บทที่ 2 ตรรกศาสตร์¸šทที่-2... · บทที่ 2...

8 หลกการคณตศาสตร (Mathematics Principle) MAP1401 สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

บทท 2 ตรรกศาสตร


ตรรกศาสตรเปนการศกษาถงหลกการและวธการทใชในการใหเหตผล การศกษาระบบ

คณตศาสตร ซงมลกษณะเปนนามธรรมจงตองอาศยการพสจนหาความจรง โดยใชหลกการใหเหตผลทางตรรกศาสตร ในทนจะกลาวถงตรรกศาสตรพนฐานทจะน าไปใชในการพสจนขอความทางคณตศาสตร ดงรายละเอยดตอไปน

2.1 ประพจน (proposition หรอ statement) บทนยาม 2.1: ประพจน (proposition หรอ statement) คอ ประโยคทเปนจรงหรอเทจเพยงอยางใดอยางหนงเทานน นยมเขยนแทนตวอกษรตวพมพเลกในภาษาองกฤษ เชน p, q, r เปนตน บทนยาม 2.2: เรยกประพจนทเปนจรงวา ประพจนทมคาความจรง (true value) เปนจรงแทนดวยสญลกษณ T และเรยกประพจนทเปนเทจวา ประพจนทมคาความจรงเปนเทจ แทนดวยสญลกษณ F บทนยาม 2.3: ให p และ q เปนประพจนใดๆ นเสธ (negation) ของ p เขยนแทนดวยสญลกษณ ~p เปนประพจนทมคาความจรงตรงกนขามกบ p *** ถามประพจนตงแตสองประพจนขนไปเชอมกนเราเรยกประพจนนนวา ประพจนเชงประกอบ (compound statement) ตวอยางประโยคทเปนประพจน

กรงเทพมหานครเปนเมองหลวงของประเทศไทย

สนขเปนสตวเลยงลกดวยนม

แสงเคลอนทไดโดยใชอากาศเปนตวกลางในการเคลอนท

9 เปนจ านวนอตรรกยะ

2+3 = 6 ส าหรบประโยคทไมสามารถหาคาความจรงของประโยคไดเชน ประโยคค าถาม ประโยคค าสง ค าอทาน หรอวล ไมใชประพจนเชน

จงแสดงวธท าอยางละเอยด

ประเทศใดอยในกลมประชาคมอาเซยนบาง

นกอนทรยสขาวขนาดใหญ



2.2 ประโยคเปด (Open Sentence) ตวอยางประโยคเปด

เขาไดรบเหรยญรางวลในการแขงขนกฬาโอลมปกรวมทงหมด 22 เหรยญ

เธอเปนนกบนหญงไทยคนแรกทจะไดไปทองอวกาศ

2x x 0 , x R เมอ R แทนเซตของจ านวนจรง

2y 1 5 , y R เมอ R แทนเซตของจ านวนจรง ในประโยคขางตนมค าทไมไดระบชดเจนเขน เขา เธอ จ านวนจรง x จ านวนจรง y ซงไมไดระบชดเจนวา คอใคร เปนจ านวนใด จงยงไมสามารถหาคาความจรงได แตเมอแทนทตวแปรและเตมวลบอกปรมาณของตวแปรลงไปในประโยคแลวจะสามารถท าใหบอกคาความจรงของประโยคนนได ประโยคนนจะเปนประพจน เชน -ไมเคล เฟลปสไดรบเหรยญรางวลในการแขงขนกฬาโอลมปกรวมทงหมด 22 เหรยญ -ชอเอองเปนนกบนหญงไทยคนแรกทจะไดไปทองอวกาศ -ทกจ านวนจรง x จะไดวา 2x x 0 -มจ านวนจรง y บางจ านวน 2y 1 5 หมายเหต บางประโยคถงแมจะมตวแปรในประโยค แตถาสามารถบอกคาความจรงไดประโยคนนจดวาเปนประพจน เชน 2x 1 0 มคาความจรงเปนเทจ การเขยนประโยคเปด การเขยนประโยคเปดเราจะเขยนแทนประโยคเปดดวยตวอกษรภาษาองกฤษตวใหญ และเขยนวงเลบแสดงตวแปรของประโยค เชน ให P(x) แทน 2x x 2 0 เมอ x R Q(y) แทน 2y 3 0 เมอ y R R(x,y) แทน 2 2x y 1 เมอ x R และ y R

