Analisis de Variable Real

7/26/2019 Analisis de Variable Real

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ANALISIS DE VARIABLE REAL

Vctor Manuel Sanchez de los Reyes

Departamento de Analisis MatematicoUniversidad Complutense de Madrid


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Indice

1. Los numeros reales, sucesiones y series 7

1.1. Los numeros naturales. Induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Los numeros enteros y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Sucesiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1. Expresion decimal de los numeros racionales . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2. Los numeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3. Ordenacion. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.4. Supremo e nfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.5. Construcciones con numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.6. El teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.7. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.8. Lmites superior e inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.9. La propiedad de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.1. Comparacion de series de terminos positivos . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.2. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.3. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.4. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5.5. Producto de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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2. Funciones, lmites y continuidad 39

2.1. Funciones reales de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2. Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Derivacion 51

3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2. Tecnicas para el calculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1. Crecimiento y decrecimiento. Maximos y mnimos locales . . . . . . 56

3.3.2. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.3. Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor . . . . . . . . . 60

3.3.4. Analisis local de una funcion derivable . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4. Integracion 67

4.1. Calculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3. El teorema fundamental del Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5.1. Longitud de la grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5.2. Volumen y superficie lateral de un cuerpo de revolucion . . . . . . . 79

4.5.3. Las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5.4. Las funciones logartmica y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5. Sucesiones y series de funciones 83

5.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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5.3. Propiedades de la funcion lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3.2. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.3.3. Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Bibliografa 95

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Tema 1

Los numeros reales, sucesiones y

series

1.1. Los numeros naturales. Induccion

Definicion 1.1.1. Los numeros naturales son los numeros 1, 2, 3, . . . yN designa a la

coleccion de todos ellos.

Los axiomas de Peano constituyen una caracterizacion de N:

1. En N hay un elemento distinguido, 1.

2. Para cada n N esta definido en N de manera unica el siguiente de n, n+, queverifican+ = 1.

3. n+ =m+ implica que n= m.

4. (Principio de induccion matematica) Si un subconjunto A de N verifica que 1Ay, si kA, resulta tambien que k+ A, entonces A = N.

Definicion 1.1.2. Para definir lasumaenN se procede as: se fija un elemento arbitrario

n N y se trata de definirn+m cuando m recorreN. Para ello se definen+ 1 = n+yn+m+ = (n+m)+. De forma analoga, las relacionesn 1 = n yn m+ = n m+nsirven para definir el producto. Por otra parte, n > msignifica quen = m + dpara algun

d N, y en estas circunstanciasd se designan m, y se llamadiferenciaden am.

El principio de induccion nos sirve para establecer que una determinada propiedad

P(n) es verdadera para todo n N, de la forma siguiente:

1. Comprobamos queP(1) es verdadera.

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2. Probamos que siP(k) es verdadera, entonces P(k+ 1) es verdadera.

En general, fijado n0 N, podemos establecer que una propiedad P(n) es verdaderapara cada nn0 cuando se cumple:

1. P(n0) es verdadera.

2. Si P(k) es verdadera (kn0), entoncesP(k+ 1) es verdadera.

O bien:

1. P(n0) es verdadera.

2. SiP(i) es verdadera para cada i tal quen0ik, entoncesP(k + 1) es verdadera.Definicion 1.1.3. Dado n N se define elfactorialden como

n! =n(n 1)(n 2) 2 1.

Definicion 1.1.4. DadosnN ykN {0} conkn se define el numero combi-natorio nk como

nk

= n!

k!(n k)!con la convencion0! = 1.

Los numeros combinatorios tienen las dos propiedades siguientes cuya comprobacion

es inmediata a partir de la definicion anterior:

1.

nk

=

nnk

.

2.n+1

k

= n

k1+ nk con 0< kn.A partir de la propiedad anterior se demuestra por induccion la formula de Newton:

Teorema 1.1.5. Dado n N se tiene que(a+b)n =n

k=0

nk

ankbk.

Ejercicios

1. Calcula la suma de:

a) Los n primeros numeros naturales.

b) Los n primeros numeros impares.

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c) Los nprimeros cubos.

d) Los nprimeros cuadrados.

e) Las potencias con exponente p N de los nprimeros numeros naturales.f) Las potencias con exponentep N de los nprimeros numeros impares.

2. Prueba por induccion las siguientes igualdades y desigualdades, siendo en todos los

casosn N:

a) sen x2

(sen x+ sen 2x+ + sen nx) = sen nx2

sen (n+1)x2

.

b) sen x

2

[1 + 2(cos x+ cos 2x+

+ cos nx)] = sen n+ 12 x.

c) sen x2

(cos x+ cos 2x+ + cos nx) = sen nx2

cos (n+1)x2

.

d) sen x2

sen x

2+ sen

1 + 12

x+ + sen n+ 1

2

x

= sen2 (n+1)x2

.

e) 1 + n2 1 + 1

2+ 1

3+ + 1

2n n+ 1.

f) (1 +a)n 1 +an, siendo a >1.g) 22n > n2.

h) 2143 2n

2n1 >

2n+ 1.

i) nkxk

n

k+1xk+1 + + (1)

nknnxn 0, siendo 0x1 yk = 0, 1, . . . , n.

j) n(1 +x)n1 =

n1

+

n2

2x+ + n

n

nxn1.

k) n(n 1)(1 +x)n2 = n2

2 +

n3

3 2x+ + n

n

n(n 1)xn2, siendo n2.

l)n

k=1

k2k = 2 + (n 1)2n+1.

m) 2n (n+ 1)!.n) 1

12 + 123+ + 1n(n+1) = nn+1 .

n) 13

+ 115

+

+ 1

4n2

1

= n2n+1

.

3. Demuestra quexn= 1

5

1+5

2

n

152

n N para todo n N.

4. Prueba que para todo n N:

a) 22n + 15n 1 es multiplo de 9.b) 5n 1 es multiplo de 4.c) 7n 6n 1 es multiplo de 36.d) n5

n es multiplo de 5.

e) 11n+2 + 122n+1 es multiplo de 133.

f) 22n+1 + 1 es multiplo de 3.

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g) 4n+1 + 52n1 es multiplo de 21.

h) 106n+2 + 103n+1 + 1 es multiplo de 111.

5. Demuestra que cualquier numero de botellas mayor que 7 se puede envasar en bolsas

de 3 y 5 botellas.

1.2. Los numeros enteros y racionales

Se trata ahora de obtener el conjunto Z de los numeros enteros apoyandose en el ya

conocidoN. Al par ordenado (a, b) de numeros naturales se asocia el entero positivo a bsi a > b, 0 si a = b y el entero negativo(ba) si a < b. Se observa as que a paresdistintos puede asociarse el mismo numero entero n. Precisamente, se establece que la

coleccion de tales pares constituye la identidad de n.

Definicion 1.2.1. Las definiciones de suma, producto y ordenacion en Z son las

siguientes:

1. (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d).

2. (a, b) (c, d) = (ac+bd, bc+ad).

3. (a, b)> (c, d) significa quea+d > b+c.

Observacion 1.2.2. Estas definiciones coinciden con las deN cuando se trata de ente-

ros positivos y son independientes de la eleccion del par ordenado que representa a cada

numero.

A cada par ordenado (a, b) con b= 0 de numeros enteros se asocia la fraccion a

b .

Definicion 1.2.3. Lasumay el producto de fracciones se define mediante

a

b+

c

d=

ad+bc

bd

ya

b

c

d=

ac

bd.

La fraccion ab

se llama positiva si ab > 0, siendo positiva la suma y el producto de

fracciones positivas. Que dos fracciones a

b y a

b sonequivalentessignifica queab = ab. Lacoleccion de todas las fracciones que son equivalentes entre s se llamanumero racional,

y el conjunto de todos ellos se designa porQ.

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Observacion 1.2.4. En las definiciones de suma y producto de dos fracciones la susti-

tucion de un termino por una fraccion equivalente produce un resultado equivalente. Poresta razon, se establecen con tales definiciones la suma y el producto de numeros racio-

nales. Asimismo, las fracciones equivalentes a una positiva lo son tambien, el numero

correspondiente se llama positivo, y la coleccion de todos ellos se designa porQ+. Que

x Q+ se denota tambienx >0.Por otra parte, si una fraccion a

b es tal que existe un entero n que verifica a = bn,

entonces cualquier fraccion a

b equivalente a a

b verifica tambien que a = bn. En estas

circunstancias el numero racional correspondiente se identifica conn, y de esta forma se

puede considerar queZ

Q. Tambien resulta que las definiciones que se han establecido

enQ coinciden con las deZ cuando se refieren a los elementos deQ que se identifican

con los enteros.

Las propiedades de la suma, el producto y la ordenaci on en Q son las siguientes:

1. Propiedad asociativa de la suma: (x+y) +z=x+ (y+z).

2. Propiedad conmutativa de la suma:x+y =y +x.

3. x+ 0 =x y x+ (x) = 0 (x se llama opuesto de x, y esta definido por a

b si a

b

representa a x. El numero x+ (y) se designa tambien x y y es el unico z queverificax= y +z).

4. Propiedad asociativa del producto: (xy)z=x(yz).

5. Propiedad conmutativa del producto:xy= yx.

6. x1 =x y xx1 = 1 si x= 0 (x1 se llama inverso de x, y esta definido por ba

si ab

representa a x. El numero xy1 con y= 0 se designa tambien x: y y es el unico ztal que x = yz).

7. Propiedad distributiva: x(y+z) =xy +xz.

8. Cada x Q verifica una y solo una de las relaciones x > 0, x = 0 yx > 0 (elvalor absoluto de x,|x|, se define as:|0| = 0, y si x= 0,|x| es el unico numeropositivo del conjunto{x, x}).

9. Si x, y >0, entonces x+y >0.

10. Si x, y >0, entocesxy >0.

11. (Consecuencia de 8) Dados x, y Q, se verifica una y solo una de las relacionesx > y, x= y yx < y (x > y (o y < x) significa x y >0).

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12. (Consecuencia de 9) Propiedad transitiva del orden: si x > y e y > z, entonces

x > z.

13. Si x > y, entonces x+z > y+z.

14. (Consecuencia de 10) Si x > y y z >0, entonces xz > yz.

El valor absoluto tiene las siguientes propiedades:

1.|x+y| |x| + |y|.

2.|xy|=|x||y|.3. (Consecuencia de 1)|x+y| |x| |y|.

Finalmente, se verifica tambien la llamada propiedad arquimediana: dados x > 0 y

n N, existe m N tal que mx > n.

Definicion 1.2.5. Dos conjuntos infinitos tienen el mismo cardinalsi se puede establecer

entre ellos una biyeccion. Los conjuntos que tienen el mismo cardinal queN se llaman

numerables.

Ejemplo 1.2.6. Q es numerable.

