Analísis de sistemas continuos LTI por transformada de Laplace

Unidad Profesional Interdisciplinaria enIngenierıa y Tecnologıas Avanzadas

Practica 1: Analisis de sistemas continuos LTI portransformada de Laplace.

Analisis de senales y sistemas.

Autores:ALCANTAR SALAS MARIOBALTAZAR ARZATE CARLOSCASTANEDA VENEGAS MAYRAFERNANDEZ FLORES RODRIGOLOPEZ PEREZ CESAR ERNESTOMARRUFO FUENTES GISELLMIGUEL NUNEZ JOSE FRANCISCOGrupo:2MV3

Profesor:M. en C. Rafael Martınez Martınez

10 de mayo de 2011

UPIITA-IPN 2MV3.

Indice

1. Introduccion. 3

2. Objetivo. 5

3. Desarrollo. 63.1. Ejercicio 1: Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1. Modelado del circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1.2. Solucion analıtica al sistema que modela a el circuito RL . . . . . . . . . . . 73.1.3. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.4. Simulacion de la respuesta completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.5. Grafica de la solucion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.6. Simulacion de solucion particilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.7. Simulacion respuesta homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.8. Suma de respuestas homogenea y particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.9. Interpretacion fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Ejercicio 2: Doble Pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1. Solucion analıtica al sistema que modela el pendulo doble . . . . . . . . . . . 263.2.2. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.3. Simulacion de la respuesta completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.4. Grafica de la solucion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.5. Simulacion de solucion particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.6. Simulacion respuesta homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.7. Suma de respuestas homogenea y particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.8. Interpretacion fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Conclusiones. 37

Analisis de senales y sistemas. 1 Practica 1

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Indice de figuras

1. Diferentes representaciones de un elemento resistivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Representacion tıpica de un inductor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64. Bloques de funciones en MATLAB para la respuesta completa al sistema . . . . . . 105. Grafica de la respuesta completa para i1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106. Zoom a grafica de la respuesta commpleta para i1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . 117. Grafica de la respuesta completa para i2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118. Zoom de la grafica de la respuesta completa para i2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . 129. Grafica de la respuesta analıtica para i1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210. Grafica de la respuesta analıtica para i1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311. Grafica de la respuesta analıtica para i2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312. Grafica de la respuesta analıtica para i2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413. Respuesta particular del circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414. Respuesta particular para i1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615. Respuesta particular para i2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716. Zoom a respuesta particular para i2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717. Zoom a respuesta particular para i2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818. Respuesta homogenea del circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819. Respuesta homgenea para i1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2020. Respuesta homgenea para i2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2121. Suma de respuestas del circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2222. Respuesta homgenea para i1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323. Zoom a respuesta homgenea para i1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2424. Respuesta homgenea para i2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425. Zoom a respuesta homgenea para i2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526. pendulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627. Bloques de funciones en MATLAB para la respuesta completa al sistema . . . . . . 2828. Grafica de la respuesta completa para Θ1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2929. Grafica de la respuesta completa para Θ2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2930. Grafica de la simulacion analıtica para Θ1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3031. Grafica de la simulacion analıtica para Θ2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3032. Bloques de funciones en MATLAB para la respuesta particular al sistema . . . . . . 3133. Grafica de la respuesta particular para Θ1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3134. Grafica de la respuesta particular para Θ2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3235. Bloques de funciones en MATLAB para la respuesta homogenea al sistema . . . . . 3336. Grafica de la respuesta homoenea para Θ1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3337. Grafica de la respuesta homoenea para Θ2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3438. Bloques de funciones en MATLAB para la respuesta completa al sistema . . . . . . 3539. Grafica de la respuesta completa para Θ1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3540. Grafica de la respuesta completa para Θ2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


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1. Introduccion.

