Analisis de Datos Unidimension

8/19/2019 Analisis de Datos Unidimension

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a) Determinar la variable objeto de estudio así como su dominio.

b) Obtener la tabla de frecuencias tanto absolutas como relativas (ordinarias y

acumuladas).

c) Determinar el número de clientes que tienen 5 productos contratados y el por-

centaje con menos de 6.

d) El número de clientes que tienen más de 3 productos y el porcentaje con 4 omenos.

e) Porcentaje de clientes que tienen contratados entre 4 y 5 productos (ambos in-

clusive).

f) Dibujar el diagrama de barras y el diagrama en escalera (utilizar las frecuen-

cias absolutas y relativas).

1.4 Los 75 clientes de la sucursal bancaria del problema anterior presentan los siguien-

tes saldos trimestrales (en e) en sus cuentas corrientes o de ahorro:

Saldo trimestral (e) Número clientes

[0 , 600[ 10

[600 , 1.200[ 15

[1.200 , 1.800[ 35

[1.800 , 3.000[ 10[3.000 , 6.000] 5

a) Determinar la variable objeto de estudio.

b) Calcular la amplitud de los intervalos y las marcas de clase.

c) El número de clientes con un saldo trimestral entre 1.200 y 1.800 e, y el por-

centaje de clientes con saldo igual o superior a 1.200 e

d) ¿Cuántos clientes tienen en sus cuentas un saldo trimestral entre 600 y1.800 e (ambos inclusive)?

e) Dibujar el histograma y polígono de frecuencias.

f) Representar el polígono de frecuencias acumulativo.

24 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y NOCIONES DE PROBABILIDAD

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Análisis de datosunidimensionales

Tema

2.1. Medidas de posición.

2.2. Medidas de dispersión.

2.3. Momentos.

2.4. Medidas de forma.

2.5. Transformaciones lineales y tipificación de variables.

2.6. Medidas de concentración. Curva de Lorenz e índice de Gini.

Cuestiones de autoevaluación.

Ejercicios propuestos.Problemas resueltos.

Problemas propuestos.

OBJETIVOS

Definir una serie de medidas (estadísticos descriptivos básicos) que sin-teticen la información contenida en una distribución de frecuenciasunidimensional, tanto de valores agrupados como sin agrupar, y apren-der a calcularlos e interpretarlos. Comparar la dispersión entre dos omás variables o distribuciones de frecuencias. Estudiar cómo se venafectados los estadísticos al transformar los datos de una variable.Cuantificar e interpretar la concentración de una distribución.


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2.1. Medidas de posición

En general, las medidas de posición indican un valor de la variable en torno al

cual se sitúan un grupo de observaciones. Puede distinguirse entre:

a) Medidas de tendencia central: media aritmética, armónica, geométrica,mediana y moda.

b) Medidas de tendencia no central: cuantiles.

A continuación se abordan los principales detalles conceptuales y de aplicación

de cada una de las medidas referidas anteriormente.

2.1.1. Media aritmética(1)

Es la suma de todos los valores de la variable divididos por el número total de

observaciones. Se denota por x 6.

x 6%

N

;i%1

xi

N o x 6%

x1n1! x2n2!ñ! x I n I

N %

I

;i%1

xini

N %

I

;i%1

xi f i

Evidentemente, esta medida sólo se puede calcular si la variable estadística ob-

jeto de estudio es de naturaleza cuantitativa.El valor que toma la media debe estar siempre incluido entre el valor mínimo y

máximo del dominio de la variable analizada.

Ejemplo 2.1 La plantilla de una empresa durante los últimos 4 meses ha estado forma-

da por 16, 14, 15 y 15 empleados. Determinar la plantilla media de la empresa.

Solución

A partir de la información proporcionada, construimos la distribución de fre-

cuencias. La variable toma I% 3 valores distintos ( xi para i% 1, 2, 3), con frecuen-

cias 1, 2 y 1, respetivamente.

xi ni

14 1

15 2

16 1

(1) Este es, con diferencia, el estadístico (cualquier función de los valores de la variable) más impor-tante. En adelante, cuando se haga referencia al término media, sin especificar, deberá entenderse mediaaritmética.


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Si se añade una tercera columna que recoja, para cada elemento, el producto

xini, su suma se corresponderá con el numerador de la expresión de la media, de

manera que se obtendrá al dividir por el número total de observaciones ( N ), en este

caso N %4.

xi ni xi ni

14 1 14

15 2 30

16 1 16

60 p3

;i%1

xini

La media será: x 6%60

4%15, es decir, la plantilla media de la empresa en los

últimos 4 meses ha sido de 15 empleados.

Obsérvese que la media de empleados ( x 6%15) se encuentra comprendida entre

el mínimo valor de la variable ( x1%14) y el máximo ( x3%16).

Si la distribución de frecuencias con la que se trabaja es de datos agrupados,

para poder calcular la media se toman, a modo de aproximación a los valores de la

variable, las marcas de clase correspondientes a cada uno de los intervalos, lo que

supondrá una pérdida de precisión, que será tanto mayor cuanto mayor sea la am-

plitud de los mismos.

Ejemplo 2.2 De un total de 10 asignaturas optativas se ha tomado el número de alum-nos matriculados en cada una de ellas, obteniéndose la siguiente distribución de

frecuencias.

Alumnos matriculados Número optativas

Li.1 , Li ni

[10 , 20[ 4

[20 , 40] 6

¿Cuál es el número medio de alumnos matriculados?

Solución

Para calcular la media de alumnos matriculados ( x 6), lo primero es determinar la

marca de clase ( xi, i%1, 2) de cada intervalo. Seguidamente se añade una colum-

na que recoja el producto xini y se suma.

ANÁLISIS DE DATOS UNIDIMENSIONALES 27

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Alumnos

matriculados Li.1 , Li

Número

optativas ni

Marca

de clase xi

xi ni

[10 , 20[ 4 15 60

[20 , 40] 6 30 180

240 p2

;i%1

xini

Al dividir este resultado entre el número total de observaciones ( N % 10) se ob-

tiene la media,

x 6%240

10%24 alumnos matriculados

La media aritmética puede utilizarse si los datos con los que se trabaja son de

naturaleza aditiva, es decir, que al sumar todos los valores, estos representen el to-

tal de la población. Variables aditivas son, por ejemplo, el número de empleados,

la renta, el salario, etc. Por el contrario, variables no aditivas son: tipos de interés,

velocidad, rentabilidad, etc.

Entre las principales ventajas que presenta la media se pueden destacar las si-

guientes:

Se puede calcular siempre que las variables sean de tipo cuantitativo.Su cálculo resulta fácil y en él intervienen todos los valores de la distribu-

ción.

La media aritmética es el centro de gravedad de la distribución, es decir, es

el punto que por término medio dista menos de todas las observaciones de la

distribución.

Es una medida única y definida de forma objetiva en cada distribución de

frecuencias.

En cuanto a los inconvenientes, tal vez el más importante sea que la media arit-mética de la distribución puede llegar a ser muy poco representativa del conjunto

de los valores observados si existe mucha dispersión en los datos. Se trata de una

medida muy sensible a los valores extremos(2).

Ejemplo 2.3 Para un total de 4 empresas se dispone de información relativa al tamaño,

medido a través del activo (millones de e):

500, 25, 30, 545

¿Cuál es el tamaño medio del conjunto de las empresas?

(2) En este sentido se dice que la media no es un estadístico (medida) robusto.


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Solución

El tamaño medio ( x 6) se obtiene al sumar todos los valores de la variable y divi-

dir por el número de observaciones (empresas), así:

x 6%

25! 30! 500! 545

4 %

1.100

4 % 275 millones de e

Como se pone de manifiesto en el ejemplo anterior, los valores del activo son

muy diferentes entre sí, con lo que la media (275 millones de e) será poco repre-

sentativa. Cuando ocurre esto, es preferible utilizar otras medidas de posición cen-

tral, por ejemplo la mediana (véase Epígrafe 2.1.2.).

Con todo, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada,

de la que cabe destacar las siguientes propiedades:

1. La suma de las desviaciones de todos los valores de la variable respecto a

su media es cero.

I

;i%1

( xi. x 6)ni% 0

2. Si x 6i (i% 1, 2, ..., k ) corresponden a las medias de k grupos distintos de ta-

maño N i (i% 1, 2, ..., k ), respectivamente, se cumple que la media aritmé-tica del conjunto es:

x 6% x 61 N 1! x 62 N 2!ñ! x 6k N k

N 1! N 2!ñ N k

3. Depende de los cambios de origen y de unidad (véase Apartado 2.5).

Ejemplo 2.4 En una empresa de fabricación de muebles, el departamento de control decalidad ha inspeccionado cada hora, durante las 3 últimas, un total de 6, 8 y 6 mue-

bles respectivamente, encontrando en cada una de ellas un número medio de defec-

tos de 3, 5 y 2. Determinar el número medio de defectos del total de muebles ins-

peccionados.

