Derivacija - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...

Derivacija

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Derivacija 1 / 44

Definicija derivacije

Geometrijska motivacija i znacenje: Kako nastaje tangenta?

Uocimo da je:

tangenta = limes sekanti,

koef. smjera tangente = limes koef.smjera sekanti.

Kako to racunski odrediti?

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

∆x→ koef. smjera sekante

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

ozn= f ′(x) → koef. smjera tangente

Geometrijska motivacija i znacenje:

Kako nastaje tangenta?

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =

f (x + ∆x)− f (x)∆x

→ koef. smjera sekante

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =

f (x + ∆x)− f (x)∆x

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

ozn= f ′(x)

→ koef. smjera tangente

Uocimo da je:

Vrijedi:

ks = tg α =f (x + ∆x)− f (x)

kt = lim∆x→0

ks = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija.

Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X . Kazemo da jefunkcija f derivabilna u tocki x ∈ X ako limes

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

postoji i konacan je. Taj limes oznacavamo s f ′(x) i nazivamo derivacijomfunkcije f u tocki x .

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je X ′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f derivabilna. Funkciju f ′ : X ′ → R kojasvakoj tocki x ∈ X ′ pridruzuje broj f ′(x) nazivamo derivacijom funkcije f .

Definicija. Neka je f : X → R funkcija,

te neka je x ∈ X . Kazemo da jefunkcija f derivabilna u tocki x ∈ X ako limes

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X .

Kazemo da jefunkcija f derivabilna u tocki x ∈ X ako limes

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X . Kazemo da jefunkcija f derivabilna u tocki x ∈ X

ako limes

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X . Kazemo da jefunkcija f derivabilna u tocki x ∈ X ako limes

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

postoji i konacan je.

Taj limes oznacavamo s f ′(x) i nazivamo derivacijomfunkcije f u tocki x .

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

postoji i konacan je. Taj limes oznacavamo s f ′(x)

i nazivamo derivacijomfunkcije f u tocki x .

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija.

Neka je f : X → R funkcija, te neka je X ′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f derivabilna. Funkciju f ′ : X ′ → R kojasvakoj tocki x ∈ X ′ pridruzuje broj f ′(x) nazivamo derivacijom funkcije f .

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

te neka je X ′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f derivabilna. Funkciju f ′ : X ′ → R kojasvakoj tocki x ∈ X ′ pridruzuje broj f ′(x) nazivamo derivacijom funkcije f .

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je X ′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f derivabilna.

Funkciju f ′ : X ′ → R kojasvakoj tocki x ∈ X ′ pridruzuje broj f ′(x) nazivamo derivacijom funkcije f .

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je X ′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f derivabilna. Funkciju f ′ : X ′ → R

kojasvakoj tocki x ∈ X ′ pridruzuje broj f ′(x) nazivamo derivacijom funkcije f .

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je X ′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f derivabilna. Funkciju f ′ : X ′ → R kojasvakoj tocki x ∈ X ′

pridruzuje broj f ′(x) nazivamo derivacijom funkcije f .

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je X ′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f derivabilna. Funkciju f ′ : X ′ → R kojasvakoj tocki x ∈ X ′ pridruzuje broj f ′(x)

nazivamo derivacijom funkcije f .

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Uvodimo oznaku∆f (x) = f (x + ∆x)− f (x),

pa vrijedi:

velicina ∆f (x) naziva se diferencija funkcije f u tocki x ,velicina ∆f (x) geometrijski mjeri promjenu (prirast) funkcije f u tockix nakon pomaka ∆x .

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

pa vrijedi:

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

pa vrijedi:

velicina ∆f (x) naziva se diferencija funkcije f u tocki x ,

velicina ∆f (x) geometrijski mjeri promjenu (prirast) funkcije f u tockix nakon pomaka ∆x .

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

pa vrijedi:

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Obzirom na cestu oznakuy = f (x),

uvodimo i oznakey ′ = f ′(x), ∆y = ∆f (x)

za derivaciju i diferenciju funkcije.

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

uvodimo i oznakey ′ = f ′(x),

∆y = ∆f (x)

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

za derivaciju

i diferenciju funkcije.

lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Zadatak.

Odredi po definiciji derivaciju funkcija: a) f (x) = x2, b)f (x) =

√x .

Rješenje. a) Vrijedi

(x2)′ = lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

∆x(2x + ∆x)∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x ,

Zadatak. Odredi po definiciji derivaciju funkcija: a) f (x) = x2, b)f (x) =

√x .

(x2)′ = lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

∆x(2x + ∆x)∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x ,

√x .

Rješenje.

a) Vrijedi

(x2)′ = lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

∆x(2x + ∆x)∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x ,

√x .

Rješenje. a)

Vrijedi

(x2)′ = lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

∆x(2x + ∆x)∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x ,

√x .

(x2)′ =

lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

∆x(2x + ∆x)∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x ,

√x .

(x2)′ = lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

∆x(2x + ∆x)∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x ,

√x .

(x2)′ = lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

∆x(2x + ∆x)∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x ,

√x .

(x2)′ = lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2∆x

lim∆x→0

∆x(2x + ∆x)∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x ,

√x .

(x2)′ = lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

∆x(2x + ∆x)∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x ,

√x .

(x2)′ = lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

∆x(2x + ∆x)∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) =

√x .

(x2)′ = lim∆x→0

(x + ∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2∆x

= lim∆x→0

∆x(2x + ∆x)∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x ,

√x .

Rješenje. b)

Vrijedi

(√x)′ = lim

∆x→0

√x + ∆x −

= lim∆x→0

√x + ∆x −

√x + ∆x +

√x√

x + ∆x +√x=

= lim∆x→0

x + ∆x − x∆x(√x + ∆x +

√x)= lim

∆x→0

1√x + ∆x +

12√x.

√x .

Rješenje. b) Vrijedi

(√x)′ =

lim∆x→0

√x + ∆x −

= lim∆x→0

√x + ∆x −

√x + ∆x +

√x√

x + ∆x +√x=

= lim∆x→0

x + ∆x − x∆x(√x + ∆x +

√x)= lim

∆x→0

1√x + ∆x +

12√x.

√x .

(√x)′ = lim

∆x→0

√x + ∆x −

= lim∆x→0

√x + ∆x −

√x + ∆x +

√x√

x + ∆x +√x=

= lim∆x→0

x + ∆x − x∆x(√x + ∆x +

√x)= lim

∆x→0

1√x + ∆x +

12√x.

√x .

(√x)′ = lim

∆x→0

√x + ∆x −

= lim∆x→0

√x + ∆x −

√x + ∆x +

√x√

x + ∆x +√x=

= lim∆x→0

x + ∆x − x∆x(√x + ∆x +

√x)= lim

∆x→0

1√x + ∆x +

12√x.

√x .

(√x)′ = lim

∆x→0

√x + ∆x −

= lim∆x→0

√x + ∆x −

√x + ∆x +

√x√

x + ∆x +√x=

= lim∆x→0

x + ∆x − x∆x(√x + ∆x +

√x)= lim

∆x→0

1√x + ∆x +

12√x.

√x .

(√x)′ = lim

∆x→0

√x + ∆x −

= lim∆x→0

√x + ∆x −

√x + ∆x +

√x√

x + ∆x +√x=

= lim∆x→0

x + ∆x − x∆x(√x + ∆x +

√x)=

lim∆x→0

1√x + ∆x +

12√x.

√x .

(√x)′ = lim

∆x→0

√x + ∆x −

= lim∆x→0

√x + ∆x −

√x + ∆x +

√x√

x + ∆x +√x=

= lim∆x→0

x + ∆x − x∆x(√x + ∆x +

√x)= lim

∆x→0

1√x + ∆x +

12√x.

√x .

(√x)′ = lim

∆x→0

√x + ∆x −

= lim∆x→0

√x + ∆x −

√x + ∆x +

√x√

x + ∆x +√x=

= lim∆x→0

x + ∆x − x∆x(√x + ∆x +

√x)= lim

∆x→0

1√x + ∆x +

12√x.

Definicija.

Neka je f : X → R funkcija derivabilna u x0 ∈ X .Tangenta na graf funkcije f u tocki x0 je pravac koji prolazi tockomT (x0, f (x0)) i ima koeficijent smjera f ′(x0).

Normala na graf funkcije f u tocki x0 je pravac koji prolazi tockomT (x0, f (x0)) i okomit je na tangentu.

