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Practica#9: Comprobacin de filtros activos.Tania Yahaira Torres Jaramillo

ttorresj1@est.ups.edu.ecUniversidad Politcnica Salesiana, sede Cuenca

Laboratorio de Analgica II

ResumenThis document provides information about Besselfilter models; generalizing a filter is a system designed to obtaina desired transfer characteristic time when making a design isimportant to consider the characteristics and applications of eachof these, so for example the Bessel filters are designed to havea linear phase in the bands trainees therefore do not distort thesignals. Then to study the Bessel filter is necessary to know theirgeneral characteristics, besides knowing how to calculate eachof its components, it is also necessary to note that you can usesoftware to provide us this procedure.

Index Termsamplificador operacional, circuito integrador,circuito derivador.

OBJETIVOS

1. Filtro Butterworth 1polo pasa alto2. Filtro Butterworth 3 polos pasa bajo3. Filtro Tchevishev tipo 1, 2 polos pasa baja4. Filtro Tchevishev tipo 2, 4 polos pasa alto5. Filtro besel 4 polos elimina banda6. Filtro Eliptico 6 polos pasa banda

I. MARCO TERICO

I-A. Definicin bsica de un filtro

Se entiende por filtro como todo sistema que relaciona unaseal de entrada con otra de salida y en el que la relacindepende de la frecuencia de la seal de entrada. Que ambasentradas son tensiones:

Figura 1. Representacin esquemtica de la funcin de un filtro.

La amplitud y la fase de la seal de salida dependen de larespuesta en frecuencia del sistema. Los filtros se disean paraatenuar o amplificar un conjunto de frecuencia de una sealde entrada. La magnitud de la respuesta en frecuencia es unafuncin par, mientras su fase es una funcin impar.

I-B. Orden de un filtro

Describe el grado de aceptacin o rechazo de frecuenciaspor arriba o por debajo, de la respectiva frecuencia de corte.Un filtro de primer orden, cuya frecuencia de corte sea iguala (F), presentar una atenuacin de 6 dB en la primera octava(2F), 12 dB en la segunda octava (4F), 18 dB en la terceraoctava (8F) y as sucesivamente. Para realizar filtros de rdenesms altos se conecta en serie de filtros de 1 o 2. De acuerdoa los decibelios por octava (pendiente) tenemos un retardo yun orden:

I-C. Clasificacin de los filtros

Los filtros se clasifican bajo 3 criterios:1) Respuesta en frecuenciaFiltro pasas alto Atena todas las componentes con frecuen-

cia inferior a la de corte y mantiene las superiores.

Figura 2. Representacin de funcin de transferencia filtro pasa alto.

Filtros pasa bajoAtena todas las componentes de la seal cuya frecuencia

sea superior a una determinada, llamada frecuencia de corte,y mantiene las restantes.

Figura 3. Representacin de funcin de transferencia filtro pasa bajo.

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Filtro pasa bandaPermite el paso de componentes cuya frecuencia est com-

prendida entre dos valores de frecuencia de corte y elimina elresto.

Figura 4. Representacin de funcin de transferencia filtro pasa banda.

Filtro Rechaza bandaSu comportamiento es opuesto al anterior, permitiendo el

paso de todas las frecuencias excepto las comprendidas entredos valores determinados.

Figura 5. Representacin de funcin de transferencia filtro elimina banda.

2) Segn la tecnologa empleada. Filtro activos Los filtros activos son circuitos formados

por resistencias, condensadores y amplificadores, en generalamplificadores operacionales, que permiten que solo ciertasfrecuencias seleccionadas pasen desde la entrada hasta lasalida del filtro. Estos circuitos se usan para aumentar oatenuar ciertas frecuencias en circuitos de audio, generadoreselectrnicos de msica, instrumentos ssmicos, circuitos de co-municaciones y en laboratorios de investigacin para estudiarlas componentes de frecuencia de seales tan diversas comoondas cerebrales y vibraciones mecnicas. Los filtros activosen casi todas las reas de la electrnica.

