Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka

Marinko Radić Matija Varga-------------------------13.06.2013. Varaždin

Problem maksimalnog protoka

Slika 1. Harrisova i Rossova mapa željeznica Sovjetskog Saveza[Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein (2001.).

Introduction To Algorithms (2. izdanje). MIT Press,]

Problem maksimalnog protoka

Definicija:

Neka je N=(V,E) graf, postoje s,tV (izvor i odredište grafa N). Svaki protok

kroz mrežu mora zadovoljavati određena ograničenja:

1. protok kroz neki brid ne može biti veći od kapaciteta brida

2. Ne može postojati negativni protok u bridu

3. Vrijednost toka   gdje je s izvor u N. Protok u

mreži jednak je sumi svih tokova od izvora do odredišta.

Izvor:

[ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein

(2001.).

Introduction To Algorithms (2. izdanje). MIT Press, str. 644-651]

uvvu cf ,

fsvE),( vsvf

Ford-Fulkersonova metoda

• Ford-Fulkersonov algoritam je algoritam za određivanje

maksimalnog protoka u mreži, temeljen na iterativnom

postupku traženja puteva od izvora do odredišta kojima se

može povećati protok.

[ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest,

Clifford Stein (2001.). Introduction To Algorithms (2. izdanje). MIT

Press, str. 651-656]

Ford-Fulkersonova metoda (G,s,t)

Korak 1

incijaliziraj protok f=0

Korak 2

sve dok postoji put koji se može povećati, promjeni

protok kroz bridove tog puta

[ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L.

Rivest, Clifford Stein (2001.). Introduction To Algorithms

(2. izdanje). MIT Press, str. 651-656]

Primjer – maksimalan protok primjenom Ford-Fulkersonovom metodom

- Tvornica se nalazi u gradu S

- Prevesti proizvode kamionima

- Do grada T

- Gradovi su povezani cestama (bridovi)

- Koliko maksimalno kamiona s proizvodima može poslati

tvornica da bi zadovoljila uvjete?

Izradio: Matija Varga

- Slanje kamiona iz tvornice do grada

- Jedan brid određuje količinu protoka (min)

- Jedinice su s lijeve strane, kapacitet s

desne

Slika 2. Primjer Ford-Fulkersonove metode. Izradio Matija Varga

- Tražimo najmanji kapacitet na putu- Možemo prenijeti najviše 3 jedinice

Slika 3. Primjer Ford-Fulkersonove metode. Izradio Matija Varga

- Prenosimo 3 jedinice- Kapacitet na bridu AT je 0, ne možemo više prenositi tim

putem

Slika 4. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 1. iteracija. Izradio Matija Varga

- Uzimamo put SACT- Možemo poslati najviše 2 jedinice

Slika 5. Izradio Matija Varga

- Brid AC ima kapacitet 0 i stoga je put SACT iscrpljen- Uzimamo novi put , SCT- Maksimalno šaljemo 3 jedinice

Slika 6. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 2. iteracija. Izradio Matija Varga

- Kapacitet SC je 0, stoga je put iskorišten- Uzimamo put SBCT

Slika 7. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 3. iteracija. Izradio Matija Varga

Slika 8. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 4. iteracija. Izradio Matija Varga

- Uzimamo put SBDT

- Ne možemo poslati jedinice ni jednim putem

Slika 9. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 5. iteracija. Izradio Matija Varga

- Zbrojiti jedinice koje ulaze u čvor T- 3+6+2=11 -> MAKSIMALNI PROTOK

Slika 10. Primjer Ford-Fulkersonove metode, završni graf. Izradio Matija Varga

11 x

- Smijemo poslati 11 jedinica

Literatura

1. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest,

Clifford Stein (2001.). Introduction To Algorithms (2. izdanje).

MIT Press

2. Hari Mohan Pandey (2008.). Design Analysis and Algorithm,

Firewall Media

3. George B. Dantzig, Mukund N. Thapa (1997.), Linear

Programming: 1: Introduction. Springer

4. Béla Bollobás (1998.). Modern Graph Theory. Springer-Verlag

New York Inc.