[2006] Relationship of Modulation Schemes for Matrix Converters.pdf
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8/9/2019 [2006] Relationship of Modulation Schemes for Matrix Converters.pdf
1/5
R e l a t i o n s h i p
o f M o d u l a t i o n
S c h e m e s f o r
M a t r i x
C o n v e r t e r s
F a n
Y u e ,
P a t r i c k W. W h e e l e r ,
a n d J o n C . C l a r e
S c h o o l
o f E l e c t r i c a l
&
E l e c t r o n i c E n g i n e e r i n g
U n i v e r s i t y
o f N o t t i n g h a m ,
U n i v e r s i t y P a r k
N o t t i n g h a m ,
NG7
2RD
UK
e e x f y t
n o t t i n g h a m .
a c .
u k ,
P a t .
W h e e l e r @ n o t t i n g h a m .
a c .
u k ,
J o n .
C l a r e @ n o t t i n g h a m .
a c .
u k
K e y w o r d s :
m o d u l a t i o n ,
m a t r i x
c o n v e r t e r , r e l a t i o n s h i p .
A b s t r a c t
T h i s p a p e r
r e v e a l s t h e
r e l a t i o n s h i p
b e t w e e n s o m e
w e l l - k n o w n
m a t r i x
c o n v e r t e r
m o d u l a t i o n
s t r a t e g i e s ,
b a s i c / o p t i m u m
A l e s i n a - V e n t u r i n i
( A V )
m e t h o d s
a n d d i r e c t / i n d i r e c t
s p a c e
v e c t o r
m o d u l a t i o n ( S V M ) .
T h e
d i r e c t / i n d i r e c t
SVM m e t h o d s
a r e
i n h e r e n t l y
t h e
s a m e .
Two
SVM m e t h o d s
a r e
a l s o
p r o p o s e d ,
w h i c h
a r e
e q u i v a l e n t
t o t h e
b a s i c / o p t i m u m
AV
m e t h o d s
r e s p e c t i v e l y .
1
I n t r o d u c t i o n
M o d u l a t i o n s t r a t e g i e s
o f m a t r i x c o n v e r t e r s
a r e
i n t e r e s t i n g
b e c a u s e
t h e c o n t r o l
o f
i n p u t
c u r r e n t s a n d
o u t p u t
v o l t a g e s
m u s t
b e
c a r r i e d o u t
i n
o n e
a l g o r i t h m .
S o m e
t e c h n i q u e s u s i n g
d i f f e r e n t
t h e o r e t i c a l
a p p r o a c h e s
h a v e
b e e n
w e l l
e s t a b l i s h e d
i n
l i t e r a t u r e . T h e
b a s i c / o p t i m u m
AV
m e t h o d
[ 1 ; 2 ]
i s
b a s e d
o n
d u t y - c y c l e
m a t r i x
a p p r o a c h
a n d
r e p r e s e n t e d
w i t h
q u a n t i t i e s
i n
t h e t i m e d o m a i n .
SVM
r e p r e s e n t s
a
m o d u l a t i o n
s o l u t i o n
b a s e d
o n
s p a c e
v e c t o r
d e p i c t i o n
i n
t h e
c o m p l e x
s p a c e
[ 3 - 5 ] .
T h e
i n v e s t i g a t i o n
o f
t h e r e l a t i o n s h i p
b e t w e e n t h e s e w e l l -
k n o w n
s t r a t e g i e s
i s
e s s e n t i a l ,
w h i c h c a n
n o t
o n l y p r o v i d e
a n
u n d e r s t a n d i n g
o f
m o d u l a t i o n
p r o c e s s
b u t a l s o
d e v e l o p
e f f i c i e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e s .
A
s i m p l e
r e v i e w
o f m o d u l a t i o n s t r a t e g i e s u n d e r i n v e s t i g a t i o n
i s
g i v e n . T h e
AV
m e t h o d
i s
r e p r e s e n t e d b y q u a n t i t i e s
i n
t h e
t i m e
d o m a i n ,
a n d
t h e
SVM
m e t h o d
a s i t s name
i n d i c a t e s
i s
b a s e d
o n
t h e
s p a c e
v e c t o r d e n o t a t i o n
i n
t h e
c o m p l e x
s p a c e .
F o r
SVM,
t h e r e
a r e t w o
a p p r o a c h e s d e v e l o p e d
i n
l i t e r a t u r e ,
i n d i r e c t [ 5 ]
a n d
d i r e c t
SVM
[ 3 ] .
I n t h i s
p a p e r
i t i s s h o w n t h a t
b o t h m e t h o d s
a r e
e q u i v a l e n t
t o e a c h o t h e r .
Q u a n t i t i e s
i n
t h e t i m e
d o m a i n
a n d
c o m p l e x s p a c e
a r e
i n v e s t i g a t e d .
T h e b i d i r e c t i o n a l
t r a n s f o r m a t i o n
i s e s t a b l i s h e d
w h i c h c o n t r i b u t e s
a
f o u n d a t i o n
o f f u r t h e r r e s e a r c h a b o u t
m o d u l a t i o n
r e l a t i o n s h i p .
T h e
s w i t c h i n g s e q u e n c e
i s i l l u s t r a t e d
b o t h
i n
t h e t i m e
d o m a i n
a n d
c o m p l e x s p a c e .
D u t y - c y c l e s
o f
e a c h s w i t c h
i n
t h e
t i m e d o m a i n
c a n b e
r e p r e s e n t e d b y
c o m b i n a t i o n s
o f
s p a c e
v e c t o r s
a n d
v i c e v e r s a .
W i t h
a l l
t h e s e
m u t u a l l i n k s
b e t w e e n t h e
t i m e
d o m a i n
a n d
c o m p l e x
s p a c e ,
t h e
b r i d g e
o f
d i f f e r e n t
m o d u l a t i o n
s t r a t e g i e s
c a n b e b u i l t .
