Gradiente 1 Divergencia 2 - uam.es · PDF fileOperadores diferenciales: gradiente, divergencia...

Métodos Matemáticos en FísicaLección 7A: Coordenadas curvilíneas (app D APL)Lección 7A: Coordenadas curvilíneas (app_D_APL)

Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y laplacianoRecordatorio: Coordenadas cartesianasRecordatorio Coordenadas cartesianas

Gradiente

Divergencia

Métodos Matemáticos en FísicaLeccion: Coordenadas curvilíneasLeccion: Coordenadas curvilíneas

Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y LaplacianoRecordatorio: Coordenadas cartesianasRecordatorio Coordenadas cartesianas

3Laplaciano

Métodos Matemáticos en FísicaLección 7A: Coordenadas curvilíneasLección 7A: Coordenadas curvilíneas

Operadores diferenciales: gradiente, di i l l idivergencia y laplaciano,Coordenadas curvilíneas: cilíndricas

Coordenadas ilícurvilíneas:

cilíndricas

Gradiente 5

Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y laplacianoCoordenadas curvilíneas : cilíndricasCoordenadas curvilíneas cilíndricasDivergencia

6Laplacianop

Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y laplacianoCoordenadas curvilíneas : esféricas Coordenadas curvilíneas : esféricas (radio r, ángulos polar y azimutal )

Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y laplacianoCoordenadas curvilíneas : esférCoordenadas curvilíneas esfér

Gradiente

7Divergencia

Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y laplacianoCoordenadas curvilíneas : esférCoordenadas curvilíneas esfér

Laplaciano

Problema a resolver (Clase/Casa)

Comprobar si la siguiente funcion

satisface o NO a Ec. Laplace u=0

estudiando en coordinadas cilindricas 2D

Solucion (=u ; r=, = )

Expresamos esta funcion en Expresamos esta funcion en coordinadas cilindricas

Hallamos derivadas

Laplaciano (=u ; r= = )Laplaciano (=u ; r=, = )

NOTASi se usan coodinadas cartezianas

Métodos Matemáticos en FísicaLección 7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C 7 APLLección 7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 APL

Oscilaciones transversales de membranas circulares ( borde fijo)

10Formulación 10Formulación matemática

Necesitamos habitualmente 2 Cond. Contorno ( problema en limite agujero abierto en el limite agujero abierto en el centro con radio0

Métodos Matemáticos en FísicaLeccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér ) C 7 APLLeccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér.) C.7 APL

10De forma laplaciano

Con termino divergente se ve que podría admitir soluciones divergentes en punto =0

Otra condición de contorno á

15entonces será:

Métodos Matemáticos en FísicaLeccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C 7 APLLeccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 APL

Finalmente, veamos que condiciones debe satisfacer la solución con respecto de la satisfacer la solución con respecto de la variable angular

la coincidencia de bordes y +2- (0) implica que las correspondientes condiciones también deben coincidir.

Hallamos ondas estacionarias

Separamos variables

Separamos variables radial Separamos variables radial y angularObtenemos problema SL para función angular

Solución: combinación de funciones Sen; Cos o alternativamente:alternativamente:

Por cada de autovalores m=m2 obtenemos así dos f i li l t i d di t funciones linealmente independientes que son ortogonales entre si

NOTANOTA

representa la función compleja conjugadarepresenta la función compleja conjugada

Por cada de autovalores m=m2 permitido obtenemos bl SL i bl di l problema SL para variable radial

Como mencionamos antes condición Como mencionamos antes, condición

Excluye soluciones divergentes en punto =020

Excluye soluciones divergentes en punto =0

Condición de ortoganalidad para funciones radiales y demostración de que autovalores (≠´) son positivos (ver Cap 4 APL)de que autovalores (≠ ) son positivos (ver Cap 4, APL)

R l d b d bl 1/2 d f R( )Realizando cambio de variables x=1/2 para redefinir R()

Llegamos a Ec.