บทนยาม 2.4 : ประโยคเปด(Open Sentence) คอประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทมตวแปรอยในประโยค ยงไมสามารถบอกไดวาเปนจรงหรอเทจ



2.3 การเชอมประพจน ถามประพจนตงแต 2 ประพจนขนไปสามารถน าประพจนนนมาสรางประพจนใหม โดยใชการเชอมประพจนดวยตวเชอม ซงม 4 แบบ ดงน 2.3.1) การเชอมประพจนดวยตวเชอม “และ” (conjunction) ถา p และ q เปนประพจน เขยนแทน “p และ q” ดวยสญลกษณ “p q” ซงประพจน p และ q จะมคาความจรงเปนจรงไดเพยงกรณเดยวเทานน

2.3.2) การเชอมประพจนดวยตวเชอม “หรอ” (disjunction) ถา p และ q เปนประพจน เขยนแทน “p หรอ q” ดวยสญลกษณ “p q” ซงประพจน p หรอ q จะมคาความจรงเปนเทจไดเพยงกรณเดยวเทานน

2.3.3) การเชอมประพจนดวยตวเชอม “ถา...แลว...” (conditional) ถา p และ q เปนประพจน เขยนแทน “ถา p แลว q” ดวยสญลกษณ “pq” ซงประพจนถา p แลว q จะมคาความจรงเปนเทจไดเพยงกรณเดยวเทานน

p q pq T T T

T F F F T F

F F F

p q p q T T T

T F T

F T T F F F

p q pq T T T

T F F

F T T F F T



2.3.4) การเชอมประพจนดวยตวเชอม “...กตอเมอ...” (biconditional) ถา p และ q เปนประพจน เขยนแทน “p กตอเมอ q” ดวยสญลกษณ “pq” ซงประพจน p กตอเมอ q จะมคาความจรง ดงตาราง

ขอตกลง : เนองจากในประพจนหนงๆ อาจจะประกอบดวยประพจนยอยหลายๆ ประพจนเชอมกน ดงนนเพอความสะดวกเรานยมก าหนดล าดบของตวเชอมขอความจากมากไปหานอย ดงน 1. 2. 3. , 4. ~

2.4 การหาคาความจรงทมประพจนเปนตวเชอม จากตารางขางตนทกลาวมาจะเหนวาประพจน p, q มคาความจรงอย 4 กรณ หรอเขยนอกแบบหนงคอ 22 = 4 ดงนนถามประพจน 3 ประพจน คาความจรงกจะม 23 = 8 กรณ ในการหาคาความจรงของประพจนนนเราสามารถหาคาความจรงของประพจนได 2 วธ

1. โดยการสรางตารางหาคาความจรง (เหมาะกบกรณทไมทราบคาประพจนใดเลย) 2. การใชแผนภาพตนไม (กรณทบอกคาความจรงของประพจนยอยหรอบอกคาความ

จรงของประพจนเชงประกอบ) ตวอยาง 2.1 จงหาคาความจรงของ p (p q) วเคราะห : จะเหนวาตวอยางนเราไมทราบคาความจรงของประพจนยอยใดๆ เลย ดงนนเราควรเลอกหาคาความจรงดวยการสรางตาราง วธท า

p q pq

T T T T F F

F T F

F F T

p q p q p (p q) T T T T

T F T T

F T T T F F F T



ตวอยางท 2.2 จงเขยนตารางแสดงคาความจรงประพจน p q r (ใหนกศกษาฝกท าเอง) ตวอยางท 2.3 จงเขยนตารางแสดงคาความจรงประพจน p q r p q p r

(ใหนกศกษาฝกท าเอง) ตวอยาง 2.4 จงหาคาความจรงของประพจน (pq) (p r) เมอ p, q และ r มคาความจรง เปน T, F และ T ตามล าดบ วเคราะห: ในตวอยางนเราสามารถใชตารางหาคาความจรงไดแตจะเสยเวลาเพราะเราตองสรางถง 8 กรณ ถาสงเกตดๆ จะเหนวาโจทยใหคาความจรงของประพจนยอยมาแลว ดงนนวธทเหมาะเราควรจะเลอกใชวธการสรางแผนภาพตนไม วธท า (pq) (p r) T F T T F T T ตวอยาง 2.5 ถา p, q และ r เปนประพจน ซง p [(p~r) (q r)] มคาความจรงเปนจรง จงหาคาความจรงของ p, q และ r (ใหนกศกษาฝกท าเอง)



