หน วยการเรียนรู ที่...

หนวยการเรียนรูที่ 1

จํานวนนับ

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกความหมายของตัวประกอบได

2. สามารถหาตัวประกอบของจํานวนนับใดๆ ได

3. บอกความหมายของจํานวนเฉพาะได

4. บอกไดวาจํานวนนับใดเปนจํานวนเฉพาะ

จํานวนนับ

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , . . . เรียกวา “จํานวนนับ”

ดังนัน้ จํานวนนับที่นอยที่สุด คือ..........................................................

จํานวนนบัที่มากที่สุด คือ..........................................................

จากจํานวนนบั 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , . . .

1, 3, 5, 7, 9, . . . เรียกวา จาํนวนค่ี

2, 4, 6, 8, . . . เรียกวา จาํนวน.......................

เพราะฉะนัน้ จํานวนนับจึงประกอบไปดวยจํานวนคูและจํานวนค่ี จํานวนนับคู จํานวนนับคูตัวที ่1 คือ 2 = 2(1)

จํานวนนับคูตัวที ่2 คือ 4 = 2(2)



M จํานวนนับคูตัวที ่10 คือ......................................................................................................................

M จํานวนนับคูตัวที ่n คือ ......................................................................................................................

จาํนวนนบัคู : เปนจาํนวนนับที ่2 หารลงตัว หรือเปนจํานวนนับทีม่ี 2 เปนตัวประกอบ ♦

คณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาปท่ี 1

-2-

จํานวนนับค่ี จํานวนนับค่ีตัวที ่1 คือ 1 = 2(1)-1

จํานวนนับค่ีตัวที ่2 คือ 3 = 2(2)-1



M จํานวนนับค่ีตัวที ่10 คือ......................................................................................................................

M จํานวนนับค่ีตัวที ่n คือ ......................................................................................................................

นักเรียนจงตอบคําถามตอไปน้ี

จํานวนนับคูตัวที ่12 คือ..........................................................................................................

จํานวนนับคูตัวที ่20 คือ..........................................................................................................

จํานวนนับค่ีตัวที ่15 คือ..........................................................................................................

จํานวนนับค่ีตัวที ่30 คือ..........................................................................................................

2 เปนจํานวนนับคูจํานวนหนึ่ง จาํนวนนับคูถัดไป คือ 4 จํานวนคูทัง้สองตางกันอยู.............

50 เปนจํานวนนับคูจํานวนหนึ่ง จาํนวนนับคูถัดไป คือ.......จํานวนคูทัง้สองตางกันอยู.............

146 เปนจํานวนนับคูจํานวนหนึ่ง จาํนวนนับคูถัดไป คือ.......จํานวนคูทัง้สองตางกันอยู.............

ถา a เปนจํานวนนับคูจาํนวนหนึง่ จํานวนนับคูถัดไป คือ..................................................

ถา a + 2 เปนจํานวนนับคูจํานวนหนึ่ง จาํนวนนับคูถัดไป คือ..................................................

ถา a - 7 เปนจํานวนนับคูจํานวนหนึ่ง จาํนวนนับคูถัดไป คือ..................................................

3 เปนจํานวนนับค่ีจาํนวนหนึง่ จํานวนนับค่ีถัดไป คือ 5 จาํนวนค่ีทั้งสองตางกนัอยู.............

19 เปนจํานวนนับค่ีจาํนวนหนึง่ จํานวนนับค่ีถัดไป คือ.......จํานวนคูทัง้สองตางกันอยู............

ถา b เปนจํานวนนับค่ีจํานวนหนึ่ง จํานวนนับค่ีถดัไป คือ..................................................

ถา b + 3 เปนจํานวนนับค่ีจํานวนหนึ่ง จํานวนนับค่ีถดัไป คือ..................................................

ถา b - 9 เปนจํานวนนับค่ีจํานวนหนึ่ง จาํนวนนับค่ีถัดไป คือ..................................................

จากขางตนสามารถสรุปไดวา ถา x เปนจาํนวนนับคูจํานวนหนึ่ง จาํนวนนับคูถัดไป คือ x+2

ถา y เปนจาํนวนนับค่ีจํานวนหนึ่ง จาํนวนนับค่ีถัดไป คือ y+2

จาํนวนนบัค่ี : เปนจาํนวนนับที ่2 หารไมลงตัว เหลือเศษ 1หรือเปนจํานวนนับทีไ่มมี 2 เปนตัวประกอบ ♦


-3-

1.1 ตัวประกอบ

จํานวนนับทีห่าร 16 ลงตัว ไดแก 1, 2, 4, 8, 16

จํานวนนับทีห่าร 20 ลงตัว ไดแก.....................................................................................

เราสามารถกลาวไดวา.....................................................................................................

จํานวนนับทีห่าร 81 ลงตัว ไดแก.....................................................................................


ถา a เปนจํานวนนับจํานวนหนึ่ง จํานวนนับทีห่าร a ลงตัว ไดแก.........................................


ตัวอยางท่ี 1 จงหาตัวประกอบของ 14

จํานวนนับที่หาร 14 ลงตัว ไดแก ......................

ดังนั้น ตัวประกอบของ 14 คือ 1 , 2 , 7, 14

ตัวประกอบของจํานวนนับใด ๆ คือ จํานวนนับท่ีหารจํานวนนบัน้ันไดลงตัว

เราสามารถกลาวไดวา 1, 2, 4, 8, 16 เปนตัวประกอบของ 16

1 , 2 , 7, 14

ตัวอยางท่ี 2 จงหาตัวประกอบของ 23

จํานวนนับที่หาร 23 ลงตัว ไดแก 1, 23

ดังนั้น ตัวประกอบของ 23 คือ 1 , 23

ตัวอยางท่ี 3 จงหาตัวประกอบของ b

พิจารณาตัวประกอบของ b ในรูปผลคูณ ดังนี ้

b = 1 × b

ดังนั้น ตัวประกอบของ b คือ 1 , b

ตัวอยางท่ี 4 จงหาตัวประกอบของ 2a

พิจารณาตัวประกอบของ 2a ในรูปผลคูณ ดังนี ้

2a = 2 × a ; 2a = 1 × 2a

ดังนั้น ตัวประกอบของ 2a คือ 1 , 2 , a , 2a


-4-

ตัวอยางท่ี 4 จงพิจารณาวา 25 เปนตัวประกอบของ 525 หรือไม เพราะเหตุใด 25 เปนตัวประกอบของ 525 เพราะวา 25 หาร 525 ไดผลลัพธ 21

