1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر...
-
Upload
arturo-langridge -
Category
Documents
-
view
240 -
download
2
Transcript of 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر...
![Page 1: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/1.jpg)
1
سیستمهای کنترل خطی
1389پاییز
بسم ا... الرحمن الرحيم
دکتر حسين بلندي- دکتر سید مجید اسما عیل زاده
![Page 2: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Recap.
• Steady State Error• Stability• Routh Horowitz Method
![Page 3: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Root Locus
The root locus is a plot of the roots of the characteristic equation of the closed-loop system as a function of the gain of the open-loop transfer function.
This graphical approach yields a clear indication of the effect of gain adjustment.
INTRODUCTION:
![Page 4: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/4.jpg)
4
• Performance (stability and response) of a closed-loop system (feedback system) depends on its pole locations.
• In feedback control system design, it is usually necessary to adjust one or more parameters to achieve desired pole locations for the closed-loop system.
• Root locus is a plot of closed-loop system pole locations when the gain K is varied.
• A graphical technique exists for plotting the root locus which does not involve calculating the roots of a closed-loop polynomial.
• Root locus is a powerful graphical tool for analysis and design of feedback control systems.
Root Locus
![Page 5: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/5.jpg)
5
i.e; A specific technique which shows how changes in one of a system’s parameter
(usually the controller gain, K)
will modify the location of the closed-loop poles
in the s-domain.
![Page 6: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Graphical Evaluation )Hostetter):
A rational function
1 2
1 2
( ) m
n
s z s z s zF s K
s p s p s p
When evaluated at a specific value of the variable , is:0s s
0 1 0 2 00
0 1 0 2 0
( ) m
n
s z s z s zF s K
s p s p s p
![Page 7: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/7.jpg)
7
On a pole-zero plot, suppose a directed line segment is drawn from the position of a pole, say to the value at which the function is to be evaluated.
0s1p
The segment has length and makes the angle With the real axis.
0 1s p
As shown below, at a root s1
10 ps
![Page 8: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Thus:
0 1 0 2
0 1 0 2
0 1 0 2
0
0 1 0 2
...( )
...
j s z j s z
j s p j s p
s z e s z eF s K
s p e s p e
00
0
( )
product of the length of the directed
line segments from the zero to sF s K
product of the length of the directed
line segments from the poles to s
00
sum of the angles of the directed line segments from zeros to s( )
sum of the pole angles 180 if k is negativeF s
![Page 9: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Consider the system:
Calculation of Magnitude and Angles (Ogata)
1
1 2 3 4
2 3
( ) ( )
where and are complex-conjugate poles.
s zG s H s K
s p s p s p s p
p p
1 1 2 3 4
1
1 2 3 4
( ) ( )
( ) ( )
G s H s
KBG s H s
A A A A
![Page 10: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Definition
01 sHsKG
• The closed-loop poles of the negative feedback control:
are the roots of the characteristic equation:
01 sHsKG
The root locus is the locus of the closed-loop poles when a specific parameter (usually gain, K)
is varied from 0 to infinity.
![Page 11: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Root Locus Method Foundations
• The values of s in the s-plane that make the loop gain KG(s)H(s) equal to -1 are the closed-loop poles
(i.e. )
• KG(s)H(s) = -1 can be split into two equations by equating the magnitudes and angles of both sides of the equation.
101 sHsKGsHsKG
![Page 12: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Root Locus for Feedback Systems
magnitude conditions angle conditions
![Page 13: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Angle and Magnitude Conditions
Independent of K
,,,l 210
,,,l 210
12180
1
12180
1
1
0
lsHsG
KsHsG
lsHsKG
sHsKG
sHsKG
o
![Page 14: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/14.jpg)
14
APPLICATION OF THE MAGNITUDE AND ANGLE CONDITIONS:
Once the open-loop transfer function G(s)H(s) has been determined and put into the proper form, the poles and zeros of this function are plotted in the S plane.
As an example, consider:
with the damping ratio < 1, the complex-conjugate poles are:
![Page 15: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/15.jpg)
15
The plot of the poles and zeros is shown in bellow:
![Page 16: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/16.jpg)
16
![Page 17: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/17.jpg)
17
magnitude conditions:
angle conditions:
All angles are considered positive, measured in the counter clock wise sense.
