analisis real 1
description
Transcript of analisis real 1
-
5/21/2018 analisis real 1
1/12
5.4 Kekontinuan Seragam
Misalkan AR dan f : A R. Telah dilihat pada Teorema 5.1.3 bahwapernyataan-pernyataan berikut ini ekivalen :
(i)f kontinu pada setiap titik uA;(ii) diberikan > 0 dan uA, terdapat (,u) > 0 sedemikian sehingga untuk
semua xA dan x - u < (,u), maka f(x)
f(u) < .
-
5/21/2018 analisis real 1
2/12
5.4.1 Definisi
Misalkan AR danf : A R. Kita katakan f kontinu seragam pada Ajika untuksetiap > 0 terdapat () > 0 sedemikian sehingga jikax,uA sebarang bilanganang memenuhi x - u < (), maka f(x)f(u) < .
Ini jelas bahwa jikaf kontinu seragam pada A, makaf kontinu seragam pada setiap
titk dalam A. Akan tetapi, secara umum konversnya tidak berlaku, sebagaimana
telah ditunjukkan oleh fungsig(x) = 1/x pada himpunan A = {xR : x > 0}.
-
5/21/2018 analisis real 1
3/12
5.4.2 Kriteria Kekontinuan tidak Seragam
Misalkan AR danf : A R. Maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen :
(i)f tidak kontinu seragam pada A;
(ii) Terdapat 0 > 0sedemikian sehingga untuk setiap > 0 terdapat titiktitik
, dalam A sedemikian sehingga < dan () 0(iii) Terdapat 0> 0 dan dua barisan ()dan ()dalam A sedemikian sehingga
Lim ( ) = 0 dan () 0untuk semua nN.Kita dapat menggunakan hasil ini untuk menunjukkan bahwag(x) = 1/x kontinu
tidak seragam pada A = {xR : x > 0}. Karena, jika xn = 1/n dan un = 1/(n + 1),maka kita mempunyai lim = 0, tetapi () untuk semua
nN.
-
5/21/2018 analisis real 1
4/12
5.4.3 Teorema Kekontinuan Seragam MisalkanI suatu interval tutup dan
terbatas danf :I R kontinu padaI. Makaf kontinu seragam padaI.
Bukti. Jika f tidak kontinu seragam pada I maka menurut hasil sebelumnya,
terdapat 0> 0 dan dua barisan ()dan ()dalam A sedemikian sehingga < 1/n dan ( ) 0 untuk semua nN. KarenaI terbatas,barisan () terbatas; menurut Teorema Bolzano-Weierstrass 3.4.7 terdapatsubbarisan () dari () yang konvergen ke suatu unsur z. Karena I tertutup,
limit z masuk dalam I, menurut Teorema 3.2.6. Ini jelas bahwa subbarisan yangbersesuaian ( )juga konvergen ke z,karena
+ Sekarang jikaf kontinu pada titik z, maka barisan ()dan ()mestikonvergen kef(z). Akan tetapi ini tidak mungkin karena
( ) 0 untuk semua nN. Jadi hipotesis bahwa f tidak kontinu seragam pada interval
tutup dan terbatasI mengakibatkanf tidak kontinu pada suatu titik zI. Akibatnya,
ikafkontinu pada setiap titik dalamI, makaf kontinu seragam padaI.
-
5/21/2018 analisis real 1
5/12
Fungsi-fungsi Lipschitz
5.4.4 Definisi Misalkan AR danf : A R. Jika terdapat suatu konstantaK > 0 sedemikian sehingga
f(x)f(u) Kx - uuntuk semua x,uA, makaf dikatakan fungsi Lipschitz (atau memenuhi syaratLipschitz) pada A. Syarat bahwa suatu fungsi f : I R pada suatu interval I
adalah fungsi Lipschitz dapat diinterpretasi secara geometri sebagai berikut. Jikakita menuliskan syaratnya sebagai
() , , , ,maka kuantitas dalam nilai mutlak adalah kemiringan segmen garis yang melaluititik-titik (x,f(x)) dan (u,f(u)). Jadi, suatu fungsi f memenuhi syarat Lipschitz jika
dan hanya jika kemiringan dari semua segmen garis yang menghubungkan dua titik
pada grafik y =f(x) padaI terbatas oleh suatu K.
-
5/21/2018 analisis real 1
6/12
5.4.5 Teorema
Jikaf : A R suatu fungsi Lipschitz, makaf kontinu seragam pada A.
Bukti. Jika syarat Lipschitz dipenuhi dengan konstanta K, maka diberikan > 0
sebarang, kita dapat memilih = /K. Jika x,uA dan memenuhi x - u < ,maka
().
=
Oleh karena itu,f kontinu seragam pada A.
-
5/21/2018 analisis real 1
7/12
5.4.6 Contoh-contoh
(a) Jika
=
2pada A = [0,b], dimana b suatu konstanta positif, maka
f(x)f(u) = x + ux - u 2bx - uuntuk semua x,u dalam [0,b]. Jadif memenuhi syarat Lipschitz dengan konstanta
K =2bpada A, dan oleh karena itu f kontinu seragam pada A. Tentu saja, karena
kontinu pada A yang merupakan interval tertutup dan terbatas, ini dapat jugadisimpulkan dari Teorema Kekontinuan Seragam. (Perhatikan bahwa f tidak
memenuhi kondisi Lipschitz pada interval [0,).)