Solución

Aplicando la segunda propiedad de la media:

x 6% x 61 N 1! x 62 N 2! x 63 N 3

N 1! N 2! N 3

%3 · 6! 5 · 8! 2 · 6

6! 8! 6% 3,5 defectos


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2.1.2. Media armónica y geométrica

La media armónica, que se denota por M h, se define como:

M h% N

1 x1

n1!1 x2

n2!ñ!1 x I

n I

% N

I ;i%1

1 xi

· ni

siendo:

N %

I

;i%1

ni

En el caso particular de que las frecuencias fuesen unitarias, esto es, ni% 1 O i,

entonces:

M h% I

I

;i% I

1

xi

Además, a la hora de calcular la media armónica suele utilizarse que la inversa

de la media armónica es la media aritmética de los valores inversos de la variable,

esto es:

1 M h

%

I

;i%1

1 xi

·ni

N

Por su parte, la media geométrica, que es empleada cuando las variables son de

naturaleza multiplicativa en el sentido, por ejemplo, que los intereses generan nue-

vos intereses o cuando el incremento salarial se efectúa sobre el anterior y no sobre

uno fijo, se denota por M g y se define como:

M g% N

∂ xn

11 · xn

22 · . . . · xn I I %

N

J I

<i%1

xnii

En el caso particular de que las frecuencias fuesen unitarias (ni% 1 O i), enton-

ces se tienen:

M g% I ∂ x1 · x2 · . . . · x I % I J

I

<i%1

xi

Además, a la hora de calcular la media geométrica suele utilizarse que el loga-

ritmo de la media geométrica que es igual a la media aritmética de los logaritmosde los valores de la variable, esto es:

log M g%

I

;i%1

log( xi) ·ni

N


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De la misma forma que se indicó para la media aritmética, el valor que tome la

media armónica y la media geométrica(3) debe estar siempre incluido entre el valor

mínimo y máximo del dominio de la variable analizada.

2.1.3. Mediana

Ordenada la distribución de frecuencias de menor a mayor, la mediana, que se

denota por Me, es un valor del recorrido de la variable que deja el mismo número

de observaciones a su izquierda y a su derecha.

Para el cálculo de la mediana es necesario distinguir entre distribuciones de

frecuencias de valores sin agrupar y agrupados, pero la idea que siempre hay que

tener presente es que la mediana es aquel valor de la variable al que corresponde

una frecuencia acumulada igual a N / 2.

2.1.3.1. Distribuciones de frecuencias de valores sin agrupar

Al trabajar con valores sin agrupar hay que considerar varias posibles situacio-

nes (Figura 2.1). Cada una de éstas será tratada a continuación.

Distribución de frecuenciasde valores sin agrupar

Frecuencias unitarias

Frecuencias no unitarias

Número impar deobservaciones

Número par deobservaciones

Figura 2.1.

Situación 1. Distribución de frecuencias unitarias

Si el número de observaciones es impar, el valor de la mediana coincidirá con

el valor xi (Me% xi) que deje a derecha e izquierda el mismo número de observa-

ciones.

Si el número de observaciones es par, entonces el valor de la mediana se obten-

drá como la media del valor(4): Me% xi! xi!1

2

.

(3) Se podría comprobar que la media armónica, geométrica y armónica guardan la siguiente rela-ción: M hm M gm x 6.

(4) Este es el criterio que se utilizará. Otros criterios consideran que son válidos ambos valores, estoes, Me% xi y Me% xi!1, o incluso cualquier valor comprendido entre los anteriores.


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Ejemplo 2.5 Una variable estadística X toma los siguientes 7 valores distintos:

1, 3, 5, 6, 7, 8, 12

Determinar la mediana.

Solución

Puede verse fácilmente que el valor de la variable xi% 6 deja el mismo número

de observaciones, un total de 3, a cada lado.

1, 3, 5 6 7, 8, 12

VWX VWX

Por tanto, el valor de la mediana es:

Me% xi% 6

Ejemplo 2.6 Obtener la mediana de una variable estadística que toma los siguientes 6valores distintos:

9, 2, 5, 3, 6, 8,

Solución

En este caso, lo primero que debe hacerse es ordenar la distribución de fre-

cuencias de menor a mayor.

2, 3, 5 6, 8, 9

El valor de la variable que deja el mismo número de observaciones a ambos la-

dos, la mediana, se sitúa entre 5 y 6. Así:

Me%

5! 6

2 % 5,5

Situación 2. Distribución de frecuencias no unitarias

Cuando la distribución de frecuencias es no unitaria, se suele utilizar el si-

guiente criterio para determinar el valor de la mediana: sea N i la primera frecuen-

cia absoluta acumulada igual o superior a N / 2, entonces:

si

DAEAF

N i.1a N 2a N i

N i% N

2

ú

ú

Me% xi

Me% xi! xi!1

2


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Ejemplo 2.7 Obtener la mediana de la siguiente distribución de frecuencias.

xi ni N i

2 3 3

3 2 5

5 3 8

Solución

La mitad de las observaciones corresponde a N

2% 4. El valor de la variable que

contiene una frecuencia acumulada de 4 es x2% 3, con N 2% 5.

xi ni N i

2 3 3 p N i.1% N 1

xi% x2r 3 2 5 p N i% N 2

5 3 8

Por tanto, como N 1a N

2a N 2r 3a4a 5 entonces Me% x2rMe% 3.

Ejemplo 2.8 Obtener la mediana de la siguiente distribución de frecuencias.

xi ni N i

3 3 3

4 2 5

6 5 10

SoluciónEl valor de la variable que acumula un número de observaciones igual

N

2% 5

es x2% 4.

xi ni N i

3 3 3

xi% x2r 4 2 5 p N i% N 2

xi!1% x3r 6 5 10

Por tanto, como N 2% 5% N

2se tendrá que Me%

xi! xi!1

2rMe%

4!6

2% 5.

La mediana de la distribución es 5.


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2.1.3.2. Distribuciones de frecuencias agrupadas

Este caso tiene menos interés, pues actualmente no se suele trabajar con datos

agrupados, dado que la informática permite manejar mucha información sin nece-

sidad de perder parte de ella en agrupaciones.

El problema se resuelve obteniendo en primer lugar el llamado intervalo me-

diano, el primero cuya frecuencia absoluta acumulada N i alcanza o sobrepasa N / 2.

Es decir, N i.1a

N

2m N i.

Para precisar el valor de la variable que corresponde a la mediana (5) se supone

que la frecuencia correspondiente al intervalo se distribuye uniformemente y por

reparto proporcional se obtiene el valor buscado.

Ejemplo 2.9 El número de proyectos de mejora propuestos por los 20 círculos de cali-dad existentes en una empresa han sido agrupados de la siguiente forma:

Proyectos de mejora Círculos de calidad Li.1 , Li ni

[8 , 12[ 2

[12 , 16[ 6

[16 , 20[ 8

[20 , 24] 4

Determinar el intervalo mediano.

Solución

Para saber en qué intervalo estará incluida la mediana lo primero es insertar

una columna que represente la frecuencia absoluta acumulada ( N i), tal y como se

refleja en la siguiente tabla.

Proyectos de mejora Círculos de calidad Li.1 , Li ni

N i

[8 , 12[ 2 2

[12 , 16[ 6 8 p N i.1% N 2

[16 , 20[ 8 16 p N i% N 3

[20 , 24] 4 20

(5) Identificado el intervalo mediano, Me% Li.1! ci · N / 2. N i

N i. N i.1

, donde ci es la amplitud del inter-

valo mediano y Li.1 su extremo inferior.


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Como la mediana es el valor de la variable que acumula N

2observaciones, ésta

estará contenida en el intervalo [16 , 20[, que es el intervalo mediano, puesto que

N 2a N

2m N 3, es decir, 8a

N

2%10m 16.

2.1.4. Moda

La moda de una distribución, a la que se denotará por Mo, representa el valor

de la variable con mayor frecuencia. No tiene por qué ser única. Es decir, si hay

dos o más valores de la variable que tienen la misma frecuencia, siendo esta la

mayor, se estará ante una distribución multimodal (bimodal, dos modas; trimodal,tres modas; etc.).

Del mismo modo que se procedió con la mediana, para determinar la moda

debe distinguirse entre distribuciones de valores sin agrupar y agrupados.

2.1.4.1. Distribuciones de frecuencias de valores sin agrupar

En este caso, y según la definición de la moda, hay que fijarse en cuál es el va-

lor de la variable que más se repite, el de mayor frecuencia.

Ejemplo 2.10 Se ha preguntado a 15 estudiantes por el número de horas semanales

dedicadas al estudio, recogiéndose sus respuestas en la siguiente distribución de

frecuencias.

Horas semanales Númerode estudio, xi de estudiantes, ni

2 1

3 4

5 8

7 2

Obtener la moda del número de horas de estudio.

Solución

La moda es 5 (Mo%5), puesto que es el valor de la variable con mayor frecuen-

cia. Un total de 8 estudiantes dedican 5 horas a estudiar.


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Ejemplo 2.11 Se ha preguntado a 5 estudiantes por el número de horas semanales dedi-

cadas al estudio, siendo sus respuestas:

0, 2, 4, 5, 8

Obtener la moda del número de horas de estudio.

