Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka
description
Transcript of Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka
Ford-Fulkersonova metoda za rješavanje problem maksimalnog protoka
Marinko Radić Matija Varga-------------------------13.06.2013. Varaždin
Problem maksimalnog protoka
Slika 1. Harrisova i Rossova mapa željeznica Sovjetskog Saveza[Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein (2001.).
Introduction To Algorithms (2. izdanje). MIT Press,]
Problem maksimalnog protoka
Definicija:
Neka je N=(V,E) graf, postoje s,tV (izvor i odredište grafa N). Svaki protok
kroz mrežu mora zadovoljavati određena ograničenja:
1. protok kroz neki brid ne može biti veći od kapaciteta brida
2. Ne može postojati negativni protok u bridu
3. Vrijednost toka gdje je s izvor u N. Protok u
mreži jednak je sumi svih tokova od izvora do odredišta.
Izvor:
[ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein
(2001.).
Introduction To Algorithms (2. izdanje). MIT Press, str. 644-651]
uvvu cf ,
fsvE),( vsvf
Ford-Fulkersonova metoda
• Ford-Fulkersonov algoritam je algoritam za određivanje
maksimalnog protoka u mreži, temeljen na iterativnom
postupku traženja puteva od izvora do odredišta kojima se
može povećati protok.
[ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest,
Clifford Stein (2001.). Introduction To Algorithms (2. izdanje). MIT
Press, str. 651-656]
Ford-Fulkersonova metoda (G,s,t)
Korak 1
incijaliziraj protok f=0
Korak 2
sve dok postoji put koji se može povećati, promjeni
protok kroz bridove tog puta
[ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L.
Rivest, Clifford Stein (2001.). Introduction To Algorithms
(2. izdanje). MIT Press, str. 651-656]
Primjer – maksimalan protok primjenom Ford-Fulkersonovom metodom
- Tvornica se nalazi u gradu S
- Prevesti proizvode kamionima
- Do grada T
- Gradovi su povezani cestama (bridovi)
- Koliko maksimalno kamiona s proizvodima može poslati
tvornica da bi zadovoljila uvjete?
Izradio: Matija Varga
- Slanje kamiona iz tvornice do grada
- Jedan brid određuje količinu protoka (min)
- Jedinice su s lijeve strane, kapacitet s
desne
Slika 2. Primjer Ford-Fulkersonove metode. Izradio Matija Varga
- Tražimo najmanji kapacitet na putu- Možemo prenijeti najviše 3 jedinice
Slika 3. Primjer Ford-Fulkersonove metode. Izradio Matija Varga
- Prenosimo 3 jedinice- Kapacitet na bridu AT je 0, ne možemo više prenositi tim
putem
Slika 4. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 1. iteracija. Izradio Matija Varga
- Uzimamo put SACT- Možemo poslati najviše 2 jedinice
Slika 5. Izradio Matija Varga
- Brid AC ima kapacitet 0 i stoga je put SACT iscrpljen- Uzimamo novi put , SCT- Maksimalno šaljemo 3 jedinice
Slika 6. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 2. iteracija. Izradio Matija Varga
- Kapacitet SC je 0, stoga je put iskorišten- Uzimamo put SBCT
Slika 7. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 3. iteracija. Izradio Matija Varga
Slika 8. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 4. iteracija. Izradio Matija Varga
- Uzimamo put SBDT
- Ne možemo poslati jedinice ni jednim putem
Slika 9. Primjer Ford-Fulkersonove metode, 5. iteracija. Izradio Matija Varga
- Zbrojiti jedinice koje ulaze u čvor T- 3+6+2=11 -> MAKSIMALNI PROTOK
Slika 10. Primjer Ford-Fulkersonove metode, završni graf. Izradio Matija Varga
11 x
- Smijemo poslati 11 jedinica
Literatura
1. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest,
Clifford Stein (2001.). Introduction To Algorithms (2. izdanje).
MIT Press
2. Hari Mohan Pandey (2008.). Design Analysis and Algorithm,
Firewall Media
3. George B. Dantzig, Mukund N. Thapa (1997.), Linear
Programming: 1: Introduction. Springer
4. Béla Bollobás (1998.). Modern Graph Theory. Springer-Verlag
New York Inc.