EQUAZIONIDIFFERENZIALI

LINEARI ACOEFFICIENTI

COSTANTI

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Equazioni lineari con Equazioni lineari con coefficienti costanti. coefficienti costanti. Termini noti di tipo Termini noti di tipo particolare. Oscillazioni particolare. Oscillazioni forzateforzate

Accenno ai sistemi Accenno ai sistemi

EQUAZIONI EQUAZIONI LINEARI CON LINEARI CON COEFFICIENTICOEFFICIENTI

COSTANTICOSTANTI

Consideriamo un’equazione d’ordineConsideriamo un’equazione d’ordinenn completa con coefficienti costanti completa con coefficienti costanti

yy(n) (n) + a+ a11 y y(n-1) (n-1) + … + a+ … + ann y = b(x) y = b(x)

Qui i coefficienti Qui i coefficienti aa1 1 , … , a, … , ann sono sono numeri reali, mentre numeri reali, mentre b(x)b(x) è una è una funzione che in generale è suppostafunzione che in generale è suppostacontinuacontinua

L’equazione omogenea associata èL’equazione omogenea associata è

yy(n) (n) + a+ a11 y y(n-1) (n-1) + … + a+ … + ann y = 0 y = 0

Si dice Si dice polinomio caratteristico polinomio caratteristico ililpolinomiopolinomio

P(z) = zP(z) = zn n + a+ a11 z zn-1 n-1 + … a+ … an-1n-1 z + a z + ann

L’equazioneL’equazione

zzn n + a+ a11 z zn-1 n-1 + … a+ … an-1n-1 z + a z + an n = 0= 0

si dice si dice equazione caratteristicaequazione caratteristica

Siano Siano , , , …, , …, rr, le radici reali, le radici realidell’equazione caratteristica, di dell’equazione caratteristica, di molteplicità molteplicità mm11, m, m22, … , m, … , mrr; siano; sianopoi poi , , , …, , …, ss e e , , , …, , …, ss le le radici complesse e le complesseradici complesse e le complesseconiugate, ciascuna di molteplicitàconiugate, ciascuna di molteplicità

nn11, n, n22, … , n, … , nss. Allora. Allora

P(z) = (z- P(z) = (z- ))mm1 1 ... ... (z- (z- rr) ) mmr r

(z - (z - ))nn1 1 (z - (z - ))nn11 … … (z - (z - ss))nns s (z - (z - ss))nnss

Ricordiamo che se Ricordiamo che se = a + i b= a + i b, , allora allora = a - i b= a - i b..

Analogamente alla fattorizzazioneAnalogamente alla fattorizzazionedel polinomio del polinomio P(z)P(z), si può pensare, si può pensarea una fattorizzazione dell’operatorea una fattorizzazione dell’operatoredifferenziale che dà l’equazionedifferenziale che dà l’equazioneomogeneaomogenea

L(y) =L(y) = yy(n) (n) + a+ a11 y y(n-1) (n-1) + … + a+ … + ann y = y =(D - (D - ))mm1 1 ... ... (D - (D - rr) ) mmr r

(D - (D - ))nn1 1 (D - (D - ))nn11 … …

(D - (D - ss))nns s (D - (D - ss))nns s y = 0y = 0

È facile vedere che se È facile vedere che se e e sono due sono duenumeri reali o complessi e numeri reali o complessi e y(x)y(x) è una è unafunzione due volte derivabilefunzione due volte derivabile

(D - (D - ) (D - ) (D - ) y = (D - ) y = (D - ) (D - ) (D - ) y =) y =[D[D22 –( –( + + ) D + ) D + ] y = ] y = = y” –(= y” –( + + )y’ + )y’ + y y

Dunque la fattorizzazione di Dunque la fattorizzazione di L(y)L(y) ha ha senso, poiché si può pensare fatta insenso, poiché si può pensare fatta inun ordine arbitrarioun ordine arbitrario

Se Se yy soddisfa soddisfa (D - (D - ) y = 0 ) y = 0 oppureoppure(D - (D - ) y = 0) y = 0, allora è anche, allora è anchey” –(y” –( + + )y’ + )y’ + y = 0 y = 0..

Dunque ogni soluzione di Dunque ogni soluzione di (D - (D - ))p p y = 0 y = 0 dove dove è uno degli è uno degli ii o o uno dei uno dei kk, è una soluzione dell’, è una soluzione dell’equazione omogenea.equazione omogenea.

