TEORICO VIBRACIONES

7/24/2019 TEORICO VIBRACIONES

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67.12 - MECANISMOS B

67.36 - MECNICA APLICADA

VIBRACIONES

TERICO

CDIGO: 67.12.19

Prof. Ing. MAYER, Omar E.

MARZO 2.002


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OBJETIVO: Anlisis del comportamiento de estructuras sometidas a accionesque no resultan constantes a lo largo de la variable tiempo.

Las causas que solicitan a estructuras son, en general, fuerzas y / omomentos que actan dinmicamente y ellas son:

a) Movimiento de personas y / o cosas.

b) Operacin de equipos y / o mquinas.c) Impactos.d) Viento.e) Explosiones.f) Movimientos ssmicos.

Los efectos que estas acciones producen, se traducen en:

a) Daos fsicos y / o psicolgicos a seres vivientes.b) Perturbacin en el funcionamiento de equipos e instrumentos.c) Daos o deformaciones permanentes en piezas, mquinas y estructuras.

CONDICIONES: Para que se produzca una VIBRACIN MECNICA en unaestructura, debern cumplirse dos condiciones fundamentales,sin las cuales el fenmeno no acontece:

1) Comportamiento elstico de la estructura como respuesta a la accin delas fuerzas y / o momentos que la soliciten.

2) Existencia de masa en movimiento.

DESCRIPCIN DEL MOVIMIENTO: Para describir el movimiento de una piezao estructura, es necesario referirse a sus grados de libertad. Por cada grado

de libertad existente, hace falta una coordenada. Una estructura tiene tantosgrados de libertad, como coordenadas sean necesarias para determinar odefinir su configuracin. Cuando est quieta, una cantidad finita decoordenadas es suficiente para determinar exactamente su configuracin;mientras que cuando se mueve, cada punto de la pieza o estructura requiere3 (tres) coordenadas, por lo que en dicha situacin, los grados de libertadson infinitos.

Como lo que interesa, es describir el movimiento de las MASAS, el problemase simplifica, ya que habiendo zonas con masas grandes y otras con masaspequeas, es posible centrar de manera simplificada, el anlisis del problema

en lo que acontece con las grandes masas.Como ejemplo de tales sistemas, imagnese una barra de acero empotradaen un extremo y con una masa M en el otro, a la que solo le es posiblemoverse entre guas, para que solo le sea posible hacerlo en una soladireccin, en este caso, perpendicular a la hoja de papel (ver FIGURA 01 enla pgina siguiente).

Esta hiptesis es solo una ficcin matemtica; puesto que la barra tienemasa y se deforma arquendose, resultando entonces que la masa M enestudio no se desplaza perpendicularmente al plano del papel (movimiento

lineal), sino que gira.


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Guia inferior

Guia superior

Barra elastica (acero)

Empotramientobarra elastica

Figura 01

MMasa

No obstante, cuando la magnitud de la masa que vibra es grande frente a ladel elemento elstico que la sustenta (suspensin), la masa de este ltimo sepuede despreciar a efectos simplificar el estudio.

CLASIFICACIN de los SISTEMAS VIBRATORIOS

LINEALES: Son aquellos en los que las masas que vibran son constantes a

lo largo del tiempo y las caractersticas elsticas de sus suspensiones sonlineales frente a las causas que las solicitan.

NO LINEALES: Son aquellos en los que la masa que vibra no es constanteen el tiempo. Por ejemplo, puentes por los cuales circulan vehculos; elestudio de estos casos requiere la consideracin de las masas de losvehculos amen de la del puente.

Se clasifican tambin en AMORTIGUADOS y NO AMORTIGUADOS, siendoesta ltima posibilidad una ficcin matemtica, pues todas las piezas yestructuras contienen, intrnsecamente en mayor o menor grado, algunaamortiguacin.

Con relacin al modo de actuar de las causas perturbadoras del equilibrio delos sistemas, tambin se los clasifica en sistemas vibratorios LIBRES,FORZADOS o AUTOEXCITADOS:

LIBRES: Son aquellos que se manifiestan a partir del momento en que cesala accin de la causa perturbadora.

FORZADOS: Son aquellos que se producen por efecto de una perturbacinque perdura en el tiempo.