En efecto, basta con ordenarQ de la siguiente forma:

0

1,1

1,1

1 ,

1

2,1

2 ,

2

1,2

1 ,

1

3,1

3 ,

3

1,3

1 ,

1

4,1

4 ,

2

3,2

3 ,

3

2,3

2 ,

4

1,4

1 , .

Ejercicios

1. Establece una biyeccion entre N y el conjunto A ={x Q : 2< x


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La mayor parte de las veces una sucesion se determina mediante una formula para

obtener xn a partir de n. Por ejemplo: xn =

1 + 1n

n. Otras veces se indica que numeroes x1 y que formula permite obtener cada uno de los demas a partir del anterior. Por

ejemplo: x1= 2, xn+1 = 12

xn+

2xn

. En general se llama sucesion recurrentea aquella

en la que, a partir de alguno de sus terminos, todos se obtienen mediante una formula

(de recurrencia) que los relaciona con uno o varios terminos precedentes. Es necesario

entonces indicar explcitamente los primeros terminos y utilizar la formula a partir del

siguiente.

No es necesario enumerar los terminos de una sucesion a partir de 1. Puede hacerse a

partir de n0

N, a partir de 0, etc.

Definicion 1.3.1. Se dice que una sucesionxn escreciente (estrictamente crecien-

te) sixn xn+1 (xn < xn+1) para todo n N y que esdecreciente (estrictamentedecreciente) sixnxn+1 (xn > xn+1) para todo n N. Todos estos tipos de sucesionesse denominan sucesionesmonotonas.

Definicion 1.3.2. Una sucesion xn esta acotada superiormente (inferiormente)

si existe un numero A tal que xn A (xn A) para todo n N. Se dice entoncesque A es una cota superior (inferior) de la sucesion. Sixn esta acotada superior e

inferiormente se dice que estaacotada.

La observacion de una sucesion creciente y acotada superiormente nos sugiere que

existe un numero xal cual los terminos de la sucesion se acercan cada vez mas, llegando

a estar tan proximos a el como se pueda desear.

Definicion 1.3.3. Se dice que el numero x es el lmite de la sucesion xn o que xnconverge a x y se expresa mediante lm

nxn = x si para todo > 0 existe n0 N tal

que para todo n N conn n0 se tiene que|xn x| < . Se dice entonces quexn esconvergente. Las sucesiones que no son convergentes se denominandivergentes.

Definicion 1.3.4. Se dice que la sucesion xn tiene lmite + y se expresa mediantelm

nxn = + si para todo A > 0 existen0 N tal que para todo n N connn0 se

tiene quexn> A. Analogamente se define que la sucesionxn tiene lmite.

Definicion 1.3.5. Dada la sucesionan, se dice ques es lasumade la serie

n=1

an si la

sucesion de sumas parciales

sk =k

n=1

an

conk N, converge as. Se dice entonces que dicha serie esconvergente. Si la sucesionde sumas parciales es divergente, se dice que la serie esdivergente.

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Ejercicios

1. Demuestra quexn= 1n

+ 1n+1

+ 1n+2

+ + 1n+n

es decreciente y que todos los terminos

de la sucesion son menores que 2.

2. Se considera la sucesion xn dada por x1 = 1 y xn+1 = 13

xn + 4. Demuestra que

xn < 6 para todo n N y que xn es creciente.3. Sea la sucesion xn dada por x1 =

32

y xn+1 = 2 1xn . Demuestra que 1 xn 2para todo n N y que xn es decreciente.

4. Determina el lmite de cada una de las sucesiones siguientes:

a) xn= n+100

n2+1.

b) xn= 2n+13n+500

.

c) xn= 1 + 12

+ 13

+ + 1n

.

d) xn= 2n2+5n13n3+2n+1

.

e) xn= n3n21100n2+25

.

f) xn= 3n3+1002n3100 .

5. Estudia la convergencia de:

a) 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .

b) xn= [1 + (1)n] 12n + [1 + (1)n+1] n2 .6. Demuestra que las siguientes sucesiones son monotonas, acotadas y no tienen lmite

racional:

a) x1= 2, xn+1= 12

xn+

2xn

.

b) xn= 10!

+ 11!

+ 12!

+

+ 1

n!.


a)

n=1

(1)n.

b)

n=1

1n

.

c) La serie geometrica

n=0

atn.

d)

n=1

1

n .

e)

n=0

3n+12n34n

.

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8. Demuestra que, dado k

N, todas las sumas parciales de la serie

n=k+1

1

n!

son

menores que 1k!k

.

9. Demuestra que todas las sumas parciales de la serie

n=1

1n2

son menores que 2.

10. Dada la sucesionxn= 1n

+ 1n+1

+ 1n+2

+ + 1n+n

, calcula los cuatro primeros terminos

de una serie cuyas primeras sumas parciales sean los cuatro primeros terminos de

xn.

1.4. Los numeros reales

1.4.1. Expresion decimal de los numeros racionales

Nos vamos a referir solamente a fracciones pq

tales que 0 < p < qya que cualquier otra

fraccion es la suma de un entero y una fraccion de ese tipo.

El proceso de las divisiones sucesivas correspondiente a pq

se puede describir as:

pq

= 10pq

101 =

a1+ r1

q

101

= 0.a1+ 10r1

q 102 = 0.a1+

a2+ r2

q

102

= 0.a1a2+ 10r2

q 103 = 0.a1a2+

a3+ r3

q

103

= 0.a1a2a3+ r3

q103 =

Los restos sucesivos rn son todos menores que el divisor q, por lo cual, o bien se llega a

un resto 0 y el proceso se termina, o bien se tiene que repetir alguno de los restos en las q

primeras divisiones, y a partir de ah el proceso es periodico. Los cocientesan son enteros

no negativos menores que 10.

Observacion 1.4.1. La aplicacion de este proceso a dos fracciones equivalentes produce

la misma sucesion de cocientes. Esto significa que tal sucesion viene determinada unvo-

camente por un numero racional.

Por tanto, el proceso de las divisiones sucesivas determina una representaci on periodica

0.a1a2 . . . arar+1ar+2 . . . ar+sar+s+1 . . .

en la que a partir de alguna posicion un bloque de cifras (perodo) empieza a repetirse,

es decir, ar+s+1=ar+1, etc.

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Dicha representacion infinita la interpretamos como la serie

n=1

an10n

cuya suma parcial n-esima es 0.a1a2 . . . an. Ya quep

q = 0.a1a2 . . . an+

rnq

10n

y 0rn< qpara cada n N resulta0p

q 0.a1a2 . . . an < 10n

y esto prueba que la suma de la serie es pq

cuya representacion decimal es la de partida

salvo que esta tuviera perodo 9. De aqu se deduce que dos numeros racionales distintos

no pueden tener la misma representacion decimal.

Definicion 1.4.2. El mayor entero menor o igual quex Qse denominaparte enteradex, y se designa por [x].

Observacion 1.4.3. Dado x Q, x [x] es un numero racional no negativo y menorque1.

1.4.2. Los numeros irracionales

Definicion 1.4.4. Las expresiones decimales no periodicas las denominaremosnumeros

irracionales.

Ejemplos 1.4.5.

1. Consideremos la sucesionxn del primer apartado del Ejercicio 6 de la seccion an-

terior con lmite irracionalx. Ya quex2n converge a2, se tiene quex2 = 2 debido a

que|x2n x2|=|xn+x||xn x|< 4|xn x|. Por tanto, x=

2. Usando que

|xn 2|= |x2

n 2||xn+ 2| y (o y < x) significa que [x] > [y], o bien [x] = [y] y en la

primera posicion en la que difieren las cifras de las partes decimales es mayor la cifra

correspondiente ax. Quex es positivo significa quex >0, yR+ designa al conjunto de

los numeros reales positivos. La relacionxy (oyx) significa quex > y o bienx = y.Observacion 1.4.8. Seax R con parte decimal 0.a1a2a3 . . .. Las sumas parciales dela serie [x] +

n=1 an10n constituyen la sucesion creciente de numeros racionales xn =

[x] + 0.a1a2a3 . . . an la cual esta acotada inferiormente por [x] y superiormente porx, yademas converge ax, es decir, x es la suma de dicha serie.

Definicion 1.4.9. Dados a, b R con a < b se definen los intervalos acotados deextremos a y b de la siguiente forma:

(a, b) ={x R :a < x < b}[a, b] ={x R :axb}(a, b] ={x R :a < xb}[a, b) ={x R :ax < b}

El primero se denomina intervalo abierto, y el segundo, cerrado. El numero positivo

b a se denominalongitudde cada uno de ellos.Definicion 1.4.10. Dado a R se definen losintervalos no acotados de la siguienteforma:

(a, +) ={x R :x > a}[a, +) ={x R :xa}(, a) ={x R :x < a}(, a] ={x R :xa}

(, +) = R

Dado n Z, consideremos el intervalo [n, n+ 1). Los diez intervalos disjuntos de laforma [n + k 101, n + (k+ 1)101) con 0k9 se denominan intervalos de la primerageneracion. Pertenecer al mismo intervalo de la primera generacion significa tener igual

la primera cifra decimal ademas de la parte entera. Cada uno de los intervalos de la

primera generacion lo dividimos en diez intervalos de la segunda generacion (los numeros

del mismo intervalo coinciden en las dos primeras cifras decimales) y as sucesivamente.

Cualquier numero de [n, n+1) esta determinado si se conocen los intervalos de las sucesivas

generaciones a los que pertenece, pues ello equivale a conocer todas las cifras decimales

del mismo.

Observacion 1.4.11. No puede suceder que los intervalos de las sucesivas generacionesa los que un determinado numero pertenece tengan el mismo extremo derecho desde uno

de ellos en adelante, pues entonces tal numero tiene perodo 9.

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Definicion 1.4.12. DadosA, B conjuntos infinitos, se dice que el cardinal deB es mayor

que el deA si existe una aplicacion inyectiva deA enB y no existe una biyeccion deAenB.

Ejemplo 1.4.13. El cardinal de cualquier intervalo de numeros reales es mayor que el

deN.

En efecto, sean(a, b) R, ak la primera cifra decimal dea menor que la correspon-diente de b y ai la primera cifra decimal de a con i > k menor que 9. Definimos una

aplicacion inyectivaf deN en(a, b) mediante

f(n) = [a] + 0.a1a2 . . . ai1+ (ai+ 1)10i

+ 10i

1

+ 10i

2

+ + 10i

n

conn N.Y cualquier aplicacion inyectiva f de N en (a, b) no es sobreyectiva ya que basta

considerar un numero de (a, b) que difiera en alguna cifra decimal con f(n) para todo

n N.

