บทที่ 3 การพิสูจน์¸šทที่ 3... · ตัวอย่าง...

33 หลกการคณตศาสตร (Mathematics Principle) MAP1401 สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

บทท 3 การพสจน


ระบบคณตศาสตร (mathematical system) ประกอบดวย สจพจน (axiom) บทนยาม (definitions) ค าอนยาม (undefined term) สจพจนเปนขอความทสมมตใหเปนจรงโดยไมตองพสจน บทนยามเปนการก าหนดขอความเพอใหค าจ ากดความของสงเหลานน ค าบางค าหรอบางขอความทไมสามารถนยามไดอยางชดเจน ทฤษฎบท (theorems) คอประพจนทไดมการพสจนแลววาเปนจรง ทฤษฎบทบางบทอาจอยในลกษณะของบทตง (lemmas) หรอบทแทรก (corollaries) บทตงคอทฤษฎทน าไปใชพสจนทฤษฎบทอน บทแทรกคอทฤษฎบททเปนผลตอเนองมาจากทฤษฎบทอนๆ วธอางเหตผล (argument) ทสรางความเปนจรงของทฤษฎบทเรยกวาการพสจน (proof) โดยกฏเกณฑการพสจนเหลานนไดมาจากตรรกศาสตร (logic) การเขยนบทพสจน ทกประพจนทเขยนจะตองมคาความจรงเปนจรงเสมอ พรอมทงบอกเหตผลของความเปนจรงนนก ากบดวยเสมอ โดยถอหลกตอไปน 1. ใหถอวาขอความทโจทยก าหนดให มคาความจรงเปนจรงเสมอ 2. ใชขอความทก าหนดให กฎตรรกศาสตร ตรรกศาสตรทใชในการพสจน และขอความทไดพสจนกอนหนานนมาแลวมาใชเพอหาขอสรปทโจทยตองการวามคาความจรงเปนจรง

3.1 การพสจนตรง (direct proofs) เนองจากประพจน p q เปนเทจกรณเดยวคอ เมอ p เปนจรงแต q เปนเทจ ดงนนการพสจนตรง (direct proof) ส าหรบประพจน p q จงท าไดโดย สมมตวา p แลวแสดงวา q การพสจนประพจน p q สมมต p เปนจรง (สวนของการพสจน) ดงนน q

บทนยาม 3.1 ส าหรบจ านวนเตม a และ b ซง a หาร b ลงตว เขยนแทนดวย a b กตอเมอมจ านวนเตม m ซงb am บทนยาม 3.2 ส าหรบจ านวนเตม a a เปนจ านวนค กตอเมอมจ านวนเตม m ซง 2a m a เปนจ านวนค กตอเมอมจ านวนเตม m ซง 2 1a m



ตวอยาง 3.1 ให ,a b และ c เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา a b แลว a bc

พสจน สมมต a b นนคอ มจ านวนตม m ซง b am เราจะไดวา ( ) ( )bc am c a mc โดยท mc เปนจ านวนเตม

โดยสมบตปดภายใตการคณของจ านวนเตม ดงนน a bc

ตวอยาง 3.2 ให a และ b เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนค และ b เปนจ านวนคแลว a b เปนจ านวนค พสจน สมมต a เปนจ านวนค และ b เปนจ านวนค นนคอ มจ านวนเตม m ซง 2a m

และมจ านวนเตม n ซง 2 1b n 2 (2 1) 2( ) 1a b m n m n โดยท m n เปนจ านวนเตม

โดยสมบตปดภายใตการบวกของจ านวนเตม ดงนน a b เปนจ านวนค

ตวอยาง 3.3 ให x และ y เปนจ านวนจรง จงพสจนวา ถา x และ xy เปนจ านวนตรรกยะโดยท 0x แลว y เปนจ านวนตรรกยะ พสจน สมมต x และ xy เปนจ านวนตรรกยะโดยท 0x ดงนนมจ านวนเตม , ,a b c และ d

