Analisis de Vibraciones Mecanicas FEM - ITV

8/4/2019 Analisis de Vibraciones Mecanicas FEM - ITV

1/39

Anlisis de Vibraciones Mecnicas por el mtodo delos elementos nitos

Rolando Maroo Rodrguez Instituto Tecnolgico de Veracruz

31 de enero de 2005

ndice

1. Introduccin 2

2. Vibracin de sistemas de varios grados de libertad 3

3. Matrices de masas 4

4. Matrices de masas para otros elementos 84.1. Elemento armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2. Elemento marco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3. Viga de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.4. Tringulo de deformacin constante (CST) . . . . 11

5. Matrices de masa consistente vs masa agrupada 12

6. Anlisis de vibracin libre no amortiguada 12

7. Ejemplos del clculo de vibracin libre no amor-tiguada 157.1. Viga empotrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1


2/39

7.2. Armadura bidimensional . . . . . . . . . . . . . . 19

8. Anlisis modal de sistemas no amortiguados porelementos nitos 23

A. Ejercicios 29

B. Rutinas en Matlab 29

1. IntroduccinUna estructura se mueve cuando se le aplican cargas. Si la cargaes cclica, pero menor a un tercio de la primera frecuencia naturalde vibracin de la estructura, muy probablemente el problemapueda clasicarse como esttico y entonces analizarse por losmtodos correspondientes de elementos nitos. En cambio, si lafrecuencia de la carga es mayor, o se aplica de forma aleatoria, orepentinamente, entonces sin lugar a dudas se requiere un anlisisde tipo dinmico. Uno puede estar interesado en la ms alta acel-eracin que ocurriera en una parte de la estructura, en los msaltos esfuerzos, en si la estructura entrar o no en resonancia conotras mquinas rotatorias, etc. Al igual que en el anlisis esttico,un anlisis dinmico emplea una matriz de rigideces, pero tam-bin matrices de masas y de amortiguamientos. De acuerdo con

lo anterior, el modelado dinmico por elementos nitos incluyemuchos aspectos del modelado esttico, as como otros muchosconceptos adicionales.

En este trabajo se estudiar el clculo de las frecuencias naturalesde vibracin, la vibracin en estado estacionario y el anlisis derespuesta transitoria. Tambin se incluir una discusin sobrealgunas herramientas necesarias para realizar estos anlisis, talescomo el uso de modos de vibracin, reduccin en el nmero degrados de libertad e integracin en el tiempo.

Se incluyen varios ejemplos numricos ilustrando los diferentestipos de anlisis dinmicos ms comunes. Dada la gran canti-dad de clculos que suelen realizarse al resolver un problema deelementos nitos, se dan programas y rutinas en Matlab paradesarrollar los ejemplos presentados.

2


3/39

2. Vibracin de sistemas de varios grados de libertadEs comn representar una estructura continua mediante un sis-tema de varios grados de libertad con masas agrupadas como

se muestra en la Figura 1. En esta gura se representa un sis-tema amortiguado, descrito por sus propiedades de masa, rigidezy amortiguamiento (viscoso). Se requiere un total de N coorde-nadas para describir la posicin de las N masas relativas a susposiciones de equilibrio esttico y entonces se dice que el sistematiene N grados de libertad.

d 1

d 2

d n

k n

cn

cn+1

k n+1

mn

Figura 1: Sistema vibratorio de varios grados de libertad.

Suponiendo que puede obligarse a cada masa a moverse de suposicin de equilibrio mediante un fuerza externa f i (t) (i =1; 2; : : : ; n); y estableciendo el equilibrio de fuerzas, el movimien-to del sistema estar gobernado por el siguiente sistema de ecua-ciones simultneas:

m1 d1 +( c1 + c2 ) _d1 c2 _d2 +( k1 + k2 )d1 k2 d2 = f 1 (t)m2 d2 c2 _d1 +( c2 + c3 ) _d2 c3 _d3 k2 d1 +( k2 + k3 )d2 k3 d3 = f 2 (t)

......

mN dn cn _dn 1 +( cn + cn +1 ) _dn kn dn 1 +( kn + kn +1 )dn = f n (t)(1)

El conjunto de ecuaciones (1) est formado por n ecuacionesdiferenciales de segundo orden, cada una de las cuales requierede un par de condiciones iniciales para poder resolver la respuestadi (t) del sistema completo. Es obvio que ninguna ecuacin puederesolverse independientemente, pues se encuentran acopladas,es decir, la respuesta di (t) para una i particular depende delmovimiento de las otras coordenadas. Esta dependencia se ex-presa en el hecho de que cada ecuacin en (1) incluyen trminosque involucran ms de una coordenada. Un mtodo convenientey muy utilizado para expresar el sistema de ecuaciones en (1) esutilizar matrices:

3


4/39

26664

m1 0 00 m2 0...

.

.... .

.

..0 0 mn

377758>>>>>:

d1d2...dn

9>>>=>>>;

+26664

c1 + c2 c2 0c2 c2 + c3 0...

.

.... .

.

..0 0 cn+ cn +1

377758>>>>>:

_d1_d2..._dn

9>>>=>>>;

+26664

k1 + k2 k2 0k2 k2 + k3 0...

... . . ....

0 0 kn + kn +1

377758>>>>>:

d1d2...

dn

9>>>=>>>;

=8>>>>>:

f 1f 2...

f n

9>>>=>>>;

(2)

la ecuacin matricial anterior puede condensarse en una formams compacta, como:

[M ]nDo+ [C ]n_Do+ [K ]fDg= fF g (3)3. Matrices de masas

El signicado fsico de una matriz de masas es del todo anlogo alde una matriz de rigideces. La j-sima columna de una matriz derigideces de un elemento es el vector de cargas nodales que debenaplicarse al elemento para mantener el campo de desplazamientoscreados por un valor unitario en el j-simo grado de libertad.

La j-sima columna de la matriz de masas de un elemento esel vector de cargas nodales que debe aplicarse al elemento paramantener el campo de aceleraciones creado por un valor unitarioen la segunda derivada con respecto al tiempo del j-simo gradode libertad.

La ms sencilla (e histricamente la primera) forma de presentarla masa de una estructura o elemento es por medio de partculasde masa. Este proceso se llama agrupamiento de masas y re-sulta en una matriz de masas diagonal o agrupada . Por ejemplo,considere los desplazamientos laterales de un elemento barra de

dos nodos, de seccin transversal A, longitud L y densidad demasa ; por lo tanto, la masa del elemento es AL. Como semuestra en la Figura 2, la masas agrupadas implican un campode desplazamientos discontinuo, en el cual las dos mitades delelemento se trasladan separadamente. Las aceleraciones v1 y v2de las respectivas mitades estn asociadas con las fuerzas F 1 yF 2 , cada una de ellas de acuerdo con la Segunda Ley de Newton

4


5/39

f = ma . Entonces, la matriz de masas agrupada [m] del elementoes

1 2v

1

v2

L

F 1 = A v 1( ) L

2

F 2

= A( ) L2 v 2

F 1

F 2

Figura 2: Desplazamientos laterales de una barra y fuerzas deinercia para la idealizacin de la masa.

