c1b = 0

demosÍa¡ quc s€ t€riñ@:

¡ , - bxc r ,= . l ! ," ,= "Io¡. brc a.Dxc

105.Demostra¡quc el único s¡stema . vectoresquecs Éiproco de sl mismo€s cl fo.madoporunitar¡os,i, k,

106. DeEGtrar quosolo¿xiste n sist€r¡adc €ctores cclprccodc uno dadode €ctoÑs¡o coplanario

ü

r



Capírulo

aR=n(¿+^¿)-n(r)jx _ R(&+A¿) R(¿)

^rAe

li esel i¡cr€mentode la variableü, como.D la fisur¿adjunta.

&F.¿ca del veotorR(¡r) especto el escalar sedefine

or

dü ar-o a¿d limit€.

¡tR; dependf anbiénde z, sepuede alla¡de formaanáloga,u derivadacspecto e ,r

." ,.nr"r"nr"W. ffi. enálogam€nteepue¿lenefinirasderiva¿las€ orden r¡perior.

gItI--rS EN EL ESPACIO. Si, en particular, R(r) es el vector de posición (r) qüe une el odgsri5¡.ma de coorde¡adas o¡ un pu¡to (jr,L z),cualquiera,

r(¿) =,(¿)i + ylu) i + z<Ljt^

{c) establece a relación ft¡ncional de n, .},y z respectode r.

Lj .l lugar geométrjco e su €xlr€mo es una

Diferenciociónectoriol

¡DA DE UN VECTOR. SeaRlr) unlEi6 de la variablee,cálaru: e¡ esLas o!-

R(! +A¿) - R(¿)A¿

@odo valores a tl. se obtiene distintos valor€s

'=r(ú) , y=y(uJ, .=z(t)

¿¡ r(u ¿u\ - ¡(u\conorrones7;

É la mismadhección sentidoque r, como

en a figllra djunta. i€-lr""r ;1 f

f,-*"

",un u."to,

"nla dir€cción de la tangente

,:eaa en el punto (.!, ), z) y viene dado por

d\ t l¿

du du' du" ¡tú

'c .aso de que a variable¿ seael trempo , -4

Ia wlocidad nslanfánea con la que el ext¡emode r describ€a curva en cuestión.Análo-

, * : # * * **acün insta tátaa L to taryo de di€ha curv¡.

d €rpdc¡ocuyas ecuacionesparamétricasson

r¿) i : i



3óDIFERENCiACIONVECTORIAL

CONTINUIDAD yDERTVABILTDAD.Una funciónescalard(r) escr,¡¡?,ra n¿ : é(r), o bien,si para odo númeropositivo< existeotro ó de tormaque

. ló(u+¿u)-ó (,) l<€ para odo l/r <ó.Una uncióne.ror iatRl l , r . R,tut i . R¿tu. t ¡ Rswtk \ ,anrind en, ¡ i to sonscaj¡¡es (r{,). Rf,) y ,c.rrl, o

¡¡en, j lin, ;ñr, .é- , . . : -_, . , . . , -o xtu + ¿ut:R(u) Dicho ge otra mapara odon¡imero ori r j ,o er isre l ro ¿ de ormaque

I R(r + /r) - R(']) < . para odo 1lu <o.

:ffi ltüifif"r,"j,*r*É,l'.mff,"r,:fi**"?rk::llki,

TORMULASDE DIRJVACIO\, Sean - B v. n,ñ. - - . .^^.^_]- , , . .. )@u¿ ru¡cron \cardrer i \abteeu

A' B v c fün\ ones ecror ia leserivablÉDestas ondicion€s,

*"'ulütcs oenvabl€

t . f ,or" , = df -dB

2. l (^ *r - o. f '#.", .9ro," , = n,^8.f""

-*n,+ l ¡or'¡= ¿ d-4

s.f-re.u '" r o.u,#. o.#""- f . r""

¿A

siexistc este jmite Anátogarne¡te,

= l im

¡

=Uma! 'o

A(r, T +Ly, zl * A(. ,y,2)

Al¡ , i , z +A¡) - A(¡ .y.¡)

o t{n"1r""¡¡ = e'1n,fr *a"¡ j } ,c¡ * #,ru".rConrespeclo l ordende os t¡ctores,hayquerener ncuenta ueel producro ectorial o

DERIVAXIASPARCIALIS Df I]N V¡

lli,lffi;;ü;;',;::l::: í"'":i Tl:,.i:: :i:'J:',1ffi1i.t.

o';1,1q!'5¡¡i1¿'

AAa).Aaé;

so' lasderivadas arciareseA rcspeclo c, y de :, respectivanenr€,iempre ue os ¡imi



DIFERENCIACIONYECTORTAL

d€ continuidedy dcrivabilidadde funciones e una varieblese pued€ngeneralü¡ró. dos o másvariables. or cjcmplo, na d(¡, /) asconlinua n un punto .x,/) !i

.ú¡-_r -l,v) C(¡, J,), o bicn, si par¡ todo núrie¡o positivo . existc otfo ó dc forma

t\! - ¿t\-ó(x,r\ l < r para odo lx | <6 y l/¡ l< ó. Análogaseñniciones€Gncl caso dc funciones vectorial€s.

&fu¡oones dedoso más arieblcsl ¿rmino eriv¿ól¿ndicrqu. ls funciónicne rimems

de ordensup.rior 6edc6¡lcndc la misme orm¡ quccncl cÁlculo ifercncial rdin¡.io.

a'A a.aA. a '?Aoz' ot ot of '

a'A ¿.aa- a 'Aot o, ot of ot ot

a .aa- aza a .¿a.of oy

a .a^. a"^ _ a.!1t-,ot o2 ' ot o2 '

cs¡ndifcrcntc.parcisl€s ontinussde s€gundo rdensevcriñca ¡;"

=d-*

- csdcc¡r, l ordcn

d. la derivación aro¡al evectorcs onanálogas lasdcl élculo diferenci¡lordineriopqr¡llcalar€s. or o üán(o.¡A y B soÍ funcioncsc x. /, :. se ienc

- r r=,r .F*S.¡

. " r=^'$-$'"

-3{3t,r . ¡ r} $.¡ l

.-s+.s.

i, zt l : , i¿'a ,- aB

aB ?a aaA

{r|.B)

_^.9.

¿¡-B).A.dA+dA.B

Ja¡B)-AxdB+¿AxB

DE UN VECTOR.Las fórmulasdcdifcrcnciac¡ónc un vcclor3onaráloras a la3difcrcncblordinario. Por ejemplo,

^=AJ+Azl+41, enloncesA= dA¡+¿A;l+d' l . l

r A= A(¡,y,,), c icDcA - *¿' - #¿, !a,, "t".

DI¡ERENChI. Constituyeel cstudio de l¡s cuías y supcrfici4 cn el cap¿cio.

curva n el espaciocñnida or a funciónt¡)¡ seerln enrosisro.$ esun veclorm l¡ di.

& la tang€nte c. Considerandol escalsr¿ como ¡ longilüd dc arco r medidaa partir da un

deC de a curva$ esunvecto¡anglnte cy qua lamarlmos coño scobs.ftaa¡ lañgur¡,¿lu -



:+ '

3E DTFSRENCIACION VECTORIAL

La v¿riacióD d. T respecto de r es una medida da la,f¡

cürv¡tu¡a de C y vGne dsd¿ por +. k direcriórt

de.=

en un prunto u¡iquicra de C ec ¿ correspon-

dienta a la trofmal ¿ la cuwa en dicho punto (Pro-bleme 9). Et vcctor ünitario N er la dirección dc lanonnal se lama ¡o¡mal princípal

^ta c\rt.la. Asl p\cs,

; -,(\. siendo la .r¡r¿rr¿rd eC enel punb dado.

El ¡rclproco de ls olrlvaturo, e : llr sellÁúta. udío de

-

L6s fó¡mulat de heñetseftet qüe rclacionan los vecto¡ÉsT, N y B con sus

güre¡@l:¿T¿"

= rB - }(T, = -7N

EI vccto¡ unitarioB definidopor cl productovccto¡ialB : T x N, perpendipor f y N s€ lam¡ óü¿D¡a, a la cuna. Los vectoresT, N; B to¡maD ur riedro triñen cu¡lqui€r punto de C. Este sistemÁdc coordenad¿s ecibeel nomb¡e de triedrcComo a medid¿que varla r el sist€mas€ desplaza,s€ e co oceoon la denoÍun ci6n

dB;;

dN

eDdo¡de €l esc¡la¡ r se l,ama o¡r¡idr. El r€cíproc¡ dc l¡ tonión o : l/r es el rudia d

Bl plarc osculadotE lunagurvaen un punto ¡ $ el que contien€ a la tangenteyen P. El plano ñotmal es el que pasa po¡ P y esperpendicularsl plaro tsngente. Elque pasApor P y €sDerp€trdicula¡a Ia rormsl principal.

MECAMCA. El estudiodel movimientode uDapa.tlculaa lo l¿rgodeunacümecárica que sc denomi¡s chertuúticay e c¡ryo cstudio se ¡plican ¿lgonos conccfereüc¡I.

l.¿,dinóñica c6la. Darle de la mecánica oue estudia las fuerzas aolic¿das¿ losen dovimi€nto. L¿ ley fu¡daür€ntal da la !trecáúic¡ es debids a Newton y exprcsactúa sobrc üD sólido de m¿s¿ ¡, desplszándolo s u¡r¿ velocid¿dv¿¡i¡b¡c v, üene

r =fro"tricndo ,,f el lmpctu o cantidad de movimie o del solido. Si m csconstant , l¡ fórm

a E - m ;; - bt , siendo Ia ac¡leració¡del sólido.

t



I ¡ &' h ' dz' Pf ¡ lA l l t i r l

E - &" l ; ' . 7;^ '

DIFERENCTACION VECIORTAL

Problemae resueltos

-<¡)l+r,(") j+r(z)ky¡,, ,yzfüncionesd€.iv¿bl€sdeun.scal¿r¡rdemostrarqu€f - ) ' ) ' Pf¡

"A!! t ir l \ ( 'N'

[.(¿+4")t+r( '¡ 4")t+,G +Aü)r]- [ ,(ult +rt , l l + ¿tul l ]

t-

s.n¿l+ cosr¡+ rf , rrakr lo¡f ,

. jt*'4,- ,ar"*or ,3r,rr "*, r

rdBl

- s.a. , +kJ

= f, t f f t = j t-o, - * i t .o,) I*r1tt t . - .on. - cosr,

= /G;'Í r-¿*"')\ tL\"='5

=l= /é,- ' rT- i* , j . t it-u

- L ¡{' +A{ - R(!)

- ¡ [.fu+A"lr * r(u

- h r(u.A¡ . ) - ¡ ( ¡ ) t+ r( ¡+41) / (¿){ . . t ¡+A,t - ¡ t ¡1,É:-* A. A" '-

- - - - -^¡ - "

& ¿a .lz-Ét + t;t + 7;r

otn&, t1f f | . t

[ . i , 'Q""!:fi¡¡l¿ se mücw a to largo de rDa cuna cuys3 ccuacioncapamméFic¡s son x : e-t, j = 2 cos3t,Lr 3r. siendo t cl ti€mDo.h¡ su velocidad y sr ac.le.ación cn fuició¡ dcl ticmpo (lcy.ic ¡,€locidad€sy ¡ccL.¿cion s).trü¡ cl ¡nódülo de la velocid¿d y de ¡s ac€leracióncn el ifftenio r : 0.

g iclor d€ posició¡ r de l. partlcula .3 r : ¡l + rl + rx- .il + 2cos 3r¡ + 2 !6n 3rt,

¿rL! v€locidads 7i = +{-ólen3/l + 6cos3tt

! h a.¿lención =d¿i=r-, i -18cos3r¡-18sc¡lr l ¡

¿. ,tt¿hcl i rsra¡ te¡ :0. i - - l | 6Yyfr ¡ -18j . Poro anro,

Írffufo do fa r€focidadcn t = O,1/ (-rr, + @, : \/t

'nódulod€ a ac€le¡aciónn¡ : 0, Viit +Fl8t: V-32r

¡ panicüfasem¡¡.rc ¿ lo I¿rgo dé la curv¿ x:2r', r: t -U, z:3, - 5, tundo r el tidrpo. HalI¡¡

¡úponcriLs d€ a rblocidady dc laacclcració¡en cl instúte t - I y €n a dir€cción -=ji#*ii.:.



40 DIFERENCIACIONECTORIAL

= L = ! ¡2r,1+ (2-4t\! r 1rr 5)rJd¿ d¿

= 4¡l+(2r-4)J+3t = 4l-2J +3¡. atr=1.

El t¡cctor unitario €n la dir€cción t - 3J+ 2t"s

:J..::]]].& =y'qt¡2+q-t¡2+12¡2

,zl-uego a componentc d€ Ia velocidad on la dirección dada es

Velocidad

(4t-a +3¡) ' ( i - 3J+2t) (4)(1)+ (-2)(-3) + (3)(2)---_-=-- = ----- _-y'14 r'A

) ' - ¿ ¿r ¿.

Aceteración

-

= at?l = *Lr¿l+(2t-{)J+3l l = 4l+2t- d.z d. 'dt d,

./La componcnte de Ia acel€raciónen la dirccción d¿da cs({t + 2l + ot).o - 3J+ 2t ) (4)(l) + (2)(-3) + (0)(2)

fn /-tt vt4

Las ecuacionespara¡tétricas de una curva C son ¡ : ¡(¡), y : Ásr, z: z(s), siendo t la lode C medida d€sdeun punto 6jo de €lla, Llamando r al vector d€ posición de un punto gpnérictrar quc at/d.r es un vcctor unitario tangpnte a C,

¿¿¿ú<dvdzEl vectorf

: ; ( t i +.yi + zk) : ; l + +t+ [kes tangente la curva : d¡) ,y

z :4r). Para d€mosharqu€ su módulo es a unidad, tencmos

et = re|,#f r(:.f= M,d,f = ,5 V dS dt t ts v (¿s J.

ya que (dr)r = (dt)' + (dy), i (dz)¡ según se estudia en cálculo.

Hallsr el ve€tor angcnte nitario en un puntocualquiera e acurya x : rr + I,y : 4t -

Hallar. cl v€ctor tangpnteunítario en elpunto

co[espondiente al instante,:

2,(q) El vector tangentea la curva cn uno de suspuntos es

,¡.r16)(.r' .:,-:'(á)

4;, =i[(¿2+t)t+ (r¡-s),

El módulocl cctor l:ll =

Luego l voctoranganienitariopcdido s T =ffi

+ 0r2-6r)t] = 2t t + 4! + ({r-6)t

s t¿.t dsObséncseuo, omo I il.

i ,

(á) En , : ¿ Gl v6tor t¿¡rgpntcunitario cs T

r=1'/ ,7t =*.4SlCa att

_ {t+{¡+21 = 2¡*?¡*! ¡ .

/G). ,G; Qf 3 3 3

iIr ^t*

*dtt

y'1. SicndoA y B funciones erivablcs c un cscal¡ru, demostrar:

(otát¡ 's)

=A.P¿m

. 14.s.tt¡t

1! "4v

t -3r+21 ./n18 alÁ

{14 1

+ 0t.

- i /14

( t)t(axB) =



=¿:lo "* . f ' " -@

= ¡"8 *! ! ,s

Ot¡o mélodo.

9<,r 's) +u ít t

lJk

a l a2 A381 82 Bs

Tcniendoen cuentael teoremado ta de¡ivaciónde determinantes.

Aa A2 A3

lL ¿-P2 d-23du du du

A =5121r j -¿3ky B=sen¡ i cosrJ,ha[ar(a)* rO. rr , (ó l r1<exs),G¡tA,U.

f ro."¡ ^.* , #.". (5t21+ rJ - ,et) . (cosr l + sen j) + (10! t + J - 3r2t) . (senr l _ coE¿r)= lÍeoEt + ,senr + lors€nr -

"o",= f1sr.- rl co s 1-i i-sen r¡

Orro métofu, A. B = 5r2s€n, - r coa, . por lo tantol

¿(A'8, - ; i¿ d,-6

t (Dr-sent - r cosr) = 5r 'Co8r + 10rs€nf + rS€nt - Cou,(5¡2- t) cos , + tl, sen

DIFERENCIACION ECTORIAL

1.r -¡t = rn (4 '44):iEl4!)-:-4:-P-

Al¡-O Au

¿go4E-i#@

=

^rim.^i

-

o+."

-éi)=¡.dB* 44.¡

a¿-{ aü Au \!_7 " du du -túo métorlo,Sean A = A].l+ A2l + {t, n = Brl + Bzt + Bsl. Entonces

! i,r.ol =!,@t, * A2B2 AsBsJ

=a,!# o,'* afft , ,#r,, ff+ , rfat =

4l

{ t , r 'nr

-

I

n''i"*'"

Jr+,rt.Um

A¿-0

= l imA¿-o

( ¡+M)x(g+Ag) - lxnAü

axAg+AAx¡+AAxAgA¡

,,¿{a*t) *d} * ff"n, .

dA d.42 ¿rl3du dt du

BL 82 Bg

I J r l5t2 r -Fl +

cosr sen 0 |

*.fi *¿ft

I , r l10, t -grr l

scn, -coa, 0 |



42 DTFERENCIACIONECTORIAL

: [ f ¡s€nr l - f ¡cos/ l + (5rt €n - r cos )k]

+ [-3r 'cost i -3r rsenr¡ + (- lO, cos -s€nr)k]: (t¡ scn - 3rrcos )i - (rt cos + 3r' sen ), + (5r¡scn, - s€n - I l, cos )

Otrcm¿todo.

AxB =I J r l5t2 t -1,3 l = -r3qosr i - r3s€n/J+ ( -srzcosr r

s€ n -cos, 0 |

Ueeo,S6 x B) : (r' s€n - 3r'cos) - (r.cos + 3/rs€n) + (5rr en, I I

@ *e.^) = n.'* * *La.t= ze.df

= 2(s.21+ rJ - ¿3t) .(1011+J - 3r2k) = 10019

Otro útétodo. t . s, = Ftzf + 1tf + q-t3¡2 = 2slr. +

Luego, fipi lf +f+r! = 1s¡¿o+ 2t + 6t6.

,/ 9. SiendoA de módulo constante,demostrar que A y dA/d, son perpendicula¡es,siempreque I d

Como A €s de módulo constante,A. A : constante.

beso,${A..A.t :" .+ * #.o:^ '# :o.

Asfnues,l ..$ : oy A esF,rp€ndtcutar$ siempreuel#l .t

40. Demostrarue*ro." x c) A.B f +n. f r xc+f i 'n x c,s iendorivablcs de un escalaru.

D€ os roblemas(a)y (b),4e.fn, ,c) = e.Íufs,c¡ *f

.n, .c

= n.tn' f, * j f 'cl * j f .n 'c

= e.r ' f * e ' f "c * df n,,c

/r l. H"ll"t i,"'#'#,.Derrobf€mao,f,tv

fr,fi', =

+2t+1tB

c2+ta

-, ¿v d" yt '¿r '

dt "

- . dv d"vdt dté

-. ¿" v d'v dt ¿v dY'--; x -:-;- + _i-. '-x -

da - dt- 4t dt a

- . dv fvu+u=Y.- :_x.. :_cll .la¿

12. U¡a partfcula s€mucvo de forma que su vector de posición viene dado por r : cos rr,t +una const¿nto. Demost¡ar que (a) la velocidad v de la panlcula €s perpendicular a r, (ó) la



' DIFERENCIACION VECTORIAL

-ilila

hacia €l origen y su módulo es p¡oporcional a su distanci¿ al mismo,

df1.1 r: 7 - -@s€n@ri + @cosort

S€ iene .v: lcos@ti + s€nr4rr], -ro se n ol -f úrcos.orl]: (sos @r) -{, senqrt) + (s€n@r) ¿,cos úrr) : 0

luego, r y Y son pcrpendiculares,

d\ dt'lll 77

: -Al : -t" co" tt i - @rs€na" j

: -@¡ lcosúr, + senúr,I I : ---<,,t

La acele¡ación tiene, pues, la misma dirección que r p€ro sentido contrario, es decir, está dirigidahacia el origen. Su módulo es p¡oporcional a I r l, quees a distancia al origen.

L) ¡ x v: lcosúr r + s€ n@r¡] x [-@sen@tl +@cos@rll

41

(c) r x v : vector constant€.

or)

cos @t s€n@, 0

-ú, s€n (l)/ @cos @, 0

^"+,t-

: @(cos¡@/ s€nrar/)k: @L,vcctof constantc,

Flsicamente, se trata del ñovimi€nto de una partlcula alrededor de una ci¡cunferencia con una vclo-cidad angufar [email protected]¿ aceleración, dirigida haciael centro de la circunfe¡encid, I ll"Ía-centrípera.

03," = 4ro'P-4'ur.dI ' dt dt dt

1¡o"# #'r, = ft<r"fi XSxst=

n,4 ,d4,*

-¡' da .ta

Dcmostrarue^.#

= ooi -

Sea ¡ = A!l+A2t+Asl . L\eEo A

0"1= :rn?tn1,,f"r'/"ee,.*

t4"# * 4,.sltlt da tlt' ^,¿:+ {4,8cla' ¿l¿'

=E;tr;Áu"* r u"o3 (l ¿ - .l a

¿4" ¿A^ dA^hd;+A2i+Asi

6l+,e1,+i¡a/zOtro método.

como .A= f, f t6, ' l . t= f tU' t

f to.rt =^.# -

n*.¡,= zr '# v f iu"t=ud/

l""egozr, . f f=u#" n.#=n#.

Obsérvcseuesi A esun v@tor constan ,^'#

= 0, comoen el problema9.



- - - - - - - - -

DIFERENCIACIONVECTORIAL

15,Si A = 12r2y ra¡t+ @x!, sen¡)j+ (r2 osy)k, al lar,, +, +, +, ot oy dr ' dy .

&,uo, -^,

+ !é! - y*n x¡¡ + S 1,2 osT)r

(4ry - 4é)l + (y&! - y cosr)J + 2, coay g,

&ru"r-^,+ aran-rsenx)¡

$l,2cos7)r2,t2 + eerY - sür x) j - :2 seny) k

]wr-*1t * j<t*v-rcos,) r +$,o"*r , ,

(4y - L2.'11 + g2ex! +y sen-x) + 2 cosy I

frrr*rt f,an-*, a¡ - f,a,xny¡xO + r2&y I - r.2cosl | = z?"x! ! - z2 cosl L

=.,4,#,

=*,",,1_l *rrerr-senx)J $r"2senrrr

= 4zl + (xy{ ! +{1 -cosr) j - 2rsenyk

=,",b

=&,*r-{,s)r

+}<r;;;l-rcosr)J $(2rcosy)r

= 4x | + (zyex! ¿x l -"*r l !

- zxseny

12 \2

Obsérvesequ" ** = <9* ,

",

decir, qu€ el ord€n de la dedvac¡ón no altera el res dt dz dzü-cierto, en general, sieñpre que A 'tengaderivadasparciales, de primero y segundoorden, conti

si SQ,y,zl = rl2z y a = rz i - zy2 + yz2tr , , t rat tar¡ f fóel cnelpunto (ox oz

Q¡, = 1zy2z\(*z - xy21+yz2L¡ . z2y2z2 - r2!1" ! ! zt3 z3lt

i (+A) = d1x2y2zz1-a2,1azt+t fszeu = zt2l2z 1- r " f , + 3xlsz2Ozd2'

$ tOol = j<z"rt", t - x2ya+ 3ry. 2 y

;$ ,t^, = j<ur"" | - 2'!4 +3!.22h) =

Parar=2,y=- t ,z=1 s€obt iene t(-r)2(f) t - 2(_t)41 = 4t _ 2!.

17. Dado el vecto¡F funciónde as variables scalares,/,.z,, y x,r,y z,asu vez, unciones e /,dF ?E ?r

'1' Dp dy 'óFdz, tt

=7t '¿;¿-¿yl .á;¿,

suponicndoque lasderivaciones eanDosibles.

Ero,

aa¿/

^2A:--:

^2A

^2dA3'4

^2óA

ta,

= 4xy2z - lat' I + lysz2 |

4t2¿ | - 2y1

i

i

Ir




FlPr,r',z,c)l 4(',y,z,r) . Enronces

45

s-Tngamos que F = Fl(r,/,¿,¡)t +

dD = dFri + d,F2l+ d\k

,?4 a¡, a¿ [ - - : dr + +dr + a=d/ot ot of

+

¿r.(-¡j t

o,

+

* $a" l r , t *0, , ! t , , lay , pa, l1

t$a,*

!n",{ ' ,

, ln" t r

* P¡ * *r , r , ' r* r -pJ +3&¡,r"

Ot. Ot Ot ót dt

r$r * P¡ * $.u,r, * 19-&,}&r Fr,r"o, oy ór dz oz dz

* $a" * $a, * $a.ou ol oz= !E r,

oa

hp,dF =d.

?r ?rd.z.7¡¿l .}s¿z--- .

---i - .

--+r <- -:-

Ol Ot dt Oa .t, Oz da

DIFERENCIAL

IEoostrar las fórmutasdeFrenct-s€net@r+ : rN, (á)+

:,p1N, G) #: .tB- rT.

{d ComoT . T : l, dcl problema9 se deduce ueT .$

: O,es aecir,$ esperpendicular T,

SoaN GIvectorunitario en a di¡eccióny sentidode$; "o,on**, $: rN. El vcctorN es a

rcrmalpfincipal,K csla cwvaturay Q l lK.asel radio de curvatura.

e) s€aB.:r N,entonces,#: , *#-t .# x N:r x $ *"* t n: , , $ .I-ueso,.$: T.T x

$:0,esdecir, esoeruendicular$.

DeB.B: lscdeducequeB.$(oroblemag),esAecir ,$esneroendicularaByestÁsi tenol planofornado por I y N,

** #p€rtcnc¡el planodeTyNyes perpendicularT, esparalelo N; luegoS

: -r0,.

Fl vectorB es a órhormal, esla torsió\y o : llt csal radio dc torsión.

(c) ComoT, N y B formanun triedro a dere€ha,ambién o fomnn N, B y T, esdecir,N : B x T, ¡,

ru"go,$:B. # +ff , r lpX r¡- 'N x r: - , +,B: ,B-. r(T. / l r / /.2V'1í1 , . / ¡ \ ) / , Í l * , . . , . , , . -1. . .

Representaracurv¿.¡3.*r,, y -.3se¡,i,':4r y haltara)et ¡ tit l- ,.., 'lll¡ f,:riT,ffi,}f,5'f'Í?Jn:ffiifff:ffi1ux,1",":T1'o?i:-D -' '.i-. 2torsión. Ifl|

1.tj

"TEstacurva e, llaña h¿ltce irculary se r9prcf¡ta en ta figura. tsR 0 |

;*H:*#Í#r#.::ifiÍ:;:,?T?"/xi,s::1,1h::___1u ncietateraldelc i l ind; ; ; , .+ ii . :9. ,* . . . , , ' , ' lE¡ ! ! r¡gg¡9rrqU4su[,cr. r f f ia,L(a) El v€cto¡ eposiciónc unpuntogenédcoe a cunaos ,, , ,i. ,

o \



¡

¿r

dsi;

Asl puco, T

$r#tfds

(c) B = TxN

da=dt

-7N

= $r-$*"rr +|coart * f r l = -$coeir - f scnrt

= tf# = -fr"o",r *¿senrlcomof =rn, l rSl = l ' l l ¡ r l = x conlo.Lucgo, x

Do#

D¡FERENCIACIONVECTORIAL

Ssosr l + 3 s€nr j + {r t

-3s€nt l+ScoBrJ+4¡

It il = EE" = ,Gtscn,)t+3.*,)t;? =.5

* ='# = -$senrr+$cosrr+fr .

- cct - s€n, 0

((18_-xT)#n -

= T.((27N¡B -xstx l ' * * f fnrU = T.1r2rT+rsD¡

= #l =GE.*IT[E;" =* y p=*== r , so btim€ I =:# = -cosrl -sotrrr .

rr r

= l- i* , ' , t "o", á l = fsenrr**1o"rt $r

"o"r t* f .* r t , f =t#= L.o.rr+fsenrt

4 4 .- - 4 -T(-cost l - s€nrJ) =

ñcoscl

+

i ;s¿trrJ,obie[ '7=tE

20. Dernostr¿ruoel radiode curvatura e a ca¡rva rr¡rascrracionesaramétrlas or r = (

=z(¡)vicncdadopo, = k* f , 1{4¡' * (*ff'h'ds2' ' ¡ ls2' 'ds2' -

El vcctor de posicióndo un punto genéricode la curv&es ¡ = r(s)t + y(¡)J + z(s)¡.

Lngor=*=Xt*?"t* t* t , #=#r*8¿t*#r. -*.

f= ,<N,

onoqucK = I# l=/rF: ,#: ,#quodandodcno't

21.Demosúaruo *,* , ,&" = +.r \ dE da- d,a- p-

, \( t=i ,*=,T-"* .= "Í :*#ng.,+'ii .;',,.;;,.;. * *, ''

KTB -

=é¡




küldo en cuentael problrma 20,el rcsultado,se uedeescribir€n la forma

T = [(r' f + (y')2 + qz"¡21-1

-

dc las primas representanLasderivadas res¡rectode r

t t Dc(o) .

N=14! --2¿l + ( l -zt ' ) i + \

K¿s 1+ 2t2

E h cr¡rva =c, !=t ' , "=]f ,hal lar a) lacurvatura , (ó) l¿ onión 7.

d E rrctordeposicións r = t l + t2 '1+!t" t . ' '- , ,_ \ t

Por o ianto, 'i= , * v1 + 2r'k ' At ^

+ = l+ I = EÁo= Qt'+(nf.@T = rr*o' 'n- ' t '

\ ' /t 'd t . ' y ' dt dt¡ {

y T =r ie"=t#=t+-ul !uzt ' Í , ü?t

q - 0+zt2)(ü+ +tt ' t - ( \ Izr l+u2u$t) - -q¡ i+ Q- 4t2) ! 4t l \ f , \dt olEV-

=(l;-tT-- {rv

1tr' \

xyz

ttz

rt

oi. .i ,.- \A\ iX, \

. ,d* ' \ ''

A' 'c i t

Eotonces4I - ¿T/¿' - -: fJ:A--ú!:-Ads ds/d¡ -71+-lz9- ' 'r \ir-.

.2¿l + ( l-zt2r i + \ , r !. , , \ ' - , \

-l --F-- (\' \--' , I ^t't r r l . l , \

po¡rotanto,.=xN= lrt,o, 3-o" #"1 =HF

-2 1- 2c2- 2c-+2É t+2tz l+2t '

De aqufouc ds _ +tt + (+t2 2\!-- Ety"

1 = 0."14-tdt (l + 2t'\' - .ts ctslcat

También,7N = -r[ -2t t+ ( !=4; l t + 2tr

l .crn,o f i =

0bsérvcsc que r = ?-en este caso.

4t l + (4t2 2) i - 4r ¡ '=--- 1r;Ef-

- TN ,sc obticn€T = ,-U, *f

E[a¡ las €cuacion$, \¡ectorial y cartisiana, de la (a) ta¡¡g€¡ttc, ó) norm¿l principal y (c) binormal a la cuwaü problema 22 en €l punto corr€spondicnte a f : l.

Sean Te, Ne, y Bo los yectorestgngent€,normal principal y binormal en el punto dado. Del problcm¿ 22,

To o r _r+2!+*. . , -2t-Jl2k o = ?¡=¿jI¡b = -----¡-'

Ño = ------ , oo = -3 -



48 DIFERENCIACION ECTORIAL

Si A es un voctor dado y ro y r son, rsspectivamente,os vectoresde posicióndel origen yg€nérico e A,el ve€tor -¡o cs paralelo A y la ecuación e A es(r-ro) x A :0 .

Por o tanto:La ecuaciónde a tangent€ s (r - ro)

La ecuaciónde la normal principales (r - ro)

La ecuaciónde la normal es (r - ro)

xTo:0X:Nd: Ot úo",¡ o

tivamente,

x- l

-2

r- 1

En coordenadasectangulargs,ara ¡2

: xi * ¡ j + ?k, ¡o :if

¡, * ,n, estas cuacion

z -2/32'

paramétricá.problema28, Capítulo 1).

1y- 1 z-2/3

2 2tx- t " t 7 z-2/3

que también sepuedenescribir on forma

24. Hallar las ecuaciones,ectorialy cartisiana,del plano (a) osculador, á) normal y(c) rectificantelos problemas22 y 23 en el punto correspondiente / : l.

(a) El plano osculadores el que contienea la tangente a la normal principal.Si r es el voctode un punto genéricodel plano y rq el vector de posicióndel punto correspondiente / :r * ro esperpendicular la binormal Bq en dicho punto, es decir, r - ro) 'Bo : 0.

(ó) El plano normal es perpendicularal vector tangente.erlel punto dado. Luego la ecuac(r-ro) 'To:0.

(c) El pla¡a rectificanteos perpendiculara la normal en elpunto dado. La ecuaciónpedidaes (r - re) 'No : 0..

Las ecuaciones e (a), (b) y (c) en coordenadasec-tangulares on, respectivamente,

2(x- l \ -2(y-1)+ 1(z 2/3) = 0,

1(¡- l ) + 2(y-1) + 2(z 2/3) = O,-2lr - r ) - r (Y-1\ + 2(2-2/s) = o.

En la 6guraestán epresentadososplanososculador,normal y rectifrcante la curva C en el punto P.

2s. (a)

(ó)

(c,

Demost¡arque la ecuación : r(2, v) es a correspondiente una superficie._AtarDemostrarque --- X

-:¡epresenra n vector normal a la superficie.'ouóv '

Hallar un yectorunita¡io no¡mal a la siguienta uperficie, iendoa > 0,

\o)

r : acos l sen i + as€n ]s€nyi + acosvk

Si consideramosue a toma un valor fijo 29,entonces r : r(ro, r) representa una curvaque la ¡opresentamosor |l : ¡lo. Análoga-mente,4 : at defineotra curva r : r(zr, v)..d.lvariar r, r : r(¿¡, ) representa na curvaque sa mueveen el espaciogenerando nasup€rñcic 5.. sí pues, : r(¡¡,v) epresentauna superficie omo se ndica en la ñgura.

I-ascufvasu:uo,u:¡- , r , . . . ,p€rtenecenaestasuperf ic ieasícomolasr:vo,v-vb,,

A cadavalorde ay v le corresponden puntode a super ficie. slpues,ascurvas :por ej6mplo,secortan en el punto (¡.o,vo) dc la superficie. l par de números ¡.r, ) se lama



DIFERENCIACION VECTORIAL

t--idcremos un punto P de la superficies cu-qó @¡denadas son riq,rq), como se ndic¿enI t¡¡ra. El reclor Arl Auen el punto P seob-

- derivando r respecto de ¿ manteniendo¡ :@nstante: roi este vector ar/ ¿¿ en 9lEro P, es angente la curva y : yo en dichor@¡o- Análogamente,¿r/Ayen P es un vector¡4Erite a la curva ? : constante ¡o. Comorüos vectores, A¡lAuy arlav, son tangentes,ú .¡ punto P a dos curvas de la superñcie, eúduc€ que también son tangentes la supe¡-

Ar Art¡ en dicho Dunto. Lueso- -: r -' - ou 7t es un

€or normal a S en P.

i

-: -as€n r]seny + acos¡¡s€n i

i-= : a cos .lcos' + 4sen l cosr, -c senvk

Entonces,

i j

-¿senasbnv acos4sent

k

0

4 COS l COSv 4 Sen.¡¡ COSv -4 Sen v

49

¿úca¡ sobre a superficie.Si las amiliasde curvasa : constante v : constante on perp€ndicularesú rr suspuntosde intersección, l sistema oordenado uryilíDeo e lama ortogonql,En el Capítulo7ECrx un estudiomás detalladode las coordenadas uryillneas.

¿r Ar

I: -a! cos¡/ sen¡y i - a2sen ¡ s€n' v ¡ - a, senycos uk

r(presenta n vector norrqala la superficie n un punto cualquiera ¡l, v).

EIvector ormal nitario eobtieneivi<liendof x $ oorsumód"lo,l# * f I, o"aooo.

. ( a,seny si senv > 0v 4'sen' v(sen' + cos'v) : I

1 a'sen y si senr < 0

Luegoson los vectores ormalesunitarios dadospor

+ (cos¿ senv I + s€na senv + cos v k) : * n

La superficie n cuestiónestádefinidapor lasecuaciones : ¿cos r s€nvel : a sen sen y, z : ccos r,de lascualesseobtienex' + y" + z' : ¿'que es a ecuaciónde úna esferade radio a. Como r : an, s€deduceque

n:cos¿senvi + senrsenv +cosrk f - ,4 , !to ' \ i 'Jcs el vector unilario nonnal exterior N la esf€raen el punto (a, ,).

No,tz,_t ,2' r '2 ' i )Eallar Ia €cuacióndel plano tangentea la superficiez:x2+y.enelpunto(1,-1,2), -l* r"'s*¿'--+LlPro¡ru6r l¡5! r l .v . l4Jql ' l ¡Erv¿_¡rJ 'wrrv lrJgulv\r '_r ' ! / 'ñ.1. , .1,1

, tn' t - - t ' ) - t I Seanx:¡.t, y:v,z: a¡ + y¡ las ecuacionesraramétric¿se la superficie. l vectordq posiciód\ú ' I

-ú punto cualquiera de ella es | \.r : y ')k



r : ¡ ¡ i ¡ , j

50 DIFERENCIACION VECTORIAL

af: i+2uk: i+2k. +: i+2¡tk : i -2k en el punto (1,-1,2) , s

ovntonces

ArAu

Del problema 25, la normal n a la superficie on estepunto es

Ar Ar

" :á " 6u:6+ 2k)x( i -2k): -2 i+2i+kEl vector do posicióndcl punto (1, -1,2) es

Ro : i- i * 2k

El v€ctor de posición de un punto genérico del plaoo es

R:¡ i* r i*zk

Como indica la figura, R-Re es perpendiculara |r,luego la ecuación del plano pedido es (R - Ro) ' n : O,o bien, [Gi+r+zk) - (i - j +2k)l .t-2i+2i+k] : 0es decir,-2(x - l) + 2(t + l) * (z*2) : 0, o sea,2x-2y-z:2.

MECANICA

27. Demostrar que la aceleracióna de una partlcula que se mueve a lo largo de una curva en el evelocidad v vieoe dada por

,=*r*4xdtp

siendo T el v€ctor tangente unitario a la curva, N la normal principal y p el radio dc curvatura

Velocidad v : módulo de v multiplicadopor el vector unitario tang€nteT

o bien, v:YT

D€dvando,

DGIprob¡ema 8(¿),

Pof lo tanto,

dT dldt ds

9ar¡=*r*,4I aa d¿

* ="n*la cll,

d/ r * ,1$¡

xuN = 4

=T +:=N

dt =

dt

+

Esto indica que la compon€nte de la acaleración en ta dirección d€ la tangente a la curva esponentesegltn a normál principal es y!/e. Esta última recibeel nombré de aceleración entríblema 12 v€rcmos un caso particular de este que nos ocupa.

2E, Sea el vecto¡ deposición especto e un punto O, de una partfculade masa r y F la fuerzaexsobre a misma; el mom€nto de F resp€ctodo O vien€ dado por M:r x F. Demostrarqsiendo H : t x nñ y

a la velocidad dc lapartfcula.

¡I.I tl ¡I

, l-l

M = TXF

) )Pero ;(rx¿v) = ¡xf ¡rnv)ú dt

¿ rxt( ,r¡v)

esdecir,

,l

r x fi{nt) segúna leyde Newron.

4,^,¿

vxmv = r x;(nv) + 0

u = i rr" r" l = *4¿ at t

Obsérvesoque la fórmula s€puedc aplicar tanto cuando nt s€a const¿ntecomo cuaJrdono lo




un vectorA : A,i + A,l * ,4¡k referido ¿

--rro

cin¿tic¿y es el montcnto dcl fmpctu. La relación expresaque cl momento aplicado es igual

-rlui[del momento cinético f,or unidad de tiempo.

Ed sesogareralde un sistema e, partfculas e masas r,mr,..., mny vwtoresde posición r, rr,. . ., rn

-

d sist€mado fuerzasexterioresR, F¡,,.., F,, el momentocinético esultante sH: b^rr*x

v,¡: t

o,on¡.^. ^,'- ^" - 4!dtaDte es M: Z akX Fryse\

&-l" ' - dt '

de A en un sistemade coordenadasXfZ de ori-O- ¡abiendoque el p¡imer sistemagira con respe{to

a

-rdo,

que se mant¡ene ijo en cl espacio.

b

-!mas

fijo y móvil, res¡rcctiva 1ente,demostrar que

-ür v€ctor (o tal oue

dAt dAt¿;1.= 7; l +a,xA

tT I

ll l4tesentando por D, y D,' los operado¡esderiv¿da sn los sisüemasijo y móvil, respectivament€,dlmos-r¡¡ la equivalencia

D¡ = D, + otx

-

Ea la rotación del primer sisteria respccto del segundo, los vcctores I, j, k varfan con el tiempo. Por lomto, la derivada de A es

--de coordenadas ¡/z de origen O. Su derivada

rnd.r tiempo"" f t + # t * #k.calcular

(r ) * ='#, - *r , *r + A,# + e,¿j+ 4ff' i l r= #[ * ' ,# * n, f , n"#

es d€cir,

{2)

Como i es un vector unitario, di/d, €s perpendicul¿r a i (problerná 9) y, en consecuencia,estásituadorD el plano formado por j y k. Luego,

Análogamente,

aJ + c'k

a¡k + dri

c"i * a¡j

dldl

dtdt

dkdt

(3)

(4)

(t

Derivando.i : 0, seobtiene. $ + ff.i : o.

luego o. : -6t.

Análosamontee .k : o, . dtÜ fi.u: o,v

nero.f i: a¡de l), #.t: c, de(i) ;

d¡ -a¡ ide,k :0, t . f f + aj .* : o

Poro anto,a4: ol+"*, *:o"t-oJ, S:-. . i -" . t

in" # l, t |# l-

*" las erivadaseA¡espectoe




¡4!+tdJ*04!=t_At dt 2d¡ .-3¿, ' l \42- d2As') l + (d,!Ar- dsls)J + (d2A1 ds4

qr,esepuedeponeren la forma

% -d a dr

Ar A" A3

Haciendo d, " =(D!, -ú2=o)2, ú7=o4 el determinantese reduce a

r j I

(D1 (D2 Cü3

A! A2 As

+ ¿c'1'{La magnitud¿, esel vecto¡ elocidadngular elsiste

# I = ¿"r¡nu¿un cl sisternajo

dAl; ' l "

= <lett"uou n el s¡stema óv¡l

D. A = D^ A + ¿rxA = (Dñ +orx)A

de donde se deduce la equivalencia

(ó)

Siendoar = @11+ (D2!pectodel fijo.

Po¡ definición, DIA =

Dra =

De (a).

Df = Dn+rnx.

30. En el problema 29, hallar: (¿) la velocidady (ó) la aceleración espe.cto e dos sistemas e

(a) Seael vectorA del problema29 el vector de posición de la pa¡tlcula.Aplicando la notacdel problema29 ¿) seobtiene,

(1) Drr : (Dn +Grx)r : ,¿ r +.o x r

Pero Dt¡ : yDÍ : velocidadde a partícula €specto el sistema ijo,

D^r : tÚn : yelocidad de la partícula respecto del sist€mamóvil,

o.¡ r : v¿r : velocidaddel sistemamóvil resp€cto el fijo.

Entonc€s/) sepuedeponeren la forma

(2)

o bien,

(J)

f t t l : , tr lñ+@Xf

\ t Í : \Dñ + 1ñ f

. . Obsérvese ue los papeles e los sistomasmóvil y fijo son intercambiables. n efectsid€rarque el sistemamóvil p€rmaneceijo y queel fijo semueve espectode aquel. En eno hay más que cambiarel subíndicenr pot f y a por -@, ya que el s€ntidode rotacióvierte. Haciendo esto en (2) se deduc€

Ytñ: \oÍ- t t Xrr o bien, Yrr l : vr la+o Xr

que coincide con el ¡esultadoanterio¡.




Dlr : aceleraciónde la partícula r€sp€ctodel sistcmañjo,

Dlr : aceleración e la partícula especto el sistemamóvil.

2@ x Dtur+ (Dno) x ¡-l-o x(o x r)

acele¡ación el sistemamóvil respecto el fijo

attt : tdñ + añl| .

53

¡¡

-Tfñ

& la partícularespecto €l sistemañjo es Dfu : Dr(D¡r).AplicandoD/ a los dosmiem-b {L r¡, !'¡.¡¡ndo en cuentaa equivalenciaemostradan el problema 9(ó)rejulta

DADtr) Dr(Dñr+.,t x.): (D,+ox)(D,¡+o xr): D^(Daf+ox¡) +oX (D,r + o x.):

Dz^r D,,(o x r) +o x DDr+o x(o x ¡)Dlr : D2^r 2@x Dñ¡ +(D-or) x r +o x ((,, x r)b-

S.z¡

I res-

aPl^ :

E¡oces."^

t:

an lo que

En ñuchos de los casosque se presentan n la práctic¿,o es un vector constante,es decir, se trata& un movimientode rotaciónuniforme de velocidadaogular

constante,En estascondiciones,Daq, : 0 yt.t : 2<ox D¿l + o X (r, X r) : 2.,t x vñ + o X (G, x ¡)

l,¿ magnitud 20, x tn s€ llama acelercción de Coiolis y o x (.u x r) es la aceleracióncentrlpeta,

Las eyes s Ncwton solo son válidasen el casode s¡srer¿¿sercrales, sdeciqaquellosqueo son ijos,. e¡ movimiento, espectode ot¡o fijo, esr€ctillneoy uniforme. La Tierra no constit¡lyeun sistema Ácr-clal. por lo cual, es necesarioeneren cuenta as fuerzasa que ello da lugar (corioli!, etc.) al efectuarátulos muy precisos.si la masaM de uns partícula€s constante, a segunda ey de Newion adquiercb forma familiar

MD2úr : F -2M(t" x Dnl) - Mla x(o x ¡)l4

ca dónde D' repres€nt"^

dldl e u\ sistemá ligado a la Tiorra y F es la resultante dei sistoma de fuer¿asGalment€aplicada sobre la particula desdeel exterior. Los dos últimos términosdel scgundomiembro& (4) son despreciables en la mayoría de los casosno habrá necesidad e tenerlosen cuánta.

La leoría de la relatividad de Ei¡stein ha modiñcado ¡adicalmente los conceptosde movimiento abso-luto y, como consecuenciade ella, las leyes de Newton están hoy en día en estado de revisión, perfeccio-¡amiento o adaptación.

. . dR\a) I ,

, , . drRro) ZF ' \c)

" , l#l

para¡:0.

Siendo : , ¡ - r j + (27 1) y B:(2f -3) i* f - rk, hal lar

o I o' n¡, { <t" R).G, tA+B , d)* (^ " +lpara, r. sot (a) 6, (ó)?j + 3k,(c) , (d) i+6r+2k

Problemas propuestos

lEndo R: e- t i +t¡ ( t ' + l ) i - tag,k, hal lar

Sot (a) - i - k, (á) i + 21, (d \/1, @) 1/ s

constantes. .Sol,-qn*nr / . r t i + a@cosúrr t ók

llallar la le-yde velocidadesy d€ aceleracionesde una partícula quese muevea lo largo de la curva x : 2 sen 3r,-¡

= 2cos 31, z : 8r. Idem, de los módulos do Ia velo€idady acelcración.5o/ . v : 6 cos3¡ - 6 s€n3t j *8k, ¡ : - l8s€n3f i - 18cos3t i , Iv l : t0, ls l :18 t-

Hallar ef vector unitario tangenteen un punto de la curva x : ct cos@t,y : 4 sen@r,z : b, síeadoa, b, e,



-r'F-----

¿'

) ¡ D¡FE¡RENCIACION VECTORIAL

dSiendo :sen ¡¡l+ coszi + ¡k, B:cos ¿i- sen d- 3k,y C:2i+3j - k, hatlar

¿(Ax

(ü)(:

35.

36. Hallar*".* -#.B) siendo yB funcionese¡ivablese¡. .io/.^ #-#

L'

37. s iendoA(r) :3¡¡ i - ( r+a) t+(¡ i*2tkyB(t :son, i*3e- ' i -3cosrk, f rat tar${ ,1Sor. -30i + l4j + 20k :

3S, Siendo$: 6, i - 24t,+ 4 sen k, hallarA sabiendoueA : 2i + ty +

: -i -

So/. A : (r! -, + 2)i + (l - 2r.I + (f - 4 sen )k

39, Demostrar que r : ¿-t(Cr cos 2t + q s€n 2r), siendo Cr y C' vectoresconstantes,es una solu,ítr )¡

di ferencia l* -r ; +5r:0.

40, Demostrarque la solucióngeneralde a ecuacióndiferencialfr +2"ff + alh :0, sie

tes. es

(a) r: ed(C, ¿ { "'-,' l Crs-y'-"'-or r) si or - a.¡!> 0(á) r: ed(Cr *n 1/ a,-a, t * C.cos y'7Z7 t) si o¡-úrr < O.(c) r : e{¡(C1 + C¡r)si a'- ú¡r : 0. '

siendo Cr y C! vectores arbitrarios constantes.

d2¡ i¡ ¡tz¡ ¡tr d,r41.Resolvera)#-O *- -5r:0,(ó) iV +z *- *r :0,(c) f i +t :0.

So/. (a)r: Cr¿ú C,B-t,(b)t:e-'(q+ Crr), c) : Crco s2f +C'sen2t i

42.ResolverS:*,# : - t . Sol . X: C,cost+ Crsenr, : Crsenr-C¡co

43.Siendo: cos/ i * (3xy zx')i (3x 2y)k, tt^,T,+, +, #, #, a^ AA

S"l. ; : -J, senxyi (3, -4x)¡- 3k,f i : -xsanxt i+3xi-2k,

atl .. ae{ a,A ¿'Aax,

: -y' cos y i - aL ay,:-r 'cosxl i , -Ax ay: -$il : -1xt cos

A'¡14.Siendo : xryz -2x2. ! +xztkyB:2zllyi-x*.¡ltallar -5fo; (A x B) enelp

Sol. 7l * 6j - 6k,

Sor. -4i - 8¡

GEOMETRIA DIFEREI\¡CIAL

47. Hallar (a) el vector unit¿rio tangonteT, (ó) la curvatura 4 (c) la normal principal N' (d) la btorsión z de a cu¡vz x : t - t 13, : t,, z : | + f.13.

,15.SiendoC' y C' vcctor€s onstantes I un escalar onstantc, emostrarqucH : ¿ ¡¡(Cr se

es a sofución e a ccuación iferencialn derivadasarciarc"ff * #

:o.' /

^^. t@<t ' r lc ,4ó. Demostrarque A: '"' ; , siendopoun vector constante,ar y c escalares onsta

satisfacca ecu¿ció" $ *++: + + Esta cuacióneuülizamuchon

( ' I - l ) ¡ -? j+(r r+l)kr r )B:

^/-2(r+ t')




ü c$¡cio visne dada, en función de la longitud de arco s, por las ecuacionesparamétrigas

x: arctags,y: l l2\ /z ln(¡ ' * l ) , z: r -arc tag , ¡r , d\¡

ú,1 r =- 'zr¡

- ( r - ; :_,J 'v¿sr G, f = ;+ @ o="É

¡1 ¡ = f-!-:-..:á"JJ t u¡ p= "';,i,

*=@r- iP*t - ,(9s1+ 4¿2 l\3t2 '

rt ¡ cn la cúbica alabeada : I, y : t,, z : t'

39r4+9r2+1

que la torsión €n el caso de una curva plana gs z : 0.

que el radio de curvatura d€ una curva plaDa dc eeuaciones : f(x), z : 0, es deci¡, rfla curva

,,,|lÚco etplano

/ vieno adopor

o= l\'g'fl"t'

r ¡ :acosr¡ l+ós€nr le lvectordeposic ióndelospr{ l tosdeunacurvay4yóconstantosposi t ivas,l¡ curvatura y el radio dc curvatura de [a misma. Interprüar el casoen que a : á.

ci¡punfe¡encia de radio a y radio de curyatura p : ¿.

qbl- -:; si ¿ : á, la curva dada, que es una elipse,s€ transforma en una - (a'scn'r + b'cos'u)' t ' --

e

xr,$: .o xue as órmulasdc Fr?net-serrct €pu€d€nscribiren a formaf;

: o

Demostrar ue7 = !:!r! on acurva : r(r).- l ixÍ | "

+.*,*I si et parámeto , es a longituddearcor, d€mostrarwe r = 4!-f,!!-jl

(d- ¡/ d; \-

Q. ¡ÉadoQ:r x r, demostrarue <=

Edlar y " en acurva.r - 0-*n0, y: I -cos 0,z :4w¡¡(012).(3 * cosd)cos0/2 + 2'É,r\

seneP91. x:T t , - - ^ (3+cos0)cos0/2 Zsenssen6Jz

t1/ o-¿cosot r: -------------- :-:------12ms0-4

, , -L I

EAllar la to$ión do la curva ¡ :#,

y :1=T'

z : t * ? Razonar la respuesta.

sor. r : 0. La curva cstá situada en el plano x - 3y + 32 : 5.

Demostra¡ que las ecuacion€sdc Ia tangentenormal ptincipal y binormal de la curva r:r(f) ( . el punto t:roron, rcspoctivamcnt€,r : ro + tTs, t : re * tN¿, r : re + rBo, siÉndo un parámctro.

Hallarlas€cuacionesdela(a)tanepnle,(ó)normalprincipaly(c)bi¡ormalalacurva¡:3cosr,/:3sonr,z : 4t en el punto corr€spondientez t : tr,

N.4ds

- - x Byhal laro. ,9o1, ,¡ ,T +,(B

oue la curvatuf¿ do

ü &rivadas con rcsp€cto ,.

ta curva r- d0

vicnedadopor i<=' i:T;t ,

-c" ta que ospunrosl r l

indi-



ortogonalesqueF = 0.

Halla¡ la ecuacióndel plano tangente la sup€rficie : x/ €n el punto (2,3,6)'

ó1.

62,

63.

64.


.sot. ¿)rangente: r : -3 i*4"k+t(- | i' I * )"0"" ' x:-3'v -- ] ' ' , " -

(á) Normal :: -3 i+4r¡+t i ó x : -3 + ,,v : 4",z : o'

(c) Binormar: r : -3 i iaz i+r{* t -*-) 6 x : -3,v :+' + !t , ': }

Hallar las etuacioncsde los planos a) osculador,á) normal, (c) rectificante, la curvax,: i r+r 'enel punto orréspondiénter: l . Sol. (a)v-z + l :0 '(ó)y +

(a) Demostrarque a dif€rencialde a longituddc arco en la superficie : r(a' v) vicnc

ds2 = Edu2 + 2Fdu¿v + c¿t)2

siendor=*.* =,*r ,"

=*.* , ' =$.$ =,$r .

(ó) Demostrarque a condiciónnecesaria suñciente ara queel sistemade coordenad

So

Halla¡ las ecuaciones el plano tangente de la normal a la superfrcie z : x1- y' en eSol. 3x-y -22 : 4t x : 3t ' l 3 ,y : 1 - t ' z : Z-2t

} ,865. Demostrarueel vectorunitarionormala la superfrcier: ¡(¿,v) cs n = t fi{',{EC _ F'

deñnidosen el problema62.

MECAMCA

66 , Una particula €mueve lo largode acurvar:(t '-4f)i +.G' + 40 i + (8r - 3¡¡)klos módulosde las componentei angencial normal de su aceleración n el instante :

So/. Tangencial,6; normal, ?,1.

67. Demostrarque si unaparticu¡a eco[e unacuryacon ufiavelocidad y una aceleración. !

de la trayectoriaes Q --r,^ .1

6E. Un sólido os atraido hacia un punto fijo O con una fuerzaF : f(r)¡,llamada fuerzacede posicióndel sólido respecto e O. Demostrarque r x v : h' siendoh un vector conel mom€nto cinéticoes constante.