Para la practica numero 1 ”Analisis de sistemas continuos LTI por transformada de Laplace”,se realizaron 2 ejercicios.El primer ejercicio se trata de un circuito RL, donde deben determinarse las corrientes de salida.Para este ejercicio debemos conocer las ecuaciones que describen la tension y corriente en los re-sistores e inductores.

La tension en un resistor se denota por

VR = Ri

donde i es la corriente que pasa por el resistor. Para denotar la corriente en un resistor usamos laigualdad:

iR =V

R

donde V es la caida de tension que se presenta en el elemento resistivo.Las expresiones de tension y corriente en un resistore estan dadas por la ley de Ohm:

V = RI

El sımbolo electrico del resistor es:

Figura 1: Diferentes representaciones de un elemento resistivo.

Las ecuaciones que describen el comportamiento de un inductor son:

VL = Ldi(t)

dt

donde L es un valor conocido de inductancia e i es la corriente que circula por el inductor, e:

iL =1

L

∫ t

0

V dt + io

donde V es la caida de tension en el indutor, e io es la corriente inicial del inductor en t=0.


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El sımbolo electrico del inductor es:

Figura 2: Representacion tıpica de un inductor.

El ejercicio numero 2 de esta practica consiste en encontrar 2 angulos, Θ1 que representa el angulocon respecto a una linea vertical que se extiende hacia abajo desde el pivote del sistema y Θ2 quese mide desde una linea vertical que se extiende desde el centro de masa 1, para el sistema de doblependulo mostrado en la fıgura (26) mas adelante.

Para esta parte de la practica se estudia el caso de un pendulo doble. Se usan ecuaciones Euler-Lagrange para obtener las ecuaciones diferenciales de movimientos asociadas a los angulos de Θ1

y Θ2 de los modelos no lineales que rigen este sistema. En general, un doble pendulo es un sistemacompuesto por dos pendulos, con el segundo colgando del extremo del primero.

En el presente trabajo se pretende simular y desarrollar mediante dos metodos la validacion delas ecuaciones dadas que proponen el comportamiento de los angulos respecto al tiempo, aplicandola parte teorica y practica de la Transformada de Laplace y del software de simulacion simulink,esto lleva tiempo en su desarrollo debido al estudio profundo del problema en el sentido de comoplantear nuestro esquema de simulacion del sistema y como interpretar las graficas que arroja elmetodo analıtico hecho con la transformada unilateral de Laplace.Con las consideraciones que se indican arriba, es facil demostrar que el comportamiento de losangulos ya mencionados esta dado por:

(m1 + m2)`12θ1(t) + m2`1`2θ2(t) + (m1 + m2)`1gθ1(t) = 0

m2l22θ2(t) + m2l1l2θ1(t) + m2l2gθ2(t) = 0


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2. Objetivo.

Encontrar analıticamente la respuesta total (solucion homogenea mas solucion particular) desistemas diferenciales LTI utilizando la transformada de Laplace

Implementar simulaciones de sistemas diferenciales LTI en MATLAB

Comprobar resultados analıticos con simulaciones

Reiterar conceptos fundamentales


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3. Desarrollo.

3.1. Ejercicio 1: Circuito RL

Figura 3: Circuito.

3.1.1. Modelado del circuito RL

a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes i1(t),i2(t) en el circuito electrico mostrado en la figura (3) es:

L2di1(t)

dt+ (R1 + R2)i1 −R2i2 = E(t)

L1di2(t)

dt−R2i1 + R2i2 = 0

En el circuito de la figura (3) identificamos 2 mallas, que comparten un inductor, puesto que elinductor una vez que esta cargado se comporta como fuente de corriente, tenemos una supermalla,por tanto, obtenemos una ecuacion de supermalla y una ecuacion auxiliar.Aplicando L.K.T en la supermalla obtenemos:

− E + R1i1 + R2i3 + L2di1(t)

dt1= 0 (1)

Ahora obtenemos la ecuacion auxiliar, como el inductor 1 esta en paralelo con R2, sabemos queVL = R2i3, entonces:

L1di2(t)

dt1= R2i3 (2)


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Pero, i3 = i1 − i2

entonces:

L2di1(t)

dt+ (R1 + R2)i1 −R2i2 = E(t) (3)

y

L1di2(t)

dt1−R2i1 + R2i2 = 0 (4)

donde i1, i2 y E son funciones de t.