AUTOEXCITADOS: La fuerza perturbadora, que en el caso de las vibracionesforzadas es alternativa o pulsante o aparece y desaparece, en este caso escontinua. Son ejemplos tpicos, la vibracin de la cuerda de un violn, dondeel arco pasa de manera continua; la de las patas de un mueble que esarrastrado sobre el piso (rozamiento seco) y la vibracin de una tiza que sedesplaza sobre una pizarra.

VIBRACIN LIBRE DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD

Sea un cuerpo de peso W suspendido de un resorte (suspensin elstica porexcelencia) de masa despreciable frente a la del peso W en estudio, comoindica la FIGURA 02 en la siguiente pgina.

Analcese su comportamiento frente a una perturbacin consistente enapartarlo de su posicin de reposo una distancia X0 para luego liberarlo.


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Sin peso W

Figura 02

reposo

X

X0

O

--X0

Pos.

W+

k*X

W

W W

W

W

X

est

Dicha masa, si el sistema es de amortiguacin nula (no amortiguado), oscilarindefinidamente entre + X0 y --X0 (pndulo).

Supuesta entonces nula la amortiguacin, para una posicin cualquiera X delpeso W (posicin en anlisis en la figura), la ecuacin correspondiente deequilibrio establece

:

2XFx = M * ax = M * ------- = W - ( W + k * X )

t 2

donde: M = Masa del peso Wax = Aceleracin instantnea de la masa M y del extremo

correspondiente del resorte o suspensin elsticak = Constante elstica de la suspensin de la masa M

W + k * X = Fuerza con que acta la suspensin sobre la masa M2X

luego: M * ------- = - ( k * X )t 2

2X k------- + --- * X = 0t 2 M


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Dicha expresin se constituye as en la ecuacin diferencial delmovimiento de la masa M, soportada la misma por unasuspensin elstica de constante k.

kHaciendo: --- = n^2 se obtiene

M2X------- + n^2 * X = 0t 2

Esta ltima expresin corresponde tambin a la ecuacin diferencial delmovimiento armnico simple, obtenido como proyeccin en una nicadireccin del movimiento del extremo de un radio vector, animado el mismode un movimiento circular con velocidad angular constante, conforme se

muestra en la siguiente FIGURA 03:

XX

nX0O

-- X

Figura 03

n = ------ = Cte. Donde = ngulo rotado por el radio vector.

t

Rotando el vector X0 con velocidad angular n CONSTANTE, su proyeccin

sobre el eje coordenado X, considerando 0 (posicin angular inicial) = 0,resulta en:

X = X0 * cos () = X0 * cos (n *t)

X 2X

----- = -- X0 * n * sen (n *t) ;;; ------ = -- X0 * n^2 * cos (n *t)t t 2

Siendo: X = X0 * cos (n * t)


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2X 2X------ = -- X * n^2 ------ + n^2 * X = 0t 2 t 2

Volviendo al esquema del peso W y de su suspensin elstica y siendo que

el sistema no es excitado peridicamente desde el exterior, se tiene: k (1/2) pulsacin natural de

n = --- vibracin del sistema, M propia de:

a) La masa M del cuerpo que vibrab) La constante elstica k de su suspensin

La frecuencia natural de vibracin se define con:

n ( k / M )^(1/2) ( g * k / W )^(1/2)fn = ---------- = ----------------- = -----------------------

2 * N 2 * N 2 * N

siendo g = aceleracin gravitatoria

W con est = deformacin (dentroSiendo: k = ----- del lmite elstico) que produce

est la aplicacin esttica de W

( g / est)^(1/2)resulta: fn = ----------------------

2 * N

Figura 04

W

Pudindose haber representado el sistema conforme la FIGURA 04 anterior,tratse ahora:

VIBRACIN LIBRE DE UN GRADO DELIBERTAD CON AMORTIGUACIN VISCOSA


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Teniendo presente que todos los sistemas reales son siempre amortiguados,aunque no posean dispositivos especficos para ello, la FIGURA 05 siguiente)representa un cuerpo soportado por un elemento elstico de constanteelstica k y un amortiguador VISCOSO de constante de amortiguacin C.

W

Figura 05

k c

En la amortiguacin viscosa, la fuerza que opone el dispositivo amortiguadores proporcional a la velocidad (lineal) del peso W y los amortiguadores delos automviles, al ser del tipo viscoso, trabajan bsicamente bajo estapropiedad.

