CALCULO$UPERIOR

Murroy R. $plegel

cArcuLoSUPERIOR

Murroy R. Spiegel

CALCULO SUPERIOR

MURRAY R. SPIEGEL, Ph.Prolessor of Mathematics

Rensselaet Polytechnic Institute

D.

rn-rouccx y orsrcJBss M^Rl,{ C^sr^o

Pofesot de lanutticot d. ta Unoe$idad d.l yo e.

McGRAW-HILLMxco. BUEItos AIBES.CARAGAS . GUATEIAI.A. LIsBoA. MADnIO.IIUEVAYoRK

SAIIJUAII. SA{IAF OE 8OGOT. SAMIAGO. SO PAULO. AUCKLANDlotro8Es . {ll Mo nE1. NUEVA DELH|. SAI FiAr{CtSCO . St|tcApuR

ST, LoUIS . S|DNEY. TO8olfiOa"|.(n

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lgo q; srsrr laa oe E, BIALTOIECAS ;

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CLCULO SUPERONProhibda la feproduccin toial o parclal de esla obfa,por cualquler modlo, sin autorlzecn escrta del dltor.

DEFECHOS RESERVADOS O 1901, respgto a la prlmera odlcln en e3Peol porMCGBAW.HILL INTERAMERICANA DE MEXICO' S.A. d GV.

Atlacomulco 49$501, Fracc. Ind. San Andrs Aloto535q) Naucaloan do Jurez. Edo. de MxlcoMembro de omara N*onal de le Industria Edltorial, RC. Nm. l89o

tsBl{ 970.1 0.0069xfraducldo de la prlmara dcln en ingl3 dsADVA]'ICED CALCULUSCopyrlght @ MCMLXlll, by Mccraw-Hlll, Inc., U. S, A.

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lmproso en Mfco

Esla obra 8e igrmn d9Inprimr n mayo dl 2005Lltogrfica IngrernxCenieno Nm. 162nCol. Grarila EsnoraldaDlegacin laplapa09810 Mxico. D.F.

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Prlogo

La denomiacir

F

Tabla de materias

Conjuntos. Nmeros reales. Represcotacin dccimal d los nrlmeros rEles.Representacin geomtrica de nmros realcs. Operaciones con nmerosreales. Desiguadades. Valor absoluto de un nmero real. Exponentes y raices. Logaritmos. Fundamentos axioticos del sistema de los nmeros reales.Conjuntos de puntos, intervalos. Conjuntos enumerables. Enlomos. PuntosImitc. Mayorartes, miotantcs, extrcmos. Teorema de Bolzeno-Weierstrass.N(meros algcbraicos y nmeros trascendentcs. EI sistcma da los nmeroscorplejos, Forma polar de un nmero complejo. Induccin atemtica.

Pgnb

I

c+2 mFunciones. Crafo de una funcin. Funciones acotads, Funcioes monto-nas. Funciones recprocas. Valors principales. Mxiros y miniros. Tiposde funciooes, Funciones trascendentes espciales, Lmites de funciones, Limi-tes a derecha y a izquicrda. Tcorema sobre imics. tnnitos. Limites csfrccia-les. Contiriuidad. Conlinidad a Ia deracha y a l izquicrda. Contirluidad enun intervalo, Teoremas sobre continuidad. Funciones casicontinuas. Conti-nuidad uniforme.

C1" 3 4lDe6nicio dc sucesii. Lmite de una sucesin. Teoremas sobrc limites desucesiones- Limites infinitos. Sucesiones moritonas acotadas. Extremo suDe-rior y extremo inferior de na sucesin. Lmite suprior, limita inferior. En-cajes de intervalos. Criterio de convcrgencia de Cauchy. Series.

c+ 4 t tDefinicin de derivada. Derivadas a la derecha y a la izquierda. Difrancia-bilidad en n intervalo. Funcin casidiferncieble. Diferenciales. Reglas dederivacin. Dcrivadas de las funciones elementales. Derivadas supriores.Teoremas del valo. medio. Desarrollos d Taylor, Regas de L'Hrpital. Apli-

C:" 5 t0Definicin de la integral denida. Medida nula. Propiedades de las integralesdefinidas. Teoremas del valor medio para itcgrales. Integralcs indefinidas.Teorcma fundamenlal del clculo integral. Intgrales definidas con limitesde integracin variablcs. Cambio de varable de integracin. lntegrales defuncones especiales. Mtodos especiales de integracn. Integrals impro-pias. Mlodos numricos de clculo de integrales definidas. Aplicaciones.

TABLA DE MATERIAS

Pgl

. . . 101Cpftub DERIVADAS PARCIALES. ... . .Funciones de dos o ms vri8bles. Variables dpndiente c indcpendiente,domir|io de lna funcin. Sislemas de coordenadas rcctangulares lridimcnsio-nales. Entornos. Regiones. Limilcs. Lmits rcitcrdos. Continidad. Con_tinidad utliforme. Derivadas prciales. Derivadas parcialas de odn supe_rior. Difrenciales. Toremas sobre difcrcnciales. Dilerenciacin dc funcioncscomDuestas. Teorema de Euler sobre funciones homoSneas. Fnciones im'plicitab. Jacobianos. Dcrivadas parcialas con jcobiaros. Tcorcmas sobrcjcobianos. Trarsformaciones. Coordenadas curvilincas. Teoremas dcl valorm{io.

Crplob 7 . . . 134

Vectores y escalares. Algebra vcctorial. Iyes del lgcbra vctorial. vectoresuitarios. Vectores unitrios ortoSonalcs. Componentes dc uf vector. Pro_dcio escalar. Producto vctorial. Productos triPles. Anlisis veatorial desdun punto de vista axiomtico. Funcioncs vctoriales. Llmites, continuidd yCerivadas de funciones vectorilcs. Interpretacin gcomtric dc l dcrivadavectorial. Gradiente, dive8erci y rotor. Ffmulas en quc cntra 9. Inter_prctacin vectorial de los jacobianos. Coordcnadas curvillncas orlogonales.Cradicritc, diverSencia, rotor y laplaciano en coordcnadas curvilircss orio_gonales. Coordcnadas curvilincas spcialas.

Cpfto APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Aplicaciones a la geometria. Derivadas direccionales. Derivacin bajo el sig_no integral. Integacin bajo el signo inteSal. Mximos y milimos. Mto-do de los multiplicadores de Lagrange para mximo6 y limos. Apliccio_nes a los errores.

Cpttulo 9 INTEGRALES 18t)Irtegrales dobles. Integrales reiteradas. Integlcs triples. Transformaciorcsdc integrales mriltiples.

cr/oro f0 INTEGRALFS CURVILINEAS, INTEGRALES DE SUPERFICIE

Integrales curvilineas. Notacin vectorial dc las intcgiales curvilneas. Clcu-lo de inteSrales curvilineas. Propicdadcs de as integrales curvilneas. Curvassimplcs ccrradas. Rcgions simple y mltiplement conctras. Teorema ueCrcen cn el plano. Condiciones para quc Dna irtegal curviinca se inde-pcndiente del camino. Itegrales da supcrfcic. Tcorcma dc la divergencia.Teorema de Stoles.

t95

crltub ff 2UConvergcncia y divergencia de series. Propicdadcs fundmentales de las se-ries. Series especiales. Criterios dc convergaricia y divergencia de series deconstaDtes. Teorcmas sobrc senes absolutamcntc convergentes. Sucesioncs yscries de funciones. Convergcricia unifome. Criterios especiales para cor-verScncia uifore dc srics. Tcoemas sobac sies uniformamcntc conver-gentes. Series d potencias. TeoreDas sobre series de potcncias. Opercionescon scries dc potencias. Desarrollo dc furcioncs cn series de potencias. AIgu-ras srics dc potencias importantes. Temas espciales.

ry12

TABLA DE MATERIAS

Definicin de integral impropia. Integrales impropias de primera especie.Integraes impropias especiales de primera especie. Criterios de convergenciapara integtales impropias de primera especie- Integrales impropias de segun-da especie. Valor pincipal de Cauchy. Integrales impropias especiales desegunda especie, Criterios de convergencia para integrales impropias de se-grnda especie. Integrales irnpropias de lercra especie. Integrales impropiasdepndientes de un parmetro. Convergencia uniforme, Criterios especialesde codvergencia uoiforme de integrales. Teoemas sobre integrales uniforme-mente convergentes. Clculo de integrales definidas. Transformadas de La-place. Integrales mltiples impopias.

Pgin

2@

*13 zuNCIONES GAMMA Y BETA.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Funcin gamma. Tabla de valores y grafo de la funcin gama. Frmulaasinttica para f(r). Algunas relaciones en que entra la funcin gamma.La funcin beta. Integrales de Dirichlet.

*11 298Funciones pridicas. Series de Fourier. Condiciones de Dirichlet. Funcionesimpares y pares. Series de Fourie en senos o en cosenos. Identidad de Parseval.Derivacin e iotegacin de series de Fourier. Notacin compleja para seriesde Fourier, Problmas de cortomo. Funciones ortosonales.

e15 321La intgral de Fourier. Formas equivalentes del teorema de la integral deFourier. Transformadas de Fourier. Ideritidades de Parseval para las inte-grales de Fourie, Teorma de convolucin.

ry16 331La integal eliptica incompleta de primera especie. La integral eliptica in-complta de segunda espcie. La integral eliptica incompleta de tercera es-pecie. Foras de Jacobi de las intgrales elpticas. Inlegrales reducibles atipo eliptico. Funciones elpticas de Jacobi. Transformacin de Landen.

ry17 345Funciones. Limites y continuidad. Derivadas. Ecuaciones de Cauchy-fuemann.Integnles. Teorema de Cauchy. Fmulas integrales de Cauchy. Serie deTaylor. Puntos singulares. Polos. Serie de Laurent. Residuos. Teorema delresiduo. Clculo de intggrales definidas.

373

Captulo 1

Nrmeros(Err6

-d.f'otal n matemticas el concpto de conjwto, clase o coleccin de objetos que tienen

-tuR 6pecicas. Por ejemplo, s habla del conjunto de todos los profesores de la universidad,f,ro dc las letras A, B, C, D, . , . , Z del alfabto, ctc. Los objetos del conjunto se llamar. ele---

Ioda parte de un corjunto s die subconjunto del corjunto dado, como ,{, r, C que es un-.-^

de A, B, C, D, . . . , Z. El conjunto que csrece de elementos se llama conjunto Daco.

IEE IEALESf cooocidos los tipos de [meos siguientes.L

-rG nbrleg l, 2, 3, 4, . . . , o enteros poJluoJ, que sc emplcan para contar los ele-

Eros de un conjunto. Los smbolos han cambiado con las pocas, pues los romanos, por*!plo. utilizabar I,II, III, ry, .

--.La suma a + b y el producto . o de dos nmerosErales y es tambin un nmo natural, lo cual se sele expresar diciendo que el con-Fao de nmeos aturals es cerrado rcspecl,o de la operacin adcin y rcsryto de la ope-ttD nultiplcacin, o que cumple la propiedad de clausura cot espcto a esias operaciones.

a os Dagtivos y ceo, denotados pot -1, -2, -3,. . . y 0, respectivamente, que per-ril esolve ecuaciones como + b = acoay b naturales, qe llevan a la opracin sJ- .clil o noetsa de la adicin y se cscribe : - .

El coojunto de los enteros positivos y negativos con el caro se llama conjunto de os enteJ.I

-r

nciordes o y'accrbns, tales como i, -*, . . . permiten resolver ecuaciones comobr = pata y enteos cualesquiera con + 0, que llevan a la opcracin de duls o rn-ra de la mu fu iplicacU, y se escribe = a l b o a + b llamdos. a numerador y b denoninador.

El conjunto de los nteros es n subconjunto de los meros racionales, pes los ente-rc corresponden a nmeros racioales con : l.

a !-aB ircionles tals como rt y o son nmeros no racionalcs, es decir, que no se.4, . .pcdcn expresar como | (llamado cociente de a y bl coi a y enteros y + 0.El conjunto de tod"os los nmeos racionales e irracionales se llama conjunto de los

eos eales.

GE{TACION DECIMAL DE LOS NUMEROS REALESTodo amero real se puedc expresar et lorma decimal, por ejemplo, l?/10 = 1,7,91100 :0,@,

f -

e-166 . . -.

Si el nmero es racional el desarrollo decimal termina, o si no termina hay una cifrar tlo dc cifras del desarrollo que se repilen. como, por ejemplo. en + :0,142857 14285'l I42....I d ric.fo es iracional,

"o o.16.= 1,41423... o r : 3,14159..., no puede presenta$e epe-

ri rFrite. Siempre se puede considerar un desarrollo o fraccin decimal como infnito, pues'-5E r f,o mismo que 1,37500000 . . . o 1,3749999 .. .. Paa indicar estos decimales que se repiten! ttlscos poodremos puntos soble el periodo de cifras que se repite, asi + = 0,14t831, + = 3,1.

E 6crna decimal utiliza las diez cifas 0, l, 2, . . ., 9. Se pueden tambin emplear sistemas der-riir con menos o ms cifras, como el sistema bina o qle solo emplea las cifras 0 y l, por ejemplolifts i2 y jjr.

Z NUMEROS

REPRFSENTACTON GEOMETRICA DE NUMf,ROS REALESEs conocida la epresentacin de los nmeros reales sobre una recta llamada eje rcal, como se ve

en la figura. A cada nmero real corresponde n punto, y solo uno, de la recta y rccprocamente; esdecir, er(iste ljlla cotrcspondencia biunitoca enlje el conjunto de los nmeros reales y el de puntos dela ecta, po Io cual los conceptos de punto y de nmro se podrn emplear uno por otro.

lcAP. I

El conjunto de nmeros reales a la derecha del 0 es el llamado conjuno de los nmercs postDos.,el conjunto a la izquieda del 0 es el conjunto de los nmeros negatoos, en tanto que el 0 no es positi-vo n negativo.