3.1.2. Solucion analıtica al sistema que modela a el circuito RL

b)Resuelva el sistema por transformada de Laplace de la parte a) si R1 = 8Ω, R2 =3Ω, L1 = 1H, L2 = 1H, E(t) = 100sen(t)[v], i1(0) = ·1A e i2(0) = ·1A

Aplicamos L a las ecuaciones (3) y (4), sustuyendo los valores de resistencias, inductancias, tensionde entrada y condiciones iniciales:

Ldi1(t)

dt+ (8 + 3)i1 − 3i2 = L100sen(t)

y

Ldi2(t)

dt− 3i1 + 3i2 = 0

Obtenemos:

SI1(s) − 0 · 1 + 11I1(s) − 3I2(s) =100

S2 + 1

−3I1(s) − 0 · 1 − 3I1(s) + 3I2(s) = 0


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Con esto reducimos el sistemas de ecuaciones diferenciales a un sistema de ecuaciones alge-braicas:

I1(s)(S + 11) − 3I2(s) =100

S2 + 1+ 0 · 1

−3I1(S) + I2(s)(S + 3) = 0 · 1

Resolvemos el sistema de ecacuaciones por el metodo de Krammer

Obtenemos el determinante del sistema (derterminante de la matriz de coeficientes):

∆T =

∣∣∣∣S + 11 −3−3 S + 3

∣∣∣∣∆T = (S + 12)(S + 2)

Obtenemos determinante asociado a I1(s):

∆I1 =

∣∣∣∣ 100S2+1

+ 0 · 1 −3

0 · 1 S + 3

∣∣∣∣∆I1 = 100

S2 + 0·1SS2 + 300

S2 + 0·6S2

Obtenemos el determinante asociado a I2(s):

∆I2 =

∣∣∣∣S + 11 100S2+1

+ 0 · 1−3 0 · 1

∣∣∣∣∆I2 = 0 · 1S + 1 · 1 + 300

S2 + 0 · 3

Para obtener I1(s) e I2(s):

∆I1

∆T= 100S

(S2+1)(S+2)(S+12)+ 0·1s

(s2+1)(S+2)(S+12)+ 300

(s2+1)(S+2)(S+12)+ 0·6

(s2+1)(S+2)(S+12)

∆I2

∆T= 0,1S

(S+2)(S+12)+ 1·1

(S+2)(S+12)+ 300

(S2)(S+1)(S+12)+ 0·3

(S+2)(S+12)

Aplicamos fracciones parciales y obtenemos


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i1(t) = −7629

ss2+1

+ 33229

1s2+1

+ 4825

1s+2

+ 11611450

1s+12

e

i2(t) = −16829

ss2+1

+ 27629

1s2+1

+ 15325

1s+2

+ 3291450

1s+12

Aplicamos transformada de Laplace inversa

i1(t) = L−1−76

29

s

s2 + 1+

332

29

1

s2 + 1+

48

25

1

s + 2+

1161

1450

1

s + 12

i1(t) =−76

29cos(t) +

332

29sen(t) +

48

25e−2t +

1161

1450e−12t

i2(t) = L−1−168

29

s

s2 + 1+

276

29

1

s2 + 1+

153

25

1

s + 2+

329

1450

1

s + 12

i2(t) =−168

29cos(t) +

276

29sen(t) +

153

25e−2t − 329

1450e−12t

3.1.3. Preguntas

c)Conteste las siguientes preguntas:•¿Cuantas salidas tenemos en este sistema y quienes son?R.- Las salidas obtenidas del sistemas son las dos corrientes,i1(t) e i2(t).•¿Cuantas entradas tenemos para este sistema y quienes son?R.- La entrada del sistema solo es una, la fuente E(t), aunque podemos considerar que existe una”entrada cero”tambien.

