บทที่ 3 อนุพนธัของฟ์ังกช์นหลายตั...

บทท 3 อนพนธของฟงกชนหลายตวแปร 3 - 1

บทท 3

อนพนธของฟงกชนหลายตวแปร

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา

ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร

คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2301207 Calculus III 2561/1st


3.1 อนพนธของฟงกชนในทศทางของเวกเตอร

และเวกเตอรเกรเดยนต

P( 1x , 2x , ... , nx ) ซงเปนสมาชกของ nR

มความหมายได 2 แบบ คอ

P( 1x , 2x , ... , nx ) เปนจดใน nR

หรอ P( 1x , 2x , ... , nx ) เปนเวกเตอรใน nR

ในกรณท f : D R เมอ D nR

เราจะใชสญลกษณแทนคาของฟงกชน f ทจด P ไดทงสองแบบ

คอ f(P) หรอ f(P) ตามความเหมาะสม

อนพนธของฟงกชนในทศทางของเวกเตอร

ตอไปเราจะใหความหมายของอนพนธของฟงกชนของหลายตว

แปรซงเกยวของกบเวกเตอรใน nR

ให f : D R เมอ D nR

A เปนจดภายในของ D

V

เปนเวกเตอรใน nR

L = {X = A + tV

t R} เปนเซตของจดบนเสนตรง

ใน nR ทผานจด A และ ขนานกบ V

ให X = A + hV

เมอ h เปนจานวนจรงใด ๆ

เพราะฉะนน X เปนจดบนเสนตรง L ทผานจด A

และขนานกบ V

และ X - A = h V

... (1)


เพราะวา A เปนจดภายในของ D

เพราะฉะนนมจานวนจรงบวก r ททาให B(A ; r) D

ถาเราเลอกให V

เปนเวกเตอรหนวย และ

เลอก h ททาให h r

จาก (1) จะไดวา X - A r

เพราะฉะนน X D และ f(X) มคา

รปท 3.1.1

จาก X = A + hV

f(X) = f(A + hV

)

f(X) - f(A) = f(A + hV

) - f(A)

h

)A(f)X(f =

h)A(f)V hA(f

f(X) - f(A) เรยกวาคาทเปลยนแปลงของ f จาก A ไปยง X

h)A(f)X(f เรยกวาคาเฉลยของคาทเปลยนแปลงของ f

จาก A ไปยง X เทยบกบเวกเตอร V


บทนยาม 3.1.1 ให f : D R เมอ D nR

A เปนจดภายใน D และ V

เปนเวกเตอรใน nR

ถา 0h

lim h

)A(f)V hA(f

มคา

แลว เราเรยกคาลมตนวา อนพนธของ f ทจด A เทยบกบ V

เขยนแทนดวยสญลกษณ f (A ; V

)

เพราะฉะนน f (A ; V

) = 0h

lim h

)A(f)V hA(f

ถาลมตมคา

ให u = |||| V

V

f (A ; u ) เรยกวา อนพนธของ f ทจด A ในทศทางของ V

เพราะฉะนน

f (A ; u ) = 0h

lim h

)A(f)u hA(f ถาลมตมคา


ตวอยาง 3.1.1 ให f(x, y) = 2x + 3y จงหา

1. อนพนธของ f ทจด (1, 2) เทยบกบเวกเตอร (3, 4)

2. อนพนธของ f ทจด (1, 2) ในทศทางของเวกเตอร (5, 12)



วธทา

1. อนพนธของ f ทจด (1, 2) เทยบกบเวกเตอร (3, 4) คอ

f ((1, 2) ; (3, 4))

= 0h

lim h

)2 1,(f)4) 3,(h2) 1,((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)2 1,(f)h42 ,h31(f

= 0h

lim h

7)h42(3)h31( 2

= 0h

lim h

7h126h9h61 2

= 0h

lim h

h9h18 2

= 0h

lim

(18 + 9h)

= 18


2. อนพนธของ f ทจด (1, 2) ในทศทางของเวกเตอร (5, 12)

คอ f ((1, 2) ; (135 ,

1312))

= 0h

lim h

)2 1,(f))1312 ,

135(h2) 1,((f


= 0h

lim h

)2 1,(f)h13122 ,h

1351(f

= 0h

lim h

7)h13122(3)h

1351( 2

= 0h

lim h

7h13366h

16925h

13101 2

= 0h

lim h

h16925h

1346 2

= 0h

lim

(1346 +

16925 h) =

1346


f ((1, 2) ; (1, 0))

= 0h

lim h

)2 1,(f)0) ,1(h2) 1,((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)2 1,(f)2 ,h1(f

= 0h

lim h

7)2(3)h1( 2

= 0h

lim h

hh2 2

= 0h

lim

(2 + h) = 2



f ((1, 2) ; (0, 1))

= 0h

lim h

)2 1,(f)1) ,0(h2) 1,((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)2 1,(f)h2 ,1(f

= 0h

lim h

7)h2(312

= 3

ขอสงเกต

1. f ((1, 2) ; (1, 0)) กคอ อนพนธของ f เทยบกบ x

ทจด (1, 2) โดยถอวา y เปนคาคงตว

2. f ((1, 2) ; (0, 1)) กคอ อนพนธของ f เทยบกบ y

ทจด (1, 2) โดยถอวา x เปนคาคงตว


ตวอยาง 3.1.2 ให f(x, y, z) = 6 + x + 2y + 3z จงหา

1. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) เทยบกบเวกเตอร (1, 0, 0)




5. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3)

ในทศทางเวกเตอร (6, 2, 3)

วธทา 1. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3)

เทยบกบเวกเตอร (1, 0, 0)คอ f ((2, 4, 3) ; (1, 0, 0))

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)0) 0, 1,(h3) 4, , 2((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)3 ,4 ,h2(f

= 0h

lim h

5134)h2(6 32 =

0hlim h

h = 1


คอ f ((2, 4, 3) ; (0, 1, 0))

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)0) 1, ,0(h3) 4, , 2((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)3 ,h4 ,2(f

= 0h

lim h

513)h4(26 32

= 0h

lim h

hh8 2 = 0h

lim

(8 + h) = 8



คอ f ((2, 4, 3) ; (0, 0, 1))

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)1) 0, ,0(h3) 4, , 2((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)h3 ,4 ,2(f

= 0h

lim h

51)h3(426 32

= 0h

lim h

hh9h27 32 = 0h

lim

(27 + 9h + 2h ) = 27


คอ f ((2, 4, 3) ; (6, 2, 3))

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)3) 2, 6,(h3) 4, , 2((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)h33 ,h24 ,h62(f

= 0h

lim h

51)h33()h24()h62(6 32

= 0h

lim h

h27h85h103 32

= 0h

lim

(103 + 85h + 27 2h ) = 103

5. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) ในทศทางเวกเตอร

(6, 2, 3) คอ f ((2, 4, 3) ; (76 ,

72 ,

73))

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f))73 ,

72 ,

76(h3) 4, , 2((f



= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)7h33 ,

7h24 ,

7h62(f

= 0h

lim h

51)7h33()

7h24()

7h62(6 32

= 0h

lim h

h34327h

4985h

7103 32

= 0h

lim

(7

103 + 4985h +

34327 2h )

= 7

103

ขอสงเกต 1. f ((2, 4, 3) ; (1, 0, 0))

คอ อนพนธของ f เทยบกบ x ทจด (2, 4, 3)

โดยถอวา y, z เปนคาคงตว

2. f ((2, 4, 3) ; (0, 1, 0))

คอ อนพนธของ f เทยบกบ y ทจด (2, 4, 3)

3. f ((2, 4, 3) ; (0, 1, 0))

คอ อนพนธของ f เทยบกบ z ทจด (2, 4, 3)


อนพนธยอย

อนพนธของ f เทยบกบเวกเตอรหนวยตามแนวพกด

จะเปนอนพนธของ f เทยบกบตวแปรเพยงตวเดยว

โดยถอวาตวแปรทเหลอเปนคาคงตว กลาวคอ

ถา f : D R เมอ D 2R

และ ( 0x , 0y ) เปนจดภายในของ D เราไดวา

f (( 0x , 0y ) ; i) คออนพนธของ f เทยบกบ x

ทจด ( 0x , 0y ) โดยถอวา y เปนคาคงตว

และ f (( 0x , 0y ) ; j) คออนพนธของ f เทยบกบ y

ทจด ( 0x , 0y ) โดยถอวา x เปนคาคงตว

ถา f : D R เมอ D 3R

และ ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดภายในของ D เราไดวา

f (( 0x , 0y , 0z ) ; i) คออนพนธของ f เทยบกบ x

ทจด ( 0x , 0y , 0z ) โดยถอวา y, z เปนคาคงตว

f (( 0x , 0y , 0z ) ; j) คออนพนธของ f เทยบกบ y

ทจด ( 0x , 0y , 0z ) โดยถอวา x, z เปนคาคงตว

f (( 0x , 0y , 0z ) ; k) คออนพนธของ f เทยบกบ z

ทจด ( 0x , 0y , 0z ) โดยถอวา x, y เปนคาคงตว


บทนยาม 3.1.2 เวกเตอรหนวยตามแนวแกนพกดท k

เขยนแทนดวย ke

กาหนดโดย

ke

= (0, 0, ... , 0, 1, 0, ..., 0)

kตาแหนงท

ตวอยาง ใน 2R ;

1e

= (1, 0) = i,

2e

= (0, 1) = j

ใน 3R ;

1e

= (1, 0, 0) = i, 2e

= (0, 1, 0) = j, 3e

= (0, 0, 1) = k


โดยท z = f( 1x , 2x , ... , nx )

และ A เปนจดภายในของโดเมนของ f

f (A ; ke

) เรยกวา อนพนธยอยของ f เทยบกบ kx ทจด A

เขยนแทนดวยสญลกษณ

kxf

(A), kxf (A), kf (A), kD f(A) หรอ

Ak

xz

จากบทนยาม 3.1.3 เราจะเหนวา การหาอนพนธยอยกคอ การ

หาอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปรนนเอง เพราะฉะนนเรา

สามารถนาสตรของการหาอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปรมา

ใชได


ตวอยาง 3.1.3 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน

f(x, y, z) = sin(4x + 22y +

3z )

วธทา xf (x, y, z) = x

(sin(4x + 22y +

3z ))

= cos(4x + 22y +

3z )x

(4x + 22y +

3z )

= (cos(4x + 22y +

3z ))(4)

= 4 cos(4x + 22y +

3z )

yf (x, y, z) = y

(sin(4x + 22y +

3z ))

= cos(4x + 22y +

3z )y

(4x + 22y +

3z )

= (cos(4x + 22y +

3z ))(4y)

= 4y cos(4x + 22y +

3z )

และ zf (x, y, z) = z

(sin(4x + 22y +

3z ))

= cos(4x + 22y +

3z )z

(4x + 22y +

3z )

= (cos(4x + 22y +

3z ))(32z )

= 32z cos(4x + 2

2y + 3z )


ตวอยาง 3.1.3.2

ให f(x, y) = 3 4x 2y - 4 2x + 5y - 8

จงหาคาของ xf (1, 2) และ yf (1, 2)

วธทา xf (x, y) = x (3 4x 2y - 4 2x + 5y - 8)

= 12 3x 2y - 8x

เพราะฉะนน xf (1, 2) = 12(1)3(2)2 - 8(1) = 40

yf (x, y) = y (3 4x 2y - 4 2x + 5y - 8)

= 6 4x y + 5

เพราะฉะนน yf (1, 2) = 6(1)4(2) + 5 = 17



f( 1x , 2x , 3x , 4x ) = 21x 2

2x 43x +

x3e cos(2 1x + 3 4x )

วธทา

1D f( 1x , 2x , 3x , 4x ) =

1x

(21x 2

2x 43x +

x3e cos(2 1x +3 4x ))

= 2 1x 22x 4

3x - 2x3e sin(2 1x + 3 4x )

2D f( 1x , 2x , 3x , 4x ) =

2x

(21x 2

2x 43x +

x3e cos(2 1x + 3 4x ))

= 221x 2x 4

3x

3D f( 1x , 2x , 3x , 4x ) =

3x

(21x 2

2x 43x +

x3e cos(2 1x + 3 4x ))

= 421x 2

2x 33x +

x3e cos(2 1x + 3 4x )

และ

4D f( 1x , 2x , 3x , 4x ) =

4x

(21x 2

2x 43x +

x3e cos(2 1x + 3 4x ))

= -3x3e sin(2 1x + 3 4x )


ตวอยาง 3.1.4.2 จงหาอนพนธยอยของ f(x, y) = y4x5y3x2

วธทา xf (x, y) = x (

y4x5y3x2

)

= 2)y4x5(

)y4x5(x

)y3x2()y3x2(x

)y4x5(

= 2)y4x5(

)5)(y3x2()2)(y4x5(

= -2)y4x5(

y23

และ yf (x, y) = y (

y4x5y3x2

)

= 2)y4x5(

)y4x5(y

)y3x2()y3x2(y

)y4x5(

= 2)y4x5(

)4)(y3x2()3)(y4x5(

= 2)y4x5(

x23



f(x, y, z, u, v, w) = 3 sin(xy) + 4yz + cos(z + uv 2w )

วธทา 1D f = x

(3 sin(xy) + 4yz + cos(z + uv 2w ))

= 3y cos(xy)

2D f = y


= 3x cos(xy) + 4z

3D f = z


= 4y - sin(z + uv 2w )

4D f = u


= -v 2w sin(z + uv 2w )

5D f = v


= -u 2w sin(z + uv 2w )

และ 6D f = w


= -2uvw sin(z + uv 2w )


ตวอยาง 3.1.5.2

ให f(x, y, z) = 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8

จงหาคาของ xf (2, 1, 4), yf (2, 1, 4) และ zf (2, 1, 4)

วธทา การหา xf (x, y, z) ใชสตรการหาอนพนธของ f โดยคด

วา f เปนฟงกชนของตวแปร x และถอวา y, z เปนคาคงตว

เพราะฉะนน xf (x, y, z)

= x ( 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8)

= 2x + 2y + 4z

เพราะฉะนน xf (2, 1, 4) = 22

การหา yf (x, y, z) ใชสตรการหาอนพนธของ f โดยคดวา

f เปนฟงกชนของตวแปร y และถอวา x, z เปนคาคงตว

เพราะฉะนน yf (x, y, z)

= y ( 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8) = 8y + 2x

เพราะฉะนน yf (2, 1, 4) = 12

การหา zf (x, y, z) ใชสตรการหาอนพนธของ f โดยคดวา

f เปนฟงกชนของตวแปร z และถอวา x, y เปนคาคงตว

เพราะฉะนน zf (x, y, z)

= z ( 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8)= 4 3z + 4x

เพราะฉะนน zf (2, 1, 4) = 264


การมอนพนธของฟงกชน และ เวกเตอรเกรเดยนต

ทบทวน

การมอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปร

ให f เปนฟงกชนของหนงตวแปรทมอนพนธทจด a จะได

f (a) = 0h

lim h

)a(f)ha(f

เพราะฉะนน ถา h มคานอยมาก

แลว เราสามารถประมาณคา h

)a(f)ha(f ดวย f (a)

การขยายแนวคดเรองอนพนธไปยงฟงกชนของหลายตวแปร

จากสมบตของการมอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปร

ให aE : R R กาหนดโดย

aE (h) =

0h 0

0h )a(fh

)a(f)ha(f

เมอ

เมอ

เพราะฉะนน 0h

lim

aE (h) = 0

และ aE มความตอเนองทจด h = 0

และ f(a + h) = f(a) + f (a) h + h aE (h)


จากสมการ f(a + h) = f(a) + f (a) h + h aE (h)

ขอใหสงเกตวาฟงกชน L ซงกาหนดโดย

L(h) = f (a) h

คอ คาเชงอนพนธของ f ทจด x = a

โดยท L มสมบตดงน

L( 1k 1h + 2k 2h ) = f (a)( 1k 1h + 2k 2h )

= f (a) 1k 1h + f (a) 2k 2h

= 1k f (a) 1h + 2k f (a) 2h

= 1k L( 1h ) + 2k L( 2h ) ... (*)