Se Se p=1p=1, è facile riconoscere che, è facile riconoscere cheuna soluzione di una soluzione di (D - (D - )) y = 0 y = 0 è data è data dada

y = e y = e x x = exp(= exp( x) x)

Se Se è un numero reale allora la è un numero reale allora la funzione è un esponenziale a valorifunzione è un esponenziale a valoriin in RR. Se . Se = c + i d= c + i d, la soluzione,, la soluzione,grazie alle formule d’Eulero, si grazie alle formule d’Eulero, si scrivescrive

ee(c+id)x (c+id)x = e= ecxcx (cos d x + i sen d x) (cos d x + i sen d x)

In questo caso anche In questo caso anche c – i dc – i d è è soluzione del polinomio soluzione del polinomio caratteristico e perciò anchecaratteristico e perciò anche

ee(c-id)x (c-id)x = e= ecxcx (cos d x - i sen d x) (cos d x - i sen d x)

è soluzione dell’equazione è soluzione dell’equazione differenziale. Poiché l’equazionedifferenziale. Poiché l’equazioneè lineare, anche una loro è lineare, anche una loro combinazione lineare è soluzione.combinazione lineare è soluzione.Dunque sono soluzioni relative aDunque sono soluzioni relative aradici complesse coniugate dell’radici complesse coniugate dell’equazione caratteristicaequazione caratteristica

eecxcx cos d x = [e cos d x = [e(c+id)x (c+id)x + e+ e(c-id)x (c-id)x ]/2]/2

eecxcx sen d x = [e sen d x = [e(c+id)x (c+id)x - e- e(c-id)x (c-id)x ]/(2i)]/(2i)

Queste soluzioni hanno ilQueste soluzioni hanno ilvantaggio di essere date da vantaggio di essere date da funzioni a valori reali.funzioni a valori reali.

Che cosa si può dire se Che cosa si può dire se p > 1p > 1 ? ?

Si osserva che, in generale,Si osserva che, in generale,

(D - (D - I)I) (x(xk k eexx) = k x) = k xk-1 k-1 eex x

se k se k 1 1

(D - (D - I)I)2 2 (x(xk k eexx) = k(k-1) x) = k(k-1) xk-2 k-2 eexx

se k se k 2 2

(D - (D - I)I)n n (x(xk k eexx) = 0) = 0 se k < nse k < n

E quindiE quindi

Dunque sono soluzioni dell’Dunque sono soluzioni dell’equazione omogenea le seguentiequazione omogenea le seguentifunzionifunzioni

e e xx, x e , x e xx, … , x, … , x(m(m11-1)-1) e e xx

……………………………………………………………………..

e e r r xx, x e , x e rrxx, … , x, … , x(m(mrr-1)-1) e e rrxx

relative alle soluzioni reali delrelative alle soluzioni reali delpolinomio caratteristico;polinomio caratteristico;

Se Se kk = a = akk + i b + i bk k si trovano le si trovano le seguenti soluzioniseguenti soluzioni

e e aax x cos(bcos(b11x), x e x), x e aax x cos(bcos(b11x), … , x), … , xx(n(n11-1)-1) e e aax x cos(bcos(b11x)x)

e e aax x sen(bsen(b11x), x e x), x e aax x sen(bsen(b11x), … , x), … , xx(n(n11-1)-1) e e aax x sen(bsen(b11x)x)

…………………………………………………………………………………………....

eeaassx x cos(bcos(bssx), x ex), x eaassx x cos(bcos(bssx), … , x), … , xx(n(nss-1)-1) e eaassx x cos(bcos(bssx)x)

eeaassx x sen(bsen(bssx), x ex), x eaassx x sen(bsen(bssx), … , x), … , xx(n(nss-1)-1) e eaassx x sen(bsen(bssx)x)

Tutte le funzioni qui ricordate sonoTutte le funzioni qui ricordate sonolin. indip. su tutto lin. indip. su tutto RR. Dunque . Dunque ogni soluzione dell’equazioneogni soluzione dell’equazioneomogenea è combinazione lineareomogenea è combinazione lineare

delle funzioni presentate in delle funzioni presentate in precedenza. Naturalmente deveprecedenza. Naturalmente devevalere la relazionevalere la relazione

n = mn = m11 + m + m22 + … + m + … + mr r ++2(n2(n11+ n+ n22 +… + n +… + nss))