1.4.4. Supremo e nfimo

Definicion 1.4.14. Sea A R, A=. Un numero mayor (menor) o igual que cadaelemento deA se llama cota superior(inferior) deA. Cuando A tiene cota superior

(inferior) se dice que estaacotado superiormente(inferiormente). Cuando suceden

ambas cosas se dice que estaacotado.

SiA esta acotado superiormente (inferiormente), puede haber un elemento maximo

(mnimo) que se designamax A (mn A) y que es mayor (menor) o igual que todos los

demas.

Observacion 1.4.15. No todos los conjuntos acotados tienen maximo y mnimo. Por

ejemplo, (0, 1).

Definicion 1.4.16. Sea A R, A=. Se definen el supremo y el nfimo de Amediante

sup A= mn{C R :xCxA}e

nfA= max{c R :xcxA}.Observacion 1.4.17. El intervalo [nfA, sup A] contiene a A y cualquier intervalo ce-

rrado contenido en este y distinto de el no contiene aA.

Teorema 1.4.18 (Teorema del supremo (nfimo)). Sea A R, A= y acotado supe-riormente (inferiormente). Entonces existesup A (nfA).

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Demostracion. Sea s el mnimo entero cota superior de A. Si s

A, entonces s= sup A.

En otro caso, [s 1, s) A=. Los demas elementos de A carecen de interes en orden aobtener el supremo. Consideramos la descomposicion de [s 1, s) en los diez intervalos dela primera generacion y elegimos de ellos el situado mas a la derecha entre los que tienen

elementos deA. Dividimos este en los diez intervalos de la segunda generacion y elegimos

otra vez el situado mas a la derecha entre los que tienen elementos de A. As continuamos

indefinidamente. Los intervalos de las sucesivas generaciones que se han ido encontrando,

o bien definen un numero que pertenece a todos y es claramente sup A, o bien desde uno

en adelante todos tienen el mismo extremo derecho, el cual es sup A.

La prueba para nfA se hace con un procedimiento analogo.

Observacion 1.4.19. Los terminos supremo e nfimo se usan tambien para referirse a

conjuntosA no acotados superiormente (sup A= +) o inferiormente (nfA=).Observacion 1.4.20. El supremo y el nfimo de una sucesion se designansup

nNxn e nf

nNxn

y son, respectivamente, el supremo y el nfimo del conjunto constituido por los numeros

que son algunos de sus terminos.

Observacion 1.4.21. El supremo de una sucesion creciente es su lmite, al igual que el

nfimo de una decreciente.

1.4.5. Construcciones con numeros reales

Definicion 1.4.22. Dadosx, y R con partes enterasa0yb0y partes decimales0.a1a2 . . .y0.b1b2 . . .respectivamente, se define lasumax+ycomo el lmite de la sucesion creciente

y acotada superiormente (por ejemplo, pora0 + b0 + 2)a0 + b0 + 0.a1a2 . . . an + 0.b1b2 . . . bn.

Six+y = 0, o bieny =x, se dice quey es elopuesto dex (yx el opuesto dey). Lasumax+ (y) se expresa tambien de la formax y.

Definicion 1.4.23. El valor absoluto dex R,|x|, se define as:|0|= 0, y six= 0,|x|es el unico numero positivo del conjunto{x, x}.Observacion 1.4.24. Puesto que(x) =x, resulta que| x|=|x|. Por otra parte, larelacion|x|< es equivalente ax < yx < , y lo mismo puede decirse de la relacion|x| .Proposicion 1.4.25.

1. (Desigualdad triangular) Six, y R, entonces|x+y| |x| + |y|.2. Six, y R, entonces|x+y| |x| |y|.3. Toda sucesion convergente esta acotada.

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4. Si lmn

xn = x y lmn

yn=y, entonces lmn

(xn+yn) =x+y y lmn

(

xn) =

x.

Demostracion.

1. Basta usar la observacion anterior y considerar los cuatro casos posibles, es decir,

x, y0, y


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3. Si a0 y 0.a1a2 . . . son las partes entera y decimal de x, existen

Q+ y n0

N

tales que|a0 + 0.a1a2 . . . an| > si n n0. La sucesion de numeros racionales(a0+ 0.a1a2 . . . an)

1 con nn0 es monotona y acotada luego convergente a y. Yaque las sucesiones xn = a0+ 0.a1a2 . . . an e yn = x

1n con n n0 convergen a x e

y respectivamente, la sucesion xnyn converge a xy, pero como xnyn = 1 para todo

nn0 se tiene que xy= 1, es decir, y es el inverso de x.

4. Esto se prueba usando que|xn| > |x|2 a partir de cierto termino lo cual se tiene envirtud de que||x| |y|| |x y| con x, y R.

5. Por reduccion al absurdo.

6. Basta usar 5.

Observacion 1.4.28. Si lmn

xn=x y lmn

yn = y yxn< yn para todo n N, entoncesno necesariamentex < y. Considerese por ejemplo xn=

1n

eyn= 2n

.

Definicion 1.4.29. Las potencias con exponente entero dex

R se definen as: x0 = 1,

xn+1 =xnx conn0, yxn = (x1)n conn N.

Proposicion 1.4.30.

1. Six R yn, m Z, entoncesxn+m =xnxm y(xn)m =xnm.

2. Six, y >0 yn N, entoncesx > y si y solo sixn > yn.

3. Si lmn

xn=x, entonces lmn

xmn =xm conm N.

4. Dados n N, n 2, y a > 0 existe un unico x > 0 tal que xn = a, el cual sedesigna n

a y se llama raz n-esimadea.

Demostracion.

1. Trivial.

2. Basta usar que xn

yn = (x

y)(xn1 +xn2y+

+yn1).

3. Se obtiene aplicando reiteradamente que el lmite de un producto de sucesiones

convergentes es el producto de sus lmites.

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4. Sea A =

{x

R+ : xn

a

} =

ya que lm

n

1n

= 0. Tambien A esta acotado

superiormente por 1 si a 1 o por a si a > 1 con lo que existe sup A = x.Supongamos que xn < ay sea

0< 0 se definen as: amn =

n

am yamn = (a1)

mn conm, n

N. Sia >1, las potencias crecen al hacerlo el exponente

y lmn

an = + y lmn

an = 0. Y sia 0, x= 0 yx > 0. Y six, y >0, entonces x+y,xy >0.

3. (Propiedad del supremo) Si A R, A= y esta acotado, entonces existe sup A.

La propiedad arquimediana es una consecuencia de estos axiomas:

Proposicion 1.4.32 (Propiedad arquimediana). Dadosx, y Rconx >0, existen Ntal quenx > y.

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Demostracion. Sea A =

{nx : n

N

}. Si nx

y para todo n

N, A estara acotado

y existira sup A. Por tanto, existira n0 N tal que sup Ax < n0x lo cual es unacontradiccion.

1.4.6. El teorema de Bolzano-Weierstrass

Dos sucesionesany bncreciente y decreciente respectivamente y tales quean< bnpara

todo n N definen la sucesion de intervalos [an, bn] cada uno de los cuales contiene alsiguiente por lo que se llaman intervalos encajados. Ambas sucesiones son convergentes

aa y b respectivamente por ser monotonas y acotadas, verificandose a

b y siendoa = b

si lmn

(bn an) = 0. La interseccion de dichos intervalos es [a, b].

Teorema 1.4.33(Teorema de Bolzano-Weierstrass). SeaAR infinito y acotado. Existex R y una sucesionxn cuyos terminos pertenecen aA y son distintos dos a dos talesque lm

nxn=x.

Demostracion. Por ser acotado, A [a1, b1]. Sea c1 = a1+b12 . Alguno de los intervalos[a1, c1] y [c1, b1] debe contener infinitos elementos de A. Lo designamos [a2, b2]. Y as su-

cesivamente. Existe un unicox

R que pertenece a todos los intervalos encajados [an, bn]

pues lmn(bn an) = 0. Eligiendo en cada intervalo [an, bn] un elementoxn de A distintos

dos a dos obtenemos una sucesion con la propiedad requerida.

Al numero x del teorema anterior se le llama punto de acumulacion de A lo cual

se define de la siguiente forma: x R es punto de acumulacion de A R si para cadaintervalo abierto al que pertenecex tambien pertenece algun elemento de A distinto dex.

1.4.7. Subsucesiones

Definicion 1.4.34. Dada una sucesion estrictamente crecientej(n) de numeros natura-

les, la sucesionyn=xj(n) se llamasubsucesiondexn.

Observacion 1.4.35. Si lmn

xn = x[, +], cualquiera de sus subsucesiones tieneel mismo lmite.

Proposicion 1.4.36. Para cada sucesion acotadaxn existe alguna subsucesion conver-

gente.

Demostracion. Sea A ={xn : n N}. Si A es finito, entonces algun elemento de A serepite infinitas veces como termino y, si se suprimen los demas, la subsucesion resultante

es constante. Si Aes infinito, considerando la construccion hecha en la demostracion del

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teorema de Bolzano-Weierstrass, elegimos y1 = x1, y2 = xj(2) siendo j(2) > 1 y tal que

y2 [a2, b2], y3 = xj(3) siendo j(3) > j(2) y tal que y3 [a3, b3], etc. La subsucesion ynconverge a x.

1.4.8. Lmites superior e inferior

Definicion 1.4.37. Dada una sucesionxn se definen sus lmites superiore inferior

de la siguiente forma:

lm sup xn = lmm

supnm

xn

ylm infxn= lm

mnf

nmxn.

Observacion 1.4.38. Los lmites superior e inferior de xn estan bien definidos puessupnm

xn

mN

e

nf

nmxn

mN

son sucesiones decreciente y creciente respectivamente.

Proposicion 1.4.39.

1. lm infxn

lm sup xn y si hay igualdad, entonces lm

nxn = lm sup xn= lm infxn.

2. lm infxn= lm sup(xn).

3. Sixj(n) es una subsucesion dexn, entonces

lm infxnlm infxj(n) lm sup xj(n)lm sup xn.

4. Si A es el conjunto de numeros que son el lmite de alguna subsucesion de xn,

entonces lm sup xn = sup A y lm infxn= nfA.

5. Sixnyn conn N, entonces lm sup xn lm sup yn y lm infxnlm infyn.6. lm sup(xn+yn) lm sup xn+ lm sup yn y resulta la igualdad si alguna de las dos

sucesiones converge.

7. lm inf(xn+ yn) lm infxn+ lm infyn y resulta la igualdad si alguna de las dossucesiones converge.

8. Si lmn

xn = x >0, entonceslm sup(xnyn) =x lm sup yn.

Demostracion.

1. Trivial.

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2. Idem.

3. Para demostrar la primera desigualdad siendoxn acotada basta razonar por reduc-

cion al absurdo y considerar < lm infxn lm infxj(n). El caso no acotado estrivial. La tercera desigualdad se obtiene de forma analoga.

