€

∑

22.04.200522.04.2005 GOR, München 2005 1

Fixpunkt-Minimierung bei Binnenschiffen

Sebastian Pokutta, Günter Törner

Universität Duisburg - Essen

München 2005

22.04.2005 GOR, München 2005 2

€

∑ Das Cargo+ Projekt Kooperationsprojekt mit dem DST,

Duisburg (Development Center for Ship Technology and Transport Systems)

Teil eines umfassenden Projektes, um Optionen des dreilagigen Transportes von Containern im Binnenschiffsverkehr zu untersuchen

Ziel: Bestimmung von optimalen Beladungsplänen, die die Fixpunkthöhe minimieren

Ziel: Schnelle Berechnung der Mindestbrückenhöhe für ein gegebenes Schiff und dessen Beladung

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€

∑ Brückendurchfahrtshöhen

Abschnitt 1:

Rhein

Zwischen Koblenz (Rhein-km 595) und Mainmündung (Rhein-km 497), Streckenlänge: 97 km

Brückenhöhen: > 9,10 m

Abschnitt 2:

Main

Zwischen Mainmündung (Main-km 0) und Bamberg (Main-km 384), Streckenlänge: 384 km

Brückenhöhen: 4,39 m - 7,71 m

Abschnitt 3:

Main-Donau-Kanal

Zwischen Bamberg (MDK-km 0) und Kehlheim (MDK-km 171), Streckenlänge: 171 km

Brückenhöhen: 5,49 m - 5,53 m

Abschnitt 4:

Donau

Zwischen Kehlheim (Donau-km 2412) und Regensburg (Donau-km 2376), Streckenlänge: 36 km

Brückenhöhen: 5,94 m

Alle Brückenhöhe sind die Höhen über dem sog. HSW (Höchster Schiffbarer Wasserstand). Dies bedeutet insbesondere, dass an Tagen mit geringerem Wasserstand die Brückenhöhen deutlich höher ausfallen können.

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∑ Beispiel: Verfügbarkeit

0

50

100

150

200

250

300

350

4,5 5 5,5 6 6,5 7

Mainbrücke Auheim:

*Mittelwerte für die Zeitspanne von 1992 - 2001

Verringerung des Fixpunktes von 6,50 m auf unter 6,00 m erhöht Verfügbarkeit um 90 Tage und mehr

Durchfahrtshöhe Verfügbarkeit/Jahr*

4,5 m 352

5,0 m 351

5,5 m 348

6,0 m 340

6,5 m 250

7,0 m 0

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∑ Ziel: Fixpunktminimierung

Herkömmliche Möglichkeiten einer Fixpunktreduzierung: Aufnahme von Ballastwasser:

Durchaus sinnvoll, aber nicht ausreichend Gewinn zwischen 0,07 m und 0,08 m

Verringerung der Dicke des Doppelbodens: Gewinn von etwa 0,15 m Nicht bei allen alten Schiffen durchführbar Endgültige physikalische Veränderung! Verringert das Volumen der Ballasttanks Stabilitätsprobleme: Das Schiff biegt sich u.U. stark durch

=> geringerer Maximaltiefgang Aufnahme von Festballast (Stahlplatten bzw. Beton mit Stahlschrott):

Gewinn zwischen 0,02 m und 0,09 m Aufwendig Verringerung der effektiven Kapazität

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∑ Mathematischer AnsatzGegeben: Binnenschiff Ladung

Verschiedene Gewichte (2,0 t - 25,0 t) Verschiedene Containerhöhen

(8,0 ft - 10,0 ft in 0,5 ft Schritten) “Doppelt lange” Container Containeranzahl cmax = 156

Freiheitsgrade: Beladungsplan

Randbedingungen: Berücksichtigung der Schiffslage

Ziel: Bestimmung eines Beladungsplan mit

minimaler Fixpunkthöhe

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∑ Hydrostatisches ModellRandbedingungen, Forderungen an Plan (DST): Möglichst keine Verkrängung

(Energieverbrauch) Ausschließlich positive Vertrimmung

(nose up) Stabilität kann vernachlässigt werden

(Binnenschiffe weisen enorm hohe Stabilität auf)