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Definicija. Neka je f : X → R funkcija derivabilna u x0 ∈ X .

Tangenta na graf funkcije f u tocki x0 je pravac koji prolazi tockomT (x0, f (x0)) i ima koeficijent smjera f ′(x0).

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Definicija. Neka je f : X → R funkcija derivabilna u x0 ∈ X .Tangenta na graf funkcije f u tocki x0

je pravac koji prolazi tockomT (x0, f (x0)) i ima koeficijent smjera f ′(x0).

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Definicija. Neka je f : X → R funkcija derivabilna u x0 ∈ X .Tangenta na graf funkcije f u tocki x0 je pravac koji prolazi tockomT (x0, f (x0))

i ima koeficijent smjera f ′(x0).

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Definicija. Neka je f : X → R funkcija derivabilna u x0 ∈ X .Tangenta na graf funkcije f u tocki x0 je pravac koji prolazi tockomT (x0, f (x0)) i ima koeficijent smjera f ′(x0).

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Normala na graf funkcije f u tocki x0

je pravac koji prolazi tockomT (x0, f (x0)) i okomit je na tangentu.

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Normala na graf funkcije f u tocki x0 je pravac koji prolazi tockomT (x0, f (x0))

i okomit je na tangentu.

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Jednadzba tangente:

y − f (x0) = f ′(x0) (x − x0) .

Jednadzba normale:

y − f (x0) = −1

f ′(x0)(x − x0) .

Zadatak.

Odredi jednadzbu tangente i normale na graf funkcijef (x) =

√x u tocki x0 = 4.

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Zadatak. Odredi jednadzbu tangente i normale na graf funkcijef (x) =

u tocki x0 = 4.

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje.

Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒

f (4) =√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

= 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x

⇒ f ′(4) =1

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=

14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt =

kn = − 1kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

kn = − 1kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

− 1kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4)

⇒ y =14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4)

⇒ y = −4x + 18

Rješenje. Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2⇒ T0(4, 2)

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14⇒{kt = 1

4kn = − 1

kt= − 4

Sada je

t . . . y − 2 = 14(x − 4) ⇒ y =

14x + 1

n . . . y − 2 = −4(x − 4) ⇒ y = −4x + 18

Pitanje.

U kakvim tockama domene funkcija nije derivabilna?

Odgovor. Obzirom da je derivacija definirana pomocu limesa, funkcija nijederivabilna u tockama domene u kojima:

1 limes nije definiran (izolirane tocke domene),2 limes jest definiran, ali ne postoji (tocke prekida i tzv. "špicevi"),3 limes jest definiran i postoji, ali je beskonacan (tocke u kojima jetangenta vertikalna).

Pitanje. U kakvim tockama domene funkcija nije derivabilna?

Odgovor.

Obzirom da je derivacija definirana pomocu limesa, funkcija nijederivabilna u tockama domene u kojima:

Odgovor. Obzirom da je derivacija definirana pomocu limesa,

funkcija nijederivabilna u tockama domene u kojima:

1 limes nije definiran

(izolirane tocke domene),2 limes jest definiran, ali ne postoji (tocke prekida i tzv. "špicevi"),3 limes jest definiran i postoji, ali je beskonacan (tocke u kojima jetangenta vertikalna).

1 limes nije definiran (izolirane tocke domene),

2 limes jest definiran, ali ne postoji (tocke prekida i tzv. "špicevi"),3 limes jest definiran i postoji, ali je beskonacan (tocke u kojima jetangenta vertikalna).

1 limes nije definiran (izolirane tocke domene),2 limes jest definiran, ali ne postoji

(tocke prekida i tzv. "špicevi"),3 limes jest definiran i postoji, ali je beskonacan (tocke u kojima jetangenta vertikalna).

1 limes nije definiran (izolirane tocke domene),2 limes jest definiran, ali ne postoji (tocke prekida i tzv. "špicevi"),

3 limes jest definiran i postoji, ali je beskonacan (tocke u kojima jetangenta vertikalna).

1 limes nije definiran (izolirane tocke domene),2 limes jest definiran, ali ne postoji (tocke prekida i tzv. "špicevi"),3 limes jest definiran i postoji, ali je beskonacan

(tocke u kojima jetangenta vertikalna).

Geometrijski interpretirano:

Za funkciju f : X → R i tocku x ∈ X uvodimo oznake:

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X .Kazemo da je funkcija f derivabilna s lijeva u tocki x ∈ X ako limesf ′(x−)postoji i konacan je.

Kazemo da je funkcija f derivabilna s desna u tocki x ∈ X ako limesf ′(x+) postoji i konacan je.

Teorem. Ako je funkcija f derivabilna u tocki x , onda je funkcija f ineprekidna u tocki x .

Napomena. Obrat teorema ne vrijedi, primjer za to su špicevi.

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija.

Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X .Kazemo da je funkcija f derivabilna s lijeva u tocki x ∈ X ako limesf ′(x−)postoji i konacan je.

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X .

Kazemo da je funkcija f derivabilna s lijeva u tocki x ∈ X ako limesf ′(x−)postoji i konacan je.

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X .Kazemo da je funkcija f derivabilna s lijeva u tocki x ∈ X

ako limesf ′(x−)postoji i konacan je.

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Kazemo da je funkcija f derivabilna s desna u tocki x ∈ X

ako limesf ′(x+) postoji i konacan je.

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Teorem.

Ako je funkcija f derivabilna u tocki x , onda je funkcija f ineprekidna u tocki x .

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Napomena.

Obrat teorema ne vrijedi, primjer za to su špicevi.

f ′(x−) = lim∆x→0−

f (x + ∆x)− f (x)∆x

, f ′(x+) = lim∆x→0+

f (x + ∆x)− f (x)∆x

Deriviranje elementarnih funkcija

Kod elementarnih funkcija, derivaciju mozemo odre�ivati:

1 po definiciji,2 koristeci strukturu klase elementarnih funkcija

osnovne elementarnefunkcije

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

1 odredimo derivaciju svih osnovnih elementarnih funkcija (formira setablica osnovnih derivacija),

2 utvrde se pravila za deriviranje pet racunskih operacija (praviladeriviranja),

pa cemo onda znati odrediti derivaciju svake elementarne funkcije.

Napomena. Drugi nacin deriviranja nazivamo joši "deriviranje pomocutablice i pravila".

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

1 po definiciji,

2 koristeci strukturu klase elementarnih funkcija

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

1 odredimo derivaciju svih osnovnih elementarnih funkcija

(formira setablica osnovnih derivacija),

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

2 utvrde se pravila za deriviranje pet racunskih operacija

(praviladeriviranja),

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

Napomena.

Drugi nacin deriviranja nazivamo joši "deriviranje pomocutablice i pravila".

+racunskeoperacije

=sve elementarne

funkcije

tako da:

Deriviranje elementarnih funkcijaPravila deriviranja

Pravila za deriviranje pet racunskih operacija uvode se tako da odredimo:

pravilo za deriviranje inverzne funkcije;

a zatim odredimo pravila za deriviranje pet racunskih operacija:

zbroj funkcija,

razliku funkcija,

umnozak funkcija,

dijeljenje funkcija,

kompoziciju funkcija.

zbroj funkcija,

razliku funkcija,

umnozak funkcija,

zbroj funkcija,

razliku funkcija,

umnozak funkcija,

zbroj funkcija,

razliku funkcija,

umnozak funkcija,

zbroj funkcija,

razliku funkcija,

umnozak funkcija,

zbroj funkcija,

razliku funkcija,

umnozak funkcija,

zbroj funkcija,

razliku funkcija,

umnozak funkcija,

zbroj funkcija,

razliku funkcija,

umnozak funkcija,

zbroj funkcija,

razliku funkcija,

umnozak funkcija,

Teorem (Pravilo za deriviranje inverzne funkcije).

Neka je funkcijaf : X → Y bijekcija koja je derivabilna u tocki x , te neka je f ′(x) 6= 0.Nadalje, neka je inverzna funkcija f −1 : Y → X neprekidna u tockiy = f (x). Tada vrijedi

(f −1

)′(y) =

1f ′(x)

Teorem (Pravilo za deriviranje inverzne funkcije). Neka je funkcijaf : X → Y bijekcija koja je derivabilna u tocki x ,

te neka je f ′(x) 6= 0.Nadalje, neka je inverzna funkcija f −1 : Y → X neprekidna u tockiy = f (x). Tada vrijedi

(f −1

)′(y) =

1f ′(x)

Teorem (Pravilo za deriviranje inverzne funkcije). Neka je funkcijaf : X → Y bijekcija koja je derivabilna u tocki x , te neka je f ′(x) 6= 0.

Nadalje, neka je inverzna funkcija f −1 : Y → X neprekidna u tockiy = f (x). Tada vrijedi

(f −1

)′(y) =

1f ′(x)

Teorem (Pravilo za deriviranje inverzne funkcije). Neka je funkcijaf : X → Y bijekcija koja je derivabilna u tocki x , te neka je f ′(x) 6= 0.Nadalje, neka je inverzna funkcija f −1 : Y → X neprekidna u tockiy = f (x).

Tada vrijedi

(f −1

)′(y) =

1f ′(x)

Teorem (Pravilo za deriviranje inverzne funkcije). Neka je funkcijaf : X → Y bijekcija koja je derivabilna u tocki x , te neka je f ′(x) 6= 0.Nadalje, neka je inverzna funkcija f −1 : Y → X neprekidna u tockiy = f (x). Tada vrijedi

(f −1

)′(y) =

1f ′(x)

Teorem (Pravilo za deriviranje racunskih operacija).

Neka su funkcijef i g derivabilne u tocki x . Tada vrijedi:

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

(f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x),(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x),(

f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

Teorem (Pravilo za deriviranje kompozicije). Ako je funkcija fderivabilna u tocki x , a funkcija g u tocki y = f (x), onda je kompozicijag ◦ f derivabilna u tocki x i vrijedi

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

Teorem (Pravilo za deriviranje racunskih operacija). Neka su funkcijef i g derivabilne u tocki x .

Tada vrijedi:

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

Teorem (Pravilo za deriviranje racunskih operacija). Neka su funkcijef i g derivabilne u tocki x . Tada vrijedi:

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

(f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x),

(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x),(f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

(f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x),(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x),

(f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

Teorem (Pravilo za deriviranje kompozicije).

Ako je funkcija fderivabilna u tocki x , a funkcija g u tocki y = f (x), onda je kompozicijag ◦ f derivabilna u tocki x i vrijedi

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

Teorem (Pravilo za deriviranje kompozicije). Ako je funkcija fderivabilna u tocki x ,

a funkcija g u tocki y = f (x), onda je kompozicijag ◦ f derivabilna u tocki x i vrijedi

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

Teorem (Pravilo za deriviranje kompozicije). Ako je funkcija fderivabilna u tocki x , a funkcija g u tocki y = f (x),

onda je kompozicijag ◦ f derivabilna u tocki x i vrijedi

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

Teorem (Pravilo za deriviranje kompozicije). Ako je funkcija fderivabilna u tocki x , a funkcija g u tocki y = f (x), onda je kompozicijag ◦ f derivabilna u tocki x

i vrijedi

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

f (x)g(x)

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)g(x)2

za g(x) 6= 0.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

Deriviranje elementarnih funkcijaTablica osnovnih derivacija

Deriviranje osnovnih elementarnih funkcija provodi se tako da:

po definiciji odredimo derivacije funkcija

c, xn, ax , sin x , cos x ;

po pravilu za deriviranje razlomka odredimo derivacije

x−n = 1x n , tg x = sin x

cos x , ctg x = cos xsin x ;

po pravilu za deriviranje kompozicije odredimo derivacije

xmn = (x

1n )m ;

po pravilu za deriviranje inverza odredimo derivacije

x1n , x−

1n , loga x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x .

xn, ax , sin x , cos x ;

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

c, xn,

ax , sin x , cos x ;

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

c, xn, ax ,

sin x , cos x ;

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

c, xn, ax , sin x ,

cos x ;

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

x−n = 1x n ,

tg x = sin xcos x , ctg x = cos x

sin x ;

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

cos x ,

ctg x = cos xsin x ;

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

(x1n )m ;

x1n , x−

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

xmn = (x

1n )m ;

x−1n , loga x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x .

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

loga x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x .

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

1n , loga x ,

arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x .

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

1n , loga x , arcsin x ,

arccos x , arctg x , arcctg x .

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

1n , loga x , arcsin x , arccos x ,

arctg x , arcctg x .

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

1n , loga x , arcsin x , arccos x , arctg x ,

arcctg x .

xmn = (x

1n )m ;

x1n , x−

Sada mozemo formirati Tablicu osnovnih derivacija.

f (x) f ′(x) f (x) f ′(x)

c 0 tg x1

cos2 xx r rx r−1 ctg x − 1

sin2 xax ax ln a arcsin x

1√1− x2

loga x1

x ln aarccos x − 1√

1− x2sin x cos x arctg x

11+ x2

cos x − sin x arcctg x − 11+ x2

Zadatak.

Odredi derivaciju funkcije:

a) f (x) = x2 + sin x , b) f (x) = ex − ln x , c) f (x) = x3 tg x ,d) f (x) = x

ex , e) f (x) = cos x2.

Napiši najprije pravilo po kojem cešderivirati (ime i formulu).

Rješenje. a) Deriviramo po pravilu za deriviranje zbroja

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

f ′(x) = (x2 + sin x)′ = (x2)′ + (sin x)′ = 2x + cos x

Zadatak. Odredi derivaciju funkcije:

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

a) f (x) = x2 + sin x ,

b) f (x) = ex − ln x , c) f (x) = x3 tg x ,d) f (x) = x

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

a) f (x) = x2 + sin x , b) f (x) = ex − ln x ,

c) f (x) = x3 tg x ,d) f (x) = x

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

a) f (x) = x2 + sin x , b) f (x) = ex − ln x , c) f (x) = x3 tg x ,

d) f (x) = xex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

Rješenje.

a) Deriviramo po pravilu za deriviranje zbroja

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

Rješenje. a)

Deriviramo po pravilu za deriviranje zbroja

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

f ′(x) = (x2 + sin x)′ =

(x2)′ + (sin x)′ = 2x + cos x

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

f ′(x) = (x2 + sin x)′ = (x2)′ + (sin x)′ =

2x + cos x

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

Rješenje. b)

Deriviramo po pravilu za deriviranje razlike

(f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (ex − ln x)′ = (ex )′ − (ln x)′ = ex − 1x

ex , e) f (x) = cos x2.

Rješenje. b) Deriviramo po pravilu za deriviranje razlike

(f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (ex − ln x)′ =

(ex )′ − (ln x)′ = ex − 1x

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (ex − ln x)′ = (ex )′ − (ln x)′ =

ex − 1x

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x)− g(x))′ = f ′(x)− g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

Rješenje. c)

Deriviramo po pravilu za deriviranje umnoška

(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (x3 tg x)′ = (x3)′ tg x + x3(tg x)′ = 3x2 tg x + x3 · 1cos2 x

ex , e) f (x) = cos x2.

Rješenje. c) Deriviramo po pravilu za deriviranje umnoška

(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (x3 tg x)′ =

(x3)′ tg x + x3(tg x)′ = 3x2 tg x + x3 · 1cos2 x

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (x3 tg x)′ = (x3)′ tg x + x3(tg x)′ =

3x2 tg x + x3 · 1cos2 x

ex , e) f (x) = cos x2.

(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x)

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

Rješenje. d)

Deriviramo po pravilu za deriviranje razlomka (tj.dijeljenja) (

f (x)g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (xex)′ =

(x)′ex − x(ex )′(ex )2

=ex − xex(ex )2

=1− xex

ex , e) f (x) = cos x2.

Rješenje. d) Deriviramo po pravilu za deriviranje razlomka (tj.dijeljenja)

(f (x)g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (xex)′ =

(x)′ex − x(ex )′(ex )2

=ex − xex(ex )2

=1− xex

ex , e) f (x) = cos x2.