Entre dos racionales cualesquiera (o irracionales) de la recta hay infrnitos nmeros racionales (e irra-cionales). Lo cual lleva a deci que el conjuto de los racionales (o irracionales) es ui conjro dnso enlodas partes.

OPERACIONES CON NUMEROS REALESSi , , c pertenecen ai conjuntoL a+by aD pertenecen a,R2. a+b:b+a3. a+(b+cJ=@+b)+c5. a(bc) = (ab)c

R de los eales,

6. a(b + c) : ab + ac'7. a + 0 : O + a = a, 1,a : a, 1 : t

0 se flama elemento heutrc depucacton.

8. Para todo d existe un nmero de R tal que x + a: 0.x se ll^ma smtico de a respecto de Ia adicin o tambin opuesto de y se denota por _.

9. Paa todo a + 0 existe un nmero de R tal que : 1. se lfama simtrco de a rcspectu de la multiplicacin o tambin iDerso de a y se

denota por a-t o l la,

Esto permite operar segn las reglas usuales del lgebra. Un corjunto como R, cuyos elementoscumplen lo que antecede, se llaa cuerpo.

DESIGUALDADES

Si - es positivo se dice que o es nalor que b o que b es menor que a y se escribe a > b o b < a,respectivamente- Si se da tambio la posibilidad a = , se escribe a/ b o b S a. Geomtricame nte,a > si el punto del eje real que corresponde a a

st a la deecha del punto que correspolde a .

EeDpf6. 3 3. -2< - l - l > -2;x S 3 signif ic quees un nmero eal que puede ser 3 o

menor que 3.

Si r, y c son nmeros reales dados,l . O bien a>, o bien a:b,obiea by b>cesa>c3. Si >esa+c>+c4. Si a> by t>0 es c > !c5. Si > by c

- lNUMEROS

E IDfX'fi) DE UN NUMERO IEALE * rbGoluto de un nmerc eal o, que se denota lal, se denc como a si a > 0, - si a < 0

t0i . : A

h.-: '-51 = s, l+21= 2, l-il = I, l-vEl = /t, lol = 0.L r l = a l o labc.. .ml = lo l l l lc l . . . l rl1:- l S 'or +ll o lo+b+c+.. .+nl= Il +lbl +lc l+. . . +12l . r - > 'o i - lb lf bc .otre dos puntos (o nmeos reales) y del eje real es la - l : lb - ol.

ND'ES Y RAICES

Elcroa.a. . .adenmcrorealdporsimismopvecesseder iotaporapl lamndosepal- y s. Se verifican las reglas siguientes:

L. ae. aa = ae+e

2- :- = ao-o

bls y es geealizaciones a nmeros reales cualesquiera son siempre posibles mientras se ex-frl-riinporcero.Enparticularparalt2,conp=qyp=0respoctivamentesellegaalasde-' : l ,a-e=l lac.

_f J :,Y, sieado p entero positivo, se dice que a es wa taz p-sima de f, que se escribe3I E babE ms de uoa raz psima real de rV. Por ejemplo, como 22 : 4 y (-2\2 = 4 hay dos-

ddas reales de 4, que son 2 y -2. Es costumbre designar Ia raz cuadrada positiva por

d" -: t f. Egativa por -./4 = -2.I r q soa enteros positivos * defrrc a"t4 : XG.

-qttosf : X, I se llama logq tmo de N en base a, lo que se escribe p : lo&. Si a y r' son

FE ! a + l, existe solo un valor leal de p. Se verifican Ias reglas que siguen:

1. log. il4N = loc.Ir + lo&N 2. los,K = log.,ilf - log"N3. log.M' = t'log" M

frl :ci:a s utiliza dos bases: la base = l0 pafa el sistema de kga tmos decimales, aulgar o deft- y b fuse natual a = e:2,'11828... para el sktema nqtural o neperiano.

MAXENTOS AXIOMATICOS DEL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESE itsma de meros se puede construir lgicamente a partir de un conjunto fundamental de d.ro-

ro udes

NUMEROS lcAP. r

Se pueden denir operaciones con estos nmeros asi obtenidos adoptando los axiomas l-6 y elconjunto de lmeros es ahor el de los enteros. Esto lle,v" a demosttaciones de enunciados tales como(-2X-3) = 6, -(-4) = 4, (0X5) : 0, etc, que por lo comn se dan por ciertos en las matemticaselcmentales.

Se puede introducir tambin el concepto de orden o desigualdad para los enteros y a partir destos para los racionales. Por ejernplo, si , , c, d son eteros positivos, se dene a/ > c/d si, y solosi, ad > bc, con generalizaciones parecidas para los nmeros negativos.

Una vez establecidos el conjufto de los racionales y las leyes de desigualdad entre ellos se les puedeordenar geomtricamente como puntos del eje real como ya se ha indicado. Se puede mostrar enton-ces que hay puntos de la recta que no representan nmeros racionales (como .,, r, etc.). Estos o-meros iracionales se-pcden definir de varias maneras, una de las cuales emplca el concepto de co-taduras de Dedekind (Problema 34); con stas se puede demostrar que las reglas usuales del lgebrasc aplican a los nmeros irracioales y que no hay ya otos nmeros reales.

CONJUNTOS DE PUNTOS, INTERVALOS

Un conjunto de puntos (nmeros reales) del eje real se dice conjunto de punlos unidiensional.Ef conjunto de puntos x tales que a S -x S D se llama interalo cerrado y se denota por [a, ]. El

conjunto

E\TORNOS

EI conjunto de todos los puntos r tales que lx - al < con > 0sellama entorno 6 del orto a.EI coojunto de los puntos .x tales que 0 . lr - , l aDenque se excluye r = se l lama entoino 6 rc-&ib de a.

ILITOS LIMITE* llaa punto lmite o punto de acumulacin de un conjunto de [meros un nmero / tal que todo

@rorro reducido de / contiene elenentos del conjunto. Es decir, tal que para todo > 0, poi peque_io que sca, se pucde hallar siempre un elemento del conjunto distinto de /, pero tal que l; _ : .coosiderando valores ms y ms pequeos de , se ve qu deb habe innnitos de tales elemenios .

Un conjunto finito no puede tener punto limite. Un conjunto infinito puede o rio tener punto lmi-tc. Asi, por ejemplo, los ntimeros naturales no tienen punto lmite mintras que el conjunto de los n_ros racionales tiene infinitos pu[tos limites.

Un conjunto que contenga todos sus puntos limits sc dice conjunto ceftado. EI conjunto d losEionales no es cerrado, pues, por ejemplo,

l punto lfmite n no es elemento del conjunto (proble-oa 5). En cambio, el conjunto 0 = x = I es gerrado.

VAYORANTES, MINORANTES, EXTREMOSSi para todos los nmeros r de un conjunto existc un nmero M tal que = M se dice que el co-jto est mayorado y M es tt mayorante. De igual manera, si r ,r, el conjunto s dic minorado y

es \tD minorunte. Si para todo x se tiene n ! x ! M el conjunto se dicn acotado.Si 1 es un nmero tal que ningtn elemgnto del conjunto s mayor que L pro hay uno al menosque supera t - para todo > 0, entoncrs l es cl mnmo mayorante o extremo superior del cof,jrJn-

to. Anlogamete, si ningn elemento del conjunto s menor que ri, lrero hay al menos uno que es in-

ferior a + para todo > 0, ertonces esel mximo minorante o extrcrno infe or del ojrrnto,

TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSIT.ASS

Establece que todo conjunto infinito acotado tiene al mcnos un punto lmite. Se da una demostra-cin en el Problema 23, Captulo 3.

NUMEROS ALGEBRAICOS Y NUMEROS TRASCENDENTESUn nmero x, que es solucin de la ecuacin algebraica

a$rn + arxn-t + a2r"- ! +. . . + o"-r f + o, = 0

c^r. rl NUMEROS

dondeca t' 0 y a r, ar, -

. . , , son enteros y , es entero positivo, el llamado grado de la ecuacin se llamantbnero algebraico. Un nmeo que no es expresable como solucin de una ecuacin algebraica de coe-6cientes enteos e llama trascendente.

Ejeupfos: 1y J1, C"" soo soluciones de 3 - 2 = 0 y dc,r'- 2:0, espcnvamenre, son numcrosalgebraicos.

Los nmeros z y son trascendentes, como puede demostrarse. pro an no se ha podido deter-minar si nmeos corno en son algebraicos o no.

El conjunto de los meros algebraicos es innito enumerable (Problea 23), peo el de los tras-cendentes es un infinito o enumerable.

(r)

-NUMEROS [cAP.

EL SISTEMA DE LOS NUMEROS COMPLEJOSComo no existe nmero real ,\ que satisfaga la ecuacin algebraica rr + I : 0 o ecuciones pa-

recidas se introduce el conjunto de los nmeros complejos.Se puede considcrar un nmero complejo en la forpl4 + bi cor, .I y b reles, que se llaman pdrl('

rcttl y perlc magi .tru, respectivamente, y donde i : J'l es la u idu it .8l(al ,4. Dos nmeros com-plejosa+biy.+r/ isonigualessi ,ysolosi ,a:cy:d.Sepuedenconsiderar losnmerosrealcscono subconjunto de los nmeros complejos con : 0. El nmero complejo 0 + 0 correspolde alnmero rcal 0.

.-

El ualor ahsoluto o ndulo de 4 + t se dene como la + bil: Ja'z+ '. El nimero a - sedene como conjugado complejo de d + bi. El complejo conjugado del complejo ? se suele denotarpor 2 o zr.

El conjunto de los complejos obedece las.eglas l-9 de la pgina 2 y, por tanto, constituye un cuer-po. Al hacer operaciones con complejos se puede operat como en el lgebra de los reales, remplazandoluego i2 por -1. No se denen desigaldades entre nmeros complejos.

Desde el punto de vista de una fundamentacin axiomtica de los nmeros complejos es convenien-te tratar un nimero complejo como un par ordenado (a, ) de nmeros reales 4 y sujtos a ciertasreglas de operacin que resultan equivalentes a lai ya mencionadas. Por ejemplo, se define(a, bl + k, d) = \a + c, b + ti), (a, bl(c, ) = (ac - bd, ad + bc\, r(a, bl = (ma, mb), etc. Se hallaluego que (a, ) : all,0) + (0, l)y se asocia esto con + . siendo ntonces el simbolo de (0, l).

FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO

Si se eligen ejes reales sobre dos rectas perpendiculares X'OX y Y'O Y (los ejes x y y) como en la Figu-ra 1-2 se pued entoncas situar cualquier punto del plaoo determinado por estas rectas mediante el parordenado de nmeros (x, y) o cooenadas ca esiaias del punto. En la Fig. 1-2 se indican ejemplos delocalizacin de puntos e esta forma en P; 0, R, S y I.

Fl. l-t F|3 l.l

Como u nmero complejo -r + i se puede considerar como un par ordenado (,l), se pueden

represe.tar esos nmeos como puntos del plano .r que se llamar entonces plano complejo o dagtutntde Aryand. EnlaFig. l -3 se t iene = pcos,y: psenddondep: Jx2 + 12 = l - r + a. l y{ . l la-mado amplitud o orgumento, es el ngulo que la recta OP forma con el eje positivo de las ,t OX Sesgue que

z = x + iv: p(cos + sen) t2)llamada forma polar del nmro complejo, donde p y d son las llamadas coordenodas polares, A verr;ses cmodo escribir cis c vcz dc cos + i sen .

cat rl NUMEROS

Si z = ' + iy' = p,(cos. + sen dr) y z!ia puede demostrar quc

ztzz = ptb{cos (+,+d.) + sen (+,+") ) (3)3 ' = &lcos(4, , ,) + sen(dr-:) ) ()22 o^'zn = {p(cosd + tsen)}. = p,(cos+ + sen n) (5)

rldo r un nmero real. La igualdad (5) es el teorctua le De Moivre. Puede emplearse para determinarhs raices de los nmeros complejos. Por ejemplo, si n es un entero positivo,

zv. = {p(c$ + + sen )}t/, ' (6)=,, ,^1"""( t+). , ,*" l t3*-) ] r - -0, , , r , r , . . . , , , - ,

' t \ 7 / \ n /)de doode se deduce que hay, en general, ,1 distintos valores para zrl'. Ms adelante (Cap. ll) s verque 4 = cos d + sen d siendo : 2,71828

-...

Esta es la llamada lrnula de Euler,

TNDUCCION MATEMATICA

Ef principio de hduccn matemtica s una importante propiedad de los enteros positivos. Esril sobe todo para demostrar enunciados en que intervienen enteros positivos cuando se sabe, por.jemplo, que los enunciados son vlidos para n = 1,2,3, pro se sospecha o crrera que son vlidospara todos los enteros positivos. El mtodo consiste en los siguientes pasos.

l. Verificar el nunciado para : I (o para otro etro positivo).

2. Suponer cierto el enunciado para = k sicndo & un entero positivo.3. A partir de la suposicin de 2 se demuestra que el nunciado es vlido para : & + l. Esta

es la parte de la dcmostracin que establece la induccin y puedc ser dificil y hasta im-posible.

4. Como el enunciado es cierto para = I lpor el primer paso] debc ser cierto [por el paso 3]plr^ h : | + | -

2 y, por tanto. para n = 2 + I : 3, etc., y entonces dcbe sr cierto paratodos los enteros positivos.

