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Mathematische Modelle in der BiologieBiologische Wellen:
Einzelspeziesmodell - Teil 1
Andrea Schneider
05.02.2013Literatur: J.D. Murray: Mathematical Biology: I. An
Introduction, Third Edition, Springer
Gliederung
1 Ziele
2 Hintergrund
3 Ausbreitung
4 Fortschreitende Welle
5 Fisher-Kolmogoroff-GleichungAsymptotische LösungStabilität
6 Dichteabhängige DiffusionsreaktionExakte Lösungen
7 Fazit
Ziele
• Vorkommen von fortschreitenden Wellen.
• Beschreibung von fortschreitenden Wellen.
• Betrachtung von Simulationen fortschreitender Wellen.
• Anwendungsbereiche von Modellen fortschreitenderWellen.
Hintergrund
Fortschreitende Wellen sind an dem Entwicklungsprozess von• chemischen Konzentrationen• mechanischen Verformungen und• elektrischen Signalen
beteiligt.
Beispiele.:• wellenförmige Ereignisse im sich entwickelnden Embryo.• Ausbreitung von Ca2+-Wellen auf der Oberfläche von
Medaka-Eiern.
• chem. Konz.-Welle bei der Belousov-Zhabotinskij-Reaktion
AusbreitungBeispiel: Abläufe im sich entwickelnden Embryo
• Realer Wertebereich für Diffusionskoeffizienten:
D = 10−9cm2sec−1 − 10−11cm2sec−1
• Formale Betrachtung der Ausbreitung:
Standard-Diffusionsgleichung:
dudt
= Dd2udx2 D : Diffusionskoeffizient
Betrachte:O(L2/D), L = 1mm⇒ O(107 − 109 sec)→ zu lang.
→ Einfache Ausbreitung nicht Hauptmedium derInformationsübermittlung über eine bestimmte Distanz.
Fortschreitende Wellen
DefinitionEine fortschreitende Welle ist eine Welle, die sich ausbreitetohne ihre Form zu ändern.Formal:
u(x , t) = u(x − ct) = u(z), z = x − ct
c: Geschwindigkeitz: Wellenvariable
Fortschreitende Wellen
Standard-Diffusionsgleichung:
dudt
= Dd2udx2
• Beschreibt den Mechanismus der Ausbreitung.• Lösungsansatz:
Dd2udz2 + c
dudz
= 0⇒ u(z) = A + B · e(−czD )
u beschränkt für alle z ⇒ B = 0, da u →∞ für z → −∞.Somit ist u(z) = A = const.⇒ keine Wellenlösung
Fisher-Kolmogoroff-Gleichung
Einfache Ausbreitung gekoppelt mit Bewegungsterm f (u):
dudt
= f (u) + Dd2udx2
Nichtlineare Reaktions-Diffusions-Gleichung:
dudt
= ku(1− u) + Dd2udx2
k ,D: positive Parameter
Fisher-Kolmogoroff-Gleichung
Fisher-Kolmogoroff-Gleichung
Fakten:• Ursprünglich stochastisches Modell für die Ausbreitung
bevorzugter Gene in einer Population. (Fisher, 1937)• Ausführliche Diskussion der Gleichung durch Fife (1979),
Britton (1986) und Grindrod (1996)• Vereinigung von logistischem Wachstum mit
Diffusionsterm.• Analyse der Diffusionsausbreitung von Einzelspezies.• Erlaubt die Ermittlung von Wellenfrontenlösungen.
Fisher-Kolmogoroff-Gleichung
• Variablentransformation:
dudt
= u(1− u) +d2udx2
• u = 0 und u = 1 konstante Lösungen (stationäreZustände)
• Lösungen einer Wellenfront für 0≤ u ≤ 1?Wellenlösung:
u(x , t) = U(z), z = x − ct , c ≥ 0
c: Wellengeschwindigkeit• Substitution von U(z):
U ′′ + cU ′ + U(1− U) = 0
Fisher-Kolmogoroff-Gleichung
• Wellenfrontlösungen für z →∞ und z → −∞Gleichgewichtszustände erreicht⇒ Bestimmung von c mit lim
z→∞U(z) = 0 und
limz→−∞
U(z) = 1.
• Setze:V = U ′, V ′ = −cV − U(1− U)
• Daraus ergeben sich zwei singuläre Punkte:
• (0/0) mit Eigenwert λ =12· (−c ±
√c2 − 4)
→ stabiler Knoten für c2 > 4 und stabile Spirale für c2 < 4
• (1/0) mit Eigenwert λ =12· (−c ±
√c2 + 4)
→ Sattelpunkt.