เมอ 1h , 2h , 1k , 2k เปนจานวนจรง ซง 1h 0 และ 2h 0

หมายเหต ฟงกชนทมสมบต (*) เรยกวา ฟงกชนเชงเสน

จากทกลาวมาขางตน

สาหรบฟงกชนของหนงตวแปร f ซงมอนพนธทจด a

จะตองมฟงกชน L และ ฟงกชน aE ซง

f(a + h) = f(a) + L(h) + h aE (h)

โดยท 0h

lim

aE (h) = 0

และ L มสมบตเชงเสน


การมอนพนธของฟงกชนของหลายตวแปร


และ A เปนจดภายในของ D โดยท r เปนจานวนจรงบวก

ททาให B(A ; r) D

ถา 1. มฟงกชน AT : nR R ททาให

AT ( 1c X + 2c Y) = 1c AT (X) + 2c AT (Y)

ทก X, Y nR และ ทกคา 1c , 2c R

และ 2. มฟงกชน AE : nR R ททาให

f(A + V) = f(A) + AT (V) + V AE (V)

เมอ V r

โดยท OV

lim

AE (V) = 0

แลว เรากลาววา f มอนพนธทจด A

ฟงกชน AT เรยกวา คาเชงอนพนธรวมของ f ทจด A

เขยนแทนดวยสญลกษณ df(A) และเรยก

df(A)(V) เรยกวา

คาเชงอนพนธรวมของ f ทจด A คานวณคาทจด V

สาหรบ S D เรากลาววา

1. f มอนพนธบน S กตอเมอ f มอนพนธททกจดใน S

2. f มอนพนธ กตอเมอ f มอนพนธททกจดในโดเมนของ f


ทฤษฎบท 3.1.1 ให f : D R เมอ D nR

เปนฟงกชนทมอนพนธทจด A ซงเปนจดภายในของ D

และ AT เปนคาเชงอนพนธรวมของ f ทจด A จะได

1. f (A ; Y

) = AT (Y

) ทก Y

nR

2. f (A ; Y

) = ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A)) Y

ทก Y

nR

บทพสจน 1. กรณท 1. Y

= 0

AT (Y

) = AT (0)

= AT (0u + 0Y

) = 0 AT (u ) + 0 AT (Y

) = 0

และ f (A ; 0) =

0hlim h

)A(f)0 hA(f

= 0

เพราะฉะนน f (A ; Y

) = AT (Y

)

กรณท 2. Y

0

f (A ; Y

) = 0h

lim h

)A(f)Y hA(f


= 0h

lim h

)A(f)VA(f

(V

= hY

)

= 0h

lim h

)V(T)V(E||V|| AA

(เพราะวา f มอนพนธทจด A)

= 0h

lim h

)Yh(T)V(E||Y h|| AA

= 0h

lim h

)Y(hT)V(E||Y || |h| AA


) = 0h

lim h



เพราะวา 0h

lim

V

= 0h

lim

hY

= 0 และ OV

lim

AE (V

) = 0

เพราะฉะนน 0h

lim h


= AT (Y

)


) = AT (Y

)

2. ให Y

= ( 1y , 2y , ... , ny )

AT (Y

) = AT ( 1y , 2y , ... , ny )

= AT ( 1y 1e

+ 2y 2e

+ ... + ny ne

)

= 1y AT ( 1e

) + 2y AT ( 2e

) + ... + ny AT ( ne

)

= 1y f (A ; 1e

) + 2y f (A ; 2e

) + ... + ny f (A ; ne

)

= 1y 1D f(A) + 2y 2D f(A) + ... + ny nD f(A)

= ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A)) Y


เปนฟงกชนทมอนพนธทจด A ซงเปนจดภายในของ D

เวกเตอร ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A)) เรยกวา

เวกเตอรเกรเดยนต ของฟงกชน f ทจด A

เขยนแทนดวยสญลกษณ f(A) หรอ grad f(A)

เพราะฉะนนจากผลของทฤษฎบท 3.1.1 จะได

f (A ; Y

) = AT (Y

) = f(A) Y

ทก Y

nR

โดยท f(A) = ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A))


ตวอยาง 3.1.6 ให f(x, y) = 2x + 4xy + 4y

จงหาเวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (2, 1)

วธทา จาก f(x, y) = 2x + 4xy + 4y

จะได f(x, y) = (xf ,

yf )

= (2x + 4y, 4x + 4 3y )

เพระฉะนนเวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (2, 1)

คอ f(2, 1) = (6, 8)

ตวอยาง 3.1.7 ให f(x, y, z) = 2x 4y + 4xyz + 4x 2z

จงหาเวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (1, 0, 2)

วธทา จาก f(x, y, z) = 2x 4y + 4xyz + 4x 2z

จะได f(x, y, z)

= (xf ,

yf ,

zf )

= (2x 4y + 4yz + 4 3x 2z , 4 2x 3y + 4xz, 4xy + 2 4x z)

เพระฉะนนเวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (1, 0, 2)

คอ f(1, 0, 2) = (16, 8, 4)

จากความรเกยวกบฟงกชนของหนงตวแปรเราทราบวา ถา f ม

อนพนธทจด A แลว f จะมความตอเนองทจด A สาหรบฟงกชน

ของหลายตวแปร ขอความนยงคงเปนจรงดงทฤษฎบทตอไปน



และ A เปนจดภายในของ S

ถา f มอนพนธทจด A แลว f จะมความตอเนองทจด A

บทพสจน เราตองแสดงวา AX

lim

f(X) = f(A)

เพราะวา f มอนพนธทจด A

เพราะฉะนนจากบทนยาม 3.4.1 จะได

f(A + V) = f(A) + AT (V) + V AE (V) เมอ V r

โดยท O V

lim

AE (V) = 0

ถา V

= X

- A

จะได

f(X) = f(A) + AT (X

- A

) + X - A

AE (X

- A

)

= f(A) + f(A) (X

- A

) + X - A

AE (X

- A

)

= f(A) + f(A) (X

- A

) + V AE (V

)

และ เมอ X A จะได V O

เพราะฉะนน AX

lim

f(X) = f(A)

เพราะฉะนน f มความตอเนองทจด A

หมายเหต จากทฤษฎบท 3.4.1 จะเหนวา

ถา f มอนพนธทจด A แลว เราสามารถหา f(A) ไดเสมอ

แตในทางกลบกน

มบางฟงกชนท f(A) หาได แต f ไมมอนพนธทจด A


การตรวจสอบวา f มอนพนธทจด A ใชผลของทฤษฎบทตอไปน


และ A เปนจดภายในของ D

ถา 1. มจานวนจรงบวก r ททาให

1D f, 2D f, ... , nD f มคาทกจดใน B(A ; r) D

และ 2. 1D f, 2D f, ... , nD f มความตอเนองทจด A

แลว f มอนพนธทจด A


และ A เปนจดภายในของ D

ถา 1. มจานวนจรงบวก r ททาให 1D f, 2D f, ... , nD f

มคาทกจดใน B(A ; r) D

และ 2. 1D f, 2D f, ... , nD f มความตอเนองทจด A

แลว เราจะกลาววา f มอนพนธอยางตอเนองทจด A

ขอสงเกต ฟงกชนพหนามของ n ตวแปร

เปนฟงกชนทหาอนพนธยอยไดททกจดใน nR

ตวอยาง f(x, y) = 2x + 4xy + 4y

เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนองททกจดใน 2R


ตวอยาง 3.1.8 ให f(x, y) = sin(2x + 3y) จงหา

1. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (x, y)

2. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (2 ,

3)

3. อนพนธของ f ทจด (2 ,

3) เทยบกบเวกเตอร (4, 3)

วธทา

1. จาก f(x, y) = sin(2x + 3y)

จะได f(x, y) = (xf ,

yf )

= (2 cos(2x + 3y), 3 cos(2x + 3y))

2. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (2 ,

3)

คอ f(2 ,

3) = (2, 3)

3. อนพนธของ f ทจด (2 ,

3) เทยบกบเวกเตอร (4, 3) คอ

f ((2 ,

3) ; (4, 3)) = f(

2 ,

3) (4, 3)

= (2, 3) (4, 3)

= 8 + 9

= 17


ตวอยาง 3.1.9 ให f(x, y, z) = 2x + 3y + 4z + 8xyz

จงหา 1. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (x, y, z)

2. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (-1, 0, 1)

3. อนพนธของ f ทจด (-1, 0, 1)

ในทศทางของเวกเตอร (2, 3, 6)

วธทา 1. จาก f(x, y, z) = 2x + 3y + 4z + 8xyz

จะได f(x, y, z) = (xf ,

yf ,

yz )

= (2x + 8yz, 3 2y + 8xz, 4 3z + 8xy)

2. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (-1, 0, 1)

คอ f(-1, 0, 1) = (-2, -8, 4)

3. อนพนธของ f ทจด (-1, 0, 1)

ในทศทางของเวกเตอร (2, 3, 6) คอ

f ((-1, 0, 1) ; 222 632

1

(2, 3, 6))

= f ((-1, 0, 1) ; 71(2, 3, 6))

= f(-1, 0, 1) 71(2, 3, 6)

= (-2, -8, 4) 71(2, 3, 6)

= 71(-4 - 24 + 24)

= -74


การหาคาสงสด และ คาตาสด ของ f (A ; Y)

จาก f (A ; Y

) = f(A) Y

= f(A) Y

cos

เมอ เปนมมระหวาง f(A) กบ Y

ให u = ||Y||

Y

จะได f (A ; u ) = f(A) u = f(A) u cos

= f(A) (1) cos

= f(A) cos

เพราะฉะนน เราสรปไดวา

1. อนพนธของฟงกชน f ทจด A ในทศทางของ Y

มคามากทสด เทากบ f(A) เมอ = 0

เพราะวา = 0 เมอ f(A) และ u มทศทางเดยวกน

เพราะฉะนน อนพนธของฟงกชน f ทจด A ในทศทางของ Y

มคามากทสด เทากบ f(A) เมอ f(A) และ Y

มทศทางเดยวกน

เพราะฉะนนฟงกชน f จะม

อตราการเปลยนแปลงเพมขนมากทสด ในทศทางของ f(A)

และอตราการเปลยนแปลงทมากทสดนนมคา = f(A)



มคานอยทสด เทากบ - f(A) เมอ =

เพราะวา = เมอ f(A) และ u มทศทางตรงกนขาม


มคานอยทสด เทากบ - f(A) เมอ f(A) และ Y

มทศทางตรงกนขาม


อตราการเปลยนแปลงลดลงนอยทสดในทศทางของ - f(A)

และอตราการเปลยนแปลงทนอยทสดนนมคา = - f(A)


มคาเทากบ 0 เมอ = 2

เพราะวา = 2 เมอ f(A) และ u ตงฉากกน


มคาเทากบ 0 เมอ f(A) และ Y

ตงฉากกน


อตราการเปลยนแปลงเปน 0 ในทศทางของทตงฉากกบ f(A)


ตวอยาง 3.1.10 ให f(x, y) = x ye

จงหาทศทางซงอตราการเปลยนแปลงของ f มคาลดลงนอยทสด

ทจด (-2, 0) และ จงหาอตราการเปลยนแปลงทนอยทสดนน

วธทา f(x, y) = (xf ,

yf ) = ( ye , x ye )

f(-2, 0) = (1, -2)

เพราะฉะนนฟงกชน f จะมอตราการเปลยนแปลงลดลงนอยทสด

ในทศทางของ - f(-2, 0) = (-1, 2)

และอตราการเปลยนแปลงทนอยทสด

= - f(-2, 0) = - 41 = - 5

ตวอยาง 3.1.11 ให f(x, y, z) = 2x 3y + 2yz จงหาทศทาง

ซงอตราการเปลยนแปลงของ f มคาเพมขนมากทสดทจด

(1, 1, -1) และจงหาอตราการเปลยนแปลงทมากทสดนน

วธทา f(x, y, z) = (xf ,

yf ,

zf )

= (2x 3y , 3 2x 2y + 2z, 2y)

เพราะฉะนน f(1, 1, -1) = (2, 1, 2)

เพราะฉะนนฟงกชน f จะมอตราการเปลยนแปลงเพมขนมาก

ทสดในทศทางของ f(1, 1, -1) = (2, 1, 2)

และอตราการเปลยนแปลงทมากทสด

= f(1, 1, -1) = 414 = 3


3.2 อนพนธยอยของฟงกชนทนยามโดยปรยาย

การหาอนพนธยอยของฟงกชนในหวขอทผานมา

ฟงกชนทตองการหาอนพนธยอยเปนฟงกชนทกาหนดสตร

ในรปแบบทแนนอน เชน

z = 2x + 2y + xy หรอ w = x + y + z

แลวแตวาตวแปรใดจะเปนตวแปรตามหรอตวแปรอสระ

แตในหวขอนจะกาหนดฟงกชน z เปนฟงกชนของ x, y

ในรปสมการ F(x, y, z) = c ... (*)

(c เปนคาคงตว)

ซงแสดงความสมพนธระหวางตวแปร x, y และ z มาให

จากสมการ (*) นน เราจะเขยน z ในรปของ x, y

บางครงกคอนขางยาก ตวอยางเชน

3x + 2y + z + 6 = 0 ... (1)

2z = 2x + 2y ... (2)

ถาให z เปนฟงกชนของ x, y

เราจะหาสตรของฟงกชนในรป z = f(x, y)

จากสมการ (1) เขยน z ในพจนของ x, y ไดเปน

z = 6 - 3x - 2y

เพราะฉะนน สตรของฟงกชนคอ z = f(x, y) = 6 - 3x - 2y

จากสมการ (2) เขยน z ในพจนของ x, y ไดเปน

z = 22 yx

เพราะฉะนน จากสมการทกาหนดนเขยนสตรของฟงกชนไดแบบ


ใดแบบหนงในสองแบบ คอ

1f (x, y) = 22 yx

และ 2f (x, y) = - 22 yx

เพราะฉะนน ถา x, y และ z มความสมพนธในรป

F(x, y, z) = c เมอ c เปนคาคงตว

โดยนยาม z เปนฟงกชนของ x และ y

เราจะกลาววา z เปน

ฟงกชนทนยามโดยปรยาย (implicit function)

ดวยสมการ F(x, y, z) = c

และถาเราเขยนสมการใหอยในรปแบบ z = f(x, y)

เราจะเรยก z วาเปน

ฟงกชนทนยามโดยชดแจง (explicit function)

ในหวขอนเราจะศกษาเกยวกบ การหาอนพนธยอยของ

ฟงกชนของหลายตวแปร ซงนยามโดยปรยายโดยไมจาเปนตอง

เขยนสตรฃองฟงกชนออกมาอยางชดแจง เชน


ตวอยาง 3.2.1 ให z เปนฟงกชน f(x, y) ทนยามโดยปรยาย

ดวยสมการ 2x + xyz - 2z 2y = 1

จงหา xz และ

yz ทจด (x, y, z) ใด ๆ และทจด (1, 2, 0)

วธทา จาก 2x + xyz - 2z 2y = 1

จะได x ( 2x + xyz - 2z 2y ) = 0

x 2x +

x (xyz) -

x ( 2z 2y ) = 0

2x + yz + xyxz - 2y 2z

xz = 0

xz (xy - 2 2y z) = -2x - yz

xz =

zy2xy

yzx22

เพราะฉะนน ทจด (1, 2, 0) จะได xz = -1

จาก 2x + xyz - 2z 2y = 0

จะได y ( 2x + xyz - 2z 2y ) = 0

y 2x +

y (xyz) -

y ( 2z 2y ) = 0

xz + xyyz - 2y 2z

yz - 2y 2z = 0

yz (xy - 2 2y z) = -xz + 2y 2z

yz =

zy2xy

yz2xz2

2

เพราะฉะนน ทจด (1, 2, 0) จะได yz = 0


การหาอนพนธยอย xz และ

yz ของฟงกชนทนยามโดยปรยาย

ทาไดอกวธหนงดงน

ให F(x, y, z) = 0 ... (1)

เปนความสมพนธของตวแปร x, y, z

ทนยาม z = f(x, y) โดยปรยาย

แทนคา z = f(x, y) ใน (1) จะได

F(x, y, f(x, y)) = 0 ... (2)

ให g(x, y) = F(x, y, f(x, y))