(b) Tidak semua fungsi yang kontinu seragam merupakan fungsi Lipschitz.
Misalkang(x) =x untuk x dalam interval tertutup dan terbatasI = [0,2]. Karenag
kontinu padaI, maka menurut Teorema Kekontinuan Seragam 5.4.3,g kontinuseragam padaI. Akan tetapi, tidak terdapat bilaknagn K > 0 sedemikian sehingga
g(x) Kx untuk semua xI. (Mengapa tidak?) Oleh karena itu, g bukansuatu fungsi Lipschitz padaI.
-
5/21/2018 analisis real 1
8/12
5.4.7 Teorema
Jikaf : A R kontinu seragam pada suatu AR dan jika ()barisan Cauchydalam A, maka ()barisan Cauchy dalam R.
Bukti. Misalkan (xn) barisan Cauchy dalam A, dan > 0 diberikan. Pertamatamapilih > 0 sedemikian sehingga jika x,u dalam A memenuhi x - u < , makaf(x)f(u) < . Karena ()barisan Cauchy, maka terdapatH() sedemikiansehingga
< untuk semua n,m >H(). Dengan pemilihan , ini mengakibatkanbahwa untuk n,m >H(), kita mempunyai (). Oleh karena itubarisan (f(xn)) barisan Cauchy.
-
5/21/2018 analisis real 1
9/12
5.4.8 Teorema Perluasan Kontinu
Suatu fungsi f kontinu seragam pada interval (a,b) jika dan hanya jika f dapat
didefinisikan pada titik-titik ujung a dan b sedemikian sehingga fungsi
perluasannya kontinu pada [a,b].
Bukti. Suatu fungsi yang kontinu seragam pada [a,b] tentu saja kontinu pada
(a,b), dengan demikian kita hanya perlu membuktikan implikasi sebaliknya.
Misalkan f kontinu seragam pada (a,b). Kita akan menunjukkan bagaimana
memperluas f ke a; argumen untuk b dilakukan dengan cara yang sama. Ini
dilakukan dengan menunjukkan bahwa lim = ada dan ini diselesaikan dengan
penggunaan Jadi lim (f(xn)) = L ada. Jika ()sebarang barisan lain dalam (a,b)ang konvergen ke a, maka lim ( ) = a a = 0, dengan demikian oleh
kekontinuan seragam darif kita mempunyai
lim = lim + lim
= 0 + =
Karena kita memperoleh nilaiL yang sama untuk sebarang barisan yang konvergen
ke a, maka dari Kriteria Sekuensial untuk limit kita menyimoulkan bahwa
mempunyai limit L pada a. Argumen yang sama digunakan untuk IbI, dengan
demikian kita simpulkan bahwa f mempunyai perluasan kontinu untuk interval
[a,b].
-
5/21/2018 analisis real 1
10/12
Aproksimasi
5.4.11 AkibatMisalkan I = [a,b] interval tutup dan terbatas, dan f : I R kontinu pada I. Jika >0, maka terdapat bilangan asli m sedemikian sehingga jika kita membagi Idalam m interval saling lepas Ik yang mempunyai panjang h = (b a)/m, maka
fungsi tangga didefinisikan () < untuk semua xI.
Fungsi tangga merupakan fungsi yang memiliki karakter dasar, akan tetapi tidakkontinu (kecuali dalam kasus trivial). Karena itu sering diperlukan sekali untuk
mengaproksimasi fungsi-fungsi kontinu dengan fungsi kontinu sederhana,bagaimana kita akan menunjukkan bahwa kita dapat mengaproksimasi fungsi-fungsi kontinu dengan fungsi linear kontinu piecewise (potong demi potong).
-
5/21/2018 analisis real 1
11/12
5.4.12 Definisi
Misalkan I = [a,b] suatu interval. Maka suatu fungsi g : I R dikatakan linearpotong demi potong pada I jika I merupakan gabungan dari sejumlah hingga
interval saling lepas 1, , , sedemikian sehingga pembatasan darig untuk setiap
interval merupakan fungsi linear.
Remark. Jelas bahwa agar suatu fungsi linear potong demi potong g kontinu pada
, segmen garis yang membentuk grafik g bertemu pada titik-titik ujung dari
subinterval yang berdekatan , +1(k = 1, , m-1)
-
5/21/2018 analisis real 1
12/12
5.4.15 Teorema Aproksimasi Bernsten Misalkan
: [0,1] R fungsi kontinu dan misalkan > 0. Terdapat N sedemikiansehingga jika
, maka kita mempunyai
()< untuk semua
x[0,1].
Bukti. Pembuktian Teorema ini diberikan dalam (Elements of Analysis Real, H.
169-172). Disana ditunjukkan bahwa jika () > 0 sehingga f(x)f(y) < untuk
semua x,y[0,1] dengan x - y < (), dan jika M f(x) untuk semuax[0,1], maka kita dapat memilih = sup {( ( 2 )
4 , 2 2}
Secara khusus, kita ganti f : [a,b] R dengan fungsi F : [0,1] R yangdidefinisikan oleh
(t) =f(a + (b
a)t) untuk t[0,1].Fungsi F dapat diaproksimasi dengan polinmial Bernsten untuk F pada interval[0,1], yang mana selanjutnya menghhasilkan polinomial pada [a,b] yangmengaproksimasif.