Solución

En esta distribución todos los valores de la variable se considerarían modas

pues ni%1 O i.

2.1.4.2. Distribuciones de frecuencias de valores agrupados

Cuando se trabaja con valores agrupados en intervalos, lo más sencillo para de-

terminar el valor modal consiste en dibujar el histograma.

La moda estará contenida en el intervalo de mayor altura, al que se denomina

intervalo modal.

Ejemplo 2.12 Obtener el intervalo modal de la distribución de frecuencias del Ejem-

plo 2.9.

Solución

Para determinar el intervalo modal se añade una columna que recoja la altura

(hi) asociada a cada intervalo. En este ejemplo todos los intervalos tienen la misma

amplitud (ci% 4), por lo que el intervalo de mayor frecuencia será el que tenga

mayor altura y, por tanto, el intervalo modal.

Proyectos de

mejora, Li.1 , Li

Círculo

de calidad, ni hi%

ni

ci

[8 , 12[ 2 1/ 2[12 , 16[ 6 3/ 2

intervalo modalr [16 , 20[ 8 2 pmayor altura

[20 , 24] 4 1

Así pues, la moda estará contenida en el intervalo [16 , 20[.

Existen casos en los que, sin necesidad de realizar ningún cálculo, es posibleaproximar el valor que toma la moda en el intervalo modal. Así, en la Figura 2.2,

Gráfica (a), puede observarse cómo, si los intervalos anterior y posterior al inter-

valo modal tienen la misma altura, la moda coincidirá con la marca de clase.

En cambio, si el intervalo posterior al modal es de mayor altura que el anterior,


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Figura 2.2.

Gráfica (b), la moda se desplaza hacia la derecha de la marca de clase, coincidien-

do su valor con el límite superior del intervalo modal cuando la altura del anterior

al mismo sea cero, como puede verse en la Gráfica (c). De forma análoga, la moda

coincidirá con el extremo inferior del intervalo modal cuando la altura del interva-

lo posterior a éste sea cero, Gráfica (d).

Siguiendo con el criterio anterior de aproximar el valor de la moda en propor-ción inversa a las alturas de los rectángulos del histograma anterior y posterior al

modal, se recurre a la siguiente expresión:

Mo% Li.1! ci ·hi!1

hi.1!hi!1

(2.1)

donde ci es la amplitud del intervalo modal, Li.1 su extremo inferior; hi.1 es la al-

tura asociada al intervalo anterior al modal y hi!1 a la del posterior.

Ejemplo 2.13 En la siguiente distribución de frecuencias se refleja la retribución men-

sual de los 260 empleados del área de fabricación de una gran empresa industrial.

Retribución (e) Número de empleados Li.1 , Li ni

[800 , 1.000[ 50

[1.000 , 1.400[ 100

[1.400 , 1.800[ 80

[1.800 , 2.100] 30

¿Cuál es la retribución más frecuente en esta área funcional?


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Solución

Como fácilmente puede observarse en la distribución de frecuencias del enun-

ciado, los intervalos son de distinta amplitud. En consecuencia, y a diferencia del

Ejemplo 2.12, el intervalo al que corresponde mayor frecuencia no necesariamente

tiene que ser el que tenga mayor altura asociada.

Añadiendo a la tabla dos nuevas columnas que recojan la amplitud (ci) y altura(hi) de cada intervalo:

Retribución (e) Li.1 , Li

Númeroempleados

ni

ci hi% ni

ci

intervalo modalr [800 , 1.000[ 50 200 0,25 pmayor altura

intervalo modalr [1.000 , 1.400[ 100 400 0,25 pmayor altura

[1.400 , 1.800[ 80 400 0,2[1.800 , 2.100] 30 300 0,1

Como puede verse en la tabla anterior, en este caso existen dos modas (la dis-

tribución es bimodal), la primera estará incluida en el intervalo [800 , 1.000[ y la

segunda en [1.000 , 1.400[.

Sin necesidad de realizar ningún cálculo, podría decirse que la primera moda

será 1.000, puesto que la altura del intervalo anterior al modal es cero. En cambio,

respecto a la segunda, como el intervalo anterior a [1.000 , 1.400[ es de mayor al-tura que el posterior, sólo puede decirse que su valor se encontrará ligeramente por

debajo de la marca de clase ( x2% 1.200). Una mejor aproximación al valor de la

moda puede obtenerse con la expresión dada en (2.1).

Moda 1: Mo% 800!200 ·0,25

0! 0,25% 1.000

Moda 2: Mo% 1.000! 400 ·

0,2

0,25! 0,2% 1.177,78

Por tanto, las retribuciones más frecuentes en el área de fabricación de esta em-

presa son 1.000 e y 1.177,78 e.

2.1.5. Cuantiles

Ordenados de menor a mayor los valores de la variable y dado un entero positi-

vo k , las familias de cuantiles serán valores del recorrido de la variable que dividi-

rán la distribución en k partes, conteniendo cada una de ellas la misma proporción

de observaciones A1

k B.


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Las familias de cuantiles más utilizadas son aquellas que dividen la distribu-

ción de frecuencias en cuatro, diez y cien partes y se conocen con el nombre de

cuartiles, deciles y percentiles, respectivamente:

a) Cuartiles (k % 4): son tres valores (C s, s% 1, 2, 3) del recorrido que divi-

den la distribución en 4 partes, conteniendo cada una de ellas el 25%

A14Bde las observaciones.

b) Deciles (k % 10): son nueve valores del recorrido ( Ds, s% 1, 2, ..., 9) que

dividen la distribución en 10 partes, de tal forma que cada una de ellas

contendrá el 10% A 1

10B de las observaciones.c) Percentiles (k % 100): son noventa y nueve valores del recorrido (Ps,

s% 1, 2, ..., 99) que dividen la distribución en 100 partes, conteniendo ca-da una de ellas el 1% de las observaciones.

En general (para cualquier valor de k ): una familia de cuantiles de orden As

k Bs% 1, 2, ..., (k .1), se identificará como los (k .1) valores del recorrido de la va-riable Qs

k

s% 1, 2, ..., (k .1), que dividirán en k partes la distribución de la varia-

ble conteniendo, cada una de ellas, una proporción de valores de

A

1

k

B.

De esta forma, si Qsk

es el cuantil de orden As

k B, un porcentaje de As

k ·100B de

los valores de la variable (como mínimo) serán menores o iguales que Qsk

y un por-

centaje de A1.s

k B · 100 de los valores (como mínimo) serán mayores o igualesque Qs

k

.

Así, por ejemplo, el primer cuartil C 1 será el cuantil Q14

, de tal forma que, al

menos, el 25% de los valores serán menores o iguales que C 1 y, al menos, el 75%

restante serán mayores o iguales que C 1.

Análogamente, podemos identificar los deciles y percentiles como cuantiles en

general: P35%Q 35100

, D8%Q 810

, ..., etc.

El procedimiento de cálculo es análogo al estudiado en el caso de la mediana,

es decir, suponiendo datos sin agrupar:

si

DAEAF

N i.1a s · N k a N i

N i%s · N

k

ú

ú

Qsk

% xi

Qsk

% xi! xi!1

2


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donde Qsk

es el cuantil (cuartil, decil o percentil) que se quiere calcular y que acu-

mulará una proporción de As

k B observaciones.Si la distribución de frecuencias es de valores agrupados se determinará el

intervalo cuantílico, es decir, aquel que contiene el cuantil que se quiere obtener.

Ejemplo 2.14 Dada la siguiente tabla de frecuencias:

Proyectos de mejora Círculos de calidad xi ni

10 2

14 6

18 8

22 4

Obtener el segundo cuartil, el cuarto decil y nonagésimo percentil.

Solución

Proyectos de mejora Círculos de calidad xi ni

N i

10 2 2

14 6 8

18 8 16

22 4 20

El segundo cuartil (C 2) es el valor de la variable que deja a su izquierda, esto es

acumula, un número mínimo de observaciones del 50%.

s%2, k %4 rs · N

k %

2 · 2 0

4%10 observaciones

por tanto, como N 2as · N

k a N 3 (8a10a 16) entonces C 2%Q2

4

% x3%18.

Obsérvese que el valor del segundo cuartil coincide con el de la mediana. De

hecho, C 2% D5%P50%Me%Q12

.

El cuarto decil ( D4) es el valor que acumula como mínimo un 40% de las ob-servaciones:

s%4, k %10 rs · N

k %

4 · 2 0

10%8 observaciones


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18/45

en consecuencia, como N 2% 8%s · N

k , el cuarto decil será:

Qsk

% D4% x2! x3

2%

14! 18

2% 16

Por último, el nonagésimo percentil, P90, es el valor que acumula como míni-mo un 90% de las observaciones:

s% 90, k % 100 rs · N

k %

90·20

100% 18 observaciones

con lo que el percentil noventa será: Q 90100%P90

% x4% 22, dado que N 3as · N

k %

% 18a N 4 .