X N * segFam = - C * ----- Unidad de C = -------------

t m

Fam representa entonces la fuerza que hay que ejercer para mantener unacierta velocidad del peso W en la direccin del eje X y se dice que unamortiguador es duro (blando) cuando su constante C es grande (baja).

Planteada ahora la ecuacin de equilibrio para un sistema soportado

elsticamente y con amortiguacin viscosa, la misma resulta en:

2X X

M * ------- + C * ----- + K * X = 0t 2 t

= 2X -- XHaciendo X = ------- ;;;; X = ----- resulta:

t 2 t

= --

M * X + C * X + K * X = 0


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Siendo esta ltima expresin una ecuacin diferencial de segundo grado enX, para resolverla, supngase que la masa M del cuerpo de peso W esCONSTANTE en el tiempo, que la masa de la suspensin y de loselementos afectados por el movimiento y concernientes al amortiguador sepueden despreciar, que la constante de amortiguacin C tampoco vara y quela suspensin no excede el lmite proporcional de deformacin del materialcon que est construida.

Planteando una solucinparticular exponencial como: X = C * e^st resulta:

-- =X = C * S * e^st ;;;;;; X = C * S^2 * e^st

La ecuacin de equilibrio dinmico, resulta entonces en:

M * C * S^2 * e^st + C * C * S * e^st + k * C * e^st = 0

Operando se obtiene: e^st * (M * S^2 + C * S + k) = 0De donde: M * S^2 + C * S + k = 0

Esta expresin resulta ser una expresin de segundo grado en S, con lassiguientes soluciones:

C C 2 k (1/2)S1,2 = - ------- ------- -- ----

2 * M 2 * M M

de donde entonces, conocidos M, C y k, resultan conocidos S1 y S2.Planteando una solucin general, como una combinacin algebraica de ambassoluciones particulares, resulta:

X = A * e^(S1*t) + B * e^(S2*t)

Si S1 y S2 resultan nmeros reales, la ecuacin anterior representa unmovimiento aperidico exponencial. En cambio si resultan nmeroscomplejos conjugados, se pueden expresar los mismos como una suma desenos y cosenos y el movimiento resulta peridico. Esto ocurre cuando el

radical de la expresin S1,2 resulta negativo.Se entiende entonces que en un sistema amortiguado, el movimiento puedeser peridico o aperidico, conforme sea la relacin existente entre losvalores de la constante de amortiguacin (nicamente viscosa para esteanlisis) C y la constante elstica k, ambas de la sustentacin.

El valor de C que hace que el radical referenciado sea nulo, es llamadoconstante crtica de amortiguacin Ccr y separa los movimientos peridicosde los aperidicos.

Haciendo entonces C = Ccr, se tiene:


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Ccr 2 k Ccr k (1/2) -------- -- --- = 0 ------- = ---- 2 * M M 2 * M M

k (1/2)

Siendo: ---- =

n pulsacin natural del sistema,

M resulta:

k (1/2)

Ccr = 2 * M * ---- Ccr = 2 * M * n M

Si una amortiguacin (viscosa) posee una constante C de amortiguacinmayor a Ccr, los movimientos sern no peridicos, mientras que si es

menor, sern peridicos:

C > Ccr : Movimiento no peridico

C


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k (1/2) -- C M (1/2)

[----] * ---- * --------- M 2 M^2 * k

S1,2 = C 2 (1/2) ------------------ -- 1

2 * (k * M) (1/2)

k (1/2)

Siendo: --- = n M

-- C n * --------------------

2 * (k * M)^(1/2)S1,2 =

C 2 (1/2) -------------------- -- 1 2 * (k * M)^(1/2)

Llamando FACTOR DE AMORTIGUACIN J al cociente (C / Ccr), el mismoresulta ser:

C C CJ = ----- = -------------------------- = -----------------------------

Ccr 2 * M * (k / M)^(1/2) 2 * (k * M^2 / M)^(1/2)C

J = ------------------------2 * (k * M)^(1/2)

(1/2) resulta: S1,2 = n * -- J J^2 -- 1

J = 0 ; C = 0

Movimientos peridicos no amortiguados.