F o r d i f f e r e n t
m o d u l a t i o n
t e c h n i q u e s ,
i t i s s h o w n
t h a t c o n t r o l
o f a c t i v e
c o n f i g u r a t i o n s
i s
e q u i v a l e n t
w h i l e
g r e a t
v a r i a t i o n s
e x i s t
i n
t h e
z e r o
c o n f i g u r a t i o n s .
Two
new SVM
m e t h o d s
a r e p r o p o s e d c o r r e s p o n d i n g
t o b a s i c
a n d
o p t i m u m
A V . U n l i k e c o n v e n t i o n a l
SVM m e t h o d s ,
t h e
p r o p o s e d
a p p r o a c h e s
d i s t r i b u t e
z e r o
c o n f i g u r a t i o n s
u n e q u a l l y t o
a c h i e v e
t h e s a m e m o d u l a t i o n
p r o c e s s
a s
b a s i c / o p t i m u m
A V .
2
M o d u l a t i o n
T e c h n i q u e s
2 . 1 A l e s i n a - V e n t u r i n i m e t h o d
D e f i n i n g
a
s e t
o f s i n u s o i d a l i n p u t
v o l t a g e s
a n d
a
s e t
o f
s i n u s o i d a l
o u t p u t
c u r r e n t s a s
f o l l o w
A (
O S 6 t t
( t
)
C O S O )
t
+
( P
) ( )
I I
~~~~~47
V i
=
V
( t ) j
v
C O s ( o t
+
3 )
9
[ O
h } I,t
+
t
-)
c o s ( o t
+-) c o s ( c O t +
) D f ,
- )
t h e
m o d u l a t i o n
p r o b l e m
c a n b e a s s u m e d
a s
f i n d i n g t h e
s o l u t i o n
f o r
t h e m o d u l a t i o n
m a t r i x
M
( t )
s o t h a t
''V.
q J j , ~ ~
c o s c o ~ t
a
( l )
co(@t)
v =M
( t ) - v ;
=
v ,
( t )
=
q
V i m ,
c o s (
c o t + 4 - )
c o s ( O t
+
)
( 2 )
o s ( c o t
+
q , )
c o s ( e , )
c o s ( a ± t
9+
+-)
c o s ( o + )
2 f f
c o s ( a ~ t
+
y
- )
3
-
I n
e q u a t i o n ( 1 )
a n d
( 2 ) ,
q i s t h e v o l t a g e
t r a n s f e r
r a t i o ,
w ) i
a n d
w 0
a r e
t h e
i n p u t a n d o u t p u t
a n g u l a r f r e q u e n c i e s a n d
y ,
a n d
q 0
a r e
t h e
i n p u t
a n d
o u t p u t
p h a s e
d i s p l a c e m e n t
a n g l e s
r e s p e c t i v e l y .
A
r e s t r i c t i o n
o n
t h e
p e r m i s s i b l e
s w i t c h i n g
c o m b i n a t i o n s
i s
t h a t
s h o r t c i r c u i t s
o f
t h e
c a p a c i t i v e i n p u t s i d e
a n d o p e n
c i r c u i t s o f t h e
i n d u c t i v e
o u t p u t
s i d e m u s t
b e
a v o i d e d .
S o l v i n g e q u a t i o n s
( 1 )
a n d
( 2 ) ,
t h e
b a s i c
AV
m e t h o d i s
g i v e n
a s f o l l o w :
m K i
[ I
+
v 2 ]
3
v i m
f o r K
= A , R B , C
a n d
j
= a , h b , c .
( 3 )
2 6 6
i
( t )
, i
[M
( t ) ] T . , .
i
(t )
L - i ,
( t ) ,
-
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2/5
T h i s
s o l u t i o n ,
b a s e d
o n a d i r e c t
t r a n s f e r
f u n c t i o n
r e p r e s e n t a t i o n ,
r e q u i r e s
t h a t
t h e d e s i r e d
o u t p u t
v o l t a g e
r e f e r e n c e
m u s t
f i t i n t o
t h e
i n p u t v o l t a g e
e n v e l o p s
w h i c h
r e s u l t s
i n a
50
l i m i t a t i o n
o n
t h e maximum
v o l t a g e t r a n s f e r
r a t i o .
T h e
i n c l u s i o n o f
t h i r d
common
m o d e
h a r m o n i c s
V c m
A V
i n
b o t h
i n p u t
a n d
o u t p u t
v o l t a g e
w a v e f o r m s
h a s
s u c c e s s f u l l y
d e v e l o p e d
a s
s h o w n
i n t h e
f o l l o w i n g
e q u a t i o n
V c m A V 4 =
V m
-
+ c o s 3 w 0 t )
+
( 3 t ) ]
I [
±
+
f s i n ( c o t
± A K )
s i n ( 3 c t ) ]
f o r
K
=
A , B , C a n d j
=
a , b , c .
( 4 )
T h i s m e t h o d
i s k n o w n
a s o p t i m u m
A V ,
w h i c h
i n c r e a s e s
t h e
v o l t a g e
t r a n s f e r
r a t i o u p
t o
8 6 .
2 . 2
D i r e c t
SVM
m e t h o d
T h e r e
a r e
2 7
d i f f e r e n t
s w i t c h i n g
c o n f i g u r a t i o n s .
N o r m a l l y
t h e
SVM
m e t h o d
m a k e s u s e
o f
t h e
e i g h t e e n
f i x e d
d i r e c t i o n
a n d
t h r e e
z e r o c o n f i g u r a t i o n s
t o
a c h i e v e
t h e
d e s i r e d
o u t p u t
v o l t a g e
a n d i n p u t
c u r r e n t c o n t r o l .
