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Bertossi, Montresor, Algoritmi e strutture di dati © 2014 De Agostini Scuola�

Algoritmi e Strutture Dati

Capitolo 1 - Introduzione

Alberto Montresor Università di Trento

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Introduzione

✦ Problema computazionale

✦ La relazione formale che intercorre fra l'input e l'output desiderato

✦ Algoritmo

✦ La descrizione di una sequenza di azioni che un esecutore deve compiere per giungere alla soluzione di un problema

✦ Gli algoritmi rappresentano e organizzano input, output e tutti i dati intermedi necessari per lo svolgimento

✦ Esempio

✦ Input: ingredienti Output: piatto cucinato Algoritmo: ricetta Esecutore: cuoco


Un po' di storia

✦ Algoritmi nella storia ✦ Papiro di Ahmes (algoritmo per la moltiplicazione) ✦ Algoritmi di tipo numerico furono studiati da matematici babilonesi ed indiani ✦ Algoritmi in uso fino a tempi recenti furono studiati dai matematici greci più di 2000 anni fa

✦ Algoritmo di Euclide per il Massimo Comune Divisore ✦ Algoritmi geometrici (calcolo di tangenti, sezioni di angoli, ...)


Un po' di storia

✦ Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi ✦ Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala ✦ Famoso per:

✦ essere uno dei padri dell'algebra ✦ aver introdotto i numeri indiani nel mondo occidentale ✦ un notevole influsso sulle lingue:

✦ algorismus, algoritmo, algorithm ✦ algebra ✦ spagnolo: guarismo portoghese: algarismo


Problema computazionale: esempi

✦ Minimo

✦ Il minimo di un insieme A è l’elemento di A che è minore o uguale ad ogni elemento di A

✦ Ricerca

✦ Sia A=a1,...,an una sequenza di dati ordinati e distinti, a1 < a2 < ··· < an. Eseguire una ricerca della posizione di un dato v in A consiste nel restituire l’indice corrispondente, se v è presente, oppure 0, se v non è presente


Algoritmo: esempio

✦ Minimo

✦ Per trovare il minimo di un insieme, confronta ogni elemento con tutti gli altri; l’elemento che è minore di tutti è il minimo.

✦ Ricerca

✦ Per trovare un valore v nella sequenza A, confronta v con tutti gli elementi di A, in ordine, e restituisci la posizione corrispondente; restituisci 0 se nessuno degli elementi corrisponde.


Problemi

Le descrizioni precedenti presentano diversi problemi: ✦  Descrizione

✦ Descritti in linguaggio naturale, imprecisi ✦ Abbiamo bisogno di un linguaggio più formale

✦  Valutazione ✦ Esistono algoritmi “migliori” di quelli proposti? ✦ Dobbiamo definire il concetto di migliore

✦  Progettazione ✦ Questi problemi sono semplici ✦ Problemi più complessi devono essere affrontati con opportune tecniche di programmazione


Come descrivere un algoritmo

✦ E' necessario utilizzare una descrizione il più possibile formale

✦ Indipendente dal linguaggio: “Pseudo-codice”

✦ Particolare attenzione va dedicata al livello di dettaglio

✦ Da una ricetta di canederli (google:canederli ricetta), leggo: “... amalgamate il tutto e fate riposare un quarto d'ora...”

✦ Cosa significa “amalgamare”? Cosa significa “far riposare”?

✦ E perché non c'è scritto più semplicemente “prepara i canederli”?


Esempio: ricerca del minimo in un vettore


✦ Problema

✦ Dato un vettore A contenente n elementi, verificare se un certo elemento v è presente

✦ Esempi: elenco del telefono, dizionario

✦ Una soluzione “banale”

✦ Scorro gli elementi in ordine, finché non trovo un oggetto “maggiore o uguale” a v

21

Ricerca in un array ordinato

1 5 12 15 20 23 32 1 5 12 15 20 23


Ricerca in un array ordinato


Pseudo-codice


Pseudo-codice

✦ Tipi di dato composto

✦ Vettori, matrici

✦ Record

✦ Puntatori


Ricorsione

✦ Versioni iterative / ricorsive

✦ Ricorsione di coda


Problemi

Le descrizioni precedenti presentano diversi problemi:

✦  Descrizione

✦ Descritti in linguaggio naturale, imprecisi

✦ Abbiamo bisogno di un linguaggio più formale

✦  Valutazione

✦ Esistono algoritmi “migliori” di quelli proposti?