[m] =AL2

1 00 1 (4)

as que aplicando la Segunda Ley de Newton

[m] v1v2 =F 1F 2 (5)

Si el movimiento plano horizontal fuera permitido, el vector dedesplazamientos nodales sera

fd

g= u1 v1 u2 v2

T y lamatriz de masas quedara como

[m] =AL2

2664

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

3775

(6)

Es ms razonable suponer una variacin lineal del desplazamien-to lateral v = v(x) de un elemento barra de dos nodos. Esto re-sulta en una distribucin lineal de la fuerza de inercia a lo largo

del elemento, como se muestra en la Figura 3, cuya intensidades Av1 y Av2 en los respectivos extremos. Tratando la fuerzade inercia como una carga distribuida y aplicando las ecuacionesde la esttica, se obtiene

F 1 = AL( 13 v1 +16 v2 ) y F 2 = AL(

16 v1 +

13 v2 ) (7)

5


6/39

1 2

v1v2

L

F 1 F 2

dx

v A( ) dxdf= q =dx

q 1

q 2

Figura 3: Modelo de una barra con matriz de masa no diagonal.

Entonces la matriz de masas [m] del elemento es

[m] =AL3

1 121

2 1 o [m] =AL6

2 11 2 (8)

de manera que se siga cumpliendo

[m] v1v2 =F 1F 2

Para movimiento plano general, el m ij en [m] de la Ec. (8) de-bera aplicarse tambin a los grados de libertad axiales u1 y u2 .La matriz [m] resultante debe ser de 4 4 y contendr ochocoecientes diferentes de cero.

Para un elemento viga se deben agregar los grados de libertadrotacionales 1 y 2 a la gura 9.3.1b;[m] se convierte en una ma-triz de 4 4. Las partculas de masa no tienen inercia rotacional,as que el agrupamiento de masas para un elemento viga de cu-atro grados de libertad produce una matriz de masa diagonalcomo la siguiente:

[m] =AL

2

2664

1 0 0 00 0 0 0

0 0 1 00 0 0 0

3775

(9)

los dos coecientesm11 = AL=2 y m33 = AL=2 estn asociadoscon las aceleraciones v1 y v2 . Si la masa tambin se asocia conlos grados de libertad rotacionales, se tendr la matriz de masa

6


7/39

[m] =AL2

2664

1 0 0 00 L

2

12 0 00 0 1 0

0 0 0L 2

12

3775

(10)

Puede decirse que los dos nuevos elementos agregados son el mo-mento requerido para crear una aceleracin angular unitaria deuna barra de longitud L=2 pivoteando en un extremo.

Para elementos en general o de conguracin ms compleja elproceso anterior es inadecuado, de la misma manera que el mto-do directo para obtener la matriz de rigideces falla cuando setrata de un elemento arbitrario. Utilizando las fuerzas de inerciacomo argumento en el trabajo virtual puede mostrarse que la

frmula general para la matriz de masa de un elemento es

[m] = Z V [N ]T [N ] dV (11)donde es la densidad de masa, V es el volumen del elemento y[N ] es la matriz de funciones de forma del elemento en cuestin.La Ec. (11) proporciona la matriz de masa consistente del ele-mento, as llamada por que utiliza las mismas funciones de formaque se usan para obtener la matriz de rigideces. Si la Ec. (11)se aplica a un elemento barra de dos nodos con desplazamientos

laterales, se obtiene la Ec. (8). Si se aplica a un elemento viga endos dimensiones, cuyos desplazamientos laterales son cbicos enx, la Ec. (11) da

[m] =AL

4202664

156 22L 54 13L22L 4L2 13L 3L2

54 13L 156 22L13L 3L2 22L 4L2

3775

(12)

esta matriz opera en el campo de desplazamientos

fdg= v1 1 v2 2 T (13)Todas las matrices anteriores representan correctamente la re-sistencia a la aceleracin traslacional; ellas dieren en cmo laresistencia angular es modelada. Sin importar si una matriz demasa es diagonal o completa o si inercia rotacional es usada ono con los grados de libertad rotacionales, la convergencia est

7


8/39

asegurada conforme se rena la malla si las matrices de masa delelemento proporcionan la fuerza de inercia correcta en respuestaa todas las posibles aceleraciones traslacionales del elemento. Silos elementos son compatibles y completamente integrados y las

matrices de masas son consistentes, se garantiza que las frecuen-cias naturales ! i calculadas por un modelo de elementos nitossean el lmite superior de las frecuencias naturales del modelomatemtico. Es decir, se garantiza que con subsecuentes re-namientos de la malla, las frecuencias naturales convergern porarriba de las del modelo matemtico.

La estructura de la matriz de masa [M ] del sistema completo seforma con el ensamble de las matrices de masas [m], de la mismamanera que la matriz de rigideces [K ] de la estructura se formacon el ensamble de las matrices de rigideces [k] de los elementos.

Una matriz de masas [M ] consistente tiene el mismo patrn deceros y no ceros que la correspondiente matriz de rigideces [K ].

El modelista debe ser cuidadoso con las unidades. Si las longi-tudes estn en metros, f = ma da una fuerza en newtons, sim est en kilogramos y la aceleracin a en metros por segundocuadrado.

4. Matrices de masas para otros elementos4.1. Elemento armadura

A continuacin se muestra el proceso de obtencin de la matriz demasas para el elemento armadura. En general, la matriz de masasconsistente est denida por la Ec. (11). Para una armaduraalineada con el eje horizontal x la matriz de funciones de formaes

[N ] = L xLxL (14)

Aceptando que el elemento tiene una rea constante y por lotanto el dV , de la integral dada en la Ec. (11) se transforma endV = Adx

[m] = AZ L

0[N ]T [N ]dx (15)

sustituyendo la matriz de funciones de forma [N ] en la ecuacinanterior

8


9/39

[m] = AZ L

0

24

L xL

xL

35

L xL

xL dx

[m] = Z L

0

24

L xL

2 L xL

xL

L xL

xL

x 2

L 2

35

dx

[m] = A L=3 L=6L=6 L=3 (16)

[m] =AL6

2 11 2 (17)

Esta ltima ecuacin da la matriz de masas del elemento ar-madura orientado con el eje x. Para una orientacin arbitraria,como la mostrada en la Figura 4, debe utilizarle la matriz detransformacin de coordenadas

[T ] =2664

cos sen 0 0sen cos 0 00 0 cos sen0 0 sen cos

3775

(18)

u i

vi

u j

v j

A, E

L

Figura 4: Elemento armadura general.