แสดงวา 25 หาร 525 ไดลงตัว

ดังนั้น 25 จึงเปนตัวประกอบของ 525

ตัวอยางท่ี 5 จงหาจํานวนนับทีน่อยที่สุด ที่ม ี1, 2, 4, 8 เปนตัวประกอบ

พิจารณาตัวประกอบที่มากที่สุด คือ 8 พบวา 1 หาร 8 ลงตัว 2 หาร 8 ลงตัว

และ 4 หาร 8 ลงตัว

ดังนั้น จํานวนนับทีน่อยทีสุ่ดที่มี 1, 2, 4, 8 เปนตัวประกอบ คือ 8

ตองพิจารณาวา 25 หาร 525 ลงตัวหรือไม

มุมนาคิด ในการหาตัวประกอบของจาํนวนนับ เราจะสามารถรูไดอยางไรวาเราสามารถหา

ไดถูกตอง ครบถวนทกุตัว มีหลักการในการตรวจสอบ เชน ตองการหาตัวประกอบทั้งหมดของ

24

วามกีี่ตัว

→ แยกตัวประกอบของ 24 โดยเขียนใหอยูในรูปผลคูณของจํานวนเฉพาะ ดังนี ้

24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3

→ พิจารณาเลขชี้กําลังของ 2 และ 3 ดังนี้

2 มีเลขชีก้ําลังเปน 3 และ 3 มเีลขชี้กําลังเปน 1

→ นาํเลขช้ีกําลังแตละตัวบวกดวยหนึ่ง แลวนํามาคูณกัน ดังนี ้

(3+1) × (1+1) = 8

→ ผลลัพธทีไ่ดบอกถึงจํานวนที่เปนตัวประกอบทัง้หมดของ 24 วามีกีตั่ว

ดังนั้น ตัวประกอบทัง้หมดของ 24 มี 8 ตัว คือ 1 2 3 4 6 8 12 24

♦ สาระนารู ♦

1 เปนตัวประกอบของจํานวนนับทุกจาํนวน


-5-

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี

ขอ 1. ตัวประกอบทัง้หมดของ 17 คือ .............................................................................................




ขอ 5. ตัวประกอบทัง้หมดของ d คือ .............................................................................................

ขอ 6. ตัวประกอบทัง้หมดของ 2c คือ .............................................................................................

ขอ 7. ตัวประกอบทัง้หมดของ 4ab คือ .............................................................................................

ขอ 8. ตัวประกอบทัง้หมดของ 8pg คือ...............................................................................................

ขอ 9. ตัวประกอบทัง้หมดของ 15pg คือ.............................................................................................

ขอ 10. 15 เปนตัวประกอบของ 225 หรือไม เพราะเหตุใด

.......................................................................................................................................................


.......................................................................................................................................................


.......................................................................................................................................................

ขอ 13. 4 เปนตัวประกอบของจํานวนใดบาง ....................................................................................

ขอ 14. 9 เปนตัวประกอบของจํานวนใดบาง ....................................................................................

ขอ 15. จาํนวนนับทีน่อยที่สุดที่มี 1 , 2 , 3 , 9 เปนตัวประกอบ คือ .....................................................

ขอ 16. จาํนวนนับทีน่อยที่สุดที่มีตัวประกอบตางๆ กนั 3 ตัว คือ ........................................................

ขอ 17. ผลบวกของจํานวนนับคูสองจํานวนใดๆ ไดผลลัพธเปนจํานวนนับคู หรือ จาํนวนนับค่ี

………………………………………………………………………………………………………………

ขอ 18. ถา 3m เปนจํานวนนับค่ีจํานวนหนึ่ง จํานวนนับค่ีถัดไป คือ......................................................

แบบฝกหัดที่ 1


-6-

1.2 จํานวนเฉพาะ

ตัวประกอบของ 2 คือ 1 และ 2



จํานวนนับท่ีมากกวา 1 และมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และ ตัวเอง เรียกวา “จํานวนเฉพาะ”

ตะแกรงของเอราโตสเทเนส ( The Sieve of Eratosthenes ) เปนวธิีการหาจํานวนเฉพาะของเอรา

โตสเทเนส นักคณิตศาสตรชาวกรีกซ่ึงคิดไวเมื่อประมาณ 2,200 ปมาแลว โดยการตัดจํานวนที่ไมใชจํานวน

เฉพาะทิง้ เชน หาจํานวนเฉพาะระหวาง 1 ถึง 40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

1) 1 ไมเปนจํานวนเฉพาะ ตัด 1 ทิง้

2) 2 เปนจาํนวนเฉพาะ วงไว

3) จํานวนที่ม ี2 เปนตัวประกอบไมใชจํานวนเฉพาะ ใหนกัเรียนตัดทิง้

4) ถา 3 เปนจาํนวนเฉพาะวงไว ถาไมใช ตัดทิ้ง จํานวนที่ม ี3 เปนตัวประกอบ นกัเรียนจะวงไวหรือ

ตัดทิ้ง

5) ใหนักเรียนทํากับ 5 เชนเดียวกันกับที่ทาํในขอ 4)

6) จํานวนที่เหลือจากการตัดทิ้งจะเปนจํานวนเฉพาะระหวาง 1 ถึง 40 ใหนักเรียนหาวามีจํานวน

ใดบาง


-7-

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จํานวนเฉพาะ ต้ังแต 27 ถึง 53 คือ............................................................................................

ขอ 2. จํานวนเฉพาะ ต้ังแต 57 ถึง 83 คือ............................................................................................

ขอ 3. 87 เปนจํานวนเฉพาะหรือไม เพราะเหตุใด.................................................................................

ขอ 4. จํานวนเฉพาะทีน่อยทีสุ่ด คือ....................................................................................................

ขอ 5. จํานวนเฉพาะที่มากทีสุ่ดที่เปนเลข 2 หลัก คือ...........................................................................

ขอ 6. จํานวนเฉพาะทีน่อยทีสุ่ด แตมากกวา 151 คือ...........................................................................

ขอ 7. ตัวประกอบเฉพาะของ 210 มีอะไรบาง.....................................................................................


แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 1 ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด)

1. 8 เปนตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้หรือไม เพราะเหตุใด

1) 8 2) 46 3) 136 4) 4

2. จงหาตัวประกอบทัง้หมดของจํานวนตอไปนี ้

1) 10 2) 13 3) 117 4) 132

3. จงหาจํานวนนับทีน่อยทีสุ่ดที่มีจํานวนทุกจาํนวนในแตละขอตอไปนี้เปนตัวประกอบ

1) 1 , 2 , 4 2) 1 , 2 , 3 , 6 3) 1 , 3 , 4

4) 1 , 3 , 4 , 8 5) 1 , 5 6) 1 , 11

4. จงหาจํานวนนับที่นอยที่สุดทีม่ีตัวประกอบตางๆ กัน

1) 6 ตัว

2) 5 ตัว

5. ขอความตอไปนี้จริงหรือเท็จ

1) จํานวนนับที่ลงทายดวย 0 , 2 , 4 , 6 และ 8 ทุกจํานวนเปนจํานวนคู

2) จํานวนนับที่ลงทายดวย 1 , 3 , 5 , 7 และ 9 ทุกจํานวนเปนจํานวนค่ี

3) จํานวนนับทุกจาํนวนคูณดวย 2 แลวไดจํานวนคู

4) จํานวนนับทุกจาํนวนคูณดวย 3 แลวไดจํานวนค่ี


-8-

6. ผลลัพธตอไปนี้เปนจํานวนคูหรือจํานวนค่ี จงยกตัวอยางพรอมใหเหตุผล

1) ผลบวกของจํานวนคูสองจํานวนใดๆ

2) ผลบวกของจํานวนค่ีสองจํานวนใดๆ

3) ผลบวกของสองจํานวนใดๆ ที่จํานวนหนึ่งเปนจาํนวนคู และอีกจํานวนหน่ึงเปนจํานวนค่ี

7. ใหนักเรียนดูความสัมพันธระหวางผลบวกของจาํนวนค่ีกับจํานวนทีอ่ยูในรูปเลขยกกําลังทีม่ี

เลขชีก้ําลังเทากับสองตอไปนี้ แลวหาคําตอบเติมใน ใหถูกตอง

1 = 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 +7 = =

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = =

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 37 + 39 = =

8. จงหาจํานวนเฉพาะที่อยูระหวาง 40 ถงึ 60

9. จงหาจํานวนเฉพาะที่มากที่สุดทีน่อยกวา 60

10. มีจํานวนเฉพาะทัง้หมดกี่จํานวนทีน่อยกวา 60

11. จํานวนคูทุกจาํนวนไมเปนจํานวนเฉพาะใชหรือไม เพราะเหตุใด

12. จํานวนเฉพาะทุกจาํนวนเปนจํานวนค่ีใชหรือไม เพราะเหตุใด

13. จํานวนค่ีทุกจาํนวนเปนจํานวนเฉพาะใชหรือไม เพราะเหตุใด

14. 91 เปนจาํนวนเฉพาะหรือไม

15. 13× 7 เปนจาํนวนเฉพาะหรือไม

16. จงหาจํานวนเฉพาะที่มากที่สุดซึ่งเปนจาํนวนที่มีสองหลัก

17. จงหาจํานวนเฉพาะ ต้ังแต 89 ถึง 127

18. จงหาจํานวนเฉพาะ ระหวาง 131 ถงึ 151

19. จงหาผลบวกของจํานวนเฉพาะ ระหวาง 157 ถึง 19


-9-

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

1. บอกความหมายของตัวประกอบเฉพาะ พรอมยกตัวอยางได

2. บอกความหมายของการแยกตัวประกอบของจํานวนนับใดๆ ได

3. สามารถแยกตัวประกอบของจํานวนนับใดๆ ได

1.3 การแยกตัวประกอบ

ตัวประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 และ 12

ตัวประกอบของ 12 ทีเ่ปนจํานวนเฉพาะ คือ ............................

ตัวอยางท่ี 15 ตัวประกอบเฉพาะของ 4 คือ 2

ตัวประกอบเฉพาะของ 6 คือ 2 , 3

ตัวประกอบเฉพาะของ 9 คือ 3

ตัวประกอบเฉพาะของ 10 คือ 2 , 5

พิจารณาประโยค โดยที่ 2 เปนตัวประกอบของ 12 และ 6 เปนตัวประกอบของ 12 เรียก

ประโยค วา เปนการเขียน 12 ในรูป การคูณของตัวประกอบ ของ 12 ซึ่งสามารถเขียน 12 ใน

รูปการคูณของตัวประกอบอ่ืนที่ไมซ้าํกับประโยคที่เขียนมาแลวไดอีกหลายประโยค เชน ,

6×2=12

6×2=12

12×1=12

4×3=12ประโยค 3 แสดงการเขียน 12 ในรูป การคูณของตัวประกอบเฉพาะ เรียกประโยคนี้วา

การแยกตัวประกอบของ 12

×2×2=12

ตัวประกอบทีเ่ปนจํานวนเฉพาะ เรียกวา ตัวประกอบเฉพาะ

การแยกตัวประกอบ ของจํานวนนับใด ๆ คือประโยคทีแ่สดงการเขียนจํานวน

นั้นในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ

ตัวอยางท่ี 16 จงแยกตัวประกอบของ 18 คือ 3×3×2=18

จงแยกตัวประกอบของ 40 คือ 5×2×2×2=40


-10-

ในการแยกตัวประกอบของจํานวนที่มีตัวประกอบหลายๆ จํานวน อาจหาตัวประกอบทีละ 2 ตัวหลายๆ

ข้ัน จนไดตัวประกอบทุกตัวเปนจํานวนเฉพาะ เชน ตองการแยกตัวประกอบของ 420 มีวิธีคิดดังนี้ คือ

420 = 210×2

= 105×2×2

= 35×3×2×2

= 7×5×3×2×2นั่นคือ แยกตัวประกอบของ 420 ไดเปน หรือเขียนเปนแผนภาพ ดังนี ้7×5×3×2×2=420

420

2 × 210

2 × 105

3 × 35

5 7 ×

ในการแยกตัวประกอบขางตน มีตัวประกอบเฉพาะบางตัวซ้ํากนั เราจะเขียนตัวประกอบเฉพาะ

เหลานั้น โดยใชความรูเร่ืองเลขยกกําลัง เชน ในการแยกประกอบของ 18 มี 3 เปนตัวประกอบเฉพาะซ้ํากัน

อยู 2 ตัว เราจะเขียน 3 ดวย ×3 23

สัญลักษณ เรียกวา เลขยกกําลังที่มี 3 เปนฐาน และ 2 เปนเลขช้ีกาํลัง และอานวา สามยก

กําลังสอง

23

ตัวอยางท่ี 17 จงแยกตัวประกอบของ 36 และเขียนใหอยูในรูปการคูณกันของเลขยกกําลัง วิธีทาํ 36 = 3×3×2×2

= 22 3×2

ตัวอยางท่ี 18 จงแยกตัวประกอบของ 600 และเขียนใหอยูในรูปการคูณกันของเลขยกกําลัง

วิธีทาํ 600 = 5×5×3×2×2×2

= 23 5×3×2 แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 2 ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. จงแยกตัวประกอบของจํานวนตอไปนี ้

1.1 189 1.2 333 1.3 513 1.4 735

1.5 1,421 1.6 1,859 1.7 2,057 1.8 4,050

ขอ 2. จงหาจํานวนนับที่นอยที่สุดทีมี่ตัวประกอบเฉพาะไมซํ้ากัน 4 ตัว

แบบฝกหัดที่ 3 ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงแยกตัวประกอบของ 25 ขอ 6. จงแยกตัวประกอบของ 36

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 2. จงแยกตัวประกอบของ 9,009

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 3. จงหาจํานวนนับที่นอยที่สุดทีมี่ตัว

ประกอบตางๆ กัน 4 ตัว

....................................................................