Rješenje. d) Deriviramo po pravilu za deriviranje razlomka (tj.dijeljenja) (

f (x)g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (xex)′ =

(x)′ex − x(ex )′(ex )2

=ex − xex(ex )2

=1− xex

ex , e) f (x) = cos x2.

f (x)g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (xex)′ =

(x)′ex − x(ex )′(ex )2

=ex − xex(ex )2

=1− xex

ex , e) f (x) = cos x2.

f (x)g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (xex)′ =

(x)′ex − x(ex )′(ex )2

ex − xex(ex )2

=1− xex

ex , e) f (x) = cos x2.

f (x)g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (xex)′ =

(x)′ex − x(ex )′(ex )2

=ex − xex(ex )2

1− xex

ex , e) f (x) = cos x2.

f (x)g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

Vrijedi

f (x) = (xex)′ =

(x)′ex − x(ex )′(ex )2

=ex − xex(ex )2

=1− xex

ex , e) f (x) = cos x2.

Rješenje. e)

Deriviramo po pravilu za deriviranje kompozicije

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

Vrijedi

f (x) = (cos x2)′ = − sin(x2) · (x2)′ = − sin x2 · 2x

ex , e) f (x) = cos x2.

Rješenje. e) Deriviramo po pravilu za deriviranje kompozicije

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

Vrijedi

ex , e) f (x) = cos x2.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

Vrijedi

f (x) = (cos x2)′ =

− sin(x2) · (x2)′ = − sin x2 · 2x

ex , e) f (x) = cos x2.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

Vrijedi

f (x) = (cos x2)′ = − sin(x2)

· (x2)′ = − sin x2 · 2x

ex , e) f (x) = cos x2.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

Vrijedi

f (x) = (cos x2)′ = − sin(x2) · (x2)′ =

− sin x2 · 2x

ex , e) f (x) = cos x2.

(g (f (x)))′ = g ′(f (x)) · f ′(x).

Vrijedi

Deriviranje implicitno zadane funkcije

Neka je funkcija y = f (x) implicitno zadana izrazom F (x , y) = 0.

Primjer. Funkcija y = f (x) moze biti zadana sa:

x2 − y + sin x = 0 ⇒ y = x2 + sin xxy + sin(x + y) = 0 ⇒ y = ?

Postavlja se pitanje: kako derivirati implicitno zadanu f-ju?

Derivaciju funkcije y = f (x) tada odre�ujemo deriviranjem izrazaF (x , y) = 0 pri cemu izraze koji sadrze zavisnu varijablu y deriviramoprimjenjujuci Teorem o deriviranju kompozicije.

Primjer.

Funkcija y = f (x) moze biti zadana sa:

x2 − y + sin x = 0

⇒ y = x2 + sin xxy + sin(x + y) = 0 ⇒ y = ?

x2 − y + sin x = 0 ⇒ y =

x2 + sin xxy + sin(x + y) = 0 ⇒ y = ?

x2 − y + sin x = 0 ⇒ y = x2 + sin x

xy + sin(x + y) = 0 ⇒ y = ?

x2 − y + sin x = 0 ⇒ y = x2 + sin xxy + sin(x + y) = 0

⇒ y = ?

x2 − y + sin x = 0 ⇒ y = x2 + sin xxy + sin(x + y) = 0 ⇒ y =

Derivaciju funkcije y = f (x) tada odre�ujemo deriviranjem izrazaF (x , y) = 0

pri cemu izraze koji sadrze zavisnu varijablu y deriviramoprimjenjujuci Teorem o deriviranju kompozicije.

Zadatak.

Odredi tangentu na krivulju x2 − xy + y2 = 3 u tocki x0 = 1.Rješenje. Potrebno je odrediti tocke na krivulji s apscisom x0 = 1. Vrijedi

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

Dakle, imamo T1(1, 2) i T2(1,−1). Prona�imo y ′(T1) i y ′(T1)!

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

Zadatak. Odredi tangentu na krivulju x2 − xy + y2 = 3 u tocki x0 = 1.

Rješenje. Potrebno je odrediti tocke na krivulji s apscisom x0 = 1. Vrijedi

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

Zadatak. Odredi tangentu na krivulju x2 − xy + y2 = 3 u tocki x0 = 1.Rješenje.

Potrebno je odrediti tocke na krivulji s apscisom x0 = 1. Vrijedi

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

Zadatak. Odredi tangentu na krivulju x2 − xy + y2 = 3 u tocki x0 = 1.Rješenje. Potrebno je odrediti tocke na krivulji s apscisom x0 = 1.

Vrijedi

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

Zadatak. Odredi tangentu na krivulju x2 − xy + y2 = 3 u tocki x0 = 1.Rješenje. Potrebno je odrediti tocke na krivulji s apscisom x0 = 1. Vrijedi

12 − 1 · y + y2 = 3

⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒

{y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

Dakle, imamo T1(1, 2) i T2(1,−1).

Prona�imo y ′(T1) i y ′(T1)!

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x −

(1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) +

2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ =

0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0

⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =

y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x

⇒{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) =

0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0

y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) =

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . .

y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1)

⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . .

y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1)

⇒ y = x − 2

12 − 1 · y + y2 = 3⇒ y2 − y − 2 = 0⇒{

y1 = 2y2 = −1

2x − (1 · y + x · y ′) + 2y · y ′ = 0⇒ y ′ =y − 2x2y − x ⇒

{y ′(T1) = 0y ′(T2) = 1

Trazene tangente su

t1 . . . y − 2 = 0 · (x − 1) ⇒ y = 2

t2 . . . y + 1 = 1 · (x − 1) ⇒ y = x − 2

Zadatak. Odredi tangentu na krivulju x2 − xy + y2 = 3 u tocki x0 = 1.Rješenje.

Logaritamsko deriviranje

Deriviranje funkcija oblika

y = f (x)g (x )

provodi se u tri koraka:

1 logaritmira se jednakost y = f (x)g (x ) ,2 korištenjem svojstava logaritma eksponencijalni izraz se transformira uumnozak,

3 derivira se dobivena implicitno zadana funkcija.

Ovim postupkom dobije se

y ′ = f (x)g (x )(g ′(x) ln f (x) +

g(x)f (x)

f ′ (x)).

y = f (x)g (x )

y ′ = f (x)g (x )(g ′(x) ln f (x) +

g(x)f (x)

f ′ (x)).

y = f (x)g (x )

y ′ = f (x)g (x )(g ′(x) ln f (x) +

g(x)f (x)

f ′ (x)).

y = f (x)g (x )

1 logaritmira se jednakost y = f (x)g (x ) ,

2 korištenjem svojstava logaritma eksponencijalni izraz se transformira uumnozak,

y ′ = f (x)g (x )(g ′(x) ln f (x) +

g(x)f (x)

f ′ (x)).

y = f (x)g (x )

y ′ = f (x)g (x )(g ′(x) ln f (x) +

g(x)f (x)

f ′ (x)).

y = f (x)g (x )

y ′ = f (x)g (x )(g ′(x) ln f (x) +

g(x)f (x)

f ′ (x)).

y = f (x)g (x )

y ′ = f (x)g (x )(g ′(x) ln f (x) +

g(x)f (x)

f ′ (x)).

Diferencijal

Uvodimo velicine:

∆f (x) = f (x + ∆x)− f (x) koja mjeri prirast funkcije nakonpomaka ∆x ,

df (x) koja mjeri prirast do tangente nakon pomaka ∆x .

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

∆f (x) = f (x + ∆x)− f (x)

koja mjeri prirast funkcije nakonpomaka ∆x ,

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

∆f (x) = f (x + ∆x)− f (x) koja mjeri prirast funkcije nakonpomaka ∆x ,df (x) koja mjeri prirast do tangente nakon pomaka ∆x .

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =

df (x)∆x

⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x =

f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x =

f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Uvodimo velicine:

Vrijedi:

tg α =df (x)

∆x⇒ df (x) = tg α · ∆x = f ′(x) · ∆x .

Diferencijal

Definicija.

Neka je f : X → R funkcija derivabilna u tocki x ∈ X . Tada jediferencijal df (x) funkcije f u tocki x definiran sa df (x) = f ′(x)∆x .

Cesto se oznacava ∆x = dx , pa dobivamo oznake:

df (x) = f ′(x)dx ⇒ f ′(x) =df (x)dx

Tako�er, obzirom na cestu oznaku y = f (x), uvodimo i oznake:

∆y = ∆f (x),dy = df (x).

Diferencijal

Definicija. Neka je f : X → R funkcija

derivabilna u tocki x ∈ X . Tada jediferencijal df (x) funkcije f u tocki x definiran sa df (x) = f ′(x)∆x .

df (x) = f ′(x)dx ⇒ f ′(x) =df (x)dx

∆y = ∆f (x),dy = df (x).