9


10/39

Adems, la matriz de masas debe expandirse para alojar lasnuevas coordenadas vi y v j

[m] = AL6 2664

2 0 1 00 0 0 02 0 1 00 0 0 0

3775(19)

entonces, la nueva matriz de masas ser

[ ~m] = [T ]0[m][T ] (20)

Realizando las operaciones necesarias se obtiene

[ ~m] =AL6 2664

2c2

2cs c2

cs2cs 2s2 cs s 2

c2 cs 2c2 2cscs s 2 2cs 2s2

3775(21)

en donde c = cos y s = sen . Se deja al lector deducir la matrizde masas agrupadas para el mismo elemento armadura, la cuales

[m] =AL

2

2664

c2 cs 0 0cs s 2 0 0

0 0 c2

cs0 0 cs s 2

3775

(22)

en donde c y s tienen el mismo signicado que para la matriz dela Ec. (21).

4.2. Elemento marco

El elemento marco es una combinacin de los elementos armadu-ra y viga, como se muestra en la Figura 5, por lo tanto tiene tresgrados de libertad por nodo y sus matriz de masas consistente es

la superposicin de las matrices de la armadura y la viga comose muestra:

10


11/39

+

=

A, E, Lu 1 u 2

Elemento armadura

E, I, L

v1

1

v2

2Elemento viga

A, E, I, L

v1

1

v 2

2Elemento marco

u 1 u 2

Figura 5: Elemento marco creado a partir de la armadura y dela viga.

[m] =

26666664

2a 0 0 a 0 00 156b 22Lb 0 54b 13Lb0 22Lb 4L2 b 0 13Lb 3L2 ba 0 0 2a 0 00 54b 13Lb 0 156b 22Lb0 13L2 b 3L2 b 0 22Lb 4L2 b

37777775

(23)

en la ecuacin anterior a = AL6 y b =AL

420 . Los grados de libertadque intervienen en esta matriz son fdg= u1 v1 1 u2 v2 2

T :

4.3. Viga de Timoshenko

Anteriormente, en la Ec. (12) se present la matriz de masa agru-pada para un elemento viga con polinomio de desplazamientoscbico. Ahora se presenta para la llamada viga de Timoshenko.La matriz de masa para este tipo de viga est dada por:

[m] =AL6

2

664

2 0 1 00 0 0 01 0 2 0

0 0 0 0

3

775(24)

4.4. Tringulo de deformacin constante (CST)

Para el elemento tringulo como el mostrado en la Figura 6, elcual es muy usando en esfuerzo plano y deformacin plana deteora de elasticidad tiene la siguiente matriz de masa:

11


12/39

u

v

u

v

u

v

x

y

1

1

3

3

2

2

Figura 6: Elemento triangular de deformacin constante.

[m] =tA

12

26666664

2 0 1 0 1 00 2 0 1 0 11 0 2 0 1 00 1 0 2 0 11 0 1 0 2 00 1 0 1 0 2

37777775

(25)

5. Matrices de masa consistente vs masa agrupadaNo resulta obvio cual tipo de matriz de masa, agrupada o consis-tente, dar los mejores resultados en un problema de respuestadinmica. Las matrices de masa agrupadas se considera que sonuna aproximacin por el hecho de que ellas no toman en cuen-ta el acoplamiento dinmico existente entre los varios grados delibertad del elemento. Sin embargo, puesto que este tipo de ma-trices son diagonales requieren menor espacio de memoria en unprograma de computadora. Por otra parte, las matrices de masaconsistente no son diagonales y por ello requieren ms almace-namiento. Tambin son una aproximacin en el sentido de quelas funciones de forma utilizadas para derivarlas considera un

patrn de desplazamientos esttico.

6. Anlisis de vibracin libre no amortiguadaSe considera vibracin libre cuando el vector de cargas fF gescero o constante. Las cargas reales usualmente estn asociadascon masas, por lo que deben afectar a la matriz de masa global

12


13/39

[M ] en el correspondiente nodo. En el anlisis de vibraciones in-teresa conocer las frecuencias naturales y los modos de vibracinde una estructura sin importar cual de ellos pueda ser ms im-portante en una aplicacin especca y sin importar tampoco

como se inici la vibracin de la estructura. Todos los gradosde libertad se mueven en fase unos con otros y a la misma fre-cuencia. De acuerdo con lo anterior, todos los desplazamientosdependientes del tiempo alcanzan su valor mximo en el mis-mo instante. La vibracin calculada como se describe ms abajoconsiste de desplazamientos que varan de manera senoidal rel-ativos a la conguracin promedio fDgm creada por las cargasconstantes fF gc. Si fF gc= 0 , la conguracin promedio es unasin esfuerzos. Simblicamente

fDg= fDgm + fDgsen !t donde fDgm = [K ] 1fF gc(26)en donde fDges el vector de amplitudes de vibracin nodales y !es la frecuencia natural en radianes por segundo. Luego entoncesf Dg= ! 2fDgsen !t . Sustituyendo esta informacin en la Ec.(3) y haciendo la matriz de amortiguamiento [C ] = [0], se obtiene

[K ] ! 2 [M ] fDg= f0g (27)la cual es la ecuacin que gobierna la vibracin libre no amor-

tiguada. La Ec. (27) se conoce en matemticas como el prob-lema de valores propios. Este problema tiene la solucin trivial

fDg= f0g, sin embargo interesan las soluciones no triviales, lascuales hay tantas como grados de libertad implicados en el vec-tor fDg. La i-sima solucin no trivial consiste de una frecuencianatural de vibracin ! i y su modo asociado D i . La frecuencia ! ims pequea es conocida como frecuencia fundamental de vi-bracin de la estructura. Existen varios algoritmos para resolverel problema de valores propios y que se detallan en el apndice.

Algunas caractersticas importantes del problema de valores pro-

pios y sus frecuencias y modos resultantes son las siguientes:A diferencia del problema esttico, la estructura puede norequerir apoyos o soportes . Una estructura que no estapoyada o parcialmente apoyada tendr modos de cuer-po rgido, es decir, desplazamientos en los que todas lasdeformaciones son cero. Para cada modo de cuerpo rgi-do la frecuencia natural es cero. Debe hacerse notar que

13


14/39

algunos algoritmos de solucin fallan si existen valores car-actersticos cero, a menos que se haga un desplazamientode valores.

La Ec. (27) puede escribirse en la forma [K ]

fD

gi = ! 2i [M ]

fD

gi ,

la cual tiene la interpretacin fsica de que un modo de vi-bracin es una conguracin donde las cargas elsticas sonbalanceadas con las cargas inerciales.

