เฉลย บทที่ 12 เมตริกซ¸ªรุปเข้ม-M12... · งาน...

ตวสบายคณต เลม 4 http://www.pec9.com บทท 12 ความนาจะเปน

1

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 12 ความนาจะเปน

1. ตอบ 648 แนวคด ขอนตองแบงคดเปน 3 งานดงน

งาน เลอกประธาน เลอกรองประธาน เลอกเลขานการ จ านวนวธเลอก 9 9 8

ดงนน จ านวนวธทงหมด = 9 x 9 x 8 = 648 วธ

2. ตอบขอ 4. แนวคด เนองจาก A , B , C ตองนงตดกน เสมอ

(โดย C ตรงกลาง A กบ B ) ดงนนกอนอน ใหรวม 3 คนนถอเปนคนคนเดยวกน จากนน จงแบงคดเปนงาน 2 งานดงน

งาน 1 เรยงสบเปลยนทงหมดซงถอวาม 6 คน ( A C B ถอเปน 1 คน) จ านวนวธ = 6! = 720 งาน 2 สลบต าแหนงระวาง A กบ B ภายในกลม ( C ตองอยกบทตรงกลางเสมอ ) จ านวนวธ = 2! = 2 สดทาย จ านวนวธทงหมด = 720 x 2 = 1440 วธ

3. ตอบขอ 3. แนวคด กอนอนใหมดหนงสอวชาเดยวกนเปนกลมเดยวกนกอน แลวแบงคดเปน 4 งานดงน งาน 1 สลบกลมหนงสอทง 4 กลมจะได = 4 วธ

งาน 2 สลบหนงสอในกลมวทยาศาสตร จะได = 4 วธ งาน 3 สลบหนงสอในกลมคณตศาสตร จะได = 3 วธ

งาน 4 สลบหนงสอในหมวดองกฤษ จะได = 2 วธ

จาก 10 คน ม 1 คน ไมสมครเปน ประธาน จงเหลอคนใหเลอกเปน ประธานเพยง 9 คน เทานน

จาก 10 คนเมอไปเปนประธาน แลว 1 คน จงเหลอคนใหเลอก เปนรองประธานเพยง 9 คน

จาก10คนไปเปนประธาน และรองแลว 2 คน จงเหลอคนใหเลอก 8 คน

1 2 3 A C B 5 6 4

http://www.pec9/


2

งาน 5 สลบหนงสอในหมวดภาษาไทย จะได = 1 วธ

สดทายจะได วธจดเรยงหนงสอทงหมดได = 4 x 4 x 3 x 2x 1 = 6912 วธ

4. ตอบขอ 3. แนวคด กอนอนใหมดผแทนประเทศเดยวกนตดกนรวมเปน คนเดยวกนกอน จะท าใหเหลอผแทน 3 กลม ดงรป

แลวจงแบงคดเปนงาน 3 งาน

งาน 1 สลบกลมทง 3 กลมแบบเปนวงกลม จ านวนวธ = (3 – 1) = 2 วธ

งาน 2 สบเปลยนในกลม ม.4 ซงม 3 คน จะได = 3 งาน 3 สบเปลยนในกลม ม.5 ซงม 3 คน จะได = 3

งาน 4 สบเปลยนในกลม ม.6 ซงม 3 คน จะได = 3

สดทายจะได จ านวนวธเรยงสบเปลยนทงหมด = 2 x 3 x 3 x 3 = 432 วธ

5. ตอบขอ 2. แนวคด กอนอนตองจดคนทจะนงตดกนเปนกลมเดยวกนกอนดงรป

แลวแบงคดเปน 5 งานดงน งาน 1 สลบกลม 4 กลมแบบวงกลม จ านวนวธ = (4 – 1) ! = 3 ! งาน 2 สลบในกลม พอ + ลง = 2! งาน 3 สลบในกลม แม + ปา = 2! งาน 4 สลบในกลม ฉน + ลกสาวลง = 2!

งาน 5 สลบในกลม ลกชายลง + นองชาย = 2!