2.2. Medidas de dispersión

El término dispersión o variabilidad hace referencia a cómo de distantes, de se-

parados, se encuentran los datos. En este sentido, si los distintos valores de la dis-

tribución se encuentran próximos entre sí, estos presentarán poca dispersión o va-

riabilidad; si por el contrario están alejados, mostrarán mucha dispersión.

Pueden calcularse diversas medidas de dispersión, aunque las más habituales

son el rango (o recorrido), la varianza y la desviación típica. Las anteriores son

medidas de dispersión absoluta. Sin embargo, si lo que se quiere es comparar va-

rias distribuciones de frecuencias en términos de variabilidad, para ver cuál es la

que presenta mayor o menor dispersión, debe obtenerse una medida relativa como,

por ejemplo, el coeficiente de variación de Pearson.

2.2.1. Rango

El rango o recorrido de una distribución es la diferencia entre el valor máximo

y mínimo, es decir, Re% xmax. xmin. La principal desventaja de este tipo de me-

dida de dispersión es que únicamente tiene en cuenta dos valores de la variable.

2.2.2. Varianza y desviación típica

La varianza, que se denota por S 2 X , se define como la media aritmética de los

cuadrados de las diferencias de los valores de la variable a la media aritmética:

S 2

X %

I

;i%1

( xi. x 6)2 · ni

N (2.2)


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Con la varianza se pretende medir la dispersión que presentan los valores de la

variable respecto de su media. Cuanto mayor sea la varianza, cuanto mayor sea la

dispersión, menos representativa resultará ser la media.

Una expresión equivalente a la anterior para calcular la varianza, muy utilizada

por cuanto simplifica considerablemente la operatoria, es:

S 2 X %

I

;i%1

x2i · ni

N . x 6

2 (2.3)(6)

De la definición de varianza se desprende que ésta nunca puede ser negativa

(S 2 X n0) y que se encuentra expresada en unidades de medida al cuadrado.

Además, la varianza no depende de los cambios de origen, pero sí de los de

unidad (véase Apartado 2.5.).

Por su parte, la desviación típica o estándar, que se denota por S

x, es la raízcuadrada positiva de la varianza, es decir:

S X %!∂ S 2 X n 0

La desviación típica es una medida de dispersión que suele proporcionarse jun-

to con la media de la distribución, puesto que ambas magnitudes vienen expresadas

en la misma unidad de medida, lo que facilita enormemente la interpretación de los

resultados.

Otro estadístico que se utiliza mucho, especialmente en inferencia estadística,

es la cuasivarianza, que se denota por S *2 X , y se define como:

S *2

X %

I

;i%1

( xi. x 6)2 · ni

N . 1%

N

N . 1· S

2

X

siendo la cuasidesviación típica, S * X %!∂ S *2 X

Ejemplo 2.15 El número de ofertas de empleo publicadas en los últimos cinco númerosen una revista especializada ha sido:

10, 20, 12, 16, 12

Calcular el rango, varianza, desviación típica, cuasivarianza y cuasidesviación

típica.

Solución

El rango o recorrido del número de ofertas de empleo (variable X ) es:

Re% xmax. xmin r Re% 20. 10% 10

(6) En el Apartado 2.3 se verá cómo esta expresión se corresponde con la obtenida al expresar elmomento central de orden 2, que es la varianza, en función de los momentos ordinarios.


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Para calcular la varianza, se puede recurrir a la Expresión (2.2) o (2.3). Eviden-

temente el resultado es el mismo, simplemente una forma resulta más cómoda que

la otra, como se verá.

Los cálculos necesarios para obtener la varianza pueden obtenerse añadiendo

una serie de columnas a la tabla de frecuencias de las ofertas de empleo publica-

das, tal y como se muestra a continuación:

xi ni ( xi. x 6) ( xi. x 6) ni ( xi. x 6)2 ni xi ni x

2

i ni

10 1 .4 .4 16 10 100

12 2 .2 .4 8 24 288

16 1 2 2 4 16 256

20 1 6 6 36 20 400

;% 0 (7) ;% 64 ;% 70 ;% 1.044

Una vez elaborada la tabla anterior resulta casi inmediato el cálculo de la me-

dia y de la varianza.

x 6%

I %4

;i%1

xini

N %

70

5% 14 anuncios

S 2 X %

I %4

;i%1

( xi. x 6)2ni

N %

64

5% 12,8 (anuncios)2

o bien,

S 2 X %

I %4

;i%1

x2i ni

N . x 6

2%

1.044

5. 142% 12,8 (anuncios)2

La desviación típica es: S X %!∂ S 2 X %∂ 12,8] 3,58 anuncios.La cuasivarianza se puede obtener a partir de la varianza:

S *2

X %

N

N . 1· S 2 X %

5

5. 1· 12,8% 16 (anuncios)2

La cuasidesviación típica es: S * X %∂ S *2 X %∂ 16% 4 anuncios.

(7) Obsérvese cómo la suma de las desviaciones de cada valor de la variable respecto a su media es

cero A I %4

;i%1

( xi. x 6) · ni% 0B, tal y como se indicó en la primera propiedad de la media aritmética.


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2.2.3. Coeficiente de variación de Pearson

Es el cociente entre la desviación típica y la media aritmética de la variable es-

tadística X . Suele representarse por g0( X ).

g0( X )%

S X

x 6

Cuanto más próximo a cero se encuentre el coeficiente de variación menor será

la dispersión (relativa) y mejor la representatividad de la media aritmética.

El coeficiente de variación es una medida de dispersión relativa. Por esta ra-

zón, se utiliza para comparar la dispersión entre dos o más distribuciones, indepen-

dientemente del valor de sus medias y de la unidad de medida de las variables.

Ejemplo 2.16 Dos revistas especializadas en empleo, A y B, han publicado una mediade ofertas de trabajo, que requieren alta cualificación, de x 6 A%10 y x 6 B%16 con

varianzas, respectivamente, de S 2 A% 4 y S 2

B% 9. ¿Qué revista presenta mayor dis-

persión absoluta? ¿Y relativa?

Solución

La revista B presenta mayor dispersión absoluta que la revista A, puesto que

S 2 B% 9bS 2

A%4. Ahora bien, para comparar correctamente la dispersión en ambas

publicaciones (con medias distintas), debe calcularse el coeficiente de variación,medida de dispersión relativa, que mide el número de veces que la desviación típi-

ca contiene a la media. Por tanto:

g0( A)%S A

x 6 A%

2

10%0,2

g0( B)%S B

x 6 B%

3

16%0,1875

es decir, como g0( B)a g0( A) puede concluirse que la dispersión relativa de la re-vista B es menor que la de la revista A.

2.3. Momentos

A partir de la distribución de frecuencias es posible calcular una serie de valo-

res específicos que la caracterizan. Estos valores son los denominados momentos.Los estadísticos obtenidos hasta ahora como media y varianza pueden conside-

rarse casos particulares de los momentos. A continuación se estudian los principa-

les detalles de los distintos tipos de momentos que pueden obtenerse, momentos

ordinarios y centrales, así como la relación que puede establecerse entre ellos.


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2.3.1. Momentos ordinarios o respecto al origen

Dada una variable estadística unidimensional ( X ) y su distribución de frecuen-

cias, se define el momento ordinario (o respecto al origen) de orden p, que se de-

nota por a p( X ), como:

a p( X )%

I

;i%1

x pini

N

Los distintos momentos ordinarios son obtenidos al asignar valores a p. Segui-

damente se presentan algunos casos particulares:

Momento ordinario de orden 0: Si p% 0r a0( X )%

I

;i%1

x0i ni

N % 1


I

;i%1

x1i ni

N % x 6


I

;i%1

x2i ni

N

2.3.2. Momentos centrales o respecto a la media

Dada una variable estadística unidimensional ( X ) y su distribución de frecuen-

cias, se define el momento central (o respecto a la media) de orden p, que se deno-

ta por m p( X ), como:

m p( X )%

I

;i%1

( xi. x 6) pni

N

Algunos casos particulares son:

Momento central de orden 0: Si p% 0rm0( X )%

I

;i%1

( xi. x 6)0ni

N %

I

;i%1

ni

N % 1


I

;i%1

( xi. x 6)1ni

N % 0


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I

;i%1

( xi. x 6)2ni

N % S 2 x . Es

decir, el momento central de orden 2 coincide con la varianza [véase Expre-

sión (2.2)].

2.3.3. Relación entre los momentos ordinariosy centrales

Es posible expresar cualquier momento central en función de los momentos

ordinarios. Para ello se recurre a la siguiente relación:

m p%

p

;k %0

(.1)k

A pk B

· ak 1 · a p.k (2.4)

Por ejemplo, la expresión del momento central de orden 2 en función de los

momentos ordinarios se obtiene para p% 2 (8).