1u (x, y) = x

2u (x, y) = y

3u (x, y) = f(x, y) = z

เพราะฉะนน g(x, y) = F( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y)) = 0

โดยกฎลกโซจะได

xg

=

1uF

( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y))

xu1

(x, y)

+

2uF

( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y))

xu2

(x, y)

+

3uF

( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y))

xu3

(x, y) ... (3)

เพราะวา xg

(x, y) = 0 xu1

(x, y) = 1

x

u2

(x, y) = 0 x

u3

(x, y) = xf (x, y)

1u

F =

xF

2uF

=

yF

3uF

=

zF


โดยกฎลกโซจะได

0 = xF ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y))(1)

+ yF ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y))(0)

+ zF ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y))

xf (x, y)

0 = xF (x, y, f(x, y)) + 0 +

zF (x, y, f(x, y))

xf (x, y)

0 = xF (x, y, z) +

zF (x, y, z)

xf (x, y)

เพราะฉะนน xf (x, y) = -

)z ,y ,x(zF

)z ,y ,x(xF

เมอ zF (x, y, z) 0

หรอโดยยอ xf = -

zFxF

เมอ zF 0

ในทานองเดยวกน

เพราะฉะนน yf (x, y) = -

)z ,y ,x(zF

)z ,y ,x(yF

เมอ zF (x, y, z) 0

หรอโดยยอ yf = -

zFyF

เมอ zF 0

หมายเหต การหาคา xF ,

yF ,

zF ในการคานวณขางตน เรา

คานวณโดยพจารณาวา F เปนฟงกชนของตวแปรอสระ x, y, z

โดยไมตองคดวา z เปนฟงกชนของ x, y


โดยใชแนวคดขางตนกบ ตวอยาง 3.2.1

ให F(x, y, z) = 2x + xyz - 2z 2y - 1 = 0

xF = 2x + yz,

yF = xz - 2y 2z ,

zF = xy - 2 2y z

เพราะฉะนน ทจด (1, 2, 0)

xz

= -

zFxF

= -zy2xy

yzx22

= -1,

yz

= -

zFyF

= -zy2xy

yz2xz2

2

= 0

ในกรณทวไปเราสรปเปนทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 3.2.1 ให F : D R เมอ D nR

ให F( 1x , 2x , ... , nx ) = 0 และนยาม nx

เปนฟงกชนทนยามโดยปรยายของตวแปร 1x , 2x , ... , 1nx

โดย nx = f( 1x , 2x , ... , 1nx )

เมอ f : S R เมอ S 1nR

ถา f มอนพนธทจด ( 1y , 2y , ... , 1ny ) และ

F มอนพนธทจด ( 1y , 2y , ... , 1ny , f( 1y , 2y , ... , 1ny ))

แลว kx

f = -

n

k

xF

xF

เมอ kx

F มคาทกคา k = 1, 2, ... , n - 1 และ

nxF

0

ทจด ( 1y , 2y , ... , 1ny , f( 1y , 2y , ... , 1ny ))


ตวอยาง 3.2.2 ให w = f(x, y, z) ทนยามโดยปรยาย

ดวยสมการ xyz + 2yzw + 4zwx + 20 = 0

จงหา xw ,

yw และ

zw ทจด (x, y, z, w) ใด ๆ

และทจด (1, 2, -2, 1)

วธทา F(x, y, z, w) = xyz + 2yzw + 4zwx + 20 = 0

xF = yz + 4zw

yF = xz + 2zw

zF = xy + 2yw + 4wx

wF

= 2yz + 4zx

เพราะฉะนน ทจด (x, y, z, w)

จะได xw = -

wFxF

= -zx4yz2

zw4yz

yw = -

wFyF

= -zx4yz2

zw2xz

zw = -

wFzF

= -zx4yz2

wx4yw2xy

เพราะฉะนน ทจด (1, 2, -2, 1) จะได

xw = -

wFxF

= -1612

= -

43 ,

yw = -

wFyF

= -166

= -

83

zw = -

wFzF

= -16

10 =

85


จาโคเบยนของการเปลยนตวแปร

บทนยาม 3.2.1 ให 1f , 2f , ... , nf เปนฟงกชน

ของตวแปร 1x , 2x , ... , nx และ อนพนธยอย j

ixf

มคา

ทกคา i = 1, 2, ... , n และ j = 1, 2, ... , n

จาโคเบยนดเทอรมแนนท ของ 1f , 2f , ... , nf

หรอเรยกโดยยอวา จาโคเบยน ของ 1f , 2f , ... , nf

เทยบกบตวแปร 1x , 2x , ... , nx

หมายถงคาของ ดเทอรมแนนท

xf

...xf

xf

::::xf

...xf

xf

xf

...xf

xf

n

n

2

n

1

n

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

สญลกษณทใชแทนจาโคเบยน ของ 1f , 2f , ... , nf

เทยบกบตวแปร 1x , 2x , ... , nx แทนดวย )x, ... , x,x(

)f, ... ,f ,f(

n21

n21

เพราะฉะนน )x, ... , x,x(

)f, ... ,f ,f(

n21

n21

=

xf

...xf

xf

::::xf

...xf

xf

xf

...xf

xf

n

n

2

n

1

n

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1


ตวอยาง 3.2.3 ให 1f ( 1x , 2x ) = 2 1x + 3 2x

และ 2f ( 1x , 2x ) = 5 1x - 4 2x

จงหา จาโคเบยน ของ 1f , 2f เทยบกบตวแปร 1x , 2x

วธทา เพราะวา 1f ( 1x , 2x ) = 2 1x + 3 2x

และ 2f ( 1x , 2x ) = 5 1x - 4 2x

เพราะฉะนนจาโคเบยน ของ 1f , 2f เทยบกบตวแปร 1x , 2x

) x,x()f ,f(

21

21

=

xf

xf

xf

xf

2

2

1

2

2

1

1

1

= 453 2 = (2)(-4) - (3)(5) = -8 - 15 = -23


ตวอยาง 3.2.4 ให x = r cos และ y = r sin

จงหาจาโคเบยน ของ x, y เทยบกบตวแปร r,

วธทา x = 1f (r, ) = r cos

และ y = 2f (r, ) = r sin

จาโคเบยนของ x, y เทยบกบตวแปร r,

) ,r()y ,x(

= ) ,r()f ,f( 21

= sinrsinr

r

cosrcosrr

= cosrsinsinrcos

= r 2cos + r 2sin

= r


กรณศกษาแบบท 1

การหาอนพนธยอยของฟงกชนทนยามโดยปรยาย ดวยสมการ 2

สมการ และมตวแปร 3 ตว โดยม x เปนตวแปรอสระ u, v เปน

ตวแปรตาม ซงกาหนดดวยสมการ

F(x, u, v) = 0 ... (1)

และ G(x, u, v) = 0 ... (2)

ในกรณทเราสามารถแกสมการ (1) และ (2) ไดคา u, v ใน

พจนของ x กลาวคอได u = u(x) และ v = v(x) เรากจะหา dudx

และ dvdx

ได แตถาเราไมสามารถแกสมการดงทกลาวมาได

เราสามารถหา dudx

และ dvdx

โดยใชแนวคดดงตอไปน

ให f(x) = F(x, u(x), v(x)) ... (3)

และ g(x) = G(x, u(x), v(x)) ... (4)

เพราะฉะนนเราสามารถหา f (x) และ g (x) ได

ให 1u (x) = x, 2u (x) = u(x), 3u (x) = v(x)

เพราะฉะนน 1dudx

= 1, 2dudx

= dudx

, 3dudx

= dvdx

ดงนน จาก (3) และ (4) จะได

f(x) = F( 1u (x), 2u (x), 3u (x)) = 0

และ g(x) = G( 1u (x), 2u (x), 3u (x)) = 0

หรอเขยนโดยยอเปน f = F( 1u , 2u , 3u ) ... (5)

และ g = G( 1u , 2u , 3u ) ... (6)


จาก (5) จะได f (x) = 1

Fu

1dudx

+ 2

Fu

2dudx

+ 3

Fu

3dudx

0 = Fx

(1) + Fx

dudx

+ Fv

dvdx

หรอ Fx

dudx

+ Fv

dvdx

= - Fx

... (7)

จาก (6) จะได g (x) = 1

Gu

1dudx

+ 2

Gu

2dudx

+ 3

Gu

3dudx

0 = Gx

(1) + Gu

dudx

+ Gv

dvdx

หรอ Gu

dudx

+ Gv

dvdx

= - Gx

... (8)

จาก (7) และ (8) โดยใชกฎของคราเมอรกบระบบสมการ 2

สมการ 2 ตวแปร

ซงตวแปรคอ dudx

และ dvdx

จะได

dudx

=

F Fx vG Gx v

F Fu vG Gu v

= –

F Fx vG Gx vF Fu vG Gu v

= –

(F,G)(x,v)(F,G)(u,v)

และ dvdx

=

F Fu xG Gu xF Fu vG Gu v

= –


= –

(F,G)(u,x)(F,G)(u,v)


ตวอยาง 3.2.5 ให u และ v เปนฟงกชนของ x นยามโดย

ปรยายดวยสมการ 2u + 2xu + 2v = 0

และ 2x + xuv + 3v = 0

จงหา dudx

และ dvdx

วธทา ให F(x, u, v) = 2u + 2xu + 2v

และ G(x, u, v) = 2x + xuv + 3v จะได

dudx

= –


= –


= 2

2

2u 2v2x uv xu 3v

2u 2x 2vxv xu 3v

= - 2

2(2u)(xu 3v ) (2v)(2x uv)

(2u 2x)(xu 3v ) (2v)(xv)

= 2 2

2 2 2 22xu 4uv 4vx

2xu 6uv 2x u 4xv

และ dvdx

= –

(F,G)(u,x)(F,G)(u,v)

= –


=

2

2u 2x 2uxv 2x uv

2u 2x 2vxv xu 3v

= - 2

(2u 2x)(2x uv) (2u)(xv)

(2u 2x)(xu 3v ) (2v)(xv)

= 2 2

2 2 2 24xu 2u v 4x

2xu 6uv 2x u 4xv


กรณศกษาแบบท 2.

สมมตให u, v เปนตวแปรตาม และ x, y เปนตวแปรอสระ

โดยกาหนดฟงกชนนยามโดยปรยายเปน

F(x, y, u, v) = 0 ... (1)

G(x, y, u, v) = 0 ... (2)

ให u = U(x, y) และ v = V(x, y)

กรณท 1.

ในกรณทเราสามารถแกสมการจากสมการ (1) และ (2)

ไดคา u ในเทอมของ x, y กลาวคอ u = U(x, y)

และ ไดคา v ในเทอมของ x, y กลาวคอ v = V(x, y)

เรากจะหา xU ,

yU ,

xV ,

yV ได

กรณท 2.

ในกรณทเราไมสามารถแกสมการ (1) และ (2) เพอหาสตรของ

u = U(x, y) และ v = V(x, y) เราสามารถหาอนพนธยอย

xU ,

yU ,

xV ,

yV โดยใชแนวคดดงน

ให f(x, y) = F(x, y, U(x, y), V(x, y)) ... (3)

g(x, y) = G(x, y, U(x, y), V(x, y)) ... (4)

เพราะฉะนนเราหาอนพนธยอยของ f, g เทยบกบ x, y ได

ให 1u (x, y) = x, 2u (x, y) = y,

3u (x, y) = U(x, y), 4u (x, y) = V(x, y)


เพราะฉะนน xu1

= 1 x

u2

= 0

x

u3

= xU

xu4

= xV

เพราะฉะนนจาก (3) และ (4) จะได

f(x, y) = F( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y), 4u (x, y)) = 0

g(x, y) = G( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y), 4u (x, y)) = 0

หรอเขยนโดยยอเปน

f = F( 1u , 2u , 3u , 4u ) ... (5)

g = G( 1u , 2u , 3u , 4u ) ... (6)

จาก (5) จะได

xf =

1uF

xu1

+ 2u

F

xu2

+ 3u

F

xu3

+ 4u

F

xu4

0 = 1u

F (1) +

2uF

(0) +

3uF

xU +

4uF

xV

0 = xF (1) +

yF (0) +

uF

xU +

vF

xV

uF

xU +

vF

xV = -

xF ... (7)

จาก (6) จะได

xg

= 1u

G

xu1

+ 2u

G

xu2

+ 3u

G

xu3

+ 4u

G

xu4

0 = 1u

G (1) +

2uG

(0) +

3uG

xU +

4uG

xV

0 = xG (1) +

yG (0) +

uG

xU +

vG

xV

uG

xU +

vG

xV = -

xG ... (8)


พจารณาสมการ (7) และ (8)

เปนระบบสมการ 2 ตวแปร xU ,

xV 2 สมการ

uF

xU +

vF

xV = -

xF ... (7)

uG

xU +

vG

xV = -

xG ... (8)

เมอ

vG

uG

vF

uF

0 โดยกฎของคราเมอรจะได

xu =

xU = -

vG

uG

vF

uF

vG

xG

vF

xF

= -

)v,u()G,F()v,x()G,F(

และ xv =

xV = -

vG

uG

vF

uF

xG

uG

xF

uF

= -

)v,u()G,F()x,u()G,F(


ในทานองเดยวกน จะได

yu =

yU = -

vG

uG

vF

uF

vG

yG

vF

yF

= -

)v,u()G,F()v,y()G,F(

และ yv =

yV = -

vG

uG

vF

uF

yG

uG

yF

uF

= -

)v,u()G,F()y,u()G,F(

เมอ

vG

uG

vF

uF

0


ตวอยาง 3.2.6 ให u, v เปนฟงกชนของ x, y

นยามโดยปรยายดวยสมการ

2x + 2y + uv = 0 ... (1)

และ 2y + 3x + u + v = 0 ... (2)

จงหา xu ,

xv ,

yu และ

yv

วธทา แบบท 1. ใชผลของสตรขางตน

ให F(x, y, u, v) = 2x + 2y + uv

G(x, y, u, v) = 2y + 3x + u + v


xu = -

)v,u()G,F()v,x()G,F(

= -

vG

uG

vF

uF

vG

xG

vF

xF

= - 11

uv

13ux2

= -uv

u3x2 เมอ v - u 0


ในทานองเดยวกน เมอ v - u 0 จะได

xv = -


= -

vG

uG

vF

uF

xG

uG

xF

uF

= - 11

uv

31x2v

= -uvx2v3

yu = -

)v,u()G,F()v,y()G,F(

= -

vG

uG

vF

uF

vG

yG

vF

yF

= - 11

uv

1y2u2

= -uvyu22

yv = -

)v,u()G,F()y,u()G,F(

= -

vG

uG

vF

uF

yG

uG

yF

uF

= - 11

uv

y212v

= -uv

2yv2


แบบท 2. ใชการหาอนพนธยอยและการจดรปพชคณต

จาก (1) หาอนพนธยอยเทยบกบ x

2x + 2y + uv = 0

x ( 2x + 2y + uv) = 0

x ( 2x ) +

x (2y) +

x (uv) = 0

2x + 0 + vxu + u

xv = 0

vxu + u

xv = -2x ... (3)

จาก (2) หาอนพนธยอยเทยบกบ x

2y + 3x + u + v = 0

x ( 2y + 3x + u + v) = 0

x ( 2y ) +

x (3x) +

xu +

xv = 0

0 + 3 + xu +

xv = 0

xu +

xv = -3 ... (4)

จาก (3) และ (4) และดวยการใชกฎของคราเมอรจะได

xu =

11uv

13ux2

= - 11

uv

13ux2

= -uv

u3x2 เมอ v - u 0

xv =

11uv

31x2v

= - 11

uv

31x2v

= -uvx2v3

เมอ v - u 0


จาก (1) หาอนพนธยอยเทยบกบ y

2x + 2y + uv = 0

y ( 2x + 2y + uv) = 0

y ( 2x ) +

y (2y) +

y (uv) = 0

0 + 2 + vyu + u

yv = 0

vyu + u

yv = -2 ... (5)

จาก (2) หาอนพนธยอยเทยบกบ y

2y + 3x + u + v = 0

y ( 2y + 3x + u + v) = 0

y ( 2y ) +

y (3x) +

yu +

yv = 0

2y + 0 + yu +

yv = 0

yu +

yv = -2y ... (6)

