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Lattice-Boltzmann-MethodeGrundlagen der numerischen Strömungssimulation

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Lattice-Boltzmann-Methode • Seminar Themen aus dem Gebiet Technische Informatik • Niklas Schultheiß • 8. Fachsemester • Bachelor A. Info 06.07.2016

Seminar Themen aus dem Gebiet Technische InformatikNiklas Schultheiß

Betreuung: Sarah Neuwirth

Gliederung

• 1. Numerische Strömungssimulation

• 2. Gittergas-Zellulär-Automaten (LGCA)

• 3. Die Lattice-Boltzmann-Methode

• 4. Die Umsetzung der Boltzmann-Gleichung

• 5. Simulation

• 6. Fazit

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Lattice-Boltzmann-Methode • Niklas Schultheiß • 06.07.2016

Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur

1. Numerische Strömungssimulation

• Verfahren mit dem Gase und Flüssigkeiten simuliert werden sollen

• Hintergrund: Probleme, die analytisch schwer oder gar nicht lösbar sind

• Problem: • je aussagekräftiger das Ergebnis, desto höher der Rechenaufwand

• Lösung:• Parallelisierungsmechanismen

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Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur

2. Gittergas-Zellulär-Automaten (LGCA)

• LGCA = Lattice-Gas-Cellular-Automata

• Grundlage der Strömungssimulation nach Boltzmann

• Kinetische Gastheorie als physikalische Grundlage

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2.1. Die kinetische Gastheorie

• Viele einzelne Molekülen

• Moleküle nur durch häufige kinetische Stöße miteinander in Verbindung

• Andere Kräfte werden vernachlässigt

• Makroskopische Eigenschaften auf kinetische Interaktion der Teilchen zurückgeführt

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2.2. Funktionsweise der LGCA

• Simulation von Flüssigkeit oder Gas

• Bewegung und Kollisionen von Teilchen werden berechnet

• Moleküle:• voneinander nicht unterscheidbar

• massenäquivalent

• nur eine mögliche Geschwindigkeit

• Simulierter Raum wird als Gitter dargestellt• Zwischen Knoten: Bewegung der Teilchen

• An den Knoten: Kollision der Teilchen

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2.2. Funktionsweise der LGCA

• Beispiel einfaches Gitter:

• zweidimensional

• 4 Nachbarknoten

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Abb. 1.: „Einfaches Gitter“ (verändert nach VOLK, T., 2016)

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2.2. Funktionsweise der LGCA

• Berechnung der Kollision

• Neue Bewegungsrichtungen

• Kollisionsregeln• Massenerhaltung

• Energieerhaltung

• Impulserhaltung

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2.3. FHP-Modell

• Problem bei Beispielgitter:

• Unzureichende Symmetrie => Anisotropie

• Lösung: FHP-Modell

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Abb. 2.: „FHP-Modell“ (verändert nach VIGGEN, E., 2009)

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2. Gittergas-Zellulär-Automaten (LGCA)

• Gute Methode um Strömungen in Fluiden darzustellen

• Nachteil: feste Bahnen und nur ein Molekül pro Bahn

Statistisches Rauschen

Kann erst in sehr großen Systemen beigelegt werden

Für diese System mit LGCA-Ansatz Rechenaufwand zu groß

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3. Die Lattice-Boltzmann-Methode

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3.1. Die Boltzmann-Gleichung

• Auch auf Basis der kinetischen Gastheorie

• Nur „ideale“ Gase

• Mikroskopisch gleiche Rahmenbedingungen wie Gittergase

• Unterschied:• Nicht jedes Teilchen muss einzeln berechnet werden

• Fortsetzung von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

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3.1. Die Boltzmann-Gleichung

• 𝑓 𝑥, 𝑐, 𝑡

Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen zur Zeit 𝑡 mit der Geschwindigkeit 𝑐 an Ort 𝑥 befindet

• Verteilungsfunktion unabhängig von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten anderer Teilchen

• 𝑓 𝑥, 𝑐, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑐

Wahrscheinliche Anzahl an Molekülen die sich zu einem Zeitpunkt 𝑡zwischen den Orten 𝑥 und x + 𝑑𝑥 befinden und eine Geschwindigkeit zwischen 𝑐 und 𝑐 + 𝑑𝑐 besitzen