Problemas resueltosOPERACIONES CON NUMEROSl. Si r = 4, ! = 15, z : -3, p = i, q = -tr, y .= l, catcutar (a, t + (A + z), (b) (t + A) + z,

\c) p(ar), (d.) (ptr)l., (e) (p + q\.(a l r+la+z) = {+ [15+(-3)] = 4l '12 = 16() (r+l / )+z = (4+15)+(-3) = r9-3 = 16

El que (a) y () sar iguales ilustra la /J asociatia d? lo adicn.(c) p(qr) = ${(-*X?)} = (ix-ji) = (}X-) = -+ = -y'"td') tpdr = {(iX-)Xt) = (-X) = {-g)rf) = -$ = --.r-

El qc (c) y (d) scan guales ilustre la ll asocia.ila de la ultiplcac^.(e) ' (p+q\ = a( i -*) = 4(-) = 4(3) = f = 2

Olrr mr..r: alp+qr: tp+,q = (4Xi) + (4X-l) = i- = 8-t = 3= 2 apticandola lej distrihutitu.

7

-- **iy = pr(cos 4. + sn r)

7NUMEROS

Explicar por qu no son nrn".os fot o fatlO

[cAP.

a) Si se define a/ coo el nmaro (si existe) tal que x = a, entoncs 0/0 es el ero r tal que 0r = 0.Pero esto es cirto para lodos los nmeros x, y no habicndo un nmero x nico que represente a 0/0 no spuede considerar como nmero,

() Como en (a) si se dfine l/0 como el nmero r (si existe) tal que 0 = l, s concluye que tal nmero noextste,Por sto hay que considerar la divisin por cero como carente de sentido.

o2-R!A Cil i6^r.

F414. t -516 l -3)(-2t ! - ,Fff = ffi

= :-i siempre que el factor cancelado ( - 3) no sea nulo, + 3 Para

= 3 la fraccin dada no est defrnida.

NUMEROS RACIONALES E IRRACIONALES4. Demostnr que el cuadrado de un entcro impar es impar.

Todo impar tine la fora b1 + l. Como (Ztn + l)2 = 4rn2 + 4n + I supera en 1 al enteo par 4n2 +4n :2(2r'z + 2rr), es impar.

5, Demostrar que no hay nmero racional cuyo cuadrado sea 2.Sea y'/g un nmcro racional cuyo cuadrado sea 2 y tl que p/g es una fraccin in"ducible, oaea, qtte p y q

no tienen ms faclorcs comnes que ll (o se, que p y { son pmos etre si, como se dice).Entonces (p/4)': = 2, p' = 2q2 y p' cs pat. segln .l Problema 4, p es par porque si p fuera impar 2 sera

imp6. Asi, ptes, p = tn,Sustuycndo p = 2m c p'= 2C resutta q2 = 2m'. o sea, que 92 es par y g es par.De modo que p y q tienen cl factor comn 2 contra lo supuesto que no tenian ms factores comunes que :t l.

Esta contradiccio pcrmitc armar quc no hay nriero cional cuyo cuadrado sca 2.

6. Mostrar cmo se pueden enconttar nmeros racionales cuyos cuadrados se puedan aproximara 2 tanto como s quiea.

Limitndos a considerar solamente nrmeros racionales positivos, por ser (l)'z = 1y (21'.= 4, habr queescoger nmeros acionales entre I y 2, por ejcmplo, l , l , 1,2, 1,3, . . . , 1,9.

Como (1,4)'?: 1,96 y (1,5)'= 2,25. se considcran nlireros racionales entre 1,4 y ,.5 como 1,41, 1,42,. . . . 1.49.

Continuando asi s pueden obtener aproximaciones racionales ada vez mejores a 2; asi. por ejemplo,11,414213562)' es menor que 2 y 11,,414213563)'z es rflayor que 2.

7. Dada la ecuacin o'x + arf , - t +, .+ ar:0 con ao, 1, . . . , enteros y ao ya, 10. Mos-trar que si la ecuacin tiene una raiz 'acioal plq, entonces p divide a a" y g divide a ao.

Como p/q es raiz, sustituyndola en la cuacin y m.ltiplicando por C se tieneaop'+ atp"- tq + o, 'p" 'q '* . . * c,- 'pq'-r * a.q ' = @

o ben dividendo por /.op,- , _ drp,- ,q + . . . + d, ,s,- , _ _+4

Como el primer miernbro de (2) es entero, tambin ha de srlo el segundo riebro. Y como p y 4 son primosenlre si, p no divide a / y entonc.s debe dvidir a d,.

De manera semejante, pasndo al segndo miembro el primer trmino de (,/) y dividiendo por q, se puededemostrar que 4 tiene que dividir a ao.

E. Demostrar que .r/ 2 + J3 no puede ser racional.

' six:Jt + \J. cntonces .! '? : 5 + 2,JG, x'z - s : zuG y, elevando al cuadrado, xa - 10,r '?+ | =0.Las nicas raices racionales posibles de esta ecuacin son 1l s8n el Problma 7. pero stas no satisfacen laecuacin. De rnodo que

, + ,,/5, que si satisface la ecuacin, no puede ser racional.

l2)

-9. Demostrar quc cntre dos nmsi y son ,""roo"r"",

"oronTl T?t:"t*.

*] otro. mero 'acional'

* -

,-

a" racional y .st entrc y -Para dcostrarlo supringasc a < . Entorics, agregando a ambos miembros,2a < o 6u o.!!!.Anlogmentc, sumando s amtos micrhbros. a+ b< y1j! . . 2Asi, pucs, .!. o. ' 2

Par demostrr Cu" li ". racionat, sea, = l, U = ! "on p, q., r enrcros y q + 0, s + O.Enronces.f = l ( l . l ) = Ih:*gz\ _ p '+q

" . , . -z z\c a ,/ 2\,z ' qa ) - '-s es un nrimro raconal.DESIGUALDADES10. Para qu valores de es + 3(2 _ xr4_ x2

-y + 3(2 - ) 4 _ si + 6 _ 3 = 4 _ x, 6 _ 2x 4 _ x, 6 _ 4 2x _ , 2 > , cs dccir, S 2,lf. Para qu valores de es x2 _ 3x _ 2 < l0 _ 2x.lL dcsigualded sc vcifica si

x ' -gr_Z_rO+2eEsra rtima dsisuardd * *no* ,.i",,1"",j";;;:'.":,lrun"n",I'-a)("+3) < 0

Sil.rt;"Jtk;0.'d*-3.'qcsdecir'>4v0, es decir , x _3. Esro cs posiblc s i _3

IIJ

l0

14. Dmost.ar que

Sea

Entonces.

Restando.

111 1t - -8

s.=i+++*+

fs" = ++t+*s. =

-+ ,.!. o".

= para todo natural ' '

> I .I

1,1

s.- 1- t=S l r lata lodor.

NUMEROS [cAP. l

EXPONENTES! RAICES Y LOGARITMOS15. Calcular:

t " r S#=$=r '"=r '=*!- i()

(d)

= 1/5:a ' ru -" j 'u ' -

V2.6.r0- = lEf=r = 5 '10 s 0000u5

loe,,"(?) =e. Luego ($). = ? = t3)" = ( i ) 'o '=-3.

( log.)( logo) = l . . Sea log. . =r, los6d,=A suponendo a, > 0 y a, b +l .Entonces. a.=, bt=a y L=ra.Como (o ' ) '=a=t= se t iene 4"=ol osea.V = | e valor buscado

f6. Si M> 0, y'y'> 0 y a > 0, pero + l. demostrar Ou. fog; ff: lo&M- loC.N.Sealo&M-x, lo&

^r = y. L\ego = M, d : N y, por tari to,

=,"="4-" osaa toxf ,="-y=toc"M-toe"N

CONJUNTOS ENUMERABLFS

17. Dcmostrar que el conjunto de los nmeros mcionales entre 0 y I inclusive es eumerable.Escrbans lodas las fracciones de denominador 2, 3, . . . considerando solo una vez las fracciones equi-

valentes tales como *,l, *, . . . Entonccs sc puedc establecer una corespondencia biunivoca con los nmerosnaturales como siguc

Nmeros racionales o r * $ I t * * ...Nme,os naturares I g $ I g I t $ g

De modo que el conjunto dc los nrmeros racionales eDtrc 0 y I inclsive s eoumerablc y liene cardinal o(vas pgina 4).

18. Si .l y I son dos conjuntos cnumerables, demostrar que el conjunto formado por todos los ele-mentos de A o R (o de ambos) es tambin enumerable.

Como ,,1 cs enumerable hay una correspondcncia biunivoca entre sus elementos y los nmeros natrales,de modo que se pueden denotar los elemenlos de / como abaz,a!,,,.

Alogamente se pueden denotar los elementos de B como bt,b2,bt...C3o l: Supngase que los elementos de,,l son todos distintos d los de t. Entonces el conjnto da elenen-tos de ,{ o dc , es cnumerablc, puas se pueda estableccr na cospondcncia biunvoca como sigue:

AoB

Nmeros naturatcs I

Cso 2: Si alSunos cecntos de ,,1 y de I son los mismos, se les cuenta solamente una vcz como e el Proble-ma f7. Entonces el conjnto de elcmentos quc pertcrecen a A o a B (o mbos) as eumerablc.

a'b,a, 'b '0000023456

l l

El conjunao que consiste en todos los clcrncntos que penenecfi a / o a (o a ambos) sc tama dr.,fi de ,,ty y se denota po AV B o Nr A + B.

El conjunto quc consiste en todos los clemcntos quc Frtancccn a,{ y, sr llm intercccir]. da A y gy sc denota por A^B o por AB. Si A y , son cnumcrabLs, tmbin ,l , cr numcrablc.El coDjurito formado por todos los clecntd de ,l que |to cstn en , sc cscibe I

- ,, Si , as al coniunro

de cfcrDentos quc no estn en 8, tmbi puadc cscribise, -

B = AB.S| Ay Bson cnumarbles, rembin loesA-8,

19. Demostra quc el conjunto de todos los nmeros racionales positivos s clumeable.

Considrensc todos los racionls > l. A cld ntimaro rcional dc 3to6 sc puda asociat u, y solo un,n(mero racionf l/ del (0, l ), asto cs, h^y \nu conespondenclo nrt rc ctrc todos os acioalcs > I y todoslos acionales d.l (0, l). Como cst ltio s cnuDcbL, rc$!n ct problcma 17, sc deduc. quc cl conjunro d.todos los racioalcs > I cs cnumcrblc.

Dcl Problcma l8 se siguc cntocas qua cl cojuto dc todos los rnhncroo racionalcs positivo6 3 cnume-ble, pues .3t formddo por los dos coDjunt6 clumcabl6 da rcioalcs atrtr O y 1 !' dc los fnyorts o igua-les a l.

A Partir da aqi se puedc dltrostrar quc cl cojuto da todoa lo! rciotrlas c3 cturicaablc (ProbLba 59).

cAP. ll NUMEROS

2ll. Demostra que el conjunto de los reales de [0, l] no es enumerablc.Todo rEal de [0, 1] tieDc uD cxprcsin dccimal O,ar a, a3 . . . , dondc a, 2, . . . son cifras cualcsquicra

de las 0,1,2, . . . ,9.Se supoDe quc los orcroscuya cxpEsi c forma dccinal es 6rita, tal coo 0,?324, se ascribco.1324(fff. . .

y que lo mismo s'la 0,71239,9'. . .Si todo6 los Ealcs dc [0, l] fomaD conjunao erumarabb sa pucdcr poc cn corrcsondocia biunvoca

co los nlmcros turlcs a!l:I r't 0.4r , @'! @'. . . .2 e 0,a" aE rrr rr . , ,3 e odr r ! . . .

0, , ,6 . . .siendo r + rr, br{o"2,b1}a35, balaa,.. . y oo todo6 los s pn dc uDa cicrt posiciD !o! 9.

Estc nmcro, quc pcrtaocc & [0, l], cs difcGnte da todos los mcro6 cDumcrdo! y, por tanto, no rstcontado, lo cual cootradice l hiptFis dc quc todos los arimeros dc [Q l] 6tabs iocluidos cD la mrneracio.

En rtud dc csta conradiocir se dcducr quc 106 rcalcs dc [e l] no rc pucdcn froncr ca com5frodctrciabiDlvoca coo los rlmcoc aturLs, as decir, cl corjuDto dc los ltcros rral6 dc [0, t] .oo s eDumcrablc.

PUNTOS IIMITES, MYORANTES Y MINORAITES,TEOREMA DE BOLZAN(}WEIEN.STRASS21. (a) Demostra quc

l cotrjunto innnito de lumeros l, l, , , . . . es acotado. () Detefminarel etremo superior y el extrcmo inferior dcl conjurto, (c) Dcmostrar quc 0 es un putrto lthite delconjunto. (d) Es cerado cl conjunto? (e) Curo ilusta este cnjunto el teorama de Bolzao-Weierstrass ?(a) Como rodos los clccntos dcl cotrjunto son manocs quc 2 y nyo.cs qua

- I G,o cjcoplol al coDjunto

es cotado; 2 cs un !ayofante y -l un minofatc.