Diferencijal

Definicija. Neka je f : X → R funkcija derivabilna u tocki x ∈ X .

Tada jediferencijal df (x) funkcije f u tocki x definiran sa df (x) = f ′(x)∆x .

df (x) = f ′(x)dx ⇒ f ′(x) =df (x)dx

∆y = ∆f (x),dy = df (x).

Diferencijal

Definicija. Neka je f : X → R funkcija derivabilna u tocki x ∈ X . Tada jediferencijal df (x) funkcije f u tocki x definiran sa df (x) = f ′(x)∆x .

df (x) = f ′(x)dx ⇒ f ′(x) =df (x)dx

∆y = ∆f (x),dy = df (x).

Diferencijal

df (x) = f ′(x)dx ⇒ f ′(x) =df (x)dx

∆y = ∆f (x),dy = df (x).

Diferencijal

df (x) = f ′(x)dx

⇒ f ′(x) =df (x)dx

∆y = ∆f (x),dy = df (x).

Diferencijal

df (x) = f ′(x)dx ⇒ f ′(x) =df (x)dx

∆y = ∆f (x),dy = df (x).

Diferencijal

df (x) = f ′(x)dx ⇒ f ′(x) =df (x)dx

Tako�er, obzirom na cestu oznaku y = f (x),

uvodimo i oznake:

∆y = ∆f (x),dy = df (x).

Diferencijal

df (x) = f ′(x)dx ⇒ f ′(x) =df (x)dx

∆y = ∆f (x),

dy = df (x).

Diferencijal

df (x) = f ′(x)dx ⇒ f ′(x) =df (x)dx

∆y = ∆f (x),dy = df (x).

Diferencijal

Pokazimo da je za dovoljno mali ∆x razlika izme�u:

diferencije ∆f (x) idiferencijala df (x)

zanemarivo mala u odnosu na ∆x . Vrijedi:

lim∆x→0

(∆f (x)− df (x)

)= lim

∆x→0

(∆f (x)

∆x− f

′(x)∆x∆x

= lim∆x→0

(∆f (x)

∆x− f ′(x)

= f ′(x)− f ′(x) = 0.

Diferencijal

diferencije ∆f (x) i

diferencijala df (x)

lim∆x→0

(∆f (x)− df (x)

)= lim

∆x→0

(∆f (x)

∆x− f

′(x)∆x∆x

= lim∆x→0

(∆f (x)

∆x− f ′(x)

= f ′(x)− f ′(x) = 0.

Diferencijal

lim∆x→0

(∆f (x)− df (x)

)= lim

∆x→0

(∆f (x)

∆x− f

′(x)∆x∆x

= lim∆x→0

(∆f (x)

∆x− f ′(x)

= f ′(x)− f ′(x) = 0.

Diferencijal

zanemarivo mala u odnosu na ∆x .

Vrijedi:

lim∆x→0

(∆f (x)− df (x)

)= lim

∆x→0

(∆f (x)

∆x− f

′(x)∆x∆x

= lim∆x→0

(∆f (x)

∆x− f ′(x)

= f ′(x)− f ′(x) = 0.

Diferencijal

lim∆x→0

(∆f (x)− df (x)

lim∆x→0

(∆f (x)

∆x− f

′(x)∆x∆x

= lim∆x→0

(∆f (x)

∆x− f ′(x)

= f ′(x)− f ′(x) = 0.

Diferencijal

lim∆x→0

(∆f (x)− df (x)

)= lim

∆x→0

(∆f (x)

∆x− f

′(x)∆x∆x

= lim∆x→0

(∆f (x)

∆x− f ′(x)

= f ′(x)− f ′(x) = 0.

Diferencijal

lim∆x→0

(∆f (x)− df (x)

)= lim

∆x→0

(∆f (x)

∆x− f

′(x)∆x∆x

= lim∆x→0

(∆f (x)

∆x− f ′(x)

= f ′(x)− f ′(x) = 0.

Diferencijal

lim∆x→0

(∆f (x)− df (x)

)= lim

∆x→0

(∆f (x)

∆x− f

′(x)∆x∆x

= lim∆x→0

(∆f (x)

∆x− f ′(x)

= f ′(x)− f ′(x) = 0.

Diferencijal

Zadatak.

Odredi diferencijal funkcije:

a) f (x) =√x u tocki x = 4 za pomak ∆x = 1

b) f (x) = 4x u tocki x = 2 za pomak ∆x = 1

Skiciraj geometrijsko znacenje diferencijala.

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

Zadatak. Odredi diferencijal funkcije:

a) f (x) =√x u tocki x = 4 za pomak ∆x = 1

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

Zadatak. Odredi diferencijal funkcije:a) f (x) =

√x u tocki x = 4

za pomak ∆x = 12 ,

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

√x u tocki x = 4 za pomak ∆x = 1

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

b) f (x) = 4x u tocki x = 2

za pomak ∆x = 14 .

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

Rješenje.

a) Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

Rješenje. a)

Vrijedi

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x

⇒ f (4) =√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 =

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =

12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x

⇒ f ′(4) =1

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =

12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) =

f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =

14· 12=18

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=

Diferencijal

f (x) =√x ⇒ f (4) =

√4 = 2

f ′(x) =12√x⇒ f ′(4) =

2√4=14

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =12√x

∆x ⇒ df (4) = f ′(4)∆x =14· 12=18

Diferencijal

Rješenje. b)

Vrijedi

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x

⇒ f (2) =42= 2

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) =

− 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2

⇒ f ′(2) = − 44= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) =

− 44= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x =

− 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) =

f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x =

− 1 · 14= − 1

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14=

− 14

Diferencijal

f (x) =4x⇒ f (2) =

f ′(x) = − 4x2⇒ f ′(2) = − 4

4= − 1

Sada je

df (x) = f ′(x)∆x = − 4x2

∆x ⇒ df (2) = f ′(2)∆x = − 1 · 14= − 1

Derivacije i diferencijali višeg reda

Ako je f funkcija, onda je i f ′ tako�er funkcija, pa mozemo razmatratinjenu derivaciju

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Ako broj f ′′(x) postoji i konacan je, onda kazemo da je:

funkcija f dva puta derivabilna u tocki x ,broj f ′′(x) derivacija drugog reda funkcije f u tocki x .

Definicija. Neka je f : X → R funkcija i neka je X ′′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f dva puta derivabilna. Tada funkcijuf ′′ : X ′′ → R koja broju x ∈ X ′′ pridruzuje broj (f ′)′(x) = f ′′(x)nazivamo derivacijom drugog reda funkcije f .

Ako je f funkcija,

onda je i f ′ tako�er funkcija, pa mozemo razmatratinjenu derivaciju

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Ako je f funkcija, onda je i f ′ tako�er funkcija,

pa mozemo razmatratinjenu derivaciju

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

f ′′(x) = (f ′)′(x) =

lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Ako broj f ′′(x) postoji i konacan je,

onda kazemo da je:

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

funkcija f dva puta derivabilna u tocki x ,

broj f ′′(x) derivacija drugog reda funkcije f u tocki x .

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Definicija.

Neka je f : X → R funkcija i neka je X ′′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f dva puta derivabilna. Tada funkcijuf ′′ : X ′′ → R koja broju x ∈ X ′′ pridruzuje broj (f ′)′(x) = f ′′(x)nazivamo derivacijom drugog reda funkcije f .

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija

i neka je X ′′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f dva puta derivabilna. Tada funkcijuf ′′ : X ′′ → R koja broju x ∈ X ′′ pridruzuje broj (f ′)′(x) = f ′′(x)nazivamo derivacijom drugog reda funkcije f .

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija i neka je X ′′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f dva puta derivabilna.

Tada funkcijuf ′′ : X ′′ → R koja broju x ∈ X ′′ pridruzuje broj (f ′)′(x) = f ′′(x)nazivamo derivacijom drugog reda funkcije f .

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija i neka je X ′′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f dva puta derivabilna. Tada funkcijuf ′′ : X ′′ → R

koja broju x ∈ X ′′ pridruzuje broj (f ′)′(x) = f ′′(x)nazivamo derivacijom drugog reda funkcije f .

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija i neka je X ′′ ⊆ X skup svihtocaka u kojima je funkcija f dva puta derivabilna. Tada funkcijuf ′′ : X ′′ → R koja broju x ∈ X ′′ pridruzuje broj (f ′)′(x) = f ′′(x)

nazivamo derivacijom drugog reda funkcije f .