Cada una de estas ecuaciones se denomina ecuación de Besseld d m de orden m.

Solución general es combinación de funciones Bessel y Neuman

Jm representa la función de Bessel de orden m

Nm la función de Neuman de orden m

Como funciones Neuman se divergen en el punto x = 0

De condición de contorno para =0 obtendremos autovalores del problema SLautovalores del problema SL

Si xnm presenta n-ésimo cero de la función de Bessel de d m orden m

Con cada uno de estos valores propios se encuentran asociadas las funcionesfunciones

Condición de ortganalidad de autofunciones

1. Autofunciones con distintos m, m´

Si m=m´Son siempre ortoganales para distintos indices (n)

27son ortogonales (compomente angular)

para distintos indices (n)Debido a componente radial

Frecuencias propias

xn,m representa la n-ésima raíz de la ecuación Jm(x) = 0.

Frecuencias de tono principal:

perfil tono principal:

VER Videos sobre BESSEL FUNCTIONS VER Videos sobre BESSEL FUNCTIONS [YouTube]http://www.ovguide.com/bessel-function-9202a8c04000641f800000000000be1a

9202a8c04000641f800000000000be1a

Relación entre tonos principales p pde membrana cuadrada (L)

y circular con la misma tensión y circular con la misma tensión, densidad de masa y superficie:

L2=02 / √ 2

√ 2√ 2 √ 2√ 2

Factor √ 2 perdido en libro APL ?

Frecuencia de primer armónico (Hay onda azimutal]:

perfil de 1er ó iarmónico:

VER: Azimuthal Spin Waves Simulations

Waves Simulations

Oscilaciones transversales de membranas circulares ( borde LIBRE)

10Formulación 10Formulación matemática

Separamos variables PERO en este caso 0solución no trivial existe también para =0

y es asociada con su desplazamiento rígido a velocidad constante. (*)

Resulta instructivo discutir el movimiento rígido de la membrana, no tanto por su física puesto que es extremadamente simple, sino por tanto por su física puesto que es extremadamente simple, sino por el juego matemático que presenta.

Separando variables de modo anterior se ve que funciones angulares paran ar a m ant r r qu func n angu ar son admisibles pero para funciones radiales R0,m tenemos otra formulación del problema

Como =0SL(*)Ec. SL( ) Ec. LAPLACE !!!

Para los casos en que m≠0, todos los términos de la ecuación son del i d t d mismo orden respecto de

tiene sentido buscar soluciones particulares en forma de potencias en

S d l i ti l li l t i d di tSon dos soluciones particulares y linealmente independientes

Como una de soluciones Como una de soluciones se diverge en centro de membrana

34Soluciones admisible

COMO ninguna de estas funciones cumple la COMO ninguna de estas funciones cumple la condición de contorno a menos que Am =0

Concluimos entonces que no existen soluciones no triviales de los problemas de SL estudiada con m≠0triviales de los problemas de SL estudiada con m≠0.

Ecuación para m=0Ecuación para m=0

Integrando, obtenemos Con a - constante

bit iarbitraria

Solución general

Solución general(A,B- arbitrarias)

Para cumplir condición de contorno para =0 debemos imponer B=0Entonces soluciones para =0 deben ser constantesR00=const00

A partir EcA partir Ec.Como =0

Llegamos a solución del problema problema

Vibraciones de la membrana (borde LIBRE, ≠0)

CLASE Ec. Para Autovalores de membrana circular borde libre

Hallar:

a) Autofunciones v(,) para desarollar Solucion general

b) Condicion para hallar autovalores nm

Vibraciones de la membrana (borde LIBRE, ≠0)

a) Autofunciones

ortogonales vn,m(,)n,m( )para desarollar solucion general

b) Condicion para hallar autovalores nmImponiendo CC

n-ésimo cero de la derivada de la función de Bessel de orden m autovalores

Frecuencia de tono principal (mas bajo)