4. Es consecuencia de que hay subsucesiones de xn que convergen a lm sup xn y sub-

sucesiones que convergen a lm infxn.

5. Obvio.

6. La desigualdad se tiene gracias a quexn+ yn supnm xn+ supnm yn para todo mN

y todo nm. Sea ahora lmn

xn =x y lm sup yn = y . Si y no es finito se obtiene

con facilidad la igualdad. En caso contrario, dado > 0, existe n0 N tal quexn+ yn < x + y+ si nn0 y existen infinitos terminos de la sucesion xn+ yn enel intervalo (x+y , x+y+) lo cual prueba la igualdad.

7. Es suficiente utilizar el apartado anterior y que lm infzn = lm sup(zn) paratoda sucesion zn.

8. Supongamos que lm sup yn es finito pues en caso contrario la demostracion se ob-

tiene sin dificultad. Ya que x= 0, una subsucesion yj(n) de yn es convergente si ysolo si es convergente xj(n)yj(n). Resulta entonces

lm sup(xnyn) = sup

lmn

(xj(n)yj(n))

= sup

x lmn

yj(n)

= x sup

lmn

yj(n)

= x lm sup yn

donde el supremo esta tomado sobre todas las subsucesiones convergentes de yn.

1.4.9. La propiedad de Cauchy

Definicion 1.4.40. Una sucesionxn tiene la propiedad de Cauchysi para todo >0

existen0 N tal que para todosn, mn0 se tiene que|xn xm|< .

Proposicion 1.4.41.

1. Las sucesiones convergentes tienen la propiedad de Cauchy.

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2. Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy estan acotadas.

3. Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy son convergentes.

Demostracion.

1. Seaxn una sucesion convergente ax. Basta con usar quexn xm=xn x + x xmy la desigualdad triangular.

2. Sea xn una sucesion con la propiedad de Cauchy. Existe n0 N tal que para todosn, m

n0 se tiene que

|xn

xm

|< 1. Si n

n0, entonces

|xn| |xn xn0 | + |xn0 |< 1 + |xn0|

con lo que|xn| max{|x1|, |x2|, . . . , |xn01|, 1 + |xn0|} para todo n N.

3. Sea xn una sucesion con la propiedad de Cauchy, luego acotada, con lo que sus

lmites superior e inferior son finitos. Supongamos que lm infxn < lm sup xn y

sea = 13

(lm sup xnlm infxn). Para cada n0 N existen n, m n0 tales quexn < lm infxn + y xm > lm sup xn por lo que xm xn > lo cual escontradictorio con que xn tenga la propiedad de Cauchy.

Ejercicios

1. Sea x= 3,14205205205 . . .. Determina la representacion decimal dex [x].

2. SiAR,Adesigna al conjunto cuyos elementos son los opuestos de los elementosde A. Demuestra que nfA+ sup(

A) = 0 siendo A acotado.

3. Dada una sucesion xn, prueba que

supnN

xn= lmn

max(x1, x2, . . . , xn)

y que

nfnN

xn = lmn

mn(x1, x2, . . . , xn).

4. Sean A, B Rcon A, B= tales que xy para todo xA e yB . Prueba queexisten sup Ae nfB y que sup A

nfB.

5. Determina si los siguientes subconjuntos de R estan acotados superior o inferior-

mente y, en caso afirmativo, calcula supremo e/o nfimo:

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a) A=

{x

R :(x

3)(2

x)0, demuestra los siguientes resultados:

a) lmn

xn = 0 si y solo si lmn

axn = 1.

b) Si lmn

xn=x, entonces lmn

axn =ax.

c) lmn

xn = 1 si y solo si lmn

loga xn= 0, siendo xn > 0 para todo n N.d) Si lm

nxn = x, entonces lm

nloga xn = loga x, siendo xn, x > 0 para todo

n

N.

e) Si lmn

xn = x y lmn

yn = y, entonces lmn

xnyn = xy, siendo xn, x > 0 para

todo n N.

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14. Sea xn una sucesion de terminos no nulos con lmn

xn=

. Demuestra que

lmn

1 +

1

xn

xn=e.

15. Calcula el lmite de las siguientes sucesiones:

a) xn= n

asiendo a >0.

b) xn= an siendo a >0.

c) xn= 10n

n! .

d) xn= n

n.

e) xn= pn+ 1 pncon p N.

f) xn=

n2 +n n.g) xn= n(

n

n+ 1 nn).h) xn= n( n

e 1).

i) x1= 13

, xn+1 = 1

1+

1xn1

.

j) x1>1, xn+1= 2 1xn .k) x1= 1, xn+1=

2 +xn.

l) xn=

n1n+3

n+2.

m) xn=

12n352n33n2

.

n) xn=

1 + sen 1n

n.

n) xn=

cos 1n

n.

o) xn=

cos 1n

n2.

p) xn= log(1+ an)

sen bnsiendo a, b= 0.

q) xn= en! [en!].16. Demuestra que si an es una sucesion de terminos positivos tal que lm

nan+1

an=

, entonces lmn

n

an = . Como aplicacion calcula los lmites de las sucesiones

siguientes:

a) xn= n

n!.

b) xn= n

1 + 1

2+ 1

3+ + 1

n.

17. (Criterio de Stolz) Demuestra que si bn es una sucesion de terminos positivos tal

que la sucesion b1+ b2+ + bn no esta acotada y an es cualquier sucesion tal quelm

nanbn

= , entonces lmn

a1+a2++anb1+b2++bn = . Como aplicacion calcula los lmites de

las sucesiones siguientes:

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a) xn= log n

n .

b) xn= 1+ 1

2+ 1

3++ 1n

n .

1.5. Series convergentes

Proposicion 1.5.1. Si la serie

n=1

an es convergente, entonces lmn

an = 0.

Demostracion. Ya que la sucesion de sumas parciales verifica la propiedad de Cauchy,

dado >0, existe k0 Ntal que si i, jk0, coni < j, entonces j

n=i+1

an < . Tomando

j=i+ 1 se tiene el resultado.

1.5.1. Comparacion de series de terminos positivos

Proposicion 1.5.2. Si0 < an bn para todo n N y

n=1

bn es convergente, entonces

n=1

an es tambien convergente.

Demostracion. La sucesion de sumas parciales de

n=1

an es creciente y acotada superior-

mente.

Proposicion 1.5.3. Sean

n=1

an y

n=1

bn dos series de terminos positivos.

1. Si lmn

anbn

= > 0, entonces ambas series tienen el mismo caracter, es decir, o

ambas son convergentes o ambas son divergentes.

2. Si lmn

anbn

= 0 y

n=1

bn es convergente, entonces

n=1

an es tambien convergente.

Demostracion.

1. Existen0N tal que 2bn < an < 32bn para todo nn0. La Proposicion 1.5.2 nosda el resultado.

2. Existe n0 N tal que an < bn para todo n n0. La Proposicion 1.5.2 nos da elresultado.

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1.5.2. Series alternadas

Definicion 1.5.4. Sian es una sucesion de numeros positivos, a las series

n=1

(1)nan y

n=1

(1)n1an se les llamaseries alternadas.

Proposicion 1.5.5. Sian es una sucesion decreciente de numeros positivos y convergente

a0, entonces las series alternadas

n=1

(1)nan y

n=1

(1)n1an son convergentes.

Demostracion. Vamos a considerar la segunda serie alternada. Un razonamiento analogo

puede hacerse con la primera. Basta observar que las subsucesioness2k1y s2k, conk N,son decreciente y creciente, respectivamente, y que s2k1 > s2k para todo k N, con loque la sucesion de intervalos encajados [s2k, s2k1] tiene como interseccion de todos ellosun unico numero s (por converger a cero la longitud de los mismos) que es la suma de la

serie.

1.5.3. Convergencia absoluta

Definicion 1.5.6. Se dice que la serie

n=1 anesabsolutamente convergentesi la serie

n=1

|an| es convergente.

Observacion 1.5.7. Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente

porque en virtud de la desigualdad triangular tiene la propiedad de Cauchy.

Definicion 1.5.8. Si j : N N es una biyeccion, se dice que la serie

n=1

aj(n) es una

reordenacionde la serie

n=1an.

Teorema 1.5.9. Si la serie

n=1

anes absolutamente convergente y tiene sumas, cualquier

reordenacion suya

n=1

aj(n) tiene tambien sumas.

Demostracion. Sean sk y sk las respectivas sucesiones de sumas parciales de

n=1

an y

n=1

aj(n). Ya que la serie

n=1

|an| tiene la propiedad de Cauchy, dado >0 existe k0 N

tal que si i, j k0, con i < j, entoncesj

n=i+1 |an| < . Consideramos los subndicesj(1), j(2), . . . , j(k1) hasta que entre ellos esten 1, 2, . . . , k0. Si k > k1, entonces se tiene

|sk sk|< .

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Definicion 1.5.10. Se dice que la serie

n=1

an es condicionalmente convergentesi

converge pero la serie

n=1

|an| diverge.

Teorema 1.5.11(Riemann). Si la serie

n=1

anes condicionalmente convergente, entonces

para todo R existe una reordenacion suya

n=1

aj(n) cuya suma es.

Demostracion. Sean

n=1

pn y

n=1

qn las series de los terminos positivos y negativos de

an, respectivamente. Ya que la serie

n=1

an es condicionalmente convergente, ambas son

divergentes.

Dado 0 (la demostracion para < 0 es analoga) tomamos n1 como el primernatural tal que

n1n=1

pn > . Entoncesn1

n=1

pn pn1 . Ahora tomamosm1 como el primer

natural tal quen1

n=1

pn+m1

n=1

qn < . Por tanto, n1

n=1

pnm1

n=1

qn qm1. Continuandoindefinidamente con este procedimiento obtenemos una reordenacion de an

p1, . . . , pn1, q1, . . . , q m1, pn1+1, . . . , pn2, . . .

cuya serie converge a ya que lmn

an= 0.

1.5.4. Criterios de convergencia

Proposicion 1.5.12 (Criterio de la raz).

1. Si lm sup n|an|< 1, entonces

n=1

an es absolutamente convergente.

2. Si lm sup n|an|> 1, entonces

n=1

an es divergente.

Demostracion.

1. Sea lm sup n

|an| < t < 1. Existe n0 N tal que n

|an| < t si n n0 con lo que

|an

|< tn. Aplicando la Proposicion 1.5.2 se obtiene el resultado.

2. Si lm sup n|an| > 1, hay infinitos terminos de la sucesion|an| mayores que 1 por

lo que an no converge a 0.

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Proposicion 1.5.13 (Criterio del cociente).

1. Si lm sup|an+1||an| 1, entonces

n=1

an es divergente.

Demostracion.

1. Sea lm sup|an+1||an| < t < 1. Existe n0 N tal que|an+1| < t|an| si n n0 con loque|an0+n|< tn|an0| para todo nN. Aplicando la Proposicion 1.5.2 se obtiene elresultado.