ซง ax

b และ c

xyd

โดยท ,a b และ d ไมใช 0

เราจงไดวา 0ad และ xy c b

x d a

cby

da โดยท cb และ da เปนจ านวนเตม

โดยสมบตปดภายใตการคณกนของจ านวนเตม สรปไดวา y เปนจ านวนตรรกยะ

บทนยาม 3.3 ให x เปนจ านวนจรง เราเรยก x วาเปนจ านวนตรรกยะ (rational number) กตอเมอ

มจ านวนเตม a และ b โดยท 0b ซง ax

b

เราเรยกจ านวนจรงทไมใชจ านวนตรรกยะวา จ านวนอตรรกยะ (irrational number)



3.2 การพสจนประพจนเลอก เนองจากประพจน p q สมมลกบ p q ดงนนในการพสจนประพจน p q เราจงสามารถพสจนประพจน p q แทนได

การพสจนประพจน p q สมมต p เปนจรง (สวนของการพสจน) ดงนน q

ตวอยาง 3.4 ให a เปนจ านวนเตม จงพสจนวา a หรอ 1a เปนจ านวนค (ใหนกศกษาท าเอง)

ตวอยาง 3.5 ให x และ y เปนจ านวนจรง

จงพสจนวา ถา 0xy แลว 0x หรอ 0y (ใหนกศกษาท าเอง)

3.3 การพสจนแยงสลบท (contrapositive proof) ในบางครงการพสจนประพจน p q โดยการพสจนตรงท าไดยาก แตเนองจากประพจน p q สมมลกบ q p เราจงสามารถพสจนประพจน q p แทนได การพสจนประพจน p q โดยอาศยประพจนแยงสลบท สมมต q เปนจรง (สวนของการพสจน) ดงนน p

ตวอยาง 3.6 ให a เปนจ านวนเตม

จงพสจนวาถา 2a เปนจ านวนคแลวแลว a เปนจ านวนค (ใหนกศกษาท าเอง)


จงพสจนวาถา 24 1a แลว a เปนจ านวนค (ใหนกศกษาท าเอง)



3.4 การพสจนประพจนทมเงอนไขสองทาง เนองจากประพจน p q สมมลกบ p q q p ซงมคาความจรงเปนจรงเมอ p q และ q p เปนจรงทงค ดงนนในการพสจน p q เราจงควรแบงการพสจนออกเปนสองสวนดงน การพสจน p q 1) พสจน p q 2) พสจน q p โดยเลอกใชวธการพสจนส าหรบประพจนทมเงอนไขตามความเหมาะสม

ตวอยาง 3.8 ให a เปนจ านวนเตม จงพสจนวา a เปนจ านวนคกตอเมอ 2a เปนจ านวนค แนวคด ให p แทนขอความ a เปนจ านวนค และ q แทนขอความ 2a เปนจ านวนค เราตองแบงกรณเพอพสจนเปน 2 กรณคอ

1) พสจน p q (ถา a เปนจ านวนคแลว 2a เปนจ านวนค) 2) พสจน q p (ถา 2a เปนจ านวนคแลว a เปนจ านวนค)

กรณท 1) ตองการพสจน p q นนคอ ถา a เปนจ านวนคแลว 2a เปนจ านวนค พสจน สมมตให a เปนจ านวนค นนคอ มจ านวนเตม m ซง 2a m เราจงไดวา 2 2 2 2(2 ) 4 2(2 )a m m m โดยท 22m เปนจ านวนเตม โดยสมบตปดการคณของจ านวนเตม ดงนน 2a เปนจ านวนค กรณท 2) ตองการพสจน q p นนคอ ถา 2a เปนจ านวนคแลว a เปนจ านวนค เนองจากเราไมสามารถแสดงโดยตรงวา a เปนจ านวนคจากการสมมตวา 2a เปนจ านวนค เราจงจะพสจนประพจนแยงสลบท p q แทน กลาวคอ ถา a เปนจ านวนคแลว 2a เปนจ านวนค พสจน สมมตให a เปนจ านวนคนนคอ มจ านวนเตม m ซง 2 1a m เราจงไดวา 2 2 2(2 1) 4 4 1a m m m 22(2 2m) 1m โดยท 22 2m m เปนจ านวนเตม โดยสมบตปดการคณของจ านวนเตม ดงนน 2a เปนจ านวนค สรปไดวา a เปนจ านวนคกตอเมอ 2a เปนจ านวนค จากการพสจนกรณ 1 และ 2