T h e
o u t p u t
l i n e - l i n e
v o l t a g e s a n d
i n p u t c u r r e n t s
a r e d e t e r m i n e d
o n l y
b y a c t i v e c o n f i g u r a t i o n s .
T h e z e r o c o n f i g u r a t i o n s
a r e
i m p l e m e n t e d
t o c o m p l e t e
t h e
s w i t c h i n g
c y c l e .
D i r e c t
s p a c e
v e c t o r
m o d u l a t i o n
p r o v i d e s
a n i m m e d i a t e
m o d u l a t i o n p r o c e s s
w i t h o u t
t h e
n e e d
o f
a f i c t i t i o u s
DC
l i n k i n
I S V M .
F u l l c o n t r o l
o f t h e o u t p u t
v o l t a g e s a n d
t h e
i n p u t p o w e r
f a c t o r c a n
b e a c h i e v e d
a t
t h e s a m e t i m e
r e g a r d l e s s
o f
t h e
o u t p u t
p o w e r
f a c t o r .
F o r a n y
c o m b i n a t i o n
o f i n p u t / o u t p u t
s e c t o r s ,
f o u r
a c t i v e
c o n f i g u r a t i o n s
l y i n g
a d j a c e n t
t o t h e
d e s i r e d v e c t o r s
c a n b e
i d e n t i f i e d .
F o u r s y m b o l s
( I ,
I I ,
I I I a n d I V )
a r e i n t r o d u c e d
t o
i d e n t i f y
t h e f o u r
a c t i v e s w i t c h i n g
c o n f i g u r a t i o n s .
0 i
i s t h e
a n g l e
o f
t h e r e f e r e n c e
i n p u t
v e c t o r
w i t h i n
i t s
s e c t o r .
I m p o s i n g
t h e
d i r e c t i o n
d e f i n e d
b y
0 i
o n t h e
t w o
a d j a c e n t
v e c t o r
d i r e c t i o n s ,
t h e
f o l l o w i n g
e q u a t i o n s
c a n b e
w r i t t e n :
( I , l < i
+
1 ' 3
) - . e j ( O '
- , 1 6 ) e j ( K , -
1 ) , / 3
=
o
( 5 )
( I 1 , 1 a m 1
+
I
5 v ) .
j e j ( O
7 - , r 6 ) e j ( K I
- 1 ) z / 3
=
0 .
( 6 )
0 0
i s
t h e
a n g l e
o f
t h e r e f e r e n c e
o u t p u t
p h a s e
v o l t a g e
v e c t o r
w i t h i n
t h e
r e f e r e n c e
l y i n g
s e c t o r .
W i t h
r e s p e c t
t o t h e
o u t p u t
v o l t a g e
s y n t h e s i s ,
t h e
r e f e r e n c e
i s r e s o l v e d
i n t o
t w o
c o m p o n e n t s
a l o n g
t h e
t w o
a d j a c e n t
v e c t o r d i r e c t i o n s .
Two
e q u a t i o n s
d e a l i n g
w i t h t h e s e t w o
c o m p o n e n t s
r e s p e c t i v e l y
a r e
d e r i v e d
a s f o l l o w
v O I d +
v 1 3 l 1 =
2
Vo
s i n ( 9
) e J ( K - 1 ) i r 1 3 + ; r / 3
( 7 )
V 1 1 1 3 ' 1 1
+
V : g = 5VI
-
j ( K i - ) g / 3 *
( 8 )
- - - -
s i n o (
O ) e ( K
~ F3
O3
2
s i n ( 6 j ) s i n ( 9 0 )
~ 3
C O S ( ( 7 i
)
c o s ( q i
s i n ( ' 7
)
s i n ( - 0 )
c o s ( i )
7 ' r
2
s i n ( - - S i ) n (
-
- 0 )
21
3
3
, [ 3 -
c o s ( P i )
( 9 )
2 . 3
I n d i r e c t SVM
m e t h o d
I n d i r e c t s p a c e
v e c t o r
m o d u l a t i o n
i s
a
m o d u l a t i o n
s t r a t e g y ,
w h i c h
d e c o u p l e s
t h e c o n t r o l
o f
i n p u t
c u r r e n t s
a n d o u t p u t
v o l t a g e s i n t o t w o s t e p s .
I t
r e q u i r e s
t w o t r a n s f e r
m a t r i x e s
t o
c o n t r o l t h e w h o l e
m a t r i x c o n v e r t e r
a n d t h e
w e l l - k n o w n
SVM
m e t h o d
i s a p p l i e d
t o
t h e r e c t i f y i n g
a n d
i n v e r t i n g
s t a g e
r e s p e c t i v e l y .
T h e r e f e r e n c e
i n p u t
c u r r e n t
s p a c e
v e c t o r i s
s y n t h e s i s e d
b y t h e
t w o
a d j a c e n t
s w i t c h i n g
v e c t o r s
I 1
a n d
I 6
w i t h
t h e i r
d u t y
c y c l e s
d y
a n d d a
d 6 - m 0 s i n ( 9 i )
( 1 0 )
d , 5
=
m c
s i n ( O , )
*
( I 1 1
w h e r e
m ,
i s
t h e
c u r r e n t
m o d u l a t i o n i n d e x
r e p r e s e n t e d
b y t h e
m a g n i t u d e
o f t h e i n p u t
c u r r e n t w i t h
r e s p e c t t o
t h e D C - c u r r e n t .
T h e c u r r e n t m o d u l a t i o n
i n d e x
i s
u s u a l l y
s e t
t o b e
u n i t y .