Se pueden hallr mcnorc meyoratcs G, por cjcrnplo) y meyorrr iio.tc6 (-|, por ejimplo).() Coro ningn clemcnto del cojunto ca yor quc I y como l cnos hy un clcmento (cl I ) myor que

I -

c para todo a poditivo, sc cna qu I cs el axtcDo supcrior dcl conjuuto.Coo niogn elamcnto del conjunto es menor que O y como l mcnos hay un cLmarto ncor quc

, 0 + c para todo c positivo (siampr! s puedc cscogpr psra csto el Dimco l/ con , cntcro posivo tDayorquc l/), sc ticre que 0 cs cl rxtrdo ifcrior dcl cojunto.

t1 NUMEROS lcAP. I

Sea un elemnto del conjunlo. como siemprc se puedc hallar n nero tal que 0 < l-tl < para todopositivo (por ejemplo, se puede tomar siempre para el nmero l/r, siendo / uo enteo mayor que 1/),se vc que 0 es un punto limite dcl conjunto. Es decir, que todo cntomo rcducido de 0 tiene siempre ele-mentos del conjunto por pequeo qe s lomc > 0.El cojunto no es cerrado puesto que el punto limite 0 no pertenee al conjuoto ddo.Como el conjunto es acotado e infinito deb lcner al menos un punto limfe, por l teorema de Bolzano-wcicrstrass. Puesto que ste es cl caso aqui, queda luslrado cl teorema,

lc ,

\d)tel

NUMEROS AI,GEBRAICOS Y TRASCENDENTES22. Demostrar qte l, +.,/3

",

un nmero algebraico.5." , =./1 +.r/5. entoncas t

-,R = XZ Ehvando al cubo ambos miembros y simplificando re-sulta 3 + 9)r

- 2 = 3J3G'. + l). Elavando entonces al cuadrado ambos miambros y simplifrcrdo se tienc

x6 -

9x'- 4x' + 27x2 + 3 - 23 = 0.Coo esta cs una ecuacin algcbraica de coecientes enteros se sigue q"" l/i. + J1, que es una solucin

de la misma. es un nmero algebrico.

23. Demostrar que el conjunto de los nmeros algebraicos es enumemble.Los nrueros algbraicos son solucionesde ecuacioDes algebraicasde la forma aof + ar/'t + ... + " = 0,

donde 0, , . , . , a" soo eitros.Sea P = laol + lr , l +.. .+ la, l + n. fara todo valor dado de Phay solo un nmero frnito de ecuacio-

ncs agbraices posibles y, por lanto, solo un nmero finilo de nmeros algebraicos posibles.Escribicndo todos los nrlrcros algcbaicos que corresponden a P : 1,2, 3,4, . . . evitando las rcpeticiones,

resulta que todos s pueder poner en correspondenci bilnlvoca con los nmeros naturales, siendo, por tarto,cnumerablcs.

NUMEROS COMPLETOS

U. Efertlar las operaciones indicadas.

{a) (4-2, + (-6+5i) = 4-2i- 6+5 = 4 0+( 2+5) i = -2+3i() (-?+3

- l2-4i) = -7+3i-2+4i = -9+' | i(c) (3-2i)(1+3i) = 3(1+3) - 2 i ( r+3t = 3 + 9- 2 i -6t

-

3+9i-2i+6 = 9+7i, , . -5-5 -5.r5i 4+3i f -5

' 5 i r {4+3' t -20 - 15i t 20i + l5r

"- ' 4=- = 4-3i '4+3i = 16-9- - - -16 +3--

, . i+r '+ i +f+t 'le, ----ll-

( / )13-4i l14r.3 ' l, . l1 I I l l -3 i l r .3 i l- ' l l+3; 1-3i l l l -9 l -Cil -

25. Si zr y z2 son dos complejos, demostrar qte lzrzrl: lzrllzrl.Sen z,

-

,+ ic, , 2" = r ,+iA,. Lucgofzaf = | ( r , + iy,)(r , + ivt | = l ' , ' . -s,u,+ l r ,a,+ ' ,a, t l

= ft n;- un,r + t;n* ',u,r -

. ,fAA +AEiEE+;r,= fie+ di\r,. !") = ,/4+7 \/AT = l, + iy,l 1,, + i/,1 = l",l Iz1.

l+ i l - i l - r r

-35+5i 5(-?+) -1 r .- % = 2 = T*5'

- vGF + F4f v14). + (BI

i+1 I l222

= (5)(5) = 25l -a i

l l = v(or+(- t f = E

i - l + (i:)(r) + ('r + (1!i

cat. rl NUMEROS l3

. Resolver3-2x-4=0.Las posibles raiccs r.cionares, rcgn l probrema 7, son +1, 12. 14. Ensayanso sc crrcumr qrc r = 26 ua ra. De modo quc l ccuacin dada sc pucde escribir (r - 2X_r, + 2.t + 2) = O. Les solucioncs de est@)acr da Wmdo grudo so|'

(b) - l+ i =Enlonccs.

arr+bl+c = o son r = --.b!! ! t-Adc. p,ra o,=1, b=2, c=z esto da , =-zr{14

= -2!={=1

_-2:h = _l i i .222El conjunto dc soluciones es 2.

- | + l.

- | - .

nonMA PToLAR DE If)S NUMEROS COMPLEJOS27. Expresar en forma pola (a) 3 + 3i, (b)

-L + .t4i, @ -t, (d\ _2 _ 2i.

nf.l-Amplitud = 45'

-

14 radiancs. Mduto p = Jj +V = 31. Entonces,3 + 3i : p(cos + sc d) = 3\nqos r/a + i sen'/4) = 3./i- cis A

-

3,tD e.,t,Amplitud = l2O" = 2n/3 radianes. Mdulo p =.JI+f , ({]l, = v/a :2. Enronccs,

- | + Ji i -

2(cos 243 + i *n 2n/31 = 2 cjs 2^13 : 2e2.t1.Ampfitud = 180' = r radiaes. Mdulo p =,14-T + e, = l. Entoncs,

- l = I (cos r + i sen ft) = cis z: ?r

la,

()

(c)

(d) Amptilud O = 2# = 4d3 radianes. v|Odtto p =1f 1-24 143y = 4. Enronces,-Z - 4 = tlcos 44/3 + *n 4r/31- 4 cis 4n/1

-

4e4.rt28. Calcular (a) (-l +

,6)'", (Ol (- t + i)t i3.() Por cl Problema 27() y el tcorcma de Dc Moivre.

(-1+\f5t. = lz(cos 2?/3 + i sen 2 g)lto = 2,o(cos2}"l3 + i s.n 20,/B)= 1024[c@ l2t/3 + 6r) + i se(2'l3+ 8t)) = 1024(c$2n13 + isenz,/g)= 1024(-l + lV'l = -orz + srV5r

Vt(cos135" +isnt36o) = Vt[cos(1s5. +&.s60o) + t sen (1g60 +.9600)l

(-1 + ;v, - hr4- [""" (Eftrtjjoq)* .*- /rs. + e.s6o.\-l

Los esultados frara * : o. 1.2 son " \ 3

'/l

i/E 1.o" as" + d scn45o),lt(cos 165' + i scn 1660),V2icos 285o + i sen 2850)

Los rsultados para k : 1.4,5,6,1, . .. son repelicions de losanteriorcs. Estas raiccs complcjas s eprsntao geomtricamenteen el plano mmplcjo por los puntos Pr, Pr, Pr del circlo dc la Fi-gra l-5. Ft r-!

l4

INDUCCION MATEMATICA

[cAP. I

29. Demostrar qte 12 +2t +32 +42 +" '+n2: |n(n+ l ) (2r+ l )Et enunciado es cierto para : l , pucs l ' = (lxl + lX2'1 + l) : ISupngase cieno para tt

-

t. Entonces'

Ir + 2' + g' + . . . + t = *(k + 1)(2t +1)sumardo ( + | )2 a ambos mrcmbros,

1, + s' + 3 + . . + r., + (i + 1), = ltl-..,iijilil i.l, :',;,;,ff.'i,,l,l

+ r) + k + rlque muestra que el enunciado es cleno para t = + l sies crto paran =k Pero como es cierto para t - l'se sigue que lo cs para n = l + l:2ypara = 2 + l = S, es decrr' quc es cirto para todo entero po_

3). Dmostrar que " - ) s divisible por - I para todo entero posilivo'EI enunciado es cierlo para / = l. pues xr - vr = x -

-y'Sup gasele cielo para; = *, es decir' supngas que '/ - I es disible por - )' Considrese.+t _ ux+t = *+' - tu + x"t-a"* '

= @-u, + rl* - ! '\El primer trmino de segundo miembro es divisibe por x - / y el s8undo trmino del sgundo miembro tam-bin lo es por suposicin.

Asi que -* 'r - f*r es divisible po - ,} r I - I lo es'goioi"".,

"o.o t' - yt es aitisitL por t 1y 5e sigue que r - ) s disible por x - /' que x3 - )'3

tambin s divisible Por - /, ctc

31. Demostrar la desiguatdad de Beoutli (l + f > I + nx para n : 2, 3, si x > - l' x I 0'El enunciado es cietto para n:2 p\es ( l + x) '1= I +2x + C > | +2x'Supngase el enunciado cierto pera n = k, es decir, que (l + r)k > I + 't't-luttiicanao ambos miernbros por I + (que cs positivo por ser > -1) s ene

(1+ ,* ' t (1+r)(1+tr) = L+lk+l t r+kt ' > 1+(rc+1),De modo que el enunciado es cierto para n = t + I si lo es pa t =

Pero como cl enuncrado es cierto pam r = 2, debe srlo tambin parr t = 2 + l:3' " y es entoncescierto para todo entero mayor o igual qe 2.

Ntesc que cl resultado no es ciirto para : 1. Pcro modifrcando cl eounciado a: (l + xf = I + txes c ier to para n = 1,2,3, , . .

PROBLEMAS VARIOS32. Demostrar que todo entero positivo P s puede expresar de manera nica en la fortp' P : aoT !

a tzn- t + a22- 2 + " + a,, siendo las d 0 o l .Dividiendo P por 2 sc tiene Pl2= a'?,-'+ ar2:-'z+ "'+ o^-r + aJ2'Entonces n es l resto, O o 1, obtenido al dividir P por 2 y es rnco.Sea Pr Ia parte entera de P/2. Entonces Pr : ao2'-t + at2'-t + " + a,-Dividiendo Pr por 2 se ve qu di r es el rcsto, 0 o 1, obtenido al dividir Pr por 2 y es nicoContinuando de sta manera se puedcn detcrmiar todas las como 0 o I y son nics'

33. Expresar el nmero 23 en Ia forma del Problema 32.La detrminacin de los coeficientes se puede disponer asi:

2T?!2)1r2152I!

0

NUMEROS

Reslo IReslo IRcsto IRcsto 0Reslo I

c.rP. ll NUMEROS

Los coccient.s son 101I l . Pneb; 23 = 1.2. +o.2t + l .2r +1.2+1.Ef nmro l0lll eprcsenta a 23.n el sislerna de mtnerocn binaa o de bose dos,

3{ Dedekind definia ura cortadura, seccin o particin et el canjunto de los nmeros racionales comouna sepaacin de todos los racionales en dos clases o conjuntos I, (clase de la izquierda) y R (clasede la derecha) coD las siguicntes propicdades:

I. Las clases no son vacas (es decir, hay al menos un nmero en cada clase).ll. Todo nmero racional est en uoa clase o en la otra.

III. Todo nmero de es mcnor oue todo nmero de ,R.Demostrar que:(a) No puede haber un nmero mximo en y uno minimo en R.

Puede suceder quc en haya un nmero mximo y que en -R no haya n{mero mnimo, Qu

tipo de rmero de6ne la cortadua en est caso?Puede ocurrir que en no haya un nmero mximo y que en iR haya u-n nrlmero mnimo.Qu tipo de nrnero define la cortadufa en este caso?Puede sucedcr que en no haya nmero mximo y que en R no hya nrimero mlnimo. Qutipo de nmero de6ne n este caso la cortadura?

Seaaclmximonmeroracionaldcyclmlninon lmeroacionaldeR.Entoces,obieno=obien a < .

No se puede tencr a : , porquc, por danicin de la cotadura, todo ncro de es mor que todonmero de R.

No puede scr tampoco < , pues, scg'n el Problca 9, *(a + ) cs un nme.o racional !layor qued (y entonces pertenece a q), pero menor que 0 etoncas pertenece a ), y, po definicin, un meroracion no puede cstar a h rvz a L ! ai R.Coo indicacin de Ia posibilidad, saa la clas que contiene l nmero i y todos los rcionales menoresque t, en tanto que R contienc todos los racionales mayors quc l. Et cste caso la cortadura dcfnc cl ra-cional !. Un azonamiento semejante cambindo I por cualquic otro lacional muesfta que cn cstc Aasola cortadura define un nmero racioDal.Como idicacin dc la posibilidad, se la clase que consiste m todos los racionales menorcs que J mien-tras quc lR contiene todos los racionals mayores o iguales que l. Esta cortadura definc tmbin el nmeroracional l. Un azonamiento semejante mustra que esta cortadufa sicrpre define uf mcro racional.Como indicacin de la posibilidad, sea la clas formade por todos los laciorales negativos y todos losracrorialcs positivos cuyos cuadrados son menores que 2, en taDto que R sea la clase dc todos los positivosde cuadrado mayor quc 2. S puedc mostrar que si es un nmcro culquiera de la clase hay siempreun nmero mayor en la clase , en tanto que si es un rero cualquicra de la clasa hay siemprc unnmero menor en la clase

-R (Problcma l0,). Una coladurs dc este tipo dene un nmcro irracional.De (), (c), (d) se sigue que tod cortadura en el conjunto de los nmeos racionales, llamada coa-

dura de Dedekind, define un ncro racional o u lrtimcro irracional. Emplando cofaduas de He-kind sc pueden defni operaciones {como adicin, multipliccin, etc.) con los nrlmeos iracionals.

l5

()

(c)

(d)

lb)

(c)

(d\

l6 NUMEROS

Problemas propestosOPERACIONES CON NUMEROS35. Dadosr=-8, a=Z,z=s,6=tr y =-| , calcular:

tat tzx-tsv+2r\62-z, t H4, {c) H+f , (d)Sol. (al2200, () 32, (c) -61141, (d) I

36. Hallar el conjunto dc valores dc par los cuaes son vidas las ccuaciodcs siguientes. Justi66r todos los pasosen cada caso.

