Le superfici rigate - fallavollita.eu · Le superfici rigate . Federico Fallavollita . Abstract ....

Le superfici rigate Federico Fallavollita

Abstract In this second volume of Descriptive Geometry, the methods and the constructions, explained in the first volume, are applied to the study of the shapes that most frequently recur in engineering projects and in architectural and design projects. These shapes may be abstract, like the plane and the twisted curves, the surfaces and the polyhedrons, or, on the contrary, they may be formal and technical solutions that the applications of descriptive geometry traditionally offer to the art of constructing, and they refer to: the arcs and the vaults, the roofs, the stone and wood cutting. The relative constructions, be they of abstract or concrete shapes, are shown, mostly, using digital representation methods, since these methods unite the power of the analogical representation, visual, to the accuracy of the calculation and they allow, thus, an agile and clear solution of the problems dealt with. It seemed therefore right to open the volume with two chapters on the techniques of the mathematical and numerical representation that describe, with a speech of a general nature, that is, without referring to a specific software, those useful hints and solutions that may help to obtain the best quality of the model. The volume closes with analogous considerations that concern the modern theory of chiaroscuro, namely the rendering. Federico Fallavollita wrote parts of the chapter of the surfaces and vaults. In particular, wrote the chapter on ruled and developable surfaces. Here to follow the index of the chapter on ruled surfaces: 2.3 The ruled surfaces - 2.3.1 The construction of a ruled generic surface, p. 154 - 2.3.2 The quadrics, ruled surfaces, p. 161 - 2.3.3 Cones and cylinders quadrics, p.162 - 2.3.4 One-Sheeted Hyperboloid, p. 168 - 2.3.5 Hyperbolic paraboloid, p. 175 - 2.3.6 Equilateral hyperbolic paraboloid, p. 182 - 2.3.7 Genesis of projective quadrics, ruled surfaces, p. 185 - 2.3.8 Some properties of projective quadrics, p. 188 - 2.3.9 The polar system with respect to a quadric, p. 195 - 2.3.10 The center, the diameters and the axes of a quadric, p. 198 - 2.3.11 The stereographic projection of a hyperboloid, p. 201 - 2.3.12 Graphics Properties and metric properties of ruled surfaces, p. 203 - 2.3.13 Developable surfaces, p. 213 - 2.3.14 Special cases of developable surfaces: cylinders and cones, p. 219 - 2.3.15 Development of the cone and the cylinder on a plane, p. 220.

78 2.5 Introduzione alle tecniche dimodellazione

83 2.6 Mappe di vertici84 2.7 Box modeling87 2.8 Adding modeling89 2.9 Spline cage93 2.10 Scuplting

Parte seconda – Le linee curve, le superfici e le loro proprietà

97 Capitolo 1 – Le linee curvedi Laura De Carlo, Leonardo Baglioni

97 1.1 Generalità100 1.2 Le linee curve piane

1.2.1 Proprietà delle linee piane, p. 100 – 1.2.2 Cur-ve derivate da altre curve: evoluta, evolvente, po-daria e caustiche, p. 103

106 1.3 Le linee sghembe, gobbe (o a doppiacurvatura)

1.3.1 Proprietà delle linee sghembe, p. 103 – 1.3.2Evoluta ed evolvente di una curva gobba, p. 110

113 1.4 Le linee luogo geometrico, piane esghembe

1.4.1 Cenni alle coniche come linee luogo del piano,p. 113 – 1.4.2 La famiglia delle cicloidi, p. 118 – 1.4.3Spirali ed eliche, p. 122

129 1.5 Il contributo della rappresentazionematematica nello studio di lossodromie,eliche e spirali

144 Capitolo 2 – Superficidi Riccardo Migliari, Federico Fallavollita, Marta Salvatore

144 2.1 La classificazione delle superfici e l’ordine tenuto in questo libro

145 2.2 Definizioni e caratteristiche generalidelle superfici

2.2.1 La continuità di una superficie e il piano tan-

gente, p. 147 – 2.2.2 La curvatura delle superfici, p.148 – 2.2.3 Il contorno apparente di una superficie ele linee isòfote, p. 151

153 2.3 Le superfici rigate2.3.1 La costruzione di una superficie rigata generi-ca, p. 154 – 2.3.2 Le superfici rigate quadriche, p.161 – 2.3.3 Coni e cilindri quadrici, p. 162 – 2.3.4L’iperboloide a una falda, p. 168 – 2.3.5 ll paraboloi-de iperbolico, p. 175 – 2.3.6 Il paraboloide iperboli-co equilatero, p. 182 – 2.3.7 La genesi proiettiva del-le superfici rigate quadriche, p. 185 – 2.3.8 Alcuneproprietà proiettive delle quadriche rigate, p. 188 –2.3.9 Il sistema polare rispetto a una quadrica, p.195 – 2.3.10 Il centro, i diametri e gli assi di una qua-drica, p. 198 – 2.3.11 La proiezione stereografica diun iperboloide a una falda, p. 201 – 2.3.12 Proprietàgrafiche e proprietà metriche delle rigate sghembe,p. 203 – 2.3.13 Le superfici sviluppabili, p. 213 –2.3.14 I casi particolari di superfici sviluppabili: co-ni e cilindri, p. 219 – 2.3.15 Sviluppo del cono e delcilindro sopra un piano, p. 220

224 2.4 Le superfici di rivoluzione e il toro229 2.5 Gli elicoidi235 2.6 Gli elicoidi generati dal cerchio e da

altre curve: colonna torsa, vite di SaintGilles, serpentino, elicoidi conici ochiocciole

241 2.7 Le superfici a pendenza uniforme245 2.8 Le superfici quadriche non rigate

2.8.1 Polarità e coni circoscritti a una quadrica, p.245 – 2.8.2 L’ellissoide, p. 248 – 2.8.3 L’iperboloide adue falde, p. 253 – 2.8.4 Il paraboloide ellittico, p.256 – 2.8.5 La genesi proiettiva delle quadriche, p.260 – 2.8.6 La sfera, p. 262 – 2.8.7 Una interessanteapplicazione delle proprietà della sfera: il teoremadi Dandelin, p. 264 – 2.8.8 La proiezione stereogra-fica della sfera, p. 269 – 2.8.9 Il problema di Apollo-nio, p. 272

278 2.9 Le superfici di interpolazione280 2.10 Intersezioni piane tra superfici

quadriche2.10.1 Le intersezioni fra superfici quadriche, in ge-nerale, p. 280 – 2.10.2 Sezioni piane di superfici qua-driche, p. 283 – 2.10.3 Intersezioni piane fra superfi-ci quadratiche, p. 290

VI Indice

VIIIndice

Parte terza – Applicazioni

299 Capitolo 1 – I poliedri regolari esemiregolari con un approfondimentosulle cupole geodetichedi Leonardo Baglioni

299 1.1 Le proprietà geometriche dei poliedri308 1.2 I solidi platonici311 1.3 I solidi archimedei325 1.4 I poliedri catalani327 1.5 La tassellazione dello spazio337 1.6 I poliedri e le bolle di sapone347 1.7 Discretizzazione delle superfici

continue per mezzo di superficipoliedriche

355 1.8 La discretizzazione della sfera: le cupole geodetiche

1.8.1 Prima tipologia: le griglie icosaedriche, p. 365– 1.8.2 Seconda tipologia: le griglie dodecaedriche,p. 368 – 1.8.3 Terza tipologia: le griglie A III, p. 370 –1.8.4 Quarta tipologia: le griglie A V, p. 371 – 1.8.5Quinta tipologia: le griglie A XIII, p. 373

377 1.9 Considerazioni di carattere geometricoe strutturale

384 1.10 Le NURBS e la discretizzazione dellesuperfici free-form

388 1.11 Breve storia dei poliedri401 1.12 La generazione delle mesh404 1.13 Gli algoritmi informatici di meshing

1.13.1 Generatori di mesh triangolari e tetraedrici,p. 405 – 1.13.2 Generatori di mesh quadrilateri edesaedrici, p. 411 – 1.13.3 Surface Meshing, p. 414

415 1.14 Post produzione delle mesh417 1.15 Metodi di tassellazione delle superfici

parametriche nei modellatoriinformatici

423 Capitolo 2 – Gli archi e le voltedi Riccardo Migliari e Federico Fallavollita

423 2.1 Nomenclatura e classificazione generaledegli archi e delle volte

428 2.2 Il tracciamento e la suddivisione inconci degli archi

2.2.1 Arco a tutto sesto, p. 428 – 2.2.2 Archi a sesto ri-bassato o a sesto scemo, p. 430 – 2.2.3 Profilo ovale,p. 432 – 2.2.4 Archi a sesto rialzato, p. 436 – 2.2.5 Ar-chi a sesto acuto, p. 436

439 2.3 Le volte semplici2.3.1 La volta a botte a tutto sesto e retta, p. 440 –2.3.2 La volta a vela, p. 441 – 2.3.3 La volta a vela asesto incompleto o volta boema, p. 444 – 2.3.4 Lavolta anulare, p. 444 – 2.3.5 La volta elicoidale o vi-te di Saint-Gilles, p. 444 – 2.3.6 La cupola, p. 447

447 2.4 Le volte composte2.4.1 Le volte lunettate, p. 447 – 2.4.2 Le volte a cro-ciera e a padiglione, p. 451 – 2.4.3 Le cupole compo-ste, p. 459

462 Capitolo 3 – I tettidi Anna De Santis

462 3.1 Aspetti generali e nomenclatura463 3.2 Proprietà geometriche delle falde ad

angolo di pendio costante464 3.3 Tecniche di progettazione di un tetto

3.3.1 Edificio isolato di forma rettangolare o qua-drangolare, p. 465 – 3.3.2 Edifici isolati di forma ir-regolare, p. 468 – 3.3.3 Tetti a gronde inclinate, p.476

481 3.4 Correzione della pendenza al fine disemplificare la geometria di un tetto

483 3.5 Sviluppo del tetto

485 Capitolo 4 – Stereotomia della pietradi Marta Salvatore, Camillo Trevisan

485 4.1 La stereotomia4.1.1 Principi della progettazione stereotomica, p.489 – 4.1.2 Le murature a superficie di paramentopiana, p. 491 – 4.1.3 Le murature a superficie di pa-ramento curva, p. 496 – 4.1.4 Le volte sferiche, p.497 – 4.1.5 Le volte cilindriche rette, p. 501 – 4.1.6 Levolte cilindriche oblique, p. 502 – 4.1.7 Le volte ci-lindriche strombate, p. 512 – 4.1.8 Le volte coniche,p. 516 – 4.1.9 Le scale elicoidali, p. 521

523 4.2 Metodi e applicazioni tra la metà delCinquecento e la metà del Settecento

* Riccardo Migliari ha curato iparagrafi 2.1, 2.2, e i paragrafi da2.4 a 2.9. Federico Fallavollita hacurato il paragrafo 2.3 e MartaSalvatore il paragrafo 2.10.1 Queste superfici erano già notecon il termine gauche che in fran-cese, come in italiano, ha ancheil significato peggiorativo di de-forme. Parve opportuno ad Ha-chette trovare una denominazio-ne più consona all’estetica diqueste belle superfici.

2.1 La classificazione delle superfici e l’ordine tenuto in questo libro

Le superfici possono essere descritte in molti modi,ad esempio per mezzo della geometria analitica odella geometria differenziale o, ancora, della geo-metria sintetica della quale ci occupiamo. Ciascunadi queste descrizioni mette in evidenza proprietàgeometriche particolari.

Se si considera la descrizione analitica, le super-fici vengono classificate in relazione al grado delleequazioni che le descrivono: ad esempio, la sferaappartiene alle superfici quadriche, perché la si puòdescrivere per mezzo di una equazione di secondogrado.

La classificazione differenziale considera le su-perfici come classi bidimensionali dei punti nellospazio che soddisfano determinate condizioni loca-li, condizioni che possono riguardare il piano tan-gente, la normale, la curvatura. In questo caso, lesuperfici si possono classificare in funzione dellacurvatura gaussiana (vedi il paragrafo successivo),che può assumere, in un punto, valori negativi, nul-li o positivi, senza escludere la compresenza, sullamedesima superficie, di punti con valori di curva-tura diversi.

Infine, se si considera la descrizione sintetica, ti-pica della geometria descrittiva, le superfici posso-no essere classificate in funzione della proceduraadottata per costruirle. Ad esempio, se si muoveuna retta nello spazio, si genera una superficie riga-

ta; se si fa ruotare una curva intorno a un asse, si ge-nera una superficie di rivoluzione. La linea che,muovendosi, genera la superficie viene detta gene-ratrice. Il moto, a sua volta, viene definito per mez-zo di una o più linee, dette direttrici.

Le superfici così generate appartengono alla piùampia classe dei luoghi geometrici, o più semplice-mente, dei luoghi dello spazio. Un luogo è l’insiemedei punti che soddisfano una data condizione o go-dono di determinate proprietà. Ad esempio, il luo-go descritto da una retta generatrice che scorre suuna curva direttrice, conservando la propria dire-zione, è una superficie rigata e, segnatamente, uncilindro. Una superficie, però, può anche essere ge-nerata per via proiettiva. Così il cilindro, come ve-dremo a breve.

Nel seguito, ci serviremo, dunque, della classifi-cazione che considera la genesi della superfici comeluoghi geometrici.

Sotto questo riguardo, le superfici possono esse-re distinte in:

• superfici rigate: sono in generale le superfici chehanno generatrici rettilinee; il loro nome, surfacesréglées, si deve ad Hachette (1769-1834)1 e sta a si-gnificare che si può sempre trovare almeno unmodo per appoggiare su di esse una riga;

• superfici di rivoluzione, generate dalla rivoluzionedi una linea, retta o curva, intorno a un asse (no-ta bene: il termine rotazione si usa per indicare ilmovimento circolare di una entità su sé stessa,

144 Geometria descrittiva – Tecniche e applicazioni

CAPITOLO 2

SuperficiRiccardo Migliari, Federico Fallavollita, Marta Salvatore*

153Superfici

Fig. 2.5 Se una linea che appartie-ne a una superficie ne incontra ilcontorno apparente rispetto a uncentro di proiezione, la proiezionedi quella linea è tangente alla pro-iezione del contorno apparente

trova largo uso nella produzione industriale, quan-do sia necessario curare l’estetica di superfici luci-de, come, ad esempio, le carrozzerie delle automo-bili.

2.3 Le superfici rigate

Le superfici che oggi chiamiamo rigate debbono illoro nome alla notevole caratteristica di ammetteresempre la possibilità di appoggiare su di esse, in

Fig. 2.5

Fig. 2.6 Tre linee nello spazio, pia-ne o sghembe, individuano una su-perficie rigata

tutta la sua lunghezza, una riga; perciò, in terminigeometrici, si può sempre ritrovare su di esse alme-no una famiglia di rette. Tale caratteristica è stata, inpassato, assai utile nel lavoro di modellazione deiconci di pietra destinati alle volte, poiché la loro pri-ma sbozzatura avveniva con la guida di incisionirettilinee; ma è ancora di grande interesse perchégrandi coperture a volta possono essere realizzatemettendo in tensione cavi di acciaio.

2.3.1 La costruzione di una superficie rigata gene-rica

Nelle sue prime lezioni di geometria descrittiva Ga-spard Monge insegna una elegante «dimostrazioneesistenziale» delle superfici rigate2.

In generale, date tre direttrici curve e sghembe(a, b, c), indefinitamente estese nello spazio, e as-sunto sulla prima un qualsiasi punto A (figura 2.6),resta individuato il cono che ha il punto A comevertice e la seconda curva, b, come direttrice; questocono stacca sulla terza curva, c, un punto P. La rettaAP è una generatrice della superficie che si vuolecostruire, infatti: si appoggia alla prima curva a, nelpunto A, per costruzione; si appoggia alla secondacurva b, nel punto B, perché è una generatrice delcono Ab; si appoggia alla terza curva c, nel punto P,ancora per costruzione. Facendo variare il punto Asulla prima curva, si ottengono quante generatricisi vogliono e si genera così la superficie. Bisognanotare che la curva c può incontrare il cono Ac in unpunto P, in più di un punto o in nessun punto: in


2 Cfr. G. Monge, Géométrie De-scriptive, Baudouin, Paris An VII(1798), Additions, II, p. 130. Fig. 2.6

155Superfici

Fig. 2.7 Il biais passé è una rigatache si appoggia a due circonferen-ze e a una retta

quest’ultimo caso la superficie non esiste in corri-spondenza di P, ma può esistere in corrispondenzaad altri punti di c. Occorre, perciò, studiare di voltain volta il dominio della superficie3.

La costruzione, che Monge eseguiva nel metododelle proiezioni ortogonali, vale a dire in pianta ealzato, può oggi essere eseguita nel metodo dellarappresentazione matematica. Dunque, nella gene-si che abbiamo descritta, il movimento della gene-ratrice nello spazio è guidato da tre direttrici curvequalsiasi.

Vediamo ora come la costruzione che abbiamoesposto si specializza in alcuni casi particolari.

Rigate che ammettono una sola direttrice rettaDati due cerchi b e c contenuti in piani paralleli,ma tali che la congiungente i due centri B e C nonsia perpendicolare ai due piani, e una retta a chepassa per il punto medio del segmento BC ed è, in-vece, perpendicolare ai due piani, si ottiene la su-

perficie d’intradosso della volta a sbieco o biais passé(figura 2.7).

Un piano a che passa per la direttrice rettilinea ataglia i due cerchi in due punti. Questi individuanouna retta g. Tale retta g si appoggia ai due cerchi ealla retta a, quindi è una generatrice della superficierigata. Il dominio della superficie ha un limite cherisulta evidente quando il piano a è tangente a unadelle due direttrici circolari o a entrambe, perché inquesto caso non è possibile costruire generatrici.

Data un’elica e, un cerchio c contenuto nel pianoall’infinito e un asse a, le rette che si appoggiano al-l’elica e all’asse, mantenendo costante l’angolo for-mato con l’asse medesimo e, perciò appoggiandosianche al cerchio all’infinito, descrivono la vite a filet-to triangolare, che sarà meglio illustrata tra le super-fici elicoidali (figura 2.8).

Quando, tra le direttrici della rigata, è presenteuna giacitura (ovvero una retta impropria o «all’in-finito»), la rigata si dice a piano direttore, perché tut-

3 J.P.N. Hachette (Traité de Géomé-trie Descriptive, Corby, Parigi1828), utilizza un’altra costru-zione: stacca un punto qualsiasisu una delle tre linee e generadue coni utilizzando le altre co-me direttrici. I due coni fornisco-no, per intersezione, una o piùgeneratrici.Fig. 2.7

Fig. 2.8 La vite a filetto triangola-re è una rigata che si appoggia aun’elica, al suo asse e a una circon-ferenza «all’infinito»

te le sue generatrici risultano parallele a un piano,dal momento che le loro direzioni appartengonotutte alla giacitura data. Superfici siffatte sono i ci-lindroidi. Per costruire un cilindroide si taglia un ci-lindro con due piani incidenti in una retta r. Si tra-sla poi una delle due sezioni lungo la direzione di rtrascinando in questo movimento anche le genera-trici del cilindro (figura 2.9). La superficie così otte-nuta non è più un cilindro, perché le sue generatricisono sghembe (e non più parallele), e tuttavia sonotutti paralleli i piani descritti dal movimento dellegeneratrici del cilindro originale: la giacitura diquesti piani è quella individuata dalla direzionedelle generatrici del cilindro e dalla direzione dellaretta r.

Rigate che ammettono due direttrici rette

Date una curva c e due rette r ed s, la rigata si descri-ve facilmente considerando un qualsiasi punto Pdella curva e la retta intersezione dei due piani chesi ottengono proiettando da P le direttrici r e s.

Se poi una delle due rette è impropria, perciò unagiacitura, allora le generatrici saranno tutte paralle-le a un piano e la rigata sarà un conoide a piano diret-tore. Quando il piano direttore è perpendicolare al-la direttrice rettilinea il conoide si dice retto.

Un esempio di conoide retto è la vite a filetto ret-tangolare (figura 2.10). Questa superficie ha comedirettrici un’elica, l’asse dell’elica e il piano perpen-dicolare al suddetto asse. La generatrice g si appog-gia, nel suo movimento, alle due linee e ed a e simantiene parallela al piano direttore a.


Fig. 2.8


Fig. 2.14 La genesi di una rigatasviluppabile, le cui generatrici sonole tangenti a una qualsiasi curva di-rettrice

rigate e sono formate da due schiere rigate di infini-te direttrici rettilinee.

Rigate sviluppabiliLa genesi delle superfici, derivata dal teorema diMonge, è uno strumento potente, che permette didefinire e classificare, come abbiamo visto, un grannumero di superfici.

Esiste tuttavia un semplice movimento, guidatoda una sola direttrice (anziché da tre), che è capacedi generare una classe di superfici notevoli. Si trat-ta del movimento di una tangente che scorre suuna curva sghemba. La descrizione di questo mo-vimento non necessita di altre direttrici, né di altrivincoli comunque posti, perché la tangente in unpunto di una curva sghemba è sempre univoca-mente determinata. Si immagini dunque una curva

sghemba c nello spazio e la tangente t in un suopunto P, indefinitamente estesa da una parte e dal-l’altra del punto (figura 2.14). Se la suddetta tan-gente scorre lungo la curva (mantenendo la tan-genza), essa descrive una superficie sviluppabile e ladirettrice prende il nome di spigolo di regresso. Unbuon esempio è l’elicoide sviluppabile (da non con-fondere con l’elicoide generico) che è generato dal-la tangente all’elica.

Le superfici sviluppabili possono essere spianate,cioè aperte e adagiate sul piano, senza alterare di-stanze e angoli, con una trasformazione isometrica.

Tra le superfici rigate generiche e le superfici svi-luppabili esiste una profonda differenza, che ne fadue distinti capitoli della geometria delle rigate:nelle rigate generiche due generatrici di una mede-sima schiera, indefinitamente vicine, sono sghembe

Fig. 2.14

161Superfici

senza eccezioni; nelle rigate sviluppabili due gene-ratrici indefinitamente vicine sono incidenti e per-ciò complanari. Per questa ragione le rigate generi-che si dicono anche, semplicemente, rigate sghembe,mentre le superfici rigate sviluppabili si dicono an-che, semplicemente, superfici sviluppabili.

L’incidenza di due generatrici successive nellesuperfici sviluppabili è evidente per i cilindri e i co-ni, dove le generatrici s’incontrano nel vertice, siaesso un punto come una direzione. Nelle superficisviluppabili generiche è una relazione che si spiega,come vedremo, con un passaggio al limite.

Le superfici rigate generiche e le superfici svi-luppabili si differenziano profondamente ancheper il comportamento dei piani tangenti.

Il piano tangente in un punto di una superficiesviluppabile la tocca anche in tutti i punti della ge-neratrice che passa per quel punto; si pensi, adesempio, al caso evidente del cono.

Invece, il piano tangente in un punto di una super-ficie rigata generica, cambia se il punto di contattotrasla lungo la generatrice. Di conseguenza, l’analisidel piano tangente è strumento di classificazione del-le superfici rigate: in generale, se conserva la giacitu-ra, al variare del punto di contatto lungo la generatri-ce, la superficie è sviluppabile, altrimenti non lo è.

Esiste, tuttavia, una eccezione. Può accadere, in-fatti, che in una superficie rigata generica siano pre-senti una o più generatrici toccate in ogni punto dalmedesimo piano tangente: queste generatrici si di-cono allora singolari e si dice anche che, in una su-perficie sviluppabile, tutte le generatrici sono sin-golari. Per contro, le generatrici non singolari si di-cono generatrici semplici.

Una superficie rigata qualsiasi ammette, perogni sua generatrice, un iperboloide tangente inogni punto di quella. Una superficie sviluppabileammette invece un piano tangente in ogni puntod’una sua generatrice. Per questa ragione, si diceanche che le superfici sviluppabili sono l’inviluppo

del movimento di un piano nello spazio, mentre lesuperfici rigate sono l’inviluppo del movimento diun iperboloide rigato nello spazio.

Le superfici sviluppabili, insieme ai piani, sonole uniche superfici ad avere la curvatura gaussiananulla in tutti i punti, o come anche si dice, curvaturatotale nulla.

Le superfici rigate sghembe, invece, hanno cur-vatura totale negativa.

2.3.2 Le superfici rigate quadriche

Le rigate quadriche sono superfici di secondo gra-do e sono: il cono quadrico, il cilindro quadrico, l’iper-boloide ellittico e il paraboloide iperbolico. Una rettaqualsiasi, che non sia una generatrice, può avere incomune con una rigata quadrica due punti distinti,nel qual caso è secante, o due punti coincidenti, nelqual caso è tangente, o nessun punto, e in questo ca-so è esterna. La sezione piana di una quadrica riga-ta è sempre una conica, propria o degenere. Una di-mostrazione sintetica di questa importante proprie-tà si trova nel paragrafo dedicato alla genesi proiet-tiva delle quadriche rigate.

Queste superfici possono avere curvatura nulla,come nel caso del cono e del cilindro, o curvaturanegativa come nel caso dell’iperboloide e del para-boloide iperbolico.

Le quadriche a punti iperbolici sono superfici ri-gate che contengono un doppio sistema di genera-trici rette o schiere rigate e hanno le seguenti pro-prietà:

• per ogni punto della superficie rigata quadricapassano due rette, ciascuna appartenente a unadelle due schiere;

• due generatrici di una stessa schiera sono sem-pre sghembe fra loro, mentre due generatrici ap-partenenti a schiere diverse sono sempre inci-denti fra loro.

È una rigata quadrica la superficie che si appog-gia sopra tre rette sghembe qualsiasi. Le tre rette so-no a loro volta generatrici dell’altro sistema di rette.In altre parole, comunque si prendano tre rette suuna stessa schiera, la superficie generata da una ret-ta che nel suo movimento si appoggi a quelle tre èsempre la stessa. È interessante osservare che nonesistono piani, nello spazio, che non abbiano puntiin comune con una rigata quadrica indefinitamenteestesa. Anche il cilindro, infatti, ha in comune conun piano parallelo alle generatrici la direzione diqueste ultime.

2.3.3 Coni e cilindri quadrici

In generale, un cono è la superficie rigata le cui ge-neratrici si appoggiano a una curva qualsiasi e pas-sano per un punto, detto vertice del cono. Il cono hasempre due falde, situate da parti opposte del verti-ce. Questa genesi non contraddice il teorema diMonge, perché le tre direttrici possono essere iden-tificate nella curva data e in due rette incidenti nelvertice. In tal modo la superficie è costituita dallerette che toccano tre curve date nello spazio, comevuole il teorema5. Se immaginiamo di traslare ilvertice, allontanandolo dalla curva direttrice, pos-siamo constatare come le generatrici tendano al pa-rallelismo. Quando il vertice si trasforma in una di-rezione del piano all’infinito, le generatrici sonotutte parallele a quella direzione e il cono si muta inun cilindro. Il cilindro, perciò, è un caso particolaredi superficie conica.

Coni e cilindri si possono generare anche perproiezione: i primi a mezzo di una proiezione cen-trale, i secondi a mezzo di una proiezione parallela.I coni e i cilindri che hanno per direttrice una coni-ca, quindi, in generale, un cerchio, un’ellisse, unaparabola o un’iperbole, sono superfici di secondogrado e si dicono, perciò, coni e cilindri quadrici.