0 < J < 1 ; 0 < C < Ccr Movimientos peridicos amortiguados.

J = 1 ; C = Ccr Situacin divisoria entre movimientosperidicos y aperidicos.

J > 1 ; C > Ccr Movimientos aperidicos.

Conforme las expresiones exponenciales de las funciones trigonomtricas senoy coseno, la expresin correspondiente a la ecuacin general del movimientopuede escribirse como:


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-- J * n* t (1/2)X = X1 * e * sen [(1 -- J^2) * n * t + 1]

en donde X1 y 1 son constantes y parmetros iniciales del movimiento.

Los Grficos 01 y 02 adjuntos muestran en ordenadas, el valor de X

conforme sea el tiempo t y para valores particulares de X1, n, 1 y J y(1/2)

para ambas soluciones de la raz (1 -- J^2)

El Grfico 03 adjunto, manteniendo constantes 1, X1 y n, muestra lafuncin X = X(t) para distintos valores de J y las mismas verifican quecuando:

J = 0 Movimientos peridicos no amortiguados.

0 < J < 1 Movimientos peridicos amortiguados.

J = 1 Situacin divisoria entre movimientos peridicosamortiguados y aperidicos.

VIBRACIONES FORZADAS

Estas se producen cuando la perturbacin exterior permanece en el tiempo,como por ejemplo, una que responde a una funcin senoidal del tipo:

P = P0 * sen ( * t)

donde siendo P0 y constantes, es la pulsacin con que opera laperturbacin exterior, por ejemplo la velocidad angular del rotor de un motor;resultando que, si el mismo no ha sido balanceado, la sustentacin debeproporcionar la fuerza centrpeta P0 (solicitacin dinmica), amen del peso(solicitacin esttica) del motor.

La representacin de un sistema con un grado de libertad, actuando bajoestas circunstancias, resulta conforme muestra la FIGURA 06 en la siguientepgina.

A esta situacin, corresponde la ecuacin de equilibrio:

= --

M * X + C * X + k * -- P0 * sen (* t) = 0

En estas condiciones, la masa correspondiente al peso W ya no vibra con lapulsacin natural del sistema n, sino que lo hace con el valor , pulsacinpropia de la accin perturbadora exterior, la cual podr coincidir o no con

n.

k (1/2)

n = --- = Pulsacin natural del sistema M


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= Pulsacin con que acta la accin perturbadora exterior

Estdiese previamente un sistema ms simple de un grado de libertad, conaccin perturbadora exterior senoidal y no amortiguado como muestra lasiguiente FIGURA 07 y ecuacin de equilibrio como sigue:

Masa M

k c

Po * sen (t)Figura 06Figura 07

k * X

Masa M

Po * sen (t)

=M * X + k * X -- P0 * sen (* t) = 0

Ensayando la siguiente solucin:

X = X1 * sen [(* t) + 1]

donde: X1 y 1 = Condiciones de referencia del movimiento.

= Pulsacin con que acta la perturbacin exterior.

No considerando los efectos de la variacin de (la mismapuede variar o no), resulta:

la derivada --primera en: X = X1 * * cos [(* t) + 1]

y la derivada =segunda en: X = -- X1 * ^2 * sen [(* t) + 1]

Conforme a ello y operando, la ecuacin de equilibrio dinmico resulta en:

[sen [(* t) + 1]] * [ (k * X1) -- (M * ^2 * X1) -- P0] = 0


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de donde: [ (k * X1) -- (M * ^2 * X1) -- P0] = 0

X1 * [ k -- (M * ^2) ] -- P0 = 0

P0X1 = -------------------

k -- (M * ^2)

Pudiendo ser variable en el tiempo t, tambin lo es X1, la cual da enllamarse elongacin del movimiento (mximo y/o mnimo X) y la mismatiende a infinito.

k (1/2)

cuando: n pues siendo n = --- ; M

k = M * n^2 ; cuando: n ; k -- (M * ^2) 0

Se dice que cuando = n se est ante la condicin o el fenmenode resonancia.