Fisher-Kolmogoroff-Gleichung
Trajektorien der Gleichung U ′′ + cU ′ + U(1− U) = 0:
Abbildung : J.D.Murray, Mathematical Biology, An Introduction
Bereich der Wellengeschwindigkeit: c ≥ cmin = 2√
kD
Fisher-Kolmogoroff-Gleichung
Betrachtung der Wellengeschwindigkeit c:
• U(z) abhängig von c.• c abhängig von Anfangsbedingung u(x ,0) für x → ±∞.
• Für kleine u gilt:dudt
= u +d2udx2
• Betrachte Anfangsbedingung
u(x ,0) ∼ A · e−ax ; x →∞
⇒ u(x , t) = A · e−a(x−ct) für t > 0.
⇒ c = a +1a, 0 < a ≤ 1, c = 2, a ≥ 1.
⇒Wellengeschwindigkeit c ≥ 2.
Fisher-Kolmogoroff-Gleichung
Beispiele für die Anwendung derFisher-Kolmogoroff-Gleichung:(Verschiedene Modelle räumlicher Ausbreitung)• Das Fortschreiten von Genkultur-Wellen. (Aoki,1987)• Die Ausbreitung der frühen Landwirtschaft in Europa.
(Ammermann und Cavali-Sforza,1971,1983)• Modellierung einer Invasion von einer oder mehrerer
Spezies in ein neues Gebiet.(Bsp.: Kaninchenplage in Australien)
Asymptotische Lösung
• Keine analytische Lösung für allgemeines c für:
U ′′ + cU ′ + U(1− U) = 0
• Nährungslösung für ε =1c2 ≤ 0,25; 0 < ε << 1
• Aus U(z) = g(ξ) und ξ =zc= ε
12 z folgt:
εd2gdξ2 +
dgdξ
+ g(1− g) = 0; 0 < ε ≤ 1c2
min= 0,25
• Randbedingungen: g(−∞) = 1,g(∞) = 0
• Wahl von g(0) =12
ergibt eindeutige Lösung.
Asymptotische Lösung
• Ansatz:g(ξ, ε) = g0(ξ) + εg1(ξ) + ....
• Betrachte:
O(1) :dg0
dξ= −g0(1− g0)⇒ g0(ξ) =
11 + εξ
O(ε) :dg1
dξ+(1−2g0)g1 = −d2g0
dξ2 ⇒dg1
dξ−(
g′′0g′0
)g1 = −g′′0
...
mit Randbedingungen für gi(ξ) für i = 0,1,2...
• g0(−∞) = 1,g0(∞) = 0,go(0) =12
• gi(±∞) = 0,gi(0) = 0 für i = 1,2, ... .
Asymptotische Lösung
Durch Integration und aus den Randbedingungen folgt:
g1 = −g′0 · ln(4 |g′0|) = εξ1
(1 + εξ)2 · ln[
4εξ
(1 + εξ)2
]In Originalvariablen:
U(z; ε) = (1+ezc )−1+
1c2 ·e
zc (1+e
zc )−2 ln
[4e
zc
(1 + ezc )2
]+O
(1c4
);
c ≥ cmin = 2
→ Nährung nullter Ordnung weicht nur geringfügig von exakterLösung ab.
Asymptotische Lösung
Geschwindigkeit der Ausbreitung↔ Steilheit der Wellenfront:
• AusU ′′ = 0→Wendepunkt
folgt:g′′0(ξ) + εg′′1(ξ) + O(ε2) = 0
⇒ ξ = 0⇒ z = 0.• Mit s=Betrag des maximalen Gradienten U ′(z) ergibt sich
bei z = 0:
−U ′(0) = s =14c
+ O(
1c5
)⇒ Je höher die Geschwindigkeit der Ausbreitung destoniedriger die Steilheit der Wellenfront.
Asymptotische Lösung
Abbildung : J.D.Murray, Mathematical Biology, An Introduction
Je flacher die Welle, desto schneller die Ausbreitung.
Stabilität
Bestimmung der Stabilität einer Front:
• Betrachte Bewegungsgleichung für die Front:
ut = u(1− u) + cuz + uzz
wobei u(x , t) = u(z, t) und z = x − ct
• uc(z) Lösung von U ′′ + cU + U(1− U) = 0
Stabilität
• Betrachte kleine Störung um die Front zur Geschwindigkeitc ≥ cmin = 2:
u(z, t) = uc(z) + ωv(z, t), 0 < ω << 1.