Esistono tre tipi di cilindri quadrici: ellittici, pa-

rabolici e iperbolici, secondo il tipo di direttrice. Se-zionando un cilindro ellittico si ottiene sempreun’ellisse, sezionandone uno parabolico una para-bola e così via. Tutte le sezioni piane di un cilindrosono legate da una affinità.

Il cono quadrico, invece, contiene tutte e tre i tipidi coniche, infatti le sezioni piane, reali, di un conoquadrico sono ellissi, parabole e iperboli, in altreparole le curve comunemente note come coniche osezioni coniche. Fra queste curve si debbono ancheannoverare la circonferenza, come caso particolaredell’ellisse, la coppia di rette (incidenti o coinciden-ti) e il punto, come coniche degeneri. In un cono qua-drico, quale che sia la sua direttrice, sono semprepresenti tutte queste curve.

I coni quadrici hanno, in generale, tre assi trior-togonali principali passanti per il centro della su-perficie che è il vertice. Quando l’asse è perpendico-lare al piano della direttrice circolare, la superficiesi chiama cono rotondo o cono circolare retto. Si chiamacilindro rotondo o cilindro circolare retto, un cilin-dro che ha direttrice circolare e asse perpendicolareal piano della direttrice.

Nei casi del cono e del cilindro rotondi, i tre assisi riducono a uno solo perché la sezione principaleè una circonferenza che non ha assi principali.

Costruzione del cono e del cilindroNella rappresentazione matematica i coni e i cilin-dri si possono costruire in vari modi, che derivanodalla genesi che si preferisce adottare, e precisa-mente (figura 2.15):

• come superfici primitive, avvalendosi, cioè diforme già pronte; in genere, però, questa tecnicaconsente di costruire solo cilindri rotondi e solouna falda di cono rotondo;

• per proiezione della direttrice, secondo una dire-zione data o anche da un centro, utilizzando, inquesto caso, una procedura di traslazione che


5 Vedi nota 4.

163Superfici

ammette anche la possibilità di scalare la direttri-ce riducendola fino al vertice.

thinkdesign• Inserisci / Superfici / Lineare abilitando l’opzione

«sformo»6, nel caso del cono.Rhinoceros• Superfici / Estrudi curva/ Verso un punto.

• come superficie rigata, ma, in questo caso, occor-re procurarsi una seconda direttrice, ciò che puòfarsi facilmente proiettando la direttrice data suun altro piano, dal vertice, nel caso del cono, se-condo la direzione delle generatrici, nel caso delcilindro.

Tutte queste procedure forniscono una sola faldadel cono. Per costruire la seconda falda si può ripa-rametrizzare la superficie, ma si tratta di un calcoloche produce errori in corrispondenza al vertice. Ilmodo corretto di costruire la seconda falda è gene-rarla per simmetria, ma per fare ciò, occorre cono-scere i piani di simmetria del cono quadrico e, quin-di, i suoi assi.

Infatti, ogni cono quadrico, come ogni quadricain generale, possiede tre assi triortogonali, che pas-sano per il vertice. I piani individuati dalle coppieche si possono formare con questi assi sono, a lorovolta, piani di simmetria ortogonale.

Gli assi del cono e i relativi piani di simmetria or-togonale si possono costruire facilmente utilizzan-do la rappresentazione matematica7.

Si considera una sola falda del cono e si costrui-sce una sfera che abbia centro nel vertice V del conoe raggio qualsivoglia (figura 2.16). Si seziona la su-perficie del cono con la sfera e si costruisce il solidodelimitato dal cono stesso e dalla calotta sferica chechiude il cono.

La retta che passa per il vertice e per il baricentroG di questo solido è il primo degli assi che cerchia-

mo: z. Quanto al baricentro G del solido, esso vienefornito dal calcolo:

thinkdesign• Strumenti / Info / Analisi / Centro di massa.

Si costruisce ora un qualsiasi piano a perpendi-colare a questo asse e, con esso, si seziona il cono.Questo piano incontra tutte le generatrici del conoe, perciò, lo taglia secondo un’ellisse e. Si costrui-scono infine gli assi a e b di questa ellisse: gli altridue assi del cono quadrico x e y, che cercavamo, so-no paralleli agli assi di questa ellisse e passano peril vertice V del cono, come si è detto.

Per costruire le direzioni degli assi dell’ellisse siconsidera il punto C, centro dell’ellisse, che l’asse zha in comune con il piano a. Si fa centro in questopunto e si traccia una circonferenza che taglia l’el-lisse nei punti P, Q, R e S: gli assi x e y sono paralle-li ai lati di questo rettangolo (figura 2.17).

Possiamo dedurre da questa costruzione, che è

Fig. 2.15 Nella rappresentazionematematica i coni si possono gene-rare come primitive (a sinistra) oper proiezione (al centro) o comerigate (a destra)

6 Il termine «sformo», impiegatoda alcuni programmi, indica unatecnica impiegata nella produ-zione industriale per estrarre glioggetti dagli stampi. Un oggettodi plastica cilindrico, ad esem-pio, viene rastremato verso ilfondo dello stampo e assume co-sì la forma di un tronco di cono.7 La costruzione dell’asse z chesegue è dovuta a Marta Salvato-re, cfr. M. Salvatore, La stereoto-mia scientifica in Amédée FrancoisFrézier – Prodromi della geometriadescrittiva nella scienza del tagliodelle pietre, Tesi di DottoratoD.P.R. 11/7/1980 – Ciclo XXI –Università degli Studi di Firen-ze, dicembre 2008.

Fig. 2.15

165Superfici

Fig. 2.17 Costruzione degli assi diun cono quadrico

mo rintracciare una qualsiasi sezione ellittica oiperbolica. Costruiamo anche l’asse a della parabo-la e facciamo passare per il vertice una retta h paral-lela al suddetto asse a. Questa retta è, evidentemen-te, una generatrice del cono e precisamente quellache il piano in cui è ospitata la parabola incontra«all’infinito». Tagliamo ora il cono con un piano a

che incontri anche la retta h. Questo piano taglia ilcono secondo una curva c e la retta h in un punto H.Stacchiamo quattro punti qualsiasi P, Q, R, S sullacurva c e costruiamo la conica che passa per questicinque punti: questa conica è una delle direttrici delcono, ed è un’ellisse o una iperbole.

Un cono quadrico resta individuato quando sia-no date, nello spazio, cinque rette incidenti in unpunto V (tra le quali non vi siano tre rette compla-nari) (figura 2.20). Infatti, tagliando queste cinquerette con un piano qualsiasi distinto da V, si otten-gono cinque punti complanari che, com’è noto, in-dividuano una conica c. Costruita la conica (vedi ilparagrafo 4.24 della parte seconda del primo volu-me), il cono resta individuato. Questa definizione,naturalmente, si estende alle giaciture, in quantorette improprie, sicché un cono resta individuatoanche quando siano date, più in generale, cinquetra generatrici e piani tangenti.

Per costruire il piano tangente al cono, o al cilin-dro, lungo una data generatrice, basta considerareuna qualsiasi sezione s della superficie e il punto Pin cui detta sezione taglia la generatrice data. Latangente alla sezione in P, e la generatrice data indi-viduano il piano tangente. Per condurre un pianotangente al cono, o al cilindro, da un punto esterno,conviene costruire il contorno apparente della su-perficie rispetto a quel punto. Tale contorno è costi-tuito da due generatrici che, insieme al punto consi-derato, individuano le due possibili soluzioni.

Coni e cilindri (quadrici e non) sono rigate a cur-vatura gaussiana nulla. Una semplice verifica dellacurvatura si può fare con gli strumenti di cui dispo-ne qualunque software per la rappresentazione ma-tematica:

thinkdesign• Strumenti / Info / Analisi / Mappa curvatura.Rhinoceros• Analisi/ Superfici/ Analisi Curvatura.

Fig. 2.17

Fig. 2.18 Ricerca delle sezioni el-littiche di un cono che ha per diret-trice una iperbole


Fig. 2.18

167Superfici

Sia nel cono che nel cilindro sono presenti dueclassi di sezioni circolari (figura 2.21). Questa pro-prietà è in relazione alla possibilità di ottenere ognicono quadrico per dilatazione di un cono rotondo,ovvero di un cono circolare retto. La ricerca dellesezioni circolari di un cono quadrico è oggi assaifacilitata dalla possibilità di costruire immediata-mente gli assi della superficie, come sopra abbia-mo visto. Un qualsiasi piano perpendicolare all’as-se taglia la superficie conica di vertice V secondouna ellisse e, come abbiamo visto. Costruiamo legeneratici a e b del cono che passano per gli estre-mi A e B dell’asse maggiore di questa ellisse e. Co-struiamo una sfera tangente a entrambe queste ge-neratici, perciò con il centro C sull’asse z del cono.La sfera taglia il cono secondo due circonferenze c’e c’’ che forniscono, più in generale, le due giacitu-re degli infiniti piani capaci di sezionare il cono se-condo circonferenze.

Fig. 2.19 Ricerca delle sezioni el-littiche di un cono che ha per diret-trice una parabola

Fig. 2.20 Cinque rette incidenti,distinte e tali che non più di duesiano complanari, individuano uncono quadrico

Fig. 2.19

Fig. 2.20

169Superfici

Fig. 2.22 Tre rette sghembe indi-viduano un iperboloide rigato

Fig. 2.23 Il parallelepipedo co-struttore dell’iperboloide forniscele generatrici della superficie

dividuano un parallelepipedo, che può essere co-struito come segue (figura 2.23):

• per ognuna delle rette date, si conducono duepiani, rispettivamente paralleli alle altre duerette;

• si costruiscono così in tutto sei piani, a due a dueparalleli, che delimitano il parallelepipedo.

Chiameremo questa particolare figura parallele-pipedo costruttore dell’iperboloide.

Consideriamo ora gli spigoli di questo parallele-pipedo: tre di questi spigoli sono rappresentati dal-le rette a, b e c; a questi corrispondono altri tre spi-goli, che chiameremo a’, b’ e c’, ognuno dei quali hala proprietà di essere parallelo alla retta data omo-nima, e secante le altre due.

I tre spigoli a’, b’, c’ sono detti i simmetrici di a, b,c e viceversa.Fig. 2.22

Fig. 2.23

Fig. 2.24 L’iperboloide rigato oiperboloide ellittico individuatodalle tre rette sghembe assegnate

È ora possibile costruire una trasversale qualsiasit che si appoggia alle tre rette date a, b, c e trovare lasua simmetrica s che si appoggia sulle simmetrichea’, b’, c’ (figura 2.24). Questa operazione, ripetuta nvolte, fornisce due sistemi di rette s e t che costitui-scono le due famiglie di generatrici dell’iperboloide auna falda, detto anche iperboloide ellittico.

Come ogni superficie quadrica, l’iperboloidepossiede tre assi triortogonali e tre piani di simme-tria ortogonale, tutti incidenti nel centro I, che è ilcentro del parallelepipedo costruttore, vale a direil punto comune alle diagonali interne. Chiamere-mo questi assi x, y e z, e sarà z l’asse che non incon-tra la superficie. Le sezioni della superficie fattecon i piani di simmetria ortogonale si dicono sezio-

ni principali dell’iperboloide e sono una ellisse edue iperboli. Le iperboli si ottengono tagliando lasuperficie con i due piani che passano per l’asse z;l’ellisse si ottiene tagliandola con il piano xy e sichiama ellisse di gola.

Come abbiamo già detto, e come sarà dimostra-to nel paragrafo dedicato alla genesi proiettivadelle rigate quadriche, le sezioni piane di un iper-boloide sono coniche. L’iperboloide, in particola-re, ammette sezioni ellittiche, paraboliche e iper-boliche, come il cono quadrico. In particolare, ipiani che passano per l’asse z tagliano tutti la su-perficie secondo iperboli e, di conseguenza, è pos-sibile ottenere un iperboloide rotondo anche fa-cendo ruotare un’iperbole intorno al suddetto as-


Fig. 2.24

171Superfici

se, che è l’asse coniugato dell’asse trasverso del-l’iperbole generatrice. Questo asse di simmetriaortogonale fa corrispondere un ramo dell’iperbolea quello opposto.

Come abbiamo detto, il centro I dell’iperboloi-de è il centro del parallelepipedo costruttore, ge-nerato dalle tre rette a, b e c, ma non solo: questopunto è anche il centro del parallelepipedo co-struito sulle simmetriche a’, b’, c’, come anche ilcentro del parallelepipedo costruito su una qual-siasi terna della classe s o della classe t. Di conse-guenza, questa superficie può essere generata dauna retta mobile in due modi differenti e in ognipunto di essa è possibile prendere due rette s e t,ognuna appartenente a uno dei due sistemi. Comevedremo, questa proprietà di doppia generazionedell’iperboloide a una falda sussiste ancora nel ca-so particolare in cui le tre rette a, b e c, direttricidella retta mobile, siano parallele a un medesimopiano. Allora l’iperboloide rigato prende il nomedi paraboloide iperbolico (vedi il paragrafo 2.3.5).

La costruzione che abbiamo illustrato, anche sedescrive la superficie senza ambiguità, non è appli-cabile da un punto di vista operativo. Infatti, allostato attuale delle conoscenze relative alla rappre-sentazione matematica delle superfici, non è possi-bile costruire in modo accurato un iperboloide perinterpolazione: l’approssimazione che deriva dal-l’uso di questa tecnica è eccessiva. Si ricorre, allora,a una genesi diversa, vale a dire alla deformazionedi una superficie regolare8.