✦ Dobbiamo definire il concetto di migliore

✦  Progettazione

✦ Questi problemi sono semplici ✦ Problemi più complessi devono essere affrontati con oppurtune tecniche di programmazione


Valutazione algoritmi

✦ Risolve correttamente il problema?

✦ Dimostrazione matematica, descrizione “informale”

✦ Nota: Alcuni problemi non possono essere risolti

✦ Nota: Alcuni problemi vengono risolti in modo approssimato

✦ Risolve il problema in modo efficiente?

✦ Definizione di “efficienza”?

✦ Alcuni problemi non possono essere risolti in modo efficiente

✦ Esistono soluzioni “ottime”: non è possibile essere più efficienti

✦ Quali altre proprietà entrano in gioco?

✦ Semplicità, modularità, manutenibilità, espandibilità, sicurezza e robustezza


Valutazione algoritmi - correttezza

✦ Concetto di invariante

✦ Condizione sempre vera in un certo punto del programma

✦ Esempi: ✦ Invariante di ciclo:

✦ una condizione che è sempre vera all'inizio di un ciclo ✦ “inizio del ciclo”: da definire

✦ Invariante di classe: ✦ una condizione che è sempre vera al termine dell'esecuzione di un metodo su una classe



✦ Invariante di min()

✦ All'inizio di ogni iterazione del ciclo for, la variabile min contiene il minimo parziale degli elementi A[1 .. i − 1]



✦ Il concetto di invariante di ciclo ci aiuta a dimostrare la correttezza di un algoritmo:

✦ Inizializzazione (caso base): ✦ la condizione è vera all'inizio

✦ Conservazione (passo induttivo): ✦ se la condizione è vera prima di un'iterazione del ciclo, allora rimane vera al termine (quindi prima della successiva iterazione)

✦ Conclusione: ✦ Quando il ciclo termina, l'invariante deve rappresentare la “correttezza” dell'algoritmo

✦ Domanda ✦ Dimostrare che l'invariante di min() è rispettato

Induzione



✦ Domanda: dimostrazione di correttezza di binarySearch()

✦ Suggerimento: per induzione sulla dimensione dell’input


Valutazione algoritmi - efficienza

✦ Complessità di un algoritmo

✦ Analisi delle risorse impiegate da un algoritmo per risolvere un problema, in funzione della dimensione e dal tipo dell'input

✦ Risorse

✦ Tempo: tempo impiegato per completare l'algoritmo

✦ Spazio: quantità di memoria utilizzata

✦ Banda: quantità di bit spediti ✦ Algoritmi distribuiti



✦ Contiamo il numero di confronti per il problema del minimo

✦ Algoritmo “banale” accennato nell’introduzione: n(n-1)/2

✦ Algoritmo più efficiente: n-1

✦ Perché contare i confronti?



✦ Contiamo il numero di confronti per il problema della ricerca ✦ Algoritmo “banale” accennato nell’introduzione: n-1 ✦ Algoritmo più efficiente: log n


Valutazione algoritmi - altre proprietà

✦ L’elenco può essere lungo:

✦ Semplicità, modularità, manutenibilità, espandibilità, sicurezza e robustezza

✦ Out-of-scope per algoritmi e strutture dati

✦ Ingegneria del software

✦ Un commento:

✦ Alcune proprietà hanno un costo aggiuntivo in termini di prestazioni ✦ Codice modulare → costo gestione chiamate ✦ Java bytecode → costo interpretazione

✦ Progettare algoritmi efficienti è un prerequisito per poter pagare questi costi


Problemi

Le descrizioni precedenti presentano diversi problemi:

✦  Descrizione

✦ Descritti in linguaggio naturale, imprecisi

✦ Abbiamo bisogno di un linguaggio più formale

✦  Valutazione

✦ Esistono algoritmi “migliori” di quelli proposti?Dobbiamo definire il concetto di migliore

✦  Progettazione

✦ Questi problemi sono semplici

✦ Problemi più complessi devono essere affrontati con oppurtune tecniche di programmazione


Come organizzare un algoritmo

Liste ✦ Base di conoscenza

✦ Strutture di dati

✦ Problemi “classici” e loro soluzioni

✦ Tecniche di progettazione

✦ Divide-et-impera

✦ Programmazione dinamica

✦ Greedy

✦ Ricerca locale

✦ Backtrack

✦ Probabilismo

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