....................................................................


ประกอบตางๆ กัน 5 ตัว

....................................................................

....................................................................


ประกอบเฉพาะตางๆ กัน 3 ตัว

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 7. คือ การแยกตัวประกอบของ 18

ใชหรือไม

32 3×

....................................................................

....................................................................

....................................................................


ประกอบเฉพาะตางๆ กัน 2 ตัว

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 9. จงแยกตัวประกอบของ 18 16×....................................................................

....................................................................

...................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 10. จงแยกตัวประกอบของ

..........................................

....................................................................

....................................................................

12 9 32 15× × ×

...................................................................

คณิตศาสตรระดับช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 1 -12-

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

บอกความหมายของตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ได 1.

สามารถตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของจํานวนนับใดๆ 2 จํานวนข้ึนไปที่กําหนดใหได 2.

1.4 ตัวหารรวมมาก( ห.ร.ม. )

ตัวประกอบของ 12 คือ , , 3 , , 6 , 12 หมายความวา ตัวประกอบแตละตัวเปน

ตัวหารที่หาร 12 ลงตัว 4 1 2

ตัวประกอบของ 16 คือ , , , 8 , 16 หมายความวา ตัวประกอบแตละตัวเปน

ตัวหารที่หาร 16 ลงตัว 2 4 1

จะพบวาตัวประกอบของ 12 และตัวประกอบของ 16 มีตัวประกอบรวมกันอยู 3 จํานวน คือ 1

2 และ 4 หมายความวา ตัวประกอบรวม 1 , 2 และ 4 ตางก็เปนตัวหารรวมที่หาร 12 และ 16 ลงตัว

แตตัวหารรวม 1 , 2 และ 4 ทั้ง 3 จํานวนนี ้มี 4 เปนตัวหารรวมทีม่ากทีสุ่ด

นั่นคือ 4 เปนตัวหารรวมที่มากท่ีสุดของ 12 และ 16

เรียกวา 4 เปน ห.ร.ม. ของ 12 และ 16

ห.ร.ม. คือ ตัวประกอบรวมหรือตัวหารรวมที่มากท่ีสุดที่นําไปหารจํานวนนับใดๆ 2 จาํนวนขึ้นไปไดลงตัว

วิธีการหา ห.ร.ม. ตัวอยางที ่19 จงหา ห.ร.ม. ของ 16 , 24 และ 56

วิธีที ่1 ใชวิธหีาตัวประกอบรวมที่มากทีสุ่ด

ตัวประกอบของ 16 คือ 1 , 2 , 4 , 8 , 16

ตัวประกอบของ 24 คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24

ตัวประกอบของ 56 คือ 1 , 2 , 4 , 7 , 8 , 14 , 28 , 56

ตัวประกอบรวมของ 16 , 24 และ 56 คือ 1 , 2 , 4 , 8

ตัวประกอบรวมที่มากที่สุด คือ 8

∴ ห.ร.ม. ของ 16 , 24 และ 56 คือ 8


วิธีที ่2 ใชวิธีแยกตัวประกอบ

16 แยกตัวประกอบได = × 2 2 × ×



∴ ห.ร.ม. ของ 16 , 24 และ 56 คือ 2 2 2 8× × =

2

2

2

2

2

2

วิธทีี่ 3 ใชวิธีหารส้ัน

2 16 24 56 2 8 12 28

2 4 6 14 2 3 7

ห.ร.ม. ของ 16 , 24 และ 56 คือ 8=2×2×2 ตัวอยางท่ี 20 จงหา ห.ร.ม. ของ 360 และ 288

วิธีที ่3 ใชวิธีหารส้ัน

4 360 288

9 90 72 2 10 8 5

ตอบ ห.ร.ม. ของ 360 และ 288 คือ 72=2×9×4

วิธีที ่4 ใชวิธีต้ังหาร 2 แถว

1 360 288 4

288 288

72 0

ตอบ ห.ร.ม. ของ 360 และ 288 คือ 72

4


ตัวอยางท่ี 21 จงหา ห.ร.ม. ของ 1903 , 1038 และ 865


ตอบ ห.ร.ม. ของ 1903 , 1038 และ 865 คือ 173 ตัวอยางท่ี 22 จงหา ห.ร.ม. ของ a2b3c2 , ab4c2 และ a3bc4

วิธีที ่2 ใชวิธีแยกตัวประกอบ

a2b3c2 แยกตัวประกอบได = × a b b a × × × × ×

ab4c2 แยกตัวประกอบได = b b b a × × × × × ×

a3bc4 แยกตัวประกอบได = a × a c c a × × × × × ×

ตอบ ห.ร.ม. ของ a2b3c2 , ab4c2 และ a3bc4 คือ a× b× c c abc2 × =

ตัวอยางท่ี 23 จงหา ห.ร.ม. ของ 5 และ 7

วิธีทาํ เราไมสามารถแยกตัวประกอบของ 5 และ 7 ได แต 1 เปนตัวประกอบรวมของทุก ๆ

จํานวน

ตอบ ห.ร.ม. ของ 5 และ 7 คือ 1

ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1.จงหา ห.ร.ม. ของ

1) 9 กับ 15

2) 25 กับ 75

3) 16 , 24 และ 32

4) 8 กับ 56

5) 51 กับ 85

6) 78 , 104 และ 143

ขอ 2. 35 เปน ห.ร.ม. ของ 175 และ 385 จงหาตัวประกอบรวมทัง้หมดของ 175 และ 385

1 1903 1038 1 173 865 5

1038 865 865

5 865 173 865 0

0

c

c

c

b

b

b

c

c

c

แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 3

คณิตศาสตรระดับช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 1

-15-



ขอ 1. 21 กับ 18 มีตัวประกอบรวม คือ ....................................................................