Volviendo al caso general amortiguado, en donde:

= --

M * X + C * X + k * X - P0 * sen (* t) = 0

la solucin general (compleja y a no tratar aqu) incluye una componentetransitoria que desaparece al poco tiempo, a no tener en cuenta, y unacomponente permanente a considerar:

componente transitoria - J * n* t (1/2)

X = + X1 * e * sen [(1 - J2) * n* t + 1] +

componente permanente + X2 * sen ( * t -- 2)

Analizando entonces la componente permanente exclusivamente, resulta:X = X2 * sen [( * t) -- 2]

--X = * X2 * cos [(* t) -- 2]

--X = * X2 * sen [(* t) -- 2 + (N / 2)]

=X = -- ^2 * X2 * sen [(* t) -- 2]


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La ecuacin de equilibrio se transforma entonces a:

fuerza excitatrz+ P0 * sen [( * t)]

resistencia (fuerza) elstica -- k * X2 * sen [(* t) -- 2]

resistencia (fuerza) amortiguadora = 0-- C * * X2 * sen [( * t) -- 2 + (N / 2)]

fuerza msica o de inercia + M * ^2 * X2 * sen [( * t) -- 2]

Esta ltima ecuacin es representable por un conjunto de vectores demagnitudes:

fuerza excitatrz = + P0

resistencia (fuerza) elstica = -- k * X2resistencia (fuerza) amortiguadora = -- C * * X2

fuerza msica o de inercia = + M * ^2 * X2

todos rotando a la misma velocidad angular (variable o no), defasadosentre s como muestra la siguiente FIGURA 08 y en permanente equilibrio.

/ 2

k * X2

c * * X2k*

X2

M*

2*X2

2

c**X2

Po

M * 2* X2

Figura 08Po

2

* t

De la observacin de la figura y por proyeccin surge que:

P0 * sen (2) -- C * * X2 = 0 P0 * sen (2) = C * * X2


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P0 * cos (2) -- k * X2 + M * ^2 * X2 = 0

P0 * cos (2) = X2 * (k -- M * ^2)

Cuadrando y sumando ambas expresiones y siendo que:

[P0* sen (2)]^2 + [P0* cos (2)]^2 = P0^2 resulta:P0^2 = (C * * X2)^2 + X2^2 * (k -- M * ^2)^2

P0^2 = X2^2 * [(C * )^2 + (k -- M * ^2)^2]

P0X2 = -------------------------------------------------------------

[ ( C * )^2 + ( k -- M * ^2 )^2 ]^( 1/2 )

De esta manera y con esta ltima expresin, resulta posible calcular laamplitud X2 de la componente permanente del movimiento de unsistema sustentado elstica y amortiguadamente, sometido a una carga

[P0 * sen ( * t)] y conforme sea el valor instantneo de la pulsacinactuante .

Definiendo a X2e como la deflexin esttica que causara la carga P0, deactuar la misma en tal forma, tendremos:

P0X2e = ----

k

X2e no debe ser confundida con la deflexin esttica que causa el peso Wcorrespondiente a la masa M en anlisis, presente siempre y que no seencuentra en estudio. X2e, se reitera, resulta ser la deflexin que provocaraP0 si la misma actuara estticamente; debiendo entenderse aqu que lamisma puede o no, en general no, hacerlo as.

Definiendo el coeficiente de magnificacin Mf como el cociente entre X2 yX2e, el mismo resulta en:

X2 1Mf = ------ = --------------------------------------------------------------

X2e k * [ (C * )^2 + (k -- M * ^2)^2 ] ^ (1/2)

X2 1Mf = ------ = --------------------------------------------------------------------------------

X2e C * 2 M * ^2 2 (1/2) -------- + 1 -- ---------

k k

Siendo la constante critica de amortiguacin Ccr = 2 * M * n, se tiene:


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C * C * Ccr C * 2 * M * n--------- = --------- * -------- = -------- * --------------

k k Ccr k Ccr

C * C M

--------- = ----- * 2 * -- *

*nk Ccr k

C kSiendo: J = ----- y n^2 = ---

Ccr M

C * 1 --------- = J * 2 * ------ * * n = 2 * J * ----

k n^2 n

M * ^2 ^2Siendo tambin: ------------- = ------

k n^2

1Mf = ------------------------------------------------------------------------------

2 * J * 2 2 2 (1/2) ----------- + 1 -- ---

n n

Mf resulta as ser independiente de P0 y manifiesta como son las amplitudesde la componente permanente del movimiento, relacionadas a la deflexinesttica (fcil de calcular) que causara P0, conforme sean los valores de J(factor de amortiguamiento) y de la relacin (/ n).