3.1.4. Simulacion de la respuesta completa

d)Simule este sistema para los valores establecidos en el inciso b) y reporte lasgraficas de la o las salidas del sistema, en intervalos de tiempo distintos que den ideadel comportamiento general del sistema.Las simulaciones fueron realizadas en SIMULINK, por medio de diagramas de bloques y codigosde MATLAB embedidos. Una captura de pantalla muestra como fueron acomodados los bloques,para la simulacion de la respuesta total del sistema:


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Figura 4: Bloques de funciones en MATLAB para la respuesta completa al sistema

Las graficas obtenidas de las simulaciones para las dos salidas son:

Figura 5: Grafica de la respuesta completa para i1(t).

Hay que destacar que la graficas empiezan en .1 debido a las condiciones iniciales, lo cual soloes apreciable con zoom en la grafica:


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Figura 6: Zoom a grafica de la respuesta commpleta para i1(t).

Figura 7: Grafica de la respuesta completa para i2(t).


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Figura 8: Zoom de la grafica de la respuesta completa para i2(t).

3.1.5. Grafica de la solucion analıtica

e) Grafique la solucion analıtica y comparela contra la simulacion obtenida en elinciso anterior.

Figura 9: Grafica de la respuesta analıtica para i1(t).


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Nos damos cuenta que las graficas son identicas a las de las simulaciones del inciso b) lo cualnos indica que se opero de manera correcta.

3.1.6. Simulacion de solucion particilar

f) Mediante simulacion obtenga la salida o salidas a condiciones inciales cero (solu-cion particular) y reporte las graficas necesarias para ver el comportamiento generaldel sistema. ¿Cual es la representacion analıtica de esta simulacion?Las simulaciones fueron realizadas en SIMULINK, por medio de diagramas de bloques y codigosde MATLAB embedidos. Una captura de pantalla muestra como fueron acomodados los bloques,para la simulacion de la respuesta particular (condiciones iniciales cero):


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Figura 13: Respuesta particular del circuito.

Las salidas a condiciones iniciales cero (solucion particular) se obtienen, cuando i1(0) = 0,i2(0) = 0, aplicando esto al sistema de ecuaciones diferenciales descrito por las ecuaciones (3)y (4) y luego aplicandole transformada de Laplace obtenemos el siguiente sistema de ecuacionesalebraicas:

(s + 11)I1p(s) − 3I2p(s) = 100(1

s2 + 1)

−3I1p(s) + (s + 3)I2p(s) = 0


∆T =

∣∣∣∣s + 11 −3−3 s + 3

∣∣∣∣∆T = (s + 12)(s + 2)

Obtenemos determinante asociado a I1p(s):

∆I1p =

∣∣∣∣ 100s2+1

−3

0,1 s + 3

∣∣∣∣∆I1p = 100(s+3)

s2+1

Obtenemos el determinante asociado a I2(s):

∆I2p =

∣∣∣∣s + 11 100s2+1

−3 0

∣∣∣∣∆I2p = 300

s2+1

Obtenemos I1p(s) e I2p(s) :

I1p(s) =∆I1p

∆T

=100(s + 3)

(s2 + 1)(s + 2)(s + 12)

I2p(s)∆I2p

∆T

=300

(s2 + 1)(s + 2)(s + 12)


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Aplicando fracciones parciales, tenemos:

I1p = −76

29

s

s2 + 1+

332

29

1

s2 + 1+ 2

1

s + 2+

18

29

1

s + 12

I2p = −168

29

s

s2 + 1+

276

29

1

s2 + 1+ 6

1

s + 2− 6

29

1

s + 12

Aplicamos transformada inversa de Laplace y obtenemos i1p e i2p:

i1p = L−1I1p = −76

29

s

s2 + 1+

332

29

1

s2 + 1+ 2

1

s + 2+

18

29

1

s + 12

i2p = L−1I2p = −168

29

s

s2 + 1+

276

29

1

s2 + 1+ 6

1

s + 2− 6

29

1

s + 12

i1p = −76

29cos(t) +

332

29sen(t) + 2e−2t +

18

29e−12t

i2p = −168

29cos(t) +

276

29sen(t) + 6e−2t − 6

29e−12t

Las graficas de las respuestas particulares obtenidas por simulacion son:

Figura 14: Respuesta particular para i1(t).


