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PD6 - PD7 - PD8
“Matrices - Eliminacion Gaussiana
Determinante - Rango - Inversa”
27 de mayo de 2019
1
PD6 - PD7 - PD8
Matriz cuadrada. Una matriz cuadrada de orden n, es una matriz de orden n×n denotada
por An en vez de An×n,
An =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
Los elementos a11, a22, . . . , ann forman la diagonal principal de la matriz.
Traza de una matriz cuadrada. La traza de una matriz cuadrada de orden n, es la suma
de los elementos de la diagonal principal,
traza(A) =n∑
j=1
ajj = a11 + a22 + · · ·+ ann
PD6 - PD7 - PD8
Propiedades.
� traza(A+B) = traza(A) + traza(B)
� traza(αA) = αtraza(A)
� traza(AB) = traza(BA)
� traza(A) = traza(AT )
PD6 - PD7 - PD8
Matriz triangular superior. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Decimos que A es
una matriz triangular superior cuando
∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n},[i > j → aij = 0
]
a1 ∗ ∗ · · · ∗0 a2 ∗ · · · ∗0 0 a3 · · · ∗...
......
. . ....
0 0 0 · · · an
triangular superior
PD6 - PD7 - PD8
Matriz triangular inferior. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Decimos que A es
una matriz triangular inferior cuando
∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n},[i < j → aij = 0
]
a1 0 0 · · · 0
∗ a2 0 · · · 0
∗ ∗ a3 · · · 0...
......
. . ....
∗ ∗ ∗ · · · an
triangular inferior
PD6 - PD7 - PD8
Matriz diagonal. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Decimos que A es una matriz
triangular inferior cuando es triangular superior e inferior.
∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n},[i 6= j → aij = 0
]
a1 0 0 · · · 0
0 a2 0 · · · 0
0 0 a3 · · · 0...
......
. . ....
0 0 0 · · · an
diagonal
PD6 - PD7 - PD8
Transpuesta de una matriz. Sea A = (aij)m×n una matriz de orden m× n. Definimos la
matriz transpuesta de A como la matriz definida por
AT = (bij)n×m donde bij = aji
es decir, el resultado de intercambiar filas por columnas.
1 2
3 4
5 6
T
=
[1 3 5
2 4 6
]
PD6 - PD7 - PD8
Propiedades.
� (A+B)T = AT +BT
� (αA)T = αAT
� (AB)T = BTAT
� (A)TT = A
PD6 - PD7 - PD8
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Decimos que A es una
matriz simetrica cuando AT = A.
matriz antisimetrica cuando AT = −A.
matriz idempotente cuando A2 = A.
matriz involutiva cuando A2 = I.
matriz nilpotente de ındice p cuando Ap = 0.
matriz periodica de periodo p cuando Ap+1 = A.
PD6 - PD7 - PD8
Producto matricial.
col1 col2 col3
fila1 a11 a12 a13
fila2 a21 a22 a23
fila3 a31 a32 a33
fila4 a41 a42 a43
col1 col2
fila1 b11 b12
fila2 b21 b22
fila3 b31 b32
=
col1 col2
fila1 c11 c12
fila2 c21 c22
fila3 c31 c32
fila4 c41 c42
c32 =3∑
k=1
a3kbk2 = a31b12 + a32b22 + a33b32
PD6 - PD7 - PD8
Representacion Matricial de un Sistema Lineal. El sistema de ecuaciones lineales
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...
.... . .
......
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(m ecuaciones, n incognitas)
se puede escribir como Ax = b, donde
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
am1 am2 · · · amn
, x =
x1
x2...
xn
, b =
b1
b2...
bm
matriz de coeficientes incognitas terminos independientes
PD6 - PD7 - PD8
Matriz aumentada. Dado el sistema lineal Ax = b
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...
.... . .
......
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(m ecuaciones, n incognitas)
se define la matriz aumentada asociada a dicho sistema como
[A|b] =
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2...
.... . .
......
am1 am2 · · · amn bm
PD6 - PD7 - PD8
Fila nula y pivote de una fila.
� Una fila de una matriz se dice nula cuando todos sus elementos son ceros.
� El pivote de una fila no nula es el primer elemento no nulo de dicha fila.
Matriz escalonada.
Una matriz se dice escalonada cuando cumple las siguientes condiciones:
� Las filas nulas estan por debajo de las filas no nulas.
� El pivote de cada fila esta a la derecha del pivote de la fila anterior.