สดทายจะได จ านวนวธทงหมด = 3! x 2! x 2! x 2! x 2! = 6 x 2 x 2 x 2 x 2 = 96 วธ

พอ + ลง

แม

ปา ลกชายลง นอง

ฉน + ลกสาวลง

A A

C

A

C C B

B

B

http://www.pec9/


3

6. ตอบขอ 2. แนวคด กอนอนเราตองรวมสแดง สน าเงน สขาว เปนชดเดยวกอน แลวเรยงสบเปลยนดงน งาน 1 เรยงทงหมด 5 ลก เรยงเปนวงกลม ( สแดง สน าเงน สขาว ถอเปนลกเดยว )

จ านวนวธ = (5 – 1) = 4 = 24 วธ งาน 2 เรยงภายในกลม แดง น าเงน ขาว

เนองจากสน าเงนตองอยตดสแดงและตดสขาวดวย แสดงวาสน าเงนตองอยตรง กลางระหวางสแดงและสขาวเสมอ ดงนนจงสลบไดเฉพาะสแดงและสขาวเทานน

จ านวนวธ = 2 = 2 วธ สดทายจะได จ านวนวธเรยงสบเปลยนทงหมด = 24 x 2 = 48 วธ

7. ตอบ 21 แนวคด มทมฟตบอล 7 ทม จดแขงทละ 2 ทม

จ านวนวธ =

2

7 = 2! 5!

7! = 21 วธ

นนคอจะจดแขงขนไดทงหมด 21 ครง

8. ตอบขอ 3. แนวคด สมมตมทมฟตบอลทงหมด n ทม โจทยบอกจดแบบพบกนหมดได 36 ค

จงไดวา จาก n ทม จดหมทละ 2 ทม จะได 36 ค

นนคอ

2n = 36

! 2 ! 2) (n !n

= 36

! 2) (n !n

= 36 x 2!

! 2) (n ! 2) (n 1) (n n

= 72

n (n – 1) = ( 9 ) ( 8 ) จะได n = 9

นนคอมทมฟตบอลทงหมด 9 ทม

น าเงน แดง ขาว

http://www.pec9/


4

9. ตอบขอ 3. แนวคด ขนท 1 หา จ านวนวธจดหมจด 10 จด ทละ 3 จด

จะได จ านวนวธ =

3

10 = 3! 7!

10! = 120 วธ

ขนท 2 เนองจากมจด 4 จด อยบนแนวเสนตรง เดยวกน ( เชนจด A , B , C , D ดงรป ) หาก ลากเสนเชอมจดเหลานทละ 3 จดจะไมเกดรปสามเหลยมแตจะไดเสนตรงแทน

ดงนน จ านวนวธทไมเกดรปสามเหลยม =

3

4 = 4 วธ

สดทายจะได จ านวนวธจะเกดสามเหลยม = 120 – 4 = 116 วธ

10. ตอบขอ 4. แนวคด ขอนจะประกอบดวยงาน 3 งาน ไดแก

งานท 1 เลอกคนงานหญง จาก 6 คน เลอก 3 คน จ านวนวธ = C6,3 = 20 วธ งานท 2 เลอกคนงานชาย จาก 9 คน เลอก 5 คน จ านวนวธ = C9,5 = 126 วธ งานท 3 เลอกคนงานทเหลอ จาก 3 + 4 คน เลอก 3 คน จ านวนวธ = C7,3 = 35 วธ

สดทายจะได จ านวนวธทงหมด = 20 x 126 x 35 = 88200 วธ

11. ตอบ 28 แนวคด โจทยบอกสงของทตางกน 8 ชน แบงใหคนแรก 6 ชนทเหลอใหคนท 2 2 ชน จ านวนวธ = (จดหมของ 8 ชนใหคนแรก 6 ชน) x (จดหมของทเหลอ 2 ชนใหคนหลง 2 ชน)

=

2

2x

6

8

= 6! 2!8! x 1

จ านวนวธ = 28 วธ

A B C D

http://www.pec9/


5

12. ตอบขอ 3. แนวคด เลอกตวแทน 4 คน จากอาจารย 4 คน นกเรยนชาย 5 คน นกเรยนหญง 2 คน

โดยใหมอาจารย 1 คน มนกเรยนหญงอยางนอย 1 คน หมายความวาอาจมนกเรยน หญง 1 คน หรอ 2 คน กได ขอนจงแบงคดได 2 กรณ

