บทที่4 MultipleIntegrals(อินทิกรัลหลายชั้น...
41
1 บทที่4 Multiple Integrals (อินทิกรัลหลายชั้น) 1. ทบทวนอินทิกรัลสองชั้นในระบบพิกัดฉาก 2. อินทิกรัลสองชั้นในระบบพิกัดเชิงขั้ว 3. การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับอินทิกรัลสองชั้น 4. อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดฉาก 5. อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกระบอก 6. อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกลม
Transcript of บทที่4 MultipleIntegrals(อินทิกรัลหลายชั้น...
1
บทท 4
Multiple Integrals (อนทกรลหลายชน)
1. ทบทวนอนทกรลสองชนในระบบพกดฉาก2. อนทกรลสองชนในระบบพกดเชงขว3. การเปลยนตวแปรสำหรบอนทกรลสองชน4. อนทกรลสามชนในระบบพกดฉาก5. อนทกรลสามชนในระบบพกดทรงกระบอก6. อนทกรลสามชนในระบบพกดทรงกลม
2
ทบทวนอนทกรลสองชนในระบบพกดฉาก
1. Double Riemann sum สำหรบอนทกรลสองชน:¨
R
f (x, y) dA = limm,n→∞
m∑i=1
n∑j=1
f (x∗ij, y∗ij)∆A
2. Fubini’s Theorem: ถาฟงกชน f ตอเนองบนบรเวณสเหลยมมมฉาก R = [a, b]× [c, d] แลว¨
R
f (x, y) dA =
ˆ b
a
ˆ d
cf (x, y) dy dx =
ˆ d
c
ˆ b
af (x, y) dx dy
3.ˆ d
c
ˆ b
af (x)g(y) dx dy =
ˆ b
ag(x) dx
ˆ d
cf (y) dy
4. สำหรบ D ={(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
}¨
D
f (x, y) dA =
ˆ b
a
ˆ g2(x)
g1(x)f (x, y) dy dx
5. สำหรบ D ={(x, y) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
}¨
D
f (x, y) dA =
ˆ d
c
ˆ h2(y)
h1(y)f (x, y) dx dy
3
อนทกรลสองชนในระบบพกดเชงขว
R ={(r, θ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π
}
R ={(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π
}
ระบบพกดเชงขว
∆Ai =12r
2i∆θ − 1
2r2i−1∆θ = 1
2
(r2i − r2i−1
)∆θ
= 12 (ri + ri−1) (ri − ri−1)∆θ = r∗i∆r∆θ
4
Riemann sum¨
R
f (x, y) dA = limm,n→∞
m∑i=1
n∑j=1
f (r∗i cos θ∗j , r
∗i sin θ
∗j )∆Ai
=
ˆ β
α
ˆ b
af (r cos θ, r sin θ) r dr dθ
ตวอยางจงหาคาของ
¨
R
(3x + 4y2) dA เมอ R เปนบรเวณในครง
ระนาบบนทปดลอมดวยวงกลม x2+y2 = 1 และ x2 + y2 = 4
5
ตวอยางจงหาปรมาตรของทรงตนทปดลอมดวยระนาบ z = 0
และ paraboloid z = 1− x2 − y2
6
โดเมนทวไปในระบบพกดเชงขว
D ={(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)
}¨
D
f (x, y) dA =
ˆ β
α
ˆ h2(θ)
h1(θ)f (r cos θ, r sin θ) r dr dθ
กรณพเศษ: พนทในระบบพกดเชงขวให f (x, y) = 1 และ h1(θ) = 0, h2(θ) = h(θ) จะไดวา
พนทของ D =
¨
D
1 dA =
ˆ β
α
ˆ h(θ)
0r dr dθ
=
ˆ β
α
(r2
2
∣∣∣∣h(θ)0
)dθ =
1
2
ˆ β
α
(h(θ)
)2dθ
7
ตวอยาง
จงหาคาของˆ 3
−3
ˆ √9−y2
−√
9−y2
⌊√x2 + y2
⌋dx dy
(เมอ ⌊x⌋ แทนจำนวนเตมคามากสดทมคาไมเกน x)
8
ตวอยางจงหาปรมาตรของทรงตนทอยเหนอระนาบ xy
อยใต paraboloid z = x2 + y2
และอยภายในทรงกระบอก x2 + y2 = 2x
9
ตวอยางกำหนดให R คอระนาบ xy และให
I =
ˆ ∞
−∞e−x2 dx และ J =
¨
R
e−x2−y2 dA
1. จงหาคาของ J โดยการอนทเกรตในระบบพกดเชงขว
2. จงแสดงวา J = I2 และหาคาของ I
10
การเปลยนตวแปรสำหรบอนทกรลสองชน
การเปลยนตวแปรสำหรบอนทกรลชนเดยวˆ b
af (x) dx =
ˆ d
cf(x(u)
) dxdu
du
การเปลยนตวแปรในระบบพกดเชงขว