ตวอยาง 3.9 ให a และ b เปนจ านวนเตม จงพสจนวา a เปนจ านวนคกตอเมอ 1a เปนจ านวนค

(ใหนกศกษาท าเอง)

3.5 การพสจนประพจน p q r เนองจากประพจน p q r p q r ดงนนในการพสจนประพจนนจะสมมตให p และ q เปนจรงแลวพสจนใหไดวา r เปนจรงเสมอ ตวอยาง 3.10 ให m และ n เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา m n เปนจ านวนคแลว m เปนจ านวนค หรอ n เปนจ านวนค พสจน ให p แทนขอความ m n เปนจ านวนค q แทนขอความ m เปนจ านวนค r แทนขอความ n เปนจ านวนค (ใหนกศกษาท าเอง) ตวอยาง 3.11 ให m และ n เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา mn เปนจ านวนคแลว m เปนจ านวนค หรอ n เปนจ านวนค พสจน ให p แทนขอความ mn เปนจ านวนค q แทนขอความ m เปนจ านวนค r แทนขอความ n เปนจ านวนค (ใหนกศกษาท าเอง)

บทนยาม 3.4 ให x เปนจ านวนจรง คาสมบรณ (absolute value) ของ x เขยนแทนดวย x

นยามโดย , 0

0 , 0

, 0

x x

x x

x x



3.6 การพสจนประพจน p q r เนองจากประพจน p q r p q p r ดงนนในการพสจนประพจนนจะตองพสจนวา ทง p q และ p r เปนจรง ตวอยาง 3.12 ให a เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนคแลว 24 a และ 2 1a เปนจ านวนค พสจน ให p แทนขอความ a เปนจ านวนค q แทนขอความ 24 a เปนจ านวนค r แทนขอความ 2 1a เปนจ านวนค (ใหนกศกษาท าเอง) ตวอยาง 3.13 ให a เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนคแลว 24 ( 3)a และ 24 1a

พสจน ให p แทนขอความ a เปนจ านวนค q แทนขอความ 24 ( 3)a r แทนขอความ 24 1a

(ใหนกศกษาท าเอง) ตวอยาง 3.14 จงพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอไม ถาจรงจงพสจน ถาไมจรงจงยกตวอยางคาน

1) ผลบวกของจ านวนเตมคกบจ านวนเตมค เปนจ านวนเตมค

2) ผลบวกของจ านวนตรรกยะและจ านวนอตรรกยะเปนจ านวนอตรรกยะ

3) ผลคณของจ านวนตรรกยะและจ านวนอตรรกยะเปนจ านวนอตรรกยะ



แบบฝกหด 3.1 ให ,a b และ c เปนจ านวนเตมและ x และ y เปนจ านวนจรง 1. จงพสจนขอความตอไปน โดยเลอกวธพสจนทเหมาะสม

1) ถา a b และ b c แลว a c 2) ถา a b และ a c แลว a b c 3) ถา a และ b เปนจ านวนคแลว a b เปนจ านวนคแต ab เปนจ านวนค 4) ถา a เปนจ านวนคแลว 2 2a b เปนจ านวนค 5) ถา a และ b เปนจ านวนคแลว3a b เปนจ านวนค 6) ถา 1a เปนจ านวนคแลว 2 2 1a a เปนจ านวนค 7) ถา x และ y เปนจ านวนตรรกยะแลว xy และ x y เปนจ านวนตรรกยะ