กรณท 1 เลอกอาจารยจาก 4 เลอก 1 คน x น.ร.หญงจาก 2 เลอก 1 คน x นร.ชายจาก 5 เลอก 2 คน

จ านวนวธ = 80 = 25

12

14

วธ

กรณท 2 เลอกอาจารยจาก 4 เลอก 1 คน x น.ร.หญงจาก 2 เลอก 2 คน x นร.ชายจาก 5 เลอก 1 คน

จ านวนวธ = 20 = 15

22

14

วธ

สดทายจะได จ านวนวธเลอกรวมทง 2 กรณ = 80 + 20 = 100 วธ

13. ตอบ 90 แนวคด ขอสอบตอน 1 ม 4 ขอ ตอน 2 ม 4 ขอ ใหหาจ านวนวธทจะท าตอน 1 อยางนอย 1 ขอ และตอน 2 อก 2 ขอ ซงเปนไปได 4 กรณคอ กรณท 1 ท าตอน 1 จาก 4 ขอท า 1 ขอ และตอน 2 จาก 4 ขอท า 2 ขอ


2

4x

1

4 = 4 x 6 = 24 วธ

กรณท 2 ท าตอน 1 จาก 4 ขอ ท า 2 ขอ และตอน 2 จาก 4 ขอท า 2 ขอ


2

4x

2

4 = 6 x 6 = 36 วธ

กรณท 3 ท าตอน 1 จาก 4 ขอ ท า 3 ขอ และตอน2 จาก 4 ขอท า 2 ขอ


2

4x

3

4 = 4 x 6 = 24 วธ

กรณท 4 ท าตอน 1 จาก 4 ขอ ท า 4 ขอ และตอน 2 จาก 4 ขอ ท า 2 ขอ


2

4x

4

4 = 1 x 6 = 5 วธ

สดทายจะได จ านวนวธรวมทงสกรณ = 24 + 36 + 24 + 6 = 90 วธ

http://www.pec9/


6

จาก 4 ตว เลอก 2 ตว

เลอกได 2 แบบคอ น ามาเปนสมาชกเซต หรอไมตองน ามาใชกได

14. ตอบขอ 5. แนวคด ขอนตองสรางสบเซตของ A แลวใหเปนเซต C โดย C B มสมาชก 2 ตว แสดงวา C ตองม 3 , 4 , 5 , 6 อย 2 ตว สวน 1 , 2 , 7 , 8 จะมหรอไมกได

งาน เลอกใชเลข 3 , 4 , 5 , 6

เลอกใชเลข 1 เลอกใชเลข 2 เลอกใชเลข 7 เลอกใชเลข 8

วธ

2

4 = 6 2 2 2 2

สดทายจะได จ านวนวธทงหมด = 6 x 2 x 2 x 2 x 2 = 96 วธ

15. ตอบขอ 3.

แนวคด พจนท 4 = 3

31

332

3

6

= 20

811 81

8 = 729160

16. ตอบขอ 1. แนวคด จากการกระจาย (x4 – 22x

1 )10

พจนทม x–2 =

7 10 (x4)3

722x

1

= ! 7 ! 3

! 10 (x12)

14x 721 = 7x 7! ! 3 72

! 10

สมประสทธพจนน = 7! ! 3 72! 10 = a

พจนทม x4 =

6 10 (x4)4

622x

1

= ! 6 !4 ! 10 (x16)

12x 62

1 = 4x 6! !4 62! 10

สมประสทธพจนน =

6! !4 62! 10 = a

สดทายจะได ba =

! 6 !4 62! 10

! 7 ! 372! 10

= ! 7 ! 3x 72! 6 !4 x 62 = 2(7)

4 = – 72

http://www.pec9/


7

17. ตอบ 27.5 แนวคด พจนท 9 ของการกระจาย (x2+ 2x

1 )n คอ

8n (x2)n – 8 82x

1 =

8n x2(n – 8) 8x82

1 =

8n x2(n – 8) – 8

821

เนองจากพจนนไมม x ปรากฏ แสดงวาเลขชก าลงของ x เปนศนย จะไดวา 2(n – 8) – 8 = 0 นนคอ n = 12

