STRUKTUR ALJABAR

STRUKTUR ALJABARJURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNESA

BUDI P. PRAWOTO

CONTENTS:GRUPSUBGRUPGRUP SIKLIK dan GRUP PERMUTASIKOSETSUBGRUP NORMALHOMOMORFISMA GRUPISOMORFISMA GRUP

pptPlex Section Divider[GRUP]The slides after this divider will be grouped into a section and given the label you type above. Feel free to move this slide to any position in the deck.GRUPDEFINISI 1.1Suatu himpunan tak kosong G dikatakan membentuk grup jika di dalam G didefinisikan suatu operasi biner, dinotasikan o, sedemikian sehingga:

Jika himpunan G dengan suatu operasi o membentuk grup, maka grup G dinyatakan dengan notasi .AKSIOMA GRUP4GRUPCONTOH 1.1 :Misalkan G himpunan semua bilangan bulat. Operasi o didefinisikan sebagai operasi penjumlahan bilangan bulat, atau untuk a dan b di dalam G maka aob = a+b. Apakah G dengan operasi o membentuk grup? Jawab: G himpunan tak kosong G tertutup terhadap operasi penjumlahan G bersifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan Ada elemen identitas (e) Ada inversnya untuk tiap elemen (a-1)OKOKOKOKOKGRUPDEFINISI 1.2Suatu grup disebut grup abelian atau grup komutatif jika untuk setiap a,b elemen G berlaku aob = boa.Karakteristik lain dari suatu grup G adalah banyaknya elemen G. Banyaknya elemen grup G disebut order dari G yang dinotasikan o(G). Jika order dari G finit, maka G disebut grup finit.CONTOH 1.2 :Misalkan G = {-1, 1}. Periksa apakan G membentuk grup dengan operasi perkalian bil. Real. Jika grup, periksa apakah grup G merupakan grup abelian !GRUPCONTOH 1.3 :P = {0, 1, 2, 3, 4}, dengan operasi penjumlahan bilangan modulo 5. Periksa apakah P membentuk grup !GRUPDEFINISI 1.3Misalkan G grup. Untuk sebarang a elemen G, didefinisikan a0=e, a1=a, a2=aoa, a3=aoa2 dst dan a-2=(a-1)2, a-3=(a-1)3, dst.CONTOH 1.4 :Misalkan G grup semua bil rasional positif terhadap operasi perkalian bil rasional. Yang dimaksud 23 adalah 2x2x2=8, dan yang dimaksud 2-3 adalah (2-1)3=(1/2)3=1/2 x x = 1/8.GRUPLatihan 1.1 :Berikut ini, tentukan mana yang membentuk grup. Jika tidak membentuk grup, tunjukan aksioma mana yang tidak berlaku. G = himpunan bil. Bulat, dengan aob = a b . G = himpunan bil. Bulat positif, dengan aob = a x b. G = himpunan semua bil. Real tanpa nol, dengan aob=axb. G = {a0, a1, , a6}, dengan ai o aj = ai+j, jika i+j < 7ai o aj = ai+j-7, jika i+j > 7.G = {2, 4, 6, 8}, dengan operasi perkalian bilangan modulo 10. sifat bersahaja dari grupTEOREMA 1.1 (KANSELASI)Jika suatu grup, maka untuk setiap a,b,c G berlaku: Jika aob = aoc, maka b = c, (kanselasi kiri) jika boa = coa, maka b = c. (kanselasi kanan)TEOREMA 1.2Jika suatu grup, maka elemen identitas (e) dalam G adalah tunggal.TEOREMA 1.3Jika suatu grup, maka setiap elemen G mempunyai invers tunggal di G.TEOREMA 1.4Jika suatu grup, maka untuk setiap a elemen G berlaku (a-1)-1 = a.TEOREMA 1.5Jika suatu grup, maka untuk semua a dan b G berlaku (aob)-1 = b-1oa-1.TEOREMA 1.6Jika diketahui a,b G, maka persamaan aox=b dan yoa=b mempunyai penyelesaian tunggal untuk x dan y elemen G.Latihan 1.2 :Jika G grup sehingga (aob)2 = a2ob2 untuk setiap a,b G. Buktikan G merupakan grup abelian.Jika G grup, a anggota G dan m,n bil bulat positif. Buktikan bahwa (am)n = amn.Tunjukan bahwa jika setiap elemen dari grup G merupakan invers dari sirinya sendiri, maka G adalah grup abelian.Jika G grup dan a,b,c elemen G. Buktikan bahwa persamaan xoaoxoboa=xoboc mempunyai penyelesaian tunggal.pptPlex Section Divider[SUBGRUP]The slides after this divider will be grouped into a section and given the label you type above. Feel free to move this slide to any position in the deck.sub grupNotice:Untuk selanjutnya, notasi operasi o pada grup dihilangkan, misal aob ditulis ab. DEFINISI:Suatu subset H tak kosong dari grup G disebut subgrup dari G jika terhadap operasi di G, H membentuk grup.Subgrup dari G ditulis ( S