69. Demo3trar que el vector aceleraciónde una partícula que semueve a lo larSo de una cusituado siempreen el plano osculador'

70, (a) Hallar la aceleración n coordenadas olares p,{) de una particulaque se fuev€

iól ¿Cuáles on as componentes e a acéleración aralelay perpendicular q?

sol . a) = l<i- pó'¡"o"ó - @ó* zpó1..nÓl, [<i-pó' ' ¡ n{ * 1pP zbólco.Ó)t

$\' ;

- Pó2, Pd" zbó



15" Capítulo4

Operociones iferenciolesGrsdiente, divergencio y rolocionol

-EIADOR

DIFERENCIAL YECTORIAL NABLA. Se representapor V y sedefine por

v = 3t * 3¡ * pr =rP * l+- - 13ot ot oz o, ot o2

vectorial goz¿de propiedadesanálogasa las de los vectoresordinarios y es de gran utilidad¡lkación de tres [ragnitudes muy importantes en la práctica denominadasgradlente,divergencia

El operador V se e conoce más comrlnmentecon el nombre de operadotnabla,

GfADIENTE. Sea a función 4{x, y, z\ definida y deñable en cada uno de los puntos (x, y, z) decirta región del espacio({ deñne un campo escalar derivable). El gradiente de {, representado

o grad {, viele dado por

vo = <3¡ 3¡ * 3*ro = Pi * F¡ * ?óru oy oz or oy óz

que V{ define un campo vectorial,

l: componente e V{ en a direcciónde un vectorunitario a es guala V{ , ry sellamr derbadade Qdirecciónde a, o bien, derivadade ó segúns.

DMRGENCIA. Sea V(.r, y, z) : Ytl * Vrl + ytk una función definida y derivable en cada unopuntos .x, , z) de una cierta egióndel espacioV deñneun campovectorialderivable).

La divergencia e V, representadaor V'V o div V, vienedad¿por

V.v = ta¿t* f , i , *v\ . ru, t ,u. t t 4r t

9!,?¡

I ¿v2 + dv37y 7z

Obsérvcscr rnalogla oncl p¡oducto scalar 'B : APL + AzB. 1"8r. Asimismo 'V + V'V.

ROTACIONAL. Si Y(.r,¡, z) es un c¡mpo vectorial derivable,el rotacional de V, representadoV x V o rot V, vienedadopor

+ 3r)x( lz . t + V-t + Y.\ \o2xv =,*, .* ,

l t J

-1. a la' tulv' l,

I

o6;Y.



>*---- ' - '

i

* , t \t ' 'G..\

GRADIENTE, DIVERCENCIA Y ROTACIONAL

-t l

-lo' l j *v"l

-* ' " . ,* -* , t %toy

Obsérvese ueen el desarrollodel determinante,os oPeradores$Zndeben reced

FORMULAS EN LAS QUE INTERYIENE EL OPERADOR V. Sean A y B dos furiales derivablesy { y r¿ uncionesescalares erivablesen todos los puntos(r, /, z) deespacio, n estas ondiciones,

!o

d

ú

' ¿v"'oy

aloY

ll^VI

2l

.¿v.

a7rv1

a3r

v,

a7z

vi -

aoy

i

' t "n./ \ \ ú11.

/ , t" tz.

n

t

I .

2.

3.

5.

7.

V@tr / , ) = V{ +V{,obien, srad(é+ry')= cradÓ + sradú

V.(n+S) = V.t +V.B , o bien, div(A+B) = divA + divB

Vx(l+¡) = VxA + VxB , o bien, rot(A+B) = t'ot A + rot B

V.<dal=(Vó).a+d(V.a)Vx(óA) = (Vó)xA + @1VxA7

V.(axB) = B.(Vxa) - a.(VxB)

Vx (ax B) = (B.V)A - B(V.A) - (a 'V)B + a(V'B)

V(a.s) = (B'V)a + (A.V)B + Bx(Vxa) + ax(VxB)

v.1v4¡ v"6 = ^t4- {4 . {4 7x2 dy' 722

-2?2¡ '¡ .2siendoV'-f7

+#

.;?

el operalor eLaplace.

V x (Vó) = 0 . El rotacionat cl gradiente e / escero.

V. (V x A) = O. La divergenciael rotacional e A escero.

Vx(Vx¡) = VfV.a l - V'e

-69.

En las órmula9-12, esupone ue { y A tiene4 egundaserivadasarcialesontin

INYARIANZA. Conside¡emos os sistenasde coordenadasectangular€se referen(figuraadjunta) con el mismo origenO pero girado uno con resp€cto l otro'

t

I

Las coordenadas e un mismopunto P del es-pacioson (x, y, z) y (x' y' z') respecto e cadaunode los sist€mas.La,secuaciones e transformacióndeunascoordenadasn otrasson

l ¡x + lpy + loz

l21x+Ioy+lr"z

\1x+\ry+1""¿

er rdonde *, j, k : l, 2, 3 representanos cosqnosdirectores e os ejesx'. y! y z' respecto e n, l y z

( ' , t , , )

(.¡



CRAD¡ENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

5i los origenesde ambossistemas e coordenadaso coinciden,as ecuacionese trans_

x'= Itx +

T'= lnr +

zt = lstr 1-

lpY + lsz

I22y + l,a z

le f + l¡¡z

*ai

,oL+4

I'nt1ñ

rul , u2

l /

yx'

esioi) las coordenadasel o¡igenO del sistema yz r.sqcto delx,y,z,.

nes de.transformación,1)definen.una otaciónpura y las ecuaciones2) una rotación3l):li-i"*. t¿s generalde un sólido tgidoes una iastaciOneluiaa Oeuna rotación.mación (1) se denomina rambién trunErormación rtogonal.una transfórrnaciónltñ;iü

* tadsformación afín.

:l^11y::9i "::it1de, unro,o campo scalar G,y,"), particularizadan un punto

A,i:1?^1191":l:-d",1":.g3lg.',"di'¡r¡nlqo. sí.po;;je;p6.i;;;;;;;;; ffi;;1.j":-"::lttotfrr, z)o,(x',,'.. ')delmismo,i o;,"dy",i?i;,;;t;ñ;;;ffi;;

!T,f d" coordenad¿sx;y, z) y.g,(x^,, ,, z,) la temperaru-a lnlrnó iúnto á"-" , : " . \ : . f ¡¿ l ! 9\x,y,z r la remperatura et mismo punto de coordena-.t . : l respecto de otro sistema de referencia, ó(x, y, z\ -_ ,f,(r' . l' , z') nécesariamenle.Si ieú(t,.y,)-: g'(x',y',2'\estandoetacionaáal'i,,i'y r'';: '' *

ffit.iltTiltt:;::tación (1) o (2), la función

óLx,y, z't

es tn invarianti resrr.r:í.,¿^" ¡nr,o r¡qncfnm¡¡ix- D^.l)^o (2.), a.función glx,y, z)

es tn invarianti resf*io d; dicñtt;ansformación.por!_+,rl,f z2es nvarianreespectoe a transformaciónárotación1),ya q;; ;;+ t;+ "" l t + z ' t ,

Sogamente, una función vectorial de punto, o campo vectorial A(x, y, z) es vrL nva anteh¡- ;)

-

A'(x' , y' , z'). Paraello es necesano ue

A\(x,,y,z)i + A2@,y,2)i + AsQ,y,z')tr,= A:e',,t',i) + Alrfr',y',lli'+ l',1x,,¡,t¡tt'

cepltulos 7 y 8 veremos ransformacionesmás generales ampliaremos os conccptos¿nteriores.r puede.demoslrarproblema l) que et gradiente e un campoescalarnvariante.. un *^od-il inva¡iante especto e as ransformacione(./)o (2).Análopmente, a ¿iuergen"ia e r;añí"|rrmpo vcctorial nvarianteson nvariantes especto e dicbal transformacionÁ. .a

--

Proble¡nas resueltos

bdo d(x,r,z) : 3xzy y'2,, hatlar V ó (o glad d) en el punto (1, -2, -l).

vO = t3- i r5a j + !k\G,ry-7", ,¡, oy oz

= t*o" 'y-y", ' ' ) + i f to lr -13,") + r ,$o, ' r - t" , r l

= 6' r i + (s'2 - 3f z2\i - 2y 3 l

6(1)(-2) i + {¡(t)"-s(-z) '(- l) 'h - 2(-2)3(- l ) r

-12i-9 j- l6k



60 CRADIENTE,DIVERGENCIA ROTACIONAL

2. D€mostr¿rque (o) v(F + d) : VF + Vc, (ó) V(FC): .FVG + G VFsiendo ¡cyC funciovablesdex,¡yz.

(o)V(r+G) rP¡rP¡*3¡ lr ¡ rclo, o.t oz

; )l ; ; (r+c) + Jú(F+G)

rS * rS. ¡$, Ot Ot

rP*¡$ruFox Oy oz

( l+ +l+ +k+)F +Oz Oy Oz

(¿)V(FG) rPr *-d ¡ . pr , l rnclot oy az

= P,"" t , + SrFcl¡ + plrc¡hox oy oz

. r ¡1G cPr¡ * (F++cg)rQt Ot Oy Oy

= ¡rSi-F¡-Frr¡ + c1$¡+$¡o, oy oz ot ol

+ I?:

(F+C)

*¡$**S*rFAj oz oz

)¡ ). ).+ i - + i- + k-

ot ay oz

rr3*¡P*¡3lc = v¡Oz Oy oz

+Vc

r¡S * cPr¡z oz

*$rr = rVc+ cVF

3, HallarVg siendo ¿) ó = fn I r l,

(a) t=rl+yt +zk.Entoncesr l=ig = li tnp2+y2 ,2 ¡

(ó)é=l

y'*+y2+"2 y ó=Ln

)

l r l = irn(r ' ry '*" ' \ .

u! {a' r' ' "'r"/

= á{rfr r^(x2r2 22, l}n{, ' . ty'rr") + t& n@'+y'+""\}

!J, 2' 2y 2z t xi,Jl:4= z\r ; ;+-. /4..2 ' l r \7+2,, x rrrr-r tr" I

=Zry4/,

r¿ lVe = Vtlt = Vtr/_ ,¡ = P{1,2 rt " ¿¡-tht,Vx_+y-+z

1 n-2¿r jemostrat que Yr = nr r.

tt 'i r--

---- -; n

¡

= t&e. *yr "")- /z * 1fi¡"2 "t r")- /' , x!@z+rz+"2\-/2

= | I- l ¡"2+yz+,") ' "h aj + 1\- !62+y2+zr)-" /"zyj + x{-}1,2+y2+"

_ -zl -yJ-¿k _ _r-G2 +,/2 + 22\312

-to

V G2 +y2 + z\n/2

* i ] {p " *y, *"r ¡" / t } *

1,



GRADIENTE, IVERGENCIA ROTACIONAL

a:.+?-12+z\r/2-1uj + ! l lez +rz, * . ,n¡z, 4j + ¡{ \ ¡ f +y"r"")n/r- ,2,}

. ; - ,2.22\ ' t /2' ! kr + t! + zk)

t : , '9-7, = nrn-' , 4

lb qc si r : rr& sicndo r! un vecto¡ unitario en la dirección de r, entoncesVr¡ : ,r' -t ¡r.

qE V { es un vectorperpendicular la superficio (xy,z) : c, siendoc una consnnrc,

¡: Á * yi + zk el vcctor de posición de un punto genérico P(¡,Jr,z) de la superñcie. Entonc€s dr*, - dzl ..At^situado en el plano tangsnte a la superficie en P.

Ja. ch :0 de forma que V ó esperpendicular dr y, por lo tanto, a la superficie.

Ector unitario norm¿l a Ia superficie 'y l2xz : 4 en el punto (2, -2,3).

bic =** -#*

*#0" = o,ouientSr- f f r

*$ur.r r , t +dy! ¿zk) o

3t :- 2xz) : (ZxyJ 2z)l f ¡'J * 2¡k : -1i + 4i * 4k en el punto(2,-2,3).

lrÉorunitarionormalalasuperñcie = -{l!$. = -1, *

"

*'r.r 'e2f *G'f

-Gf 3 3 3

u¡itario normal el*t- ?.| - I f. a" fo misma di¡eccióny de sentidocontrarioqueel

h ecuacióndol plano tangenlea la superficie2xz. -3xy - 4x : 7 en el punto (1,-1, 2).

i (2xz' - 3xy - 4x\ : (/z' - 3v - 4) i - 3x I I 4xz ka la superñcie ¡rel punto (l, -1, 2) es 7i - ¡j + Af.

I¡ ccuaciónde un plano que pasapor un punto cuyo vectorde posiciónes ro y es pefpendicularI N es(¡ - ro) . N : 0. (C¿p. 2, Prob. 18.) Luego la ecuaciónpedidaes

ala

(xl + r l + zk)-( t - j + 2k) l ' (7 i - 3 j * 8k) 6

7(x r') 3r¿ + 1)+ 8(z-2) :0 .

a(x, y, z, y í(x * /x,y*Ay,z!/z) las temperaturasen dos puntos muy próximos P(x,y,z) yAx, y{ Ay, z* Azl de una cierta región del espacio.

Lbrpretar flsicamentea magnitud y - é(x+ ¿x' y+ Áv'Z! lzJ - óG'v'z)siendo sla distan-

c¡ ent¡e ospuntosP y C.

Ealfar lim 4:!! e interDretarloisicamente.¿r_,¡ as ats

- dó .. druemosüar uc -¿: ae'A ,

Como ó es a variacióndetomp€ratura ntre ospuntosP y B, y /s es a distanciaentredichospuntos,¿ó;:

repres€ntaa variación etemperaturaor unidadde distancia n a di¡ección sentido e P a 0.



. . Aó . . aó4, aó& ?ó4,AToG = A%tE ' i iE 'á;&

9. Demostrarquc a máxi¡u va¡i¡ción do L dBd€cir, ¡ derivad¿ fu¡ccion¡lnáxin¡, c i¡rny ti@o lugar co la dfurcciül do Gstowtor.

¿t*Sogimlproblcma(c),# : rl'fr csh proi,eeiónÉVro L

máximacua¡do V I v f; tcnea e nisoe dtuccción. uego cl mÁrimo vslot * * * p

ción do Vl y su móduloos I Vl l.

10, Hallar la derivad¿ diroccional da ó - xlz * 4xz' qt el punto (1, -2, -l) y €ú la dlrc2l-t-2k.

j ó : 9(x'yz * 4xz) : (Zryz + 4z)l + x'zi * (¡? | 8¡:)t: 8l - t - 10Lon ol puntoO, -2, -l).

El vectoru¡itcrio Go a dircccióndc 2l - t - t es

l=

La derimdapodfula

c

¿ód, ¡cpros€nt¡ a v¡riación ds tmpcra¡¡ra con rcspcctoa [¡ dicb¡cb rl punt

sentfulo aci¿O, S6 dmomin¿ taú¡bldfl dertvafu erccciotul dc í

GRADIENTE, DTVERGENCIA Y ROTACIONAL

(ó) S€g¡tnsc $tudis en dlculo diferencial,

Aó = +Ar + ir Ay + +A¿ + infinitésimoscordon uporior &,$Orúr 'Oa

Por lo tanto,

o bien,aóqf

aé<E

dó

ds

dy @dzd"

tE; i]

dx;+d3

vo.+.¿a

dt dtA osutr voctor u¡itario, VC' ¿ es la compoocntsdo Vl oú¡ ¿ dirce

Como c6tevalor€spositivo, Caumcolsen dicha dirección.

ll. (a) Halla¡ la di¡ecciónsog¡n a cua¡osmáxima a deriv¿dade a funclón C- rr y u¡ en(á) ¿Cu¿tes el módulo do ostevalor máximo?

vl : v(¡!z) - Lryz'l I x'z'| * SxUz'L: --4i -,{ + l2l Gn l punto(2, ,-f).

Segúa l problcma9,

v{.r = (sr-J-rol) .ér-}r-rzr l€ -+-+ - +

,-, ¿ó _ aód, . dó¿f . d4.¿z .aó. aó 4 d, dt d" )d" 6;d"*qi *Éd, = 6;t+6t+t ' r ) ' ( i r+-t t+'Er)

Como

unit¿rio

=fr 1t-ár-5r

+ .



L

-rirda

cs máxima cn

flo dc €stc má¡ir¡o

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

la dirección C : -4t-4t * l2k,as Y-6:1@lp¡llj2¡ :lne : n,zt.

tLlo

d {ogu.lo ue ornan assuperñcies'*r'* z.:9 y z: x' +),r_3 enotpunto 2,_1,2).

E irüo que orman assuperñcics nel puntoescl quc forman asnormales lassuperficiesn dicho

l¡ uoal ¿ x' + y, + z. : 9 cn ol punto (¿ -1, 2) c.3

V{r: V(¡ ' ly ' t z ' ) : 2x + 2y + 22 : 4l 2J+4t

l¡ oorm¿l z: x. I yr-3, o bien, x' y.-z :3 cn€lpuntoe,_1,2\ es

VC¡ : V(xr+ y,-z) : 2xl *2yl -L : 4¡-2r-k

(Y¿r) .(V CJ llV ó, I lV dr ! co¡i, siendodcl ángulo redido.Luego

({r 2r+ 4L) 4i 21-Lr : l4¡_2j+ 4L l4t_2!_L tcos0

16+4_4 : /1a¡rT@irT1a¡ lr(4¡r-@rT¡]I cos¿- t6 s\/A"

:lñ

: --63- : 0,5E19; l ángulo gudo s 0 : a¡scos0,5819 54o35,.

l-h disranciadesdcun nqqto$o- (a, á_,) a otro cualquie¡a (¡, /, z). Demostrareuc vf, ¿5 ¡¡ryccle¡E cfl la du€ccióhy scntÍdodc AP : R.

lEt¿y rp son los v€ctorcs c posicióa a|]- b!I ct y ¡l l f i +zkde A y p respectivamente

ffirT":t-., : (x-a)l +Cy-ó)j * (z-c) L,dsformaquexy'[-l;J$= 6¡.1-[:J¡,

v¡r v(y'G-¿FTT=D;+(¿=¡1r Ector uritario en l¿ diroccióny sentidode R,

t u¡ punto genérico dc una clipsc cuyos focos son lo3 puntos A y B, coÍp so ropr€scntacn la ñcura-Bl¡ar que las r€ctas,lP y '8P forman ángulos igualcscon la t¿ngentea la otips€cn ci punto p.

ScanRr : AIt y & : BP los vcctores ueuncn, csp€c-mtg los focos y .Bconcl puntoP de a olipsoy T ol

tang8nteunitario a la olipsc on dicho punto.

Como la clipso es cl lugar g3ométdco dc los puntos p

suma dc distancias a los dos focos fijos zf y I escons-,, l¡ ocuación dc dicha curva ca Rr + & : r.

Scaúnol problema5, V(& + ¡J cs normsl a la clipso,r [V(Xr+ n )1 T : 0, cato s, V&). T : -(VXJ .T.

Como VrRry V& son vectorosunit¿rios en las direc-dc Rr y Rh respectivamentc,problem¿ 3), ol cosono

Ri

ü ángulo ormadopor V& y T os gualal coseno el ángulohsdo por VXr y -T y, po¡ lo tanto,dichos ngulos on

-lcs._ El probl€ña admitc una intcrpretación fftica, Podemos ir¡¡gin¡¡q3 quc so trat¡ dc rayos luminosos. & ondas sonor¿squc pafcn dc I, por cjr:mplo, y quo al llcgar a la elipse se reflcjan pasan-do or B.

(¡-a) l f (y-á) l *(z-c)k(x--q>'+bt-b). + (z- cf



---

GRADIENTE. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

DIVERGENCIA

15. Siendo A = r2z l - 4t"'! + ry2zl, hallarV.A (div. A) en cl punto (l, -1, l).

v.e = r$r- $r

* $.1. lx2zr zysz2+ xy2zr¡

= ?a+¡ * P<-u"*> ?eyo,\O, Of ot

= zt z - 6y222 *.y2 = 2q¡'¡11¡ 6(-1)2(1)2 (t)<-rf = -3 en(1

t6. sierido = L""y'"o (c) H¿lhrV'Vd (diverldC).^,12 .\2

(ó) DemostrarueV.9ó=9'ó, siendoV' =# - # - #

el operado

(¿) Vó = | ? efy2"a\ + t ? eéfAt + | !@sf 4',dzü-dz

= &212¿o + 4rty"t I + g"3y2"31

Zr * 3¡, ?t). (uny'"o + 4xsrza! gxs!2z'tt)u€go v'v9 = (; zot oz

= ! 6"\",.1 + J 1l/7.n¡ * 9re/1,"1a" '- ' 4 ' 7z '= L?,2r2¿1 + qr3z4 + 24rs12"2

) ) ) A.A ¡.^ a.A(ó)V.Vé = 1l I + -Y¡ + rl . 1{Ll + !¡ + {f . r¡

o, oy oz oz oy o2

a aó ¿ aó a ¿ó a"ó ¿"ó ¿'ó?¡' E¡ ' 7y'7y ' 2z'72 ' 7r2 7y" 722

= 13* !=,!=,,ó = V"Oü dt' dz'

1?. Demostrar ue Vtf ll = o.

v"111 ,4-4*É-, , - - -1' - \ ¿x2 U2 dz, ' \ /F+r2+ 2'

.3-, 1 ,,¿;/, \ \?'

d, I'¿'2'!Q;/l/'

=!F'+f

+?)'t/" = -'(,2 +r2+'2)-sh

={Í-,

1"2 y' +"t¡-shf

= 3st1f +,f +*f6/2 - 1tz+rz 1"27-s/22.t- ! ' ' f

(r2+ 12 + 22\6/

Análoganente,




?", l . , = 4' - r t - i . , ? ' , I , -222-¡2-12

q'y'r2+f2+22'@2 ,2 +22)6y'2 ' d22'y'r2+12+22'

@2 !2 +.\*

^212 12

lhndo, r - * ¿* * --9--r-==-!-

I = o.tJ{ q' óz' y'r2 +t2 +¿2

I¡ cq¡ación Y'ó = O eellañr, ecuación de Laptace.* dr9d¡uequo C : l/r cs un¿ solución dc cst¿

65

)(: (d) V.(A+B) = V.A + V.BY (ó)v. (óA)= (vél .e + é(V.a).

¡r A = ,{1t + A2t + asl, B = 811 + 82t + 83t.

E¡ronces.(¡+¡l = t$i *$t

*$rl

. [r4*4¡r + (4+B)t+ 1,r"+8")rJ

=

5;(4+81)

-zU(4+B)

É14*41¿a, aA" aa" aB. ¿8"=-=-*r-<.r- ¡ - f=- : f - - - r

O, Ot Oz Ox Oy

= tf t +üJ

+;;r) .( ,{1r

+r2l+4r)

3&?:

I-{o^) = V.(eAl +óAd

+ó/ry3r¡)

^/ *,*n¡ +

&@A"\fr<ót"t/aó . ¿A^ aó . dA^*Ar

* a ¿; 'TAr ' QÉ *

pn,*p-^.*pr" * or**x, oy oz ot

,Pt . P, *p*¡ .1r , , a2t+, . , r \ot oy o2

1V¿;.e+

@1V.e1

* <$t *$r

* $tl.<r,t+B2t+4"r)

+air¡.1t¡

+e! + Asli)

= V.e + V.¡

aó ,¿A-

-:/s + 9-<r

?,t, * ?,{".,4 2z'

))+ {1 i t+i ¡

or o1

Sean@=r-o"

A : r €n ol rssult¿dodelprobl€ria 18(á).

EatoncesV.(¡-3r) = (Vr-").r + 1r-3¡V.r

= - 3¡ 6¡) i- + 3¡-3 = 0 ta.¡úendo ncu€nt! cl probleo¿,t,



t-- ---

66 GRADIENTE, DWERGENCIA Y ROTACIONAL

20. Demostrar ue Y-QYV -VVU\ = UfV - V V'U.

De l problema 8(ó),siendoó: U y ¡: Yv ,g.tuYvl = lVy¡.1Vr¡+ u(Y.Yv¡ = 1Yu¡.qYv¡ ug2v

CambiandoJ porV seobtieneV.ltzVul = tVyl.fVUi + Vi't).

Restando, .gugv¡ V.trVul = V.eVv -vVU\= (Vul.rVr l * UY2V lqYv¡ '1Yu¡= uV"v - v Y'u

2t. Soay(¡, /, z) la velocidadde un punto cualquierade un ñuido. Demostrarquo el volumen dpor unidad de volumen y d6 tiempo a través de las superñcies de un paralelepípedo sleen el punto P(¡, /, z) y aristasparalelasa los ejes coordenados, de dimensiones/x, Ay, /2,ximadamentg por div v : V.v.

R€firiéndonos a la figu¡a, se tiene,

componente x de la velocidad y en P

I

Icomponcnte ¡ de y cn el centro de ¡¿ cara AFED : v, - ! * Z-,

^oro*.o '1 2v-

componente doy en el cenho de acar¿C.ilfCB u,+ i fiAx a?tox.

Por o tanto, (1)votumende fluido queatravi€sa4FEDpor unidadde tiemp"

: <",- |

(2)volumendc fluidoqueatnviesa G¡ICBpor unidadde tiemp" : (r,++ f

IncrerDsntoe volumenpor unidadde iompo en la dirección : (2)-(1)

Análogamente,ncremcntode volumenpor unidadde tiempo on la direcrióny :ff

incrementoe volumen or unidadde tiempoen a dírección": ff z, z

El ioc¡ernto total d€ volumenpor unidad de volumeny de tiempo es

lx ly lz:diYv:V.v



GRADIENTE,DIVERGENCIAY ROTACIONAL

Eftado €s exacto únicamentg en el límite, es decir, cuando el paralelepípedos€ considora cada vezt .ño tend¡endohacia ol punto ¿ o lo que es igual, cuando A¡, ly y Áz tiendena cero. Si no hay

6?

o tend¡endohacia ol punto ¿ o lo que es igual, cuando A¡, ly y Áz tiendena cero. Si no hayde fluido en punto alguno se verincaque V .v

- 0. Esta €cuación ecibeel nombre de ecuaciónde un fluido incompresible.Como no se origina ni desapareceluido en ningúnpunto, dircmos

aa¡t€n fu€ntes ni sumid€ros.Un vector v o un campo vectorial de divergencia nula * llaf a solerroidql-

la constantea de forma que el vector v : (¡ * 3y) i + (t-Zzli + (¡ + ¿z)k seasol€noidal.

"u) A I A \. \'

Un ve4tor V es sol€noidalsi su divergencia s cero (problema2l). --.-{*^"-J-(--) \r\', 'i '

V"V "

- l = ¡zs i - fu"y" ! + zyzah,,bal larVxA(o rot A) en el punto 1, .1, ).

V'e = t$i- f , r 'S*t

x(xzsr 24rzl+ 2yz4r\

l

¿dr

3

l+@"1 - !<-23y"¡ l t + l i1rz3¡Oy oz oz

(2za + ?j2!)i + 3,22 - 4tyzk = 3t

- +t2r"\lr ,* ,-*r"r- $t '*r l t

+ 4¡ st (1i-1, 1)

ffudo A: x2 y - 2xzl + 2yzk, hzllat rotrotA.

rotrotA: Vx qVx e¡

= Vx = Yx lgvt+22y1 (t2+2zl t)

lido quc

rtal dc

'dado,

ax)

Áx\ Ay

av,=:' Ax

AyZz

j

aly

-2"'y "

t

a&zyr"

IJ I

¿a¿?¡ ¿y 7z

*y - 2.xz 2!,

*,,,oa'"ra,r",Qll'3 t ¡ r

I

aE¡

T

aé"

-u" - 2"

J

a7y

0

Vx(A+B) = VxA +VxBVx(óA) = (Ve)

"A+ é(VxA).

= (zr+2)t




(a) S€anA = A1I+A2t r l3k, B = BJ+82! +Bsk, Etrtonces:

vx (A+B) = r$ r *f,i - a3nl

x [(,{r+81)r (A2+B)t (,{s+as)k]

j

a

4Ar+Bt Az+8, As+Bo

ti(i{"+8") - : (A"+B"\JIot - óz ' '

* [J1,r,na,¡Ptr"*at]¡oz - - or - "

+ L":,<,tr+sSü

(,

*t , . r*- l ! t *or ó, óy

= f4! -dA'1,

' 194:oy Az dz

* fE& _ atr l , * ra8l _ a83r, ,dB"'ar -

¿, ' ' ' ta,a,t ' ' L¡ ;--a

= V*¡ + Vxn

1a¡ x1óe¡ = Y x qgArt+ óA2,+ ó4k)

óA, óa, óA.

tfi<o+t$,oAt, + t]@e,t-Sró+r]i

tlo+,

tó+.!n"-oY-of ó, dz

az óz dt

o tr* - *r, * 134^y óz d¿

* [rP¿"Pr"r,oy oz

tJ¿ó aéEz ¿y

Ar A2

k

¿

¿,

¡

a

a,

J}

aaa/ ¿"

l

¿a"

= SlVxe¡ +l

aó¿"

\L.-

= ó(Vx A) + (Vél' e.



GRADIENTE, D¡VERGENCIA Y ROTACIONAL

V.lAx r¡ sabiendo ue Vx A = 0.

h . l = l i t + A2t + Asl , | = t l + yt + zL.

baxr=

tJt

Ar A2 As

x lz

69

V.1l r r¡ =

¡¡ V ' 1V6¡)

v

el V'(Vx l = V .

= (zA2- !Ae\l +

fi(zAz - rAs\ +

¿A " ¿A"z --- - /--

Ot Ot

¿a" ¿A., ( - - =-) +

o! oz

[ r l + ¡J + rI] '

r . (Vx A) = r .

aa7r atAL A2

¿A" ¿A, a,{. ¿A-+ r -{- - .=- + t -<- - ¡=-et o1 oz oz

¿A, da" ¿A" a,t.t ( :{ i - <=) + z(=i - - - - :)

oz ot ot o!

r ,¿h ¿A2. , .dh ¿As. . ,¿A2 ?¡,t(-- - =-) l + (=i -

--:)J

+ {=-= - =-ot 02 oa o, óx ot

rot A. Si VxA=¡"¡

r€sult¿do€s cero.

(xAs- zATll + (fAt - ¡.A'.\ l

f,ot"-"^,t+ !|t,- 't,t

¡a7z

as

x(+t+=,O, Oy

(rotera;\\=0),

\ ,,,

*p. l

v .Q\f \-)

(ó) V.(VxA) =0 (divrotA zó).

+(}tn _ é,t,a, d1

d ,¿a2

-r=--oz oz

)rl

I

d

¿"aé?¿

l ,

7r ¿,aó aóir ¿r

.a aó. a ¿ó' . .a aó a aó, .e arÁ a A.ñ.= L+(-) - +(+) l r + L+(+) - + (=)J, + [ :(+) - : (=) l ro! oz oz o! oz ot ot oz ó, óy (, ót

12 ,^2 ,

n2, \2 ,-2 , ^2= (:g - j4rt * 1=!f- 39r¡ * 1.j€ - 39r¡ = o

Oy Oz Oz Oy Oz Oa, Ox Oz dx (, Ol dt

Toni€ndo que C tiene segundasdo¡ivadasparcialescontinuas, con lo cual-clord€n de a derivacióncs ndifc-

-r|G,

)rl

7t,4,

v. t r* - *r rOf Oa

AA,oz

a .at1qd z

¿a"-É)¡

?, iu.-E'a/. ¿a. -a ------=- ----a \ +?r 'E7 ?¡ '



/ - - -

70 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

12 _-2 . -2 ^2 ^2Aa ó4 " dA, óA- dA-

¿r ar, ?¡ ?z ¿y¿, }1 ?r ?z ?r

\2,o A.

?"8suponiendoque A tienescgundas erivadasparciales ontinuas.

Obsérvese a semejanza entre el rosultado anterior y cl de (C x Cr) : (C X C) m : 0escalaryC' (C ¡ A) : (C x C)'A :0.

28. Hallar rot (r/(¡)) siendo/(r) derivable.

rot (; /(¡)) = V x (¡ /(¡))

Vx (x/ ( r ) f + t IO) l + z l ( t ) l \

rl(t) t lO\ z f(,',

¡ f ^ Í >f >t ) f >r= (zl- l+) l * ( '+-¿+)J + (/ : : - ' :1)Loy oz oz o7. ot oy

e,,ofl =,9.¡,$r{}c.a;p, =+,4,",,,=

-:.4n6¡o*n"n

f 'v f 'z f 'z I 'x l ' , Por o anto, resul tados, ( ,+-t l l t + ("+ - "+\ t

+ (f t - -- :- '

29 . Demostrar ue V x 1V x ¡¡ =

tJr

aaa?¡472

'A) .

Vx 1Vx¡¡ = !¡

= Vt

- v'n + v(v

jL

¿a7y 7"

A2 Ag

- T')r *óz

I

a7z

| ,¿Asol *-1! , , . r* -1 lrrr l

02 ot ot ot

;'

¿ ,AAo ?¡, , a . a,{1 E,{ . . . ,E7'E ¿y' ?, '?" Zx"'

. f3,?4-?&,, - ?, !4"-! ,e ' ,1,-?r '?7 E¿ ?r 'D" dy" '

j

aly

I

a?¡

7A,¿z

dA, 7A"¿" 7z

I

a?z

éA" éA"ot oy

I tl f r

¡+

. \ iü

. r3,* - !4-" , 3,* - * ,1.t Oz O, Oj Ol dz




, -"+"#,," ,* fuu,*-*, .. ,{*,fu"^r, ,!,.#r,, - ,34.,.,*"r,

,-#-*-#,,.,- 'S$,,,,$-*-".4,,,*.*,*,, ,$ *-*,,,,*',*,*,,-2

a2 12

- r*. *+,+

#\(A;t+ A2! Asr)

, ' * ,# *.* , - E3.*-"#,*, . * ,* "#."#,

-v"e* v1$ -.* . * ,x ol oz

= -V'e + V(V.r)

quiero simplificar la escritura, se puedeoperar solaÍronte con la componente i y d€ducir luego las otrast¡ smcmalt.

El resultado también se exp¡Esacono c¡r el problom¿ 47(a) del Cap. 2, de la forma siguienG:

r¡ l ax (Bxc) = B(A'c) - (A'B)c

Li : ldo A=3=!y

¿=¡,Vx ¡px¡¡ = VrV.r l - 1V.V¡r= VlV'r¡ - fr

tEveso que la fórmula (1) so iene que escribir de forma que los op€radores A y B p¡ecedanal op€rando C

¡odo v =arx¡, d€mosüarqu6 ¿¡ = | rotv siendo ,, un vcctor constante.

rotr = Vx v\= V x (¿rxr)

"'i' ; '-- i t f1<,t2"@sy\i + (.¿st -@tzr! + (oú -@2'\lf

r ¡ t

? ó-:-

?¡ dy éz

@2 2 - QA I Q)gt - (D!z O)Lf - a¿2t

-2(<D1l + (¿2t + .¿slf,'t = 20, .




Por lo tanto,o: ¡V x Y: l rotv.

rotacional o de tóúices.

El ¡otacional de un campo vectorial confierc ¿ éste propiedades dc una rotación' como

cup.?.ii

"iáñpá-rüiüñno.

"iaJ .to"idados €unnuidoerl movimicnto,orci€npl

Dalerasque se sirúeen ¿iwrsos puntás del mismó' tiende a girar en las reSioncsen las qu€ rot F'". ri tiii':'o no hay rotación v ii"".pJFé ¿.n orruú lrrotscional'Un campono imota

Anii losam€nte,x (Vxn) = o.' ,* , =$<vxo

=*.* ' " -#

4

pe¡eVx Vxü) - fn *yÑ1at = -fn. Lucgofn=

S. ' ,I¡s €cuacioncs

^2 ^2 ^29r+9!+9!=¿t2 V 122

dadas son las ¿caqclotw de Mqxwell & Ie t@rlt elecúonsgnética

-29r se lama ecuaclón ¿ ondas.?c2

dx, q oz

,+2! +az tz-v1] 4E+cY+22

PROBLEMAS DIVERSOS.

32. (¿) Un vectorV s€ lama rrotacionalsi rot V : 0 (probloma3O)'Hallar las constantes ' ó'

v : (x + 2y+ az, + (bx 3y z) 4 (4x+ cv+ 2z)lr.L-0 t t

sea rrotacional.

(¿) Demostr¿r qus v sepuedeexpresarcotno el gndicntc de una función esc¿lar'

I ¡

a. = (c + ) t + 1a-4)

^t.Cv\á- ^ =

,

(a ) ro t V = Vx V !

El rotacional6s ccro para ¿.4, ü =2, c = -1, de donde

A 2 @ +2t +42\ l + (A -3f - . t t + (*t - l +22) l

ü :'¿4' , '¡ s' l

b-"

. r , -3f -2, (3) = = 4t-f +'dzntonccs,

(ó)supongamos=V@$t - $r -$.

( r ) :{= '+zf+az, (21

ót

da¿t-

Integrando ,t) parcialmcnteespeato e ¡, pcrmaneciendo y z comtantos,

(4), ó = + + b! + 4rz+ l(y,z)

sicndo (/, z) una fu¡¡ción arbitraria d€ y y z. Análog;amente, <4 y Q)'a.



una gosible detinición de grad B.

SuponiendoB:^Bri+&i+13k, la expresión egradB vi€nedad¿po r

v" = ,*r *$r

* $.r rr,,+B?, Ber)

* P¡, oP,, * Pr.t 0! ¿t

*$. , *$.r *$. .I-as.expresionesi i, i i, etc., se llaman diadas zzrlarr?rs. Obsérvesequ€ ¡ i, por ej€mplo, no es Io mismoi). Una expresión de la forma

orJÍl + ar2lt + d$l¡ + a21tl + aelt + az'll + odll + ¿salJ + o$l¡

*#y" siendosuscomponentesos co€ficientes¡, on¡... Disponiendoas nueve omponentes

&rma una matriz cúadradade tercerorden, 3 x.3. Er conceptode diada es una generalización el con-D de vector. Una-generalización

osteriornos lleva a las t)¡odo, qu";;¡*it*:LhjJ.;,if*."{;i$h[;rnm#.*nlis#}:-3


- fz + t@i)

+ 22 + h (r, t ) .

ceDarando (l), (J) y (ó) sededuce que hay un valor común de C si s€.o¡nan

r = o, -4ó=4zz-yz

'x2w2:,t '=n-Frf*Lxr+4zz-rzI

¡1y,"¡=

-{, " ' , s1z,z¡( +¿2, ttn,r l=$-{

Et¡eseque tamb¡énse puedesumar a d una consla¡te. En general,si V x v :0, antoncess€ puodcts c de forma que v : vd. un campovectoriat v que aerlvaáe oiio escatard, tal que y : vó. sca ca,rpo vectori.tl co,sertqdor, si€ndo d el potencial escalar, Recfprocamenó, ii ; :;;,"*Jil:

r :0 (problema 74).

trar que si ,, (x, y, z) es una soluciónde la ecuaciónde Laplace,V C defineun campo vectorialsole_e irrotacional.

¡or hipótesis,d satisfacsa la ecuaciónde L¿place V,d :0, es dcc¡r, v,.(vC) : O y, por lo tanto,rs rclenoidal problemas2l y 23).

Del problema27a, V x (i ó): 0, con lo que V d es irrotacional.

V, l , o

= *t , * P,,, or

( ;z;)



35.

i GRADIENTE, DMRCENCIA y ROTACIONAL

Sea A un vector deñnido por A :,4, i + A"j + A.k y O una diada dada por

o : ¿rr i i + a- i j + at3 ik * ¿¡¡ i * aoj j + d-ik + a3,k¡ + a3!k¡ + ¿,skk

Obtener una posibledefiniciónd€ A.o.

Suponiendoque sa cumpl€ la propiedad distributiva,

A'o : ( ,{ , i +,4, i + A"k) o : ,4 , i .o + A, i .q + l3 k.o

consideremos,por ejempro,el producto 'o. se forma efectuando os productosescalauno de los términosde ,iD, urnando uego os resultados arcialesobtenidoi. Algunosde esi .a, i i , i ,a ," i i , i .ani t , i 'a*k j , e ic.Teniendo n iuentaoue

l .o11l l = al l ( ¡ . i ) t = o11t yaque l . l = I

I ,oetJ = a12C. r i = arpl ya que l . | = il .c21j l = aa(t.r) i = 0 yaque t.J =0

t .q2lJ = csr( t .k) j = 0 yaque t.I = 0

y damosuna inúerpretación nálogaa los términosde J.rD y I..D,se obtiene

A.O = ?41(a11t¿12 + a13 ) + Ai@2: i+a,zt+ k) + ,4s(as1+as2J+063= (A1a!r+ A2d2r+Asoar]t + (A1ab+ A2dz + Ards2) + (Aaqr+ A2

que €s un vector.

36. (a) Interprctar et sírnboloA 'V. (ó) f)ar _ur posiblesignificadode (A .v) B. (c) ¿Sepuedeesión antc¡ior de la forma A.V B sin ambigiiedadalgiina?

(a) s€a a = A1l + A2i + l¡1. Tend¡emos, ormalmente.

A,9 = e1t + A2! Asl l ' t . t r3i-$r.$rr

+ A-: + A^ -:-oy oz

que 9s un operador. Por ejemplo,

t ¡ 'V ló = ¿¡.3* a a'" ' a, '" t

+'s; , )

@

Obsérvese ue €stoes o mismo que A ,Vó.

(á ) Sustituyendon(a ) / po r B = Br + B2 J+ Bsk,

(A.V)Btt¡a * erJ * ¡"P)s = ,r1E

.,r$ * ,1"$oy oz o, oy oz

= (,{, ' . A"yL * , ¿8. aB" ¿B^ 78,. .. aas a' 'o ' 'dy r" a. l t ' (A' ¿:

+42¿;

*4"É)t * tA'5i * A2i

(c) Tenie¡do,en cue¡ra la interpretacióndo V B dada en el problema 34 y, de acuerdo conestabtecldoen el problema 35,

¡-dx

+ Az¿ó¿r

aó

ALt.VB + lal .Vs + .{st.VsA1l + A2! 1 13¡). VB =

, , ,p,rP, . P*, *ot o, d,

aó

l . A-Va =

n,,!, f;, . fu, *¡"r*r-*,




que_es_l. mismo resultadoque el del ¿partado(ó). se deduceque (A .v) B : A .v B sin lugar a ambi-güedadsiemprequ€ el conceptode diadica se considerecon las propiedadesndicadas. -

!tuido A = 2.yzi - Éyi + r*k, B = x2 i + yz j - xy k y ó = 2-"y"", hallar

.) (A'V)ó, (ó) A.Vé, (c) (B.V)a, (d) (AxV)O, @) AxVé,.

r ¡ 1n.V¡@ lqzyz- t2y!+ . .z2r¡ . rPr* 3¡ * Srt lOot of oz

> a,"2?, er)r . ) _, , - - l (2r"; -* t ; .

dz

u"{<N'y,"¡ - * 'y}e"2y""¡ t ' , ' j taT""\

(2yzl(4tyz3\ - ¡x2y¡12t23 + (x.z2 16¡fz2\

B"y""t-2aoy"s+5"ty"o

n.9E = ¡zyzI x.y!+, , ' r . l rPr . p¡ * $* ,ó, óy dz

=$2rz t - x2y¡ + zz2$.(4"231 + 2r2r31+ gr2yz2 ¡

= ú!2za - 2"ayz3 + 6x3y"4

Comparaodo con (a) se d€duce que (A.V)d = A.Vó.

. ) G.V)A= l1 '2 +yz! , rkr . t3r * P¡ * lr l lnOx Oy Oz

.c7 a a.- ,?¡ aA E¡ ( r -<- +fz\ -r l^)^ = ¡-- + t¿- - ty_ot oy oz ox ol oz

= ,2(-L.y i + z2 ¡ + yz(zzl - x2 \ - , l (zy i + 2jrk)

= (2122 2ry'\l - (2.rsy+ íy{! + 1}22 - zz2yz¡l

Para a comprobación on B'VA, ver€l problema36(c).

er ¡¡xV¡@ l¡zyzr *yt , "",r¡,qlL *$i

* SrrlO

4z -;r

aa

_1 1Li(-*y+ - """+)z oy

- aó ^aó (x 'y i ' + x.¿'--) loz oy

- ( &tay2r2 + 2¡3zE)l +

a1¡1",2 - zyzl

Or Oz

2.r. ).A1xz2 - zyz{¡¡

oz oz

( 4x2yz5 - t2t2y2zs ¡ 1

zy,{(z,ty'.)/Yz (4()¿ '

u*v

r(2yz+ + fy* lQoy Ot

aó ^aó2yz-- + fy =¡'¡ko1 oz

ft'rrt +$r

k

a¿"r



)

l

2

?4dz

ITWARIANZA

38. Deducir lasecuacionese transformaciónde ascoo¡denadas e un punto cuando os ejes;r,r€ctangularal que estáreferido giran, respectodel origen, hasta i posiciónx,,y',2,.

^Sean y,r' los vectores e posiciónde un punto cualquierap en ambossistemas6gurad

Como r : r' ,

( i ) t ' t ' + y '1 '+ z 'ht = t t + yl + zy

Para todo vector A s€ verifrca(problema 20, Cap. 2),

a = (A.t ' ) t ' + (A, j ' ) i ' + (A.k,) k,Hac¡endoA : i. i, k, succsivamente

Sustituyendoas €cuaciones2) en (,t) e igualando os coeficientes e ,, j, , k, se obtiene(3) x'= l : :x t ' lp! t l tsz, f '= lzú + lzy + LBz, 2t = l .1x + tg¿y+ Lqueson lasccuaciones e transformaciónp€d¡das,

3!). flemostrar que i' = lrr i + lpi + 4gkJ'= l2\ l+122i+hsk

k '=Jsr i+ls2i+h3k

Para odovectorA s€verifica A: (A,i)t + (A.J)J + (A.t)k.

Hacie¡do A : i' , i', L, sucesiva¡Dente

(2\( | = t t . l l t ' + (t.J' )J' + ( l .k' )h ' = t11i, + t21i ' + h! k '

{t = r t . t ' t i * rJ.¡ ' lJ ' + ( j .L ')k' = ter ' + ¡n 1' + ts2k'

( r = (¡ .1)f * (k.J')' + (¡ .I,)k, = hsi, + taf, + qBk'

-t

+

+

I '

{I'

(€)AxvO - elz i -x2rt+,22h)"r f f r-$t -S* l

I

4z

¿O

(- ,, aó ^aó-

- ¡z' '-.- ) Ioz o,

= - (6zaf z2 + zt3z6)t + (

Comparando con (y') rasult¡ quc

= (l ' . ) l + (1.J)

= (i'. i) t + (i', i) i= ( i ' . i ) i + ( I1j) j

('"'# - zy"!n * tzy"4",*y4" t

4z2yz6 - l2?y223¡¡ + ( 4x2yza + 423/2zl\h

(AxV)ó = AxVé.

(r1 )t = lúl + lr- ! + ¿sh(j"r)r = h\t + b2i + t '€,(k'¡ . l ) I = ¡sl t + ¿s2J bol


J2-r t

aóéy



GRAD¡ENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

* t tr,,, r: lsim:z,y0si¿r * n,endon&my npuedenomaruno cualquiora c los valo-

b c¡¡¡acionos (2) del proble¡n¿ 3E,

t . t = r =l t l l t '+¿r . ¡ '+

!st ' ) . (&1t¡+ ¿21r ' ¿s1l ' )

'2 ,2 ,22,' !ra2LlLAl

f. , = 0 = (¿sl '+ ¡rn¡'+.tutr'¡ . (tpl' + trr.! ' + ls2l ' )

= hrl,e + lá12 + hTla

l . l = 0 = (Ll l '+ 4oJ'+hr ' ) . { r tg f + toJ'+ 6er ' )= !1Is + lalzs + lsLls

&rostrado6ncl caso crn: l. Considcrandot'l, l ' l ' l 'k'k'l 'k'¡ y k'k seobtionoa demos-É$ m:2 Y m :3.

( l ¡ i ¡ r : t tEirndo ó- : |

--- ''cl tlcultado sc pu€dcGccribir t lñIto:A'.'

I Osim*¡ t - l

E slmbolo ó,o¡sc donomina deltq d2 Krcneck.r.

Por hipótcsis,6@,y,2'): 4'@',v', z) ' Ten€tnosuc dcmostrar uc

P,- Pr * P. = Sr 'P, l . Sr 't oy oz ot or oz

Dcdvandoy t nimdo on c-r¡entsos ccr¡acio¡reso transfoÚación (3) del problcma38, !c obtis¡e

Eó',a,', aó'&' ?ó'?.' ¿d'. aó'. ad.' =-;

--

+

-'t

<- + .-li- = <-¿f + iJ,21 + i r-hlÓt dz Oy' Ót Oz Oa ot oY oz

aó' ar' ú' d' ?ó' ?r' ad . aó' ad.=*¿t '8t . ¿/6

=a"'4 '? 4'* ' ; j tu

aó'ar' aó'ay' ?ó'?.'- é"t 1, ?t' E¡ ?"' ?,

aó'. ú'. aó'.= i- he + i lze +

--

¿sgot or 02

l(¡, & z) u¡ csc¿la¡nvari¿ntc cspccto le una ror¡ción do e!:q demotrar qucSrsd Cos u[ vcctorrtcÉst Ér-todGcata ransforünción.

aó?,

@AraéE¡

Xu¡t¡plic0ndo€sta! ccuacioncaor t, L L Fapcctiv¿mte, sumsndoy tenicndoo crmta sl pfoblcm¡ 39, soótiono ol rcaultsdopcdido.




Sol. (6 - 2t - 't' - 2r' tt') r

Sol. ¡./s + constante

i, l

i

:t

I

, |l

:

Problemae propuestos

42. Siendo : 2xz. x,y,hallarVCy lV{ lenelpunto(2, 2, -l).

43. Siendo : 2x , - 3y z + xz, k y 6:22-x.y, hallarA. V ó.5o1 5,7i - i - t lk

,14.SiendoF: x,z I"ttx

y G :22,y - xy', hallar:(a) V(F + c)_ ,9¿l (a) --4¡ + 9i + k, (ó) -8j

45 . H¿llarV lr I¡. Sol. 3rr

f ' ír\r46. Demostrarue Vf(r) : Li-.

47. arrarp," tl , + fi\., .. 48. SiendogU :2r'r, hallar U.

49. HallarC(/)de orma ueVd :,.j v d(l) : O. Sol. ó(r)- + (t - +)

50. Hallar V,p siendo9 : @, * t, ¡ 2t¡¿-l7i7l7 , Sol, (2 r) e-, r

51. Siendo C 2xyz, * x,z,l + 3¡tz'k, hallarC ¡, /,.r) sabiendo\e {(1,--2,2):4.52.Siendo \ ' : (y2-2xyz ' ) l+(3 +2xy-x,z ' ) l + (62' -3x.yz ' )k , hal lar ¿.

Sol. 9: aya *,y2. +3y +(3/2)2. + const¿nto

53, Siendo U una función derivable de x, y, z, demostrar que V U ' d¡ : dU.

54. Siendo Funa función derivable de x,y,z,, y x,/,2, funciones deri'.,ables e r, dcm

+ : + +aF'#55. Siendo un vecto¡ onstanto,emostr¿rueV(r'A) : A.

56. Siendo (x,y, z\ : A\ i + A, i +,{, k, domostraruedA : (V4.'dr)i +(VA,'dr)t

s7. I)emostrar ue o (€) : ooo;""osiendo + o.

58. Hallar un vector unit¿rio p€rp€ndicular a la superficie del paraboloide de revolucióntt- r4j_k

punto 1,2,5). Sol. #' + \/,59, Hallarel ve{torunitarionormalá la superñciex - l)t +y'+(z + 2)r : 9 on el punt

Sot. (2i Ii

-zk)13

60. Hallar a eruación elplano angente la superfici€z" * x'y : z- I en el punto 1,Sol- 2x-y-3z l l :O

61. Hallar las ecuacionesdel plano tangente y de la normal a la superñcie z : x2 t yr cn

sot. 4x-2y-z: t , " ; ' : '+: "=t o x:4t i - 2,y:-zt-r , z

62. Hallar la derivadade 6 : 4¡2t - 3tzr'z en el punto (Z' -1,2) en la dirección - 3Sol . 3161753.7

". Xl:t"'jflP frl.:*--*

^elpunto1, , -l) endir€cciónacialpunto

So/. lOi 4J l

y A x VC en ol

y (ó) v(¡C) en c



GRADIENTE,DIVERGENCIAY ROTACIONAL

h di¡ecciónsegún a cual la derivadade la función ó = 2xz - y" en el punto (1, 3, 2) es máxima.=el rÁ", i iulo eeste alormáximo? So/. En a direcciónelvector i -6j +zki2\/A:'1.4g.

r los valoresde las constantes , b, c de forma que la derivadade la función 4 : axyt + byz ! cz,xlFnto( l '2 ' - l ) tengaunmáximodemódulo64enladirecciónparale laalo jez.t :6,b:24,c:_8.

el ángulo agudo formado por las sup€rfcies xyzz : 3x + z, y 3x1 y, + 22 :3 \/Á.Ic cos

liln:2::

arc cos

H

: 79"55'

I ¡ ¡ fasconstantesayódeforf I laquelasuperf ic ieaxr-gyz:(a!2)xse¿o¡togonalz la4xry*23:4d punto 1, ._1,2) . So/ . a :512, b : I

feodo ri y y funcionesderivables e x, y y z, demostrarque la condición necesaria suficiente ara quer y v estén elacionadas or una ecuaciónde la forma F(a,y) : 0 es que Va x Vy : 0.

Dererminar i u : arc tagx + vrc zgy y vffi "r,an

relacionadasuncionalmer¡le.

(á) Si (v : tag ¿).

Demostra¡que la condición necesaria suficiente a¡a que ¡as uncionesu(x,y, z), v(t, y, z) y w(x,y, z)6tén relacionadas or una ecuaciónde la forma F(u, v, w) : ¡ es que V¡l x Vv x V', : 0.FrpresarVa. Vy x Vw en for¡na de determinaote.Estedeterhinant€se lama Jacobiano e ¡]. r. re rcs-

. A@,v,w) . . . /a,v,w\pectode x, /. z y se representa or ¿G, Á, o b¡en. / \; l, z , .D€termina¡ i u: x 1y + z,v: xs +y" + t, y r.)- xy + yz + zx estáÍ clacio¡adasuncionalmente.

?¿ ?¿ E¿7z éy lz

a? ?u ?u

- -- -x Oy Oz

!4, a, ?p¿" ¿y ?"

doA:3xyz ' i+zxy ' ! -x ,yzkyó:3x 'z-yz,hallar : (a)V.A,(ó)A.vé,(c)v.(éA),(d)v.(vd),q el punto 1, 1, l). sol. (a) 4, (ó) -15, (c) l, (d) 6

Erllar div(2x'z - xrzz + 3yz'k). Sol. 4xz zxyz+ 6yz

I €n€l punto 1,-2,1).

t¿ (b) (c) Si (z!- v- 2tr, 0)

dr> . krdo d :3x"2-y,z '+ 4x,y +2x-3y-5, hal la¡VrC.

Ballar Vr (ln ¡). Sol. llr'z

I>mostrar que V2'' : n(n + l)rn-" siendo u¡a constant€.

S¡€ndo :(3¡r- z)i+(xz'+ y|) -2rrz'!k, hallar V( V 'F ) en el punto(2,-1,0).So¡. -ó¡ + 24j - 32k

Siendoo un vector constante v : (' x f, demostrarque div v : 0.

Demostrar ue '(íV) : ÓA"V+ 2A ó'VV + 1t'1"í '

SiendoU : 3 y, V : xz' - 2y hallar grad grad U)' (grad I/)1.

Hallar V '(r" r). So/. 6¡r

Sol. (6yz' - l2x) i I 6xz, * l2xyz k

Hallar V'[rV(l/¡ ')]. So¡.

Hallar V'[v'(d¡')]. Sol. 2r '

SiendoA : r/r, hallar graddiv A. Sol- -2r -' r

Sol. 6z I 24xy 2z' - 6y'z

(d )Demostraruea\a:# +| !*L. Ol Hallar(r)de forma uev f(r) -o.

Sol. f(r): A + Blr siendo,4 .8 constantesrbit¡a¡ias. s



GRADIENTE. DIVERCENCIA Y ROTACIONAL

84, Demostrar que el v€ctor A : 3y.2. * 4xrz, - 3x,y2k es solenoidal.