Il procedimento si articola nei seguenti passi:

• date le tre generatrici a, b e c, che individuanol’iperboloide, se ne costruiscono altre due: d ed e;

• si costruiscono il centro I e gli assi x, y e z del-l’iperboloide;

• si tagliano le generatrici a, b, c, d ed e con il pianoxy, ottenendo così cinque punti che individuanouna ellisse l, e precisamente l’ellisse di gola;

• si costruisce ora un iperboloide di rivoluzionecoassiale a quello che vogliamo costruire, che hail diametro di gola eguale all’asse minore dell’el-lisse l;

• si applica una dilatazione all’iperboloide di rivo-luzione tale da trasformare il cerchio di gola diquesto iperboloide rotondo, nella ellisse di goladell’iperboloide ellittico che si vuole costruire.

Nel primo passo si costruiscono le generatrici ded e con il procedimento illustrato poc’anzi.

Nel secondo passo si debbono costruire gli assidell’iperboloide. Per far ciò si costruiscono, per ilcentro I della superficie, cinque rette parallele allegeneratrici a, b, c, d ed e (figura 2.25). Queste retteindividuano un cono quadrico, che viene detto conoasintotico dell’iperboloide perché lo tocca all’infini-to. Gli assi del cono asintotico coincidono con gli as-si x, y e z dell’iperboloide e si costruiscono nel mo-do già descritto nel paragrafo precedente.

Nel terzo passo, si costruisce l’ellisse di gola l: sitagliano le cinque generatrici a, b, c, d, ed e con ilpiano principale xy e si ottengono cinque punti chedeterminano la conica (vedi paragrafo 4.24 dellaparte seconda del primo volume) (figura 2.26).

Nel quarto passo si costruisce l’iperboloide di ri-voluzione. Per far ciò, occorre prima costruirel’iperbole che corrisponde a una sezione assiale.Come abbiamo detto, tutte le sezioni che apparten-gono al fascio di piani che ha l’asse z per sostengosono iperboli. Si sceglie dunque il piano yz che pas-sa per l’asse minore dell’ellisse l e si determinano icinque punti, intersezione delle generatrici omoni-me con il piano (figura 2.27). È possibile che i punticosì trovati non appartengano tutti allo stesso ramodell’iperbole; in questo caso si aggiungono una opiù generatrici con le costruzioni note (nell’esem-pio illustrato sono state costruite tre generatrici f, g,h in più e i relativi punti F, G, H). I punti A, E, F, G,H, così costruiti, individuano l’iperbole i, che forni-

8 Cfr. D. Hilbert, S. Cohn-Vossen,Geometria intuitiva, Boringhieri,Torino 1972.

Fig. 2.25 La costruzione degli assidell’iperboloide ellittico

Fig. 2.26 La costruzione dell’ellis-se di gola dell’iperboloide ellittico

sce, per moto di rivoluzione, la superficie dell’iper-boloide rotondo. L’iperbole i ha il centro coinciden-te con il centro I della superficie quadrica, e l’assetrasverso e l’asse coniugato coincidenti rispettiva-mente con l’asse y e l’asse z.

Il quinto e ultimo passo si può eseguire con unasemplice variazione di scala, non omogenea, appli-cata, cioè, soltanto lungo la direzione dell’asse mag-giore x dell’ellisse l di gola (figura 2.28).

In questo modo, abbiamo generato la rigata qua-drica che passa esattamente per le rette date a, b e c.La superficie così generata, ha le isoparametriche ue v che sono, rispettivamente, ellissi che giaccionosu piani paralleli al piano di simmetria xy, ove gia-ce l’ellisse di gola, e iperboli che hanno come assefocale l’asse z dell’iperboloide9.

Se si desidera verificare la genesi propria delle


Fig. 2.25

Fig. 2.26

173Superfici

Fig. 2.27 L’iperboloide rotondoche fornirà, per dilatazione, quelloellittico

rigate, si può ripetere la trasformazione, che ab-biamo illustrata, utilizzando un iperboloide roton-do generato da una retta, anziché da una iperbole.Per far ciò, basta tagliare l’iperboloide rotondo ap-pena costruito con un piano tangente alla superfi-cie in un punto del cerchio di gola. Questo pianorisulterà parallelo all’asse focale z e, come qualsia-si altro piano tangente, taglierà la superficie se-condo due generatrici appartenenti alle rispettiveschiere. Ognuna di queste generatrici, ruotandointorno all’asse z, genera un iperboloide rotondoche può essere ritrasformato nell’iperboloide ellit-

tico con una opportuna dilatazione (o contrazio-ne). La seconda schiera di generatrici dell’iperbo-loide è simmetrica della prima rispetto la piano xye, come tale, può essere immediatamente costruita(figura 2.29).

Riassumendo: le costruzioni che abbiamo descrit-te consentono di rappresentare scientificamente lasuperficie di un iperboloide a una falda partendo datre rette sghembe qualsiasi e di riconoscerne le pro-prietà principali: la presenza del centro e degli assi.

Possiamo ora brevemente discutere delle sezionipiane di questa superficie.

9 Quando diciamo ellissi e iper-boli, riferendoci alla sezione diuna superficie NURBS, inten-diamo curve che, confrontatecon quelle generate analitica-mente, restituiscono errori com-presi nella tolleranza.

Fig. 2.27

Fig. 2.28 L’iperboloide ellittico, fi-nito, insieme a quello rotondo chel’ha generato

Ricordiamo che, come per il cono retto, le sezionipiane di un iperboloide a una falda sono ellissi, pa-rabole e iperboli. Se prendiamo su un iperboloidecinque rette d’uno stesso sistema e per il centro I diquesta superficie facciamo passare cinque parallelea queste rette, il cono asintotico individuato da que-ste ultime ha tutte le generatrici parallele ad altret-tante generatrici dell’iperboloide.

Ammettendo questa proposizione come dimo-strata, e avendo costruito il cono asintotico di cuiconosciamo il vertice, e cinque rette date, potremo

riconoscere il tipo di curva che risulta dall’interse-zione dell’iperboloide con un piano. Il piano pas-sante per il vertice del cono, parallelo al piano di se-zione, può avere in comune con il cono solo il verti-ce, una generatrice (nel qual caso è tangente), o duegeneratrici (nel qual caso è secante). Le sezioni cor-rispondenti a questi tre casi sono ellissi, parabole oiperboli (figura 2.30).

Come abbiamo detto, tutte le sezioni piane del-l’iperboloide sono, come nel cono quadrico, ellissi,parabole o iperboli ma esistono anche due sistemi di


Fig. 2.28

175Superfici

Fig. 2.29 Le due schiere di gene-ratrici dell’iperboloide ellittico

piani paralleli che tagliano la superficie secondo cer-chi. Tutti i cerchi d’uno stesso sistema hanno i lorocentri su una retta che passa per il centro della su-perficie e che è inclinata rispetto ai piani di simme-tria. Per costruire le sezioni circolari dell’iperboloideellittico si considerano gli assi dell’ellisse di gola,che sono poi gli assi x e y della superficie (figura2.31). Sul piano individuato dal maggiore dei dueassi, asse x, e dall’asse focale z, si costruisce una sfe-ra di diametro eguale all’asse maggiore dell’ellissedi gola e centro I. Questa sfera, tangente all’iperbo-loide agli estremi A e B dell’asse x, taglia la superfi-cie secondo due cerchi: tutti i piani ad essi paralleli esecanti la superficie producono il medesimo effetto.

Prima di procedere oltre, conviene stabilire quiuna proprietà dell’iperboloide che sarà approfondi-ta nel paragrafo dedicato alla genesi proiettiva del-

le quadriche rigate: le generatrici di una schierastaccano sulle generatrici dell’altra punti che espri-mono il medesimo birapporto. Ciò significa che, sesi prendono in considerazione quattro qualsiasi ge-neratrici s1, s2, s3, s4 della schiera s, e una qualsiasigeneratrice tn della schiera t, le prime staccano sul-la seconda quattro punti A, B, C e D che formanoun birapporto (ABCD) che è caratteristico dell’iper-boloide considerato, non varia cioè al variare delle se della t, né varia invertendo i ruoli. Tra le generatri-ci delle due schiere intercede dunque una proietti-vità (figura 2.32).

2.3.5 ll paraboloide iperbolico

Come abbiamo detto, la sezione principale (xy) di uniperboloide ellittico è un’ellisse. La sezione principa-

Fig. 2.29

177Superfici

Fig. 2.31 La ricerca delle sezionicircolari dell’iperboloide ellittico

Fig. 2.32 Ogni generatrice del-l’iperboloide incontra tutte le altree le punteggiate staccate da unaschiera sull’altra sono proiettive

A differenza dell’iperboloide, che non può esserecostruito per interpolazione, come abbiamo vistonel paragrafo precedente, il paraboloide iperbolicopuò anche essere costruito immediatamente, comesuperficie rigata che si appoggia a due delle rettedate e alla giacitura del relativo piano direttore.

Come l’iperboloide, il paraboloide iperbolicopossiede tre assi triortogonali e tuttavia due di que-sti assi si trovano «all’infinito» e sono, perciò, duegiaciture. Per renderci conto di questa caratteristi-ca, ritorniamo con la mente alla trasformazioneproiettiva cui abbiamo fatto cenno all’inizio di que-sto paragrafo, rinviando al capitolo sulla genesiproiettiva delle quadriche per un approfondimen-to. Consideriamo un iperboloide e i suoi assi x, y ez, ricordando che x e y sono gli assi che incontranola superficie e caratterizzano l’ellisse di gola, men-tre z è l’asse che non incontra la superficie. Sia x, inparticolare, l’asse che passa per i fuochi dell’ellisse.Immaginiamo ora di traslare gli assi y e z, con il pia-no da essi individuato, lungo l’asse x, dalla posizio-ne che hanno fino «all’infinito». È evidente che,mentre il piano yz si allontana, l’ellisse di gola si al-lunga sempre più, fino a trasformarsi in una para-bola quando il suddetto piano yz si porta a coinci-dere con il piano improprio. A questo punto l’iper-boloide si è trasformato in un paraboloide iperboli-co. L’asse x è sempre al suo posto e incontra la su-perficie in un punto V che si dice vertice del parabo-loide. Restano anche al loro posto i due piani xz exy, che sono piani di simmetria ortogonale della su-perficie, mentre, come si è detto, y e z sono ora duegiaciture tra loro perpendicolari.

Ciò premesso, vogliamo costruire i suddetti ele-menti.

Come sappiamo le due schiere di generatrici delparaboloide sono parallele ai piani direttori. La di-rezione comune a questi due piani fornisce la dire-zione dell’asse x, che, d’ora in avanti, chiameremosemplicemente asse del paraboloide iperbolico.

Fig. 2.31

Fig. 2.32

Fig. 2.33 La costruzione di una ri-gata a piano direttore che si ap-poggia a tre rette sghembe

Fig. 2.34 Il paraboloide iperbolicogenerato da un quadrilaterosghembo e la costruzione della di-rezione del suo asse (a destra)


Fig. 2.33

Fig. 2.34

179Superfici

Fig. 2.35 Una sezione perpendi-colare alla direzione dell’asse forni-sce una iperbole e il centro di que-st’ultima individua l’asse della su-perficie

Per costruire questa direzione basta costruire, inun punto qualsiasi dello spazio, due piani incidentirispettivamente paralleli ai due piani direttori: ladirezione della retta intersezione di questi due pia-ni è la direzione dell’asse.

Bisogna ora descrivere la simmetria della super-ficie e, per far ciò, basta sezionarla con un qualsiasipiano a perpendicolare alla direzione dell’asse (fi-gura 2.35). Questo piano conterrà le direzioni degliassi impropri z e y e perciò due punti all’infinitodella curva sezione che, di conseguenza, sarà unaiperbole i. Queste direzioni sono quelle dell’assetrasverso (o focale) e dell’asse coniugato della sud-detta iperbole. Questi due assi sono assi di simme-tria ortogonale dell’iperbole, e individuano, con ladirezione prima costruita, i due piani di simmetriaortogonale del paraboloide iperbolico. Per costruirematerialmente questi piani, basta determinare ilcentro dell’iperbole. A questo scopo si traccianodue corde parallele, qualsiasi, a secare ciascuno dei

due rami dell’iperbole e si costruiscono le rette chepassano per i punti medi di queste corde: esse sonoincidenti nel centro C dell’iperbole. L’asse x del pa-raboloide passa per questo punto C, ha la direzionedata dall’intersezione dei piani direttori e intersecala superficie nel vertice V.

Restano da costruire l’asse trasverso dell’iperbo-le e il suo coniugato: a questo scopo si traccia uncerchio di centro C che taglia l’iperbole nei punti P,Q, R, S, vertici di un rettangolo: i lati di questo ret-tangolo forniscono le direzioni degli assi (figura2.36). L’asse focale taglia l’iperbole nei vertici dellastessa.

Due rette, che chiameremo convenzionalmente ye z, rispettivamente condotte per V, la prima, y, pa-rallela all’asse trasverso y’ dell’iperbole sezione e laseconda, z, parallela al coniugato z’, individuano,con x i due piani di simmetria ortogonale della su-perficie. Ciascuno di questi piani taglia la superficiesecondo una conica che possiede un punto «all’infi-

Fig. 2.35

Fig. 2.36 La costruzione degli altridue assi del paraboloide iperbolico

nito», vale a dire la direzione dell’asse. Queste duecurve, dunque, sono parabole e precisamente, le pa-rabole principali del paraboloide iperbolico.

Le due parabole come sopra costruite, scorrendol’una sull’altra, generano la superficie che può, inquesto modo essere estesa a piacere nello spazio.