[cAP. l

\a ' , a(r-21+3(2,-1)) + 2l2t+l l = 12(a+2)-2, , . I 1 1to, :; -

"_2 = Z

sot. la') 2, () 6,-1, (c) -1,1, (d) -+37. Demostrar quc

=--:=----= +

--

-*::---= + ;-

--L = 0 dando las condicrones si las hay.\2 - u^, - !) tt - y^y - 2) tt -.)\z- r)

NI'MENOS NACIONAIES E TIRACIONAI,ES

I+

((a

vb T (a(d

++

):)'U-

\c l | '+8r+1-t /Tl i i = r+t, t , L- '

- 9*''17=E+ 6

3&3!r,

Halla fraccioDes decimales para (.) +, @ J5. so. () 0,4185?1, (b) 2,23fi6'19...Mostrar quc una frccin de denominador 17 y de uuerador 1,2,3,...,16 tiene 16 cifras cn la palte que sercpitc e su rpesin decimal. Hay slgura rclcin entrc los rdcn6 dc las cifras en estas fracciones decimales?Deostra qu. ("1 .f,3, Ql j/f son nmcros iraciorales.Demostr que (.1 .t5

-

.{3, lbl J, + J1+ .,/5 son nmcros irrcionales.Dctermiuor ur mero acional positivo cuyo cuadmdo dicra dc 7 e.r menos de 0,000001.Dmostrr quc todo nmero racional sa puede xpsa como frcin decimal peridic.Hallar los valores de tales que(d) 2 ' r -6r ' -9r+18 = 0, () 3rr+4r-35r+8 = 0, \ct ,1-2b'+4 = 0.sot. (al s,-2,st2 (bl 8t3,-2!. ' / '6 () +(6!f i?), +(-5 a v-1?)

15. Si ''

oo cs cudrado perfecto, demo3trar q]J a+ bJm=c + dJn si, y solo si, a= c y b: d.f6. Dcmosrrar que 1+V5+y't - Lz'/E - 2'/4+ l4\/l - 7

- I -Vg+VE l l

DESIGUALDAI'ES

47. Halla el conjunto dc valores de x paaa los cuals se verifrc:

al i+ f r > s, () ( r+2) = 2a, G\ lx+zl < l ' -51, (d) ;h, #.So/. (o) 0 0, d.moslrar que '+r +

-t t

"'

* ] para z natural.Demostra que para todo a + 0, la + I/alz,Mostrar que cn la dcsigualdad dc Schwarz (Problema 13) la iguldd cs vlida si, y solo si, , = kbn p = 1,2,3,..- ,n, sicndo t une constantc,

4.41.1r-13.44

8.

4!r.$.51.52.53.

54. Si r, d2, a! so positivos, demostrar qu *lat + a1 + ai Z Jap2a".

c^P. rl NUMEROS l7

EXFOEi{TES. NAICES Y I.oGANTMOS

sr calcurar (d 4tq', lb) | logi (rh), ,", \iffi, (d) 3-rr{'5, kt l-[).1! - e27r,..Sol. (al 64, () 74, (c) 50.000, ldl l/25. (e) -71t44

5 Dcmostrar que () lo& //V = lo& M + lo& /Y, (bl lo8- M' -

r log. M dando posibl condicioacs.t. DcmostIar que ro." = dardo las restricciones si las hay.

C)NJUNTOS EI\ruMERAEI,ES5& (a) Demostrar que exista una correspondencia biunivoca entre los puntos dcl intervalo 0 S S I y los del

-5 S x S -3. () Cul es el nero cardinal de los conjuntos de (a)?Sol. lb\ C, el cardinal del conrinuo.

!9. (a) Dmostrr que el conjunto dc todos los nmeros racionals cs enumeble. () Cul as cl nrtmcro cardinaldl conjunto de (a)? Sor. () lto

0. Dcmosarar que el conjunto dc () os reales, () los irracionales, no es enrmerblc.61. La intercecci!,tt dc dor cojuntos ,.t y ,, denotada , n I o ,{4 cs al conjunto dc todos 1o3 clamctos qc Frtc-

nccen a / y ,. Deostrar que si ,l y , son enumcrablcs, tambio lo es su i[tcrsaccin.62. Demostrar que un conjunto cnuherable de conjuntos cnumcfablcs cs cuumcrablc,63. Demosrrar que el nero cardinsl del conjunto de puntos intcriofes d un cuedrsdo cs iSual al cardinl del con-

junto de puntos de (d) ur lado, (r) de los cuatro lados. () Cul es el cardinal en estc caso? (d) Es vlidoun resultado correspondiate para un cubo? Sol. lc) C

PUMOS LIII{TTE. MAYOTANTES Y MINORANTES TEOREMA DE BOLZANGWE|ENSTNASS.. Ddoel conjumo I, I,l,0,9, 1,01,0,99, 1,001,0,999,... (a) Es acotado? () Eiist o los cttloos suFior c

infcrior? En caso afrmativo, avcriguarlos. (c) Tienc cl conjunto puntos lmit6? Si 106 hay, dctcmiDlos.(d) Es ccrrado cl conjunto?Sol. (a) S, () extremo superior: l,l, extremo iriferior = 0,9, (c) l, (d) si

65. Dado el conjunto -0,9, 0,9, -0,99, 0,99, -0,99, 0,999 responder las preguntas dcl P.oblcma 64.So/. () S, () extremo superior = l, extremo inferior = -1, (.) l, -1, (d) No

66. Dar un ejemplo de un conjunto que (a) tiene 3 puntos limitc, () no tiene puntos lfmitc.?. (d) Demostrar que todo puto del intervalo 0 < < I as punto limit del mismo.

() Hay puntos limites qua no estn en el conjunto dc ()? Justicar la rcspucsts.68. Sca S cl conjunto dc los nmcros rcionales de (0, l) que ticncn dcnomiador , r = l,2, 3,. . . () Tiene S

puntos lmites? () Es S ccrrado?69. (a) Dar un jemplo dc un conjunto que tenga puntos limitas sin sr cotado. () Contrdicc csto .l tcorema de

Bolzro-Weierstrass? Explica.

NUMENOS AI,GEENAICI)6 Y TXASCENDENTES-/a _,/;70. Demosrrr que Gl

-ry, \b) \t , | {s r 1fi son nmeros algebraicos.v3+v271. Dcmostrar que el conjunto de los nmeros trasccndcntcs dc (0, l) no es enumcablc.7 Dcmostrar que todo nmco racional es algcbmico, pero que no do nrrnero irrscional cs acserimctc al-

gcbraico.

NUMEROS COMPLE.(N. FORMA FOLAR73. Haccr las operaciones indicadasr (o) 2(6-gi) - 3(-2+i) + 6(-g), () (s-2t ' , G) +

-

l0 , , , / !_r \ ' " , " , 12-i l ' , / r ( r +(2+3x4-2i)

' {+3i ' ' " 'u+i / ' ' - ' l6r7t l ' " ' ( l+zi) ' ( r -0sot. ld., r-ai, () -e-46, G) +-ii, (d) -t, () ?, 0) f-*t

l8

74

15.76.T'.

NUMEROS [cAP. I

7t.

7lr.

Si z y z, son nrneros coplcjos demosrrar () lil = ]4, Ol lzil = l,i dando agunas csrrccroncs.)z, t tz ' lDemostrar () 1, ,+z. l=Pl+Vl, () lz+zi+zr i = k, l+pr l+lz l , @ 1,, - z, i = l , , l - P^.Hallar todas las solucioncs d 21

- 3r

- ?-r'- 8i.t 6 = 0. so/. 3, 1, -l 1

Se,'n 2r y z2 reprcsntados por los puntos P, y Pr en el diagrama de Argand. Construir los segmentos OPr yOP2, partir del origcn O. Mostrar quc :r + : se puedc representar por cl punto Pr, sicndo OPr la diagonalde un pqralelogramo de lados OPt y OP, Esta es la llamada ga del parulelo{arno dc la adicin de nmeroscomplejos. Por esta y otas propiedsdes, {os nmeros coplejos se pueden considerar como ,ectores eD dos di-

Intepretar geotricamcnte las dcsigualdades del Problema 75.

Expresar en forna polar (al 3./4 + 3i, lb) -2 - 2i, lc\ | - J1i, () 5, () - 5'.So/. () 6 cis r/6 lb) zt/i eistula ld 2 cisSrl3 (d) 6 cis 0 f) 5 cis 3'l2

t0. Calcular () I2(cos25" + isen2so)l[5(cos1r0o + isntr0o)1, 1a ,r-={! l191-.sol () --6\E +6{t i , lb) -2i " '

. ' (3 cis aa")(z cis 620) '

tl. Determinar todas las raices indicadas y representarlas grficamerile:tc"t la\/, + a.\/r.., () (-1)'., (c) tl6-ir',", tdt i,^.

S/. (o) 2cisr5o, 2cists5o. 2cis25o() c i 36o, c is r08, c is l80o = -1, c is 2620, c is BZ4o(c) It cis tto., i? cis 2soo, iEcissso.(d) cis22,50, cisl12,60, cjs202,50, cis292,5

t2. Denostra. que -t +.r6i cs un nmcro algebraico.t3. Si z, = AcjsOty 22

-

p2 cis dr. demostrar (a)zr: ptprcis ( + rl ,(b)zJz2= lpt lpr l cis (Ot - OJlntcrprctar geomtricaf cnte.

INDUCION MATEMATICADeostrar:

84. r + 3 + 5 + . . . + (2r - r) = 'i111 1i4*tE*d7* + a;=ia;Tt = 3r

+ {c+d) . r (a+zr) + . . . + [a + ("-r)d] -

l Iza + (n-L)d)87,.+. j + r+.4+*;* *;6T+crr = d*+erq88. a

-

dr 1 or l L. s l - -L "-r

89. 1 + 2 + 35 + . . . + ?3 = In\n + lfq) . l (5) + 2(5F + 3(5)! + . . . + n(5)"- , =

s divrs ib le por r+Uparun = 1,2,3, . . . .(cos+?sen4) = cos9 + isenC, i .Se puede demosrrr esto siresun nmro cional?lr cosr + coszr r +cosn. = r . - f ' , !2 ' ,=4n,. . .

(+ = " + "Cd.-r + { ,a.- , b, + +.C"-,"-r + "

donde ,C, _ (- lX"-2) {n-r+l) _r# - .c.- . . Aqui es p ' ! : p\p- l r ' . 1 y o!

es por definicin 1. Esteesei l lamado teorema dd binorrrb. Los coficientes ,Co = l , ,Cr =o,^Cr=nln;,1),

E5.

6.

9t .

9J.

son los co.ficientes del binonio.,C, se escribe r".bt" (r.2 l

c^P. rl NUMEROS

}OALEMAS VARIOS!l. E (presar los enteros que siguen (en el sislema decimal) en el sistema que se indica: (a) E7 (birario), () 64 (ter-

9.

nario o d base tres). (c) 1736 (enrio o de bas nueve). Probar la respuesta.So (a) 10l0l l l , () 210!, () 2338Si un nfmero es lt|4 er el sistema dc bas 5, c5mo s expresa en el sistema de base (al2, (h) 82So/. (a) ll000l, () 6lDemostrar que todo nmero ftcio.nl plq entre 0 y I se puede expresar en la foma

p_ctt tdt t ,a, ,

i - T-donde las se pueden delerminar univocmente como 0 o I y el pocso puede acabar o no. l represntacin0,a, a2 . . . a^ . . . se llama entonces j/bm a bina a del nmero racional. lsugereia: Multiplicar ambos miem-bros sucesivamente por 2 y considrens los restos,]Expresar I en el sistea de bas () 2. () 3, (c) 8, (/) 10.So/. {) 0. l0 l0 l0 l . . . , (b l 0,2 o 0,2000.- . , (c) 0,5252.. . , ( / ) 0,666 . .Un nmero en sistema biario es ll,0l00l. Q nlimro es en sistema decimal? so 3,28125

En qu sistema de numeraci es 3 + 4: 12? So/. En bas 5En el sistema de base l2 hay que utilizar otros dos simbolos , y e ftara indicar las ((cifr$ diez y once rcspec-tivamente. Representar el enteo 5ll0 (sistma decimal) en base 12. Sol. 2eS IHallar un nmero cional tuyo desatrollo decimal es 1,636363 . . So l E/l lUn nmero en el sistema de base lO tiene sis cifras. Si se quita la ltima cifra y se coloca ants de la prime-ra, el nuvo nmero es un tercio del primero. Hallar este nmero. Sol. 428571Mostar que los nmeros racionales fora un cuepo.Utilizando como axiomas las relaciones l-9 de la pgia 2 demostrar que(a) (-3X0)=0, () (-2X+3)=-6, (c) (-2X-3) = 6.

(a) Si es n racional de cuadrado inferior a 2, moslrar que x + (2 - '1)/10 es un nmero mayor con igualpropiedd. () Si es un racional de cadrdo mayo que 2, hallar en funcin de x un nmero racional decuadrado mayor que 2.lluslrar cmo se usaran las cortaduras de Dedekind para dfinir

tol +fr, @, '/s-,/i, k) (.ra3x\aa, \d) \fu,/.

19

s.

100.t0l.102.

tm.104

105.t(b.

t07.

tm.

Captulo 2

Funciones, lmites y continuidadFUNCTONES

Funcin es una correspondencia entre dos conjuntos, que por ahora sern conjuntos de nme-ros rcaes. Si a cada valor que puede tomar una variable r corresponde uno o ms valores de una va-r iable se dice qlJe y es funcin de r y se escribe y = f(xl , y: C(,r), . . . . en donde las letrasl G, . . .simbolizari la funcin en tanto que /(), C(a) . . . denotan el ualor de la funcin en x : a.