Filtros pasivos Los filtros pasivos estn formados porinductores, condensadores y resistencias. En la gama de fre-cuencias en la cual los filtros activos son tiles, la mayorade los filtros pasivos requieren inductores grandes, pesados ycostosos y atenan frecuencias de la banda de paso (aunquelas frecuencias de la banda de bloqueo se atenan ms). Losinductores que se usan en los filtros pasivos tienen resistenciade arrollamiento, prdidas en el ncleo y capacitancia entreespiras, de manera que no se comportan precisamente demanera ideal.

3) Funcin de trasferencia o su criterio de diseo

Figura 6. Representacin de funcin de transferencia para diseo de filtros.

Butterworth: La respuesta de un filtro Butterworth es muyplana en la. Banda de paso. Se dice que su respuesta esmximamente plana. La variacin de atenuacin de un filtroButerworth en la regin de transicin es de 6dB/ octava porcada polo; de manera que un Butterworth de octavo ordentendr una variacin de atenuacin de 48 dB/ octava en laregin de transicin.

Chevyshev Un filtro Chebyshev tendr ondulaciones enla banda de paso, pero no en la banda de bloqueo. Mientrasms alto sea el orden del filtro ms ondulaciones aparecernen la banda de paso. La amplitud de la ondulacin puedeestablecerse en el filtro al disearlo y casualmente se fija a 0.5dB, 1 dB, 2 dB 3 dB. Mientras ms ondulacin se permitams atenuacin se obtendr en la regin de transicin

Bessel A los filtros Bessel se les llaman filtros de faselineal o de retraso lineal en el tiempo. El retraso de fase deuna seal, de la entrada a la salida, aumenta linealmente con lafrecuencia. Por tanto, los filtros Bessel casi no tienen excesocon una entrada de respuesta en escaln. Esta caractersticahace que sean los mejores para filtrar ondas rectangulares sinalterar la forma de la onda.

I-D. Filtros activos:

Orden de un filtro activo:El orden de un filtro indica simplemente el nmero de sus

polos. Por ejemplo, un filtro paso-bajas de segundo orden esun filtro paso-bajas de dos polos y tiene una variacin de 12dB/octava en la regin de transicin. Un filtro de sexto ordentiene seis polos y su variacin de atenuacin en la regin detransicin es de 36 dB/octava.

Polos en un circuito activo:La palabra polo se refiere a una grfica de las matemticas

usada para derivar las ecuaciones que se aplican para calcu-lar las respuestas de los filtros activos. Para todo propsitoprctico, un polo se refiere a la proporcin en que vara laatenuacin en la regin de transicin por causa de cada redRC utilizada para determinar la respuesta de frecuencia delfiltro. Recuerde que, como se indic en el captulo 4, cada redRC, en un amplificador de etapas mltiples, aporta 6 dB/octavaa la atenuacin progresiva del amplificador. Lo mismo puededecirse de los filtros activos. Cada polo (red RC del filtro)aporta aproximadamente 6 dB/octava a la variacin de laatenuacin del filtro activo en su regin de transicin.

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Figura 7. Esquema filtro de un solo polo.

Figura 8. Esquema filtro de un dos polo.

Segn las impedancias sean sustituidas por R p por C setienen los diferentes tipos de filtros

I-E. Etapas de filtros de segundo orden:

Estructura Sallen- key

Figura 9. Esquema filtro estructura sallen key de segundo orden.

Av = 1fc = 1

2RC1C2

Butterworth:Q=0,707Kc=1Bessel :Q=0,577Kc=0,786La figura muestra un filtro basa bajo de segundo orden

de Sallen-Key .Las dos resistencias tienen el mismo valor ,pero los dos condensadores son distintos . Hay un circuito deretardo en la entrada no inversora , pero al mismo tiempo es elmismo camino de realimentacin atreves del segundo conden-sador C2 . Par abajas frecuencias , ambos condensadores estn

en circuito abierto y el circuito tiene una ganancia unidad .Dado que el amplificador esta conectado como un seguidor tetensin .

