Analisis Taller 3 Listo

7/29/2019 Analisis Taller 3 Listo

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1. Dada la funcin expresado en el ngulo medido enradianes.

Use el polinomio interpolador de Lagrange cuadrtico

con nodos

, y para aproximar y.SOLUCIN: Aqu vamos hacer una evaluacin de unas condiciones parareemplazar e igualar los valores de la funcin original y el polinomio abuscarse de la siguiente forma:

Ahora aplicamos el teorema de polinomios coeficientes de Lagrange,

sabindose que entonces tenemos que:

A continuacin, debemos encontrar , y para poder seguir conla aplicacin de la frmula anterior:

( ) (

) (

) (

) (

)

( ) (

) ( ) (

) ( )

( ) (

) (

) (

) (

)

Terminando el ejercicio tenemos que:


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Finalmente evaluamos y de esta siguiente manera:

( ) ( ) Use el polinomio interpolador de Lagrange cbico con nodos , , y para aproximar y.SOLUCIN: Debemos empezar con hacer que se cumplan unas ciertascondiciones que se detallar a continuacin:

Ahora aplicamos la frmula general para buscar el polinomio de coeficiente deLagrange siendo quedando la frmula deducida de la siguiente manera:

Necesitamos para seguir, encontrar los valores de los polinomios , y para ajustar a la respuesta posible de este polinomio para que quedede la forma idntica posible a la funcin original, veamos:

(

) (

) (

) (

)

( ) ( ) ( )


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( ) ( ) (

) ( )

(

) (

) (

)

( ) (

) ( ) (

)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Ahora finalizamos con sencillamente reemplazar estos valores, en la frmulageneral del teorema de la Lagrange, quedando como respuesta lo siguiente:

Al aproximarlo con respecto a las funciones evaluadas en y setienen que:

( ) ( ) Grafique en un mismo plano cartesiano la funcin , y.


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2. Dada la funcin . Use el polinomio interpolador de Lagrange cuadrtico con nodos , y para aproximar y.SOLUCIN: El objetivo de este ejercicio es hallar un polinomio de grado 2 quese cumpla con las siguientes condiciones de a continuacin:

Ahora aplicamos el teorema de polinomios coeficientes de Lagrange,sabindose que entonces tenemos que:

Donde , y son los siguientes resultados: ( ) (

) ( ) (

) ( )


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( ) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

Ahora terminando el ejercicio se tiene lo siguiente:

A continuacin vamos a aproximar la funcin anterior para de lasiguiente manera:

Y a su vez evaluarlo en , as:

Use el polinomio interpolador de Lagrange cbico con nodos

, , y para aproximar y.SOLUCIN: El proceso para la elaboracin de este ejercicio es similar alanterior, slo que se diferencia al que el polinomio es de grado 3 ahora y secumplen estas condiciones:

Aplicando el teorema dicho anteriormente, slo que ahora se tiene ahoraque:


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Antes de empezar, encontremos , , y : ( ) (

) ( ) (

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

) (

) (

) (

)

( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) (

)

(

) (

) (

)

Una vez conocido estos polinomios parciales se puede reemplazar en la partefinal de la frmula con todos los valores conocidos, as:


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Ahora al aproximarlo con las funciones evaluadas y se tiene que:

Grafique en un mismo plano cartesiano , y .

3. Considere la funcin y los cinconodos con Halle el polinomio interpoladorde Newton que aproxime a la funcin en los nodos dados. Trabaje con

ocho dgitos de precisin.


