1 E-Learning: superfici matematiche in 3D E-Learning: superfici matematiche in 3D Nicla Palladino...

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E-Learning: superfici matematiche in 3D

E-Learning: superfici matematiche in 3D

Nicla PalladinoDottorato di Ricerca in Matematica Applicata e Informatica

XVI ciclo

Università degli Studi di Napoli “Federico II”

29 Settembre 2004

E-Learning e modelli matematici in 3D

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Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del ‘900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo.

Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perché forniscono concretezza ai risultati e sono accessibili all’esperimento.

Con un modello matematico si rendono auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate.

I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria, usando la percezione.

Tutto ebbe inizio da ...


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Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?

Molte di queste collezioni –come accaduto per tutti i materiali didattici - sono state trasformate in repository di Modelli 3D.

The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate,

but the means we use for threading through the consequent

maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-

rigged ships.

Vannevar Bush , “As we may think”, 1945

Come renderle facilmente reperibili ?Come riusarle nel contesto dell’E-Learning ?


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- decostruzione dei saperi - l'apprendimento come costruzione enattiva

-le conoscenze aumentano in modo esponenziale -incompletezza delle didattiche tradizionali -"il sistema non è tutto“

-Problema Ipercomplessità tecnologica

-reti di computer -il virtuale come spazio antropologico esser “ci” diventa inessenziale de-territorializzazione

Perché L’E-Learning

E-LEARNINGSoluzione


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Obiettivo:Obiettivo:Dai concetti di “decostruzione” e “apprendimento enattivo” nasce l’idea dello sviluppo di tool per “ricontestualizzare” le antiche collezioni di modelli matematici, e di creare le basi per la costruzione di un corso in cui la conoscenza su uno specifico campo del sapere (la geometria delle quadriche) viene impartita nell’ambito dell’E-Learning.

G. Minichiello, “Didattica ed Ipertesti”, Bibliopolis, Napoli, 1994


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Capitolo Primo: L'E-Learning•I Learning Object•Un Learning Object per la classificazione delle quadriche•La rappresentazione di oggetti 3D nel Web SemanticoCapitolo Secondo: algoritmi di approssimazione •3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs•NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati

Capitolo Terzo: Le collezioni virtuali di modelli matematici•Estensione di un LMS con un’applet 3D

La tesi è il risultato di un’attività di ricerca in un ambito che coinvolge il settore della computer grafica e quello dell’E-Learning.


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Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia : rappresentazione del dominio di conoscenza Instructor : esperto nel dominio di conoscenza. Definisce l’Ontologia e costruisce le risorse didattiche.Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor: filtra la conoscenza che permea l’ambiente esterno, popola l’ontologia con le risorse didattiche.Learning Management System: piattaforma per la didattica a distanza. Implementa l’ontologia preparata dall’instructor e fornisce al tutor gli strumenti per preparare i corsi on line e per seguire gli studenti;Studente: costruisce le proprie conoscenze con l’aiuto del tutor che gli fornisce i “Learning Object” ed un’interpretazione personalizzata dell’Ontologia costruita dall’Instructor.

Entropia

Mediatore didattico

Studente

LearningManagement

System

Ontologia

Instructor


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Le conoscenze sono diventate complesse e rendono ugualmente complessi i materiali didattici; per costruire strutture complesse, è necessario che i loro componenti siano “riutilizzabili”.

Learning Object

L‘E-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consente l’accessibilità, l'interoperabilità e la condivisione delle risorse. Disporre di uno standard comune significa poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, poterli integrare tra loro, saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, poterli certificare. Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model) prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare senza la necessità di modificarne i componenti.


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Learning Object

Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai Learning Object;

I Learning Object sono gli strumenti che popolano le ontologie;

I Learning Object sono rappresentati con metadata;

I metadata di un Learning Object sono una successione ordinata (array) di attributi

Esistono diversi standard per rappresentare i metadata; il più affermato sembra essere lo standard SCORM.

I Learning Object si propongono di dare una risposta al problema della riusabilità dei materiali didattici.