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Definicija.

Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X tocka u kojoj jefunkcija f dva puta derivabilna. Diferencijal drugog reda d2f (x) funkcije fu tocki x definiran je sa d2f (x) = f ′′(x) · ∆x2.

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

te neka je x ∈ X tocka u kojoj jefunkcija f dva puta derivabilna. Diferencijal drugog reda d2f (x) funkcije fu tocki x definiran je sa d2f (x) = f ′′(x) · ∆x2.

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X tocka u kojoj jefunkcija f dva puta derivabilna.

Diferencijal drugog reda d2f (x) funkcije fu tocki x definiran je sa d2f (x) = f ′′(x) · ∆x2.

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X tocka u kojoj jefunkcija f dva puta derivabilna. Diferencijal drugog reda d2f (x) funkcije fu tocki x

definiran je sa d2f (x) = f ′′(x) · ∆x2.

f ′′(x) = (f ′)′(x) = lim∆x→0

f ′(x + ∆x)− f ′(x)∆x

Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te neka je x ∈ X tocka u kojoj jefunkcija f dva puta derivabilna. Diferencijal drugog reda d2f (x) funkcije fu tocki x definiran je sa d2f (x) = f ′′(x) · ∆x2.

Opcenito definiramo:

derivaciju n−tog reda f (n)(x) funkcije f u tocki x induktivno sa

f (n)(x) =(f (n−1)

)′(x),

diferencijal n−tog reda dnf (x) sa

dnf (x) = f (n)(x) · ∆xn.

derivaciju n−tog reda f (n)(x) funkcije f u tocki x

induktivno sa

f (n)(x) =(f (n−1)

)′(x),

dnf (x) = f (n)(x) · ∆xn.

f (n)(x) =(f (n−1)

)′(x),

dnf (x) = f (n)(x) · ∆xn.

f (n)(x) =(f (n−1)

)′(x),

diferencijal n−tog reda dnf (x)

dnf (x) = f (n)(x) · ∆xn.

f (n)(x) =(f (n−1)

)′(x),

dnf (x) = f (n)(x) · ∆xn.

Zadatak.

Odredi f ′′(x) ako je: a) f (x) = x3 + 3x2, b) f (x) = ex .

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

Zadatak. Odredi f ′′(x) ako je:

a) f (x) = x3 + 3x2, b) f (x) = ex .

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

Zadatak. Odredi f ′′(x) ako je: a) f (x) = x3 + 3x2,

b) f (x) = ex .

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

Zadatak. Odredi f ′′(x) ako je: a) f (x) = x3 + 3x2, b) f (x) = ex .

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

Zadatak. Odredi f ′′(x) ako je: a) f (x) = x3 + 3x2, b) f (x) = ex .Rješenje.

a) Vrijedi

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

Zadatak. Odredi f ′′(x) ako je: a) f (x) = x3 + 3x2, b) f (x) = ex .Rješenje. a)

Vrijedi

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

Zadatak. Odredi f ′′(x) ako je: a) f (x) = x3 + 3x2, b) f (x) = ex .Rješenje. a) Vrijedi

f (x) = x3 + 3x2 ⇒

f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) =

3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) =

6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex

⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) =

⇒ f ′′(x) = ex

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) =

f (x) = x3 + 3x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 + 6x

⇒ f ′′(x) = 6x + 6

b) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

⇒ f ′′(x) = ex

Zadatak.

Odredi f (4)(x) ako je: a) f (x) = sin x , b) f (x) = ln x .

f (x) = sin x ⇒ f ′(x) = cos x

⇒ f ′′(x) = − sin x⇒ f ′′′(x) = − cos x⇒ f (4)(x) = sin x

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

Zadatak. Odredi f (4)(x) ako je:

a) f (x) = sin x , b) f (x) = ln x .

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

Zadatak. Odredi f (4)(x) ako je: a) f (x) = sin x ,

b) f (x) = ln x .

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

Zadatak. Odredi f (4)(x) ako je: a) f (x) = sin x , b) f (x) = ln x .

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

Zadatak. Odredi f (4)(x) ako je: a) f (x) = sin x , b) f (x) = ln x .Rješenje.

a) Vrijedi

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

Zadatak. Odredi f (4)(x) ako je: a) f (x) = sin x , b) f (x) = ln x .Rješenje. a)

Vrijedi

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

Zadatak. Odredi f (4)(x) ako je: a) f (x) = sin x , b) f (x) = ln x .Rješenje. a) Vrijedi

f (x) = sin x

⇒ f ′(x) = cos x

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

f (x) = sin x ⇒ f ′(x) =

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

⇒ f ′′(x) =

− sin x⇒ f ′′′(x) = − cos x⇒ f (4)(x) = sin x

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

⇒ f ′′(x) = − sin x

⇒ f ′′′(x) = − cos x⇒ f (4)(x) = sin x

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

⇒ f ′′(x) = − sin x⇒ f ′′′(x) =

− cos x⇒ f (4)(x) = sin x

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

⇒ f ′′(x) = − sin x⇒ f ′′′(x) = − cos x

⇒ f (4)(x) = sin x

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

⇒ f ′′(x) = − sin x⇒ f ′′′(x) = − cos x⇒ f (4)(x) =

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x

⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) =

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) =

− 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) =

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) =

2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) =

− 6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

b) Vrijedi

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) = 14

⇒ f ′′(x) = − 1x 2

⇒ f ′′′(x) = 2x 3

⇒ f (4)(x) = 2 · (−3x 4 ) = −6x 4

Osnovni teoremi diferencijalnog racuna

Teorem (Fermat). Neka funkcija f : X → R na intervalu [a, b] ⊆ Xnajvecu ili najmanju vrijednost postize u unutarnjoj tocki c ∈ 〈a, b〉intervala. Ako je funkcija f derivabilna u tocki c , onda je f ′(c) = 0.

Geometrijski: ako u unutarnjoj tocki intervala c s najmanjom ilinajvecom funkcijskom vrijednošcu tangenta na graf postoji, onda je tatangenta vodoravna.

Napomena. Uvjet da tocka c bude unutarnja je vazan!

Teorem (Fermat).

Neka funkcija f : X → R na intervalu [a, b] ⊆ Xnajvecu ili najmanju vrijednost postize u unutarnjoj tocki c ∈ 〈a, b〉intervala. Ako je funkcija f derivabilna u tocki c , onda je f ′(c) = 0.

Teorem (Fermat). Neka funkcija f : X → R

na intervalu [a, b] ⊆ Xnajvecu ili najmanju vrijednost postize u unutarnjoj tocki c ∈ 〈a, b〉intervala. Ako je funkcija f derivabilna u tocki c , onda je f ′(c) = 0.

Teorem (Fermat). Neka funkcija f : X → R na intervalu [a, b] ⊆ X

najvecu ili najmanju vrijednost postize u unutarnjoj tocki c ∈ 〈a, b〉intervala. Ako je funkcija f derivabilna u tocki c , onda je f ′(c) = 0.

Teorem (Fermat). Neka funkcija f : X → R na intervalu [a, b] ⊆ Xnajvecu ili najmanju vrijednost postize u unutarnjoj tocki c ∈ 〈a, b〉intervala.

Ako je funkcija f derivabilna u tocki c , onda je f ′(c) = 0.

Teorem (Fermat). Neka funkcija f : X → R na intervalu [a, b] ⊆ Xnajvecu ili najmanju vrijednost postize u unutarnjoj tocki c ∈ 〈a, b〉intervala. Ako je funkcija f derivabilna u tocki c ,

onda je f ′(c) = 0.

Geometrijski:

ako u unutarnjoj tocki intervala c s najmanjom ilinajvecom funkcijskom vrijednošcu tangenta na graf postoji, onda je tatangenta vodoravna.

Geometrijski: ako u unutarnjoj tocki intervala c

s najmanjom ilinajvecom funkcijskom vrijednošcu tangenta na graf postoji, onda je tatangenta vodoravna.

Geometrijski: ako u unutarnjoj tocki intervala c s najmanjom ilinajvecom funkcijskom vrijednošcu

tangenta na graf postoji, onda je tatangenta vodoravna.