.................................................................... ....................................................................

.................................................................... ....................................................................

.................................................................... ....................................................................

.................................................................... ............................................................ ขอ 2. 13 กับ 17 มีตัวประกอบรวม คือ

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 7. จงหา ห.ร.ม. ของ 108 และ 120

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 3. ตัวหารรวมทีม่ากที่สุดของ 36 และ 48

คือ................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 8. จงหา ห.ร.ม. ของ 180 , 210 และ 270

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 4. ตัวประกอบรวมทั้งหมดของ 125 และ

300 คือ.........................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 9. จงหา ห.ร.ม. ของ , และ

2m n 2mn2 2m n

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 5. จงหาจํานวนนับที่มากท่ีสุดทีห่าร 81

และ 72 ลงตัว

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 10. จงหา ห.ร.ม. ของ , ,

และ

2 3 4x y z 3 2x yz4 3xy z 3 3 3x y z

....................................................................

.................................................................... ขอ 6. จงหาจํานวนนับที่มากท่ีสุดทีห่าร 100 ,

150 และ 200 ลงตัว ....................................................................

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. สามารถหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับ เม่ือกําหนดจํานวนนับต้ังแตสองจํานวนข้ึนไปได 1. สามารถหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับ เม่ือกําหนดจํานวนนับต้ังแตสองจํานวนข้ึนไปได

2. สามารถวเิคราะหโจทยปญหา ห.ร.ม.โดยใชกระบวนการแกโจทยปญหาได 2. สามารถวเิคราะหโจทยปญหา ห.ร.ม.โดยใชกระบวนการแกโจทยปญหาได

3. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชตัวหารรวมมากได 3. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชตัวหารรวมมากได

โจทยปญหา ห.ร.ม.โจทยปญหา ห.ร.ม. ตัวอยางท่ี 24 จงหาจํานวนนับที่มากท่ีสุดที่หาร 272 และ 446 แลวเหลือเศษ 11 เทากัน

วิธีทํา นํา 272 – 11 = 261

และ 446 – 11 = 435

นั่นคือ จํานวนนับที่มากท่ีสุดที่เราตองการ จะหาร 261 และ 435 ลงตัว

หา ห.ร.ม. ของ 261 และ 435

1 261 435 1 เราตองการหาจํานวนนับที่มากท่ีสุดที่

หาร 261 และ 435 ลงตัว นั่นก็คือ เรา

ตองหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับทั้งสอง

นั่นเอง

จะได ห.ร.ม. ของ 261 และ 435 คือ 87

ตอบ จํานวนนับที่มากท่ีสุดทีห่าร 272 และ 446 แลวเหลือเศษ 11 เทากัน คือ 87

ตัวอยางท่ี 25 หองประชุมกวาง 18 เมตร ยาว 24 เมตร จะติดพดัลมเพดานใหแตละตัวหางเทาๆ กนั

และตัวที่อยูใกลฝาผนงัอยูหางจากฝาผนงัเทากับที่อยูหางจากพัดลมตัวอ่ืนๆ ดวย จงหาวา

1. จะติดพัดลมใหหางกันไดมากที่สุดก่ีเมตร

2. จะติดพัดลมไดทั้งหมดกีตั่ว

วิธีทาํ เนื่องจากตองติดพัดลมใหหางเทากันและหางกันมากท่ีสุด

ดังนัน้ ระยะหางที่ตองการ คือ จํานวนที่มากท่ีสุดที่จะหาร 24 และ 18 ลงตัว จํานวนที่

ตองการจงึเปน ห.ร.ม. ของ 24 และ 18

ห.ร.ม. ของ 24 และ 18 คือ 6

นั่นคือ จะติดพัดลมใหหางกันไดมากท่ีสุด 6 เมตร

ดังนัน้ แบงดานกวางได ชวง ติดพัดลมได 2 แถว แบงดานยาวได ชวง ติด

พัดลมไดแถวละ 3 ตัว

=18

36

=24

46

ดังนัน้ ติดพัดลมไดทั้งหมด ตัว × =2 3 6

1. ติดพัดลมใหหางกันไดมากท่ีสุด 6 เมตร

ตอบ 2. ติดพัดลมไดทั้งหมด 6 ตัว

174 261

87 174 2

174

0



ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. 72 เปน ห.ร.ม. ของ 216 และ 432 ใชหรือไม .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ขอ 2. จงหาจํานวนนับที่มากท่ีสุดทีห่าร 741 และ 937 แลวเหลือเศษ 13 เทากัน .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ขอ 3. จงหาจํานวนนับที่มากท่ีสุด ซ่ึงเม่ือนําไปหารจํานวนนับ 74, 98 และ 114 จะเหลือเศษเทากัน ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ขอ 4. นักเรียนโรงเรียนสาธิต ช้ัน ม.1 หองหนึ่งมีนกัเรียนชาย 20 คน นักเรียนหญิง 25 คน ตองการ

แบงนักเรียนออกเปนกลุมๆ ทําโครงงานคณิตศาสตร โดยแตละกลุมใหมีจํานวนนักเรียนมากท่ีสุด

และมีจํานวนเทาๆ กันเปนนกัเรียนชายลวนหรือนักเรียนหญิงลวน จะแบงนกัเรียนไดกลุมละก่ีคน

และจํานวนก่ีกลุม ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


ขอ 5. ตองการขุดหลุมเพื่อปลูกมะมวงในที่ดินรูปส่ีเหล่ียมผืนผา ซ่ึงกวาง 18 เมตร ยาว 25.5 เมตรและ

ลอมร้ัวมีระยะหางจากขอบร้ัวเทากับระยะหางจากหลุมอ่ืนๆ จงหาวาปลูกมะมวงไดอยางนอยท่ีสุดก่ีตน

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

ขอ 6. มีผาอยูผืนหนึง่กวาง 36 เซนติเมตร ยาว 180 เซนติเมตร ถาตองการตัดเปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสที่มี

ความยาวของดานเปนจํานวนเต็มซ่ึงมีหนวยเปนเซนติเมตรโดยไมใหเหลือเศษและขนาดของผาที่ตัด

ออกมีความยาวดานละไมตํ่ากวา 5 เซนติเมตร จะตัดไดมากที่สุดก่ีผืนและนอยท่ีสุดก่ีผืน

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

ขอ 7. กระดาษรูปส่ีเหล่ียมผืนผาแผนหนึ่งยาว 60 เซนติเมตร กวาง 18 เซนติเมตร ถาตองการติด

กระดาษแผนนี้ดวยกระดาษสีรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสหลายๆ สี จะตองตัดกระดาษสีมีขนาดใหญที่สุดเทาไร

จึงจะติดกระดาษแผนนี้ไดพอดี และจะตองติดก่ีแผน

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..



ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. มีเชือกอยู 3 เสน ยาว 3.5 , 4.9 และ 5.6 เมตร ถาจะแบงเปนเสนส้ันๆ ใหเทาๆ กัน และยาวท่ีสุด

ที่จะยาวได จะไดเชือกยาวเสนละก่ีเมตร และไดเชือกก่ีเสน

ขอ 2. นักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปที่ 1 , 2 และ 3 ของโรงเรียนแหงหนึ่งมีจํานวนดังนี้ 216 คน , 198 คน

และ 162 คน ตามลําดับ ถาทางโรงเรียนตองการแบงนักเรียนเหลานี้ออกเปนกลุมๆ ละเทาๆ กัน

โดยนักเรียนในแตละกลุมตองเปนนักเรียนในช้ันเดียวกัน เพ่ือเปนเวรรักษาความสะอาดใน

โรงเรียน จะแบงนักเรียนไดอยางมากที่สุดกลุมละก่ีคน และแบงไดทั้งหมดก่ีกลุม

ขอ 3. จุรีมีผาอยูผืนหนึ่งกวาง 0.75 เมตร ยาว 1.25 เมตร ตองการตัดเปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสเพื่อทํา

ผาเช็ดหนาโดยไมเหลือเศษ และขนาดของผาที่ตัดออกมีความยาวดานละประมาณ 20 ถึง 30

เซนติเมตร จุรีจะตัดผาเช็ดหนาไดมากท่ีสุดก่ีผืน

ขอ 4. จงหาจํานวนนับที่มากท่ีสุดทีห่าร 15 , 23 และ 31 แลวเหลือเศษ 1 , 2 และ 3 ตามลําดับ

ขอ 5. ตองการติดต้ังพัดลมเพดานในหองประชุมซ่ึงกวาง 18 เมตร ยาว 24 เมตร โดยใหพัดลมแตละตัว

มีระยะหางเทากันและตัวที่อยูใกลฝาผนังมีระยะหางจากฝาผนังเทากับระยะหางจากพัดลมตัว

อ่ืนๆ จงหาวาตองใชพัดลมอยางนอยที่สุดก่ีตัว

ขอ 6. จงหาจํานวนนับที่มากท่ีสุดทีห่าร 676 และ 460 แลวเหลือเศษ 1 เทากัน

ขอ 7. จงหาจํานวนนับที่มากท่ีสุดทีห่าร 70 และ 105 แลวเหลือเศษ 2 และ 3 ตามลําดับ

ขอ 8. มีสมอยูสามชนิด ชนิดที่หนึ่งมี 48 ผล ชนิดที่สองมี 60 ผล และชนิดที่สามมี 84 ผล ตองการแบง

สมออกเปนกอง กองละเทาๆ กนั ใหแตละกองมีจํานวนมากทีสุ่ดและไมเหลือเศษ โดยที่สมแตละ

ชนิดไมปะปนกัน จะแบงสมไดกี่กอง กองละก่ีผล

ขอ 9. นักเรียนกลุมหนึง่เปนชาย 64 คน เปนหญิง 96 คน ถาตองการจัดแถวนักเรียนชายและนักเรียน

หญิงใหไดแถวละเทาๆ กัน และไดแถวยาวท่ีสุด โดยไมใหนกัเรียนชายและนักเรียนหญิงอยูใน

แถวเดียวกันจะจัดไดกีแ่ถว และแถวละก่ีคน

ขอ 10. ไมอัดแผนหนึ่งกวาง 104 เซนติเมตร ยาว 195 เซนติเมตร นํามาตัดเปนแผนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสที่

มีขนาดเทากันทุกแผนใหไดแผนขนาดใหญที่สุดและไมเหลือเศษ จะไดไมอัดรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสก่ี

แผน และแตละแผนมีขนาดเทาใด

ขอ 11. จงทํา ใหเปนเศษสวนอยางตํ่า 24

36

ขอ 12. จงทํา ใหเปนเศษสวนอยางตํ่า เราจะทราบไดอยางไรวาคําตอบที่ไดเปนเศษสวนอยางตํ่า 78

108ขอ 13. ห.ร.ม. ของจํานวนนบัสองจํานวนใดๆ มากกวาหรือเทากับ 1 เสมอหรือไม เพราะเหตุใด


ผลการเรยีนรูที่คาดหวัง 1. บอกความหมายของตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.) ได

2. สามารถหาตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.) ของจํานวนนับใดๆ 2 จํานวนข้ึนไปที่กําหนดใหได

1.5 ตัวคูณรวมนอย( ค.ร.น. )

จํานวนท่ีมี 12 เปนตัวคูณรวม ไดแก 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , . . .

จํานวนท่ีมี 16 เปนตัวคูณรวม ไดแก 16 , 32 , 48 , 64 , 80 , 96 , . . .

จะพบวา 12 และ 16 มีตัวคูณรวมกันอยูหลายจํานวน คือ 48 , 96 , 144 , . . .

แตตัวคูณรวมที่นอยที่สุด คือ 48

เรียกวา 48 เปน ค.ร.น. ของ 12 และ 16

วิธีการหา ค.ร.น.

ค.ร.น. คือ ตัวคูณรวมที่นอยท่ีสุดที่จาํนวนนับใดๆ 2 จํานวนขึ้นไปหารตัวคูณรวมทีน่อยท่ีสุดนั้นลงตัว

ตัวอยางท่ี 26 จงหา ค.ร.น. ของ 16 , 24 และ 56

วิธีที ่1 ใชวธีิหาตัวคูณรวมที่นอยที่สุด

16 จํานวนท่ีมี 16 เปนตัวคูณรวม ไดแก 16 , 32 , 48 , 64 , 80 , 96 ,112 , 128 , 144 , 160

176 , 192 , 208 , 224 , 240 , 256 , 272 ,

288 304 , 320 , 366 , . . .

24 จํานวนท่ีมี 24 เปนตัวคูณรวม ไดแก 24 , 48 , 72 , 96 , 120 , 144 , 168 , 192 ,

216 240 , 264 , 288 , 312 , 336 , . . .