La amplitud relativa de los grados de libertad en fDgidene la forma del modo de vibracin i pero las magni-tudes de los grados de libertad no tienen signicado alguno.Luego entonces, si c es una constante arbitraria (incluyen-do c = 1), fDgi y cfDgi representan el mismo modo devibracin. Para nes de visualizacin el programa de ele-mentos nitos puede normalizar cada modo de vibracin,de manera que el grado de libertad ms grande sea iguala 1. Una normalizacin muy comn, al menos para usostericos y de procesamiento interno es escalar cada modode fDgi de manera que

fDgT i [M ]fDgi = 1 (28)Si los esfuerzos se calcularan a partir de los desplazamientosnodales, ellos podran ser muy grandes, causado lo anteriorpor la escalacin de los desplazamientos.

Los vectores propios (en este caso, los vectores de formasmodales) son ortogonales con respecto a las matrices derigideces y de masas, esto es, para i 6= j : fDgT i [M ]fDg j = 0y fDgT i [K ]fDg j = 0 :A menos que existan cargas de impacto, de manera normalslo los modos de vibracin ms bajos son importantes enuna estructura. Incluso, si el modelo tiene una gran can-tidad de grados de libertad, slo se extraen de la Ec. (27)las frecuencias y modos ms bajos.

Los modos ms bajos exhiben menos ondas que los mo-dos altos; por lo tanto hay ms elementos por onda, por loque el error de discretizacin disminuye.

14


15/39

7. Ejemplos del clculo de vibracin libre no amortiguada7.1. Viga empotrada

En el siguiente ejemplo se calcularn el primero y segundo modode vibracin por elementos nitos para una viga empotrada enun extremo. La geometra y propiedades de la viga se dan en laFigura 7. Los resultados de las frecuencias y las formas modalesse compararn con sus correspondientes modelos matemticos deacuerdo a la teora de vigas esbeltas de Euler-Bernoulli [5, pg.335].

0.6 m

E= 200 GPa A=2.4 x10 -4 m 2 I=2 x10 -9 m 4

Figura 7: Viga empotrada para calcular sus vibraciones libres.

La viga se dividi en seis elementos con siete nodos como se mues-tra en la Figura 8a). Sin embargo la numeracin de los desplaza-mientos nodales mostrada en ella, aunque es fcil de entender noes cmoda para implantarse en un programa en Matlab. Puestoque todos los desplazamientos globales deben guardarse en unsolo vector. Por ello, para nes de programacin, los desplaza-mientos se numeraron de manera consecutiva, como se muestraen la Figura 8b); esta es una forma comn de numerarlos, comose muestra en [10].

1 2 3 4 5 6 7(1) (2) (3) (4) (5) (6)

d 3

d 4

d 5

d 6

v7

d 8

d 9

d 10

v11

d 12

d 13

d 14

d 1=0

d 2=0

1 2 3 4 5 6 7

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

v2

2

v3

3

v4

4

v5

5

v6

6

v7

7

v1=0

1=0

a) Modelo de elementos finitos de la viga en voladizo

b) Modelo de elementos finitos de la viga en voladizo en Matlab

Figura 8: Modelo de elementos nitos de la viga empotrada.

Se realiz un programa en Matlab para desarrollar el anlisis devibracin libre de la viga empotrada. La Figura 9 muestra el dia-

15


16/39

grama de bloques del programa correspondiente. Como todo pro-grama tpico del mtodo de los elementos nitos, puede dividirseclaramente en tres etapas: preprocesamiento, procesamiento y elpostprocesamiento, como se muestra en la misma gura. Ms

adelante se presenta el listado del programa desarrollado. Lasrutinas necesarias para que el programa se ejecute se incluyenen el apndice de este trabajo, puesto que pueden utilizarse paracrear otros programas.

PARMETROS DELMODELO:

Nodos, elementos, etc

COORDENADAS YCONECTIVIDAD

PROPIEDADES DE LAVIGA:

rea, elasticidad, etc

INICIALIZACIN DEMATRICES:

Matrices globales a cero

CREACIN DE MATRICESY

ENSAMBLE DE MATRICESGLOBALES: KG y MG

APLICAR CONDICIONESDE FRONTERA:

Desplazamientos conocidos

CLCULO DEFRECUENCIAS2 Y

MODOS DE VIBRACIN

INCORPORARDESPLAZAMIENTOSCONOCIDOS A LASFORMAS MODALES

CLCULO DEFRECUENCIAS

SEPARACIN DE MODOS

GRAFICADO DE MODOSDE

VIBRACIN

PREPROCESAMIENTO PROCESAMIENTO POSTPROCESAMIENTO

Figura 9: Diagramas de bloques para el programa en Matlab parael anlisis de vibracin de la viga.

% VIBRABEAM% programa para el analisis vibracion% libre no amortiguada de una viga% empotrada

%---------------------------------------------% Entrada de parametros del modelonnodo= 7; %numero de nodosndofel= 2; %numero de dof por nodonnel= 2; %numero de nodos por elementototdof= nnodo*ndofel; %numero total de dofnel= nnodo - 1; %numero de elementos

%---------------------------------------------

16


17/39

% definicion de las coordenadas nodalesxcoord= [0.0 : 0.1 : 0.6];

% conectividad de los elementos

nodos= [1 2; 2 3; 3 4; 4 5; 5 6;6 7];

%---------------------------------------------% Establece que el nodo 1 estan empotradodespcf(1,:)= [1 1 1];

%---------------------------------------------% Definicion de las propiedades fisicas de los% elementos del modeloA= 2.4E-04*ones(nel,1); % areaI= 2E-09*ones(nel,1); % momento de inerciaElast= 200E09*ones(nel,1); % Modulo de elasti-

% cidadrho= 7840*ones(nel,1); % densidad del material

%---------------------------------------------% Inicializacion de las matricesMG= zeros(totdof, totdof);KG= zeros(totdof, totdof);index= zeros(nnel*ndofel, 1);

%---------------------------------------------% Crea las matrices ke y me de los elementos% y las ensambla en las matrices globales co-% rrespondientesfor ie=1:nel

% Calcula la longitud del elemento en turnoL= xcoord(nodos(ie,2)) - xcoord(nodos(ie,1));% Calcula las matrices de masas y de% rigideces del elemento en turno me= mcbeam24(rho(ie), A(ie), L);ke= kbeam24(Elast(ie), I(ie), L);% ensambla las matrices de los elementos en% las matrices globalesindex= runindex(nnel, ndofel, nodos(ie,:));MG= asmmtx(MG, me, index);KG= asmmtx(KG, ke, index);

end

17


18/39

%---------------------------------------------% Aplica los desplazamientos conocidos a% las matrices de masas y de rigideces[KG, MG]= applybc02(KG, MG, despcf);

%%---------------------------------------------% Calcula los valores y vectores caracteristicos[fm, frec2]= eig(KG, MG);

% calcula las frecuencias naturalesfrec= sqrt(frec2);

% ordena las frecuencias y los modos de menor a mayor[frec,nc]= sort(diag(frec));fm= fm(:, nc);