85. Dcmostrarque A : (2¡r + 8xy'z) t + (3x'y - 3xy) - (4y"2,* 2¡!z) k no es solenoidaly quecs solenoidal.

E6. Hallar la función derivablemás gpneral (¡) do forma que (/) r s€asolenoidal.Sol. f(r) = C/¡3 s¡cndo C una constantearbitraria.

E7. Domosttarqu€el campov€ctorial V :--t i-'j

os un <c¿unpo e tipo sumidero>.Dibuj{xr*v2

pretarlo flsicamenta,

Et. Siendo U y / camposesc¿lares erivables, emostrarqu€ VU x V Z es solenoidal.

89. SiendoA :2xz'i- yz I 3xz.k y ó: x,yz, hallar:

91.92.

93.

94.

(a) v xA, (ó) rot (CA), (c)v x (vxA) ' (d) v lA' rotA] , (e) ot grad óA) en e l puntoSol. (a) i +i, (ó) 5t-3¡-4k, (c ) 5i + 3k, (d)-2i * i * 8k , (¿) 0

90. SiendoF: x'yz, G : xy-32\ hallar: (a ) V(vF).(vc)l, (ó) V .(VF)X(VC)I, (c) V x [(Sol. (a) (2y'z Í 3x2z l2xyz) | 1(Axyz -6xtz) j 1(2xy'* x" - 6x) k

(á) 0(c) (x|z - 24xyz) | - (12x,z | 2xyz) j * (2xy" * l2y z, + x') k

Ha¡lar v x (r/¡3). s¿/. 0¿Paraqué valor de l¿ const¿nt€a el rotacional del vector tr : (a¡y - zs) + (a - 2) xzi +(l-es dénticamente ulo? Sol. a :4.

D€mostrarque rot (d grad C) : 0,

Representaros campos €ctoriales :¡i +/j y B:t , i -¡ i . Hallar la divergencia ede cada uno d€ ellosy explicarol significado isico dc los resultados btenidos.

95, SiendoA: x 'z i I yz ' | -3xyk, R: y ' i -yz i * 2xk y ó:2r , * yz, hal lat(¿) A ' (v C), (ó) (A 'v) d, (c) (A 'v) B, (d) B (A 'v), (¿) (v ' A) B.Sol. (a) 4x.2 + yz. - 3xy2, (b) 4x'z + yz, - 3xy, (igual que (a)),

(c) ZY'z'i + (3xY'- Yz')l +2x'zk'

(d) el operador.r?2z

i- x2yz" + 2x,zU) * ! (y'zs - y,z. +Zxyz"k){

* (-3¡y'i ! 3xt'zi-6x'yk)

-e) (2xy'zz ytz')i-(2xyz, * yz,)i I Ax,z l2xz')k

9ó. Siendo : y2 ' i -3xz ' l I2xyzk, B:3¡ i + 4zi -xyk y 4: xyz, hal lar(4) A x(Vd), (á) (A xv) d, (c)(V xA)xB, (d)B.vx A.Sol. (a\ -5x.yz2 1+ xy,zt j + 4xyz. k

(b) -Sx,yz, i + xy,z, i + 4¡l?3 k (igual que (a))(c) 162'í + (8xzyz IUz')l + 32xz! k (dr 24x,z + 4xyz'

9T.Hal larAx(VxB)y(AxV)xBenel .pu¡to(1, -1,2) ,s iendoA:xz¿i !2yi -3xzkyR:3xzi l2yzi -So, l . A x (VxB) = l8 i - l2 j + l6k, (AxV) x B:4j +76k

9E. Demost¡ar ue (y 'V)y : J ' , -v x (V x v).

99. D€most rar ue \ ¡ .1.1 x Rt- B. (V x A)-A. (V x B).

l0O. Demostrar ue V x (A x B): (B'V)A-B(V.A)-(A.V)B + A (V .B).

l0 ! . Domost rar ue v(A.B): (B.v)A +(A.v)B +B x (v x A) +A x(v x B).

102.DemostrarqueA: (ó.y/+¿3) I(3x,-z)i * (3¡z' - y) k es ¡rotacional. allar CdeformaqSol . 6:3x2y i xzr-yz + consranre



GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL 8l

que E : rt! es irrotacional.Hallar, d de forma qu e E: -VC y q\e ó(a):0 siendo > 0.t' o : ln (alr)

A y B irrotacionales, emostrarquo A x B essolenoidal,

/(r) derivable,demostrarque/(¡) r es rrotacional.

-h alguna unción derivableV de forma que: (a) rotv:r, (ó) ¡otv:2i+ j+3k? En caso

--.rivo,

hallar V.

.f. la ) No , (ó) V:3¡t *(2y- x\ k *Vd, siendo un a funciónarbitrariad€¡ivable os ve¡€s.hqrt-¿r que las solucio¡resde las ecuacionesde Maxwell

o'" .=** l o," =-+*. v.x=.0. v.E = 4rp

-ro una función de .r, y, z y c la velocidadde la luz, supuesta onstante, i€nendadaspor

v,n=|*. o,"=-+*, v.n=0, y.a=mpr hde A y {, se lamanvectoria! oterciqly escalar cspeati\¿amente,satisfac€nas ecuaciones

1r¡v.n+1P=0. ' ' :2¿ a ' )2 'c dt e\Va--#=-n"0, at l t=\ f f i

Dada. la diadá-o: i i+ j i *kk, hal la¡ r-(o.r) y (r .o) .r . , (ó) ¿Existc lgunaambigüedadl<cribir r . O . r? (c) ¿Qué epresentageométiicamente'r ó ., É i íI (a) r ' (o ' r) : (r ' o) , r : x, t y, + 2,, (b) No, (c) Esferaderadio unidad con centro en el origen

frlt"lri,, jí,t; v" i t vz'k v R:2zzi-xvi *v!k, darun posibteigniñcado(A *v)B enúi ¿Sepuedeescribir el resultado en Ia forma A x (VB) aplic¿ndo el concepto de di¿da?f¿ (¿) --4i i - i ¡ + 3 k- l r -4i t + 3kk

(á) Si, p¡eparandoad€cuadamcnteas oporaciones,

&lrostrar que ó(x, y, z) : x" + y, + z! es un escalar invariante resp€ctode una rotación de ejes,

fudo A(x,y., z) un campo vectorial de¡ivable invarianG r€spectode una.¡otación de ejes, demostrar queo div A y (á) rot A son respectivamente,amposescalares vectorialesnyanantesespectode la trans-fuuación.

&sfrjar x, y, z en las ecuaciones3) del problema 3g en función de x', y' , z,tcl- x : l¡x' * l,,y' * l",z', | : l* x' * lz s' I L, z', z: l ,"x' :- hEt. * Iuz,

lfudo A y B invariantes esp€ctode una rotación, demostrarque A.B y A^

B son invariantes.

hostrar que en una rotación

v = rP *¡ l - *rP =, '3*¡ ,3*r ,3 =v,t oy a2 ó, dt. dz

Iblostrar que el operadorLaplacianaes invariantergspectode una rotación.



tr - --

condiciones,,

=["0 * ' " "o"

I,En general,oda integrala lo largo de una ínea se lama ntegralcurvilínea.Estas nte

se definencomo el límite de una suma,de forma análogaa como sehaceen el cálculo nte

En los problemas esueltos eremos lgunosmétodosde resoluciónde estas ntegrale

Yeamosahora un teoremamuy importan{e.

82

fnot¿u = f$1st,r) du = S(¡)+ cJ J ou'

en donde c es un v¿cro¡constantearbitrqrio independiente de u. La integral defnida entre losya:óes

Ca ítu

Integroción ectoriql

INTEGRAL DE UN \aECTOR. Sea R(z) : R(a) i + Rda) { Xr(r.r) un vector fusola variableescalaru, en dondeR,(a),R(a), R.(a) se suponen ontinuajén un intervalod

!** ,0, = i f n,o¡du,f a,ot¿,,uf"*ro,se lama integral ndefnidade R(u). Si existeun vectorS(z) de forma que Er¡: f tS{u)

loo,','"

f ft e.at = I Ard"+Azdy+Asdz

En mecánica e luidos,electricidad, tc, esta ntegral ecibeel nombrede circulación e A aen dondeA es a velocidaddel fluido, la intensidad e campomagnético, tc.

.^= s(¿)+ cl- = s(ó) s(")a

Est¿ ntegral ambiénsepuededefinir comoel límitede una suma,de forma análoqaa comel conceptoen el cálculo ntegralordinario.

INTEGRAL CURVILIÑ-EA. Sea r(u) :x(u) i *

y(u)* z(u)k el vector de posicide los puntosde una curva C que pasapor Pry P, corrcspondientes u: Uty z:-a¿, re

Supongamos ue C secomponede un número inito de arcosen os quer(a) tienederiSea_A(x,, z) : Ari + A2i + Ark una funciónvectorialde posicióndefiniday continuaaLa integralde la componenteangencial e A segúnC desde ¡ hastapr,

curva ce¡radasimple,es decir,una curva tal queuna recta cualquiera a corta a lo sumoela integrala lo largo de C serepresenta or

aP^¡,

l '*a, ln.d, = l, t ,dr+Azdy+A.d".,ces un ejemplode integralcuivilíneao d,e ínea.Si A representaa fuerzaF aplicadaa unase desplaza lo largo de C, dicha integralcorresponde l trabajo realizadopor Ia fuerz

I



INTECRACION VECTORIAL

lo

función der dado.En

)) se

Dsímites ¡

I¡OlEMA. Si A :.vd_ en.todosos puntosde una regiónR del espacio efinida or ar= x S az,É á¡ cr 5 z 5! cr, siendo (x, ¡, z) uniformey con derivadacontinuaen R.

fP,f-

t A . /r es ndependientee a trayectoria en R qu e rneP1y P2 .21

Z. $ A.dr:0 a lo largo ecualquierurva errada en R.Jc

condicionesl campodefinidopor A se lamacampo ectorial onservadoressupotencial scalarderiva.

I¿;ondición necesa¡ia suficiente ara que un campo vectorialA seaconservador s qu e V X Af r':Én, que A : vd . En estecaso,A. dr : td x * Ardy * A"dx : dg es una difcrencial xada

l0-14).

RAL DE SUPERFICIE. Se aS una de las dos carasde una superficie ono la representaday consideremos una dc ellasarbitrariamente osit iva1:i S es una superficic erra¿a e oma

Un vector unitario rt normal en un punto cualquierade la cara posltiva de S se llama vectorrj,orma.l exterior.

hiemos a la diferencialde superficie ,5unJS de módulo d,9y cuya direccióny sentido

de n. Entonces, S : n dS. La integral

II

ho se

i

II** =[^,0,I

III

r l, l

¡emplo de ntegralde superficie uese lamaA a travésde S. Otras ntegrales e super-

fto

ff ff

fods,

JJónas.

53 [!n,0"in de (x,

ivadar lo largo

palesFal

y' una función escalar. odas estas ntegralescomo ímite de una surna, e gual orma

de lcálculontegral rdinarioproblema7) .

¡ partículaI Si Ces hra calcularuna integral de superficie onviene xpresarlaomo ntegraldobleextendida la pro-!n 4pt de S sobreuno de los planoscoordenados. llo es posiblesi toda perpendicular l plano coofde-

clegido corta a la superñcie en un solo punto. Si no fuera asi, tampoco representaríademasiadoya quesepodrá,en o general, ubdividir en supcrñciesuecumplana condición nterio¡.

rlo largo NTEGRAL DE VOLUMEN. Consideremosrrasuperficie erradaque encierre n volumenZ del

L. integral lo largode una superficieerrada , se epresenta* #. . o Ui.n.po , /

Las integrales

III^,, [[r,,v

de integralesde volumen.El cálcllo de estas nlegrales o ve¡enos en los P¡oblemasresueltos.



INTEGRACTON VECTORIAL84

Problemas resueltos

ft . SiendoR(¿) = 1¿-u2¡ i + zus - 3l , hal lar al I

Rr 'u tdu y

,,f ^,,0,

en dondec es el vector const¿nte

R(¿) d¿

-a2 ,314t ( ; - i t ) l + tJ - 3

*,T=f

tr-*,, . , ,= rfo-, \au*

= r<$-$ * ",1¡=tf- f r r* i

23= t!-fr t * I

' "J - et l¿u

f rtJz;a" +taJ-sdu

, te t * c2) + k(-3u + ca)

f t - , "* + c1 + c2J + car

iJ - t ,u *""r t

*"r1

*".x.

(á)De(¿),r ' *r , rou

= <{-{ l- i t-, 3 .3 o4= t(t- ?) t +t t

=-| r* f r-

Otro método.

l i*r,0" * 1! '2,"a" ," ! ' -rru

-rrf r l ] + h(-r¿) l ; -* t * f t - r

- 3¿k +

- 3(2)k+ cl

3k

"1,

=' fi a-,'tr"

= (+-*)l ' ,

?. I-a aceleraciónde una pa lcula €o función del tieEpo f = 0 viene dada por

":

#: 12 os r - 8s€n r +t6'k

sabiendoque la volocidad y el dssplazamiento con nulos en f :0, hallar Y y r en funció

(l,ey dc velocidadcs do €spacios.,

lntesrando,: i!ncoszrdt

+i I_8y ' j Í2tdt k I l&dt

: 6sen2r i 14sqs2f i + 8t 'k + c,

Haciendov : 0 para I : 0, se obtiene0 : 0 i + 4 j + 0 k + cr, de dondec' : --4 i'

Por o tanto, r - 6scn2t i +(4cos2/ -4) j + 8t¿k).con oque fi

: O "n 2t r- (4 cosZt - 4) ¡ -r 8r'k'

' ' r ' uú v i l@cos2t -4)dt r } - lS: l drIntegrando, = rJ osen -J r

: -3cos2r i +(2sen2' -4r)¡ + |r" l +" '

Haciendor:0para r:0, 0 : -3 i +O¡ + 0k + c, , ds dondec' :3 i '



INTEGRACION

trnto, = (3-3cos2r)t + (2s€n2r-4¿)'

f ,2-| ¡ rd.4¿r.

J d¿ -

', = Ax"7F+

1<t,¿4t¿,dt da

VECTORIAL

+ $r" .

85

I ^"#"=

=^r#

r 'c.

qAdt.

I

1.n",

dA dAi ' ¿,

^r4

; 3 ( )¡

dcl movimiento d€ una partfcula P de masarn viene dada por

¿Tn "¡ri; = [(r) tt

b r el v€ctor de posición de P medido desdeun origen O, rr cl vector unitario en la dirección y scnüdof f(rl \Jna.unción de la distanciadB P a O.

-d.rmostrAr que , ,¿;

: C SlenúoCun Vectorconstante.

hterpretar flsicament€ los casos en que (r) < 0 y f(r) > O,

loterpretar, g€ométricamente,el resultado de (a).Relacionaros resultados btenidos on el movimientode los planetas n nuesro slst€ma olar.

Multiplicandoosdosmiembros^

dft : flr)r, por r x, se iene

d'r^

x dl=,r(r)r x ¡r : o

ya quer y 11 oncolineales por l9 tanto, r x rt : 0. Por consigui€nte,

, , f f i :o , F"#l : ,.dt

fntcgrando, I x Tr : c, siendo c un vector constante. (Comparar con el probloma 3).

¿+Si/(¡) < 0, la aceleración| es de s€ntido contrario a r,; la fuerzaestá dírigida hacia O y la partfcula

está, iqr\pre qtruídq haaia O.

Si /(r) > 0, la fuerza está dirigida desde O a la partfcula y ésta se €ncuentra sometida a una fuerzade repulsión.

Una fuerza que pasa siempre po¡ un punto ñjo O y cuyo módulo de¡rendeúnicamente de la dist¿n-cia r al punto O se llama luerza cenlral.

En el tiempo elemental /, la partfcula se desplazade M a N, como se ve en Ia figura adjunta. El áreabarrida por el vector de posición en ese iempo e3,aproximadamento, la mitad del área del paralelo-

graÍno de lados r y /r, o sea, r x /r, Por consi-guiente,el áreaque ba¡reel radio vectoren a unidadAr

de t¡empocs ¡ r x 7i, con lo 9ue la vclocidad ns-

tantán€a de barrido es

l im jrxf , = *rx- = ¿¡xvAt-o' Al - . t t

siendoy la velocidad nstantánea e la pártfcula.La



" l

8ó INTEGRACION VECTORIAL

magnitudH : t," #: ¿r x v se lamvyelocídadrcolar.

Veloc idad reolar = n = lr ' {dt

= - 6,M1rr.df¡ r, -

aplicandoa ecuaciónJ) y teniendo n cuenta ue". #

= o

De (a), se deduceque

: consBnte

Como I' H : O,el movimiento es plano; en el caso de la ñgura el plano en cuestión€s

(1) Un planeta por ejemplo a Tierra) es atraido hacia el Sol de acue¡docon la ley de la grade Newton qu€ establece ue dos cuerposde masasm y M sg atraen entresi con una fuGMn

F: " , siendo la distanciaentre dichoscuerposy G la constant€universalde l¿

m y M las masasdel planetay del Sol, resp€{tivamente, tomemosun sistemade ejescorigen seael Sol, La ecuacióndel movimiento del planetaes, en estas ondicioner,

d2¡ CU n ,. d2t CMat' d¿'

despreciandoa influenciade los otros planetas.

De acuerdocon el apartado (c), un planetase mueve alrededor del Sol de formaposición barre áreas gualesen ti€mpos guales.Esta propiedad y la que se consideraeson dos de las trgs amosas eyesde Kepler deducidas mpi¡icament€ partir de laspor el astrónomoTycho Brahe. Estas eyes ueron la basgen la quo se apoyó Newtonley de la gravitaciónuniversal. La te¡cera ey de Kepler la ve¡emosa propósito del pro

5. Demost¡arqug la trayectoriade un planetaalrededordel Sol es una elipse,uno de cuyos oc

De los problemas4(c'l y 4(d),

dr CM

-

= - ---- rldtr- '

txv = 2H - h

como ¡ =,q. ) =,-o i ' i r , con¡ocual .

(3) h - rxv = t\x (rd: t , f r r " l = ,2\*4!L

oe Ol f xh = -4r" . ¡ = -GM4x qrr ' f f1

(1 )

(2 t

(h.r1)+l = cMdt d

(problema , Cap.3).

lr

Como h es un vectorconstante * ^ ¡ = 4rv 'nr vt l l d l

l tv 'h l = 6l l :+

vth = CM\+ ptntegrando,

de donde r .(vxh) = GMt.11 + ¡ 'P

= GMr + rr1.p = CM r + rpcosA

siendop un vector constantearbitmrio de módulo p, y á el ángulo formado por p y r,.

Como r .¡vxh) = (¡xv).h = h.h = 12,seobt ieneñ2 = GMt + rp cos á,dedonde,2

-h2/cM _"

1 + (p/CM) cos eCM+p cosA



!+- ,

INTEGRACION VECTORIAL

lrometria analíticapuede verseque la e¡uaciónde una sección ónica con un foco en el orieen

qcentricidad es :T¡fcos 0, siendo una

ComDarando staecuación on la obtenidase deduceque la órbita es una sección

de exc€ntricidad : plGM. La órbita descritaplaneta sun aelipse, arábola hipérbola egún

.seamenor, gual o mayor, respectivamente ,

ueComo las órbitas de los Dlanetas on cerra-

forzosam€nte e trata de eliDses.

CURVILINEAS

-regral scgun estaparte

de trayébtona es

f n'0, = f [rr""*rr, - rqzr+2o,z2tf@rr+e! + dzk)

=f Wn rr¡ ,, - r4r¿! + 20,22z

si¡:r,-/ :r ! ,2:r! , losfruntos(q0,0)y(r, l ,r)correspondenar:0y/:r,¡espectivamente.Eotonc€s

f r 'Jn *ar =

) l lrr+ar¡dt - l{(¿?)(¿3)t(¡2)+ 20(r)(rs)2 (¡s)- ¡:^

= | gf ú - 2gto¿t + 6oced,

ú=0

fr1= | 1s / -z1t6*6ote¡dt = 3¿3- 4¿ "+6¿D =Jo

87

do A:(3¡¿ *6y)i- l4yz + 2bxzsk,rattar A.ar desde0,0,0) a (1, , l) a lo largode lasintes trayectorias : J¿

, : l ,y: I¿,2:t ! ,

L¿s rectasque unen el punto (0,'0,0) con (t, O;O),y el (1,'1;O),con el (1, í, l).I¿ rectaqu e une los puntos 0,0,0) y (1, , l) .

l^

f1 ¡r

| (s"*e<ol)a, r{ (0)0ii0)+ 2o¡(o)2o) = l-*, d, = ,sl ,xJ--o/rtJ=oo

A lo largo de a rectaqu e un e 1,0,0) con (1 , , 0 ) €s ¡ : l, z : O, dx :0 ,0 ¿ l. La integralsegúnestapartede trayectoria

"t .f7

| {r<r¡"+ey)o r4te)'dy + z0(r)(0f0 = oJ

'=o r. r... L t ,l

¡ iv" ' tYlJn ; , ' ¡ Jv/

, \ , ¡ \

t+( ! , \+t l , l\ 2/

Ir

Yt 4

+ ,,

. , , \

, { i j ) , las y. * dx- l^'\= o 1,4.- "'4', c ,1" c

b¡go de C, A = gt2 - 14t6 + 2Ot7 y .=r l+f l+z, .=t l+.2t +¡sI ,dedonde¿.-( l+Zt!+g.21)¿r.

df

Ií- \ut',

,1 \ ul --

1' { ,Xl11"]lp:-d."_fl !1 lle,ln: (0: ,o)conr,o,o)es[O F d,dy o,dz: o!""

"]nn

o""o'". *

oo4

+l-ov ¿" f1r)

r . l

dz==ocyvaríade

r- r Ju/ l )o \r . !



INTECRACIONVECTORIAL

A lo largode la ¡€ctaque une(1, 1,0) con (1, , l ) es x : I , y :de 0 a l. t¿ integral s€gúnestapa¡te de trayectoriacs

f1 ^rr| (3(r f16(1))0 - l4(1)z(o) - zo(r)z ' dz = | zor ' d"

JJz=o z=o

I, dx:O,

=U!1'=3'o3

Sumando,

(c) La re.cta ue une los puntos(0,0,0)y (l,l,t) vienedada en forma pa¡amétricapor?- ¡

eor o tanto' f-n.ar -- l- , tr"*u,rr , - t4(r)(¿)t + 291¡¡¿¡2,¿(1 J

=to'

or"*er-r t t2 20t3¡t =[ot <u-rrrrrror3l r =

.f

H¿llar el trabajo total realizado para desplazar una partícula en un campo de8 : 3xy - 5z + l0¡ k a lo largo de la curva ¡ : t' + l, y : 2t', z : t5 desde :

Obsérveseque si la curva serrcorriera en s€ntido contrario, es decir, desdeel punto (1, 2) hel valor de la integral obtetrida seria Z6 en lugar de *?6.

Traba¡ootaf = f ..r, =f

Jc ' - - Jr^tut ' -5zJ+ 1¡ '¡ ' ' t" t +dvt+dzl\

=Jr"rrdx - Szdy I l l t dz

=f ' l ¡ ,"t¡12,") ¿(t2 1) - 5( ts\¿(2t2)+ tolr '+t¡

J'\t= ,

=Jr'

or* + lota r2ts+3o¿2) , = 303

8. Siendo : 3xr i - r" i, t utlarrt'dr a lo largode la curvac delplano y de ecua

el punto 0,0)hasta l punto 1,2).

Como la int€gración es en el plano xy (z : O\, hemos de considerar r : ¡ i + ), i. E

l r.o, - | ,u, - ,' ,r . n,, o, ',J¿ Jc

=I* tdx-y2dy

Primer m¿todo. Haciendo ¡ : t e¡ ! : 2¡', las ecuacionesparamétricasde C son ¡ : I

tos (0, 0) y (1, 2) corr€sponden / : 0 y, : l, resp€ctivamente; or

fr t f r

l -" .a, = f ' "u\<r, ' \, - 1zt2dqzt2= f

'ter"-ror6)t =

tlo Éo

Segundométodo. Sustituyendo directamente / : 2¡! y haciendo variar x desde0 hasta I

J^r.a,=

)vo, ' ta ' - e '¿ 2¿(b2\ =

J(6'3-16'6), =

, r=o x=o



r :o v z

203

bcrzas dado r :2.


r d trab¿jo realizado para dar una vuelta a una partfcula alredcdor de una circunfercncia del plano xy,aEtro es el origcn, sabiendoquo el campo de fucrzas corrcspondient€os

F = (2. r y + z) i + ( t +y-"2) i + (3r-2y +42)k

z=0, F = (b. -y) l+(x.+r) t+(3 ' . -zyr} ' y ¿r--dxl+d! ! ,con lo cuale l t rabajo eal i -

( '+7), + (3r-?t )k] . [¿" t + ¿rJ]

(t +t ) ¿f

C-onsiderando como ccuaciones paramétric$ de la circunferonciaI cos t, y : 3 sen t en las que t varía dc 0 a zfl, como sev€ en la fi-

c integrando,

[2(3cos ) - 3sen ] [ - ¡sen¡]¿¿ + [3cos¿+3s€nr] [3co6r]dr

2n

[r.'* = f, t,u-r','= f ,*-rrn"

.tC

(9 - gssri,cos¿)d,

tomado como s€ntido de r€corrido de la partfcula a lo largo de Cal de las agujas del reloj, que es cl que cstabl€ceremos ome

Si C se hubiera r€corrido en s€ntidocontrario (nogativo) el valors€rla lE ¡.

lrtos cual$quiera (xu yu zt) ! (x¡,l¡ z¡). Por lo tanto,

t=t l+! t=3coa¿i+38en! ,

=n, Z**, l ' "

=,6n

fado F : V Cy d uniforme con derivadasparcialescontiDuas, d€mostrar que el trabajo ¡ealizado paraGplazar una partlcula desde un punto Pr = (xr, y,, z) del campo a otro ¿ = (r., ¡, z.) esindependientc

-

b trayectoria soguida.

kip¡ocam€nte, si la integral curvilínea ft f. a,",

independiented€ la trayectoria C que une dosJC

t¡lor cualesquiera, emostrarque €xisteuna función C de forma que F : VC.

rcarizado=I::r.-=

I'orr.*

=t,#,r$,

. f f* , d ' t¿rt ¿zr)

=ü#- ' {n' *{"rP,

= l-¿O = ó(p) - óet) = óFz,yz,z) - +k1,r1,21\

F:F,itF,t+F¡k. Por nipotesis, f F.dr es independientee ta tr¿yoctoria queune dosJ^

Por lo tanto,Ia integral dependc rlnicamonte de los puntos inicial ¡r y final

Pr,y

no de latrayectoria

l¡ los une. Evidentemente,esto solo es ciefo si d(¡, /, z) es uniforme en todos los puntos Pr y ¿.

f (r, t ,z) f (t , f ,z ' lQ@,y," | = | F.d¡ = | Fldr+F2dy+Fsdz

¿(ztyt,zt) J(t t ,yL, z1 )

indepcndiente de la trayectoria que une (i,, y,, z,\ y (x, y, z). For consiguiente,ol puúto



90

S1x+Lt , y, z) - ó@1,2)

(ó ) Si Vx F = 0 , se iene ue


F' dr

F'dr

F.dr

óe,y," ,

Fldz+F"dy+F

_ fr',!,2)(t\ yL, z )

_ rQ+^' ' / 'z ' l( t \ , t7,2L,

,I!',i,:]"' Lo"'.''"'

- f( '+

^x,,2\

r(x,y,z\=l,l,'),'''"'

F.dr

F. dr

Como fa {¡ftima ntegraldebe ser ndep€ndiente el camino seguidopara ír de (x, y, z) apodemos€lagir como trayectoria a re{ta que une dichos dospüntos,con lo que dy y dz soncondiciones,

ó(x+4" , y, z) - =* f,lo.o,'' '"'"Tomandoímitesn os

dosmiembrosuandoA¡

- o,se briene,#=

FlAnálogañcnle,epuedeemostrar* #

= n, V {= n.

porforanto.F = Fl i+ F2!+ Fst=#;-#r,#*

= Or.

l' 2Si

Jr-n.dr es independiente e la trayectoriaC que une P, los puntosP¡ y ¿ el camp

llama campo conservador.Si se verifica que F : V C, F es conservador, y reclprocament€.

Deñostraciónvectorial. Si la integral curvilíneaes independi€nte e la tray€ctoria,

e4,y,z\= l( ' ' t ' ' \ ,.0, = l"', '" ".*n"

J1x7,11, 1\ J1x1,y1, ¡ ds

Derivando. dg = o.d, , dó a ¿| t¡ds ds

er oá

= v@'d: : 'conlocual ' (v@-F) ' ; ; = 0'

Como esto s€ debe ve¡iñcar con independencia del valor deff,

resulta F : V C.

ll. (a) SiendoF un carnpoconservador, emost¡arque rot F : V x F : 0 (esdecir,F esun camp(ó) Recíprocamente,i V x F:0(es decir,si Fes un campo rrotacional), demostrarque Fe

(a) Si F es un campo conservador, egúnel problema 10, -.r verificaque F : v{.Po r lo tanto, rot F '= V x VC:0 (problema 7 (a), Cap.4).

k

¿¿"

t

aér

F1

fol s

;;

J

¿dy

F2

7P "

= 0 y por lo tanto

D¡, ?f, 9& - ¿f'' Zx- 7y

T€nemosque demosÍa¡ que F : V d se deducecomo consecu€ncia e esto.

El trabajo rcalizado para mover una partícula desde x,, ¡, zr) a (x, y, z'¡en el campo



INTEGRACIoN vEcToRIAL 91

f

J^rí@,y,2)d' + F2@,y,2\ y + FoG,y,z\ .

9.,"13 l:n1rra¡3. :."a(.r.,,y.r,zr) con (x, /, z): Tor.nandocomo tray€ctor¡a ta qucbrada qu€ pasa porz), (x, y" z), (x, y, z,) y (x, y, z), y lamando d(¡, y, z) at trauijliáiir"ao'a to targo ¿e'e¡ra,.--

ó(z,r ,zl =

aqui se d€duc€,

* = Fo(¡ .v .z lo2

a(¡ +nulos. Fz",,r."i

f",

F1.1'r,f zi +

= F\(z,r! ,zL) +

Ahorabien, Vx p = ooóa,6t

! *"t

z2 3xz2

F2a,! ,21)f""r*

oo," , n"

F2¡z,y'z) F2ú.t,z')1"", r"g,y,"t¡ + F2u,,r,.) Fie,y,"tl = F2e,r,z)

I l ,&o', '"u',L,*o,,,rn"

[] fi o,r'"'ro,f"",!or,"'ta"

olz

T (x r z\ d¿ó

of

aó

- F(t, ! ,zi = F1Q,y,z)

l,{

lo tanto, F = Frt + F2t+ Fsk = ir t +ót

lügo la condición necesariay suncientepara que un campo F seaconservadoresque rot F : v x F:0.

r que F_ (2xy *.2¡) | * ¡¡ i + 3¡zr.k €s. un campo de fucrzascd¡scrvador. (ó) Hall¿r elcscalar del que deriva. (c) Hallar el trabajo realizado p"r" a"rpi.á. un cuerpo en estcci¡mpo

F¡(x,y1,z) \( ' , r , . ) \ f , , t rr<,na1"",

Fa@,!',z') + Fr@,y,zi - F(x,yL,zL) + F1@,y,zl

#, '#* =vé.

( t , -2, l ) a (3,1,4) .

ún el problema ll, a ra condición nec€.aria y suficiente para que una fuerza sea conservadoraes queF:V xF:01

campo

Por lo tanto, F es un campo de fuerzasconservador

= 0.



r

---

lr

92

(ó )

INTECRACION ECTQRIAL

Delproblemao, F=Vd o F, *Pt-P*

= qyc.¡23¡r+ z21+ 3xz2¡o, o, oz

),^ ),A )-A

1t1 i : : = vy + 23 (2)-: r

- , ' (3i Y - 3,t 'o, óy ó¿

lntegrando .¿), 2) y (J) se obtienen, espectivamente,

Q ="'/

+ xz 3 + l1y,z\

ó = , 'y

Esto se ve¡i6ca si tomamos (y, z) : O, g(x, z) : ¡tt, h(x,y) : ¡tr, con lo cual f : x"yuna constante.

Segundo método.

Como F es conservador, I R,ar es ndependiente e la trayecto¡ia C que une (¡r, ¡, , z¿c

Aplicando el método del problerna I l(ó),

f t f . t fzae, r ,z) =| Qxyl z3 ' ¡x t l ' , ' ay * | ur" a"

Jr, ut , JzI

= qr2r+ ""r) ir ,",

*, l!r, , "" " i,

='"!r ""?,

- r'ry, - t r" t , ^ r2y - r'rr + xz' - xzl

= t2y + ,, t - " 'rf, - "r"l= x2y + xz 3 + constanúe

Tercermétodo..h =-Vq>.d,=$* - {0, - f fL,

= oO

Entonces, dQ = F. d¡ = (bty + z3) dx + x2 d! + 3zz2 dz

Q = t" y + ¡:3 + constante.

1¡ ¡ Trabajo ealizado= rP 2 F.dl.t P-

-l^ " ,u, t z3 etx J dy , t , ,2 , t"

. 1t \3'7'4)-r + xz- L' ( 1,-2,1)

+ 8$,2)

xz s + h(z,y\

. fP, . " " - " ,h- | d(x ' j +x¿-\ = r 'y + xz " | = x

Pr

-

Otto ¡tl¿lodo,

l)cl apartado ó) ,

Trabajo realizado

QG,t ,z ' ) =, 'y r r"" + constante

= c(3,1,4) - Q(r , -z, t ) = zoz.



INTEGRACION VECTOR¡AL

b PÁP,B\ la curva cerrada que s€ repres€ntaen la ñgura adjunta. Entonces,

I ,.* F. dr\AP28P1

It

Cuesi I F. dr cs indopendicnlo d€ Ia trayectoria que une dospuntos cualesqu¡erap¡ y p. cn

fdada, se verifica I F'd¡ = O pars todas las curvas cerradasen dicha ¡cgión, y rccfpre¿mcntc.

J

= [r .* . Il1AP2 P2BP1t f¡ .

t f=)r,ar _ JF.dr.=o

PatP2 Pr8P2

!E la integral desdeP, a N a lo largo de la rama ,l ec igual, porG¡, que a lo largo de la rama ,8.

Lcíprocamente,i f r.a, - 0, entonces

[ ,.n, "".* f ".n,.-tírap, rrfu, p2lpa

n*'r,{r, ' ' * =r,fr, ' ' * '

hostrar que la condición necesariay suñcient€ parr quc ¡idr I F¡ dy I f, y'2 sea una difc¡enci¿l.Era €s que V x F - 0 siendo :F, i +41+F,t.

ho6trar que (yt z¡ cos ¡ - 4x' z) dx + 2zty ff,in-i'dy + (3.v!zrs€n ¡ - r.) d¿ es una difcr€ncial exactaü tma función C y hallar 6. -

lgongamos qreFtdx +ndy +F.' " aÓ a6 -aó

c@ x, vv z son variabres ,ra"J'a;:,:

-Ñ dx + 7v dv * -* dz; sca una diferenci¿l exacta'

n:#' r , : { ' r , - f fcrocuar F,t F,J F,k # i + ff t +$x : v .

,Reclprocahente, i V x F: O s€gúnel problsma 11, F: VC¡¡ &cn, Fr d¡ t F¡ dy * Frdz : dC, es una difcrc¡rcial exacta.

f : (y:z¡cos.¡ 4¡.z)| *2z.y*nx| +(3/rz.sen¡-r.)k y VrFrtado (4),

(!,2. cosx-

4x.z)dx+

2ztyen r dy +

(3y,2'sr,rr

_xrl ¿z : d6tdi<¡odo uno de osmétodosdelprobleña,12seobticne / : .¡rrz¡ en _ ¡.2 + constanie.

f u campode fuerzascons€Ívador e forma queF : -v c. supongamos ueunapartfcuradc masam semuévl. en este campo. Si I y I son dos puntos cualesqui€r¿d¿l espacio, demostrar que

ó<A)*trnl t : ¡(p¡- ¡nt, ."v/ y y¡ los módulos de las velocid¿des de la partlcula en A y B ¡esp€ctivaÍrente.

f r .n, - f . . r . : oeriP, rrfu,

LuegoVxF:VxVl:0.

con o queF.dr:1ó.th:cl l ,

x F debo s€r cero, y, scgri,nl



---

94 INTEGRACION VECTORIAL

d2 ¡f / . Lueeo.i = ^i . ¡F =; i ,G

,dt,

Integrando..f,t ..0, = E*fn = i^, ', - i^q

si F- -v@, (u ..r" = - fu vo.n = - ft ¿e = ,p(A\ e@\.J1 J1 JA

Por lo tanto, ó(A\ - ó@J = ¿^ú - [^$ como queriamosdemostrar.

¡a

l

El valor d(.{) es lz energíapotencial ei A y lmvt^ la energía cin¿f¡caen dicho punto.blecequo la energía otal en I es guala la energía otal en I (conservación e la energfa)ha puestoun signomenosen F : -V é.

f! ' l Siendoó : 2xyz",F . ' xy i - z + x! k y C la curva t : t ', v "- 2t , z: r3,desde -.0

las ntegrat€survil ineas tol I e dr , (b) | f x dr .

' . J¿ Jc

(a ) Alofa¡gode C, Ó=

Zxyz2=

2 t2 (2t , t3 2=

4te,r = r i+f !+zk = t2 +2t !+tsk, y

dr = (2t i + ü + 3t 2 \ d¿ . Po ¡ Io tanto'

| *o ' =./c

t^

J nf t r t t + 2l + 3t 'k)dt

f ! r r 11i | 8rrcdr + ¡ | erear * I I r2t1 'dt = f f i r i i '

Jo Ja Jo

. ! ,(ó) A lo lárgode C, F= zyl - z!+z2 l = 2to i - r3¡ +rak.

Luego Fx dr = (2t3 - l"¡ + loh) x (2t + 2! + gt 'k t¿t

d€dondc

I r k l2t3 -t t t" I a, = l<-ef ao\i * 12ru-Gr"¡¡ (4

2t 2 3r"l

rfo' etr" - zrot , * r Io ¡-4t6¡ t + r,

fo' $r"

- f i i -3, . t*

INTEGRALES DE SUPERFICIE

f r17 , Det'rnir | | n.n dS extendida un a superñcie como ímite de una suma.

JJJ

Subdividamos l áreas en M elementos e^rea

/S' corrp :1,2,3, . . . , M, y tocualquieraPr, del elemento S¡ de coordenadasxe,ye,z)- SeanA(xo,yr, zr) : A, y n' no¡mal exterior a ¿SDcn P y formemos a suma

.--.



' ' :

it ^h.r9Ast=t

Ar. n, la ,cothponente normala Pc,

El línite de esta suma cuando

- -

dc forma quc le m¿yor difiren-

¿ cada uno dc los elcmcntos /S,a c€ro, si cxiste, se llam¿ inte-

& superñcie dc la componentc

Sogún l problefrE17, a integralde superñcic s el lfmito dc la suma

J A^ .¡^ A5^

-

I¡ proyecciónde y'.t, sobreel plano ry cs l(nor'Sr) . k I o | ¡¡ 'k I ./S, quo es igual

a

INTEGRAC¡ON VECTORIAL

dc A oxteodida a S y se rcpre-

[ ^ ."nt

Bndoquc .R ca Ia proyccción de la supcrñciq S sobrc el plano xy, como soobs€rva en la figura dcl pro-17'demostr¿rque

f f n. rr t = f ( n.n¿-!&.JJ JJ In 'k l, t 'P

t Axrtyt &

orc 4s;.## . Luegoa suma1)sc oduco

r^

tr i. ^,'n^P+; , P P1¡n' \ l

Scgrli cl .lcoromafundafncntal del cálculo intpgral, cl llmite dc 6ta sum¿ cuando M -+ oo de forma quc,rayor de Axo y lyo tienda a c€ro es

íl *"trfisc qucrla dcrnosÚa¡.

En r€alidad, S, no €3axactamÉrir,3silA" ffi,

pcro sopucdodcmostr¿rqqc anbos diform €Nr

dc ordcn supcriora ¿xD A.yr,@n lo s,rd bs Umttet&, (I\ y (A no varlan.

$ - "dS, siendo : lEz - t2J+ 3yk y ,t la región<tet rano x +

it+ 6zf= 12situsda

d prirnproctantc.

En la figu¡s sdjunta se ¡€pr€sentatra superficicS y ru proyccción obreel planory.



. ==n


ll *",*#'P

Para obtoner n obsérveseque un vector p€rpendicular a la superñcie 2x | 3y * 6z: i(U + 3y t 6z) :21+ 3, + ók (problema 5 del Cap. 4). Luego un vector noÍnal eGSura)es

"=#+=f i- f l r - f - r'2 '+3'+6'

Porconsiguiente,.h = (+r-f l .$u.r = f t '#r=la,ay.

También, .n = (18¿¡- t2J+3yk\.(+t*f i i r fu - 362-3-6+18/

teniendoncuentaque z = !3=Z:y, de a ecuaciónes. Luego

= lí*"##,= fr f f f t "" = [ 'u-RR'R

Para hallar esta integral doble extendida a ¡, mantenemosñjo .x e integ[¿mos con 1' ' _)

y:0(Pen la 6gura) ay : '"7u (Q en la figura); a continuación, ntegramoscon

" fu (Gz-2"/ ' $-Lr) t t .dx = lo ,rr-12,. \2¡a' = 24lo yr=o /=o -

Si hubié¡amos tomado como s€ntido positivo del voctor unitario normal |l Gl opuostoal detado obtcnido s€,rl¿.U.

f[ ^'" ',t

x : 0 z x : 6. De esta fofma so recorr€ .R por completo. Haciendo operaciones,

aaz). Haf far ff a.n aS, s iendo = zl+zi-3y2zk y.i la superf ic ieel

JJJ

ló situadaen sl primer octanteontrez : Oy z :5.

Proyectemoss sobre el plano xz, y sea .Resta proyección como indica la ñ8ur¿. Obscasono sepuedehacer uso de la proyección d€ ,S sobre el plano ¡/.l '



'

¡¡ mrrnal a ¡, a /r : 16es V(¡' * yr) : 2¡i *el vectorunitario normal a S indicadoen la

f| ?

= II ¡ .n l 'o. ' ,JJ ln.J IP

.- 1

^= -ZJ:ZL- - r i+y j

/ ¡u¡' t 1zy' 4

¡: -r )r'z 16 en S.


l00t + 100t

(VxF). n d,S siendoS tasuperñcic e ¿ esfcra

97

JI^'"0'

+. = (z i +xl -}y2zl r\ ,

l t f i iendo uen= "t !n, t ,n. t=\

JI1"o""'R

= yi +(x-2rz) i -xyk, hal larJJ

f I z' : a' porcnaima elpl*o"y.

t

dS siendo ó =1"y" y.SIa superficie el proUtcníiZO.

f f r?

)) o.o'= JJ "frfi3,?

=90

como en el problema 20, esta última integral es

15 ?*a,az -

! I I6" ,1*," /ñ ly¡d,d"

óJJ

hdremos,

9xp =

r ik

ooot¿a"| , -ztz -x!

xi+, t l(-..-+ ) =

i?z+ xy\

= , l+yl-22k

i

I I r "

z=O x=0

f,

- -1 I tQ!"t + 9!zt \dz =8 J 3 3 - ' ,

I¡¡ormal a x2 +y 2 +22 = a2 gg

9p2+y2+22¡ = 'u l , z.y! *z"tI

* t = i t : r t . t 4+.I ' t

¡lral de superñcieef -

¡ ldz = | G"ra\¿,



¡

E


El vector unita¡io n de la figura vienedado po¡

¡ = 4j t : -Ui -1]4 - ' l+ tJ+zky'4r ' + 4f2+4t2ya quc .x' * y, * zz : a2.

--,

La proyección^de sobreel plano xy es a regiónR limitada por la circunferencia ,Iomo se ve en la figura. Entonces,

f f ?r

JJ tV'rr.nas =JJ rv,r l . " 3 ld '

JP

f r=

JJ "tI y i -2zk\ . ( ' !u:4\ * -4)

R

= f' f* 'o"!+4,,0., t -"

,=_",u, ,v a' - x '-1'

¿l?i::'":UTY:::"",:/:-#l;,llJi"lál?ilT""T"J

f ln2| | t -3, t , a2 p2 , -!=L=t ¿

,J J ,/-2 ^2D= 0 p= O

a2 r

I la ' -7t"" - " . ,Tp, l" l¿J

t

'p=o1-Y

a2,I to"-o3l ¿ó = n

J-

\ \ -

.f* f" !P2! oooo. f- f" 'f4:!)-!,opoE¿"=o olo

v a'- 9'

^!o!=o '. /a2 o2

Si F -- 4r¿i - y2i + yz.", , halar I l . . r , l t

siendos a superñcieelcubo imitadopor x I o,r-1, y=0, y=1, z=0, z=1.

CoraDEFG: n : i, ¡ : l. por lo tanto, '/aa

/ / r . "as = I I Gzi-12 i,vzk). idydzrJ J^ J.,DE G

f | / r1

= l l 42dydz = 2Jo Jn



INTEGRACION.VECTORIAL

r : -¡, ¡ - 0. Por lo tanto,

f-¡JS =

Por lo tanto, O

(4tz lJ. (-t) dz dz = 0

r : k, z : l. Por lo tanto,

99

r-rrs =["[ 'nf

t+yzrt.(- i) rkrtz = o

L Po, o tzrto, /

! ' l ' , * , r-¡+zl) . j'a" I ' f ' -a,a"

r : - i ,y:0.

l r l f r. ¡ds =

| |vo lo

ff '.''n'J

. t ¡ - -k,z:0.

F.",tsI'l'

Por lo tanto,

Fv"l l . i -n¿"¿v = o

2 + o + (-1) + o + á + o = !-2'

de integral€sde superficie hcmos consid€rado cl caso de superfici€sde dos caras. Ponor un ejomplor[porficie de una sola cara.

una tir¿ de papcl, corno .IBCD e b frg1'J,fn,,y doblamos do forrna que los puntos

c¡igan sobre D y C, rsspactivamsnte,como se vef3ura inferior, Si n €s el vector unitario noÍnal

cn un punto P d€ la suporficie, al desplazarseerpl¡ficie invierte su sentido original cuando lsgaro a-P. Si inúentáscmos olor€ar solamenteuna

rs darlanos cuenta d€ que sg h¿brl¿ pintado todaEsta sup€rficie, llafiwda bqnda de Moebiüs, es \Íde una superficiede una sola cara. Este tipo dc

tsmbiár seconoce con el nombre de superficie

, micntras quc las dc dos caras se llaman

DE VOLUMEN

dcl cspaci o funitada or lo s planos4x +2 y + z:8, ¡:Q, y:Q,2:Q'

límito de una suma.'. (ó) Hallü la integr¿l d€ (a).

l:15+'y,y Y larcgión

ifi

un**fifoor-.



i

100 INTECRAC¡ON VECTORIAL

(a) Subdividamos la región Z en M elementos devolumen cúbicos, ÁVp : A¡rlyo¿¿u

"on : 1,2, . . . , M, como se n dicaen la 6guraadjunta, y sea(¡¡,, r, z¡) un punto interior aestecubo. Defrnamosó(xk,yt¡,zk) - {t y con-sideremosa suma

S^¡¡r¿)

extendidaa todos los cubosposiblesde la re-gión. El limite de estasumacuandoñ1

-óode

forma que la mayor de las dime¡siones ,l r/¡rr f

t iendaa cero,s i existe, s | | | o , l l . s". ]JJ

7,puede demostrar que este imite es ndependient€d€l método de subdivisión siempre que seacon-tinua en ¡/.

¡2

J

Nota: El r€sultados€en la cual la donsidad

2ó. SeaF:Uzi -x i+ y 'k.

x : o, y : o, y : 6, , : x2,z : 4.

Convieneproceder on orden al extende¡ a suma ,/) a todos os cubosde la región. Unaes su¡n¿r, n primer lugar, todos os términosde (1) correspondientes elementos e volumen

en una cofunua, como la representada Q en la frgura.Ello equivalea mantener ijos rr. e /|A continuación,sepuedemanlener6jo xk y variat yk. Ello equivale a suma¡ odas as columntgnidason la rebanadaR.5y, por ¡o tanto, a suma¡ odos los cubos contenidosen la misma.se varía ¡¡ y se habrá extendido a sumaa todas as rebanadas osiblesRS.

En el procesoanterio¡,se ha efectuado a sutnavariandoprimero z¡(, después* y, po¡Sin embargo,esta sumase puedeefgctuaren un ordeq cualquisra.

(á) Todo lo dicho en (d) se aplica en €l cálcu¡odel valor de Ia integral, Ma¡tcliendo ¡ e ),integradesde : 0 (basede la columnaPO) h¿staz :8 -4x *2y (altura de la columna Ptinuación,se mantiene onstante y se nteg¡a respecto e/, con lo cual, e habrán sumado acuy¿ bas€estáen el plano xy(z : O) desd€ R en dondey : ¡¡ hastaS (en donde 4¡ + 2y :y :4-2x); l¿ integración,pues,se hacedesdey : 0 hasta ¡r 4 - 2¡. Finalmente,se slas rebanadas aralelasal plano /.z, ofectuandoa integ¡aciónentre x ==0 y x .= 2. Por Io ta

rnos escribir

^2/.q-2r

^Í l45,2y dzdydx . 45 | | ,2y6-at -2y\d1d.x

x=0 y=o

- 45 I }* 'G-ut 'd.r = r2Bló

puede nterpretarfisicamenteconsiderándolo omo la masade d va¡íacon a¡reglo a la ley E :45rzr.

dl en donde I/ es la región limitada por las^n",!!! rv

l,a región ,/ se recorre a) manteniendo e y fijos e integ¡andodssd€z: x'hasta z :4(basrespcctivamente,e la columnaPO), (á) manteniendo ijo ¡ e integrandodesdey:0 hasta ,:6(enlaf ranja)y, f i ¡a lmente, (c) in tegrandodesde¡:0hastax:2(endondez: rrco¡ ta¿z:4) .Asla integral es



-=-

l0 lNTECRACION VECTORIAL

y2 dz dy d, r " 'r:

f ' ,u" , - " ,+y2k)dzdydx

'f l,:Í,', 2'';2zdldx'Í,'1,'l:

128i - 24j + 384k

: ' l : r_ 1:: 1 ,:

nli iz nTo2-,2

B I | | a,ava, 'tt t

,=0 y.0 z=o

n/o2-t2l l ' -o ,

= 8 | ¿ r o2-x'dydx

r=a t=o

II

olumende la región imitada intersección e los cilindros x' + y' :41 y x2 + z2 a'.

Volumei pedido 8 veces l volumen ndicadoen la figura.

por la

=81

7,

1o" rt¡ at =$





28 .siendo (r) (3r! ,) +(2_ 6t)i_'4tk,haltara¡ l'R(r)dry (ó) fn*() rr .. J J2

Sol. (o tQ' - t"l2)i + (2 t 3t.\ l-2r'k + c (ó ) 50i-32i-24km Y^tt^,

fo"/2tl "en

+ 2 cos \ du So/. 3i + 2J

f2

f0. Dados ( f ) f i - r ' j + 0- l )k y Blt \ :2, , i* 6rk, hal lara) l-JO

sot. at 2 (á) 24r-Tt + Tk

^.Rdt,@)Ío A X B d'.

/t 3,6.l . - - -¿

37. sie¡do A : (2y 'f 3) | * xz ! -l (yz - x)k, halh I A . dr a lo largo dc las siguientos t¡ayocto

(a) x:2t ' ,y : t ,z : t t desde :O n r: t ,t '

(ó) La quebradaque une los puntos (0,0,0), (0,0, l), (0, l, l) y (2, I, l), r ',(c) La rccta que une los püntos(0,0,0) y (2, l, l). 1. ..so/. (a) 288/35 (ó) l0 (c) 8

Siendo :(5¡l- 6x,)l (2y-4x)!, taftar I F,d¡ a lo largode la curvaC del gl ao xydesde l pu¡to (1, ) al (2,S). Sol. 35 rC

.39rSiendo F = (2¡ + f) i * (3y- ¡) J, hallar I f . dr a Io largo de la quebradaC del plano ¡/Jf

I --- ¿fO,Haflar el trabajo roalizadoal desplazar na particulaen el campo de fuerz¿sF : 3x'i + (2xz- y' a lo largo de,

(é la roctaqu eune ospuntos 0,0,0) y (2, , 3).(ó) la curva x : 2t2,y : t, z : 4t , - t desde : 0 hasta ¡ : l.(c ) la curva definida or x, :4y, 3x.: 8z dosde :0 a x =,2.

,!oL (a) 16 (b) 14,2 (c) 16

t¡1 o*osA : ri - 3i+2rk, B : i - 2t+2k,c : ::+4 - k, tratta.o{2a

. x C ttt, ¡f2¡ xl

t7 á.¿ r{sot . o)0 (ó)- t i - ; i+;k

La ace¡€racióneun apartlcula n unciónde l iempo, = 0vienedada or s :e-ti*6{t + l) l +Sabiendoquelavelocidadyyeldesplazamientorsonnulosenel instante in ic ia l t :O,hal larvdel tiempo (lcy de velocidades de espacios ley del movimiento).,9o/. v: (l -e-t)t-(3t'+6t) i + (3 3 cos ) k,,r : (f - ¡1s-,¡ i-(r¡*3rt) j + (3r- 3 s€n

33. La aceleración de un objeto en función del tiempo ¡ viene dadapor ¡ : -j'j, sicndog unaSabiendo ueen el instante nicial ,:0, la velocidad sv : ro cos 0o + yo sendo y queel des!esr:0, hallarvy¡en función el iempo, > 0, Estc aso orrespondelmovimi€nto eun proy€cpor una piezade artilleríacon uD ángulode elevación0o y una velocidad nicial de módulo vo.,So/ . v: r recos0qi+ (vosen0o-at ) i , r : ( rocos0o)r i + [ ( ros€n o) - ]gt ' ] ,

/ 4. Hat tar 'n . !a, s i A(2) :2 i - j +2k y A(3):4 i -2¡ + 3k. So¡. lo,Jta l

35. Hallar la velocidad r€olarde unapartlculaques€muevea lo largo de a trayectoria : acos úrti + ó

siendoa, ó, ú.¡ onstant€sy t el tiempo. Sol. labot k36. Dcmost¡arque los cuad¡adosde os periodosde los plan€tas ¡ su movimiento alrededordet Sol so

cionales a los cubos de los semiejesmayo¡es d€ sus Íaye¡torias eliptic¿s (terc€r¿ ley de Kepler).

lo spuntos0,0), 2,0) y (3,2). So/. 1l



INTEGRACION VPCTONTET

.t¡.n¡r I F.dr sicndo :e-3/)¡ +('-2¡)l y C la curva cc¡radade l plano ¡/,¡:2cosf,JA

¡:3se¡i¡ dcsdc ,: O hasta ,:2r. Sot. 6n, si C se recor¡ecn el sentidopositivo (contrarioal d€b egujas del reloj).

lhodo T un v€ctor tangcot€ unitado a la curva C de ecuación r : r(¿), demostrar que cl trabajo rcalizadot¡

J Gplazar unapartfcula n un catnpode uorzas a lo largode C vienedadopor I F.Tds siendo' Jc

b longitudde arco.

bdo F:(2¡ +/') l +(3/-4x)J, halhr f^ F'dr a lo largodcl tr iánguloCd e Ia Fig. l, (a ) en-. JC

-oi¡dicado, (ó) cn scntido contrario al anterior. Sol. (aJ -laf (b) l4!3

l¿-l-

-ro

l-,, '.lt" ,

A . dr a lo largo de la curva cerr¿da C det a FiE. 2,

9t. 213

fudo A:(y-2x)t + (3.r + 2/) j, hallar ta circulaciónde A al¡ededorde a circunfercnciaCdel plano.ryo oentro en el origsn y radio 2, sahiendo quc C s€ recorre en s€ntido positivo. So/. E¡

f

",|nd"p"nOienteac Ia trayectoria Cd Si A:(4¡r-3x 'z ' ) i+2x ' t -zxtzk, denostrar ue I A. 'ar

JC

lE pasapor dos puntos rtados. (ó) DcmosÍar que existeuna función derivableC de forn,r que A : V{i t¿itar sú expresión. sol. (b) ó ¿ 2"zy - xt z2 + constante

f. ) DemostrarqueF:(/tcost*zr)lt(2lsen¡-4)t+(3x2r *2)kes un campo 'l€. fuer¿as on -serva¡rvo.

e) Hallar cl poencial esc¿lardc F.

lc) Hallar €l.lrabajo r€alizadoat desplaza¡ n cuerpoen €stecempo desdc 0, l, -l) hast¿(z/2, -1,2).

f,, l- (b) ó:r,¡s€n¡ +xzt-4y + 2? + constant€(c ) 15+4fl ./

cl

sabiondoue r:(¡-¡) l +(¡ +.r) t.