Segn va aumentando la frecuencia , disminuye la impe-dancia de C1y disminuye tambin la tensin en la entrada noinversora . Al mismo tiempo el condensador C2 se realimentade una seal que esta en fase con la seal de entrada. Comola seal de realimentacin se suma a la fuente de seal larealimentacin es positiva . Asi se obtiene una disminucin dela entrada no inversora producida por C1 no ser tan grandecomo si no estuviera la realimentacin positiva.

Cuanto mayor sea C2 con respecto a C1, mas positiva serla realimentacin ;esto equivale a aumentar Q en el circuito .Si C2 es lo suficiente grande como par hacer Q mayor a 0,707, aparecer un pico en la respuesta de frecuencia

Estructura Rauch o realimentacin mltiple

Figura 10. Esquema filtro estructura Rauch.

Fo =1

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(R1qR3)R2C1C2con C1 = C2 = Cfo =

12C

R1+R3R1R2R3

R1 =Q

2f0CA0

R2 =Q

f0C

R3 =Q

2f0C(2Q2A0)

I-F. Etapas de orden superior

Figura 11. Esquema filtro de orden superior.

Se coloca en cascada, para obtener filtros de tres o maspolos

I-G. Frecuencia de polo

La frecuencia de polo es una frecuencia especial utilizadaen el diseo de filtros las matemticas utilizadas para hallar

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este polo son demasiado complejas , para tratarlas en este do-cumento , ya que incluyen un concepto avanzado denominadoplano s( nmeros imaginarios ). Entonces en el caso de lafigura anterior la frecuencia de polo viene dada por

Figura 12. Esquema filtro estructura sallen Key de segundo orden

Q = 0,5 C2/C1

fp = 1/(2

(C1 C2))fp = 1/(2

(R1 R2 C1 C2))

ButterworthQ=0.707 K=1BesselQ= 0.577 K=0.786Siendo q enfactor de calidad Y K las cooeficientes caracte-

risticos de cada filtro

I-H. Filtro Bessel

Se nombran as en honor al astrnomo, matemtico y baila-rn Friedrich Bessel. Para su diseo se emplean los coeficientesde los polinomios de Bessel. Caractersticas generales :

A los filtros Bessel se les llaman filtros de fase lineal o deretraso lineal en el tiempo. El retraso de fase de una seal, de laentrada a la salida, aumenta linealmente con la frecuencia. Portanto, los filtros Bessel casi no tienen exceso con una entradade respuesta en escaln. Esta caracterstica hace que sean losmejores para filtrar ondas rectangulares sin alterar la forma dela onda. Los filtros Bessel tienen una variacin de atenuacinen la regin de.transicin de menos de 6 dB/ octava/ polo. Lafrecuencia de corte del Bessel se define como la frecuencia ala cual el retraso de fase del filtro es la mitad del retraso defase mximo.(fc) = max/2 = (n/2)/2

: ordendefase

n : ordendelfiltro

FuncionamientoDiseados para tener una fase lineal en las bandas pasantes,

por lo que no distorsionan las seales; por el contrario tienenuna mayor zona de transicin entre las bandas pasantes y nopasantes.

Figura 13. Representacin de funcionamiento filtro Bessel

La aproximacin de Bessel esta optimizada para producirun desfase lineal con la frecuencia, por tanto, estos filtrossacrifican la pendiente en la atenuacin por conseguir undesfase lineal. El desfase lineal significa que la frecuenciafundamental y los armnicos de una seal no sinusoidal enla entrada del filtro se desfasarn linealmente a la salida delmismo. Por ello, la forma de la seal de salida ser la mismaque la de la seal de entrada, si se aplica una tensin en laentrada del filtro y se observa su salida en un osciloscopio, secomprueba que tiene la mejor respuesta al escaln de todoslos filtros.