8) ถา 0x แลว 32

3

x

x

9) ถา x เปนจ านวนตรรกยะและ y เปนจ านวนอตรรกยะแลว x y เปนจ านวนตรรกยะ 10) a เปนจ านวนคกตอเมอ 1a เปนจ านวนค 11) a เปนจ านวนคกตอเมอ 2 1a เปนจ านวนค 12) a เปนจ านวนคกตอเมอ 3a เปนจ านวนค 13) 3 1a เปนจ านวนคกตอเมอ5 2a เปนจ านวนค 14) a เปนจ านวนคกตอเมอ 24 a

15) a b กตอเมอ 11

2a b

2. จงพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอไม ถาจรงจงพสจน ถาไมจรงจงยกตวอยางคาน

4) ถา a เปนจ านวนคแลว 3a เปนจ านวนค 5) ถา a และ b เปนจ านวนคแลว a b เปนจ านวนค 6) ถา a เปนจ านวนเตมและ 4a เปนจ านวนคแลว 3a เปนจ านวนค 7) ถา b เปนจ านวนเตมและ 5b b เปนจ านวนค แลว b เปนจ านวนค 8) ผลบวกของจ านวนตรรกยะเปนจ านวนตรรกยะ 9) ผลคณของจ านวนตรรกยะเปนจ านวนตรรกยะ 10) ผลบวกของจ านวนอตรรกยะเปนจ านวนอตรรกยะ



3.7 การพสจนโดยแจกแจงกรณ (proof by cases) เนองจาก p q r p r q r ดงนน ตองพสจนวาท ง 2 กรณเปนจรง

กรณท 1 พสจน p r กรณท 2 พสจน q r


จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนคหรอ a เปนจ านวนค แลว 2a a เปนจ านวนค พสจน ให p แทนขอความ a เปนจ านวนค q แทนขอความ a เปนจ านวนค r แทนขอความ 2a a เปนจ านวนค ดงนน จะตองพสจนประพจน p q r เปน 2 กรณ กรณท 1 พสจน p r (ถา a เปนจ านวนค แลว 2a a เปนจ านวนค) สมมตให a เปนจ านวน นนคอ มจ านวนเตม m ซง 2a m

22 22 4a m m

จะได 2 2 24 2 2 2a a m m m m โดยท 22 2m m เปนจ านวนเตม

โดยสมบตปดของจ านวนเตม ดงนน 2a a เปนจ านวนค กรณท 2 พสจน q r (ถา a เปนจ านวนค แลว 2a a เปนจ านวนค) (ใหนกศกษาท าเอง) ตวอยาง 3.16 ให a และ b เปนจ านวนจรง

จงพสจนวา ถา 0a หรอ 0b แลว 0ab พสจน ให p แทนขอความ 0a q แทนขอความ 0b r แทนขอความ 0ab (ใหนกศกษาท าเอง)



3.8 การพสจนโดยขอขดแยง (วธทางออม) (contradiction proof) เนองจากประพจน p q p q ในการพสจนประพจน p q โดยขอขดแยง เราจะสมมต p และ q แลวแสดงวามขอขดแยงเกดขน ตางจากการพสจนประพจนแยงสลบท

การพสจนประพจน p q ทางออม สมมต p และ q เปนจรง (สวนของการพสจน) ดงนน เกดขอความขดแยง

ตวอยาง 3.17 จงพสจนวา 2 3 a แลว 2 3 (7) 7a ตวอยาง 3.18 ส าหรบทกจ านวนจรงบวก x และ y ใดๆ

จงพสจนวา x y x y

ตวอยาง 3.19 จงพสจนวา 2 เปนจ านวนอตรรกยะ ตวอยาง 3.20 ก าหนดให A และ B เปนเซตทไมใชเซตวาง

จงพสจนวาถา A B แลว A B

ตวอยาง 3.21 ให a และ b เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนค และ b เปนจ านวนคแลว a b เปนจ านวนค โดยวธขดแยง