2. Si lm inf|an+1||an| >1, existe n0 N tal que|an+1| >|an| si nn0 por lo que an noconverge a 0.

Proposicion 1.5.14 (Criterio de Raabe).

1. Si lm infn

1 |an+1||an|

> 1, entonces

n=1

an es absolutamente convergente.

2. Si lm sup n

1 |an+1||an|

< 1, entonces

n=1

|an| es divergente.

Demostracion.

1. Sea lm infn

1 |an+1||an|

> t >1. Existe n0 N tal quen|an| n|an+1|> t|an|parann0. Considerando las desigualdades anteriores paran = n0, n0 + 1, . . . , n0 + mysumando primeros miembros por un lado y segundos por el otro se obtiene facilmente

que |an0+1|+|an0+2|+ +|an0+m|< n0t1 |an0| para todom N con lo que la sucesionde sumas parciales de la serie

n=1

|an0+n| esta acotada obteniendose el resultado.

2. Existen0 Ntal que (n 1)|an|< n|an+1|si nn0. Aplicando sucesivamente estadesigualdad se obtiene que|an0+n+1| > (n0 1)|an0 | 1n0+n para todo n N lo cualnos da el resultado en virtud de la Proposicion 1.5.2.

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Proposicion 1.5.15(Criterio de Dirichlet). Sianes una sucesion decreciente de numeros

positivos convergente a0 y la sucesion de sumas parciales de la serie

n=1

bn esta acotada,

entonces la serie

n=1

anbn es convergente.

Demostracion. Sea C >0 tal que

kn=1

bn

Cpara todok N. Dadosi, j Nconi < jse tiene que

j

n=i+1anbn = ai+1

in=1

bn+

j1n=i+1

(an an+1)n

m=1bm+aj

jn=1

bn 2Cai+1.

Ya que la sucesion an converge a 0, la sucesion de sumas parciales de la serie

n=1

anbn

tiene la propiedad de Cauchy.

Proposicion 1.5.16(Criterio de Abel). Si la serie

n=1

an es convergente y la sucesionbn

es monotona y acotada (luego convergente ab), entonces la serie

n=1anbn es convergente.

Demostracion. Supongamos que bn es decreciente, luego la sucesion cn = bn bes decre-ciente y convergente a 0. Se tiene que

n=1

anbn =

n=1

(ancn+ban) con lo que aplicando el

criterio de Dirichlet se obtiene el resultado. El otro caso es analogo.

1.5.5. Producto de series

Definicion 1.5.17. Dadas dos series

n=0 an y

n=0 bn se define su productocomo la serie

n=0

cn dondecn=n

k=0

akbnk.

Proposicion 1.5.18. Si

n=0

an es absolutamente convergente y tiene sumas, y

n=0

bn es

convergente y tiene sumar, entonces la serie producto

n=0

cn tiene sumasr.

Demostracion. Seansk,rk ytk las sucesiones de sumas parciales de

n=0 an,

n=0 bn y

n=0 cn

respectivamente. Se tiene que tk =skr +k

i=0

ai(rki r) para todok Npor lo que basta

33


34/95

comprobar que el sumatorio anterior converge a 0. Dado > 0 existe k0

N tal que

|rk r|< si kk0. Si k > k0,k

i=0

ai(rki r) =kk0i=0

ai(rki r) +k

i=kk0+1ai(rki r).

El segundo sumatorio es la suma de k0 sucesiones que convergen a 0 y el valor absoluto

del primero es menor que

n=0

|an|. Por tanto,

lm sup k

i=0

ai(rk

i

r) lm sup

kk0

i=0

ai(rk

i

r)

n=0 |

an|

para todo >0.

Ejercicios

1. Calcula la suma de cada una de las series siguientes:

a)

n=012n3n

.

b)

n=1

1n(n+1)

.

c)

n=1

nan siendo 0< a


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3. Prueba que si la serie

n=1

an es convergente y la sucesionan es decreciente, entonces

lmn

nan = 0.


a) La serie armonica

n=1

1np

.

b)

n=1

1n+100

.

c)

n=2

1n(log n)p

.

d)

n=1

1n

n+1.

e)

n=1

n2

n3+1.

f)

n=1

anna siendo a >0.

g)

n=11

(n+1) n

n.

h) n=1

n2n! .

i)

n=1

ann!nn

siendo a >0.

j)

n=1

13(2n1)24(2n) .

k)

n=1

n!a(a+1)(a+2)(a+n1) siendo a >2.

l) 1 log 2 + 12 log 3

2+ + 1

n log n+1

n + .

m)

n=1

cosnn

.

n)

n=1

1n

log

1 + 1n3

.

n)

n=1

1+cos2 nnn

.

o)

n=1

( n

n 1)n.

p)

n=3

1

n log logn.

q)

n=2

tag ( 2n+14 )log n

.

35


36/95

r)

n=2

senn

log n

.

s)

n=1

sen (n2+1)2

n3 .

5. Reordena la serie

n=1

(1)n11n

para que sea divergente.

6. Demuestra que

n=1

(1)n11n

= log 2.

7. Dada una serie convergente

n=1

an de terminos no negativos, prueba que

n=1

an

np

converge si p > 12

. Da un contraejemplo para p = 12

. Es tambien convergente

n=1

anan+1?

8. Estudia la convergencia y la convergencia absoluta de las series siguientes:

a)

n=1

an

n!.

b)

n=1 n!an.

c)

n=1

sennn2

.

d)

n=1

nn+1

n2.

e)

n=1

2(1+1

2+ 1

3++ 1

n).

9. Sea A={nk :k N} la coleccion de numeros naturales que no tienen la cifra 0 ensu representacion decimal. Prueba que

k=1

1nk

converge y tiene suma menor que 90.

10. Si

n=1

an diverge, demuestra que

n=1

nan tambien diverge.

11. Si

n=1

an converge absolutamente, prueba que las series siguientes tambien:

a)

n=1

a2n.

b)

n=1

an1+an

si an

=

1 para todo n

N.

c)

n=1

a2n1+a2n

.

36


37/95


a)

n=1

n2+1n!

.

b)

n=1

cosn

a+ bn

con 0< a <

2.

c)

n=1

n2+1nan

con a= 0.

d)

n=1

3n

n2+1.

e) n=1

n+1nn3 .

f)

n=1

1an+b

con an+b= 0 para todo n N.

g)

n=1

1n(n+1)(n+2)

.

h)

n=1

1+sen2 ann2

.

i)

n=1

1n

sen 1n

.

j)

n=1

n+1n

n .

k)

n=1

n(n+1)n2+2n

.

l)

n=1

1n

n+ 1n .m)

n=11

3cos1/n .

n) n=1

an

n n!.

n)

n=1

1n(1+1/2++1/n) .

o)

n=2

1+1/2++1/nn3 log n

.

p)

n=2

1(log n)2n

.

q)

n=1

log n+1n

.

r)

n=1

e

n2+1.

37


38/95

s)

n=2

1

(log n)

p .

t)

n=1

ann

.

u)

n=1

(1)n1+1/2++1/n .

v)

n=1

(1)n(n+1)n!

.

w)

n=1(n2+1)an

(n+1)! .

x)

n=1

e1/n

2 e1/(n2+1)

.

y)

n=1

(1)n+1nn2+1

.

z)

n=1

(n!)2a2n

(2n)! .

38


39/95

Tema 2

Funciones, lmites y continuidad

2.1. Funciones reales de variable real

Definicion 2.1.1. Una funcion f definida en A R y que toma valores en B R,f :AB , es una regla que asocia unvocamente a cadaxA un numero realf(x)Bque se llama imagendex. A A se le llamadominio defy se denota por dom(f). Se

llamarango o recorrido defal conjunto

rang(f) =f(A) ={yB :xA tal quef(x) =y}.

Finalmente, se llamagraficadefal subconjunto del producto cartesiano A B formadopor los pares(x, f(x)) conxA.Ejemplos 2.1.2.

1. Los terminos de una sucesion an pueden interpretarse como las imagenes de los

numeros naturales mediante una funcionfcuyo dominio esN, es decir, f(n) =an

para cadan N.2. La funcion f definida en A R tal que f(x) = x para cada x A se llama

identidaddeA. Se tiene que dom(f) =rang(f) =A.

3. Una funcion tal que todas las imagenes son el mismo numero se llama funcion

constante.

Definicion 2.1.3. Se dice que una funcionf :AB es inyectivasi para cualesquierax, yA conx=y, entoncesf(x)=f(y). Y se dice que es sobreyectivasif(A) =B .Sifes inyectiva y sobreyectiva, se dice que esbiyectiva.

Definicion 2.1.4. Dada una funcion biyectivaf :AB, se define su funcioninversaf1 :BA de la siguiente forma: f1(y) =x siendo f(x) =y.

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40/95

Observacion 2.1.5. Si una funcionfes biyectiva, claramente su inversa tambien lo es

y la inversa def1 esf.

Observacion 2.1.6. Las graficas de una funcion y de su inversa son simetricas respecto

de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Observacion 2.1.7. Si la funcion f : A B es inyectiva y no biyectiva, la funcionf :Af(A) es biyectiva.Definicion 2.1.8. A dos funciones f : A B y g : B C se asocia una nuevafunciong f :ACllamada lacomposiciondef cong, y que esta definida mediante

(g f)(x) =g(f(x))

para cada x A. De forma analoga se define una cadena fnfn1 f2f1 de nfunciones. Como caso particular se tienen lasiteracionesfn de una funcionf :AAconsistentes en componerf consigo misman veces.

Definicion 2.1.9. La funcion f : A B esta acotada superiormente si existeC R tal que f(x) C para todo x A. Y esta acotada inferiormente si existec R tal quef(x) c para todo x A. Sif esta acotada superior e inferiormente sedice que estaacotada. Si existex0

A tal quef(x)

f(x0) para todo x

A se dice que

f tiene enx0 unmaximo absoluto y quef(x0) es el maximo def. Analogamente se

definemnimo absoluto.

Definicion 2.1.10. La funcion f : A B tiene en x0 A un maximo (mnimo)relativo o local si existe > 0 tal que f(x) f(x0) (f(x) f(x0)) para cualquierx(x0 , x0+) A.

Las operaciones aritmeticas con funciones que tienen el mismo dominio se definen para

cada x del mismo a traves de la correspondiente operacion aritmetica con las imagenes

de x.

Definicion 2.1.11. La funcionf :AB esconcavasi

f(x1+ (1 )x2)f(x1) + (1 )f(x2)

para cualesquierax1, x2A y[0, 1]. Y esconvexasi se tiene la desigualdad contra-ria.

Definicion 2.1.12. Una funcionfse llamaperiodicasi existeT >0 tal que

f(x+T) =f(x)

para cadax y el menorTcon esta propiedad se llamaperiodo.