PD6 - PD7 - PD8
Matriz escalonada. Las siguientes matrices son escalonadas:
2 4 1
0 −2 6
0 0 0
,
1 0 1
0 1 6
0 0 2
,
1 1 2 1
0 0 1 3
0 0 0 0
,
0 4 0 1 −1 3
0 0 −1 1 3 6
0 0 0 0 4 0
0 0 0 0 0 0
Observe que los elementos pivote forman un patron en escalera. En particular, en cualquier
columna que contenga un elemento pivote, todas las entradas bajo el elemento pivote son
ceros.
PD6 - PD7 - PD8
Matriz reducida. Una matriz escalonada se dice reducida cuando cumple las siguientes
dos condiciones:
� Todos los pivotes son iguales a 1.
� Los otros elementos de una columna que contiene un pivote son ceros.
1 0 ∗ 0 ∗ ∗0 1 ∗ 0 ∗ ∗0 0 0 1 ∗ ∗0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
5× 6
PD6 - PD7 - PD8
Operaciones elementales en las filas. Una operacion elemental en las filas de una matriz
es cualquiera de las siguientes operaciones.
� Intercambiar dos filas.
� Re-escalar una fila por una constante diferente de cero.
� Re-escalar una fila y sumarla a otra.
Matrices equivalentes por filas. Dos matrices se dicen equivalentes por filas cuando
realizando operaciones elementales en una, se obtiene como resultado la otra.
PD6 - PD7 - PD8
Teorema. Toda matriz es equivalente por filas a una unica matriz reducida.
Teorema. La matriz A es equivalente por filas a la matriz B si y solamente si ambas tienen
la misma matriz reducida.
Variables dependientes e independientes (libres). El proceso de reducir una matriz
se conoce como eliminacion Gaussiana. Cuando la matriz esta reducida es muy sencillo
describir el conjunto solucion. Las variables correspondientes a las columnas que contienen
pivotes son dependientes y el resto son independientes.
Observacion: Si al reducir una matriz aumentada obtenemos una fila con pivote en la
ultima columna eso quiere decir que el sistema no tiene solucion. En efecto, si tuviesemos
una fila de la forma [0 · · · 0|1] eso quiere decir que 0x1 + · · ·+ 0xn = 1 pero entonces 0 = 1.
Esta contradiccion nos dice que el sistema no tiene solucion.
PD6 - PD7 - PD8
Eliminacion Gaussiana. Cuando se aplica la reduccion a la matriz aumentada de un
sistema de ecuaciones lineales, se crea un sistema equivalente. Todo el proceso se conoce
como eliminacion Gaussiana. Los Pasos a seguir son los siguientes:
� Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
� Use operaciones elementales para reducir la matriz aumentada a su forma escalonada.
La eliminacion Gaussiana es un proceso que nos permite resolver un sistema lineal de ecua-
ciones de forma sistematica.
PD6 - PD7 - PD8
Matriz menor. Si An es una matriz cuadrada, la matriz menor (i, j) de A denotada por
Mij(A) se define como la matriz de orden (n− 1)× (n− 1) que resulta de eliminar la i-esima
fila y la j-esima columna. Por ejemplo si
A =
12 5 6
−2 −3 −6
5 −7 3
M11(A) =
12 5 6
−2 −3 −65 −7 3
, M12(A) =
12 5 6−2 −3 −65 −7 3
, M13(A) =
12 5 6−2 −3 −65 −7 3
PD6 - PD7 - PD8
Determinante. Si denotamos porMn×n al conjunto de matrices cuadradas de orden n×n.
Se define el determinante de una matriz cuadrada como la aplicacion
det :Mn×n → RA 7→ detA
Notacion: detA o |A|
definida inductivamente como:
detA =
a11 , si n = 1n∑
j=1
(−1)1+ja1j|M1j(A)| , si n ≥ 2(1)
Observacion: La ecuacion (1) es la expansion del determinante en la primera fila. Es
posible demostrar que la expansion del determinante en cualquier fila o columna nos da el
mismo numero.
PD6 - PD7 - PD8
Determinante de matrices de orden dos y tres.
�
∣∣∣∣∣a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
�
∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣= a11
∣∣∣∣∣a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣∣− a12∣∣∣∣∣a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣∣a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣∣
�
∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣= −a12
∣∣∣∣∣a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣∣+ a22
∣∣∣∣∣a11 a13
a31 a33
∣∣∣∣∣− a32∣∣∣∣∣a11 a13
a21 a23
∣∣∣∣∣
PD6 - PD7 - PD8
Propiedades. Sea A y B matrices cuadradas de orden n y α ∈ R, entonces
� |In| = 1
� |At| = |A|
� |αA| = αn|A|
� |A ·B| = |A| · |B|
PD6 - PD7 - PD8
Propiedades.
