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数字逻辑与数字系统
胡伟
http://ws.nju.edu.cn/~whu
一、目的要求
• 数字逻辑是电子计算机技术的基础课程之一,通过本课程的学习,达到要求:
1. 掌握数字电子技术的基本理论,基础知识和基本技能
2. 熟悉数字集成电路的工作原理,特性和功能
3. 具备正确运用数字集成电路的能力
4. 掌握逻辑电路的分析方法和设计方法
二、与其他课程的关系
• 本课程是计算机科学的一门重要的技术基础课程,既需要普通数学知识,又用到离散数学的知识
• 它为《计算机组成原理》,《微型计算机应用》等课程打下了牢固的技术基础
四、教材
• 《数字逻辑与数字系统》
– 第四版·立体化教材
– 白中英 主编
– 科学出版社
五、主要内容
1. 逻辑设计的数学知识——数制,布尔代数,函数化简
2. 逻辑门电路
3. 组合逻辑电路的分析和设计方法
4. 同步和异步时序逻辑电路的基本规律及分析,设计方法
5. 编程逻辑
第一章、开关理论基础
• 开关理论是描述逻辑电路的数学工具和图形语言,以二进制数为基础
世界上只有10种人,
懂二进制的和不懂二进制的
1.1、二进制系统
• 电子电路分为模拟电路和数字电路两大类
– 模拟量的特点是用连续量表示
– 数字量的特点是用离散量表示
– 二进制的0、1对应为开关量
– 表示数字0和1(低和高)的电平称为逻辑电平
• 数字系统中的0、1信息可用波形表示
– (0低1高)
– (1低0高)
• P3,图1.6:波形图
1.2、数制与码制
• 数字系统所处理的信息是一种离散元素(非连续性),如数字,字母
• 数字系统中信息的离散元素用称为讯号的物理量来表示,如电压,电流
• 离散元素通常以二进制的形式出现
• 对任意数N,可表达成以r为基数的r进制数(逢r
进1),其中n为整数位数,m为小数位数
– 例:
m
m
n
nr rararararaN
)()()()()()( 10
0
1
1
1
1 1
21012
10 )10(6)10(5)10(3)10(4)10(7)56.743(
• 常用二进制,八进制,十进制,十六进制
• 数字系统中,常用二进制来表示数字和进行运算
– 例:
1101
11000
1011 1101
1011
10
110
× 101
110
000
110
11110
110
10010011011
1011
1110
1011
111
• 通常将人们习惯的十进制数转换成数字系统中常用的二进制数,经处理后再转换为十进制
• 十二:对整数部分和小数部分分别给予转换
• 乘除法:对整数用除二取余法
262
13
0
2
2 6
3
1
2
0
1
1
1
00 a
11 a
02 a
13 a
14 a
210 )11010()26(
• 对小数用乘2取整法– 例:(0.125)10 = (0.001)2
0.125×2 = 0.25 b1=0
0.25 ×2 = 0.5 b2=0
0.5 ×2 = 1 b3=1
• 练习:(27.25)10 = ?
• 降幂法:用十进制数减去与其最相近的二进制权值(小于十进制数的),如够减则减去并在相应位记1,不够减记0并跳过,一直到该数为0
• 例:(136)10 二进制
– 128 64 32 16 8 4 2 1
– 1 0 0 0 1 0 0 0
• 过程:
– 136 – 27 = 8 (a7 = 1)
– 8不够减64,32 ,16 (a6 = a5 = a4 = 0)
– 8 – 8=0 (a3 = 1)
– 已减完,余下位均为0 (a2 = a1 = a0 = 0)
– (136)10 = (10001000)2
• 例:(0.8125)10 = (0.1101)2
– 2-1 = 0.5、2-2 = 0.25、2-3 = 0.125、2-4 = 0.0625
• 过程:
– 0.8125 – 0.5 = 0.3125 (b1 = 1)
– 0.3125 – 0.25 = 0.0625 (b2 = 1)
– 0.0625不够减0.125 (b3 = 0)
– 0.0625 – 0.0625 = 0 (b4 = 1)
八进制数、十六进制数
• 一位八进制数可用对应的三位二进制数表示,一位十六进制数可用对应的四位二进制数表示
• 二进制数的整数部分从低位开始对应,小数部分从高位开始对应,三位(八进制)或四位(十六进制)一组,不足的补0
• 例:
– (1011011.001011)2 = (5B.2C)16
= (133.13)8
• 用一定位数的二进制码表示各种字符,这种特定的二进制码称为代码
• 给n位代码的2的n次方种信息中的每个信息指定一个特定的码字,这一指定过程称为编码(有多种编码方案)
• 用二进制代码来表示数字,字母及其它特殊符号,最常用的是ASCII码
• P8,表1.1:二进制编码
– 其中,循环码任何相邻的两个码字中只有一位代码不同
• 二一十进制码把十进制数的各数码用二进制代码的形式表示
• P8,表1.2:BCD编码
– 例:2345的8421码:0010 0011 0100 0101
1.3、逻辑函数
• 数字电路(又称逻辑电路)有开和关两种状态
F = f (A1, A2, …, An)
– F是A1, A2, …, An的逻辑函数
– 只可取值0或1
• 有与、或、非 三种最基本的运算,它们可组成各种各样的逻辑关系
1. “与”运算:F = AB 或者 F = A ^ B
A
B
F
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
2. “或”运算:F = A + B或者F = A ∨ B
3. “非”运算:F = A或者F = A′
+
A
B
F
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
• 如果将门电路电压的高电平赋值为逻辑1,低电平赋值为逻辑0,称为正逻辑关系;若高电平作为0,低电平作为1,称为负逻辑关系
– P15,表1.5
A FA F
0 1
1 0
• “与非门”运算
• “或非门”运算
• “异或门”运算
• “同或门”运算
1.4、布尔代数
• 乔治·布尔提出了用数学方法研究人的逻辑思维规律和推理过程的代数,即布尔代数,后来克劳德·香农对其进一步完善,用布尔代数分析开关电路
• 布尔代数已在数字电路和数字计算机设计中被广泛应用,成为逻辑设计的数学基础
– P16,表1.6定律(可用真值表验证)
• 三个重要规则
1. 代入规则:若函数表达式的某个变量,都以某个函数代入,则函数表达式仍然成立
• 例:A + A · B = A+B A + A · (B+C) = A + (B+C)
2. 反演规则:将布尔表达式F中· +,+ ·,0 1,1 0,原变量反变量,反变量原变量,得到F的反函数 F,F与 F互为反函数
• 例: ])([ EDCBAF
)(
)]()([])([
EDCBA
EDCBAEDCBAF
• 如果函数较复杂,可将函数中一部分用另一变量来暂代
– 例:对上题,令 ,
则 F = A +
= =
)( EDCBX
X
F XA ))(( EDCBA
3. 对偶规则:将布尔表达式F中+ ·,· +,1 0,0 1,变量均保持不变,得到的F’称为F的对偶式
– 例:
• 任何一个布尔函数表达式都存在对偶式
• 当某一个逻辑恒等式成立,则其对偶式也成立
)0('
)1()(
CABAF
CABAF
AFAF ',
• 积之和表达式:对若干个“积”项(·),用“和”(+)
将它们连成函数表达式,又称为“与—或”表达式
– 例:F = A + B·C + A·B·C
• 最小项:若具有n个变量的函数的积项包含全部n个变量,
且每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次,则此积
项称为最小项
• 若一个函数完全由最小项组成,则称其为标准“积之和”
(函数的最小项之和)表达式(最小项表达式 )
– 例:F(A, B) = A·B + A·B + A·B
= )3,2,1(321 mmmm
• 用 表示第i个最小项,例000对应ABC,用 表示
• 任何一个布尔函数都可以表示为若干最小项的“和”
• n个变量可以有 个最小项
• n个变量的所有最小项的和恒等于1
– 例如:
im 0m
n2
)7,6,4,1,0(
)()()(
m
ABCCABCBACBACBA
CBACBACBACABCABABC
CCBABBCACCABBACAABF
• 逻辑功能相同的布尔函数可以有不同的表示形式
• 每个逻辑网络均对应一个布尔表达式
• 对布尔表达式的化简(化为最简的“与—或”表达式)可使设计出的逻辑网络简单
– 例: CBBACBAF )(
1
1
)()()(
)(
FF
CBACBBBACBBACBCBA
CBBABACBACBBACBAF
代数化简法