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Definizione: Un Learning Object è un’entità -digitale o

non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante l’apprendimento supportato dalla tecnologia.

D.A.Wiley, “The Instructional Use of Learning

Objects’’, pp. 10-11, AIT Editions, 2002.

Learning Object


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Definizione2: Un Learning Object è la più piccola unità di apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica.

A. Vanni -F. Formato, Una nuova definizione di Learning Objects. Atti del Convegno “Sviluppo cognitivo e qualità della formazione’’, Ravello, Ottobre 2003.

Learning Object

Strutture “molecolari” dotate di diversi gradi di “granularità”

I componenti di un Learning Object possono essere di due tipi

1) asset: una risorsa elementare -per esempio, un file-

2) altri Learning Object più semplici


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Problemi principali per il riutilizzo dei LO:

Ricerca dell’informazione: i sistemi di ricerca attuali sono basati su parole chiave (conseguenze: silenzio, rumore);

Estrazione dell’informazione: ad oggi, l’estrazione di informazioni rilevanti è dominio quasi esclusivo degli esseri umani, mediante la navigazione “manuale” e la lettura dei documenti;

Manutenzione dell’informazione: aggiornare documenti è un’attività difficile che richiede un notevole investimento in tempo e risorse umane, soprattutto quando tali sorgenti diventano grandi.

Il recupero efficiente dei LO è simile al problema della ricerca di documenti attraverso motori di ricerca.


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Nel World Wide Web l’informazione è machine-representable: i dati contenuti sul Web si rappresentano con metadati.

Soluzione: il Web Semantico

Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web. Attualmente l'informazione disponibile sul Web risulta difficilmente reperibile perché i Metadati sono una pura e semplice combinazione di stringhe, indipendente dal contesto.

T. Berners Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998

Nel Web Semantico

l’informazione diventa machine-

processable.


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Il Web Semantico: l’RDF

Tutti i livelli sono

codificati in XML.

La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è l’RDF (Resource Description Framework). E’ un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,…

L’URI è in corrispondenza biunivoca

con la locazione

della risorsa


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Una delle finalità di RDF è quella di estendere le semantiche per dati conservando la codifica nel formato XML, secondo modalità standardizzate che mirano all'interoperabilità del formalismo di rappresentazione.


I metadati limitano la semantica, la sintassi e la struttura a quanto esprimibile con un array.

L’RDF è costituito da due componenti:

•RDF Data Model, che fornisce un modello per descrivere le risorse;•RDF Schema, che definisce un modello per descrivere le relazioni tra le risorse.


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Un dominio di conoscenza è una coppia ordinata di insiemi D = (R,T) tali che R T = . R e T sono, rispettivamente le relazioni e i termini del dominio D.Associamo ad R una funzione : R N+ chiamata arità.Un elemento r R tale che (r)= 1 si chiama classe. Chiamiamo C l’insieme delle classi. Un elemento r R tale che (r)= 2 si chiama relazione binaria. Chiamiamo RDF DATA Model di D l’insieme dei termini del dominio D.L’RDF schema di D è un grafo G = (V, E) in cui V ed E sono sottoinsiemi, rispettivamente, delle classe e delle relazioni binarie in D.

L’RDF di D è un grafo G’ = (V’,E’) in cui V’ ed E’ sono, rispettivamente,sottoinsiemi di C T e delle relazioni binarie, e tutti i nodi terminali, detti istanze di classe , sono elementi di T in relazione E’ con una classe in C



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Per illustrare il concetto di apprendimento come filtraggio dell'informazione fornita dall'ambiente, si è messo a punto un Learning Object in cui lo studente deve classificare una superficie quadrica secondo un metodo che non si basa sulla tradizionale classificazione delle quadriche, ma è un processo enattivo, in cui l'utente deve classificare la quadrica mediante effettiva manipolazione, usando un robot che sonda informazioni di tipo locale: tipo di punti, molteplicità, limitatezza …

Nell’E-Learning svanisce la figura del docente che trasmette le conoscenze e l’apprendimento si può vedere come costruzione interpretata da parte dello studente.