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Solucin

Como nos dan

5 nodos hallaremos el polinomio interpolador de newton p4

( ) ( ) ( ) ( )

Donde

Tabla diferencias divididas

0 0.5 1 0 -1 -2 0.5 1 2 2.66666666 0 -1 -2 -2.66666666 -2.66666666

Por lo tanto


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Con lo que el polinomio interpolador de Newton nos quedara

Se puede verificar que el polinomio cumple con las siguientes condiciones deinterpolacin veamos;

Ahora usaremos para aproximar dandole un valorque este enel intervalo[-1,1] lo aproximaremos en f (0.75)

Como

Entonces

4. La viscosidad de un fluido depende de la temperatura del fluido deacuerdo con la representacin representada en la siguiente tabla:

5 20 30 50 55 0.08 0.015 0.09 0.006 0.0055Con base en la informacin de la tabla anterior halle el polinomiointerpolador de Newton y emplelo para encontrar un estimativopara la viscosidad a . Exhiba el procedimiento para calcular todas


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las diferencias divididas, la tabla de diferencias divididas y el polinomio completamentedesarrollado.SOLUCIN: Aqu debemos hallar ese polinomio de grado 4 dado como talque , adems adicionalmente siendo la variable dependiente, y quecumple:

A continuacin por frmula tenemos lo siguiente:

Para poder buscar el valor de las constantes , , , y lo hallamoscon la elaboracin de las parcelas divididas que se describen a continuacin.Hallamos inicialmente parcelas en la que estn las siguientes:

Despus hacemos las segundas diferencias divididas tales como:

Avanzamos con hallar las terceras diferencias divididas:


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Seguimos con las cuartas diferencias divididas, donde es ;as:

Y finalmente en la culminacin de esta parte de este procedimiento las quintasdiferencias divididas que es a su vez es :

Ya con todos los datos hallados nuestra tabla ser de la siguiente maneracomo sigue:

0.08 0.015 -0.0043 0.09 0.0075 0.0005 0.006 -0.0042 -0.0004 -0.00002 0.0055 0.0001 0.0002 0.000006 0.0000005

De esta manera aplicando la frmula general se tiene los siguientesresultados:

Ahora de lo anterior debemos evaluarla a , quedando como respuestalo siguiente:


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Como la respuesta coincide en los intervalos cerrados y cuya condicin eraque su respuesta debe estar entre 5. En estudios de polimerizacin inducida por radiacin, se emplea unafuente de rayos gamma para obtener dosis medidas en radiacin. Sin

embargo, la dosis vara con la posicin del aparato, segn los datos que sedan a continuacin.

Posici

n

(en

pulga

das)

1.0 1.5 2.0 3.0

Dosis

( ) h

rads

5 10

2.71 2.98 3.20 3.20

a. Cul es la estimacin para el nivel de dosis en 2.5 pulgadas?

b. Si se efecta una nueva medicin que indica que a 3.5 pulgadas el nivel de

dosis correspondiente es de 2.98 rads/h Cul ser ahora la estimacinpara el nivel de dosis en 2.5 pulgadas?

SOLUCION

A continuacin por frmula tenemos lo siguiente:


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Para poder buscar el valor de las constantes , , , y lo hallamoscon la elaboracin de las parcelas divididas que se describen a continuacin.Hallamos inicialmente parcelas en la que estn las siguientes:



Seguimos con las cuartas diferencias divididas, donde es ;as:

Ya con todos los datos hallados nuestra tabla ser de la siguiente maneracomo sigue:

2.71 2.98 0.54 3.20 0.44 -0.1 3.20 0 -0.293 -0.096De esta manera aplicando la frmula general se tiene los siguientesresultados:


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Ahora de lo anterior debemos evaluarla a , quedando como respuestalo siguiente:

b)

+0.0386

6. Una funcin fde la que solo se conocen los datos que estn en lasiguiente tabla, tiene un mximo en el intervalo [1,1.3]. Halle la ubicacin(abscisa) de dicho mximo a travs de un polinomio interpolador deNewton.

Xk 1.0 1.1 1.2 1.3f(xk) 0,841 0,891 0,993 1,000

Solucin:


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[ ]

Seguimos con las cuartas diferencias divididas

[ ] [ ]

De esta manera aplicando la frmula general se tiene los siguientes resultados:

7. Aplique las formulas cerradas de Newton Cotes (la regla del trapecio, laregla de Simpson, la regla de los 3/8 de Simpson y la regla de Boole) para

aproximar las integrales:

a. Los resultados varan demasiado ya que dan las siguientes respuestas:


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Regla de trapecio: La frmula general de la regla de trapecio es la siguiente

donde y que a su vez estos estnevaluados en la funcin por cada una de constantes, y su altura es , por lo tanto la respuesta sencillamente sera: Regla de los Simpsons: Su frmula dada es cuando se trabajan con nodos 3 nodos como mximo sabindose que y las dems estn evaluadas y con constantes y respectivamente, y . Reemplazando estos valores se tiene que:

Regla de 3/8 de Simpson: La frmula de la regla de 3/8 de Simpsons es

sabindose que se utilizan 4nodos de las cuales , , al reemplazar todos estos valores, el resultado final es:

Regla de Boole: La frmula general de Boole posee la forma utilizando de este modo 5nodos y la altura diciendo que y y as encontrar lasdems respuestas y reemplazarlas, obtenemos lo siguiente:


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Los resultados varan demasiado ya que dan las siguientes respuestas:

Regla de trapecio: La frmula general de la regla de trapecio es la siguiente donde y que a su vez estos estnevaluados en la funcin por cada una de constantes, y su altura es , por lo tanto la respuesta sencillamente sera:

Regla de los Simpsons: Su frmula dada es cuando se trabajan con nodos 3 nodos como mximo sabindose que y las dems estn evaluadas y con constantes y respectivamente, y . Reemplazando estos valores se tiene que:

Regla de 3/8 de Simpson: La frmula de la regla de 3/8 de Simpsons es

sabindose que se utilizan 4nodos de las cuales , ,

y y , al reemplazar todosestos valores, el resultado final es:

Regla de Boole: La frmula general de Boole posee la forma

utilizando de este modo 5nodos y la altura diciendo que y y as encontrar las demsrespuestas y reemplazarlas, obtenemos lo siguiente: =


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8.a. la regla compuesta del trapecio con para aproximar las integrales

y tales valores como

. La frmula reducida de la regla

compuesta de trapecio es:

Donde y . Y los demsvalores buscados desde a son los siguientes:

Y a la hora de reemplazar los valores, tenemos como respuesta lo siguiente:

]

Aplique la regla compuesta de Simpson con 9 nodos para aproximar lasintegrales


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De este modo, hacemos esta otra integral aplicando la misma cantidad denodos que en este caso nos dio , pero ocurren cambios como y y el valor de

b. Aplique la regla compuesta del trapecio con para aproximar lasintegrales

y tales valores como . La frmulareducida de la regla compuesta de trapecio es:

Donde y . Y losdems valores buscados desde a son los siguientes:


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Y a la hora de reemplazar los valores, tenemos como respuesta lo siguiente:

]

Aplique la regla compuesta de Simpson con 9 nodos para aproximar lasintegrales

De este modo, hacemos esta otra integral aplicando la mismacantidad de nodos que en este caso nos dio

, pero ocurren cambios como

y y el valor de


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]

9. De una funcin fse conocen los siguientes datos:

xk 0 1 2 3fxk 2 -2 -1 0

Determine el valor aproximado de a partir de: Un polinomio de interpolacin de LaGrange. La regla del trapecio compuesta.

Donde , y son los siguientes resultados: ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )


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( )

(

) (

) (

)

( )

( ) ( ) ( )

Ahora terminando el ejercicio se tiene lo siguiente:

Trapecio compuesta

10. Teniendo en cuenta que el error de la regla Simpson compuesta es:


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Con y el numero de intervalos. Determine cuantos intervalos sonnecesarios considerar para calcular la siguiente integral;

De tal manera que Solucin:

Teniendo en cuenta que:

El error Simpson vale,

Imponiendo que el error sea menor que En este caso lo cual lleva a la solucin de que ya para se alcanza dicho error. Habra que verificar el resultado comparando el resultadoreal con el resultado de aplicar Simpson en un intervalo.


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TALLER 3 DE ANLISIS NUMRICO

INTEGRANTES:

PAOLA ANDREA ORTIZ RIVERA - 2009115047ZARAHY ALEXANDRA PEREZ - 2008215046

PRESENTADO A:ING. LEIDER SALCEDO GARCIA


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GRUPO 3

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENAFACULTAD DE INGENIERIA

SANTA MARTA2012

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