1

บทที่ 1 ลำดับและอนุกรมของจำนวนจริง

1.2 ลำดับของจำนวนจริง• บทนิยามของลิมิต• ทฤษฏีบทพื้นฐาน• ลำดับยอย• การมีขอบเขต• ลำดับทางเดียว

1.4 อนุกรมของจำนวนจริง• ผลบวกยอย• การทดสอบการลูเขา/ลูออก– การทดสอบการลูออกโดย lim

n→∞an

– การทดสอบแบบอินทิกรัล (Integral Test)– การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบ (Comparison Test)– การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบดวยลิมิต(Limit Comparison Test)

• อนุกรมสลับ– การลูเขาแบบสัมบูรณและการลูเขาแบบมีเงื่อนไข– การทดสอบโดยใชอัตราสวน (Ratio Test)– การทดสอบโดยใชการถอดกรณฑ (Root Test)

2

1.2 ลำดับของจำนวนจริง

ใชสัญลักษณ {an} แทนลำดับ a1, a2, a3, . . .

บทนิยามlimn→∞

an = L ก็ตอเมื่อ

∀ε > 0 ∃n0 ∀n > n0

[|an − L| < ε

]• {an} ลูเขา ก็ตอเมื่อ lim

n→∞an มีคา

• {an} ลูออก ก็ตอเมื่อ limn→∞

an ไมมีคา

ตัวอยาง

1.{1

n

}

2. {n}

3

ลิมิตพื้นฐาน

1. limn→∞

1

nt= 0 เมื่อ t > 0

2. limn→∞

rn = 0 เมื่อ |r| < 1

ตัวอยาง

1. limn→∞

nln 7π22

2. limn→∞

πn ln 7π22

3. limn→∞

1n√n

4

ทฤษฎีบทพื้นฐานให {an} และ {bn} เปนลำดับลูเขา และ k เปนคาคงตัว1. lim

n→∞k = k

2. limn→∞

kan = k limn→∞

an

3. limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn

4. limn→∞

(an − bn) = limn→∞

an − limn→∞

bn

5. limn→∞

anbn = limn→∞

an · limn→∞

bn

6. limn→∞

anbn

=limn→∞

an

limn→∞

bnเมื่อ lim

n→∞bn ̸= 0

7. limn→∞

m√an = m

√limn→∞

an เมื่อ m

√limn→∞

an มีคา

8. ถามี n0 ซึ่ง an ≤ cn ≤ bn สำหรับทุก n > n0

และ limn→∞

an = limn→∞

bn แลว limn→∞

cn = limn→∞

an ดวย

9. limn→∞

|an| = 0 ก็ตอเมื่อ limn→∞

an = 0

5

ตัวอยาง

1. limn→∞

(n−

√n2 − n

)

2. limn→∞

sinn

n

3. limn→∞

n sin1

n

6

ลำดับยอยบทนิยามกำหนดจำนวนนับ n1 < n2 < n3 < · · ·

ให bk = ankจะเรียก {bn} วาเปนลำดับยอยของ {an}

ตัวอยางลำดับยอยของ

{1

n

}

7

ทฤษฎีบทถาลำดับ {an} ลูเขาสู Lแลวทุกลำดับยอยของ {an} ตองลูเขาสู L ดวย

ขอสังเกต1. ถา {an} มีลำดับยอยที่ลูออก แลว {an} ลูออก2. ถา {an} มีลำดับยอยสองลำดับที่มีลิมิตตางกัน แลว {an} ลูออก

ตัวอยาง

1.{(−1)nn

n + 1

}

2. {cosnπ}

8

ขอบเขตของลำดับบทนิยามลำดับ {an} มีขอบเขต ก็ตอเมื่อมีจำนวนจริง M ซึ่ง |an| ≤ M สำหรับทุก n

ตัวอยาง

1.{n + 2562

n + 2019

}

2. {lnn}

3.{n2

2n

}

ทฤษฎีบทถา {an} ลูเขา แลว {an} มีขอบเขต

ขอสังเกต ถา {an} ไมมีขอบเขต แลว {an} ลูออก

9

ลำดับเพิ่ม ลำดับลด ลำดับไมเพิ่ม ลำดับไมลดบทนิยาม1. {an} เปนลำดับเพิ่ม ก็ตอเมื่อ an+1 > an ทุก n