Modellparameter: Leichte Feinkalibrierung Schnelle Berechenbarkeit

Trennung der Ladeplan-abhängigen und -unabhängigen Berechnung

Modellierung (UDE): Variable Schiffstypen Dreistufiges Verfahren zur

Tiefgangsbestimmung (höhere Genauigkeit): Leertiefgänge Massenabhängige Eintauchung Rotation durch Momente

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∑ Hydrostatisches Modell

Schritt 1: Bestimmung der Leertiefgänge Verschiedene Methoden:

Elektronisch vermessen Tiefgänge ablesen Leertiefgänge errechnen

Nahezu beliebig genau durchführbar Tiefgangsebene T0(x,y) gegeben durch

die vier Tiefgänge vorne-links, vorne-rechts, hinten-links und hinten-rechts

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€

∑ Hydrostatisches ModellSchritt 2: Berechnung der Parallel-

Eintauchung TPI

Eintauchung des Schiffes durch “gleichmäßig” verteilte zusätzliche Ladung

Verschiedene Möglichkeiten der Berechnung / Approximation

Berechnung im einfachsten Fall (Archimedes-Ansatz; Auftrieb = Verdrängung):

Ergänzende Verfeinerung durch Einführung des Blockkoeffizienten(Abweichung von Quaderform)

Lastabhängige Schwerpunkte T1(x,y) = T0(x,y) + TPI

Berechnung unabhängig vom Beladungsplan

€

TPI =M i∑LB

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∑ Hydrostatisches ModellSchritt 3: Berechnung der Momente Rotation des Schiffs um seinen

Schwerpunkt Jeweils in x-Richtung (Krängung) und y-

Richtung (Trimmung) Berechnung im einfachsten Fall

(Archimedes-Ansatz; fester Schwerpunkt):

Berechnung der Momente Tx und Ty abhängig vom Beladungsplan€

Tx =6

LB2(Pi

x −Gx )M i∑

Ty =6

L2B(Pi

y −Gy )M i∑

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€

∑ Hydrostatisches Modell Projektvorgabe (DST): einfaches Modell mit festem Schwerpunkt und Blockkoeffizienten Begründung: Empirischer Befund der Modellrechnung:

Aussagequalität des einfachen Modells bereits sehr hoch Beladungsplan verändert sich seltenst durch ein komplexeres Modell Die exakten Tiefgangswerte werden ohnehin nachträglich erhoben Erheblicher Performance-Verlust

Tiefgangsfunktion T(x,y) als Basis für die Zielfunktion:

€

T(x,y) = T1(x,y) −Tx −Ty + x2TxB

+ y2TyL

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∑ FehlerbetrachtungFehlerquellen: Gewichtsbestimmung der Container Positionierung der Container Bestimmung der Leertiefgänge Fehlende hydrostatische Parameter der Schiffe

Hohes Alter, keine Bordbücher “Jedes Schiff ist anders” Nachträgliche Veränderungen am Schiff

Bewegung des Wasser

Größenordnung des resultierenden Fehlers bis ca. 0,10 m

Kein Fehler, aber ähnlich entscheidend: Variable Wasserstände Durch Schleusen erzeugte Sunk- und Schwallwellen können kurzfristige

Schwankungen von ca. 0,3 m - 0,4 m verursachen.

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€

∑ Mathematische ModellierungBeladungsmatrix- Modellierung des Containerraums - Angeordnet als Gitter Reihenanzahl: n Spaltenanzahl: m Maximale Anzahl der Container: cmax

Maximale Stapelhöhe: smax Dicke des Doppelbodens: dd Höhe Containerstapel (k,l): Ch(k,l)

Hinweis: Die Containerreihenfolge innerhalb eines Stapels ist aufgrund des gewählten hydrostatischen Modells irrelevant

22.04.2005 GOR, München 2005 14

€

∑ Mathematische Modellierung

Berechnung des Fixpunktes: Definition als höchster Punkt der

Containerladung Fixpunkt F wird immer in einem

Containerstapel angenommen Exakte Berechnung des Fixpunktes über

die Lotlänge des Stapels => Winkelfunktionen notwendig (schlecht!)