S 2 X zm2( X )% p%2

;k %0

(.1)k A p% 2

k B · ak 1 · a p.k %

% (.1)0A2

0B · a01 · a2.0! (.1)1A2

1B · a11 · a2.1! (.1)2A2

2B · a21 · a2.2 V\\W\\\X V\\W\\\X V\\W\\\X

k %0 k %1 k %2

Operando:

S 2 X %m2( X )% a01 · a2.2 · a

11 · a1! a

21 · a0r S

2 X %m2( X )% a2.a

21

Sustituyendo el momento ordinario de orden 2 por la expresión que lo hace

operativo, y recordando que el momento ordinario de orden 1 coincide con la

media:

S 2 X %m2( X )%

I

;i%1

x2i ni

N . x 62

expresión para la varianza que coincide con la dada en (2.3).

(8) Para calcular el número combinatorio A p

k B se procede de la siguiente forma: A p

k B% p!

k !( p. k )!.


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Ejemplo 2.17 Expresar el momento central de orden 3 de la variable X en función de

los momentos ordinarios.

Solución

Recurriendo a la Expresión (2.4)

m3( X )%

p%3

;k %0

(.1)k A p% 3

k B · ak 1 · a p.k % (.1)0A3

0B · a01 · a3.0! V\\W\\\X

k %0

! (.1)1

A

3

1

B· a11 · a3.1! (.1)

2

A

3

2

B· a21 · a3.2! (.1)

3

A

3

3

B· a31 · a3.3

V\\W\\\X V\\W\\\X V\\W\\\X

k %1 k %2 k %3

Operando:

m3( X )% a0

1 · a3.0. 3 · a1

1 · a3.1! 3 · a2

1 · a3.2. a3

1 · a3.3

m3( X )% a3. 3 · a2 · a1! 2 · a3

1

Es decir:

m3( X )%

I

;i%1

x31ni

N . 3 ·

I

;i%1

x21ni

N · x 6! 2 · x 63

2.4. Medidas de forma

En este apartado se va a comparar una determinada distribución de frecuencias

con un modelo ideal, la distribución Normal (que tiene forma de campana). La

comparación se centrará, básicamente, en dos aspectos fundamentales. Por una

parte, en determinar si la distribución con la que se está trabajando es simétrica,

como la normal, o bien es asimétrica, esto es, se encuentra desplazada hacia un la-

do. Por otro parte, resulta también interesante conocer cómo es la distribución encuanto a su apuntamiento respecto al mencionado modelo ideal. Estas cuestiones

pueden ser resueltas al representar gráficamente la distribución de frecuencias y

observar su forma o, caso de no poder hacer esto, calculando las oportunas medi-

das, a saber: asimetría y apuntamiento (curtosis).


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2.4.1. Medidas de asimetría

En la Figura 2.3 se ha representado la distribución normal [Gráfica (a)]. Puede

observarse como ésta es una distribución simétrica respecto a la media, «al doblar

la distribución por el eje de simetría ambas partes coinciden» [Figura 2.3, Gráfi-

ca (b)]; en caso contrario se dice que la distribución es asimétrica.

Eje simetría Eje simetría

x = Me = Mo x = Me = Mo

Al «doblar» por el eje de

simetría

Gráfica (a) Gráfica (b)

Figura 2.3.

Para medir la asimetría de una distribución pueden utilizarse diferentes coefi-

cientes, aunque es frecuente obtener el denominado coeficiente de asimetría (de

Fisher), que se denota por g1, y se define como el cociente entre el momento cen-tral de orden 3 y la desviación típica elevada al cubo. Por tanto, el coeficiente de

asimetría de la variable X vendrá dado por:

g1( X )%m3( X )

S 3 X

%

I

;i%1

( xi. x 6)3 · ni

N

S 3 X

de tal forma que si la distribución es asimétrica g1( X ) tomará un valor distinto de

cero, positivo o negativo, tanto mayor (en términos absolutos) cuanto más asimé-

trica sea la distribución. Si g1( X )% 0 la distribución puede ser simétrica o no, será

necesario apoyarse en su representación gráfica (Figura 2.4); ahora bien, si la dis-

tribución es simétrica el coeficiente de asimetría de Fisher siempre será cero.

Puede observarse que, cuando los valores de la variable más frecuentes son los

mayores y la distribución presenta una cola a la izquierda, ésta es asimétrica nega-

tiva. En cambio, cuando los valores más comunes de la distribución son los meno-res, cola hacia la derecha, ésta es asimétrica positiva.

En distribuciones unimodales y campaniformes, como las representadas en la

Figura 2.4, se cumple que x 6aMeaMo cuando la distribución es asimétrica ne-

gativa y MoaMea x 6 cuando es asimétrica positiva.


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x = Me = Mo

Mo x

Mo x

Distribución asimétrica negativa;cola más larga a la izquierda de la moda

( ) < 0 g X 1

Distribución simétrica( ) = 0 g X 1

Distribución asimétrica positiva;cola más larga a la derecha de la moda

( ) > 0 g X 1

Figura 2.4.

Ejemplo 2.18 A partir de las calificaciones en estadística de 50 estudiantes universita-rios de primer curso se han obtenidos los siguientes estadísticos:

I

;i%1

xini% 345 I

;i%1

x2

i ni% 2.553 I

;i%1

x3

1ni% 19.821

¿Es simétrica la distribución de las calificaciones obtenidas en esta asignatura?

Solución

El coeficiente de asimetría se define como el cociente entre el momento central

de tercer orden y el cubo de la desviación típica.

En primer lugar se calculará x 6 y S X y a continuación m3( X ) a partir de la expre-

sión dada en la solución del Ejemplo 2.17.

x 6%

I

;i%1

xini

N %

345

50% 6,9

S X %!∂ S 2 X %J I

;i%1

x2

i · ni

N . x 6

2%J

2.553

50. 6,92 r S X % 1,85741756] 1,857

m3( X )%

I

;i%1

x3

i ni

N . 3 ·

I

;i%1

x2

i ni

N · x 6! 2 · x 63%

19.821

50. 3 ·

2.553

50· 6,9! 2·6,93



27/45

Resolviendo, m3( X )%.3,504. Por tanto, g1( X )%m3( X )

S 3 X %

.3,504

1,8573 ].0,547.

Es decir, la distribución de las calificaciones obtenidas en la asignatura de esta-

dística es asimétrica negativa, como puede verse en la Figura 2.6, en el Ejem-

plo 2.19, donde se representa gráficamente.

2.4.2. Medidas de apuntamiento (curtosis)

Las medidas de apuntamiento analizan si una distribución de frecuencias es

más apuntada o menos al comparar ésta con una distribución tipo, la distribución

Normal (véase Figura 2.5) con su misma media y varianza.

El hecho de que una distribución sea muy apuntada, o poco, dependerá de la

cantidad de valores de la variable que se encuentren en torno a la zona central y se

agrupen alrededor de la media aritmética. Una medida que permite conocer este

grado de apuntamiento es el coeficiente de curtosis, que se denota por g2, y que se

define, en este caso para una variable X , como:

g2( X )%m4( X )

S 4 X

. 3

En la expresión anterior se resta el valor 3, puesto que en la distribución Nor-

mal, que se toma como referencia a la hora de realizar la comparación, m4S 4% 3.

Si g2( X )b0, la distribución es leptocúrtica, más apuntada que la Normal.

g2( X )%0, la distribución es mesocúrtica, igual de apuntada que la Normal.

g2( X )a0, la distribución es platicúrtica, más achatada que la Normal.

Leptocúrtica

Mesocúrtica

Platicúrtica

Figura 2.5.

Ejemplo 2.19 En la Figura 2.6 se representa la distribución de frecuencias correspon-

diente al Ejemplo 2.18.


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2 3 4 5 6 7 8 9 10

Calificaciones

N . º a

l u m

n o s

Distribución

Normal

Figura 2.6.

¿Qué puede decir acerca de su apuntamiento o aplastamiento? ¿Qué coeficiente

de curtosis cabe esperar?

Solución

Sobre el diagrama de barras de las calificaciones obtenidas en estadística porlos 50 estudiantes universitarios consultados, se ha dibujado la distribución normal

ajustada a esta distribución de media ( x 6% 6,9) y desviación típica (S x % 1,857). Al

comparar ambas se puede intuir que la distribución de las calificaciones es ligera-

mente más apuntada que la normal, por ello cabe esperar un coeficiente de curtosis

positivo (leptocúrtica).

2.5. Transformaciones lineales y tipificaciónde variables

Supóngase que, en principio, se está trabajando con la distribución de frecuen-

cias de una variable estadística X , de la que se ha obtenido una serie de estadísticos

(media, varianza, etc,) y que por cualquier circunstancia es necesario pasar a traba-

jar con otra variable estadística Y , que se obtiene a partir de la anterior como resul-

tado de:

— Sumar (o restar) una constante a a todos los valores de la variable estadísti-

ca X , es decir, de efectuar sobre ésta un cambio de origen: Y % X ! a o

Y % X . a.


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— Multiplicar (o dividir) por una constante b todos los valores de la variable

X , es decir, de realizar sobre X un cambio de unidad (o escala): Y % b · X o

Y % X

b.

— Practicar sobre la variable X tanto un cambio de unidad como de origen,

por ejemplo: Y % b · X ! a.