จํานวนท่ีมี 56 เปนตัวคูณรวม ไดแก 56 , 112 , 168 , 224 , 280 , 336 , . . . 56

ตัวคูณรวมทีน่อยที่สุด คือ 336

ค.ร.น. ของ 16 , 24 และ 56 คือ


2 16 24

ค.ร.น. ของ 16 , 24 และ 56 คือ × × × × =2 4 2 3 7 336

56

4 8 12 28

2 3 7


ตัวอยางท่ี 27 จงหา ค.ร.น. ของ 270 , 252 และ 324


3 270 252 324 3 90 84 108

2 30 28 36

3 15 14 18

2 5 14 6 5 7 3

ค.ร.น. ของ 270 , 252 และ 324 คือ × × × × × × × =3 3 2 3 2 5 7 3 11,340

ตัวอยางท่ี 28 จงหา ค.ร.น. ของ 615 และ 861


2 615 861 1 492 615 123 246 2

246 0

123 615 861

5 7

ค.ร.น. ของ 615 และ 861 คือ × × =123 5 7 4,305

ตัวอยางท่ี 29 จงหา ค.ร.น. ของ a2b3c2 , ab4c2 และ a3bc4

a2b3c2 แยกตัวประกอบได = a × a × b b b c c × × × ×

ab4c2 แยกตัวประกอบได = a × b × b b b c c × × × ×

a3bc4 แยกตัวประกอบได = a × a × a b c c c c × × × × ×

ค.ร.น. ของ a2b3c2 , ab4c2 และ a3bc4 คือ × × × × × × × × × ×a a a b b b b c c c c

= a3b4c4


-22-



ขอ 1. จํานวนที่มี 4 เปนตัวคูณรวม ไดแก…………………..…………………………………………….

ขอ 2. จํานวนที่มี 8 เปนตัวคูณรวม ไดแก………………………………………………………………...

ขอ 3. ตัวคูณรวมกันของขอ 1. และ 2. ไดแก……………………………………………………………..

ขอ 4. ตัวคูณรวมทีน่อยที่สุดของขอ 3. คือ………………………………………………………………..

ขอ 5. ตัวคูณรวมทีน่อยที่สุดของ 4 และ 8 คือ...................................................................................

ขอ 6. ค.ร.น. ของ 36 กับ 48 คือ

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 8. ค.ร.น. ของ 21 , 48 และ 35 คือ

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 7. ค.ร.น. ของ 60 , 90 และ 120 คือ ขอ 9. ค.ร.น. ของ 7, 35 และ 140 คือ

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................


ขอ 13. ค.ร.น. ของ a2bc , 2b และ 4abc2 คือ ขอ 10. ค.ร.น. ของ 2m และ nm คือ

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 11. ค.ร.น. ของ และ คือ 4 8m n 9m n

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 12. ค.ร.น. ของ ab , b และ abc2 คือ

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 14. ค.ร.น. ของ 6ac , ab2 และ 2c คือ

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 15. ค.ร.น. ของ 2bd , 10ab และ 5ac คือ

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ตัวอยางท่ี 30 ระฆัง 3 ใบ เร่ิมตีดังพรอมกันคร้ังแรกในเวลา 9.00 น. ถาระฆังใบที่หนึ่งตีดังทกุๆ 15

นาท ี ระฆังใบที่สองตีดังทุกๆ 20 นาท ี ระฆังใบที่สามตีดังทุกๆ 25 นาที เม่ือตีดังพรอมกันคร้ังแรกแลว

คร้ังตอไปจะตีดังพรอมกันเม่ือเวลาผานไปกี่นาท ีและตีดังพรอมกันคร้ังตอไปในเวลาก่ีนาฬิกา

ระฆังใบทีห่นึง่ตีดังทุกๆ 15 นาที คือ 15 , 30 , 45 , 60 , 75 , 90 , . . .

ระฆังใบที่สองตีดังทุกๆ 20 นาที คือ 20 , 40 , 60 , 80 , 100 , 120 , . . .

ระฆังใบที่สามตีดังทุกๆ 25 นาที คือ 25 , 50 , 75 , 100 , 125 , 150 , . . .

จะพบวาระฆังทั้งสามใบจะตีดังพรอมๆกนัอีกคร้ัง จะตองเปนการหาตัวคูณรวมทีน่อยที่สุด

นั่นเอง

ใชวิธีหารส้ัน

5 15 20 25 3

4 5

ค.ร.น. ของ 15 , 20 และ 25 คือ 3005435 =×××

ตอบ คร้ังตอไปจะตีดังพรอมกัน เม่ือเวลาผานไป 300 นาที = 5 ช่ัวโมง

จะตีดังพรอมกันคร้ังตอไป ในเวลา 9.00 น. + 5 ช่ัวโมง = 14.00 น.


ขอ 1. 180 เปน ค.ร.น. ของ 90 และ 150 ใชหรือไม

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ขอ 2. จงหาจํานวนนับที่นอยที่สุดทีห่ารดวย 30 และ 42 แลวเหลือเศษ 5 เทากัน

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


ขอ 3. จงหาจํานวนนับที่นอยที่สุดทีน่าํ 25 และ 45 ไปหารแลวเหลือเศษ 9 เทากัน

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ขอ 4. นักเรียน 4 คน วิง่รอบสนามวงกลม โดยว่ิงรอบสนาม 1 รอบ คนที่ 1 ใชเวลา 5 นาที คนที ่2 ใช

เวลา 12 นาท ีคนที่ 3 ใชเวลา 10 นาท ีคนที ่4 ใชเวลา 15 นาท ีถาเร่ิมออกว่ิงพรอมๆ กนั นานเทาใด

คนทัง้ส่ีจึงจะวิง่อยูในตําแหนงเดียวกันอีก

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ขอ 5. ทหารเรือ 3 คน ใหสัญญาณธงลงจากเสาพรอมๆ กัน โดยคนแรกใหสัญญาณทุก ๆ 20 นาที คน

ที่ 2 ใหสัญญาณทุกๆ 25 นาที คนที่3 ใหสัญญาณทกุๆ 30 นาที ถาคร้ังแรกใหสัญญาณพรอมกัน

เวลา 8.30 น. คร้ังที่สองจะใหสัญญาณธงลงจากเสาพรอมกันเม่ือเวลาเทาใด

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


-26-


ขอ 1. จงหา ห.ร.ม. โดยวธีิต้ังหารสองแถวของจํานวนตอไปนี้

1.1 276 กับ 391 1.4 2313 กับ 1028

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

1.2 407 กับ 333 1.5 639 กับ 923

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

1.3 536 กับ 1675 1.6 1908 กบั 1749

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

ขอ 2. จงหา ค.ร.น. โดยวิธีต้ังหารสองแถวของ จํานวนตอไปนี ้

2.1 2499 กับ 3213

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

2.2 2355 กับ 4239

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

ขอ 3. จงหา ห.ร.ม. โดยวิธีต้ังหารสองแถวของ 869 , 632 และ 1185

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

ขอ 4. จงหา ค.ร.น. โดยวธีิต้ังหารสองแถวของ 413 , 295 และ 649

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

ขอ 5. จงหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. โดยวิธีต้ังหารสองแถวของ 295 , 555 และ 407

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................



ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. จงแสดงวิธีหา ค.ร.น. ของจํานวนตอไปนี้

1.1 40 และ 60 1.2 120 และ 150 1.3 10, 20 และ 30 1.4 8, 32 และ 56

ขอ 2. จงหาจํานวนนับที่นอยที่สุดซ่ึงหารดวย 36 , 54 และ 63 แลวเหลือเศษ 7 ทกุจํานวน

ขอ 3. รานขายขนมแหงหนึ่งรับขนมจากผูผลิตเปนงวด ๆ ดังนี ้

รับขนมปงไสไกทุก 2 วัน รับขนมเคกทุก 3 วัน และรับคุกก้ีทกุ 4 วัน โดยมีขอตกลงกับผูผลิตวาเม่ือมาสง

ขนมใหมจะรับขนมเกาที่เหลือกลับไป ต๊ิกไปซ้ือขนมทีร่านนี้ในวนัที่ 1 พฤศจิกายน ซ่ึงตรงกับวนัที่รานรับ

ขนมทัง้สามชนิดพรอมกันพอดี อยากทราบวาต๊ิกควรไปซ้ือขนมที่รานน้ีคร้ังตอไปเม่ือใดจึงจะไดขนมทีม่าสง

ใหมทัง้สามชนิด

ขอ 4. จงหา ค.ร.น. ของจํานวนในแตละขอตอไปนี้

4.1 38 และ 57 4.2 13 และ 29 4.3 53 และ 69

4.4 24, 60 และ 120 4.5 7, 51 และ 147 4.6 3, 11 และ 47

ขอ 5. จงใชความรูเก่ียวกับ ค.ร.น. หาผลลัพธตอไปนี ้

5.1 ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

4 2 7

3 5 30

5.2 ⎛+ −⎜⎝

7 9 5

15 10 8⎞⎟⎠

5.3 ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

7 1 7

12 16 24

ขอ 6. จงหาจํานวนนับที่นอยที่สุดซ่ึงหารดวย 9 , 16 และ 24 แลวเหลือเศษ 5 เทากัน

ขอ 7. นายแมนเก็บสมจากสวนไวกองหน่ึง เขามีกลองอยูสามขนาด คือกลองเล็กจุ 9 ผล กลองกลางจุ

12 ผล และกลองใหญจุ 20 ผล ไมวาจะเลือกใชกลองขนาดใดก็ตามเพียงขนาดเดียวก็สามารถ

บรรจุสมกองนี้ไดหมดพอดี อยากทราบวาสมกองน้ีมีอยางนอยท่ีสุดก่ีผล

ขอ 8. การเดินทางจากเมือง ก ไปเมือง ข ไปไดสามทาง ในแตละวนันายทาปลอยรถโดยสารออกพรอมกัน

ทั้งสามเสนทาง เวลา 7.30 น. และจะปลอยรถโดยสารแตละเสนทางในคร้ังตอไปดังนี ้

เสนทางทีห่นึง่ รถออกทุก 30 นาที

เสนทางที่สอง รถออกทุก 40 นาที

เสนทางที่สาม รถออกทุก 50 นาที

จงหาวานายทาจะปลอยรถโดยสารทัง้สามเสนทางพรอมกันคร้ังตอไปในเวลาเทาใด


-29-

ขอ 9. นางสายใจมีลูกสาวสามคน คือ สวย คม และขํา ลูกสาวท้ังสามคนอยูตางจังหวัด แตทกุคนจะแวะ

มาเย่ียมแมเสมอ โดยตกลงกันวา สวยมาเย่ียมแมทุก 4 วนั คมมาเยีย่มแมทกุ 5 วนั และขํามาเย่ียมแมทุก

6 วัน ถาลูกทัง้สามคนมาเย่ียมแมพรอมกันเม่ือวันที่ 13 เมษายน จงหาวาคร้ังตอไปแมจะไดพบลูกพรอม

กันสองคนเม่ือใดและสามคนเม่ือใด

ขอ 10. ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนใดๆ มากกวาหรือเทากับจํานวนใดจํานวนหน่ึงในสองจํานวนน้ัน

เสมอใชหรือไม เพราะเหตุใด

ขอ 11. ห.ร.ม. ของจํานวนนับสองจํานวนใดๆ หาร ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนนัน้ไดลงตัวเสมอใช

หรือไม เพราะเหตุใด

ความสัมพันธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนใด ๆ

จงทํากิจกรรมตอไปน้ี ขอ 1. หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 6 และ 10

ขอ 2. จากจํานวนทีก่ําหนดใหในขอ 1 จงหา

2.1 ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

2.2 ผลคูณของสองจํานวนน้ัน

ขอ 3. ใหสังเกตผลลัพธที่ไดจาก 1) และ 2) ของขอ 2 ผลลัพธที่ไดมีความสัมพนัธกนัอยางไร

ขอ 4. หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 8 และ 28 แลวดําเนนิกิจกรรมตามขอ 2 และขอ 3

ขอ 5. ลองกําหนดจํานวนนับสองจํานวนใดๆ แลวดําเนนิกิจกรรมตามขอ 1 ขอ 2 และขอ 3

ขอ 6.จากกิจกรรมขอ 1 ถงึขอ 5 สังเกตเห็นหรือไมวาเม่ือกําหนดจํานวนนับสองจํานวนให ผลคูณของ ห.ร.

ม. และ ค.ร.น. กับผลคูณของจํานวนนบัสองจํานวนนัน้สัมพันธกนัอยางไร

ขอ 7. จํานวนสองจํานวนมี ห.ร.ม. เปน 6 ค.ร.น. เปน 72 และถาจํานวนหนึ่ง คือ 18 จงใชขอสรุปจากขอ

6 หาจํานวนอีกจํานวนหนึ่ง

ขอ 8. ใหตรวจสอบจํานวนทีห่าไดในขอ 7 กับ 18 วามี ห.ร.ม. เปน 6 ค.ร.น. เปน 72 จริงหรือไม

ชวนคิด

หน วยการเรียนรู ที่...

Documents

Transcript of หน วยการเรียนรู ที่...