Factor de calidadEspecifica la eficacia del filtro. Es la proporcin establecida

entre la frecuencia de corte y el ancho de banda:Q = fm/(f1 f2)Fm= Frecuencia de corte F2,F1 Frecuencia de corte superior

e inferior Para filtros paso alto y paso bajoQ =

bi/ai

Funcin de transferenciaLa forma de comportarse de un filtro se describe por su

funcin de transferencia. sta determina la forma en que laseal aplicada cambia en amplitud y en fase al atravesar elfiltro. Los valores que hacen nulo el numerador son los cerosy los que hacen nulo el denominador son polos.H(s) = numerador(s)/denominador(s)El nmero de polos y ceros indica el orden del filtro y su

valor determina las caractersticas del filtro, como su respuestaen frecuencia y su estabilidad.

Figura 14. Representacin de la funcin de transferencia.

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Observndose que el que mejor atenuacin produce es elde Chebyshev, seguido de Butterworth y por ltimo de Bessel.Aunque el primero presenta un rizado es de poca importanciacon 3dB en su mximo. Polinomios de bessel

El filtro de Bessel posee nicamente polos pretenden ase-gurar la fase lineal en toda la banda pasante. Su respuesta enfrecuencia es:H(s) = 1/(BN (s))BN (s) =

aksk

N: orden del filtro Donde N es el orden del filtro y eldenominador es un polinomio de Bessel, cuyos coeficientesson:ak = (2N k)!/(2(N k)k! (N k)!)con k=0, 1, 2, ..., NY se pueden definir de forma recursiva como:BN = (2N 1)B(N 1)(s) + s2B(N 2)(s)SiendoB0(s) = 1B1(s) = s+ 1B2(s) = s

2 + 3s+ 3B3(s) = s

3 + 6s2 + 15s+ 15B4(s) = s

4 + 10s3 + 45s2 + 105s+ 105B5(s) = s

5 + 15s4 + 105s3 + 420s2 + 945s+ 945B(N + 1)(s) = (2N + 1)BN (s) + s2B(N 1)(s) Procedimiento para deduccin de constantes para un filtro

paso bajo de dos polosPara el diseo de los filtros Bessel se necesita una tala

se constantes entonces ahora se puede realizar una a breveexplicacin del procedimientos para encontrar los coeficientespara un filtro paso bajo de dos polos

En primer lugar, definir la respuesta de frecuencia del filtrocomo una funcin polinmica segundo grado invertida H(s)Esto se denomina la funcin de transferencia en el s plano,donde s es el eje imaginario. La respuesta de amplitud frentea la frecuencia es una funcin a lo largo de la s eje, donde ses anloga a la frecuencia, que van desde - a + , con elDC en el origen. Una funcin de transferencia de paso bajode 2 polos generalizada tiene la forma:H(s) = g/(s2 + ps+ g)Donde g es una ganancia constante causando H (0) = 1, y

p es un coeficiente polinmico. Si usted tiene un coeficientede s 2 se puede dividir el numerador y el denominador porese coeficiente y absorberla en p y g.

Por ejemplo, para los filtros Bessel es:H(s) = 3/(s2 + 3s+ 3)Si slo conoce las races complejas ( alpha j) de

su polinomio de segundo grado en el denominador (lo quenormalmente significa las constantes g y p no son agradablesenteros limpios), a continuacin, utilizarp = 2g = 2 + 2A continuacin, se calcula la frecuencia de corte de correc-

cin del factor c . Para ello, sustituimos jw para s en H ( s ),donde j =

1 . Luego, multiplicamos esto por su conjugado

complejo (es decir, sustitucin - j para j ) para obtener larespuesta de amplitud cuadrado:

|H()|2 = H(jw)H(jw) = g2/(4 (2gp2)2+g2)

