0.6.4) Lineare Regression Wenn wir fliegen könnten und den ...

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10110

-1

100

101

0.6.4) Lineare RegressionWenn wir fliegen könnten und den Greifvögeln ähnlich…

Masse m [kg]

Spannweite s [m]

Bussard 1 1,3

Fischadler 2,0 1,6

Schelladler 3 1,8

Steinadler 6,7 2,3

Turmfalke 0,2 0,7

Weißkopfadler 5,4 2.0

.min)( 2

1=−−= ∑

=i

n

ii bxayS

2

11

2

111

)(1

1

∑∑

∑∑∑

==

===

−

−=

−=

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

xn

x

yxn

yxb

xbya

0;0 =∂∂

=∂∂

bS

aS

m [kg]

s [m

]

(0.6.7)

(0.6.8)

Annahme eines Zusammenhangess =a·mb log(s)=log(a)+blog(m)log(s)= 0.0866+ 0.3304 log(m)Mensch (75kg) braucht eine Spannweite von 5 m zum Fliegen

VAK 5.04.900, WS03/04 J.L. Verhey, (CvO Universität Oldenburg )

1 Mechanik der Punktmassen

• 1.1 Kinematik: Lehre vom „wie“ der Bewegung (nicht dem „warum“)

– 1.1.1 Einleitung: Bewegung hat eine Richtung

– 1.1.2 Mathematischer Exkurs: Vektoren

• Addition von Vektoren

• Multiplikation mit einem Skalar


1.1.2 Mathematischer Exkurs (Fortsetzung)Vektoren

• -a ist entgegengesetzt gleicher Vektor

• Nullvektor 0: a+0=a

0=a+(-a), |0|=0 (1.1-4)

• Einheitsvektor

ea = (1/|a|) a (1.1-5)


• Skalarprodukt von Vektoren

d=a·b =|a||b|cos(φ) (1.1-6)

d ist Skalar! (Element von R1)

• Rechenregeln

• (a+b) ·c=a·c+b·c (Distributivität) (1.1-7abc)

• a·b=b·a (Kommutativität)

• λ(a·b)=(λa) ·b (Assoziativität mit Skalar)

• Bemerkung: Manchmal wird Skalarprodukt auch

<a,b> geschrieben


b

aφ


• Koordinatendarstellung von Vektoren (3D Beispiel)

Seien ex, ey, ez paarweise orthogonale (senkrecht

zueinander) Einheitsvektoren. So lässt sich jeder

Vektor im R3 durch diese Vektoren darstellen

a=axex +ayey+ azez=(ax,ay,az) mit

ax=a·ex , ay=a·ey , az=a·ez


a

ex

ez ey

(1.1-8)

Betrag |a| =

222 aaa zyxa ++=r (1.1-9)


• Vektorprodukt

d=axb (sprich „a kreuz b“)

d ist Vektor!

d steht senkrecht auf a und b

axb =

axb = |a||b|sin(φ)


b

aφ

)()()( babaebabaebabaebbbaaaeee

xyyxzzxxzyyzzyx

zyx

zyx

zyx

ba −+−+−==× rrr

rrrrr

d

(1.1-10)

(1.1-11)


• Rechenregeln

o axb=-bxa (keine Kommutativität)

o ax(b+c) =axb+axc (Distributivität) (1.1-12abc)

o λ(axb)=(λa)xb=ax(λb ) (Assoziativität mit Skalar)

• Bemerkung: Im Allgemeinen (axb)xc ≠ax(bxc)

• Ist a b („a parallel b“) dann ist axb=0 (siehe 1.1-11)



1.1.4 Ortsvektor und Geschwindigkeit

r

• Die Bahnkurve beschreibt Ortsvektor r zu einem Punkt als Funktion der Zeit r=r(t)

• Vektor v der Geschwindigkeit

• Beispielbewegung weder geradlinig (Bahnkurve gekrümmt) noch gleichförmig (|v|≠const.)

rdtrd

trtv

t

&rrr

r ==∆∆

=→∆

lim0

)( (1.1-13)

Banhbewegung der Hutes in Luigi Russolo (1912) „Plastic

Synthesis of a Woman'sMovements“


1.1.5 Gleichförmige Bewegung

• Gleichförmig:

|v| = const.

• Geradlinig: v(t1)=v(t2)

für alle t1, t2

r(t2)

r(t1)

v(t1) v(t2)

In Balla (1912) „Bambina che corre

sul balcone “ ist die Bewegung geradlinig gleichförmig


1.1.5 Gleichförmige Bewegung (Fortsetzung)

• Beschleunigung a: Zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit

• Für eine geradlinige gleichförmige Bewegung ist |a| = 0

• Aus Beschleunigung lässt sich die momentan Geschwindigkeit bis auf Konstante bestimmen

rrdtdv

dtvd

tvta

t

&&rr&rrr

r ====∆∆

=→∆

)()(2

2

0lim (1.1-14)


1.1.6 Geichmäßig beschleunigte Bewegung

• Beschleunigung a=const.• Geschwindigkeit v(t) =

• Ortsvektor

tavdttatvt rrrr +== ∫ 00

)()(

200

0 21)()( tatvsdttvts

t rrrrr ++== ∫

(1.1-15)

(1.1-16)


1.1.7 Beispiel für gleichförmig beschleunigte Bewegung: Messung zum freien Fall von Galilei

• Messung des Weges, den ein Körper in einer

bestimmten Zeit durchfällt.

• Anfangsgeschwindigkeit v0= 0

• Anfangsort s0= 0

Nach (1.1-16) folgt

Fallgesetz:

h = ½ at2

(1dim. => keine Vektorschreibweise nötig)


1.1.8 Der schiefe Wurf

• Aufteilung der Bewegung in Horizontal und Vertikalbewegung• Gleichförmig in x-Richtung

rx(t)=x(t)=v0cos(α0)t• Gleichmässig beschleunigt in z (siehe 1.1-16)

rz(t)=z(t)=v0sin(α0)t-(a/2)t2

Gl. Wurfparabel

α0

v0vz

vxx

z

z1

x1 x2

2

022

0

0 )(cos2)tan()( x

vaxxz

αα −= (1.1-17)


Beispiel: Flohweitsprung

• Floh Sprungweite=0.35 m (= 2x1)Sprunghöhe=0.20 m (= z1)

• Frage: Was war seine Anfangsgeschwindigkeit v0? (Erdbeschleunigung sei a =9.81kg m/s2 )

Lösung: Ort x1 bei der z maximal (z1). Dort dz/dx = 0

V0 eliminieren und nach Anfangswinkel auflösen

v0 dann über (1.1-18b) berechnen

Absprungwinkel: 660 => v0 = 2,2m/s =7,8km/h

)cos()sin( 00

2

01 αα

avx = )(sin

2 02

2

01 α

avz = (1.1-18a+b)

)2arctan()tan(2 1

100

11 x

zxz =⇒= αα

)(sin2

021

0 αazv =


1.1.9 Gleichförmige Kreisbewegung


• Bewegung auf einer Kreisbahn mit Konstante Geschwindigkeit |v| (|v1|=|v2|)

∆φ

∆s = r∆φ

∆φ Bogenmaß (dimensionslos, „rad“)

• Winkelgeschwindigkeit

ω= ∆φ/ ∆t

• Gesamtdrehwinkel

φ= ωt

• Bahngeschwindigkeit(aus 1.1-19 & 1.1-20)

(1.1-19)

v1

v2

∆s

r

(1.1-20)

(1.1-21)rr

ttsv ⋅=⋅

∆∆

=∆∆

= ωϕ (1.1-22)

1.1.9 Gleichförmige Kreisbewegung(Fortsetzung)

• Vektorielle Betrachtung

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=

0)sin()cos(

tt

rr ωω

r (1.1-23)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −⋅⋅==

0)cos()sin(

tt

rrv ωω

ω&rr (1.1-24)

• Geschwindigkeit als Vektorprodukt

v= ωxr

• Radialbeschleunigung

(1.1-25)

rtt

rva r&rr ⋅−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

⋅⋅== 22

0)sin()cos(

ωωω

ω(1.1-26)


1.1.9 Gleichförmige Kreisbewegung(Fortsetzung)

• Ein Körper bewegt sich nur dann auf einer Kreisbahn, wenn er eine dem Betrage nach gleich bleibende, nach dem Mittelpunkt hin gerichtete Beschleunigung erfährt

• Winkelgeschwindigkeit ω=ω(t)

• Winkelbeschleunigung

• Tangentialbeschleunigung

at=αxr

1.1.10 Ungleichförmige Kreisbewegung

ϕωα &&& == (1.1-27)

(1.1-28)


1.2 Dynamik der Punktmasse

• Bisher (Kinematik) Frage nach dem

„wie“ der Bewegung

• Die Dynamik fragt nach dem „warum“,

d.h. nach den Ursachen von

Beschleunigungen

• „Lehre von den Kräften“


1.2.1 Die Newtonschen Axiome

• Lex prima: Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird seinen Zustand zu ändern. (Trägheitssatz)

• Postuliert Beharrungsvermögen im natürlichen Zustand = Trägheit des Körpers

• Manchmal auch als „Galileis Trägheitsgesetz“ bezeichnet



• Die Größe der Bewegung wird durch die Geschwindigkeit und die Menge der Materie (Masse) vereint gemessen

• Bewegungsgröße ist der Impuls

p = m·v

• Lex prima mathematisch

p = const „bei Abwesenheit von Kräften“

(1.2-1)



• Lex secunda: Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt. (Aktionsprinzip)

• Lex secunda mathematisch

• F: „fors“ (lat. Kraft)

• Für m = const.

Fdt

vmddtpdp

rrr&r =

⋅==

)( (1.2-2)

Famvmdtvdm

rr&rr

=== (1.2-3)



• Einheit der Kraft: [F]=1 N (Newton) = 1 kg m/s2

• Arbeit (differentiell)

∆A=F·∆s=Fs·∆s

• Arbeit

• Einheit der Arbeit

(1.2-4)

∫= sdFA rr (1.2-5)

∆s

F

Fs

[A]=1 J (Joule) = 1 kg m2/s2

FN

h

Auf allen Bahnkurven wird die gleiche Arbeit W=F·hverrichtet!



• Lex tertia: Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich und von entgegen gesetzter Richtung. (Reaktionsprinzip)

• „actio =reactio“

• Bsp.: Der fallende Stein zieht die Erde genauso an wie die Erde den Stein



• Corollarium („Lex quarta“): Kräfte addieren sich wie Vektoren (Superpositionsprinzip)

• Unabhängigkeit von Kraftwirkungen

F1 + F2 + F3 + … + Fn = Fges

• Arbeiten addieren sich algebraisch

F1∆s + F2∆s + F3∆s + … + Fn∆s =

∆A1+ ∆A2+ ∆A3+ … ∆An = ∆Ages


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