แบบฝกหดท 2.1 1. จงพจารณาวาขอใดเปนประพจน และมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ 1.1) 10+2 = 7 1.2) ถา 7-5 =10 แลว (7-5)+2 = 10+2 1.3) จงเขยนเซตค าตอบของสมการ 3x 1 0 1.4) เอะ! นนอาจารยสาขาวชาคณตศาสตรน

1.5) จ านวนเตมบวกทนอยทสดคอ 0 1.6) 4 เปนจ านวนเฉพาะกตอเมอ -1 คอจ านวนจรงลบทมากทสด 1.7) ประเทศไทยอยในเขตภมอากาศอบอน 1.8) เมอเรยนจบในชวโมงนแลว ขอใหทกคนกลบบานได

1.9) ให 2 > 1 1.10) a 0 2. ก าหนดให p มคาความจรงเปนจรง , q มคาความจรงเปนจรง, r มคาความจรงเปนเทจ, s มคาความจรงเปนเทจ จงหาคาความจรงของประพจนในแตละขอ 2.1) p q r 2.2) p q r s 2.3) q p r s 2.4) r p q p r s

2.5) p q q r q s

3. ก าหนดให p,q, r,s เปนประพจน จงสรางตารางคาความจรง

3.1) p p q 3.2) p q r

3.3) p q r s 3.4) q p r s 3.5) p q q r q s

4. ก าหนดให r t s t มคาความจรงเปนจรง จงหาคาความจรงของประพจน p , q, r



2.5 สจนรนดร (tautology) บทนยาม 2.5 : สจนรนดร (tautology) คอประพจนทมคาความจรงเปนจรงเสมอ สวนประพจนทมคาความจรงเปนเทจเสมอเรยกวา ขอความขดแยง (contradiction) การพจารณาวาประพจนใดเปนสจนรนดรสามารถพจารณาไดจากตารางคาความจรงหรอใชวธการสมมตใหประพจนนนมคาความจรงเปนเทจ จากนนกหาขอขดแยง ตวอยาง 2.6 จงแสดงวา p (p q) เปนสจนรนดร วธท า เปนจรงทกกรณ จากตารางคาความจรง ไมวา p และ q จะมคาความจรงเปนจรงหรอเปนเทจจะได p (p q) มคาความจรงเปนจรงทกกรณ ดงนนเปนสจนรนดร ตวอยาง 2.7 จงแสดงวา s t s t เปนสจนรนดร (ใหนกศกษาฝกท าเอง)

ตวอยาง 2.8 จงแสดงวา p q p ไมเปนสจนรนดร (ใหนกศกษาฝกท าเอง)

p q p q p (p q)

T T T T T F T T

F T T T

F F F T



2.6 สมมลเชงตรรกศาสตร (logically equivalent) จากตวอยางการหาคาความจรงของประพจนทเราไดกลาวมาแลวในขางตน เราจะพบวามบางประพจนทมคาความจรงเหมอนๆ กนซงประพจนทมคาความจรงเหมอนกนเราเรยกวา “การสมมลกน”

ขอสงเกต เนองจาก p และ q มคาความจรงของประพจนเหมอนกน ถาเราน าประพจนทง 2 ประพจนนมาเชอมดวย “...กตอเมอ...” จะพบวาคาความจรงของประพจนจะเปนจรงทกกรณ ซงสรปไดดงน 1. ในกรณท p q เราจะไดวาประพจน pq เปนสจนรนดร และในทางกลบกนถา ขอความ pq เปนสจนรนดรแลวจะไดวา p q 2. ถา pq เปนสจนรนดรเราจะกลาววา q เปน logical consequence ของ p 3. ถาประพจนใดมคาความจรงเปนจรงตรงขามกน เราจะเรยกประพจนทมคาความจรงตรงขาม กนวาเปนนเสธกน ตวอยาง 2.9 จงแสดงวา p q สมมลกบ p q (ใหนกศกษาฝกท าเอง) ตวอยาง 2.10 จงแสดงวา p q r สมมลกบ p q p r

(ใหนกศกษาฝกท าเอง)

บทนยาม 2.6: ให p และ q เปนประพจน เรากลาววา p และ q สมมลกนเชงตรรกศาสตร กตอเมอประพจนทงสองมคาความจรงเหมอนกนทกกรณ เขยนแทนดวยสญลกษณ p q