จาก (5) และ (6) และดวยการใชกฎของคราเมอรจะได

yu =

11uv

1y2u2

= - 11

uv

1y2u2

= -uvyu22

เมอ v - u 0

yv =

11uv

y212v

= - 11

uv

y212v

= -uv

2yv2

เมอ v - u 0


กรณทวไปเปนการกาหนดฟงกชนดวยสมการ m สมการ และม

ตวแปร n ตว เมอ n m โดยม 1x , 2x , ... , n mx เปนตว

แปรอสระ และ n m 1x , n m 2x , ... , nx เปนตวแปรตามซง

กาหนดดวยสมการ

1F ( 1x , 2x , ... , n mx , n m 1x , n m 2x , ... , nx ) = 0 ... (1)

2F ( 1x , 2x , ... , n mx , n m 1x , n m 2x , ... , nx ) = 0 ... (2)

:

mF ( 1x , 2x , ... , n mx , n m 1x , n m 2x , ... , nx ) = 0 ... (m)

ให n m 1x = 1u ( 1x , 2x , ... , n mx )

n m 2x = 2u ( 1x , 2x , ... , n mx )

:

nx = mu ( 1x , 2x , ... , n mx )

สาหรบ i = 1, 2, ... , m และ j = 1, 2, ... , n - m

จะไดวา i

j

ux

= -

1 2 i m

n m 1 n m 2 j n

1 2 i m

n m 1 n m 2 n m i n

(F ,F ,...,F ,...,F )(x ,x ,..., x ,..., x )

(F ,F ,...,F ,...,F )(x ,x ,..., x ,..., x )

เมอ 1 2 i m

n m 1 n m 2 n m i n

(F ,F ,...,F ,...,F )(x ,x ,..., x ,..., x )

0

หมายเหต การเปลยนชอฟงกชน 1F , 2F , 3F , ... เปน F, G, H,

... ตามลาดบ อาจจะชวยใหเราสามารถหาคาของอนพนธ

ดงกลาวไดสะดวกขน


ตวอยาง 3.2.7 ให u, v เปนฟงกชนของ x, y, z


2x + 3y + 2z + uv = 0 ... (1)

และ 3x + 7y + 3z + 2u + 3v = 0 ... (2)

จงหา xv ,

yv ,

zv ,

xu ,

yu ,

zu

วธทา

ให F(x, y, z, u, v) = 2x + 3y + 2z + uv

และ G(x, y, z, u, v) = 3x + 7y + 3z + 2u + 3v

โดยทฤษฎบท 3.2.2 จะได

xv = -


= -

vG

uG

vF

uF

xG

uG

xF

uF

= - 32

uv

322v

= -u2v34v3

เมอ 3v - 2u 0


ในทานองเดยวกน เมอ 3v - 2u 0 จะได

yv

= -

(F,G)(u, y)(F,G)(u,v)

= -

F Fu yG Gu yF Fu vG Gu v

= - 32

uv

723v

= -u2v36v7

zv

= -

(F,G)(u,z)(F,G)(u,v)

= -

F Fu zG Gu zF Fu vG Gu v

= - 32

uv

322zv

= -u2v3z4v3

xu

= -


= -


= - 32

uv

33u2

= -u2v3

u36


yu

= -

(F,G)(y,v)(F,G)(u,v)

= -

F Fy vG Gy vF Fu vG Gu v

= - 32

uv

37u3

= -u2v3

u79

zu

= -

(F,G)(z,v)(F,G)(u,v)

= -

F Fz vG Gz vF Fu vG Gu v

= - 32

uv

33u2z

= -u2v3u3z6


ตวอยาง 3.2.8 ให u, v, w เปนฟงกชนของ x, y, z


x + 2y + 3z + 5u + v + 2w = 0 ... (1)

4x + 2y + 5z + uv + w = 0 ... (2)

และ 2x + 4y + 5z + u + 2v + 5w = 0 ... (3)

จงหา xu

วธทา

ให F(x, y, z, u, v, w) = x + 2y + 3z + 5u + v + 2w

G(x, y, z, u, v, w) = 4x + 2y + 5z + uv + w

H(x, y, z, u, v, w) = 2x + 4y + 5z + u + 2v + 5w

โดยทฤษฎบท 3.2.2 จะได

เมอ 23u - v - 9 0 จะได xu = -

(F,G,H)(x,v,w)(F,G,H)(u,v,w)


= -

F F Fx v wG G Gx v wH H Hx v wF F Fu v wG G Gu v wH H Hu v w

= -

5211uv215

5221u4211

= -9vu23

4u


ตวอยาง 3.2.9 ให z เปนฟงกชนของ x, y นยามโดยปรยาย

ดวยสมการ x + 2y + 4z = 0 ... (1)

และ u เปนฟงกชนของ x, y, z นยามโดยปรยายกาหนดดวย

สมการ 4x + 3y + 3z + 4u = 0 ... (2)

จงหา xu และ

yu โดยใชกฎลกโซ

วธทา จากสมการ (1) ให F(x, y, z) = x + 2y + 4z

จะได xz = -

zFxF

= -3z4

1 ... (3)

และ yz = -

zFyF

= -3z4

y2 ... (4)

การหา xu

จากสมการ (2) จะได x ( 4x + 3y + 3z + 4u ) = 0

4 3x + 0 + 3 2zxz + 4 3u

xu = 0

4 3x + 3 2zxz + 4 3u

xu = 0

จากสมการ (3) จะได 4 3x + 3 2z (-3z4

1 ) + 4 3uxu = 0

4 3x - z4

3 + 4 3uxu = 0

เพราะฉะนน xu =

3

3

u4z4

3x4

= zu16

3zx163

3


การหา yu

จากสมการ (2) จะได

y ( 4x + 3y + 3z + 4u ) = 0

0 + 3 2y + 3 2zyz + 4 3u

yu = 0

3 2y + 3 2zyz + 4 3u

yu = 0

จากสมการ (4) จะได

3 2y + 3 2z (-3z4

y2) + 4 3u

yu = 0

3 2y - z2

3 y + 4 3uyu = 0

yu =

3

2

u4

yz2

3y3

= zu8

y3zy63

2


3.3 ระนาบสมผสและเสนนอรมลของพนผว

ให S เปนพนผวใน 3R ซงกาหนดดวยสมการ F(x, y, z) = 0

ให A( 0x , 0y , 0z ) เปนจดบนพนผว S

ให C เปนเสนโคงบนพนผว S ซงผานจด A โดยมสมการ

องตวแปรเสรมเปน x = x(t)

y = y(t)

z = z(t) เมอ t เปนจานวนจรง

เพราะฉะนนม 0t ททาให 0x = x( 0t )

0y = y( 0t )

0z = z( 0t )

เพราะวา C เปนเสนโคงบนพนผว S

เพราะฉะนน F(x(t), y(t), z(t)) = 0

เพราะฉะนน dtd F(x(t), y(t), z(t)) = 0

xF

dtdx +

yF

dtdy

+ zF

dtdz = 0

เมอ t = 0t จะได

xF (A)

dtdx ( 0t ) +

yF (A)

dtdy

( 0t ) + zF (A)

dtdz ( 0t ) = 0

(xF (A),

yF (A),

zF (A))(

dtdx ( 0t ),

dtdy

( 0t ), dtdz ( 0t )) = 0

F(A)(dtdx ( 0t ),

dtdy

( 0t ), dtdz ( 0t )) = 0

F( 0x , 0y , 0z )(dtdx ( 0t ),

dtdy

( 0t ), dtdz ( 0t )) = 0


เพราะฉะนน เวกเตอร F( 0x , 0y , 0z ) ตงฉากกบเวกเตอร

(dtdx ( 0t ),

dtdy

( 0t ), dtdz ( 0t ))

เพราะวา (dtdx ( 0t ),

dtdy

( 0t ), dtdz ( 0t )) เปนเวกเตอรสมผส

เสนโคง C ทจด A( 0x , 0y , 0z )

เพราะฉะนน F( 0x , 0y , 0z ) ตงฉากกบ

เวกเตอรสมผสเสนโคง C บนพนผว S ทจด A( 0x , 0y , 0z )

รปท 3.3.1

รปท 3.8.1 1L , 2L เปนตวอยางเสนสมผสเสนโคง C ณ

จด A ซงตงฉากกบ F(A)

โดยทวไปจะไดวา ทกเสนโคง C ทผานจด A เสนสมผสเสนโคง

C ณ จด A ตองตงฉากกบ F(A)

ซงหมายความวาเสนสมผสเหลานนตางกอยบนระนาบ M

เดยวกน โดยทระนาบ M นนตงฉากกบ F(A)

ระนาบ M ทกลาวมานเรยกวา ระนาบสมผส ของพนผว S ทจด

A


เสนตรงทผานจด A และขนานกบ F(A) เรยกวา เสนนอร

มล หรอ เสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A

เวกเตอรทขนานกบ F(A) เรยกวา เวกเตอรนอรมล หรอ

เวกเตอรแนวฉาก ของพนผว S ทจด A

เพราะฉะนน เวกเตอร v ใด ๆ ตงฉากกบพนผว S

กตอเมอ v เปน เวกเตอรนอรมล หรอ เวกเตอรแนวฉาก

ของพนผว S ทจด A

รปท 3.3.2

รปท 3.3.2 แสดงระนาบสมผส M ของพนผว S ทจด A


สรป

เมอ S เปนพนผวใน 3R ซงกาหนดดวยสมการ F(x, y, z) = 0

และ A( 0x , 0y , 0z ) เปนจดบนพนผว S

ระนาบสมผส ของพนผว S ทจด A มสมการเปน

xF (A)(x – 0x ) +

yF (A)(y – 0y ) +

zF (A)(z – 0z ) = 0

เสนนอรมล หรอ เสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A

มสมการองตวแปรเสรมเปน x = 0x + xF (A) t

y = 0y + yF (A) t

z = 0z + zF (A) t

เรากลาววา

เวกเตอร v ตงฉากกบพ นผว S ทจด A

กตอเมอ v เปนเวกเตอรแนวฉากของ S ทจด A

พ นผว 1S และ 2S สมผสกนทจด A

กตอเมอ

ระนาบสมผสของ 1S ทจด A และ ระนาบสมผส 2S ทจด A

เปนระนาบเดยวกน


ตวอยาง 3.3.1 กาหนดใหพนผว S มสมการเปน

2x + 3 2y = 4z + 5 และ A(1, –2, 2)

จงหา สมการของระนาบสมผส

และ สมการของเสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A

วธทา ให F(x, y, z) = 2x + 3 2y – 4z – 5 = 0

F(x, y, z) = (xF ,

yF ,

zF )

= (2x, 6y, –4)

F((1, –2, 2)) = (2, –12, –4)

สมการของระนาบสมผส ของพนผว S ทจด A(1, –2, 2) คอ

xF (A)(x – 0x ) +

yF (A)(y – 0y ) +

zF (A)(z – 0z ) = 0

(2)(x – 1) + (–12)(y + 2) + (–4)(z – 2) = 0

2x – 12y – 4z – 18 = 0

สมการของเสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A(1, –2, 2) คอ

x = 0x + xF (A) t = 1 + 2 t

y = 0y + yF (A) t = –2 – 12 t

z = 0z + zF (A) t = 2 – 4 t


ตวอยาง 3.3.2 กาหนดใหพนผว S มสมการเปน

2z + 2x + 2y + 4xy + yz + 2zx = 0

จงหาเวกเตอร v (x, y, z) ทตงฉากกบพนผว S ทจด (x, y, z)

วธทา ให F(x, y, z) = 2z + 2x + 2y + 4xy + yz + 2zx = 0

จะได F(x, y, z) = (xF ,

yF ,

zF )

= (2x + 4y + 2z, 2y + 4x + z, 2z + y + 2x)

เพราะวา

F(x, y, z) = (2x + 4y + 2z, 2y + 4x + z, 2z + y + 2x)

เปนเวกเตอรตงฉากกบพนผว S ทจด (x, y, z)

เพราะฉะนน เวกเตอร v (x, y, z) ทตงฉากกบพนผว S

ทจด (x, y, z)

คอ k(2x + 4y + 2z, 2y + 4x + z, 2z + y + 2x)

เมอ k เปนจานวนจรงใด ๆ

เสนสมผสเสนโคงทเกดจากการตดกนของพ นผวสองพ นผว

ในปรภมสามมต พนผว 1S และ 2S ตดกนมรอยตดเปน

เสนโคง C และ A เปนจดบนเสนโคง C เราสามารถหาสมการ

ของเสนสมผส T ของเสนโคง C ทจด A ได


ตวอยาง 3.3.3

ใหพนผว 1S มสมการเปน 2 2x + 3 2y + 2z = 12

และ พนผว 2S มสมการเปน 3 2x + 2y - 7y + 3z = 23

จงพจารณาวา 1S และ 2S สมผสกนหรอไมทจด (2, -1, 1)

วธทา ให F(x, y, z) = 2 2x + 3 2y + 2z - 12

และ G(x, y, z) = 3 2x + 2y - 7y + 3z - 23

จะไดวา F(2, -1, 1) = 0 และ G(2, -1, 1) = 0

ดงนน จด (2, -1, 1) อยบนพนผว 1S และ 2S

จะไดวา F(x, y, z) = (4x, 6y, 2z)

G(x, y, z) = (6x, 2y - 7, 3)

เพราะฉะนน F(2, -1, 1) = (8, -6, 2)

และ G(2, -1, 1) = (12, -9, 3)

จะไดวา F(2, -1, 1) = ( 23) G(2, -1, 1)

ดงนน F(2, -1, 1) ขนานกบ G(2, -1, 1)

เพราะฉะนนระนาบสมผสของ 1S ทจด (2, -1, 1) และระนาบ

สมผสของ 2S ทจด (2, -1, 1) ยอมเปนระนาบเดยวกน

นนคอ พนผว 1S และ 2S สมผสกนทจด (2, -1, 1)


เสนสมผสเสนโคงทเกดจากการตดกนของพ นผวสองพ นผว

ในปรภมสามมต ถาพนผว 1S และ 2S ตางกผานจด A แตไม

สมผสกนทจด A เรายอมไดวาพนผว 1S และ 2S ตดกน โดยม

รอยตดเปนเสนโคง C และจด A อยบนเสนโคง C ซงเรา

สามารถหาสมการของเสนสมผสของเสนโคง C ทจด A ไดดงน

ใหพนผว 1S มสมการเปน F(x, y, z) = 0

และพนผว 2S มสมการเปน G(x, y, z) = 0

เนองจาก C เปนเสนโคงบนพนผว 1S และ 2S ทผานจด A

เพราะฉะนน C มสมการเปน F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0

ให T เปนเสนสมผสของเสนโคง C ทจด A( 0x , 0y , 0z )

เพราะฉะนนเวกเตอรแสดงทศทางของ T

ตงฉากกบ F( 0x , 0y , 0z ) และ G( 0x , 0y , 0z )

ดงนน เวกเตอรแสดงทศทางของ T ขนานกบ

F( 0x , 0y , 0z ) G( 0x , 0y , 0z )

ให a i + b j

+ ck

เปนเวกเตอรทขนานกบ

F( 0x , 0y , 0z ) G( 0x , 0y , 0z )

เพราะฉะนนสมการของเสนสมผส T ของเสนโคง C

ทจด A( 0x , 0y , 0z ) คอ x = 0x + a t

y = 0y + b t

z = 0z + c t


ตวอยาง 3.3.4 ใหพนผว 1S มสมการเปน 2x + 2y = z + 2

และ 2S มสมการเปน 2x + 2y + 2z + 2xy = 18

จงหาสมการของเสนสมผส T ของเสนโคง C ซงเปนรอยตดของ

พนผว 1S และ 2S ทจด A(1, 2, 3)

วธทา ให F(x, y, z) = 2x + 2y – z – 2

F(x, y, z) = (2x, 2y, –1)

F(1, 2, 3) = (2, 4, –1)

G(x, y, z) = 2x + 2y + 2z + 2xy – 18

G(x, y, z) = (2x + 2y, 2y + 2x, 2z)

G(1, 2, 3) = (6, 6, 6)

F(1, 2, 3) G(1, 2, 3) = (2, 4, –1) (6, 6, 6)

= 666142

kji

= (24 + 6) i – (12 + 6) j

+ (12 - 24)k

= 30 i – 18 j

– 12k

= 6(5 i

– 3 j

– 2k

)

เลอกเวกเตอรแสดงทศทางของเสนสมผส T เปน (5, –3, –2)

เพราะฉะนน สมการของเสนสมผส T ของเสนโคง C

ทจด A(1, 2, 3) คอ x = 1 + 5 t

y = 2 – 3 t

z = 3 – 2 t


ตวอยาง 3.3.5 ใหพนผว 1S มสมการพนผวเปน xy + z = 0

และ 2S มสมการพนผวเปน 2x + 2y + 2z = 9

และ C เปนสวนตดกนของพนผว 1S และ 2S

จงหาสมการของเสนสมผส T ของเสนโคง C ทจด A(2, 1, –2)

วธทา ให F(x, y, z) = xy + z = 0

G(x, y, z) = 2x + 2y + 2z – 9 = 0

เพราะวา F(x, y, z) = (y, x, 1)

เพราะฉะนน F(2, 1, –2) = (1, 2, 1)

เพราะวา G(x, y, z) = (2x, 2y, 2z)

เพราะฉะนน G(2, 1, –2) = (4, 2, –4)

เพราะฉะนน F(2, 1, –2) G(2, 1, –2)

= (1, 2, –1) (4, 2, –4) = 424

121kji

= (–8 – 2) i – (–4 – 4) j

+ (2 – 8)k

= –10 i + 8 j

– 6k

= –2(5 i

+ 4 j

– 3k

)

เลอกเวกเตอรแสดงทศทางของเสนสมผส T เปน (5, –4, 3)

เพราะฉะนน สมการของเสนสมผส T ของเสนโคง C

ทจด A(2, 1, –2) คอ x = 2 + 5 t

y = 1 – 4t

z = –2 + 3 t


3.4 สตรของเทยเลอรของฟงกชนของสองตวแปร

1. f(a, b) + xf (a, b)(x - a) + yf (a, b)(y - b)

เรยกวา พหนามเทยเลอรดกร 1 ของ f รอบจด (a, b)

2. f(a, b) + xf (a, b)(x - a) + yf (a, b)(y - b)

+ 12!

