Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001

Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000

Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007

Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922

Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051

Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908

Quantum physicsS. Gasiorowicz

Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:

1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida

2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita

3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano

4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón

Energía de Bohr

Estructura fina

Corrimiento Lamb

Estructura hiperfina

4 2mc5 2mc

2 2mc

4 2

p

m mcm

Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno

4 2

2 2

2

1,2,3...2

La masa reducidad

La constante de estructura fina

/ 1 / 137

Rn

eR

e

m e ZE nn

m Mmm M

e c

212 2

La energía de los niveles del átomode hidrógeno es

311/ 2 4

donde

; es decir, 1/ 2

Znj

E nEn n j

J L S j l

Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:

1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida

2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento espín-orbita

3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano

4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón

Energía de Bohr

Estructura fina

Corrimiento Lamb

Estructura hiperfina

4 2mc5 2mc

2 2mc

4 2

p

m mcm

Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno

BIBLIOGRAFÍA:Griffiths, sección 6.5, página 250Gasiorowicz, capítulo 17, página 287Quantum Physics. Michel Le Belac.

Cambridge University Press. Sección 14.2.4, página 465

The Physics of As

trophysics. Vol I: Radiation. Problem set 5, problemas 2 y 3. Página 399

La estructura hiperfina se debe a la estructura

electromagnética del núcleo, que genera

campos electromagneticos permanentes,

que interaccionan con el momento angular

orbital del electrón y con el espínL del

electrón.

S

Estudiaremos sólo el acoplamiento delmomento dipolar magnético del núcleo(que genera un campo magnéticopermanente) con el momento angularorbital del electrón y con el espín del electrón.

L S

En esta sección nos restringiremosal átomo de hidrógeno, por lo tantotomaremos 1, , y la masareducida como la masa delelectrón, es decir,

P

R

R e

Z M mm

m m

Es más, nos restringiremos a las modificacioneshiperfinas al estado base del átomo de hidrógeno.* Resaltamos la idea del fenomeno sin "perdernos"en las complicaciones del cálculo* La estructura hiperfina del estado base delhidrógeno genera una transición fundamentalpara la astrofísica, la línea de 21 cm.

3

3

Acoplamiento espín del protón-momento orbital:

Acoplamiento espín del protón-espín del electrón:

/

/

p e

p e

E

E

eL m cr

r

Acoplamiento del momento dipolar magnético del núcleo(que genera un campo magnético permanente) con elmomento angular orbital y con el espín del electrón.L S

e e

El momento magnético intrinseco del electrón es

2.00232

El momento magnético intrinseco del protón es

g 5.58562

e ee

p p p pp

eg S gm c

eg Sm c

314P e

27e P

e

Comparación del momento magnético del protón respectoal momento magnético del electrón:

2 5.5856 9.11 10 Kg- 102.0023 1.67 10 Kg

2

p ppp

ee

e

eg Sm c g m

g meg Sm c

e e 2.00232

g 5.58562

e ee

p p p pp

eg S gm c

eg Sm c

283

24

Corrección hiperfina 9.11 10 g 10Corrección fina 1.67 10 g

e

p

mm

3protón-órbita

3protón-electrón

La energía de interacción entre los momentosmagnéticos está dada como

/

/

p e

p e

E

E

eL m cr

r

3 3protón-órbita protón-electrón

La energía de interacción entre los momentos magnéticos está dada como

y / /p e p eE EeL m cr r

3protón-electrón

Para los estados 0 tenemos 0

y sólo contribuye el término espín-espín:

/p e

s l L

E r

3

El campo magnético producido por el protón es

ˆ ˆ3 83

(Jackson, pag. 147)

r rB r r

r

p p p pEl momento magnético del protón es con 5.58562 p

eg S gm c

3

Por tanto,

ˆ ˆ32 2 8

3 2

p

p p p pp p

p pp

B r

e eg S r r g Sm c m c eg S r

r m c

3

ˆ ˆ3 8 2 3p p p

p

r reg S B r rm c r

3

ˆ ˆ3 82 6

p ppp p p

p p

S r r Seg eB r g S rm c r m c

3

ˆ ˆ32 2 8

3 2

p p p pp p

p p pp

e eg S r r g Sm c m c eB r g S r

r m c

e

e 3

Como el momento magnético del electrón es

2

la energía de interacción es

ˆ ˆ3 82 2 6

e ee

e p

p ppe p p

e p p

eg Sm c

B r

S r r Sege eg S g S rm c m c r m c

3

ˆ ˆ3 82 6

p ppp p p

p p

S r r Seg eB r g S rm c r m c

2 2

hf 2 3 2

Por lo tanto el hamiltoniano de interacción queda como

ˆ ˆ3 4ˆ4 6

p e p ep e p ep e

p e p e

S r S r S Sg g e g g eS S r

c m m r c m m

H

e 3

La energía de interacción es

ˆ ˆ3 82 2 6

p ppe p e p p

e p p

S r r Sege eB r g S g S rm c m c r m c

(0) (0) (0) (0)

(0) (1)

k k kE

E

HH = H H

(0) (1)

(1) (0) (1) (0)

k k k

k k k

E E E

E

H

(1) (0) (1) (0)Para utlizar la fórmula

derivada para el caso no degenerado, debemosde hallar otro operador que conmute con elhamiltoniano y que tenga valores propiosdiferentes.

k k kE H

p e p

Momento angular total:

Número cuántico: 1 12 2

F J S L S S

f l

hf

2

2 3

2

2

ˆ ˆ3

4

46

p e p ep el s l s

p e

p el s p e l s

p e

E

S r S r S Sg g enlm m nlmm

c m m r

g g enlm m S S r nlm m

c m m

2 2

hf 2 3 2

ˆ ˆ3 4ˆ4 6

p e p ep e p ep e

p e p e

S r S r S Sg g e g g eS S r

c m m r c m m

H

l s p e l s

s p e s l l

nlm m S S r nlm m

m S S m nlm r nlm

2

hf 2 3

2

2

ˆ ˆ3

4

46 l s p e

p e p ep el s l s

p

l

e

ps

e

p e

S r S r S Sg g eE nlm m nlm m

c m m r

g g ec m m

nlm m S S r nlm m

2

hf 2 3

2

2

ˆ ˆ3

4

46

p e p ep el s l s

p e

p es p e s l l

p e

S r S r S Sg g eE nlm m nlm m

c m m r

g g em S S m

c m mnlm r nlm

20

l ll l nlm nlm nlmnlm r nlm r r r dV

hf

2

2 3

22

2

ˆ ˆ3

4

4 06

p e p ep el s l s

p e

p es p e s nlm

p e

E

S r S r S Sg g enlm m nlm m

c m m r

g g em S S m

c m m

3

(Problema 6.25, pag. 252, capítulo 6 d

Para los estados con 0

el Griffit

ˆ

hs

ˆ0

)

3 p e p el s l s

S r S r S Snlm

l

m nlm mr

2

hf 2 3

22

2

ˆ ˆ3

4

4 06

p e p ep el s l s

p e

p es p e s nlm

p e

S r S r S Sg g eE nlm m nlm m

c m m r

g g em S S m

c m m

2

0 0

4( · )( · )sin ( · )3

r r da bb ad

3

Para los estados con 0

ˆ ˆ30

p e p el s l s

l

S r S r S Snlm m nlm m

r

2

0 0

2

0 0

[( )

·(sin cos sin sin cos )]

[( )

·(sin cos sin sin cos )]sin

( sin cos sin sin cos )

