DETERMINANTES

Determinantes

Concepto de determinante

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de

A, denotado por |A| o por det (A).

A =

Determinante de orden uno

|a11| = a11

|5| = 5

Determinante de orden dos

= a 11 a 22 - a 12 a 21

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como

sigue:

=

a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 -

- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

=

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -

- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la

matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con

signo negativo (cambian su signo).

Regla de Sarrus

Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para para

calcular determinantes de orden 3.

Regla de Sarrus

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los

de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los

de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo

Menor complementario y adjunto

Menor complementario de un elemento de un determinante

Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1

que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

Adjunto de un elemento de un determinante

Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:

El signo es + si i+j es par.

El signo es - si i+j es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una

línea por sus adjuntos correspondientes:

Ejemplo

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Cálculo de determinantes

Determinante de orden uno

|a 11| = a 11

|-2| = -2

Determinante de orden dos

= a 11 a 22 - a 12 a 21

Determinante de orden tres

Se aplica la regla de Sarrus:

Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos

nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.

Seguiremos los siguientes pasos:

1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila

o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el

mayor número posible de elementos nulos).

2.En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y

operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con

alguna línea paralela ).

2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el

determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común

en una línea de uno de sus elementos.

3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los

elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de

orden inferior en una unidad al original.

= 2(-58)

Propiedades de los determinantes

1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal

principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante

cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela

multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho

número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos,

dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

Matriz inversa

Cálculo de la matriz inversa

Cálculo de la matriz inversa

1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la

matriz no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por

su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz

traspuesta de la adjunta.

También puedes calcular la matriz inversa por el método Gauss.

Rango de una matriz

Es el número de filas o columnas linealmente independientes, utilizando esta definición

se puede calcular usando el método de Gauss.

También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no

nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.

Cálculo del rango de una matriz por determinantes

1. Podemos descartar una línea si:.

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos líneas iguales.

Una línea es proporcional a otra.

Una línea es combinación lineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 +

c2

2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un

elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.

|2|=2≠0

3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su

determinante no sea nulo.

4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su

determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B)

= 2.

5. Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea

nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango

superior a 4.

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss.

RESUMEN - Determinantes

Definición de determinante

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante

de A , denotado por |A| o por det (A).

Determinante de orden uno

|a 11| = a 11

Determinante de orden dos

= a 11 a 22 - a 12 a 21

Determinante de orden tres

=

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 -

- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

Regla de Sarrus

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los

de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los

de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Menor complementario

Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1

que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

Adjunto

Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:

El signo es + si i+j es par. El signo es - si i+j es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos

de una línea por sus adjuntos correspondientes:

Determinante de orden superior a tres

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por

elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1 .

Seguiremos los siguientes pasos:

1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas:

la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que

contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2.En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de

elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea

sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).

2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos

multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es

decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los

elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante

de orden inferior en una unidad al original.

Propiedades de los determinantes

1.|At|= |A|

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la

diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante

cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela

multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por

dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos,

dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

Matriz inversa

Rango de una matriz

El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Determinantes. Ejercicios y problemas

1Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

2Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

3 Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin

desarrollarlos

4Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

5Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

6 Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

7 Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

8 Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

9Calcular los determinantes de Vandermonde:

10 Hallar la matriz inversa de:

11 Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa?

12 Calcular el rango de las siguientes matrices:

13 Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

1A · X = B

2 X · A + B = C

SOLUCION DE EJERCICIOS PROPUESTOS

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

1

Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

Tiene dos líneas proporcionales.

La tercera columna es igual a la suma de las otras dos.

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

2

Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

3

Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin

desarrollarlos

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

4

Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

5

Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

6

Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

7

Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

8

Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

9

Calcular los determinantes de Vandermonde:

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

10

Hallar la matriz inversa de:

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

11

Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa?

Para x = 0 la matriz A no tiene inversa.

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

12

Calcular el rango de las siguientes matrices:

|2|=2 ≠0

r(A) = 2

r(B) = 4

Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la

quinta porque combinación lineal de la primera y segunda: c5 = -2 · c1 + c2

r(C) = 2

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

13

Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

1A · X = B

|A|=1 ≠ 0, existe la matriz inversa A-1

.

A-1

(A · X) = A-1

· B

( A-1

· A) · X = A-1

· B

I · X = A-1

· B

X = A-1

· B

2 X · A + B = C

|A| = 1 ≠ 0

(X · A + B) - B = C - B

X · A + (B - B) = C - B

X · A + 0 = C - B

X · A = C - B

X · A · A-1

= ( C - B) · A-1

X (A · A-1

) = ( C - B) · A-1

X · I = ( C - B) · A-1

X = ( C - B) · A-1

MAS EJERCICIOS PROPUESTOS

Determinantes. Ejercicios

1Si el valor del determinante

. Calcular el valor de:

2Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:

3 Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

4Calcular el valor de los siguientes determinantes:

5¿Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa?

6Resolver las ecuación matricial:

A · X + 2 · B = 3 · C

MAS EJERCICIOS RESUELTOS

1

Si el valor del determinante

calcular el valor de:

2

Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:

3

Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

4

Calcular el valor de los siguientes determinantes:

5

¿Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa?

Para cualquier valor real de m existe la matriz inversa A-1

6

A · X + 2 · B = 3 · C

|A| = 1 ≠ 0

(A · X +2 · B) - 2 · B = 3 · C - 2B

A· X + ( 2 · B- 2 · B) = 3 · C - 2B

A· X + 0= 3 · C - 2B

A· X = 3 · C - 2B

( A-1

· A) · X = A-1

· (3 · C - 2B)

I · X = A-1

· (3· C - 2B)

X = A-1

· (3 · C - 2B)