x = r cos θ และ y = r sin θ
¨
R
f (x, y) dA =
¨
S
f (r cos θ, r sin θ) r dr dθ
11
Transformationtransformation T จากระนาบ uv ไปยงระนาบ xy
T (u, v) = (x, y) ⇒
x = x(u, v)
y = y(u, v)
12
ตวอยางx = u2 − v2
y = 2uvโดยท 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1
=⇒
13
Jacobian of the Transformation
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j
∆A ≈ ∥(∆u ru)× (∆v rv)∥ = ∥ru × rv∥∆u∆v
ru × rv =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
xu yu 0
xv yv 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ xu yu
xv yv
∣∣∣∣∣∣ k =∂(x, y)
∂(u, v)k
∆A ≈∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ ∆u∆v
14
Jacobian of the Transformation
¨
R
f (x, y) dA =
¨
S
f(x(u, v), y(u, v)
) ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv
15
ตวอยางจงหา Jacobian ของการแปลงจากพกดเชงขวเปนพกดฉาก
กลาวคอ จงหา ∂(x, y)
∂(r, θ)เมอ x = r cos θ และ y = r sin θ
16
ตวอยางจงหาคาของ
¨
R
y dA เมอ R คอบรเวณทปดลอมดวย
แกน x และพาราโบลา y =√4− 4x กบ y =
√4 + 4x
17
ตวอยางจงแสดงวา ∂(x, y)
∂(u, v)
∂(u, v)
∂(x, y)= 1
18
ตวอยางจงหาคาของ
¨
R
e(x+y)/(x−y) dA เมอ R คอบรเวณ
รปสเหลยมคางหมทมจดยอดท (1, 0), (2, 0), (0,−2), (0,−1)
u = x + y
v = x− y
19
อนทกรลสามชนในระบบพกดฉาก
Triple Riemann sum สำหรบอนทกรลสามชน
B = [a, b]× [c, d]× [r, s]
˚
B
f (x, y, z) dV = liml,m,n→∞
l∑i=1
m∑j=1
n∑k=1
f(x∗ijk, y
∗ijk, z
∗ijk
)∆V
Theorem: Fubini’s Theorem for Triple Integrals
ถาฟงกชน f ตอเนองบนกลองสเหลยมมมฉาก
B = [a, b]× [c, d]× [r, s]
แลว˚
B
f (x, y, z) dV =
ˆ s
r
ˆ d
c
ˆ b
af (x, y, z) dx dy dz
20
อนทแกรนดทแยกไดเปนผลคณของฟงกชนของแตละตวแปรในกรณท f (x, y, z) = u(x) v(y)w(z) จะไดวาˆ s
r
ˆ d
c
ˆ b
af (x, y, z) dx dy dz
=
ˆ s
r
ˆ d
c
ˆ b
au(x) v(y)w(z) dx dy dz
=
ˆ s
r
ˆ d
c
v(y)w(z)
ˆ b
au(x) dx
dy dz
=
ˆ b
au(x) dx
ˆ s
r
ˆ d
cv(y)w(z) dy dz
=
ˆ b
au(x) dx
ˆ s
r
w(z)
ˆ d
cv(y) dy
dz
=
ˆ b
au(x) dx
ˆ d
cv(y) dy
ˆ s
rw(z) dz
ˆ s
r
ˆ d
c
ˆ b
au(x) v(y)w(z) dx dy dz =
ˆ b
au(x) dx
ˆ d
cv(y) dy
ˆ s
rw(z) dz
21
ตวอยางให B = [0, 3]× [0, 2]× [0, 1] จงหาคาของอนทกรลตอไปน1.˚
B
xy2z3 dV
2.˚
B
(xyz + xy + yz + xz + x + y + z + 1) dV
22
การเลอกลำดบการอนทเกรตทเหมาะสมตวอยางจงหาคาของ
˚
B
sin(x + y + z) dV
เมอ B = [0, π]× [0, 2π]× [0, 3π]
23
อนทกรลสามชนบนโดเมนทวไปสรางกลองสเหลยมมมฉาก B ครอบโดเมนทวไป E
แลวกำหนด F (x, y, z) =
f (x, y, z) เมอ x ∈ E
0 เมอ x ∈ B − E
จากนนนยาม˚
E
f (x, y, z) dV =
˚
B
F (x, y, z) dV
24
ทรงตน type 1
สำหรบทรงตน E ซง
E = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}
จะไดวา˚
E
f (x, y, z) dV =
¨
D
[ˆ u2(x,y)
u1(x,y)f (x, y, z) dz
]dA
25
ทรงตน type 1 และบรเวณ D type 1
E = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}˚
E
f (x, y, z) dV =
ˆ b
a
ˆ g2(x)
g1(x)
ˆ u2(x,y)
u1(x,y)f (x, y, z) dz dy dx
ทรงตน type 1 และบรเวณ D type 2