( xxf (a, b)(x - a)2 + 2(x - a)(y - b) xyf (a, b)

+ yyf (a, b)(y - b)2)

เรยกวา พหนามเทยเลอรดกร 2 ของ f รอบจด (a, b)

ตวอยาง 3.4.1 ให f(x, y) = sin(2x)cos(3y)

จงหาพหนามเทยเลอรดกร 1 ของ f รอบจด (6 ,

12 )

วธทา f(x, y) = sin(2x) cos(3y)

f(6 ,

12 ) = ( 3

2)( 2

2) = 6

4

xf (x, y) = 2 cos(2x) cos(3y),

xf (6 ,

12 ) = 2( 1

2)( 2

2) = 2

2

yf (x, y) = -3 sin(2x) sin(3y),

yf (6 ,

12 ) = -3( 3

2)( 2

2) = -3 6

4

พหนามเทยเลอรดกร 1 ของ f รอบจด (6 ,

12 ) คอ

f(6 ,

12 ) + xf (

6 ,

12 )(x -

6 ) + yf (

6 ,

12 )(y -

12 )

= 64

+ 22

(x - 6 ) - 3 6

4 (y -

12 )


ตวอยาง 3.4.2 ให f(x, y) = 3x 2ye

จงหาพหนามเทยเลอรดกร 2 ของ f รอบจด (0, 0)

วธทา f(x, y) = 3x 2ye , f(0, 0) = 1

xf (x, y) = 3 3x 2ye , xf (0, 0) = 3

yf (x, y) = 2 3x 2ye , yf (0, 0) = 2

xxf (x, y) = 9 3x 2ye , xxf (0, 0) = 9

xyf (x, y) = 6 3x 2ye , xyf (0, 0) = 6

yyf (x, y) = 4 3x 2ye , yyf (0, 0) = 4

พหนามเทยเลอรดกร 2 ของ f รอบจด (0, 0) คอ

f(0, 0) + xf (0, 0)x + yf (0, 0)y + 12!

( xxf (0, 0) 2x

+ 2xy xyf (0, 0) + yyf (0, 0) 2y )

= 1 + 3x + 2y + 12!

(9 2x + 2xy(6) + 4 2y )

= 1 + 3x + 2y + 6xy + 92

2x + 2 2y


3.5 คาสดขดของฟงกชนของหลายตวแปร


และ A S D

เราจะกลาววา

1. f(A) เปน คาสงสด ของ f บน S

กตอเมอ f(A) f(X) สาหรบทก X S

ในกรณนเรากลาววา f มคาสงสดบน S ท A

2. f(A) เปน คาตาสด ของ f บน S

กตอเมอ f(A) f(X) สาหรบทก X S

ในกรณนเรากลาววา f มคาตาสดบน S ท A

3. f(A) เปน คาสดขด ของ f บน S

กตอเมอ f(A) เปนคาสงสดของ f บน S

หรอ f(A) เปนคาตาสดของ f บน S


ตวอยาง 3.5.1 ให f(x, y) = 2x + 2y + 4

จงพจารณาวา f มคาสงสดและคาตาสดบน 2R หรอไม

วธทา เพราะวา f(x, y) = 2x + 2y + 4

4 = f(0, 0) ทก (x, y) 2R

เพราะฉะนน f(0, 0) = 4 เปนคาตาสดของ f บน 2R

เพราะวาทกจานวนจรงบวก M จะม f( M , 0)

ททาให f( M , 0) = M + 4 M

เพราะฉะนน {f(x, y) (x, y) 2R } เปนเซตทไมมขอบเขตบน

เพราะฉะนน f ไมมคาสงสดบน 2R

วอยาง 3.5.2 ให f(x, y) = 22 yx25

จงพจารณาวา f มคาสงสดและคาตาสดบน

S = {(x, y) 2x + 2y 25} หรอไม

วธทา เพราะวา f(x, y) = 22 yx25

5 = f(0, 0) ทก (x, y) S

เพราะฉะนน f(0, 0) = 5 เปนคาสงสดของ f บน S

เพราะวา f(x, y) = 22 yx25

0 = f(5, 0) ทก (x, y) S

เพราะฉะนน f(5, 0) = 0 เปนคาตาสดของ f บน S


การหาคาสดขดสมพทธ


และ A S D เราจะกลาววา

1. f(A) เปน คาสงสดสมพทธ ของ f บน S

กตอเมอ ม r 0 ททาให f(A) f(X)

สาหรบทก X S B(A ; r)

ในกรณเชนนเรากลาววาf มคาสงสดสมพทธบน S ท A

ในรปท 3.5.1 f(A) เปนคาสงสดสมพทธ

รปท 3.5.1


2. f(A) เปน คาตาสดสมพทธ ของ f บน S

กตอเมอ ม r 0 ททาให f(A) f(X)

สาหรบทก X S B(A ; r)

ในกรณเชนนเรากลาววา f มคาตาสดสมพทธบน S ท A

ดงรปท 3.5.2 f(A) เปนคาตาสดสมพทธ

รปท 3.5.2

3. f(A) เปน คาสดขดสมพทธ ของ f บน S

กตอเมอ

f(A) เปนคาสงสดสมพทธของ f บน S

หรอ f(A) เปนคาตาสดสมพทธของ f บน S


หมายเหต

1. คาสงสดสมพทธของฟงกชน f ทจด A บนเซต S

หมายถง คาของ f ทสงสดเมอเทยบกบคาของ f บนบรเวณใกล

เคยงบรเวณหนงของ A

โดยไมจาเปนตองเปนคาสงสดทแทจรงบน S

จากรป 3.5.1 f(A) f(P)

รปท 3.5.1

เพราะฉะนน f(A) เปนคาสงสดสมพทธ

และ f(A) ไมเปนคาสงสด


2. คาตาสดสมพทธของฟงกชน f ทจด A บนเซต S

หมายถง คาของ f ทตาสดเมอเทยบกบคาของ f บนบรเวณใกล

เคยงบรเวณหนงของ A

โดยไมจาเปนตองเปนคาตาสดทแทจรงบน S

จากรป 3.5.2 f(A) f(P)

รปท 3.5.2

เพราะฉะนน f(A) เปนคาสงสดสมพทธ

และ f(A) ไมเปนคาสงสด

3. คาสงสดของ f บน S จะเปนคาสงสดสมพทธของ f บน S

4. คาตาสดของ f บน S จะเปนคาตาสดสมพทธของ f บน S


ขอตกลง คาสงสด คาตาสด และ คาสดขดของ f บน S

เรยกวา คาสงสดสมบรณ คาตาสดสมบรณ

และ คาสดขดสมบรณ ของ f บน S ตามลาดบ

เพอใหเขาใจความหมายของคาวา คาสงสดสมพทธ คาตาสด

สมพทธ คาสดขดสมพทธ คาสงสด คาตาสด และ คาสดขด

ขอใหพจารณาจากตวอยางกราฟของฟงกชน f ในรปท 3.5.3

รปท 3.5.3

จากรปท 3.5.3 ให f เปนฟงกชนบนโดเมน S

1. f( 1A ), f( 2A ), f( 3A ), f( 4A ) คาสงสดสมพทธ ของ f บน S

2. f( 5A ), f( 6A ) คาตาสดสมพทธ ของ f บน S

3. f( 2A ) คาสงสดสมบรณ ของ f บน S

4. f( 5A ) คาตาสดสมบรณ ของ f บน S


ทฤษฎบท 3.5.1 ให f : D R เมอ D 2R

ให f เปนฟงกชนทมอนพนธบนเซต S D

และ A(a, b) เปนจดภายในของ S

ถา f(A) เปนคาสงสดสมพทธท A แลว f(A) = 0

บทพสจน

ให 1C เปนรอยตดของ พนผว z = f(x, y) และ ระนาบ y = b

ให g(x) = f(x, b) เปนสมการของเสนโคง 1C

เพราะวา g(a) = f(a, b) เปนคาสงสดสมพทธ

เพราะฉะนนในความหมายของฟงกชนหนงตวแปร

จะได g(a) = f(a, b) เปนคาสงสดสมพทธของฟงกชน g

เพราะฉะนน g(a) = 0

เพราะวา xf (x, b) = g(x)

เพราะฉะนน xf (a, b) = g(a) = 0

รปท 3.5.4


ให 2C เปนรอยตดของ พนผว z = f(x, y) และ ระนาบ x = a

ให h(y) = f(a, y) เปนสมการของเสนโคง 2C

เพราะวา h(b) = f(a, b) เปนคาสงสดสมพทธ

เพราะฉะนนในความหมายของฟงกชนหนงตวแปร

จะได h(b) = f(a, b) เปนคาสงสดสมพทธของฟงกชน h

เพราะฉะนน h(b) = 0

เพราะวา yf (a, y) = h(y)

เพราะฉะนน yf (a, b) = h(b) = 0

เพราะฉะนน f(A) = 0

ดวยการพสจนทาเดยวกนกบทฤษฎบทขางตน จะได

1. ให f : D R เมอ D 2R

f เปนฟงกชนทมอนพนธบนเซต S D


ถา f(A) เปนคาตาสดสมพทธท A แลว f(A) = 0




ถา f(A) เปนคาสงสดสมพทธท A แลว f(A) = 0





ถา f(A) เปนคาตาสดสมพทธท A แลว f(A) = 0

สาหรบฟงกชนของหลายตวแปรจะได


ให f เปนฟงกชนทมอนพนธบนเซต S D


ถา f(A) เปนคาสดขดสมพทธท A แลว f(A) = 0

หมายเหต บทกลบของทฤษฎบท 3.5.2 ไมจรง ตวอยางเชน

f(x, y) = 2x - 2y

เพราะวา f(x, y) = (xf ,

yf ) = (2x, -2y)

เพราะฉะนน f(0, 0) = (0, 0)

แต f(0, 0) f(r, 0) และ f(0, 0) f(0, r) ทกคา r 0

เพราะฉะนน f(0, 0) ไมเปนคาสดขดสมพทธ




เรากลาววา A เปน จดวกฤต ของ f

กตอเมอ f(A) = 0 หรอ f(A) ไมมคา

และ จดวกฤตของ f ทไมเปนจดสดขดสมพทธ

เรยกวา จดอานมา

เพราะฉะนน สาหรบ f(x, y) = 2x - 2y

จะได (0, 0) เปนจดอานมา

รปท 3.5.5

ตวอยาง 3.5.3 จงหาจดวกฤตของ

f(x, y) = 2x + 2y - 4x - 2y + 8

วธทา เพราะวา xf (x, y) = 2x - 4 = 0 เมอ x = 2

และ yf (x, y) = 2y - 2 = 0 เมอ y = 1

เพราะฉะนน (2, 1) เปนจดวกฤตของ f


ทฤษฎบท 3.5.3 ให f : D R เมอ D 2R

P(a, b) เปนจดวกฤตของ f

โดยท xf (a, b) = 0,

yf (a, b) = 0

และอนพนธยอยอนดบทสองของ f มความตอเนอง

บนแผนกลมเปด B(P)

ให A = xxf (a, b)

B = xyf (a, b)

C = yyf (a, b)

จะได

1. ถา AC - 2B 0 และ A 0

แลว f(a, b) เปนคาตาสดสมพทธของ f

2. ถา AC - 2B 0 และ A 0

แลว f(a, b) เปนคาสงสดสมพทธของ f

3. ถา AC - 2B 0 แลว (a, b) เปนจดอานมา

4. ถา AC - 2B = 0 แลว เราสรปไมได


หมายเหต ตวอยางเสรมความเขาใจกรณท 4.

1. f(x, y) = 2x + 2y

ให A = xxf (0, 0) = 0, B = xyf (0, 0) = 0, C = yyf (0, 0) = 0

AC - 2B = 0

แต f(x, y) = 2x + 2y 0 = f(0, 0) ทก (x, y) 2R

เพราะฉะนน (0, 0) เปนจดทใหคาตาสดสมพทธ

2. f(x, y) = -( 2x + 2y )

ให A = xxf (0, 0) = 0, B = xyf (0, 0) = 0, C = yyf (0, 0) = 0

AC - 2B = 0

แต f(x, y) = -( 2x + 2y ) 0 = f(0, 0) ทก (x, y) 2R

เพราะฉะนน (0, 0) เปนจดทใหคาสงสดสมพทธ

3. f(x, y) = 2x - 2y

ให A = xxf (0, 0) = 0, B = xyf (0, 0) = 0, C = yyf (0, 0) = 0

AC - 2B = 0

แต f(0, 0) f(r, 0) และ f(0, 0) f(0, r) ทกคา r

เพราะฉะนน (0, 0) ไมเปนจดทใหคาสงสดสมพทธ

และ (0, 0) ไมเปนจดทใหคาตาสดสมพทธ

เพราะฉะนน (0, 0) เปนจดอานมา


ตวอยาง 3.5.4 จงหาคาสดขดสมพทธของ

f(x, y) = xy - 2y - 2x - 2x - 2y + 6 (ถาม)

วธทา โดเมน f คอ 2R

และทกจดใน 2R เปนจดภายในโดเมนของ f

xf (x, y) = y - 2x - 2

yf (x, y) = x - 2y - 2

การหาจดวกฤต

xf (x, y) = y - 2x - 2 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = x - 2y - 2 = 0 ... (2)

จาก (1) และ (2) จดวกฤตคอ (-2, -2)

การตรวจสอบวาจดวกฤตใหคาสดขดสมพทธแบบใด

xxf (x, y) = -2 A = xxf (-2, -2) = -2

xyf (x, y) = 1 B = xyf (-2, -2) = 1

yyf (x, y) = -2 C = yyf (-2, -2) = -2

เพราะวา A 0

และ AC - 2B = (-2)(-2) - 1 = 3 0

เพราะฉะนน (-2, -2) เปนจดทใหคาสงสดสมพทธ

และ

คาสงสดสมพทธทจด (-2, -2) คอ f(-2, -2) = 10



f(x, y) = 4xy + 3 (ถาม)



xf (x, y) = 4y

yf (x, y) = 4x


xf (x, y) = 4y = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = 4x = 0 ... (2)