( sin cos sin sin cos )sin

x y z

x y z

x y z

x y z

a i a j a k

i j k

b i b j b k

i j k d d

a i a j a k

b i b j b k d d

2

0 0

( · )( · )sin ; sin cos sin sin cosa r b r d d r i j k

2

0 0

2

0 0

2

0 0

2

0 0

2

0 0

4(Sin[ ]Cos[ ])*(Sin[ ]Cos[ ])Sin[ ]3

( [ ] [ ])*( [ ] [ ]) [ ]d d 0

( [ ] [ ])*( [ ]) [ ]d d 0

( [ ] [ ])*( [ ] [ ]) [ ]d d 0

( [

d d

Sin Cos Sin Sin Sin

Sin Cos Cos Sin

Sin Sin Sin Cos Sin

Sin

2

0 0

2

0 0

2

0 0

2

0 0

4] [ ])*( [ ] [ ]) [ ]d d3

( [ ] [ ])*( [ ]) [ ]d d 0

( [ ])*( [ ] [ ]) [ ]d d 0

( [ ])*( [ ] [ ]) [ ]d d 0

4( [ ])*( [ ]) [ ]d d

Sin Sin Sin Sin

Sin Sin Cos Sin

Cos Sin Cos Sin

Cos Sin Sin Sin

Cos Cos Sin

3

2

0 0

2

0 0

( )

( ) d d

4 4( ) ( · )3 3

4( · )( · ) d d ( · )3

x y z

x y z

x x y y z z

a sin cos i a sin sin j a cos k

b sin cos i b sin sin j b cos k sin

a b a b a b a b

a r b r sin a b

2

0 0

( · )( · )sin ; sin cos sin sin cosa r b r d d r i j k

3

3

3( · )( · ) ·, , , | | , , ,

1| | , , | 3( · )( · ) · | , ,

p e p el s l s

p e p el s l s

S r S r S Sn l m m n l m mr

n n l m m S r S r S S l m mr

3

Para los estados con 0

ˆ ˆ30

p e p el s l s

l

S r S r S Snlm m nlm m

r

2

0 0

, , | 3( · )( · ) · | , ,

3 , , | ( · )( · ) | , , , , | · | , ,

sin[ ]d d 4

, , | · | , , 4 | · |

p e p el s l s

p e p el s l s l s l s

p e p el s l s s s

l m m S r S r S S l m m

l m m S r S r l m m l m m S S l m m

l m m S S l m m m S S m

3

3

3

3( · )( · ) ·, , , | | , , ,

1| | , , | 3( · )(

ˆ ˆ3

· , ,

0

· ) |

p e p el s

p e p el s l

l s

p e p e

s

l s l s

S r S r S Sn l m m n l m mr

n n l m m S r

S r S r S Snlm m nlm m

S r S S l m mr

r

, , | 3( · )( · ) · | , ,43( ) | · | 4 | · |3

0

p e p el s l s

p e p es s s s

l m m S r S r S S l m m

m S S m m S S m

3

3

2

0 0

3

ˆ ˆ30

3( · )( · ) ·, , , | | , , ,

1| | , , | 3( · )( · ) · | , ,

4( · )( · )sin ( · )3

, , | · | ,

p e p el s l s

p e p el

p e p el s l

s l s

p

s

el s l

S r S r S Snlm m nlm

S r S r S Sn l m m n l m mr

n n l

mr

a b a

m m S r S r S S l m mr

r r d d b

l m m S S l m

, 4 | · |p es s sm m S S m

3

22

hf 0

ˆ ˆ30

así

Para los estados co

que4 06

n 0

p e p el s l s

p ep e n m

p e

S r S r S Snlm m nlm m

r

g g eE S S

m m

l

2

hf 2 3

22

2

ˆ ˆ3

4

4 06

p e p ep el s l s

p e

p es p e s nlm

p e

S r S r S Sg g eE nlm m nlm m

c m m r

g g em S S m

c m m

2

100 3

2

hf 3

10

por tanto

4estado base

Para el estado b se,

6

a

p ep e

p e

a

g g eE S S

m m a

2

2

hf 04Para los estados con 0, 06

p ep e n m

p e

g g el E S S

m m

En presencia del acoplamiento espín-espín,los momentos angulares de espín individualesno se conservan, y por tanto, no son buenosnúmeros cuánticos. Los operadores noconmutan con el hamiltoniano. Los vectorespropios que se deben considerar son los delmomento angular de espín total