D u e
t o
t h e l a c k
o f
t h e
e n e r g y
s t o r a g e
e l e m e n t a c r o s s
t h e
i m a g i n a r y
DC
l i n k ,
t h e
i n p u t
p o w e r
e q u a l s t h e
DC l i n k
p o w e r .
V p n
= - V i m ,
c o s ( 9 i )
( 1 2 )
2
T h e
r e f e r e n c e
o u t p u t
v o l t a g e
s p a c e
v e c t o r
i s
s y n t h e s i s e d
b y
t w o
a d j a c e n t
s w i t c h i n g
v e c t o r s
V 0
a n d
V
w i t h
t h e
d u t y
c y c l e
d a a n d
d A
d f i = m 0 s i n ( 9 - 0 O )
( 1 3 )
d , 6 =
m , s i n ( f O )
*
( 1 4 )
w h e r e
m ,
i s t h e
v o l t a g e
m o d u l a t i o n
i n d e x .
T h e v o l t a g e
m o d u l a t i o n
i n d e x
m ,
d e f i n e s
t h e
d e s i r e d v o l t a g e
t r a n s f e r
r a t i o
u n d e r
l i n e a r
m o d u l a t i o n
c o n d i t i o n s .
T o g e t
t h e
e x a c t b a l a n c e
o f t h e
i n p u t c u r r e n t
a n d o u t p u t
v o l t a g e
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( 5 - 8 ) ,
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w i l l
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a s f o l l o w s
a s s u m e d .
2 6 7
-
8/9/2019 [2006] Relationship of Modulation Schemes for Matrix Converters.pdf
3/5
3
Q u a n t i t i e s
i n t h e
Time Domain a n d
C o m p l e x
S p a c e
G i v i n g
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1 2 3
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V z
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T a b l e 2 .
- + s e c t o r
1 2 3 4 5
6
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__
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2 :
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4
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i n
t h e T i m e
Domain a n d
C o m p l e x
S p a c e
D u r i n g
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o f a p p l i e d v e c t o r s a r e
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p a t t e r n s
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i n f l u e n c e o n
t h e p e r f o r m a n c e o f t h e m a t r i x c o n v e r t e r .
D o u b l e
s i d e d
m o d u l a t i o n
i s a l w a y s
p r e f e r r e d d u e t o b e t t e r
i n p u t
a n d
o u t p u t r i p p l e s
a t t h e e x p e n s e
o f
o n l y
a
s l i g h t
i n c r e a s e
i n
t h e
n u m b e r o f
s w i t c h c o m m u n i c a t i o n s
a n d l o s s e s .
A
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d o u b l e
s i d e d
s w i t c h i n g p a t t e r n
i s
g i v e n
a s f o l l o w .
N o t l o s i n g g e n e r a l i t y ,
a l l t h e
t h r e e
z e r o
c o n f i g u r a t i o n s
a r e
d i s t r i b u t e d
t h r o u g h o u t
t h e s w i t c h i n g p e r i o d .
W i t h t h e
a s s u m p t i o n
o f z e r o
d u t y - c y c l e , a n y
o n e o r
t w o
o f z e r o
c o n f i g u r a t i o n s
c a n
b e
e l i m i n a t e d . T h e s w i t c h i n g
s e q u e n c e i s
d e p e n d e n t
o n t h e
i n p u t
a n d
o u t p u t h e x a g o n .
T h e
s u m o f
t h e
i n p u t
a n d
o u t p u t
s e c t o r i n d i c a t e s
t w o
s w i t c h i n g
s c h e m e s
a s
s h o w n
i n
T a b l e
3 .
I n
e a c h
s c h e m e , o n l y
o n e
s w i t c h
c h a n g e s
s t a t e
a t a
c o m m u n i c a t i o n
t i m e .
c 5 1 ,
a 0 2
a n d
a 0 3
s t a n d f o r
d u t y -
c y c l e s
o f t h r e e
z e r o
c o n f i g u r a t i o n s r e s p e c t i v e l y .
( 1 6 )
T a b l e
3 : V e ct o r s e q u e n ce
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t h e
f i r s t
P h a s e
v o l t a g e s
u s e d
f o r
z e r o c o n f i g u r a t i o n s
a r e
i l l u s t r a t e d
i n
T a b l e
4 .
T h e v a r i a t i o n o f z e r o
c o n f i g u r a t i o n s w i t h
d i f f e r e n t
i n p u t
c u r r e n t s e c t o r
c a n
b e
n o t i c e d .
- - z e r o o l
6 0 2
6 0 3
i s e c t o r
1 , 4 v c
V A
V B
2 , 5
V B
V C
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3
, 6
, VA
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T a b l e
4 : Z e r o c o n f i g u r a t i o n s i n
e a c h i n p u t
h e x a g o n
F r e e d o m l i e s o n
t h e
s e l e c t i o n
a n d
d i s t r i b u t i o n
o f
z e r o
c o n f i g u r a t i o n s .
T h e
d i s t r i b u t i o n
o f
z e r o c o n f i g u r a t i o n s
c a n b e
e q u a l o r u n e q u a l l e a d i n g
t o d i f f e r e n t s w i t c h i n g p a t t e r n s .
Any
o n e
o r t w o o f
t h e t h r e e
z e r o c o n f i g u r a t i o n s c a n b e
d r o p p e d o f f
l e a d i n g t o t w o
z e r o o r o n e z e r o s w i t c h i n g p a t t e r n s . W i t h
o n e
z e r o
s w i t c h i n g p a t t e r n , e i g h t c o m m u n i c a t i o n s
o c c u r i n
e a c h
m o d u l a t i o n p e r i o d ,
t w o
z e r o
h a s
t e n c o m m u n i c a t i o n s a n d
t h r e e z e r o g e n e r a t e s t w e l v e c o m m u n i c a t i o n s .