Sustituimos jw para s en H(s) entonces calculamos suconjugada:

c2 = 1/2 = 2/{

2g p2 + [(2g p2)2 4g2(1 21/n)]1/2}

Tomar la raz cuadrada de la de arriba para obtener el factorde correccin c , que se aplica a la frecuencia de corte f 0en el paso siguiente, para preservar la posicin de corte de3 dB para cualquier nmero de n pasa filtro. Debido a queeste es un filtro analgico, tenemos que hacer otro ajuste a lafrecuencia de corte, de "urdimbre" desde el mundo analgicoal mundo digital. Para el resto de los clculos, vamos a utilizarel ajustado digitales frecuencia de corte 0 :

0 = tan(cf0/fs)

donde f 0 es la frecuencia de corte analgico y f s es lafrecuencia de muestreo. Ahora necesitamos los coeficientes delfiltro. Para ello, llevamos a cabo una transformacin bilinealde la s de dominio a la z de dominio. Esto no es tan difcilcomo parece, es slo la manipulacin algebraica. Bsicamentese trata de la sustitucin de s = ( z -1) / [ 0 ( z +1)] de H (s ), la recogida de los poderes de 1 / z juntos en el numeradorcomo en el denominador, la normalizacin de las cosas demodo que el coeficiente de z 0 en el denominador es 1, yla lectura de los coeficientes. Los unos i coeficientes (que semultiplican por los ms recientes x i insumos) estarn en elnumerador y el b i coeficientes (que se multiplican por las msrecientes de Y i salidas) ser su negativa en el denominador.Despus de la simplificacin, los coeficientes son:

a0 = g02(1 + p0 + g02)

a1 = 2a0

a2 = a0

b1 = 2a0(1(g02)1)

b2 = 1(a0 + a1 + a2 + b1)

Tablas de coeficiente para disear filtros Bessel - Paraestructura Rauch

Figura 15. Tabla se valores para diseo estructura Rauch.

- Para estructura sallen key

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Figura 16. Tabla se valores para diseo estructura Sallen Key.

II. MATERIALES Y HERRAMIENTAS

Cuadro IMATERIALES Y HERRAMIENTAS

Descripcin Cantidad Precio($)Resistencias 20 1

Ap 741 5 2.50Capacitor 10 uf 3 0.35Capacitor 10 nF 10 0.50

Generador de funciones 1 0Multimetro 2 0

Osciloscopio digital 1 0Cables banabas 5 0

NI ELVISmx Instrument Launcher 1 0

III. DESARROLLO

CLCULOS

III-A. Filtro Butterworth 1polo pasa alto

C1 = 10nF

a1 = 1

AV = 2

R1 = 1k

R1 =1

2FCC1a1= 12(500)(10109)(1) = 31.830k

AV = 1 + R1R2

2 = 1 + R1R2

R1 = 1k

R2 = 1k

n l a1 b11 1 1 02 1 1 1

Table IICOEFICIENTES

Figure 17. esquema de un filtro Butterworth.

Figure 18. diagrama de bode realizada en multisim.

Figure 19. Diagrama de bode realizado en el Elvis.

III-B. Filtro Butterworth 3 polos pasa bajo

AV = 2

Etapa 1

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C1 = 10nF

R1 =1

2FCC1a1= 12(500)(10109)(1) = 31.830k

Etapa 2

C2 = 10nF

C3 C2 4b2a22C3 = 100nF

R2,3 =a2C2

a22C

224b2C2C3

4fcC2C3

R2,3 =1(100nF )

1(100nF )24(1)(10nF )(100nF )

4(500Hz)(10nF )(100nF )

R2 = 28.243k

R3 = 3.587k

AV = 1 + R1R2

2 = 1 + R1R2

R1 = 1k

R2 = 1k

Figure 20. Esquema del filtro Butterworth 3 polos.

Figure 21. Diagrama de bode realizado en multisim

Figure 22. Diagrama de bode realizado en el Elvis.