2.7 กฏตรรกศาสตร ส าหรบตวอยางประพจนทเปนสจนรนดรตอไปนเรามกจะน าไปใชอางองในการพสจนอย

บอยๆ ครง ไดแก 1. p ~p หรอ ~(~pp) 2. pp 3. a) pp p กฎนจพล

b) ppp 4. ~ ~pp กฎทวคณนเสธ (double negation) 5. a) p qq p กฎการสลบท (commutative laws) b) pqqp c) (pq) (qp) 6. a) p (q r) (p q) r กฎการเปลยนกลม (associative laws) b) p (q r) (pq) r 7. a) p (q r) (pq) (p r) กฎการแจกแจง (distributive laws)

b) p (q r) (p q) (p r) 8. a) ~(pq) ~p ~q กฎเดอมอรแกน (De Morgan’s laws) b) ~(p q) ~p~q 9. (pq) (~q~p) กฎการแยงสลบท (law of contraposition) 10. pq~p q กฎรปแบบสมมลของการแจกแจงเหตสผล 11. ~(pq)p~q กฎนเสธของการแจงเหตสผล 12. pp q กฎของการเตม (law of addition) 13. pqp หรอ pqq กฎการท าใหงาย (law of simplification) 14. p (pq)q กฎการแจงผลตามเหต (modus ponens) 15. ~q (pq)~q กฎการแจงผลคานเหต (modus tollens) 16. (pq) (q r) (p r) กฎของตรรกบท (law of syllogism) 17. a) ~p (p q) q b) ~q (p q) p

กฎตรรกบทแบบตดออก (disjunctive syllogism)

18. a) (pq) (p rq r) b) (pq) (p rq r) 19. a) (p r) (q r) (p q r) กฎการอนมานโดยกรณ (inference by cases) b) (pq) (r r) (pq r) 20. (pq r) (p (q r)



21. ก าหนดให c และ t แทนขอความขดแยงและขอความสจนรนดร จะได a) p cp

b) p cc c) p t t d) p t t 22. (pc) ~p เมอ c คอขอความขดแยง กฎของการเปนไปไมได (law of absurdity) 23. ~p cp เมอ c คอขอความขดแยง 24. (~pc) p

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แบบฝกหดท 2.2 1. ก าหนดให p,q, r,s เปนประพจน จงสรางตรวจสอบวาประพจนในขอใดเปนสจนรนดร และประพจนใดเปนขอความขดแยง 1.1) p p 1.2) p p 1.3) p r r 1.4) p r r 1.5) p q q p 1.6) p q s r 1.7) p q r s 1.8) p q p 1.9) p q p q 1.10) p q q p

1.11) p q p q 1.12) p q q p 1.13) p q r p q p r

1.14) p q r s p r q s

2. จงตรวจสอบประพจนตอไปน วาเปนประพจนทสมมลกนหรอไม 2.1) p q กบ p q 2.2) p q กบ q p 2.3) p q กบ p q 2.4) p q r กบ p q r 2.5) p q p r กบ p q r 2.6) p r q r กบ p q r 3. จงแสดงวา 3.1) p q p p q p q

3.2) p q p q p q



2.8 การอางเหตผล (Argument) กระบวนการใหเหตผลแบงออกได 2 วธ คอ 1. การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) 2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) เปนการคนพบความสมพนธทวไปจากตวอยางหรอประสบการณหรอจากการทดลอง เหตยอยหลายๆ เหต เหตยอยแตละเหตเปนอสระจากกน มความส าคญเทาๆ กน และเหตทงหลายเหลานไมมเหตใดเหตหนงแสดงใหเหนถงความเปนสมมตฐานกรณทวไป หรอกลาวไดวา การใหเหตผลแบบอปนยคอการน าเหตยอยๆ แตละเหตมารวมกน เพอน าไปสผลสรปเปนกรณทวไป การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) เปนการน าความรพนฐานซงอาจเปนความเชอ ขอตกลง กฎ หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอน และยอมรบวาเปนความจรงเพอหาเหตผลน าไปสขอสรป เปนการอางเหตผลทมขอสรปตามเนอหาสาระทอยภายในขอบเขตของขออางทก าหนด ในนกระบวนการการใหเหตผลจะประกอบดวยประพจน 2 สวน คอสวนทเปนเหตหรอสมมตฐาน (premise or assumption) และสวนทเปนขอสรปหรอผล (conclusion) ซงวธการทจะยอมรบวาขอสรปเปนผลมาจากเหตหรอสมมตฐานนนๆ ถาเหตเปนเงอนไขทจะท าใหเกดขอสรปหรผล จะเรยกวาเปนการใหเหตผลทสมเหตสมผล (valid argument) เขยนแทนดวย p1, p2, …, pn |—q หรอ