(lineare) Approximation durch:

und somit:

Resultierender Fehler der Approximation im Millimeter-Bereich, also zu vernachlässigen

€

F(x,y) = −T(x,y) + dd +Ch (x,y)

€

F = maxx,yF(x,y)

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∑ Mathematische Modellierung

Modell: Ähnlich eines “Generalized Assignment

Problem”, jedoch Minimierung über Maximum und negative Kostenterme

xijk = 1 <=> Container i auf Position (j,k)

xtol Toleranz der Verkrängung Restriktionen (2) - (4) kontrollieren Lage

des Schiffs Restriktion (5) kontrolliert die Stapelhöhe Restriktion (6) kontrolliert, dass jedes

Container genau einmal geladen wird

Hinweis: Modell hier leicht vereinfacht, da doppelt-lange Container nicht berücksichtigt werden.

€

minV

subject to

(1) V ≥ F( j,k) j ∈ {1,K ,m},k ∈ {1,K ,n}

(2) T(bl) −T( fl) ≥ 0

(3) T( fr) −T( fl) ≤ xtol

(4) T( fl) −T( fr) ≤ xtol

(5) x ijk ≤ smax

1≤ i≤cmax

∑ j ∈ 1,K ,m{ },k ∈ 1,K ,n{ }

(6) x ijk =1 i ∈ 1,K ,cmax{ }1≤ j≤m,1≤k≤n

∑

(7) x ijk ∈ 0,1{ } i ∈ 1,K ,cmax{ }, j ∈ 1,K ,m{ },k ∈ 1,K ,n{ }

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€

∑ Mathematische Modellierung Ansatz bestend aus zwei Teilen

Scheduling Heuristik (SH) Genetischer Algorithmus (GA)

Scheduling Heuristik Schnelle Berechenbarkeit Relativ gute Lösungen Berücksichtigt nur geometische Maße der

Container Genetischer Algorithmus

“Survival of the fittest” Problem, der frühzeitigen Konvergenz Berücksichtigt alle Eigenschaften der

Ladung Ansatz: Koppelung beider Verfahren

Schnelle Berechenbarkeit Kurze Evolution des GA (wg. Startlösung) Hohe Güte der Lösung der SH verhindert

frühzeitige Konvergenz des GA Besondere Eigenschaften der Ladung

können durch den GA berücksichtigt werden

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€

∑ Mathematische Modellierung

Scheduling Heuristik Abgeleitet von der “LPT-Regel” (Largest Processing Time first) Bildet einer “Treppenfunktion” Hier: Die höchsten Stapelkombinationen zum Heck hin gestapelt und minimale Steigung

für die Treppenfunktion Für das rein geometrische Problem optimal Liefert gute Startlösungen

22.04.2005 GOR, München 2005 18

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∑ Mathematische Modellierung

Genetischer Algorithmus Lösungen als Sequenzen Neue Lösungen durch:

Rekombination (Crossover) Lokalen Veränderungen (Mutationen)

Bewertung einer Lösung mit Hilfe einer sogenannten Fitness-Funktion Selektion nach Mutation und Crossover abhängig von Fitness der einzelnen Lösungen

Hier: 2-elitäre Fitness-proportionale Selektion Problem der frühzeitigen Konvergenz kann mit guten Startlösungen umgangen werden

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∑ Mathematische Modellierung

Ansatz 1: Scheduling-Heuristik + genetischer Algorithmus

Bearbeitung des Problems in zwei Schritten: Geometrische Optimierung, via Heuristik Massen-berücksichtigende

Feinoptimierung durch genetischen Algorithmus

Sehr geringer Zeitbedarf ( < 1 Minute ) Sehr geringer Speicherbedarf ( < 5 Mb ) Performance unabhängig von Ladung Keine Optimalitätskontrolle Erstmal nicht notwendigerweise

zielführend (Spezialfälle?)

Ansatz 2 (zum Vergleich): Mixed Integer Linear Program

Sehr hoher Zeitbedarf ( >> 10 Stunden ) Sehr hoher Speicherbedarf ( >> 200 Mb ) Sehr große Gap ( > 4 %) bei 10 Stunden Performance sehr instabil

(Ladungsabhängig). Starker Einbruch bei ein hohen Anzahl von verbundenen Containern

Optimalitätskontrolle durch untere Schranke

Die folgenden Aussagen beziehen sich auf die vollständige Modellierung inklusive

doppelt-langer Container (als zwei verbundene Standardcontainer).