T h e
c o r r e s p o n d i n g
s w i t c h i n g
s e q u e n c e
i n t h e t i m e d o m a i n
i s
s h o w n
i n
T a b l e 5 . I t
c a n
b e n o t e d
t h a t t h e s e q u e n c e v a r i e s
w i t h
t h e
i n p u t
c u r r e n t s e c t o r . C o n c i s e
s e l e c t i o n a n d p l a c e m e n t
o f
z e r o
v e c t o r s
i s
a d v a n t a g e o u s d o u b l i n g t h e i n p u t
d o m i n a n t
s w i t c h i n g f r e q u e n c y , w h i c h
c a n
g i v e
a c o m p a c t
i n p u t
f i l t e r .
I n p u t
s e x t a n t s e q u e n c e
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2 , 5
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B - C - A - A - C - B |
3 , 6
| A - B - C - C - B - A
l
T a b l e 5 : S w i t c h i n g
s e q u e n c e
i n t h e t i m e d o m a i n
T h e
p a r t i c u l a r
c a s e
w i t h b o t h
t h e
o u t p u t v o l t a g e a n d i n p u t
c u r r e n t
v e c t o r s l y i n g
i n
s e c t o r
1
i s s h o w n
i n
F i g u r e
1 .
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1
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F i g u r e
1 :
S w i t c h i n g
p a t t e r n w i t h
t h e
i n p u t / o u t p u t
r e f e r e n c e
l y i n g
i n
t h e s e c t o r
1 .
2 6 8
-
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5 D u t y - c y c l e s
i n t h e T i m e
Domain
a n d
C o m p l e x S p a c e
T h e d u t y - c y c l e
o f
e a c h
s w i t c h i n t h e
t i m e
d o m a i n c a n b e
r e p r e s e n t e d b y
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or s e v e r a l space v e c t o r s . E i t h e r a c t i v e
or
zero
c o n f i g u r a t i o n s
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I n
t h e
case
s h o w n
i n
F i g u r e 1 ,
t h e
d u t y - c y c l e o f s w i t c h
S c a
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ca n
b e e x p r e s s e d w i t h a 0 1 .
MAa
c o n s i s t s
o f
f i v e
v e c t o r s ,
a l l
t h e f o u r
a c t i v e
v e c t o r s
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a n d on e zero v e c t o r a 0 2 . m B a i S
i n d i c a t e d b y
0 3 .
T a b l e
6
i l l u s t r a t e s t h i s s p e c i f i c case. T h i s
r e l a t i o n s h i p c a n b e e x t e n d e d
t o
o t h e r i n p u t / o u t p u t s e c t o r c o m b i n a t i o n s .
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g 0 3 + 1 V
j01+111
3 0 2 3 0 3 + 1 l + I V 3 0 1 + 1 + 1 1 1
T a b l e
6 : R e p r e s e n t a t i o n
o f d u t y - c y c l e s i n t i m e d o m a i n w i t h
s p a c e v e c t o r s
T h e
t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n
d u t y - c y c l e s i n
t h e t i m e
d o m a i n
a n d t h e
c o m p l e x
s p a c e i s b i d i r e c t i o n a l . T h e
r e v e r s e
t r a n s f o r m a t i o n w i t h b o t h r e f e r e n c e
v e c t o r s l y i n g i n t h e
s e c t o r
1
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s h o w n
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T a b l e
7 .
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M B c - M B b
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T a b l e
7 :
R e p r e s e n t a t i o n
o f i n p u t / o u t p u t r e f e r e n c e v e c t o r s i n
t h e s e c t o r
1
w i t h
d u t y - c y c l e s
i n
t i m e d o m a i n
T i l l
n o w , t h e b i d i r e c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n
i s d e r i v e d . T h i s
m u t u a l r e l a t i o n s h i p
p r o v i d e s
a
b r i d g e b e t w e e n
t h e
m o d u l a t i o n
b a s e d o n t i m e v a r i a b l e s s u c h
a s
b a s i c / o p t i m u m
AV a n d SVM.
6
E q u i v a l e n c e
i n
M o d u l a t i o n
o f
A ct i v e V e ct o r s
A s
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w e l l - k n o w n ,
t h e
m o d u l a t i o n o f
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t h r e e - p h a s e m a t r i x
c o n v e r t e r c a n h a v e
i n p u t
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o u t p u t
t r i p l e
h a r m o n i c s
i n t h e
o u t p u t
l i n e - n e u t r a l
v o l t a g e s
s i n c e
t h e y
c a n c e l o u t
i n t h e l i n e -
l i n e
v o l t a g e s .
T h u s ,
a
z e r o - s e q u e n c e
w a v e f o r m d o e s
n o t
p r o d u c e
o u t p u t
d i s t o r t i o n s .
I t
c a n
b e i n d i c a t e d t h a t
t h e
o u t p u t
l i n e - l i n e v o l t a g e s
a r e
d e t e r m i n e d
b y
t h e
a c t i v e
c o n f i g u r a t i o n s ,
n o t
z e r o
c o n f i g u r a t i o n s .
A l s o
f o r t h e
i n p u t
c u r r e n t
c o n t r o l ,
t h e
s a m e
p r i n c i p l e a p p l i e s .
A c t i v e
c o n f i g u r a t i o n s
d e l i v e r t h e
o u t p u t
c u r r e n t i n t o
t h e
i n p u t
s i d e
w h i l e
z e r o
c o n f i g u r a t i o n s
f r e e
w h e e l
o u t p u t
c u r r e n t s
w i t h i n t h e m a t r i x
c o n v e r t e r .
R e g a r d i n g
t o
d u t y - c y c l e s
o f
a c t i v e
c o n f i g u r a t i o n s ,
i t c a n b e
v a l i d a t e d
t h a t
SVM
a n d
b a s i c / o p t i m u m
A V h a v e t h e same
e x p r e s s i o n s .