Ef conjunto de valoes que puede tomar .\-se lla'ra dominio de defincn o simplemente dorrriode la funcin; se llama uarioble independiente y y varable dependiente.

Si a cada valor de del dominio de definicin corresponde un solo valor de , la funcin se diceuniforme; si a ciettos valores de .r correspond ms de un valor de

'l, la funcin se dice multiforme. Comouna funci multiforme se puede considerar como un conjunto de funciones uniformes, se supondrque las funciones sn uniformes si no se indica otra cosa.

EJ.dplo6: Siacada nmero n - l S = I s asocia un nmero) dado por 2, entonces Ia corrcs-

pondencia entre ,t y s2 define una funcin /que es uniforme.El dominio deles - l = = L EI valor de /en . t lo da ) = f (xJ : : ( ' . Por ejemplo,

fc l l = I - l ) ' = I es el valor de la funcin en . ! = - LA cada fecha I poslerior al ao 1800 se puede asocrar un valor P de la poblacin de los Es-tados Unidos. La correspondencia entre P y t dene una funcin uniforme F y se puede

SiJr'' : rconJ > 0, entonces a cada corresponden dos valores de I. Asique y es una fun-cin biforme de . Se la puede considerar como dos funciones uniformes/y I hacrcndo

f@:.G v g(.) : ".

Obsrvese que si bien a veces una funcin se de6ne mediante una frmula como en los EjemplosI y 3, no es preciso que asi sea, como se ve en el Ejemplo 2.

Por comodidad se suele hablar de la funcin/() e vez de la funcin / cuyo valor en,t esfr).Pero hay que teer en cuenta la distincin.

GRAFO DE UNA FUNCIONEl grafo de una funcin J,, : ,f(,x) es una representacin visible de la funcin y se puede obtener

situando en un sistema catesiano los puntos definidos por los pa.es de nmeros (,r,l), o sea, [x,lr)].

NJNCIONES ACOTADASSi existe una constante M talgluefk) < M para todo .r en un itervalo (o en otro conjurto de n-

meros), se dice quexJes acotada superiormente e al intervalo (o conjunto) y M se dice cota superorde la fuocin.

c^P.2l FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

TIPOS DE FUNCIONESl. Fucioms Dolimtcrs, que tienen la forma

2l

Si existe una constante rr tal que/() m para todo x sn un intervalo se dice quef(x) es acotadainferormente en el iotervalo y se dice que m es na cotq inleor.

Si t 5 /() 5 M en un intevalo s dice que/(x) cs acoladd. Se suele indicar que una funcin esacotada escribiendo l/{)l < P.

Ecqlc: t, lxl=3 + x es acotada n -15 S l. Una cota superior as 4 (o cuaquicr nmro ma-yor que 4), Una cota infcrior cs 2 (o cualquier nrlmero nor quc 2).

2. Ilt) = llx no cs acoda cn 0 < < 4, pues cligicndo .y suficicntamente cerca de cero./()se puede hacer tan grnde como sc dasac. dc odo que no hay cota superior. Sin cm-bargo, i fo cuaquier ncro inferior a l) es cota infcrior.

Si /() tiene cota superior, tiene e.\trcuo supe or: si tiene cota inferio, ticire extrcmo inleior.(Vase Capitulo I para estas deniciones.)

FUNCIONES MONOTONASSe dice que una funcin es rrroni lona cecie\te e\ un intervalo si para dos puntos cualesquiera.yr

y .r2 del intervalo tales que es -rr < rz, f@t) S /(-r). Sill,) (r2)es estrictamente decrccie|te.

FUNCIONES RBCIPROCAS. VALORES PRINCIPALESSi es funcin de dada pof), entonces es una funcin de y, denotada r = Jf-t0), que sc

llaa luncin recproca. ltercambiando r y / se tendra y : f-t(xl.Si/(r) es uniforme,./- '(r) puede no serlo, cn cuyo caso s la puede considerar como un conjunto

de funciones uniformes cada una de las cualcs se llama an. Es conveniente a vcces elegir uoa de estasmas, llamada ruma pncipal, y derotarla por f- | lxl. En tal caso. el valor de la funcin recproca esel flamado ualor principal.

F&[]h6: l funcin ] = sn .t lleYa a ), = san - I , que cs multilormc. plcs po cada dc - t = S Ihay muchos vaores dc ,. Restringiendo scn_ t a -/2 S san_t r S p. por cjcmplo, la fun-cin s convierte en uniformc. En este caso el valor principal de sen-t {-l)

-

-,r/6.

MAXIMOS Y MINIMOSSi

-to es un punto de un intervalo tal que/-) S./(o) [o bienflr) ] /(r)] para todo .] del inter-valo, entonces se dice que/(-r) tiene un miximo absoluto lo un mnimo absolulo] en el intervalo x : rode valor/(-ro). Si esto es cierto solament para en un entorno rcducido de xq con > 0 [es decir,para todo ,r tal que 0 . Ir - tol < ]. entonces se dice quel/(r) tine un m.rimo rclotiao lo ui mnimorelaliDo\ ei xo.

l (s) = qos" +orr"- t+. .+an-+a^donde 0, . . ., 4, son constantes y r es un ntero positivo llamado grado del polinomici si ao I 0,

El teorema fundamental del lgebra establece que toda ecuacin algebraica /lx) : 0 tieneal menos una raiz. De aqui se puede demostrar que si el grado es a la ecuacin tiene cxacta-mente., raices (cotando una de multiplicidad / po races).

(r)

22 [c^P.22. Fuciores slgebricq que son las =./1.!) que stisfacen t una ecuacin de la forma

rto(r) u ' + iJr( : tNy" ' t + . . + D" r( . r ) ! / 1 / , " ( ) = 0 @\donde 2o(.t). .... /),(-!) son polinomios en \.

Si la funcin se puede expresar cono cociente de dos polinomios. o sea' P(-x)/O() conP() y O(x) polinomios, se llam lin in t'o.iondl algchrrtut - cn olro caso se dice funcin i rohal alg(htti(e.

3. Funciones trascendentes' que son las funciones no algebraicas. es decir' que no satisfcena ecuacioDes de la forma (2)

Ntese la analogia con los nmeros reales, correspondiendo los polinomios a los enteros, las fun-ciones raconales a los nmeros racionales. clc.

FUNCIONES TRASCENDENTES ESPECIALESLas siguientes se suelen llamar lun(on?s lt scendetrs rlcnlules.l. Fncn exDoencil /1) = u'. u * 0. l. Propiedades en pgina l.

Funcin logrr inica: l1): log,x. r 10. L Esta funcin y la exponencial son recpro-cas. Si : c : 2,11828 . . .

. llamada r.r? rdt ural dt logaritntos, se escribe l(.\) : log; : ln ,

que es ef ,logr, rrr ndho'al de .t. Propiedades en pgina 3.

Funciores trgonomtrics:sen x I I cos .\'

sen.\. cos.r. tq \ - :-=- ' cosec - ' sec.\ : ' col . \ - -' cos \ sen x cos.\ lq

-\ sen -\La variable.r se cxpresa general;ente en radianes (7t radianes : l80". Para valores reales

de r. sen -\ y cos r estn entre I y I inclusive,

He aqui algunas propiedades de ests funciones:sen2.r+ cos2 : I I + tg2-t : sec2

-r- I + cotz.r :cosec2rsen (x t / ) : sencos/ t cos.Ysen/cos ( t / ) : coscos_t + senrsen/

-

tsx + tP vt8 { . r i ) , ) : : . | + ( ts.( LtsJ4. Fncioes trigonomtrcas reciprocs.

recprocas y sus valores principales:

() ,

: sen-' x, (-nl2 f y ! nl2)() Y: qe5- ' ' (0S/5)(c)

_r, : tg-' x, (-xl2 < I < nl2)

He aqui una lista de las funciones trigonomiricas

5. Funciones hiperMlics, que se definen como sigue por funciones exponenciales:

FUNCIONFS, LIMITES Y CONTINUIDAI)

3.

sen l - r i l : -sen,\cos (-. \) : cos.ttg (--r) : - tg.x

(y ' ) l : cosec r : sen l lx , ( -n l2 < y < nl2l() ) : sec- ' -x: cos- l / . r . (0 S y 5 )( f l y = cot- 'x : t t l2- tgrr , (0

c^P- 2l FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD 23

senh (x 1 .y) : srh cosh / i cosh ')r senh ,)cosh (x + ),) : cosh x cosh I :t se[h serih ]

tsh.x + teh vrsh (x t y) : it tc,-hliht

6. Fucoos hfperblicss recprocas. Si : sen ,, / = sen - I x es la funcin rcclprcca del senohpelco de x. Se dan en seguida los valores principales de las funciones hiftrblicas recipro-cas expresados por logaritmos naturales, junto con el dominio en que so reales.

(4) senr- l r = ln (c * /o" + r , toao o (d)cosech-r '= t . (1 nf , , ia) , , tov tt ,./

(b) cosh-,c = ln( | 1/xr-1), x?l (e) sech- ' . r = t r , ( t * y ' r t

- t ' ) , 0 < r I 1' ' \ t / '

(c) tghrr=/.

-r- r\f) coth- 'r = +r '(H), I ' t > r

snh (-r) : -senh cosh (-"Y) = cosh tgh (-x) = -tgh r

I ln(ff | , l r l < r

IIMITES DE FTJNCTONESSea/(x) una funcin uniforme defioida para todos los valores de t en torno a t : o con la posi-

ble excepcin de x : xo lo sea, en un entorno reducido de o). Se dice que el nmero , es el ttlfe de/(x) cuando x tende z xo,lo que se escribe lirn /() : I si para todo nmero positivo (por pequeoquc sea) se puede hallar un nmero positivo fif,or lo general dependite de ) tal que l/(x) - /l < e,simpreque0 o o a < .fo, respctlvamente.

Se tiene'lim "f() = / si, y solo si, lim f(x): lim f(x): l.

FUNCIONES, LIMITES Y COI{TINUIDAD lcAP. 2

TEOREMAS SOBRE LIMITES

Si l im l(r) = A y im 9() = B, es/ \

l im(/(r) + e() ) = l im/(r) + l im s(x\ = A+B/\

l im(/(c)-e(r)) = l im /(r) - l im s(o) = A-B+ 'o \

a. r im(l(c)g(r l ) = ( r i . l1" l ) (r i -s(e)) = a. - ro \ / \ r - rd / , \ +o /

l .

. rim {4 = l:141,-.. g\rl lrm g(rl

1

_B si 8*0

Resultados parecidos valen para lmites a la deecha y a la izquiefda.

ININITOSA vces ocure que cuando x

-

xo, /(x) crece o disminuye sin limite. En tal caso cs costumbre s-cribir lim /(x): +@ o lim f(r) = -rn, respectivamente. Los Embolos +co (escrito tambin co)y -@ se leen ms infinito (o ininitol y menos inaito, rcspectivamentc; pero advilase bien que nosotr nmeros,

En lenguaje riguroso se dice que lim lx) = o si para cda nmero positivo M se pucde hallarun nmero positivo tq:e cn general Jfinde de r') tal que /(x) > M simpre que0 < l - ol

CAP- 2] FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

l. Exislencia de lim /(-r) = /.2. Existencia de /Ixo), es decir, /.v) debe estar definida en : 0.3. t : f (x o).

De manera equivalente, si jr() es continua en Jo se pude expresar es(e hecho en la formalirn /(x) = /(lim" .r).

( t1 ."

EjedpD: L Si /tr) = i;, ' l , I i entonces, por el eemplo de Ia gina 23. l im /lxl: 4.P.rof(2\ = 0.t-uego linl lr) +/(2) y la fincin no es continua en : 2

2. Si /() = I para todo -y, entonc.js lim /(.\)

-f2) = 4 y /() es conrinua en.r = 2.Los puntos en que /(.r) deja de ser continua se llaman discontinuidades de r) y se dice que r)

6 discontinua en csos puntos.Al construir el grafo de una funcin continua el lpiz no se levanta del papI, mientras que para

una funcin discontinua esto no lcurre, pues hay en general un salto en la discontinuidad; desde luegocsto no es ms que una propiedad caactcrstica, peo no una definicin de la continuidad o de ladiscontinuidad.

Adems de Ia anterior definicin d continuidad sc pud decir que /(x) es continua en = .rosi para todo e > 0 se puede hallar un > 0 tal que lf(x) - J$o\l < e si lx - xol < . Niesc queesto no es rns quc la deicin de lrnite con / = o) y quitado la resriccin + xo.

CONTINUIDAD A LA DERDCHA Y A LA TZQUIERDASi /() esti denida solamente para = -ro, la definicin anteior no es aplicable. En tal cso se

dice que /(-y) es continuq (a la derechal en : -ro si ,l** {xl = f(xd, esto es, si fro+) = /(xo).

Anlogamnte, /() es conrin a (a la zquierdal en x : -tqsi,h /(x): /(xo), es decir, sifo-):no). Puden darse definiciones empleando e y .

CONTINUIDAD EN UN INTERVALOSe dice que una funcin /(r) es contnua en un intewalo si es cotinua en todo punto del intervalo.

En particlar, si fr) est deida en cl intevalo cerrado a j x ! b o fa, bl, f(xJ es continua en elintervalo si, y solo si, l im" /(-r) : lx) para a < re < ,,[t. ,ft"l : f(oly,\yf( '):f(b).

TEOXEMAS SOBRE CONTII\IUIDAD

Tcocma 1. Si /() y g() son continuas en x : xo, tambin lo son las funciones /(,r) + g('r),l ( t \

/(.r) - g(-y),fx)g(.y) y *'en este ltimo caso si g(,x) I 0. Resultados semejates son vidos paratr-\,la continuidad en un intervalo.