E = {(x, y, z) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}˚
E
f (x, y, z) dV =
ˆ d
c
ˆ h2(y)
h1(y)
ˆ u2(x,y)
u1(x,y)f (x, y, z) dz dx dy
26
ตวอยางใหE เปนทรงตนทปดลอมดวยระนาบพกดทงสามและระนาบ
6x + 3y + 2z = 6 จงหาคาของ z =
˝E
z dV
˝E
dV
(0, 2, 0)
(0, 0, 3)
6x + 3y + 2z = 6
22x + y = 2
27
ทรงตน Type 2
˚
E
f (x, y, z) dV =
¨
D
[ˆ u2(y,z)
u1(y,z)f (x, y, z) dx
]dA
28
ทรงตน Type 3
˚
E
f (x, y, z) dV =
¨
D
[ˆ u2(x,z)
u1(x,z)f (x, y, z) dy
]dA
29
ตวอยางจงหาคาของ
˚
E
√x2 + z2 dV เมอ E เปนทรงตนท
ปดลอมดวยพาราโบลอยด y = x2 + z2 และระนาบ y = 4
(1) เมอฉายทรงตน E บนระนาบ xy
(2) เมอฉายทรงตน E บนระนาบ xz
30
การเปลยนลำดบการอนทเกรตตวอยางจงเปลยนลำดบการอนทเกรต
ˆ 1
0
ˆ x2
0
ˆ y
0f (x, y, z) dz dy dx
ในแบบตาง ๆ ทเปนไปได1. เมอฉายทรงตนบนระนาบ xy
2. เมอฉายทรงตนบนระนาบ yz
3. เมอฉายทรงตนบนระนาบ xz
31
ตวอยางจงหาคาของ
ˆ 1
0
ˆ 1−z
0
ˆ 1−y−z
0
ex
(x− 1)2dx dy dz
32
การประยกตของอนทกรลสามชน
1. มวล m =
˚
E
ρ(x, y, z) dV
2. จดศนยกลาง (x, y, z) โดยท
x =1
m
˚
E
x ρ(x, y, z) dV
y =1
m
˚
E
y ρ(x, y, z) dV
z =1
m
˚
E
z ρ(x, y, z) dV
3. โมเมนตความเฉอยรอบแกนตาง ๆ
Ix =
˚
E
(y2 + z2
)ρ(x, y, z) dV
Iy =
˚
E
(x2 + z2
)ρ(x, y, z) dV
Iz =
˚
E
(x2 + y2
)ρ(x, y, z) dV
33
ตวอยางกำหนดใหทรงตน E มความหนาแนน ρ(x, y, z) และ˚
E
ρ(x, y, z) dV = 3
˚
E
x ρ(x, y, z) dV = 12
˚
E
x2ρ(x, y, z) dV = 60
จงหา x และ Iy + Iz − Ix
34
อนทกรลสามชนในระบบพกดทรงกระบอก
ระบบพกดทรงกระบอก
พกดทรงกระบอก: (r, θ, z)
x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
r2 = x2 + y2, tan θ =y
x, z = z
35
การหาคาอนทกรลสามชนในระบบพกดทรงกระบอกE = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}
เมอ D = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)}
˚
E
f (x, y, z) dV =
¨
D
[ˆ u2(x,y)
u1(x,y)f (x, y, z) dz
]dA
˚
E
f (x, y, z) dV =
ˆ β
α
ˆ h2(θ)
h1(θ)
ˆ u2(r cos θ,r sin θ)
u1(r cos θ,r sin θ)f (r cos θ, r sin θ, z) r dz dr dθ
36
ตวอยางจงหาคาของ
ˆ 2
−2
ˆ √4−x2
−√4−x2
ˆ 2
√x2+y2
(x2 + y2
)dz dy dx
37
อนทกรลสามชนในระบบพกดทรงกลม
ระบบพกดทรงกลม: (ρ, θ, ϕ)
ρ ≥ 0
0 ≤ ϕ ≤ π
ρ = cθ = c
ϕ = c
0 < c < π2
ϕ = cπ2 < c < π
38
ระบบพกดทรงกลมกบระบบพกดฉาก
x = ρ sinϕ cos θ, y = ρ sinϕ sin θ, z = ρ cosϕ
ρ2 = x2 + y2 + z2
39
การหาคาของอนทกรลสามชนในระบบพกดทรงกลม
dV = ρ2 sinϕ dρ dϕ dθ
ถา E = {(ρ, θ, ϕ) | α ≤ θ ≤ β, c ≤ ϕ ≤ d, a ≤ ρ ≤ b} แลว˚
E
f (x, y, z) dV =
ˆ β
α
ˆ d
c
ˆ b
af (ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ) ρ2 sinϕ dρ dϕ dθ
ถา E = {(ρ, θ, ϕ) | α ≤ θ ≤ β, c ≤ ϕ ≤ d, g1(θ, ϕ) ≤ ρ ≤ g2(θ, ϕ)} แลว˚
E
f (x, y, z) dV =
ˆ β
α
ˆ d
c
ˆ g2(θ,ϕ)
g1(θ,ϕ)f (ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ) ρ2 sinϕ dρ dϕ dθ
40
ตวอยางจงหาคาของ
˚
B
e(x2+y2+z2)
3/2
dV
เมอ B ={(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ 1
}
41
ตวอยางจงหาปรมาตรของทรงตนทอยเหนอกรวย z =
√x2 + y2
และอยภายในทรงกลม x2 + y2 + z2 = z