ตอไปหาพจนทม x15 อย ซงกคอพจนท 4 คอ

3 12 (x2)9 32x

1 = 220 (x18)

3x 321 = 220 (x18–3) 8

1 = 27.5 x15

จะเหนวา สมประสทธพจนน = 27.5

18. ตอบขอ 1. แนวคด ขนท 1 หาจ านวนวธเลอกเลขมาแทน x และ y โดยไมมเงอนไข ( n(S) ) จ านวนวธ = ( จ านวนวธเลอกเลขมาแทน x ) ( จ านวนวธเลอกเลขมาแทน x ) จ านวนวธ = ( 10 ) ( 10 ) n(S) = ( 10 ) ( 10 ) ขนท 2 หาจ านวนวธท x2 + y2 < 25 ซงจะมไดเพยง 13 แบบ ไดแก

(1 , 1) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (2 , 1) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (3 , 1) (3 , 2) (3 , 3) (4 , 1) (4 , 2)

นนคอ n(E) = 13

สดทายจะได P(E) = n(S)n(E) = 100

13

http://www.pec9/


8


แนวคด ขนท 1 n(S) = จ านวนวธเลอกเลขจาก 9 ตวเลอก 4 ตว =

4 9 = 126

ขนท 2 n(E) = จ านวนวธเลอกเลขจาก 8 ตวเลอก 4 ตว =

4 8 = 70

สดทายจะได 95

12670

n(S)n(E)P(E)

20. ตอบขอ 4. แนวคด ขนท 1 หาจ านวนวธการจบรางวลจาก 10 ใบ เลอก 2 ใบ โดยไรเงอนไข จะได n(S)

n(S) =

2

10 = 45 วธ

ขนท 2 คดหาจ านวนวธทผทไดรางวลเปนชาย 1 คน และหญง 1 คน จะได n(E) n(E) = ( เลอกชาย 7 คน เลอก 1 คน ) x ( เลอกหญงจาก 3 คน เลอก 1 คน )

=

1

7 x

1

3

= 7 x 3 n(E) = 21 วธ


21 = 157

21. ตอบขอ 1. แนวคด ขนท 1 หาจ านวนวธหยบขาวจาก 10 ถง หยบ 4 ถง โดยไมมเงอนไข จะได n(S)

n(s) =

4

10 = 210 วธ

ขนท 2 หาจ านวนวธทจะไดขาวชนดละ 1 ถง

งาน 1 หยบขาวหอมมะลจาก 4 หยบ 1 =

1

4 = 4

งาน 2 หยบขาวเสาไหจาก 3 หยบ 1 =

1

3 = 3

http://www.pec9/


9

งาน 3 หยบขาวขาวตาแหงจาก 2 หยบ 1 =

1

2 = 2

งาน 4 หยบขาวเหนยว จาก 1 หยบ 1 =

1

1 = 1

จะได จ านวนวธทสนใจ = n(E) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 วธ

สดทายจะได P(E) = 354 210

24 n(S)n(E)

22. ตอบขอ 2. แนวคด ขนท 1 หาจ านวนวธเลอกฉลากจาก 10 ใบ หยบ 8 ใบ โดยไรเงอนไข จะได n(S)

n(S) = 10

8

= 45 วธ

ขนท 2 สลากทมเลขต ากวา 5 (คอ 1, 2 , 3 , 4) ม 4 ใบ ตองการเลอกเพยง 3 ใบ เลขสงกวา 5 ม 6 ใบ ตองเลอก 5 ใบ ( รวมกนตองได 8 ใบ )

n(E) = เลอกต าจาก 4 เลอก 3 ใบ x เลอกสงจาก 6 เลอก 5 ใบ

=

5

6

3

4

= 4 x 6 n(E) = 24 วธ


24 = 158

23. ตอบขอ 2. แนวคด ขนท 1 คดหยบลกแกวจากถงทละลก 3 ครง อยางไรเงอนไข จะได n(S) n(S) = (ครงท1 จาก 12 ลกเลอก 1) x (ครงท2 จาก 11 ลกเลอก 1) x (ครงท 1 จาก 10 ลกเลอก 1)

=

1

12 x

1

11 x

1

10

= ( 11! 1!12! ) x ( 10! 1!