DlDostrar qu€ F : /tr es conservativo hallar €l potencialescalar. sot.4: f, + "onu*ruI)cdcrminar i el campode fuerzasF:2xzl *(x'-ñ I +(22-x¡)k es conseryativ(. So/. No

Ittmostrar quc el trab4jo realizado obreuna particulaparadesplazarla esde ,{hasta Bes guala la variaciólt

-la enerbfa inética€n dichospuntos, anto si el campo de

fuerzases conservativo or,o s, no lo es.

E¡Ur I , l .d¡ alolargode la curvax'* y ' :1, z : I ,en el sent ido osi t ivo, €sdeC, ' l ) a (1,0,1)

i ¡do A:( . /z *2x) l * xz i *Qy !22)k, So/. I

€) Dado E:rr, ¿existo na funciónd deformaqueE: -VC? En casoafirmativohallar dicha funciónf

O) Cslcular Q E'dr siendo C una curva simple cerradacualquiera."C a

U. (q) ó : - -¡- + constante (ó) 0



104 TNTEGRACIONVECTORIAT

(ó) A :(¡ + y")l-2rcj +2yzk y S la sup€rfic ic elplano2x * y + 2r:6 situada n el prime

.to¡. (¿) 108 (ó) 8l

, f :0 , z:0 e y: g, s iendoA: 6zi t (2x +.y) -¡k. ,5o/ . l8z

I 53, Demostrarque (2xcos/ l zseny\dx +(xzcosr-x'sen yldy + x*nydz es una diferenc' Comoconsccuencia,esolvera ecuación2¡cos/ + z*I.y)dx +(xzcos/-¡ts€tr ! \ dy I x*¡y, '

,to/. ¡' cos/ + ¡z sen : constante

/?l. Resolver a') (e-v -l 3x'y') dx + (zt'y - xe-t) dy : O,/ (b\ (z-e- ' *ny)dx +( l +¿- 'cos/ )d/ I (x-Bz)dz:0-

Sol. (a) xe-v ! xry': constante(b )

xz + e-'str,ny+y-42': sonstante

.?SJ. si O : 2.ty'z + x'y, halhr I d </r siendo C :

(¿ ) Laiurva¡ : t , y : l ' , z : r! desdo, : 0 hasta, : l.(ó ) La quebrada ue une los puntos 0,0,0), (1,0,0), (1, 1,0), y(1, l , l ) .

tq t l 75 Isot . a) asi+ 15¡+7;k

(ó); i i 2k

56. Sie¡rdo :2yi -z i * ¡k, hal la¡ f , , Ora lo la¡go de la curva ¡ :cost ' v :sarr t , z

desde :ohasta t : nl2. Sot . (2- ; ) i+(z- l ) i

f57. SiendoA : (3x + /) i - t , + (-/ 2) k y B : 2i - 3j + k, hallar I (A x B) x dr alrededoJccunferenciaelplano /, dec€ntro l o¡igen radio2, recorrida nel sentido ositivo. Sol. 4

fr lr

58. Hallar I I I 'n ¿S"n

cada uno de los casossiguientee./ .,rJ'J ' l

(a) A: yi * 2xi- zky S la superficiedel plano 2¡ * I : 6 situadaen el primer octantey limelp lanoz:4.

t /

59, Siendo :2y i- zi + ¡t k y Sla superñci€/':8¡ situada n el primeroct¿nte limiiadapor l

ffy : 4 y z -- 6, hallar f l F'tr ds. sol. 132JJ

?¡I I

6(). Hallar JJ A'ndS extendida la superfrcie del volumenimitadopor el cilindrox' I z" :9

rr1. Hallar JJ t'¡dS exiendídaa: (a) la superficieS del cubo unidad limitado por los planos (

J

ylosplanosx: t , y: l, z:1; (ó ) a superñcice unaesfera e radio4 con c€ntroen 0, 0,0)'

sot. (o)3 (D 4't'

fft l

62. Hallar J J lt' n aS oxtendida a la superñcie del voluñeo situado por encinra del plano .ry y

spor €l conoz' :x2 Iy ' y e l p la¡o z :4, s iendoA:4xzi*xyzr i *32k. Sol. 32Oa

63. (a) Sean la proyección de una supcrñcie S sob¡e el plano ¡/. Demostrar que cl área de la supcrfic



INTECRACIONVECTORI,¡- 105

Á__ -<-_--/ óF .2 .óF.2 .dF.2

voxóyóz

. area cl plano + 2y +22: 12l imitado or: (a)x :0, .y : O, : l , .y '= l ; (ó) ¡ :0,r :0,' - :.' : t6. Sol. (a \ 312 (b ) 6n

f r:-.L esel áreade a sup€rficic dgecuación(x, , z) : 0? t,

JJR

, . ff rv,.>.nds(á)Ií, "*

laFldrdy

siendo :(¡ + '2y\ i -3zi l , ¡k, d - 4x ]-31,-22,

Por ¡ :0, x:1,Y:0o y:2.

: á¡ea de la superficie imitada por la hters€cción de los cilindros x" * t' : a. y xz + 22 a2.

. tJ

-i ':;perficiede 2¡ + y + 22 :6limjtada

: i (b) 2i * i *2k

: : : e l problema nter ior , iendo la superñciex +y + 2z:6l imitada por ¡ :0, ) ' :o, y z:0.

: 92 (b) '12i136i+72k

ll ,',2+tz d.xdyextondídala región.Relplano y imitada o¡ ' * y' : 36. Sol. 44n

-lJJ,urrror , siendo/el volumenimitado orel c i l indro :4-x ' y losplanos.r :0,

:2yz:0. So/. 30/3

: !x:-32)i-2xyi-4xk,nuttar <O f I i .Fdv y \b\ l f f V,rdy.siendo v el

. ]JJ JJJv v-, . .8. .8i imitado or osplanos : 0, t :O, z:O y 2x+2y*z:4- SoL (a) i (¿);0-k)

'r)l'

2



1. - --

en dondeC se ecorreen el sentidoDositivo.El sentidode circulaciónde C es ¿osirivo uavador que recorra a periferiade S en dicho sentidoy con su cabeza puntandohacia a na S, deja a superficie n cuestióna su zquierda.

TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO. Sea Runa regióncerradadel planox), limcuwa simpley cerradaC, y M y N dos unciones ontinuas e x ey con derivadas ontinuas

positivo (contrarioal de las agujasdel reloj). Mi€ntras

significaque la integralse efectúaen una trayectoria

t' f

del teoremade Greenen el plano,sustituyendoa regiónpla¡a R y la curva cerradaC quela región tz del espacio la superficie erradaque a limita Sirespectivarnente..or esta azde la divergencia de Gauss seconoce también con el nombre de teorema de Greenen el espaci

El teore¡na e Greenen el planosewiifica asimismo, n el casode regionesirnitadasñnito de curvassimples erradas ue no secortan(problemas0 y I l).

Ca ítu

Operocionesntegroles

Teoremode lq divergenciq, eoremodel rolqci

wERGENCIA DE GAUSS. Sean,Z el volumen irnitadovectorialde posicióncon derivadas ontinuas;entonces

t t t t t f f

JJJv.^dv = JJ^.r ,ds= $)e.asr ,sJ

f o'o'-c

y olros eoremos nlegroles

TEOREMA DE LA DMRGENCIA DE GAUSS. Sean, porcerrada3 y A una función vectorialde posicióncon derivadas

siendon la normal exteriora S (positiva).

TEOREMA DEL ROTACIONAL DE STOKES. SeanS una superficie biertade docurva cerradasi:nple ituadasobre a superficie nteriory A una unciónvectorialcon deriva

ffo,n,.,rs - ffrv"n,.a"

f ro, t rn,' c fl,* -*,*,

cuando C se recorreen el sentido

lo contrario,supondremos ue yl'recorreen sentidooositivo.

El teo¡emade Green en el olano es un caso Darticulardel teoremadel rotacional dblerna4). Tambiénes nteresante bservar ueel teorema e a divergencia e Gauss suna

106



TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

INTEGRALES.

10 7

té.f, * (vó\.Nq,\)dvff ,rrrr.o"

JErt es ef tcorcma o pr¡mer.i ident¡lfqd de Greer.

- at@V',!- , t ,V'6dI ' = I l t tVp - ú,Vo).ds

r| producto ectolial problcnra 3) .

5

cs cl teolcnu s¡núlrico o saguulu i dutt idul lc, Grt'rn (probleura 2l ).

ixrdv = ffo*otas = lfo"-o3S

Obeérveseque cl producto cscalar dcl teorc¡na de la divergencia dé Gauss se ha sustituido

r f r f= | l lnxYE¡dS = l ldsxYaJJ JJ

g una función vectorialo escalar representandoor el símboloo un productoescalar, nvectorialo un oroducto ordinario.severifica:

III,"r,, =il""r" =ll,"",t

* = ff ,,,v, +os= ff ,0",r',qma de a divergenéia e Gauss,el teoremadel rotacionalde Stokes los números3 y 4 an-sonc¿sos articulares e esteúltimo (problemas 2,23 y 34).

tlA INTEGRAL DEL OPERADOR'V, De acuerdocon la terrninologla mpleada n el Pro-cs interesante epresentaral operador V en la forma

vo t \ ,h #n'AJ

ribolo o rep¡esenta un producto escalar, un producto vectoríal o un producto ordinario

rLI

v

{* ."c

I-a utilidad de esta forma de proceder a vcremosmuy claramenteal generalizar os con-rats, divergencia rotacionala ot ros sistemas e coordenadasproblemas19,24 y Ca.-



Problemae reeueltoe

TEONEMA DE GNEEN EN EL PI./WO

l. Itcnogtr¡r cl tcor€Nnsc G¡con€n ol plano,¡icodoC umcr¡rva cc¡rad¡ quo tieno la propicdeddc que toda r€ct¡p€¡¡bla a uno dc loc eis coordaoadosa corta a lo ¡u¡¡om doEptmtor,

Scan,y -y'1¡¡ 3

": rl¡) l¡s cr¡acioncsdo las cr¡r-

vasAEBy AFB,rcrfr¡c'üva,mento,uoapa¡ccon n a figuraadjunt¡. Si ¡ c. l¡ t!8ión limitadapor C,

For lo taúto,

Análogat .nto, tú x : X{ll y x : X.(1t) son las cq¡acionc¡ do l¡s c1¡rvasE¿F y E

C@probas cl borm! dr Grür cn cl pl¡nof.

een ta intant f l{ry +y2l !* + 12 dy úñ? \_.

C la curvaccrradaquo¡iüit¡ l¡ rtgióü dcGnld¡POrt:¡et: t ' .

TEOREMA DE LA DTVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

f fav . .JJ

t"',"v

=

[ '"

o"""?,tilTü;rií ñ lf*Iffi"'Tsonridopoeitivocn qr¡cao ¡scon¡ l¡ úca C.

.[.'1,={^:'"],'

=

l"'oat;wl,',=

- l 'ro.ru* - foro,r,rr ' - frr*

(r)f rrr" . -$Vr,r ,

I!*,.,,J:1,"{:'1"'['P,,=

!r"n<*''rto,fl nu.,na,= frnr,

Porrot¡nto,/.\

(2,I

r*"i- f!*r';,

sr¡n¡¡do(¡)y(2),{ro,no, . $:* - {ta'+.



TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, EOREMA DEL ROTACIONAL

* n' ¡g?: a lo largo-de : ¡ , es , t r ¡ , . f r {C,r . . {r .r- lat.?l

.l Gla\ + za) x + (x2\2')d, = J- o'" * ó a" .= f;o ¿o

* c:cr-- l a lo largo de .r : x desde 1, l) a (0,0) os

lo fo| (f"lr ' l I P) dx + 12dx = | 3x2 1. = -1

- Jl .tl

.,JrrE¿ integralurvilinaa€dida ale=i3-t

= -* ' - '{+ i,/

f f .¿¡ t ¿M.. rr ^JJ,;;: - fitaxar = JJ rf;e't-fit,v'v'¡)a,avRR

ft f ' ? '= | I o-zt t¿,¿, = | | e-zt tdvdz

JJ J JP t= O f=t2

= [ ' t f ' ( , -2vrdr)d, = [ 'pv-vo¡l '^*uO Jr2 uo t'

=

¿@4-x3\¿x -ñ

109

tJÉ cl tcorema s€ cumDle.

: la demostración del t€or€ma de Green en el¿:¿ en el probleria l, a las curvas C quc seancor-

lc aás de dos puntos por re,ctasparalelas ¿ los ejes

T::-a y que puede ser cortada €n más de dos puntosras paralelas a los ejes. T¡azando la recta 57, la

leda dividida en dos, Rr y ¡Rr,que son del tipoen el problema I y a las cuales sepuedeaplicar

de Green, es decir,

-"n.de¡emos una curva cerrada C como la inücada

t¡ t¡ t¡ ^

I t rat+ Nay= ,r(+-!)¿'¿yJ JJ'¿x ¿"

SEando los primeros miembros de (J) y (2), sin escribir el it¡t€grando M dx ! N dy, seobtione,

sfu P1

f ,,,* , = II ,* -{ta,arJrft R2

T-T =T-T-T,T=-f = Tf¿J JM,' ,'? TIJS SVT fJ TIIS SVT TOSVT

encuentaqucI. - f,tf fs

iünando los segundos mi€mbros de (l) y (2), omiti€ndo asimismo el integrando,



l l0 TEoiEMA DE LA DIVERGENCIA. TEoREMA DEL RoTAcIoNAL

Siendo R la ¡eunión de las regionesXr y R¡,l' ¡. n

^-.Por o anto, I Mdt+N¿y = ll t ! - lya,ay , como e uer ia emJ JJ d¡ óv 'IUSV! R

Vx A

Una región R, como la considerada n el problema l, en la cual toda curva cerrada cuacn ella se puede reducir continuamente de dimensiones alrededor de un punto sin dejar deso llamz simplemenle corexa. Una región que no es simplemgnto conexa es múltiplemente aplicado el Teorema de Green en el plano a regiones simplemente conexas imitadas por curvaproblema l0 se gpneraliz¡ el teorema a regiones múltiplemente conexas.

En el c¿so de regiones simplemente conexas más complicadas, puede ser nec€sario tr¡r¿como la Sl, paxa aplicar el teorema.

4. Expresar el teor€¡na de Gr€en en fonta v€ctorial.

Se ¡ene, ¡ t¿r+, rydt , = (Mi+Nj) . (dx + dy \ = A.dr , s iendoA= Mt+dJy r=r l+

cual lr = dxl+dyt .También,si A = Mt +NJ resulta

rjkaaa7z ¿y ZzMNO

dedonde,V*e¡. r ; $¿M

_1 .

oy

El tsorema de Gr€€n en el plano sepuedeescribh en la forma

I n"e A.dr = | | 1Vxel.h a, i

ucsi¿nd6 d¡R= dz dy .

La generalización do este resultado a superficics S del espacio limitadas por una curvateorenu dcl rotqcional de Stoker que s€ demuestra on el problema 31.

Otrc m¿todo.

Como nte,Md¡+ N dy : ¡ ' ¿, : e,' fi * : l'ras

.d tsiendofi

: T : r¡ectorutritario tangentea C (ñ8uraad-junta).Si n esel vectorunitario normalexteriora C, entoncrsT:kxn,y

M dx * N dy : A.T dr : A'( t x¡) dr : fAxk).n dr

comoA : Mt+Nl,B: Axk: (Mt+tvj)xk: Nt-Ml,AN AM

resula -- ---: v.B. E¡ tcor"made Greoncn olox otplanosr expresa or

f f f -{n.na. = l lV.BdRJ. JJ'¿

slndo dR : dr dy.

i l - [ I I ITRZR

9¡ . ,P *,*z Ot Oy

- -



TEOREMA DE LA DryERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

y,oxpodemoselegir una líneacualquieracomo, por ejemplo, a quebradaque une los puntos

0) y (2, l), en este orden.

fargo del segnentoque

un€ lospuntos (2,

0)y (2,1\,

x:2,

dx:

Oy

la integral vale

[[f v",,¡r¿¡-

zación de estec¿so, sustituyendo el elemento de lín€a, o diferencial do Ia longitud de arcocerrada-C por la difc¡enciál de área dS de una superñciecerradaS y la región plána R corr€s-

-rada

pofC por el volumen Z encerrado por S conduce al teorema'dc Ia-üverienc¡a

de GriinL G¡eenen el esoacio.

firi;amente el primer resultadodel pro6lema4.

r campódefuerz¿s n el quoseencuentra napartfcula;entonces, n . ar eset trabajo real!JN

d¡splazar dicha partícula a lo largo de una trayectoria cerrada C y su valor €s V x A. De aqui sc¡¡i V x A:0, ó bien, si A: Vd, la integrala lo largo de una trayectoriacerradaescero..E¡to

que el trabajo realizado para desplazaruna partfcula desde un punto a otro es indcpcndiente del plana que se sigapara ir del uno al otro, o bien, que el campode fuerzas es conservativo.

E demoskado ya en el caso de campos d9 fucrzas y curvas alabeadasen €l espacio Capltulo 5).Ernente, si la integral anterior os ind€pendionte de la trayectoria qu€ une dos puntos de unaücü, si la int€gral ¿ lo largo do una línea cer¡ada es cero, rsulta V x I : ó. En el plano. latF x A : 0equival"

#:$, siendo : Mi + Ni.

, #::r, :

#, * de.duce ue la int€gJql es independicnte e.la Lra¡4:!!gria.En

üquienpcn€Darú4ex4ls DlaDt

i2, ) (lox' - 2tyt) dx- lx'yt dya lo largode a curva r - 6xlr : 4Jli.

c¡q¡lo directo de la integral es diffcil. Sin emba¡go,teniendoen cuenta que M: l0xt -2xy.,

, t "

.y'/ ./

AM AN

A":

E,(Ox. - 2xy.) dx - 3x'y, dy 6 una diferencial exacta (de 2x6 - ri¡), podremos

(10la -?tcys) ¿, - 3xj2 dy

que el área limit¿da por una cuwa simple ccrrada C viene dada por $ i| r dy - y dx .JC

^I-J - 12r '¿!= -a.

y=0

, 2 .ndQts -*t\ = 2tó - x2y3'(o,ol = OO

pcdida 64-4 :60.

( = [ ' " ' ""(0,0)

$<o - f,<t>)a"a, = z[[ o'a,

e=if ,ar-ra,.Pl,

€n €l teorema dc Green, M : -y, N : .r, s€ tiene

f,xd y - ydx

I el área pedida. Por lo tanto. ,{

b larso er osmentoue ne ospuntos0,o) v Q,o), : n-*

-

il'itl,":*l

:"" 7 +t

,J"roradr= 6{. t- t ( 'á)

, o. ,; f

= 2A



r--II2 TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

t. Hallar el ár€ade la elips€ ¡ : o cos0, y : ó s€n0.

** = +$zdy -ydx = , I ' " rcosa\ f t 'cosl)d0 g* O)ea*\0)de

= ¿f'" ou .o',0+ xnz\¡a0 = tf' "

* d0 = nob

r9. Hallar Q 0 - *n x) dx + cos x d/, siendoC el trián-

rc

gulo de la ñgura:(a) Dir€ctan¡€nte.(ó) Aplicando el te,oremade Green €n el plano.

(a) A lo largo de OA' y : O, dy : O' y la int€gral val€

r"h rhJ"

(0-s€n' )dr + (cos¡)(o)J -s€nrd¡

' t t/2 cos lo : _ l

La intelal a lo largode C = -r + o + 1 - T -

(b)M= r -* i , , ,v = cos ' , $= -r .n, ,

#= , tO" OonO"

A lo largo de AB, x :i,

* : O, y la integral vale

¡L

J"(Y-t )o * odY = 6

A lo argo c8o, y :|, o, :I a*,v t^integralalc

f' r ! -*ou* ,2"o' ,d, = (+*.o" , ,?nn'¡ l l *

R

(-s€n¡ - 1)

T2'4 'r l

7r 2.4Tr

2TT

,cos¡+sen,)* l ! =

I

2,-ñ\ -

¡ ¡/z=,

t

$ "'* r, = II ,* -{to"o, = [[ 'n*"' - ' \dvdr

=rulrx= o Ly= o

que coincidecon el rosultadode (a).

Observeseue aunqueexista una rgctaparalelaa un eje coordenado el propio eje r €n ecorte a C en un núme¡o nfinito depuntos,se siguo eri6cando l teorsmade Greenen el plano.teorena es válido aún en el caso de que C ostéconstituidapor un número finito de,/segme

10, Demostra¡quoel teoremade G¡een en el plano tambiéo se verifica en el casode una región Rconexa,como la representadan la figura.

P(-y s€n - 7) l

=.[""n+nn,-]>a" =

l,a regiónsombreadaR de la figura esmúltiplemente onexa)ya que no secumpleque toso pueds ir roduciendo hasta un punto sin dejar de



TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,

¡. ¡ como sepuedsobserva¡considerandori :...ada cualquie¡a que rodee a, DEFGD.

d€ R, que exteriorme¡te 6 AHJKLA eDEFC, se rocorre en s€ntido positivo,

G :orma que un obscrvadotque se desplacc

'ñ'ips de la región en dicho sentido deja a esta¡ = üquierda.

!b lÉdrostrar el tgo¡oma, tracomos la reata AD,rr'aro. oue una los contomosexterior e inte-laain limitada por I DEFGDALKIHA es sim-=cra y, en ella, sepuedeaplicarel teorgnaE¡ cstascondicion€s,

TEOREMA DEL ROTACIONAL

[ , T-T- T LP]I IIA ABDXNCA

f Md,+NdyII ,*_{ , , "0,ADEÍCDALIJIIA R

= T-IE1CD AL.IJfll

f ¡¡ ^

! , uo, , ay= II ,* - ! - to,o, \'

o ' ' - ' )

c1

i i , ; l . ¡1)#

que el teoromade Creen en el plano se verificaen la región,R de la ñgura, Iimitadapor las cuwas:trradas C' (ABDEFGA'),C, (HKLPH), Ca (QSTUQ) y C, (vtrXYV).

l:¡.'emos las barrcras F1, LQ y 'l:V. La región limitada por AHKLQSTVWXYVTUQLPHABDEFGAconexay en ella sepuedeaplicar el teoremade Gre.en.¿ integrala lo largo de este ontomo es

l *t i

J-LQ

i f f f f

f ' l r I r l - ,JJJJJ

QSr Iy VyXyV vr r1Qf*

n {L

fas ntegrafesa lo largo de AH y HA, LO v QL, Ty y VT 9e anulan, resulta



I l4

I1KL

- T- T " T3r VvXfV ÍlQ

= ({, ', { , )

. ( ¡ , .

IBDEFGA

T-TYXYY IBDSÍGA

) +IAQ'

IIIXYT ABDENGA

ff* l=l

tl

ff f=f+l+lv3 v1

de la región lR imitada por C, de forma que se puedaaplicar el teoremade Green. En esta

fuo,, ,o,=

I I ,*-{ ta,a,

=* * .R, ntoncesf

,o '*Ndy=¡.

Reciprocamente,upongamos ue Q M dx -t N dy : ¡ purutoda curva C.Jc

AN AMpuntoP. de a continuidad e asderivadas ededucea desigualdadaV - aque rodea a P. Si f es el contomo de ..1,s9 tiene

$ uo, ,a, f f , ' .1 ! , ,0,0, oJr to" d'

gamente,nelcaso e"*#

-# < 0 se legaambién una ontradicción.u"zoff-

cn todos ospuntos.

oM ¿VObséne.eQu e a condición

"*,- eouivale v ' A :0, siendoA ' Mi 'r N

y ll, Cap. 5). En el probl€ma 3l veremosuna generalización curvasen el espacio.

si =ay

^. aN ) l---

> 0 en a

quesecontradic€ on la hipótesisde que a integralcurvilíneaescero a lo la¡gode toda curva

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

IPE

= I. [ +ítrLPIl 8ST 8

siendo c el llnite formado por C', c", C' y C.. Por lo tánto,

t '¡

$ ua,,nay = l l ,+ -! ! ' ! t¿'¿tJc trt dr Ót

como se queríademostta¡.

rDemostrar ue $ u dx + N dy :0 a Io largode una curvacerradaC en una región im

Jr.AM AN

si, y solo si, u, ¿x en todos los puntosde la región.

Supongamos ue M y N son continuasy con derivadas arciales simismocontinuasen t



TEOREMA DE LA DÍVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL II '

_r - ' 'J, (a) Calcular VxF. (ó) Hal lar Q r ' dr a Io largode unacurva erradaJ

:: -!:-_ :: aesultados.

,71 ;¡-7

k

a?"

0

f - t dt + xd tf . i r = 9-.

,J ,- +f '

: -35coordenadas ola¡es.

pser, l . dó

x: pcosÉ y: pseny' ,siendo

dy = p cos ó dÉ + dp s.rre

: :-_ .. r que

:--. :ra curvacerradaABCDA, Fig. (a), que rode€al origen,ó:Oan Ay?4 - 2z después e

:: : . :1¡ leta y l legarde nuevoa ,4. Eo este aso, a integral urvi l inea alL' I O, = ,, ..ó

Fic. (ó)

J

¿dy

= 0 €n toda región,excluyendo l punto (0,0).

Hasamos€l cambio deva¡iabl€s

Entonces+ dpcosq,

Fts. a)

?¿rauna curva cernda PQRSP,Fig. (ó), queno iode€al origen, ó : óo en P y d : do después e una

,: --: ;ompleta y volver de nuevo a P. En cstg caso, a integral curvilíneavaleI

¿@ = o.

ComoF: Mi+ Ni, la condición " F:$equivale"U{:

ryr ; y pa¡ece omo si exist iera na

-:: :dicciónen o dichoen el problema 2.Sin embargo, o €sasipucsto ue 11-{.;

Y :;, i¡

:rene erivadas ontinuas n una regiónque rodeeal punto(0.0), quees a hipótcsis el problema 2.

.\IA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS.

Enunciar el tooremade la divergenciade C;aus!y (r) expresarlomatemátic¿tnenten cootdenadasec-üngula¡es.

La integralde superliciede la componentenorm¿l de un vecto¡ A a t¡avésde una superficie erradaesigual a la integral de la divergencia le A en todo el volumen €nccr¡¿dopor dicha superficie.



II ó TEOREMADE LA DIVERGENCIA,EOREMADE L ROTACIONAL

(ó)sea A = Ati+Az!+,431. uesodivA= V.A = +-

+¿A"

o, o1{f '

15. Demostrar, ísicamente, l teoremade la divergenciade Gauss.

SeaA : velocidadv en un punto cualquierade un fluido en movimiento. De la figura (a) se de

Volumende fluido quc atraviesa¿/S n Jf segundos

: volumencontenidoen un cilindro de basedS y altura v/¡:1vl r l 'ndS: t ' ¡dS¿t

Entonces, olumende fluido por segundoque atraviesa¿1,S -v . n dS

Fis. (o )

De la Fig. (ó) se deduce:

Ft3. (ó)

Volumen total de fluido po¡ segundoque emerge de la superñcie carrada S

El vccto¡ unitario normal exterior a S es n : ¿, i + ¿r + ¡r, k. Por lo tanto, ,r : r . in : n ' ¡ : cosÉ y rrr : n ' k : cos /, siendo '¡, 'ly T los ángulosqueforma la normaln con lospositivos r, , z, o lo qu€ es igual, con los vectores , i, k. Las magnitudes os a, cos y cos?cosenos directores de la normal n. En estascondiciones,

A. n = (Al- i + A2 ! +.{sk) . (cosf l i+cosÉj+cos7k)= lr cos d + Az cos -1 + .4 3cosy

con lo cual, el teorema de la divergencia se pusde expresa¡ en la forma

JJ ér"oto + Azcosg+ ,{"cos7)dsJ

.

Del problema21, Cap, 4, j . r.lV es el volumende fluido por segundoque emergede un elemvolumen '/ . Luego

Volumen otal de fluido que cmergepor segundode todos os elomontos e volumende S

= II ,",,

II "'"0't

II "',0'= ily

Por o tanto, Y.v dV



TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DE L

:host.ar el teo¡emade a dive¡gencia e Gauss.

ROTACIONAL 1t7

SeaS una superficie er¡adaen la que toda rectaparalelaa los ejescoordenadosa co¡ta a lo sumoen dos¡,Étos. Suponiendoque las ecuaciones e las supgrficiesímites nferior ü y suDerior S"son ? : ,l(-r.y) v:: f"(x, z), respectivamentc, llam¿ndo n a la proy€cciónde la superficie oQri el plano *¡, se iiené -

lf iY;,, = ill{o"o,o. i l l .f '"" '+a,f ,a.v v '" urul,=í,u,,

ozJ

f f . f - r r- JJ e4,.",,t1' l_,,ara,

JJ to.o.r,,,\A"{x.r.f,\)ydxPP

En la cara superior Sr, dy dx : cosy, dS2: k . n¡ d,Sr,ya que la normal nr a S¿ orma un ángulo agudo-¡ con k.

En la cara inferior S,, dy d.x - - cosyr dS\: - k . nr /^Sr,ya que Ia normal n. a .!r forma un ángulo¡btuso /1 con k.

r f r fPoro anto. J J .t"t,,1,rr1ya, -. J J e"r<.o,s"pS2

f f r rl l e"p,1,¡ , ¡aya, - l l . {s t .n1ds1JJ JJ '.P s.

i f o"<''''t't'o'R

- [ [o"o' ' ' ¡ ' to'o'

,?[ [

o"u.n"or"

,t2

f fo"*.,0,

,'

[ [ o.* . . o,s

* f f e.x.n,as,31

Análogamente, royectandoS sobre os otros planoscoordenados,



l--116 TEOREMA DE LA DIVERGENCÍA, EOREMA DEL ROTACIONAL

(á) ea^

= At i+Acj+.43k.uesodivA v.A -P+-+-+.

-dr¿)¿z

¡¡ ¡ =n ' j : cos ry /¡r : n k : cosy, siendo , l /y), lo sángulos ue orma a normalnconposit ivos , /, z, o lo qu e es gual,con los vectoÍes, j, k. Las magnitudesosa, co s 9y ccosenos ¡rectoresc l¿r ormaln. En estas ondic¡ones,

A.n = (A\ i +,42!+,43k) (cosat + cosÉ + cos7 k)

= .4rCoS'Y /z Cos. i | 4" COS

con lo cual, el teoremade la divergencia epuedeexpresar n la forma

t t l ¿4, dA" ¿At t t (=- * -o: *

-b¡a.a7a,- f f r ¡ r "o.n, t t rcosfS {3cos})ds

" í " o, d7 d¿ urt

15. Demostrar, ísicamente, l teorema de Ia divergenciade Gauss.

SeaA : velocidadv en un punto cualquie¡ade un ffuidoen movimiento. De la figura(a) s

Volumende fluido que atraviesa /Sen .11 egundos: volumencontenidoen un cilindro de basedS y altu¡a v,rf: (r¿r) . . tdS : t .n dS t

Entonc€s, olumonde fluido por segundoque atraviesa /S : v .n dS

Fis. (o )

lre la Fig. (ó) se deduce:

Fl3. (ó )

Volumentotal de fluido por segundo ueemergede la superñcie erradaS

De l problema 1,Cap.4, j . r . lV cs el volumende fluidopor segundo ue emerge e un

volumeny'/.

LueeoVolumen otal de fluido que emergepor segundode todos oselomentos e volumende

El vecto.uni tar ionormalexte¡ ior . t es n: n, i+n" i +¡ ,k. Por lo tanto,¿r : : t .

= II, ,,,v

= II "'"0'.s

TT"."O'=TT¡¿

Por o tanto, Y.u dV



TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL

d teorema de la divergpnciade Gauss.

L,suna superñciecerradaen la que toda recta paralela a los ejes coordenados a, corta a lo sumo gn dosE $poniendo que las ecuaciones de las superficies llmitcs inferior S. y supcrior S¡ son z : r(r, /) y

z), resp€ctivamente,y llamando X a la proyección de la superficie sob¡Gcl plano .xy, sc ücnc

h la cara superior &, dy dx : cosy,dS,: k . q d$, ya quc la normal nt a Sr forÍra utr ángulo sgudot.

E la c¿ra nferiorS,, dydx:-c$yLdg:-k.n¡d5,, ya que a normal nra,S, forma rm ángulo

III** = III.4'n"n,o"ill ¡r'attae")a,a,ú v ulL"=|,o,,

ozJ

= JI n",,,,,u1!=,.+r, [! u"a,,,r; a.e.y.rLtfy¡',P-R

ror o anto, [f ^o,r.ornro,= f f n"r.,,or,

fJz

f/ .

fl n""'''"'0" ff n"r'"'n"xJr

f f f f

JJ e"a,y,¡;aya"JJ he,t.tL\drdx

RP

= jf n"*.,,ts,ff 4t.o,as,

= | | ¡" t r 'n ¿s3

f f f : \ t f fta l(¡) JJJ=¿7*= JJ "voasrJ

Análogamente,royectando sobre os otrosplanos oord€nados,



o bien,

TEoREMA oE r-e ow¡RcÉNcIA, TEoREMA DEL RoTAcIoNAL

e\ f f f4* = f f 0., . ,0,JJJ ¿x JJ

v3

f f f ¿a- f f(3) t l l+2dv = . t t A, i ' t 'ds

JJ J AY JJYJ

Sumando 1), (2) y (3),

f f f ,+,¿p,(¡on = ff ,ou+A2i+ABk).¡dsJJJ ó, óy óz JJ

rJ

IIIr'^',= [[ n'""I¡ .'

línrites satisiagan a condiciónanterio¡. El procedimientoes análogo al utilizado para el teoreen el plano

!

r f17. Hat la¡ | | f .naS, s iendo - 4xzi - y ' i + /?k y.S Ia superf ic ieel cubo imi tadopor x

JJ3

y:o, y:1,2:o, z: l .

Segúnel teoremade la divergencia, a integ¡alpedidavale

f r f_ r r r f ¿ ) ¡ IJJJv.Fdv=

JJJ lüt* , ' +f i t - f ) -&tr" t lavvv

r f f l t r t f l= JJJGz-y\dv = J J J,n"-, ,0,0,0,Y t= o Y= o z= o

f t f t I f t f l= | | 222 yz ,_^d1dx = | | tz-ytdy¿, =

JJJJ

El teorema sepuedegeneralizara superficies ue ssan cortadaspor rectasparalelasa losnadosen más de dospuntos;pa¡a9llo, sesubdivide a región encerrada or S en subregiones uy

La integral de superficiese puedehallar también di¡ectamente omo en,el problema23, C

18. Comproba¡ l teorema e a divergenciaeGauss ar a :4xi-2yzi + z'kextendida a la reporx ' * t ' :4 ,2:Oyz:3.

f ' r r r r ' - ; * P,-r", , *P," l l ¿nregrardevorumenJJJo.^av = JJJlf , t t , t q. oz JVV

t f f f2 ftE=? fa=JJJG-4y-22)dv J J J

G-av-22\d't t=-z y=-,f i-P ¿=s

La supe¡ficie 9 del cilindro está formada por unas bases 5' z : 0) y & (z : 3), y la porS. (¡ ' t / ' : 4). Por lo taoto,



TEOREMA-$E-LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACTONAL

dV = dr dydz

l I9

hregrardesriperñcie=II^ñt = fi^.,nr,t IIn."or,* ff nnor"-,,, =-.--t- ,- ü ¿ &

n -o,r:r).fiJ:,r:0, de ormauefi ^.,rr,=0.

A:4xi-2y,! + 9k y A 'n lC, a" forma ue|| .

JJ t.n as" = sJ Jas, = 362,p¡65¡¿r"a e ": 4n

3z sz

O

MI

La perpendicular s + /¡ : 4 tienc adir€ccióny sentidodel vectorv(¡' * /? :.¡

lDo la figurásededuce, :2cos 0, y:2sen0, dS.:2ñdz,cenlocual,

1Zsen0'¡? 2¿t ¿6f f2 Í ¡3.

f fn.nas" = ¡ | [zqzcoe0¡"'s"- /=ó "!o

La integral de superficie alc 0 * 362 * 48¡t : E4n, que 6s igual a la integral de volumen,quedando¿l teórema de la divergencia.

Obsérveseque la integral de sup€rficie sobre S" sepodrla haber calculado proyectando,5" sobre.losplanos

div A es la diverg€ncia d€ un campo v€ctorial A en un punto ¿ d€mostrarqu€

xz o yz,

¡ = .!"" o, "o"" - 48 ff q.de =I'" n, cos2da = 4Bn

' e=o er=o ¡

div A = ,r," {of ^'ar-o LV

donde / f€s el volumeo limit¿do por la suporficie/S y el límite se obtiene cu¿ndo / t/ se reducede dinpn-

2r i +

hasta el ¡.



' - -=;> '- -

I2 O TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DE L ROTACIONAL

proxim¡dades dc un punto P signifrca que el flujo que sale de P €s positivo y dicho punto sAnálog¿Írente, si div A es negativa en lasproximidades de P, el ñujo que sale dc P cs negaty €l punto * llarm sumidero,Si una región carcce defuent€sy de sumideros, div A : 0 y, enncs, A Gsun car¡rpo veto¡ial solenoidol,

Según f leoremade la divergcncia,J J Jdtv A dv

AI

Segúnal teor€nadel valo¡ mcdio de as ntegrales, l primer miembroes

¿r" l l l¿r = ¿r '¡ r 't&u

siendo div A un valor compründido cotrr cl máximo y el mfnimo d€ div A cn ¿f. Por lo l^rtloff

| | A.n ds

dtv A = r=¿-Lv

Hstlando cl llñitc cuando ¿y + O da forma que P sca sicmpre interiot a /l/,

-iv

A ti€nd€punto .P; h¡cgo

![ ^'"rsdlvA = I lm S

Af-o Lv

Estc rpsultado sepucdetomar como definición dedivergcncia de A y, de é1,dcducir todasincluso la demostración del leorcma de la divergcncia. En el Cap. 7 utilizaremos esta deñni

duci¡ €l concepto de divergencia de un vector en otros sistcmasde coordonad¿s, Ffsicarn€nú

Jl *"as

LvrcpEsGnta el flujo del vator A a través de Ia superfrcie S por unidad de volumen. Si div A e

=[[ ^' "

n'AJ

m. Hallar ilr." tt, si€ndo una up€rficiecÍsda.t

Por cl t€orcm¿ € a diYerg€ncia,

= II,&',-

III,*Isiendb t/ cl volumen im¡tadopor S.

[[,'"n' = ![[ v',',JT

$l '$t r ,@t+t t+zr t¿v

* ,* , ' ,= ' [ f i , ,=2r.Dcmostrarlllrrnr - ,pe'ótav ff tov* - ,/vó).ds.

r3

ScaA : óV,y' en cl teorema de la divergenciade Gauss.



TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. TEOREMA DEL ROTACIONAL

ff f f f r t

JJJv.rov*rn,= JJ <ov,tt."as JJ @v,!t.asrJ, t

V.tóVll'> = @1V.Vry'¡rVdl,tVry'l - óf,l'+ 1V@¡.1V,y'¡

f l f f f f

JJJ v'tov*tr, = JJJ tov* +1jg¡'qee¡lv

(r) ![! we* + pg,¡.1it4]av- [! ov*t.asr t

lo NinEra ident¡M & G¡ccn. Cztnuzttdo / por 9 cn (I),

(2t [![ U'r"o + qeg¡.1ee¡]av- ![ oWor.t"rs

(2)dc(r), sc obticnc

(3) [![ ov"* 9V6¡av= fi,0r9 - ,y'vó).ds'J

d tcorcms 3ímétrico o teganda idcntifud dc Grecn. F¡ la d€tnGtnción lrcmos supt¡cstoouc d y v sonB ccala¡ls dr posición con dcrivada¡ continu¡s hssl¡ las de scgundoo¡dcn poi lo nrcnos.

' - '

III"r,,= fo"".t

En cl tcor€ma dc la divcrgencia, h¿gsmos A :C C, sÉndo C un voctor con$tanb. Entonccs

f f f f r

JJJ v.toctdv- JJ oc."tsf t

ConoV.@c¡ - 1V{¡.c ' c.Vó y óc.n = c.(ói) ,

. [[[ ".va,, = [!..<0,t,, . tJJf3

SacandoC fuers dc las integralcs,f f f Í tc.JJJv+av c.J)ó,asr t

tcorno C es un rrcctorconstsntearbitrario,' f f f f f

JJJvoav JJo" 's7J

o* ffr'"av =ff,,sas.TJ

tzl



TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEORBMA DEI. I,OT.ACIONAL

En €l tcoftma da la dincrgencia, hagaarosA : E x C, sicndo C un vlctor enstant

f ?1. l f

J)Jv.p*oav . JJ rn 'o.rasr t

Como V.6xC¡ = C.(VXB) y (BtC).n = B' (cxn) = (Cxn).B = c. (n

f f r f f| | | c . tVxsl¿Y = | | c . ( ixB)ds

.t ., ., ., .,f

SacandoC fucra dc las integmles,

f? -

s. | | | V,a;¡ ,. ,JJ

y como C es un r¡cctorcomtanlcarbitrrr¡o,

JJJv]¡B¿va

ta. Dcmosl¡arqu€€n un puntocu¿lquier¿ ,

JIo"" f fy (á) vxa =

^tl,$

A-^c) vó =¡lT,

!tAr

túm,doAy d votumcn irnitadopor l¿ suporñcb 'S' hallandocl l lmitc cusndor' I¿scalrcdedordel puntoP.

(¿) crprouú'22,IIIrr n, !! o"rt. ",*'fi[vo,tt, . [AT AS AT A

c. | | rx¡¿st

ff

l l ¡xrdss

probhnra19,scobtkirr

f Íó". t¿sJJAS

Aplicandocl mismoprincipioqr¡oc¡r cl

VÓ.I

a( l )

Análogamentc so obüoncn,

(2)

á llnAh

9ó.t

vó,t '

Vó.r .3)

llmAF.o

sicndovC . I un valor co¡nprcndidoenü! ol n¿xinl y cl ml¡imd do v{ , I at Acuandor' / * 0 dc formaqucP seasicmprc nf,riot z AY,.jl .l ticn& h¡ci¿ el v¡

f f ó¡.r¿sJJt - - -

Lu

JJ o¡'tas

Lv

| | ór'l ds

8:.Lv.

)

'" '

Af.o



TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL

(1), (2),(3) por i, ¡, k, res¡rctivamente, umando, tcniendoen cuentaque,

9ó = <9ó.t¡ t + (Vd. j) j + (Vó.t)¡ , n: (n. i) l+(n.J)J+(n.k)k

lroblema 20, Capltulo2) seobtieneel resultadopedido.

probfema3, ustiruy€ndoporA,! [ !V,

^r,

AV

Como en (a), s€ pu€dedemostrarque

sustituyendo¡ por J y k. Multiplicando por i, jil y sumando, resutta la demostración p€did¿.

Los rcsultados ¿nteriores se pueden tomar como deñnicio¡resde gradiente y rotacional, Ilaremos usolas al introducir estos conceptos en okos sistemas de coo¡denadi.

la equivalencia d€l opcrador

v' = i t3 ' # '" '¿sdonde el sfmbolo o ¡cpres€nta un producto escalar, un producto vectorial o un p¡oducto o¡dinario,

Pa¡a €stablecer a equivalencia, el resultado de la operación sobre un campo escalaro vectorial d€b,escristentecon los resultados ya cooocidos.

Si o indic¿ un producto escalar,par¿ un vector A,

f fV.¡ = t im :L f f ¿s.r

aH LV .t . t

r2t

=[f , ,^o' .AJ

dfv A

en el probloma 19.

si o indica un uoducto \rcctorial,

=^lig fi*".^A,'

. f$ ¡t fi^.""A,

A,9

. rn J f fn-r¿s^t4 avk!

=#5 r lr'"AJ

rotA = v,<¡ =^yg

¡u t[n"'^

6nido cn el problér¡ 24 (b).

Si o indica un p¡oducto ordinario, para un cccalar /,

v.é = un +l l t "o@ebicn, @ Ay-o AI/

A,&6nido cn el problcma 24(¿).



r. , . -

li

' . '. I

124 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONA L

26, SiendoS una superficie erraday r el vsctor de posiciónde un punto cualquiera ¡, /, z) morigen, demostra¡que

lf T:,'es guala:(n) cero si O es exteriora S, (ó)4r si O es nterior a S, Estaes ¡a expresiónmatemát

de Gaxss.

(a) Por el teoremade la divcrgencia

Perov'4:0 (Problema 9,Capitulo4) en todopunto ntcrior a Z siempre ue

deci r iempre ueO sea xter io¡ Vy,por lo tantoa. t . f " .e"[ [

l j aS = 9.

III, +v

l;

f f f f f f f?

JJF, ' = JJ5'as.JJt+!as JJv-frav oS+s .t s

I I r^ = l lv*Js

= + l ldss

f f ¡ . ¡ .

l l ! *¿s = - l l ¡ -+¿s.t J r- JJ t-

r (á) Si O es nterior a,S, consideremosna pequeña sferas alrededorde O, de rcdio a.la región limitada por S y r, segúnel teorema de la divergencia, e verifica

ya que ¡ * 0 en ¡. Por lo tanto,

27. Interpretar geométricamentel teoremade Gauss(problema26).

Ahora ien,ens,,-", ¡= -I dedonde* = e4-a\ ' ' =- ! ; t= -5=-, t , ""0

i l *^

SeadJ un elementode superficie unamos odoslos puntosdel conto¡node dscon O con o que resultael cono que muestra a ñgura adjunta. Tracemosunaesfera e radio ¡ con centroen O y seadS el área de aporción de esfera nterceptadapor el cono; el ángulosólído con que se ve dS dosde O es, por deñnición

dodu , - y es gualal árcade la porciónde esferade

radio unidad intercopiada or el cono. Sean,n el vea-tor unitarionormalgxtsriora y'r y 0 el ángulo ormado

- nrpo r n y ¡; entonces,os

0- -. Por otra

parte,

dO : + ¿5g.. r: * T ./.9, d. dond" ,"rrltu

D' ¡du¡ i ;¡- dS, considerando l signo + o el - se-gún que el ángulo 0 formado por n y ¡ sea agudo uobluso.

S€aS una superñcie, omo la representadan la Fig. (a), de forma que una re{ta cualquie

en más de dospuntos.Si el punto O es exterior a S, enuna posición al como I, +; dS : d@



TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DE L ROTACIONAL

# , : --Júr. La integral extendida a estas- os regioneses igual a cero, ya que las contribucioncs

solido s6 anulan. La intcgr¿l sobreS esü+ ^

= o 'ya que a toda contribución positiva e

una neSa¡rv¿.

bd casoen que O sea nterior a S, en una posición al como 3, T o" : da, y en la posición 4,

aS: d@con lo que las contribuciones € suman en lugar de anularse.El ángulo sólido total, cn estecr igual al área de la esferaunidad que vale 4z; por Io tanto, J [ + ot = n.

Ft¡,(o) Fts. ó)

La rnasade ñuido que sale de yon la unidad de ti€mpo es

r25

Para superñciess que son cortadas por una fecta en másde dos puntos, s€ mantienen l¿sñism¿s conclu-!s (Fig. aó)).Si O ea exterior a S, por ejemplo, un cono de vértice O corta a .t €n un número par de vecesco,ot.iU..,ciOtt la integral de superficiccs nula, ya que los ángulos solidos subtendidos desde O se an lanco,ot.iU..,ciOtt la integral de superficiccs nula, ya que los ángulos solidos subtendidos desde O se an lanpres. Sin embargo, si O es inGrio¡ a S, un cono de vértice O-corta- a S eo un ní¡mero impar de vec€s

lo la anulación ó produce solamentopara un número É¿r de ellas, siempre hay una contribución de 4rrc la suoerñcicS,

tr¡ido dc densidad p(x, y, z, t\ se muevecon una velocidad {x, y, z, t). Demostrar que si no hay ni fuen-ri sumideros

V' l + S = o' siendo = Pvot

Consideremosuna superñcic arbitraria que limitc un volumsn Z de fluido, La m¡sa de fluido cn fz cs'¡ instante dado,

ff ft4 = l l l o¿v

"1"El incrsmento de esta masacn la unidad de tiempo es

*,=*,lll *I ilt*,,| | Pv'n ds

JJJ

15) con lo quc cl incr€r¡ento dc masa en la unidad d€ li€Nnpocs' asimismo'

á^ """ \

a{ orelrotrca,Z rnr'nnus .i r '



/-=-_'-

126 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,

- I I Pv.n dSJJt

TEOREMA DEL ROTACIONA

- l l l Y. tpt t¿vJJ J

vsegúnel teoremade la divergencia.Po¡ lo tanto,

I r f ^^l l l Y ¿vJJ J ¿Iv

o bien,

-[ [ [ , . ,0" , ,v

[ [ [ ,v. , , , . ! ,0,v

III "O,,v

*il l"0,*= fi",**

La ccuación de continuidad se aplica también en electromagnetismo, iendoQ laJ : Ov a densidad e co iente.

29. Sea U(x,y, z, t) la temperatura,en el instante /, en un punto cualquiera x, y, z) de uk, q y c la conductividad érmica, a densidad elcalo¡específico elsólido, respectivam

V.J + v = o. s icndoJ=.ov?t

Estaes a ecuac¡óne con¡inuidad. i p es constante, l fluido es ncompresible V . v :de velocidad€s o el vector velocidad- v es solenoidal.

constantes.emostrarue

!¿ / . -2.. kVLt , stenÓo = K/pc

Sea ,'un volumencualquiera nterior al sólidoy S su superñcieimite. El flujq total deo energia aloríf ica ue salea través e.t en la unidadde tiempo,es

l l r -<Vul.n ¿s:"

La energiacalorificaque entra €n S en la unidad de tiempo es.

( t )r f f f ff f 1<Vu¡.ns = f l f 9.u9u\ ¿v

JJ JJ Jsv

Como y es arbitrario, el integrandosupuesto ontinuo, debgser dénticamentg uloforma a con.ir se hizo en el problema12. Por lo tanto,

segúnel tcoreña dd la divergencia.El calor contenidoen un volumen l/ vienedado po¡

El incremgntode calo¡ en la unidad de tiempo es(2)

II

Igualando,los dos miembros de (1) y (2),

f fl' l l l f "p9!- 9.6yu¡)av = o

JJJ ' ' 7 tf

y como fes arbitra¡io; el integra¡do, supuesto ontinuo, deb€ ser dénticamente ulo,



TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

"e *= V' 1¡1 Y¡

r, c, p sonconstantes,

P=+v.vu=*fuD¡ cP

k s€d€nomina fraiyidad. n régimen ermanenteesde.ir, ff:o, o lo quees igual,

del tiempo) a ecuaciónanteriorse reducaa la ecuaciónde l-aplaceV'U : 0.

ROTACTONAL DE STOKES

t€oremad€l rotacional de Stokcsy (D)expresailomatemáticamenten coordenadasec-

t27

DEL

el

¡al curvillneade a componenteangencial e un vQctotA a lo largo de una curvasimplec€rradaCa la int€grald€ superficie e a componente o¡mal del rotacionalde A extendidaa una superncie

que tengapor contorno la curva C.

tCmo en el Droblema 4(r),

hooces,

Vx e

(VxA).n

A = Aíl+A2! + gla, n = coBdt + cosBJ + cosTk

I r k l

+ + +1.= r94"-1&rr(+-14", , t44,-14' , .oa . oY ozl q dz oz ox or oY

A1 A2 Ael

= ,H:-p,"*o -(*-pt"o"F '(*=fr"o"z

A,dr = (ALl + A2 t+ /'€k]'. ¿' I + 4 ! +¿z r)=

Atdx+

A2dl+'Asdz

y b cxprcsióndcl t€oremado Stokes s

[ [ r,9^!n-&r"o"c-(14 g,

JJL'Ai -E" '"""- '?. ¿" - ,* -#rcosTlds= f n,r"* ,rr,n"n" coEB

I,

I

I

Sca S una superficie cuyas proyecciones sobre los6 xy,yz y xz ion regionesimitadaspor.curvassim-

"¿nibis,

iomo se náicaen Ia figuraadjunta.sr¡po-

lo que S se puede¡epr€sentarpor las ecuaciones qu€ J se puege rcprgsonlar pur r¿s Eeu¿lrvrrvJ/(x, i), o bien,'¡ : gU, 2), o bien,v : ,{¡, z), siendol funcionesuniformes.continuasy de¡ivables, emos

€l teorema del rot¿cional de Stokes.

que

C el contó¡no o límite de s.

(vxA).nds JJ [V'r , l ' i+/ ' l ] /3t) l 'nds

,s

' = $^ '0,II



i

IIIi

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.TEOREMA DEL ROTACION

tl

consideremos.nprimer rg"t, JJ [V x1"{r¡l 'n ds

Como Vx (l1i) =

tJk

¿a¿Oz. Of oz

Aa00

¿A , ¿A ,= =--r i - ; ik,

oz oy

( r) [Vx1,{ . r¡ ] .n s = r}" . r -}n.*,

r t

Siz: / (x, ) , )es laecuacióneS, c l vectordeposic ióndcu¡puntocualquioradeSeá¡ az Af d¡x i + y i +f @,y)k de ormaoue¡i

: i + 6k : t + É

k. Perofr

es un vecblema 25, Cap. 3) y por lo tanto perpendicular n, con lo cual

" .$ = ".r*$' .r = o oSustituyendo €n (1) seobtiene

) .r . i = -ün.k

Az d!

A3 dz

r4 n,¡ 94-1n.r)ds = (-+ -?" ,u ?' n.u,rOz ol oz o! oj

o bien,

(2\ [Vx( .1r i ) ]n ds - (+ * $]¡" .u rtót óz d!

SobreS,1(2,1,2¡Al',y,1(',y\)F(r,/): u€go+

r+X =

[Vx ,1,1¡] .ns = - $ ".u, = -{ **

Por consiguicnte,

l f f f >F

JJ fv"(,{r t) l .ndsJJ-fr*t 's.{

siendo .¿Ra proyección de .t sob¡e el plano xy. Scgún el teorema de Gre¿n en el plano

igual a { Fd¡, sicndo f el contorno que limita a ,R.Como en cada punto (¡, /) de

mismoque el de ,{, encada punto (¡, /, z) de C, y puesto que ¿r es gual para las dos cur

o bien,tt

l l [V' re1r lJ.ns=

$ 4atJJ

Análogamente, proyectando sobre los otros planos coordenados,

ff

f f [V' ( , {2J) ]n ds = ó.t^

3o

f t f

f f [V' , r"uJnas = tju

$, coo!



TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

ordenadamente,f f f| | rV' n¡ 'n as = | e.ar

JJ

t29

t-

:. ¡eoromaes también válido en el caso de que la superficieS no sat isfaga as restriccionesmpuestas-!¡.mente. Para ello, supongamosque S se subdivide en regionesS,, S,, . . . S¡ de contornos imitesl. . ., C¡ que cumplan las condicionesdadas.Para c¿da una de estassuperficies, u€s se verif ica el

:¡a del rotac ional de Stokos,Sumando as integralesde superficiese obtiene a integral de superficie!-sumando as ntegralesurvilíneaso¡respo¡dientes,lo largode C, ,G,..., C¡, resulta a integrala lo largo de C.

,barel teorema el rotacional e Stokes iendoA:(2x-y)i-yz"j-y'zk, S la superficiee lasuperior de la esfera , + y, + z" : I y C su contorno límite.