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3.1. Die Boltzmann-Gleichung

• Ortsveränderung:

• 𝑥 + 𝑐 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑐 +𝑑𝑥

𝑑𝑡∗ 𝑑𝑡 = 𝑥 + 𝑑𝑥

• Geschwindigkeitsveränderung:

• 𝑐 + 𝑎 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑐 +𝑑𝑐

𝑑𝑡∗ 𝑑𝑡 = 𝑐 + 𝑑𝑐

• Fortsetzung der Teilchenanzahl ohne Kollisionen• 𝑓 𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑐 + 𝑑𝑐, 𝑡 + 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑐 = 𝑓 𝑥, 𝑐, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑐

• Kollisionsoperator• 𝐶 𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑐𝑑𝑡 = 𝑓 𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑐 + 𝑑𝑐, 𝑡 + 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑐 − 𝑓 𝑥, 𝑐, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑐

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3.2. Der BGK-Operator

• Vereinfachung des von Boltzmann entwickelten Kollisionsoperators

• 𝐶𝐵𝐺𝐾 𝑓 = −𝑓−𝑓𝑀

𝜏

• 𝑓 ist Verteilungsfunktion am Ausganspunkt

• 𝑓𝑀 ist die entsprechende Maxwellverteilung

• 𝜏 ist Relaxationszeit

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4. Umsetzung der Boltzmann-Gleichung

• Diskretisierung von Ort, Zeit und Geschwindigkeit

• Orte 𝑥 und 𝑥 + 𝑑𝑥 durch Koordinaten der Knoten ersetzt

• Iterationsschritte als diskrete Zeitschritte

• Teilchen können sich in einem Zeitschritt nur von einem Knoten zum nächsten bewegen

=> Nur eine mögliche Geschwindigkeit

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4.1. D2Q9-Gitter

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Abb. 3.: „D2Q9-Gitter“ (verändert nach CROUSE,B., 2003)

• D2Q9-Gitter zur Erläuterung der Umsetzung der Boltzmann-Gleichung

• 8 Nachbarknoten

• Möglichkeit, dass ein Teilchen keine Geschwindigkeit besitzt• 9 mögliche Bewegungsrichtungen

• Bewegungsrichtungen durchnummeriert

• Kartesische Koordinaten• Diagonale Strecken länger

• => Gewichtungsfaktoren 𝑤𝑖

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4. Die Umsetzung der Boltzmann-Gleichung

• Dichte:

• 𝑝 𝑥 = σ𝑖=08 𝑓𝑖(𝑥)

• Makroskopische Geschwindigkeit

• 𝑢 𝑥 =1

𝑝∗ σ𝑖=0

8 𝑓𝑖 ∗ 𝑐𝑖

• Vereinfachte diskrete Maxwellverteilung

• 𝑓𝑖𝑒𝑞 𝑥 = 𝑤𝑖 ∗ 𝑝 𝑥 ∗ 1 + 3 ∗

𝑐𝑖∗𝑢 𝑥

𝑐2+

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2∗

𝑐𝑖∗𝑢 𝑥2

𝑐4−

3

2∗𝑢(𝑥)2

𝑐2

• Diskrete Boltzmann-Gleichung (auch Lattice-Boltzmann-Gleichung)

• 𝑓𝑖 𝑥 + 𝑐𝑖 ∗ Δ𝑡, 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑓𝑖 𝑥, 𝑡 −1

𝜏∗ 𝑓𝑖 𝑥, 𝑡 − 𝑓𝑖

𝑒𝑞(𝑥, 𝑡)

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5. Simulation

• Algorithmus der diskreten Boltzmann-Gleichung umsetzt• Fortbewegung:

• 𝑓𝑖 𝑥 + 𝑐𝑖 ∗ Δ𝑡, 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑓𝑖 𝑥, 𝑡

• Kollision:

• Diskrete Boltzmann-Gleichung

• Abwechselndes Durchführen von Fortbewegungs- und Kollisionsschritt

• => Simulation eines Fluids/Gases

• Gilt bis jetzt nur für Stoff mit unendlichem Volumen und mit dynamischem Anfangszustand