Modo n=1, m=0 [funcion radial J0(x)] tiene frecuencia de sonido cero tiene frecuencia de sonido cero (caso de bordes libres)

Perfil de tono fundamental

RESUME: ORTOGANALIDAD de Autofun.Radiales (bordes fijos/libres )

xk es k-esimo cero de Funcion Bessel (B. Fijos)

x`k es k-esimo cero de derivada de Funcion Bessel(B. Fijos)

Auto-Definidas entre 0BORDE

AutoFunciones +

Son Ortoganales con peso x 42

Son Ortoganales con peso x

ORTOGANALIDAD

=m de antes43

CLASE de Problemas: PROBLEMAS de Leccion 7PROscilaciones de membrana circular con bordes fijos (resumen)Oscilaciones de membrana circular con bordes fijos (resumen)

Solucionaremos distintos casos con velocidad/desplazamiento iniciales

Membrana en forma de anillo con radios 1 ; 2

CLASE: Autovalores+Autofunciones?

Problema SL

Separando variables:

45Para funciones angulares tendremos mismo problema de antes (membrana)

Problema SL para parte radial

Solución generalSolución general

Imponiendo CC

Para cada valor del número entero m, las ecuaciones anteriores representan un sistema lineal de ecuaciones h é l fi i A Bhomogéneas para los coeficientes A y B.

Solamente para determinados valores de estos sistemas de ecuaciones que dan soluciones no triviales con A,B ≠0

Tales autovalores son soluciones de problema

Para cada valor del número entero m, tenemos (n- enteros y positivos) infinitas soluciones que forman conjunto numerable nm positivos) infinitas soluciones que forman conjunto numerable nm .

Relación entre A, B para cada nm

Autofunciones de problema SL se presentan como

49()=Acos(m)+Bsen(m)

autovalores del mismo problema PERO

con borde EXTERIOR “libre”

autovalores del mismo problema PERO

con borde EXTERIOR libre

Membrana semicircular con bordes fijos -CLASE(sin usar libros SOLO Apuntes) (sin usar libros, SOLO Apuntes)

AutoFunciones angulares [REALES] ()

Autofunciones (“ladrillos”) de solucion para:

a) todos bordes fijos b) todos bordes libres

Membrana semicircularBordes libres vs. B. fijosBordes libres vs. B. fijos

Problema SL

Separando pvariables:

Para funciones angulares tendremos nuevo problema 53

Para funciones angulares tendremos nuevo problema

Problema SLProblema SL

Soluciones que Soluciones que cumplen CC

Forma de autofunciones v

Autovalores:Autovalores:

Son relacionados con raíces de Ec.

Métodos Matemáticos en FísicaLeccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) Leccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér)

TODOS bordes 2,x TODOS bordes

“libres” Autovalores:

x`k es k-esimo cero de derivada de Funcion de derivada de Funcion Bessel

( ) ( ) ( ) ( )R r J Cos k 56

( ) ( ) ( ) ( )kR r J Cos k

PROBLEMA CLASE

O il i d bOscilaciones de una membrana despues de golpe puntual en =R/2, =/2 /2

ANTES: Discusión de forma de funciones DELTA de Dirac en coordinadas Curvilíneas DELTA de Dirac en coordinadas Curvilíneas

DELTA de Dirac en coordinadas esfericas

SIN d d i i t lSIN dependencia azimutal

SIN dependencia azimutal y radial

DELTA de Dirac en coordinadas CILINDRICAS

SIN dependencia azimuthal

En Coordinadas Cilindricas SOLO dependencia radialp

PROBLEMA CLASE

O il i d b

Ver Solucion en LATEX/ PDF

Oscilaciones de una membrana despues de golpe puntual en =R/2, =/2 /2

Oscilaciones de un gas encerrado en un tubo cilíndrico

0Ec. de ondas[u= describe la densidad]

Lla densidad]