EsempioEsempioSi trovi l’integrale generale diSi trovi l’integrale generale di

yy(4)(4) –2y’” + 2y” –2y’ + y = 0 –2y’” + 2y” –2y’ + y = 0

L’equazione caratteristica èL’equazione caratteristica è

zz44 –2 z –2 z33 + 2 z + 2 z22 –2 z + 1 = 0 –2 z + 1 = 0

OssiaOssia

(z –1)(z –1)22 (z (z22 + 1) = 0 + 1) = 0

Le radici sono Le radici sono zz11 =1 =1 di molteplicitàdi molteplicità22 e e zz22 = i, z = i, z33 = -i = -i che sono sempliciche sono semplici

Quindi le seguenti sono le quattroQuindi le seguenti sono le quattrosoluzioni linearmente indipendentisoluzioni linearmente indipendentidell’equazione omogeneadell’equazione omogenea

yy11 = e = ex x , y, y22 = x e = x exx

yy33 = cos x = cos x , y, y44 = sen x = sen x

La soluzione generale èLa soluzione generale è

y = cy = c1 1 eex x + c+ c22 x e x ex x + c+ c33 cos x cos x + c + c44 sen x sen x

Con un’opportuna scelta delleCon un’opportuna scelta dellecostanti si può risolvere ognicostanti si può risolvere ogniproblema di Cauchy. Si vogliaproblema di Cauchy. Si vogliatrovare la soluzione che soddisfatrovare la soluzione che soddisfale condizioni inizialile condizioni iniziali

y(0) = 0, y’(0) = -1, y(0) = 0, y’(0) = -1, y”(0) = 0, y’”(0) = 1 y”(0) = 0, y’”(0) = 1

Si trovaSi trova

cc1 1 = c= c2 2 = c= c3 3 = 0, c= 0, c4 4 = -1= -1

E quindiE quindi

y(x) = - sen xy(x) = - sen x

EQUAZIONE EQUAZIONE COMPLETACOMPLETA

Ricordiamo la formula generale cheRicordiamo la formula generale chefornisce un integrale particolare del fornisce un integrale particolare del sistema completo, specializzandolasistema completo, specializzandolaal caso di un’equazione d’ordineal caso di un’equazione d’ordine n n..

Ricordiamo la formula generaleRicordiamo la formula generale

Y(x) U(x) U 1(t)B(t)dt

Ci interessa solo la primaCi interessa solo la prima componente di componente di Y(x)Y(x). Conviene. Convienericordare che ricordare che B(x) = (0,..,0,b(x))B(x) = (0,..,0,b(x))TT

U(t)U(t)-1-1B(t) = B(t) = (b(t)/W(t))(W(b(t)/W(t))(Wn1n1(t), .. ,W(t), .. ,Wnnnn(t)) (t)) TT

Qui Qui W(t) = det U(t)W(t) = det U(t) , si dice il , si dice il wronskianowronskiano del sistema del sistema fondamentalefondamentale

E quindi, la prima componente diE quindi, la prima componente di

U(x) U(t)U(x) U(t)-1-1B(t)B(t) è è

((yy11(x)W(x)Wn1n1(t)+ y(t)+ y22(x)W(x)Wn2n2(t)+ .. +(t)+ .. +

yynn(x) W(x) Wnnnn(t)(t))) b(t)/W(t) b(t)/W(t)

In definitiva otteniamo la In definitiva otteniamo la seguente formula generaleseguente formula generale

y(x) =y(x) =

yy11(t)………..y(t)………..ynn(t)(t)

y’y’11(t)………..y’(t)………..y’nn(t)(t)…………………………………………....yy11

(n-2)(n-2)(t)….y(t)….yn n (n-2)(n-2)(t)(t)

yy11(x)………..y(x)………..ynn(x)(x)

W(t)W(t)

b(t) dtb(t) dt

In particolare, per un’equazioneIn particolare, per un’equazioned’ordine 2d’ordine 2

y(x) = y(x) =

yy11(t)y(t)y22(t)(t)

yy11(x)y(x)y22(x)(x)

W(t)W(t)b(t) dtb(t) dt

CioèCioè

y(x) = y(x) = yy11(t) y(t) y22(x)- y(x)- y11(x)y(x)y22(t)(t)

yy11(t) y’(t) y’22(t)- y’(t)- y’11(t)y(t)y22(t)(t)b(t) dtb(t) dt