![Page 18: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/18.jpg)
18
PLOTTING ROOTS OF A CHARACTERISTIC EQUATION:
Example1 : position-control system
![Page 19: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Example1 (Continue) : position-control system
![Page 20: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Example1 (Continue) : position-control system
![Page 21: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Example1 (Continue) : position-control system
![Page 22: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Example1 (Continue) : position-control system
These curves are defined as the root-locus plot of
![Page 23: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Example1 (Continue) : position-control system
Corresponding to the selected roots there is a required value of K that can be determined from the plot . When the roots have been selected, the time response can be obtained.
The value of K is normally considered to be positive. However, it is possible for K to be negative.
For an increase in the gain K of the system, analysis of the root locus reveals the following characteristics:
![Page 24: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Example1 (Continue) : position-control system
![Page 25: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/25.jpg)
25
simple second-order system:
A zero is added to the simple second-order system:
QUALITATIVE ANALYSIS OF THE ROOT LOCUS:
Compare
![Page 26: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/26.jpg)
26
If a pole, instead of a zero, is added to the simple second-order system,the resulting transfer function is:
root locus of the closed-loop control system
![Page 27: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/27.jpg)
27
root-locus configurations for negative feedback control systems
?
![Page 28: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Example2:
Determine the locus of all the closed-loop poles of C(s)/R(s), for
![Page 29: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
System: sysGain: 0.35Pole: -1.51 + 1.72e-008iDamping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 1.51
System: sysGain: 0Pole: -5Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 5
System: sysGain: InfPole: -4Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 4
System: sysGain: 44Pole: -1.93 + 6.42iDamping: 0.288Overshoot (%): 38.8Frequency (rad/sec): 6.71
>> sys = zpk( -4, [-1 -2 -5],1) Zero/pole/gain: (s+4)----------------------(s+1) (s+2) (s+5)
>> rlocus(sys)
Rlocus in MATLAB:
![Page 30: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/30.jpg)
30
GEOMETRICAL PROPERTIES (CONSTRUCTION RULES):
To facilitate the application of the root-locus method, the following rules are established for K > 0.
These rules are based upon the interpretation of the angle condition and an analysis of the characteristic equation.
These rules can be extended for the case where K < 0.
These rules provide checkpoints to ensure that the solution is correct.
which provides a qualitative idea of achievable closed-loop system performance.
![Page 31: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Rule 1: Number of Branches of the Locus
![Page 32: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/32.jpg)
32
![Page 33: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/33.jpg)
33
• RL starts from n poles (k=0)• RL ends at m zeroes (k=infinity)• # of branches= max( n, m)
![Page 34: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/34.jpg)
34
![Page 35: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/35.jpg)
35
![Page 36: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/36.jpg)
36
![Page 37: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Rule 2: Real-Axis Locus
![Page 38: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/38.jpg)
38
![Page 39: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/39.jpg)
39
• The locus includes all points along the real axis to the left of an odd number of poles plus zeros of GH
![Page 40: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/40.jpg)
40
![Page 41: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/41.jpg)
41
![Page 42: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/42.jpg)
42
![Page 43: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Rule 3: Asymptotes of Locus as s Approaches Infinity
![Page 45: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Rule 3(continue):
![Page 46: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Rule 4: Real-Axis Intercept of the Asymptotes
![Page 47: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Rule 5: Breakaway Point on the Real Axis
breakaway pointbreakin point
![Page 48: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/48.jpg)
48
The breakaway and break-in points can easily be calculated for an open-loop pole-zero combination for which
the derivatives of W(s)=-K
As an example, if
then
Multiplying the factors together gives
![Page 49: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/49.jpg)
49
by taking the derivative of this function and setting it equal to zero, the points can be determined
or
![Page 50: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Rule 6: Complex Pole (or Zero): Angle of Departure
![Page 51: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/51.jpg)
51
In a similar manner the approach angle to a complex zero can be determined
![Page 52: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Rule 7: Imaginary-Axis Crossing Point
![Page 53: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Rule 7(continue):
![Page 54: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Learning by doing Example
Sketch the root locus of the following system:
![Page 55: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/55.jpg)
55
#1Assuming n poles and m zeros for G(s)H(s):
• The n branches of the root locus start at the n poles.
• m of these n branches end on the m zeros• The n-m other branches terminate at infinity
along asymptotes.
First step: Draw the n poles and m zeros of G(s)H(s) using x and o respectively
![Page 56: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/56.jpg)
56
Draw the n poles and m zeros of G(s)H(s) using x and o respectively.