จาก (1) และ (2) จดวกฤตคอ (0, 0)


xxf (x, y) = 0 A = xxf (0, 0) = 0

xyf (x, y) = 4 B = xyf (0, 0) = 4

yyf (x, y) = 0 C = yyf (0, 0) = 0

เพราะวา AC - 2B = (0)(0) - 16 = -16 0

เพราะฉะนน (0, 0) เปนจดอานมา



f(x, y) = 3x + 3x 2y + 3 2y - 15x + 2 (ถาม)



xf (x, y) = 3 2x + 3 2y - 15

yf (x, y) = 6xy + 6y


xf (x, y) = 3 2x + 3 2y - 15 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = 6xy + 6y = 0 ... (2)

จาก (2) จะได 6y(x + 1) = 0

y = 0 หรอ x = -1

จาก (1) เมอ y = 0 จะได x = 5

จาก (1) เมอ x = -1 จะได y = 2

เพราะฉะนนจดวกฤตคอ

( 5 , 0), (- 5 , 0), (-1, 2), (-1, -2)



A = xxf (x, y) = 6x

B = xyf (x, y) = 6y

C = yyf (x, y) = 6x + 6

จากตารางขางตนสรปไดวา

1. f มคาตาสดสมพทธทจด ( 5 , 0)

และ คาตาสดสมพทธทจด ( 5 , 0) คอ

f( 5 , 0) = 2 - 10 5

2. f มคาสงสดสมพทธทจด (- 5 , 0)

และ คาสงสดสมพทธทจด (- 5 , 0) คอ

f(- 5 , 0) = 2 + 10 5

3. จด (-1, 2) และ (-1, -2) เปนจดอานมา



f(x, y) = xy + x1 +

y1

วธทา โดเมนของ f คอ D = {(x, y) x 0 และ y 0}

และทกจดใน D เปนจดภายในของโดเมน f

xf (x, y) = y - 2x

1

yf (x, y) = x - 2y

1


xf (x, y) = y - 2x

1 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = x - 2y

1 = 0 ... (2)

จาก (1) จะได 2x y - 1 = 0

2x y = 1 ... (3)

จาก (2) จะได x 2y - 1 = 0

x 2y = 1 ... (4)

จาก (3) และ (4) จะได 2x y = x 2y

เพราะวา x 0, y 0 เพราะฉะนน x = y ... (5)

จาก (3) และ (5) จะได x = 1 และ y = 1

เพราะฉะนนจดวกฤตคอ (1, 1)



xxf (x, y) = 3x

2 A = xxf (1, 1) = 2

xyf (x, y) = 1 B = xyf (1, 1) = 1

yyf (x, y) = 3y

2 C = yyf (1, 1) = 2

เพราะวา A 0

และ AC - 2B = (2)(2) - 1 = 3 0

เพราะฉะนน (1, 1) เปนจดทใหคาตาสดสมพทธ

และคาตาสดสมพทธทจด (1, 1) คอ f(1, 1) = 3

หมายเหต ทกลาวมาทงหมดขางตน

เราพจารณาเฉพาะจด P(a, b)

ทเปนจดภายในของโดเมน f เทานน

โดยท ถา f มคาสดขดสมพทธทจด P(a, b)

และ อนพนธยอย xf (a, b) และ yf (a, b) มคา

แลว xf (a, b) = 0 และ yf (a, b) = 0

ซงจะเหนวา

ถา อนพนธยอย xf (a, b) และ yf (a, b) มคา

แต มคาไมเทากบศนย

แลว จด (a, b) ไมเปนจดสดขดสมพทธของ f


ในบางกรณทเราพบวามจดบางจด (a, b) ในโดเมน f ทมสมบต

1. (a, b) ไมเปนจดภายในของโดเมน f

2. อนพนธยอย xf ไมมคาทจด (a, b)

หรอ อนพนธยอย yf ไมมคาทจด (a, b)

แตจด (a, b) อาจเปนจดสดขดสมพทธของ f

ตวอยางเชน f(x, y) = 22 yx

รปท 3.5.7

จะได จด (0, 0) เปนจดภายในของโดเมน f

xf และ yf ไมมคาทจด (0, 0)

แต f(0, 0) = 0 22 yx = f(x, y) ทก (x, y) 2R

เพราะฉะนน f(0, 0) = 0 เปนคาตาสดสมพทธ

และ เปนคาตาสดสมบรณของ f ดวย


ทฤษฎบท 3.5.4 ถา f เปนฟงกชนของหลายตวแปรทมความ

ตอเนองบนเซต D และ D เปนเซตปดและมขอบเขต แลว f มทง

คาสงสดสมบรณและคาตาสดสมบรณบน D

ขอสงเกต

1. คาสดขดสมบรณของ f บน D อาจเกดทจดขอบ

หรอ จดภายในของ D กได

2. ถาคาสดขดสมบรณของ f บน D อาจเกดทจดภายใน

แลว จดนนตองเปนจดวกฤต

3. ขนตอนในการหาจดสดขดสมบรณควรทาดงน

3.1 หาจดวกฤตของ f

3.2 หาจดขอบทงหมดของ D ทอาจใหคาสดขดสมบรณ

3.3 เปรยบเทยบคาของ f ทจดซงหาไดในสองขนตอนแรก

คาทมากทสดจะเปนคาสงสดสมบรณ

คาทนอยทสดจะเปนคาตาสดสมบรณ


ตวอยาง 3.5.8 จงหาคาสดขดสมบรณของ

f(x, y) = 3xy - 6x - 3y + 7

บนบรเวณ S บนระนาบ XY ซงเปนรปสามเหลยม

ทมจดยอดท (0, 0), (3, 0) และ (0, 5) (ถาม)

วธทา

รปท 3.5.8

เพราะวา D เปนเซตปดและมขอบเขต และ f มความตอเนองบน

D เพราะฉะนน f มทงคาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณ

บนเซต D

f(x, y) = 3xy - 6x - 3y + 7

xf (x, y) = 3y - 6

yf (x, y) = 3x - 3


xf (x, y) = 3y - 6 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = 3x - 3 = 0 ... (2)


ตอไปเราจะพจารณาทจดขอบของ D

เพราะวาขอบของเซต D ประกอบดวยสวนของเสนตรง 3 เสน


1. บนสวนของเสนตรง 1L ทเชอมระหวางจด (0, 0)

และ (3, 0) เพราะฉะนน บนสวนของเสนตรง 1L คา y = 0

ให u(x) = f(x, 0) = -6x + 7 เมอ 0 x 3

เพราะวา u(x) = -6 0 เพราะฉะนน คาสดขดสมบรณของ u

เกดทจดปลายของชวง คอท x = 0 และ x = 3

เพราะฉะนนจดบนสวนของเสนตรง 1L

ทใหคาสดขดสมบรณของ f คอ (0, 0) และ (3, 0)

2. บนสวนของเสนตรง 2L ทเชอมระหวาง จด (0, 0) และ

(3, 0) เพราะฉะนน บนสวนของเสนตรง 2L คา x = 0

ให v(y) = f(0, y) = -3y + 7 เมอ 0 y 5

เพราะวา v(x) = -3 0 เพราะฉะนน คาสดขดสมบรณของ v

เกดทจดปลายของชวง คอท y = 0 และ y = 5

เพราะฉะนนจดบนสวนของเสนตรง 2L

ทใหคาสดขดสมบรณของ f คอ (0, 0) และ (0, 5)

3. บนสวนของเสนตรง 3L ทเชอมระหวาง

จด (3, 0) และ (0, 5)

เพราะฉะนน บนสวนของเสนตรง 3L จะได

3x +

5y = 1

y = -35 x + 5 เมอ 0 x 3

เพราะฉะนนบนสวนของเสนตรง 3L จะได


f(x, y) = 3x(-35 x + 5) - 6x - 3(-

35 x + 5) + 7

= -5 2x + 14x - 8

ให w(x) = -5 2x + 14x - 8 เมอ 0 x 3

w(x) = -10x + 14

และ w(x) = -10x + 14 = 0 เมอ x = 57

บนสวนของเสนตรง 3L เมอ x = 57 จะได y =

38

เพราะฉะนนคาสดขดสมบรณของ w อาจจะเกดทจด

x = 57 หรอทจดปลายชวงคอ x = 0, x = 3

บนสวนของเสนตรง 3L เมอ x = 0 จะได y = 5

เมอ x = 3 จะได y = 0

เพราะฉะนนจดบน 3L ทใหคาสดขดสมบรณของ f

คอ (57 ,

38), (3, 0) และ (0, 5)

สรปจดทจะใหคาสดขดสมบรณมทงหมด 5 จดคอ

(1, 2), (0, 0), (3, 0), (0, 5) และ (57 ,

38)

ตอไปเปรยบเทยบคาของ f(x, y) ทแตละจดซงหาไวขางตน

f(1, 2) = 1 f(0, 0) = 7 f(3, 0) = -11

f(0, 5) = -8 f(57 ,

38) =

59

เพราะฉะนน f มคาตาสดสมบรณ = -11 ทจด (3, 0)

f มคาสงสดสมบรณ = 7 ทจด (0, 0)


ตวอยาง 3.5.9 จงหาคาสดขดสมบรณของ

f(x, y) = 2 2x + 2y บนบรเวณ D

เมอ D = {(x, y) 2x + 2y 1}

วธทา

รปท 3.5.9

เพราะวา D เปนเซตปดและมขอบเขต

และ f มความตอเนองบน D

เพราะฉะนน f มทงคาสงสดสมบรณ

และ คาตาสดสมบรณ บนเซต D

xf (x, y) = 4x

yf (x, y) = 2y


xf (x, y) = 4x = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = 2y = 0 ... (2)



ตอไปเราจะพจารณาทจดขอบของ D

เพราะวาขอบของเซต D ประกอบจดบนวงกลม 2x + 2y = 1

เพราะฉะนน f(x, y) = 2 2x + 2y

= 2x + ( 2x + 2y ) = 2x + 1

ให h(x) = 2x + 1 เมอ -1 x 1

เพราะวา h(x) = 2x เพราะฉะนน h(x) = 0 เมอ x = 0

เพราะฉะนนคาสดขดของ h อาจเกดท x = 0

หรอ ทจดปลายชวงคอ x = -1, x = 1

เพราะฉะนนจดบนขอบของ D ทอาจจะใหคาสดขดสมบรณ

ของ f คอ (0, 1), (0, -1), (-1, 0), (1, 0)

สรป มจดทงหมด 5 จดทมความเปนไปไดทจะให

คาสดขดสมบรณของ f

คอ (0, 1), (0, -1), (-1, 0), (1, 0) และ (0, 0)

ตอไปเปรยบเทยบคา f(x, y) จาก 5 จดขางตน

เพราะวา f(0, 0) = 0 f(0, 1) = 1 f(0, -1) = 1

f(-1, 0) = 2 f(1, 0) = 2

เพราะฉะนน f มคาตาสดสมบรณทจด (0, 0)

และ คาตาสดสมบรณ = 0

f มคาสงสดสมบรณทจด (1, 0), (-1, 0)

และ คาตาสดสมบรณ = 2


ตวอยาง 3.5.10 จงหาขนาดของกลองรปทรงสเหลยมมมฉาก

ไมมฝาปด ซงมปรมาตร 32 ลกบาศกเซนตเมตร และ มพนทผว

นอยทสด

วธทา ให A เปนพนทผวของกลอง

x เปนความกวางของกลอง

y เปนความยาวของกลอง

และ z เปนความสงของกลอง

เพราะฉะนน A = xy + 2xz + 2yz = xy + 2(x + y)z

เพราะวา กลองมปรมาตร 32 ลกบาศกเซนตเมตร

เพราะฉะนน xyz = 32 หรอ z = xy32

เพราะฉะนน A = xy + 2(x + y)xy32

= xy + y

64 + x64

เพราะฉะนน A เปนฟงกชนของสองตวแปร x, y

โดยท x 0, y 0

ให f(x, y) = xy + y

64 + x64

เมอ D = {(x, y) x 0, y 0}

เพราะวา D เปนเซตไมมขอบเขต เราจงไมทราบวา f

จะมคาตาสดสมบรณหรอไม แตถามคาตาสดสมบรณ

ตองเกดทจดวกฤตของ f


เพราะฉะนนเราจะเรมตนคนหาคาตาสดสมบรณดวยการหาจด

วกฤตของ f

จาก f(x, y) = xy + y

64 + x64

จะได xf (x, y) = y - 2x

64

yf (x, y) = x - 2y

64


xf (x, y) = y - 2x

64 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = x - 2y

64 = 0 ... (2)

จาก (1) y = 2x

64 ... (3)

แทนคาใน (2) จะได x - 64x 4

= 0

เพราะวา x 0 เพราะฉะนน 1 - 64x3

= 0

x = 4

จาก (3) จะได y = 4

เพราะฉะนนจดวกฤตคอ (4, 4)


การตรวจสอบวาจดวกฤตใหคาสดขดแบบใด

xxf (x, y) = 3x

128 A = xxf (4, 4) = 34

128 = 2

xyf (x, y) = 1 B = xyf (4, 4) = 1

yyf (x, y) = 3y

128 C = yyf (4, 4) = 34

128 = 2

เพราะวา AC - 2B = (2)(2) - 1 = 3 0 และ A 0

เพราะฉะนน f(4, 4) เปนคาตาสดสมพทธของ f

จาก x = 4, y = 4 เพราะวา z = xy32

เพราะฉะนน z = 2

เพราะฉะนน กลองทตองการ มขนาด

กวาง 4 cm ยาว 4 cm และ สง 2 cm

หมายเหต ในตวอยางน

เราไมไดแสดงวาจด (4, 4) เปนจดตาสดสมบรณของ f

กเพราะวาสาหรบฟงกชนของสองตวแปรนน

การแสดงวาจดสดขดสมพทธเปนจดสดขดสมบรณในบางปญหา

หรอบางฟงกชน เปนเรองทคอนขางซบซอน

อยางไรกตามสาหรบปญหาทเปนการประยกตในลกษณะเชนน

โดยมาก จดสดขดสมพทธ เปน จดสดขดสมบรณ โดยอาศย

การพจารณาในเชงเรขาคณต


ตวอยาง 3.5.11 จงหาระยะสนทสดจากจด (0, 0, 0) ไปยง

พนผว xy 2z = 32

และจดบนพนผว xy 2z = 32 ทอยใกลจด (0, 0, 0) มากทสด

วธทา ให d = ระยะทางจากจด (0, 0, 0) ไปยง (x, y, z) บน

พนผว xy 2z = 32 เพราะฉะนน d = 222 zyx

เพราะฉะนน 2d = 2x + 2y + 2z

แทนคา 2z = xy32 เพราะฉะนน 2d = 2x + 2y +

xy32

ให f(x, y) = 2x + 2y + xy32

การหาจดวกฤต xf (x, y) = 2x - yx

322

= 0 ... (1)

และ yf (x, y) = 2y - 2xy

32 = 0 ... (2)

เพราะวา xy 2z = 32 เพราะฉะนน x 0, y 0

เพราะฉะนนจาก (1) จะได 2 3x y - 32 = 0

3x y = 16 ... (3)

เพราะฉะนนจาก (2) จะได 2x 3y - 32 = 0

x 3y = 16 ... (4)

จาก (3) และ (4) จะได 3x y - x 3y = 0

เพราะวา x 0, y 0 เพราะฉะนน x - y = 0

y = x ... (5)

จาก (3) และ (5) จะได (x = 2, y = 2), (x = -2, y = -2)

เพราะฉะนนจดวกฤตของ f คอ (2, 2) และ (-2, -2)



xxf (x, y) = 2 + yx

643

A = xxf (2, 2) = 6

xyf (x, y) = 22 yx

32 B = xyf (2, 2) = 2

yyf (x, y) = 2 + yx

643

C = yyf (2, 2) = 6

เพราะวา A 0 และ AC - 2B = (6)(6) - 2 = 20 0

เพราะฉะนน (2, 2) เปนจดทใหคาตาสดสมพทธของ f

ในทานองเดยวกน (-2, -2) เปนจดทใหคาตาสดสมพทธของ f

โดยใชเหตผลทางเรขาคณตระยะทางสนทสด

จากจด (0, 0, 0) ไปยงพนผว xy 2z = 32 มไดคาเดยวเทานน

เพราะวา f(2, 2) = 4 + 4 + 8 = 16

f(-2, -2) = 4 + 4 + 8 = 16

เปนคาตาสดสมพทธของ f

เพราะฉะนนคาตาสดสมบรณของ f คอ 16

เพราะฉะนน ระยะทางสนทสดจากจด (0, 0, 0)

ไปยงพนผว xy 2z = 32 มเทากบ 4

และ จดบนพนผว xy 2z = 32 ทใกลจด (0, 0, 0) มากทสดคอ

จด (2, 2, 2 2 ), (2, 2, -2 2 ), (-2, -2, 2 2 ),

(-2, -2, -2 2 )


การตรวจสอบ คาสงสด และ ตาสด ของฟงกชน n ตวแปร

P เปนจดวกฤตของ f โดยท if = 0 ทจด P ทก i = 1, 2, ... , n

และอนพนธยอยอนดบทสองของ f

มความตอเนองบนแผนกลมเปด B(P)

ให k =

f...fff:...:::

f...ffff...ffff...fff

kk3k2k1k

k3333231

k2232221

k1131211

เมอ k = 1, 2, ... , n

ตวอยางเชน

1 = f 11 , 2 = ffff

2221

1211 , 3 = fffffffff

333231

232221

131211, ... ,

และ n =

f...ffkf:...:::

f...ffff...ffff...fff

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

สรป 1. ถา 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, ...