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∑ Mathematische Modellierung

Optimalitätsuntersuchung des Ansatzes: Charakteristika der Kombination aus Scheduling-Heuristik und genetischem

Algorithmus sehr gut. Integration der LP-Relaxation des Mixed-Integer Linear Program für untere

Schranken. Damit: Gap << 2,00 % Approximative Reformulierung als Mixed-Integer Linear Program (mit

Äquivalenzklassen). Fehler durch Approximation sehr klein (<< 3 cm) Schnellere Berechnung (Gap < 0,01 % nach 2 Stunden, oftmals schon nach Minuten) Oftmals beweisbare Optimalität des Plans für das approximative Problem Empririsch: Lösungen nahezu identisch mit denen aus dem Ansatz

In vielen Fällen: Struktursatz => (nahezu) optimale Lösungen weisen Treppenform auf

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∑ Ergebnisse Schnelle Berechenbarkeit sichert den

geforderten Einsatz auf Standard PCs (und somit direkt auf dem Binnenschiff)

In vielen Fällen: Fixpunktreduzierungen zwischen 0,40 m und 0,80 m

Selbst bei Beladungsplänen von erfahrenen “Loadmastern” in vielen Fällen Fixpunktreduzierungen zwischen 0,20 m und 0,50 m

Gap: 0,01 % - 0,05 %, d.h. < 3 cm

Schranken der LP-Relaxation als Mindestbrückenhöhe

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∑ Ergebnisse

0,00 m

5,70 m

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Original Optimiert ∆

1 6,06 m 5,53 m 0,53 m

2 6,08 m 5,54 m 0,54 m

3 7,12 m 6,57 m 0,56 m

4 4,90 m 4,36 m 0,54 m

5 5,84 m 5,27 m 0,58 m

6 5,83 m 5,24 m 0,59 m

7 6,01 m 5,38 m 0,63 m

8 5,99 m 5,38 m 0,61 m

9 7,07 m 6,47 m 0,60 m

10 4,90 m 4,30 m 0,60 m

11 5,94 m 5,26 m 0,68 m

12 5,97 m 5,22 m 0,75 m

13 6,22 m 5,43 m 0,79 m

14 6,22 m 5,56 m 0,67 m

15 7,22 m 6,57 m 0,65 m

16 5,05 m 4,41 m 0,63 m

17 6,18 m 5,50 m 0,67 m

18 6,21 m 5,54 m 0,68 m

19 5,85 m 5,28 m 0,57 m

20 6,16 m 5,68 m 0,48 mAnmerkung: Reale und Computer-generierte Beladungen

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∑ Wirtschaftliche Aspekte Binnenschiff ist deutlich langsamer als LKW Kosteneinsparungen gegenüber LKW:

Zweilagig: ca. 27 % Dreilagig: ca. 41%

Stark ansteigender Transportbedarf via Binnenschiff (Maut verstärkt diesen Trend)

Der Wechsel von zweilagigen zu dreilagigen Transport stellt eine Effizienzsteigerung von ca. 50 % dar, da der Mehrverbrauch an Energie minimal ist

Dreilagiger Transport wichtige stragetische Notwendigkeit um konkurrenzfähig zu bleiben

Dreilagiger Transport inbesondere in den kritischen Abschnitten erstmal nur eingeschränkt möglich. Optimierte Pläne können die Einschränkung vermindern.

Unvorhersehbare Wasserstände und zu wenig Spielraum verhindern (noch!) “just-in-time delivery” bei dreilagigem Transport in kritischen Bereichen...

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

std opt

Bereich 1Bereich 2Bereich 3Bereich 4

Schiffbarkeit von drei Lagen an kritischen Tagen

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∑ Ausblick Betrachtung in einem größeren Kontext (wichtig für Reedereien): Nicht mehr nur eine Ladung und ein Schiff Gegeben Anzahl von Container, verschiedene Schiffe (Schiffstypen, Due-Dates und

erwartete Wasserstände) Aufteilen der Containermenge in optimale Ladungen mit Blick auf Due-Dates, Masse und

Höhe (Set Partition Problem) Bestimmung von Ladeplänen für entsprechende Ladungs - Schiffs Kombinationen Bestimmung der optimalen „Verschiffzeitpunkte“ unter Unsicherheit um die Anzahl der

Verspätungen zu minimieren (Stochastical Scheduling Problem) Moving Horizont, d.h. es muss so geplant werden, dass auch neu ankommende Aufträge

sinnvoll in den Plan integriert werden können

22.04.2005 GOR, München 2005 25

€

∑

Vielen Dank!