11! )x ( 19! 1!10! )

n(S) = 12 x 11 x 10 วธ

http://www.pec9/


10

ขนท 2 หาจ านวนวธทไดลกทหนงเปนสขาว ลกทสองเปนสเขยว ลกทสามเปนสเหลอง n(E) = (จากสขาว 5 ลกเลอก 1) x (จากสเขยว 4 ลกเลอก 1) x (จากสเหลอง 3 ลกเลอก 1)

=

1

5 x

1

4 x

1

3

n(E) = 5 x 4 x 3 วธ

สดทายจะได P(E) = n(S)n(E) = 10x 11x 12

3x 4 x 5 = 221

24. ตอบ 0.8 แนวคด โจทยบอก 1 ถวยม 2 กอน และ 2 รส แสดงวาทงสองกอนตองรสไมซ ากน ขนท 1 หา n(S) คอจ านวนวธทงหมด ไมก าหนดวาจะไดรสอะไร n(S) = กอนแรกจาก 10 รสเลอก 1 รส x กอนหลงจาก 9 รสเลอก 1 รส

n(S) =

1

10 x

1

9 = 10 x 9 = 90 วธ

ขนท 2 หา n(E) คอจ านวนวธทไมมรสกะท n(E) = กอนแรกจาก 9 รสเลอก 1 รส x กอนหลงจาก 8 รสเลอก 1 รส

n(E) =

1

9 x

1

8 = 9 x 8 = 72 วธ


72 = 0.8

25. ตอบขอ 4. แนวคด โจทยบอกมหลอดไฟ 12 หลอด มช ารด 3 หลอด แสดงวามหลอดด 9 หลอด ขนท 1 คดการหยบ 12 หลอด หยบ 4 หลอด อยางไรเงอนไข จะได n(s)

n(s) =

4

12 = 495 วธ

ขนท 2 ตองการหลอดช ารดไมเกน 1 หลอด แสดงวาได 1 หรอ 0 หลอด กได ขอนจงเปนไปได 2 กรณ

http://www.pec9/


11

กรณ 1 หยบไดหลอดช ารด 1 หลอด และด 3 หลอด จ านวนวธ = (หลอดช ารดจาก 3 หยบ 1 หลอด) x (หลอดดจาก 9 หยบ 3 หลอด)

=

3

9x

1

3

จ านวนวธ = 252 วธ กรณ 2 ไดหลอดช ารด 0 หลอด และด 4 หลอด (คอไดแตหลอดด ไมมหลอดช ารด)

จ านวนวธ = หยบหลอดดจาก 9 หยบ 4 หลอด) =

4

9 = 126 วธ

ตรงนจะไดวา จ านวนวธรวม = 252 + 126 = 378 วธ = n(E)


378 = 5542

26. ตอบขอ 3. แนวคด ขนท 1 คดหาจ านวนวธการเลอกคนจาก 6 คน เลอก 4 คน โดยไรเงอนไข ตรงนจะได n(S)

n(S) =

4

6 = 15 วธ

ขนท 2 หาจ านวนวธทจะไดนกเรยนชายไมนอยกวา 3 คน แสดงวาอาจไดนกเรยนชาย 3 คน หรอ 4 คนกได ตรงนจงเปนไปได 2 กรณ คอ

กรณ 1 ไดชาย 3 คน และหญง 1 คน ( รวมกนตองได 4 คน ) จ านวนวธ = (จากชาย 4 เลอก 3 คน) x (จากหญง 2 เลอก 1 คน )

= 4

3

2

1

= 8 วธ กรณ 2 ไดชาย 4 คน และไมเลอกผหญงเลย

จ านวนวธ = (จากชาย 4 เลอก 4 คน) =

4

4 = 1

รวมทงสองกรณจะได วธทงหมด = 8 + 1 = 9 = n(E)


9

http://www.pec9/


12

27. ตอบขอ 2. แนวคด ขนท 1 หาจ านวนวธหยบลกบอลจาก 10 หยบ 3 ลก อยางไรเงอนไข จะได n(S)

n(S) =

3

10 = 7! 3!