El contorno ímits C de S es a circunfe¡encia el plano x¡ de radio unidad y centro cn el origen. Sean=:es/, .y: senl , z:0,0=,< 2rr, as ecuacionesaramétr ic¿se C. En estas ondic iones,

$ n.o, - { ,u-rro, - y*d¡ - y2z z"c 'c

? 21r= | (2 co s - sen ) (- senr)dr = 'tt

It

Vx A

i jk

aaa¿"c1-72

2r -y -yz2 -y2z

, f f rv '^r 'nas [ [* . " r ' = [ [ **J, 'R

¡ue n'k dS : dx dy y JRes la proyección de S sobre el plano x/. Esta última iritegral es

r | n/t- rz ¡r ¡ /urr2 ? |

I I d1 x - 4l l' -

ay , = 4l / i lc ¿, = 7rJJJ^J^¿

/-----;Y=-vt-t '

!-omp¡ueba l teorema del rotacional de Stokes.

SuponiendoqueVxAescontinua,hab¡áunaregiónenlaqueVxA+0enalgúnpuntoPdesu

Snficiente. Supongamos que V x A :0. Por el teorema del rotacional de Stokes

f ff

. f n.a, =JJ rv 'nl .n s - o

.\,lecesaria.upongamos ue { n,dr:O a lo largo de toda curva cerradaC, y qu e V x A +0Jr

¡lgún punto P. '

. SeaS una superficie ontenidaen esta egión cuya normal n en cadapunto tenga a misma dirgcción



¡ I3 O TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DE L ROTACIONAL

y sentidoque V x A, esdecir, Vx A: on, siendo a una constantepositiva.Si Cesel contpor cl teoremadel rotacionalde Stokes,

f f r f r$ t.ar = f f lVxn¡ 'nas = , t l t n.nds ) oJ^ JsJ tt

que secontradicecon la hipótcsisde qu" f, n. O, = O y, por lo tanto, Vx¡ = ¿.J.

Se deducequc V x A : 0 tambiénes a condiciónnecesaria suficiente araque una infPcI

A . dr sea ndependienre e la trayectoriaque une los puntos-P;y ¿ (problemas 0 y

fP

JJ t,..v¡ l nds- JJ tc v.nrJ."s

ff

. l I c ' [Vr¡.nr] s - f f c. [n¡V.n¡]sts

rr f rc.JJ [email protected])-n(V.B)ls = ,.JJ ¡nxV¡x¡r5

Ahora ien,omo esunvcctoronstanterbitrario,{ r, ¡ = l'f ,nrVr, u ,,"

tr t

35. Sean, S una superficie imitada por una curva simplecerradaC, p un punto cualquieradetene.c€ C, y n el vectorunitario normal exterio¡a /.9 on p. Derqostraique eo, diiho punto

?I

J^ ^.dr

( ¡ot A). n = l imA,t-o AS

hallando l límitede formaque S tiendaa confundirseonp.

Porel teoremaet otacionalesrokes. ff f.o, nr." ,, - $ n.or."^í "cAplicando el teoremadel valor medio del cálculo integral,como se hizo en los proble

puedoescribir,f

I ^ .d¡( -{ A)*

AS

d€ dondc resulta a demostraciónp€didahallandoel límite cuando.r'S- 0.

34.Domostrarquef * ,u =

ffo,vt , l -as.

Haciendo A : B x c en el t€orema d€l rotacional d€ stokes, siendo c un yector consta

f " ' t" '" '

f ".,r.,,",...5[.'" =

= f l [Vxlnxc¡] .n as

J

= l l i rc .VlB - c(V.a) l odsJJJ



TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DE L ROTACIONAL l

Estaconcrusión epuedcutirizarcomo pu¡to,departidapara nrroducrrel conc€pro e ¡ot A (p¡obrema 6)'6 & gran utiridad en el cálcuroder rot A en otro iistemade coo.a"naoas u" no seaet rcctangurar. omJj -t'dr esra circulaciónde A a ro rargode c, la componente e rotacionalsogúna normal sepuedenter-F¡¡, fisicamente, omo el límite de la circulaciónpor unidad de área.

E¡¡odo en cuenra adefiniciónde ¡ot A dadaen el problcma35, halrar a componente e rot A s€gún r ejez,

Ar; ' 'z l

, resula

Ahora bien,A.

dt =(At

| ¡ . ¿,

IIE

- (At +

--¡11,1-lfcty" rectánguloparaleloal_plano / cuyo punto medio esp(r, y, z), como seobse¡vaen latur¿ adJunta, A, y A" las componentes e A en p s€gúnas direcciones "iii*ár'á" iá,

"¡o;;r;;";;:¡tamente.

LlamemosC al contorno del rectángulo;enlonc€s,

$^' ' ,cA. dr +

IE

A. ¿r +

I n.ar = Gz+ *$a"rn,.o tFG

t¡lvo inñnitésimos e ordensuperiora /r /¡.

Sumando, eobtieneaproximadamente f e. aruc

Luego,como lS : lx /y,

ref

IflA. dl

-TG

-! dA t

"Zt

IÍ

IF

A. dr

^r) L, _!?.r,

2¿y

! 7A"2¿,

¡

Ar)&

&lar

¿A"'4" *! r n,ar.

oy

f o 'o 'componentc de rot A : (rot A) . k = li lnAJ-0 AS

,é¿, dtr .^ ^

'- - - i - )¿_i1 a7az ol----&ry- lim

A¡-0¿y-o

¿,_ ?A,

\

19v



t32 TEOREMA DE LA DIVERGENCÍA,TEOREMA DEL ROTACIONAL


37. Comp¡obar el teoremade creen en el plano para 1t ' \l*" - W,l at * @y 6xy) dy, sie

de a región ef in ida or: (a\ y: t / i , y : x, ; (b) x:O, y - 0, ¡ * r: LSo/. (a) valor común :312 (b) valor común : 5/3

38. Hallar $ 12, + q¡ a, + Q: - 3y)dy, siendo C un¿ circunferenciade radio dos con cG-c

del plano ry y que s€ recorreen s€ntidopositivo. Sol. - 8n

39. Resolve¡el problemaanbrior para la integral $ 1x, + fl ax + 3xy,dy. Sot. tzn-¡

40. Hallar!

(x" - 2xt\ dx + (x'y + 3)dy a lo largo d€l contorno de la región definidapor/

(¿) directamente,ó) aplicandoel teoremade Green. Sol. 12815

41. Haf ar .f ("'.') \e l - t, ¡ * I (3x, - 2xy) dy a lo largode la cicloide : 0 - sen0, .y :" (o,o)

Sol ,6t r2-4 i .

42. Hallar !(3x' + 2y) dx - (¡ * 3 cosy) dy a lo largo delparatologamode vé¡tices0, O), 2

5o/. -6

43, Hallar el área imihda por un arco de la cicloide ¡ - ¿(0 s€n0), y : a(l -cos 0), a >Sol .3naz

44, Halla¡ ol á¡ea imitada por la hipocicloidex,t, + yzt' : a'1.,a > 0.Ind.: Las ecuaciones aramétricas on x : acos|e, -y : a sen"0, Sol. 3r.arlg

,t5,

6.

47 ,

,|8.

Demost¡ar a igualdadx dy - y dt : I'dó, siendo Q, {) las coordenadas olares. nterprI I xdy-ydx.

Hallar el áreade un lazode la rosade cuatro hojas p : 3 s6¡ 2¿.

Halfar el área de los dos lazosde a lemniscataQ, a" cos2ó.

Hallar el área del lazo del folio de Desca¡tesx' * y' : 3axy, a > 0 (figura adjunta).Ind.: Hacer t¡ y obtener as ecuacionesparamétricas e la curva.A continuación. eneren cuentaoue

Sol .9nl8

Sol. a2

erea=j$,ay-ya"

t f sa(tLf *a '

Sol. 3a'12

I49. Comprobarel teoremade Greenen el plano para $ {2, - y"¡ a, - ,ydl, siendoC el cont

limitada por üs circunferencias! + ),¡ : t , ,it¡ ," : e. so/. valor común : 60

qo



TEOREMA DE LA DryERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL

f(-,,o1 -í¿, +,¿"J(t,o) --P;7- a lo largo dc los c¿minossiguient€s:

ll Quebradaueune ospuntos 1,0), 1, ¡), (-1, -l) y (-1, 0),

hostrar que, uunqut ! : 3I, ¡¿ ntegralc uwillrrx- depende o a trayectoriaqueune olóy ox

Quebradaque une los puntos(1,0), (1, l), (-l' l) y (-1, 0).

^= II l t<f f i t la"a, ,

R

t(-1,0). Razonar a respuesta. Sol, (a) n (bl -n

el cambio de las Variables(¡, /) por (|¡, v) scgún las ccuacioncs d€ tramfonnación x : x(u, v\,t : ¡(tr, y),demostrar que el área ,{ de una región X limitada por una cuna ccrrada simplc C viene dada por

?r&?¡, ?¿7rfu?, ?o

d Jacobiano de ¡ e / raspecto de a y v. ¿Qué rostriccionos dobon hacsrso? llustrar el rcgultado para elGüO en que ¡¡ y v s¡ean ¿s coordenadas polafee.

hd.: Aplicar,{ - | | xdy-y dx; transformar a cxprosióna coordonadas , vy teneren cuontaol toorcnxa

-

Gre€n.

F.n/S, s iendo :2xyl +/ r r l +xzk y S:

(. ) la superfic ie el paraleleplpcdoimit¡do po ¡ ¡ :0 , .v 0, z:O, x:2, y: I y z:3,(¡ ) la superñcie e a r€gión ithitada or x : 0, .v 0, y:3, z: 0 f x'l2z:6.

sicndo lffil =

\ r ' - 's¿.1. a\ 3O {b\ 35U2t. lal JU tD' 5trlz

Gmptot . el t€or€ma de la divergsncia para A: Zxtyl- y'| + 4¡z¡ t cxtcndida a la rcgión dra rcgión del primeratante limitada pot y' + z' : 9 y x :2. Sor. 180

osfcra do ¡adio 2 con contro on (0, q 0), (ó) la supcrfici. dcl cubo linitadro

por r:-1, y::Lz:-1,¡: l ,y : l ,z : l ' (c) la supcr fc ic imi tadapor cl peraboloidoz : 4 -(x. + /") y el plano xy. Sol. (a) l2tt (b) 24 (c\ ?At¿

SiendoS unasuperñcie erradaqucencierra nvolunpn Vy L : ox | * ál I * czk' do¡¡ostrarque

dS:(a*b*c')V.

t fSiendoH: rot A, demostrar ue JJ H 'n dS:0 para oda supcrficic crradaS'

siendon €l v€ctorunitarionormalextcriora unasupcrfrcic crr¿da c árc¿S, demo.t",

quoJJJ oi" o ar : s'f

Demostrarqueff+ = ff+^ rr r ¡1 .. tÍs

t raf -DemostrarueJJ '5nds=

JJJst ' t¿v.J

aaDemostrarque J J n aS = 0 paratods supcrficic errsü S.3

Demostrarqu€ ¿ sogunal¡dentid¿dde G¡€€nscpuodc xptcs¿len a fomra

[ ! ! ov',t',t ó¡¿v I I,ot# {'f¡as¡J

rxds = o para odasupc¡ñciccrr¿drS.

JJ ^ 'n

II€mostrar que



tl 4 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. TEOREMA DEL ROTACIONAL

Comprobarel teoremade l rotacionalde Stokespara A:(y-z *2)i-l(yz *4)i-¡zk, superficie el cubox : 0, -y

.: 0, z : O,x : 2, f : 2, z : 2 por encimadel plano ry.So1. valor común : --4

Coñprobar el teo¡amadel ¡otacionaldc StokcsporF : xzi-yi g xly k, siendoS la superficil imi tadapor x:O, y:0, z:0,2x * y l2z:8. .9ol . va lor común:32/3.

65. Hallar JJ( i

^A).ndS, siendo :(x, + y-4) i +3xyi + (2xz+z')k y S la superssemiosf€ra' + y'+z': 16 po r encima el planox¡ , (á) el paraboloide :4-(x, +/r) poplano xy. Sol. (a) -16n, (b) -4n

66. Siendo :2yzi - (xt3y_ 2)! - l (x, I z ' )k, f , "1f " , / (vx l l .n ds oxtendid4 la supe

se¿ciónde los cilindros x' + y, : o', x2 + z2: a, situada €n el primer octante. Sot. {Q

67. SiendoB un vecior noÍnal a una superficie erradaS, demostrarq J J J rotBdV :0, en d¡ggión que encierra ,f. r

6E. Siendo e .a. = -lP ff".ru ySuna superñcieualquieraimit¿dapor la curuaC, dJ^ c ¿t JJ

I tll

V ^ E:--- : :1 .co,f .F

69 .Demostraruef,ó ar =JJ dsx V0 .

70. Aplicar la cquivalenciadel problemar€suelto25 para obtener:(a'¡ v ó, (b) V .A, (c) V xA enre{tangularcs.

7r.D€mostrarqueIIvo.^av = IJot.nas - [ [ [ov 'rav.rJf

72. Sea r el veato¡ de posición de un punto cualquiera r€specto d€ un origen O, y supongaños quetiene derivadas ontinuasd€ segundoorden,por lo menos.Repres€nt?ndo l valor do C en O pmando S a la superñcie cerrada que encierra el volum€n

,/, demostra¡que

l l t+v*-ovr lr l 'as [ [ !v iÓ¿n' o. ty

en donde o : 0, o bien, 4rÓo s€gúnque O s€a exterior o interior a S, respectivamentc.

73. El potencial C{P)en un punto P(x, y, z) debido a un sistema de cargas €léctricas4, q¡, . , . , 4, cude posición son r¡, ¡!, . . . , r¡ respe€tode P vienc dado por

.A - r, 9*

Demostrar el teoremade Gquss

[ [ " . r " = 4,Q3

siendoE:-vdlaintensidaddelcampoeléctrico,Sunasuperficiequeencierreatodaslascargla carga total interior a S.

74. El potenciald(P)en un puntoP vienedadopor ó= I I IL{ siendo ¡/ una región, imitadapo

ficieS, en la quo la ca¡gaeléctricaestádist¡ibuida de fárma co¡tinua con una densidadp. Dedulas hipótesisnecesarias,as fó¡mulassiguientes:

?f( ' ) JJ E'ds = 4" JJJ p¿v, s iendo:-vc.

JI(D A'é : -4:¡ g (ecuaciónde Poisson)en todos los puntosP en los que hay cargas, VrC :

de Laplace) donde no las hay.

- . /.



tl a

de (¿)

muna

¿de

(32 +

I loy

Coordenodos urvilíneqs

TRANSFORMACION DE COORDENADAS. Consideremosas coordenadasectansulareslrir-y, ) de un punto expresadasn función de las variables ur,u", u") en la forma

j, ¡ : x(ur,u",u"\, y : y(ur,ur,u"),

r bien, despejando\, th, u),

z : z(ub u2, q)

--) ur: ur(x,y, z), u2 u2(x,y, z), u" : u"(x,y, z)

[.rs funcionesque aparecen n (1) y (2) se suponenuniformesy con derivadas ontinuas emaneraque¡ correspondenciantre as ternas (x, y, z) y (ur,ur, u") esbiunivoca.En la prácüca,puedeocurrü queE¿ hipótesisno se curnplaen algunospuntosdeterminados, n cuyo casodeberánhacerseas consi-¡raciones pertinentes,

Dado un punto P de coordenadasectangularesx, y, z) se e puedeasociar,según 2), un conjuntoiúo de números (u* th, ut) que llamarernos coordenadas urvilíneqsde P. Los sistemasde ecuacionesrff ó (2) definen las fórmulas de translormaciónde coordenadas.

COORDENADAS CTJRYILINEASORTOGONALES

Las superfrcies t: cb t4: cz, us: cr, siendo

c!,cr, cs constantes,se laman superfcies coordenadas;L intersección e cadapar de estas uperficies efinenfu líneas oordenadasorrespondientesFig. l). Si las¡p€rficies coordenadase cortan en ángulo recto, elslema curvillneoesortogonal. as fneas oordenadas\, 14y us de un sistema urvilíneoson análogas losics coordenados, y y z de un sistema ectangular.

YECTORES UNITARIOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CURVILINEAS. Seat * xi * i + zk el vector de posiciónde un punto P, Segrln 1), podrernosexpresarlo n la forma

r : | (u\, u2,ur),El vector angent€ n P a la línean, (para a cual r,lr ¡rB, onconstantes),fr,.

Entona"r,

d yector nitarioangenten a direccións€ntidoelanterior s": #,llrf, l,A"0""a"

-fir:

n' "r,indo/rr : l ; l .Análogamente,sie¡ye"sonlosvecto¡esunitar iostangentesenPalaslíneasr4yn, | 0üa1

.. A¡ At lAr l t2¡ |lEp€ctivamente,eüene

fr: hre,V

Aur:á"e",siendoOr:lU*F r":Jr-] Las maenitudes¡,,¿,/r'

-llg(ma;nactores de escala.El sentido de los vectoresunitarios er, er, e, es el de crecimiento de uL,u4,ut,

rspcctivamcnte.

Como v4, ¿5 un vector normal en P a la superficie¿rr cr, cl vector unitario en esta direccióny sen-

\\ r rr:

úe I/ es

ñ¡nció¡

' .x

Fl8, I



l l6 COORDENADAS CURVILINEAS

tidoviene adopo rE, : Var/ vl, l. Análogamente,osvectoresnitarios , : i ulrli urly E" :sonnormalesn P a lassuperf ic iesz- c2yu3: f¡¡ f€S-pecnvamente.

Por Io t anto, en cadapunto P de un sistema e coorde-nadas urvilíneas e püedendefinirdo s sisternas e vectoresunitariose¡, ep, s. angentes la s ineascoordenadas, Er,E2, E3 normalesa las superficies oordenadas orrespon-

dientcs Fig. 2). Ambas ternassolo coincidiránen el casodequ e el sistemade coordenadas urvil ineassea ortogonal(problema I9) y juegan cl mismo papel que los vectoresunitarios i, j, k del sistemade coordenadas ectangulares,co n la única diferenciade qu e aquellospuedencambiar dedirección de sentidode un puntoa otro. Sedemuestrapro-

b lema 5) que os coniuntos¿r

.¿r-

,¿r y vu, . fa" , va.

¿ut du2 fus -son dos sistemas e vectores ecíDrocos.

Un vecto¡ A se puedecxpresaren función de los vectoresunitariosen la baseer, er,e", oEr, Er, en la for ma :. , ! .

{ ¡ = Are, + Are2 + Ase3 = ¿1E. + orEp + o"Ei

siendo 41,A", A" y or, n.. a, la s respectivas om ponenfes /eA en cada un o de los sistemas.

Todo vectorA tambiénsepuede epresentar n función de os vectores

que, aunque tambiéneste caso

¡L , +, 3! . q v¿,,v,,,v,,,Óu t ou t ou g

se llaman vectores unitaios en Ia base, no tienen módulo unidad en ge

, A = c,+ * c,PL + c"+ = ctat + c2c2+ Csq,sI óu1 óut OUs

y f A = c19u" + cr9u, +"" iu"

= ct | t + crfu+ c"B"

siendo Cr, Cr, C" las componentesontravariantes cyc2 cslas componenlesovaüantes e

(problemas3y 34).Obsérveseue r, :f,r,9, - aur, p : 1,2,3.

ELEMENTOSP,E,TINEA DE VOLUMEN.

+ d¡ . = 3! ¿r . * PL ¿u" * lL ¿u"' óut duc ' dus

A partir de a relación : r (¿r,u¿, s)

= h1dv1e, + ht du" e2 + hs ¿ua eg

La diferencial de la longitud de arco ds es el elemento delínea y vienedada po r ds 2 dt. r1r.En los sistemas rto-gonales,er €z : €z e¡ : e3 . el : 0, con lo qu e

ds2 = h?, ui + hf,dui + ti aui

En sistemas e coordenadas urvilíneasmás seneral. éaseel problema 17 .

A lo largo de la l ineacoordenada ,tr, on constantesr2y ¡r¡, con lo qu e /r : hrdure, El elementode línea ds,,segúna, en el punto P es,ltr r i. Análogamente, os elemen-tos de íneaen P según , y a. soirds , : h2dury ds, hsdus,resPectiYamente.

Observando a Fig. 3, el elemento e volumenen un sis-tema de coordenadascurvilíneas ortogonal vienedado por



ld'l(tuduf

I

COORDENADASCURVILINEAS

e1). h2du2e) x th"du"e"¡l = h1h2hs u.du2dus1i/

;. r -- | ;r , ' ¡ ' / . " d" l l

tt7

: VÍg/l i lv \llle1.e2xe3l

GRADIENTE, DMRGENCIA Y ROTACIONAL, Veamos u expresión n los sistemas e ooor-curvilíneasortogonales.SeanQ una función escalar A: ,{, e1 A2ea* A"e" una funciónde las coordenadas urülíneasortogonales b u2,u.i en estas ondiciones; e verifica:

Y.n =

I re =

h1 hr: á" : I y q' er, e. por i' i' k, respectivamente,stas elaciones e redücena lascorrespondientesn coordenadasetangulares,en donde zr, r4, z") hacenel papelde -r, r,z),

En el Cap. 8 extenderemosos resultados nteriores plicandouna teoríamásgeneral e os sistemasoordenadasurvilíneas tilizando os métodosdel análisis ensorial,

CASOS PARTICULARES DE SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONALES.

; : ( \h243)

' i o/v

\'/ ..

1/ . i t

fé = Laplaci¿node é =h [*,*.8,- ¿X,*fi, r¿<f eer]/

l. Coorden¡d¡s clllnüic¡s (q, {, z). Serepresentan€n la Fig.4.

ar= ecos6, y: gsenó, z:z

s iendo ?0, 0Só12n, - ,x <z<oo

he: l , h{: 8, h, : I

2. Coorden¡d¡s esférices(r,8, fl. Se representanen la Fig. 5.

x: rsen0cos é, -y: rsen0sen {, 2:rcose

siendo ¿0, 0<ó<2a, 0<0<n

h,:1, ho: ¡ , á¿:rsen0

,. . ' , \\i

\ ( ' "\ , -

¡'ü d-c \;ldt'" l'



t38 i COORDENADAS CURVILINEAS

.:.

\)

F18. 6

Ft3. 5

- 3. Coordenrd¡scill¡dric¡s prrrbólicos (a, r, z). Se representan, n sección,

¡ : |(at-É), y: ut t , z:z

siendo oo < tt < oo , vZ 0, -oo < z < @h":h": ! /ur+vr, h, : l

AAEn coordenadasil lndr icas, : !2p cos.: , v : V 29sen , z: z

-z-2

k Fig. 6 muestra as proyeccionesobreel plano x¡ de las superñcies oordehomofocales con un eje comrún.

¿- f-r1,

\

\-




¡1, Coordensd¡s p¡r¡boloidales (¡¡, v, é).

. r : rvcosd, .y: ¡ lvsen , , : tQ'-ñ

siendo¿20, v>0, 0Sú<2n

h,:h, :^/u"+v", ho:uv

f, en a Fig. ó segiran asparábolas lrededordel ejex, y lo llarnamos je z. seobtienendos sistemas

l:rficies coordenadas. l tercersistema e superficiess el formadopor el haz de planosque?asaneJe.

!l Ccorden¡dss cilindric¡s elípticas (u, u, z). Se representan, en sección, en la Fig. 7.

, x: ¿cosh¡¡cos , / :4Senhrsenv, z:z

s iendo¿i0, 0< v 17n' -a <z<oo

h": h' : aVsentr 'u +sentu, h, : l

Lr Fig. 7 muestra las proyeccionesde las superficiescoordenadassobre el plano iry. Son elipsesehomofocales.

t19

.\i r

=2

¿.3>/c po,rl l6

t

,_-

¡+1'rilt

Ftc. ?

ó. Cmrdeul¡s esferoid¡l€s¡lerg¡d¡s (6, ¡1,ó).

¡ : asenhf sen4cos , t: ¿senh senl sen ' z:4cosh6cost,

siendoó:0, 0=4<t, 0l f <?:t

h¿: f io: ¿/senh"6 +sent?, ár: a senh sen4

Si en la Fig. ? segiran las curvasalrededordel eje x, y lo_llamamos je2,, e obtien€ndos sistem¡s¡oerficiescóordenadas.El tercef sistemade superficieses el formado por el hazde Planosque pasan

cste eje.



,

I.MCOORDENADASURVTLINEAS

7. Coordca¡d¡s esferoid¡les sch¡tsdas (f, ?, d).. r

- acoshdcosTcos , ! : a cosh cose¡sen , z: asenh sen?

siendo=0. _+=nsi, o<g<2nhe hn :

a /ientrr 5 J ,"nz , , ¡¡ó a cosh cos ,,tlj:^11-a.rq, ,se iran ascurvas trededorel

Í:,,:ffI"",,:.8",¿.""?",.'Eii.",l;fffi:.:::Ji,Hl,¿,;J,il ,T,*,;n,*::eobtior este eje.

'ormadopo r et ha z de plan

t. Coorden¡daselipsoidales 1,p, u).

*-*.-*= r, t r . " "<b,<o"

l .=r^zr.{

r i

Ht",|

Ht

l¡

ri'f

t,¡. l

I

II

t2 !2 ,2

"" : i ' f_ r , , l =

u2e,2; - -+--+at --v b'_u

"r_,/--:-------.--- --/ ( /¿-A) l r - l \

Y A-rxó-¡á-rl'

I , c2 ( l t 1b2 < o,

I , c2<b2<u<a2

, --- ; : . -- : - ; i -h. = : I \ / -pt (^_ul

" zV @:n@:pr(q-

9' coorden¡d¡s.bipf-f"

(r, y,z). se representanen la Fig. g.x2 +(y-acotu)¿:

a¡csc¡r , (¡_acoth v), / r : as schr ,

[ ¡" '

t --

r -

l /_--- ' - -

! | (^-v\ ( tL-v\

z V <¿-i<t"-="i|_.



Problemas resueltos

L Dcsc¡ibir las superñcics y llnc¿s coordcn¿dasd€ los sisemas de coordenadas: (a) cifndricas y (ó) esféricas.(¿) Las superñciescoordcnadas(o supcrficiesde nivel) son:

0 : cr cilindroscoaxiatcs on el cjc z(o eje, si c¡ :0),

ó : cr planos qu€ pasanpor el oje z.z : cr planos pcrpendiculercs al cjc z.

Las lfneascoordcnad¿sson:

tntcrsccción dc p : s, y C : c¡ (lfnca z), una racta.Int fscoción dc Q : ct ! z : c¡ (lfnca c), una circunfcrencia (o un puntoli'Intcrscccióne (:c¡y z: c¡ lfncae) ,un a €cta./

(ó) L¿s supcrficias coordcn¿das son:

¡ : cr csfcrascon cGntrocl o¡igen (o el orig€n si cr : O).0 : c¡ conos con vértice cn cl origen (r€ctassi c, : g 6 i,

"¡plano ¡/ si cr : r/2).

I : c¡ planos quc pasan por el cj€ z.

Las lfnc¿scoordcnadasson:Inlersccción dc , : cr y 0 : cr (llnea ó), una ci¡cunfcrcncia (o un punto).

Intcrsccción dc | : cL y í: c¡ (llnea 0), una semicircunferencia(cr * O).Inters€cción dc 0 : c¡ I ó : c¡ (llnea r), una ¡rcta.

2. Exprcsar las coordenadascillndricas cn función de tasrectangulares. _

Las ecuacionos que deñnen la transformación de las coordenadas ¡€ctangulares a cilíndricas son:( / ) ¡ : pcosé, (2) .y: esenó, e)z:z

Elevandoal cuadrado 1) y (2) y sumando, p¡(cos,C * s€n, {) : ¡r +/r, o bien,e: \ / x1 +y', ya que cos'd +sen¡ ó: I y I esposi t ivo,

Dividiendo(2) oot 0t. !- Psen ó"" ¡

:p¡ ; i ; : tasó ' o bien ' ¿: ar" rag '

LueSo a transformaciónediü es (4 ) e:\ /x, +y' , (J ) d: arctag{ , (6) z:2.

Observese ue d es indeterm¡nada n los puntos del ejez (x :0, , :0), Estospuntos se llamaountoss¡ngulares e la transforñ¿ción_ '

COORDENADAS URVIL¡NEASl4 l

o

-!,

¿ scnh y

coshy-costa

sicndo 0Su<22,

¿ sen ¿y:- cosh y -cos t¿ '

_o o < y < oo ,

a

cosh l, -cos u '

-@ < z < o0

r': Fig' g muestra as proyeccionese rassuperficiesoordenadas obreel pranoxy. Girandolas--s ahededor del ejey, y lo llamamos "¡. ,, ." irUtl*" un ;;;;;, o" coordenadasoroidales.



/1'"d\.)

COORDENADASCURVIL¡NEAS

3. Dcmostrar quc el sistema d€ coordcnadas cilíndricas es ortogonal.

El v€ctor de lneición de un punlo en coordcnadas cillndricas ss

r : ¡ l*¡C+zk: ecosC + esón + r k

Losvocto¡€sangentesl¿s fn€as0, Cy z ücnendados,€sp€ctivamon, p* +, -?, , +.At\ ZA : cos0r + s€n l' ?T : -:e ¡en ¡ + scosói , E

: *

Los vcctor€sunitariosen esasdircccioncs sentidos on

- ar lap cosdl+scn dJ' r :

q ' :6¡á¿1:/ f f i :

cosdi+s€nl l

- a a{ -pson ll * pcosCtc' : c ' : iafn:75ff i* : : -s€nól+cosct

tul0zc¡:et :

I at tair : l

Po r o tanto,rer.er): (cosót + rÉnól).(-scn Cl *cos CD : 0

€r-e. : (cosCl + scnón,(k) : Oq.e, : ( - scn i + c¡s CJ).(k) 0

con o quc,rr q y e' sonDutua.mcntccrpendic.ularcspor ello €l sigtotlra G oordcnad¿ssorúogonsl.

¡1.Reprcscntar l vactorA: t-Z{ ** c¡r coordenad¿silfndric¿sy dctcfmin¡r i¡,;;¡,:

D€l problcrn¡3,\.1

¿

: , _({)eo,= c. is l+s6n

f 11 1, [email protected]=-s¿n dl+cosC, (t) ¿, :k

t" \ i . - t ,ai--1/-Qi+t¡ ,Q¿ l- i i .¿:; ) Rcsolücndoel sistor4aormado¡ror(I) y'(4,

,i : cos i-s.n ó Ga , j : scn c? + coc .,

l i , / {

i ' ¡ i Lluogo A: zl-2xl + y\

\ Vl ),',. , : dcosI c" - senú cr) - 2e cos (scn e¡ + cos c.) + e$n I c'I yt l tj '

= (z cas -zee,s {scn f)g-(zscn ó * 2pcos'{{} c son gi

y An: Fw ó-zQcos órct í , . ' l t : -zsan ó-Zpcos, { , A,: Q*ni,

¿.d:5. D€moskar qucá A : J c¿,

á.n: -{q, cn dondecl punto sobr€ a función f€prrscntala

rGpocto dol ticmpo

Dcl probl¿rm 3,

Gí : - scnt +cos rt

: (- scn t * cos l) { : Cc ¡

: - (cos i+sónCl)d * -{S

Lucgo,d

7íqd

det

e: cosl¡+rcnlJ,

: - (scn )1lt+ (cosC)¿l

: - (cos )dl-(scnó)Cl



-COORDENADALCURVILINEAS

l4l

la velocidad v y la ac€leracións del moyimiento de una partícul¿ en coordcnad¡rscilíndricas

bff"tf"rfrde posiciónen coordenadas€ctangularess r : ¡i * yl * zk y los vecto¡es elocidad ace_

, =#

= +i!+'zh . =#

=' i r+ i r+. j r

En coordenadascilíndricas, segúnel problenra 4,

t ,

ió .6* i i " , * p$¡$.0) + póeó+ i$e6+.;e"t

+- ( i ; pf>.0 * <pó+ zp$¡e,+.á "

, t , , . ' - = , t+yt+zt = (p cosfy lcoa$ co _senóe6)

+ (p senp)(s€n+ c, + cos ó eé,, + z ¿z

pep+ zez

_ ,t_ ¿p de^Lueso, v = ' r =i"o*

pí t fr"" = i .p+ p$"f + ie,

;úD €l problema5. Derivandonueva¡nenre,

a =dJ

= *, t iV + p$e6+ ier)

= ;d3. : . ideé .: . .- P ¿;

t Peo + PQ7;+ PQeó+ pQe6+2e"

.l

Eúr el problema5.

hlla¡ el cuadrado del elem€ntode lfnoa€n coordenadascillndricas y determinar los factoresde escalaco¡res-Fd¡entes,

[..Ego, drl

, . . .

'do. .:- x

r : pcos4, y: ewr|ú, z:z-Q sendó + cos de, d/* pcosódó+ ff . )aóae, dz:dz

dx2+ dy' +dz¡:( -psen ód4 *cos dtdp)! (ecos idé +*nódpY f @i,(dú'+ e'@ó)' (dz), hi@d"+ hi@ü"+ hi@z),

c donde¿1 : he l, ho h : p, h" : h": l, son os factoresde €scala.

hundo método. El veator de posición es r : g cos / i + p s€n CJ + zk. Ento¡ces,

, ar , fu , , ardf :

Ap de- a6 aó + -U;4,

: (eos i +s€n C )de +(-psen di + ecos 4!)dó f kdz: (cosddp- psengds)t f (senCdp + ecos4dó) j+kdz

Lrgo, ds ! : dr.dr : (cos d4 - pscn CdC)'+(s€n dde + e co só dó), + (dz),: (dd"+ e,@ór, (d,),



I

I COORDENADAS URVILINEAS

3. Demostrar qu€ el sistemade coordenadas ilíndricas es ortogonal.

El vector de posiciónde un punto en coo¡dcnadas ilíndricases

r : ¡ i +-vl+zk : ecosCi* es€nCtlzkLosve{toresangenteslas lneas

o,dy

z vienen ados,€spectivamen*,o, fr, +0r a.f :cosdi+scnd¡, +: a'

uy -esen9l+ ScosC¡' E:l

Los vectorcs unitarios en esasdireccionesy s€ntidosson

ArlAo cosdi+sendl€t : qo : --;-;-: ---_ - : : cos ói +sen ói I orléQ y'cos'C * sen¡d

Arla6 -psen ói + ecosCJrer ladt: /n '*n,aañ

E:cos{l+scnCJ,

: - (s€n )iÁi+ (cosC) l j

: - (cos¿l d'i - Gcnd) j

-s€nCl+cosdi

c, : - scn i +cos dl

:(-scnCt+cosóJ)d:de¡

: - (cosC + s€n J)C : -{S

ArlAze¡ : e, : :-=--: k

I ofloz I

Por o tanto, er 'err: (cosCi +s€n C¡).(_scn Cl+cos Cj) : O

er ic! : (cosdi+s€n dJ).(k) :0

er.e!: (_ s€ndi+cos CJ).G) :0

con lo que, e' e"y e" sonmutua¡rente perp€ndicularesy po¡ ello el sistema de coordenadaseso

4' Reprcsentar el v€ctor A : zi - 2x! + l.,k cn coordenadascilíndric¿s y determinar An A1 y

Dcl prob¡ema 3,

l j) o :-T; r,t,Iy."..t! (2)et: -sen ¡ +cos, (r)¿,Resolvicndoel sistema ormado por (1) y (2),

I : cosCqp-sen C€c, l : scnde! +cos óet

LucgoA : zl-2xl iyk

/: 4cosóge-s€n Cec)-2ecos d(s€n €" + cos el ) + pscnCc,: (zcosó-Z|cos dsen )q-(zsen C + 2pcosrC).90 osenC,ar,/

I Ao : z.cas -2ecos Cs€n , , t : -zscn C-2ecosr {, l , : e*n l .

d:d lJ. u€moslrar que

Z* E: óec,i"l: -iC, cn dondc el punto sobre la función ¡Epr€sc

¡esp€cto dol ticmpo

Del problema 3.

_dtuego,¿ 4

dttrt'



-

COORDENADASCURVILINEAS l4l

la velocidad v y l¿ ac€leración¡ del movimiento de una paricula en coordenad.as ilíndric¿s

El v€ctor de posición en coordenadasr€ctangulareses ¡ : ¡i * ¡i + zk y los vectoresvelocidad y acc-Eión son

,=#= +!t+ih y ¡ = 4-=\*7trz. .

En coordenadascilíndricas, según el probl€nra 4,

. = , l+r!+z l = (p cosd¡1coe@eO scné e4)

+ 1p sen@¡ scn @ c, + coaó ai), + z ez

= Pep+ z ez

,- dp de^Lueso,

"=' ; =

l .o* ol . " i "" = i"p* p$.n+ ie"

rgún el problcma 5. Derivando nuevam€nte,

"=

+=

!G"o+ pge6+e", t= ;9 :- ^ i¿ 'ó . ^\

- ¿r! i .p * pói+ pé.r+ |$e6+2e.

_a

¿.

= ió"0* í% r póe,íe¡ + póe4+ $er+ze"= t i i pé?t.p p$ * z i$¡" , * ' i . "

tgún ol problcma 5.

Ilallar el cuadrado del elemento de línea en coo¡denadascilfndricas y determina¡ los factoresd€ escalacoffes-

¡ondientes.

Primer método.

x: pcosó, y - esefró, z:z

¿l¡ : -qs€n ódó +cos íde, dy - ecosódi +.É,nóde, dz -dz

Lucgo,d.rr dx '+ dy,+dz¡:(*esen 4d4 I cos de)s (ecos Cdd+ sen dd'*@z).: (dp), + p,(d$' j (dz\' : hi@d, + hi@ó,'+ hi(dz)'

& dond€ h : ho I, h": h¡ : e, h": h": l, son os actoreseescala.

9gundométodo. El vectorde posición s r: ecosCi + ps€nÉj + zk. Entonces,, At A¡ ,. Ar

dr :-do

+-dó

+-dz8 ' óQ oz

: (cosdi +send¡)de +(-es€n Ci+ pcos ó dó + kdz

: (cosdde- psen dd)i + (s€nCdq + Qcos4dí)J + kdz

ds' : dr.d. : (¡os d¿- p*nódé), + (s€ndde * p cosódó), I (dz),

: (dP)' + e'@4)' + (dz)'



II

f

l,t4 COONDENADASCURVILINEAS

t. R€solvcr cl problem¿ 7 cn coordonadas(a) esféricasy (ó) cilíndricas paraÚlic¡s.

¡ : r s€n cosc, t : rsenosen , z:1c¡A0

Entonces d¡: - r ssn0scnCdd * ¡ cos0cos 6d0 + *¡

'cfÉ

ódr

d, : ¡ sen0cosódó + r cos0scnód + s€nds€n{ dr

dz : - ¡*n0 & *cos0dr

con lo quc (dr)' : (d¡)r *(dy)'l (dz)' : (dr)'+ r\do)' + r'sf,'¡'o(dü'

tos factor€s o €scala on h,: h,: I , h: he : r, h¡: ht : r*t9.

(ó) ¡ : ü( . ¡ ¡ -Yt ) ' Y: uv, 2:z

Entonc€s ¡ : u4-vdv, dt :udv *vda, dz:dz

con oqu€ (dsr' :'(dx)' +(dy\'+(dz\': (¡¡r+v¡)(¿/)t + (u' + t:)(¿tv)' (y'zt'

Los actores€escalaoná, : h, : \/ u+ v' . h": h, : \/A +nt , h': h, : l.l t t4u- v- ' . t

' " tJ ' 'j " /

ry LJ.t. t _ t, . . , . /va, o ., , ,),J,, ; ¿

9. Represontar y hallar las dinreísiones del elemento de volu¡nel en coordenadas (a) cilínd¡ic¿s y-(á)

(a) L¿s dimensiones del olemento de volumen en coo¡denadascillndricas (Fig. (¿)) son e dó, dp y dz,vienen dadas por

ds,: h, l\ : (l) (det : de, dt: hdu¡: p d4, ds. : (r) (dz\ : dz

utilizando los factores de escala obtenidos en el Droblerra 7.

Fig. (¿) Eleocrto de voluEe¡ en coorderad¡s cilíndrlc¡s Fig. (ó) Elem€nto de volumen en clo¡der¡d¡s

(ó) Las dimension€sdel elemento de volumen en coo¡den¿dasesféricas(Fig. (ó)) son d¡, r d0 y r *ya que vienen dadaspor

ds, : h ,du, : ( l ) (d! l : d t , ds¡ : hzd*: r&, ds, : h"du, : r* ¡0dó

utiliz¡ndo los factores d€ escalaobtenidos en el problema 8(¿).

(a)

i¡

.- l

l

i



-\

En coordcnad¿ssféricas,lr¡to,

COORDENADAS CURVILINEAS

cl oleüEnto dc volumcn d/ c¡r coordGnadaso) ciltndric¿s, (ó) €sf¿ricasy (c) cillndricas parabólicas.

E clctncnto dc volur¡rcn en coord€nadascuwilfncas onogonsles ¡r, ..t, r¿rGs

dV : h, h¡h¡ dardq dut

En coordcnsd¿scillndricas, a,:

e, ut:

6, ut:

z, ht: l, ,t : p, ¿t : I (problerm ?). por lo tanto,dV: ( t r l€)o)dQdódz : Qdedódz

También se pucdc obtener di!€ctanenta obs€rvando la Fig. (a) dol problema 9:

ar :L t , :0 , u¡ : i , h , :1, ht : r , h¡ : fs€no (problema (a)) .Por lo

dV : (l\ (rr(r st 0\ dr & d{ : rrff iíúdOd{

También so puedc obte,ner dircct¡urnte a padir d€ l¿ Fig. (ó) dcl problema 9.

F¡ coordenad:silfnd¡icasarabólic¿s,r: ü, ur: v, .!, : z, h:1,/irTl, h. : \/7i-+ ". , h. - |(problema8(ó)). Por lo tanto,

dV - (\/ u, + ü (.\/ri. + v\ (t\ du dv dz : (u, * vrl du dv dz

(¿) los factorcs de esc¡la y (ó) cl el€Nnentode volumcn dll en coordenadasesferoidalesachatadas.

: acosh Cos?cos ó, . / :4cosh Écos?sen6, z: ¿senh6sonA: - 4 cosh6cos?sen CdC-acosh I scn4cos ódq * a *rrh 6cosZcos Cd6: acosh fcos4cos ód6-acash 6senqsen 4h + a frr,nhco s ¡sen Cd6: ascnh cos ?d? + acosh ¡ s€n?d f

Entonccs (dr)t : (dx)'+

(dy),+

(dz), :a! (senh' ¡ + s€¡! 4) (d¡)'

+ a'(s€nhr 6 + sen!?) (d?)¡

+ a¡ coshr6 cos' ? (dC)r

f h : he: 41,/scnht + s€nt h":h,t:a/s6fr[i-F?s€n,4, h, : ht : a cosh co s?

dv : (a / *nW ¿ + *n,,ü G /Gh--T + s€n'4) @cosh€ cos i dt dnd6: ar (s€nh¡ + scn'?)cosh co}rtdEdI d{

las expr€sionesde los slementos de su¡erficie en coordenadascurvilíneas ortogonales.

ObsorvandoIa Fig. 3, pág. 136,Ios e¡ementosde super6cie vienendados por

dA : l(h¡ dqe,\ x (r¡ ¿¡r e,) | : lr¡ r¡ le¡ x eo du1du" : hh" du,du,

l€¡xer l: le,¡ : t. Análoganente,

dA, : | (h,du,e,) x (lr,¿r, et) |

dA , : l(hdqe) x (h ,dqe) |

¡

dx

dy

dz

h h' dh du.

h' h, du, dul



l4ó COORDENADAS CURV¡LINEAS

Sie¡do ¿r, ¿¡, ,r¡ las coord€r¡adascurvillneas ortogonales, dcmostrar quc al Jacobiano de ¡, /, zl¡r, ¡r, .¿¡es

Según el problcma 38 dcl C¡pftulo 2, el determinante

?¡ ?v ) ,

üat¡[3x 7y 7z

óUq ótte du e

7r. 7y Zz?u" ?r" ?r"

dadoes gual a

= hth..ü

- &.?¡"?¡?u, ?u2 ó""

?" a, 7z ?¡ ?v E. ?¡ Ev 2z(- l +

-4 J

+ <-h). ( ' { - - l + 1lJ +

-I )x(-l+<-J+<-k)

oul our óut óuz ott2 ott2 oug oua oug

= Ár€r' h2e2x hseg

= htbho e1' e2 x es = hthzhg

si cl Jacobiano s dénticamcnte ul ar ar a'Lo,osv€ctoresá, -6r,, dr", son coplanariosy la

(x, y, z) están igadaspor una relación del tipo F(x, y, z) : 0. Por consiguient€, ¿ra aplicar unación d€ coord€nadas es necesarioque el Jacobiano corr€spondiente sea distinto d€ cero.

fr f14. Hallzu

J J J(¡'+l'+ zr)dxdydz siendo una esfqa d€ c€ntroel origeny radio ¿.

Fk. (o) Fr¡. (ó)

La intogral pedida es ocho vecos la integral sobr€ la parte de esfera contenida en el pr(rig. (a)).

En coordenadas ¡ectangula¡es,

¡o ¡ /-a2-x2 r /7=V=7s J J J @2+.fz2r¿2¿rd'

u.o y.o z¿o

p€ro su cálculo, aunque posible, es complicado. Resulta más fácil utilizar coordenadasesféric¿€ste tipo dc coord€nadas, €l integrando.:, + y, + 2., s€ transforma cn ¡', y cl elomonto de volum



COORDENADASCURVILINEAS t47

rúfÉrte en r,vrrgdrd0dó (problema 0(ó). Para ¡ecoüer Ia región del prim€r octante,sc tian 0 y C,Jrf y s€ ntegra desde :0 hasta¡: a; a continuación,manteniendod constante,se integn desde

=l tA:z/2y,ñnalmente,seintegrarespectodeédesded:0hastad:z/2,Hemosplanteadolaión en el orden 4 0, f, Wfo s€podia hab€rs€guidootro ordencualquiora.

r' sen0&dedó

1r/2

*n0 a0d$

41roa

, ["" ["" J' <*rrr*n¿,¿o¿= " I"n f^ f=0 6=0 ¡=0 ó= 0 8=O ¡-=O

' ' r["* [""" *neli-oaeaq+ J,'"J,

=+ J"" - ,o"o("o¿ó# J"""'r=

Fnq¡r¡ente, la integral representael momonto de inercia de la esfera respectodel origcn, es decir, el momentorr de inercia, siendo a densidadde la esfera gual a la unidad.

E¡ general,cuando se pasa de coordenadas ectangulares coordenadas urvilfnoasortogonales,el

cnto de volumen,dx dy dz, s€ t¡ansformae¡ h,h"h"dudu"du",o su equivalentc,l+"a")

du,du,du,

E¡lo ./ el Jacobianode la transformaciól de x, y, z a ¡.¡', r, ¿' (problema 3).

jrÉlo a1, /',a¡ as íneasoordenadaseunsistomaurvilínoo,emostraruefr, +,-h,Y vr¡r,V¡¡,

i¡¡son dos

sistemas e vectores eclprocos.

at \ ls ip:qTcnemosuedemostrarue ; 'vu.: I ^ -; ' . " endondepy4pueden omar osvalo¡es ,2,3.

oüt - (vstP+q

fr ticne,

dr = 3r ¿u. *dr,

a¡7n"

au"+ ll ru"

Multiplicandopor Vl, .,

V,1 'dr - du1 = tVur '*r l¿, , + (Vur '{ r rn

, tVur '* l¿,"

Vur ' a¡?,,.

= 1, vrr . A, = o, Vr, ' a?u"

\nálogamente,multiplicandopor V|rr' y v¡¿s's€ demuestranas demás elacionos.

rxmostrarque{* #,.*}{eu,. iv",v,"}

= r.

ar a' arSegún l problema

",á,

-AC, -ft VVu,,V¿¿', ¡rs onsistcfiasecíprocosc Yectorss or o tanto

!¡ demostración € deducedel problema53 c), Cap.2.

o bien,



lrE

, ( ¡t. r2t l¡t)

t ' f , .

l l t oolag@t

¿u, *

Por lo tanto, dtz .

(¡)

(2'

COORDENADAS CURVIIJNEAS

Es¡o rlsultado'oqüivalc a un tcortú[a dal ,¡cob¡¡so,

iq.9u2r.O*,

a"!dt

ba¡

3s&

3rr¿r?¡2dt

kt

3c1Oz

4",?:

llgEr

e dcrte (#th\^ry#l -

¡, trúrodo o rnrrs tprobt@¡3¡

t?. Democtr¡r quc cl oradndo dcl Gl@tto do lfnc¿cn coordin¡das cunillnca¡ ra puodooxpg3

ds2 = X X,'L q'r +q '\hc

Tcndrcmos,

¿t-

GRÁDTENTE,DTVERGEF{CIA ROTAOONAL^ TPy- ^-*

ORTOGONALES

lt. Dcdr¡ci¡ s cxpr€ciónV(Dcn coordc¡radas u¡vilfn€at¡ rtog6nato,

Se¿ ViD = f¡cr+ foeo+.fs03 con t1,¿,/3 c¡aúsicnté a dctcrnimr.

como & = + ao1 $aoo* $ao"ü1

'duz' tsq

. hlc/.tttr + h2e2du2 + f,s c"dng

Irsulta

de . VO. th-

¡.|.hdt4+ hfztbz + fu/edq

+-dk r gd4 + &2 du2ote

¿r.dr = Cr'c- du ?+ Aa.q ¿ttLdt2 gr.q d¿1iu3

+ Q.Al du2til,a q.As duf, + Q. g d4 du

+ ds.q d¡s de1 + Q. Q dasdu2 q,drd":3g

F E t*dgd,n , sioado\q = cr'c,q) .! q. L "

Porotr¡ púrt!, ae ffia,r#or*.ffia,,"




Igualando /) y (2),

k lo tanto,

r=1?E r= r3e ,- raiD'1 h,aur' 'z ¡, éu2' ," -

[ a, t.

vé = pgg.p3É.e"g9ht dut hz du2 ' fu ?rg

E¡ €s-idp.t.-

E¡¡ rclación indica la equivalencia operacional

v = 33. g3 - eo3bt out h2 du2 ls du"

¡o3 s€ teduce al operador Ven su for¡u norrnal en coordenadas rect¿ngulars.

bn u,, uo, ", coordenadascurvillneasortogonales. (a) Demostrar que lVuDl:h;r,p:1,2,3.(ó) Demostrar que e, : E .

¡ ¡ ¡ SeaQ: ul enel problema 8. Entonc€s" :+

y lVar l : le , l lh , :á, - r , ya que ler l : t . Aná-

logam€nte,haciendoé - u, y u,, lAu;1 : ¡rt y lVu,l : h;1.

&, Pord€finiciónEr:#fr.**r"r,sepuedeescribirEr:hoAuo:eoqteesloquosequcrf¿demostrar.

Iaostrar que er : ¿¿á! v¿¡ x v¡/' y que e¡ y e" vienen dados por ecuacionesanálogas, siendo r¡r,¡r, ¿¡,oordenadas curvilíneas ortogonales.

sesúnclproblema9, %, =fr, V""=8, %"=;.

Por lo tanto. V,, t Vu" = 9¿l 3" €t - -n, 4=

ll-th" I et = hztB vu2t Yus

Arálogamente, , = AeilVu3xVul y ca= h]2Vu'xVur,

lmostrar que en coordenadas urvilíneasortogonales

(d) v (dr l) =th" {1e,n,ts

1á¡ Vx 1l ,e) = ja ¿(, { ,¿,) - .e+ ¡nI) 7 aus hthz *;t lr t"t l

. ¡oálogamente para los vectores,4¡e¡ y,4s€r. (

r Del problema 20,

V' (l1el) = 9, qArh2hrix2xgu".¡= VéIh2hr. Vr2'Vr" + A]2fug, qyu"xVx"¡

= gulhzhs). f f ' f r . = i6,n; ' ¡ t . f r¿= [f r},^u't"t' f; ];e,t"r'")fr f,*,tn",

1a hrr,rr," zí)éthzhdt

€r

hzt¡

/



=ftftr,,,ufrf;,,,,,¡

Zl. Expresardiv A : V 'A on coordsn¿dss urvilfnc¡sortogonal€s.

V' I ' V' (Aa4 + azaz + ,{ oGs) . V'¡,trcr¡ + i,1,1"4¡ + V. (.{re")

- I f3,rr44, * ]1,r,r"rr¡ * 3tarroJt"194 l?ur " ' -' 7a' " ^' Eu" - "'l

aplicandocl probhms21(o).

Zl. Expf€ssrrot A: V x A en coord€nad¿suwilfncas ortogonales.

Vx l . Vx(ltcL + Aza2+ 4 s" ¡ . Vxl,t1cJ + Vx (la!a) + Vx 1,tuc"¡

=ftfto,ar ftftu'ut* ft¿gr,r,hrffifru"ut

- &*'o.,^) fr*",t'"^o=*^[fit'"'"r*,^,r,]- fr[ftr',a,-

ft1f;u",",-;,,,'u]soghn l problema2l(ó), Esto scpucdc€sctibirc¡r ¿ form¡ máscompact¡

l l t , COO'E

ADAS CURVILINEAS

4hrVxVu.'.

(ó) Vx (,tl"J

0

* ftft<tl,tfrf;,r,^.,]-;

= Vx ¡,t1Á1Vr1¡

. V(1Ár¡.x Vr , +

= Vq,rrl.¡rfr

=[; ftu,^,,

ft,r"^"r]

Vt,r=

- j . ;a\/¡a¿á

21. &(pr€sar vlP €o coordcnadas curviüncas ortogoDal€s.

DelproblemalE,,/ = +$-=$ h1 du1 h" da"

h*t hzec }6c,al

a a al

üq alA1h1 A2h2 Ashsl

¿'lta"a

eoig



COORDENADASCURVILINEAS i51

s ,r=9ú,Entonces. =1#r,

"= i

V * .= V2!.t. ¡f ¿ .h2h.a/ . a ,h.h, á! . a . ',¡, a¡ , l

, r¡"Lau,t " á; ' ' ¡¿t^,

a", ' ' üt , " á i l

I f A 'n dS

drvA v.A = jH. r\,

4,, r ?,y'* , ,{s = . * y, según€l Í oblema22,Ott2 hS óuC

@obleÍia 19, Cap. 6), eipresar y 'A cn coordenadasa¡rvilftreas ortogonales.

Consideremose¡ elemento de volumen lV c\ryasáñcnsiones, como se observan €n Ia figura adjunta,

n htAu,,h/q, h,Au¡S€an,A : lr e! + Are, + A, ety n el vectoruni-

¡¡io normal extcrior a la superñcie /S del elemento* volu¡nen Á V cit2do. Ei la caraJKLP la norm¿l csr : -er. Por Io tanto, y aproximadamente, tendr€mos

Pf

| | ,r. n ¿s = (A . n en el puntoP) (Arcadc .¡K¿P)

JltP= l(1e1+ A2e2 Ase3). -er)l (¡2rka82a¡¡s)

- A1h2ha Au2&6

E¡la,(,¡ra EreE,b integralde superñcie s

4 hzhsLr'2N1- ,{^<1,

nrn"AarA""¡&,

-sprcciandoinfinitésifios de ordensuperioru Ou,O^/.r¡. La contribuciónneta de estasdos carasa la

fugral dc sup€rñcic, s

<L (¡"¡r¡"^¡zAh)

A¿1 = + (/i A2&) A¿1A¿2A¿3ona oul

l¡ contribuciónde as seisc¿rasdc / zes

f ¡ á A 'l

l f i t ,e'r,ro+ f;tAzhths\ ü(/s^1¡,)l

a"1a"za"g

Xlvidicndo por cl volumcn h:¿J'[ Áu, /u, Au' y hallando el llrnitc cuando Áu,, Áu', A4 ticnden a cero'tilne

dr"a = V.r = ,, t , [3rrrr"^"1 *9(¡r¡r¡")*9tr"^r, ,r l l4h2h LduT ot4 ot¡s J

obBérvcsequellegarlamosalmismoresultadosihubiésemosconsidcfadounelementode.volumen/./U qu" ¡, iuera ,i, c"rrtio. ¡n estecaso,ei cáiiulo seefcctuaríade forma análogaal rcalizado en el problema 2l

.H Cap. 4,



tt2

ú, A psrtL ds la dcñnición

(rot A). t r = (VxA). n = UñA3-o

(problcma 35, Cap. ó), cxpr€sa¡ V x A cn coorde-

nad¡s curvilfncos ortoSonal€s.