1

2

n

p

p

p

q

บทนยาม 2.7: การใหเหตผลทประกอบดวยเหต p1, p2, …, pn และขอสรป q จะสมเหตสมผล (valid)กตอเมอ p1p2 … pn q เปนสจนรนดร ในการตรวจสอบวาการอางเหตผลใดมความสมเหตสมผลหรอไมสามารถท าไดโดยการตรวจสอบวาประพจน p1p2 … pn q เปนสจนรนดรหรอไม โดยใชวธการดงน



1. การสรางตารางหาคาความจรง 2. สมมตใหประพจนนนมคาความจรงเปนเทจ จากนนกหาขอขดแยง 3. ใชกฎของตรรกศาสตร ในการตรวจสอบวาการอางเหตผลใดมความสมเหตสมผลกนหรอไมนน ถาทดสอบโดยการสรางตารางจะท าใหเสยเวลามาก จงอาศยการอางเหตผลทสมเหตสมผลมาประกอบการพสจน กฏเกณฑทสมเหตสมผล ไดแก 1. Modus Ponens เหต 1. pq 2. p …………………… ผล q 2. Modus Tollens เหต 1. pq 2. ~q …………………… ผล ~p 3. Hypothetical Syllogism เหต 1. pq 2. q r …………………… ผล p r 4. Disjunctive Syllogism

เหต 1. p q 2. ~p …………………… ผล q

เหต 1. p q 2. ~q …………………… ผล p

ตวอยาง ถาแอมขยนแลวจะสอบผาน แอมเปนคนขยน ดงนน แอมสอบผาน



5. Simplification

6. Conjunction เหต 1. p 2. q …………………. ผล pq 7. Addition เหต p …………………. ผล pq 8. Constructive Dilemma เหต 1. p q r s 2. p r …………………. ผล q s 9. Destructive Dilemma เหต 1. p q r s 2. ~q ~s …………………. ผล ~p ~r

ในทนจะขอน าเสนอตวอยางการตรวจสอบวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม ดวยการใชกฎทอางองในการพสจนตามทกลาวมาในขางตน ทมา; โสพร เสณตนตกล, 2554, ตรรกศาสตร การพสจน เซต, โรงพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร กรงเทพ, หนา 28-33.

เหต 1. pq …………………. ผล p

เหต 1. pq …………………. ผล q



ตวอยางท 2.11 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1. p q 2. q r 3. ~r ------------------------ ผล ~p

พสจน 1. p q 2. q r 3. p r 4. ~r 5. ~p

1. premise 1 2. premise 2 3. จาก (1),(2) hypothetical syllogism 4. premise 3 5. จาก (3),(4) modus tollens

สรปไดวา การอางเหตผลน “สมเหตสมผล”

ตวอยางท 2.12 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม (ใหนกศกษาท าเอง) เหต 1. p q r 2. r s 3. ~s ------------------------ ผล ~p

พสจน

ตวอยางท 2.13 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม (ใหนกศกษาท าเอง) เหต 1. p q r s 2. r t 3. ~t ------------------------ ผล p

พสจน



ตวอยางท 2.14 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม (ใหนกศกษาท าเอง) เหต 1. p q 2. r s 3. p r ------------------------ ผล s q ตวอยางท 2.15 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม นกศกษาตงใจเรยน กตอเมอ นกศกษาขยน ถา นกศกษาตงใจเรยนและขยน แลวจะไดคะแนนสอบสง นกศกษาไมไดคะแนนสอบสง หรอ ไมไดท าแบบฝกหด ดงนน ไมจรงทวา นกศกษาตงใจเรยนและท าแบบฝกหด พสจน p แทน นกศกษาตงใจเรยน q แทน นกศกษาขยน r แทน นกศกษาสอบไดคะแนนสง s แทน นกศกษาท าแบบฝกหด จากขอมลสามารถน าเขยนเปนเหตและผลไดดงน เหต 1. p q 2. p q r 3. r s ------------------------ ผล p s จากนนท าการตรวจสอบวาการอางเหตผลนสมเหตสมผลหรอไม ดวยการตรวจสอบวา

p q p q r r s p s เปนสจนรนดรหรอไม



ตวอยางท 2.16 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม ถาผบรโภคตองการเครองดมเพอใหไดรบสารอาหารครบถวน แลวเขาจะดมนมถวเหลองหรอ ดมนมเปรยว ผบรโภคตองการเครองดมเพอใหไดสารอาหารครบถวน แตเขาไมดมนมถวเหลอง ดงนน เขาดมนมเปรยว พสจน p แทน ผบรโภคตองการเครองดมเพอใหไดสารอาหารครบถวน q แทน ผบรโภคดมนมถวเหลอง r แทน ผบรโภคดมนมเปรยว