CC si gas no puede atravesar paredes paredes

Recordamos que Lapaciano correspondiente 0

Ladmite soluciones de problema SL divergentes en =0

Hay que imponer condiciónHay que imponer condición

Ondas estacionariasS i bl

LSeparamos variables: L

Problema para ( )v(r) resolvemos

separando por z

Soluciones SL

LSoluciones SL para variable z

autovaloresautovalores

Soluciones SL

LSoluciones SL para función w()

Soluciones (análogos a ya obtenidos para membrana circular con bordes libres)

0membrana circular con bordes libres)

autovalores

Oscilaciones en dirección z con simetría radial y angular (n,m=0) [NOTA: aquí libro APL cuenta raíces desde [NOTA: aquí libro APL cuenta raíces desde n=0]

66Raíces de Ec.

LAutofunciones

La correcta resolución del problema proporciona una solución en la que no aparece v0,0,0.

Esta solución no lleva oscilación pero corresponde a disminución gradual y lineal de densidad con tiempo

Esta solución (v0,0,0 ) es imposible ya que paredes son cerrados

Frecuencia de tono principal?

nml nmla Oscilaciones solo longitudinalesc ac n ng tu na

Depende de relación entre longitud y radio de cilindro

Frecuencia de tono principal

Depende de relación Depende de relación entre:

Tomo mas bajo consiste en oscilaciones a lo largo del eje del cilindro

Tono mas bajo coresponde a

eje del cilindro coresponde a oscilaciones radiales

VER M iVER Movies: r0

http://www.me.rochester.edu/courses/ME201/webmovies/m/courses/ME201/webmovies/movies.html

Semana de 19 de Noviembre SOLUCION de varias problemas Coord cilindricas

r0SOLUCION de varias problemas Coord. cilindricas

1. Problema Clase: Golpe puntual sobre medio de membrana2 P bl m E F u i n Cilind (L 7 P b F u i Cilind p 82. Problema Ec. Fourier en Cilindro (Lec.7 Prob Fourier Cilinder p.8-

15) 3. PROBLEMAS Laplace y Poisson en disco (Lect.7 Pr_Laplace_Circule,

28 40p28-404. Problemas con Ec. Laplace CC flujos determinados ( Circulo, anillo,

p. 41-44 misma Leccion 7 PR Laplace_Circule)p p5. PROB. EX.PAR.2 de 10/11 (Ec.Laplace en sector)

a) Problemas LAPLACE en Cilindro Finito (TEORIA de Func Bessel a) Problemas LAPLACE en Cilindro Finito (TEORIA de Func. Bessel argumento Imaginario)

[Lección_7_PROBLEMAS_Laplace_Circule pp. 45-71]

71a) VARIAS Problemas sueltas C. Cilindricas ( TEX)

TUTORÍA EXTRAORDINARIA MÉTODOS MATEMÁTICOS IIITUTORÍA EXTRAORDINARIA MÉTODOS MATEMÁTICOS III.

Aula 01.03.AU.401 AULA 401 DEL MÓDULO 03

Fecha: 27/11/2012( Martes )

Hora inicial: 16:30 Hora final: ***

RESUMEN de temas que consideramos antes de Parcial II

Autofunciones ortogonales a usar para desrollar soluciones?

Difusion

Laplace/Poisson

a) Efectos de forma?b) Efectos de Condiciones de borde (Homogeneos/No-homogeneos)) d l ( l ?)c) Condiciones iniciales ( …golpes?)

d) Problemas homogeneas/no homogeneas…

Distribución estacionaria de temperatura de un cuerpo semicilíndricoa) Semicilindro infinitoa) Semicilindro infinitoEJEMPLO para introducir otras funciones especiales ( FUNCION BESSEL MODICIFACA) que aparecen en solución de Ec. Laplace

Consideremos un semicilindro infinito en el que la temperatura de su superficie se mantiene constante superficie se mantiene constante. Supongamos que entre su superficie curva y su superficie plana existe una diferencia de temperatura T.

Veamos cual es la distribución de temperatura en el pinterior de este semicilindro.