En prirncr lu8ar, c¡lculcmos (rot A) ' ct. Paracllo consider€nos la supcrñcic S¡normal a c1GnP'como indica y aclara la ñgura adjunta. Scan' A :

,{¡ c¡ * A¡9 * A¿e1y Cr Gl contomo d€ S'' En€stas condicioncs t€ndrcmos,

/ '^9 ^.¿.

= l¡ .¿¡ ' l^ . r ,-c, .t .t'P8ü

Admiticndo rs aprorinacion€3f

( I ) J t .a, = (aenP). l t r&tcr¡

, f ^.r,t

, f ^.r,c

o bicn,

(2)

AnálogampntG,

I^'"=xL

l^'"=LT

I n.nPx

t ^ .ntP

o bion

(3)

I

(4 ) f ^,,, = ,4se ¡,s fi r,l""a,"l&"

Sumando.1), 2'), 3), 4)s€obtiene

/"))0 r.¿r = +(rsAs&3)&, - i r (A2 2\udt sUC, Ou2 ouo

l- : > ' l=

[-t rr , t " t " ¡ -ü6"hd )

N"Lus

despreaiando nñnitésimos de orden superior a A¡¡, Az¡.

COORDENADÁS CURV¡LD{EAS

I!!AS

: (,1r"1 + A2e2+ Ascal (¡24u2.2) = A2h2ü4.

A2h2lrue + i Á2h2&t2¡ N.oüi

- A2 h2 No - + (¡z^2

A¡2) A¡¡go¿3



COORDENADAS CURVILINEAS

Dividindo por ol órcadc Srqucv¿b á¿r'ílr. y h¡ll.ndo cl llmiic c-r¡rndor, y .¿rr ticodca @ro.

(rora).r =* [*."or-

3*,r,^,,]

Anólogamcntoom¡ndo lr3 árcasS. y S. perpcndiculatcs q y c¡ cn p rsp.ctivsmcntc, se obticm(rot A) . C y (rot A) . c.. For lo t¡nto el ncult¡do pcdidocs

(rot = - lt.,,n"t - ft ,r"t"l]. fr[*t--n,tu-ft.r"^",]

. ¡i fftt'"taftt"a'] " #

Al misnro cullado s€ habrla llog¡do si hubiéscctoc onsidcr¡dosl punto P.comoccnt¡o dcl ó¡ro &;cl cálcüto c rlalizarla dc fonna análogaa conn sc hizo cn cl problana 36 dcl Cap. 6.

. Exprcsaron coordcnadas illnd¡icss: (¿) V!D,(á) V'¿\ (c) V x A, (d) VS.

En coo¡dco¡d¡¡cillnüi<¡¡ (p,ó,¡),

uf P,az.Ó.h.2; q 'cp, %=.ó, csaGz;

Y L=he= r, hz= ó= P, hs= 'z. t

f,rGr }¿¡z hq I^ló o dl

?n, 49 a*I

hr/iL i2A2 bAsl

(d) e= iH" r ¿H" - i f f i "

sicndo A =

(c) Vx¡ = Ihthrh"

i#"- i#"¿* i33" '$t . iS" '$o=

#"[fi,r"^"ro t ln<nnt,,totfto,r,rn]

#"" [+(orur) $ (,',,u,r)- $ (r'ro,,)]

iG1*,#,5*^",fApea+ Aóa2+ A"es, l .e , AL-Ap,4=Aó, AB=Az.

ep Peó "zoód

ú&r;Ap PA6 A2

=!P

h¡e1 h2e2 hseg

ooo

¡ , '6¿;[h1A1 h2A2 hsAs



154

(/ ) v'Q =

COORDENADASCURV¡LINEAS

; [(# ]*^,,),Q* ,*) , . (¡**,-

# ['"''*r) + *#)*(*n)]#",#ry).*(T#) ,*(w¡¡*Q#)¡# .#

| ¡r", ¡r"o ¡.""

(¿) VxA = t I a a a'

h1Áol'"| ?r, 3r" ?,"I

,l haar h2a2 h.As

2t. Expi,csa¡ n coordcnadassféricas:a) V x A y (á) V.y.

Enostc aso,1= , uz=0,W-ói aL'e, e2=ca,cc=$ i ha-- r . l , h2ehg=¡, o-h6=r*¡0

- (1,(')A*.8

¿f ,a0 | scnác6|aa a I

E6e E IA7 rA, r *^t'^rl

- F#[{$r'* 'o+t $c^¿l*_

{#_ $r,*oe 't\,", .

{*or,,_

*1,*oe"6

(ó,'ú dE[+(+#)*(**) .*(*#)]=*#*.a[*(*r'#)#(=**)

-+(##)l= h[-"'* '#) # *" Y)* #]= t ?/"4' ' \ - | - ' \n., 1' rÍ) . t* # (*",uu) Fh

29. Escribi¡ la ccuación dc taplace cn coordcnadas cillnd¡icas perabólicas.

Dcl problema t (á),

t-*_¿óo

¡r=¡, 42:¡ , , ¿o=r ; hr=Gi-ro, ho. 71-oo, h. t




Por,otanto,zry'= #,[*(*).

*(#) - *

=.--r r (* '#) #b ecuaciónde Lapl"o

"tÉ,/ : 0, o bi"n,

fu.{+,q," , , , ¡ t ! = odu 2 ¿u " dz .

E¡presaf en coordenadas ilíndricaselipticas a ecuaciónff: xV'U de la transmisióndel calor por con-

ducción.

u!=u, t'e= ),us= i l,r=r,r=",,(ffi 'f,l lñiu¡, h=1. Por o tanto,

r t \ / \ / ^ \' I

i "u l¿fryl - 3lg) - 3la{senh'z**. ' " ,$} l¿'(senh'?¡ /sen'v)L¿, \¿,/ a, \au/ a' \ d ' I )

l fu ' t !1 ' {4c{senhta r sen'r,) | ?u2 a"2 J 7"'

y la ecuaciónp€didaes

y = *{ ' i * .* l -*}a, I a(senh'a sen'v)L au2 ?r "J 7, " I

(OORDENADAS CURVILINEAS EN UNA SUPERACIE

¡. Demostrarque el cuadradodel el€m€ntode línea sobre a superñcie : r (¡, v) vienedado por

ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdu2

Tendrcmos d. = $a, * $a'du du

Por lo tanto, ds2 = d¡. tl¡

= +.+.h,2 + zS.*r ,r , _ *.*r , ,dtt du Ótt Ót) ot) ot)

= Edu2 t 2F dud¿ + Cdo2

!¿. Demost¡ar que el elemento de área sobre la superficier : r (,J, v) viene dado por

ds = ffi-fi ¿u ,El clemento de área es

ds= l ,$n", ' ,$n, ,1l+"*10", , nf l$¡8, , . , f fi , , , ,d¿ C¿ | ld¡ dul f

El radicando es(problema 48, Capftulo 2)

, * ' Pr ,* 'P, - ,* 'P,,* '* , = Ec-tr¿ queesloquesequeríademostrar .du du du du óu du dv du

l) )

("."'#)]



PROBLEMAS DTVEN,SOS SOBRE COORDENADAS CURWLTNEAS

33, S€a A un vector dado resp€cto de dos sistemas de coordenadascurvilíneas (¿¡' lrr, ¡¡) y (¿', ¿', úrelación entre las componéntes contravariantesdc dicho vcctor €n ambo8sistemas.

Las €cuacionesde transformación de las coordenad¿sen un sistem¡ r€ctanSular(r, y, z) a la(4, u., u.) y (úr, at út¡)vienen dadas por

I z = 1rlt'ltu2tus,, f = r"4,¿2tt4l, 2 = 21(ut.t4.t4\(¡)

I x = xlí¡í2,tsl'¡, | = fz(út í2,ís\, ¿ = ¿z(ít U,ía)

COORDENADASCURV¡L¡NEAS

En estascondiciones, habrá unas fórmulas Oe ransformación ¿irccta d€l primer sistema n,, n', ,¡¡(rr, ¿',¿.),

(21 ¿1= ¡1(4, ü2,üo) u2= ulí¡i,2,ísl , ¿e= k(4' Q, üs)

y r€cfproc¿mente.e(1),

tt¡ = tsr,,uL

¿¡ = +_ d¡1o¡l¡

Por {o taDto,

(3). d1du1 |

**"n* ' #uo*

= d.1 q +

:! díh + * d-u" = úadi1 +Ou2 o¡&.

d2 du2 + Q tlq

d2 ¿:u2 + d3 dl\

Dc (4, dxl =

l'2du2 + Qd 4 = dtdú + l2d12 + d¡a'u"

#' ,*S'a. f t ' ' "

(11

a1

d2",* , -

t * ,

" '* ', *"

.c"H

. d"*

(5)

siendo(4) en

?u' - ?¡. - ?¡,.

- -_-

+ q=--+ Ca=

a",=f taa,*f ta"r* t

r t rs=ffr ' ,*Hr*-*r*Sustituyendo en(r) o igualando los coeficientesde dü1, d¡2, dEede los dos miembros, seobtien€

o,#.oH. "#

ús

Ahora bicn, A sopucde expresar en los dos sistemasde coordenadaspor

A = Ctt ta + c2c2 + csl€ y a = erdr+Qd"+d3d'"

Cr,C2,Ca y dt,dz, Qhs componentesontravadantese A en lo3dos sistem¿s

c1d,L + c2b + c3 c3 = Qd,' + d' d. + c-nd'

?¡" - ?¿. - ?¡.=-- + C2=-- + q i=-) qL. =- - dlir ?¡" frlc'* <Z'fr :-- + C" i--

dE2 - ó83

- ?¡" -E** , t taor*aü*t"d



cr

c2

c.

¿,*: . r ,* , , r "*

c^

P = l'2'3

P= L'2,3

Los resultados anterior€s nos llevan a adoptar la siguiente definicíón. Si tros magnitudes, C¡ G, C¡ enr sistema dc coordenadas(ub ut us\ están r€lacionadas con otras tres Cu Cu C

"en otro sistema de coorde-

{'( (¿r, q, ¿¡) por las ecuaciones de t¡ansfornración (6), (7), (8) ó (9), dichas magnitud€s s€ llaman comy'o-a¿t de un vecto¡ conlrarariamte o le tor contravafianle dc primer orden.

lEolver el problema 33 para las component$ contravarianles de A.

lcpresentando as componcntcE ovariantosAe A cn loo sirtemas(¡1u2,ue)

y (4,t¡4) por c1, c2,cayZ_.;2,¿ , resp€ctivamcnte,

A = c1iu1 + c29u2 + caVq ;r 9Í, + arVa, + á.E¡

Ahora bien, ü¿=

P= 1,2'3

-

tt7

b tantor

aÉ ¡br€viadamGntc,

t daYlr nás compacto,

I

También,

ir) c19u1+ c29u2+ caVr6 =

COORDENADAS

= ¿r*:

CURVILINEAS

- ¿"9 ' e"g dí , -d%

31

^ | = oubul =

¡i . "c l.- - "-q

; En"- dlt

- ?u^C1--! + .

ó¡tI

- ?so-'ót , 'c"3Es

- ?u^ - ?¿^, , t * ," t P ,2,3

ffloganonte, p€rmut¿ndo las coo¡dqiadss sc d€duce31 -

ñ er - I . r t?"rO

a%

ot

abol

4,"

-

b?u3

úf

?q

út4"3

7a

áq

of

?12

ot

?¡,?n2

ot,

6;oul

¿"

1,2,3,

au1-+lz

a¡1-+¿r?n,,

-+?:

rro) con p =.llt!,u2,

|¿,p

tüI :,,\ t

d,

?,,oul

tdt

?u,

<",$*,$* $¡,+ c1$+$- *$y * (" ,* * ",$ * ""$r.



l ) ¡ '

(4 \

1a,$ a,p * ;oz 02

-ou s

ca =-

e" 3oy

-^EE"oz

= otku2 -

ot

ir+o2

?u n-d z

(s)

ottl

ov2

_ oueca

--Qua

_ Ottt

ova

-ou 1

ou2

_ Ottacl i-

ou!

(6 )

ou^; --J

3r

t

?¿, ?¡"c1 =-- + C2 Xi

of of

?¿. 7u.c1=-_ + c2:i-

oz o2

quesepuedcn€scribiren a forma

(71"f

o bien,

-9

Análoga¡DÉnta,sc deducequc

(e) el

tn # p= L,2.3

P- 1,2'3

p ú 1'2,3

tc g

E¿.oz

e.F * dui

tr+ot

E,Y-dz

,-&ou!

-""+u2

-ou2

c2 <-ola

7^ !2 a

?,n3&t

Los r€sultados¿nteriorcsnos lcvan a adoptar a siguientcdsfnición. Si t¡es magnitudes, ,, sistema d€ coordenadas(zr, ar, ¿¡) están relacionadascon otra!¡ tres 6r, ¿'r,é, cn otro sistemade(ú\ ú,, ú,) por las ecuacionesde transformación (6), (7), (8) ó (9), dichas magnitudes s€ llamande un vector covarlanle o tensorcovafiante de primer orden.

La generalización e los conceptosde estep¡obl€may del problem¿33 a un espacioasí como la d€l concepto de vector, la veremos en el ard lisls tensoriql, Cap.8, En el proceslsi como la d€l concepto de vector, la veremos en el ardlisls tensofiql, Cap. 8, En el procesode tconviene emplear una notación concisa que exp¡€se as ideas fundamentales de forma abreviada,

' sin embargo, que aunque la notación €s distinta, los conceptos básicos que se expon€n en el CIntimamente relacionados con los de este capltulo.


- rr- - !r- .- ?Et -at ,

-¿t3. .c lvu!+ c2fu2+ cavus = (c1 ' -+¿2t+cA5;)¡

* <ar**a"p*;"p¡¡of ol ol

Igualando los coeficientesd€ l, r, k en (3) y (4),

* ",p * ""$ = ar$.; ,pox ot o, ou

?u"¿r

Sustituyendo las ecuaciones 2) con p : I,2,3 enuna de las €cu¡lciones t c igualando ¡os co€ficientesd

9.91". gtt. 9. 9"". fu , k, + deambosmiembros,sobtiene¿, ' ¿" ' 4 ' 4 ' 4 ' ¿, dz dz




l.) Detnostrar que en coordenadas generales (¿h,¿2,4e),

trr tp gB

fes

931 8s2 g*

siendo6rn

los coeñcient$ de dn, dn, en ds. (Oroblema l?).

e) Demostrarqueel elem€nto e volumenencoo¡denadasurvillneas s {i ¿o,au,au,.

(.) Del problema 17,

1_.=t- 3a3a-¿3L.J) s. . = 4¡ . d^ = ::'Ps Y q éup }un éup }uo }up éu,

Teniendo en ct¡€nta la fórmula dc ta multiplic¡cióo de determin¿ntes,

l " r^r+a2a2+ osAs otBr+ a282+ ca83 o1c1 + r,2c2+osca

=

l \41+

b2A2+ úAs btBl+ b2B2+ bs&s\C\+

b2C2+ bsCa

lcLAr+c2A2+ c"As clBat czBzl . cgBs cLcT+ c2C2+ cacs

.?r ?¡ .. ?r ¿(=-..-_^=_,otaa ou2 oug

7z 7zP,q= r '2 '3

at a2 03

ba b2 b3

cL C2 cg

A¡, Bt

Az Be

As Bs

c2

c.

} 7,?r 1 Eu 1

4é,é"2 7u2

47,Er6 ?rr3

E¡

--ul

?¡i-ouz

a"oue

?¡U?zou7 our ou1

?" Er ?¿7u, ?'u2 7u2

?¡ ?r ?¿?q E6 ?le

?z ?r ?rOul Ou2 dus

} U¿t?u1 Eu2 ?rr3

7z 7z 3z?a1 ?u2 ?ug

ttt ttz ttg

tzt tz ta

tat Ep tsg

(ó) El clcmento de volumen viene dado oor

ar=lrfra,,r

<f;r,otr&¿*¿*r

l# #,.* l

, !u1du2dus= {6 du1tlu.2 las segr¡n (¿).

Obsérvese que 1/t es el valor absoluto del Jacobiano d! x,/, z r€specto de a¡, n¡, z¡ (problema l3),



COORDENADASCURViLINEASóo

36.

(a) csfcra rr + y' + zr : 9(á) cono r : 3(¡¡ * y)

Problemas propueetot

(c) paraboloidcz : x'* y'(d)p lanoz=0

37 .

3t.

l,as solucioncs dc cstos Problcmas propucstosñguran al ñn¡l dcl capltulo.

Enunciar y trazar las supcrficics y llncas coordonad$ dc los sistcmas: (a) cillndricas elípticasy (c) cillndracas parabólicas,

T¡¿nsforrn¡r las coo¡dcn¿das(a) *férbas on rcctanSularcs,(á) csfé¡icas cn cillndricas.

Exprcaar on coordcnadas csféric$ los lug¿r€sgmnúricos siguicntcs:

(e)p lanoy: ¡ .

39. Sicndo e, l, r, las coordeo¡das cilfnd¡icas, cnunciar los luga¡cs gpo¡rétrlns quc sc indic¿n y hsióncn coordcnad¿scctsngular€s:¿) o :4 ¿ :0; (ó) e :4; (c) l : tl2; (dl {: t43

Sicndo z, v, z las coordcnada! clípticas y a :4, cnunciar los luga¡€sgponréhicos,quc se indicexprcs¡ón rn coordcnadas rcctangulsrrs:

(o\ v: nl4i @) u:O, z:0; (c) uoln2, z:2; (d)v:0, z:0.

41. Sicndo s, v, z, las coordcnad¡s píoUOli""", rEprcs€nt¿r as curvas o rcgiones siguicntes: (a)(ó) y: I , z =2: (c) l3u 52,2 Sv =3, z:Oi @) | < u<2,2< v<3, z:O.

a2. (a) Hallar 106v€cto¡€s uniarios c,, c¡ y c¡ dcl sistcma dc coordenadascsféricas cn función de(á) Exprcsa¡ i, L k cn función do G,,cc y ea.

43, Rcprescntar n coordcnadassféric¿s l vectorA : xyl-,úl * 3.rk v hallar las componcnle

¡14, Dcmost¡ar quc cl sistem¿ds coordcnadas csféricas cs ortogonal.

a5. Dcmostra¡ quc los sistcm¿sdc coordcnadas siguicntosson ortogonal€s: (¿) cilfnd¡icas parabódricas cllpticas,y (c) Gsfcroidslcs chat¿das.

. :4ó.Dcmctra¡ uc , = 9crr*n0ó"ó, ée = -0%+ ce9Qc", i¿. -son/óer-

47, Exprcsar la volocidad r y la acelcración ¡ dcl movim¡cnto dc una partfcula cn coordcnad¿s

at, Halla¡ cl cuadrado del€lcnento dc llnca y los factorG dc Gcc¿la orrÉspondicntd cn clsiste¡nadc(a) pataboloidalcs, (á) cillndricas cllpticas y (c) csfcroidalcs achatadas.

Hallar cl c¡aÍrcnto de volumcn dy cn coordenadas a) paraboloidal€s, (ó) cillnd¡ic¿s ellpticas y

En el sistcña d€coordenadasesfc¡oidalesalargadas, hallar: (a) los factores dc oscal¡, (á) cl elemrnen dY.

Hall¡¡ los factores dc cscala cn cl sistoma dc coordcnadas: (¿) clipsoidalcs, (ó) bipolarc,s.

Hallar cl clcmcnto de árca dc un volu¡lcn elcnrntal on cl sist€ma dc coordcnadss:(¿) cillndricay (c) paraboloidales.

53. Dcmostrar que la condición ncccsaria y suñcientepar¿ quc un sistema d€ coordonadas curvillgonal os quc g¡{ : O pa|a p + q.

o.

50.

51 .

52.



COORDENADASCURVIL¡NEAS

!L Haffa¡ el J¿cobian t (i!r r) ^ "lc¡so del sistcmade coordenadas:a) cillndricas, ó) csféricas,c)cilln-

dricssparabólicas, d) cillndric.s ellpticas, e) csfcroidales largadas'

f f f . -s- llaltar J

!J { xt * yr dx dy dz, siendo / la región limitada por z : x' 4 f' y z : 8 - (xr f rr).

IÍd. : Emplcar coordcnad¿s cillndricas,

lA Hallsr el volurnen dc la mcnor dc las rrgionGlimitadas por la csfcra¡' + yr + z' : 16y el cono zr : ¡¡ +.r,¡.

t. Emplcándo coo¡dcnadas 6féric¡s, h¿llar cl volunrcn do la nr¿nor dc las dos r€gionG limitadss por una csfcra

xt-y. :2¡&c¡sa¡ Xl :htanu¡ z: u.

ot%(ó) Dcmostrar que dicho si6t€m¿es onogon¡|. (c) Hallar el Jacouiano "r {-Il4) d"t fnirfno. (d) Demo6-

I u¡,4, u¿trar quc l¿ry r¿r stán r€lacionadas con las coordcnad¡s cillndricas g y á y detamina¡ las ccuecionB detr¿nsformsción,

Hallar €l momentode imrcia do la rcgión imitadapo r x'-y':2, x'-y':4' xy: I, xy:2, z: Iy z : 3 rüpccto dcl eje z considerando la densidadconst¿nte o igual a (. Ind.: Haccr ¡r - /' : fui, xy : v.

Ar Ar A.Halfar -fr, -ú,-6G, vubau.,vu. cn coordcnadas: ¿) cilfndricas, ó) csféric¿s (c) cillndricasparabó-

licas, Dcmostrar quc, en dichos sistcmss, er : Er, ei : E , .¡ : q,

S€a e transformación dc coordcn¡das q : xy, U : x' + y',.u.: z. (a) Dcmostrar qu€ cl sistsñ¡ conls-

pondientcoesortogonat.ó)Haltarel w"ai*o t (ff,fr). (c) catcuur ar'.

Halla¡ viD, div A, y rot A en coordenadas cillndricas parabólicas.

Expr€sar (a) Vv y (á) V 'A en coordenadasesféricas.

Hallar v¡u en coordenadas csferoidalesachatad¿s.

a¡ó aóFscribir la ecuación

-

-

-

: é en coordcnad¿s cillndrica ellpticas.oy'

Exp¡€sar a ccuacióndo Maxwell dc clcctromagnetismo, x E:-1S"n "*rarn"das

esfe¡oid¿les

alargadas.

*Y <,

- v(x, ,)\,p: o cncoor-

tó l

de radio a y un plano quc la corts a una distancia ¡ dGsu c€ntro.

]l (¿) Enunciar las superficics y ¡as lfnes coordcnadas del sistcma

. Exprcsar la ecuación de Schriiedinger de Ia ri€cánica cuántica, vrydenadascilfndricas parabólicas, sicndo zr, lr y E const¡ntes.

Escribir la €cuación de Laplac€ cn coordenadas paraboloidales.

2r ¡Erprcsar la ccuación á

: xa'U en coordenadas esféricas sabiendo quc U €s indcpcndiente de (¿) d,

(ó) óy0, (c) ry t , (d) í ,0y t.

ll¿ll¿r cl elcmento de lfnce en una esfera de radio a.

Dcmostrar quc en todo sistcña dc coordcnad¡s cu¡vilfncas ortogonal, div rot A : 0 y rot gr¿d Q : 0.



162 COORDENADASCURVILINEAS

A - 1p(?,: !#) /r 'Ec-F2

74. Enunciar la transformación x : x (u, v), y : y (u, ,¿).(¿) ¿En qué condicion€s as líneascoordenad¿s , v son ortogonales?

73. Sean(¡, y) las coordenadas r€ctangularesde un punto P cn el pla¡o xy y (u, y) las de un punto O(a, v). Si x : ¡(s, r) e -y

: y(u,v), existeuna coÜespondenciantre los puntos P y O y, entonces la imagen del otro-(a)Enelcasodeque.r:2u+vey:u-2v,domostr¿rquelasrectasdelplanor¡secorresponde

las del olano ly,(ó) Hallar la imagen€n el plano ¡¡v dcl cuadrado imitado por ¡ :0, x : 5, I :.0 e.v : 5 en

72. Domostrarqu€ el áreade una r€giónR de a sup€rficie : r(4, v)€s J,J /Ec-|" dudo. Com

deducir el área de la superficie esférica.

73. Demostrar que el vector de nódulo¡

normal a la superñcie r : r(¿, v) viene dado por

(c) Calcular el Jacobiano .l IIJ I y demostrarque es gual a la relación de áreas enre el cuadrado" \u,v l -en el Dlano¿v.

| | e-s(r+y\ F@rG(r)d,¿r. ( f t

t . - " ' I I F@tc(.-u\¿-o \vo

76. Si ¡ : L@ - v'), y : uv, hallar la imagen o imrigenes) n al plano ¿v de un cuadrado irnitadx: l , y :0, .1 : I en el p lanoxy.

Tl. }J'all¡t las condicioncsque d€bencumplir F y G para que

(ó) Hallar dsz y g en cste sistema..(c) ¿Quérelac¡ónexisteentre este problema y el anterior?

80. s iendo¡ :u l+2,y:ut+uz,z:¡ j -¡ ,hal lar (¿)sy(ó)olJacobiano. / :##h Com

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

Ind.: Aplicar a transformación+y:t, ¡: udel plano / al plano v/. El result ado s mpt€orla de la transformadade LaDlace.

7t . (¿) Si x:3ut .*uz-ut , f : q*2u¿!2u", z -2ur-u,-ug, hal lar os volúmenes el cuporx:0,x:15,y:0,¡ :10,2:oyz:5ydel cubo magen n el sist€ma e coordenalargs r¡,4$ t¡r.(á) Relacionar el cocientede estosvolúmenescon el Jacobianodo la transfoí¡ración.

79, Sean x, y, z) y (ur uz,u"'l las coordcnadas ectangulares curyilíneas, espectivamente,e un m(a ) Si x : 34 + u2- u",y : u, + 2u 2+ zubz:24- u' -- uz ,detetminari el sistemalr /r r¡

36. (a) u : ct y v : cz son cilindros, elíptico e hiperbólico respectivamente,uyo eje es el eie zplanos. (Fig. 7, páe. 139.1

(b) u : c, y v : c¿son cilindros rectoscuyas ntersqccioneson el plano ¡/ son circunforoncen los ejesy y x, respectivamonte. que se cortan ortogonalmente.Los cilindros ¡r : cr p¿slos puntos -a,0,0) y (a,0,0). z : c¡ sonplanos Fig.8, pág.140.)

(c) u : c, y v : c' son citiodros parabólicoscuyas ntersecciones on el plano xy son paráboperpendiculares ntre sí con susvérticesen el eje. , aunquea distinto lado dcl origen.z : c(Fis.ó, pás.138.)

Las lineascoordenadas on as interseccionese cada dossuperficics oofdenadas,



COORDENADASURVILINEAS

t/ r, +y, yv : arcn,g-- ;- , I : arctag-

ló 3

. : \ / r r+7+z' ,

, : t / -p"TV, O: arc.tas-2

¡ :3, (b)0: nl6, (c) s€n'0:cosd, (d)0:¡ lZ,cf pfano :¡ está o¡mado or osdossemiplanos:nl4y l:5¡14.

Circunferencia n el plano xy, x' t !' : 16, z :0. (á) Cilindro xz * y, : Ió cuyo cje coinciile conúe z. (c\ El plaro yz siendo y = O. (d) La **ta y : 1/j ¡, z : I siendo ¡ E 0, t ] 0.

Cifindro hiperbólicox.'- y. : 8. (ó) La rectaque une los puntos --4, 0,0) y (a,0,0), es decir, ¡ : ,,

: 0, z : 0, siendo-4 < f = 4. (c) eripsefi + 'U : ,, , :2. (d) La porcióndel ejox dcñnida or

>-4, y:Q,2:g-

t

(d e,, ,ñ-{

utec

(ó) ij

¡

Fr la s parábolas ":--2(x-l l2), y": -8(x -2), y' :8(x ]-2\Parábolay! : *8(¡-2) , z:0. (á) Parábola¡ :2x * I , z :2. (c) Regióndel planox/,limitada

e l¡ : lE(¡ +912) incluyendo l.ontorno. (d) Como en (c) pero excluyendo el contorrio.

n5 -<-7 u-

: se-nco só' l + s€n0scn l +cos0k ,il.rV: cos0cos i +cos0send!-sen0k-: -senCi +cosói- l l?: s€n0cosCs, * cos-0 osd€o s€néec: s€n0ssn€, + cos0s€neo + sosCeC: cos0e.-s€n0eo_

A,ei * Aees+ ,'lce¿ siendo2isént sen-d osC rscn0cas0s€n d + 3rs€nrcos0cos2rsen0cos0s€ncos d-rcos'0sen d - 3rsen' cos- 2r sen0s6nró - rcos0cos¿

I

bba¡I

t ,

v.et + voeo v6e4siendo : i, eo: ¡0, vo: rsert9ó

a.e. + aoeo a¡e¡ siendo a, : i - it ' - r *n' 0 ót,

ldao:; f i Q'o) r s€n cos d',

f s€tl t all

(s) ds. : (u' + v)(du' + dt") + u'v' dú', h' : h, : I u" * v2 ht, : uv

(ó ) ¿' : a'(senh'z* sentv) da ' + dv'\ L.¿"2,h4: h': ay'Eññüll iÑi, ¡, : t

(c \ ds' : a'(senhr + sen'?)(d6'+ d?) + ¿'!coshr cos'qdót,

he h, , : "y 'senh'e + sen"?' áó:¿cosh4cos?

(a) uv(u'1vz)dudvdó,ó)¿'(senh'¿senrv)dudvdz,@ G#!#E

9,(a)he: lo:ay'senn e +sen5, /¡c: asénh sen4(ó) qt(senhr + sen¡ )senh€senqdEdrtdó

,d€ cerI todos

F coax|on,pla



16.I COORDENADASCURVIL¡NEAS

t2. (o, p ¿p ¿ó, p dó dz , dp dz1E¡ send d¡¿ó, /sene ¿e¿ó, ¡d¡d0(c, (C+*\ ¿urtú, uouGE tudg, uuy'EF drae

$' (¿ \ p, (b , P*n7, e\ u2+n2, (d) o2 (senh¡a scnty), (.) ¿r(senhré: + sonr?¡senh s

0" .'f i' "6 .

e*nQ- /i ,

rz. eas-b2h + hsr I5 -¡- B Js. (c) l; kl\ q = rp2, u2 =

tg. 2K

60. ,) gopD¡aó?¡E,

= scná cos{ t + senásen@J+ cosá t

= ¡cog? cos@l + r coal sanej - r send

= -rson, son@ + ¡sená cosé,

t l+ f t+ ¿asoná coa{ t +

cos@ + ss ¡ ! ¡,

-ps€nó t + p cosój, ,

t. V" = ¡

vo=# = coe{t+scn{¡

Vé = -sendl+ c6é,p

a¡?r

a.od

?¡aé

9¡

(ü )

vó

G)+orr9,

sr. (b ,;L-.,

" '@ = sona qosÓ + s0 seló, + coEp

ve =##E##! - coad osét+cc-dsenó,- senb

= -t ,*g = -senó | + coEó,t '+ l- ¡s0

=¿l+er,#.-o,r,r , *=.

" "++:j, v.,=-o=r,+-"1,, =r'+ úz u2+u2'

* : vo = #""$o - #*#"o'#""dtv =

*.1] (d-*

^"¡' !(/7*-,'')

] - *rotA #t{* - }1,e;,"a)l /F-*,".u

- {f 1,4;;,)_*l a;a.", l*,@o,,)- * (rdr¡^,)l""f



,. ) Vú .

' t ) V.a =

COORDENADASCURVILINEAS l6t

¿lr raú ! aúT"'* i¿eV**Aa6"t

4!v'+l * -l.= ^!- scná o',, )-= !r ' dr t*trd dtt - rs€n' @

o"' = .r""*E<*"1*g-*"",t"*rteSlt? a¡r.¡-- t , t' ?t'lt

a2cosh2( cos27 ?$2

# - #= ¿{sonh',¡+s€nrv)D

# [{3".^*,-,'"",}'",r {$r"er - $<nr6r}'n- {'$r'""r $1'".r} "r]

siendo R = senhf sen? y S = t/senñ{ + se.n'q .

* l#t#] ' # '+( ' - r ' " " 'q) ' t ' = o,s iendo(u,v,z)=v( ' , r ,Z) '

. "* , ,#, * , , ,a?r '$r+ <u",o\ f i o

" ,="[Étu,#, , h$<*"a$r]

o2coa z¡(senh'f +sen'z¡¡ ?4 (co6, ¡--o1 o11

, ' , * = "[ i *" '*, ] t"r .ne$<s"na$r

ilsz = a2 a02 + *n, e ¿4,2f

, dH, , ?fl_ . all,.

= -;TZ-;É. , - iTi" t

^2,,

.Y-.!1 = nw 6'¡ 6¿!¡ "

rr¡r*P. PP = ooI Ou dtt dn

¡, (o ) 750, ?5 ; (ó ) J¡.obiano: l0

ll (o) No . (b ) ¿C = l4¿tÍ + 6¿u2 + 8dn"2+ Bdurtluo 6du7¿ts+ g¿ae¿üs, ,=l0O

tl (a )g=!6u2ú2 (ü) l = 4¡¿1¿g



Ca ítul

Anólisis ensoriql

LEYES FISICAS. Las leyes físicas han de ser independientes el sistemade coordse utilice en su formulaciónmatemática.En el estudiode as consecuenciasü. i,cderivan ddición uega un papel mportante el andlisis ensorialde enormeempleoen la teoríade lageometríadiferencial,mecánica eórica, elasticidad,hidrodinámica, eoría del electromagotros camposmuy diversosde as ciencias técnicasmodernas.

ESPACIOS DE N DIMENSIONES, En un espaciode tres dimensiones n punto sepor un conjuntode tres números, lamados oordenadas,ue o determinan ompletamentenor un conjuntode tres números, lamados oordenadas,ue o determinan ompletamentende referenciaado. Por ejemplo, x, y, t),(p,ó,r), (r,0,{) son las coordenadase un pusistemasridinensionales ectangulares,ilíndricas esféricas,espectivamente. or analogíen un espaciode N dimensiones e caracteriza or un conjunto de N números,que nomb(¡\ ¡f, . . . , xx), en donde l, 2, . . . , N son saperíndices no exponentes de potencias, ocualhase muy en cuenta en todo momento.

El hechode que no se puedan epresentar eométrica gráficamenteos puntosen undirnensiónmayorgue tres,no quieredecirque no existan.

TRANSFORMACION DE COORDENADAS, Sean.rr, rt, . . . , xN)y (ú\, 2,. . . , ¿Nnadasde un mismo punto en dos sistemas e referencia istintos.Supongamosue existenindependientesntre las coordenadas nterioresde la forma

( l )

o más brevemente

(2)

'T

-l

iL(r\ , x2 . . . , rl l )

-2(r1,

,2, . , . , xx )

-ltt-. -2 -,y\

zl = i \ r t , * , . . . , rx¡ h = r,2, . . . ,N

,h = r\21,¡2,. . . ,¡x) k = 1,2,. . . ,N

Todas as funciones esuponen niformes, ontinuas oonderivadas simismo ontinuas.Ediciones, cadaconjunto decoordenadasir, ú2, . . , úN le corresponde n único conjunto ¡r,de manera ue

(3)

Las relaciones2) ó (3) deñnen as órmulasde trunsíormacióne coordenadase un sistemcia a otro.

ró6



ANALISIS TENSORIAL

coNvENIo DE suMAcIoN DE Los INDICESREPETIDOS.Al esc¡ibirunaexpuresióne

brma ar.x1 a2x2 --.lqNxN podemos emplear la notación má s breve y cómoda 2.o.xJ-

r crnbargo, odavíaesposiblemayor brevedad escribir a sumaanterioren la forma a,x,. adoDtandoonvenio de que cuandoaparezca n indice repetidoha de entenderse na sumarespecto el mismo

el valor I hasta y',a menosqueseadvierta o contrarioexpresamente.ste sel conienio esumaciónbs índicesepetidos ebidoa Einstein..Es vidente re en ugardel índice puede onsiderarseualquiero, por ejemplopr como en la expresiónarxp. lodo indiceque se repita en un término mplica-una

respecto e él y se lama. a veces, eudoíndice índiceumbral.Un indiceque solo aparece na vez en un término dado se lama índice ibre y puede omar cual-rvalordeentrelosnúmerosl,2,. . . ,N,comoporejemploelíndicekde(2)ó(3),acadaunode

cualescorresoonde na ecuación.

dtr t\

--?

¿ot P = 1,2,.. . 'N

bien, teniendoen cuenta el conveniode los lndices epetidos,

j t ¿r t ,cA =¿rc ^

r flaman componentesde un vectorcontravarianleo tensor conlravarianledeprimer orden ptoblemas33¡ 34 del Cap. 7).

Si.rYmagnitudesr,/",:..,1¡¡enun sistema e coordenadasxr,x2,..., xN )están elacionadasaotrasNmognitudes.4,.4¡,. . . ,Ayenotrosisteria(i t , t2,, . , , iN)mediantelasfórmulasdetr¿ns-lmación

A' = r' L¿

: llaman componentes de U'rL eclor covañanleo tensor covariante de primer orden,

Obsérvese ien que los superlndicesndican componentes ontravariantes, ientrasque los subín-Ices se refierena las covariantes xceptoen la notaciónde las coordenadas.

En lugar de hablar de un tensor de componentes ' o ADnos referiremos, n general,al tensor l'a 1,, respectivamente,or no haber lugar a confusión alguna.

TENSORES CONTRAVARIANTES, COVARIANTES Y MIXTOS, Si N¿ magnitudes 4o"enm sistema e coordenadasxi, x', . .. , xx) están elacionadason otrasN2 magnitudes4'r en otro sis-t,nw (ñ1,ú2,...,:rx) mediante as fórmulas de transformación

x

7 = | 9.t: a' - t L¿ )=r "q

-¡ dx'l ,Ab =

li ¡ ño' ox '

p = r '2 ' . . . 'N

x ]t ^_¿rle4L/ l¿ A-Y

gJj-- t'-dt -

:LTA p,r = 1,2,.. . ,N



ANALISIS TENSORIAL

resp€cto de los indices m y p. Si un tensor es hemisimétricorespectode cualquier parcontravariantes de cualquierpar decovariantes edenomina emisimétüco.N. del T. Algunos

a la hemisimelría a llarnanantisimetría.)

ONES FUNDAMENTALES CON TENSORES.

.|ñción, La¡¿¡z¿de

dos o más tensores el rnisrnoordeny tipo (esdecir, gual númerode índic¿sürtravariantes y covariantes) s otro tensordel idéntico orden y tipo.

Expresadomatemáticamente,i Ai' y BiD son dos tensores,Cit : ¿7t + tf, esotro tensor.L¡ adición de tenso¡es ozade las propiedadesonmutativay asociativa.

Sst¡acción. La diferencia e dos tensores el mis¡noordeny tipo es otro tensorde idénticoorden¡ tipo.Expresadonatemáticamente,i Ait y BID son dos tensores,DtrD Ait - Bñ' esotro tensor.

Irltiplicación extern¡. El producto de dos tensores s otro tensorcuyo orden es la sumade losrdenes de los tensoresdados. Esteproducto que consiste n una rnultiplicaciónordinaria de las;Dmponentes el tensor se llarnz producto externo. Por ejemplo,A{ B!: C{{ es el productoatemo de los tensoresAtr y Bf, Sin embargo,convieneobservarque un tensor,en general,no¡ede escribirse, descomponerse,ornoproductode dos tensofes e orden nferior. Por esta azón,h divisiónde tensores o siempre sposible.El productode tensores ozade aspropiedades socia-rra y distributiva especto e a suma; sin embargo, alvocasosparticulares, l productode tensoresro es conmutativo.

f¡tracción. Si en un tensor se gualan un índicecontravariante otro covariant€, egrlnel con-

-niode los índices epetidos, ebe sumarse especto e dicho índice.Esta sum¡ esotro tensorde

,¡den inferior en dos unidadesal del tensor origen. El procesose llama contrácciónensoüql.Portirnplo, si en el tensor ?jú'de orden 5 hacemos : J, se obtiene A!! : B^o que es otro tensor¡ro de orden 3. Continuando a operación,si €n este rlltimo hacemos :4, resulta el tensorry : C^, que es de orden l, esto es,un vector.

hltiplicación interna. Por el procesode multiplicaciónexternade dos tensores eguidade una:ontracción, gualandoun índicedel primer factor a otro del segundo, e obtieneun nuevo ensorpe se llama prcducto inlernode los dos dados.Por ejemplo, sean os tensoresAtrDy BL cryo¡roducto externo es AtreBIr Haciendo4 : r se obtiene el producto interno Ait B!,. lgtsalandot: f y p: J resulta otro producto í¡lefno, A:DBit.

Ly de cociente. Supongamos ue no sabemos i una magnitud X es un tensor o no. Si el pro-¡cto interno de X por un tensorcualquiera onduce otro tensor,entonces epuedeafirmarqueX6, asimismo,un tensor.Estapropiedadse conocecon el nombre de ley del cociente.

üATRICES. Una matrizde orden npor z esuna disposición rdenada emagnitudes ro, lamadosen nr filas y n colurnnas.La notaciónque ernplearemosara escribir una matriz es

4*t a¡2

ata atz

@zt 42

:il)

.¡77 at2 ...

dz! aP ., .

a¡t o¡e .. .

en forma más abrev iada apq) laeql,p:1, . . . ,m; q:1, . . . ,2. En el caso de q\te m: n,se llama cuadradade orden m por m o, simplemente, e orden m. Si m: l, se denomina

fla o vector ila; si n : l, se llama matriz columna o vector columna.

Ie diagonalde un¿ matriz cuadradaque contienea los elementosiagonal de un¿ matriz cuadradaque contienea los elementos tt, an, . . . t ann¡ sEconoce on elde diagonalprincipal. Se lama matriz unidad o unitaria) I, aquellacuyos elernentosdesudiagonalI son todos igualesa la unidad y el resto son ceros. Si todos los elementos e una matriz son

se denominamatriz nula O.



I .

I7O ANALISISTENSoRIAL

ALGEBRA MATRICIAL. Sea A : (an) y B : (b,a'¡ dos matrices del mismo ordenEn estascondiciones:

A : B si, y solo si, aoc: bn (necesario suficiente).

La yna S y diferencia D de dichas matric€s se definen por

S = A+B = 1a¡o+b¡q\, D = A- B = (opq-btq)

El productoP : l.B solo existecuandoel nrlrnerode columnasde I es gual al de filas dtal caso,viene dado por

P = AB = (arq\(bi{j = @p¡brq)

en donde apr.brq =| "frbno según el convenio de los índices repetidos. Si el pr

matricesestá definido, estasse laman conformesespecto e la multiplicaciónque se efepre, en el orden filas por columnas.

El productode matrices,en general,no es conmutativo,es decir, AB + BA. Sin emb

de las propiedades sociativas,A(BC): (lA)C y distributiva respectode la surna,,{(AB + AC, (A + B)c: AC * BC.

4. El determinantepolinomio)de una matriz cuadradaA:(aoo) se designapor lAl, det Abien, det (¿^).

Si p: AB, severifica: pl : l l l l8l.

lA ínversade úrrrs rwlriz cuadreda ,{ es otra matriz A-r, tal que ll-1 : I siendo la rnatrLa condición necesariay suñcientepar¿ que una matriz I posea nversa l-1 es que detdecir, solo tiene inversas las matrices cuadradasregulares. Una riatriz cuadrada I cuynante es nulo, det I : 0, se lama matriz sizgular.

El producto de un escalar por una n triz A: (a,), que escribiremos 1, es otra men la que cadaelementode I es multiplicadopor 1.

La truspuesta e una matriz I es otra matrizAr que resulta de I permutandosus ilasy

Por lo tanto, si I : (¿r.), a traspuesta s Ar: (a¿). Algunos autores ernpleana notacexpresar a matriz traspuesta.

3.

5.

EL ELEMENTO DE LINEA Y ELrectangularesx, y, z) el elementode llneaSi pasamosesta expresióna coordenadas

33

TENSOR METRICO. En un sistema deo diferencial de longitud de arco es ds2 dxz Icurvilíneas problema17, Cap. 7) s€ transforma

L L eoodupdun. Estzsexpresioneson válidas en el espacio ridimensionalle Euclide

euclídeo.

Sin embargo, es inmediata la generalización un espacio de,V dimensiones e(xt, ¡', . . ., ¡x). El elementode llnea en un espaciode este ipo viene dado por una formaque se llarna.,fonna métúca o, simplernente, nétrica.

tts2 = $ {"

d,f d'n#, E, "Pn

o bieo según el convenio de los lndices ropotidos,

ds 2 =".

d,t l d.r1-P q



ANALISISTENSORIAL t7 1

J

I

En el casoparticularde que exista una transformación e coordenadas e xt a ik tal que a formase convierta en (dñr)z * (dE2)2+ . . + (diN)z, o bien, dikdrk, el espacioen cuestión se lama N

de Euclides.En general, no obstante, se lama espacio N dinensionql de Riemann.

L¿s magnitudes grq son las componentes de un tensor covariante de segundo orden denominadométtico o tensorundamenlal.Este ensormétrico es simétrico problema29).

TENSOR RECIPROCO. Seag - ]ge4lel determinanteormadocon los ele¡nentos r¿y supon-queg + 0. Definimosg'o por la expresión

-,a_ adjunto de gr?

cstascondiciones, x es un tensor contrayariante imétricode segundoorden que se lama ,enso¡de gro(problema34). Sedemuestraproblema33) que

,fe trQ = sl,

TENSORES ASOCIADOS. Dado un tensor subiendoo bajando ndicesse obtienenotros ten-Por ejemplo,si en el tensor 4rosubimosel índicep, resultael tensor :4, indicandopor el punto,ciónoriginal del índicedesplazado. ubiendoahora el índiceq se obtieneel tensor ::. Cuando

Gr.ista onfusiónposibleal subir un índiceomitiremos os puntos,es decir, en lugar de l?!, escribi-le. Estos ensores epuedenobtener ormando os productos nternosde un tensor dadocon elmétrico g,r o su recíproco g?'. Por ejemplo,

Als = s' f Anq, Afe = gn lE"aAr", A1.."= trq Af,Q,"

tQñ'th th rñ,q,s t8 gsñg

^.r . . b

¡ recordarlo,nterpretaremosa multiplicaciónpor g" de estamanera: Sehace : p (o bien,p : r)todo lo que siguey se suáeeste ndice.De forma análogase nterpreta a multiplicaciónpor 9.4: Se

¡: g (o bien, e: r) e¡ todo lo que siguey se baja este 'J.die.

Vll

DI

Todos los tensoresque se obtienende uno dado formando os productos nternoscon el tensorico o su reclorocose laman tensoressociados onel dado.Por ejemplo,A^ y A^ sor: ensores so'

el prirneio es de componentes ontravariantes el segundo o es de covariantes. a relaciónelloses

A, = cro Aq o bien ¡l = /n An

coordenadasectangularesrc : I siP: 4Y ntc:0sip lq, de manera ueAo : AD iestoexplica

'qué no hemoshechodistinciónentre as cornponentesontravariantes covariantes e un vectorencaDitulos nteriores-

MODIJLO DE UN VECTOR Y ANGULO ENTRE DOS VECTORES. El producto intemo, de ADy .8c es un escalaranálogoal producto escalarque vlno¡ 9n coordenadasectangulares

nódulo L de un vector At o At es,por deñnición, a raiz cuadradade a expresión

L" = At op = ,hoArAo = ,roaPAq



172 ANALISIS TENSORIAL

El ángulo 0 entre dos vecto¡Es ,1, y 8¡ viene dado por

COBá

Au-GiA' =#s_, Av ,*r ' =#, ,

A,=6;A"a

guientes:

Ar* = g"{e =

Anólogamente, as conrponcntes fsicas de un tensor Atl o Ar. vienen dadas por las fórrn

ar6tt

. _ .12 Ap , t__ ,B ArB, AyU= {6rr t -A , Aut = v6o6sa

v6st* - t6t ts

SIMBOLOS DE CHRISITOFFEL. Lasexpresiones

[pq,,J

{"1t Pc,

, 7gr, atq, Tclqzl - + - - -. t2' drc dr, . ?/rr

s"' lpq' rl

se.llam¡n slmbolotde Chriitoffel de tres signosdeprimera y segtndac/ar¿respectivamente

¿utores n ugardc la".m0" {l"f}

empleanp4,s} o f;.. Esta lltima ormasugiere, in

un caráctef ensorid a los sftnbolos,o cual no es ciefo en gÉncral.

LEYES DE TMNSFORMACION DE LOS SIMBOLOSDE CH STOFFEL. Designauna bara encim¡a los símbolos xprcsados n el sistemsdecoordenadast, se verifica:

Í ¡* , . ) r^^ ; ?rt éxQ?xr * , ?rf é" ,9

""" ¿zJ ¿zh ¿-,tt'éoQ

¿E ¿71¿v*

{ ; } ={ ;}Y.##, .###que constitu¡ren as leyes de tr¿nsformación de los simbolos de Christoffel. SepuedeobservarquetransfoÍnan como los tensores y que, por lo tanto, no tienen esecarácter, a rnenosque los setérminosde los segundosmiembrosseannulos.

LINEAS GEODESICAS. La distanciaentredos puntostr y ,¡ sobreuna ourva x,: x,(t)espaciode Riem¡nn vienedada por

fL / ,b,o

" =J''-c'oft "t d':

,[FAr,7l)

COMPOI\¡ENT¡S FISICAS DE UN VECTOR. Dado el vector AD o 1,, llam€mosA", Asusproyeccionessobre las tangcntesa las llneas coordenadas.Si el siste¡nacurvillneo de refereortogonal, est¡s proyeccion€sson



------.-,_,,'-

ANALISIS TENSORIAL

bien, aquellacurva en el espacioque pasandopor dos puntoshagamlnima la distanciaentreelloslíneageodésica e dicho espacio. En el cólculo de variacionesse demuestra problernas50 y 5l)

ecuacióndiferencialde las líneasgeodésicass

rdes indica el parámetrode la longitud de llnea. Las geodésicasn el plano, por ejemplo,son

y las correspondientesn una esferason arcosde círculo náxino-

DERMDA COVARIANTE DE UN TENSOR. La derivada convariantede un tensor ,1, res-de ¡", que llamarcmos ..1r. , se define por

,1" ' l ' | ¿rt drq*' \pq¡¿"8

7An4 = --: -.?,q

7r9

on tensorcovadantede segundo rden'

{ ; } , "

l¡ derivadacovariantede un tensor,{t r€specto e.;ro, ue llamaremos{',q, se definepor

tr

un tensor mixto de segundoorden.

. . .P¡ ¡ ¡Pr "' Pr-" f t" ' f '

ot '

I s l /P1 . .P ' i- \ r ,ql ^" ' , " ' ' i

. 10,)eri:..,,,

1",){..'"-c

10,,f_ i-.

l)nIni::;""''"

1;;eirl.it" + .. . +

#. {;"},"En coordenadas ectangularesos símbolosde Christoffel son nulos y, por tanto, las derivadas

tes no son otra cosaque las derivadasparciales rdinarias.

Los result¡dos anterioresse puedengeneralizar las de¡ivadas ovariantes e tensores e mayorPor ejemplo,

h derivada ovarianteel tensor 1f...ij t"tn"",o a""".

Las reglasde derivacióncovariantede la sumay producto de tensores on las mismasque las de

¡aciónordina¡ia. En lo que se efierea la derivación,os tensorespo' o0

ó2sonconstantes,a que

derivadas ovariantes espectivas on nulas(problema54).Como as derivadas ovariantes xpresandice o cuantíade la variaciónde las rnagnitudesísicas ndependientementeel sistema e referen-que se utilice, son de gran importanciaen la fo¡mulaciónmatemática e las leyes ísicas.

sIMBoLos Y TENSORES ALTERNANTES' Definamos el sírnbolo€p{' por las relaciones: ezsr: e.t2: * l, e¿rs- €taz:?s¿t: -1, eoc,:0 si dos o más ndices on guales, .análoga-

.iii-Uóió e*'. eiroJsí¡nbóios,pués,son gualesa, la unidadpositivasi la permutaciónde índices

4



ANALISIS TENSORTAL

es de clasepar, la unidad negativa si dich¿p€rmutaciónes mpar, cero si dos ndicesel menoLos sfmbolos e¡¡, y ¿4' se laman slmáolosalternantese¡ el espacio de tres dimensiones.

Más adelante definircrnos

,pqn=ft%r,

,fQ' t y'¿"ftr

Se demuestraque €ra' y €r4'son tensores covariante y contravariante, respectivamcnte,ytensoresalternantesen el espacio de trcs dimensiones.Por l¡ltimo di¡cmos que esposiblegcconceptos a un espacio de ruis dimensiones,

FORMA TENSORIAL DEL GRN)IENIE, DIVERGENCH, ROTACIONAL Y

1, Gr¡dlente. Sea Dun escalar ilvarisnte; el gradiente eé sc definepor

VO=gradé=C,r=#

en donde é, , es la derivada covariante de (Drespecto de .xr.

2. Divergcncir. La divergencia de z{, es la contracción de su derivada covarientc esto es, a contracción de A0,q,En estascondiciones

dtv t = At,¡ =t *rr¿

ou,

3. Rotrdon¡|. El rotacion¿le oes ,s - +, =#

-$,

un cnsor e

Tambiénsepuededefinir el rotacionalpor - eñ Ap,a.

1. I^rph¡ittr¡ Como a laplacianadel escal¡r é es a divergencia el gradiente e

v"Q=arv@,pt*<Gduf i iEn aquellos asos nqueg < 0, y'! seha de sustituirpor y'-g. Sepuedeneneren cuecomog < 0 escribiendo 'lgi en ugardc y'-g.

DERIYA.DAABS¡OLUTAO INTRINSECA.Dado tl, su derivada bsoluta c$in ao

queescribireoosf;, esel producto ntemo de a derivada ov¿riante eI"p, +,

t^

tanto, a derivadaabsolutao int¡lnseca ienedadapor

Análogsmentc,

¿A'¿t '

Losvectores' o At se raslailan Lo argo de a curvasi susderivad&sbsolutas or€spectivamente.

No hay dificultad en generalizar a dcrivasión absolut¿o intrlnsecs s tensor€sde ma

l,,I#li.lr#

6A^ ¿A^Et dt

lAp =E¿



|}xlu ,et"'qa ¿74, ¿¡9¡ 7{ t ?{ "I a; ^\...h ;Á '' ;4 ar", " ."",

l r - IJ :lff I

el Jacobiano e a transformación. i w: 0 el tensorse lamaaósolaro esel tipo dedel que hernosvenido hablandoahora, si lr: I el tensor relativoseconocecon el no¡nbrede

üd tensorial. as operaciones e adición,multiplicación, tc.,de os tensoreselativos on análosasdefinidas era ensores bsolutosproblema 4).

Problemas regueltos

DE SUMACION DE LOS INDICFS REPETIDOS

F¡c¡ibir cada una de las expresiones siguientesteniendo en cuenta el conyenio de sumación de los fndicesrlp€tidos.

. , ¿ó.. aó.^cl @ = : dx. + rdz. +

ot

s=h )¿k t-t Ack t-e"-:- = L=- + ::_'-:_dt ¿x1 ¿t ¿r2 ¿t

¡x1f + 62f + ¡rs¡2 + ... +

. , i .2 , , o .2ds- = tí(ar-) r gDlax-)

33Añ(¿) > > tA^dr' dr'

?= 1 q= I

io¡ o-rh.

O\ANf

r"r "='o$fi, n='.

Escribir todos los términos de cada una de las siguient€s sumas ndicada.

t

ANALISB TENSORIAL

TENSORES ELATM Y ABSOLI-rTO.Jn tensor rP-t"'!'7" ' n

oomponentes e ransforman de acuerdocon la ley.

