リアルタイム地震被害推定情報WEB API概要説明...数値データ netCDF メッシュコード別 CVS 分 類 内 容 A P I 名 強震動分布 250mメッシュ強震動分布
17 情報工学講義第3 木5限 for 学生04100, 1)...
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Science and Technology104
確率変数その1
さいころを振ったときに出る目、1, 2, 3, 4, 5, 6 のそれぞれの確率は1/6、それらの確率の和は1である。
一般に、ある集合Ωの要素xに対して、確率P(x)は
1,1
,0
dxxPxP
xxP
x
Science and Technology105
確率変数その2
さいころを1回振ったときに出た目nに100円をかけた金額、100・n円をもらえるとする。
集合Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}に、実数{100, 200, 300, 400, 500, 600}が対応している。
もらえる金額をYとする。
Yは一定値ではない → 変数
Yの値は、確率的に変動して決まる。 → 確率変数
確率変数の例
5分間に銀行の窓口に到着する人数
株価
入学試験の平均点
世の中のすべての量は測定されるときに確率的な変動を受ける。
すべての量は確率変数であると言っても良い。
Science and Technology106
確率分布
確率変数Yが整数値のような、離散的な値をとる
離散的確率変数
Yが値nをとる確率、P(Y=n) をYの確率関数という
確率 をYの分布関数という (xは実数)
Yが実数値をとるとき
連続的確率変数
Yがx以下になる確率 をYの分布関数という
F(x)の導関数 をYの確率密度関数という
xn
nYPxF
xYPxF
dx
xdFxf
全区間で積分すると1
全nに対して和をとると1
Science and Technology107
確率変数の例その1
幾何分布 (Geometric distribution) 成功する確率が1-p、失敗する確率がp である試行を独立に行う。 (0<p<1) 独立試行、ベルヌーイ(Bernoulli)試行
Y回目で初めて成功する。Yは1以上の整数値 離散的確率変数
Yの確率関数は
Yは幾何分布に従うという。
ppnYP n 11
Science and Technology108
確率変数の例その2
二項分布 (Binomial distribution) 成功する確率が1-p、失敗する確率がp である試行を
N回独立に行って、成功する回数をYとする。(0<p<1) Yは、0≦Y≦Nの範囲の整数値をとる。
離散的確率変数
Yの確率関数は、
確率変数Yは、二項分布に従うという。
NnppnN
nYP nNn ,,1,01 ・・・
Science and Technology109
確率変数の例その3
ポアソン分布 (Poisson distribution) λを正の実数とする。
0以上の整数値をとる確率変数Yの確率関数が、
確率変数Yは、ポアソン分布に従うという。
ポアソン分布は、ランダムな客の到着を表わす。
平均値は λ になる
en
nYPn
!
Science and Technology
身近な?ポアソン分布の例
半減期 z秒の放射性物質が、原子核数N個あるとき、単位時間あたりn個の原子核が崩壊する確率はポアソン分布に従う。
平均するとz秒でN/2個崩壊するから、1秒当たり平均λ=N/2z個崩壊する (直線近似した場合)。
110
zNnn
en
zNen
nYP 2
!2
!