Esiste una vista, o meglio, una proiezione orto-gonale del paraboloide iperbolico che mette subitoin evidenza le proprietà appena studiate: proiettan-do le generatrici della superficie secondo la direzio-ne dell’asse x su un piano con una giacitura qualsia-si, che noi per comodità assumiamo ortogonale al-l’asse, si ottengono due fasci di raggi dei due siste-mi di generatrici con le rispettive rette tutte paralle-le fra loro (figura 2.37). In particolare, quando il pia-no di proiezione è normale all’asse, le parabole

principali si proiettano secondo una coppia di retteperpendicolari fra loro (in rosso nella figura).

Tagliamo l’iperbole i costruita poc’anzi con unaqualsiasi retta t passante per il centro C e siano A eB i punti che detta retta stacca sulla curva e tA, e tB lerelative tangenti alla curva nei punti A e B (figura2.38). La retta AB è un diametro dell’iperbole, la ret-ta c condotta per il centro e parallela alle tangenti tA,e tB è il diametro coniugato di quello. Se ora sezio-niamo il paraboloide con i due piani individuatidall’asse x e dalle rette t e c, otteniamo ancora dueparabole coniugate che, scorrendo l’una sull’altra,generano il paraboloide. Un modo ancora più sem-plice per costruire coppie di parabole coniugateconsiste nel proiettare, su un piano perpendicolareall’asse del paraboloide, alcune generatrici apparte-


Fig. 2.36

Fig. 2.38 I diametri coniugati diuna iperbole sezione dell’iperbo-loide

Possiamo ora brevemente discutere delle sezionipiane di questa superficie.

Il paraboloide iperbolico ha, come sappiamo,due piani direttori. Le giaciture, ovvero le «rette al-l’infinito» di questi due piani sono due particolarigeneratrici, formate ognuna da una classe di puntiimpropri o direzioni dello spazio. Pertanto ognipiano di sezione incontra, in generale, queste duegeneratrici e dà luogo, perciò, a una sezione conicache possiede due punti «all’infinito», il che significache dà luogo a una iperbole.

Esiste una sola classe di piani che non sezionanoil paraboloide secondo iperboli, ma secondo para-bole e sono i piani paralleli all’asse x. La direzionedi quest’asse, infatti, è comune alle due giacituredei piani direttori e perciò un piano che la contengataglia le due generatrici «all’infinito» nel punto chehanno in comune, ovvero nella direzione che hannoin comune, dando luogo a una curva che ha un solopunto improprio, ovvero, come abbiamo detto, auna parabola.

2.3.6 Il paraboloide iperbolico equilateroConsideriamo un qualsiasi rettangolo ABCD. Sudue vertici opposti di questo rettangolo, ad esem-pio A e C innalziamo due segmenti AE, CF perpen-dicolari al piano del rettangolo e di eguale altezza.Costruiamo ora i segmenti BE e DF. Questi due seg-menti sono evidentemente eguali e individuanodue quadrilateri sghembi equilateri: EBFDE edEFDBE (figura 2.39). Ciascuno di questi due qua-drilateri genera una rigata quadrica che chiamere-mo paraboloide iperbolico equilatero o anche paraboloi-de iperbolico retto.

Il paraboloide iperbolico equilatero possiededue importanti proprietà:

• i suoi piani direttori sono tra loro perpendicola-ri, come si evince immediatamente dalla costru-zione;

• ogni generatrice forma, con le direttrici alle qua-li sia appoggia, coppie di angoli eguali; ogni cop-pia, tuttavia, ha una misura sua propria.


Fig. 2.38

183Superfici

Fig. 2.39 Il paraboloide iperbolicoequilatero

Fig. 2.40 Nel paraboloide iperbo-lico equilatero ogni generatrice in-contra le altre formando angolieguali

Questa seconda proprietà è meno evidente dellaprima. Per studiarla, consideriamo il paraboloideiperbolico generato dal quadrilatero EBFDE e i suoilati EB e DF come direttrici. Tagliando questi duelati con un fascio di piani paralleli al piano diretto-re individuato dai lati ED e BF, potremo procurarciquante altre generatrici desideriamo. Ebbene,ognuna di queste generatrici, di per sé presa, formacon le due direttrici considerate un medesimo an-golo caratteristico, ma gli angoli caratteristici dellevarie generatrici sono tutti diversi, fino al piano disimmetria, per poi ripetersi in una nuova serie (fi-gura 2.40).

Queste proprietà del paraboloide iperbolicoequilatero rendono assai semplice la costruzionedell’asse x e dei piani di simmetria (figura 2.41). Ba-sta tracciate le mediane del rettangolo sul quale èimpostata la superficie e innalzare su queste lineedue piani perpendicolari al piano d’imposta: questidue piani, paralleli ai piani direttori, si intersecanoin una retta che è l’asse x del paraboloide e sono pia-

Fig. 2.39

Fig. 2.40

185Superfici

Si noti, infine, che un paraboloide iperbolicoche abbia i piani direttori tra loro perpendicolari,non è necessariamente equilatero. Per verificarequesta affermazione basta ripetere la prima co-struzione innalzando, sui vertici opposti del ret-tangolo, due segmenti disuguali, invece che dieguale altezza.

2.3.7 La genesi proiettiva delle superfici rigatequadriche

Le superfici rigate del secondo ordine (quadriche)possono essere generate anche per via proiettiva,tramite la corrispondenza di due forme di primaspecie legate da una proiettività. Infatti:

• due fasci di piani in corrispondenza proiettiva sitagliano nelle rette di una superficie rigata qua-drica;

• i punti di due punteggiate che si corrispondonoin una proiettività individuano le rette di una ri-gata quadrica.

Questi due enunciati sono duali, come duali so-no le forme di prima specie, infatti il fascio di pianisi genera per proiezione, da un asse, dei punti diuna punteggiata e, viceversa, la punteggiata si ge-nera tagliano con una retta il fascio di piani. Perciòdue rigate, costruite come sopra, sono eguali: le ret-te intersezione di coppie di piani corrispondentipassano per i punti corrispondenti delle due pun-teggiate (figura 2.43).

Le rette sono generatrici della superficie rigata,gli assi dei due fasci sono direttrici della rigata.

Ricordiamo che, date nel piano tre coppie dipunti A’, B’, C’ e A”, B”, C” appartenenti a duepunteggiate distinte, è possibile costruire la proiet-tività che li fa corrispondere nel modo già illustrato(vedi il paragrafo 1.7 della parte prima del primovolume). Analogamente, date nello spazio due ret-

te punteggiate sghembe r’ e r” e, su di esse, tre cop-pie di punti corrispondenti A’, B’, C’ e A”, B”, C” èpossibile costruire la proiettività che intercede tra ledue punteggiate nel modo seguente (figura 2.44):

• si costruisce la retta che unisce due punti corri-spondenti, ad esempio, C’ e C”;

• su questa retta si stacca un punto S qualsiasi;• si costruiscono le rette A’A” e B’B”, le quali sono

sghembe, perché se fossero complanari anche ledue punteggiate lo sarebbero;

• si costruisce la retta r che passa per S e si appog-gia alle due rette sghembe A’A” e B’B”, questaretta è data dalla intersezione dei piani SA’A” eSB’B”;

• si costruisce infine il fascio di piani che ha per so-stegno la retta r: ogni piano di questo fascio ta-glia le due punteggiate r’ e r” secondo coppie dipunti corrispondenti.

In particolare, la corrispondenza proiettiva ge-nerata dal fascio che ha per sostegno r è una pro-spettività. Ora, è evidente che la costruzione sud-detta è anche la costruzione della rigata che ha perdirettrici le tre rette: r’, r” e r. Infatti, per ogni pia-no del fascio che ha la retta r per sostegno, restanoindividuati, su r’ ed r”, due punti P’ e P” che ap-partengono a una generatrice della rigata, la qua-le, a sua volta, taglia la retta r in un punto P. Per-ciò, anche la retta A’A” incontra l’asse r in un pun-to A, così come la retta B’B” incontra l’asse r in unpunto B.

Poniamo ora, per brevità s � (P, P’, P”), s’ � (A,A’, A”) e s” � (B, B’, B”). In altre parole chiamiamos la retta che allinea i tre punti P, s’ la retta che alli-nea ai tre punti A e s” la retta che allinea i tre puntiB. Appare ora evidente che le tre direttrici r, r’ r”danno luogo, per mezzo delle operazioni che abbia-mo illustrato, all’insieme delle generatrici s, ma cheè vero anche il contrario e cioè, che tre generatrici s

possono essere assunte come direttrici per dare luo-go, attraverso le medesime costruzioni a una schie-ra di generatrici r.

Una figura come quella che abbiamo descritto sidice serie rigata e la proprietà che abbiamo illustratosi riassume dicendo che:

• in una serie rigata una generatrice variabile de-termina, sopra due direttrici fisse, due punteg-giate proiettive;

• una generatrice variabile, proiettata da due di-rettrici fisse, genera due fasci proiettivi di piani.

Come si vede, i due enunciati sono duali.Osserviamo, infine, che all’interno di una schie-

ra, tutte le rette sono sghembe, non hanno alcunpunto in comune, mentre ogni retta della schiera in-contra in un punto tutte le rette dell’altra schiera (fi-gura 2.45).

La superficie generata nel modo suddetto è uniperboloide ellittico (o iperboloide a una falda). Si notiche, se gli assi dei due fasci di piani che generano larigata sono incidenti, la superficie è un cono qua-drico (figura 2.46).

Immaginiamo ora di costruire interamente i due


Fig. 2.43

Fig. 2.43 Due fasci di piani in cor-rispondenza proiettiva si taglianonelle generatrici di una rigata

187Superfici

fasci di piani che hanno, per assi, la retta r e la rettas, rispettivamente, e tagliamo questi fasci con unpiano. Questa sezione produce ancora due forme diprima specie e, precisamente, due fasci proiettivi dirette che hanno centro, rispettivamente, nei punti Red S che il piano ha in comune con i due assi r e s.Ebbene, si dimostra che le rette corrispondenti nel-la proiettività tra due fasci si incontrano nei punti diuna conica e che questa conica passa per i centri deidue fasci, dunque per R e per S (vedi paragrafo 4.24della seconda parte del primo volume). Perciò,qualsiasi sezione piana della rigata che abbiamo co-struito è una conica (propria o degenere), e la super-

ficie è una quadrica e come tale una retta dello spa-zio, che non appartenga a una delle due schiere didirettrici/generatrici, la incontra in due punti, di-stinti o coincidenti o non la incontra affatto.

Il metodo della rappresentazione matematicaconsente di verificare sperimentalmente questa im-portante proprietà11. Consideriamo tre generatricir, r’ e r” di una medesima schiera scelta tra le dueche descrivono una rigata quadrica e assumiamo ledue rette r’ e r” come assi sostegno di due fasci pro-iettivi di piani (figura 2.47). Tagliamo la retta r contre piani a’, b’, g’ del fascio che ha per sostegno r’ esiano A, B, C i relativi punti intersezione. Costruia-

11 Cfr. M. Docci, R. Migliari,Scienza della rappresentazione,Fondamenti e applicazioni dellageometria descrittiva, Nuova Ita-lia Scientifica, Roma 1992, p. 415.

Fig. 2.44

Fig. 2.44 La costruzione dellaproiettività che intercede tra le dueschiere di generatrici di un iperbo-loide rigato

mo ora i tre piani a”, b”, g” corrispondenti del fasciodi asse r”. Un qualsiasi piano d, distinto dai fasci, ta-glia i due fasci proiettivi generando due punti R’ eR” centri di due fasci di tre rette ciascuno in corri-spondenza proiettiva (figura 2.48). Queste rette siincontrano in tre punti M, N, O che, insieme a R’ edR” individuano la conica sezione, che può esserecostruita con i procedimenti noti (vedi il paragrafo4.24 della parte seconda del primo volume).

2.3.8 Alcune proprietà proiettive delle quadricherigate

Se da un punto qualunque V dello spazio, distintodalla superficie, si proiettano le generatrici di una ri-gata quadrica gobba, si ottengono i piani tangenti aun cono che ha il vertice nel medesimo punto V; se ilpunto V appartiene alla quadrica, si ottengono duefasci di piani aventi come assi le due rette generatricidella quadrica passanti per quel punto (figura 2.49).

Se da un punto da V, distinto, si conducono trepiani tangenti a una quadrica rigata, ciascuno diquesti piani individua una coppia di generatricicorrispondenti. I tre punti di contatto C, C’, C” deitre piani tangenti individuano un piano p il qualeinterseca la quadrica in una conica c. Se proiettiamola conica c, i punti C, C’, C” e le relative tangenti al-la conica dal punto V otteniamo un cono quadrico ei suoi piani tangenti. Questo cono si dice circoscrit-to alla quadrica rigata dal vertice V lungo la conica c.Quindi, il luogo geometrico dei punti di contattodei piani tangenti condotti da un punto V, distinto,a una quadrica rigata è una conica (vedi, ancora, lafigura 2.49).

Il piano tangente a una quadrica rigata in suopunto M è il piano che appartiene alle due genera-trici/direttrici che passano per quel punto. Perciò sipuò anche dire che il piano tangente a una rigataquadrica proietta, da una direttrice, la corrispon-dente generatrice dell’altra schiera (figura 2.50).


Fig. 2.45

Fig. 2.46

189Superfici

Fig. 2.45 L’iperboloide rigato ge-nerato per via proiettiva

Fig. 2.46 Se gli assi dei due fascidi piani che generano la rigata so-no incidenti, l’iperboloide degene-ra in un cono quadrico

Fig. 2.47 Le sezioni piane di unarigata che sia generata proiettiva-mente sono coniche

Fig. 2.48 Un qualsiasi piano tagliai due fasci proiettivi di piani che ge-nerano la rigata secondo fasci pro-iettivi di rette complanari, che si in-contrano nei punti di una conica, laquale passa sempre per i centri deidue fasci

Fig. 2.47

Fig. 2.48

Fig. 2.49 Proiezione delle genera-trici di una rigata quadrica da unpunto esterno

Se per il punto di contatto M di un piano tangen-te m a una quadrica rigata si fa passare un piano se-cante n, questo piano taglia la rigata secondo unaconica c e la retta intersezione dei piani m e n è la tan-gente alla conica nel punto M (figura 2.50).