Tcorema 2. Son continuas en todo intervalo frnito: (a) los polinomios; () st x y cos -t;(c)o ' ,a>0.

Teom 3. Si, = /() es continua en .r : toysiz = g(J.')es continua en y = yoysiyo:fftl 'ntonces la fucin z = g[/(x[, Ilamada funcin de funcin * funcirt compuesta' es continua nx

-

0. Dicho brevemente: una funcin conlinua de una funcin continua es conlinw

?t

26 FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUDAD

Teorem 4. Si lr') es continua en un inlervalo cerrado. es acotada en el intervalo.Teoem 5. Si l"r.) es continua en .\ = o y./1ro) > 0 [o bien fl.r'o) < 0]. existe un intervalo

al que pertenece -r = -\-o en el cual ./(I) > 0 [o bien ,l'(.t] < 0].

Teoem 6. Si una funcin lri) es continua en uD intevalo y es montona estrictamente cre-ciente o estrictamnte decreciente. la funcin reciproca /-r(.r) es uniforme, continua y estrictamenlecreciente o estrictaente decreciente.

Teorem 7. Si /(n) es continua en [a, ] y si.f(a) : A y .^bl : B. ehtonces a todo nmero Centre.,l y , corresponde un nmero al menos r de [4, ] tal que lr : C. Este cs el llamado teorcnudel alot intermedio.

Tcorem 8. Si /(,\ ) es continua en la, bl y si Jla) y l() tienen signos opuestos, hay al menos unnmero c parael cual /(c) = 0 con d < c < . Esto se relaciona con el Teo.ema 7.

TeoreD 9. Si l.r) es continua eo un irtervalo cerrado. /(,r) tiene un mximo M para un valoral menos de .y en el intervalo y un minimo ,n para un valor al menos de -en el iritervalo. Adems,f.r) toma todos los valores enlre m y M pam uno o ms valores de,\: en el intervalo.

ToeD 10. Si /() es contiriua en un intervalo ccrrado y si M y m son, respectivamente, el exre-mo superior y el extremo inferior de /(,r ), existe al menos un valor de ,r en el intervalo para el cualflxl: M o,/() : . Este teorema se relaciona con el Teorema 9.

FUNCIONF^S CASICONTINU ASSe dice que una funcin es casicontinua o contakua a lro.os en un intcrvalo a f .r ! b si el iter-

valo se puede subdividir en un nmero 6nito de intervalos en cada uno de los cuales la funcin es con-tinua y tiene lmites finitos a la derecha y a la izquierda. Una funcin semejante lieDe solamente un n-mero finito de discontinuidades. Un ejemplo de funcin casi continua en S .y = se ve grficamnteen la Fig. 2-1. Esta funcin tiene discontinuidades en.\,

-r2,.\! y.\.

[cAP.2

Fi8.2-r

CONTINUIDAD UNFORMESea ,f(') cotinua en un intervalo. Entonces, por denicin, en cada punto o del intervalo y para

todo c > 0, se puede hallar un d > 0 (que en general depende tanto de como del punto particular -ro)

tal que l/(,t) -/(o)l < e si I,r - ,tol 0 se puede en-contrar un > 0 tal que lf*,)- /()l < r para l-t, - rl

c P. 2l FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

Problems resleltoo

/(-l ) no csi denido porquc ) lo esr solamntc pdrs 2 S r = E.El conjunto de los r lles que 2 S .r = E.

^l -2t l= l l t -2t l- 2l{E - ( l - 24} = -( l + 2,117 +2tl do& r 6 i l quc 2S | -2rS 8, ei

d@ir, -7t2S,S - t12.(dt IQt=Q - 2Xr- 3)- 5, lAtQ)) = f(5) = (5 - 2X8 - 5)=e.

I$l = 9 d. modo quc ./[/(5)] : /(9) no esr dcfinido.(e) La tbla sigui.ntc da /() Fm vrio6 valorcs d. .y.

284561A2,5?,6

(tl 05898602.752.75

Stu los puntos (2,0), (!, 5), (4, t). (5,9), (6, t). (?, 5).(8, 01, 12,5, 2,7 s\ (7,5, 2,? 5r.

Esto3 purtoc son solacntc uno6 pocoo dc lo3 irfnitospuntG d.l grafo que se rru6tr! cn l djunr Fifur 2-2.Elc corjunto dc Fnlos dcftrc una curva quc cs psrtc dc un

27

DTJNCIONLSf. Si /(.r) = (-r - 2XE - .r) Frra 2 J .t I E. {c) Hallar f(61y f(-ll. () Cut es el dominio de de-

tnicin de /()? (c) Hallar (l - 2tl y dar el dominio de definicin. ktl Hana filgl'J, !I!gll.(e) Grafo de /().(r,)

"fl6) = (6 - 2X8 - ) - 4 . 2 : I(b)(c)

L Seag(x):(r-2[8--r)para2

28 FUNCIONES. LMITES Y ( 'ONTIN UIDA) l ( 'AP.2

>0, () / ( r ) : [ . r ] : mayo en-

4, En relerencia con el Problema l. (r) construir e grafo de l- ' ( . \1. (bl hl ldr una expresin para-rJ.r y mostrar que /-r( . ) no es uni lbrmc.kr) EI grafo de.r , -" / ( r ) o : / ' r l . r , ) rc \e ( 'n l Fig. 2- : dcl

Problema l (1. Para obtener el 8fl i ) de r '= / ' { r )no hr}-ms que in lcrcrmbirr los ejes.r y . Sc obl icnc el gral i ) qucse ve en la Fig.2{ luego de orienlar los ejes dc I mrncrahabi tual .

{) Se r iene.r ,= l . r - l ) (8 - r ) o r : - tor + 16 + } , :0.Por la frmula

r.- l - . t ! r \ - l0 i v/ i00 -(16+v)

= s -

t /s- y,

LLrego, y = - '1r = U =\ ,5-,

En el gr(o. ,4P represnt f = 5+ v '9 - - r . EP representa , :5- r '9 - . r . Asi . para cada valorde .y en 0 S .r S 9. /_'i.{, e\ biforme. Eslo se ve grficamcnte en que toda reiita paralela a la izquierd deP y a la deecha de ,48 corra el grafo en dos puntos.

Las funciones S + . , .6- r y S -

. ' l I represcntan las dos,r, , \ del r l \ ) . E punto en que se

encuentrn fas dos raras (o en e cual ienen el mismo valor) sele lla\atse pnto nlrt2l" aqui en (9.5).

5. (.r) Demostrar que g{}: 5 +,6 - r es estnctamente decreciente en 0 5.\ S 9. () {,Es mo-ntona decreciente en este intervalol k)i,Posee g(.x) una reciproca uniforme i(1) g{. \ ) es esrr ictamente decrecinte s i g( . r )>.q{.y: j prra . , r r < r . Si r , < r , luego 9 - r , > 9 - . t .

$: ',,

Jg '--t,. 5 * Jt --i > ; + .,/s - ., to que nuestra quef(.r)es estricramenle decreciene.l) Si. pues una funcin estnckmenE decrecienle es lambin montona decrecienle. porque si g l.r r ) > gf \, ) tam -

bin g(.rr) gl . \ r ) . Pero s i 8{ . r ) es monloa decrecient. no es necesar iamenc estr ictmente decrecienlc.k) Si , :5+VEx es.y S =,6- i o. cr"vando al cuadrado. J = -16+ l0r ' -1 = l - 2)(8 - . ) , )

y r es funcin unifome de ),. es decir. la funcin recproca es uniformeEn general. tod funcin estfictament decreciente {crecienle) tienc uD, eciproca uniformc {\rasc Teo-

rema 6. pgina 26).Los resultados dc este problema se pucden interpretar grncamenle con la figura del Problema 4.

6. Construir grafos de las funciones (a) /()tero = .'r.

f sen 1/,=lo,

f) El Srafo se ve en Ia Fig. 2-5. Como . sen I / . r = I . r i e grafo cst enlre r '= . \ y r ' : - i . Obsrvese qe/(r) = 0 s i scn f / =0o l , i . r = nn. t : l .2.3.4. . . . .cstoes.para \= l l t r . l l2r . l /3n. . . . La curvaoscil indefinidamenle entre .\ = l/r y .\ = 0.

El srnl i ) cst i i cD la Fig.2,6. Si r S . \ < 2. es [ r ] : l . Asi qu,r f t .8 l -

I . tv/21 : l . [ t .eeeee] = t . pero[2]

-

]. Anrikrgamentc plrir I S .\ < 3. lr'l = l. crc. Hry. pucs. r.r//r en las abrcrsrs enrcra\: cs unrl i ncin dc lrr l lxmldl ' rr ,r ,1//!r.

Fis.2-A

( )

cAP. 2)

Fts.l.?

S / = l(. + -.),v-ly,=. Lucgo r =

.

Co-" Y - y'Y-:-i

Toando el signo +Ji' - l). s"

"lg" .t I

FUNCIONES. LTMITES Y CONTNUTDAD 29Z (aJ Coostruir,el gnfo de /(x): tg.r. (b) Construir el grafo de tg-t.r. (.) Mostrar gcamen-

a pr qu tg-t x cs funcin multforme. (d) Indicar valores principales posbles de tg-l _r. la, Es-@Eiro uno d tales valo.es principales, calcular tg-r(-l).l) El grafo de ) = t8 se ve en la Figur 2-7.

l) Si=/() -

tg.y, entonccs.r : /-0) = tg-t ) , . El grafo d. /- ' ( .r) = tg-I.r se obricne cnronc.s per-mutando los ejes y / en cl grafo de (). El rsultado, con los ejcs oricntados en Ia mariera habitual, sc veen la Figura 2-8.

(c) En la Fig. 2-8 dc () toda recta paralela a / corta al grafo en infinilos plntos. Asl qre tg_ es unafuncin ultiformc dc infiitas ramas.

{d} Para definir tt_ t r como funci uniforme sc ve por el gralo quc ello solo puede hacers rcstringicndo suvalor a uo dc los intcrvalos:

-nl2 < tg ' x < ft/2, r/2 < tg-' r,. < 3rl2. ctc. Se coovendr cJl tomarl primcro para dcfini cl valor principal.

Ntesa quc cn cualqrrica de cstas rams. tg-r cs cstricbcntc caccicnte con rcciproca uniforme,lc) t8- ' ( - l )=- t r l4csclrnicov lorentre-nnyr!.osca,quccsclvalorpr incipslscgnloconvanido

en ().

, f i t tI Mostrar que /() = !];-:, + -1, es una funcin irracional algebraica.t+ |

/ \ ' |S ), = v' - . ' es ("r + lD - t =.4 o, clevando al cuadrdo, ( + l)ry, - 2( + l)v r I - = 0.' x+ I

una ecuacin alScbraica rn / cuyos coeficientes sor polinoios en . Asi, pues. f.r) es funcin algcbaaca, sibien no es cl coeicntc dc dos polinomios, por lo quc cs una funcin irracional algebraica.

t Si.f(-y) = cosh x = |1e' + e-', demostrar que se puede elegir como valor principal de la funcinreciproca cosh- = ln ( + Jx'z- l) , ' I .

L -

zae'+ L = 0,ln y t y'/: t.

I'lt 2-E

Enloncas. mcdianlc l frmul, e' = 2v ^ /?Fri

= lv - {=l(Y + vf -r ) = ---L, sc pede tambin c\crbrr\y + { t f - r / t * , ly ' - r

= ln (y + V7:-i) o cosh-t , = + tn (y + y'yt:-i)pare dcnir el valor principa y rcmplazdo / por s tiene cosh_' .r = In {.\ +para que la funcin recproca sc rcal.

IIMTTES(a2 a ;9

10. Si () /() = f, (b) /(r) = .{i ' * ' :,demosrra que lim /() = 4.lu, r=z{a) Hay qc mostra qrc ado on e > 0 cualquicr sc pucde hallar tn > 0 (qu n gencral dcpende dc t tl

que l r : - 4 l

30 lcAP. 2

El jasc rS I dc rnodo quc 0< [- 2l < I o I o tat que l41i-!+4+-q - (-8)l < .

si 0 < I.t - ll < . como + I sc puede ","r;6.

?31:-9d{f1l-! -

(2t * 4'r:g'-- 3X' - 1)

-

z]rt - 4xt -

3- 3 suprimierdo cl factor comttn - I + O.Hay que dcmostrar etonces que para todo a > 0 s pedc hallar, > 0talque l2_t3 -4t - 3 + 5l

cAP. 2l FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

t14. Calcular l im ;-. i=r-;:.

' - + L+e " '

Af tender +0+ paece qtrc llJr cracc indefinidamente, el'crece indcnidamente. -tl' tinde a| + ?-l- ti.nde a l; dc odo que el limile pedido es 2.

P^ra detostar esta conjetura hay quc moslrar que dado > 0 s puede hallar un , > 0 tal que

l * i - -z l . . s i o

!2

It.

FUNCIONES, LIMITES Y CONNNUIDAD lcAP. 2

Eotooces, segtir la desigualdad 2, gina 3,l,-! l = - l ( )+ 1,)-Ll = l,- . f (u)L + l l ( ) - r , l < . /2 + 42 = e

es decir, lr - /21 es menor que cualquier nmero positivo c (por pequeo que seafy as, pues, db ser cero. Con

Si ,lim" g(x) = t + 0, demostar que existe > 0 tal que

Jg() l > Lal Para 0 < l , ' - ro l 0 tel que lg(") - l < {lal para 0< lx-xol +181.