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41/95

Definicion 2.1.13. La funcionf :A

B escreciente(estrictamente creciente) si

f(x1)f(x2) (f(x1)< f(x2)) siempre quex1 < x2. Y esdecreciente (estrictamentedecreciente) sif(x1) f(x2) (f(x1) > f(x2)) siempre quex1 < x2. Todas estos tiposde funciones se denominan funcionesmonotonas.

Ejercicios

1. Construye una funcion cuyo dominio sea [0, 1] y cuyo recorrido sea [1, 2].2. Cuantas funciones se pueden definir con dominio{1, 2, 3} y recorrido{4, 5}?3. Dibuja la grafica de las siguientes funciones definidas en A, indicando en cada caso

el recorrido:

a) f(x) =|x|, A= [1, 1].b) f(x) =x [x], A= [2, 3].

4. Sean f : R R una funcion y A, B R. Estudia si las igualdades siguientes sonverdaderas o falsas:

a) f(A

B) =f(A)

f(B).

b) f(A B) =f(A) f(B).c) f(A \ B) =f(A) \ f(B).d) f1(A B) =f1(A) f1(B).e) f1(A B) =f1(A) f1(B).f) f1(A \ B) =f1(A) \ f1(B).

5. Calculaf(A) y f1(B) en los siguientes casos:

a) f(x) = 3x 5, A= [1, 2] y B = [0, +).b) f(x) =x2, A = (2, 3] yB = (4, 1).

6. Estudia si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas:

a) f(x) = xx1 .

b) f(x) =

x2 + 2.

c) f(x) = xx2+1

.

7. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) = 1 x2.b) f(x) =

1 1 x2.

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42/95

c) f(x) = 1x

1

+ 1x

2

.

d) f(x) =1x

x2 .

e) f(x) =

1 x2 + x2 1.f) f(x) =

1|x|2|x| .

g) f(x) =

(x1)(x2)(x3)(x4) 1.

h) f(x) =

arc sen(x 1).i) f(x) = log x

25x+6x2+4x+6

.

j) f(x) =

log 5xx2

4 .

8. Determinaf f, f g, g f yg g en cada uno de los siguientes casos:a) f(x) =x2 y g(x) = 1

x.

b) f(x) =

1 si x01 si x 0

yg(x) =

0 si x0x2 si x >0

9. Sea f(x) =

1

x1 . Calcula f2

(x) yf3

(x).10. Sea f(x) = x

1+x2. Calcula fn(x).

11. Halla el intervalo maximo en el que esta definida la funcion f(x) = log log log log x.

12. Calcula la funcion inversa de f(x) = x1x2 con x(0, 1).

13. Es posible construir una funcion definida en el intervalo [0, 1] que sea acotada y no

tenga maximo ni mnimo absolutos?

2.2. Lmites

Definicion 2.2.1. Supongamos quef es una funcion definida en un intervalo Iy quec

es un numero interior aI, o bien un extremo deI, o bien+ siI no esta acotado porla derecha, o bien siIno esta acotado por la izquierda.

Se dice queL es el lmite def cuando x tiende ac, lmxc

f(x) = L, si cada sucesion

de numeros del dominio def, distintos dec, cuyo lmite es c se transforma mediantef

en una sucesion que tiene lmiteL.

Si c es interior a I o un extremo de I, se dice que L es el lmite lateral por la

derecha de f cuando x tiende a c, lmxc+

f(x) = L, si cada sucesion de numeros del

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dominio def, mayores quec, cuyo lmite esc se transforma mediantef en una sucesion

que tiene lmiteL. Analogamente, se dice queL es el lmite lateral por la izquierdade f cuando x tiende a c, lm

xcf(x) = L, si cada sucesion de numeros del dominio de

f, menores quec, cuyo lmite es c se transforma mediantef en una sucesion que tiene

lmiteL.

Observacion 2.2.2. Solamente cuando los dos lmites laterales existen y son iguales

resulta quef tiene lmite enc.

Basandose en las propiedades conocidas para lmites de sucesiones se obtienen los dos

siguientes resultados:

Proposicion 2.2.3. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I tales que

lmxc

f(x) =L R y lmxc

g(x) =L R. Entonces:

1. lmxc

(f+g)(x) =L+L.

2. lmxc

(f g)(x) =LL.

3. lmxc

fg

(x) = L

L siL= 0.

Observacion 2.2.4. Los casos no contemplados en el resultado anterior se estudian sin

dificultad salvo L= + yL = para la suma, L= 0 yL =para el producto yL= L= 0 yL= yL = para el cociente, llamados indeterminaciones.Proposicion 2.2.5.

1. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I. Si existe > 0 tal que se

verificaf(x)g(x) para todo x(c , c +) y ambas funciones tienen lmite enc, entonces lm

xcf(x) lm

xcg(x).

2. (Metodo del sandwich) Sean f, g y h tres funciones definidas en un intervalo I.

Si existe > 0 tal quef(x) g(x) h(x) para todo x (c , c+) y ademaslmxc

f(x) = lmxc

h(x) =L, entonces lmxc

g(x) =L.

Teorema 2.2.6. El numeroL es el lmite def(x)cuandox tiende al numeroc si y solo si

se verifica la siguiente propiedad: para cada >0 existe algun >0 tal que|f(x)L|< cuando 0


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Teorema 2.2.7. El numero L es el lmite de f(x) cuando x tiende a +

(

) si y

solo si se verifica la siguiente propiedad: para cada > 0 existe algun A > 0 tal que|f(x) L|< cuando x > A (x A(xn 0 basta razonar por reduccion al absurdo considerando

A= n para todo n N.

Analogamente se demuestran los dos siguientes resultados:

Teorema 2.2.8. El lmite de f(x) cuando x tiende al numero c es + () si y solo si para cada M > 0 existe algun > 0 tal que f(x) > M (f(x) 0 tal quef(x) > M (f(x) A(x 0 existe algun >0 tal que|f(x) f(y)|< cuando0


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la primera igualdad pues la otra se obtiene analogamente. Ese supremo es un numero por-

que el conjunto correspondiente esta acotado superiormente por f(c). Dado >0 existex0 < c tal que sup

x


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n) lmx

0

x cotag x

2

.

o) lmx+

2x2+32x2+5

8x2+3.

p) lmx0

ex+senx1log(1+x)

.

4. Siendon, m N ya,b >0 calcula los siguientes lmites:a) lm

x0n1+ax1

x .

b) lmx0

n1+ax m1+bxx

.

c) lmx1nx

1

mx1 .

d) lmx0

n1+ax m1+bx1x

.

e) lmx0

n1+ax+bx21

x .

2.3. Continuidad

Definicion 2.3.1. La funcionf es continua en un punto c en el que esta definida

si f(c) = lmxc f(x). En caso contrario se dice que f esdiscontinua en c. Cuando ellmite existe y es finito pero distinto de f(c) se dice que la discontinuidad es evitable

pues basta cambiar la definicion def enc poniendo f(c) igual a dicho lmite para que la

discontinuidad desaparezca.

La funcionf es continua por la derechaen un punto c en el que esta definida si

f(c) = lmxc+

f(x). Analogamente se define lacontinuidad por la izquierda.

Una funcion que es continua en cada punto del intervalo en el que esta definida se

denomina funcion continua.

Observacion 2.3.2. Si una funcion monotonaf esta definida a ambos lados de c, de-

cir que f no es continua en c equivale a decir que lmxc+

f(x)= lmxc

f(x). El numero lmxc+

f(x) lmxc

f(x)

se llamasalto def enc.Basandose en las propiedades conocidas para lmites de sucesiones se obtiene que

la suma, el producto y el cociente de dos funciones continuas en c tambien lo es (si el

denominador no se anula en c). Ademas, si f es continua en c y g es continua en f(c),

entonces g

fes continua en c.

Definicion 2.3.3. La funcionf esuniformemente continuasi para cada >0 existe

algun >0 tal que|f(x) f(y)|< si|x y|< .

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Observacion 2.3.4. Si una funcion es uniformemente continua, entonces es continua.

Proposicion 2.3.5. Cualquier sucesion convergente se transforma mediante una funcion

uniformemente continua en una sucesion convergente.

Demostracion. Es suficiente ver que las funciones uniformemente continuas conservan la

propiedad de Cauchy para sucesiones.

Teorema 2.3.6. Si la funcionfes continua en [a, b], entonces es uniformemente conti-

nua.

Demostracion. Supongamos que fno es uniformemente continua. Entonces existe >0tal que para todo n N existen xn e yn en el dominio de f tales que|xnyn| < 1n y|f(xn) f(yn)| . Existe una subsucesion xj(n) convergente a un punto x [a, b]. Lasubsucesion yj(n) tambien converge a x perof(xj(n)) yf(yj(n)) no pueden tener el mismo

lmite, lo cual es contradictorio con que fsea continua en x.

Proposicion 2.3.7.

1. La funcionf es uniformemente continua en (a, b) si y solo si es continua y tiene

lmite finito ena y enb.

2. Sif : [a, +) R es continua y tiene lmite finito en+, entonces es unifor-memente continua.

Demostracion.

1. Sif tiene lmite finito en a y en b, basta con extender con continuidad la definicion

de f a [a, b], dandole en a y en b como valor los respectivos lmites, y aplicar el

teorema anterior.

Si fes uniformemente continua en (a, b) y xn converge a a, entonces f(xn) es con-vergente. Lo mismo le sucede a cualquier otra sucesion xn convergente a a. Lasdos sucesiones f(xn) y f(x

n) tienen el mismo lmite (en caso contrario basta con-

siderar la sucesion x1, x1, x2, x

2, x3, x

3, . . .) con lo que lm

xa+f(x) existe y es finito.

Analogamente se prueba el resultado para b.

2. Sean L= lmx+

f(x) y >0. Existe A > a tal que|f(x) L|< 4

si xA, con loque si x, yA, entonces|f(x) f(y)|<

2. En [a, A]f es uniformemente continua,

existiendo > 0 tal que si|x y| < , entonces|f(x) f(y)| < 2

. Si|x y| < ,x[a, A] e y > A, basta usar la desigualdad triangular a traves de f(A).

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Teorema 2.3.8 (Teorema de los valores intermedios). Seafuna funcion continua cuyo

dominio es un intervalo I y sean a, b I tales que f(a)= f(b). Si u es un numerointermedio entref(a) yf(b), existec(a, b) tal quef(c) =u.

Demostracion. Dividimos [a, b] en dos intervalos cuyo extremo comun es el punto medio.