10! = 120 วธ

ขนท 2 ตองการลกบอลสอยางนอยสละ 1 ลก ซงเปนไปได 2 กรณคอ กรณ 1 ไดสด า 1 ลก และสแดง 2 ลก จ านวนวธ = (บอลสด าจาก 4 เลอก 1 ลก) x (บอลสแดงจาก 6 เลอก 1 ลก)

=

2

6x

1

4

จ านวนวธ = 4 x 15 = 60 วธ กรณ 2 ไดสด า 2 ลก และสแดง 1 ลก จ านวนวธ = (บอลสด าจาก 4 เลอก 2 ลก) x (บอลสแดงจาก 6 เลอก 1 ลก)

=

1

6x

2

4

จ านวนวธ = 6 x 6 = 36 วธ ดงนน จ านวนวธทงหมด = 60 + 36 = 96 = n(E)


96 = 0.80

28. ตอบขอ 2. แนวคด ลกกวาด 13 ลก สตรอเบอร 5 ชอคโกแลต 4 กาแฟ 2 มนท 2 ลก สมหยบมา 3 ลก ขนท 1 หาวธเลอกจาก 13 ลก เลอก 3 ลก โดยไรเงอนไข จะได n(S)

n(S) =

3

13 = 3! 3)! (13

13!

= 286 วธ

ขนท 2 หาวธทจะเลอกได 3 ลก มรสตางกนหมด ซงเปนไปได 4 กรณ กรณ 1 เลอกได สตรอเบอร 1 ลก , ชอคโกเลต 1 ลก , กาแฟ 1 ลก


1

5 x

1

4 x

1

2 = 5 x 4 x 2 = 40 วธ

http://www.pec9/


13

กรณ 2 เลอกได สตรอเบอร 1 ลก , ชอคโกเลต 2 ลก , มนท 1 ลก


1

5 x

1

4 x

1

2 = 5 x 4 x 2 = 40 วธ

กรณ 3 เลอกได สตรอเบอร 1 ลก , กาแฟ 1 ลก , มนท 1 ลก


1

5 x

1

2 x

1

2 = 5 x 2 x 2 = 20 วธ

กรณ 4 เลอกได ชอคโกเลต 1 ลก , กาแฟ 1 ลก , มนท 1 ลก


1

4 x

1

2 x

1

2 = 4 x 2 x 2 = 16 วธ

จ านวนวธรวมสกรณ = n(E) = 40 + 40 + 20 + 16 = 116 วธ


116 = 14358

29. ตอบขอ 2. แนวคด ขนท 1 หาจ านวนวธหยบทละลก 2 ครง ไมใสกลบคนและไมมเงอนไขเพม จะได n(S)

n(S) = (ครงแรกจาก 10 เลอก 1 ลก) x (ครงสองจาก 9 เลอก 1 ลก) =

1

9

1

10 = 90

ขนท 2 โจทยสนใจเหตการณครงทสองไดสแดง ซงคดได 2 กรณ กรณ 1 ครงแรกไดสแดง และครงสองไดสแดงดวย จ านวนวธ = (ครงแรกเลอกสแดง 3 เลอก 1) x (ครงแรกเลอกสแดง 2 เลอก 1)

=

1

2

1

3

= 6 วธ กรณ 2 ครงแรกไดสอน ๆ และครงสองไดสแดง จ านวนวธ = (ครงแรกเลอกสอน 7 เลอก 1) x (ครงแรกเลอกสแดง 3 เลอก 1)