Para intentar resolver este problema empleando el método deFourier debemos reformularlo de tal manera que nos aparezcan Fourier debemos reformularlo de tal manera que nos aparezcan condiciones de contorno homogéneas en SUPERFICIE PLANA.

Reformulación con CC homogéneas con ( ) CUMPLE CC h u(,) que CUMPLE CC homogeneas en

parte plana

Como antes, separamos variables (,) y h d bl SL t hagamos uso de problema SL para parte angular

Soluciones:

Podemos buscar la solución en forma (de momento cilindro es infinito)(de momento cilindro es infinito)

Sustituyendo en u=0

Sustituyendo en u=0Obtenemos:

Error en libro APL

1 0n nn

d R dR n Rd d

Obtenemos CC que deben cumplir funciones Rn(0) ?Obtenemos CC que deben cumplir funciones Rn(0) ?

A partir de Sol General (*) usando CC 0A partir de Sol General ( ) usando CC

0 0( , ) ( ) ( )nu R Sen n u=0

0 0( , ) ( ) ( )nn

usand rt analidad de aut funci nes sen(n)usando ortoganalidad de autofunciones sen(n)

soluciones linealmente independientes de Ec.

1 0n nn

d R dR n Rd d

d d u=0

Aplicando CC a Solucion generalF d di i Formada con condicion

Obtenemos funciones Rn:

S lución t ni nd s l Solución teniendo solo términos no nulos de serie

Paginas 169-172 de libro APL demuestran que intento de Paginas 169-172 de libro APL demuestran que intento de solucionar problema con CC homogéneas en dirección radialserán infructuosos

Di ió d 169 72 t l fi i d l Discusión den pag. 169-72 nos muestra que la eficacia del método de Fourier depende en gran medida de nuestra habilidad para escoger los problemas de Sturm-Liouville adecuados.

Semicilindro finito (L):

funciones de Bessel funciones de Bessel modificadas.Formulación matemática con cambio de Formulación matemática con cambio de variables

Buscu m s s luci n s n f rm :Buscuemos soluciones en forma:

u=0u=0

Contornos Homogeneos

Son resultados de solucion de DOS problemas SL

0SL ()

SL (z)

Sustituyendo solución en u=0 y haciendo uso de ortoganalidad vnm(,) obtendremos

u=0u=0

Resulta conveniente expresar estas ecuaciones en términos de una nueva ecuaciones en términos de una nueva variabley renombrar las funciones incógnitas como

La Ec. Para variable radial obtiene forma:

NOTA: Cambios de signos en comparacion con Ec. Bessel (p.22 L7A)

u=0u=0

RECORDATORIO: Ec Bessel de orden mRECORDATORIO: Ec.Bessel de orden m

Que se le denomina ecuación de Que se le denomina ecuación de Bessel modificada de orden n.Mas adelante discutiremos en detalle sus u=0soluciones.

Una de soluciones linealmente independientes que es t d t 0 l d i f ió d agotada en punto x=0 se le denomina función de

Bessel modificada de orden n y es In(x)( ERROR en LIBRO APL =m).

Forma de funciones In(x)

u=0u=0

En solucion general suman funciones Bessel modificades de 1-ra y 2-da especie (McDonald)

90http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Bessel

A partir de CC

Usando ortoganalidad de funciones

ó óSolución final para distribución de temperatura en semi-cilindro longitud finita

Tipo recurso: 01 03 AU 4Tipo recurso: 01.03.AU.4TUTORIA Extraordinaria

Mierclores 28 de Noviembre

reserva: 0104/01.03.AU.401reserva: 0104/01.03.AU.401

Fecha: 28/11/2012( Miércoles )Fecha: 28/11/2012( Miércoles )

H i i i l 16 3093

Hora inicial: 16:30

Resolución de problemas en coordinadas esféricas

NASA_2010_2011

94El 'comecocos' de una luna de Saturno Imagen termica, la temperatua de fondo es aprox.123K

Oscilaciones de un gas encerrado en una esfera

Ec. Para ondas[u= describe la d id d]

densidad]

CC si gas no puede atravesar paredes paredes

algunos de los coeficientes que contiene a gun c f c nt qu c nt n operador Laplaciano divergen en los puntostales que r = 0 o sen = 0.