3.9 การพสจนประพจนซงเปนไปไดอยางเดยว (uniqueness proofs) ให ( )p x เปนประโยคเปด และ A เปนเซตใดๆ ประพจน ! , ( )x A p x มความหมายวา x ม ใน A เพยงตวเดยวเทานนทมสมบต ดงนนในการพสจนประพจน ! , ( )x A p x จะตองแสดง 2 ขนตอนคอ

1) , ( )x A p x นนคอแสดงวา ม x อยางนอยทสดตวหนงใน A ซงมสมบต ( )p x 2) , , ( ) ( )x A y A p x p y x y นนคอแสดงวา ม x อยางมากทสดเพยง ตวเดยวใน A ซงมสมบต ( )p x

ตวอยาง 3.22 จงพสจนวามจ านวนจรง x เพยงจ านวนจรงเดยวเทานนทท าให 3 1 0x พสจน ขอความนเขยนในรปสญลกษณไดเปน 3! , 1 0x x

จะตองแสดง 2 ขนตอนคอ 1) จะแสดงวา 3, 1 0x x 2) จะแสดงวา 3 3, , 1 0 1 0x y x y x y

ตวอยาง 3.23 จงพสจนวาไมวา x จะเปนจ านวนเตมใดกตาม จะมจ านวนเตม y เพยงจ านวนเดยวเทานนทท าให 3x y พสจน ขอความนเขยนในรปสญลกษณไดเปน , !y , 3x x y

จะตองแสดง 2 ขนตอนคอ 1) จะแสดงวา , 3y x y 2) จะแสดงวา , , 3 3y w x y x w y w

3.10 การพสจนวาไมม ถาตองการแสดงวาประพจน p เปนเทจ เราอาจจะพสจนประพจน p เปนจรงแทนกไดในกรณขอความแบบ , ( )x U p x เปนเทจ สมมลกบ , ( )x U p x เปนจรง ตวอยาง 3.24 จงพสจนวา 2, 1 0x x เปนเทจ ตวอยาง 3.25 จงพสจนวา ,0 1x x เปนเทจ



แบบฝกหดท 3.2 1. จงพสจนขอความตอไปน

1) ไมวา a และ b จะเปนจ านวนเตมใดกตาม ถา a b เปนจ านวนคแลว a เปนจ านวนค หรอ b เปนจ านวนค 2) ไมวา a และ b จะเปนจ านวนเตมใดกตาม ถา a b เปนจ านวนคแลว a และ b เปนจ านวนค หรอ a และ b เปนจ านวนค 3) ไมวา a จะเปนจ านวนเตมใดกตาม จะไดวา 2 3a a เปนจ านวนค 4) ส าหรบจ านวนจรง x ใดๆ จะไดวา x x

5) ส าหรบจ านวนจรง x ใดๆ จะไดวา 2 2x x

2. จงพสจนขอความตอไปนโดยวธขดแยง 1) ไมวา x จะเปนจ านวนเตมใดกตาม จะไดวา ถา 0x แลว 1 0x 2) ไมวา n จะเปนจ านวนเตมใดกตาม จะไดวา ถาไมมจ านวนเตมอยระหวาง 0 กบ 1 แลว จะไมมจ านวนเตมอยระหวาง n กบ 1n 3) ไมวา x จะเปนจ านวนจรงบวกใดกตาม จะไดวา 1x x 3. จงพสจนวาขอความตอไปนเปนเทจ โดยการยกตวอยางคาน 1) 2 2, ,x y x y x y 2) , ,x y x y x y 3) , , 0 0 0x y x y x y 4) จงพสจนขอความตอไปน ใหมากกวา 1 วธ “ถา a และ b จะเปนจ านวนคแลว a b เปนจ านวนค”



3.11 การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร การพสจนขอความในแบบ โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร เราจะตองแสดง 2 ขนตอน คอ 1) ขนตอนฐานหลก-basis step แสดงวา (1)p เปนจรง และ 2) ขนตอนอปนย-induction step แสดงวา , ( ) ( 1)k p k p k เปนจรง

ตวอยาง 3.26 จงพสจนวา ( 1),1 2 3 ...