III-C. Filtro Tchevishev tipo 1, 2 polos pasa baja

fc = 1200Hz

Av = 2

Segn la tabla:

a1 = 1,065

b1 = 1,9305

Imponindonos el capacitor C1

C1 = 10nF

C2 C1(

4b1a21

)= 10 109 41,93051,0652

C2 6,8 108

C2 = 100nF

R1 =a1C2

a21C224b1C1C2

4fcC1C2

R1 =1,065100109

1,06521002101841,9305101091001094120010109100109

R1 = 3072,45

R2 =a1C2+

a21C224b1C1C2

4fcC1C2

R2 =1,065100109+

1,06521002101841,9305101091001094120010109100109

R2 = 3072,45

Av = 1 + RbRa

Ra = 1k

Rb = 1k

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Figura 23. Esquema del circuito tchevishev tipo 1,2 polos pasa bajos.

Figura 24. diagrama de bode realizado en multisim.

Figura 25. Diagrama de bode realizado en el Elvis.

III-D. Filtro Tchevishev tipo 2, 4 polos pasa alto

fc = 1200Hz

Av = 2

Segn la tabla:

a1 = 2,1853

a2 = 0,1964

b1 = 5,5339

b2 = 1,2009

Imponindonos los capacitores C

C = 100nF

R1 =1

fcCa1

R1 =1

12001001092,1853 = 1,214k

R2 =a1

4fcCb1

R2 =2,1853

412001001095,5339 = 262

R3 =1

fcCa2

R3 =1

12001001090,1964 = 13,51k

R4 =a2

4fcCb2

R4 =a2

412001001091,2009 = 109

Av = 1 + RbRa

Ra = 1k

Rb = 1k

Figura 26. Esquema del circuito Tchevishev tipo 2 4 polos pasa alto

Figura 27. Diagrama de bode en multisim.

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Figura 28. Diagrama de bode en el Elvis.

III-E. Filtro besel 4 polos elimina banda

BW = 6kHz

fcentral = 7kHz

fcpasabajo = 4kHz

fcpasaalto = 10kHz

k1 = 1

k2 = 0,33

Clculo pasa bajo:

R1 = R2 = R3 = 5,6kHz

Co = 1woR =1

2fcR

Co = 1240005600 = 7,2nF

C1 = k1 Co = 1 7,2nF = 7,2nF

C2 = k2 Co = 0,33 7,2nF = 2,4nF

Clculo pasa alto:

C3 = C4 = C5 = 1nF

Ro = 1woC =1

2fcC

Ro = 1210000109 = 16k

R4 = Rok1 =16103

1 = 16k

R5 = Rok2 =161030,33 = 48,5k

Figura 31. Diagrama de bode realizado con el Elvis.

Figura 29. Esquema del circuito Bessel 4 polos elimina banda.

Figura 30. Diagrama de bode en el multisim.

III-F. Filtro Eliptico 6 polos pasa banda

Figura 32. Diagrama de bode del filtro eliptico 6 polos pasa banda.

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Figura 33. diagrama de bode del filtro eliptico 6 polos pasa banda en elprograma filter wiz.

IV. CONCLUSIONES

After this practice to design a filter that must be taken intoaccount the implementation of each of these , if you want tohave maximum rejection choose the Chevysheff . If instead lotof signal fidelity is to the best is the Bessel. Butterworth willbe chosen when a high quality is not required in either of thetwo concepts. And so the Bessel filters due to its characteristicsis often used mind where a linear phase response is needed.In addition it was observed that software we can expeditethe design of the filters because you can just enter the filtercharacteristics required for a design that could test closelyapproximates the theoretically obtained using the respectivetables for each filter.

REFERENCIAS[1] http://pdf1.alldatasheet.com/datasheet-pdf/view/25035/STMICROELECTRONICS/TDA2003.html[2] http://amplificadordeaudio-escom.blogspot.com/p/reporte-en-

espanol.html[3] http://aholab.ehu.es/users/imanol/akustika/IkasleLanak/Amplificadores %20de %20audio.pdf