� Si una columna es cero el determinante es cero (lo mismo para filas).
∣∣∣∣∣∣∣
a 0 x
b 0 y
c 0 z
∣∣∣∣∣∣∣= 0
� Si una columna es multiplo de otra columna, entonces el determinante es cero (lo mismo
para filas). ∣∣∣∣∣∣∣
a x α · ab y α · bc z α · c
∣∣∣∣∣∣∣= 0
PD6 - PD7 - PD8
Propiedad. Si a una columna le sumamos un multiplo de otra columna, entonces el deter-
minante no cambia de valor (lo mismo para filas).
Por ejemplo en el siguiente determinante, si a la columna 2, le sumamos la columna 1
multiplicada por −3.
∣∣∣∣∣∣∣
a x m
b y n
c z p
∣∣∣∣∣∣∣=
C2+(−3)C1−−−−−−−−−→
∣∣∣∣∣∣∣
a x− 3a m
b y − 3b n
c z − 3c p
∣∣∣∣∣∣∣
PD6 - PD7 - PD8
Propiedad. Podemos factorizar una columna (o fila) en un determinante.
�
∣∣∣∣∣∣∣
a α · x m
b α · y n
c α · z p
∣∣∣∣∣∣∣= α ·
∣∣∣∣∣∣∣
a x m
b y n
c z p
∣∣∣∣∣∣∣
�
∣∣∣∣∣∣∣
α · a α · x α ·mα · b α · y α · nc z p
∣∣∣∣∣∣∣= α2 ·
∣∣∣∣∣∣∣
a x m
b y n
c z p
∣∣∣∣∣∣∣
�
∣∣∣∣∣∣∣
α · a α · x α ·mα · b α · y α · nα · c α · z α · p
∣∣∣∣∣∣∣= α3 ·
∣∣∣∣∣∣∣
a x m
b y n
c z p
∣∣∣∣∣∣∣
PD6 - PD7 - PD8
Propiedad. Si intercambiamos dos columnas (o dos filas) el determinante queda multipli-
cada por −1, no es lo mismo que eliminacion gaussiana. Por ejemplo si intercambiamos la
primera y segunda columna del siguiente determinante:
∣∣∣∣∣∣∣
a x m
b y n
c z p
∣∣∣∣∣∣∣= −
∣∣∣∣∣∣∣
x a m
y b n
z c p
∣∣∣∣∣∣∣
PD6 - PD7 - PD8
Propiedad. El determinante de una matriz triangular superior o inferior es el producto de
los elementos de su diagonal principal.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 ∗ ∗ · · · ∗0 a2 ∗ · · · ∗0 0 a3 · · · ∗...
......
. . ....
0 0 0 · · · an
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= a1 · a2 · a3 · · · an
triangular superior
Observacion: Para calcular el determinante de una matriz en general, el metodo es reducirla
a una matriz triangular superior o inferior, mediante propiedades de determinantes.
PD6 - PD7 - PD8
Teorema. Sea A una matriz cuadrada de orden n. El sistema lineal
Ax = b (A es la matriz de coeficientes)
admite solucion unica si y solamente si detA 6= 0.
Teorema. Sea A una matriz cuadrada de orden n. El sistema
Ax = 0b=0
(A es la matriz de coeficientes)
admite infinitas soluciones si y solamente si detA = 0.
PD6 - PD7 - PD8
Sistema de Cramer. Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de
Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:
� El numero de ecuaciones es igual al numero de incognitas (la matriz de coeficientes es
cuadrada).
� El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.
Un sistema de Cramer es por definicion compatible determinado, es decir, tiene solucion
unica.
PD6 - PD7 - PD8
Regla de Cramer. Consideremos el sistema de Cramer
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...
.... . .
......
an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
(1)
el cual se puede escribir como Ax = b, donde
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
, x =
x1
x2...
xn
, b =
b1
b2...
bn
PD6 - PD7 - PD8
Se llama matriz asociada a la variable xj y la denotaremos por Aj a la matriz que se obtiene
al sustituir en la matriz de coeficientes la columna j por la matriz columna de los terminos
independientes. Es decir:
Aj =
a11 a12 · · · b1 · · · a1n
a21 a22 · · · b2 · · · a2n...