Nota: Las variables relacionadas por la ltima expresin, resultan ser todasadimensionales.

El Grfico 04 adjunto muestra la variacin de Mf, conforme es la relacin(/ n), para distintos valores de J.

A efectos Mf = 1; es necesario:

2 * J * 2 2 2 -------------- + 1 -- --- = 1 n n


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2 2 4

4*J^2 * --- + 1 -- 2 * --- + --- = 1 n n n

2 2 4

4 * J^2 * --- -- 2 * ---

+ --- = 0 n n n

2 2

--- * --- + 2 * ( 2 * J^2 -- 1 ) = 0 n n

Cualquiera sea J, (/ n) = 0 Mf = 1, esto es: X2 = X2e, (laamplitud del movimiento, que no existe, resulta ser igual a la deflexin que

producira P0, s esta actuara estticamente). 2

con --- = 2 * ( 2 * J^2 -- 1 ) n

se obtienen los valores de --- > 0 conforme sea J,

n que tambin hacen Mf = 1

El anlisis del Grfico 04 dice que la relacin ( / n) que haceMf = 1, es mxima cuando J = 0 y que en dichas condiciones, resulta(/ n) = 2^(1/2).

Luego, cualquiera sea J, con (/ n) > 2^(1/2), siempre Mf 1 y laamplitud del movimiento es siempre menor a la deflexin que producira P0,si esta ltima actuara estticamente.

Buscando la derivada primera de Mf respecto a (/ n), se llega a:

Mf 2 * (/ n) * [1 -- (/ n)^2 -- 2 * J^2]-------------- = --------------------------------------------------------------------(/ n) {[ 1 -- (/ n)^2 ]^2 + [ 2 * J * (/ n) ]^2}^(3/2)

MfS ----------- = 0 se obtienen los valores mximos de Mf, conforme sea

(/ n) J y los cocientes (/ n) donde se los obtiene.

J = 0,000 ; (/ n) = 1,000 ; Mfmx infinito

J = 0,100 ; (/ n) = 0,990 ; Mfmx = 5,025J = 0,150 ; (/ n) = 0,977 ; Mfmx = 3,371


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J = 0,200 ; (/ n) = 0,959 ; Mfmx = 2,551J = 0,300 ; (/ n) = 0,905 ; Mfmx = 1,747J = 0,400 ; (/ n) = 0,824 ; Mfmx = 1,363J = 0,500 ; (/ n) = 0,707 ; Mfmx = 1,154J = 0,600 ; (/ n) = 0,529 ; Mfmx = 1,042J = 0,700 ; (/ n) = 0,141 ; Mfmx = 1,0002

J = 0,707 ; (/ n) = 0,000 ; Mfmx = 1J < 0,707 ; (/ n) = 0,000 ; Mfmx = 1

J < 0,707 ; (/ n) > 0,000 ; Mfmx < 1

1Nota: 0,707 = ---------

2^(1/2)

Obsrvese como al pasar de J = 0 (amortiguacin nula) a J = 0,10(amortiguacin relativamente pequea), se pasa de Mfmx = infinito aMfmx 5.

Tambin se cumple:

a) Cuando (/ n) = 0, cualquiera sea J, Mf tiene un mximo o mnimo.

b) Cuando 0 J 1, por loque la rama derecha (marcada por la lnea divisoria correspondiente a

( / n) = 1) de la curva, se ubican en el campo de las ordenadasnegativas de Mf. Este concepto debe entenderse que como cuando < n,la elongacin X2 del movimiento, est en fase con la fuerza perturbadora yque cuando > n, la elongacin X2 est en oposicin a dicha fuerza.

Este concepto debe ser extendido a los dems posibles valores de J.


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= n significa sintonizacin entre la frecuencia natural del sistema y lade la accin perturbadora y cuando esto sucede, se dice que se est ante unfenmeno de resonancia.

Hay otra funcin que conviene analizar en estos aspectos y es la del ngulo

2, ngulo de defasaje entre la elongacin X2 y la accin perturbadora.