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Figura 15: Respuesta particular para i2(t).

Ahora hay que remarcar que estas graficas comienzan en 0

Figura 16: Zoom a respuesta particular para i2(t).


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Figura 17: Zoom a respuesta particular para i2(t).

3.1.7. Simulacion respuesta homogenea

g) Mediante simulacion obtenga la salida a entrada cero (solucion homogenea) yreporte las graficas necesarias para ver el comportamiento general del sistema. ¿Cuales la representacion analıtica de esta simulacion?

Las simulaciones fueron realizadas en SIMULINK, por medio de diagramas de bloques y codigosde MATLAB embedidos. Una captura de pantalla muestra como fueron acomodados los bloques,para la simulacion de la respuesta homogenea (solucion entrada cero):

Figura 18: Respuesta homogenea del circuito.


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Las salidas de entrada cero (solucion homogenea) se obtienen, cuando i1(0) = ·1, i2(0) = ·1 ycuando las entradas tienen valor igual a cero, aplicando esto al sistema de ecuaciones diferencialesdescrito por las ecuaciones (3) y (4) y luego aplicandole transformada de Laplace obtenemos elsiguiente sistema de ecuaciones alebraicas:

(s + 11)I1h(s) − 3I2h(s) = ·1

−3I1h(s) + (s + 3)I2h(s) = ·1


∆T =

∣∣∣∣s + 11 −3−3 s + 3

∣∣∣∣∆T = (s + 12)(s + 2)

Obtenemos determinante asociado a I1h(s):

∆I1h=

∣∣∣∣·1 −3·1 s + 3

∣∣∣∣∆I1h

= ·1(s + 6)

Obtenemos el determinante asociado a I2h(s):

∆I2h=

∣∣∣∣s + 11 ·1−3 ·1

∣∣∣∣∆I2h

= ·1(s + 14)

Obtenemos I1h(s) e I2h(s) :

I1h(s) = ·∆I1h

∆T

= ·1 (s + 6)

(s + 2)(s + 12)

I2h(s)∆I2h

∆T

= ·1 (s + 14)

(s + 2)(s + 12)


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Aplicando fracciones parciales, tenemos:

I1h =1

25

1

s + 2+

3

50

1

s + 12

I2h =3

25

1

s + 2− 3

25

1

s + 12

Aplicamos transformada inversa de Laplace y obtenemos i1h e i2h:

i1h = L−1I1h = L−1 1

25

1

s + 2+

3

50

1

s + 12

i2h = L−1I2h = L−1 3

25

1

s + 2− 1

50

1

s + 12

i1h =1

25e−2t +

3

50e−12t

i2h =3

25e−2t − 1

50e−12t

Las graficas de las respuestas homogeneas obtenidas por simulacion son:

Figura 19: Respuesta homgenea para i1(t).


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3.1.8. Suma de respuestas homogenea y particular

h) Sume las respuestas obtenidas en los dos incisos anteriores, grafique el resultadoy compare con el inciso d).

Las simulaciones fueron realizadas en SIMULINK, por medio de diagramas de bloques y codigosde MATLAB embedidos. Una captura de pantalla muestra como fueron acomodados los bloques,

para la simulacion de la respuesta completa (respuesta homogenea + respuesta particular):


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Figura 21: Suma de respuestas del circuito.

Una vez que hemos obtenido la salida de entrada cero y la salida de condiciones iniciales cero,podemos sumarlas algebraicamente para obtener a salida total del sistema:

i1h(t) + i1p(t) = i1(t)

i2h(t) + i2p(t) = i2(t)

i1 = (1

25e−2t +

3

50e−12t)︸︷︷︸

Salida homogenea

+ (−76

29cos(t) +

332

29sen(t) + 2e−2t +

18

29e−12t)︸︷︷︸

Salida particular


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i2 = (3

25e−2t − 1

50e−12t)︸︷︷︸

Salida homogenea

+ (−168

29cos(t) +

276

29sen(t) + 6e−2t − 6

29e−12t)︸︷︷︸

Salida particular

i1 = −76

29cos(t) +

332

29sen(t) +

51

25e−2t +

987

1450e−12t

i2 = −168

29cos(t) +

276

29sen(t) +

153

25e−2t − 329

1450e−12t

Si comparamos con las salidas completas, obtenidas de en el inciso b):

i1(t) =−76

29cos(t) +

332

29sen(t) +

48

25e−2t +

1161

1450e−12t

i2(t) =−168

29cos(t) +

276

29sen(t) +

153

25e−2t − 329

1450e−12t

Nos damos cuenta de que i2 no tiene ninguna variacion, mientras que i1 presenta una variacionmınima, atribuida a un error de calculo e igual que en las simulaciones de la respuesta completa,esta empieza en 0.1



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Figura 23: Zoom a respuesta homgenea para i1(t).



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Figura 25: Zoom a respuesta homgenea para i2(t).

3.1.9. Interpretacion fısica

i) Mediante lo anterior; interprete lo que sucede en el sistema que modelan lasecuaciones diferenciales simultaneas. ¿Esto pasarıa en realidad?, ¿Si?, ¿No?, ¿Mas omenos?, ¿Por que?Las ecuaciones que modelan a el circuito RL, nos dicen como tiende a comportarse el sistema, sonmas o menos apegadas a la realidad en base a que las condiciones sean estandar (temperatura,humedad, etc) y de la fiabilidad de los valores de resistencia e inductancia. Con las aproximacionesmatematicas podemos predecir como se va a comportar el circuito, un ejemplo es cuando se obtieneuna expresion del siguiete tipo para una caida de tension en un inductor: VL = ae−bt con a, b ∈ Ry b > 0, sabemos que la exponencial siempre es mayor que cero, por tanto, teoricamente la tensionVL jamas sera cero. En la practica sabemos que la caida de tension en un inductor si puede llegar aser cero, entonces, el modelo matematico nos da una idea de la tendencia del comportamiento delsistema por supuesto tomando en cuenta ciertas consideraiones fısicas, nuestro modelo se vuelvemucho mas eficiente.


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3.2. Ejercicio 2: Doble Pendulo

Figura 26: pendulo.

Un pendulo doble oscila en un plano vertical bajo la accion de la gravedad. Para desplazamientospequenos Θ1(t) y Θ2(t), es posible demostrar que las ecuaciones diferenciales del movimiento son:

(m1 + m2)`12θ1(t) + m2`1`2θ2(t) + (m1 + m2)`1gθ1(t) = 0 (5)

m2l22θ2(t) + m2l1l2θ1(t) + m2l2gθ2(t) = 0 (6)

3.2.1. Solucion analıtica al sistema que modela el pendulo doble

b)Resuelva el sistema por transformada de Laplace si: m1 = 3 m2 = 1 `1 = `2 = 16θ1(0) = 1 θ2(0) = −1 θ1(0) = 0 θ2(0) = 0..Aplicamos L a las ecuaciones (5) y (6) y sustituimos valores de masas, longitudes y condicionesiniciales

1024[s2Θ1(s) − sθ1(0) − θ1(0)

]+ 256

[s2Θ2(s) − sθ2(0) − θ2(0)

]+ 627,2Θ1(s) = 0

256[s2Θ2(s) − sθ2(0) − θ2(0)