I piani tangenti a una quadrica nei punti situatisopra una stessa generatrice formano un fascio dipiani proiettivo alla generatrice stessa nei loro ri-spettivi punti di contatto, ovvero a ogni piano delfascio corrisponde un determinato punto della ge-neratrice (figura 2.51).

Data una conica c come intersezione di due fasciproiettivi di raggi di centri S’ ed S”, esistono infinitequadriche rigate che hanno come sezione quella co-nica. Infatti, date nello spazio due rette sghembe

qualsiasi s’ ed s” che passino per i due centri S’ ed S”dei fasci proiettivi della conica, restano individuatidue fasci che generano una quadrica rigata e questaquadrica è, evidentemente, una delle infinite super-fici che si possono generare variando la direzionedelle due rette sghembe prima costruite (figura 2.52).

Sappiamo che la curva proiezione di un cerchio èuna conica e che due fasci di rette proiettivi s’inter-secano in una conica. Quindi una conica è il prodot-to di due fasci proiettivi. Il metodo della rappresen-tazione matematica consente di verificare speri-mentalmente che, dati due fasci di rette prospettivi,è possibile determinare una conica traslando e ruo-tando i due fasci nel piano. L’intersezione delle ret-te corrispondenti darà luogo ai punti della conica


Fig. 2.49

191Superfici

(vedi il paragrafo 4.29 della parte seconda del pri-mo volume).

La medesima proprietà appartiene a due forme diprima specie prospettive nello spazio. Per cui datidue fasci di piani prospettivi, ovvero riferiti alla me-desima retta punteggiata, questi danno luogo a unaquadrica rigata. È possibile traslarli e ruotarli libera-mente nello spazio e ottenere ancora un’altra quadri-ca rigata. Consideriamo tre rette sghembe qualsiasi r,s, t (figura 2.53). Prendiamo la retta s come la punteg-giata di riferimento e assumiamo i fasci prospettividi assi r e t. Disegniamo, come per il problema nelpiano, almeno quattro coppie di piani corrisponden-ti che passano per i punti A, B, C, D della punteggia-ta s. Una quadrica rigata è determinata da tre coppiedi piani corrispondenti, per cui conviene prenderealmeno un’altra coppia di piani per poter verificaresperimentalmente il teorema. L’intersezione dellecoppie di piani corrispondenti dà luogo a quattro

rette che sono quattro generatrici dell’iperboloide ri-gato, le due rette r e t sono le due direttrici. Conside-riamo ora i due fasci r e t, trasliamoli e ruotiamolinello spazio liberamente. Sapendo che due forme diprima specie proiettive rimangono tali se applichia-mo loro trasformazioni rigide, verifichiamo che ef-fettivamente questa proprietà si conserva. Rinomi-niamo gli assi dei due fasci nelle loro nuove posizio-ni nello spazio con le lettere r’ e t’ (figura 2.54). Tro-

Fig. 2.50 Il piano tangente a unaquadrica rigata è il piano individua-to dalle due generatrici che passa-no per il punto di contatto

Fig. 2.51 I piani tangenti a una ri-gata quadrica (non sviluppabile)nei vari punti di una sua generatri-ce formano un fascio proiettivo allageneratrice medesima

Fig. 2.50

Fig. 2.51

Fig. 2.52 Esistono infinite quadri-che rigate che passano per una co-nica data

Fig. 2.53 Due fasci di piani pro-spettivi danno luogo a una quadri-ca rigata


Fig. 2.52

Fig. 2.53

Fig. 2.55 Se due coniche noncomplanari hanno una tangente incomune, esse individuano un conoquadrico

Fig. 2.56 Se due coniche noncomplanari sono proiettive e han-no due punti uniti, allora le retteche uniscono coppie di punti corri-spondenti formano una serie rigatae descrivono un iperboloide rigatoo un cono quadrico

Fig. 2.57 Se due coniche noncomplanari hanno due punti in co-mune, esse individuano due coniquadrici

viamo le rette corrispondenti dei due fasci proiettivinelle loro nuove posizioni nello spazio. Per fare ciòbasta trovare le intersezioni dei piani corrisponden-ti. Per esempio la generatrice a’ sarà l’intersezionedei due piani a e a’corrispondenti nelle loro nuoveposizioni, e così via per le altre generatrici. È possibi-le verificare che i due fasci r’ e t’ individuano un nuo-vo iperboloide rigato. Allora, dati due fasci di piani pro-spettivi, è possibile ruotarli e traslarli liberamente nellospazio e ottenere sempre una quadrica rigata come prodot-to dei due nuovi fasci proiettivi.

Come abbiamo già detto (vedi paragrafo 1.7 esegg. del capitolo primo, parte prima, del primo vo-lume) le figure generate da una o più operazioni diproiezione e sezione restano legate dalla relazioneomografica (una proiettività in questo caso) che puòsempre essere ricostruita. Ad esempio, se da una fi-gura F si generano, per proiezione e sezione, le figu-re F’, F” … Fn, tra tutte queste figure intercede unaomografia. Perciò, le rigate quadriche generate pertrasformazione proiettiva di una prima specie sonotutte legate dalla medesima relazione. Ciò significache possono essere trasformate le une nelle altre. È

possibile allora trasformare per via proiettiva unostesso iperboloide rotondo in un altro iperboloidegenerico o in un paraboloide iperbolico.

Se due coniche, situate in piani differenti, hannoun punto in comune e condividono la tangente inquel punto, allora appartengono a un medesimocono quadrico (figura 2.55). Disegniamo due coni-che qualsiasi c e c’ che abbiano lo stesso punto dicontatto C e la stessa tangente t nel punto di contat-to. Si può trovare un medesimo piano tangente e larelativa generatrice a di contatto a partire da unpunto P qualsiasi della tangente t. Il piano tangenteè individuato dalle tangenti alle due coniche c e c’staccate dal punto P. La retta generatrice a di con-tatto passa per i due punti di contatto A e A’. Poi ba-sta tagliare le due coniche con un piano qualsiasipassante per la generatrice AA’, questo taglierà ledue coniche in altri due punti B e B’ che individua-no un’altra generatrice. Il punto d’intersezione del-le rette AA’ e BB’ dà il vertice del cono V che ha co-me direttrice una delle due coniche c o c’.

Se due coniche, situate in piani diversi, sono pro-iettive e hanno due punti uniti, allora le rette che


Fig. 2.55

195Superfici

uniscono coppie di punti corrispondenti formanouna serie rigata e descrivono un iperboloide rigato oun cono quadrico (figura 2.56). Consideriamo dueconiche c e c’ che abbiano due punti in comune A e B.Prendiamo sulle due coniche due coppie di punticorrispondenti a piacere CC’ e DD’: abbiamo cosìdeterminato una delle due figure anzidette. Nel casospecifico possiamo assumere le rette CC’ e DD’ co-me assi di due fasci proiettivi. Siccome gli assi sonosghembi la figura generata dalle coppie di piani cor-rispondenti è una serie rigata di un iperboloide riga-to. Se le rette CC’ e DD’ si tagliassero in un punto Vallora la figura generata sarebbe un cono quadrico.

E facile verificare che per due coniche c e c’ situa-te in piani differenti e aventi due punti A e B in co-mune passano due coni quadrici (figura 2.57). Pren-diamo un punto C1 sulla conica c e disegniamo latangente t fino a intersecare nel punto K la retta in-tersezione dei due piani contenenti le coniche. Sia-no i punti C’1 e C’2 i punti di contatto delle tangenti(dal punto K) alla linea c’ e siano i punti C1 e C2 ipunti di contatto delle tangenti alla linea c. È possi-bile disegnare i due coni che hanno rispettivamentei vertici nei punti V e V’. Infatti si possono conside-rare come coppie di punti corrispondenti sia i pun-ti C1 e C’1 e ottenere il primo cono di vertice V; op-pure considerare la coppia di punti C1 e C’2 e otte-nere il secondo cono di vertice V’.

2.3.9 Il sistema polare rispetto a una quadrica

È data una quadrica rigata nello spazio. Sia P unpunto qualunque non appartenente alla superficie(figura 2.58). Conduciamo per P una retta q a sega-re la superficie in due punti M ed N. Tagliamo laquadrica con un piano a passante per la retta MN alfine di ottenere una conica c. Disegniamo la rettapolare p della conica rispetto a P, assunto come po-lo. Questa retta, lo ricordiamo, può essere costruitacome quella che appartiene ai punti di contatto del-

Fig. 2.56

Fig. 2.57

Fig. 2.58 Polo e pia-no polare di una qua-drica rigata


Fig. 2.58

197Superfici

le tangenti condotte dal polo P alla conica c (vediparagrafo 4.15 del capitolo 4 parte seconda del pri-mo volume).

Il punto C, intersezione della retta PMN con lapolare p è il coniugato armonico di P rispetto allacoppia MN. La retta p, polare, è, anzi, il luogo geo-metrico dei punti che, insieme con P separano ar-monicamente le intersezioni della conica c con le se-canti condotte per P. Perciò la retta p si può costrui-re come quella che appartiene ai coniugati armoni-ci C anche senza condurre le tangenti alla conica daP e perciò anche se P si trova nella porzione di pia-no racchiuso dalla conica.

Se immaginiamo che P si avvicini alla conicascorrendo sulla retta p constatiamo facilmente che,nel momento in cui P tocca la conica, la polare siidentifica nella tangente alla conica nel punto dicontatto. E, più in generale, si conclude che, se P èesterno alla conica la polare è interna, se P è internola polare è esterna e se P è sulla conica la polare è latangente alla conica in P.

Le tangenti alla conica c nei punti M e N si incon-trano sulla retta p in un punto Q. Si dimostra che, sep passa per un qualsiasi punto Q, allora la retta po-lare q passa per P (legge di reciprocità di Plücker).

Tutto ciò premesso, immaginiamo di ripeterequesta costruzione per altre rette della stella che hacentro in P, come ad esempio la retta n. Potremo al-lora constatare che le relative polari pn delle conichesezione rispetto a P e i coniugati armonici di P ri-spetto ai punti intersezione di pn con la quadrica,giacciono tutti in un medesimo piano p’, che si dicepiano polare della quadrica rispetto al polo P. Nel ca-so di una quadrica gobba il piano polare p’ di unpunto P è sempre secante la superficie e la sega, pre-cisamente, nella conica i contorno apparente dellasuperficie rispetto al punto P. Riassumendo: datauna quadrica S e un punto P fuori di essa resta de-terminato un piano polare p’ che può essere defini-to come:

• il piano che contiene le polari, rispetto a P, delleconiche sezioni della superficie con i piani dellastella che ha centro in P;

• il piano che contiene i coniugati armonici C di Prispetto alla coppia di punti (M, N) che una rettaqualsiasi uscente da P stacca sulla quadrica.

Come già per la polarità nel piano, anche per lapolarità nello spazio si può dire che:

• se il polo P è esterno alla quadrica, il piano pola-re è secante;

• se il polo P è interno, il piano polare è esterno;• se il polo P appartiene alla quadrica, il piano po-

lare è tangente;• ogni punto P ha, rispetto alla quadrica, il relativo

piano polare p’ e viceversa ogni piano p’ ha il suopolo P, e se p’ è il piano polare di P, allora P è ilpolo di p’.

Ricordiamo che il piano tangente a una superfi-cie continua in suo punto M è unico ed è il luogogeometrico delle tangenti alle curve che apparten-gono alla superficie e passano per M. Ciò significache i piani tangenti alla superficie S, nei punti inter-sezione della polare con la superficie, passano perP, dato che appartengono alle tangenti condotte daP alla superficie.

Dunque, se si costruisce la sezione di una qua-drica con il piano polare e si conducono i piani tan-genti alla superficie nei punti della sezione medesi-ma, si ottiene una stella di piani di centro P.

E perciò P resta individuato quando si costrui-scano tre di tali piani tangenti.

È naturale che, come nel piano esiste il sistema po-lare di una conica direttrice, così, nello spazio, esiste ilsistema polare di una quadrica direttrice. Consideria-mo una conica c sezione di una quadrica S: è possi-bile concepire infinite terne LMN di punti, non in li-nea retta, a due a due coniugati nella polarità rispet-

to alla conica c e, quindi, alla quadrica S. Ognuna diqueste terne individua un triangolo polare del siste-ma (vedi paragrafo 4.17 del capitolo 4 parte secon-da del primo volume).

In modo analogo, possiamo concepire infiniteterne di piani, non passanti per una stessa retta, adue a due coniugati rispetto a una quadrica.Ognuna di queste terne forma un triedro polare nelquale ciascuno spigolo è coniugato con la facciaopposta.

Ancora, possiamo concepire infinite quaterne dipunti ciascuna delle quali appartiene a un tetraedropolare rispetto alla quadrica. Per costruire uno diquesti tetraedri, polare rispetto a una quadrica gob-ba S data, conviene, prima di tutto, tagliare con unpiano la quadrica data e costruire un qualsiasi trian-golo polare LMN rispetto alla sezione conica c (figu-ra 2.59). Poi si costruiscono gli altri tre piani polaririspetto ai tre vertici L, M, N. Per costruire il pianopolare rispetto al punto L basta costruire il contornoapparente l della quadrica data, da quel punto. Ilpiano individuato dal contorno apparente della co-nica l è il piano polare cercato. Una volta individua-ti i quattro piani è sufficiente trovare gli spigoli in-tersezioni fra questi per determinare tutti gli spigo-li e vertici CLMN del tetraedro polare. Questa figuragode delle seguenti proprietà:

• ogni vertice ha come piano polare la faccia oppo-sta; per esempio nella figura il vertice L ha comepiano polare il piano individuato dai tre puntiCMN individuato dalla conica l; il vertice M hacome piano polare la terna CNL, individuatodalla conica m e così via;

• due vertici e due facce, un vertice e uno spigolonon contente il vertice stesso, oppure una facciae lo spigolo non situato sulla faccia, sono coppiedi elementi coniugati rispetto alla quadrica;

• ogni triangolo del tetraedro è un triangolo pola-re rispetto alla quadrica.

