1 © Alberto Montresor Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 11: Strutture di dati e Progettazione...

1© Alberto Montresor

Algoritmi e Strutture DatiCapitolo 11: Strutture di dati e Progettazione

Algoritmi

Alberto MontresorUniversità di Trento

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Introduzione

✦Dato un problema

✦Non ci sono “ricette generali” per risolverlo in modo efficiente

✦Tuttavia, è possibile evidenziare quattro fasi

✦Classificazione del problema

✦Caratterizzazione della soluzione

✦Tecnica di progetto

✦Utilizzo di strutture dati

✦Note

✦Non sono fasi strettamente sequenziali


Classificazione di un problema

Fa parte di una classe più ampia di problemi?

✦ Problemi decisionali:

✦Il dato di ingresso soddisfa una certa proprietà?

✦Soluzione: risposta sì/no

✦Es: Stabilire se un grafo è connesso

✦ Problemi di ricerca:

✦Spazio di ricerca: insieme di “soluzioni” possibili

✦Soluzione ammissibile: soluzione che rispetta certi vincoli

✦Es: posizione di una sottostringa in una stringa


Introduzione

✦Problemi di ottimizzazione:

✦Ogni soluzione è associata ad una funzione di costo

✦Vogliamo trovare la soluzione di costo minimo

✦Es: cammino più breve fra due nodi

✦Problemi di approssimazione:

✦A volte, trovare la soluzione ottima è computazionalmente impossibile

✦Ci si accontenta di una soluzione approssimata:✦costo basso, ma non sappiamo se ottimo

✦Es: problema del commesso viaggiatore


Caratterizzazione della soluzione

✦Definire la soluzione dal punto di vista matematico

✦Spesso la formulazione è banale...

✦... ma può suggerire una prima idea di soluzione

✦Es: Selection Sort: Data una sequenza di n elementi, una permutazione ordinata è data dal minimo seguita da una permutazione ordinata dei restanti n-1 elementi

✦Le caratteristiche matematiche della soluzione possono suggerire una possibile tecnica

✦Esempio: sottostruttura ottima → programmazione dinamica


Problema cammini minimi

✦Input

✦Grafo orientato G=(V,E)

✦Un nodo di partenza r

✦Funzione di peso w: E → R

✦Definizione

✦Dato un cammino c = v1,v2, ..., vk con k > 1, il costo del cammino è dato da

✦Output

✦Trovare un cammino da r ad u, per ogni nodo u ∈ V , il cui costo sia minimo, ovvero più piccolo o uguale del costo di qualunque altro cammino da r a u.


Prospettiva

✦Cammini minimi da sorgente unica

✦Input: nodo radice r

✦Output: i cammini minimi che vanno da r a tutti gli altri nodi v

✦Cammino minimo tra una coppia di vertici

✦Input: una coppia di vertici r, d

✦Output: un cammino minimo fra r e d

✦Si risolve il primo problema e si estrae il cammino richiesto. Non si conoscono algoritmi che abbiano tempo di esecuzione migliore.

✦Cammini mimimi tra tutte le coppie di vertici

✦Input: il grafo.

✦Output: i cammini minimi fra tutte le coppie di vertici.

✦Programmazione dinamica


Problema cammini minimi

✦Come descrivere l’output:

✦Si noti che due cammini minimi possono avere un tratto comune:

✦Non possono convergere in un nodo comune s dopo aver percorso un tratto iniziale distinto

✦Quindi, una soluzione ammissibile altro non è che un albero di copertura, radicato in r, che include un cammino da r ad ogni altro nodo.

r su

v

r su

vs


Esempio

✦Nella figura

✦ un grafo con un ciclo negativo

✦ un grafo senza cicli negativi

✦ una soluzione ammissibile per G2

✦ una soluzione ottima per G2

✦ Esempio di pesi negativi

✦Proprietario TIR

✦Viaggiare carico → profitto✦Peso negativo

✦Viaggiare scarico → perdita✦Peso positivo

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Caratterizzazione matematica soluzione

✦Definizione

✦Sia T una soluzione ammissibile. Ogni nodo u è caratterizzato da un valore du, che indica la distanza di u da r in T, uguale al costo del cammino fra r ed u in T

✦Quali caratteristiche devono avere le distanze affinché T sia una soluzione ottima?

✦Teorema di Bellman

✦Una soluzione ammissibile T è ottima se e solo se valgono le seguenti condizioni: ✦dv = du + w(u,v) per ogni arco (u,v) ∈ T✦dv ≤ du + w(u,v) per ogni arco (u,v) ∈ E

✦Dimostrazione

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Programma prototipo

✦Note

✦Se al termine dell’esecuzione qualche nodo mantiene una distanza infinita, esso non è raggiungibile da r

✦Come implementare la condizione ?∃

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Programma prototipo - maggiori dettagli

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Programma prototipo - maggiori dettagli

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Algoritmo di Dijkstra (1959)

✦Struttura dati

✦Coda con priorità, realizzata tramite vettore / lista non ordinati

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Algoritmo di Dijkstra (1959)

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Algoritmo di Dijkstra

✦Ipotesi: tutti i pesi sono positivi

✦Ogni nodo viene estratto una e una sola volta

✦Al momento dell’estrazione la sua distanza è minima

✦Costo totale: O(n2)

Costo Ripetizioni

✦Riga (1): O(n) 1

✦Riga (2): O(n) O(n)

✦Riga (3): O(1) O(n)

✦Riga (4): O(1) O(m)

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Algoritmo di Johnson (1977)

✦Struttura dati

✦Coda con priorità, realizzata tramite Heap binario

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Algoritmo di Johnson




✦Costo totale: O(m log n)

Costo Ripetizioni

✦Riga (1): O(n) 1

✦Riga (2): O(log n) O(n)


✦Riga (4): O(log n) O(m)

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Algoritmo di Fredman-Tarjan (1987)

✦Struttura dati

✦Coda con priorità, realizzata tramite Heap di Fibonacci

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Algoritmo di Fredman-Tarjan (1987)




✦Costo totale: O(m + n log n)

Costo Ripetizioni

✦Riga (1): O(n) 1



✦Riga (4): O(1) O(m)

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Algoritmo di Bellman - Ford - Moore (1958)

✦Struttura dati

✦Coda

www.xkcd.com

http://www.xkcd.com/

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Algoritmo di Bellman - Ford - Moore (1958)

✦Funziona anche con pesi negativi

✦Ogni nodo viene estratto al massimo n-1 volte

✦Passata - definizione ricorsiva

✦per k = 0, la zeresima passata consiste nell’estrazione del nodo r dalla coda S;

✦per k > 0, la k-esima passata consiste nell’estrazione di tutti i nodi presenti in S al termine della passata (k − 1)-esima.

✦Passata k - cammini di lunghezza k

✦Costo totale: O(mn)

Costo Ripetizioni

✦Riga (1): O(1) 1

✦Riga (2): O(1) O(n2)

✦Riga (3): O(1) O(mn)

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Algoritmo di Pape - D’Esopo (1974)

✦Struttura dati

✦DeQueue

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Algoritmo di Pape - D’Esopo (1974)

✦Tempo di calcolo

✦In generale, superpolinomiale

✦In pratica, veloce per grafi che rappresentano reti di circolazione stradale

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