2

n nn n

พสจน ให ( 1)( ) :1 2 3 ...

2

n np n n

เมอ n

เพราะวา 1(1 1)1

2

ดงนน

(i) (1)p คอ 1(1 1)1

2

จงเปนจรง

ให k เปนจ านวนนบใดๆ ซง ( )p k เปนจรง นนคอ

(ii) 1 2 3 ... k ( 1)

2

k k

จะตองแสดงวา ( 1)p k เปนจรงนนคอ 1 2 3 ... ( 1)k k ( 1)( 2)

2

k k

จาก (ii) บวกดวย ( 1)k ทงสองขางจะไดวา

1 2 3 ... ( 1)k k ( 1)( 1)

2

k kk

( 1) 2( 1)

2

k k k

( 1)( 2)

2

k k

ดงนน (iii) ( 1)p k เปนจรง

จาก (i) และ (iii) และหลกอปนยเชงคณตศาสตร จะไดวา ( 1),1 2 3 ...

2

n nn n

เปน

จรง

ตวอยาง 3.27 จงพสจนวา 3,3n n n (ใหนกศกษาท าเอง)

ตวอยาง 3.28 ให x เปนจ านวนจรงใดๆ ซง 0x จงพสจนวา , 1 1n nn x x

(ใหนกศกษาท าเอง) ตวอยาง 3.29 จงพสจนวา 1,2 2n nn (ใหนกศกษาท าเอง)



3.12 อปนยเชงคณตศาสตรทเรมขนฐานดวย 0n การพสจนขอความในแบบ โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร เราจะตองแสดง 2 ขนตอน คอ

1) ขนตอนฐานหลก-basis step แสดงวา 0( )p n เปนจรง และ 2) ขนตอนอปนย-induction step แสดงวา 0, , ( ) ( 1)k n n p k p k เปนจรง ตวอยางท 3.30 จงหาจ านวนนบเรมตนทท าใหขอความนเปนจรงพรอมทงพสจน 22n n

พจารณา 1 22 2 1 1 , 2 24 2 2 4 , 3 28 2 3 9 , 4 216 2 4 16 , 5 232 2 5 25 , 6 264 2 6 36 ,

เราจะพสจนขอความ 2, 4,2nn n n ตวอยางท 3.31 จงหาจ านวนนบเรมตนทท าใหขอความนเปนจรงพรอมทงพสจน 2 !n n



แบบฝกหดท 3.3 1. จงพสจนขอความตอไปน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร

1) 2 2 2 2( 1) 2 1

,1 2 3 ...6

n n nn n

2) 2

3 3 3 3 ( 1,1 2 3 ...

2

n nn n

3) 2,1 3 5 ... 2 1n n n 4) 2,2 4 4 ... 2n n n n 5) 2 3 1,2 2 2 ... 2 2 2n nn

6) 4 2,12n n n

7) 5,5n n n 8) ,3 5 2n nn

9) 3 1 1,5 3 2n nn 10) 2,8 5 7nn

11) ,2nn n 12) 1 1,2 2 2 1n n nn 13) 1 2,1 2 2 ... 2 2nn 14) 4, 5,4nn n n 15) 10 6,n 10,2 (1000) 2 2n n nn 2. จงหาจ านวนนบเรมตนทท าใหขอความนเปนจรงพรอมทงพสจน 1) 2 !n n 2) 44n n

3) 222 ! 2 !nn n 4) 2 3

2

n

n

3. จงเดากฎตอไปนในกรณทวไป และจงพสจนค าตอบดวย 1) 1 =1 1+3 =4

1+3+5 =9 1+3+5+7 =16 1+3+5+7+9 =25 2) 1 =1

1-4 =-(1+2) 1-4+9 =1+2+3

1-4+9-16 =-(1+2+3+4)

บทที่ 3 การพิสูจน์¸šทที่ 3... · ตัวอย่าง...

Documents

Transcript of บทที่ 3 การพิสูจน์¸šทที่ 3... · ตัวอย่าง...