A
p a r t i c u l a r
c a s e
w i l l
b e c o n s i d e r e d
f i r s t w i t h t h e
i n p u t
a n d
o u t p u t
r e f e r e n c e s
b o t h
l y i n g
i n
t h e
s e c t o r
1 . T h e a c t i v e
c o n f i g u r a t i o n
a '
c o r r e s p o n d s
t o
m C m J n c b .
E v e n
b a s i c
AV a n d
o p t i m u m
AV h a v e
d i f f e r e n t
d u t y - c y c l e e x p r e s s i o n s ,
t h e same
m C M J n C b
c a n
b e d e r i v e d
a s f o l l o w
m c b
=
2
v
V b )
(
1 8 )
R e p l a c i n g i n p u t / o u t p u t v o l t a g e
w i t h
t h e i r
c o u n t e r p a r t
i n
t h e
c o m p l e x
s p a c e ,
t h e
f o l l o w i n g e q u a t i o n
c a n b e d e r i v e d
m
-
m c b - =
2
q
s i n ( t ) s i n ( 6 O J )
( 1 9 )
S o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n i s t e n a b l e
31
=
M C C
M C b -
( 2 0 )
T h e
c o n s i s t e n c y
o f
e q u a t i o n
( 2 0 ) c a n
b e
e x t e n d e d t o
o t h e r
c o n d i t i o n s . T h e a c t i v e c o n f i g u r a t i o n s
w h i c h c o n t r i b u t e
e f f e c t i v e
m o d u l a t i o n p r o ce du r e s h o w t h a t
SVM
a n d
b a s i c / o p t i m u m
A V
a r e e q u i v a l e n t .
7 SVM T e c h n i q u e E q u i v a l e n t t o
AV
F o r t h e
SVM m e t h o d ,
d u e
t o
t h r e e
z e r o c o n f i g u r a t i o n s a r e
u s e d t o
c o m p l e t e t h e s w i t c h i n g
c y c l e , d i f f e r e n t w a y s
e x i s t
t o
p l a c e
a n d d i s t r i b u t e z e r o
v e c t o r s .
D i f f e r e n t
d i s t r i b u t i o n s
y i e l d
d i f f e r e n t
SVM
m e t h o d . N o r ma l l y , i d e n t i c a l d u t y - c y c l e s a r e
s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d
i n
e a c h
s w i t c h i n g p e r i o d .
I n
t h i s p a p e r , t h e a s y m m e t r i c a l d i s t r i b u t i o n
w i l l b e
i m p l e m e n t e d
a n d d u t y - c y c l e s o f
t h e
t h r e e z e r o c o n f i g u r a t i o n s
w i l l
b e
c a l c u l a t e d t o
e s t a b l i s h
t h e
e q u i v a l e n t
SVM m e t h o d t o
t h e b a s i c / o p t i m u m A V
m e t h o d s .
Two d i f f e r e n t
A V
m e t h o d s
a r e
w e l l - e s t a b l i s h e d , t h e
m e t h o d w i t h o u t
t h e
common
m o d e
i n j e c t i o n a n d
t h e m e t h o d w i t h t h e i n j e c t i o n . T h e
i n p u t
a n d
o u t p u t
t r i p l e h a r m o n i c s a r e i n s e r t e d t o
e x p e n d
t h e
l i n e a r
m o d u l a t i o n r a n g e
f r o m 5 0 t o 8 6 .
C o r r e s p o n d i n g t o e a c h
m e t h o d , t w o d i f f e r e n t SVM
m e t h o d s
a r e d e r i v e d .
7 . 1 B a s i c
AV
SVM
F i r s t l y , b o t h
i n p u t / o u t p u t r e f e r e n c e v e c t o r s
a r e a s s u m e d
l y i n g
i n
s e c t o r
1 .
W i t h t h e
h e l p o f
t h e r e l a t i o n s h i p
b e t w e e n t h e t i m e
d o m a i n
a n d t h e
c o m p l e x
s p a c e , ° 0 1 ,
a 0 2
a n d
a 0 3
c a n b e d e r i v e d
b y t r a n s f o r m i n g
d u t y - c y c l e s
M C a
M A c
a n d
M B a
r e s p e c t i v e l y .
A p p l y i n g
t h e
s a m e
p r i n c i p l e ,
i t
i s
p o s s i b l e
t o
d e t e r m i n e
d u t y -
c y c l e e x p r e s s i o n s
o f
o t h e r
i n p u t / o u t p u t
v e c t o r c o m b i n a t i o n .
T h e
u n i f i e d e x p r e s s i o n s
a r e
s u m m a r i s e d
a s f o l l o w .
F o r
e v e n i n p u t / o u t p u t
v e c t o r
s u m s ,
3 0 1
=
l [ 1
-
2 q
s i n 9 i )
c o s ( 0 O ) ]
3 1
f i
3 0 2
=
- [ 1
-
2 q
s i n ( 0 i
+
)
c o s ( -
0 0 ) ]
3 3
3
g 3 1
i f
0 3
= - [ 1
-
2 q s i n (
-
0 , ) c o s ( 0 ) ] '
3 3
)
a n d
f o r o d d
i n p u t / o u t p u t
v e c t o r
s u m s ,
3 0 1
=
-
[ 1
-
2 q
s i n ( 0 )
c o s (
1
-
0 0 ) ]
3
3
3 0 2
=
[ 1
-
2 q
s i n 0 i
+
1 7 )
c o s ( 0 ) ]
3
3
0
[ 1 - 2 s i n (
i f
c s
3
3 3
)
( 2 1 )
( 2 2 )
T h i s
m e t h o d
w i l l
b e
r e f e r r e d a s b a s i c
AV SVM
w h i c h
i s
t h e
c o r r e s p o n d i n g
m o d u l a t i o n
m e t h o d
o f
t h e
b a s i c
AV
m e t h o d
i n
t h e
c o m p l e x s p a c e .