2. {an} เปนลำดับลด ก็ตอเมื่อ an+1 < an ทุก n

3. {an} เปนลำดับไมเพิ่ม ก็ตอเมื่อ an+1 ≤ an ทุก n

4. {an} เปนลำดับไมลด ก็ตอเมื่อ an+1 ≥ an ทุก n

5. {an} เปนลำดับทางเดียว ก็ตอเมื่อ{an} เปนลำดับไมเพิ่ม หรือ ลำดับไมลด

ตัวอยาง

1.{1

n

}

2.{2n

n!

}

3.{2n

n2

}

10

ทฤษฎีบทถา {an} มีขอบเขตและเปนลำดับทางเดียว แลว {an} ลูเขา

ตัวอยาง

1.{1

n

}

2.{2n

n!

}

11

1.4 อนุกรมของจำนวนจริง

ใหลำดับ {an} และนิยาม

S1 = a1

S2 = a1 + a2

...Sn = a1 + a2 + · · · + an

เรียก Sn วาเปน ผลบวกยอยของ n พจนแรกของ {an}บทนิยามถาลำดับของผลบวกยอย {Sn} ลูเขาแลวจะกลาววา

∞∑n=1

an เปนอนุกรมลูเขา

และจะไดวา∞∑n=1

an = limn→∞

Sn

12

ตัวอยาง

1.∞∑n=1

1

n(n + 2)

2.∞∑n=1

arctan1

n2 + n + 1

13

ทฤษฎีบทพื้นฐานสำหรับอนุกรมถา

∞∑n=1

an และ∞∑n=1

bn เปนอนุกรมลูเขา แลว∞∑n=1

(αan + βbn) = α∞∑n=1

an + β∞∑n=1

bn

ขอสังเกต1. ถา

∞∑n=1

an เปนอนุกรมลูเขา แต∞∑n=1

bn เปนอนุกรมลูออก

แลว∞∑n=1

(an + bn) เปนอนุกรมลูออก

2. ถา∞∑n=1

an และ∞∑n=1

bn เปนอนุกรมลูออก

แลว∞∑n=1

(an + bn) อาจเปนอนุกรมลูเขาหรือออกก็ได

14

การทดสอบอนุกรมลูออก โดย limn→∞

an

ทฤษฎีบท

ถา∞∑n=1

an เปนอนุกรมลูเขา แลว limn→∞

an = 0

ขอสังเกต ถา limn→∞

an ̸= 0 แลว∞∑n=1

an เปนอนุกรมลูออก

ตัวอยาง

1.∞∑n=1

n

2n + 2019

2.∞∑n=1

1n√n

15

การทดสอบแบบอินทิกรัล (Integral Test)ให

∞∑n=1

an เปนอนุกรมซึ่ง an ≥ 0 ทุก n และมีฟงกชัน f ซึ่ง

1. f (n) = an ทุก n

2. มี n0 ซึ่ง f เปนฟงกชันไมเพิ่มและตอเนื่องบนชวง [n0,∞)

ให tn =

ˆ n

n0

f (x) dx ทุก n ≥ n0

จะไดวา∞∑n=1

an เปนอนุกรมลูเขา ก็ตอเมื่อ ลำดับ {tn} ลูเขา

16

ตัวอยาง

1.∞∑n=1

n

n2 + 1

2.∞∑n=1

lnn

n

17

อนุกรมพี (p Series)เรียก

∞∑n=1

1

npวา อนุกรมพี

ทฤษฎีบท

1. ถา p > 1 แลว∞∑n=1

1

npเปนอนุกรมลูเขา

2. ถา p ≤ 1 แลว∞∑n=1

1

npเปนอนุกรมลูออก

ตัวอยาง

1.∞∑n=1

1

n√n

2.∞∑n=1

1

n7π/22

3.∞∑n=1

1

2lnn

18

การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบ (Comparison Test)ถามี n0 ซึ่ง 0 ≤ an ≤ bn ทุก n ≥ n0 แลว