Esto implica, como veremos mas adelante, que algunas delas soluciones de Ec. divergen en dichos puntoslas soluciones de Ec. divergen en dichos puntos

CC para considerar solo psoluciones acotadas

Ondas estacionarias

Separación de r0

P bl SL

Variables

Problema SL :

RECORDATORIOCoordenadas curvilíneas : esfér (radio r ángulos Coordenadas curvilíneas : esfér (radio r, ángulos polar y azimutal )

DELTA de Dirac en coordinadas esfericas

SIN d d i i t lSIN dependencia azimutal

SIN dependencia azimutal y radial

Buscamos Buscamos soluciones:

Problema SL para variables angulares: Ec. para harmonicos esfericos

NOTA: no hay misma condición para ángulo polar!

Métodos Matemáticos en FísicaLeccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 APL

Harmonicos Esfericos 0=0

Buscamos soluciones separando 2 variable angulares:

Problemas SL para cada de variables angulares:

Con cambio de variables

Y redefinición

Llegamos a denominadasLlegamos a denominadasecuaciones asociadas de Legendre

En capítulo 8 de libro APL

se demostrara que Ec. tiene soluciones NO divergentes en (=0,) SOLO si

Tales soluciones se denominan funciones (o i d d L d

polinomios) asociadas de Legendre

m=-L….+L (enteros)Soluciones para m=0 se denominan funciones (polinomios) d L d P ( )

104de Legendre Pn(x) (ver Cap.8 Libro APL)

En Cap. 7 de libro APL demuestra su ortoganalidad:

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_asociados_de_Legendrehttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios de Legendre

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_de_Legendre

Algunos funciones asociadas de Legendre (t=Cos )

Legendre (t=Cos ) (mas detalles Cap.8 APL)VER FIGURAS

Autofunciones para parte

angular:

se les denomina armónicos esféricos, o funciones esféricasesféricas

r0Condición de ortoganalidad de armónicos esféricos

Armónicos esféricos

SL para parte Radial:

D í De aquí se ve que autovalores son iguales o mayores de cero

p.166 APL se demuestra que =0 corresponde a movimiento sin oscilaciones

Introduciendo cambio

Cada una de estas ecuaciones resulta ser la ecuación de Bessel de orden [l + ½]

Soluciones de estas ecuaciones:

A partir de CC

Para cada valor l una de estas ecuaciones determina un conjunto infinito, pero numerable, de autovalores permitidos

Autovalores se

puede presentar como

Con k-esima raíz de ecuación

l d i d son las denominadas funciones de Bessel esféricas

de Bessel esféricas

Soluciones radiales linearmente independientes (no estan

i d C7 d lib APL)mencionados en C7 de libro APL):

Funciones Neuman Funciones Neuman esfericas

Autofunciones de problema completo SL

Ortoganalidad

117con

Métodos Matemáticos en FísicaLeccion7A: Método de Fourier (coordenadas cilíndricas y esfér) C.7 APL

Harmonicos Esfericos 0=0

Dichas autofunciones vklm(r,,) se usan

klm( , ,)para describir asimetría espacial (GPS)

Entre recientes aplicaciones de harmonicos esfericos: Funciones de eliminacion en creacion de imagenes 3D con PC

x=Cos() Polinomios Legendre

H i E f i VIDEO Harmonicos Esfericos VIDEO http://www.youtube.com/watch?v=1kiSaSwvKzE&NR=1

121http://www.youtube.com/watch?v=6bq1aqa5Sq4&NR=1

Dimensiones críticas: bomba nuclear esférica

Difusión en un medio con posibilidad de reacción en cadena.