Geometrijski: ako u unutarnjoj tocki intervala c s najmanjom ilinajvecom funkcijskom vrijednošcu tangenta na graf postoji,

onda je tatangenta vodoravna.

Napomena.

Uvjet da tocka c bude unutarnja je vazan!

Teorem (Rolle).

Neka je f : X → R funkcija koja je neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] ⊆ X , derivabilna na otvorenom intervalu〈a, b〉, te neka je f (a) = f (b). Tada postoji unutarnja tocka c ∈ 〈a, b〉takva da je f ′(c) = 0.

Geometrijski: ako je sekanta kroz rubove intervala [a, b] vodoravna, ondapostoji unutarnja tocka c u kojoj je tangenta vodoravna.

Napomena. Uvjet derivabilnosti funkcije f na intervalu 〈a, b〉 je vazan.

Teorem (Rolle). Neka je f : X → R funkcija

koja je neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] ⊆ X , derivabilna na otvorenom intervalu〈a, b〉, te neka je f (a) = f (b). Tada postoji unutarnja tocka c ∈ 〈a, b〉takva da je f ′(c) = 0.

Teorem (Rolle). Neka je f : X → R funkcija koja je neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] ⊆ X ,

derivabilna na otvorenom intervalu〈a, b〉, te neka je f (a) = f (b). Tada postoji unutarnja tocka c ∈ 〈a, b〉takva da je f ′(c) = 0.

Teorem (Rolle). Neka je f : X → R funkcija koja je neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] ⊆ X , derivabilna na otvorenom intervalu〈a, b〉,

te neka je f (a) = f (b). Tada postoji unutarnja tocka c ∈ 〈a, b〉takva da je f ′(c) = 0.

Teorem (Rolle). Neka je f : X → R funkcija koja je neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] ⊆ X , derivabilna na otvorenom intervalu〈a, b〉, te neka je f (a) = f (b).

Tada postoji unutarnja tocka c ∈ 〈a, b〉takva da je f ′(c) = 0.

Teorem (Rolle). Neka je f : X → R funkcija koja je neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] ⊆ X , derivabilna na otvorenom intervalu〈a, b〉, te neka je f (a) = f (b). Tada postoji unutarnja tocka c ∈ 〈a, b〉

takva da je f ′(c) = 0.

Teorem (Rolle). Neka je f : X → R funkcija koja je neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] ⊆ X , derivabilna na otvorenom intervalu〈a, b〉, te neka je f (a) = f (b). Tada postoji unutarnja tocka c ∈ 〈a, b〉takva da je f ′(c) = 0.

Geometrijski:

ako je sekanta kroz rubove intervala [a, b] vodoravna, ondapostoji unutarnja tocka c u kojoj je tangenta vodoravna.

Geometrijski: ako je sekanta kroz rubove intervala [a, b] vodoravna,

ondapostoji unutarnja tocka c u kojoj je tangenta vodoravna.

Geometrijski: ako je sekanta kroz rubove intervala [a, b] vodoravna, ondapostoji unutarnja tocka c

u kojoj je tangenta vodoravna.

Napomena.

Uvjet derivabilnosti funkcije f na intervalu 〈a, b〉 je vazan.

Teorem (Cauchy).

Neka su f i g funkcije koje su neprekidne nazatvorenom intervalu [a, b] , derivabilne na otvorenom intervalu 〈a, b〉, teneka je g ′(x) 6= 0 za svaki x ∈ 〈a, b〉 . Tada postoji unutarnja tockac ∈ 〈a, b〉 intervala takva da je

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

Teorem (Cauchy). Neka su f i g funkcije

koje su neprekidne nazatvorenom intervalu [a, b] , derivabilne na otvorenom intervalu 〈a, b〉, teneka je g ′(x) 6= 0 za svaki x ∈ 〈a, b〉 . Tada postoji unutarnja tockac ∈ 〈a, b〉 intervala takva da je

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

Teorem (Cauchy). Neka su f i g funkcije koje su neprekidne nazatvorenom intervalu [a, b] ,

derivabilne na otvorenom intervalu 〈a, b〉, teneka je g ′(x) 6= 0 za svaki x ∈ 〈a, b〉 . Tada postoji unutarnja tockac ∈ 〈a, b〉 intervala takva da je

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

Teorem (Cauchy). Neka su f i g funkcije koje su neprekidne nazatvorenom intervalu [a, b] , derivabilne na otvorenom intervalu 〈a, b〉,

teneka je g ′(x) 6= 0 za svaki x ∈ 〈a, b〉 . Tada postoji unutarnja tockac ∈ 〈a, b〉 intervala takva da je

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

Teorem (Cauchy). Neka su f i g funkcije koje su neprekidne nazatvorenom intervalu [a, b] , derivabilne na otvorenom intervalu 〈a, b〉, teneka je g ′(x) 6= 0 za svaki x ∈ 〈a, b〉 .

Tada postoji unutarnja tockac ∈ 〈a, b〉 intervala takva da je

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

Teorem (Cauchy). Neka su f i g funkcije koje su neprekidne nazatvorenom intervalu [a, b] , derivabilne na otvorenom intervalu 〈a, b〉, teneka je g ′(x) 6= 0 za svaki x ∈ 〈a, b〉 . Tada postoji unutarnja tockac ∈ 〈a, b〉 intervala

takva da je

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

Teorem (Cauchy). Neka su f i g funkcije koje su neprekidne nazatvorenom intervalu [a, b] , derivabilne na otvorenom intervalu 〈a, b〉, teneka je g ′(x) 6= 0 za svaki x ∈ 〈a, b〉 . Tada postoji unutarnja tockac ∈ 〈a, b〉 intervala takva da je

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒

{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) =

1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1

g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) =

b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

f ′(c) =f (b)− f (a)b− a

f ′(c)g ′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a) .

Ako stavimo:

g(x) = x ⇒{g ′(x) = 1g(b)− g(a) = b− a

}⇒ f ′(c) =

f (b)− f (a)b− a

Teorem (Lagrange).

Neka je f : X → R funkcija koja je neprekidna na[a, b] ⊆ X , derivabilna na 〈a, b〉. Tada postoji tocka c ∈ 〈a, b〉 takva da je

f ′(c) =f (b)− f (a)b− a .

Geometrijski: ako je sekanta kroz rubove intervala [a, b] kosa, ondapostoji unutarnja tocka c u kojoj je tangenta paralelna sa sekantom.

Teorem (Lagrange). Neka je f : X → R funkcija

koja je neprekidna na[a, b] ⊆ X , derivabilna na 〈a, b〉. Tada postoji tocka c ∈ 〈a, b〉 takva da je

f ′(c) =f (b)− f (a)b− a .

Teorem (Lagrange). Neka je f : X → R funkcija koja je neprekidna na[a, b] ⊆ X ,

derivabilna na 〈a, b〉. Tada postoji tocka c ∈ 〈a, b〉 takva da je

f ′(c) =f (b)− f (a)b− a .

Teorem (Lagrange). Neka je f : X → R funkcija koja je neprekidna na[a, b] ⊆ X , derivabilna na 〈a, b〉.

Tada postoji tocka c ∈ 〈a, b〉 takva da je

f ′(c) =f (b)− f (a)b− a .

Teorem (Lagrange). Neka je f : X → R funkcija koja je neprekidna na[a, b] ⊆ X , derivabilna na 〈a, b〉. Tada postoji tocka c ∈ 〈a, b〉

takva da je

f ′(c) =f (b)− f (a)b− a .

Teorem (Lagrange). Neka je f : X → R funkcija koja je neprekidna na[a, b] ⊆ X , derivabilna na 〈a, b〉. Tada postoji tocka c ∈ 〈a, b〉 takva da je

f ′(c) =f (b)− f (a)b− a .

Geometrijski:

ako je sekanta kroz rubove intervala [a, b] kosa, ondapostoji unutarnja tocka c u kojoj je tangenta paralelna sa sekantom.

f ′(c) =f (b)− f (a)b− a .

Geometrijski: ako je sekanta kroz rubove intervala [a, b] kosa,

ondapostoji unutarnja tocka c u kojoj je tangenta paralelna sa sekantom.

f ′(c) =f (b)− f (a)b− a .

Geometrijski: ako je sekanta kroz rubove intervala [a, b] kosa, ondapostoji unutarnja tocka c

u kojoj je tangenta paralelna sa sekantom.

f ′(c) =f (b)− f (a)b− a .