1. ถา∞∑n=1

bn เปนอนุกรมลูเขา แลว∞∑n=1

an เปนอนุกรมลูเขา

2. ถา∞∑n=1

an เปนอนุกรมลูออก แลว∞∑n=1

bn เปนอนุกรมลูออก

ตัวอยาง

1.∞∑n=1

1

n + 3

2.∞∑n=1

lnn

n

19

การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบดวยลิมิต(Limit Comparison Test)ให

∞∑n=1

an และ∞∑n=1

bn เปนอนุกรมซึ่ง an ≥ 0 และ bn > 0 ทุก n

1. ถา limn→∞

anbn

= c > 0 แลว∞∑n=1

an และ∞∑n=1

bn จะลูเขาดวยกัน หรือไมก็ลูออกดวยกัน

2. ถา limn→∞

anbn

= 0 และ∞∑n=1

bn เปนอนุกรมลูเขา

แลว∞∑n=1

an จะเปนอนุกรมลูเขา

3. ถา limn→∞

anbn

= ∞ และ∞∑n=1

bn เปนอนุกรมลูออก

แลว∞∑n=1

an จะเปนอนุกรมลูออก

20

ตัวอยาง

1.∞∑n=1

1 +√n√

n3 + n

2.∞∑n=1

1

n + (lnn)2

21

อนุกรมสลับถา an > 0 สำหรับทุก n แลวจะเรียก

∞∑n=1

(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·

หรือ∞∑n=1

(−1)nan = −a1 + a2 − a3 + a4 − · · ·

วาอนุกรมสลับ

ทฤษฎีบท

อนุกรมสลับ∞∑n=1

(−1)nan จะเปนอนุกรมลูเขา ถา

1. limn→∞

an = 0 และ

2. มี n0 ซึ่ง an+1 < an ทุก n > n0

ตัวอยาง∞∑n=1

(−1)n

n

22

ทฤษฎีบท

ถา∞∑n=1

|an| เปนอนุกรมลูเขา แลว∞∑n=1

an เปนอนุกรมลูเขา

ตัวอยาง

1.∞∑n=1

(−1)n

2n + 3n

2.∞∑n=1

(−1)nn2

n4 + 1

23

การลูเขาแบบสัมบูรณ และการลูเขาแบบมีเงื่อนไขบทนิยาม

1. ถา∞∑n=1

|an| ลูเขา

แลวจะเรียก∞∑n=1

an วาลูเขาแบบสัมบูรณ

2. ถา∞∑n=1

an ลูเขา แต∞∑n=1

|an| ลูออก

แลวจะเรียก∞∑n=1

an วาลูเขาแบบมีเงื่อนไข

ตัวอยาง

1.∞∑n=1

(−1)n

n

2.∞∑n=1

(−1)n

n2

24

การทดสอบโดยใชอัตราสวน (Ratio Test)พิจารณา

∞∑n=1

an ซึ่ง an ̸= 0 ทุก n

1. ถา limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ < 1 แลว∞∑n=1

an ลูเขาแบบสัมบูรณ

2. ถา limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ > 1 หรือ limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = ∞

แลว∞∑n=1

an ลูออก

3. ถา limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = 1 แลว ยังสรุปผลไมได

25

ตัวอยาง

1.∞∑n=1

n22n

n!

2.∞∑n=1

(n!)2

(2n)!

26

การทดสอบโดยใชการถอดกรณฑ (Root Test)พิจารณา

∞∑n=1

an

1. ถา limn→∞

n

√|an| < 1 แลว

∞∑n=1

an ลูเขาแบบสัมบูรณ

2. ถา limn→∞

n

√|an| > 1 หรือ lim

n→∞n

√|an| = ∞

แลว∞∑n=1

an ลูออก

3. ถา limn→∞

n

√|an| = 1 แลว ยังสรุปผลไมได

27

ตัวอยาง

1.∞∑n=1

1

2n+√n

2.∞∑n=1

(ln(2n + 3n)

ln(3n + 4n)

)n