Dadoslim /(c) = d y l im g(c) = B, demostrar que (o,) l im r(r) +C(r)l = A+A,(b)- l iml(r)s(c) =AB, (c l im+=| s i a*0, (d l im-@ -- ! s i B, to.' '

. - , ,g\et . - ,o g\x)() Hay quc mostrar que paa culquicr G > 0 se puede hallar > 0 tal qle

l l l l " \ + s l r ) ) - (+B)l 0 y J, > 0 talcs quc

V@\-A) 0 tal que

le(') - al < at st 0 < l r - ro l < 6,

c^P. 2l FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

Por cl Problema lE, como ,lim. c/).l = B + 0 se pude averiguar un 2 > 0 lal que

lc(r) l > * l8 l s i 0 0 cualquiera existe uD > 0 (que dcpendc de G) tal qu. l/(,t) -/(2)l =

lr'?- +l < e si lx - 2l < . t dcmostaci sigc cl .6qucm ddo cn cl Problerna 10.

34 [cAP.2( r senll. a 7' 022. () Demostrar que l ( r ) = i ; . - ' ' - ' l_ i no es conr inua en.\ :0. () Se puede denir

de otra manera l0 para que /(.r') sea continua en -\ : 0?k, Por el Problema 13. lim /(.r) = 0. Pc.o este limite no es igual afo) = 5. de rodo que.l(,\) es discon-

l inua en :\ ' : 0. ' -o() Definiendo.\)de modo que /(0) =0, la funcin se vuelve continua. Po ser la funcin tal que se la pue-

d hacer continua en un punlo simpleente definindola adecuadamenle en es punto, se diceque el punloas ufla dscontnuidad attahle.

,4r _ A$ r_ U2 +g23. La funcin t@) = ? es conrinua en l?/( I ) no exisle, de modo que lr(-\-) no es continua en = 1. Denindola /(.r) de modo que /(l ) = lifn /.!)

= -8 (Problema ll). se hace conrinua cn

-r = I, es decir, = I cs una discontinuidad evitable.

24. Demostra que si Jf() y g(x) son continuas en : o, tambin lo son (a) /(.r) + g(.\),f l rr(b) lql slxl . (c) r-=: si t lx"t + 0.c(.rJ

Estos resuhados se sigucn inmdiatament d. as demostaciones dadas en el Problema 19 tomando ,{ ="/Cto) y , = B(xo) y escribiendo 0 < l.r - xol < en la forma lx - xl 0existe un > otalquc f() -/(o)l = 1.. -

""1 < esi l.r - rl < d.

Tomando = se tiene csic 6ultado.

Demostrar que /() = 23 + es continua efi todo punto r = xo.Como.yescont inuaeotodopunro=o(Problema25)tambinlosonx.=r2,12.x:_rr ,2ry,

por ltimo. 2-\ + aplicando cl tco.cma (Problema 24) que dice que sumas y productos de funciones con-linuas son funciones continuas.

Demostrar que fr) = f - 5 p"ru 5 g x j 9, /(-r) es continua n este intevalo.Si xo es un punto cualquiera ralque5 0, l ( ) == = o. s i t

crr. 2l FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD 35

( '-:8, as

b, l ' l=1 EL g, .=O

Coo cn (/), /(x) es cotinua para -y < 0. Entonces, como

. ' j f -=ld =,1xr-af =,r im-2 = 2 = t(olse sige quc /Qr) es continua (a la izquierda) en = 0.

De modo que./() cs continu par todo = 0, eto as, en todo p nto de su dominio dc dcfinicin.

x) = soscc = -1. So. Parr todo ercepro O! tn. t2r, 13r,...scn -x

-/() = cosec x, l(O): l. Como lim .( cosc x = lim =l.. = t =,ft6l sc ve que /(.x) cs con-rinua p6m todo x xcepto f, t2r, ri":"... -.**r'".1"tilfi

OONTNUTDAI' UNIFORMElL Demostar quc /(r) = ' es uniformemente continua en 0 < x < l.

Mt{odo I, utiliztdo l dcfidn.Hay que demostmr que dado cualquer c > 0 sc Fcdc hllar un > otal que lx, -.t!l < esi l.t - xl < ,

lode rolo de[Ende de a y na de to con 0 < o < LSi y o son puntos cualesquiera de 0 < < I,

l.-il = lr+ xollx- al < 11+11 lr-r.l = zlx-qlAsque-si lr - x6l < sc siguequc lxt - l < 2. Eligicro-, = rp, se vcque lxz - rel

JO

PROBLEMAS VARIOS

FUNCIONES. LIMITES Y CONTNUIDAD [cAP. 2

31. Si), : /() es continua en : i (o y z: Cl) es continua enl = lo sicndo yo = /(,x6). demos-trar que z = g{/()} es continua cn = o.

Sea () = grlx)]. Como por hiptcsis /(x) y 90,) sori continuas en ro y lo, resfrectivamente. se tiene

lim r(y) = r(ln y) = o1n, = slflx"llLucgo

lo que demucstra que A(.r) = gy(x)) es continua en .n -

o.

32. Demostar el Teorema 8, pgina 26.Supongasc que /() < 0 y

"/() > 0. Como/() s contiua, cntonces dbe habr un intervalo (, l + ,,).l > 0 para el cual /(.r) < 0. El conjunto de puntos (d, a + ,) ticc un mayoranle y. por tanto, un extrmo su-p,erior c. Entonces,c) S 0. Pero no sc pucde tenerc) < 0, porque si /(r) fuera negativa se podria hallar uninlervalo en tonb a c (en el cual habia valores mayores quc a) para cl cual/() < 0; pcro como c es el extre-mo superior, esto es iposible. y asi, pues, debe ser /(c) = 0.

Si /() > 0 y /() < 0 s pucdc .mple!r un rszonamieno similar.

33. (a) Dada flxl: 2x' - 3x2 + 7x - 10, calcular f(ll y (2\. () Dmostrar Quc /(-x) = Q palgn nmero real .r tal que | < x < 2. (c) Mostrar cmo sc puede calcular el valor de en ().

rim r() = ri c(l(')l = ,{tt* fOl} = sll,r')l = h(xr\

tat f I tJ = 2(l l ' - l ( l ) : + 7rl) - l0 = -4. fl2J = 2(2f - 3(2)': + 7(2) - l0 -

E.tbl

(c)

Si^) cs coniinua en d t x t b y si I@l y flb) tienen sigos opueslos, hay entonces un valor de.r entred y tal quc /() = 0 (Problcma 32).

Para aplicar este teorema bast vcr que el polinomio dado cs continuo cn I 5 = 2, pues ya se havistocn()quelr( l )0.Asi ,pues." istunnmcrocentreIy2talqe/ lc)=0./(1.5) = 2(1,5)3 l{1,5}'-r 7(1.5) - l0 = 0,5. Aplicando entonces el teorema dc () nuevamente s vcque la raiz buscada est entre I y 1,5 y quc : de modo que

t;:l no cs acolada y, por tanto, no pucd. ser continua segnel Teorema 4. gina 26. Pero si sc supone quet) + M, cnlonccs como M - ) es conlinua, por hiptess.se debe tener quc

--

l- cs tambn continua. En vista dc esta contradiccin debe srn) : M para un va-' M - l lx l

lor al menos de :r'en l intervalo.Anlogamente se puede demoslrar que exisle un.y en cl intervalo tal qc/(x) = rt (Problema 93).

ct 2l FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

Problems propuestosttcK)NEs5. Dr el domino de defiriicin para el cual cada una de las funciones que siguan es rcal y uniformcl

ol /6- z)lZ, + l), lb) lt-21/lr'-4), tcl y'-sen aa (d) logo (r' - 3r - 4r + 12).9t . (o) -2=c=3, () lodor=2, lc, 2t l3 lx=l2m+l)r lg,m=O,!1,=2,. . . ,

(d l ,>3. -2

38

Explicar por q () l sn _y no eiste, () Iim3, + lr l /lr, = ?r=; , c.rlcular (c) ,tim /(r), ()

sot. lal 2, () 1/6, (c) z, (d) 1/6, () no cisre

FUNCONBS. LIMITES Y CONTINUIDAD [cAP.2

?-r scn existc.

.lim /(r), (c) lir l(r), (4.m_ /(rl G) limot(r).

(d) Demostrar quc tg- t x + cot- I -

,/2 si sc coviene en tomar como valores princpalcs Ios de la gina 22.() Es tambin rg-' .r + re-t (t/x) = n/2? Expticar,Si /() = tg-

' , demostrar qe l(rl + llul = ,(ft_ ), cstudindo ct cso ). - L

Demoslra que tg_r -

tg- = cot- -

co-r .Demostrar las identidadcs:() t

- fgh'1

-_sch2 , () sen 3.r = 3 scn - 4 sen! r, {c) cos 3 = 4 cosr .r _ 3 cos _\.(d) l8h ix = (scnh ,\/(l + cosh .t), {?, In lcosec r - cor xl = in llg l-rl.Hallar losnxinDs y minimos clarivos y bsoutos de () /(.r) = (sen.y)/,/(O) = t; () /(.t) = (senr.r)/,rr,,/(0) = l. Estudiar los casos clando /(O) no est dcfinida o /(0) est dehnia pero es + l.

LIMITES51. calcular los lmiles siguicntes, aplicndo primero la definicin y lueSo los tcorcms sobre limilcs:(a) l'll('-3'+2). rar ,ri1,\, G) lF++, @, t:,:;#, (") I']i(?l-tfi,

O lh"+rg. so/. () 2, () -+, (c) {, (d) _t, At 2, 6 ( 3x-1, .

c r,2l FUNCTONES, LTMITES y CONTTNUIDAD

f. Si los limites de /(). g(-r) y l(.r) soo ,4, , y C, resDectivrDeote, demostrar que:(a) l i { /(r) + t(r) + h(r)t = A+8+C, (t) l im l(r}r(,) r(r) = ABC. cc^efi iza

at Calcular aplicando los teoremas sobre limites:

( o- ,_t o_.- lk) .T t C#;,)6, _ s)------- - a=iffi |

Ar l l - (3t-1X2+3)-, ;;: ( - sX4, + 5). .

- .

I tu 2 \(C, l lml--- l. , -\ t - cJr/

,n "^

-L[ --!- - 2 \' - ' ; : i i r -1\r+3 3t+5)

cot.uto, t i-frT-2. lsugerencia: Sea 8 + / =.tr) sot. t/12

si lim t(,) = a y ll:1" c@l = B '. o, dmostrar directamente que,limo B=toado ri4 $ts = 1, calcular:, - , , . - sn3, , - , , . l -co 6t-sn2 , , . . l -2cGr+cor2,t, js -;- (c, ,r1 --- () lllt E;T=a (c) I'n! -O) l!=9!! (4 lnl (-s) cosec., (, lq s9!l!;-!9!!g rO !:nEll=lr!-gIsol. (o) a, lbl 0, (c, rl2, (d') -11n. (e) 2t7, (l\ t(b, - a'1, (r) -1, (i) 4r's l*? = 1' demostrar que:

d.-r t a r- l^(") ! ' j l1_= = -o; () l i n= = ln, ,>0; (c) I 'q. ls4-s9 = a"Demostrar que lim /(r) = si. y solo si. lim t(r) = lirn t(r) = ,.

. t 'd

39

altoo a.sultdos

Sol. 1a, -812L

() 8/10

(c) 1

ldl U32

6.

t.

CI)NTII\ruIDAI)73. Demostrar que/(x)

-

-3x +2I continua en = 4.?,t Demostrar qv..f(x): l lx es cotinua (al en x=2, () en 1== 3.75. Estudiar la continidad de las furciones siguiertes n los puntos que s indican:

(c) ^"\

= *=it ,+2, ttz)=3; e=2

rrr"r = {i i ," ' ' l l I l , '='S () disconrinua, () continua, (c) cootioua, (y') discontinua

7. Si [x] = mayor,entero 5.x, estudiar la continuidad dl()=*[] en el inrervalo lol l

,t0 FUNCIONES. LIMITES Y COI.ITINUIDAD [cAP. 2

t2. Dar los puntos dc discontinuidad de las siguientes

l l t lx l = - , ^-t t -z) \ r_4)(bl l (r \ = , 's.nl l t , ,r+O,(0t=0

funcioncs:

lci) ^'t

= |t =si64 ---, s='=6(d) ,(,) = ---!--.

Sol. (e)E=2,4, () hay, () hay, \dl r = 7,16 lztt t t , l l t l6=2mt, m=0,1,2,--.

CONTINUIDAD UNIFORMEt3. Demostra que./() = jr3 es uniformemenlc continua en (r)0 < ,r < 2, ()0 x = 2, (c) todo intervalo finito.tL Demostrar quc .r) = ,r'] no es uiformcmente cotinua cn 0 < < @.t5. Si a es constante, demostrar que /(,y) = l/-x'1es () continua en a 0, (c) no es uniformemeote continua'en 0 < -x < l.

t. Si .r) y g(-r) son uniformmente continuas n el mismo intervalo, demostrar que lal f(x) ! g(x) f lb) flx)glx)son uniformmente continuas en el intevalo. Enuncier y demostrar un teorema semejante paa /()k()r).

PROBLEXT'AS VAnIO6t7. Dar ua dernostracin (c, )} del teorcma del Problema 3!.It. (a) Deostrar quc Ia ecuacin tg x = tien una raiz real positiva n cada uno de los intervalos r/2 < x < 3rr/2,

inl2 < x < 5ft12, 5l l12 < x < 7n12. . . .(D)I lustrarelresultadoanteriorgrficamenteconstruyendolosgrafosdet=fE.Eyday=ysituandosuspun-tos d intesccin.(c) Dterminar el vaor de la mcnor raiz positiva de tg ;r = x.Demostrar quc la nic soluciri rcal dc sen r:

-r es .r = 0.Sol. lcl 4,49 aproximadamente

() Demostrar qua cos -r cosh + I = 0 liene innitas raices reales.() Demostra que para valores elcvados de .x las raices son ap