Napomena.

Uvjet derivabilnosti funkcije f na intervalu 〈a, b〉 je vazan.

f ′(c) =f (b)− f (a)b− a .

Uocimo da moze postojati više tocaka c iz Teorema Rollea i Lagrangea:

Teorem (L’Hospitalovo pravilo).

Neka za funkcije f , g : X → R vrijedi

limx→c

f (x) = 0 i limx→c

g(x) = 0

pri cemu je c ∈ 〈a, b〉 ⊆ X . Neka su f i g neprekidne na skupu [a, b] ineprekidno derivabilne na skupu 〈a, b〉 \ {c} . Ako postojilimx→c f ′(x)/g ′(x) = k , pri cemu je k ∈ R ili k = +∞ ili k = −∞, ondaje

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

x→cf ′(x)g ′(x)

Napomena.

1) L’Hospitalovo pravilo vijedi i kada x → +∞ ili x → −∞, zaneodre�eni oblik ∞/∞ te za limese i derivacije slijeva ili zdesna.

2) L’Hospitalovo pravilo se moze primijeniti više puta uzastopce.3) Ostali neodre�eni oblici se pogodnim transformacijama mogu svestina jedan od oblika 0/0 ili ∞/∞.

Teorem (L’Hospitalovo pravilo). Neka za funkcije f , g : X → R vrijedi

limx→c

g(x) = 0

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

pri cemu je c ∈ 〈a, b〉 ⊆ X .

Neka su f i g neprekidne na skupu [a, b] ineprekidno derivabilne na skupu 〈a, b〉 \ {c} . Ako postojilimx→c f ′(x)/g ′(x) = k , pri cemu je k ∈ R ili k = +∞ ili k = −∞, ondaje

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

pri cemu je c ∈ 〈a, b〉 ⊆ X . Neka su f i g neprekidne na skupu [a, b]

ineprekidno derivabilne na skupu 〈a, b〉 \ {c} . Ako postojilimx→c f ′(x)/g ′(x) = k , pri cemu je k ∈ R ili k = +∞ ili k = −∞, ondaje

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

pri cemu je c ∈ 〈a, b〉 ⊆ X . Neka su f i g neprekidne na skupu [a, b] ineprekidno derivabilne na skupu 〈a, b〉 \ {c} .

Ako postojilimx→c f ′(x)/g ′(x) = k , pri cemu je k ∈ R ili k = +∞ ili k = −∞, ondaje

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

pri cemu je c ∈ 〈a, b〉 ⊆ X . Neka su f i g neprekidne na skupu [a, b] ineprekidno derivabilne na skupu 〈a, b〉 \ {c} . Ako postojilimx→c f ′(x)/g ′(x) = k ,

pri cemu je k ∈ R ili k = +∞ ili k = −∞, ondaje

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

pri cemu je c ∈ 〈a, b〉 ⊆ X . Neka su f i g neprekidne na skupu [a, b] ineprekidno derivabilne na skupu 〈a, b〉 \ {c} . Ako postojilimx→c f ′(x)/g ′(x) = k , pri cemu je k ∈ R ili k = +∞ ili k = −∞,

ondaje

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

limx→c

f (x)g(x)

limx→c

f ′(x)g ′(x)

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

1) L’Hospitalovo pravilo vijedi i kada x → +∞ ili x → −∞,

zaneodre�eni oblik ∞/∞ te za limese i derivacije slijeva ili zdesna.

limx→c

g(x) = 0

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

1) L’Hospitalovo pravilo vijedi i kada x → +∞ ili x → −∞, zaneodre�eni oblik ∞/∞

te za limese i derivacije slijeva ili zdesna.2) L’Hospitalovo pravilo se moze primijeniti više puta uzastopce.3) Ostali neodre�eni oblici se pogodnim transformacijama mogu svestina jedan od oblika 0/0 ili ∞/∞.

limx→c

g(x) = 0

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

limx→c

g(x) = 0

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

2) L’Hospitalovo pravilo se moze primijeniti više puta uzastopce.

3) Ostali neodre�eni oblici se pogodnim transformacijama mogu svestina jedan od oblika 0/0 ili ∞/∞.

limx→c

g(x) = 0

limx→c

f (x)g(x)

]= lim

Napomena.

2) L’Hospitalovo pravilo se moze primijeniti više puta uzastopce.3) Ostali neodre�eni oblici se pogodnim transformacijama mogu svestina jedan od oblika 0/0 ili ∞/∞.Jelena Sedlar (FGAG) Derivacija 44 / 44

Derivacija - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...

Documents

Transcript of Derivacija - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...

studijski program na master studiju - efsa.unsa.ba · njenih marketing napora. Konačno, studij tretira i neka specifična područja primjene marketinga kao što su međunarodni marketing,

BOGU NEKA JE SLAVA - biblijski-monoteizam.combiblijski-monoteizam.com/download/Hemphill_Bogu_Neka_Je_Slava.… · čoveka na njoj stvorio, ja sam razapeo nebesa svojim rukama, i svoj

kb1-sterlitamak.rukb1-sterlitamak.ru/data/documents/Perechen-2-D_1-obshchiy.pdf · HBeHHOe 6e3 CTOHMOCTH neKa CTBeHHb1X C e CTB H CTaBHOe BBe Hue neKa CTBeHHb1XC e CTB I ceaHc 6e3

Svako Neka Veruje Engfa

Final Analytics Project Housing Neka

halapa · 2019. 2. 17. · 5 Dakle su T1(0, 0) i T 2(6, 6) stacionarne to čke.Sada na đemo druge parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) u stacionarnim to čkama. Parcijalnim

matematika - fizika - halapa · 2019. 2. 17. · 5 Dakle su T1(0, 0) i T 2(6, 6) stacionarne to čke.Sada na đemo druge parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) u stacionarnim

NEKA SE VELIKI SVIJET VRTI (Colum McCann)

IV NUMERIČKA INTEGRACIJA - poincare.matf.bg.ac.rspoincare.matf.bg.ac.rs/~zstanic/unm/Slajdovi/04. numericka...Neka su Ih i 12h približne vrednosti integrala I izrachmate pomoéu

Svako Neka Veruje Engl

LITERATURA ZA PREDMET KLASI NA · PDF file2 PREPORUKA ZA ¨ITANJE PAUZANIJA, VodiŁ po Heladi, prev. Uroı Pasini, Logos Split 1989. ----- NEKA OPˆA POVIJEST STAROG VIJEKA ----- NEKA

Symphony of Peace Prayers · 2018. 11. 20. · Bulibiya suyupi allin kawsay kachun. 22. Bosnia and Herzegovina neka bude miira u bosni i hertsegovini Bosnian/ Neka bude mira u Bosni

Tomislav Zivkovi c - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/ŽIV07.pdf · Pojam i de nicija krivulje ... evoluta i involuta ... upisane elipsi i kru znici kojoj je promjer velika

Automatically generated PDF from existing images. 2016/Scan-Gruba... · derivacije, 4. shema sa spuštanjem donje vode u zoni hidroelektrane., što se u ovom ¿asu, na crnogorske

Oryza sativa L.) in cropping systems at Neka 2 3 4 ab andjci.ut.ac.ir/article_53329_9a2c321bc8d8ee2e2d958a3bc2832692.pdf · Esmaeil Hatami, Mahmoud Raeini Serjaz, Vida Chalavi and

કબૂલાત આદિલ મન્સૂરીapi.ning.com/files/lSEZt9N3jFgqpFQOkMbEpp0LE-BFLDdoNBVaF-gtaFnKBoMa9... · iščupao srce i bacio goropadnim zvjerima neka se

Havijer Sijera - DELFI knjižare · Knjiga postanja 6, 2–3 Qui non intelligit, aut taceat, aut discat. (Ko ne razume, neka ćuti ili neka uči.) Džon Di (1527–1608) * Biblija

Bali66 Neka Art Museum8

NEKA SE VELIKI SVIJET VRTI (Colum McCann) se veliki svijet... · 2015-12-29 · 10 Neka se veliki svijet vrti / Colum McCann ivice krovova. Niko od njih još uvijek nije primijetio

KRALJICA MIRA HRVATSKO FRANJEVAČKO · PDF fileAko tko misli da je mudar među vama na ovome svijetu, neka bude lud da bude mu-dar. ... namisli mudrih, one su isprazne. Zato neka se