2.3.10 Il centro, i diametri e gli assi di una quadrica

Dato un cerchio e una direzione del piano cui il cer-chio appartiene assunta come polo, la polare del cer-chio è un diametro e passa per il centro. Viceversa,dato un cerchio e la giaciture del piano cui appartie-ne, il polo di quella retta sarà il centro del cerchio.

Analogamente, data una quadrica e il piano al-l’infinito, il suo polo S è il centro della quadrica.Una retta che taglia in due punti A e B una quadri-ca è detta corda della superficie. Se la corda AB pas-sa per il centro, la retta è detta diametro della quadri-ca, e ogni piano passante per il centro si dirà pianodiametrale. Un piano diametrale qualsiasi sega laquadrica in una conica che ha il centro nel centrodella quadrica stessa. Questo vale se la conica sezio-ne ha un centro come l’iperbole o l’ellisse.

Enunceremo ora alcune importanti proprietà deidiametri e delle corde di una quadrica.

Ogni diametro è una retta il cui polo è una dire-zione, così come un piano diametrale ha come polouna direzione. La direzione di un diametro è polodel piano diametrale ad esso coniugato. A ogni dire-zione dello spazio corrisponde un piano diametraleconiugato. Un piano diametrale taglia a metà tuttele corde coniugate al piano stesso, ovvero le cordeche hanno la direzione del polo coniugato e sono,perciò, fra loro parallele. Tutti i diametri si tagliano ametà al centro della quadrica e se tre corde si taglia-no a metà nello stesso punto senza essere sullo stes-so piano, quel punto è il centro della superficie.Ogni piano diametrale taglia la quadrica in una co-nica che ha centro nel centro S della quadrica stessa.

Come abbiamo già detto, tutte le quadriche han-no tre piani di simmetria ortogonale, detti pianiprincipali, che si tagliano in tre assi principali orto-gonali fra loro: x, y e z.

Qui di seguito trascriviamo la dimostrazione esi-stenziale di Fiedler12, ricostruita nel metodo dellarappresentazione matematica:


12 Cfr. G. Fiedler, Trattato di Geo-metria Descrittiva, Successori LeMonnier, Firenze 1874, p. 342.

199Superfici

Fig. 2.59 Tetraedro polare di unaquadrica

Una superficie di secondo ordine in generale hatre e soltanto tre diametri tra loro perpendicolari,e il piano di due qualunque di questi è coniugatoal terzo. Tali diametri si dicono assi della superfi-

cie e si dicono vertici i loro estremi sulla superfi-cie. I piani diametrali determinati da due qua-lunque di questi tre assi si dicono piani principali,e rispetto ad essi i punti della superficie sono di-

Fig. 2.59

203Superfici

Fig. 2.65 La proiezione stereogra-fica di un iperboloide rigato

sul piano p’ secondo due fasci di rette che hannocentro nei due punti fondamentali A’ e B’.

Qualsiasi sezione piana della superficie, distintada O’, si proietta, perciò, in una conica che passa peri due punti fondamentali A’ e B’. Viceversa, qualsia-si conica del piano p’ che passi per i due punti A’ eB’ è l’immagine di una sezione piana della quadrica.

Le coniche sezione che passano per il punto O’sono contenute nel piano proiettante e hanno comeimmagine sul piano p’ la traccia di detto piano. Sic-come il punto O’ ha come immagine nel piano p’ ipunti della retta A’B’, si può dire che le coniche pas-santi per O’ sono proiettate in due rette spezzate,l’una è la traccia del piano proiettante e l’altra è laretta A’B’.

Questa costruzione rende bene ragione della re-

lazione proiettiva che intercede tra le due schiere digeneratrici di una superficie rigata quadrica.

2.3.12 Proprietà grafiche e proprietà metriche dellerigate sghembe

Come sappiamo, il piano tangente a a una rigata inun punto P contiene la generatrice g passante perquel punto. Ogni punto della retta g ammette, però,un diverso piano tangente alla superficie, e questipiani formano un fascio che ha la retta g come soste-gno o asse. Si viene così a stabilire una corrispon-denza tra i punti della generatrice g e i piani del fa-scio suddetto (figura 2.67).

È dunque possibile enunciare il seguente, note-vole, teorema di Chasles:

Fig. 2.65

Fig. 2.66 La rappresentazionestereografica di un iperboloide ri-gato

Fig. 2.67 I piani tangenti a una ri-gata nei punti di una generatriceformano un fascio che è in corri-spondenza proiettiva con i puntidella medesima generatrice (teore-ma di Chasles)


Fig. 2.66

Fig. 2.67

205Superfici

Fig. 2.68 Rigate quadriche rac-cordate lungo la stessa generatrice(in rosso nella figura)

I piani tangenti a una rigata generica nei punti diuna generatrice semplice g formano un fascioavente per asse la retta g; tale fascio è in corri-spondenza proiettiva con i punti della punteg-giata g.

Data una rigata generica S, si considera una ge-neratrice qualsiasi g su di essa. Esiste una infinitàdi superfici quadriche gobbe tangenti a S lungol’intera generatrice g, che si dicono raccordate14 (fi-

gura 2.68). Una qualsiasi di queste superfici ha duesistemi di generatrici, dell’uno fa parte la genera-trice che la superficie ha in comune con la rigata,mentre il sistema opposto è formato da tutte le ret-te tangenti alla rigata S che si appoggiano a g. Tredi queste generatrici, comunque prese, purché di-stinte, individuano un iperboloide G tangente a S.

Il teorema di Chasles possiede alcuni notevolicorollari15.

14 G. Fano, Lezioni di GeometriaDescrittiva, date nel R. Politecnicodi Torino, Torino 1925, p. 355. Fa-no utilizza il termine raccordateper dire tangenti.15 Queste proprietà sono statestudiate da Hachette e sonocommentate nel trattato del1828.Fig. 2.68

207Superfici

Fig. 2.70 Costruzione della rigataquadrica tangente a un’altra rigata

B e C (figura 2.73). Se, in particolare, la rigatagobba è un elicoide retto, la rigata osculatrice èun paraboloide iperbolico.

• Due rigate sghembe, aventi in comune una gene-ratrice non singolare, si toccano, in generale, innon più di due punti di questa generatrice. Se sitoccano in tre punti di una stessa generatrice, es-se saranno raccordate lungo l’intera generatrice.Infatti, se rigate S e G hanno in comune una gene-ratrice g, la punteggiata g è proiettiva a S come aG. Esisterà, allora, un fascio di piani proiettivo a

S e un altro proiettivo a G. Per cui si crea una cor-rispondenza proiettiva anche fra i due fasci dipiani che hanno come asse la stessa retta g. Inquesta proiettività non potranno esserci più didue punti uniti altrimenti si avrebbe un’identità,cioè per ogni punto di g si avrebbe lo stesso pia-no tangente del fascio sia per S che per G.

• Il cono circoscritto da un punto P a una rigatasghemba è descritto dall’inviluppo degli infinitipiani che proiettano le generatrici della rigata daquesto punto (figura 2.74).

Fig. 2.70

Fig. 2.71 La quadrica rigata tan-gente a un’altra rigata è, in genera-le, un iperboloide ellittico

Un piano asintoto di una rigata è il piano tangentead essa nel punto «all’infinito» delle singole gene-ratrici. Il piano asintoto passa per la generatrice g eper la tangente alla curva «all’infinito» della rigatanel punto «all’infinito». Si può anche dire che è ilpiano formato dalla retta g e dalla generatrice con-secutiva g’.

I piani asintoti inviluppano una superficie svi-luppabile detta sviluppabile asintotica che ha le gene-ratrici parallele alla rigata.

Ogni cono avente le generatrici parallele alle gene-

ratrici della rigata si dice cono direttore. Per ogni pun-to dello spazio esiste un cono direttore. Quando le ge-neratrici sono tutte parallele a un piano il cono si dicepiano direttore, e i piani asintoti sono piani direttori.

Costruiamo le normali n alla rigata sghemba Snei punti P di una sua generatrice qualsiasi g (figu-ra 2.75). Queste rette costituiscono le generatrici diun’altra rigata G che è ortogonale alla prima lungola generatrice g.

Cerchiamo ora di capire di quale superficie sitratti. Consideriamo un punto P sulla punteggiata


Fig. 2.71

Fig. 2.73 Fra gli infiniti iperboloidirigati tangenti a una rigata gobbalungo una generatrice g ve n’è unosolo osculatore


Fig. 2.73

211Superfici

Fig. 2.74 Il cono circoscritto a unarigata sghemba, da un punto di-stinto, è descritto dall’inviluppo de-gli infiniti piani che proiettano legeneratrici della rigata da questopunto

g: a ogni punto corrisponde un piano a tangente al-la superficie S nel punto considerato. Come sappia-mo, grazie al teorema di Chasles, esiste una corri-spondenza univoca tra il fascio di piani con asse g ela punteggiata g stessa. La normale n in un punto Pha direzione perpendicolare al piano tangente in P.Allora le normali saranno tutte perpendicolari a g eperciò parallele al piano normale a g. La direzioneQ delle normali al piano tangente in P si sposteràdunque lungo la giacitura normale a g e questa gia-citura g’• è dunque una generatrice del secondo si-stema di rette della superficie considerata. Possia-mo perciò concludere che la superficie descrittadalle normali a una rigata, qualche che essa sia, neipunti di una generatrice, è un paraboloide iperboli-co. Questo paraboloide iperbolico G si dice, breve-mente, paraboloide delle normali.

I due piani direttori di questo paraboloide sonotra loro perpendicolari. Infatti, la prima schiera ri-gata ha come piano direttore il piano d’ perpendico-lare alla retta g, come abbiamo visto (figura 2.75). Ilsecondo piano direttore, d’’, è parallelo alla g ed èortogonale al primo.

Data una rigata S, consideriamo due sue genera-trici g e h (figura 2.76). Con d indichiamo la retta diminima distanza fra le due generatrici e con O ilpunto comune a d e g. Allora variando la posizionedi h sulla superficie S, varierà anche la posizionedel punto O e della retta d. Quando h tende a coin-cidere con g, il punto O assume una posizione de-terminata su g e la retta d assume pure una determi-nata posizione e direzione nello spazio. Questa di-rezione sarà sempre perpendicolare alla g nel pun-to O e siccome dovrà essere perpendicolare pure al-la generatrice consecutiva g’, sarà pure ortogonaleal piano asintoto di g. Ebbene: il punto O è dettopunto centrale della generatrice g. La retta d è tan-gente alla superficie nel punto O e il piano formatodalla g e dalla d è il piano tangente nel punto cen-trale O che viene detto piano centrale della rigata.

Esiste un metodo per determinare il punto e ilpiano centrale di una rigata sghemba qualsiasi.Consideriamo il paraboloide delle normali lungo lageneratrice g della rigata S (figura 2.76). Il secondopiano direttore del paraboloide è parallelo al pianocentrale di g, perché questo è tangente in O alla S.Costruiamo un piano a, parallelo al secondo pianodirettore, passante per g. L’intersezione di a con S ècostituita da due linee: una è la generatrice g, l’altraè, in generale, una curva e, in particolare una gene-ratrice della seconda schiera, se la rigata S è quadri-ca. Il punto di contatto O del piano a con la rigata Sè il punto centrale della generatrice g. Il piano g tan-gente al paraboloide G in O contiene, oltre a g, lanormale al piano centrale e di conseguenza è unpiano asintoto di S. Questo piano è ortogonale a en-trambi i piani direttori del paraboloide e il suo pun-

Fig. 2.74

Fig. 2.75 Costruzione del parabo-loide delle normali a una rigatasghemba

to di contatto è il vertice del paraboloide. Conclu-dendo: il paraboloide delle normali a una rigatasghemba lungo una generatrice g ha come vertice ilpunto centrale O di g.

Si dice linea di stringimento il luogo geometricodei punti centrali delle generatrici di una rigata.

Questo nome esprime il fatto che i punti centralisono quelli nei quali la rette di una schiera sono piùvicine l’una all’altra, proprietà della quale è facilerendersi conto ricordando il ragionamento fattopoc’anzi in merito alla retta di minima distanze didue generatrici consecutive. Un elicoide retto ha


Fig. 2.75

213Superfici

come linea di stringimento l il suo asse. Un iperbo-loide di rivoluzione ha come linea di stringimentol il suo cerchio di gola (figura 2.77). Le generatricisono tutte ugualmente inclinate rispetto all’asse. Ipiani centrali sono paralleli all’asse e toccano la su-perficie nei punti del cerchio di gola. Una rigatasviluppabile ha come linea di stringimento il suospigolo di regresso.

2.3.13 Le superfici sviluppabili

Data una curva sghemba c, in ogni suo punto si puòcostruire la relativa tangente. Queste tangenti sono in-finite e descrivono un luogo geometrico e questo luo-go è una superficie sviluppabile. La direttrice c si dicespigolo di regresso della superficie, le infinite sue tan-genti sono le generatrici della superficie (figura 2.78).