※n 個崩壊すると、次の単位時間ではN⇒N-nと減少
Science and Technology111
確率変数の例その4
指数分布(Exponential distribution) μを正の実数とする。 連続的確率変数Yの分布関数が、
であるとき、確率変数Yは指数分布に従うという。 Yの確率密度関数は
確率変数Yは、指数分布に従うという。 指数分布は、客に対するサービス時間を表わす。
平均値は1/μになる
00
01
xxe
xFx
00
0
xxe
xfx
Science and Technology112
確率変数の例その5
一様分布(Deterministic distribution) 実数の区間[a, b]={xは実数a≦x≦bを満たす}に値をとる
連続的確率変数Yの確率密度関数が、
となるとき、確率変数Yは区間[a, b]上の一様分布に従うという。
a=0, b=1 のときが重要。f(x)=1 [0,1]
xbax
bxaabxf
,0
1
Science and Technology113
確率変数の例その6
正規分布 (Normal distribution, Gaussian distribution) mを実数とし、σを正の実数とする。 連続的確率変数Yの確率密度関数が
となるとき、Yを正規分布に従う確率変数であるという。
正規分布の例 大きい集団の身長や体重 不規則雑音
2
2
222
1
mx
exf
Science and Technology114
一様分布に従う確率変数から任意の分布関数F(x)を持つ確率変数Yを作る
uを区間[0, 1)上の一様分布に従う確率変数とし、分布関数F(x)の逆関数をF-1(x)とすると、
が、求める確率変数である。
例:指数分布 の逆関数
uFY 1
xexF 1
xxF 1log11
uY 1log1
Science and Technology115
【重要】 逆関数法
uを区間[0, 1)上の一様分布に従う確率変数とし、分布関数F(x)の逆関数をF-1(x)とすると、
が、求める確率変数である。
[0, 1) の一様乱数から、例えば指数分布乱数を作成できる
指数分布
Cauchy分布
Parete分布
uFY 1
uY 1log1 )2/1(tan uY
aubY 1)1(
Random関数等を利用して [0. 1) の一様乱数を生成することで、指数分布に従う乱数等を簡単に生成できる。
Science and Technology117
平均値(期待値:Expectation)
(平均)=(値)×(確率)の和と定義する。
離散的確率変数Yの平均値E [ Y ] Yを0以上の整数値をとる離散的確率変数
Yの確率関数 P(Y=n)
連続的確率変数Yの確率密度関数p(x)
0n
nYnPYE
dxxxpYE
Science and Technology118
平均値の性質
nn
n
nn
YEYEYEYYYEYYY
YEYEYEYYYE
bYaEbaYEba
2121
21
2121
,,,)3(
)2(
,)1(
が独立ならば
を定数とするとき、
Science and Technology119
幾何分布の平均値
確率関数 ),2,1(11 nppnYP n
ppss
ppnnpnpnppssYE
nps
pnpYE
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
111
11)1(
1
1
111
1
11
1
1
1
1
1
とおく、 s-1s
111
p
Science and Technology120
ポアソン分布の平均値
確率関数
eem
e
nmen
YE
en
nenYE
m
m
n
nn
nn
n
0
1
10
0
!
1,)!1(
!
!
とすると
を利用、公式
),2,1,0(!
nnenYP
n
Science and Technology121
指数分布の平均値
確率密度関数 )0( xexp x
11
''
00
00
0
xx
xx
xx
b
a
ba
b
a
x
edxeex
dxexeYE
dxxgxfxgxfdxxgxf
dxexYE
部分積分法
Science and Technology122
分散(Variance)
分散は、分布の違いを示す。
(分散)=((値)-(平均値))2の平均値と定義する。
離散的確率変数Yの分散Var [Y ] Yを0以上の整数値をとる離散的確率変数
Yの確率関数P(Y=n)
連続的確率変数Yの確率密度関数p(x)
0
2
nnYPxEnYVar
dxxpxExYVar
2
Science and Technology123
分散の性質
22
2121
21
2
)3(
,,,)2(
,)1(
YEYEYVar
YVarYVarYVarYYYVar
YYY
YVarabaYVarba
n
n
n
が独立ならば
を定数とするとき、
Science and Technology124
幾何分布の分散
確率関数 p
YEnppnYP n
11),,2,1(11
2
2
2
2
1
1
1
211
1
2 1 1
111
1
1
12
21
1 1
212
111
11
12
111
11111
2)1(11
11
1111
11
pp
pppppnppss
ppnpppnnYVar
mppmmsmpmspnnspss
pnnsnnnn
pppnpp
pnYVar
n
n
n
nn
n
m m m
mmm
n
n
n
n
n
n n
n
とおく、、s 21
1p
Science and Technology125
ポアソン分布の分散
確率関数
YEnnenYP
n
),,2,1,0(!
22
2
1
11
1
2
1
1
2
00
2
2
0
2
0
2
2!1
2!1
1
!11
!!)1(
1!!
n
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
ne
nen
nen
nen
nennYVar
nnnnnen
nenYVar
より、
ポアソン分布は、平均と分散の値が等しい!
Science and Technology126
指数分布の分散
確率密度関数
1),0( YExexp x
20
222
00
2
02
00
22
0 22
0
2
11221
12121
121
2212
121
x
xx
x
xx
xx
e
dxeex
dxex
dxexexx
dxexxdxexYVar