( i มคาเปนบวกทก i = 1, 2, 3, ... , n)

แลว f(P) เปนคาตาสดสมพทธของ f

2. ถา 1 0, 2 0, 3 0, 4 0 ...

( i เมอ i = 1, 2, 3, ... , n มคาเปนเปนบวก

และลบสลบกน เรมตนดวย 1 0)

แลว f(P) เปนคาสงสดสมพทธของ f


3.6 ตวคณลากรานจ

กอนศกษาการหาสดขดของฟงกชนหลายตวแปร

ขอใหศกษาการหาคาสดขดของปญหานกอน

ตวอยาง 3.6.1 จงหาคาสดขดของ xy

เมอ x, y เปนจานวนจรงบวก ภายใตเงอนไข x + y = 4

วธทา

แทนคา y = 4 - x ใน xy จะได xy = x(4 - x) = 4x - 2x

ให f(x) = 4x - 2x เมอ 0 x 4

f (x) = 4 - 2x

เพราะฉะนน จดวกฤตคอ x = 2

เพราะวา f (x) = -2 0

เพราะฉะนน f(2) = 4 เปนคาสงสดสมพทธ

เพราะวา f (x) 0 เมอ 0 x 2

เพราะฉะนน f เปนฟงกชนเพมบนชวง (0, 2)

เพราะวา f (x) 0 เมอ 2 x 4

เพราะฉะนน f เปนฟงกชนลดบนชวง (2, 4)

เพราะฉะนน f(2) = 4 เปนคาสงสดสมบรณของ f

เพราะฉะนน คาสงสดของ xy เมอ x, y เปนจานวนจรงบวก

ภายใตเงอนไข x + y = 4 จะมคาสงสดสมบรณเทากบ 4


ในการหาคาสดขดขางตนเราใชการ

แทนคา y ดวย 4 - x เพอเปลยน xy

เปนฟงกชนของหนงตวแปร f(x)

จากนนจงใชวธหาคาสดขดของฟงกชนหนงตวแปร

ซงถาเงอนไขบงคบของฟงกชนมความซบซอน

การใชวธการนมาแกปญหาอาจจะทาไดไมงายนก

เพราะฉะนนในหวขอนเราจะขอแนะนาอกวธการหนงซงงายกวา

สาหรบการแกปญหาลกษณะน มชอวา วธตวคณลากรานจ

โดยใชผลของทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 3.6.1 ให f, g เปนฟงกชนของสองตวแปร

ซงอนพนธยอยมความตอเนองบนเซตเปดทครอบคลมเสนโคง

g(x, y) = 0 โดยท g(x, y) 0 ทกจด (x, y) บนเสนโคงน

ถา f มคาสดขดสมพทธทจด (a, b)

ซงเปนจดภายในของเสนโคงน

แลว เวกเตอรเกรเดยนต f(a, b)

และ เวกเตอรเกรเดยนต g(a, b) ขนานกน

นนคอ มจานวนจรง ททาให f(a, b) = g(a, b)

หมายเหต จานวนจรง เรยกวา ตวคณลากรานจ และ

เรยกวธการหาคาสดขดโดยใชทฤษฎบทนวา วธตวคณลากรานจ


ตวอยาง 3.6.2 จงหาคาสดขดของ f(x, y) = xy เมอ x, y เปน

จานวนจรงบวก

ภายใตเงอนไข x + y = 4 โดยวธตวคณลากรานจ

วธทา ให f(x, y) = xy เมอ x 0, y 0

g(x, y) = x + y - 4 = 0 ... (1)

จากสมการ f(x, y) = g(x, y) ... (2)

(xf ,

yf ) = (

xg

, yg

)

(y, x) = (1, 1)

= (, )

เพราะฉะนน y = และ x =

จาก (1) จะได + - 4 = 0

= 2

เพราะฉะนน x = 2, y = 2

เพราะฉะนนจด (x, y) ทงหมดทสอดคลอง (1) และ (2)

คอ (2, 2)

เพราะวา f(x, y) = xy = x(4 - x) = 4x - 2x

= 4 - (2 - x)2

4 = f(2, 2)

เพราะฉะนน f(2, 2) = 4 เปนคาสงสดสมบรณ


ตวอยาง 3.6.3 จงหาคาสดขดของ f(x, y) = xy

ภายใตเงอนไข 2x + 2y = 1 โดยวธตวคณลากรานจ

วธทา ให f(x, y) = xy

g(x, y) = 2x + 2y - 1 = 0 ... (1)


(xf ,

yf ) = (

xg

, yg

)

(y, x) = (2x, 2y) = ( 2x, 2y)

เพราะฉะนน y = 2x และ x = 2y

= x2y

และ = y2

x

เพราะฉะนน x2y

= y2

x เพราะฉะนน 2x = 2y

จาก (1) จะได 2x + 2x - 1 = 0 เพราะฉะนน x = 2

1

เพราะฉะนนจด (x, y) ทงหมดทสอดคลอง (1) และ (2) คอ

(2

1 , 2

1 ), (2

1 , -2

1 ), (-2

1 , 2

1 ) และ (-2

1 , -2

1 )

เพราะวา f(2

1 , 2

1 ) = 21 f(

21 , -

21 ) = -

21

f(-2

1 , 2

1 ) = -21 f(-

21 , -

21 ) =

21


คาสงสดของ f คอ 21 เกดท (

21 ,

21 ), (-

21 , -

21 )

คาตาสดของ f คอ -21 เกดท (

21 , -

21 ), (-

21 ,

21 )


ตวอยาง 3.6.4 จงหาขนาดของรปสเหลยมผนผาซงเสนรอบรป

มความยาว 100 เซนตเมตร และมพนทมากทสด

โดยวธตวคณลากรานจ

วธทา ให x = ความยาวของรปสเหลยมผนผา

y = ความกวางของรปสเหลยมผนผา

และ A = พนทของรปสเหลยมผนผา

เพราะฉะนน A = xy และ

ความยาวเสนรอบรป = 2x + 2y = 100

ให f(x, y) = xy เมอ x 0, y 0

g(x, y) = x + y - 50 = 0 ... (1)

ปญหาขณะนจงเปน การหาคาสงสดของ f(x, y) = xy

ภายใตเงอนไข g(x, y) = 0 โดยวธตวคณลากรานจ


(xf ,

yf ) = (

xg

, yg

)

(y, x) = (1, 1)

= (, )

เพราะฉะนน x = และ y =

จาก (1) จะได + - 50 = 0

= 25

เพราะฉะนน x = y = 25


เพราะฉะนนจด (x, y) ทงหมดทสอดคลอง (1) และ (2)

คอ (25, 25)

เพราะวา f(x, y) = xy

= x(50 - x)

= 50x - 2x

= 625 - (25 - x)2

625

= f(25, 25)

เพราะฉะนน f(25, 25) = 625 เปนคาสงสดสมบรณ

ทฤษฎบท 3.6.2

ให f, g เปนฟงกชนของสามตวแปร ซงอนพนธยอย

มความตอเนองบนเซตเปดทครอบคลมพนผว g(x, y, z) = 0

โดยท g(x, y, z) 0 ทกจด (x, y, z) บนพนผวน

ถา f มคาสดขดสมพทธทจด (a, b, c) ซงเปนจดภายในของ

พนผวน

แลว เวกเตอรเกรเดยนต f(a, b, c) และ เวกเตอรเกรเดยนต

g(a, b, c) ขนานกน

นนคอมจานวนจรง ททาให f(a, b, c) = g(a, b, c)


ตวอยาง 3.6.5 จงหาคาสดขดของ 2x + 4y + 3 2z

ภายใตเงอนไข 2x + 2y + 2z = 1

วธทา ให f(x, y, z) = 2x + 4y + 3 2z

และ g(x, y, z) = 2x + 2y + 2z - 1 = 0 ... (1)

จากสมการ f(x, y, z) = g(x, y, z) ... (2)

จะได ( fx

, fy

, fz

) = (gx

, gy

, gz

)

(2, 4, 6z) = (2x, 2y, 2z)

= (2 x, 2 y, 2 z)

เพราะฉะนน 2 = 2 x ... (3)

4 = 2 y ... (4)

6z = 2 z ... (5)

จาก (5) จะได z = 0 หรอ = 3

กรณท 1 z = 0

จาก (3) จะได x = 1

และ จาก (4) จะได y = 2

แทนคา x, y, z ใน (1) จะได ( 1

)2 + ( 2

)2 + 0 - 1 = 0

2

5

= 1

= 5


ถา = 5 แลว x = 15

, y = 25

ถา = - 5 แลว x = - 15

, y = - 25

ดงนน ในกรณท 1 นจด (x, y, z) ทสอดคลอง (1) และ (2)

คอ ( 15

, 25

, 0) และ (- 15

, - 25

, 0)

กรณท 2 = 3

จาก (3) จะได x = 13 และ จาก (4) จะได y = 2

3

แทนคา x, y ใน (1) จะได 19

+ 49 + 2z - 1 = 0

2z = 49

z = 23

ดงนน ในกรณท 2 นจด (x, y, z) ทสอดคลอง (1) และ (2)

คอ (13, 2

3, 2

3) และ (1

3, 2

3, - 2

3)

จากทงสองกรณจด (x, y, z) ทงหมดทสอดคลอง (1) และ (2)

คอ ( 15

, 25

, 0), (- 15

, - 25

, 0), (13, 2

3, 2

3)

และ (13, 2

3, - 2

3)

เพราะวา f( 15

, 25

, 0) = 105

, f(- 15

, - 25

, 0) = - 105

,

f(13, 2

3, 2

3) = 14

3, f(1

3, 2

3, - 2

3) = 14

3

เพราะฉะนน คาสงสดของ f คอ 143

ซงเกดทจด

(13, 2

3, 2

3) และ (1

3, 2

3, - 2

3)

และ คาตาสดของ f คอ - 105

ซงเกดทจด (- 15

, - 25

, 0)


แบบฝกหด 3.1

1. จงหาเวกเตอรเกรเดยนตของฟงกชน f ทกาหนดใหตอไปน

1.1 f(x, y) = 2x 2y + 2xy + y xe 1.2 f(x, y) = n( 2x + xy + 2y )

1.3 f(x, y) = 2cos (2x + 3y) 1.4 f(x, y, z) = zyyx

2. จงหาอนพนธของฟงกชน f ทจด A ทกาหนดให ในทศทางของเวกเตอร V

ทกาหนดใหตอไปน

2.1 f(x, y) = 2x + 3xy + 4y ; A(1, 2) ; V

= (3, 4)

2.2 f(x, y) = sin(x + y) cos(x - y) ; A(3 ,

4 ) ; V

= (-5, 12)

2.3 f(x, y) = x 2y yx ; A(2, 1) ; V

= ( 3 , 1)

3. กาหนดให f(x, y) = 3xy จงหาอนพนธของ f ทจด (2, 2) ในทศทางททามม 45 องศากบแกน X ทางดานบวก

4. กาหนดให f(x, y) = 22

2

yx

xy25

จงหาอนพนธของ f ทจด (1, 2) ในทศทางจากจด (2, 3) ไปยงจด (5, 7)

5. กาหนดให f(x, y, z) = y4yzzx 22

จงหาอนพนธของ f ทจด (2, 1, 3) ในทศทางจากจด (1, 1, 1) ไปยงจด (4, -1, -5)

6. กาหนดให f(x, y, z) = 2x y ze จงหาอนพนธของ f ทจด (1, 2, 0) เทยบกบเวกเตอร (3, -1, 2)

7. กาหนดให f(x, y) = 4 2x y + n(xy)

จงหาทศทางซงทาใหอตราการเปลยนแปลงของ f มคาเพมขนมากทสดทจด (1, 1)

และ จงหาอตราการเปลยนแปลงทมากทสดนน

8. กาหนดให f(x, y) = 22 yx

x

จงหาทศทางซงทาใหอตราการเปลยนแปลงของ f มคาลดลงนอยทสดทจด (3, 4)

และ จงหาอตราการเปลยนแปลงทนอยทสดนน

9. กาหนดให f(x, y) = sin(x + 2y)cos(2x + y)

จงหาทศทางซงทาใหอตราการเปลยนแปลงของ f มเทากบศนยทจด (6 ,

2 )

10. กาหนดให f(x, y, z) = xy zxy )

จงหาทศทางซงทาใหอตราการเปลยนแปลงของ f มคาเพมขนมากทสดทจด (1, 1, 3)

และ จงหาอตราการเปลยนแปลงทมากทสดนน

11. กาหนดให f(x, y, z) = xy + n( 2x + 2y 2z )

จงหาทศทางซงทาใหอตราการเปลยนแปลงของ f มคาลดลงนอยทสดทจด (1, 1, 1)

และ จงหาอตราการเปลยนแปลงทนอยทสดนน

เฉลยแบบฝกหด 3.1

1. 1.1 f = (2x 2y + 2y + y xe , 2 2x y + 2x + xe ) 1.2 f = (22 yxyx

yx2

,

22 yxyx

y2x

)

1.3 f = (-4 cos(2x + 3y) sin(2x + 3y), -6 cos(2x + 3y) sin(2x + 3y))

1.4 f = (zy

1

, 2)zy(

zx

,

2)zy(

yx

)

2. 2.1 5

164 2.2 265 2.3

23 + 3

3. 2 2 4. 5

52 5. -75 6. 15

7. (9, 5), 106 8. (-16, 12), -254 9. (-7, 5) หรอ (7, -5) 10. (9, 9, 1),

4163

11. (-2, -2, -1), -3



1. กาหนดให y เปนฟงกชน x ทนยามโดยปรยาย จงหาสตร dxdy

และคา dxdy

ทจดกาหนดให

1.1 2x + 4xy + 2y = -2 ทจด (1, -1)

1.2 sin(x + 2y) + cos(2x + y) = 1 ทจด (6 ,

6 )

2. กาหนดให z เปนฟงกชนของตวแปร x, y ทนยามโดยปรยาย

จงหาสตร xz และ

yz และคาของ

xz และ

yz ทจดกาหนด

2.1 2x + 2 2y + 2z + 3xyz - 4 = 0 ทจด (1, 2, -1)

2.2 sin(x + z) + cos(y + 2z) = 1 ทจด (3 ,

6 ,

6 )

2.3 zyzx

+

zxzy

= 25 ทจด (6, 1, 4)

2.4 yx +

zy

+ xz = 5 ทจด (1, 2, 4)

2.5 z xe + 2z ye + xy = 3 ทจด (0, 0, 1)

3. กาหนดให x, y เปนฟงกชนของ z ทนยามโดยปรยายดวยสมการ

จงหาสตรของ dzdx และ

dzdy

ทจดใด ๆ และคาของ dzdx และ

dzdy

ทจดกาหนดให

3.1 2x + 2y + z = 4 และ 2x + 3y + 4z = 13 ทจด (1, 1, 2)