L/ )

se llama tenso¡ relativo de peso w si

. , ?ó,¡' }rJ

dí b _ &h ¿rñ¿. ¿r¡ ¿.

,h ,h

d.s2 thb¿rh¿rk N=3

trodz'd i l , N=l

t '"1" ' '¿

ío )

(ó )

(c)

(d)

?ó,r., . +

-¿t t_

ot'

. Aíh ¿r1Í

¿rr da

(rx)'

+ gotdxs\2 .

?=,"iu'u

= orr'1+ ot." +

xon2 AódA' = A¡1A' + Ab2A' +

d{dt '

I son

t

"...

JJI

I ordeL

I r+ Ap ¡A'



t76 ANALIS$ TENSORIAL

-'.s7rh

a;s

3 3^i ot¿

¡1' n1t 1a{;,

ór'4r*

Dxs 7*h'ñ ¿f

. ?¡1 ?¡3 7x2 ézB ?ro ?"3' st"p X" ' toñ a¡"

. goart ar"

s¡ones, o parómotros y r.

VECTORFÁ Y IENSORES CONTRAVARIANTES Y COVARHNTES.

4. Esc¡ibir a ley do ¡ansfornaciónGos ensorcs "¡ lio, 1t¡ Afi, rc\ Ct .

Par¿ rccord¿r la tr¿nsformación, obscrvemosquo Ia posición rclativa dc los lndices7, q,niemb¡o os el mismo quc on ol scgundo. Como estos índicrs estánasociados a las coordenad

(o) rio,"úo## i,

3 ^i- . - i-- - t--x" or' of o{ + - 94.9X_¡-

,!r'Ei, ar- ¿t"

. gl,

¿r. ¿:""' gJ"

e. &"'

D11air- ars

+,:=-' o121-''ot

?¡r ?¡3 ?¡1a."" ' %.arr a*"zt{r

&s &'

3. Scan *, k :1,2,,..,1\¡ la scoordenadas€ctangul¿r€s.ar a1V:2' 3 y N= 4, hallarel lugquerepr€sent¿nassiguicntes xpresiones.€ suponen ue as funsiones on uniformes, onti¡uas o indep€ndi€Nrt€s,uando ¡c¿ necosario.

(a\ a** : l, siendo a¡ constantes,

Para iV : 2, a,xr t (er, : l, una r€cta on 2 dimo .nsiooescn el plano).

P¿r¿ /V : 3, qxr + a,Jr' + a$t : l, un plano en 3 dinrensiones en el espacio)'Para V l 4 aúr + a¿c'*... * ayxM: I esvr hiperplanoQ(anosn el€spaciodc N

(b) ** :1.

P¿¡t N :2, (¡)t * (¡)l : l, una ci¡cunferencia de radio unidad en el plano.Para 1V 3, (¡)¡ * (x')' * (¡)' : I, un¿ esf€ra de radio unidad,Para N ¡ 4, (¡r)¡ * (¡')¡ +, . . * (¡n)' : l, u\a hipetesferu E adio unidad,

(c) * : *(u).

ParaN = 2, ¡r : ¡1(¡), .rr : ¡¡ (rr), una curva en cl plano, dc parámetro¿.P¡ra 1V 3, rr : .rr (r), ¡' : ¡r (r¡), ¡' : ¡' (¿), una cuna en el ospacio do 3 dimonPara 1V 4, una curva on cl €apsciode ,lVditrrensio¡Fs,

(d) x*: * (u, v\.

Paru N :), xr : xL(u, v), x' : xr (u, t)P¿ra V: 3, -r 1 xr(a, v), x.: x.(u,v),

Par¿ ,¡V¿ 4, wn hlperwperfcie.

esuna trsnsformación d€ coordensdas de(r,

xr : x' (u, v\ es una superficie en el espac

ccc t',1,*, lo cstán, respcctivament€,a los r, C,r, la transfomación p€dida sc cscribc sin diñcult



ANALISIS TENSORIAL

(ü) 8n-"¿=

@\ óP =

Una magnitud A(j, k, l, n), que €s función de las coordenadasxr, s€ transforma al pasar a otro sist€ma dq

coordenadas¡ de acuerdocon la hy

? - o¿4 0+ 4 At¡.t¿,^)(p,q, t ,s) =; í ñ ; l ¿ , r ^ \ t ,8 ,

(a) ¿Esun tensor dicha maenitud? (á) En caso añrmativo, escribir €l tensor con la notación ad€cuada,y (c)decir susgrados de contravarianz¿ o covarianza asl como su ordgn.

(a) Sf. (á) Af'^. (") Tr€s vecescontravariant€ y una vez covariantc con Io que su orden €s 3 + I : 4.

Determinar cuál de las magnitudes siguienteses un tensor. Para aquellas que lo sean establ€cersus grados

. ) , { / - ' !

de contravari¿nza covarianzaasf como su orden: (a) axh, 16'¡ 99J1;t:Z) 'árR

(a) Consideremosa transformación e coo¡denadas / : d(xr, , .. , ¡9. En estas ondiciones. ¡' :ft atr

con lo que dl esun tensor contravariante de primer orden, es deci¡, un vector contravariante. Obsé¡vesequc la posición d€l Indice k es la ad€cuada.

(ó) En la transformación xe : ¡¡(6\ . . . ,6"), 6 es una función de ¡* y, por tanto, de ¿, de forma que

ó(xr,. , , , xN\:-C("',.

. . ,;rv); dicho de otra rnanera,es un escal¿ro inv¿riante tensorde orden cero).24 A0 ¿ó a* Axk A{

Por la regla de la derivación parcial de una función de función,á

: -a¡ :ag art

:Ait

-Ar¿

aó e* a)y

fr se ransformaen Á :fi ' l*. Yor o tanto, fr

es un tensor covariantede priner orden, es

decir, un vector covsriaDte.aóObsérveseque en + el índice €stá en el d€o@rin¿dor y quc, por ello, actúa cono subfndice distin--or

tivo de su caráctercovariante.El tensor 4, o el tensorcutms omDonentcs on jj. , o el grudientedeoJ(.

ó y se escribe en la forma grad d o V C.

Las componentes e un tensor covariait€ en coordenadas €ctangular€sson xy,2y-z', ¡2. Hallar suscomponenles covariant€s cn coordenadas esféricas.

Sean ,{¡ las componentes covariantes €n coordenadas rectangulafes xr : x, x' : y, xt : z. Enton@s,

A, = zy = a7a2, A, = 2y-22 = 2" 2 (f¡ ' , As = xL é (8-49)

cn donde no deben confundirse los superlndiccs con exponentes.

Sean d¡ las componeotes covarianles en coordonadas €sféricas ¿r :.r, Er :0, ¿' : ó. Entonces,

t77

¿tl ¿iq ¿xt éi l,h o^n¿," a"" {-¡ ¿¡" Ñ "¿¡a

7¡? ,t¿, ' "

I

f) a(x'Dde3;I

¿;h"J¡



Por hipótosis, ,, =# S . De¡ivandorespectode ¿k,

¿4¿h

átt

F'^2 á

gzr¡ ao

^2 I

1-D 1-¡ "2

é" f+ + t.

r- l-- i "Por o4

ANAIISIS TENSORIAL

Las fórmul¿sde aansforu¿ción entre ambossbtcmasdo coordenadas on

¡¡: ¿¡ 8€n t¡ COSt,'r

: 5r l8n tr S€n t¡, x¡ : ir 666 5r

En estascondiciones,as ecuaciones1) dan las componentes edidas

,dxt 1xr

1xrA, : -AArA,n -ñn,+ an, A,

: (senr cos ) (¡rrr) + (s€n¿rson )(2¡._(¡)) + (cos¿r) ¡t¡): (8€n cosC) ¡r s6n¡s€nCcos l)

+ (seD 8€nC)(2rsen senó-rrcosrO){ (coc0) r¡ sen0coc0cosó)

, 0x, Ax' 0x.^,

: -ñ^,-t-

-56 4 * -56 At

: (rcos0cosd) rr s€n¡ s€núcosC)+ (rcos0s€ nC)(2¡sonsen -rrcos¡0)

+ (-¡ sond) r. sen0cos0cosfl

, 0x, , Ax. Ox.Ar: -aF A+-aF A,+ az,A,

: (-r sondsen{) (rr san.dsen{cos {)+ (¡ son cosó) 2rsengsen -r'cos.0)

+ (0) (¡¡ sendcos0cosC)

e. Oanostrarqueff no esr¡nt€nso¡a p€sardeque {, esun tensorcovariante eprim€rorden.

=:-- ;dar

TzJ óxq

d{ d,1

¿,Q ZAp &q¿¡,h

dA ¿

¿:| ézh¿nsAhorabieo,comoenol sogundomi€mbroaparecen os érmin , ffi * s6 transformacomo

tonsor've¡emosmásadelaotoproblema52) cómoañadi€ndo ff una-'gn¡tud

adecuad¿ lqueesun toinsor,



t, D€mostrar que la velocidad da un fluido €n un punto cualqui€ra esun tensor contravariantc de primer orden,

Las componcntcs dG a velocidad de un fluido en unpunto son$ en el sisteuta dc coo¡dpnadas ¡. En

el sistem¿ , de referencia la velocidaa"s ff.

Abo¡a bien, según la r€gla de derivación de una función

de función.

= ?:J ¿,h¿rh ¿t

de dondc so siguequc la velocidad citada es un lensor contravariant€ de primer orden o r€cto¡ @ntravarisnte

7;

I'ELIA DE XRONECXDR.

. t 4f bq10. Cafcular a) ti- A) , (ü) ü 5_' g s " q r'

A

Como Ei : I si p : 4y0 sip + 4, sotien€

ot alot{= e!,.

tl. Denosüafque#

=

sie=r, Sot

" iúc,#

B*oooo &l =

AA= t como ¡ '= ¡ t ,

o como¡2 Y rq son ndopendir:ntos.

ot$ol al

ANALIS¡S TENSORIAL t79

t2.comprobarque##

= *

L¿s coordenadas ¡, son función dc las coordenadast¡ qu€, a su vcz, depcnden de las coordenadas.d.Por lo t¿nto, según a regla dc dorivación parcial de un¿ función de función y teniendo en cuentael problcllraI I podremos escribir,

¿,1 _ ¿,1 ¿za _ At}xr Aiq ¿{ -r

r¡. siZ/ =fl

aq"o orovn,qtsq=

¿{¿8 ñ'ultipliqu€mosa ocuaciónr. =



-lhi

-8J:

d d¡h d,, ,tcñññ"

H &h Arr ^N ñ{,r l r+

úih,e!i¡ 44rr dra

bs ba(+ ++,

tq 0q(Ar - B; )ih _ih(a; -B; t =

Se d€duco, ucs,que ,lE * ,ry V Af - 4 son tonsor€s pl mi$no ordeny tipo qus los da

f6. Conprobar qw Q : Al 4 cs un tansorsuponiendo ue,{1" y 4 lo son.

.180 ANALISIS TENSORIAL

Entoncca,omo hcr¡osvistoen et probtem¡ r,V^^/

= YY Aq = tí lq = ¡tquc o¿a? 7z? 7"e

sequedademostrar in másquehacer : 4. Estc hechomu€straqueen las fórmulasde transfortlas componentes c un tqlsor las m¿gniü¡deson bara encimay sin bsra son pemut¿blcg r€supuoded€mostrarsa n general.

14. Comprobar que 6, es un tensor mixto dc segundoorden,

Si d?os un tonsorde ase ipo dcbo ra¡sform¿¡sc oacuordo on la loy

:j &i ¿'c !o¡ =; j tJ%

Ahora bien,sc8útr l problsm¡12, el s€gundomiombroes 44 = 6j , .o.o Q:aL:- ¿J ?'t,J : k, y Osí I + &, s€daduce ueó, cs un tonsormixto d€sÉgundorden, o quo ustifica,por otra

noiac¡ónempleads.

Obsérvescque, a vcces,usa¡cmos a función ó¡e : I si, : q,y 0 si p + q coño uúa delta deSin ombargo, €Nr st¡ forma no ¡epres€nt¿un tonsor oovsrisnte de soguado orden como con la aotavirios sl €st¡,bleccrsu dofnición,

OPERACIONES FT'NDAMENIAI,ES CON IENS'ORES.

15. Comprobar4r ls sumay dif.rcoci¿dc lo0 tcNrsorlss y ry cs ot¡o tcoior.

Por hipótes4 Af y 4" son tonsorcs, wgo

Suusndo,

R€stando,

Oz '

ñ

lsrai,

&J &hOrr ót1



IANAlrsn TENSoRTAL l8l

- " | -."T.1p;Ti:ff::ff":.lif#::""H#,componentes

on os roductosc asonponentqse og

T--r'--r ,i,=###^1,

I E: ##*I Murtip,ic¿ndo,{q =

#y_###^1,,;r: , I quedemuestra l carácter ensorialde ,{lqrÍ de quinto orden,contravariant€ n los lndicesp,4, J, y cova-

:; I

rianteen r, f, Io qu€da usara la noraciónClfs. EstE setprcductoextemoCtr' : ,{lvdf de os ensoresados.

rffi;f o. *a AD,!, n tcnsor. (a) Haciendo :, d€mostra¡queA!,ao, onel conveniode los fndices €petados,sun

r,i"*;r}a"tir"s"en es? (ó) Haciendo:py r:q demost¡ar, nálogamente,.e Al¿,os un iensor.

I (a) Como l3l esun tensor.

I (1) rik=####"-**^l:,I Hemosde demostrarqueAllt 6 un tensor. gualando os lndicas y ¿ y suma¡dorcsp€ctodo é1,

I

te¡dremos:

It ¡{lt ###"##^l'",

I T-r;i;"I

====";"'I tlr#:s¡:l,ti:;itrtit:tf,.J#ii"tffiü.*r*1,xH"1i.ffiifl,!t*Ti:j:tr.l:itr,3i"tr¿l:I tmcción. El orden del tensor contrafdo €s dos unidades inferior al d€ partid¿.¡¡'I

-|

(r,*#Lt"lTTgS'ñÍ,f,*".*_""*"*:"_u'"'_"** (a) ¡v¡z:*vsumando



ANAIISIS TENSORIAL

= tJ'i#^l'",=

*u,^1.t,

lo quc indica quc ,4á €s un tcnsor dc pri¡nÉr orden que podcmos llamar C'. Obcérv€scquo por una dcontracción, so f€ducc el orden €n cuatro unidadcs.

It. Domostr¿rquc la contraccióndo[trDso¡ ¿ es un essalaro invatiant€

r l=##^i| - ##^i = ' inl

Dc la igualdad A-t : AZ & sigrJf-quo ,l! os un invariantc. Como ,{¿ es un tensor de s€gundo ordencontr¿cción rcspocto de un soló fridice dbminuye el ordcn d€ dos unidades, hcmos d€ñnido un invario eScalarcomo un tcnsor de ofd€n cero.

¿ii ¿rh ¿r ¿,s d,t ,lSa,l aJ a;¿6g ^rst

¿rt ¿;j ¿rs ¿rk ¿rr ,lqEi ;? ¿-;h q tr "',st

=ihA:- - =

te l

So ticne

HacicNtdo- ft y sumando,

bAr

19, Dom$t¡ar quc la contracción dcl p¡oducto cxtcmo dc los tensor€s,1, y .8. ee un escalar o invariante.

Por lo tanto,-rlñA, y 8{ soncruor€s,t=#}, \.#",

-1 -A- B.^tdEJ

^á-t #^"0

Por contracción haciendo :j y sumando)osult¿

,tE,= ##¡r = tf,^r'o ^',0lo quc indica quc ,{r& €s un invariante. El procesodc multiplicación exrema de dos teqsor$ scguidadecontracción s€ laria malt,pllcaclón lñterns y su rcsultado¿rodrclo inra¡nodeambos.Como ,ltrr es u¡rsc dcnomina producto escalat d€ los vectorcs ,{, y ¡r.

20. Dcm$trar que todo producto intemo de los tcnsores ¿l! y 4" cs un tGnsor do tcrcar orden.

Producto externo de A! y ff : Ai Dl'.



l8 l

resultar como

?;k

=Ln ar¿ ¿t ¿rt -qs---)--E+

"tA;Ít >-t t

^rñb qs

: ! r ' P

nbqs.A R¡ r - f;

at, aJ

-rbÑ

)-c ;

; arh

¿ab.a-t

; -o

J

-tb

¿."f

rlí'i =

lo que indica que AIBX'es un tensor de torcer orden. Por contracción espectode los índices4 y r, o bien,,ry r, del producto 498Í' sedemuestra, nálogamenrc, ue todo producto nterno es un tensorde e¡cerorden.

Otunétodo. El producto externo de dos tensores s otro tensorcuyo orden es a suma de los corres-pondientes e los factores.Por lo tanto, A!fi' es tn tensor de orden 3 + 2 : 5. Como po¡ una con¡racciónsc disminuye€l orden en dos unidad€s,el orden del lansor A!4' es 5 - 2 : 3.

21. SuponiendoqueX(p, q, r) es una magnitud tal qre X(p, q, r)Bf' : 0 cualquie¡aque seael tensor fo, dcmos-trar que X(p, q, r) : 0 idénticamente.

Dado quBfn es un tensor ualquiera, odemos legirun o particular, or ejemplo l de q :2 , ¡ : 3,

con una componentedistinta de cero y las demás nulas. En estascondiciones,X(p,2,3)s?:0, y como

a¡' t 0 se sigueque X(p,2, 3) : 0. Este razonamiento epuedehacerde igual forma con todas as posibles

combinaciones e q y de r, de donde se deducequeX(p, q, r) : 0 como qucriamosdemostrar,

¿. En el sistenra e coordenadas ¡ una ¡nagnitudA(p, q, t) es tal qte A(p, q, r)4' : Cj, siendo 4' un tensor

arbitrario y C; un tensor.Demostrarque A(p, q, r) esun tensor'

En fas coordenadas ransformadas ii' l(i'k,Dl:^

- >:i )=1t A-r qsEntoncls, A( j ,k, l \ ? =;

U1.Ot- Ot ' Ox

W#^*.o,ut ' ;

;i

J

-ó ^

¿vJ P

- 4 uo,o,u)in fATh ¿'r

a""L¿"c;7q5

8; =o

ANALTSIS ENSORIAL

Contraemos espectode los índicesp y ¡, es decir, hacemos : p y sumamos.Debeproducto interno, A! B!', un tensor de tercer o¡den.

Por hipótesis, l y Bl'sol tensores , por lo tanto,

. ,

Multiplicando, haciendo ¡ :j y sumando s€ obtiene

A(i,h,t)



tE 4 ANALISTSTENSORIAL

El producto nterno ro, ff {es4."1., multiplicarpor$ I cont.ae. .,eeo haciendom : ,) es

, l [$ $ rri,r,o

[## t,'-', 'Ahora bien, como Bfo es un tensor cualquiera,segúnel problema 2l t€nd.emos.

!!k a'"-

A"ao __, .4(1,É,1) j , t tp ,q, ,1 : 0cx af . cr,

\q \ - '

El producto nternopor 9]_ 9-" proporcionaot ' ox

h. n - A-P A-q A¡.nó1, LA(i ,k , t \ _

áJ ar, f , ¡

e@,n, , \ = o

^óra r-.

-Ax Ax ox - ,.

A(i,n,nJ =-_ ?

=

-.

A\p,q,t lotJ oa - ox'

o bien,

# ^*'''uf":4 n*'n,,r)#

=0

: 0,

o bien,

lo que indica gue A(p, q, r\ es un tensory queda ustificada a notacióf] A'Dq.

En esteproblemahemosestablecido n casopa icular de Ia /¿ydel cocienle ueexpresa uesi el prodinte¡[o de una magnitud X por un tensor cualquieraB os otro tensor C, la magnituden cuestión,X, etcnsor.

TENSORES SIMETRICO Y HEMISIMETRICO.

23. Si un tensor iÍ¡'€s simétrico o hemisimétrico) espeato e los índicesp y 4 en un sistemade coordedado, demostrarque no se altera su ca¡ácterde simetfía o hemisimet¡ía) espectode los mismos ínp y q al pasara otro sistemade coordenadas.

Como solo intervienenos indicesp y 4, demost¡aremos ue e¡ issultado de Ia transformacióneSi Bra es un tensor simétrico, r4 -- B4r. Entonces,

¿iJ ¿tk-b,l

-.ó :;

D

con lo que B,a es simétricoen el sistema ,.Por otra parte,si Br¿es un tenso rhemisimétrico. ra -Bor. Entonces!

Biu._ ü!ü3uta = _¿i ' :É1 ,0, = _Ehj-djró A,o

-ó.q ?,t

con Ia qu eB¡a es hemisimétricon el sistema '.l-os csultadosntcrioresonválidos, simismo.n el caso eotros ensoresimétricoso



:

I

ANALISIS TENSORIAL 18'

Demostrar que cualquier tensor se puede descomponer €n la suma de dos t€nsor€s,uno de ellos simétticoy otro hemisimétrico en una pareja de fndices covariantes o contrava¡iantes.

Consideremos, por ejernplo, el tensor 8r.. Tenüemos,

Bls = ¡1alq aú¡ * ¿@fq- eql¡

Ahorabien, ¡19=;@fqraq'') = i9lessimétrico,

y s'q- ¡Gfu- 69y')

=-s9y' esh"-i"imét i*.

Por análogo razonamiento se llega a la conclusión de que la propiedad es válida para cualquier tens.

SiendoQ : an AtAk, demost¡ar que siempre es posible escribi¡ é : b¡¡A,Ak en donde ó.,& s simétrico.

é ="3 1

t j , th = on]Ah tJ = onj,cj h

Entonces, 2+ = oja. l i lh * oo, J lh = (d.h+ or¡ e i lh

y O = ! to¡¿+ oh. \ Ai Ah = bjnai th

con Io qu€ b¡n = I@¡u+o¡¡) = ó¡- es simétrico.

Hallaf la sumaS : A + B, difcrenciaD: A-8, y p¡oductosP : ABy Q:81, de las matrices

;

I

I productoI .Y,es un

^= ( : - ;

-3) , B =\ -z | -r l

s' +B=;tí ?ii íl;)Lt i i)D=a-Bj:r ?; i i r) G ; -t)

I (3)(2)+ (1X-4) + (-2Xl)p= AB = ( t lxzt*(-2x-4)+ 3x1)

\ ( - 2X2) ( lX-4)+(-1Xl)

I o 3 -t \

= (rs -s -a)\ -9 2 4l

I I I -3\o= BA = l-r2 -4 e l'

\ - t"

-sl

(3X0)+ (lX1) + (-2X-1) (3X-1)+ (1X2)+ (-2X0)(4X0)+ (-2X1) (3X-1) (4X-1) + (-2X2) + (3X0)

(-2X0) + (1X1)+ (-1X-1) (-zx-r) + (1X2)+(-rX0)

t í i )lión es I'4.

I

I

I

I

t

i

bimétricos).Se observac6mo AB + Bl, es deci¡, a multiplicación de matricesno goza,en g€neral,de la propiedad

conmutauYa.



ANALISTS TENSORIAL

'

* A2-82.

)(: r) -; )

2?. iendor (- l ;) r, u = (- ; -!).u.*,-.0""(r+B)(r-B)

^- ' ' ( l i ) ,, - '= (: :) . Porrotanto,, ' .urr,n- 'r( l 1

,'=-?) -:)=E) n=fl;)ft)=(-;Entonces.{2-82(-i r;)

En rcsuú€n, ,{+a)( A-n¡ ¡ Í -Bt , Sin embargo,(,{ a ) (A-R7 = l2 -1pr31- tz .

2t. Escribir en notación matricial las fórmulas de transformación d€ un: (a) vector covariante, (ó) toBsovariante de segundo orden, suponiendo .lv: 3,

la foma

,, a* a"\¡ a / a/;r &2 &37 6,"ñtzt ?/22 arsxs }rs }rs

sup€rior,sin em

(¿) Las ecu¿ciones e transformación n nr=$

ooques€puedenescribir e¡ la forma

(ilfiril(

D función de vectof€s columna, o bien, en función de v€ctoresñla

/a;. a" a;\

@,2 ¿= (ar2r",f# # l\ss *:/

(ó) Las ecuaciones e transformación " =#

""E

,0"." puedenescribiren la forma

l¡" ¡' ¡'\ /g -¡u \ /," ," ,'"\ + v,l' '""1###lf- - '"lfu\¡- .*.*/ \## #/\,"n"" -l\H

Es posible generalizarcstos resultadospara N > 3. En el caso de tensor€sde orden sup€rior'notación matricial no s€ pucde hacer.



ANALISIS TENSORIAL

ELEMENTO DE LINEA Y EL TENSOR METRICO.

Si ds, : g¡kdxtdxk es un invar¡ante,demostrarque gft es un tensorcovariantesimétricode segundo rdcn.

Segúnel problema 25, é: /st, at : y'¡i y Ak : dxki por lo tanto, g/& puedc considerarsesimétrico.Por otra Darte.como dJ'es un invariante,

187

E drbdzq=

z, d, id, ,h,

, -4dreyd =

,-Vü"pq-- -- "jh -- -- ójh¿rt -- Zzc - "rt¿rt ¿rc

r-i ¡-lEntoncesárg t¡, # ffiV

r,r"t

un tensor ov¿rianteimétrico e seSundo¡denquesedenomina

tensor métrico o tensor fundamenlal.

,4

Expresarel tensormétrico en coorden¿das:a) ciltndricasy (á) csféricas.

(¿) Comoen el problema1,Cap'1, d{ : de' + e'd{' + dz'

Si¡ , : p, x¡ : ó ,x ' : z resul taS¡r : ,3 | ¡ : pr,A¡! I ' Cr . : gn :0' g . , s¡ ¡ :0 , g$ : ar ' 0 '

/rr, ,,, ,,"\ /r o o\El ensor étricon ormamatricials

It,,- to r,o |=

[o É ol

\a",a", ao/

\oo 1/

(á) Como en el problem¿ 8(a), Capítulo 7, d{ : dr ' I f d0' + rt sa '0 dó''

\l r o o \

Si 11.r,t2= e,f =Q el tensormétricoes I O t" 0 |

\oO '2xn'á/

En coordenadas urvilineasortogonalesen generals : O para i + k

Ear 8!2 g8l

t21 g22 g.'-lPor los elementos de la segunda¡ila con sus cores-

931 932 gssI

oondientesajuntos. (ó) Demostrar q\tegtkc(i, k) : g, siendoG(.r, ) el adjunto del elementog/* de&y en donde a suma seefectúasobreel índicek únicamente

(¿) El adjunto de g/¡ es el valor dcl determinant€ ue- es-"ltade g, ('),suprimiendo la fila y la columnaa los' ' que pertenecei elementogir. y (2) anteponiéndole t signo(-l¡i*t' *ot consiguicnte,

^. , t -Adjuntodes-. = (-1)" ' ¡ " ra trs l , Adjuntode tn = 1-r¡2+2lt : t : "1 ' '-" ' - D2t

lg", S""1 " I tsr 6sol

(a) Desarrollar el determinante 6 =

Adjunto de6€ = (-1)2+" trt tt"lt"t gnl

LlamemosG(2, |), G(2'2) y G(2,3) z tos adjuntos anteriotgs, espectivamente. n estas ondiciones, l

desarrollo¿ei ieiirminanti por los elementosde una llnea, segunda ila en nu€strocaso,es

s^GQ,D + sn G<2'2\ g* G(2' ) : e



I88 ANA .IS TENSORIAL

(á) Aplicando l resultado e ¿) a cualquier r o columna endremosi¡ G(, k) : g, en donde a suseefectúa n el índice solamente,stos jsultados on válidosaunque : iglr seaun detede orden N.

32 . (a) D€mostrar ue g¡,G(3, ) +enc(3,2\

+slr

C(3,3) : 0.(á) Demost¡arque sk G(p, k) : 0 s\ j + p.

(¿) Consideremos l determinante

por los elementos e su última fila es nulo,

e,,G(3,) -Ls*G(3,2, s¿,G(3,3)= o

(ó) Igualando os elcmentosde cualquierpa¡ejade líneas ñlaso columnas)se demuestra, omo entado (a), que gik G(p, k) : 0 si * p. El resultadoes el mismo aunqueel determinante ue se

sea de orden N.

33. Dennimos ,* : G(iak)siendoc(j, k) el adjunto deg/r en el determinante : lg¡k | + O.

Demostrarque gr¡ grk : óf .

Por el probl€ma31, tn 999: I, o bien.gr* gi¡ : l, en donde a sumación eefe.túa en el

C( ñ I¿\Por el probfema32, g¡¡ JlJ!-- : 0, o bien,g¡¿grt : 0 si p E l.

Entonces,/ rg, ¡ ( : I s íp:¡ ,

y 0 sí p +j ) :61.

Hemosempleado a notacióngit sin habe¡ dernostrado u validez,es decir,que g/&es un tensorvariantede segundo rden.Seestablece, o obstante, n elproblema34, Obsérveseueel adjuntosehaen fa forma GU, ) en lugar de Gik,ya que no es un tensoren el s€ntido usual absoluto).Se demuees un lensor elativocontravariante o pesodos y, en consecu€ncia,on estageneralización eltensorqued¿ ustificada a notación6r* (problemapropuesto152).

34. Demostrarque¡'iftes un tensorcontravariante imétrico de segundoorden.

Como g,* es simétrico,C(./', ) también o es,y lo mismo l€ ocurre a e¡r : G(j, k)lg.

Si 8, esun vgctorcontravariantecrbitrado, Ba

-EoqBo es un vectorcovariante,Multiplicando

resutta!

g¡q Bq : giq goq B' : ó1"Bp : Bt , o bien gte Be : P

gpzl-1r -12 -13 |t., t.- t-l que es cero por tener dos filas iguales.Su." l

AIEI

ser 8q un vectorcualquiera, ,4es un tensor contravariantede segundoorden, según a ley deltensorgrfts€ lama tenso nétricoconjugado.



ANALISISTENSORIAL

Expresarel tenso¡métrico conjugadoen coordenadas:a) cilíndricasy (ó) esféricas.

189

(¿) S€gúncl probloma 30(¿), t =1000 p2o001

adjuntodeg,, Iñ2

_ adjuntodc g,¡ 1tn 2

adjunto de g¡3 I-=c

adjunto deg¡r

sen!d

gk :0 pa:ra+ k, y en forma matricial

I

^2

P,O

01t001

10op2

000l

=0

Análogamcnte,gi& : 0 sil + k. La, matdz del tensormétrico conjugadoes

I t o o\

Io vp2 ol\0 o rl

(á) Según€l problema 3O(ó), =

Como en (a) sededucesepu€deescribir

l="l

1r,f*n '9 '

,,L)0

0 \/P00

t

0

6

(

00

Po0 É s€ne

=I '*=

Hallar (a) g, y(á)gr¿ correspondiente ds2 = 1kfuL\z+ g(dr2f + 4Gi3)2 -6drldr2 +4dr2¡lé.

(o) gu=5' tp=3' %s=4,8e=82!- -g ' t =8e'2, grs=631=0.Por o tanto,g

(á) Los adjuntosG(/,&)de 9Á son

G(1,1¡=6,C(2,2) 20, C(3,3)=6,G(\ ,2\=G(2,1\ 12, C(2,3)=c(3,2)=_10,C(1,3)=c(s,1)=_6

Entonc€s,911=2,2=5, f =3/2, gp=tz=3, t^=*-_S/2, CB=fr=_S/Z

Obsérves€ ue el producto de mat.ices ai¡) por (gr&)es a matriz unidad I. es decir.

5-3 0-3 32

0 24

(' 1(:,",,.{',),



r90

TENSORESASOCIADOS.

ANALIS$ TENSORIAL

gh Al - gL g,kAr : 61At : lr , cs dccir, A.:gk4 o bicn Ak:gk At

Los icnsor€s de priner orden, ,{¡ y ,l* s€ llsman osoc¡adot.Rcpr€sentan las componcnt€sY contrava¡iantes de un r,€ctor.

3E.(¿) De¡nostra¡qúeL. : gr.ADA. 6 un inva¡ianlc. (ó) Dcmod¡ar que¿z : gmAeAa.

b) Seá;n y ,{¡ las component$covariantcy contravariante c un v€ctor. Entonc€s,

4 - 4^,, rq - ¿iqAh?,i

, ; f =##+¡ = a!, t , th t , r i

con lo quc l, /, €3un invariantc que llamsmos ¿t. En cstasconücio¡¡es podrcn¡os cscribir,

L, = aini =thtbt l

= 6rotr, tq

(ó)Dc o), ¡'= t, ,l - , chlA¿.dÉ tl \= ,ft trtn.

t,a m¿gnitud 6calar, o invariantc, ¿ : l rl" ,lt *llañ^módulo dol vector de componontetes,{, y contr¿vadantes /.

39. (c) Si lr y 8r son do6 vccto¡€s, demostrar quc 8,r{ ,,lr r. cs un escala¡o invariantc.

37. Si At : gre,{r, demostrarque A. : gtrAr

Multiplicando At: g*Ak por g/c resulta,

Defnimos

(a) Po¡ el Droblema 8. ? n. = f -0 b -o, tlqo = glqA E esun ¡nvanantc.

(ó) Como ADA,y BaBeon nvariantes,'@ +r{t U tsmb¡én o es,con lo que

cs un escalar.

,f '1t?

trlr

coe

cono el coscnodel áagulo entre los vectoresAo y 8. SagÑ ADBa ADB, : 0. dichos vector€ortogonales,



ANALISIS TENSORIAL

Expresar las ¡elaciones entre los tenso¡es asociados siguientes:

(a) Atkt y ADqb (b) A;1 y Aek , (c, A!;i:; y,At;:it

@) A¡kt : tto gkc gh Aoc,, o bien ADe, : gtD gka gb Attl

Q) A;Í: skgt, Aeh,, o bien Aok¡: sta.SbA;,

(c) Alitr':t sot ,kcdA;;i't, o bier,A;;i't : sotg* ett AIliI.

"Tffit5fi*Tjltánsulos '.,0",v 0¡,entredos ín€asoordcnadaseunsistemaurviÍnco idimensional

cosop =,:,=

cos d," =

*

l9 l

cos d", =I

ffi,Según a línea coordenada r, ¡r : constante,y ¡r : constante.

Entonces, e la forma métrica, ds' : gtL@xt),, bien, !4 : _!.cts t/e,

Por lo tanto' cl v€ctor unitario segúnr& t¿ngentea la tnea ¡r e,sq: -l: ¿i- Anároga'cnte, lo¡ vcc-! 8tt

tores nitariosansenresl¿s neas oordenadas¡ y x¡"""

AI=fsoti , ei=

ftt!,

EI coseno del ángulo 0,, enlÜre i y Ai a

coao,, zrnele l= t*h,*r*ala1 =Dc mancra análoga se deducen los otros ¡ssultados p€didos.

I

ffisn

Demostraf que en un sistema de coo¡denadas o¡togonales, an : ar, : a$ : O.

Se dcduce.fácilmente el problema4l hacicndo0..0*:0!1 : 90". De la ca¡acterística e simetrla,pc : Ecp, también se d€sprend€ qué gr, : g", : C1r 0.

Demostrar que en un sistem¿d€ coordenadasortogonales Ic", F'Del problema 33,eD,gn : ¿2.

Si,p:4:1, g, 'g, \ : t , o bieng,rgu +a"c,, +c¡ 's ! , : l .

Por lo tanto, toniendoen cuentael problema 42,s.:f.

Análogam€nte,ip: q:2,s* :* ,y

síp: q:

" r" : ;1.

r _-_L".3 f.18,,=- '



SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL,

44. Dcmostrar \ fpc,¿ = lqp,,\,",{;}

={; }

G\ lpq,r7 = t,',{; }

(o)pc,,r^k,*

-* , =** -"# -¿Jbt r,e,4.

" , { ;}=s" ' [pc, , ]' - r* , . r =

{o i}

n, rr"{;} = ,r,r"' tpcu) EI lpq,rf= lpq,kJ

obien, [pq, l . ] " , . " { ; } , *o* i r , [pc, , ] = t^{ ; }

ANALISIS TENSORIAL

Obsérveseque multiplicar Ípq, rl por 8't tiene el efecto de sustituir r por J, elcvar este ndicey

los corchetespor llaves obteniéndos€{'}

. ma"*."nte, mu¡tip¡ic¡r{; }

*t g,,, o bien

ticno cl efecto de sustituir s por r, baja¡ est€ fndic€ y cambiar las llaves por colchetes obteniéndos€

7tu"45. Demostnr")

;f,=

, t r#=

(o l lpor, l + [q.,1]

[pn,q] + fqn,pl

-/":"1'* kl= r,: '*_,3?-l 'ol , 7r4 ¿'? arq

, rr"tn'1u - 34,- ?'r ¿'q d¿

",{ ; , }# "a

= ?:ua*

>tL)^¡(b )#(6"'til

=i,"(D¿)

= 0. Enúoncos,

es dccir,

o bien

{Y-#rr, =o,obi€n,r,*= -t-Y

Mufüpticandopor¿t, ,*rrrS . -rt'r¿'p

t;# = -si' lh t[¡-,!] + [i ' ' . i ])

zt._,nl , I ) / ' { ; }

de donde se legaal rcsultadopedidosustituyendo,espectivamente, k, i,i por p, q,n, n.

(c) Del probl€ma31,g = g¡aG(j, k) sumandoen el índicek sblamente.



ANALISIS TENSORIAL 19 3

Ahora bien,como G(7',) noAs

de y r,I contrene xplictlamente k'

ah: GG ¡)' Entonces, umando especto

?g = ?r'!!r

=",

, u"tt,?rt a-. ar"

- "t¡" ¡El

t t^:- oE¿- ¿2= es" ' #

= t sJ' ( l jn, t l + [rn,/ ] )

=' ( { ; }

.{ ; } )

= , '{ , , , "}

Por consiguiente,

I ag = f i l l ¡ l a

" r¿* ' L i" l ' l , i " i= #'" ' i

de donde ss deduce el ¡osultado pedido sustituyendo j por p y nt por q.

Deducir las leyesd€ transformaciónde los simbolosde Christoffel de: (a) primeraclase, ó) s€gunda lase,

- , -o1z¡comou =##tro,

4p ¿,1 ¿,0 dqo z,r á"f ?2,Qari ¿ri ¿Eb¿", ¿"" ¿¿i ¿ir. ¿a -Pq

Porpe¡mutación lclica de os lndices ', , my p, q, r,

?30* á"Q Z,r 7go, ¿"1 ¿xc ?'rr ¿',s d",___::: = ::-:L ___t_ :L

¿rf - # ¿-,,d,, ñ' # ¿rl¿r,t, ' dü¿-J¿,,8s,

TEni ¿r, ¿"1Ttrb 1re ?rr ¿2n, 22 r ?"1

?zh ari ?ij ?,c arl aE. ¿h¿l "rf ¿b ¿t ¿-"1 rf

Restando(1) de la suma(2) + (J) y multiplicando por ¡ se deduce a definición establecidad€ los símbolosde Christoffel de primera clase.

O{ Oxl+_ ¡

¿ír Ari ¿ih -Pc

¿rl ¿rQ ¿r'

¿l ¿u ¿n(4 1

Multiplicando(4) por

gn" ¡¡t ,^1 =

p, = W ts: r$ s€obtieneOt'Oz-

¿f ¿"Q 7rr ¿in ¿rt-, . , i" ,b ¿rQ ¿rt! ¿ir ^.

il ¿r¿ ar" a," al s-' LPc't +ñ ¿th 7," ¿,s ¿,t t" t)q

(b)



ANALISIS TENSORIAL

2,rf ¿rQ ¿u, ., . , , . é' tl &¿ .9 .rf¡j ¿l ¿,s

et 6 t r'1" rarj arl a,s -t " "tC

¿,2¿,c ¿¡n f s ) tJ ¿2"f,J a",a," rol ' ;l# ¿,t

yoquo6;r"¿ lpc, , f . r" ' f re, ' f ={r"r}

y t l f tero = e"qr¡ , . E;

. ?2 ¡ tr t ar" ¿r l ¿rq l^|47'Dcmostrararr'- :.

=ti¡ ¿*

-;F

"r ,I;t¡'

Dcrprob,c,¡r¡4ó(ó)f;). ### {;} . #*y_

uurtioricandoDor*$n,ftly"

-*#t3{;} - #*t=##{;}##

Dcepciando$$

* tn*"

resultadoedido.

(c)sip=e=¡, pc,. ] . [pp,p]= +(*"*-%)

''t= !(dt¡'

"t"

- 1¿¿\i p.qfr , fp" . . l - lpp, . 2\a,p ?, t ?, r I

sip.¡¡r , [pc, , ] [pc,p] +(!A,]*-%J =z\ E," ?rf ?rt I

Si los índie ,, 4, ¡ son d¡stintos, fpq, rl : O.

¡lt. Calcu¡ar los slmbolos d€ Christofiet de: (¿) pri¡nera clase, (ó) segunda clasc qr un cspocio en qucsi p *q.

t Tttl1;F'

, Dtfi- i

¿{ '

L¿tit .2 ¿rq

Aquf no hernos ompleado €l convenio dc sumación d€ los índicts repetidos.

(á) Por el problcma 43, gt : 1,,lsin sumar¡. Entonces,

["1:"] f.in .u'o"r¡ ,i r :

",; }

Por a):

= c" ' lpc,r f = o si . ls , y = sssIpg,s]



--I

ANALISIS TENSORIAL

Sio=o=s. " i=fp\= !g: l l =.t dcü =-L ) rn\wf

- \ecf -*

=E;¿,r=z¿r ' " too'

195

'Si p =91s,

Si p, 4, ¡ son distintos,

{ ; }

{ ; }

_ [pp,"] =ts"

_ lpq,p) _tll

= 0.

- t¿$p28ss ?rs '{ ; }

h)= ü+H=i*, .+,

{ ; }

{ ; }

{ ; }

te. Expresar os símbolos de Christoffel de segundaclase en coordenadas:a) rectangulares,ó) cilindricasy(c) esféricas.

Pod€mos tilizar los resultados el problema48, puestoqueen coordcnadas rtogonales rr : Osip + q

f " )(a ) En coordenadasectangulares,rD: l, con lo que f -_ ) = 0.

tP Y'

(ó ) Encoordenadasilíndricas,r : p,42: í ,x": zy, según l problema 0(a),¡ ' , , l ,A,r: 0i,¡'!J: l.Los únicos slmbolos de Christoffelde segunda laseno nulos ocurrenpara p : 2. Estosson

1-2"

-1 1

JzIl rz f

?¡ r)

;f = -i a<rt= -c'

I 7g o=

7xL

la"L2e'¿e

e-' =V

(c) En coordenadas sféricas, 1 : r, x' : 0, x' : ó y, segúnel problema30(ó),g" : l, grz: r, , g$ : r's€n¡0. Los únicos símbolosde Ch¡istoffel de segunda laseno nulos ocurrcn pafa p :2 ó 3. Estos son

I,¿*

I22

{ ; }

{ ; }

{ ; }

f z ll r r l

{ ; }

{ ; }

, 78r" t 2. , ._ _ If- t = _f

4r, 7'1 2 é¡ '

={ '}=,7=t? =+3¡r¡=1t r2t 422 7x, z?d

= -- l - :b = - ! !¡"*n,e¡ = -rseúo2gr, 7r ' 2 7¡ '

= - 1 b, = - J-^! ¡p*n,o¡ = -*nlcos|42, 7r2 u' ¿A

=1r\= | óEo = r 9 é y.n,ott13, 4o 7" ü*n,07, '

?s

=1r\= I d" = 1 !¡2 *n,o¡ = coto

123 4- ¿,2 zP n'0 70 '

?c""- r?



196

LINEAS GEODESICAS.

ANAL¡SIS TENSOR¡AL

Dcmoshar ue acondición ecesariaaraque / =

ma)esque--+(=)=0.Ot tlt dr

Ie =.[rt"

Fqr, +eq, i+ei 1¡ at

|' FP,x, 1 at seauoa extr€mal (¡ttáx

s€a ¡ : x(t), \ = t = t, la curva que hac¡ extremal la intogral /. Entonces¡ : x(t) + (? (ind€pcndi€nte de l, €s una curva muy próxima que pasa por I' y rr de manera 9ue ?(1,) : ?(4) :de 1paraestacurva muy próxima os

Estaesunaextr€mal ara€ : o. La condiciónnccesariaaraqueallo s€veriñque sque f Ibicn, derivandocl integrando,suponiendo álido el proceso, " l¡.o

+l = fb,Pn+**út¿¿= oé lr=o J¡ 'dx ' d; " --

que pu€d€ escribi¡se en la forma

1,,'*r,,#rli',f'" fr,{',* [,o(#-como ? es arbitrario,E - 4rPfl = o.

a" dt '?i

El r€sul tado s áci l de gcneralizar la intcgral fh r1t,r',i',r',i2,...,tt,ix) ¿t.rlL

!4_ar!4r = o7'E dc éiEde la qu€ se obüGne

qre * llafirzn ecuaciones eEuler o de Lagranee(.Drobleñl013).

.2r51. Demostrarque as íncasgeodésicasn un espacio e Ricm¿nnvienendadaspor{{

Hemosde haflar la cxtrcmala" fh fT dt mcdiant€ as ecuacioncs e Euler(pr

J. -tq/--'---------=con F = y'gooi/ iv. Tendremos,

= irr*;t;trun!fu !;o

=irtoo;l ieYt/zz6roil

ii= 6;TF , las ecuaciones e Euler adquiere

a¡:-;dt *

AFdih

Ahorabien, eniendo n cuenta ue

f,#,) ,!

*l , l¿Jlpq I ds



AI{AUSIS THTSORI,AL

¿ j*{ . , üoo .o .odr(-T-) - ü lTt

r ' = o

i€n, , . - ' ! ,7s t ¿l¿t !¿%o ro" = #:-?B?r9 2 ¿rh ;

*3o,o*oo%. I ;o = ltlt ,?ql, ;o¿o sc o¡rvicrr.nd'e z'a 'c ú',0. .

, tÚ * ¡Pq,r1i !

"

t ¡ ' ,i

Empleandoa lqngitu{ dc ¡rcrJoodo parámct¡o, = t, != t y la ccuacióneccscribirá

uurtipricanad¡iprltooúr,.%*ff '

¡*'aS { = 0

=0

?¡r ?¡r(r )

Dcl probloma47,

Sustiú¡),staló o(.f ,

na;¿

tr'&i&h

d2rr , t', \ *f ¿'qds2 lrrJ a" ar

¿i¡_ érr áar ?nt

?rl ¿zJ ¿*t'ul

- l--t ar' ¿i ¿rt ( r '- litit ñ - eJ aro ,, r

dAi' ' '¿"b

t^n ##{;}-'"##{;},"#(#- ;,}n)



ANÁúIS¡STENSORIAL

aon o qu" 1! - I " L os un tcnsor covariantcd€ s€gurdoorden qu|* |lanr &rtva7,Q tpcf

-s

Ae respecto e xe y * err,ritc An.".

(á)Como =4^' ,ot

(2) d - ¿rJ{ü,ír t a ' !^ .?z' 7rr éxr ar¿ drr ¿"t ¿íE

Del probl€mr47,pcnnutandoascoorderadas y i,

Sustituy€ridon(2),

¿ri = a;i a,t ?4 - ,. \ a/?¡ l ?r, ?zt ?,t lul ¿""

= ¿-, i¿,t d _ f" l !d?* r a;¡ a,t lrtl ¿,n

= ¿zJ ,q-

1o¡u¡¿,t A* ¿,c I'ct ¿,,

o bion,

¿Ai ñ-i

¿zJ d'sáF 1*,1" *#

^tcon lo que dA + I P t ¡s os un tensor mixto dc segundoordcn quc s llarln de¡lvaári tCs,

At res¡nctodex4 y * escribc :..

53. Escribü la derivada cova¡iantc resp€cto d€ ¡. de cada uno ds los tcnsor€s sigui€nt€s:

(a\A¡p,b) rt,ol el¿, ¿¡4r, o t*! .

l? - {;}o'#. {i"¡" '#-{¿},;*

-{¿}¿

i* = ;} ## 'J

(#.{;"},

¿,t , t &i ¿r l ¿zt l i l ?#A - #*' ¡71í ' l '4^' #' i( : ,1¡?d¡" - f4¡ ta?¿ (' r ,

-{*} 'o

' { ; " } ,u

, {i"};

- {¿}' j . {;"} ' i ,

(o) AJp,q

ih(o\ a-,c

. , ,A!E, q

t¿¡ lJht,s



ANALISE TENSORIAL

54. Demostrar que las derivadas covariant€s del. (a) g¡p,

r99

ihl(c) A¡n,q = - {,",},f{i"},;:' {i"},¿",i{i"},Jl'

nt! l " l ,J¡ tE9

-l ,"qf ^s'1

3-{;} '",-{ü},,"a'tsp,o

l¡c,tl - Ítc,¡l = 0 por el problema5(a).,tL _dz'

?¡fi=;.dr.1

,dd ¡

-ctt a , 0- :0

55. Hallar la derivada covariante de AtrBII respecto de .xq.

,^iuli,,o+ - {¿} ,; - {;},i,i

' {;"},;,1{;"},i,r{;},í,1"(#- ¿}d{;"};)"i'. ^l(#- ;}':'.j"}';"

= nlr,rtl' ,^!u

l,,

S€ Ducde observar cómo la derivada covariante de un ptoducto de tenso¡es obedece a las mismas reglas

de la dérivada de un producto del cálculo dife¡encial ordina¡io.

-¡r -ti56. Demostrar que Gjn An ),q = 6¡¿ An

,9.

-¡ i ,hr ,l t ,hnGroAi n = tiu,o str^n'o

= etoa",e

(b\ gtk, (c) óL son nulas.

= 0 por el problema45(ó).

{i} {;}

{ ; , }* . {1"} 'o

{;} ' j . { ;"} ' ;

ih

I

¿'Q

' { ; } ' f )

ya que gr¡,a 0 segúnel problema54 a). En Ia derivacióncovarlafj.].3,¡t, gtky 6l se consideran



=#.{j-}"hy'-e Ah

st.Demost¡arquc* =t$ú*,ffi.

El gradiente eé es ¡¡¡tf + . V<D= 3P, u¡r tonsorcovarisntedabrim€rorden p¡oblem

nido como a derivadacova¡iantedcé y quesc escribeQ,,. El tcnsor contravarian¡c eprimer

ciadocon é,, u, ll = ,t$.

Soronel problema ?,

200

FORMA TENSORIAL DEL

5?:Demosrraruc dtvAl = * ^Lr<l¿n'r.

{g ót -

La div€rgpnciadG {t €s la contracción tensorial de la derivada covari¿nte de ,{', es dccir, la

de Ar,e o At,r. S€gúnelproblema

45(c), pues,

ANALISISTENSORIAL

CRADIENTE, DIVERGENC¡A, ROTACIONAL Y LAPI,1\CIANA

dlt Al . l9,l

a¡l. -+¿r i, *\'

rt *¿r

o' arl

aoOt'

?Ap 7Ao50, Demostrar uc Ar,q - Aq,p

- ?rj dr?

Ar,q ac,r (* ur")EstG snso¡ de segundoorden es el rotacional de ,,1r.

6(). Expresar la divergencia del vector,{, en función desus component€sflsicas en coordenadas: (a(á) esféricas.

(a) En coord€nadas ilfndricas, ¡t=p, *=$, é.2,

100

o Éo001

= p2, de dond€Y!-: p (problema30(a))

Las componontes¡sicas, .1q,{c, ,,lr son

I ¿. , -_7 =i(v t tvB ot-

la- I " \ , - \ . n,\a l tcpf -"/ ¡rc

4^oo = y' l ' t t- tL, A6- = pAo, t"= {Qtr. t8



Entonces dtt Af

(ó) En coordenadas sfüicas, rr=¡,*=0,*=Ó,

10 0

0¡2 o

O o P *¡20

Entonces,

üv AP

ANALISÉ TENSOR¡AL

.)* !;<{s talg dx'

It?<pht * + (,ró) + (pAz',)POpqQz

: r. sén¡0,de donde y']'- ¡t s¡¡rO (problema 30(ó))

Las componentesfsicas, 4.,,{a, z{oson

Ar =,8 A1 = AL: t , - , / l - f=, Í , Aó= y '-e*a' = ¡scnÉ,te

t*,"¡ rpfi, ffir* s6nor) +$r, *.t 6 ,S,<,,t1

f le+t. * ; $rseno,rr t ', #

al. Expresara Laplaciana¿e é, t'Ó, en coordenadasc) cillndricas, á) esféricas.

(a) En coordcnadasillndricas, grr : I, g" : ll8', g" : I (problern¡35 ¿))-Segúncl problenra58'

vlD = **<q'**rIt Or' ot

' l r9, rP, ,$,139' op óp q'P 4'

r? aO raob= =:-Q=-l + a- +P ép" áp ' P' 4"

a aé,+ l- (Pi-:) Io2 02

dfD:-;

(ó) En coorden¿das sféricas, ¡r : l, 922 llrt, g'r:

l/t¡ son'0 (problema35 ó)). Entonces,

vb=rt$,c',,#*,' i}¡ t$r,, 'nu#, -# {*'o )

- á.,3*#,,F*;u ,**$

a I aé.' E{t seno@"

. ra lo' P *n"0 42



ANALIS$ TENSORIAL

DERIVADA ABSOLUTA O INTRINSECA.

ó2. Hallar las derivadas absolutas o intrlnsecas de cada uno de los siguientes tensores,suponiendo quciones de f son derivables: (a) un escalar o invariante o, (b) AI, (c) AL, @\ At*ú.

sA!G)#'

TENSOR RELATIVO.

A. fur Aly BI" dos cnsorcselativosdepesosrry n, respectivanente. eñostrar que susproducty externoson tensorosclativosdepeso ,, + u:.

Po¡hipótesis,

_iA:

B

El producto ext€mo,

es un tensor relativo depeso lyr + n¡. Como un producto interno es una conhacción de un productotambién es un tensor relativo dg peso lrl + rr!.

e,# .

##

= c9, derivadaordinaria

^io#(#.{¿} ' ) =## . l t " l r#' 4 . l t \^"4

l (9r , t tt

^!,.,##-{¿},{{i"}4)#_ d4 í"1 , i¿f . {¡}r :4 ¿t -

l rq | ' i 'o , lqs, I dt

^!:,,,## -{;}¿T"{;},*.- {.?4i {j"},* {j"},íi,

= + -\;,1^'"-,#\il^g,#-{/"}4i,#,1:"1^{

t.l €oa

"r#

)*

l:,|^

ó3. D€mostrarquc asderivadas bsolutas egr&, rt y 4 son nulss.

6tr¡ ¿,rs Ef =Ju r,o-n a¡ l - r ,off ' <q,ntf l= o,

Et . , i ¿t -. t,fn,sft = 0 porel robl

. , .##^!, El, f ' ,###r,;¡to¡l ' ^ '*#### *4"4':



Por el problema 65-

CIONES DIVERSAS.

ANALISIS TENSORIAL 2,JI

Demostrarque rfes un tensor relativo de pesounidad,es decir, una densidad ensorial.

-ó ^oLos elementos ra del determinante se transformande acuerdoc< ' o' ot

'nla reY 6¡fr =

ñ #t¡q

Haciendo los determinantesds ambos miembros, F.

que demuestraque r/g es un tensor relativo de pesounidad.

árldEJ

dz1

;it = t -E ó {E= t4,

Demostrar que dV : {g axt ¿¡'. , . dxt es un escala¡o invariante.

¿v = G ¿rrd* ... ¿zx = G t ¿rLd* .,, ¿/

=" l*lar't*

.. .¿J = \Gd'L xt .. dzr= d'v

De aquí se deduce que si é es un invariante se verifica

f f _ _ f f _

l . . . l6r¡ = t . . . t<bdvJJJJfv

cualquieraque seael sistema e coordcnadas donde a int€gración eextiende todo el volumendel espacrode N dimensiones.Análoga cuestión se puedever también para integ.alesdo superficie.

Exp.esaren forma tensorial: (a) la velocidady (á) la acelcraciónde ¡¡napa¡tlcula€n movimiento.

(a) Si una partícula se desplaz¿por una trayectoriacurvillnea con una ley de movimie,rto k : ¡t(¡), en

donde €xprosael parámetro iempo, su velocidades u" :ff, oueesun tenso¡contra..-riantedeprimer

orden(problema9).