ตวอยางท 2.17 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม (ใหนกศกษาท าเอง) ถาฉนไปพกผอนหนารอนนทเกาะหลเปะ แลวฉน(จะ)ไปด าน าดปะการงหรอนงเรอไปไดหมก (แต)ฉนไมไดไปด าน าดปะการงและไมไดนงเรอไปไดหมก ดงนน ฉนไมไดไปพกผอนหนารอนนทเกาะหลเปะ พสจน p แทน ฉนไปพกผอนหนารอนนทเกาะหลเปะ q แทน ฉนไปด าน าดปะการง r แทน ฉนนงเรอไปไดหมก



แบบฝกหดท 2.3 1. จงตรวจสอบประพจนเงอนไขตอไปนวาเปนประพจนเงอนไขทสมเหตสมผลหรอไม 1.1 p q p 1.2 p p q

1.3 p q p q

1.4 p q q p

1.5 p q q p

1.6 p q p q

1.7 p q q p

1.8 p q r p q r

1.9 p q q r p r

1.10 p q r p q r 2. จงพสจน 2.1 เหต 1. p q 2. q r 3. p ------------------------ ผล r

2.2 เหต 1. p q 2. q s 3. ~s ------------------------ ผล p s 2.3 เหต 1. p q 2. r q 3. s r 4. ~p ------------------------ ผล ~s



2.4 เหต 1. q p 2. ~r 3. q r 4. p s ------------------------ ผล s 2.5 เหต 1. p q 2. q r 3. r s 4. q ------------------------ ผล s 3. จงแสดงวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม 3.1 ถาฝนตกแลวน าจะทวมกรงเทพ ตอนนฝนตก ดงนน น าทวมกรงเทพ 3.2 ถาเอสอบเขาคณะครศาสตรไดและขยนเรยน แลวเอจะเรยนจบไดรบใบประกอบ วชาชพคร ถาเอไดใบประกอบวชาชพคร แลวเอจะสามารถน าวฒไปสอบบรรจครได เอไมไดสอบบรรจคร ดงนน เอสอบเขาคณะครศาสตรไมได หรอเอขเกยจเรยน 3.3 ถาฉนใชสอออนไลนเพอหาขอมลสนคา แลวฉนจะไดประสบการณเกยวกบสนคากอน ตดสนใจซอ ถาฉนไดประสบการณเกยวกบสนคากอนตดสนใจซอ แลวฉนจะไดสนคาทมคณภาพด และราคาถก แตฉนไมไดสนคาทมคณภาพดหรอราคาแพง(ไมถก) ดงนน ฉนไมไดใชสอออนไลนเพอหาขอมลสนคา



3.4 ถาบเปนคนเสนรอบเอวใหญ แลวเธอจะมความเสยงตอโรคหลอดเลอดหวใจ ถาบเปนคนทเสนรอบเอวใหญ และ มความเสยงตอโรคหลอดเลอดหวใจ แลว แสดงวาบมภาวะโภชนาการเกน แตไมจรงทวา บเปนคนทเสนรอบเอวใหญและมภาวะโภชนาการเกน ดงนน บเปนคนเสนรอบเอวเลก(ไมใหญ) 2.9 ตวบงปรมาณ (Quantifier) ประโยคเปดจะกลายเปนประพจนเมอแทนททกต าแหนงของตวแปรทเปนอสระในประโยคนนดวยคาคงตว ประโยคเปดยงกลายเปนประพจนไดดวยการใช “ตวบงปรมาณ” ตวอยางเชน 3 5x เปนประโยคเปด แต “มจ านวนเตม x ซง 3 5x ” และ “ 3 5x ส าหรบทกจ านวนเตม x ” เปนประพจน เราจะใชสญลกษณ แทน “ส าหรบทก” และใช แทน “ม” เรยก วาตวบงปรมาณส าหรบทกตว (universal quantifier) และ เรยก วา ตวบงปรมาณมอยางนอยหนงตว (existential quantifier)