B a s i c
AV
i s
t h e
r e p r e s e n t a t i o n
o f
b a s i c
AV SVM
i n
t h e
t i m e d o m a i n .
I n
o t h e r
w o r d s ,
b a s i c
AV c a n
b e
v i e w e d
a s a
p a r t i c u l a r
c a s e
( b a s i c
AV
S V M )
o f t h e
SVM
a l g o r i t h m
i n t h e t i m e d o m a i n .
2 6 9
-
8/9/2019 [2006] Relationship of Modulation Schemes for Matrix Converters.pdf
5/5
7 . 2
Optimum
A V
SVM
D u e t o t h e c o m p l i c a t i o n
o f
e x p r e s s i o n ( 4 ) ,
t h e
SVM m e t h o d
c o r r e s p o n d i n g
t o
t h e
o p t i m u m
AV m e t h o d i s
a
l i t t l e
h a r d t o
g e t c o m p a r e d
w i t h t h e b a s i c AV m e t h o d .
T h e t h i r d
common
m o d e
v o l t a g e s
a r e
i m p l e m e n t e d
t o
i n c r e a s e
t h e l i n e a r
m o d u l a t i o n
r a n g e .
T o
g e t
t h e
c o u n t e r p a r t
o f
o p t i m u m
AV
i n
t h e
c o m p l e x
s p a c e ,
q u a n t i t i e s
i n
t h e
( 4 )
a r e
t r a n s f o r m e d
i n t o
q u a n t i t i e s
i n
t h e
c o m p l e x
s p a c e .
U s i n g
t h e
m u t u a l
t r a n s f o r m a t i o n i l l u s t r a t e d
a b o v e ,
t h e
o p t i m u m
A V m e t h o d c a n
b e
r e p r e s e n t e d
b y
SVM. T h i s
new SVM m e t h o d w i l l b e
r e f e r r e d
a s
O p t i m u m A V
SVM.
D u t y - c y c l e s
o f a c t i v e c o n f i g u r a t i o n s
s t a y
t h e s a m e a s
c o n v e n t i o n a l
SVM,
w h i l e
d u t y - c y c l e s
o f
z e r o
c o n f i g u r a t i o n s
a r e a s y m m e t r i c a l l y
d i s t r i b u t e d a n d t w o
e x p r e s s i o n
s e t s
w h i c h
a r e
d e p e n d a n t
o n
t h e
p a r i t y
o f
i n p u t / o u t p u t
s e c t o r s u m s c a n b e
d e r i v e d .
F o r
e v e n
s e c t o r s u m s , d u t y - c y c l e s
o f
z e r o
c o n f i g u r a t i o n s a r e
d e r i v e d a s :
=
= - 2 q s i n ( 6 j ) [ c o s ( 6 , ) -
c o s ( 3 0 , )
+
j T s i n ( 3 0 , ) ]
3
3
4
+ c
q c o s ( ) c o s ( 3 0 9 ) }
V
i ~ ~ ~ ~ ~ 1
30 f l {
-
2 q s i n ( O ,
+
j i ) [ c o s ( j
- 9 ,
cs3,
s i n ( 6 )
3 0 3
3
3 - 2 q s i n (
9
) [ c o s 9
-6
o s ( 3 0
+
s i n ( 3 0 ) ]
+
±
q
c o s ( ±
+
- ) c o S ( 3 0
) }
( 2 3 )
F o r
o d d
s e c t o r
s u m s ,
t h e d u t y - c y c l e s
a r e
o b t a i n e d :
= 0 1
=
1
2 q s i n 6 t -
[ c o s (
- , )
+
6 c o s 3 6 , )
+
s i n 3 0 9 ) ]
3
3 6 3
_
= q
c o s ( 6
D
) c o s ( 3
3 0
}
3
3
6
0
0 2 l
fl
{
-
2 q s i n S i
3 ) [ c o s ( S O
-
6
1 o ( 0 ) - 3 s ( S )
+
r
q c o s ( o ,
+ ± 3
) c o s ( 3 o s ) }
3 0 3
{ 1
2 q
s i n E 3
-
S ) [ O (
-
0 ,
)
+
6 c o s ( 3 9 ,
)
+
1
s i n ( 3 6 9 ]
3
3
6
3 2 J 0 , )
q c o s (
- ) c o s ( 3 0 , ) }
3 V 3
2~~~~~~~~~~~~~ 4
T h e o p t i m u m A V SVM
m e t h o d
i s
t h e e q u i v a l e n t
c o u n t e r p a r t
o f
o p t i m u m
AV
i n
t h e
c o m p l e x
s p a c e .
I t
s h o w s
t h a t
t h e
m o d u l a t i o n b a s e d o n t h e
t i m e
d o m a i n
d e s c r i p t i o n
c a n b e
t r a n s f o r m e d t o
SVM i n
t h e
c o m p l e x s p a c e .
W i t h t w o
d e g r e e s
o f f r e e d o m
p r o v i d e d
b y
z e r o
c o n f i g u r a t i o n
s e l e c t i o n ,
SVM
r e p r e s e n t s
a
u n i v e r s a l
s o l u t i o n o f
t h e
m o d u l a t i o n
p r o b l e m .