. dvk d'xk(á) La magnitud¿,

: .;- no es un tensor,en general,puesdependedei .;itemad coo¡denadas ue se

tome como referencia. in embargo,se puededefinir la aceleración ecomo a derivaü¿absolutao int¡ín-

secade la velocidad,es decir, ar :-# ou" es un tensor contravariantede primer orden.

Expresar a ley de Newton de la mecánicaen forma tensorial.

Supongamos ue la masa M de una partículaes un invariante ndependiente el tiempo t. Entonc€s,Mak : Fk es un tensor conravariante de primer orden que se llamafuerza aplicadasobre a particula.Laley d€ Newton, pues,admite Ia ¡epresentaciónensorial

u :a_' -&h = lrloh =



?0. Hallar las componentesísicasdc (a) la velocidady (á) la aceleración e una partícúlaen coorddricas.

(¿) Segúnel problema67 (¿), as componentos ontravariantes e la velocidadson

*' ¿P d* ¿Ó ¿,' dz

¿7=i ' ü= ¿. 'Y E'E

Por Io tanto, las componenteslsicasde la velocidadson

- dxt do - dz2 dóvsr, ¡; = fr ' 'e* l; ' PT' Y

tenie¡do en cuenta que grr -- l, g¡r :- at, 4"! : l.

(ó) De los problemas69 y 49(b),las component€s ont¡avariantes e la acele¡ación on

" '=#,| : , ] t '# ' f=#-P(#ff'odF

t,s¿e

ANALISIS TENSORIAL

6e. emostrarüe"u=Y =#, l:rl #t#

# . \i"\,##.u,|#' i

Como vk es un tensorcontravariante, egúnel probl€ma62 ó)'

=# . {1,\r#ot&

-dfdz

'os ¿t dr

. :,\# , l:,\#'# # 2¿P

VA2_

yos=P

=E

Entonc€s, las componentes físicas de la ac€leración vienen dadas por

{t, ot = 'i- pó,, {É- o2 - pó * zitÓ' v Vt6d-, z

en donde os puntos ndican deriv¿ción esp€ciod€l tiempo'

?1. La energíacinética de una particulad€ masaconstanteM que se desplaza on velocidadde

T : tMv, : lMgDLn, ic. Demostrarque

! ,?L¡-9L = I¡to,¿i ¿ir' ?'D E

siendoa¡ las componentes ovariantesde la aceleración.

Como I .= tMg N "¡ "a, endremos



= *n!i4 i tq.á,8

d .aTPor o tanto' (

t¡)

q = ió- pó' ,

Por lo tanto, Ias componentes flsicas son

Nt- i9-Pq

+=ftéot, %=t

ANALISIS TENSORIAL 205

)-d ,3!, = Mtz. .f +

""h!i! $.'¡

¿t' dih- Eq }xl¿h

?T.-...:?"¡

?r- :--T - ,(rr, ,n * t' tc r'!4 t't')

. , (* , r ' -,**Y-*,u*)n¡oo'iq + fpq,rf;t tq ¡

-o(* ' { ; } ,* ) = n*ar = *oh

teniendo en cucnta el problema 69. Este resultado puede emplearsepara expresar Laaceleración en distintos

sistemas c coordonadas.

72. Utilizando el ¡€sultado del problena 71, hatlar las componentes físicas de la acele¡ación de uoa paniculamóvil en coordenadas ilíndricas.

Comods2= ,f +p2dg2+d22,f = tfif = p2+p2$?+? y T-r v2= !n1p2+ 2$2 22¡.

Del problema7l con.xr : g, x¡ z s€ deduce

+.2.2 o E-oé?.L!teót. ;{grr' y'g-' y'gn P ¿t -' ' '

ya quo grt : I, g*: p1 g"" : t. Compárese ste csultado con el del problerra 70.

73. Sea F¿ :-# la fusrza covari¿nteaplicada a una partículaen done Z: V(xr,...,xN) es la energtra

Dotencial.Demosu", oua 4,t t : t

' ¿r '#t - | -=o siendor=r- l '- ) raaDe L = T-v , #,

=#

ya que t/ es ndependiento e .tt. Entonces, egúnel problema?1,

I,#, - {, = u"n ra = -# vLa función I, se lama Lagrungiana. Estas eeuaciones n que interviene I se laman ¿c¡acionesueLagrange

y son de gran importanc¡aen el estudiode la mecánica oórica. Del problema50 se sigueque ¿l resultado

hallado equivalea decir que una partículase desplaza e maneraque la integral J, ' t at es una extremal.rL

Se llarna princípio de Hamilton.



206 ANALIS$ TENSORIAL

74. Expresarel teoremade la divergenciade Gaussen forma tensorial.

Sean, 4kun campo tensorialde primer ordeny 'h la normal un¡taria cxterior en un punto de uoa sficie ce¡rada,Sque encierraun volumen Z. Entonces, l teoremade la divergencia e Gaussestablece

f [ , tr u.¿sJJ E

En un espacio e N dimensiones,a integral triple s€ sustituyepor una integralde orden ¡f, y la integraldpor una de orden N- l..El invariante 4k,¡. s a divergencia e,{k(problema 57). El invariante Ak vLproductoescalarde Ak y "¿, análogoa A . n en la notación vectorial del Cap. 2.

Hemosexpresado l teorema,pues,en forma tensorial,por lo que dicho teor€maes válido on cuasistema de coordenadas aunque la hayamos visto, en principio, en el caso de coordenadas rectangu(Cap.6yproblerna66).

75. Expresar las ecuaciones de Maxwell del elect¡omagnetismo

(a)dtvB=0, (6)d lyD=47p, (c)VxB=

- +*, (d)Vxu= !4 en forma ensor ia l .

Definamos os tensores &, Dk, E*, H*,Ik y supongamos u€ I y c son invariantes.Entonces,as

ciones adquieren la forma

{o) 8¡ O = 6

1b¡ Dh,, = anP

k\ - ejhq E.P, q

ut - eihq o.o'

[f I

th., vÍ

?Bi.oui"n.eJEe = !?¿ h' qf

i$rI"

c , o bien, ilg flr.o = -

Estas ecuacionesson la basede toda la teoría del electomagnetismo.

76. (a) Demost¡arw Al,w - At,rq = Rlq, An siendo4, un tensor ualquieraeprimerorden. (ó

mostrar ueRt,es u¡ tensor. (c) Demostrar ue R¿grs = 6n" Rlq, es un t€nsor'

?# \,,,1^,.,

ü,)

#ü,)', {J,}

éB';;

I41Tf

-;-

o)Atc,= 6r,l .n

=

=

"

("nr-

?"r \ ?re

= e--ot o-

- \-l^^'

(*-{;},,)}JJ,) (*-

;l# -gl"#ltl\i,l*

Permutando g y r y restando s€ obtiene,

- {t,l*. ;Xi,}'



ANALISIS TENSORIAL

1-' '9,q7 Ar,,q {;}{,1}',

-l!,1\t,l^,1

= R: A.?qr J

*ll,l ' {;}{j},' ."t{j,}',

*lt,l^,-i,}{;}**{;,},,Errd

Fb

^1,. {;}{¿}á} ;'}

rep€tidos.(d ¡ arxlxB + arxQ g + .. . + orxXr3

qb l A2 1 , + An B" + An B" + ,, , + A'x Br

¡c¡ al + e!a' * t!n" , .. . t eJrax(d) *'t¡ + c2t ", + ft E", + fat.,

{;}{l,} * {j,}Sustituycndo por z se deduceel r€sultadopedido.

(ó) Como Ap,,o Ao,,oes un tensor, RXa,Ao es ot¡o tensor;además, omo ,4¡ es un tensor cualquier,porfa fey del cocientese deduceque ,Rr¿,es un tet'li;rr. Este se llama tensorde Riemann-Chrisfolfelue,a

veces,se escribeen la forma R.i*, R;;:,:, o simttcmente, R;a..

(c) Roo,, g", Rfu,,es un tensorasociadoa Rle,y, por consiguiente, s un tensor.Se ta¡na¿e¿.ro¡o|aria ede curyaturq juggaun pape¡muy importanteen la teoríageneralde a relatividad e Einstein.

, Problemas propuestosAl final del capítulo se dan las solr¡ciones e estosp¡oblemaspropuestos.

77, Escribir cada una de las siguientes xpresionesgnrendoen cugnta el convenio de sumaciónde los índices

te¡B\\1+ aeo2 aftr + aff78. Escribir término a término cada una de las siguientes umas ndicadas.

) - b . ik-b - . . . a; j ¿,!ta) !-,(r'c A-\, N =s (b \ AJ" Bi C) , N= 2 (c) 3 j-

¿, P - R J E,¿ Et{

?g. Haffar el luga. geométrico epresentado or akxkxk l en dondert, con k '= 1,2, . , N' son las coorde-nadas cctangulares,eson constantesositivas N -'2,3 ó 4

80. Escribir el sis:emade ecuaciones ooxq bo para N - 2.

81. Escribi¡ Ia ley de transformaciónde los tensorcsa) ,4'f , (b) BI. k) C-", (d) A^.



208 ANALISIS TENSORIAL

82. Determinar si las magnitudes B(.¿k, m)y C(j, k, m, n) q1re, n el pasode un sistemadecoo¡denadas isg ¡ansforman egúnas eyes

¿ri ¿rk ¿7r ^. . ,(a, 6\P,q ' t) =

¿_"b ñ;,qD\t 'E 'm)

83 .

E4.

son enso¡iales. n c¿soafirmativo,escribir os tenso¡es on la notación adecuada ando el o¡deny

terística de covarianzao contravarianza.

¿Cuántas omponentesieneun tensorde quinto o¡don en un espaciode 4 dimensio¡es

Demostrarqug si las componentes e un tensorson oulasen un sistema e coordenadas ado, 4mben cualquieroha rcfcrencia.

Demostra¡que si las componentes e dos tensores on igualesen un sistemade coo¡denadas adolo son en cualquier otra refercncia.

)-k dvkDemostrarque la velocidad

?: y* de un fluido es un tensor,pero que I1 no lo es.

Hallar las componentos ovariantes cont¡avariantes e un tensor en goordenadas:(¿) ilínd¡ic(ó) esféricas ,d, {, sabiendoque sus componentes ovariantesen coordenadas ectangulares ox"y, yz.

98. Si un tensor es simétrico (o hemisimétrico), sus contracciones sucesivas,¿sonsimétric¿s(o

99. Demostrarquo si ,.{r¿es un tensof simétrico, 4rsrr)r4:0.

85 ,

87.

88. Las componentes ontravariantes e un tensor en coord€nadas€ctangulares on: /2, 3, 2x + /.componentesovariantes n coordenadas ilíndricasparabólicas.

ó - . b . qs "P , .q r . f .Q ¡ "se. calcular G) 6;81 , (¿ )E; E; l '", p¡ an { l" , (d) tq ¡r Ds6i .

9{). Si,4fs es un tsnsor demostra¡qf¡e,41'esun tgnsorcontravariiante€ primgr orden.

91. Demostraroue E:, = ltsi ¡ * *- Jñ

tur,

¡=

i

no es un tensor covariantecon la notación expuesta'

:- ;-9 A¿, -92. Si

^f= .fu,{O demostrarue Aq = z'-

+ .

%.si l: =##,4! demostrar. e!=ffi{* e!.

fi. Sabiendoque é es un escalaro invariante, determinar si ge= es un tensor.Or'Ot1

. Sí A! y B, son dos tensores, emostrarque,4¿B¡ y AXBt son, asimismo, ensores halla¡ su ord

96, Demost¡a¡que si ,4lra sun tensor, 41,o ,4!,fes un tenso¡simétricoy,4ta -,4Íl eshemisimétrico

yl, Si ApQy B¡r son tonsoreshemisimétricos, demostrar que Ct! : A'q8,, es vn tensor simétrico.



ANALIS¡S TENSORIAL

Hallar el máximo número de componentesde un tensor si¡nétrico de segundoorden en un espaciode:(a) N :4, (ó) N: 6. ¿Cuáles estenúmeroparacualquie¡N?

¿Cuántas omponentes o nulasy distintas,prescindiendo el signo, tiene un tensorcovariantohemisimé-t¡ico de tercar orden?

Si ,4Í,¿ s un tonsor,demostrarque por una doble contracciónresulta un €scala¡o invariante.

Demostrarque la condiciónnecesa¡ia suñcientg ara queun tensor do orden R seconviertaen un escalaro invariantgpor contracciones ucesivas sque R s€ap¿r y que el númgro de ndi@scovariantes cootra-variantes s€a gual a R/2.

Si ,4r¿ B" son dos ensores, emostrarquesu productoextemoesun tensorde cuarto ordeny quesepuedenforma¡ dos productos nternos de órdenesdos y ce.o, rcsp€ctivamente

Si A(l¡, q) B" - Ct, en donde 8s €s un tensor covariantede primer orden cualquieray C' un teosor contra-variante do primer orden,demostrarque A(p, q) es w tensormixto de segundoorden

Sean 4, y -84dos tonsores rbitrarios.Demostrarqu€ si AeBa CQr,q) es un invariants, C(p,4) cs un tensor

que puedeescribi¡seen la forma Cj.

Haflar a sumaS : A + B, diferencia : A-8, y productos : AB y Q: B,{, siendo,{ y B la smatri-c,es iguientes:

l^ . \ / \@\A=(: -11, B=(o-: l

\2 4l \ -2 -t l

lz o r \ l , - t , \(ó), {=Í-r-2 r1. I=|3 2-4 1

\-r s -Ll \ - t - , 2l

Hallar (3A - 28\ (2,4- a), s[ndo A y B las matrices del p¡oblema anterior.

(a) Cornprobar qu€ dot (,{8) : {det ,{} {der A} para las marices del problema 107.(ó) Comprobar si se verifca que dct (áA) : det BA).

t . \ / - rz-r \seanas ar es, = (: - : : ) . r = { i ; - ; l .\{ 2 3,\ 2 r zl

Demostrarque (.¡) /,8 estádefiniday hallar su valor, (ó) B,{ y ,{ + ,8no estándeñnidas.

Despejar los valores de las incógnitas, x, y, z, del sistema de ecuaciones,cscrito en forna matricial.

(? i)( ')f i)- ¡ 3-

La inversa { -r dc una matriz cuadrad¿ s€ de6nepor la relaciónAA | : I, siendo r la matriz unidadcuyos elementosde Ia diagonal principal son unos y los restantes oros.

Haflar ra inversa 4 r de la matriz / ¡ -z \| t -t(")=(_; ;) ",r=ti _l

En amboscasos,¿s €verif icaqu e A-tA: I?

;)



2l o

ll3. Demostrar que la matriz ,l

ANALISIS TENSORIAL

r -2\-Z g I carccrde inversa.

-3 4lrll4. Demotra¡ que (,{r)-r : BrA-t, siendo,4 y -Bdos matricescuadradas egulares.

ll5. Exprcsarcn ibrma malricial las ecuaciones e uansformaciónde un (¿) v€ctor contravarianto, ócovarianle de segundoorden, (c) t€nsor mixto de segundoorden

116. Determinar os valoresde la const¿nte talo]ueAX: lX. siendo ,l =

quiera. Estos valores se llg;man valorespropiot o autovaloret de la matriz ,{.

ll?. La €cuaciónF(¡) :0 que rcsulta en el problemaanterior para hallar los valorespropios de unagollama ecuacióncaruclerítticq de A, DeÍ\ostrar que F(/) : 0, siendoF(,{) la matdz obtonida sustitupo¡ ,{ en la ecuación aracteristica, l término constantec por la riatriz c¿ y O es a matriz nula (telcmcntos son c€ros). El r€sultado es un caso particular &l ¡eo¡ema de I{amiltorr-Coyley, q|uedic€ q

matriz es solt¡ción de su propia ecuación c¿racterlstica.

llt. Demostrar qtrc (AB>r : BrAr.

ll9. Dotcrminar el tcnsor rnétrico o fundamcntal y su conjugado en coordenadas: (a) c¡llndricasy (ó) cilínddcas ellpticas.

120. Demostrarque en toda transformaciónafin ¡' : 4 xD + Ir', siendod, y ú,'constantesalesque 4 4las compon€ntes ovariantes contravariantes e un tensorcoinciden-En el casopanicular de queformación s€ade un sistema de coordenadas r€ctangular a otro rectangular, los tonsor€sse llamancarlesiar@s.

l2l, Hallar g y gr cor$pondientes al elem€ntode linea ds2 = 3@x!¡2 + 2(¿r2f + 4@f)2 - I

ln. Si A, : gi¡,{r, dcmost¡a¡ qtre 4 : gkAL, y r€cíprocamente.

123. Expresar las relaciones €ntr€ los tensores asociados

@) An y Aja, (b) A!¿' y tt¡a¡,@) A'oi y At!,t.

1rA.Demostrar tre(a',A;qB?rs= tbe lfi", (ü a!,qrB;l . erq..at = nio' tlr. De aquíded

sultadogeneralde que un s€udofndice, lndiceumbral,en un término puedebajarsede suposicióy elevarse de su posición jnferior sin que cambie cl valor del término.

125. Demostrarque si ,{?o. Bfo C,, entoncesA¡a, : BeaC, f A'ft : 3;z 6r. De aquí deducirel -relqu€ un lndice libre en una ecuación tensorial s€puedeelevar o descendersin que sealtere drcha

12ó. D€mostrar que los tcnso¡csg'r.,gD. ! ó! son asociados.

r27. €n'ostrartErt# = ,rs#, $\{# = /t#

j - i ) vxunarn

128. Si Ae es un campo vectorial, hallar el vector unitario correspondientc.



ANALISIS TENSORIAL 2ll

129. Demostrarque los cosenos e os ángulosque un vectorunita o Ul€n un espacio ridimensionalornracon

tas líneas coordenadas onut

.ue

,u"

rt- rt- {t* (8-2t7)

130. Exprcsar los símbolosde christoffe¡ de primera clase en coordenadasa) ¡ectangulares,ó) cilíndricas y(c) esféricas.

l3l. Expresar os símbolosde Christoff€l de primeray segunda taseen coordenadasa) cilíndricasparabólicas,(á) elípticas.

132.

133.

134.

135.

Deducir las ecuaciones iferenciales e las lineas geodésicasn coordenadasa) cilíndricas, ó) esféricas.

Demostrar qu€ las lfneasgeodésicas n el plano son rectas.

Demostra¡ que las lineasgeodésicasn la esferason arcosde círculo máximo.

Escribir los símbolosde Christoffel de segunda lasepara la forma métnca.

ds': (dxt), + t(x,), (x)!l(dr1,y las ecuaciones orrgspondientese las líneasgeodésicas.

136. Escribir la de¡ivadacova¡iante espectode ¡¿ de cadauno de los siguientesensores.. th . ih i ik t ih(d\ Aí , (b) Aí . a\ A;h, G\, t ; " , @ Aí;n.

137. Haflar la derivadacovarianted,r i i

. (o\ t -hA-, (b)A'Bh, (c)D;,{ j resp€ctoe a.

Mediante a ¡elaciónA¡ : gtk Ak dedücir a derivada ovariantede 4ia parti¡ de a derivada ovariante e 4e.

Demostra¡Cue D,*- ó,09, siendoé un escala¡o invariante,es decir, el o¡den de laderivacióncova_riante de un escalarno influye en el resultado.

Demostrar q\e iü y (r¿t son tensores ovariantey contravariante espectlva¡nente.

Expresar a divcrg€ncia e un vector ' en función de suscomponentesísicasen coo¡de¡adasa) cilíndricasparabólicas, ó) paraboloidates.

Hallar las componentesisicasde gradé en coordenadasa) cilíndricasparabólicas,ó) cilíndricaselípticas.

Expresar Vl(D en coorde¡adascilíndricasDarabólicas.

Mediante a notación tensorial,demostrarque (a) div ¡ot.{' - 0, (á) rot gradé = 0.

Hallar las derivadas bsolutas intrinse{asde os siguientes ampos ensoriales,n el casode que as funcio-nes de , seanderivables:

;h \1o) Ap, (b \ ,LJ', 1"¡ ,1 , sh , t¿l ó AJh iendod un escalalo invariante.

138.

t39.

l4tt.

r4l,

142,

r43.

r+4.r45.

146.Hallar a derivadabsoluta . qo) ¡nA , $, 6lh j , n, ,rrt!, 4 .

t47. Demostrarueft Cton, nol = , rf o ,

*.



2t2 ANALISIS TENSORIAL

1¡|8. Detnostrar que si no actúa fuerza ext€rlor alguna sobre una partícula de masa constante que dc dpor una línea geodésica € verifica g,f,,

149. Demostrar que la suma y diferencia de dos tensores rclativos del mismo peso y tipo es otro tensor de las mismas ca¡acterlstic¿s.

1f), Si lfv es un tensor elativod€ peso'er,

demostrarque g-uh llE esun tensorabsoluto.

r51. Si ,l(p,q) f= Cj', en donde {, esun t€nsor elativocualquiera eposouly C; un tensor €lativo

r"r, demostrar que A (p, q) 6 u tensor relativo de peso ¡'¡ - ur. Est€ €s un ejemplo de la ley del cde los tensores elativos.

152. Demostrar que la magnitud Go,l) del problema resuelto 3l es un tensor relativo de p€sodos,

153. Hallar las componentesfísicas en coordenad¿s esféricas de la (a) velocidad y (ó) aceleración de utícula móvil.

154. Scan 4' y B' dos vector€sen u¡r€spacio ridLtrensional. Demostrar quesi t y p son const¿ntcsCr = |" Aos otto vcctor del plano que Íorman At y Y. ¿Cuál es Ia int€rpr€tación en un espacio de M dimen

155. Demostra¡ eue ,tl . ,ll$. ",

un vector noínal a la superñcie C(¡r,x3,x) : constante.H

vactor unitario correspondiento.

156. Iá €cuación de continuidad de un fluido es !. ¡s.r¡ * P = O"n

donde oesla d€nsidady v la vcdt

Expresar dicha €cuación en forma tensorial.

157. Expresa¡ la ecuación de continuidad en coordenadas(a) cilfndricas, y (ó) esféricas.

lst. Expresar el teorsm¿ del rotacional ds Stokes en forma tensorial.

159. Dcmostrar que el tensor covariante de cu¡vatura -Roo,, s hernisimétrico en los lndicec (a) p y .1, (b(c)qYs.

lflr. Dcmostrarque nrqr.s . &srC,

161.Demostrar uc @) R¡qrs * Rr"q, * R¡sq = 0,(b'',Rlqrc + f,rgrs + XT59g+ R¿57g. 0.

162.Demostrarque la dcrivacióncovarianteen un espaciode Euclid€ses con¡¡rutativa.Comoconseprobarqu¿el tcnsordo Rirm¿nn-Christoffel el tensorde curvaturaen un espaciode Euclidesso

^,O

163. Sea fz.!f

cl vcctor tangentc a la curva C de ecuación ¡' : ¡r(s), andonde

res

la longitudd

(a)Demostrarte srOT, f4-r (ó) Prob¿rqrre rqT'#' o

"en consccuencia,É " * #*

\€ctor unitario nornral a C para una /r dada. (c) Proba¡ quc * es ortogonal a 1V..dJ

164. Con la notación del problema anterior, dcmostrar que:

-9q ótg á r¡rq o@t%qr v '=0, ü) ¡of T=-< o qo(t9f f+xr ' )=0.Porconsiguientc,robarquo8t " * ,1"{ + xf¡es un vectorunitarioparaun ¡ dadoortogo



ANALISIS TENSORIAL

Deducir las fórmulas de F¡enet- Serret

r,r.i o Á¡tl b -b 68 l +)

| |- = .¡u', K=rar-xr" 3? = -rN'

. (ol aurhzs t l in , <" ' t4sh O¡g29 or,N.=4 (. , Bl:r ,N=2

at$tG,e'> S<G

e't *

SrG

e"t

OtAb4q + É1a!c" + tgaf,c, + tnaf,c.

siendo p, N, y 8, los vectores nitarios angente, ormal y binormata C, ¡espectivamente, ,t y r la curva-:ura y torsión de C.

Demostrarque ¿s2= &@z4f - ¿rb ¿rh 0Y=3)es un €scalaro invarianteen la transfo¡mación ineal(afín)

7t =ypL-ozJ, *=12, f =*, 7a = yqxa- l zL\

siendo:,,É,cy y constantes,:rlcy t:(-fl?)'/ ' . Estaes a transfor¡nacióne Lorentz e la rela-tividad especial. ísicamente, n observador ituadoen el origen del sistema xt veria un sucesoque ocu-lfe en la posición¡r, xr,.r¡ en el instante {, mientrasque un obs€rvadoren el origen del sistema l veríaef mismo suc¡so en la posición r, Í2, tz en el instante '. Se supooeque (/) los dos sistemasde referenciatienen os ejesxr y tr coincidentes,2) los semiejes ositivosx¡ y x¡ paralelos, espectivamente, los 5, y .¿',(t) el sistema t¡ se desplazacon velocidad v respecto del sistemaxt, y (4) la velocidad de la luzc os constante,

Demostra¡queparaun observadorijo en el sistsrna ¡ (tr), una barra fija en el sistema ¡ (x¡) paralelaal ejett (.rl) y de ongitud ¿ en esta eferencia, parece educida a loDgitud¿ v'¡ - pl Este hecho sedenomina

contracción de Lorent z-F¡tzgeruld.

DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

.. a¡Ja,t . a/vt"*6r¿z

df d"tLññ

éx2

a' i 'dArx

. Elipse para N: 2, elipsoidepara ¡f: 3, hiperelipsoidepara N: 4.

ta¡1x1+ opr2 1 b1

I orrrt + ap# = b2

@tlq *{,##^1i

(a) B(j, k, n) es un tensor de tercer orden, dos veces covariante y una vez contravarianle. Puede escribirseen la forma Eii. (b) C(j, k, n, n) no €s un tensor.

1é . LO2A

(a) 2e coszó - z cos { + d sen, ó cos¡ d,

- 2€, sen ó cos d + ez send + p. senó cossd,

pz sen$.

crn

t¡rdq'=*,# _y,#4', #^-



214 ANALISTSTENSoRIAL

(b ) 2t s€nr0 coa2 - r s€n0 co8á cG ó + Ésenad sen2 cos2t ' + É senO os2d s

2{wn0 e¡,e coa2 - f coaz cod$ + y'sen3á cos? sen2 coc2ó- ¡3 sen,0 cosÉ sen{,

- 2lsen'0 scnd cogd + f ggn?coadsen@ + y'se¡a9 sen{ cos3@

88. t?vz + g,,¡ gs - vf z, n2 + ut¡ tP 89 . (o) sls, g) AF , (c \ Aj, tal r

,o?.o) = (; : ) ,= (- : - : ) ,"= (T T), .= (: : _:)

",'=-l il ' (-l s)= -i'i*) = -i,0,., ;li :) ", _j :: 1; '. ( i ; -;

94. No es un tensor.

100. (d) 10, (ü)2r, (c) N(N+r) /z

95. Orden 3 y ord€n I rcspectivamente.

r0r. /V(/V-1) /V- 2)/6

,,,.", 1",),1, {i {: )

fiil()€rilt,:)€Érilü:^),*.,(":-"f'+

t=- l t t=3, z= 2

(i) #"(',ilGi^il

u6. ¡. = 4, -1



ANALISIS TENSORIAL 2t5

", (

dlsenhr4 +sen,r)

0

0

0

o1senh,4 + sen'y

0 ) ("'T*-0

I

¿zl Senhra + Senlr)

0 ; )

r, = '(,"@',a?q= ¿i a'e t l n'n'= i r,,

^jor,n, +;'= ,¡¡ro,{,

^!.r,lb

-L o -!__y'A?A^ /2. tl ¡q. -Pq

Todosellosson cero.lzz, t ) -=-p, _l tz,z)=lzt ,z)=p. Todos osdemás onnutos.122,1J -¡ , [ ¡ ¡ , tJ =-r sen'o, [gf ,Z] .- ¡2 sen0coa9

[zt,z)= [n,z ] =' , [ ¡ r , ¡ ]=[13,s]=rsen'a132,3J ¡23,3.1 12s€nocosd, Todos os demás on nulos.

[ tr , t ] = ,, lzz,zl , , [r r ,z]= -,, Lzz,t) -u,lrz,rJ [zr . l ]= ,, [zt,z) [ tz,z] u.

{,1}=m {,1} {;} ##rk,{í }

={¿}' #i#g; rodosrosdemássonnuros.

{,i)

(o )

(ó)(c )

a,#-

o,4rÍ o.

", * -.¡f¡2 - rsen'off = o

fó, . 2 db dó

de p ¿s ¿s. -0. '#=o

!9ds

¿óds

,2dte

tb¿t2

- seno osB1qÉ¡ . 6

,2.*o(9 = oats dt



ANAf,ISIS TENSORIAL

{ ; }=, ' , {¿}=

{;}=

#a \: , \=

"o*rodos,osdemS.*'fr =o, # . n*r"f f , *f *r,#r =ooa.:o

dt!"L'I

-i-?-

- lRLT---n.-

^ lP,L

-:;-

.- ihdA:L$f-¡--

rln.@) J-lfiora;a o) * *<tA-c e,t)- !

*, ,*ialg*,,ldtd4l * j oiuFu2+,?

^,rl -I*

t tz 'o,#f* . #X",* f" ,c)-+- - ,S", , ,$",r f+

tiendo en, eo y ez los vectoresunitarios en ios sentidosdeauttrcnto de a, y, y z,

2t6

135.

rz7. als. , tlo, ol nio o * ,ti Bn,q,n, s! o¡,,

ih136. (o ) /:

L, q

íh(b't A.

ú4,q

I(c) A: -Ln,q

thL<¿¡ n

ih(e) A:Lrr\q

- {¿},,i '{1"},;'{;"},i- {; d: :,1^'i".1:},;:{i}, i;- {;,1"- ,;},í,,"{;}4^. "l*^- {;}'i-' . {i}'Y' {;"} !-"{i"l ol"

- {;}^k- ;l^iL-;},1j..J"}q

¡"ó143. :--:. +

?,u2a?O7v2

+ (¿2+ r-Q = O

rS . f" ,

^ ih<¡ l "? =

ót

lr(c)+(Ai B")

ot"

*. U"lu'#1:"1t"#=#ru r +*= # l:,1*#) r '(#.{ j"}u#



ANALISIS TENSORIAL

t{:

dzQdt

@) i, r0, r sen|Sqr'¡irf -, &n'o 2, | fre6 - ¡ senocosdi,, ;h

fi<,onn"e

>

dor;l

= O siendot,' las componentesontravariantes e la velocidad.dt

<o$<a,t t* f io* t $ra,"r-*- # =.

or $o,1*

$oh*

$r',"1+ o1t a o2cú,0¡

siendó r', I'y y3 as componentsscontravariantes de la velocidad.

f -h fr

l+#* = - lJ ,'q'aq,nz, ds siendo

fetvectornitarioa¡senr,eacurvaenada

b"y y' €l vector unita¡io normal extorior a la superficie S que tiene cofi¡o contomo C.

-{;,1^t) .

)

= '* -{ ;}*

#. ;"1^;#)

7t

dt

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(#(+,*(

tjp

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ót E

146. o) s.- +- =-JP 0r

;ü;(D ) o. =-

Bó T

)^/t"\ t¡¿ór t'

b

rm.¿lofr o'q 4óx, ?¿ dr'

áo

óa



A derechas,sistgf¡ra, 3Absoluta, dorivada,174Absoluto,movimiento, 53

tensor, 75Aceleración, a lo largo dc una

curva en el espacio, 5,39,40,50, 5ó

c€ntrípeta, 3, 50, 5lde coriolis, 53de una partícula,38, 42, 43, 50,

52, 84,2n3, m5€n coord€nadas ilfndricas,143,

204en coordenad¿scurvilíneas, 204,

205en coordenadasesféricas,160,

212en coordenadas olares,56r€lativa a observadores fijo y

móvi l ,52,53Achatadas, oo¡denadas sféricas,

140,145,160,16lAdición, de matric€s,170

de tensores, 69

Adjunto, 7l, 187,18 8Afin, transformación, 9, 2lO, 2t3Alah€ada,cúbica, 55Alarg. das, coordenadas esféricas,

| -r9, @, 16 lAlgebra,de matrices,170

de vectorcs, , 2Alternante, símboloy tensor, 173,

r74,2tlAngular, velocid¿4 26, 43, 52Angulo, de dos superficies, 3

entre dos vectores,19, 172, 190sólido, 124, 125

Area,de la elipse, 12d€ un triángulo, 24, 25

de una superficie,104, 105, 162del paralelogramo, 7, 24forma vcptorial,25, E3limitada por una curva cerrada,

l l lAreolar, velocidad,85, 86A¡ociados, ensores,7l, l9O, 9l,

210Asociativa,propiedad,2, 5, 17Autovalores,2l0

Base, €ctorgs n la, 7, 8, 136unitar ios, 36

Binormal, 8, 45,47,48

Indice

Bipolar, coordenadas,¿to,160 'Brahe, Tycho, 86

Cálculode variacion$, 173Calo\ 126, 127

*!acíórr, 126, 127, 6len coordonadas cillndricas

elipticas,155en coordenadas esféricas, 16l

especlfico, 26flujo, régimenpormanente,127

Campo,3, 12, 13,16 8cons€rvador,73, 83, $, 91, 93de tipo fuente, 13de tipo sumidrro, 13ir¡otacional,72, 73. 90rotacional,72solenoidal,67, '1, l2O, 126tensorial,168

Caracterlstica, cu ción, 210Carga, densidad,126Cartesianos, tensores,210C.€ntral, fuerza, 56, 85

Centripota,aceleración, 3, 50, 53C€ntro d€ masas,15Cero v6ctor, 2Cicloide, 132Cilindricas,coordenad¿s,37,138,

t4l, t42, lñ, 16ldivergencia,153,200, 201ecuaciúnde continuidad,212elementode ínea, 143elemento de volumen, 1,14,

t4 5gradiente,153,154Jacobiano, 6llaplaciana,153, 154, 201lineasg€odésicas,l I

rotacional, 53 ,15 4slmbolos de Chris.cff€1,195,2t l

tensormétrico, 187tenso¡métricoconjugado,189velocidady ace¡eración, 43,

2tu4,205Cillndricaselípticas,coordenadas,

139, s5, 160, 6 l ,2 l lCincmática,38Cinética,energía,94,204Cinétaco,momento,50, 51, 56Circulación,2, 3lCircuncentro,33Cociente,ey, 169, 184

Colineales, véctores, 8, 9no- ,7,8

Columna, matriz o vectoComponenles, ontravar

13ó,15ó,157,167,1covariantcs,136de un tensor, 157, 167de una diada, 73

Componentes ectorialerectangularcs, 3

Conductividad érmica, 1Conformes,matrices, 7OCónica s€cción, 7Conjugado, tonsor métr

188, 89Conjugados, ensores, 7Conmutativa,p¡opiedad

l7Consorvacióo de la encrgConservador,campo, 73

91,93condición necesari

cíentepara,90, 9lmovimiento de una

en,93,94Continuidad, 36, 37ecuación de, 6'l, 126, 2

Contr¿cción, 69, 8l, 1Contravariante, ensor, d

orden, 157, 167de segundo, super

t68Contravariants,vector,

r5'1, 67Contra a¡iantes, com

136,156,157,167,16de un tensor, 157,1de un vector, 136,

Coo¡denadas urvilíneaCoordenadas,íneas,135Coordenadas, uperfi iesCoordenadas, ransform

59, 76,135,166Coplanarios, ectores,

condiclón necesaricientepara,27

no-, 7, 8Coriolis, aceleración e, Corrient€, densidadde, 1Coseno, eoremadel, 20,Cosenos, ircctores, l, 5Covariante, derivada, 1'199,2l l

218



I

L

Covariatte, tensor de curvatu¡a,207

Cova¡iante, ensor de prific¡ or-den,15 8

Covariante, ector,136,157, 5E,t67

Covariantes, componentes, 136,157, 58,167

de un ten sor,167,168de un vector,136, 157,158,

t67Cuad¡ática, forma fundarnental,

t48Cuántica,mecánica,6lCúbica, labeada, 5Curyatu¡a,38, 45, 47, ll3

radio de,38, 45,46,50Riemann-Christoffel, 06tenso. de, 207

Curvas en el espacio,35acele¡ación,35, 39, 40, 50, 56bino¡mal,38, 45,47 ,48culvatu¡a, 8,45,47, I 13elemento e linea,37. 56, l3ó,

148normal principal, 38, +5, 46,

50radio de torsió¡, 38, 45tangente, 7, 38, 40, 41,48, 50

Curvilineas,coordenadas, 35-l 65acef ración,143,2O4, O5, 12definición, 135elemento e inea,56, I36, 148elemonto de volumen, 136,

137, 59generales,4S, I 56-l59ortogonales,9, 13 5superficiales,8, 49, 56, 15 5

Christoffel, simbolos, 172, 192-195,211

leyesde transformación, '12,193, 94

Delta, de Kronecker, t68, t?9,r80

Densidad,26de carga,12 6de co¡rierite,126tenso¡ial, 75, 03

I)ependenciaineal,10, 5Derivabi l idad,36,37Derivable, ampoescalar, 7

Campo ectorial, 7Derivación de vecrores, 5-56

ordinaria, 5,36 ,39-43parcial, 36,3'1,44,45

Derivada, absoluta o intr¡'nsica,174,202,2t l

covariante, 13,197-199, Ilsegúnuna dire.cción,7, 6l-63

Derivada eun v€ctor,35-56fórmulas,36,3?,40,41ordende a, 37,69ordinar ia,35,36parcial, 36, 37

INDTCE

Desca¡tes,olio de, 132Determinante,djuntoen un, I?1,

t87, 188de una matriz, I70, 209derivadade un, 4lJacobiano, 79, t33, 146, t4'7,

t48, 159, 6t, 162,175,202,203

productov€ctorialen forma de,t7. 23

rotacionalexpresadolpor n, 5?,58

triple productoescala¡ n formad€ ,15 ?

Dextrosum,sistema,Diada, 73Diádica,73-75,81Diagonal de una matriz cuadrada,

16 9Diferencia,de matrices,170

de rensores, 69de vectores,

Diferencial,37exacta, 3,93, I I Icondición necesaria sufici€nte,

93Diferencial,geometrla,37, 38, 45-

50, 54-56,166,2t2-2t3Dif€renciales, cuacion€s, 4, 104Difusividad, 27Dinámica, 38

ecuacionesde Lagrange, 196,205

ley de Newton, 38, 50, 53Direccional,derivada,57, 6l-63Directores, os€nos, l, 58Distanciaent¡edos puntos,I IDistributiva, propiedad,2

de as formasdiádicas,74d€ matrices,170producto scala¡, 6,18p¡oductovectorial,16, 22, 23

Divergencia,57, 64.6?del gradiente,58, 64del rotacional,58, 69, 70, 2l Ien coordenadas ilindricas,153,

2ffi,201en coo¡denadasilindricaspara-

bólicas,6lencoordenadasu¡vil ineas,37,

150en coordenadas sféricas,6l ,

200,201forma tensorial, '1 , 20O, 01invarianza, lsignificadoísico, 66, 6?, l l9,

120teorema e 6auss,106, 10 , ll ,

tl5-127demostración,17, l l8enunciado,l5forma ectangular,l6forma ensorial, 06srgnrncaoosrco, to, ¡ l /teorema e Creencomocaso

pa¡t icular, 06, I0, l l l

219

Einstein, teoria de la relatividad,148,201,2t3

Electromagnética,eotía, 54, j2,206

Elemento, e ínea, ?0, 187-189de volumen,136, l7, 159

Elemento e íoea, 7,56,|]6, 14 8

en coordenadasurvilíneas,6,148encoordenadasurvilíneasrto-

gonales, 36sobreu¡rasuperficie, 6

Elementos euna matriz,16 9Elipse, 3, 139

^rea,11 2

ó¡bita de os planetas, ó,87Elipsoidal, oordenadas,40,16 OEnergia,94

cinética,94,204conservación e, 94potencial,94

Equilibranre,6

Escala,acto¡es, 35Escalar,, 4, 168campo, , 12 ,16 8funciónde posición,3funciónde punto, 3potencial, 3, 81.83 ,91 ,92p.oducto, 6, 8-21,182t¡iplesproductos, 7,26-31variable,35

Escalar, roducto, 6. l8-21propiedadonmutativa,6, 8propiedad istriburiva. 6. 8

Esfé.icas, oordenadas,37 ,138,14r, r47, 160, ó l

co¡rtponentesovariantes,77,

178divergencia, 6l, 2O0, 01ecuación e continuidad, 12ecuación de transmisión de

calor, 6lelemgntode volumen, 144,

145gradiente,61Jacobiano,6llaplaciana, 54, 01lineas eodésicas,l I¡otacional, 54símbolos e Chrisroffel, 95,

2t ltensormétrico,18 7tensormétrico

onjugado, 89velócidad aceleración,60 ,21 2

Esferoidales,oordenadas,chata-das, 40, 145, ó0, 161

alargadas,39 ,160,16 lEspacio. e Euclides,70

de N dimensiones,66d€ Riemann, 7l

Especial,eoriade Ia relatividad,21 3

Euclideo, spacio, 70de N dimensiones,7l

iule¡, ecuaciones,96



220

Ercentric¡d¡d, 7Erterior, norm¡1,49, 83E¡dcma,multiplicáción,169Extrctml. ¡96Extrentodc un vccior, , 2, 5, ll

Füo y nóvil, cistcm¿s e referen-ci¿.5!-53

Filq m¿triz o v€ctor, 169Ffsicas, comDoncnt€s, 72. Xn,

mL m5, ztlFluido, moümi€nto, 6, €r, 72,

116, l7, 125,126incompresiblc, 69, 126

Fluidos, mecánica, 82Flujo, 83, l2OForma cua'tlrática fundanental.

l,l8F¡enet-S€rr€t, fómulas, 38, 45,

213Frotrlera, 113Fuente,13, 67, 120

campo de tipo, 13Fuerza, central, 56, 85

de Coriolis, 53de l¿ gravitación univcrsal, 86de repulsión,85r¡om€nto dc una, 25,26, SOsobre una partlcula, 203, Z)5

Fucrzas. 53rcsultante, I I

Fundan¡pnt¡I, tcNrso¡, 71

Gauss, ey do, 134Gauss, tcorcma do la divergencia,

106, 10, 11, 15-12?demostración, 17, llEonunciado. 15forma f€ct¿ngular, l 16forma tonsorial, 206sigBifcado isico, 116, l7teorerns de Gr€en como caso

p¿rticular,106, lo, lllGoodésicas,lneas,172, 173, 196,

lgt,2llCeomet¡la difer€ncial, 31, 38, 45-

so,5+56, 6Í, 2t2-2t3Gndiente, 57, 58, 5943, 177

de un vactor, 73en coordcnadascilfndricas, t53,

154en coorden¿dascillndricas para-

ból icas, 61,2l len coordenadasurvilfneas rto-

gonales,137,148, 149Encoorde¡adasssféricas. 16liofma integral, 122,123iorma tensorial, 174, 20Oilrvarianza, ?7

Cráfica. suma de v€ctores.4repr€s€ntaciónde un vector, 4

Gravitación, ley universal de New-ton.86

INDICE

Grccn, prinera idenüdad o Gorr-

''na,,lO7,l2lli¡nda idootidad o tcorcÍ¡s si-nrétrico, 107. 121

tcorema, en el espacio,106, I10,lll, tl5-t27

tco¡cma en el plano, ¡06, 108-l t5como casoparticular d€l t. de

Gauss,106, l0 lllcomo casoparticular dcl t. de

Stokes, 106, I l0para regiones m{¡lüplcmonte

conexas. l2-l14para ¡€giones simplflronto

conexas,108-l 0

Hamilton, principio, 205H¿milton4¿yl€y, teorcm4 210Hélice ci¡Eular, 45Hipérboh, 87HipcDlano, l?6Hipenupcrficie, 176Hipocicloide, I 32

Igualdad, de.m¿tric€s, 170dc voctorcs, I

Impctu, 38Indcpcndcncia, dct camino dc inte-

gración,E3"89, 90, lll, ll4t29,130

dcl origen, 9Independencia ine¿l, 10, l5Indic¡, libre, 167

umbral, 167

Inc¡cial, sist€ma,53Intogración, de llnoa, &!, 87-9,l

dc supcrñcie, 83, 9+99do vcctor€s,82-105dGvolu¡rren, 3, 99101doñnida- 82indeñnida. 82ordinaria, 82teo¡€rnas, 107, l2O, l2l, 124,

125,130Integal, fomi¿ del opcrador nabla,

to?, 123lnterna, multiplicación, 169, E2Interno, producto, 169,182

Intrlns€ca,&rivada, 174, r2,2llInvariarte, 59, 168,190Invarianá, 58, 59,76, 77, 8lInversade una matriz. 170lrrotacional, campo, 72, 73, 90

Jacobiano,79, 133, 146, 147, 148,159, 6r, 162, 7 5, 202,m3

Kepler, eyes,86,87, l0zKronecker,deltade, l6E, l?9, 180

símbolo,77, 208

Lagra¡rgc, ocuacione,LaSrangiana, 205L¿placc, ccuación, 65

G¡¡ oordanadasc¡sbólicas,154

tr¿nsformada, de

Laplaciana, oper¿dor81 ,2@on coordenad¿s

t53, 154,201Gncoord€nadasc

rabólicas,154on coordonads

137, 50, lston coordenadas

201fornra cnso¡ial,1invarianzs,8

I-emnisca. 32I¡yes dcl álgpbra v€cLibre, lndicc, 167Lli€a, eldrcnto dc, 1L¡nea, inÉgra¡, 82, 87

dlculo, 87-E9,llcirculac¡ón,82, l3indopcndicnte de

89 , 0, ll , tr4tcoronra do Gr€e

do, 12rabqio, E2,88

Lineal, fuente,13sumidcro,13

Linealmentédep€ndres,10,15

Lorentz, transformaciLorcntz Fitzgorald,

2t3

Luz, velocidad, 1

Matricos, 169, ?0, 18confomres, 170igualdad, 170operaciones, I 70suma, ?0

IÑlatriz,73, 169álgebra,170columna,169cu¿drada,1ó9det€rminante de undiagonal principal,cle¡n€ntos, ló9

fila, 169inv€rsa,170,209, 2nula. 169singular, 170traspuesta, 70,210

Maxwell, ecuacionesen fornu tensoria

Mecánica,38, 56de ñuidos, 82

Métrico, tcnsor, 170,Métdcos, co€ñcaenteMixto, tcnsor, 167, 16Módulo de un vectorMoebius,banda,99



I>

a(

L

D

I

ta

a

,

r'b

cinético,50,51, 56Momentodo una fuerza,25,26,50

triedro, 38y fijo, sistema,5l-53

Movimiento,de plan€tas, 5-87d€un luido,66,67,72,116,l l7,

125, t26Múltipleftrnteconexa, egión, 10,

2-tt4Multiplicación, de determinantes,

159de natrices, t7Ode tensores, 69de un v€ctor por ün esc¿lar,2escalar, 6,18-21, 82extema,169, 8linterna, 169, 182Yectorial,16, 17, 22-28

Nab¡a v), 57,58fó¡mulasen que aparece, 8invarianzade, 107,123

opcrador en forma integral, 107,t23Newton, tey de, 38, 50, 53

de a gravitaciónuniversal,86en forma tensorial. 203

Normal, a una superfrci€, 49, 50,56.6r

exterioro positiva,49, 83plano, 38,48principal,38, 45, 47, 48,50

Nula, nratriz, ó9Nulo, vector,2

Ondas, ecuación, 72

Operaciones con tensores, 1ó9.179-t84Operador, dorivado respecto del

ti€mpo en sisternasñjo y mó-vi l ,51,52

laplaciana,58,64, 81, 2mnabla,57

Orden, de un tensor.167d€ una matriz, 169

Oriontablc, superñci€,99Origen, de un vector, I

indcpendencia de una ecuaciónveatorial, respectodel, 9

Ortocentro,33Ortogonal, transformación, 59

Ortogonales, coordenadas,bipola-res, 140,160cilíndricas,137, 3Ecilíndric¿selípticas,139, 155,

t60, t6l .2l lcilíndric¿sparabólicas, 38curvilíneas,49, 135, 137-141,

l9lelipsoidales,4O, 160€sféricas, 37, 138esferoidalesachatadas, l,l{),

145, @, 16lesferoidalesalargadas, 139,

t@, l6t,2ll

INDICE

O¡togonales, coordGnadas,paraboloidales, 39,160,161,

toroidales, 4lOsculador,plano, 38, 48

Pa¡, 50, 5lPar'ábola- 7. t38Parabólicas. coordenadas.cilindri

css,138,1¡14,54,155,160,l6r . 2l I

div€rgencia, 16lelementodc lfn€a, ,f4elem€ntod€ volurn¿n.145gradiente,6l,211Jacobiano. 6llaplaciana,154, 155,2llrotacional,16lSchróedinger,ecuación, 16lslmbolod€ Christoffel, 2l I

Paraboloidales,oordenadas, 39,l@, l6t , 2l l

Paralelogramo, rea, 17, 24ley, suma de vector€s,2, 4Paramétricas. ecuaciones. de una

curva, 39, 40d€ una recta, 12de una sup€rñcie, 48, 49

Periodo de un planeta, 102Permanentc,campo escalar, 3Pesode un tenso'r.175Pitágoras, teoreria, l0Planetas, rnovimiento, 85-87Plano, distanciaal orig€n, 2l

€cuación,15, 21, 28normal, 38,46osculador,38, 48

rcctiñcante, 28, 48tangente, 49, 50, 6lvector perp€ndicular a un, 28vectorcs cn cl, 3

Poisson. cuación.134Polar. coordenadas.98Posición, vector, 3Positiva,normal, E3Positivo, dir€c{ión y s€ntido, 89,

106, 3Potencial, energla, 94

escalar, 3,81, 83,91,92v€ctor.8l

hincipal, diagonal, 169Principal, normal, 38, 45, 47, 48,

50Producto, de det€rminanlcs, 159de ¡natricls, 170de tensores. 69de un vector por un cscalar, 2escalar,16, 18-21,182€xterno, 169, 8linterno, 169, 182triple escalar, 7ve.toríal, 16, 17, 22-28

P¡opio, vcctor, 2Propios,valores,210Proyección, de superficics, 95, 96

de un vector, 18, 20

221

Proyoctil,102Punto, función escala¡y vectorial, 3

Radio, decurvatura,38, 45, 46, 50de torsión,38, 45

R€fprocos, conjuntos o sistcmasdevectores, 7,30,31,34, 136,t1'l

tensores,7lRecta,ecuación,9, 12

form¡ paranétrica, 12forma simétrica, 9

Rectangularcs,sistema de coorde-nadas, 2

Yecto¡escomponenles, 3Rectiñc¿nte, lano, 38, ERégimen permanente, flujo calorl

ñco, 127cañpo sscalaf, 3campo vectorial, 3

Región, múltiplen€nte conexa,I t0, I l2-l t4

simplement€conexa, 110, I13,l14

Relativa,ac€leración, 3velocidad,52

Relatiüdad, tr.oria, 148, 2O7, 213Refativo, tenso¡, 175, 2O2, 2O-1

2t2Resultante de v€ctores, 2, 4, 5, L.

l0Riemann,espaciode, l7l, 172

llneas geodésicas,172, 196,197

Rienrann-Christoff€I, te.nsor, 207,

2t2Rlgido, sólido, movimiento,59

velocidad, 26, 33Rotación,de ejes,58, 76, 77

invarianza, 58t 59,16, 77, 8lpura, 59sistcm¿de coordenadas, n, 51,

52Rotacional,57,58, 61 72

deñnición en forma integral, I 23,t52,153

del gradiente,58,69,211e¡ coordenad¿s ilfndricas,153,

154en coordenadascillndricas Para-

bólicas, 16len coordenadascurvillneas orto-

gonales,137,150en coordenadasesféricas,154form¿ tensorial, 174, 200i¡varianza, 8significado fsico, 72, l3l

Schrihdingcr, ecuación, I 6lS€nos, eorema, triángulos planos,

25triáogulos esféricos,29, 30

Seudfndice, 67



71 7

Simét¡ica, orma de a ecuacióndeuna recta,9

Simple,curva cerrada,82, 106á.ea iñitada por una, I l l

Simplemente onexa, egión, ll0,113, t4

Singular,matriz, 170punto,14 1

Sistema e refe¡eDcia, 8, 166So¡enoidal, ampo,6'1, 3, l2O, 126Sólido, nguio, 24, 125Stokes, teorema del rotacional,

106, t0, 126-13ldemostr¿ción, 27-129fo¡ma tensorial,212rcoremad€ Greef¡como caso

paÍicula¡, I l0Suma,de matrices,170

de tensores, 69Sumade vectores, , 4, 5

ley del triángu¡o,4Iey del paralelogramo, , 4

propiedadasociatiya, , 5propiedad conmutativa, 2, 5Sumación, onveniode los índices

rep€tidos, 167, 175, 176,201Surnidero,13,67, 120

campo d€ tipo, 13Superíndices, 66Superficie, rca de una, 104, 105,

t62coordenadascuNilíneas sobre

una supe¡ficie,48, 49, 56,

elementode ínea, 56, 148integralde, 83,94-99

Superñcics, 7ángulo,63.coordenadas, 35de dos caras,83de una cara,99elementode lfnea,56normal exterior,83orientables,99

Sustracción, e tensores, 69de vgctorgs,

Tangentea uDa curva en el, espa-cio, 37, 38, 40. 45, 47, 48, 50

plano, 49, 50, 6lTensor,absoluto, 175

asociado,?1 , 190, 9l,2l0

campo, 168cartcsiano,2l0

INDICE

Tenso¡,conjugado, 7lcontravariante,157, 167, 168cova ante,158,167,16 8curvatura,207densidad,175,203fundamental, 7lhemisimétrico, 68,169métrico, 170mixto, 167, 168orden de un, 167reciproco, 7lrclativo, 175,,202,203, 212simétrico,168

Tensorial, nálisis, 3, 137, 158,t66-7.t7

campo, 168densidad,173,203

Tenso¡es, operaciones fundamen-tales, 169, 179-184

Térmica,conductividad, 26Toroidales, oordenadas, 41

Torsión, 8, 45,47,213radio de, 38, 45T¡abajo, 21, 82, 86-91

como integralde llr¡ea,88-91T¡ansformación, ¿fín, 59, 210,

de coordenadas, 8,59, 76, 135,166

ortogonal, S9Traslación,59Traspuesta e una matriz, 170,210Triada, 38Triádicas,73Triángulo, áLrea,4, 25

l€y de a sumade vectores,Triedro móvil, 38Triple producto, 17,26-31

Umbral, índice, 167Unitaria, diada, 73

matriz, ló9Unitarios, rectangulares ,, 3

Yectores,2, I I

Variable, 35, 36Vector, área,25, 83

campo,3, 12,13, 168columna, 169derivada respecto del empo,

51 5?

ecuación, , 9fila, 169

Vector,función de posicién,3funcíón de punto, 3módulo, , l0nulo,2operadornabla, 57, 5tpotencial,8lp¡oducto, 16, 17,22-2posición,3radio, 3triple producto,17, 2G

Vectores, , 4álgebra, ,2ángulo,19 ,1?2,19 0colineales,8componentes, , 7, 8componenres

136,156,157,16 7componentescovaria

157, 58, I67coplanarios,3derivación,35-36

en la base,7, 8, 136extÍgmo, Iigualdad,origen, Ir€cfprocos,17reprosentaciónanaliticrepresentacióngráfic4resultante, , 4, 5,6, lOsuma,2, 4unirarios,2, 136

Vectorial, producto, 16,forma d€ dete¡mioantpropiedad istributiv

23Velocidad,

angular, 26, 43, 52Velocidad,a lo la¡go de r

en el espacio, 5, 39angular, 26, 43, 52aerolar, 85, 86de a luz, 8lde un fluido, 179de unaparticula,42, 5¿lineal, 26relativa ¿ observadon

móvi l ,52,53Volumen, del paralelep

76

elementode, 136, 137en coordenadas

t37, ts9

integ¡ales e, 83,99-l0Vértices, ampode, 72

ffi,",h |BMAAtAS. ¡i

Schaum - Murray.R.spiegel - Analisis Vectorial

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