Una bomba nuclear explota cuando las dimensiones del explosivo superan unas determinadas dimensiones críticasexplosivo superan unas determinadas dimensiones críticas.

122Además, en la reacción se desprende energía.

Estos dos neutrones pueden provocar dos nuevas reacciones del mismo tipo si es que se encuentran dos con núcleos de 235Umismo tipo si es que se encuentran dos con núcleos de 35U.

Si esto sucediera se generarían cuatro nuevos neutrones con los u l s s p d í n ini i u t nu s i n s sí cuales se podrían iniciar cuatro nuevas reacciones y así

sucesivamente.

E d ó dEsto se denomina reacción en cadena.

PERO también hay que tener en cuenta que los neutrones creados como producto de la fisión de nuclear pueden escapar de la muestra a través de su superficie Dicho escape resulta mas fácil muestra a través de su superficie. Dicho escape resulta mas fácil cuanto menores sean las dimensiones de la muestra: cualquier punto de una muestra suficientemente pequeña se encuentra relativamente cerca de su superficie

relativamente cerca de su superficie.

Muestra esférica

Calculemos cual es el radio crítico de una muestra de combustible nuclear en forma de esfera.

r0combustible nuclear en forma de esfera.El transporte de neutrones en la muestra es por difusión.

C l i b d l d h t ió ti Con el miembro de la derecha en esta ecuación se tiene encuenta que, de acuerdo con la reacción nuclear, existe una fuente de neutrones dentro de la muestra que es proporcional a

124su concentración.

dada la facilidad con la que los neutrones escapan de la muestra se d i ió d CC t ió d puede pensar que una aproximación de CC como concertación de

neutrones nula corresponde bastante razonable a la situación real.

Buscamos densidad dentro como

Con v(r,,)-Soluciones de problema SL

Como vimos antes:

Con autovalores de CCComo seros de función Como seros de función esférica de Bessel

Sustituyendo (2) en Ec. 1 y usando ortoganalidad, obtendremos ecuación para coeficientes temporales :

Falta índice m

Cuya solución tiene forma

Falta índice m (=0 por simetría)

tiene forma

Temperatura desminuye con tiempo para

127Temperatura aumenta con tiempo si para alguno de autovalores k,l:

Para que la densidad nunca aumente con el tiempo, para autovalor mas bajo debería ser :

Radio critico:

Muestra semi-esférica

Problema SL

Con esta ultima condición nos aseguramos que la densidad de neutrones es nula en la superficie plana de la semiesfera.

Ahora harmónicos esféricos que son admisibles son (con m=0)

El valor mas bajo de l con el cual se satisface esta condición condición es l = 1.

Condicion de estabilidad t ltemporal

Radio critico es dado por condición:

Puesto que el valor mas bajo de l permitido es l = 1,

Donde Donde

representa el primer cero de la función Bessel esferica j3/2(z)

j3/2( )

BOMBA NUCLEARConsiste en disponer de dos semiesferas cuyos dos semiesferas cuyos radios R sean tales que Resfera

c <R< Rsemiesferac.

Estando separadas son estables: el número de neutrones en su interior no aumenta por si mismo neutrones en su interior no aumenta por si mismo.

Sin embargo, al juntarlas se provoca la explosión: la reacción en cadena no se detiene y se produce la

reacción en cadena no se detiene y se produce la consecuente liberación de energía.

SEE 3D plots of LEgendre Functions using MAPLEhttp://www rose-hulman edu/Users/groups/packets/HTML/modern/maplepg4 htmhttp://www.rose hulman.edu/Users/groups/packets/HTML/modern/maplepg4.htm

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Gradiente Plasma Plt-4230 Ps-42t8

Código Categoria Descrição - Milcomp362050 C Micronas Gravadas VCT GRADIENTE TV 1421 MEMORIA GRAVADA 362069 C Micronas Gravadas VCT GRADIENTE TV 1422 MEMORIA GRAVADA …

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