MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES

James Joseph Sylvester (3 September 1814 – 15 March 1897) was an English mathematician. He made fundamental contributions to matrix theory

MATRICES Y DETERMINANTES

CONTENIDO

•Operaciones con matrices: Suma, resta, multiplicacion por escalares.•Combinación lineal de matrices•Tipos de matrices•Multiplicación de matrices•Determinantes. Introducción.•Menor complementario y Matriz adjunta.•Matriz Inversa.•Rango de una matriz.•Propiedades de los Determinantes.•Cálculo de determinantes.•Métodos numericos para el cálculo de determinantes y matriz inversa.

MATRICES Y DETERMINANTES

1,1 1,2 1,3 1, 1,

2,1 2,2 2,3 2, 2,

3,1 3,2 3,3 3, 3,

mxn

,1 ,2 ,3 , ,

,1 ,2 ,3 , ,

... ...

... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ...

... ...

j n

j n

j n

i i i i j i n

m m m m j m n

a a a a a

a a a a a

a a a a a

A

a a a a a

a a a a a

1

2

3

1,...,,1,...,

1 2 3 j n

...

...

C C C ........ C ... C

i mi j ijj n

i

mmxn

F

F

F

a a

F

F

Sea ℳmxn el conjunto de todas las posibles matrices

MATRICES Y DETERMINANTES

Sea ℳmxn El elemento ai,j de la matriz

MATRICES Y DETERMINANTES

Se define suma de matrices como C = A + B ∊ℳmxn como

, ,

1,2,..,,

1, 2,..,

mxn mxn mxn

ij ij ij i j i j

M xM M

i mA B C A B c a b a b

j n

Se define multiplicación por un escalar a C = αA ∊ℳmxn como

*

*, 1...

1...

, *

mxn mxn

i mij ij ijj n

RxM M

A C c A a a

SUMA, RESTA y MULTIPLICACION POR ESCALARES

MATRICES Y DETERMINANTES

EJEMPLOS

34

03

12

70

43

35

)3(740

0433

13)2(5

44

40

23

MATRICES Y DETERMINANTES

EJEMPLOS

9245

3108

2335

2571

)1(8 70 51 23

55 34 32 )2(9 =

= 7 7 4 5

0 7 5 7

MATRICES Y DETERMINANTES

EJEMPLOS

232

451

704

831

605

429

603

1054

325

2833)2(1

)4(65015

740249

MATRICES Y DETERMINANTES

Sean A1, A2, ..., An son matrices ℳmxn y α1, α2, ... αn son numeros reales R∊

1 1 2 2 .... n nA A A

COMBINACION LINEAL

MATRICES Y DETERMINANTES

Realiza la siguiente operación de matrices:

EJERCICIO

5 4 5 4

3 1 1 0 1 2 3 1

2 2 1 2 2 1 0 1

2 3 2 30 3 2 1 2 1 0 3

1 2 0 3 3 2 1 3

1 2 2 0 2 0 0 1x x

A B

COMBINACION LINEAL

MATRICES Y DETERMINANTES

5 4

6 2 2 0 3 6 9 3 3 8 11 3

4 4 2 4 6 3 0 3 10 1 2 1

0 6 4 2 6 3 0 9 6 3 4 7

2 4 0 6 9 6 3 9 11 10 3 15

2 4 4 0 6 0 0 3 4 4 4 3x

COMBINACION LINEAL

EJERCICIO. SOLUCIÓN

MATRICES Y DETERMINANTES

Sean las matrices columna siguientes.

EJERCICIO

COMBINACION LINEAL

1 2 3 42 3 2A A A A

1 2 3 4

2 1 1 0

1 2 2 1; ; ;

3 2 3 1

1 0 1 2

A A A A

Calcula la combinación lineal dada por

MATRICES Y DETERMINANTES

EJERCICIO. SOLUCIÓN

COMBINACION LINEAL

1 2 3 4

2 1 1 0 6

1 2 2 1 82 3 2 2 3 2

3 2 3 1 13

1 0 1 2 5

A A A A

MATRICES Y DETERMINANTES

a) Matriz fila, b) Matriz columna, c) Matriz rectangular, d) Matriz cuadrada, e) Matriz traspuesta, f) Matriz simetrica g) Matriz asimetrica h) Matriz triangular i) Matriz diagonal, j) Matriz escalar:k) Matriz identidadl) Matriz nulam) Matriz regularn) Matriz singular

TIPOS DE MATRICES

MATRICES Y DETERMINANTES

MULTIPLICACION DE MATRICES

1...11...

,

mxn nxp nxp

n

ij ij ij ij ik kji mkj p

M xM M

A B C A B c a b c a b

MATRICES Y DETERMINANTES

MULTIPLICACION DE MATRICES

MATRICES Y DETERMINANTES

MULTIPLICACION DE MATRICES

MATRICES Y DETERMINANTES

MULTIPLICACION DE MATRICES

MATRICES Y DETERMINANTES

EJEMPLOS

DETERMINANTES

AVANCE

1,1 1,21,1 2,2 1,2 2,1

2,1 2,2

a aa a a a

a a

3 13 1 2 1 3 2 5

2 1

DETERMINANTES

REGLA DE SARRUS

1,1 1,2 1,3 1,1 1,2 1,3 1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3 2,1 2,2 1,3 2,1 2,2 1,3

3,1 3,2 3,3 3,1 3,2 3,3 3,1 3,2 3,3

1,1 2,2 3,3 1,2 2,3 3,1 1,3 2,1 3,2 1,3 2,2 3

...... ... .... (Regla de Sarru

(

s)

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

,1 1,2 2,1 3,3 1,1 2,3 3,2 )a a a a a a

DETERMINANTES

Ejercicios

1 2 3

0 2 1 1 2 7 2 1 2 0 2 3 2 2 3 2 1 1 0 2 7 14 4 12 2 0 ...

2 2 7

... 10 10 10 10 0

1 2 2

1 3 0 1 1 3 1 0 2 1 2 1 1 2 3 2 1 1 0 1 1 ...

1 1 1

... 3 0 2 6 2 0 5 4 9

1 2 3

0 2 1

2 2 7

1 2 2

1 3 0

1 1 1

DETERMINANTES

Determinantes de orden superior a 3.

1 1 2 1 3 1 4 1

1 3 0 1

2 4 3 0

0 2 2 4

1 3 3 1

4 3 0 3 0 1 3 0 1 3 0 1

( 1)( 1) 2 2 4 2( 1) 2 2 4 0( 1) 4 3 0 1( 1) 4 3 0

3 3 1 3 3 1 3 3 1 2 2 4

4 3 0 3 0 1 3 0 1

2 2 4 2 2 2 4 4 3 0 8 36 ( 48 6) 2 6 6 ( 6 36) 36 8 (6)

3 3 1 3 3 1 2 2 4

98 2 42 22 204