% END DEL PROGRAMA

Los resultados que se obtienen con el programa anterior puedencompararse con el modelo terico de la viga, como se muestra acontinuacin:

frec. frec. mef teorica % de

n (rad/s) (rad/s) error

1 142.4 142.4 0.002 892.6 892.4 0.023 2503.4 2498.8 0.184 4928.2 4896.6 0.655 8216.1 8094.4 1.50

En cuanto a las formas modales, a continuacin se presentan lasdos primeras de ellas comparadas contra el valor terico corre-spondiente. Ambos modelos, el de elementos nitos y el toricofueron normalizados con respecto al valor mximo de cada formamodal.

nodo 1a forma 1a forma 2a forma 2a forma modal modal modal modal

mef teorica mef teorica1 0.00000 0.00000 0.00000 0.000002 0.04510 0.45101 -0.22503 -0.224833 0.16554 0.16554 -0.58964 -0.58909

18


19/39

4 0.33952 0.33952 -0.71367 -0.712945 0.54694 0.54694 -0.42272 -0.422146 0.77096 0.77096 0.21632 0.216557 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

La Figura 10 presenta las dos primeras formas modales gracadasutlizando los valores obtenidos con el mtodo de los elementosnitos.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

A m p

l i t u

d d e

l a f o r m a m o

d a l

( m / m )

Primera forma modal

Posicin en la viga x(m)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Posicin en la viga x(m)

Segunda forma modal

A m p

l i t u

d d e

l a f o r m a m o

d a l

( m / m )

Posicin de la viga x(m) Posicin de la viga x(m)

Primera forma modal Segunda forma modal

A m p l

i t u d

d e l a f o r m a m o d a l

( m / m )

A m p l

i t u d

d e l a f o r m a m o d a l

( m / m )

Figura 10: Primera y segunda formas modales de la viga envoladizo.

7.2. Armadura bidimensional

En este segundo ejemplo se calcularn las cuatro primeras fre-cuencias naturales y sus correspondientes formas modales para

una armadura como la que se muestra en la Figura 11. Los treselementos horizontales en la parte inferior de la armadura estnhechos de acero ( E = 30 106 lb/plg 2 , = 0 ;28396 lb/plg 3 ) yun rea de 0.4plg 2 . Todos los elementos restantes estn hechosde alumino ( E = 10 106 lb/plg 2 , = 0 ;09762 lb/plg 3 ) con unrea de 0.7 plg 2 .

En la Figura 12 se muestra la malla de elementos nitos que seusa en el programa vibratruss02. Al igual que en el ejemplo ante-rior, los nmeros entre parntesis indican los elementos mientrasque los nmeros en azul indican los nodos. Es decir, se cre unamalla de nueve elementos usando seis nodos.

% PROGRAMA: VIBRATRUSS02% Analisis de vibracion libre de una armadura compleja

%---------------------------------------------% Entrada de parametros del modelonnodo= 6; %numero de nodos

19


20/39

10 plg 10 plg 10 plg

10 plg

Figura 11: Armadura a modelar.

(1) (2) (3)

(4) (5)

(6)

(7) (8) (9)

1 2 3 4

5 6

Figura 12: Malla de elementos nitos para la armadura.

ndofnd= 2; %numero de dof por nodonnel= 2; %numero de nodos por elemento

totdof= nnodo*ndofnd; %numero total de dofnel= 9; %numero de elementos

%---------------------------------------------% definicion de las coordenadas nodales, en% este caso 6 nodos. coord= [ x y; ....]coord= [ 0 0; % nodo 1

10 0; % nodo 220 0; % nodo 330 0; % nodo 410 10; % nodo 5

20 10]; % nodo 6

% conectividad de los elementos% nodos= [ nodos inicial nodo final; ....]nodos= [1 2; % elemento 1

2 3; % elemento 23 4; % elemento 3

20


21/39

1 5; % elemento 42 5; % elemento 55 6; % elemento 62 6; % elemento 7

3 6; % elemento 84 6]; % elemento 9

%---------------------------------------------% Grados de libertad con desplazamientos cerodespcf(1,:)=[1 1 1]; % Nodo 1, articuladodespcf(2,:)=[4 1 1]; % Nodo 4, articulado

%---------------------------------------------% Definicion de las propiedades fisicas de los% elementos del modeloA= 0.4*ones(1,3); % areaA(1,4:9)= 0.7*ones(1,6);%I= 2E-09*ones(nel,1); % momento de inerciaElast= 30E06*ones(1,3); % Modulo de elasti-Elast(1,4:9)= 10E6*ones(1,6); % cidadrho= (0.28396/386.4)*ones(1,3); % densidad del materialrho(1,4:9)= (0.09762/386.4)*ones(1,6);

%---------------------------------------------% Inicializacion de las matrices

MG= zeros(totdof, totdof);KG= zeros(totdof, totdof);index= zeros(nnel*ndofnd, 1);

%---------------------------------------------% Crea las matrices de los elementos y las incorpora% en las matrices globales de rigideces y de masasfor ie=1:nel

i= nodos(ie,1);j= nodos(ie,2);dx= coord(j,1) - coord(i,1);dy= coord(j,2) - coord(i,2);L= sqrt(dx^2 + dy 2);theta= atan2(dy, dx);k= ktruss24(A(ie), Elast(ie), L, theta); m= mctruss24(rho(ie), A(ie), L, theta);index= runindex(nnel, ndofnd, nodos(ie,:));KG= asmmtx(KG, k, index);

21


22/39

MG= asmmtx(MG, m, index);end

%---------------------------------------------

% Aplica los desplazamientos conocidos a% las matrices de masas y de rigideces[KG, MG]= applybc02(KG, MG, despcf);

%%---------------------------------------------% Calcula los valores y vectores caracteristicos[fm, frec2]= eig(KG, MG);

% calcula las frecuencias naturalesfrec= sqrt(frec2);

% Ordena las frecuencias y los modos de menor a mayor[frec,nc]= sort(diag(frec));fm= fm(:, nc);

%----------------------------------------------------------------% Normaliza las formas modales con respecto al maximov_max=abs(max(fm));for i=1:size(fm,1)

fm(:,i)= fm(:,i)/v_max(i);end

% END DEL PROGRAMA

Los resultados para las primeras cuatro frecuencias naturales semuestran a continuacin

frec. mef

n (rad/s)

1 8311.92 147433 157704 23131

Dado que en este ejercicio hay ms elementos y las formas modalesson ms complejas, se realiz un sencillo programa llamado gra-pher (el cual se encuentra en el apndice) para gracar las formas

22


23/39

modales. En la Figura 13 se muestran los cuatro modos de vi-bracin.

Modo de vibracin 3 = 15770 rad/s




Figura 13: Primeros cuatro modos de vibracin de la armadura.

Este es un ejemplo ms completo que el de la viga, puesto que in-tervienen ms materiales, ms secciones transversales, los cualespueden modicarse para explorar otras opciones. Tambin puedenmodicarse las condiciones de apoyo, mismas que haran cambiar

las frecuencias naturales.