Si la imagen de este punto es u, ya se ha encontrado el c buscado. Si no, para alguno

de los dos intervalos, que designamos [a1, b1], sucede que u es intermedio entre f(a1) y

f(b1). Continuando el proceso se obtienen dos sucesiones monotonas an ybn convergentes

ambas a un numero c[a, b]. Ya que fes continua en c, las dos sucesiones f(an) yf(bn)convergen a f(c) y, por otra parte, al ser u intermedio entre f(an) y f(bn) para cada

n N, se tiene que f(c) =u con lo que, ademas, c=a, b.Corolario 2.3.9 (Teorema de Bolzano). Sea f una funcion continua cuyo dominio es

un intervalo Iy seana, bI tales quef(a) f(b)< 0. Entonces existec(a, b) tal quef(c) = 0.

Corolario 2.3.10. Una funcion monotona definida en un intervalo es continua si y solo

si el recorrido es tambien un intervalo.

Corolario 2.3.11. Una funcion monotona definida en un intervalo y cuyo recorrido es

tambien un intervalo, si ademas tiene inversa, verifica que ella y su inversa son continuas.

Teorema 2.3.12(Weierstrass). Dada una funcionfcontinua y definida en[a, b], existen

c1, c2[a, b] tales quef(c1) = supx[a,b]

f(x) yf(c2) = nfx[a,b]

f(x).

Demostracion. Veamos primero que supx[a,b]

f(x) R. En caso contrario se puede elegir unasucesion xn tal que f(xn) > n para todo n N. Dicha sucesion posee una subsucesionxj(n) convergente a un numero x[a, b] en el que fes continua, con lo que f(xj(n)) debeconverger a f(x) lo cual es absurdo. De forma analoga se prueba que nf

x[a,b]f(x) R.

Ahora, para cada n N existe xn [a, b] tal que f(xn) > supx[a,b]

f(x) 1n

. De nuevo,

existe una subsucesion xj(n) convergente a un numero c1 [a, b]. Se tiene que f(c1) nopuede ser ni menor ni mayor que sup

x[a,b]f(x). Analogamente se encuentra c2.

Ejercicios

1. Comprueba que la funcion sen xes continua.

2. Estudia la continuidad de las funciones siguientes:

a) f(x) =|x|.

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b) f(x) = x24

x

2

si x

= 2

A si x= 2

c) f(x) =

x [x].

d) f(x) =

x si x Q1 x si x Q

e) f(x) =

x2 si 0x12 x si 1< x2

f) f(x) =|x| + |x 1| |2x 1|.

g) f(x) = 0 si x(R \Q) [0, 1]1q si x=

p

qQ

[0, 1], irreducible,q >03. Da un ejemplo de una funcionfdefinida enR que no sea continua en ningun punto

pero que|f|sea continua.

4. Sean f(x) = x+|x|2

y g(x) =

x si x 0.

c) f(x) = sen x2.

d) f(x) =

x.

e) f(x) =x2.

f) f(x) =x sen 1x

si x(0, 1).

9. Demuestra las afirmaciones siguientes:

a) Existe x R tal que sen x= x 1.b) La ecuacion x2x = 1 tiene al menos una solucion en (0, 1].

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c) La ecuacion x sen x= 4

posee al menos dos soluciones en [0, ].

d) Existe x R tal que x179 + 1631+x2+sen2 x

= 119.

10. Seaf : R R una funcion continua tal que lmx+

f(x) = + y lmx

f(x) =.Prueba que para todo y R existe x R tal que f(x) =y.

11. Seaf : [a, b][a, b] una funcion continua. Prueba que ftiene al menos un puntofijo, es decir, un punto x[a, b] tal que f(x) =x.

12. Seaf : [0, 2] R una funcion continua tal quef(0) =f(2). Demuestra que existenx, y

[0, 2] tales que

|x

y

|= 1 y f(x) =f(y).

13. Para cada una de las funcionesf siguientes encontrar m Ztal que f tenga alguncero en el intervalo [m, m+ 1]:

a) f(x) =x3 x+ 5.b) f(x) =x4 + 4x3 2x+ 2.c) f(x) = 4x2 5x+ 1.d) f(x) =x5 + 5x4 + 2x+ 1.

14. Sea f : [a, b] Q una funcion continua. Que puede decirse de ella?15. Sea f : [a, b] R una funcion tal que|f(x)f(y)| (xy)2 para todos

x, y[a, b]. Esta f acotada?16. Sean f : [a, b] R una funcion continua y xn una sucesion contenida en [a, b].

Demuestra que la serie

n=1

1n

(f(xn+1) f(xn)) es convergente.

17. Sea f : [0, 1] R una funcion continua tal que f(0) = f(1). Prueba que existex 0,

12 tal que f(x) =fx+

12.

18. Sea f : R R una funcion continua tal que

lmx

f(x) = lmx+

f(x) = 0.

Demuestra quefesta acotada y que alcanza un maximo o un mnimo. Da un ejemplo

que indique que no necesariamente se tienen por que alcanzar tanto un maximo como

un mnimo.

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Tema 3

Derivacion

3.1. Definiciones

Definicion 3.1.1. Dada una funcion f definida en un intervalo I y un punto c I,definimos la funciontasa de variacionmediante

(h) =f(c+h) f(c)

h

conh= 0 tal quec+hI, o bien

(x) =f(x) f(c)

x cconx=c yxI.

Observacion 3.1.2. La tasa de variacion def enc mide la inclinacion de la recta que

pasa por los puntos de la grafica def (c, f(c)) y(c+h, f(c+h)).

Definicion 3.1.3. Dada una funcion f definida en un intervalo I y un punto c I,definimos laderivadadef enc como el lmite finito

f(c) = lmh0

f(c+h) f(c)h

= lmxc

f(x) f(c)x c .

Cuando existe este lmite finito, decimos quef esderivable enc.

Observacion 3.1.4. La derivada def enc mide la inclinacion de la recta tangente a la

grafica def en el punto (c, f(c)).

Proposicion 3.1.5. Sean f una funcion definida en un intervalo I y c I. Si f esderivable enc, entonces es continua enc.

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Demostracion. El resultado se deduce de que

lmxc

(f(x)f(c)) = lmxc

f(x) f(c)

x c (x c)

= lmxc

f(x) f(c)x c lmxc(xc) =f

(c) 0 = 0.

Observacion 3.1.6. La funcionf(x) =|x| es continua en0 pero no derivable.Definicion 3.1.7. Una funcion f que tiene derivada en cada uno de los puntos de su

dominio se llamafuncion derivable, y en tal caso fes la funcion con el mismo dominioque asigna a cadax de el la derivada def enx. A f se le llama la funcion derivada

(primera) def.

Definicion 3.1.8. Dada una funcion f definida en un intervalo I y un punto c I,definimos la derivada lateral por la derechadef enc como el lmite finito

f+(c) = lmh0+

f(c+h) f(c)h

= lmxc+

f(x) f(c)x c .

Analogamente se define la derivada lateral por la izquierdadef enc, f(c).

Observacion 3.1.9. Sic es uno de los extremos deIsolo tiene sentido una de las dos

derivadas laterales.Observacion 3.1.10. La derivabilidad def enc equivale a que las dos derivadas laterales

def enc existan y sean iguales.

Ejercicios

1. Calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando la definicion:

a) f(x) =

x.

b) f(x) = sen x.

c) f(x) = log x.

d) f(x) =xn con n N.e) f(x) =|x|.

2. Estudia para cada una de las funciones siguientes si existe la derivada en 0 y, en

caso negativo, si existen derivadas laterales en 0:

a) f(x) = x sen 1x si x= 00 si x= 0

b) f(x) =

x2 sen 1

x si x= 0

0 si x= 0

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c) f(x) =x

|x

|.

3. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones definidas en [0, 1]:

a) fverifica que|f(x) f(y)| (x y)2 para todos x, y[0, 1].b) f(x) =

x2 si x Q

0 si x Q .

c) f(x) =

0 si x Q1q

si x= pq Q, irreducible, q >0

4. Sea funa funcion derivable en c tal que f(c) = 0. Prueba que|f| es derivable en csi y solo si f

(c) = 0.

5. Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion

xen el punto

correspondiente a x = 12

.

6. Sea funa funcion definida en el intervalo abierto Iy derivable en aI.a) Prueba que el lmite lm

h0f(a+h)f(ah)

2h existe y coincide conf(a).

b) Da un ejemplo de una funcion fpara la cual exista ese lmite pero que no sea

derivable en a.

3.2. Tecnicas para el calculo de derivadas

Proposicion 3.2.1. Seafuna funcion definida en un intervalo I, monotona y continua

tal quef(c)= 0 y existef1. Entoncesf1 es derivable enf(c) y

(f1)(f(c)) = 1

f(c).

Demostracion. Sea yn una sucesion arbitraria de numeros distintos def(c) y convergente

a f(c). Se trata de comprobar si converge la sucesion

f1(yn) f1(f(c))yn f(c) .

Si designamosf1(yn) por xn, la sucesion anterior se puede expresar as:

xn cf(xn) f(c) .

Cada termino de la sucesion xn es distinto de c y, por ser f1 continua, la sucesion xn

converge a c, con lo que

f(c) = lmn

f(xn) f(c)xn c

obteniendose el resultado.

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Ejemplo 3.2.2. Seaf(x) = sen x, x

2

, 2. Entonces

(arc sen x)= 1

cosarcsen x=

11 x2

conx(1, 1).Proposicion 3.2.3. Seanf yg dos funciones definidas en un intervalo Iy derivables en

cI, y R. Entonces:

1. f+g es derivable enc y(f+g)(c) =f(c) +g(c).

2. f g es derivable enc y(f g)(c) =f(c)g(c) +f(c)g(c).

3. La funcion constante tiene derivada0 en cada punto.

4. f es derivable enc y(f)(c) =f(c).

5. Sig(x)= 0 para todo xI, 1g

es derivable enc y

1g

(c) = g(c)

g(c)2.

6. Sig(x)= 0 para todo xI, fg

es derivable enc y

fg

(c) = f

(c)g(c)f(c)g(c)g(c)2

.

Demostracion.

1. Es evidente que

lmh0

(f+g)(c+h) (f+g)(c)h

=f(c) +g(c).

2. Usando que

lmh0

(f g)(c+h)

(f g)(c)

h =

lmh0

f(c+h) f(c)

h g(c+h)

+ lm

h0

f(c)

g(c+h) g(c)h

y que g es continua en cse obtiene el resultado.

3. Trivial.

4. Basta usar 2 y 3.

5. Se tiene que

lmh0

1g(c+h)

1g(c)

h = lm

h0

1

g(c)g(c+h)

g(c+h) g(c)h

= g

(c)g(c)2

.

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6. Basta usar 2 y 5.

Proposicion 3.2.4 (Regla de la cadena). Sifes derivable enc yg es derivable enf(c),

entoncesg f es derivable enc y(g f)(c) =g (f(c))f(c).

