[Maths] 2.5.1 matrices y determinantes mpf

MATRICES Y DETERMINANTES


James Joseph Sylvester (3 September 1814 – 15 March 1897) was an English mathematician. He made fundamental contributions to matrix theory

http://en.wikipedia.org/wiki/England

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematician

http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_theory


CONTENIDO

•Operaciones con matrices: Suma, resta, multiplicacion por escalares.•Combinación lineal de matrices•Tipos de matrices•Multiplicación de matrices•Determinantes. Introducción.•Menor complementario y Matriz adjunta.•Matriz Inversa.•Rango de una matriz.•Propiedades de los Determinantes.•Cálculo de determinantes.•Métodos numericos para el cálculo de determinantes y matriz inversa.


1,1 1,2 1,3 1, 1,

2,1 2,2 2,3 2, 2,

3,1 3,2 3,3 3, 3,

mxn

,1 ,2 ,3 , ,

,1 ,2 ,3 , ,

... ...

... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ...

... ...

j n

j n

j n

i i i i j i n

m m m m j m n

a a a a a

a a a a a

a a a a a

A

a a a a a

a a a a a

1

2

3

1,...,,1,...,

1 2 3 j n

...

...

C C C ........ C ... C

i mi j ijj n

i

mmxn

F

F

F

a a

F

F

Sea ℳmxn el conjunto de todas las posibles matrices


Sea ℳmxn El elemento ai,j de la matriz


Se define suma de matrices como C = A + B ∊ℳmxn como

, ,

1,2,..,,

1, 2,..,

mxn mxn mxn

ij ij ij i j i j

M xM M

i mA B C A B c a b a b

j n

Se define multiplicación por un escalar a C = αA ∊ℳmxn como

*

*, 1...

1...

, *

mxn mxn

i mij ij ijj n

RxM M

A C c A a a

SUMA, RESTA y MULTIPLICACION POR ESCALARES


EJEMPLOS

34

03

12

70

43

35

)3(740

0433

13)2(5

44

40

23


EJEMPLOS

9245

3108

2335

2571

)1(8 70 51 23

55 34 32 )2(9 =

= 7 7 4 5

0 7 5 7


EJEMPLOS

232

451

704

831

605

429

603

1054

325

2833)2(1

)4(65015

740249


Sean A1, A2, ..., An son matrices ℳmxn y α1, α2, ... αn son numeros reales R∊

1 1 2 2 .... n nA A A

COMBINACION LINEAL


Realiza la siguiente operación de matrices:

EJERCICIO

5 4 5 4

3 1 1 0 1 2 3 1

2 2 1 2 2 1 0 1

2 3 2 30 3 2 1 2 1 0 3

1 2 0 3 3 2 1 3

1 2 2 0 2 0 0 1x x

A B

COMBINACION LINEAL


5 4

6 2 2 0 3 6 9 3 3 8 11 3

4 4 2 4 6 3 0 3 10 1 2 1

0 6 4 2 6 3 0 9 6 3 4 7

2 4 0 6 9 6 3 9 11 10 3 15

2 4 4 0 6 0 0 3 4 4 4 3x

COMBINACION LINEAL

EJERCICIO. SOLUCIÓN


Sean las matrices columna siguientes.

EJERCICIO

COMBINACION LINEAL

1 2 3 42 3 2A A A A

1 2 3 4

2 1 1 0

1 2 2 1; ; ;

3 2 3 1

1 0 1 2

A A A A

Calcula la combinación lineal dada por


EJERCICIO. SOLUCIÓN

COMBINACION LINEAL

1 2 3 4

2 1 1 0 6

1 2 2 1 82 3 2 2 3 2

3 2 3 1 13

1 0 1 2 5

A A A A


a) Matriz fila, b) Matriz columna, c) Matriz rectangular, d) Matriz cuadrada, e) Matriz traspuesta, f) Matriz simetrica g) Matriz asimetrica h) Matriz triangular i) Matriz diagonal, j) Matriz escalar:k) Matriz identidadl) Matriz nulam) Matriz regularn) Matriz singular

TIPOS DE MATRICES


MULTIPLICACION DE MATRICES

1...11...

,

mxn nxp nxp

n

ij ij ij ij ik kji mkj p

M xM M

A B C A B c a b c a b


MULTIPLICACION DE MATRICES


EJEMPLOS

DETERMINANTES

AVANCE

1,1 1,21,1 2,2 1,2 2,1

2,1 2,2

a aa a a a

a a

3 13 1 2 1 3 2 5

2 1

DETERMINANTES

REGLA DE SARRUS

1,1 1,2 1,3 1,1 1,2 1,3 1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3 2,1 2,2 1,3 2,1 2,2 1,3

3,1 3,2 3,3 3,1 3,2 3,3 3,1 3,2 3,3

1,1 2,2 3,3 1,2 2,3 3,1 1,3 2,1 3,2 1,3 2,2 3

...... ... .... (Regla de Sarru

(

s)

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

,1 1,2 2,1 3,3 1,1 2,3 3,2 )a a a a a a

DETERMINANTES

Ejercicios

1 2 3

0 2 1 1 2 7 2 1 2 0 2 3 2 2 3 2 1 1 0 2 7 14 4 12 2 0 ...

2 2 7

... 10 10 10 10 0

1 2 2

1 3 0 1 1 3 1 0 2 1 2 1 1 2 3 2 1 1 0 1 1 ...

1 1 1

... 3 0 2 6 2 0 5 4 9

1 2 3

0 2 1

2 2 7

1 2 2

1 3 0

1 1 1

DETERMINANTES

Determinantes de orden superior a 3.

1 1 2 1 3 1 4 1

1 3 0 1

2 4 3 0

0 2 2 4

1 3 3 1

4 3 0 3 0 1 3 0 1 3 0 1

( 1)( 1) 2 2 4 2( 1) 2 2 4 0( 1) 4 3 0 1( 1) 4 3 0

3 3 1 3 3 1 3 3 1 2 2 4

4 3 0 3 0 1 3 0 1

2 2 4 2 2 2 4 4 3 0 8 36 ( 48 6) 2 6 6 ( 6 36) 36 8 (6)

3 3 1 3 3 1 2 2 4

98 2 42 22 204

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