Pues bien, para obtener aquellas mismas medidas conocidas para la nueva va-

riable Y no es necesario crear su distribución de frecuencias y realizar de nuevo to-

dos los cálculos que se efectuaron en su momento para la variable X . Es suficiente

con conocer cómo afectan los cambios de origen y unidad a los distintos estadísti-

cos y recurrir a la transformación lineal empleada para obtener Y a partir de X

(véase Tabla 2.1).

En la Tabla 2.1, y para algunas transformaciones lineales tipo, a partir de los

estadísticos x 6

, S 2

x, g0( X ), g1( X ), g2( X ) y m p( X ) de la variable estadística X , que sesuponen conocidos, se muestran estas mismas medidas para la variable Y .

Tabla 2.1.

Transformación

Cambio unidad Cambio origen Cambio origen y unidad

Y % b · X Y % X ! a Y % b · X ! a

E s t a

d í s t i c o

( m e

d i d a

)

Media y 6% b · x 6 y 6% x 6! a y 6% b · x 6! a

(depende) (depende)

Varianza S 2Y % b

2 · S 2 X S 2

Y % S 2

X S 2Y % b2 · S 2 X (depende) (no depende)

Coeficiente g0(Y )% g0( X ) g0(Y )%S X

x 6! a g0(Y )%b · S X

b · x 6! aVariación (no depende) (depende)

Coeficiente g1(Y )% g1( X ) g1(Y )% g1( X ) g1(Y )% g1( X )Asimetría (no depende) (no depende)

Coeficiente g2(Y )% g2( X ) g2(Y )% g2( X ) g2(Y )% g2( X )Curtosis (no depende) (no depende)

Momento m p(Y )%b p · m p( X ) m p(Y )%m p( X ) m p(Y )%b

p · m p( X )central orden p (depende) (no depende)

Ejemplo 2.20 Determinar la media, varianza y coeficiente de variación de Pearson de

la variable estadística Y , que es obtenida como Y %1

4 X ! 2, sabiendo que x 6% 17

y S 2 X % 4.


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Solución

La variable Y es obtenida al aplicar, sobre la variable X , un cambio de escala

(b% 1/ 4) y un cambio de origen (a% 2).La media depende tanto de los cambios de origen como de unidad, ambos de-

ben ser tenidos en cuenta a la hora de calcular la media de la variable Y , así:

y 6% b · x 6! a%1

4· 17! 2r y 6% 6,25

La varianza (en general todos los momentos centrales) únicamente depende de

los cambios de unidad, siendo invariante ante cambios de origen, por tanto:

S 2Y % b2 · S 2 X %A

1

4B2

· 4 r S 2Y % 0,25

El coeficiente de variación de Pearson es invariante ante cambios de unidad,

pero no a los de origen; de forma que caso de existir este último queda afectado

por ambos.

g0(Y )%S Y

y 6%

b · S X

b · x 6! a%

(1/ 4 ) · 2

(1/ 4)·17! 2r g0(Y )% 0,08

Por otra parte, tipificar una variable consiste en obtener, a través de una

transformación lineal «especial», otra variable con media y desviación típica (o va-rianza) prefijada. Esto es, tipificar una variable X , con media x 6 y desviación típica

S X , consiste en transformar ésta en otra Z con media z 6 y desviación típica S Z . La

variable Z se dice que es la variable tipificada de X .

En general, si el objetivo es conseguir una variable tipificada Z con media

z 6%m y S Z % k , la transformación lineal a realizar será:

Z % k ·

A

X . x 6

S X

B!m

El caso de tipificación más utilizado se conoce como tipificación estándar, y

consiste en transformar la variable X en otra variable Z , con media 0 y desviación

típica 1. En este caso, la transformación lineal consiste en restar al valor de la va-

riable la media y dividir entre la desviación típica, de esta forma, la variable resul-

tante Z , será:

Z % X . x 6

S X con z 6% 0 y S Z % 1

Si el coeficiente de variación de Pearson es empleado para comparar la disper-

sión entre dos o más distribuciones, la tipificación resulta útil cuando se quiere

comparar individuos o cantidades que en principio no son comparables, bien por-

que provienen de poblaciones diferentes, bien porque aluden a conceptos distintos.


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31/45

En este sentido, los valores tipificados que son obtenidos indican la distancia a la

que se encuentran cada uno de ellos respecto a la media, distancia que es medida

en términos de desviaciones típicas. Por tanto, fácilmente puede compararse la po-

sición relativa de cada valor.

Ejemplo 2.21 En la sección de pintura de un taller de reparaciones trabajan tres perso-nas. Sus salarios son de 900, 950 y 1.000 e. Obtener los salarios tipificados a me-

dia cero y desviación típica 1.

Solución

La media y desviación típica de los salarios será:

x 6%

3

;i%1

xi

N %

900! 950! 1.000

3r x 6% 950

S X %!J 3

;i%1

x2

i

N . x 6

2%J

9002!9502! 1.0002

3. 9502 r S X ] 40,825

Una vez obtenidas x 6 y S X pueden determinarse los valores tipificados:

z1% x1. x 6

S X %

900. 950

40,825r z1].1,225

z2% x2. x 6

S X %

950. 950

40,825r z2] 0

z3% x3. x 6

S X %

1.000. 950

40,825r z3] 1,225

x1 x2

S z S z

x3

–1,225 = z 1 z = z 2 = 0 –1 1 z 3 = 1,225

Figura 2.7.

Puede comprobarse que z 6%0 y S Z %1. Los valores z1 y z3, que se correspon-

den con los salarios de 900 y 1.000 e, respectivamente, se encuentran a 1,225 des-

viaciones típicas de la media, es decir, se encuentran a la misma distancia de ésta.


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2.6. Medidas de concentración: curva de Lorenze índice de Gini

Las medidas de concentración, que no se deben confundir como opuestas a las

medidas de dispersión, indican el mayor o menor grado de igualdad (o equidistri-bución) en el reparto total de los valores de la variable objeto de estudio.

La concentración puede determinarse gráficamente a través de la curva de

Lorenz. Una medida analítica para la concentración es el conocido como índice de

Gini.

2.6.1. Curva de Lorenz

Mediante la curva de Lorenz (véase Figura 2.8) se relaciona el porcentaje acu-mulado de frecuencias ( pi) —hogares, familias, individuos, trabajadores, indus-

trias, etc.—, que se representa en el eje de abscisas, con el porcentaje acumulado

del volumen total de la variable (qi) —ingresos, ventas, renta, producto interior

bruto, etc.— que le corresponde, que se representa en el eje de ordenadas. Dicha

curva, que comienza en el punto (0, 0) y finaliza en el (100, 100), es creciente por

representar porcentajes acumulados y se encuentra situada por debajo de la bisec-

triz al ser pin qi O i.

2.6.2. Índice de Gini

El índice de Gini, que se denota por IG, es aproximadamente el cociente entre

el área comprendida entre la bisectriz del primer cuadrante y la curva de Lorenz y

el triángulo OPQ (véase Figura 2.8).

O P

Q

qi

pi

(% acumulado de frecuencias)

( %

a c u m u

l a d

o v

o l u

m e n

t o t a

l v a r

i a b l e )

Bisectriz

Curva Lorenz

Figura 2.8.


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A nivel práctico suele utilizarse, como aproximación, la siguiente expresión:

IG%

I .1

;i%1

( pi. qi)

I .1

;i%1

pi

La ventaja del índice de Gini es que proporciona una medida cuantitativa de laconcentración. Éste puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1, es decir,0m IGm 1, de tal forma que si IG% 0 existe equidistribución (o no concentra-ción), produciéndose una concentración máxima cuando IG%1. Por tanto, cuantomás próximo a cero se encuentre el índice de Gini, menor será el grado de concen-tración.

Relacionando curva de Lorenz e índice de Gini (véase Figura 2.9), cuanto me-nor sea este último, menor será el área comprendida entre la bisectriz y la curva deLorenz. En el caso que la concentración sea mínima ( IG%0), la curva de Lorenzcoincide con la bisectriz, lo que indica que a un porcentaje acumulado de indivi-duos le corresponde ese mismo porcentaje acumulado del volumen total de la va-riable ( pi%qi O i).

O O O

Q Q Q

P P P IG = 0 0 < < 1 IG IG = 1

Figura 2.9.

En caso de máxima concentración ( IG%1), la curva de Lorenz coincide con el

triángulo OPQ. En este caso extremo, un solo individuo, el último, concentra elvolumen total de variable, no encontrándose nada en manos de los restantes( N . 1) individuos.

2.6.3. Haciendo operativo el índice de Gini

y la curva de Lorenz

Para poder representar la curva de Lorenz y obtener el índice de Gini, es nece-sario calcular los porcentajes acumulados de individuos y del volumen total de la


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variable. Para ello, lo más práctico consiste en añadir columnas a la tabla de fre-

cuencias original, tal y como se muestra en la Tabla 2.2.

Tabla 2.2.