Un Learning Object


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Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Grazie alla loro particolare flessibilità ed all’accuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D al disegno industriale.

u,v [0,1]

)()()( ,,, uNuu

uuuN

uu

uuuN 1h1i

1i1hi

1hi1hi

ihi

ihi

con

altrimenti 0

uuu se 1uN 1ii

0i )(,

Si definiscono funzioni di base B-Spline di grado hN sul vettore dei nodi U=(u0,…,up), le funzioni costruite mediante la formula ricorrente


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Dove u, v [0,1] sono i parametri della rappresentazione, le Ni,h(u) e le Nj,k(v) sono le funzioni di base B-Spline.

I pij sono detti punti di controllo. Sussiste una relazione che lega il grado, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi nelle due direzioni u e v:

p=m+h+1 e q=n+k+1

1n

0i

1m

0jjijikjhi1n

0iihi

pwvNuNwuN

1vuS ,,,,

,

)()()(

),(

Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati

Assegnati mn punti pi,jR3, dei pesi wijR, un vettore di nodi U=(u0,…,up), un vettore di nodi V=(v0,…,vq), un grado h ed un grado k, si definisce “superficie NURBS” una superficie la cui rappresentazione parametrica è data da


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Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati

Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue:

di gradi h e k, con punti di controllo opportuni pij=(xij, yij, zij) R3, pesi associati wij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Qij e la superficie NURBS S(u,v) determinata:

21m

0i

1n

0jjiji QtsS

,),(

per opportuni valori si e tj dei parametri.

Assegnati mn punti Qij=(aij, bij, cij) R3, e mn pesi rij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS

1n

0i

1m

0jjijikjhi1n

0iihi

pwvNuNwuN

1vuS ,,,,

,

)()()(

),(


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L’algoritmoPer risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline.

Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R2 è

con u[0,1] parametro della rappresentazione

parametrica; pi=(xi, yi)R2, i=0,…,n sono i punti di

controllo; Ni,h(u) sono le funzioni di base B-Spline sul

vettore dei nodi U=(u0,…,um). Una relazione lega il grado

della curva B-Spline, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi:

m=n+h+1.


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Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni mn costituita dai punti Qij dati, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Qi,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi Pi,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti Pi,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati pi,j.

L’algoritmo

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L’algoritmo

Ad ogni approssimazione, l’algoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineareNTNP=NTQ dove

Dato un insieme di n punti Qi=(ai,bi)R2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo pi=(xi,yi)R2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Qi e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u0,…,un+h+1)

1

0

2)(

n

kkk tCQ

per opportuni valori tj del parametro.

1n

1

0

p

p

p

P...

1n

1

0

q

q

q

Q...

nn1nh1n1nh11nh0

1h11h0

0h1n0h10h0

tNtNtN

tNtN

tNtNtN

N

)(...)()(

.........

)()(

)(...)()(

,,,

,,

,,,


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4. Calcola il prodotto NTN (matrice simmetrica definita positiva);

5. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice NTN ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che NTN=LLT;

6. Calcola i prodotti NTa, NTb, NTc;

7. Risolve i tre sistemi finali LLTx=NTa, LLTy=NTb, LLTz=NTc mediante forward e back substitution.

L’algoritmo

1. Costruisce due opportune parametrizzazioni (s0,s1,

…,sm), (t0,t1,…,tn);

2. Costruisce i vettori dei nodi U=(u0,u1,…,um+h) e

V=(v0,v1,…,vn+k) ;

3. A partire dalle colonne della matrice Q=(Qij), dai

parametri (s0,s1,…,sm), dai nodi U=(u0,u1,…,um+h),

costruisce la matrice dei coefficienti N=(Nj,h(si)) i,j=0,

…,m-1;

Presi in input i gradi h e k per la superficie NURBS approssimante, e la matrice dei punti Qij del problema, i=0,…,m, j=0,…,n, l’algoritmo