8. Anlisis modal de sistemas no amortiguados por elementosnitos

En esta seccin se presentar la dinmica de sistemas de variosgrados de libertad utilizando para ello coordenadas modales. Losconceptos discutidos sern ilustrados con ejemplos numricos re-alizados en Matlab.

Partiendo de la Ec. (3), en donde se ha hecho que la matriz de

amortiguamientos [C ] sea cero, se tiene:

[M ]fDg+ [K ]fDg= fF g (29)Se desea conocer el movimiento natural del sistema, es decir, larespuesta fDgsin ninguna fuerza de excitacin fF g. Se suponeque la respuesta adopta la forma:

23


24/39

fDg= f gei!t (30)donde f g es la forma modal (o vector caractersticos) y !es la frecuencia natural del movimiento. En otras palabras, sesupone que el movimiento es puramente senoidal debido al amor-tiguamiento cero del sistema. Entonces, la solucin general es unacombinacin lineal de cada modo, como

fDg= c1f 1gei! 1 t + c2f 2gei! 2 t + : : : + cn f n gei! n t (31)donde cada constante ( ci ) se evala a partir de las condicionesiniciales. Sustituyendo la Ec. (30) en la Ec. (29) con fF g= 0 , seobtiene

! 2 [M ] + [K ] f gei!t = 0 (32)! 2 [M ] + [K ] = 0 (33)[K ] ! 2 [M ] = 0 (34)

donde ! 2 es el valor caracterstico o propio del sistema. La Ec. (34)producir las soluciones ! 21 ; ! 22 ; : : : ; ! 2n , ordenadas de manera que! 21 ! 22 : : : ! 2n . Dado que la matriz de masas es denidapositiva y la matriz de rigideces es al menos semidenida positi-

va, todos los ! i son no negativos.Observe que cualquier frecuencia natural y su vector modal aso-ciado f gi satisface la Ec. (32), entonces, sustituyendo en laEc. (32) y despus de algunas operaciones

! 2i [M ]f gi = [K ]f gi (35)premultiplicando ahora la ecuacin anterior por un vector modaldiferente:

! 2i f gT k [M ]f gi = f gT k [K ]f gi (36)donde el superndice T indica la transpuesta de una matriz ovector. Tomando la transpuesta en ambos lados de la Ec. (36)

! 2i f gT i [M ]f gk = f gT i [K ]f gk (37)

24


25/39

en la ecuacin anterior, como las matrices de masas y rigidecesson simtricas se tiene que [M ]T = [M ] y [K ]T = [K ]. Repitien-do el proceso pero iniciando con ! 2k y f gk y en la Ec. (32) ypremultiplicando por f gi

! 2kf gT i [M ]f gk = f gT i [K ]f gk (38)restando la Ec. (37) de la Ec. (38), se tiene

! 2k !2i f gT i [M ]f gk = 0 (39)

si i 6= k (lo cual implica dos frecuencias naturales diferentes), sepuede concluir que

f gT i [M ]f gk = 0 (40)sustituyendo este resultado en la Ec. (36), se obtiene

f gT i [K ]f gk = 0 (41)Las ecuaciones (40) y (41) establecen las propiedades de ortog-onalidad de los vectores modales con respecto a las matrices demasas y rigideces del sistema. Las relaciones de ortogonalidad ex-presadas en las ecuaciones (40) y (41) generalmente se conocencomo ortogonalidad ponderada.

Si i = k en la Ec. (39) entonces la Ec. (40) es igual a una con-stante escalar diferente de cero, digamos m i . Luego entonces:

f gT i [M ]f gi = m i (42)Si i = k en la Ec. (37), esto da:

f gT i [K ]f gi = !2i m i = ki (43)

Las constantes m i y ki para el modo de vibracin i se conocencomo masa modal y rigidez modal, respectivamente.

Tal y como se ha mostrado, la amplitud de cualquier vectormodal (vector caracterstico) es completamente arbitraria, el vec-tor modal puede expresarse de manera particular. Por ejemplo,

25


26/39

un criterio muy comn para normalizar el vector modal es es-calar el vector de manera tal que m i sea igual a la unidad en laEc. (42). El procedimiento es el siguiente.

Como se desea escalar los vectores modales, se puede poner:

f gi = if gi (44)donde i es la constante de escalacin para el vector f gi . Susti-tuyendo en la Ec. (42) para obtener un valor de masa unitario

f gT i [M ]f gi = m i2i f gT i [M ]f gi = 1

2

im

i= 1

i = 1 =p m i (45)

Se puede ver claramente de la Ec. (45) que la constante de nor-malizacin requerida es el recproco de la raz cuadrada de lamasa modal. Esta normalizacin en particular producir

f gT i [M ]f gi = 1 y f gT i [K ]f gi = !2i (46)

Una vez que todos los vectores de forma modal han sido nor-

malizados, se puede introducir la matriz de formas modales, osimplemente la matriz modal como

[ ] = [f g1 f g2 f g3 . . . f gn ] (47)las columnas de la matriz modal est formada por las formasmodales de cada uno de los modos de vibracin de le estruc-tura. Ahora, se puede introducir la siguiente transformacin decoordenadas

fDg= [ ]f g (48)en donde f g= f 1 2 3 . . . n ]T es el vector de coordenadasmodales. Sustituyendo la Ec. (48) en la Ec. (29) se obtiene

[M ][ ]fg+ [K ][ ]f g= fF g (49)

26


27/39

premultiplicando ahora ambos miembros de la Ec. (49) por [ ]T

se obtiene

[ ]T [M ][ ]

f

g+ [ ] T [K ][ ]

f g= [ ] T

fF

g(50)

de acuerdo con la ortogonalidad de los vectores modales dada enla Ec. (46) se tiene

f g+ [r ! 2i r ]f g= [ ] T fF g= ff ig (51)

en donde [r ! 2i r ] es una matriz diagonal de dimensin n n conlos cuadrados de las frecuencias naturales del sistema.

La Ec. (51) pone de maniesto que el sistema original, dado porla Ec. (29) puede desacoplarse cuando se utilizan coordenadas

modales. Tambin puede ponerse la Ec. (51) de la siguiente man-era

i + !2i i = f i (52)

en donde i = 1 ; 2; 3; : : : ; n y f i es el i-simo rengln del producto[ ]T F . Esta ecuacin es la forma modal de las ecuaciones demovimiento. Estas ecuaciones tienen la ventaja de que permitenhallar una solucin analtica independiente para cada uno de losmodos de vibracin del sistema.