Demostracion. Supongamos en primer lugar quef(x)=f(c) si 00. Entonces

lmxc

g(f(x)) g(f(c))x c

= lmxc

g(f(x)) g(f(c))f(x) f(c)

f(x) f(c)x c .

Ya que fes continua en cse obtiene el resultado.

Si para todo >0 existe x(c , c+) \ {c} tal que f(x) =f(c), entonces existeuna sucesion xn de numeros distintos de c que converge a c tal que f(xn) = f(c) para

todon N. De aqu resulta que f(c) = 0. Basta ahora demostrar que (g f)(c) = 0. Seaxn una sucesion de numeros distintos de c convergente a c. Si f(xn) = f(c) para algun

n N, el cocienteg(f(xn)) g(f(c))

xn

c

se anula. En caso contrario, utilizando de nuevo la descomposicion anterior, dicho cociente

converge a g(f(c))f(c) = 0.

Ejercicios

1. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = cos x.

b) f(x) = tag x.

c) f(x) = log |x|.d) f(x) =ex.

e) f(x) = arc cos x.

f) f(x) = arc tag x.

g) f(x) =xr con r R.h) f(x) = (cos x)1/x.

i) f(x) = sen2 x cos 1x si x= 00 si x= 0

j) f(x) =

x2 sen 1

x2 si x= 0

0 si x= 0

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k) f(x) = 31 + 31 + 3x.l) f(x) =

x2 3x+ 2.

m) f(x) = sen cos2 x.

2. Estudia la derivabilidad de las funciones siguientes:

a) f(x) =|2 x2| sen2 x.b) f(x) = arcsencos x.

c) f(x) =|(x 1)(x 2)2|.

d) f(x) =| cos x|.e) f(x) = sen |x|.

3. Calcula derivadas o derivadas laterales para las siguientes funciones:

a) f(x) =

xcos

x

si x= 00 si x = 0

b) f(x) =

x1+e1/x

si x= 00 si x= 0

c) f(x) = arc sen 2xx2+1

.

4. Calcula ypara que sea derivable la funcion f(x) =

6

x+2 si x[0, 1]

x2 + si x(1, 2]

3.3. Propiedades de las funciones derivables

3.3.1. Crecimiento y decrecimiento. Maximos y mnimos locales

Definicion 3.3.1. Si la funcion f es continua en c por la derecha, se dice que f escreciente (decreciente) en c por la derecha si existe > 0 tal que f(x) > f(c)

(f(x)< f(c)) cuando c < x < c+.

Analogamente, si f es continua en c por la izquierda, se dice que f es creciente

(decreciente) en c por la izquierdasi existe >0 tal quef(x)< f(c) (f(x)> f(c))

cuando c < x < c.Sifes continua enc, se dice quefescreciente(decreciente)enc si crece (decrece)

a ambos lados dec.

Proposicion 3.3.2.

1. Si existef+(c)> 0, entoncesf es creciente enc por la derecha.

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2. Si existef+(c)< 0, entoncesfes decreciente enc por la derecha.

3. Si existef(c)> 0, entoncesf es creciente enc por la izquierda.

4. Si existef(c)< 0, entoncesfes decreciente enc por la izquierda.

Demostracion. Basta probar el primer apartado pues el resto se demuestran analogamen-

te. Dado 0< < f+(c), existe >0 tal que f(x)f(c)

xc > si c < x < c+, con lo que seobtiene el resultado.

Observacion 3.3.3. Derivada positiva (negativa) es condicion suficiente para crecimiento

(decrecimiento) pero no necesaria. Basta considerar la funcionf(x) =x3

que es crecienteyf(0) = 0.

Definicion 3.3.4. Dada una funcionfcontinua enc, se dice queftiene encunmaximo

(mnimo) localsi existe >0 tal quef(x)f(c) (f(x)f(c)) si|x c|< .Al conjunto de maximos y mnimos locales defse les llama extremos locales def.

Como consecuencia de la proposicion anterior se obtiene claramente que:

Proposicion 3.3.5. Si f tiene en c un extremo local y f es derivable en c, entonces

f(c) = 0.

3.3.2. El teorema del valor medio

Teorema 3.3.6 (Rolle). Sea f una funcion derivable en un intervalo acotado (a, b) y

continua en sus extremos. Sif(a) =f(b), entonces existec(a, b) tal quef(c) = 0.

Demostracion. Ya que fes una funcion continua en [a, b], existen c1, c2[a, b] tales quef(c1) = sup

x[a,b] f(x) yf(c2) = nfx[a,b] f(x).

Sic1 yc2 son los extremos del intervalo, entoncesfes constante yf(c) = 0 para todo

c(a, b).En otro caso, c1 o c2 pertenece a (a, b) y entonces el maximo o mnimo absoluto es

tambien un extremo local, por lo que al existir la derivada en el esta tiene que ser 0.

Observacion 3.3.7. Geometricamente el teorema de Rolle nos dice que en algun punto

(c, f(c)) de la grafica def, siendo c intermedio entrea y b, la tangente es horizontal y

paralela, por tanto, al segmento que une los extremos de la grafica.

El siguiente resultado constituye una generalizacion del teorema de Rolle.

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Teorema 3.3.8(Valor medio). Seafuna funcion derivable en un intervalo acotado (a, b)

y continua en sus extremos. Existec(a, b) tal quef(b) f(a) =f(c)(b a).

Demostracion. Basta aplicar el teorema de Rolle a la funcion

(x) = (f(b) f(a))x (b a)f(x).

Observacion 3.3.9. Geometricamente el teorema del valor medio dice que en algun punto

(c, f(c)) de la grafica de f, siendo c intermedio entre a y b, la tangente es paralela al

segmento que une los extremos de la misma.

Y el siguiente resultado generaliza el teorema del valor medio.

Teorema 3.3.10(Cauchy). Seanfyg funciones derivables en un intervalo acotado (a, b)

y continuas en los extremos. Existec(a, b) tal que

g(c)(f(b) f(a)) =f(c)(g(b) g(a)).

Demostracion. Basta aplicar el teorema de Rolle a la funcion

(x) = (f(b) f(a))g(x) (g(b) g(a))f(x).

Veamos ahora algunas aplicaciones de estos teoremas.

Proposicion 3.3.11. Si la funcionftiene derivada positiva (negativa) en cada punto de

un intervalo I, entoncesfes estrictamente creciente (decreciente) enI.

Demostracion. Basta con probar la primera parte pues la otra se demuestra analogamente.

Seanx, yItales quex < y. Aplicando el teorema del valor medio al intervalo [x, y] seobtiene algunc(x, y) tal quef(y) f(x) =f(c)(y x), deduciendose el resultado.

Proposicion 3.3.12. Si la funcionf es derivable en un intervalo I y|f(x)| M paratodo xI, entoncesf es uniformemente continua.

Demostracion. Dados x, y I, aplicando el teorema del valor medio se obtiene algun cintermedio entre xe y tal que|f(x) f(y)|=|f(c)||x y| M|x y|, deduciendose elresultado.

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Proposicion 3.3.13. Sea una funcionfderivable en algun intervalo(a, a+)((a

, a))

y continua ena. Si existe lmxa+ f

(x) ( lmxa f

(x)), entonces tambien existef+(a) (f(a))y son iguales.

Demostracion. En el primer caso basta aplicar el teorema del valor medio al intervalo

[a, x] para cada x(a, a+) ya que si xa+, entonces ca+ tambien.El otro caso es analogo.

Observacion 3.3.14. La existencia def+(a) no garantiza la de lmxa+

f(x). Basta consi-

derar la funcionf(x) =

x2

sen 1

x six >00 six= 0 ya= 0.

En el resultado siguiente a[, +].

Teorema 3.3.15 (LHopital). Sean f y g dos funciones que verifican las condiciones

siguientes:

1. lmxa

f(x) = lmxa

g(x) = 0, +, .

2. En las proximidades dea son derivables, yg yg no se anulan.

3. lmxa

f(x)g(x)

=[, +].

Entonces lmxa

f(x)g(x)

=.

Demostracion. Supongamos en primer lugar que el lmite comun de la condicion 1 es 0 y

que aR. La condicion 2 se verifica en alguno de los intervalos (a , a) o (a, a+), oen ambos. Por la condicion 1, si definimos f(a) =g(a) = 0, entonces f yg son continuas

en a. Suponemos que f y g estan definidas en [a, a+ ), y para (a, a] se hara unrazonamiento analogo.

Fijado x(a, a + ), utilizando el teorema de Cauchy en el intervalo [a, x] se obtienec(a, x) tal que

g(c)(f(x) f(a)) =f(c)(g(x) g(a))es decir,

f(x)

g(x) =

f(c)g(c)

.

Cuando xa+, tambien ca+, con lo que se tiene el resultado.Estudiemos ahora el caso a= +, y el problema es analogo si a=.

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Las funciones f y g verifican la condicion 2 en (A, +

) para cierto A >0. Hacemos

el cambio de variable x = 1t y consideramos las funciones F(t) = f1t

y G(t) = g1t

,las cuales se encuentran en la situacion del caso anterior para a = 0, obteniendose el

resultado.

Supongamos ahora que el lmite comun de la condicion 1 es + (el caso se pruebaanalogamente) y que a R. De la misma forma que antes el caso infinito se reduce alcaso finito mediante un cambio de variable.

El problema fundamental ahora es que no podemos definir f y g en a de manera

que sean continuas, y por ello deberemos aplicar el teorema de Cauchy en intervalos a la

derecha o a la izquierda de a y un poco separados de a. Haremos un razonamiento parala parte derecha de a, y para la parte izquierda se procedera analogamente.

Suponemos que la condicion 2 se verifica en el intervalo (a, b]. Si x(a, a + ) siendosuficientemente pequeno, se verifica la identidad siguiente:

f(x)

g(x) =

f(x) f(b)g(x) g(b)

1 g(b)g(x)

1 f(b)f(x)

ya que los denominadores que aparecen son distintos de 0 por la condicion 1. Aplicando

el teorema de Cauchy al intervalo [x, b] se obtiene c(x, b) tal quef(x) f(b)g(x) g(b) =

f(c)g(c)

por lo que la referida identidad se puede tambien escribir as:

f(x)

g(x) =

f(c)g(c)

h(x)

en donde h(x) es el segundo factor del segundo miembro de ella. Ya que lmx

a+

h(x) = 1,

tomando bpara que f

(c)g(c) este suficientemente cerca de , se obtiene el resultado.

3.3.3. Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor

Definicion 3.3.16. Seaf una funcion derivable en todos los puntos de un intervalo I.

Sif es derivable encI, es decir, si existe y es finito

lmxc

f(x) f(c)x

c

,

este se designaf(c)y se llama laderivada segundadef enc. Analogamente se defineladerivada n-esimadef enc, f(n)(c).

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Teorema 3.3.

Analisis de Variable Real

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