Volumen Volumenacumulado

Porcentajeacumulado

individuos

Porcentajeacumulado

de volumen

Diferencia

xi ni N i mi( a) M i pi%

N i

N · 100 qi%

M i

M · 100 pi. qi

x1 n1 N 1 m1 M 1 p1% N 1

N ·100 q1%

M 1

M · 100 p1. q1

x2 n2 N 2 m2 M 2 p2% N 2

N ·100 q2%

M 2

M · 100 p2. q2

ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ

x I n I N I (b) m I M I

(c) p I %100 q I %100 p I .q I %0

(a) Si no es facilitada información sobre el volumen (mi), por ejemplo masa salarial, ésta puede ser estimada de la

siguiente forma: mi% xini .

(b) Total de individuos N I % N .

(c) Volumen total de la variable M I % M .

Ejemplo 2.22 Las horas de formación recibidas a lo largo del último año por los 40

directivos de distinto nivel, de la filial española de una compañía multinacional, se

recogen en la siguiente tabla.

Horas formación Número directivos

xi ni

20 20

30 10

40 5

50 5

Representar la curva de Lorenz y calcular el índice de Gini.

Solución

Confeccionando una tabla similar a la Tabla 2.2.


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xi ni N i mi% xi ni M i pi% N i

N · 100 qi%

M i

M I · 100

( a) pi.qi

20 20 20 400 400 50 34,78 15,22

30 10 30 300 700 75 60,87 14,13

40 5 35 200 900 87,5 78,26 9,24

50 5 40(b) 250 1.150(c) 100 100 0

(a) Los resultados han sido redondeados a dos números decimales para facilitar los cálculos.(b) Total directivos.(c) Total de horas dedicadas a formación de directivos.

Representando el punto (0, 0) y los distintos pares ( pi, qi), esto es, ( p1% 50,

q1%

34,78); ( p2%

75, q2%

60,87); ( p3%

87,5, q3%

78,26); la curva de Lorenz seobtiene al unir los puntos mediante segmentos.

100,00

90,00

80,00

70,00

60,00

50,0040,00

30,00

20,00

10,00

(0,0) 60604020 100

% acumulados de individuos

%

a c u m u

l a d

o v

o l u

m e n

h o r a s

Curva de Lorenz

(50; 34,78)

(75; 60,87)

(87,5; 78,26)

(100; 100)

Figura 2.10.

En cuanto al índice de Gini:

IG%

4.1

;i%1

( pi.qi)

4.1

;i%1

%( p1.q1)!( p2.q2)!( p3.q3)

p1! p2! p3%

15,22!14,13!9,24

50!75!87,5]0,1816

es decir, el número de horas de formación destinadas a los diferentes niveles direc-

tivos en esta filial están relativamente bien repartidas.


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Cuestiones de autoevaluación

2.1 En un total de 10 empresas de un determinado sector de actividad se ha observadoel número de empleados, obteniéndose los valores siguientes: 15, 21, 22, 26, 32,

35, 40, 50, 54, 1.000, donde x 6% 129,5 y Me%33,5.

¿Qué medida de posición es preferible utilizar como resumen del conjunto de

datos de la variable?

a) La media aritmética, porque es la medida de posición central por excelencia y

siempre que se conozca se debe utilizar ésta.

b) La mediana, porque como existe un valor muy alejado del resto, la media es

poco representativa del conjunto de valores de la distribución.c) Es indiferente.

d) Ninguna de las anteriores es correcta.

2.2 Se estudian los salarios que perciben los empleados de una empresa. El menor de

los salarios es de 600 e/ mes y el mayor de 2.400 e/ mes. ¿Cuál de los siguientesresultados puede ser cierto?

a) x 6% 1.200 e, S X % 0 e

b) x 6% 1.000 e, S X % 200 e

c) x 6% 500 e, S X % 200 e

d) x 6% 1.200 e, S X %.150 e

2.3 Se invierten 12.000 e a plazo fijo durante dos años. El primer año el capital se in-

crementa en un 3% y el segundo en un 12% acumulativo. El interés o incremento

medio anual es:

a) 7,5 %.b) 7,406 %

c) 4,8 %

2.4 Si el coeficiente de asimetría de una variable X es 4, y se realiza una transforma-

ción lineal de la forma Y % 50! 60 X , ¿cuál es el coeficiente de asimetría de la

nueva variable?

a) El coeficiente de asimetría vale 24.

b) El coeficiente de asimetría vale 4.

c) El coeficiente de asimetría vale 74.

d) No se puede obtener el coeficiente de asimetría de Y a partir de la información

de la que se dispone.


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2.5 Supóngase una variable estadística X tal que x 6% 31 y S 2 X % 35. Si se realizase un

cambio de variable aplicando la transformación Y % 10! 5 X , entonces:

a) y 6% 165 y S 2Y % 875

b) y 6% 165 y S 2Y % 35

c) y 6% 155 y S 2

Y % 875d) y 6% 155 y S 2Y % 35

2.6 Una empresa de componentes electrónicos dispone de tres plantas de producción

(A, B y C) con 100, 150 y 200 operarios de fabricación respectivamente. Si el nú-

mero medio mensual de unidades producidas por cada empleado en la planta A es

de 2.000, en la planta B de 2.500 y en la planta C de 1.750, ¿cúal es el número

medio mensual de unidades producidas por cada operario para el global de la em-

presa?

a)2.000! 2.500! 1.750

100! 150! 200] 13,89

b)(2.000 · 100)! (2.500 · 150)! (1.750 · 200)

2.000! 2.500! 1.750% 148

c)100! 150! 200

2.000! 2.500! 1.750] 0,072

d)(2.000 · 100)! (2.500 · 150)! (1.750 · 200)

100! 150! 200] 2.055,56

2.7 Dados los siguientes momentos referentes a una variable estadística:

a1% 63, a2% 4.219, a3% 296.867, m3%.430, m4% 110.024

Se puede decir que la distribución de frecuencias es:

a) Simétrica y leptocúrtica.

b) Asimétrica por la izquierda y platicúrtica.

c) Asimétrica por la derecha y platicúrtica.

d) Asimétrica por la izquierda y leptocúrtica.

2.8 Para que una distribución simétrica con desviación típica igual a 3 sea mesocúrti-

ca, ¿cuál debe ser el valor del momento central de orden 4?

a) Igual a 243.b) Mayor a 243.

c) Menor a 243.

d) No se puede calcular el valor de m4.


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2.9 Dada una variable estadística X con media x 6% 25 y desviación típica S X % 3, ¿quétransformación debería realizarse para que la variable tipificada tuviese media 5 ydesviación típica 2?

a) Z % X . 25

3

b) Z % X

5

c) Z % 2 ·A X . 25

3 B! 5d) Únicamente pueden obtenerse variables tipificadas con media cero y desvia-

ción típica 1.

2.10 Si el índice de Gini vale 1, se puede afirmar que:

a) No existe concentración, los valores de las variables están equidistribuidos.b) La curva de Lorenz coincide con la diagonal principal.c) La curva de Lorenz coincide con los lados del cuadrado, formando un triángulo.d) Tanto la opción a) como la c) son ciertas.

E jercicios propuestos

2.1 Se ha preguntado a 9 empresas por el número de personas que emplean, siendo susrespuestas:

50, 56, 60, 75, 80, 85, 88, 90, 100

Calcular la media aritmética, mediana y moda.

2.2 A 15 personas que guardaban cola para entrar al museo de «El Prado» se les hapreguntado por el número de veces que han visitado previamente la pinacoteca,siendo las respuestas obtenidas:

0, 1, 1, 2, 0, 5, 3, 2, 4, 4, 0, 1, 0, 0, 1

Calcular la media aritmética, mediana y moda.

2.3 Cierta empresa ha incrementado el salario a sus empleados en los últimos cinco

años en un 1, 2, 3, 4 y 5% acumulativo. Si un trabajador empezó con un salario1.000 e, calcular:

a) El incremento medio anual aplicado en estos cinco años.b) El salario a cobrar cinco años después.


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2.4 Dada la siguiente tabla estadística:

Intervalo ni

[10 , 20[ 9

[20 , 140[ 31

[140 , 180] 10

Calcular la media, el intervalo donde está contenida la mediana y el intervalo modal.

2.5 En la siguiente distribución de frecuencias se recoge el consumo de gas (en m3),

entre los meses de diciembre-enero, de una comunidad de 100 viviendas.

Consumo de gas Viviendas

[5 , 9[ 5[9 , 15[ 25

[15 , 25[ 50

[25 , 50[ 15

[50 , 80] 5

Obtener la media aritmética, el intervalo donde está contenida la mediana y el

intervalo modal de la distribución de consumo de gas.

2.6 Las siguientes cuatro muestras de datos tienen la misma media:

a) 4 4 4 4 4 4 4

b) 1 1 1 1 1 3 20

c) 1 2 3 4 5 6 7

d) 1 1 2 4 4 8 8

Ordenar el posible valor de sus varianzas (dispersión) de menor a mayor, pero sin

realizar ningún cálculo. Después comprobar el resultado calculando dichas varianzas.

2.7 Inspeccionadas un total de 40 planchas, el número de defectos (obstrucción del

pulverizador, funcionamiento incorrecto del termostato, etc.) encontrados por el

departamento de calidad ha sido:

Defectos Planchas

0 10

1 25

2 4

3 1

Obtener el número medio de defectos y la varianza de estos.


