Instituto Tecnolgico de Costa Rica

rea Acadmica Ingeniera Mecatrnica

Anlisis y Simulacin de Sistemas

Proyecto de Curso

Luis Enrique Acua LpezCarn: 201232358Oscar Mario Acua LpezCarn: 201232357

I Semestre 2015

Enunciado: Considere el manipulador robtico de una sola unin que se muestra en la figura. El movimiento del brazo es controlado por un motor DC controlado por armadura va engranaje. Asuma que el momento de inercia del motor es despreciable comparado con el del brazo. El brazo puede modelarse como un punto de masa m al final de una barra de longitud L (figura b).a) Descripcin del sistema manipulador por medio de su funcin de transferenciaVamos a tomar como base este circuito de un motor DC para modelarlo:

Ecuaciones del motor:1) 2)

Analizando la malla del circuito del motor, sabiendo que la inductancia L es 0:3) Sustituyendo 1) en 3)

Despejando la corriente:4) Sustituyendo 4) en 2)5)

Ecuaciones de la relacin de los engranes:6) 7) Sustituyendo 5) y 6) en 7)8) Aplicando la segunda ley de Newton, para cuerpos rotacionales Adems del proveniente del engrane, tenemos un torque producido por el punto de masa debido a la gravedad. Le vamos a llamar . Por lo tanto la ecuacin quedara:9) Este torque seria la distancia perpendicular a la fuerza, por la fuerza. Esta distancia va a ser la distancia L por el seno del ngulo . 10) Mediante series de Taylor obtenemos un polinomio que aproxima el valor de , se va a aproximar nicamente con2 trminos, para facilitar el modelado del sistema. Con a=0.

Tambin se puede ver como que debido a que la ecuacin 10) contienen , esta sera no lineal. As que suponemos que el ngulo es pequeo, las ecuacin 10) se linealizara del modo siguiente: 11) Sustituyendo 11 en 10:12) Debido a que en el enunciado se nos dice que se puede modelar el brazo con un punto de masa m al final de la varilla el momento de inercia seria:

Y como el radio de giro es L, el momento de inercia seria 13) Y como la aceleracin angular es la segunda derivada del desplazamiento angular:14) Sustituyendo 13) y 14) en 9)15) Y ahora sustituyendo 8) y 12) en 9)16) Aplicndole la transformada de Laplace:

La funcin de transferencia del sistema seria:

Si le asignamos cambiamos las constantes por los valores dados:

La funcin de transferencia del sistema seria:

b) Descripcin del sistema por medio de variables y ecuaciones de estado De la ecuacin diferencial del sistema:

Se tiene que:

Por ser una ED de orden 2, se van a utilizar 2 variables de estado para representar el sistema, se van a tomar tanto el desplazamiento angular como su derivada.

Despejamos :

Por lo tanto

La matriz de estados seria:

La ecuacin de salida seria:

Si le asignamos a las constantes los valores previamente dados obtendremos la siguiente matriz de estados:

c) Reforme las descripciones de los apartados a y b para considerar la existencia de una carga en el extremo del actuador del robot.Si se considera una carga en el extremo del actuador del robot, las ecuaciones 1) a la 9) planteadas en los dos apartados anteriores se mantendrn, y cuando se llegue a la sumatoria de torques del lado actuador del brazo, se tendr que agregar un torque producido por la carga al cual llamaremos .Aplicando la segunda ley de Newton, para cuerpos rotacionales Adems del proveniente del engrane, tenemos un torque producido por el punto de masa debido a la gravedad . Y el nuevo torque producido por la carga Por lo tanto la ecuacin quedara:17) De los apartados anteriores tenemos que

Y ahora sustituyendo si sustituimos los valores anteriores en la ecuacin 17) obtendremos:18) Aplicndole la transformada de Laplace:

La funcin de transferencia del sistema considerando una carga en el extremo actuador del robot sera:

Asignamos a las constantes los valores previamente dados obtendramos la siguiente funcin de transferencia:

Luego si realizamos una descripcin del sistema por medio de variables y ecuaciones de estado considerando la carga extremo del actuador del robot. De la ecuacin diferencial del sistema:

Se tiene que:

Por ser una ED de orden 2, se van a utilizar 2 variables de estado para representar el sistema, se van a tomar tanto el desplazamiento angular como su derivada.

Despejamos :

Por lo tanto

La matriz de estados considerando el efecto de una carga en el extremo actuador del robot sera:

La ecuacin de salida seria:

Remplazando los valores dados previamente obtendramos la siguiente matriz de estados: