UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO IV

I. Hallar el orden y grado de cada una de las EDOs:

1).

Solución:

( ( ) ) ( ( ) )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2). { }Solución: { }

{[ ] }[ ] [ ]Mg. Mat. César Castañeda Campos

[ ] [ ] [ ]

3). ( )

Solución:

*( + *( ) +*( + *( )+

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4).

Solución:

5).

Solución:

[ ]

[ ]Mg. Mat. César Castañeda Campos

* + { [ ]}

Aplicamos la fórmula: � � � � � �� �[ ][ ] [ ][ ][ ][ ]{[ ] [ ][ ] [ ] }{[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] } [ ][ ]{[ ] }{ }

6). ( )Solución: ( )SI ( ( ) )( ( ) )

7). ( )Mg. Mat. César Castañeda Campos

Solución:

8).

Solución:

( )( )

II. Verificar que la función dada es o no una solución de la ecuación diferencial ordinaria que la acompaña y especificar el intervalo o los intervalos donde ocurre cuando sea una solución:

1).

Solución:

Reemplazando en

Mg. Mat. César Castañeda Campos

2).

Solución:

Despejamos :u

Derivamos la función ya despejada:

( )( )( )( )

( )Trabajamos en la ecuación diferencial que nos dan:

Remplazamos:

Mg. Mat. César Castañeda Campos

⏟, no es solución

3). √SOLUCIO N:

√√√

Remplazando:

√(√ )

(√ )(√ )

[ ] [(√ ) ][ ]( (√ ) )

√Mg. Mat. César Castañeda Campos

4) ;

SOLUCIÓ N:

7) {SOL UCIÓ N

| || | ( )

{i. | |

| |ii. | || | | |

| |( )

( ) | || |8). , ⁄ √SOLU C I Ó N

, ⁄ √√

Reemplazando en

√ √Mg. Mat. César Castañeda Campos

( )√ √( )√ √

, ⁄ √III. Hállese una ecuación diferencial ordinaria correspondiente a cada una de

las relaciones, con las constantes arbitrarias indicadas.

1).

Solución

………………..(1)

………………(2)

Entonces

2).

Solución

Mg. Mat. César Castañeda Campos

3).

Solución

4). | |Solución

| |……………..1

Reemplazando en 1

Reemplazando en | || || |5).

Solución:

Derivamos:

Derivamos (1):

Derivamos (3):

Mg. Mat. César Castañeda Campos

Remplazamos (6) en (4):

( )Remplazamos (6) y (7) en (2):

( ) ( )( )

( )( )( )

Remplazamos A, B y C en:

( ) ( ) * ( )

+

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

6)..

Solución:

Derivando

Remplazando:

Mg. Mat. César Castañeda Campos

Derivando[ ];

Solución:

{8).

Mg. Mat. César Castañeda Campos{ }...............(1){ } {}……………(2){ }………………(3){ } {} ……….(4)

9). ;

Solución:

( ) ( )Derivamos:

( )* ( ) +[ ]* ( ) +

[ ]

�𝑒� ���� �𝑒 𝑥 𝑒 𝑥

𝑒 𝑥 𝑒 𝑥* ( ( )+

* ( ) ( Mg. Mat. César Castañeda Campos

* *( ) ( ) + ( )+* *( ) ( ) + ( * *(

( )+ ) ( )+

* *( ) ( )+

( )+

* *( ) ( )+

( )+

* *( ) ( )+

( )+

[ [( ) ( )]( )]

[ [( ) ( )]

( )]* [ ] ( )+* [ ] ( )+

*[[

[]

]( )+

]

Mg. Mat. César Castañeda Campos

*( ) +* ( )+

* +* +

* + * +

* + * +Sabemos que:

Restamos (1) y (2):

Derivamos a (3):

Sumamos (4) y (3):

Derivamos (5):

Realizamos lo siguiente :

Derivamos (7):

Realizamos lo siguiente :

10)

Solución

Mg. Mat. César Castañeda Campos

(1)+ (2)

2 (3)+(4)

-2 (5)+(6)

IV. Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes familias

de las curvas en el plano :

1). Todas las rectas con pendiente igual a 1.

SOLUCIÓ N:

2). Rectas con la pendiente y la intersección con el eje iguales.

Sea la familia de rectas :Esta expresión debe ser igual a la pendiente……………………(1)

Luego:

tomando logaritmamos : Derivando respecto a x:

4). Rectas con la suma algebraica de las intersecciones iguales a .

Solución

Mg. Mat. César Castañeda Campos

Sea y=Ax+B la familia de rectas

Si y=0

Por condición

5). Circunferencias con el centro en el origen.

SOLUCIÓ N:

* +

6). Circunferencias con centro sobre la recta que pasen

por el origen.

SOLUCIÓN

Mg. Mat. César Castañeda Campos

Remplazando:

( )Derivando

( )

( )( )

( )Remplazando

( )

( ) ( )

( ) ( )Mg. Mat. César Castañeda Campos

( ) ( )

( ) ( )( )

8). Circunferencias con centro en el punto arbitrario radio igual a

(

SOLUCIÓ N:

( )

9). Parábolas con el eje paralelo al eje y con la distancia del vértice al

foco igual a .

:

………..(1)……………(2)

10). Parábolas con el eje paralelo al eje .

SoluciónLa ecuación de la parábola con eje paralelo al eje X

Mg. Mat. César Castañeda Campos

Pero de (2)

Reemplazando en (3)

( )11). Hipérbolas equiláteras con centro en

SOLUCIÓ N:

12). Circunferencias tangentes al eje .

Solución:

En este caso:|��| � y la ecuación toma

laforma siguiente� � 𝑘 𝑘 ; 𝐶 𝑘

Sea el centro; el radio será | |Mg. Mat. César Castañeda Campos

Remplazamos( )[ ]√[ ][ ] ⁄

{[ ] ⁄ } [ ] ⁄

{ [ ] ⁄ } [ ] ⁄[ ] ⁄ [ ] ⁄

V. Determinar para que valores de cada una de las siguientes ecuaciones

diferenciales ordinarias tiene soluciones de la forma :

1).

Solución:

Derivando:

Remplazando en la ecuación:{ }2).

SOLUCIÓN

Mg. Mat. César Castañeda Campos

3).

Solución:

Reemplazando en la ecuación original⁄VI. Aplicando el método de las isóclinas, trazar las curvas integrales de las

ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes:

1).

Solución:

I) Determinamos la ecuación de las isóclinas:

Mg. Mat. César Castañeda Campos

II) Determinamos las isóclinas particulares:

1) Si

2) Si

3) Si

4) Si

5) Si

III) Analizamos los puntos máximos y mínimos:

IV) Analizamos la concavidad y los puntos de inflexión:

Derivamos

Mg. Mat. César Castañeda CamposV) Analizamos si una isóclina es o no una curva integral

Si remplazamos:

En remplazamos

Si es una curva integral

Pero es la ecuación de los puntos de inflexión

VI) Analizamos la existencia y la unicidad

2).

Solución:

I

Mg. Mat. César Castañeda Campos

II isóclinas particulares

1. Si k=0 ,2. Si k=1 , ,3. Si k=-1 , ,4. Si k=2 , {5. Si k=-2 , {III los valores enteros (máximos y mínimos)

Entonces los valores enteros están sobre

IV concavidad y punto de inflexión

Mg. Mat. César Castañeda Campos

Entonces

Entonces la ecuación de los puntos de inflexión es Y=-1

La concavidad de las curvas integrales es hacia debajo de y<-1 y hacia

arriba y>-1

V .análisis si una isóclina es o no una curva integral:

4). Solución

I.

II. Isóclinas Particulares

1. Si:2. Si:3. Si:4. Si:5. Si:

III. Los valores extremos (Máximos y mínimos)

Mg. Mat. César Castañeda Campos

IV. Concavidad y puntos de inflexion

( )Entonces la ecuación de los puntos de inflexión esLas concavidades de las corvas integrales:Es hacia abajo cuandoEs hacia arriba cuando

V. Analizar si una isóclina es o no una curva integral

Si reemplazamos en

En reemplazamos k=0

VI. Analizar la existencia y unicidad

( )8).

Mg. Mat. César Castañeda Campos

9).

Solución:

I) Determinamos la ecuación de las isóclinas:

II) Determinamos las isóclinas particulares:

6) Si

7) Si

8) Si

9) Si

10) Si

III) Analizamos los puntos máximos y mínimos:

IV) Analizamos la concavidad y los puntos de inflexión:

Mg. Mat. César Castañeda Campos

Derivamos

( )( )( )

( )( )( )

V) Analizamos si una isóclina es o no una curva integral

Si remplazamos:

( )( )( )

En

Pero es el punto de inflexión

VI) Analizamos la existencia y la unicidad

Mg. Mat. César Castañeda Campos

( )5).

Solución

I

{ }

Mg. Mat. César Castañeda Campos

II isóclinas particulares

1. Si k=1 ,2. Si k=0 ,3. Si k=-1 ,III los valores enteros (máximos y mínimos)

Entonces los valores enteros están sobre

IV concavidad y punto de inflexión

Entonces {Entonces la ecuación de los puntos de inflexión es Y=x-180

La concavidad de las curvas integrales es hacia debajo de y< x-180y hacia

arriba y> x-180

V .análisis si una isóclina es o no una curva integral:

VII. Resuélvase cada una de las siguientes EDOs. de variables separables:

1).

SOLUCIÓ N:

;

Mg. Mat. César Castañeda Campos

∫ ∫2).

Solución

3).

Solución:

* +∫ ∫ * +| |

4).

SOLUCIÓ N:[ ] [ ]

[ ] [ ]∫ ∫

| | | || || | ( )

Mg. Mat. César Castañeda Campos( )

(

)5).

Solución:

Analizamos si es homogénea

La ecuación diferencial es homogénea:

Sea

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ][ ][ ][ ]Integramos:

∫ ∫ ∫∫ | |⏟

Trabajamos :

∫ ∫

Trabajamos con fracciones parciales:

Mg. Mat. César Castañeda Campos

Remplazamos (1) y (3) en (2):

Remplazamos en:

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ (√ )

∫ ∫ ∫(√ )

(√ )| | ∫

(√ )

| | | | (√ ) √√ √ √

| | | |Remplazamos:

Mg. Mat. César Castañeda Campos

∫ | |⏟√

( | |√ √| |) | |

√ √ √| | || | |

5).

SOLUCIÓ N:{ { {

⁄⁄6).

Solución

Sea

Reemplazando

( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ) ( )

( ) ( )Mg. Mat. César Castañeda Campos

∫ ∫| |

| |7).| | | || |

SOLUCIÓN

APLICANDO ECUACIÓN REDUCIBLE A HOMOGÉNEAS

{{

| |

( ) ( )

( ) ( )

∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

(√ )Mg. Mat. César Castañeda Campos

| | | |√ √| | √

8).

SOLUCIÓ N:

*( ) +

*( ) +[ ]

[ ][ ]

∫ ∫ [ ]√( ) √

√ ( )√√( ) √

√ ( )√

√ ( )√

√ ( )√VIII. Resuélvase las siguientes EDOs mediante un cambio de variable:

1).

Solución:

Sea

Mg. Mat. César Castañeda Campos

Remplazando:

∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫ ( ) ∫∫2).

Mg. Mat. César Castañeda CamposM no es homogéneo; N no es homogéneo

Desarrollando la ecuación:

Remplazando en la ecuación:

De donde:

Integrando:

∫ ∫3). Solución

¿Es homogénea?

Mg. Mat. César Castañeda Campos4)

SOLUCIÓ N:

⁄

( ⁄ )5).

SOLUCIÓ N:

( )( )

;

∫ ∫

6). (√ √ ) √ √

Mg. Mat. César Castañeda CamposSolución:

√ √ √ √

( ) √ √ √ √√√

√√ ;

√( √ )√

Remplazando en la ecuación:

√

√√

√Integrando se obtiene:

∫ ∫√|√ | | ||√ ( ) | | |

|(√ ( ) ) |

(√ ( ) )Mg. Mat. César Castañeda Campos

Huancavelica Enero del 2013.

Mg. Mat. César Castañeda Campos