• Durch Substitution erhält man aus den ω- Termen diefolgende Gleichung:
vt = [1− 2uc(z)]v + cvz + vzz
• Front ist gegenüber Störung stabil für:
limt→∞
v(z, t) = 0 oder limt→∞
v(z, t) =duc(z)
dz
Stabilität
Lösung der Gleichung für vt :
• Ansatz: v(z, t) = g(z) · e−λt
• Substitution: g′′ + cg′ + [λ+ 1− uc(z)]g = 0wobei v = 0 außerhalb [−L,L]
• Mit g(z) = h(z) · e−cz
2 ergibt sich für h:
h′′ +[λ−
(2uc(z) +
c2
4− 1)]
h = 0, h(±L) = 0;
• Für c ≥ 2, uc(z) > 0 , −L 6= z 6= L gilt:
2uc(z) +c2
4− 1 ≥ 2uc(z) > 0
Stabilität
Auswertung:
• Alle Eigenwerte λ sind positiv.• v(z, t)→ 0 für t →∞
⇒ uc(z) stabil für Störungen in kleinen beschränktenBereichen.
⇒Numerische Simulationen der Fisher-Kolmogoroff-Gleichungresultieren in einer stabilen Wellenfrontlösung mit c = 2.
Dichteabhängige Diffusionsreaktion
Integration von dichteabhängiger Diffusion durch Betrachtungvon Gleichungen der Form:
dudt
= f (u) +ddx
[D(u)
dudx
]
• f (0) = 0, f (1) = 0, D(u) = D0um
• f (u) = kup(1− uq)
• Umskalierung von t und x :
dudt
= up(1− uq) +ddx
[um du
dx
]= up(1− uq) + mum−1
(dudx
)2
+ um d2udx2
Exakte Lösungen
1. Fall: m = 0,p = 1
dudt
= u(1− uq) +d2udx2 ,q > 0
• Betrachte L(U) = U ′′ + cU ′ + U(1− Uq) = 0mit u(x , t) = U(z), z = x − ct ,U(−∞) = 1,U(∞) = 0
U(z) =1
(1 + aebz)s
• L(U) = 0⇒ 2− sq = 0,1 oder 2⇒ s =2q,
1q
(oder sq = 0)
Exakte Lösungen
• s =1q⇒ b = 0→ nicht möglich, da b > 0
• s =2q⇒ b =
q
[2(q + 2)]12
, c =q + 4
[2(q + 2)]12
⇒ c steigt mit q an.
• q = 1⇒ s = 2, b =1√6
, c =5√6≈ 2.04
Für z = 0,a =√
2− 1 ergibt sich die Lösung:
U(z) =1
[1 + (√
2− 1)ez√6 ]2
• Problem von exakten Lösungen:• Nicht alle möglichen Lösungen werden ermittelt.• Quantitative Wellenform ist verschieden.
Exakte Lösungen
2. Fall: m = 0, p = q + 1, q > 0
dudt
= uq+1(1− uq) +d2udx2
⇒ U(z) =1
(1 + aebz)s , s =1q
, b =q
(q + 1)12
, c =1
(q + 1)12
Exakte Lösungen
3. Fall: p = q = 1,m = 1
dudt
= u(1− u) +ddx
[u
dudx
]
• Population verteilt sich schneller auf Regionen niedrigererDichte als eine Region überbevölkert ist.
• Betrachte: UU ′ + cU ′ + U(1− U) = 0 mit Phasenportrait:U ′ = V ,UV ′ = −cV − V 2 − U(1− U)
Entfernung der Singularität bei U = 0 führt zu:
dVdξ
= −cV − V 2 − U(1− U) mitdUdξ
= UV
• (1,0) und (0,−c)→ Sattelpunkte• (0,0)→ stabiler Knoten (nicht linear)
Exakte Lösungen
Trajektorien für variables c:
Abbildung : J.D.Murray, Mathematical Biology, An Introduction
Fazit
• Fortschreitende Wellen kommen in vielfältigenbiologischen Prozessen vor.
• Lösungen sind in kompaktem Bereich stabil.
• Es ex. eine Lösung einer fortschreitenden Wellenfront für
dudt
= f (u) +d2
dx2
mit best. Anfangsbedingungen; c ≥ cmin = 2(f ′(0))12
• Fisher-Kolmogoroff-Gleichung mit c∗ = 2[kD]12
→ Ausbreitungen im sich entwickelnden Embryo:O(5x102.5 − 103.5sec):Wesentlich kürzer als reine Diffusionszeit O(107 − 109).→ Modell beschreibt reale Werte.