3.2 xy + z + x = 4 และ xz + xy - x = 2 ทจด (1, 2, 1)

3.3 2x + 2y + z = 4 และ x + 2y + z = 3 ทจด (2, 1, -1)

4. กาหนดให u, v เปนฟงกชนของ x, y นยามโดยปรยายดวยสมการ

2x + 3y + u + v = 9

และ 3x + 4y + uv = 5

จงหา xu ,

xv ,

yu และ

yv เมอ x = 1, y = 2, u = -2, v = 3

5. กาหนดให u, v เปนฟงกชนของ x, y นยามโดยปรยายดวยสมการ

u cos v +x - 3 = 0

และ u sin v + y - 2 3 = 0

จงหา xu ,

xv ,

yu และ

yv เมอ x = 2, y = 3 , u = 2, v =

3

6. กาหนดให u, v, w เปนฟงกชนของ x, y, z นยามโดยปรยายดวยสมการ

u cos v - x = 0

u sin v - y = 0

และ z - w = 0

จงหา xu ,

yu ,

zu เมอ x = 1, y = 3 , z = 4, u = 2, v =

3 , w = 4



1. 1.1 dxdy

= -yx2y2x

dxdy

1) (1, = 1

1.2 dxdy

= -)yx2sin()y2xcos(2)yx2sin(2)y2xcos(

dxdy

)6

, 6

( = -2

2. 2.1 xz = -

xy3z2yz3x2

yz = -

xy3z2xz3y4

xz

1) 2, (1, = 1 yz

1) 2, (1, = -1.25

2.2 xz = -

)z2ysin(2)zxcos()zxcos(

yz =

)z2ysin(2)zxcos()z2ysin(

xz

)6

, 6

, 3

( = 0 yz

)6

, 6

, 3

( = -0.5

2.3 xz =

yxzy

yz = -

yxzx

xz

4) 1, (6, = 1 yz

4) 1, (6, = -2

2.4 xz =

)zxy(xy

)yzx(z2

22

yz = -

)zxy(y

)yxz(xz22

2

xz

4) 2, (1, = 4 yz

4) 2, (1, = 0

2.5 xz = -

yx

x

e2e

yze

yz = -

yx

y

e2e

xze2

xz

1) 0, (0, = -31

yz

1) 0, (0, = -32

3. 3.1 dzdx = -

y4x6y83

dzdy

= -y4x6

2x8

dzdx

2) 1, (1, = 25

dzdy

2) 1, (1, = -3

3.2 dzdx = -

xzx2xx 2

dzdy

= -xzx2

1yzxxy

dzdx

1) 2, (1, = 0 dzdy

1) 2, (1, = -1

3.3 dzdx = -

y2x4y22

dzdy

= -y2x4

1x2

dzdx

1) 1, (2, = 0 dzdy

1) 1, (2, = -0.5

4. xu = -1.4,

xv = -0.6,

yu = -2,

yv = -1

5. xu = -0.5,

xv =

43

, yu = -

23

, yv = -0.25

6. xu =

21 ,

yu = 2 3 ,

zu = 0



จงหา สมการของระนาบสมผส และ สมการของเสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A ตามทกาหนดให

1. พนผว 2x + 2y – 4z = 1 ทจด A(1, 2, 1)

2. พนผว 3x + 3y + 3z – 8xy = 0 ทจด A(4, 2, 3)

3. พนผว yx +

zy2

+ xz3 = 6 ทจด A(2, 1, 2)

4. พนผว 4x + 4xy + 4y - 4z + 7 = 0 ทจด A(–2, 1, 2)

5. พนผว 2x + 2z + 4y = 0 ทจด A(0, –1, 2)

6. พนผว 2x + 2y + 2z – 6z + 7 = 0 ทจด A(0, –1, 2)

7. พนผว 2x + 2y – 2z + 2x 2y = 13 ทจด A(3, 2, 6)

8. พนผว xy + 3yz + 2zx – xyz = 9 ทจด A(1, 1, 2)

จงหา สมการของเสนสมผสเสนโคง C ทเกดจากพนผว 1S และ 2S ตดกนทจด A ตามทกาหนดให

9. 1S : 2x + 2y = z + 9, 2S : z = xy + 2yz – 4xz + 2 = 0 ทจด A(2, 3, 4)

10. 1S : y = 2x – 15, 2S : z = 2y + 1 ทจด A(4, 1, 2)

11. 1S : z = 4 2x – 9, 2S : x = 34 – 2 2y ทจด A(2, 4, 7)

12. จงแสดงวา

พนผว 2x + 2y + 4z = 0 และ 2x + 2y + 2z + 6z + 1 = 0 สมผสกนทจด (0, 2, –1)

13. ให A เปนจดบนพนผวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25

จงแสดงวา เสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A ผานจด (0, 0, 0)

14. ให A เปนจดบนพนผวทรงกลม (x – 1) 2 + (y – 2) 2 + (z – 3) 2 = 25

จงแสดงวา เสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A ผานจด (1, 2, 3)


1. สมการของระนาบสมผส x + 2y – 2z = 3

สมการของเสนแนวฉาก x = 1 + t, y = 2 + 2 t, z = 1 – 2 t

2. สมการของระนาบสมผส 32x – 20y + 27z = 169

สมการของเสนแนวฉาก x = 4 + 32 t, y = 2 – 20 t, z = 3 + 27 t

3. สมการของระนาบสมผส x + 2y – 2z = 0

สมการของเสนแนวฉาก x = 2 – t, y = 1 – 2 t, z = 2 + 2 t

4. สมการของระนาบสมผส 7x + y + 8z = 3

สมการของเสนแนวฉาก x = –2 + 7 t, y = 1 + t, z = 2 + 8 t

5. สมการของระนาบสมผส y + z = 1

สมการของเสนแนวฉาก x = 0, y = –1 + t, z = 2 + t

6. สมการของระนาบสมผส y + z = 1

สมการของเสนแนวฉาก x = 0, y = –1 + t, z = 2 + t

7. สมการของระนาบสมผส 15x + 20y – 6z = 49

สมการของเสนแนวฉาก x = 3 + 15 t, y = 2 + 20 t, z = 6 – 6 t

8. สมการของระนาบสมผส 3x + 5y + 4z = 16

สมการของเสนแนวฉาก x = 1 + 3 t, y = 1 + 5 t, z = 2 + 4 t

9. สมการของเสนสมผส x = 2 – 2 t, y = 3 + 21 t, z = 4 + 118 t

10. สมการของเสนสมผส x = 4 + t, y = 1 + 8 t, z = 2 + 16 t

11. สมการของเสนสมผส x = 2 – 16 t, y = 4 + t, z = 7 - 256 t



1. จงหาจดวกฤตของฟงกชนตอไปน

1.1 f(x, y) = 2x - 4y - 4x - 12 2y

1.2 f(x, y) = 16 - 20y6x4yx 22

2. จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชนตอไปน (ถาม)

2.1 f(x, y) = 2x + xy + 2y - 3x + 3y + 24

2.2 f(x, y) = 18 2x - 32 2y - 36x - 128y - 110

2.3 f(x, y) = 2x + xy + 2y - 3x

2.4 f(x, y) = 3xy - 3x - 3y

2.5 f(x, y) = 2x + 2 2y - 2x y

2.6 f(x, y) = 4 + 4x + 4y + 2xy - 5 2x - 2 2y

2.7 f(x, y) = 4xy - 4x - 4y

2.8 f(x, y) = y1 -

x1 - 4x + y

2.9 f(x, y) = 2 2x + 2y + yx

22

3. จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชนตอไปน (ถาม)

f(x, y) = sin(x + y) + sin x + sin y เมอ 0 x 2 , 0 y

2

4. จงหาคาสดขดสมบรณของฟงกชน f บนเซต D ทกาหนดใหในแตละขอตอไปน (ถาม)

4.1 f(x, y) = 48xy - 32 3x - 24 2y D = {(x, y) 0 x 1, 0 y 1}

4.2 f(x, y) = xy - x - 3y D เปนบรเวณสามเหลยมทมจดยอดเปน (0, 0), (0, 4) และ (5, 0)

4.3 f(x, y) = 2x - 3 2y - 2x + 6y D เปนบรเวณสเหลยมทมจดยอดเปน (0, 0), (0, 2), (2, 2), (2, 0)

4.4 f(x, y) = 2x + 2 2y - x D = {(x, y) 2x + 2y 4}

5. จงหาจานวนจรงบวกสามจานวนซงรวมกนได 27 และผลบวกกาลงสองมคานอยทสด

6. สามเหลยมทมเสนรอบรปยาวคงท จะมพนททสดเมอเปนสามเหลยมชนดใด

7. จงหาจานวนจรงบวกสามจานวนซงรวมกนได 50 และผลคณมคามากทสด

8. จงหาระยะทางใกลทสดจากจดกาเนดไปยงพนผว 2x - yz = 5

9. จงหาจดบนพนผว xyz = 1 ทอยใกลจดกาเนดมากทสด

10. จงหาจดบนระนาบx - y + 3z = 7 ทอยใกลจด (2, -1, 4) มากทสด พรอมทงหาระยะทางทใกลทสดนน

11. จงหาจดในอฐภาคท 1 ซงอยบนระนาบ x + y + z = 50 และทาให f(x, y, z) = x 2y 3z มคามากทสด

12. กลองรปทรงสเหลยมมมฉากมฝาปดใบหนงมปรมาตร 16 ลกบาศกเมตร ทามาจากวสดสองชนด กนกลองและฝากลอง

ทาจากวสดทมราคา 10 บาทตอตารางเมตร สวนดานขางของกลองทาจากวสดทมราคา 5 บาทตอตารางเมตร จงหาขนาด

ของกลองททาใหเสยคาวสดนอยทสด



1. 1.1 (2, 0) 1.2 (2, 3)

2. 2.1 f(3, -3) = 15 เปนคาตาสดสมพทธ 2.2 (1, -2) เปนจดอานมา

2.3 f(2, -1) = -3 เปนคาตาสดสมพทธ

2.4 (0, 0) เปนจดอานมา และ f(1, 1) = 1 เปนคาสงสดสมพทธ

2.5 (2, 1), (-2, 1) เปนจดอานมา f(0, 0) = 0 เปนคาตาสดสมพทธ

2.6 f(32 ,

34 ) = 8 เปนคาสงสดสมพทธ

2.7 f(1, 1) = f(-1, -1) = 2 เปนคาสงสดสมพทธ และ (0, 0) เปนจดอานมา

2.8 f(21 , -1) = -6 เปนคาสงสดสมพทธ

f(-21 , 1) = 6 เปนคาตาสดสมพทธ

(21 , 1), (-

21 , -1) เปนจดอานมา

2.9 f(1, 1), f(-1, 1) = 5 เปนคาตาสดสมพทธ

3. f(3 ,

3 ) =

233

เปนคาสงสดสมพทธ

4. 4.1 f(1, 0) = -32 เปนคาตาสดสมบรณ f(21 ,

21 ) = 2 เปนคาสงสดสมบรณ

4.2 f(0, 4) = -12 เปนคาตาสดสมบรณ f(0, 0) = 0 เปนคาสงสดสมบรณ

4.3 f(1, 0) = f(1, 2) = -1 เปนคาตาสดสมบรณ f(0, 1) = f(2, 1) = 3 เปนคาสงสดสมบรณ

4.4 f(21 , 0) = -

41 เปนคาตาสดสมบรณ

f(-21 ,

215

) = f(-21 , -

215

) = 433 เปนคาสงสดสมบรณ

5. 9, 9, 9

6. สามเหลยมดานเทา

7. 3

50 , 3

50 , 3

50

8. 5

9. (1, 1, 1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (1, -1, -1)

10. (1114 , -

113 ,

1120 ),

118

11. (325 ,

350 , 25)

12. กวาง 2 เมตร ยาว 2 เมตร และสง 4 เมตร



1. จงหาคาสดขดของ f ภายใตเงอนไขทกาหนดใหในแตละขอตอไปน

1.1 f(x, y) = xy ภายใตเงอนไข 4 2x + 8 2y = 16

1.2 f(x, y) = 4 3x + 2y ภายใตเงอนไข 2 2x + 2y = 1

1.3 f(x, y) = 25 - 2x - 2y ภายใตเงอนไข 2x + 2y - 4y = 0

1.4 f(x, y, z) = 2x + y - 2z ภายใตเงอนไข 2x + 2y + 2z = 4

1.5 f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z ภายใตเงอนไข 3x - 2y + z - 4 = 0

1.6 f(x, y, z) = 3x + 3y + 3z ภายใตเงอนไข 2x + 2y + 2z = 9

1.7 f(x, y, z) = xy + z ภายใตเงอนไข 2x + 2y + 2z = 1

2. จงหาจดบนเสนตรง y = 2x + 3 ซงอยใกลจด (4, 2) มากทสด

3. จงหาจดบนระนาบ 4x + 3y + z = 2 ซงอยใกลจด (1, -1, 1) มากทสด

4. จงหาคาสงสดของ f(x, y) = 2y - x บนเสนโคง y = sin x เมอ 0 x 2

5. จงหาจดบนพนผว xyz = 25 ททาให f(x, y, z) = 3x + 5y + 9z มคานอยทสด

6. จงหาจดในอฐภาคทหนงซงสอดคลองกบสมการ x + 2y + 3z = 24

และทาให f(x, y, z) = xy 2z มคามากทสด พรอมทงหาคามากทสดน

7. จงหาจดบนทรงกลม 2x + 2y + 2z = 36 ซงอยใกลทสด

และไกลทสดจากจด (1, 2, 2)

8. จงหาจดบนทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1 ททาให f(x, y, z) = xyz มคาสดขด

9. จงหาขนาดของกลองรปทรงสเหลยมมมฉากทมปรมาตรมากทสด และสามารถบรรจ

ในพนผว 2

2

a

x + 2

2

b

y +

2

2

c

z = 1 เมอ a, b และ c เปนจานวนจรงบวก

10. จงหาระยะทางทใกลทสดและไกลทสด

จากจดกาเนดไปยงพนผว 9

x2 +

4y2

+ 2z = 1



1. 1.1 คาสงสด = 2 เกดท ( 2 , 1) และ (- 2 , -1)

คาตาสด = - 2 เกดท (- 2 , 1) และ ( 2 , -1)

1.2 คาสงสด = 2 เกดท (2

1 , 0)

คาตาสด = - 2 เกดท (-2

1 , 0)

1.3 คาสงสด = 25 เกดท (0, 0)

คาตาสด = 9 เกดท (0, 4)

1.4 คาสงสด = 6 เกดท (34 ,

32 , -

34 )

คาตาสด = -6 เกดท (-34 , -

32 ,

34 )

1.5 คาตาสด = 4956 เกดท (

76 , -

74 ,

72 )

1.6 คาสงสด = 27 เกดท (3, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 3)

คาตาสด = -27 เกดท (-3, 0, 0), (0, -3, 0), (0, 0, -3)

1.7 คาสงสด = 1 เกดท (0, 0, 1)

คาตาสด = -1 เกดท (0, 0, -1)

2. (52 ,

519 )

3. (1, -1, 1)

4. 3 - 3 เกดท (

3 ,

23

)

5. (5, 3, 35 )

6. (6, 3, 4), 288

7. จดทอยใกลทสดคอ (2, 4, 4) และจดทอยไกลทสดคอ (-2, -4, -4)

8. คาสงสด = 93

เกดท (3

1 , 3

1 , 3

1 ), (3

1 , -3

1 , -3

1 ), (-3

1 , 3

1 , -3

1 )

และ (-3

1 , -3

1 , 3

1 )

คาตาสด = -93

เกดท (3

1 , 3

1 , -3

1 ), (3

1 , -3

1 , 3

1 ), (-3

1 , 3

1 , 3

1 )

และ (-3

1 , -3

1 , -3

1 )

9. (3a2 ,

3b2 ,

3c2 )

10. ระยะใกลทสด = 1 เกดท (0, 0, 1) และ (0, 0, -1)

ระยะไกลทสด = 3 เกดท (3, 0, 0) และ (-3, 0, 0)

บทที่ 3 อนุพนธัของฟ์ังกช์นหลายตั...

Documents

Transcript of บทที่ 3 อนุพนธัของฟ์ังกช์นหลายตั...