]+ 256

[s2Θ1(s) − sθ1(0) − θ1(0)

]+ 156,8Θ2(s) = 0

Θ1(s)[1024s2 + 627,2

]+ Θ2(s)

[256s2

]− 768s = 0

Θ1(s)[256s2

]+ Θ2(s)

[256s2 + 156,8

]= 0

Expresamos el sistema de ecuaciones como determinante∣∣∣∣ 1024 s2 + 31365

256 s2

256 s2 256 s2 + 7845

∣∣∣∣Analisis de senales y sistemas. 26 Practica 1

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∆T =1024 (40 s2 + 49) (120 s2 + 49)

25

Obtenemos el determinante asociado a θ1

∆θ1 =

∣∣∣∣ 768 s 256 s2

0 256 s2 + 7845

∣∣∣∣

∆θ1 =12288 s (80 s2 + 49)

5

Obtenemos el determinanate asociado a θ2

∆θ2 =

∣∣∣∣ 1024 s2 + 31365

768 s256 s2 0

∣∣∣∣

∆θ2 = −196608 s3

Para obtenner Θ1(s) y Θ2(s)

Θ1(s) =∆θ1

∆T

=60 s (80 s2 + 49)

(40 s2 + 49) (120 s2 + 49)

Θ2(s) =∆θ2

∆T

= − 4800 s3

(40 s2 + 49) (120 s2 + 49)

Aplicamos L−1 a Θ1(s) y Θ2(s)

L−1Θ1(s) = L−1 60 s (80 s2 + 49)

(40 s2 + 49) (120 s2 + 49)

L−1Θ2(s) = L−1− 4800 s3

(40 s2 + 49) (120 s2 + 49)

y finalmente obtenemos:

θ1(t) =3 cos

(7√

10 t20

)4

+cos

(7√

30 t60

)4

θ2(t) =cos

(7√

30 t60

)2

−3 cos

(7√

10 t20

)2


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3.2.2. Preguntas

c)Conteste las siguientes preguntas:•¿Cuantas salidas tenemos en este sistema y quienes son?

R.- Las entradas al sistema son ambas entrada cero debido a que ambas ecuaciones son homo-geneas.

•¿Cuantas entradas tenemos para este sistema y quienes son?R.- Las salidas son las posiciones de los angulos en funcion del tiempo.

3.2.3. Simulacion de la respuesta completa

d)Simule este sistema para los valores establecidos en el inciso b) y reporte lasgraficas de la o las salidas del sistema, en intervalos de tiempo distintos que den ideadel comportamiento general del sistema.Las simulaciones fueron realizadas en SIMULINK, por medio de diagramas de bloques y codigosde MATLAB embedidos. Una captura de pantalla muestra como fueron acomodados los bloques,para la simulacion de la respuesta total del sistema:




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Figura 28: Grafica de la respuesta completa para Θ1(t).


3.2.4. Grafica de la solucion analıtica

e) Grafique la solucion analıtica y comparela contra la simulacion obtenida en elinciso anterior.


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Figura 30: Grafica de la simulacion analıtica para Θ1(t).

Figura 31: Grafica de la simulacion analıtica para Θ2(t).

Como nos podemos dar cuenta las simulaciones obtenidas en este inciso y en el anterior sonidenticas, con lo cual confirmamos los calculos.

3.2.5. Simulacion de solucion particular

f) Mediante simulacion obtenga la salida o salidas a condiciones inciales cero (solu-cion particular) y reporte las graficas necesarias para ver el comportamiento generaldel sistema. ¿Cual es la representacion analıtica de esta simulacion?


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Las simulaciones fueron realizadas en SIMULINK, por medio de diagramas de bloques y codigosde MATLAB embedidos. Una captura de pantalla muestra como fueron acomodados los bloques,para la simulacion de la respuesta total del sistema:

Figura 32: Bloques de funciones en MATLAB para la respuesta particular al sistema


Figura 33: Grafica de la respuesta particular para Θ1(t).