=

1

3

1

7

= 21 วธ ดงนน วธรวมทงสองกรณ = 6 + 21 = 27 = n(E)

http://www.pec9/


14


27 = 103

30. ตอบขอ 4. แนวคด โจทยบอกคนทงหมด 12 คน ถนดซาย 4 คน ถนดขวา 8 คน ขนท 1 หาจ านวนวธเลอกจาก 12 คน เลอก 5 คน โดยไมมเงอนไข จะได n(S)

n(S) =

5 12 = ! 5 ! 7

! 12 = 792 วธ

ขนท 2 หาจ านวนวธเลอกคน 5 คน เปนคนถนดขวาลวน ๆ ไมมถนดซาย


58 = ! 5 ! 3

! 8 = 56 วธ

ดงนน จ านวนวธทเลอกคน 5 คน จะมคนถนดซายปนอยอยางนอย 1 คน จ านวนวธ = 792 – 56 = 736 = n(E)


736 = 9992


แนวคด ขนท 1 n(s) = จ านวนวธเลอกเลขจาก 9 ตวเลอก 4 ตว = 12649

ขนท 2 หาจ านวนวธทเลข 4 ตวนนคณกนแลว มคาเปนลบ ซงม 2 กรณคอ กรณ 1 มเลขลบ 1 ตว และ บวก 3 ตว จ านวนวธ = ( เลอกลบจาก 4 เลอก 1) x (เลอกบวกจาก 4 หรอ 3)

=

3

414

= 4 x 4 = 16 วธ กรณ 2 มเลขลบ 3 ตว และบวก 1 ตว จ านวนวธ = (เลอกลบจาก 4 เลอก 3) x (เลอกบวกจาก 4 เลอก 1)

=

1

434

= 4 x 4 = 16 วธ

http://www.pec9/


15

จะไดวาจ านวนวธคณกนแลวเปนลบ = 16 + 16 = 32 วธ ดงนน จ านวนวธคณกนแลวไมเปนลบ = 126 – 32 = 94 วธ = n(E)

สดทายจะได P(E) = 6347

12694

n(S)n(E)

32. ตอบ 0.2 แนวคด ขนท 1 คดหาจ านวนวธในการเรยงคน 6 คน เขาแถวเรยงคว ตรงนจะได n(S)

n(S) = 6! = 720 วธ ขนท 2 คดจ านวนวธทหญง 3 คน จะอยตดกน ตรงนจะได n(E)

กอนอนใหมดรวมหญง 3 คนเปนคนคนเดยวกน จะท าใหเสมอนมคนเหลอ 4 คน แลวแบงคดเปน 2 งานดงน

งาน 1 สลบคนทงหมด 4 คน จะไดจ านวนวธ = 4! = 24 วธ งาน 2 สลบเฉพาะในกลมผหญง 3 คนนน จะไดจ านวนวธ = 3! = 6 วธ

นนคอ จ านวนวธทงหมด = 24 x 6 = 144 วธ

สดทายจะได P(E) = 720144 = n(S)

n(E) = 0.2

33. ตอบขอ 1. แนวคด ขนท 1 คดหาจ านวนวธในการเรยงคน 10 คน ( 5 ค ) เปนวงกลม ตรงนจะได n(S)

n(S) = ( 10 – 1 )! = 9! วธ

ขนท 2 คดจ านวนวธทสามของคแรกจะนงตดภรรยาเขาเอง ตรงนจะได n(E) กอนอนใหมดรวมสามและภรรยาคนนเปนคนคนเดยวกน จะท าใหเสมอนมคน 9 คน แลวแบงคดเปน 2 งานดงน

งาน 1 สลบคนทงหมด 9 คน แบบวงกลม จ านวนวธ = (9 – 1)! = 8! วธ งาน 2 สลบเฉพาะในกลมสามภรรยา คนน จ านวนวธ = 2! = 2 วธ

นนคอ จ านวนวธทงหมด = 2 x 8! วธ

สดทายจะได P(E) = ! 98!x 2 = n(S)

n(E) = 92

http://www.pec9/


16

34. ตอบขอ 1. แนวคด ขนท 1 หาจ านวนวธเรยงสบเปลยนคน 10 ทละ 3 คน โดยไมมเงอนไข จะได n(S) n(S) = P10,3 = 3)! (10

10!-

= 720 วธ

ขนท 2 หาจ านวนวธทนายก าธรเปนประธาน สวนรองประธานและเหรญญกเปนชายหรอหญงกได งาน เลอกประธาน เลอกรองประธาน เลอกเหรญญก