P0* sen (2) = X2 * C * Habiendo visto:

P0* cos (2) = X2 * (k -- M * ^2)

C * Dividiendo ambas expresiones entre s: tg (2) = --------------------

(k -- M * ^2)

Dividiendo el numerador y denominador del miembro de la derecha por k yC k

siendo: --- * = 2 * J * ---- ;;;; --- = n^2k n M

2 * J * (/ n)resulta: tg (2) = ------------------------

1 -- (/ n)^2

El Grfico 05 adjunto muestra como es 2 conforme es ( / n), paradistintos valores de J.

ANLISIS DE UNA MQUINA ROTATIVACON SUSTENTACIN ELSTICA Y AMORTIGUADA

Cuando la mquina referenciada, va incrementando su velocidad y a partir decero, acontece:

1er. ESTADO: < n ( / n) < 1


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Figura 09

M*

2*X2

2k*

X2

c**X2

Po

La mquina est arrancando, la diferencia de fase 2 es pequea: Casi todala fuerza perturbadora exterior P0 se gasta en vencer la sustentacinelstica k * X2, dicho de otra manera, la fuerza perturbadora es vencida porla soportacin elstica.

2do. ESTADO: = n ( / n) = 1

Siendo ahora 2 = 90, se est ante el fenmeno de resonancia: Lasfuerzas inerciales estn siendo equilibradas por la sustentacin elstica y lafuerza perturbadora por la amortiguacin.

Figura 10

c*

*X2

k*X2

Po

M*2

*X2

2=90


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3er. ESTADO: > n ( / n) > 1

M*

2*X2

c**X2

Figura 11

k*X2

Po

2

Siendo ahora grande el ngulo de defasaje, la fuerza perturbadora estsiendo equilibrada por la de inercia (elongacin y fuerza perturbadora seencuentran en oposicin).

FUERZA Ft (mxima) TRANSMITIDA AL SUELO

De las cuatro fuerzas existentes, las nicas que llegan al suelo, son laelstica y la amortiguadora. Siendo entonces Ft la fuerza (mxima) transmitidaal suelo y sin considerar el peso W de la masa M en estudio, Ft valdr:

Ft = k * X2 + C * * X2

Ft = [(k * X2)^2 + (C * * X2)^2]^(1/2)

sacando factor comn k * X2:

Ft = (k * X2) * [1 + (C * / k)^2]^(1/2)

2 (1/2)

Ft = (k * X2) * 1 + 2 * J * --- n

X2Siendo: Mf = ------ y

X2e


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1Mf = ------------------------------------------------------------------------------

2 * J * 2 2 2 (1/2) ----------- + 1 -- ---

n n

resulta:X2e

X2 = ------------------------------------------------------------------------------ 2 * J * 2 2 2 (1/2)

----------- + 1 -- --- ) n n

luego:

2 (1/2)(k * X2e) * 1 + 2 * J * ---

n Ft = ------------------------------------------------------------------------------ 2 * J * 2 2 2 (1/2) ----------- + 1 -- --- n n

FtSiendo: P0 = k * X2e y definiendo el cociente: ---- = TR como

P0

la transmisibilidad relativa (fuerza mxima que llega al suelo referenciadaa P0, como si esta llegara estticamente), obtenemos:

2 (1/2) 1 + 2 * J * --- n

TR = -------------------------------------------------------------------------------- 2 * J * 2 2 2 (1/2) ----------- ) + 1 -- --- n n

Tambin resulta:

2 (1/2)TR = Mf * 1 + 2 * J * ---

n

Notse que cuando J = 0, TR = Mf


23/31

El Grfico 06 adjunto muestra la variacin de TR conforme sea el cociente( / n) y para distintos valores de J, comprendiendo los valoresextremos del mismo. La observacin del mismo induce a:

a) La fuerza mxima transmitida al piso por un montaje flexible (sin o debaja amortiguacin) es siempre mayor que la transmitida por un montaje

rgido (de alta amortiguacin) cuando ( / n) < (2)^(1/2) de dondeentonces la amortiguacin es beneficiosa cuando (/ n) < (2)^(1/2)

b) La fuerza mxima transmitida al piso por un montaje flexible (sin o debaja amortiguacin) es siempre menor que la transmitida por un montajergido (de alta amortiguacin) cuando (/ n) > (2)^(1/2).En estas condiciones de funcionamiento la amortiguacin no conviene.