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5.1. Randbedingungen

• Feste Randbedingungen

• Kein Durchlass von Teilchen

• Erhaltungssätze müssen gewahrt bleiben

• Tangentiale Geschwindigkeit = Wandgeschwindigkeit

• Offene Randbedingungen

• Durchlass von Teilchen

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5.2. Bounceback-Verfahren

• Möglichkeit feste Randbedingungen zu realisieren

• Bei Zusammenstoß wird Geschwindigkeitsvektor invertiert

• Nachteil: Nur bei Rändern ohne Eigengeschwindigkeit möglich=> Neumann-Bedingung

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Abb. 4.: „Bounceback-Verfahren“ (verändert nach TÖLKE, J., 2001)

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5.3. Periodische Randbedingung

• Möglichkeit offene Randbedingungen zu realisieren

• Offene Enden des Gitters werden zusammengelegt

• Nachteil: Strömungsbild kommt nicht in beständigen Zustand

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Abb. 5.: „Periodische Randbedingung“ (verändert nach KUZKIN, V., 2014)

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6. Fazit

• Lattice-Boltzmann-Methode

• Gute Methode um Strömungsprozesse zu simulieren

• Diskretisierung von Kollisionsoperator und Maxwellverteilung

• 2D noch relativ simpel

• 3D erheblich komplexer und aufwändiger

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7. Literaturverzeichnis

• BOLTZMANN, L. (1995): Lectures on Gas Theory. New York: Dover Publications

• CROUSE, B. (2003): Lattice-Boltzmann Strömungssimulationen auf Baumdatenstrukturen. Dissertation

• KIM, S. & PITSCH, H. (2009): On the lattice Boltzmann method for multiphase flows. Center for Turbulence Research

• KRAFCZYK, M. (2001): Gitter-Boltzmann-Methoden: Von der Theorie zur Anwendung. Habilitationsschrift

• SUKOP, M. & THORNE, D. (2005): Lattice Boltzmann Modeling – An Intorduction for Geoscientists and Engineers. Springer

• TÖLKE, J. (2001): Gitter-Boltzmann-Verfahren zur Simulation von Zweiphasenströmungen. Aachen: Shaker Verlag

• WOLF-GLADROW, D. (2000): Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models - An Introduction. Springer

• YANG, Z. (2007): Analysis of Lattice Boltzmann Boundary Conditions. Dissertation

• ZHENG, H., SHU, C. & CHEW, Y. (2006) : A lattice Boltzmann model for multiphase flows with large density ratio. Journal ofComputanional Physics

• KUZKIN, V. (2014): On angular momentum balance for particle systems with periodic boundary conditions. Online unter http://arxiv.org/pdf/1312.7008.pdf (abgerufen am 17.06.2016)

• VIGGEN, E. (2009): The Lattice Boltzman Method with Applications in Acoustics. Online unter http://wiki.palabos.org/ media/hosted doc:viggen masters 09.pdf (abgerufen am 15.06.2016)

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8. Abbildungsverzeichnis

• Abb. 1.: „Einfaches Gitter“verändert nach VOLK, T., 2016 online unter http://www.my-volk.de/mc/html/node5.html (abgerufen am 15.06.2016)

• Abb. 2.: „FHP-Modell“Verändert nach VIGGEN, E. (2009): The Lattice Boltzman Method with Applications in Acoustics. Online unter http://wiki.palabos.org/ media/hosted doc:viggen masters09.pdf (abgerufen am 15.06.2016)

• Abb. 3.: „D2Q9-Gitter“verändert nach CROUSE, B. (2003): Lattice-Boltzmann Strömungssimulationen auf Baumdatenstrukturen. Dissertation

• Abb. 4.: „Bounceback-Verfahren“verändert nach TÖLKE, J. (2001): Gitter-Boltzmann-Verfahren zur Simulation von Zweiphasenstr¨omungen. Aachen: Shaker Verlag

• Abb. 5.: „Periodische Randbedingung“verändert nach KUZKIN, V. (2014): On angular momentum balance for particle systems with periodic boundary conditions. Online unter http://arxiv.org/pdf/1312.7008.pdf (abgerufen am 17.06.2016)

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