e pS S S

2 2 2

2 2 2

Elevando al cuadrado,

2

de donde12

e p e p

e p e p

S S S S S

S S S S S

e pS S S

22 34s s

s s

m m

z m s m

S

S m

2 2 212e p e pS S S S S

2 2 2 2

2 2 2 2

Estado triplete. Espines paralelos. Espín total=11 12 4

Estado singulete. Espines antiparalelos. Espín total=01 32 4

e p e p

e p e p

S S S S S

S S S S S

2 2 2 2

2 2 2 2

Estado triplete. Espines paralelos. Espín total=11 12 4

Estado singulete. Espines antiparalelos. Espín total=01 32 4

e p e p

e p e p

S S S S S

S S S S S

2

hf 3

4estado base6

p ep e

p e

g g eE S S

m m a

2 2

hf 3

2 26

3

1 / 4 triplete4estado base3 / 4 singulete6

4 5.88 10 eV6

1420.406 MHz 21.106 cm

p e

p e

p e

p e

g g eE

m m a

g g em m a

hch

Única técnica conocida de detección de hidrógeno neutro

2

hf 3

4estado base6

p ep e

p e

g g eE S S

m m a

1/ 2 1/ 2

15 1

1 ( 1) 1 ( 0)

1420.406 MHz ; 21.106 cm

Probabilidad de transición=2.9 10 s

S S S Shc

h

2 2

hf 3

1/ 4 triplete4estado base3/ 4 singulete6

p e

p e

g g eE

m m a

En 1944, Hendrik van de Hulst

predijo la emisión HI del

hidrógeno neutro (esta transición

hiperfina de 21 cm).

La emisión fue descubierta en 1951 por H.I.Ewen and E. M. Purcell de la Universidad de Harvard usando las técnicas de radar desarrolladas en la guerra.

Nature 168, 356 (1 September 1951) Observation of a Line in the Galactic Radio Spectrum: Radiation from Galactic Hydrogen at 1,420 Mc./sec.H. I. EWEN & E. M. PURCELL1.Lyman Laboratory, Harvard University, Cambridge, Mass. June 14.

13.6 eV

1/ 2 1/ 2

15 1

1 ( 1) 1 ( 0)

1420.406 MHz ; 21.106 cm

Probabilidad de transición=2.9 10 s

S S S Shc

h

2 2

hf 3

1/ 4 triplete4estado base3/ 4 singulete6

p e

p e

g g eE

m m a

1/ 2 1/ 21 ( 1) 1 ( 0)

1420.406 MHz ; 21.106 cm

S S S Shc

h

Esta transición es prohibida electromagnéticamente porqueviola la regla de selección 1, pues se tiene 0.La excitación se produce por colisiones.Por tanto se puede conocer la densidad y la temper

l l

aturamedia de las nubes de H en el espacio interestelar.

2

2

2

1 0 ( )

1 0

D

k k l l k

k k

ei e p A mct c

k l

=H

1

2 3

1 0 0 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

ii

ii

2D

ei e p A mct c

=H

1/ 22

2

2 21 1

1/ 2 1/ 2

1 3 5 1 1,2,3,.... , , ,...,2 2 2 2

njE mcn j j

n j n

Tarea: Demostrar que de este espectro sale el que hemos encontrado con teoría de perturbaciones

Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:

1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida

2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita

3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano

4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares magnéticos del electrón y el protón

Energía de Bohr

Estructura fina

Corrimiento Lamb

Estructura hiperfina

4 2mc5 2mc

2 2mc

4 2

p

m mcm

Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno

1/2

1/ 2

1Con con el número cuántico 2

Ejemplo:2 ( 2, 0, 1/ 2)tiene la mism

Persiste

a energí

la degeneración:

a que2 ( 2, 1, 1/ 2)

sj l m

S n l j

P n l j

2

fs 2R

432 1/ 2

nE nEm c j

,03 1Lamb 3

1,

2 1/ 2 1/ 2

12

,0 es una función creciente de

1,0 12.7 ,0 13.7; , 0 0.05

lzEE K n ln j l

j l

K n n

K K K n l

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html