Tre curve sono necessarie per dirigere il movi-mento d’una retta mobile che genera una superficierigata generale; ma quando questa superficie è svi-luppabile, due sono sufficienti. Vediamo perché:siano c e c’ le due curve date (figura 2.79). Stacchia-mo sulla prima un punto P qualsiasi che assumia-mo come il vertice d’un cono che ha per base la cur-va c’. Disegniamo la tangente t nel punto P alla cur-va c. Facciamo passare per questa tangente t un pia-no a tangente al cono: la retta di contatto r appartie-ne alla superficie sviluppabile. Per costruire il pia-no a, e la relativa retta di contatto r, è sufficiente co-struire il contorno apparente del cono da un puntoqualsiasi appartenente alla tangente t, purché siadistinto da P: questo contorno è la retta r, che, insie-me alla tangente t, individua il piano a. Ripetendoquesta costruzione per i punti successivi della cur-va c, si ottiene una serie di rette PQ, P2Q2, P3Q3,P4Q4 … che sono altrettante generatrici della super-ficie sviluppabile individuata dalle due curve date.

Consideriamo ora la curva c e una successione dipunti che appartengono a c, molto vicini tra loro: P1,P2, … Pn. Costruiamo la spezzata formata dai seg-

Fig. 2.76 Fig. 2.76 Costruzione del punto edel piano centrale di una rigatasghemba

Fig. 2.77 Linee di stringimento dielicoide retto (a sinistra) e di uniperboloide ellittico (a destra)

Fig. 2.77

Fig. 2.78 Una superficie sviluppa-bile e il suo spigolo di regresso

menti che uniscono punti successivi e i piani forma-ti dalle terne consecutive (figura 2.80). Queste ternedi punti individuano altrettanti piani. Se si fannoscorrere due punti di un terna, sulla curva, fino a far-li coincidere con il mediano (ad esempio P1 e P3 suP2), nel passaggio al limite le due rette descritte dal-la terna si confondono nella tangente t alla curva nelpunto P mediano, mentre i tre punti individuano ilpiano osculatore a alla curva nel medesimo punto.

Si può dire, perciò, che le tangenti di una curvasghemba sono le intersezioni delle coppie dei pianiosculatori che precedono e seguono immediata-mente il punto di contatto in un intorno piccolo apiacere. In quell’intorno, due tangenti consecutivesono incidenti nel punto di contatto e i punti dellacurva sono intersezioni delle terne consecutive dei

piani osculatori. Inoltre, sempre in quell’intorno, ilpiano osculatore è quello individuato dal punto dicontatto, dal precedente e dal successivo. Il pianoosculatore di una curva sghemba in un punto P è at-traversato dalla curva stessa nel punto considerato.

La tangente a una curva sghemba in suo punto Pappartiene al piano a osculatore in P (figura 2.80).

La normale n a una curva sghemba c, in un suopunto P, è la perpendicolare alla tangente apparte-nente al piano a osculatore nel punto P.

Si dice, inoltre, binormale, la retta b perpendicola-re al piano osculatore a una curva sghemba in unsuo punto P e, perciò perpendicolare tanto alla tan-gente t quanto alla normale n.

Riassumendo, data una curva sghemba c e unsuo punto P si può costruire la terna triortogonale


Fig. 2.78

215Superfici

Fig. 2.79 La costruzione della su-perficie sviluppabile che si appog-gia a due curve qualsiasi

Fig. 2.79

Fig. 2.80 Le generatrici successivedi una rigata sviluppabile e il pianoosculatore in un suo punto P

formata dalla tangente, dalla normale e dalla binor-male nel punto P.

thinkdesign• Strumenti /Info / Analisi /Locale con Inserisci dati

geometrici attivato.

Ora, come sappiamo, il piano tangente a una su-perficie in un suo punto P contiene tutte le tangentiche possono essere condotte, in quel punto, allecurve che appartengono alla superficie. Ne conse-gue che, in una superficie sviluppabile, il piano tan-gente alla superficie in P e il piano osculatore in P,coincidono. Si noti che questa proprietà è caratteri-stica delle superfici sviluppabili e non si estende al-le altre superfici.

In una superficie sviluppabile due generatriciconsecutive sono sempre incidenti (figura 2.81).

Possono darsi tre casi:

• due generatrici consecutive sono incidenti nelpunto di contatto con la direttrice, nel qual casola superficie è una sviluppabile generica, che puòspecializzarsi in vario modo, ad esempio nell’eli-coide sviluppabile;

• tutte le generatrici sono incidenti in un punto,nel qual caso la superficie è un cono;

• tutte le generatrici sono incidenti in una direzio-ne (o parallele a una direzione), nel qual caso lasuperficie è un cilindro.Le superfici sviluppabili hanno tre proprietà ca-

ratteristiche:


Fig. 2.80

219Superfici

Fig. 2.84 Genesi proiettiva del co-no e del cilindro2.3.14 I casi particolari di superfici sviluppabili: co-

ni e cilindri

I coni e i cilindri appartengono a una particolareclasse di superfici sviluppabili nelle quali lo spigo-lo di regresso degenera in un punto, il vertice V, nelcaso del cono, o in una direzione, nel caso del cilin-dro. Coni e cilindri ammettono una semplice gene-si proiettiva: proiettando una direttrice c da unpunto V qualsiasi, non appartenente al piano in cuigiace la direttrice, si ottiene un cono; proiettando lamedesima linea secondo una direzione, distintadalla giacitura del piano della direttrice, si ottieneun cilindro (figura 2.84).

I punti e le rispettive tangenti della direttrice ge-nerano, nella proiezione, le generatrici del cono e irispettivi piani tangenti.

Due generatrici successive formano un pianotangente e due piani tangenti successivi s’interseca-no in una generatrice.

Il cono può anche essere generato dal movimen-to di una retta che, all’interno della stella cui appar-tiene, si muove secondo una determinata legge. Lafigura duale è data da un piano che, all’interno del-la stella di piani cui appartiene, si muove invilup-pando la superficie.

Le sezioni piane di un cono, non passanti per ilvertice, sono tutte legate da una prospettività cheha centro nel vertice. Nel cilindro, invece, tutte lesezioni piane sono legate da una affinità.

Dato un cono di vertice V e direttrice qualsiasi,tagliamolo con due piani a e a’ (figura 2.85). Questesezioni determinano due curve prospettive c e c’. Laretta u intersezione dei due piani a e a’ è l’asse della

Fig. 2.84

Fig. 2.85 Prospettività tra le sezio-ni piane di una cono

prospettività, mentre il vertice V è il centro dellaprospettività. Una retta r, appartenente al primopiano a, che taglia la curva c in due punti A e B e in-terseca l’asse u dell’omologia nel punto R, deve ave-re la sua corrispondente r’ sul piano a’, che taglia lacurva c’ nei corrispondenti punti A’ e B’. I punti AA’e BB’ sono allineati con il vertice V del cono e appar-tengono, perciò, alle due generatrici a e b, che passa-no per i punti considerati. Le tangenti t e t’ alle duecurve nei punti corrispondenti come A ed A’ si in-tersecano sull’asse dell’omologia nel punto T.

2.3.15 Sviluppo del cono e del cilindro sopra unpiano

Il passaggio al limite che abbiamo descritto in gene-rale per le superfici sviluppabili, e che dimostra sial’incidenza delle generatrici che la sviluppabilitàdella superficie nel piano, assume particolare evi-denza nel caso del cono e in quello del cilindro.

Se consideriamo una sola falda, infatti, il conopuò essere assimilato a una piramide le cui facce so-no piccole a piacere, ed è evidente che queste faccepossono essere distese nel piano aprendole in corri-


Fig. 2.85

Fig. 2.87 La conservazione degliangoli e delle distanze nello svilup-po del cono

due lembi corrispondenti lungo quella generatrice.Inoltre è opportuno limitarsi a porzioni della super-ficie che, una volta sviluppate, non ricoprano più diuna volta nessuna parte del piano. Può accadere, in-fatti che, continuando a sviluppare il cono sul pianointorno al vertice V, si ricopra due volte la medesi-ma parte del piano e si sovrappongano, così, l’unasull’altra, porzioni della superficie sviluppata.

Come abbiamo visto, nella rappresentazionematematica lo sviluppo di una superficie è opera-zione immediata; è però necessario esercitare alcu-ni controlli. Ad esempio, quando si fa l’operazioneinversa e cioè si proiettano le linee sviluppate nelpiano sulla superficie conica, bisogna fare in modoche la lunghezza delle linee rientri nei bordi dellasuperficie, in modo da garantire la corrispondenzae non creare ambiguità di nessun tipo. Come sap-

piamo, infatti, il computer non è in grado di gestireentità geometriche indefinitamente estese.

Sono date la superficie conica G e il suo sviluppopiano G’. I tre bordi s’, t’, d’ dello sviluppo corrispon-dono alla direttrice d e alle generatrici s e t del cono(coincidenti se la superficie è chiusa) (figura 2.87).

Tracciamo sulla superficie sviluppata un trian-golo i cui lati a’, b’ e c’ hanno lunghezze nella pro-porzione:

a’ : 3 � b’ : 4 � c’ : 5.

Si tratta, dunque, di un triangolo rettangolo in A’.Il triangolo abc che corrisponde ad a’b’c’ e ap-

partiene al cono, ha i lati che sono segmenti di geo-detiche le cui lunghezze stanno nel suddetto rap-porto ed è rettangolo in A.


Fig. 2.87

223Superfici

Fig. 2.88 Lo sviluppo della curvache un cono ha in comune con unasfera centrata nel suo vertice è unarco di circonferenza

Fig. 2.89 Le rette tracciate sullospianamento di una superficie cilin-drica sono in generale geodetichedella sviluppabile e, nel caso di uncilindro rotondo, sono anche losso-dromie

Ricordiamo che l’angolo tra due curve a e b chesi incontrano in un punto A è l’angolo a formatodalle rispettive tangenti in quel punto.

Consideriamo ora un cono generico (figura 2.88).Tagliamo questo cono con una sfera che abbia ilcentro nel vertice V del cono. La sfera ha in comunecon il cono una curva gobba, del quart’ordine, i cuipunti sono tutti equidistanti da V e, dunque, si tra-sforma, nella superficie sviluppata, in un arco dicirconferenza di centro V’ e di raggio r eguale alraggio della sfera.

Tutte le considerazioni di carattere generalesvolte sin qui possono essere estese al caso del cilin-dro, inoltre, in questo caso, non avviene mai che lasuperficie sviluppata ricopra sé stessa.

Come per il cono, le linee rette tracciate sulla su-perficie sviluppata si trasformano nelle geodetiche Fig. 2.88

Fig. 2.89

References 1. ASCHIERI, Ferdinando. Geometria descrittiva dello spazio. Hoepli, Milano. 1895. 2. ASCHIERI, Ferdinando. Geometria Proiettiva. Lezioni di Ferdinando Aschieri, Milano. 1888. 3. CHASLES, Michel. Aperçu Historique sur l’origine et le développement des méthodes en Géométrie. Bruxelles: M. Hayez,

Imprimeur de l’Académie Royale, 1837. 4. FALLAVOLLITA, Federico. Le superfici rigate: una rilettura del Traité de géométrie descriptive di Hachette. In DE CARLO,

Laura (a cura di). Informatica e fondamenti scientifici della rappresentazione. Vol. 1 - nuova serie. Roma: Gangemi, 2007, pp. 111-122. ISBN 978-88-492-1323-2.

5. FALLAVOLLITA, Federico. Le superfici rigate e le superfici sviluppabili. Una rilettura attraverso il laboratorio virtuale. Tesi di Dottorato di Scienza della Rappresentazione e del Rilievo dell’Architettura. Sapienza Università di Roma: Dipartimento di Storia, Disegno e Restauro dell'Architettura, 2008.

6. FIEDLER, William. Trattato di geometria descrittiva, a cura di Antonio Sayno ed Ernesto Padova, Firenze. 1874. 7. GHEORGHIU, A. and DRAGOMIR, V. Geometry of structural Forms. Applied Science Publisher LTD, Bucarest. 1978. 8. HACHETTE, Jean Nicolas Pierre. Traité de géométrie déscriptive. Paris: Corby, 1822, pp.283-286. 9. HACHETTE, Jean Nicolas Pierre. Rapport fait à la classe des Sciences Physique et Mathématiques de l’Institut [...]. In

Correspondance sur l’ École Royale Polytechnique, à l’usage des élèves de cette École, volume III. Paris: Imprimerie de M.me V. Courcier, 1816, pp. 234-237.

10. HILBERT, David. Geometria intuitiva. Boringhieri, Torino. 1972. 11. KLINE, Morris. 1991. Storia del pensiero matematico, dall’antichità al settecento, volume I. Torino: Einaudi. 12. LORIA, Gino. Storia della geometria descrittiva dalle origini ai giorni nostri. Milano: Hoepli, 1921. 13. MIGLIARI, Riccardo. Geometria dei modelli. Kappa edizioni, Roma. 2003. 14. MIGLIARI, Riccardo. Rappresentazione come sperimentazione. In Ikhnos, Analisi grafica e storica della rappresentazione.

Lombardi, Siracusa. 2008. 15. MONGE, Gaspard. Géométrie Descriptive. 1795 (riprod. anastatica, Sceaux: Jacques Gabay, 1989. ISBN: 2-87647-065-9). 16. SALVATORE, Marta. La “stereotomia scientifica” in Amedée François Frézier. Prodromi della geometria descrittiva nella

scienza del taglio delle pietre. Tesi di Dottorato di Ricerca in Rilievo e Rappresentazione dell’Architettura e dell’Ambiente. Firenze, 2008.

17. SELLER, Giovanni. Geometria descrittiva, elementi ed applicazioni. Milano: Hoepli, 1946.

Le superfici rigate - fallavollita.eu · Le superfici rigate . Federico Fallavollita . Abstract ....

Documents

Transcript of Le superfici rigate - fallavollita.eu · Le superfici rigate . Federico Fallavollita . Abstract ....