หมายเหต 1. เราเขยน , ( )x U p x ดวย ( )x U p x หรอ ( )x p x มความหมายเดยวกน 2. เราเขยน , ( )x U p x หรอ ( )x U p x หรอ ( )x p x มความหมายเดยวกน 3. ขอความ “ส าหรบทกสมาชก x ของ U” มความหมายเดยวกบ “ส าหรบแตละสมาชก x ใน U” หรอ “ไมวา x จะเปนอะไรกตามใน U” 4. ขอความ “มสมาชก x ใน U ซง…” มความหมายเดยวกบ “ส าหรบบางสมาชก x ใน U ซง…” 2.9.1 คาความจรงของประพจนทมตวบงปรมาณ ส าหรบประโยคเปด ( )p x และเซต U ใดๆ , ( )x U p x เปนจรง กตอเมอ ( )p x เปนจรง ส าหรบทกสมาชก x ใน U , ( )x U p x เปนจรง กตอเมอ มสมาชก x ใน U ซง ( )p x เปนจรง

บทนยามท 2.8 ให U แทนเอกภพสมพทธของฟงกชนขอความ ( )p x เราเขยน , ( )x U p x แทน ( )p x ส าหรบทกสมาชก x ใน U , ( )x U p x แทน มสมาชก x ใน U ซง ( )p x



และจะไดวา , ( )x U p x เปนเทจ กตอเมอ มสมาชก x ใน U ซง ( )p x เปนเทจ , ( )x U p x เปนเทจ กตอเมอ ( )p x เปนเทจ ส าหรบทกสมาชก x ใน U ก าหนดให แทนเซตของจ านวนเชงซอน แทนเซตของจ านวนจรง แทนเซตของจ านวนตรรกยะ / แทนเซตของจ านวนอตรรกยะ

แทนเซตของจ านวนเตม แทนเซตของจ านวนนบ

ตวอยาง 2.18 ให 1,2,3,4U เปนเอกภพสมพทธ จงหาคาความจรงของขอความตอไปน 1) 0x x 2) 3x x พจารณาคาความจรงของ 0x x

x ขอความ 0x คาความจรง 1 1>0 T

2 2>0 T

3 3>0 T 4 4>0 T

พจารณาคาความจรงของ 3x x

x ขอความ 0x คาความจรง 1 1>3 F

2 2>3 F

3 3>3 F 4 4>3 T

ดงนนขอความ 0x x มคาความจรงเปนจรง ดงนนขอความ 3x x มคาความจรงเปนจรง ตวอยาง 2.19 ให 1,0,1,2U เปนเอกภพสมพทธ จงหาคาความจรงของขอความตอไปน 1) 0x x 2) 3x x พจารณาคาความจรงของ 0x x

x ขอความ 0x คาความจรง

พจารณาคาความจรงของ 3x x

x ขอความ 0x คาความจรง

ดงนนขอความ 0x x มคาความจรงเปน…… ดงนนขอความ 3x x มคาความจรงเปน……



ตวอยาง 2.20 ให 2, 1,1,2U เปนเอกภพสมพทธ จงหาคาความจรงของขอความตอไปน

1) 2 1 0x x

x ขอความ 2 1 0x คาความจรง

-2

-1

1 2

2) 2x x x

x ขอความ 2x x คาความจรง

-2

-1

1 2

ดงนนขอความ 2 1 0x x

มคาความจรงเปน……

ดงนนขอความ 2x x x

มคาความจรงเปน……

3) x x x

x ขอความ x x คาความจรง

-2 -1

1

2

4) 2 1x x

x ขอความ 2 1x คาความจรง

-2 -1

1

2

ดงนนขอความ x x x

มคาความจรงเปน……..… ดงนนขอความ 2 1x x

มคาความจรงเปน……..… ตวอยาง 2.21 ให 2 1 0 1 2 U , , , , เปนเอกภพสมพทธ และให

( )p x แทนขอความ 2x x และ ( )q x แทนขอความ 0x จงหาคาความจรงของขอความตอไปน 1) ( ) ( )x p x q x

x ขอความ 2( ) ( 0)x x x คาความจรง

-2

-1

0 1

2

ดงนนขอความ ( ) ( )x p x q x มคาความจรงเปน ……….