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Figura 34: Grafica de la respuesta particular para Θ2(t).

Como se aprecia claramente la repuesta al sistema con condiciones iniciales cero es cero, estopasara en todo sistema cuya solucion homogenea sea la solucion total, puesto que

Θh + Θp = Θ

peroΘ1 = Θ

por lo tanto:Θp = 0

La respuesta analıtica del sistema es claramente cero, puesto que la respuesta homogeneaes la misma que la respuesta completa, esto hace que el sistema de ecuaciones algebraico querepresentaba a la respuesta particular unicamente tiene la solucion trivial it. est.:

Θ1 = Θ2 = 0

3.2.6. Simulacion respuesta homogenea

g) Mediante simulacion obtenga la salida a entrada cero (solucion homogenea) yreporte las graficas necesarias para ver el comportamiento general del sistema. ¿Cuales la representacion analıtica de esta simulacion?Las simulaciones fueron realizadas en SIMULINK, por medio de diagramas de bloques y codigosde MATLAB embedidos. Una captura de pantalla muestra como fueron acomodados los bloques,para la simulacion de la respuesta total del sistema:


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Figura 35: Bloques de funciones en MATLAB para la respuesta homogenea al sistema


Figura 36: Grafica de la respuesta homoenea para Θ1(t).


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Figura 37: Grafica de la respuesta homoenea para Θ2(t).

Como se aprecia, la solucion homogenea coincide con la solucion total del sistema, puesto que elsistema es de naturaleza homogenea.La representacion analıtica de la respuesta homogenea es exactamente la misma que la de larepresentcion analıtica de la respuesta completa.

3.2.7. Suma de respuestas homogenea y particular

h) Sume las respuestas obtenidas en los dos incisos anteriores, grafique el resultadoy compare con el inciso d).

Las simulaciones fueron realizadas en SIMULINK, por medio de diagramas de bloques y codigosde MATLAB embedidos. Una captura de pantalla muestra como fueron acomodados los bloques,para la simulacion de la respuesta total del sistema:


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3.2.8. Interpretacion fısica

i)Mediante lo anterior; interprete lo que sucede en el sistema que modelan lasecuaciones diferenciales simultaneas. ¿Esto pasarıa en realidad?, ¿Si?, ¿No?, ¿Mas omenos?, ¿Por que?

R.- El comportamiento encontrado en el analisis solo es para cuando los desplazamientos angularesen funcion del tiempo son muy pequenos ya que el modelado se hace bajo una aproximacion basadaen el binomio de newton, ası que se puede concluir que esto si puede suceder en la realidad, y quelas soluciones encontradas, en simulink y analıticamente son muy aproximadas al comportamiendofısico del sistema.


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4. Conclusiones.

Con el desrrollo de la practica pudimos reforzar nuestros conocimientos en la solucion de ecua-ciones diferenciales por el uso de Transformada de Laplace, ademas de poder corroborar estosresultados con las simulaciones realizadas en simulink.La practica ademas de aterrizar el conocimient, tambien genero otras inquietudes, en concreto,respecto al significado fısico de los resultados obtenidos, en especial con el segundo ejercicio, puesla respuesta homogenea es igual a la total.En ambos ejercicios se observo que tanto puede variar una respuesta unicamente variando las cod-iciones iniciales, pues si todas ellas son igual a cero, se obtedra una respuesta particular, que ensuma co la respuesta de entrada cero, nos da la solucion completa del sistema.

Sumado a lo anterior, al comparar las soluciones analıticas con las simuladas nos damos cuen-ta de las ventajas y desventajas de cada metodo y confirmamos la utilidad de la transformadade Laplace y la transformda inversa para tratar sistemas de ecuaciones diferenciales que modelansistemas fısicos.


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Referencias

[1] Zill, Denis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Cengage Learning, 2009.


Analísis de sistemas continuos LTI por transformada de Laplace

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