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L’algoritmo8. Si ottengono così le coordinate dei punti provvisori pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1;9. Su ogni riga della matrice P=(pij) i=0,..,m-1,j=0,…,n-1, a partire dai parametri (t0,t1,…,tn), dai nodi V=(v0,v1,…,vn+k), effettua l’approssimazione mediante curve B-Spline, costruendo la matrice dei coefficienti M=(Mj,k(ti)) i,j=0,…,n-1; 10. Calcola il prodotto MTM (matrice simmetrica definita positiva);

11. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice MTM ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che MTM=LLT;

12. Calcola i prodotti MTx, MTy, MTz;

13. Risolve i tre sistemi finali LLTx=MTx, LLTy=MTy, LLTz=MTz mediante forward e back substitution;14. Si ottengono così le coordinate dei punti di controllo pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1.


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Risultati dell’algoritmo

File di input

Gradi della NURBS

3 3

Dimensioni della griglia

5 5

Punti appartenenti al modello da costruire

(-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8)

Pesi Tutti uguali ad 1

Paraboloide parabolico


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Risultati dell’algoritmoParaboloide parabolico


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Risultati dell’algoritmoIperboloide iperbolico Sfera


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Resource DiscoveryUn Learning Object composto da un insieme di asset;Ad esempio questo Learning Object 3D, in cui il robot

deve riconoscere una superficie disturbato da due mostri. La superficie S, i due robot e i mostri si possono modellare come asset di LO;

I due mostri introducono l’inatteso necessario nell’apprendimento enattivo (Minichiello 94, Varela & Maturana, 79 )


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3D Resource discovery con Shape Descriptor

Un algoritmo di ricerca di oggetti 3D deve essere i) Corretto ii) Efficiente

Esistono diverse metriche di insiemi di R3 in grado di confrontare oggetti 3D

Nessuna di queste è efficiente per l’uso in algoritmi di 3D resource Discovery sul Web.

Invece di indicizzare l’intero oggetto 3D, si indicizza il suo shape descriptor


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Intuitivamente, lo shape descriptor è un’astrazione del modello 3D, che ne cattura le informazioni rilevanti in una struttura adatta alle comparazioni.

3D Shape descriptor di un ellissoide

Oggetti trovati dallo shape descriptor in una directory 3Dhttp://shape.cs.princeton.edu/search.html


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Nello stadio di preprocessing si computa lo shape descriptor di ciascun modello del Database. Poi, in presenza di una query Q, viene dapprima calcolato lo shape descriptor Sh(Q) della query Q. Infine, Sh(Q) viene confrontato con lo shape descriptr di tutti i modelli del database e ne vengono estratti i matching migliori.


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Definizione: Uno shape descriptor è un applicazione di uno spazio metrico (S,d) in uno spazio di Banach S’ a dimensione finita

IDEA: 1)Definire uno shape descriptor s, tale che due

oggetti X e Y sono simili nella misura in cui lo sono s(X) e s(Y);

2)Codificare s con una opportuna RDF del web semantico.

In questo modo lo shape descriptor è memorizzato nel database e usato nel linguaggio di query come una stringa XML.

Shape Descriptor e Web Semantico


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Soluzione: 1) Come linguaggio di query consideriamo un linguaggio

sufficientemente potente per esprimere un insieme di punti S (SQL);

2) Rappresentiamo l’insieme S con un RDF;3) Come shape descriptor (S) consideriamo la NURBS

generata con l’algoritmo di approssimazione.

Calcoliamo la distanza –che è anche il grado di similarità -tra (S) e lo shape descriptor (S’) della risorsa sul web S’.

Nel caso delle NURBS, sia (S) che (S’) possono essere espressi con una semplice RDF.

Resource Discovery


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RDF

RDF

LO

RDF

LO

RDF

LO

RDF

LO

RDF

LO

NURBS -basedShape

descriptor

NURBS -basedShape

descriptor

Resource broker

3D repository

Learning Object

Resource Discovery

Mondo web

Componenti del Learning Object

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Supponiamo di voler associare una RDF al Learning Object http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/iperboloide_ellittico.wrl

1) Si dichiara lo schema XML dell'RDF.<?xml version="1.0" encoding="ISO-8859-1" ?>

<xs:schema xmlns:xs="http://www.w3.org/2001/XMLSchema">

......