TEORA DE LA FUNDACIN MSICA

Se trata de determinar la masa de una cierta base (generalmente de

hormign), a efectos de que a travs de su inercia, contrarreste la fuerzaexcitatrz, sin la accin de elemento elstico y / o amortiguador algunos, oms bien, considerando despreciable la accin de los mismos, tal comomuestra el siguiente esquema:

Wf

Wm

Figura 12 Po*sen(* t)

Siendo Wm el peso de la mquina a sustentar, sobre la cual acta unafuerza excitatrz P0 * sen (* t) y Wf el peso de la base o fundacinsoporte, apoyada sobre un suelo de constante elstica k y de amortiguacinC nulas, la ecuacin de equilibrio dinmico establece que, siendo g laaceleracin gravitatoria:

Wf + Wm 2X --------------- * ------- = P0 * sen (* t)

g t 2

Si el movimiento es de amplitud X0, resulta:


24/31

X = X0 * sen (* t)

--X = * X0 * cos (* t)

=

X = -- ^2 * X0 * sen (* t)Wf + Wm

-- --------------- * ^2 * X0 * sen (* t) = P0 * sen (* t) g

Independizndose del signo negativo, se obtienen los siguientes resultados:

g P0 P0 * gX0 = ----------------- * ----- Wf = ----------- -- Wm

Wf + Wm ^2 ^2 * X0

Esta ltima expresin permite calcular el peso Wf de la fundacin necesaria,conforme sea el valor de X0 tolerado o permitido.


25/31

X; A

X1 = 60; wn = 1; 1 = 1 radin; j = 0,5A = X1 * e^(--j * wn * t)

B = seno (1 + (|(1 -- j^2)^0.5| * wn * t)X = A * B

GRFICO 01

-30

-60

-50

-40

+40

-10

-20

0

+10

+20

+30

+60

+50

-3/6-- A

-6/6

-5/6

-4/6

B(radianes)

X = A * B

1 2

3 4

A

B

+4/6

+1/6

+2/6

+3/6

+05

-1/6

-2/6

6

t

+6/6

+5/6


26/31

A

-60 -6/6

X = A * B

-50

-40

-- A

-30

-20

-10

0

+10

+20

B

-5/6

-4/6

-3/6

-2/6

-1/6

+0 t

+1/6

+2/6

X1 = 60; wn = 1;

1 = 1 radin; j = 0,5A = X1 * e^(--j * wn * t)

X; A

+30

+40

+60

+50

B(radianes)

+3/6

+4/6

+6/6

+5/6

B = seno (1 -- (|(1 -- j^2)^0.5| * wn * t)X = A * B

GRFICO 02


27/31

-30

B = seno (1 + (|(1 -- j^2)^0.5| * wn * t)X = A * B

GRFICO 03

X1 = 60; wn = 1;

1 = 1 radin; j = 0; 0.5; 1A = X1 * e^(--j * wn * t)

-60

-50

-40

j = 0+60

+10

-10

-20

01

+20

+40

+30

+50

X

6

2 3

54

j = 1

j = 0.5

t


28/31

j = 0,5

GRFICO 04

1,50,5

j = 1

0,5

00

1

1 2,52

j = 0,707..

w/wn

3

Mmx conforme es w/wn

de + inf

j = 03

1,5

2

2,5

j = 0

a + inf

4

3,5

M

Mmx para j = 0,5

Mmx para j = 0,3

j = 0,3


29/31

PI/8

0

0

PI/4

3PI/8

5PI/8

PI/2

3PI/4

PI

7PI/8

GRFICO 05

1,50,5

j = 0

1 2 2,5

w/wn

j=0

j = 0,707..

j = 1

j = 0,5

j = 0,3

j = 0


30/31

10 2 30,5 1,414.. 2,5

GRFICO 06

0,5

0

1

j = 0,707..

j = 1

2

2,5

3,5

4,5

3

4

j = 0

TR

Mximos TR segn sea j

w/wn

TR = 1

j = 0,5

j = 0,3

j = 0


31/31

12

0,40,20

14

0

8

10,6 0,8

j

TR mximos

28

2016

24

44

36

48

GRFICO 07

TEORICO VIBRACIONES

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