Para encontrar la solucin de la Ec. (52) se aplica el mtodo dela Transformada de Laplace:

$ f i + !2i ig = $ ff igi (s) =

s i (0) + _ i (0)s2 + ! 2i

+f i (s)

s2 + ! 2i(53)

donde i(0) y _i (0) estn relacionadas con las condiciones ini-ciales del problema de la siguiente manera. De la Ec. (48) setiene

fd(0)g= [ ]f (0)gas que, premultiplicando ambos lados de la ecuacin anteriorpor [ ]T [M ] y aprovechando los resultados de la Ec. (46)

f (0)g= [ ] T [M ]fd(0)g (54)27


28/39

de igual manera

f_(0)g= [ ] T [M ]f _d(0)g (55)Como se observa en la Ec. (53), la solucin de la ecuacin difer-encial de segundo grado en coordenadas modales (Ec. (52)) estcompuesta de dos partes. La primera depende de las condicionesiniciales de la vibracin y est representada en la solucin por losdos primeros trminos. La segunda parte depende de la fuerza deexcitacin, dada por la integral de convolucin en la Ec. (53). Engeneral esta integral no es fcil de evaluar, excepto para fuerzasde impulso y funciones escaln.

Referencias[1] Blevins, R. D., 1984, Formulas for Natural Frequency and

Mode Shape , Krieger Publishing Co. U.S.A.

[2] Briggs, John M., Introduction to Structural Dynamics ,McGraw-Hill, 1964.

[3] Chandrupatla, Tirupathi R. y Belegundu, Ashok D.; Intro-duccin al estudio del elemento nito en ingeniera , 2a Edi-cin, Pearson, 1999.

[4] Cook, Robert D., Finite Element Modeling for Stress Analy-

sis , Wiley & Sons, 1995.[5] Inman, Daniel J.; Engineering Vibration , Prentice-Hall,

1996.

[6] Kwon, Young W. y Bang Hyochoong, The Finite Element Method Using Matlab , 2nd Edition, CRC Press 2000.

[7] Maroo R., Rolando; Apuntes del mtodo de los elementos nitos , 2003.

[8] Meirovitch, Leonard, Analytical Methods in Vibrations ,MacMillan Publishg, Co., 1967.

[9] Rao, Singiresu S., Mechanical Vibration , Addison-WesleyPublishing Co., 1990.

[10] Segerling, Larry

28


29/39

A. Ejercicios1. Utilizando la Ec.(20), deduzca la matriz de masas agru-

padas para el elemento armadura.

2. Modique el programavibrabeam , para calcular las cuatroprimeras frecuencias naturales y formas modales para unaviga libre-libre, con las mismas caractersticas de geometray material que la viga del ejemplo. Compare sus resultadoscon el modelo terico correspondiente.

3. Modique el programavibrabeam , para calcular las primerascuatro frecuencias naturales y formas modales para una vi-ga doblemente empotrada, con las mismas caractersticasde geometra y material que la viga del ejemplo. Comparesus resultados con el modelo terico correspondiente.

4. Tomando como modelo el programa vibrabeam , desarrolleun programa de computadora en Matlab para calcular lavibracin axial de la barra mostrada en la Figura.

5. En el programa vibratruss02 cambie la matriz de masasconsistente de los elementos armaduras por la matriz demasas agrupadas y compare los resultados obtenidos paralas frecuencias.

6. En el programa vibratruss02 cambie las condiciones deapoyo en los nodos 1 y 4, de manera que slo se restringa

el movimiento vertical. Compare las frecuencias naturalescontra las del ejemplo. Compare la nueva forma modal 1,a qu atribuye usted la diferencias?

7. En la siguiente gura se muestra una bicicleta cuyo cuadroest hecho de acero tubular con dimetro exterior de 1plg yespesor de pared de 0.062 plg. Cree un programa en el cualuse el elemento marco para determinar la primera frecuen-cia natural de la bicleta. Realice dos modelos, el primero deellos considerando a la bicicleta como un marco libre-librey el segundo como simplemente apoyado en la direccin

vertical.

B. Rutinas en Matlab

function [m]= mctruss24(rho, A, L, theta)% [m] = mctruss24(rho, A, L, theta)

29


30/39

16.27"

20"

36.4"

40.5"

10" 25.4"

%% Crea la matriz de masas consistente para el ele-% mento armadura de 2 nodos y 4 grados de libertad% orientado arbitrariamente%% [m] - Matriz de masas consistente% rho - Densidad del material del elemento% A - Area del elemento% theta- Angulo definido entre la horizontal y el% elemento medido en radianes

%-------------------------------------------------% se asegura que los parametros de la funcion sean% positivosrho= abs(rho);A= abs(A);L= abs(L);

%-------------------------------------------------% Crea la matriz de masas consistentec= cos(theta);

s= sin(theta);

m= [ 2*c*c 2*c*s c*c c*s;2*c*s 2*s*s c*s s*s;

c*c c*s 2*c*c 2*c*s;c*s s*s 2*c*s 2*s*s];

m= rho*A*L*m/6;

30


31/39

%-------------------------------------------------

function [m]= mltruss24(rho, A, L, theta)

% [m] = mltruss24(rho, A, L, theta)%% Crea la matriz de masas agrupadas para el ele-% mento armadura de 2 nodos y 4 grados de libertad% orientado arbitrariamente%% [m] - Matriz de masas agrupadas% rho - Densidad del material del elemento% A - Area del elemento% theta- Angulo definido entre la horizontal y el% elemento medido en radianes


%-------------------------------------------------% Crea la matriz de masas agrupadas

c= cos(theta);s= sin(theta);

m= [ c*c c*s 0 0;c*s s*s 0 0;

0 0 c*c c*s;0 0 c*s s*s];

m= rho*A*L*m/2;%-------------------------------------------------

function [m]= mcbeam24(rho, A, L)% [m]= mcbeam24(rho, A, L)%% Crea la matriz de masa consistente para el% elemento viga de 2 nodos y 4 grados de libertad% (traslacion y rotacion por cada nodo)%

31


32/39

% rho - Densidad del elemento% A - Area del elemento% L - Longitud del elemento


%-------------------------------------------------% Crea la matriz de masa consistentecoef= rho*A*L/420; m= [ 156 22*L 54 -13*L;

22*L 4*L^2 13*L -3*L^2;54 13*L 156 -22*L;-13*L -3*L^2 -22*L 4*L^2];

m= coef*m;%-------------------------------------------------

function [m]= mlbeam24(rho, A, L)% [m]= mlbeam24(rho, A, L)%

% Crea la matriz de masas agrupadas para el% elemento viga de 2 nodos y 4 grados de libertad% (traslacion y rotacion por cada nodo)% rho - Densidad del elemento% A - Area del elemento% L - Longitud del elemento


% Crea la matriz de masas agrupadascoef= rho*A*L/2; m= diag([1 0 1 0],0); m= coef*m;

32


33/39

%-------------------------------------------------

function [k]= ktruss24(A, E, L, theta)

% [k]= ktruss24(A, E, L, theta)%% Crea la matriz de rigideces para un elemento% armadura de 2 nodos y 4 grados de libertad%% [k] - Matriz de rigideces del elemento% A - Area de la seccion transversal% E - Modulo de elasticidad% L - Longitud del elemento% theta - Angulo definido entre la horizontal y el% elemento medido en radianes