2) ( ) ( )x p x x q x

x ขอความ 2( )x x คาความจรง ขอความ 0x คาความจรง

-2

-1 0

1 2

ดงนนขอความ ( ) ( )x p x x q x มคาความจรงเปน ………. ตวอยาง 2.22 ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนนบ จงหาคาความจรงของขอความตอไปน 1) n [ n เปนจ านวนเฉพาะ n เปนจ านวนค ] 2) n [ 2 หารn ลงตว4 หาร n ลงตว ] ตวอยาง 2.23 ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนเตม จงหาคาความจรงของขอความตอไปน

1) 2 9 3n n n

2) n [ n หาร ( 1)n ลงตว ] ตวอยาง 2.24 ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรง จงหาคาความจรงของขอความตอไปน

1) 2x x x

2) 0x x x

3) /x x Q x Q

4) 20 0x x x

5) /x x Q x Q

6) 20 0x x x



2.9.2 ตวบงปรมาณหลายตวแปร ส าหรบประพจนทมบงปรมาณมากกวาหนงตว เราจะพจารณาตวบงปรมาณทละตว โดยใชหลกการตามทกลาวไปแลว

ตวอยางท 2.25 จงแปลงขอความตอไปนพรอมทงบอกเอกภพสมพทธในแตละขอ 1) ทกจ านวนจรง x มจ านวนจรง y ซง 0x y 2) ส าหรบจ านวนนบ n และ m จะไดวา 1n m 3) มจ านวนเตม x ซง 1x y ทกๆจ านวนเตม y

4) มจ านวนจรง x และ y ถา 0x และ 0y แลว 1 1

1x y

ตวอยางท 2.26 จงแปลงขอความตอไปนในรปขอความ 1) , 0x y xy 2) , ( 3)x y x y 3) ( 0)x y x y

บทนยาม 2.9 ให U แทนเอกภพสมพทธของฟงกชนขอความ ( , )p x y ตวบงปรมาณสองตวแปรคอ 1) ( , )x U y U p x y หรอ ( , )x y p x y หรอ , ( , )x y U p x y 2) ( , )x U y U p x y หรอ ( , )x y p x y 3) ( , )x U y U p x y หรอ ( , )x y p x y 4) ( , )x U y U p x y หรอ ( , )x y p x y



ตวอยาง 2.27 ให 0,1,2,3U เปนเอกภพสมพทธ จงหาคาความจรงของขอความตอไปน 1) 0x y xy 2) ( 3)x y x y 1) พจารณาคาความจรงของ 0x y xy

x y 0xy คาความจรง

0

0 1

2

3

1

0

1 2

3

2

0 1

2

3

3

0

1

2 3

ดงนน………………………………………………………………………………………………………………… 2) พจารณาคาความจรงของ ( 3)x y x y

x y 0xy คาความจรง

0 1

2 3

ดงนน…………………………………………………………………………………………………………………



2.9.3 สมมลของตวบงปรมาณ บทนยาม 2.10 ให U เปนเอกภพสมพทธของฟงกชนขอความ ( )p x และ ( )q x สมมลของตวบงปรมาณนยามโดย ( ) ( )x p x x q x กตอเมอ ( ) ( )p x q x ทกๆ x U ( ) ( )x p x x q x กตอเมอ ( ) ( )p x q x ทกๆ x U 2.9.4 นเสธของตวบงปรมาณ บทนยาม 2.11 ให U เปนเอกภพสมพทธของฟงกชนขอความ ( )p x นเสธของตวบงปรมาณนยามโดย นเสธของ ( )x p x คอ ( ) ( )x p x x p x นเสธของ ( )x p x คอ ( ) ( )x p x x p x

----------------------------------------------------------------------------------------------------- แบบฝกหดท 2.4

1. จงหาสมมลของประพจนตอไปนในรปแบบอน 1) ( ) ( )x p x q x 2) ( ) ( )x p x q x 3) ( ) ( )x p x x q x 4) ( , ) ( , )x y p x y q x y 5) ( , ) ( , )x y p x y q x y 6) ( ) ( )x p x x q x 2. จงหานเสธของประพจนตอไปน 1) ( ) ( )x p x q x 2) ( ) ( )x p x q x 3) ( ) ( )x p x q x 4) ( , ) ( , )x y p x y q x y

5) ( ) ( ) ( )x p x q x r x 6) ( , ) ( , )x y p x y q x y

บทที่ 2 ตรรกศาสตร์¸šทที่-2... · บทที่ 2...

Documents

Transcript of บทที่ 2 ตรรกศาสตร์¸šทที่-2... · บทที่ 2...