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2.8 El propietario de una tienda de electrodomésticos, tras un descenso en las ventas

del último trimestre, observa el número de clientes que entran en su establecimien-

to a lo largo de quince días:

5, 8, 4, 2, 3, 5, 7, 6, 3, 4, 4, 9, 8, 5, 5

Calcular la media y la desviación típica.

2.9 Una Universidad tiene dos bibliotecas. La información disponible de la variable

«Gasto dedicado a la compra de libros» entre los años 1998 y 2002, en cada una de

las bibliotecas, ha sido el siguiente:

Biblioteca A

Gasto (miles de euros) 7 8 10 15 20

Biblioteca B

a1%12 (miles de euros) a2% 159 (miles de euros)2

¿En cuál de las dos bibliotecas ha habido menor dispersión en el gasto destinado a

la compra de libros?

2.10 Los directores de producción y recursos humanos han estudiado el absentismo la-

boral en dos células de producción. En la célula A el número medio de horas perdi-

das resultó ser de 120 horas, con una desviación típica de 36 horas. En la célula B

el absentismo medio se cuantificó en 80 horas de trabajo, con una desviación típica

de 30 horas.

¿En qué célula de producción hay mayor dispersión relativa en el número de

horas perdidas?

2.11 Una compañía, perteneciente a un grupo de grandes empresas (Grupo A), presentaun beneficio anual de 3,5622 millones de euros. Asimismo, el beneficio anual de

un comercio, perteneciente a una agrupación de pequeñas empresas (Grupo B), es

de 32.280 euros. Si las medias y desviaciones típicas de los beneficios anuales de

las empresas pertenecientes a cada uno de esos grupos han sido:

Grupo A Grupo B

x 6 A%3,1580 millones de euros x 6 B%25.420 e

S A%0,5389 millones de euros S B%6.860 e

Cuál de las dos empresas presenta un beneficio anual relativo mayor, ¿la com-

pañía o el comercio?


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2.12 Se tiene información acerca del número de goles por partido marcados en dos ligas

europeas:

Liga de fútbol A: Media 3,5 goles y varianza 1,34.

Liga de fútbol B: Media de 2,5 goles y varianza 1,88.

a) ¿En qué liga europea hubo una mayor dispersión relativa?b) Si en un partido jugado en la liga A el resultado fue 2-0 y en otro partido de la

liga B el resultado fue 1-1. ¿En qué partido el número de goles fue relativa-

mente mayor?

2.13 Dos empresas del sector químico, A y B, han recogido información sobre el núme-

ro de accidentes laborales al mes con baja laboral que se ha producido durante un

determinado periodo de tiempo, obteniendo los siguientes resultados:

Empresa A: x 6 A% 9 S 2

A% 2,2857

Empresa B: x 6 B% 12 S B% 1,51

Si durante un mes determinado, en la empresa A ha habido 7 accidentes con baja y

en la empresa B se han producido 10 accidentes con baja, ¿en qué empresa el nú-

mero de accidentes con baja ha sido relativamente mayor?

2.14 Expresar el momento central de orden 4 en función de los momentos ordinarios.

2.15 A partir de la siguiente distribución de frecuencias:

xi ni

1 2

2 5

3 10

4 5

5 2

Obtener los coeficientes de asimetría y curtosis, y decir cómo es la forma de la dis-

tribución.

2.16 Para una distribución se sabe que x 6% 25, S 2 X % 9 obtener la media, varianza y coe-

ficiente de variación de la variable Y si:

a) Y % X ! 4

b) Y % 2 X c) Y % 2 X ! 4

d) Y %2 X . 4

2


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2.17 De un estudio realizado en dos poblaciones acerca del tiempo diario (en minutos)

que los niños de 4 a 10 años dedican a ver la televisión, se han obtenido los si-

guientes resultados: en la población A dedican una media diaria de 90 minutos con

una varianza de 144, mientras que en la población B la media diaria es de 75 minu-

tos con una varianza de 100.

a) ¿En qué población es mayor la dispersión relativa?

b) Un niño de la población A dedica 82 minutos diarios a ver televisión y otro de

la población B dedica 75 minutos. En términos relativos, ¿qué niño dedica

más tiempo a ver televisión?

2.18 La evolución de la variable X : «Siniestralidad de automóviles (millones de euros)»

en los últimos 6 años ha sido, aproximadamente, la que se recoge a continuación:

Año Siniestralidad

1995 4.000

1996 4.500

1997 4.750

1998 5.000

1999 5.250

2000 6.000

Calcular la media, desviación típica y coeficiente de variación de Pearson de la va-

riable X a partir del cálculo de dichos estadísticos para la variable U % X . 3.000

500.

2.19 En una empresa hay una sección dedicada a la fabricación de un tipo especial depiezas. La variable X : «Número de piezas fabricadas al día por un trabajador», pre-

senta los siguientes momentos:

a1%140 m2( X )%225 m3( X )%.830 m4( X )%147.830

Asimismo, el «Salario diario de los trabajadores» (variable Y ) se compone de 21

euros fijos más una prima de 30 céntimos por pieza producida. Determinar:

a) Los coeficientes de asimetría y apuntamiento de la variable X , comentando laforma aproximada que tendrá la distribución de esta variable.

b) La media y la desviación típica de la variable Y . ¿Qué forma tendrá la distri-

bución de esta variable? Justifica las respuestas.


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2.20 Observar las curvas de Lorenz representadas a continuación:

A B

q q

p p

¿Cuál de las dos situaciones representa una distribución más equitativa?

Problemas resueltos

2.1 Una empresa de plásticos se dedica a la realización de piezas para vehículos de una

determinada marca. La distribución del número de piezas que realizan los 250 tra-

bajadores en una hora es la siguiente:

Número de piezas Trabajadores

10 26

11 34

12 60

13 62

14 4015 28

a) Calcular el número medio de piezas terminadas en una hora, la mediana y la

moda.

b) Determinar el primer y el tercer cuartil.

c) Obtener la varianza de las piezas, la desviación típica y el coeficiente de va-

riación de Pearson.

2.2 Un grupo de expertos lleva a cabo una cata de aceites. A continuación se facilita la

distribución de frecuencias correspondiente a las calificaciones obtenidas por los

aceites de oliva procedentes de 150 almazaras:


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Puntuación Número de aceites

[0 , 4[ 40

[4 , 5[ 12

[5 , 7[ 67

[7 , 9[ 22

[9 , 10] 9

a) Calcular la calificación media obtenida en la cata por el conjunto de los acei-

tes evaluados.

b) Obtener los intervalos donde están contenidas la mediana y la moda.

c) Calcular la desviación típica de la distribución y el coeficiente de variación de

Pearson.

d) Explicar la forma de la distribución de frecuencias sabiendo que los coeficien-tes de asimetría y curtosis son respectivamente g1%.0,2 y g2%.0,88.

2.3 Sea X la variable estadística que expresa el salario mensual de los trabajadores de

una empresa de la construcción (datos en euros), y de la que es conocida su media

x 6%1.008 y su varianza S 2 X % 90.000.

Si se definen las siguientes variables:

Y : «Deducción en las nóminas de los trabajadores para la Seguridad Social y

Mutualidad». Esta consiste en deducir un 9,5% del salario más 15 euros fijos.

Z : «Deducción en las nóminas de los trabajadores por retenciones del I.R.P.F».

Esta consiste en deducir un 18% del salario.

Calcular la media y la varianza de las variables estadísticas Y y Z . ¿Cuál presenta

una mayor dispersión relativa?

2.4 El volumen de ventas mensuales de 30 empresas se distribuye como sigue:

Ventas mensuales Número Volumen

(en miles de euros) de empresas de ventas

[15 , 20[ 8 140

[20 , 25[ 7 145

[25 , 30[ 5 130

[30 , 35[ 4 125

[35 , 40] 6 210

Obtener el índice de Gini y la curva de Lorenz.


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Problemas propuestos2.5 Durante el pasado fin de semana, dos agencias de viajes han presentado el siguien-

te movimiento en la venta de billetes de avión.

Agencia 1 Agencia 2Importe billete (e)Número de billetes Número de billetes

340 3 1

425 2 2

700 2 4

750 1 4800 1 3

930 1 1

a) Obtener la media, mediana y moda del importe obtenido por la venta de bille-tes en cada una de las agencias.

b) ¿En qué agencia ha sido mayor la dispersión en el importe de los billetes ven-didos?

2.6 Una empresa multinacional americana tiene una fábrica en Valencia. Se realiza unestudio sobre los salarios mensuales (en cientos de euros) de los empleados de di-cha empresa, ofreciendo los siguientes resultados:

Salario ni

[3 , 6[ 22

[6 , 9[ 54

[9 , 12[ 20[12 , 18[ 15

[18 , 20] 9

a) Calcular los salarios medios de la empresa.

b) ¿Qué porcentaje de trabajadores tiene un sueldo superior a 12 (cientos de e)mensuales?


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