.... . .
.... . .
...
an1 an2 · · · bn · · · ann
Luego
xj =|Aj||A| , j ∈ {1, 2, . . . , n}
PD6 - PD7 - PD8
Regla de Cramer para n = 2. Si Ax = b es un sistema de Cramer donde
A =
[a11 a12
a21 a22
], b =
[b1
b2
]
entonces dicha solucion se puede calcular mediante la formula
x =
∣∣∣∣∣b1 a12
b2 a22
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣
, y =
∣∣∣∣∣a11 b1
a21 b2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣
PD6 - PD7 - PD8
Regla de Cramer para n = 3. Si Ax = b es un sistema de Cramer donde
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
, b =
b1
b2
b3
entonces dicha solucion se puede calcular mediante la formula
x =
∣∣∣∣∣∣∣
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣
, y =
∣∣∣∣∣∣∣
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣
, z =
∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣
PD6 - PD7 - PD8
Inversa de una Matriz. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si B es una matriz
cuadrada de orden n tal que
A ·B = B · A = In
entonces decimos que B es una matriz inversa de A.
Teorema. Sea A una matriz cuadrada de orden n. A admite inversa si y solamente si
detA 6= 0.
En este caso, dicha inversa B es unica y se denota por A−1,
A · A−1 = A−1 · A = In
PD6 - PD7 - PD8
Metodo de Gauss - Jordan. Para calcular la inversa de una matriz cuadrada A de orden
n, primero construimos la matriz [A|In]. Luego usando eliminacion gaussiana es posible
reducir la matriz a la forma [In|B]. Luego se prueba que B es la inversa de A.
a11 a12 · · · a1n 1 0 · · · 0
a21 a22 · · · a2n 0 1 · · · 0...
.... . .
......
.... . .
...
a1n a2n · · · ann 0 0 · · · 1
EG−−→
1 0 · · · 0 a11 a12 · · · a1n
0 1 · · · 0 a21 a22 · · · a2n...
.... . .
......
.... . .
...
0 0 · · · 1 a1n a2n · · · ann
A In In A−1
PD6 - PD7 - PD8
Rango de una matriz. El rango es una funcion que asigna a una matriz el numero de
pivotes de la matriz reducida obtenida al aplicar eliminacion gaussiana. Denotamos este
numero por rango(A).
rango :Mm×n → {0, 1, 2, . . .}A 7→ rango(A)
Propiedades.
� rango(A) ∈ {0, 1, 2, . . .}
� 0 ≤ rango(A) ≤ min{m,n}
� El rango(A) es el numero de pivotes de la matriz escalonada .
PD6 - PD7 - PD8
Ejemplo.
� rango
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= 3
� rango
2 4 1 1
0 −2 6 2
0 0 0 0
= 2
� rango
0 0
0 0
0 0
= 0
� rango
0 4 0 1 −1 3
0 0 −1 1 3 6
0 0 0 0 4 5
0 0 0 0 0 0
= 3
PD6 - PD7 - PD8
Conjunto solucion de un sistema de ecuaciones lineales Ax = b.
Dado el sistema:
Am×n · x = b
m: numero de ecuaciones
n : numero de variables
[Am×n|bm×1]rango[A] < rango[A|b]sistema inconsistente
no existe solucion
rango[A] = rango[A|b]sistema consistente
existe solucionrango[A] = rango[A|b] < n
infinitas soluciones
rango[A] = rango[A|b] = n
solucion unica
PD6 - PD7 - PD8
Observaciones:
(a) Recordemos que existe una correspondencia entre las columnas de la matriz de coeficien-
tes y las variables del sistema. Si reducimos la matriz aumentada y obtenemos un pivote
por cada columna esto significa que cada variable queda completamente determinada y
por lo tanto la solucion es unica.
(b) Vimos anteriormente que si una matriz aumentada tiene una fila de la forma [0 · · · 0|1]
el sistema no tiene solucion. Esta fila aumenta el rango y por lo tanto el sistema es
inconsistente.
(c) Si escalonamos la matriz ampliada [A|b], al mismo tiempo tambien estamos escalonando
la matriz A.
PD6 - PD7 - PD8
Problema. Analice bajo que condiciones el sistema
x− z = 2
x+ y + (k + 1)z = k + 3
x+ y + z = 3
−x+ y + (k + 3)z = −k
tiene solucion unica, infinitas soluciones, o no tiene solucion.