• 3 poles: p1 = 0; p2 = -1; p3 = -2
• No zeros
21
1
ssssHsG
![Page 57: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Draw the n poles and m zeros of G(s)H(s) using x and o respectively.
• 3 poles: p1 = 0; p2 = -1; p3 = -2
• No zeros
21
1
ssssHsG
![Page 58: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/58.jpg)
58
#2
• The loci on the real axis are to the left of an ODD number of REAL poles and REAL zeros of G(s)H(s)
Second step: Determine the loci on the real axis. Choose a arbitrary test point. If the TOTAL number of both real poles and zeros is to the RIGHT of this point is ODD, then this point is on the root locus
![Page 59: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/59.jpg)
59
Determine the loci on the real axis:
• Choose a arbitrary test point.
• If the TOTAL number of both real poles and zeros is to the RIGHT of this point is ODD, then this point is on the root locus
![Page 60: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Determine the loci on the real axis:
• Choose a arbitrary test point.
• If the TOTAL number of both real poles and zeros is to the RIGHT of this point is ODD, then this point is on the root locus
![Page 61: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/61.jpg)
61
#3Assuming n poles and m zeros for G(s)H(s):
• The root loci for very large values of s must be asymptotic to straight lines originate on the real axis at point:
radiating out from this point at angles:
Third step: Determine the n - m asymptotes of the root loci. Locate s = α on the real axis. Compute and draw angles. Draw the asymptotes using dash lines.
mn
lo
l
12180
mn
zps m
in
i
![Page 62: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Determine the n - m asymptotes:• Locate s = α on the real axis:
• Compute and draw angles:
• Draw the asymptotes using dash lines.
13
210
03321
ppp
s
mn
ll
12180
0
0
1
00
0
18003
112180
6003
102180
,,,l 210
![Page 63: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/63.jpg)
63
Determine the n - m asymptotes:• Locate s = α on the real axis:
• Compute and draw angles:
• Draw the asymptotes using dash lines.
13
210
03321
ppp
s
mn
ll
12180
0
0
1
00
0
18003
112180
6003
102180
,,,l 210
![Page 64: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/64.jpg)
64
Breakpoint Definition
• The breakpoints are the points in the s-domain where multiples roots of the characteristic equation of the feedback control occur.
• These points correspond to intersection points on the root locus.
![Page 65: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/65.jpg)
65
#4Given the characteristic equation is KG(s)H(s) = -1
• The breakpoints are the closed-loop poles that satisfy:
Fourth step: Find the breakpoints. Express K such as:
Set dK/ds = 0 and solve for the poles.
0ds
dK
.sHsG
K1
![Page 66: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Find the breakpoints.
• Express K such as:
• Set dK/ds = 0 and solve for the poles.
4226057741
0263
21
2
.s,.s
ss
sssK
sss)s(H)s(G
K
23
211
23
![Page 67: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/67.jpg)
67
Find the breakpoints.
• Express K such as:
• Set dK/ds = 0 and solve for the poles.
4226057741
0263
21
2
.s,.s
ss
sssK
sss)s(H)s(G
K
23
211
23
![Page 68: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/68.jpg)
68
#5Assuming n poles and m zeros for G(s)H(s):
• The n branches of the root locus start at the n poles.
• m of these n branches end on the m zeros• The n-m other branches terminate at infinity
along asymptotes.
Last step: Draw the n-m branches that terminate at infinity along asymptotes
![Page 69: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/69.jpg)
69
Applying Last Step
Draw the n-m branches that terminate at infinity along asymptotes
![Page 70: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Points on both root locus & imaginary axis?
• Points on imaginary axis satisfy:
• Points on root locus satisfy:
• Substitute s=jω into the characteristic equation and solve for ω.
js jω?
- jω
01 sHsKG
20 or
![Page 71: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/71.jpg)
71
EXAMPLE : ROOT LOCUS
![Page 72: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/72.jpg)
72
EXAMPLE (continue): ROOT LOCUS
![Page 73: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/73.jpg)
73
EXAMPLE (continue): ROOT LOCUS
![Page 74: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/74.jpg)
74
EXAMPLE (continue): ROOT LOCUS
![Page 75: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/75.jpg)
75
EXAMPLE (continue): ROOT LOCUS
![Page 76: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/76.jpg)
76
EXAMPLE (continue): ROOT LOCUS
![Page 77: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/77.jpg)
77
EXAMPLE (continue): ROOT LOCUS
![Page 78: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/78.jpg)
78
EXAMPLE (continue): ROOT LOCUS
![Page 79: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/79.jpg)
79
Example of an application of the root-locus method
The systematic application of the for the construction of a root locus is shown in the following non-trivial example for the open-loop transfer function :
40122
1)()(
20
ssss
sksHsG
The degree of the numerator polynomial is m=1. This means that the transfer function has one zero (s=-1). The degree of the denominator polynomial is n=4 and we have the four poles (s=0, s=-2 s=-6+2j, s=-6-2j). First the poles (x) and the zeros (o) of the open loop are drawn on the S plane as
![Page 80: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/80.jpg)
80
40122
1)()(
20
ssss
sksHsG
Values of are in red 0k
![Page 81: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/81.jpg)
81
We have (n-m=3) branches that go to infinity and the asymptotes of these three branches are lines which intercept the real axis according to rule. the crossing is at :
33.4
3
16620
a
the slopes of the asymptotes are:
3,,3
3
12180
pk
The asymptotes are shown in Figure as blue lines:
![Page 82: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/82.jpg)
82
![Page 83: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/83.jpg)
83
Using Rule 2 it can be checked which points on the real axis are points on the root locus. The points -1<s<0 and s<-2 belong to the root locus, because to the right of them the number of poles and zeros is odd.
According to rule 4 breakaway and break-in points can only occur pairwise on the real axis to the left of -2.
68.31
Bs
47.51
Bs
866.076.04,3
jsB
The real roots and are the
positions of the breakaway and the break-in point
68.31
Bs 47.51
Bs
0ds
dK
![Page 84: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/84.jpg)
84
The angle of departure of the root locus from the complex pole at can be determined from
jsp 263
8.661808.2463 p
)12(1802.1586.1614.153903 kp
![Page 85: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/85.jpg)
85
40122
1)()(
20
ssss
sksHsG
0k
![Page 86: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/86.jpg)
Breakaway Point Example
Consider the following loop transfer function.
Real axis loci exist for thefull negative axis.
Asymptotes: angles
jw
sXX
–4X
–2
–2j
2j
+1
60°
asymptotes
23)()(
ss
ksHsG
5,,3
3
12ppp
pk
5p
23
0)033(
a
![Page 87: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/87.jpg)
Breakaway Point Example
Determine the breakaway points from
then
jw
sXX
–4X
–2
–2j
2j
+1
3,1
0)3)(1(342
--=
=++=++
s
ssss
0)96(
)9123(
96)3(
223
2
232
=++
++-=
úû
ùêë
é
++=ú
û
ùêë
é
+
sss
ssK
sss
K
ds
d
ss
K
ds
d
![Page 88: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/88.jpg)
Root Locus Plot Example
Loop Transfer function:
Roots:s = 0, s = –4, s = –2 4j
Real axis segments:between 0 and –4 .
Asymptotes:
angles = 2
4)0224( -=----=as
47
,4
5,
43,
404)12( =
-+k ppppp
asymptotes
jw
sX
–4X
–2
–2j
2j
+1
45°
4j
–4jX
X
2044)()(
2
ssss
ksHsG
![Page 89: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/89.jpg)
Root Locus Plot Example
Breakaway points:
Three points that breakaway at 90° .
solving,
jw
sX
–4X
–2
–2j
2j
+1
45°
4j
–4jX
X
2
0
80368
8072244
80368
2234
23
234
ssss
sssk
ssss
k
ds
d
jsb 45.22,2
![Page 90: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/90.jpg)
Root Locus Plot Example
The imaginary axis crossings:
Characteristic equation
Routh table
s4 1 36 K
s3 8 80 0
s2 26 K 0
s 80-8K/26 0 0
s0 K 0 0
Condition for critical stability80-8K/26 > 0 or K<260
The auxiliary equation26 s 2 + 260 = 0solving
080368 234 =++++ Kssss
jjs 16.310 ±=±=
![Page 91: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/91.jpg)
The final plot is shown on the right.