8 C o n c l u s i o n
T h i s
p a p e r r e v i e w s
s o m e
w e l l k n o w n
m o d u l a t i o n
t e c h n o l o g i e s :
b a s i c / o p t i m u m
A V
m e t h o d a n d
s p a c e
v e c t o r
m e t h o d . Two SVM
a p p r o a c h e s
a r e
d e v e l o p e d i n
l i t e r a t u r e ,
i n d i r e c t a n d
d i r e c t SVM. I t
i s
s h o w n t h a t b o t h
m e t h o d s
a r e
e q u i v a l e n t
t o
e a c h o t h e r .
E v e n
s e e m i n g a p p a r e n t l y d i f f e r e n t ,
d i r e c t a n d i n d i r e c t
s p a c e
v e c t o r s c h e m e s
c a n b e v i e w e d a s
o n e
u n i f i e d
SVM m e t h o d .
T h e
g e n e r a t i o n
o f
t h e s e
t w o
a p p r o a c h e s
h a s
m o r e
h i s t o r i c a l
m e a n i n g
t h a n
p r a c t i c a l .
T h i s
p a p e r a l s o i n v e s t i g a t e s t h e
i n t r i n s i c r e l a t i o n s h i p b e t w e e n
t h e
u n i f i e d SVM m e t h o d
a n d
t h e A V m e t h o d s .
U n i t y i n p u t
p o w e r
f a c t o r
i s
a s s u m e d
i n
t h i s
i n v e s t i g a t i o n .
T h e A V m e t h o d i s
r e p r e s e n t e d
i n
t h e t i m e
d o m a i n ,
a n d
t h e
SVM
i s r e p r e s e n t e d
b y
s p a c e
v e c t o r s i n t h e
c o m p l e x
s p a c e .
T h e r e l a t i o n s h i p
b e t w e e n t h e i n p u t / o u t p u t
v o l t a g e i n
t h e
t i m e
d o m a i n
a n d
t h e
i n p u t / o u t p u t
r e f e r e n c e
v e c t o r
i n
t h e c o m p l e x
s p a c e
i s
s y s t e m a t i c a l l y a n a l y s e d .
T h e d u t y - c y c l e o f e a c h
s w i t c h i n t h e
t i m e
d o m a i n c a n
b e r e p r e s e n t e d
b y c o m b i n a t i o n
o f
s p a c e
v e c t o r s .
And
t h e r e v e r s e
t r a n s f o r m a t i o n
i s
a l s o
e s t a b l i s h e d .
T h e
e q u i v a l e n t SVM m e t h o d s
c o r r e s p o n d i n g t o t h e
t w o A V
a l g o r i t h m s
a r e
p r o p o s e d . U n l i k e t h e
c o n v e n t i o n a l SVM,
w h i c h
d i s t r i b u t e s z e r o v e c t o r
i d e n t i c a l l y , t h r e e z e r o
c o n f i g u r a t i o n s
a r e u t i l i s e d w i t h
u n e q u a l
i n t e r v a l s .
R e f e r e n c e s
[ 1 ]
A .
A l e s i n a a n d
M .
V e n t u r i n i ,
S o l i d - s t a t e p o w e r
c o n v e r s i o n :
A
F o u r i e r a n a l y s i s
a p p r o a c h t o g e n e r a l i z e d
t r a n s f o r m e r
s y n t h e s i s , I E E E
T r a n s a c t i o n s o n C i r c u i t s
S y s t e m s ,
v o l .
C A S - 2 8 ,
p p .
3 1 9 - 3 3 0 ,
A p r . 1 9 8 1 .
[ 2 ]
A . A l e s i n a
a n d M . V e n t u r i n i ,
A n a l y s i s a n d d e s i g n o f
o p t i m u m a m p l i t u d e
n i n e - s w i t c h
d i r e c t AC-AC
c o n v e r t e r s ,
IEEE
T r a n s a c t i o n s o n P o w e r
E l e c t r o n i c ,
v o l .
4 , p p .
1 0 1 - 1 1 2 ,
J a n . 1 9 8 9 .
[ 3 ]
D . C a s a d e i , G .
S e r r a ,
A .
T a n i ,
a n d
L . Z a r r i , S p a c e
v e c t o r
c o n t r o l o f
m a t r i x c o n v e r t e r s w i t h
u n i t y
i n p u t
p o w e r
f a c t o r a n d
s i n u s o i d a l i n p u t / o u t p u t w a v e f o r m s ,
I E E
P r o c e e d i n g s
o f F i f t h E u r o p e a n
C o n f e r e n c e
o n
P o w e r
E l e c t r o n i c s a n d A p p l i c a t i o n s , v o l .
7 ,
p p . 1 3 - 1 6 ,
S e p t .
1 9 9 3 .
[ 4 ] D .
C a s a d e i , G . S e r r a , A . T a n i , a n d L . Z a r r i ,
M a t r i x
c o n v e r t e r m o d u l a t i o n
s t r a t e g i e s :
a
new
g e n e r a l
a p p r o a c h
b a s e d
o n
s p a c e - v e c t o r r e p r e s e n t a t i o n
o f
t h e
s w i t c h
s t a t e ,
IEEE
T r a n s a c t i o n s o n
I n d u s t r i a l
E l e c t r o n i c ,
v o l .
4 9 ,
n o .
2 , p .
- 3 8 1 , A p r . 2 0 0 2 .
[ 5 ]
L . H u b e r a n d D .
B o r o j e v i c , S p a c e
v e c t o r
m o d u l a t e d
t h r e e p h a s e
t o
t h r e e
p h a s e
m a t r i x
c o n v e r t e r w i t h
i n p u t
p o w e r
f a c t o r
c o r r e c t i o n ,
IEEE
T r a n s a c t i o n s o n
I n d u s t r y
A p p l i c a t i o n s ,
v o l .
3 1 ,
n o .
6 , p p . 1 2 3 4 - 1 2 4 6 ,
1 9 9 5 .
2 7 0