</xs:schema>

2) Si mette questo file nel URL http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd

che è l'URI del "namespace" delle quadriche.

3) Per la superficie in questione, si crea il nuovo file RDF:<?xml version="1.0" encoding="ISO-8859-1" ?>

<xs: xlns = quadriche

uri = URL: http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd

<quadriche : equazione> x^2 + y^2 ....</quadriche:equazione>

<quadriche: determinante>30 </quadriche:determinante>

chiamato superficie_2305352.xml

Resource Discovery


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4) Quando il broker prende il file “superficie_2305352.xml", va a fare il parsing in base al template dichiarato che trova http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd.

5) Successivamente, calcola lo shape descriptor e poi calcola una distanza tra questa matrice e la matrice dello shape descriptor della query, che è stata calcolata con una NURBS.

Se la distanza è minore di una certa soglia, allora l'iperboloide ellittico viene trasferito in un altro sito oppure vengono attivati dei metodi remoti per interagire con esso a distanza

Resource Discovery

http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd




Quadrica PianoTangente

Intersezione Cdet(Quadrica)

det=0

det>0

C immaginaria C reale nondegenere C degenere

C 2 rettereali C 1 retta

C 2 retteimmaginarie

det<0

ConoReale

ConoImmaginario

Ellissoide

CilindroIperbolico

CilindroParabolico

CilindroEllittico

IperboloideEllittico

IperboloideIperbolico

det0

ParaboloideEllittico

ParaboloideIperbolico

Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche

3x2+4y2+2xy+9z2-1=0

det=-99<0

IperboloideEllittico

C reale nondegenere

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<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

<rdf :

xmlns:rdf =“http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#”

xmlns :xsd =“http://www.w3.org/2001/XMLSchema#”

xmlns : quadriche = “http://www.dma.unina.it/quadriche-ns” >

<rdf: Description>

<quadrica: determinante>

<quadrica: R_neg value= “-99” >

</quadrica:determinante>

<quadrica:equazione>

3*x^2+4*y^2+2*x*y+9*z^2-1=0

</quadrica:equazione>

<quadrica: intersezione_piano_improprio>

<quadrica: Conica_reale_non_degenere>

<quadrica: discriminante>

<quadrica: R+ value = “99”/>

</quadrica: discriminante>

</quadrica: Conica_reale_non_degenere

</quadrica: intersezione_piano_improprio>

</rdf: Description>

Codifica dell’RDF in XML


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Stato dell’arte della Ricerca

Ho definito un modello di e-learning in the large in cui riusare le collezioni matematiche.

Ho costruito un Learning Object in base alle didattiche eleborate per l’e-learning.

Ho sviluppato un algoritmo di approssimazione di superfici con NURBS

Ho costruito un 3D-resource broker con l’algoritmo di approssimazione mediante NURBS.


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1. E-learning 1.1 I Learning Object 1.2 Un learning object 3D? 1.3Trasposizione on-line delle lezioni di Luigi Campedelli? 1.3.1 Storicizzazione 1.3.2 Completezza della geometria 1.4.1 Lo standard SCORM 1.5. Semantic Web 1.5.2 Un RDF per l'ambiente 3D 1.5.3 Una RDF per i modelli matematici 1.6 L'algoritmo NURBS 1.6.1 riuso dei modelli matematici con NURBS approximation 1.6.2 Il paraboloide a sella NURBS riusato per l'ambiente 3D


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1.7.1 3D shape descriptors 1.7.2 Il smapling set come shape descriptor 1.7.3 Una RDF per il sampling set 1.7.4 Una RDF per le NURBS 1.7.5 Proposta: Le NURBS come resource brokers 1.7.6 Nuovi scenari per la didattica con il riuso NURBS-based dei modelli matematici 1.7.6. 1 --Il 4D Modelling 1.7.6.1 --Il filtraggio collaborativo 1.8 Concusioni

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