จ านวนวธ 1 9 8

จ านวนวธ = 1 x 9 x 8 = 72 วธ ตอไปหาจ านวนวธทนายก าธรเปนประธาน และรองประธานกบเหรญญกเปนผชายทงหมด

งาน เลอกประธาน เลอกรองประธาน เลอกเหรญญก จ านวนวธ 1 5 4

จ านวนวธเลอก = 1 x 5 x 4 = 20 วธ ดงนน จ านวนวธทก าธรเปนประธาน และรองกบเหรญญกเปนผหญงอยางนอย 1 คน = 72 – 20 = 52 = n(E)


52 = 18013

35. ตอบขอ 2. แนวคด ขนท 1 หาวธเรยงสบเปลยนทง 6 ตว ( ม 7 ซ า 2 ตว และ 8 ซ า 2 ตว ) จ านวนวธทงหมด = 2! 2!

6!

ขนท 2 น าเลข 0 ไปวางหลกหนาสดไมตองเรยงสลบ แลวน า 7 , 7 , 8 , 8 , 9 ไป วางหลกทหลงๆ จ านวนวธม 0 น าหนา = 2! 2!

5!

สดทาย เลขหกหลกเกน 7 แสน จะตองไมวางเลข 0 สด จ านวนวธทไมม 0 น าหนา = จ านวนวธทงหมด – จ านวนวธม 0 น าหนา = 2! 2!

6! – 2! 2!5!

= 2! 2!5! 6 x – 2! 2!

5! = (6 – 1 ) 2! 2!

5! = ( 5 ) 1 2 1 2

1 2 3 4 5xxx

xxxx = 150

http://www.pec9/


17

36. ตอบ 0.4

แนวคด โจทยก าหนดให x { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } จะไดวา n(S) = 5

ตอไป เนองจาก

1 x x

4 x 2x เปนเมตรกซเอกฐาน

แสดงวา det

1 x x

4 x 2x = 0

x2 (x – 1) – (–x) (x – 4) = 0 x3 – x2 + x2 – 4x = 0 x3 – 4x = 0 x . (x2 – 4) = 0 x . (x + 2) . (x – 2) = 0

x = 0 , –2 , 2 แต –2 ไมไดอยในเซตทก าหนด { 0 , 1 , 2 , 3 , 4} จงใชไมได จงใชไดแตเพยง 0 , 2 เทานน

นนคอ n(E) = 2

สดทายจะได P(E) = n(S)n(E) = 52 = 0.4


แนวคด จาก P(A B) = P(A B) 0.2 = 1 – P (A B)

P(A B) = 0.8

และจาก P(A B) = P( A ) + P(B ) – P(A B) 0.8 = 0.50 + 0.60 – P(A B )

P(A B ) = 0.30

http://www.pec9/


18

38. ตอบ 0.9

แนวคด โจทยบอก P(A B ) = 0.1 , P(A B) = ? จาก P(A B) = P(A B) = 1 – P(A B) = 1 – 0.1 P(A B) = 0.9

39. ตอบขอ 3. แนวคด สมมต P(A) = ความนาจะเปนทจะไปดหนง = 0.7 P(B) = ความนาจะเปนทจะไปดหนง = 0.6 P(AB) = 1 P(AB) = ? จาก P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) 1 = 0.7 + 0.6 – P(AB) P(AB) = 0.3

40. ตอบขอ 4. แนวคด สมมตให P(A) = ความนาจะเปนทสมศกดสอบผานวชาคณตศาสตร และ P(B) = ความนาจะเปนทสมศกดสอบผานวชาเคม

ดงนน P(A) = 32 , P(B) = 9

4 และ P(AB) = 14

จาก P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 32 + 9

4 – 14 = 36

31

โจทยใหหาความนาจะเปนทจะสอบไมผานทงสองวชา กคอ P(AB) หาไดจาก PA B = 1 – PA B = 1 – 36

31 = 365

http://www.pec9/

เฉลย บทที่ 12 เมตริกซ¸ªรุปเข้ม-M12... · งาน...

Documents

Transcript of เฉลย บทที่ 12 เมตริกซ¸ªรุปเข้ม-M12... · งาน...