• 即用布尔代数的公理,定理及规则来简化布尔函数(通常化为最简单的“与-或”表达式)
1. 并项法:利用AB + AB = A,合并项且消去一个变量
– 例:
2. 吸收法:利用A + AB = A消去多余的变量
– 例: BADFEBABAF )(
ADDADCDCBABAF1
3. 消去法
– 利用 消去多余的变量
– 证明:
– 例:
BABAA
DEBADEABAF
)()( BAABAAABABAAAABAAA
4. 配项法
– 利用A·1=A、A+A=1增加一些项,再用1~3法进行化简
– 例:
CCBBA
CCACBBA
BACBBCAACBBA
CCBABCACBACBACBBA
CCCBAAACBCBBA
CBACBCBBAF
)1()()1(
)()(
• 例:
CBAC))(AB(A
0)CC)(A)(AB(A
B)BCC)(AB(A
B)C)(ABC)(ACB(A
)CBAC)(B)(A)C(BA(
)CBAC)(B(A)C(BAF
1.5、卡诺图
• 卡诺图由 个方格构成有规律的图形,每个方格
对应布尔函数的某个最小项mi
• 任何相邻的两个最小项只有一个变量(1位)不同
• 布尔函数的卡诺图表示
– 对布尔表达式是最小项之和的形式,则可在对应变量
数的卡诺图上找出相应最小项的方格,并标上1,则可
得到此函数的卡诺图
– 例:
BCAABCCBACBABCACBABCA
BCCBABACACBAF
),,(
n2
AB 00 01 11 10
C
0
1
• 卡诺图化简的原理是AB+AB=A, 个标以1的相邻方格可以合并,即它们表示的最小项并成一项,消去m个变量
0 1 0 0
1 1 1 1
m2
AB 00 01 11 10
CD
00
01
11
10
1 1
1 1
1 1
1 1
BDDBDCBAF ),,,(
• 有些不论出现与否,均不影响函数值的输入变量组合(最小项),称为任意项(无关项)
• 化简时适当利用任意项,可使函数表达式大大简化
– 例:
)15,14,13,12,11,10()9,8,7,6,5(),,,( dmDCBAF
AB 00 01 11 10
CD
00
01
11
10
(未用到任意项)
0 0 0 1
0 1 0 1
0 1 0 0
0 1 0 0
BCABDACBAF
AB 00 01 11 10
CD
00
01
11
10
(利用任意项)
x 1
1 x 1
1 x x
1 x x
BDBCAF
• 对较复杂的函数,可分步填卡诺图
– 例: ACBDCABDCBAF )(),,,(
1
1 1 1 1
1
1
D
A
B
C
DCAB
1
1 1
1
1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
BDCAB )(
BDCAB )(
1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
ACBDCAB )(
1.6、数字集成电路
• CMOS系列
– 金属氧化物半导体晶体管作为开关元件的门电路叫MOS电路,有PMOS、NMOS、CMOS
(同时用PMOS和NMOS)
• TTL系列
– 是晶体管-晶体管逻辑电路工艺制造技术的缩写
– P27~28图
• TTL的主要外部参数
1. 标称逻辑电平:表示逻辑值0和1的理想电平值,TTL
通常为U(1)=5V, U(0)=0V
2. 开电平:表示逻辑值1的最小高电平UOH
3. 关电平:表示逻辑值0的最大低电平UOL
4. 扇入系数:门电路输入端最多允许接入的数目Nr
5. 扇出系数:(负载能力)一个门电路的输出端所能连接的下一级门输入端的个数Nc
6. 平均时延: 2/)( 21 ttty
7. 空载功耗:当输出端空载
– 门电路输出低电平时电路的功耗称为空载导通功耗 Pon
– 当输出端为高电平时,电路的功耗称为空载截止功耗Poff
– 平均功耗:P = (Pon + Poff) / 2
• 频率越高,空载功耗越大
• TTL改进的低功耗肖特基(LSTTL)电路功耗低,速度快,应用广
• 集电极开路与非门OC,可将输出端并接在一起,(普通TTL不行),可用于构成控制总线,实现电平转换,直接驱动指示灯和继电器
• 习题:1,4,7,10 ,11,13,14
• 补充题:有两个与非门,其
– 关门电平分别为:UoffA=1.1V ,UOffB=0.9V,
– 开门电平分别为:UonA=1.3V,UonB=1.7V
– 它们输出的高、低电平都相同,试判断哪一个门抗干扰能力强
谢谢!