%-------------------------------------------------% se asegura que los parametros de la funcion sean% positivosE= abs(E);A= abs(A);L= abs(L);

%-------------------------------------------------% Crea la matriz de rigideces

c= cos(theta);s= sin(theta);

k= [ c*c c*s -c*c -c*s;c*s s*s -c*s -s*s;

-c*c -c*s c*c c*s;-c*s -s*s c*s s*s];

k= A*E*k/L;%-------------------------------------------------

function [k]= kbeam24(E, I, L);% [k]= kbeam24(E, I, L)%% Crea la matriz de rigideces para el elemento viga% de 2 nodos y 4 grados de libertad % (traslacion y% rotacion por cada nodo)

33


34/39

%% E - Modulo de elasticidad del material del elemento% I - Momento de inercia del elemento% L - Longitud del elemento

%-------------------------------------------------% se asegura que los parametros de la funcion sean% todos positivosE= abs(E);I= abs(I);L= abs(L);

%-------------------------------------------------% Crea constantes para calcular la matrizEI= E*I;coef12= 12*EI/L 3;coef06= 6*EI/L^2;coef04= 4*EI/L;coef02= 2*EI/L;

%-------------------------------------------------% Arma la matriz de rigidecesk=[ coef12 coef06 -coef12 coef06;

coef06 coef04 -coef06 coef02;-coef12 -coef06 coef12 -coef06;

coef06 coef02 -coef06 coef04];%-------------------------------------------------

function [index]= runindex(nnel,ndof, nodos)% [index]= runindex(nnel,ndof, nodos)%% calcula los numeros de los grados de libertad asociados% con un elemento%% nnel - Numero de nodos en el elemento% ndof - Numero de grados de libertad por nodos% nodos - Vector con los nodos que forman el elemento% index - Vector donde se almacenan los grados de libertad% asociados con el elemento

nn= length(nodos);index=[];

34


35/39

for i=1:nntemp=[(nodos(i)-1)*ndof+1:nodos(i)*ndof];index=[index temp];

end

%-------------------------------------------------

function [KG]= asmmtx(KG, k, index)% [KG]= asmmtx(KG, k, index)%% Ensambla las matrices de los elementos para% formar la matriz global. La matriz global puede% ser la matriz de masa o la matriz de rigideces%% KG - Matriz global que se formara% k - matriz de propiedeades del elemento% (masas o rigideces)% index - Vector de nodos de grados de libertad del% elemento

%-------------------------------------------------% calcula la cantidad de grados de libertad del% elementoedof= length(index);

%-------------------------------------------------% Ensambla la matriz usando el metodo directofor i=1: edof

ii= index(i);for j=1: edof

jj= index(j);KG(ii,jj)= KG(ii,jj) + k(i,j);

endend%-------------------------------------------------

function [KG, MG]= applybc02(KG, MG, nodocf)% [KG, MG]= applybc02(KG, MG, nodocf)%% Aplica condiciones de frontera cero a los nodos% establecidos en dofcf para resolver el problema% de valores caracteristicos [KG]{x}= lamda[MG]{x}

35


36/39

%% KG - Matriz de rigideces global% MG - Matriz de masas global% nodocf - Matriz donde se guardan los nodos que

% tienen desplazamiento cero y en que% grado de libertad

%-------------------------------------------------% Determina cuales desplazamientos valdran cero[row, col]= size(nodocf);dofcf= [];for i=1:row

nodo= nodocf(i,1);dof= ((nodo-1)*(col-1)+1: nodo*(col-1));dof= dof.*nodocf(i,2:end);dofcf= [dofcf nonzeros(dof)];

end

n= length(dofcf);

%-------------------------------------------------% Pone en cero los elementos de las matrices glo-% bales de rigideces y de masasKG(dofcf, :)= 0;KG(:, dofcf)= 0;

MG(dofcf, :)= 0;MG(:, dofcf)= 0;

%-------------------------------------------------% Pone unos en la matriz de masa en las posiciones% de dofcffor i=1:n

tmp= dofcf(i);MG(tmp, tmp)= 1;

end%-------------------------------------------------

function [w, Phi, Fmod]= amodal(KG, MG, FG)%% [w, Phi, Fmod]= amodal(K, M, F)%% Calcula los parametros modales de una estructu-

36


37/39

% ra dadas sus propiedades fisicas.%% w - Frecuencias naturales del sistemas, orde-% nadas de la menor a la mayor

% Phi - Matriz de formas modales normalizadas con% respecto a las masas modales% Fmod- Vector de fuerzas modales% KG - Matriz de rigideces globales de la es-% tructura% MG - Matriz de masas globales de la estructura% FG - Vector de fuerzas externas globales de la% estructura

%-------------------------------------------------% Calcula los vectores y las frecuencias naturales% al cuadrado[Psi, frec2]= eig(KG, MG);

% Ordena las frecuencias naturales de menor a% mayor[frec2, j]= sort(diag(frec2));

% Ordena la matriz modal de acuerdo al orden de% las frecuenciasPsi= Psi(:,j);

% Calcula las masas modales mm= diag(Psi*MG*Psi);

% Calcula las frecuenciasw= sqrt(frec2);

% Calcula la matriz modal normalizada a las masasPhi= Psi*inv(sqrt(diag(mm)));

% Calcula el vector de fuerzas modalesFmod= Phi*FG;%-------------------------------------------------

% GRAPHER% Programa para graficar las formas modales de% la armadura

37


38/39

%---------------------------------------------% define el numero del modonm= 1; % numero del modo a graficar: 1,2,3,4

% define un factor de escala para magnificar% la deformacion del modofs= 3;

%---------------------------------------------% separa las coordenadas originales de los% nodosxorg= coord(:,1);yorg= coord(:,2);

%---------------------------------------------%extrae la posicion horizontal de la forma% modalx= fm(1:2:11, 4 + nm);%extrae la posicion vertical de la forma% modaly= fm(2:2:12, 4 + nm);

%---------------------------------------------% mgnifica los valores

x=xorg + fs*x;y=yorg + fs*y;

%grafica la posicion original de los nodosplot(xorg, yorg, *b)

% grafica la nueva posicion de los nodoshold onplot(x,y,*r)

%---------------------------------------------% grafica los elementos, tanto originales como% los de la forma modalfor i=1:nel

ni= nodos(i,1);nf= nodos(i,2);xel= [xorg(ni) xorg(nf)];yel= [yorg(ni) yorg(nf)];

38


39/39

plot(xel,yel, --b)xdef= [x(ni) x(nf)];ydef= [y(ni) y(nf)];plot( xdef, ydef, r)

end

Analisis de Vibraciones Mecanicas FEM - ITV

Documents

Transcript of Analisis de Vibraciones Mecanicas FEM - ITV