What is the value of the gain K corresponding to the breakaway point at
Root Locus Plot Example
sX
–4X
–2
–2j
2j
4j
–4jX
X
3.16j
jw
?45.22 jsb
![Page 92: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/92.jpg)
From the general magnitude condition the gain corresponding to the point s1 on the loci is
For the point s1 = –2 + 2.45j
K = |–2 + 2.45j| ·|–2 + 2.45j + 4| ·|–2 + 2.45j + 2 + 4j| ·|–2 + 2.45j + 2 – 4j| / 1.0
= 3.163 · 3.163 · 6.45 · 1.55 = 100.0
Root Locus Plot ExampleGain Calculations
ÕÕ==
++=m
ii
n
ii zspsK
11
11
![Page 93: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/93.jpg)
Is there a gain corresponding to a damping ratio of 0.707 or more for all system modes?z = 0.707 = cos( q )q = 45°
Root Locus Plot Example
sX
–4X
–2
–2j
2j
4j
–4jX
X
3.16j
jw
45°
![Page 94: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/94.jpg)
Examine the responses for the various gains and relate them to the location of the closed-loop roots.
K = 64, roots are –2, –2, –2±3.46j K = 100, roots are –2±2.45j, –2±2.45j K = 260, roots are ±3.16j, –4±3.16j
sX
–4X
–2
–2j
2j
4j
–4jX
X
3.16j
jw
K=64 K=100
K=260
Root Locus Plot ExampleTime Responses
![Page 95: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/95.jpg)
Root Locus Plot ExampleTime Responses
Time (sec.)
Am
plit
ud
eStep Response, K = 64
0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
s = –2, –2
s = –2±3.46j
whole response
![Page 96: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/96.jpg)
Root Locus Plot ExampleTime Responses
Time (sec.)
Am
plit
ud
eStep Response, K = 100
0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
whole response
s = –2±2.45j (repeated)
![Page 97: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/97.jpg)
Root Locus Plot ExampleTime Responses
Time (sec.)
Am
plit
ud
eStep Response K = 260
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
whole response
s = ±3.16j
s = –4±3.16j
![Page 98: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/98.jpg)
Root Locus with Two Parameters
The root locus method focuses on the roots of the characteristic equation.
There can be several different loop transfer functions that have the same closed-loop characteristic equation.
To construct the root locus for a characteristic equation which has two parameters, we construct fictitious loop transfer functions and apply the normal methods.
![Page 99: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/99.jpg)
Root Locus with Two Parameters
Consider the following characteristic equation.s3 + s2 + b s + a = 0 .
Write this in the general form of 1 + GH(s) = 0 with b as a multiplying gain.
This will allow the plotting of the root locus with respect to the gain b for any given value of a.
The roots of the characteristic equation of GH´(s) define the starting points for the root loci. Consider the loci of these roots.
01 23=
+++
absss
GH´(s)
![Page 100: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/100.jpg)
Root Locus with Two Parameters The characteristic
equation of GH´(s) is s3 + s2 + a = 0 , which may be written as
Now construct the root locus of GH´´(s) in terms of the gain a .
0)1(
1 2=
++
ss
a
GH´´(s)
jw
sX
–2 –1X X
a1a1a2
a2
a1 = 0.3s = –1.2, 0.1±0.5j
a2 = 1.8s = –1.66, 0.33±1.0j
![Page 101: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/101.jpg)
Root Locus with Two Parameters Now construct the
root locus for
where the open-loop poles correspond to the previous root locus for varying a .
Asymptotes: ± 90°
a = 0.3 sa = (-1.2 +0.1 +0.1)/2
= -0.5 a = 1.8
sa = (-1.66 +0.33 +0.33)/2 = -0.5
23=++ a
bsss
GH´(s)
![Page 102: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/102.jpg)
Root Locus with Two Parameters Imaginary axis
crossings:s3 + s2 + b s + a = 0
s3 1 b 0s2 1 a 0s -b a 0 0s0 a 0 0 a = , b s2 + = 0a
ajs -=
jw
s
–2 –1
a1a1a2
a2
O
![Page 103: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/103.jpg)
103
![Page 104: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/104.jpg)
104
![Page 105: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/105.jpg)
105
![Page 106: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/106.jpg)
106
SUMMARY OF ROOT-LOCUS CONSTRUCTION RULESFOR NEGATIVE FEEDBACK
![Page 107: 1 سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 بسم ا... الرحمن الرحيم دکتر حسين بلندي - دکتر سید مجید اسما عیل زاده.](https://reader031.fdocuments.in/reader031/viewer/2022013112/56649caf5503460f94972bb6/html5/thumbnails/107.jpg)
107